乱数列における記憶の存在に関する定理
仮説を検証するには、Excelの乱数発生器（Roundbetween(1;6)）を使い、例えば1000ケースについて上記のルールを確認することができます。私は数学的な優位性を持っていない。とはいえ、X1=X2でどうするのか、著者が提案していることを確認する必要がありますが。
何のために？よりシンプルに、より正確にできるためです。
ルーレットのドラムに0からn - 1までのn個の数字があるとする。
ベットした数字にボールが当たった場合、ディーラーはretの数字を返すとする。わかりやすくするために、表を作ってみましょう。我々は、3つの連続したスピンx1、x2、x3は、1つの最大（max）、1つの最小（min）と1つの平均（mid）を落下させることができます。
- 最後のスピンの出目が、ペンシルベニアスピンの出目と一致した場合、一手飛ばす。
- x1 > x2 ならば、x2より大きい数字すべてに賭ける。n - 1 - x2 のような数字があります。
- x1 < x2 ならば、x2 よりも小さい数字にすべて賭ける。このような数値があります：x2
すると、こんな結果になる。
| 組合せ | ペナルティスピン - x1 | ラストスピン - x2 | フューチャースピン - x3 | ベットサイズ | 当選サイズ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ミニ | ちゅうりゅう | マックス | ちゅうりゅう | -中位 |
| 2 | ミニ | マックス | ちゅうりゅう | マックス | レット-マックス |
| 3 | ちゅうりゅう | ミニ | マックス | n - 1 - min | ret - n + 1 + min |
| 4 | ちゅうりゅう | マックス | ミニ | マックス | レット-マックス |
| 5 | マックス | ミニ | ちゅうりゅう | n - 1 - min | ret - n + 1 + min |
| 6 | マックス | ちゅうりゅう | ミニ | n - 1 - 中 | n - 1 - 中 |
| 合計 | 3 * n + 2 * max - 2 * min - 3 | 4 * ret - 3 * n - 2 * max + 2 * min + 3 |
以上です。あとはプログラムを書いて、ネストしたループの中ですべての変種をチェックするだけです。
ヨーロピアンルーレットの場合：n＝37、ret＝35
Javaでは、このようなプログラムは次のようになります。
public class Main { public static void main(String[] args) { // Количество чисел на барабане int n = 37; double dn = n; // Возврат денег дилером в случае если ставка выиграет int ret = 35; double total = 0 d; // Счётчик спинов int score = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (i != j) { int max = Math.max(i, j); int min = Math.min(i, j); double dmax = max; double dmin = min; double result = 4 d * ret - 3 d * dn - 2 d * dmax + 2 d * dmin + 3 d; System.out.println("Max = " + max + ", Min = " + min + ", Result = " + result); total = total + result; } score++; } } double dscore = score * 6; total = total / dscore; // Математическое ожидание выигрыша с одного спина System.out.println("Total = " + total); } }
走らせて確認してみましょう。
... Max = 36, Min = 28, Result = 16.0 Max = 36, Min = 29, Result = 18.0 Max = 36, Min = 30, Result = 20.0 Max = 36, Min = 31, Result = 22.0 Max = 36, Min = 32, Result = 24.0 Max = 36, Min = 33, Result = 26.0 Max = 36, Min = 34, Result = 28.0 Max = 36, Min = 35, Result = 30.0 Total = 1.08108108108108111回のスピンで1ポンド強の利益が出ることがわかりました。
送るのは簡単ですが、その人が正しいか間違っているかを数学的に証明するのは簡単です...。
オンラインカジノで確認しやすい ...
私は、オンラインカジノでそのような戦略を「テスト」することをお勧めしません。なぜなら、バーチャルカジノでは、現実のカジノと違って、確率の理論が支配していないからです。このアルゴリズムは、カジノがマイナスにならないように設定されています。つまり、現在のスピンでは、設定で指定された利益を受け取らない場合、アルゴリズムは自動的にベットされていない「ポップ」ナンバーをピックアップし、人工的な損失を発生させることになるのです。
...というのは、おそらく作者がすでにやっていることでしょう :)
筆者は株（厨房ではなく）取引を好んでいます。上記の取引戦略もルール化されています。ここでは本物のカジノは禁止されています。
私は、オンラインカジノでそのような戦略を「テスト」することをお勧めしません。なぜなら、バーチャルカジノでは、現実のカジノと違って、確率の理論が支配していないからです。そこで、カジノがマイナスにならないように、つまり、現在のスピンで、設定で指定された利益を受け取らない場合、アルゴリズムが自動的にベットされていない「落ち数」をピックアップし、人工的に損失を出すように設定されています。
筆者は株（厨房ではなく）取引を好んでいます。上記の取引戦略もルール化されています。ここでは本物のカジノは禁止されています。
そう、旧ソ連全土で本物のカジノが禁止されていることは知っています。
ラスベガスはフリーダムなんだ :)
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この定理の本質は、ある深さでのランダムな配列の前史の分析が数学的期待値をゼロにしたとしても、別の深さでの前史の分析が同じ期待 値を与えるとは限らないということである。
単純化すると、乱数列の中に記憶があることを証明 するためには、それを徹底的に分析する必要がある。
記憶の有無が後遺症と混同されることがある。後遺症とは、条件付き確率が無条件確率と等しくならないような契機が存在することである。しかし、後遺症があるからといって、遊技の期待値が変化するわけでは全くない。
数学の知識が乏しい私たちでも、実際にどのように役立つのかを理解しやすくするために、具体的な例を挙げてみましょう。ここでは、カジノのルーレットを例にとらず（特にルーレットにはヨーロッパ式とアメリカ式の2種類があるので）、もっと単純なケースでわかりやすく考えてみましょう。プレイングキューブを持ってみよう。1から6（立方体の辺の数）までの数字に1ドルずつ賭けたとする。
勝敗の計算は簡単で、異なる数字に1ドルずつ賭けたとして、ダイスを振った後、賭けた数字が1つでも出れば、ディーラーは6ドル返してくれます。 もし、ダイスを振っても賭けた数字が出なければ、ディーラーは賭けたお金を全部取ってくれます。
x1とx2が出た最初の2つのダイスの出目をスキップする。そして、3回目の出目に賭ける - x3、しかし、条件付き確率のルールに従って。
3回のトスで3つの数字が出たとします。2、3、5（実は、どの数字が落ちても違いはないことが定理で証明されている）。この3つの数字がどのような順番で出てきたとしても、選択肢は6つしかなく、どれも同じ確率なので、特に差はない。
では、結果を見てみましょう（赤色は、x2より小さい数字に賭けたことを表しています）。
2、3、5の数字の組み合わせはすべて等確率であるにもかかわらず、期待値+$4が得られたことが判明したのです。
まさかという人もいるでしょうね。信じるが、確かめる。というのも、このキューブには6つの数字しか書かれておらず、小学生でも混乱しにくいからだ。
例えば、最初の組み合わせ。x2=3より小さい数字に賭けるのだが、1と2の2つしかない。しかし、x3, は 5 に等しく、つまり賭けた数字のうち 5 に等しいものはなく、すべての賭け金、つまり 2 ドルを失いました。
2つ目の組み合わせ：x2=5より小さい数字に賭ける。1、2、3、4の4つで、つまりディーラーに$4を渡したので、x3=3が出たのです。賭けは勝った。販売店から6ドルを返してもらった。その結果、＋2ドルの勝利で預金が補充された。
などなど。
この定理は、x1 <> x2のとき、常に上記の条件付き確率に従って賭ければ、x1、x2、x3の値がどのような順番で変化しても、数学的期待値は常に正となることを証明している。
しかし、誰かがまた反対するだろう。ディーラーは、6ドルのベットに成功した場合、ほとんど返そうとせず、むしろ我々の期待値を下げようとする、例えば、勝った場合、5ドルしか渡さないだろう、というのだ。なるほど、それなら期待値がゼロになることは容易に計算できますね。つまり、ディーラーがそれで稼ごうと考えるにもかかわらず、ゲームは公平に行われることになる。
OKです。 ロシア連邦ではカジノは違法だが、株式投機は許されている」と反論し始める人もいるかもしれない。しかし、株価を一部の欠損データ（歴史の穴）を含む等確率ベルヌーイ方式で表現すると、同じ条件付き確率での期待値が正になることが再び定理で証明される。
納得できない方は、定理の本文は秘密ではありませんので、添付のアーカイブでご覧ください。その中から間違いを探してみてください。