講演者は裁定取引のない借り換え戦略の概念を詳しく掘り下げ、ゼロ要素から金利を示唆する方法を説明します。これらは、フォワード レートに関数形式を導入し、発生率の指数関数形式をとる構造を課します。式の対数をとり、それに負の符号を掛けることで、ショートレートとフォワードレートの両方の式を満たすレートを特定します。瞬間的な転送レートは f dt として定義され、講演者はそれが常に成熟度を考慮していることを強調しました。
00:40:00このセクションでは、講演者は裁定取引のない借り換え戦略とゼロ構成要素からのレートを暗示する方法について話します。これらは、フォワード レートの関数形式を定義し、指数形式であり、ある程度の発生率が存在するような構造を課します。式の対数をとり、それにマイナスを掛けることで、ショートレートとフォワードレートの方程式を満たすレートを見つけます。瞬間先渡レートは f dt として定義され、満期に関して区別されます。講演者は、これは常に成熟度に関するものであることを心に留めておくことの重要性を強調しています。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 3- part 1/2 The HJM Framework▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Ma...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 3- part 2/2 The HJM Framework▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Ma...
教授はモデルの解決策について議論を進め、デュピー・ダフィー・シングルトン定理の重要性を強調します。彼らは、解がリカッチ型の方程式の形式をとり、この定理が関数 A と B の導出を容易にすることを説明しています。この定理の重要性は、Rt パスの特定の点での依存性の観点からのみ条件付き期待値を表現することにあります。シミュレーションを改善します。この機能は、複数のネストされたモンテカルロ シミュレーションを必要とするポートフォリオ評価に特に有用であることがわかります。さらに、機能 A と B は閉じた形式の性質と実装の容易さにより、業界でよく採用されているモデルとなっており、コストのかかる再調整の必要性を回避しながら、イールドカーブのダイナミクスに合わせて効果的に調整できます。
講師は、ネストされたモンテカルロ シミュレーションに頼ることなく、ゼロ クーポン債券の評価を可能にする強力な表現を強調します。この式により追加のシミュレーションが不要になり、長期満期のスワップの価格設定の効率が大幅に向上します。成熟度に依存する機能 A と B は、このプロセスにおいて極めて重要な役割を果たし、直接評価できます。講師は、シータ関数、ボラティリティ、および速度計の最小バージョンを含む、ゼロクーポン債券と関数 A および B の間の閉形式の関係を説明します。さらに、モデルからゼロクーポン債券を評価するための 2 つのアプローチ、つまり、分析式を使用するか、統合を回避するかを示しています。
00:20:00講義のこのセクションでは、教授がモデルの解決策と Dupey-Duffy-Singleton 定理の重要性について説明します。解は Riccati タイプの方程式の形式であり、関数 A と B は Dupey-Duffy-Singleton 定理を使用して導出できます。この定理は、Rt パスの特定の点でのみ依存性に関する条件付き期待値の表現を可能にし、シミュレーションを向上させるため重要です。これは、ネストされたモンテカルロ シミュレーションの複数の評価を必要とするポートフォリオ評価に特に役立ちます。さらに、関数 A と B は閉じた形式で実装が容易であるため、歩留まり曲線に合わせて効率的に調整され、コストのかかる再調整を必要としない業界でよく採用されているモデルとなっています。
00:25:00金融工学コースのこのセクションでは、インストラクターが、ゼロクーポン債券を評価できる強力な表現について説明します。これにより、ネストされたモンテカルロ シミュレーションの必要性がなくなり、長期満期の価格スワップがより効率的になります。 。この式は、成熟度によって決定される関数 A および B に依存しており、追加のシミュレーションを必要とせずに直接評価できます。インストラクターは、ゼロクーポン債券と関数 A および B の間の閉じた形式の関係も提供します。これには、シータ関数、ボラティリティ、および速度計の最小バージョンが含まれます。さらに、インストラクターは、分析式を使用して、または統合を回避して、モデルからゼロクーポン債券を評価する方法を示します。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 4- part 1/2, Yield Curve Dynamics under Short Rate▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is ...
インストラクターは、短期金利モデルのシミュレーションと、イールドカーブのダイナミクスの測定におけるその応用について深く掘り下げます。イールドカーブは将来の利回りに対する市場の期待を表しており、市場の認識や期待の影響を受けます。これらのダイナミクスを分析するために、インストラクターは、短期金利の実現ごとに連続複利を観察し、各シナリオの利回り曲線を生成することを含む実験を提示します。このシミュレーションは、短期レート モデルと駆動関数シータ t の現実性を評価するのに役立ちます。この実験では精度を高めるために実際の市場データが利用されています。
00:00:00講義のこのセクションでは、講師が短期金利モデルのシミュレーションと、それを使用したモデルから得られる利回り曲線のダイナミクスの測定について説明します。イールドカーブは本質的に、将来の利回りの予想であり、市場の期待や認識に応じて動的に動きます。この実験には、短期金利の実現ごとに連続複利金利のダイナミクスを観察し、各シナリオの利回り曲線を生成することが含まれます。このシミュレーションは、短期金利モデルが現実的かどうかを判断するのに役立ち、利回り曲線は関数 theta t によって決まります。この実験では、精度を高めるために実際の市場データを使用します。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 4- part 2/2, Yield Curve Dynamics under Short Rate▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is ...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 5- part 1/2, Interest Rate Products▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the bo...
次に、講義では、AJM フレームワークを使用して、さまざまな措置の下でのゼロクーポン債のダイナミクスを探ります。講演者は、これらのダイナミクスがこれらの債券のオプションの価格設定にどのように関係しているかについて説明します。これらは、ゼロ クーポン債券のダイナミクスの式における積分と dz の瞬間フォワード レートの置き換えを強調し、導出された最終的な式を提供します。この講義では、ハル・ホワイト モデルと T フォワード手法に基づくゼロクーポン債のダイナミクスについても詳しく説明します。特に確率的割引においては、複雑な計算を避けるために、尺度を変更することの重要性が強調されます。
講演者は、さまざまな尺度を切り替えるツールとしてキリザノフ、ロフラー、およびラドンニコジム導関数を紹介します。彼らは、伊藤の補題をラドン・ニコジム導関数に適用することによって、債券と普通預金口座のダイナミクスを見つける方法を説明しています。これはギルサノフ定理につながります。これは、T フォワード測定とリスク中立測定の間の関係を確立し、測定を切り替える際の追加のドリフトを強調します。リスク中立尺度の下でのブラウン運動を T フォワード尺度で置き換えることにより、ハル ホワイト モデルのダイナミクスが導出されます。
次に、ラムダと成熟度に依存するシータ関数で表されるメジャーショートレートモデルを紹介します。彼らは、小さい t と大文字の mt という 2 つの引数で mu シータを定義し、ギルサノフの定理を適用して、尺度をリスク中立尺度から T フォワード尺度に変更します。焦点はゼロクーポン債の価格設定オプションに移り、リスク中立の尺度からゼロフォワード尺度への尺度の変更が必要になります。講演者は、ゼロクーポン債券のダイナミクスと T フォワード手法に基づいたその分布について議論し、債券の表現を提供し、一定の時間依存関数に権利行使価格を調整します。彼らはまた、この措置の下でのプロセス r の分布についても議論しています。
次に、パラメータを調整した Black-Scholes モデルを使用して、T フォワード測定の下での r の分布をどのように解くことができるかを説明します。メジャーを変更すると、正規累積分布関数と閉じた形式の解を使用して、ゼロクーポン債券の分析価格設定が可能になります。講演者は、ゼロクーポン債券の価格を決定する実験を実施し、その分析式を標準のオイラー離散化を使用したモンテカルロ シミュレーションと比較します。シミュレーション用のコードが提供され、さまざまな権利行使に対するオプション価格の計算について説明します。
00:05:00このセクションでは、rd として表されるゼロクーポン債券のダイナミクスについて説明します。瞬時転送速度を積分値と dz に代入して、最終的な式を導き出します。次に、Hull-White モデルに基づくゼロクーポン債券のダイナミクスが計算されます。 T フォワード手法に基づくゼロクーポン債券のダイナミクスについても、特に確率的割引における手法変更の重要性を強調しながら議論されます。尺度を変更することにより、期待値の式を見つける際に、積分と st の同時密度にわたる二重積分を回避できます。
00:10:00このセクションでは、講演者は、キリザノフ、ロフラー、およびラドンニコジム導関数を使用して、異なる測定値を切り替えることについて説明します。ランダムな Nikodym デリバティブは、債券と普通預金口座のダイナミクスを見つけるために使用されます。伊藤の補題を適用すると、ランダムなニコジム導関数のダイナミクスが見つかり、ギルサノフ定理につながります。これは、T フォワード測定とリスク中立測定との関係、および測定を切り替えた場合に生じる追加のドリフトを示します。 。最後に、話者はリスク中立尺度に基づくブラウン運動を T フォワード尺度に置き換えて、ハル ホワイト モデルのダイナミクスを導きます。
00:15:00金融工学コースの金利商品に関する講義のこのセクションでは、講演者はラムダによって与えられるメジャーショートレートモデルと満期に依存するシータ関数を紹介します。彼らは、小さい t と大文字の mt という 2 つの引数で mu シータを定義し、ギリザンの定理を適用してリスク中立から t フォワード尺度に変更します。次に、ゼロクーポン債券のオプションの価格設定に焦点が移ります。これには、尺度をリスク中立からゼロフォワード尺度に変更することが含まれます。講演者は、ゼロ クーポン債券の式を提示し、k を一定の時間依存関数に調整しながら、ゼロ クーポン債券のダイナミクスと t フォワード測定の下でのその分布について説明します。この措置の下でのプロセスrの分布についても議論する。
00:20:00講義のこのセクションでは、講演者は t 順測度における「r」の分布と、パラメータを調整した Black-Scholes モデルを使用してそれを解く方法について説明します。彼らは、尺度を変更することで、閉じた形式の解を使用した正規累積分布関数を使用してゼロクーポン債券の価格設定を分析的に実行できると説明しています。講演者はまた、ゼロクーポン債券の価格を設定する実験を実行し、標準的なオイラー離散化を使用したモンテカルロ シミュレーションに対してその分析式をチェックします。彼らはシミュレーション用のコードを提供し、さまざまな権利行使に対するオプション価格の計算について議論します。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 5- part 2/2, Interest Rate Products▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the bo...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 6- part 1/3, Construction of Yield Curve and Multi-Curves▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This cou...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 6- part 2/3, Construction of Yield Curve and Multi-Curves▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This cou...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 6- part 3/3, Construction of Yield Curve and Multi-Curves▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This cou...
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 7- part 1/2, Swaptions and Negative Interest Rates▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is ...
金融工学コース: 講義 3/14、パート 1/2、(HJM フレームワーク)
金融工学コース: 講義 3/14、パート 1/2、(HJM フレームワーク)
講演者は、特にヒート・ジャロウ・モートン (HJM) フレームワークに焦点を当てて、金利モデルにおける裁定のない条件のトピックを掘り下げます。彼らは講義の議題を設定し、均衡モデルと期間構造モデルの区別を明確にします。講演者は、キャリブレーションを必要とせずにイールドカーブを生成する期間構造モデルの威力と重要性を強調しながら、HJM フレームワーク内での裁定のない条件の導出について説明します。次のブロックには、ジュリーとハルホワイトという 2 つのモデルのモンテカルロ シミュレーションと、提供された宿題が含まれます。 HJM フレームワークは、すべての金利モデルに対して汎用的で裁定取引のないフレームワークとして機能することは注目に値します。
今後は、短期金利と金利の概念が導入され、短期金利が無限小の期間に関連付けられることが強調されます。最初の短期レート モデルであるオーンシュタイン・ウーレンベック (OU) プロセスは、利回り曲線へのキャリブレーションを必要とする内生モデルの例として説明されており、結果として自由度が制限され、キャリブレーションが不十分になる可能性があります。一方、外生モデルは利回り曲線を入力として受け取り、キャリブレーションの問題を回避します。この講義では、金利モデリングのモデリング スキルとプログラミング能力の開発に関する洞察も得られます。
HJM フレームワークは、内因性モデルから外因性モデルへの変換に焦点を当てて調査されます。この変換により、選択したモデル パラメーターに関係なく、利回り曲線が同じままになることが保証されます。講師は、均衡モデルから期間構造モデルへの明確な道筋を提供する AJM フレームワークの卓越した能力を強調します。講義では、文献に多数のモデルが存在し、2 つの人気のあるモデルについて説明していることに言及しました。そのようなモデルの 1 つがバシチェック短期金利モデルですが、マイナス金利への対応には限界があるとして批判にさらされています。
マイナス金利の問題が取り上げられ、講演者は、マイナス金利は認めないが金利がゼロになることは許容するコックス・インガソール・ロス（CIR）プロセスを採用して、金融エンジニアがこの問題にどのように取り組んでいるかを説明します。このプロセスをシフトするには、分布をゼロから負の値 (通常は約 2 ～ 3 パーセント) に移動できるようにするパラメーターが導入されます。利回り曲線に適合させることの重要性と調整の課題についても説明します。講師は、利回り曲線を当てはめることができないのであれば、モデルの他の側面を当てはめようとしても意味がないと強調します。シミュレーション例は、平均戻り速度やボラティリティ係数などのさまざまなパラメーターの影響を示すために提供されています。
HJM モデルや CIR モデルなど、さまざまなモデルのパスに対するボラティリティ係数の影響について説明します。ボラティリティ係数が大きいほど、パスのスパイクが大きくなり、不確実性が増大します。一方、係数が小さいほど、分布は狭くなります。講師は、平均回帰と金利がこれらのモデルの動作にどのように影響するかについても説明します。 Python コードを利用して、オイラー離散化と標準化を使用してパスをシミュレートしながら、パスが負になるのを防ぐ条件を課します。
講演者は、すべての金利モデルを網羅する世界的な枠組みとして機能する HJM (ヒース・ジャロウ・モートン) 枠組みについて詳しく説明します。今日の観点から将来の期間にわたるレートを表す瞬間先渡レートのダイナミクスは、HJM フレームワーク内でモデル化されます。 AJM フレームワークは、瞬間先物金利のボラティリティと裁定のないドリフトとの間の明確な関係により、金利モデルの基本的な基礎として提示され、モデルが常に裁定のないことを保証します。このフレームワークは、AJM フレームワークの特殊なケースである、短期金利と LIBOR の両方の市場モデルのコンテキストで検討されます。
アービトラージフリー度とドリフトの関係、特に瞬間フォワードレートのボラティリティに関連して説明します。ボラティリティを調整することで、異なるモデル間の切り替えが可能になります。 HJM フレームワークはさまざまなボラティリティ構造に対応していますが、ショートレートまたは LIBOR 市場モデルの分析式を取得するのは困難です。ただし、特定のケースでは、HJM フレームワークは、指定されたボラティリティに基づいてゼロクーポン債券の分析式を提供します。このフレームワークは、観測可能な利回りをモデルへの入力として使用できるため、均衡モデルから期間構造モデルへの移行において重要な役割を果たします。 HJM フレームワークに基づくショート レート モデルなど、他のモデルとの比較が行われます。これらのモデルは、高速校正の点でフェラーリに似ていますが、複数の市場商品に対する校正と実装の柔軟性に欠けています。金利の短期金利モデルの主な目的は、イールド カーブとゼロ クーポン債の精度を確保することです。
金融工学で採用されているさまざまな用語構造モデルの限界について講師が解説します。 HJM フレームワークは、利回り曲線に合わせて調整する際の柔軟性が高くなりますが、パラメータが 2 つだけというシンプルさにより、長期間にわたって評価される複雑で特殊なオプションの調整が困難になります。確率的ボラティリティを備えた市場モデルは、高額なメンテナンスコストと調整の課題にもかかわらず、エキゾチックな商品やボラティリティの価格設定には理想的であると考えられています。講師は、ゼロクーポン債を使用した瞬間フォワード・レートの定義に進み、借り換え戦略を使用して特定期間のフォワード・レートを構築し、実効レートを抽出する方法を説明します。
講演者は裁定取引のない借り換え戦略の概念を詳しく掘り下げ、ゼロ要素から金利を示唆する方法を説明します。これらは、フォワード レートに関数形式を導入し、発生率の指数関数形式をとる構造を課します。式の対数をとり、それに負の符号を掛けることで、ショートレートとフォワードレートの両方の式を満たすレートを特定します。瞬間的な転送レートは f dt として定義され、講演者はそれが常に成熟度を考慮していることを強調しました。
次に、講義では、満期に関するゼロクーポン債の対数の導関数として定義される瞬間フォワード レートの概念を紹介します。すべての数量は瞬間先渡レートで表現されるため、これは HJM フレームワーク内の基本的な構成要素として機能します。ゼロクーポン債券と普通預金口座を区別することの重要性が強調されており、前者は決定的な値であり、後者は確率的な量である。瞬間フォワードレートのダイナミクスは、金利のダイナミクスを理解してモデル化することを目的とした、HJM フレームワーク内の焦点です。
教授は続けて、p 測定値での瞬間フォワード レートのダイナミクスと、測定値を p から q に切り替える際のダイナミクスを決定する目的について説明します。 HJM フレームワークには、瞬間先物金利、普通預金口座 (短期金利の積分)、およびゼロクーポン債券の関係のダイナミクスが含まれています。 q 尺度の下で瞬間フォワード レートのダイナミクスを定義するには、特定の量がマルチンゲールとして機能する必要があります。ショートレートと瞬間フォワードレートの関係について説明し、異なる瞬間レート間の相互依存性とさまざまなパラメータ間の関係を強調します。
講演を続けて、講演者は裁定自由度と金利モデルのドリフトとの関係、特に瞬間フォワードレートの変動性の観点から理解することの重要性を強調した。ボラティリティを調整することで、HJM フレームワーク内で異なるモデル間を切り替えることができます。このフレームワークはさまざまなボラティリティ構造を考慮していますが、短期金利や LIBOR 市場モデルの分析式を取得するのは困難な場合があります。ただし、場合によっては、HJM フレームワークは、指定されたボラティリティに基づいてゼロクーポン債券の分析式を提供します。
講師は、HJM フレームワークがすべての金利モデルに対して汎用的で裁定取引のないフレームワークであることを強調しました。これは、均衡モデルから期間構造モデルへの明確な道筋を提供し、この分野で強力なツールとなります。文献には数多くのモデルがありますが、ここでは 2 つの人気のあるモデルについて詳しく説明します。
まず、Vasicek によるショートレートモデルを検討します。講師は、このモデルがマイナス金利を認めていないことで批判に直面していることを認めた。この問題に対処するために、一部の金融エンジニアは、マイナス金利を許可しないが、金利がゼロのレベルに到達することを許可するコックス・インガソール・ロス (CIR) プロセスを採用しています。ただし、講師は、CIR プロセスにシフト パラメーターを導入して、分布をゼロからマイナスの 2 ～ 3 パーセントなどの負の値に効果的にシフトすることが可能であると述べています。モデルを利回り曲線に適合させることが重要な側面として強調され、調整の問題が議論されます。講師は、イールドカーブを正確に当てはめることができない場合、他のパラメータを当てはめても意味がないと述べています。
次に、講演者は 2 つのモデル、Julie と Hull-White のモンテカルロ シミュレーションを紹介します。シミュレーションの目的は、実用的な例を提供し、平均反転速度やボラティリティ係数などのさまざまなパラメーターがモデルのパスに及ぼす影響を示すことです。オイラー離散化と標準化を利用した Python コードを使用して、これらのパスをシミュレートします。パスが負になることを制限するために条件が課されます。
講義は続いて、HJM モデルや CIR モデルを含むさまざまなモデルのパスに対するボラティリティ係数の影響について説明します。ボラティリティ係数が大きいほど、パスのスパイクが大きくなり、不確実性が増大します。一方、係数が小さいほど、分布は狭くなります。これらのモデルの動作に対する平均回帰と金利の影響についても説明します。
講師は最後に、取り上げられた重要なポイントを要約し、HJM フレームワーク内の用語構造モデルの力と重要性を繰り返し説明します。利回り曲線の調整を必要とせずに利回り曲線を自己生成できる機能が強調されています。最後に宿題が提供され、学生が講義で説明した概念とテクニックをさらに探究し、応用するよう奨励されます。
この講義では、特に HJM フレームワーク内での金利モデルにおける裁定のない条件について詳しく説明します。均衡モデルと期間構造モデルの違い、アービトラージフリー条件の導出、モンテカルロ シミュレーションによる実践例について説明します。利回り曲線に適合させることの重要性、調整の課題、さまざまなパラメーターの影響について徹底的に議論し、学生に金利モデリングとプログラミングのスキルについての貴重な洞察を提供します。
金融工学コース: 講義 3/14、パート 2/2、(HJM フレームワーク)
金融工学コース: 講義 3/14、パート 2/2、(HJM フレームワーク)
講義では、HJM フレームワークとその金利モデリングの前提に焦点を当てます。講師はまず、HJM フレームワークにおける裁定のない条件について説明します。これは、このフレームワーク内のあらゆる金利モデルにとって重要です。これらの条件により、普通預金口座で割引されたすべての資産がマーチンゲールとして動作することが保証されます。伊藤の公式をゼロクーポン債券と普通預金口座に適用すると、普通預金口座で割った資産のダイナミクスが得られ、瞬間先物金利の裁定なし条件に関する有名な HJM 補題が得られます。
次に、講師は、HJM フレームワーク内で瞬間フォワード レートのドリフトがどのように決定されるかを検討します。リスク中立で裁定取引のない世界を望む場合、瞬間フォワードレートのボラティリティはドリフトを定義する上で重要な役割を果たします。講師は、ショートレートまたは瞬間フォワードレートをモデル化するには、瞬間フォワードレートのボラティリティを指定することが不可欠であると説明します。これが定義されると、瞬間的なフォワード レートのダイナミクスがわかり、アービトラージのない環境が保証されます。この講義では、満期曲線、一定の決定論的関数、ボラティリティの偏導関数に関する積分を含む、ショートレートのダイナミクスの計算についても説明します。
この講義では、HJM フレームワークの実践的な側面をさらに掘り下げます。講師は、フレームワーク内でボラティリティを指定することによって、さまざまな短期金利モデルをどのように生成できるかについて説明します。一定のボラティリティは最も単純な形式として提示され、HJM 条件下でのアルファ関数の計算が可能になります。ゼロクーポン債券曲線を入力として使用し、指定されたシグマとアルファをフレームワークに代入することで、ショートレートのダイナミクスを導き出すことができます。市場商品から推定されるイールドカーブの重要性は、金利デリバティブの価格設定における重要な要素として強調されています。
プロセスのアフィン クラスに属し、時間依存のドリフトとシグマ パラメーターを提供する Uli モデルに特別な注意が払われます。講師は、このモデルにより、ネストされたモンテカルロ シミュレーションを必要とせずに、指数関数形式でゼロ クーポン債券の計算が可能になり、計算能力が節約される仕組みについて説明します。ショートレートと b の既知の決定論的関数との関係が明示的に表現され、期待値の推定に Longstaff Schwarz アルゴリズムを使用できる可能性についても言及されています。
この講義では、ゼロ複合かつエレガントな方法でモデルを表現することの重要性も強調しています。 HJM フレームワークは、この目標を達成するための強力なツールとして認識されています。 Python 実験は、シミュレートされたパスを使用してゼロクーポン債券を計算し、入力利回りと比較する方法を実証するために実施されます。 HJM フレームワークにより、シミュレートされたパスが利回り入力に組み込まれたものと同じゼロクーポン債を常に生成することが保証されることが強調されます。
HJM フレームワーク内のモンテカルロ シミュレーション手法は、利回り曲線を生成する手段として説明されています。講師は、利回り曲線の指定、ゼロ成分曲線の推定、シータおよびシグマ パラメーターの計算を含むアプローチを紹介します。次に、モンテカルロ シミュレーションが実行され、結果として得られる割引係数を使用して、モデルと市場からのゼロクーポン債券曲線がプロットされます。講師は、パラメーター値の変更を処理する際のアプローチの柔軟性を紹介し、入力と出力の収量が完全に一致していることを強調します。
HJM フレームワーク内でのモデルのキャリブレーションについても取り上げており、歩留まり曲線に対する個別のキャリブレーションを必要とせずに、関連製品に合わせてキャリブレーションできる利点に焦点を当てています。イールドカーブの調整でよく遭遇する困難について説明し、この点における HJM フレームワークの利点を強調します。 HJM 仮定を使用したショート レート モデルのコンスタント ボラティリティ モデルの導出について説明し、モデルの評価を容易にするショート レート ダイナミクスの簡略化された形式を示します。
講義は、ここで取り上げた主要なポイントを要約し、学生が学んだ概念と計算を応用するための 3 つの演習を提供して終了します。演習には伊藤の力学計算が含まれます。
金融工学コース: 講義 4/14、パート 1/2、(短期金利下のイールドカーブ ダイナミクス)
金融工学コース: 講義 4/14、パート 1/2、(短期金利下のイールドカーブ ダイナミクス)
講演者は、短期金利モデルとそのイールドカーブダイナミクスとの関係について有益な講義を行います。彼らはまず、短期金利モデルの概念を紹介し、その関連性について議論します。理解を深めるために、彼らは議論を単一要素のクールホワイトモデルからより包括的な多要素モデルに拡張し、途中でいくつかのシミュレーションを実行しました。
イールドカーブの包括的な紹介では、さまざまなイールドカーブの形状と短期金利のダイナミクスとの関係について説明します。発表者はこれらの概念と実際の市場実験との関係を確立し、その実際の応用例に光を当てます。発表者は、単一要素モデルの限界を探る一方で、2 要素モデルの構築とシミュレーションを含む潜在的な解決策も提示します。
後続のセグメントでは、インストラクターは平均値回帰プロセスに焦点を当て、これらのプロセスのパスを生成する方法をデモンストレーションします。時間の経過に伴う金利の分布を示す 3D プロットが表示されます。 「yt」と呼ばれる変換を紹介し、このプロセスが白モデル全体から平均値回帰部分をどのように抽出するかを講師が説明します。伊藤補題を yt に適用し、白モデル全体のダイナミクスを代入することによって、彼らは白モデルの分布の解を導き出します。
講師が yt の確率成分の独立性を強調し、rt と yt への依存を効果的に取り除くため、yt のダイナミクスが中心的な役割を果たします。彼らは統合を通じてプロセス rt の解決策を見つけ始めます。レート モデル全体のソリューションには、スケーリング定数、時間依存のドリフト関数、指数を伴うボラティリティ コンポーネント、および減衰係数が含まれます。式の決定論的な性質により、時間依存関数の積分が容易になり、結果として得られる積分は正規分布になります。その結果、rt は期待値と分散を伴う正規分布に従い、長期的な期待値はシータ t 関数に収束します。アフィン拡散プロセスのクラスについても簡単に説明します。
ジャンプ普及プロセスに移り、講師はハル・ホワイト モデルと金利モデルに特有の特徴を詳しく掘り下げます。彼らは、ハル・ホワイト モデルがアフィン ジャンプ拡散プロセスのクラスに属し、このプロセスの特性関数とゼロ クーポン結合の解析式の導出を可能にすることを強調しています。特性関数の導出とハル・ホワイト モデルの分解の適用について詳しく説明します。時間依存パラメーターは、モデルの機能に影響を与える重要な要因として特定されますが、予想外になる可能性があります。
教授はモデルの解決策について議論を進め、デュピー・ダフィー・シングルトン定理の重要性を強調します。彼らは、解がリカッチ型の方程式の形式をとり、この定理が関数 A と B の導出を容易にすることを説明しています。この定理の重要性は、Rt パスの特定の点での依存性の観点からのみ条件付き期待値を表現することにあります。シミュレーションを改善します。この機能は、複数のネストされたモンテカルロ シミュレーションを必要とするポートフォリオ評価に特に有用であることがわかります。さらに、機能 A と B は閉じた形式の性質と実装の容易さにより、業界でよく採用されているモデルとなっており、コストのかかる再調整の必要性を回避しながら、イールドカーブのダイナミクスに合わせて効果的に調整できます。
講師は、ネストされたモンテカルロ シミュレーションに頼ることなく、ゼロ クーポン債券の評価を可能にする強力な表現を強調します。この式により追加のシミュレーションが不要になり、長期満期のスワップの価格設定の効率が大幅に向上します。成熟度に依存する機能 A と B は、このプロセスにおいて極めて重要な役割を果たし、直接評価できます。講師は、シータ関数、ボラティリティ、および速度計の最小バージョンを含む、ゼロクーポン債券と関数 A および B の間の閉形式の関係を説明します。さらに、モデルからゼロクーポン債券を評価するための 2 つのアプローチ、つまり、分析式を使用するか、統合を回避するかを示しています。
講義を続けて、インストラクターは、ネストされたモンテカルロ シミュレーションよりも高速かつ効率的な方法を使用して、完全な白いモデル内でゼロ クーポン債券を計算する方法を説明します。これらは、ゼロ クーポン債券の式を変数 a および b、および最短瞬間先物金利 r0 の関数として表します。この方法は、以前のネストされたモンテカルロ シミュレーション アプローチと比較して、速度と効率の点で有利であることが証明されています。将来のキャッシュフローの現在価値を決定する際のイールドカーブの重要性も強調されています。イールドカーブは、流動性商品の相場を統一曲線にマッピングするための重要なツールとして機能し、さまざまな満期のゼロクーポン債を利用してフォワードレートを構築します。イールドカーブの主な目的は、さまざまなシナリオの下での将来の金利の予想を提供することです。
この講義では、イールドカーブを構築する際に最も流動性の高い商品を選択することの重要性についてさらに探求します。これらの商品は、エキゾチックなデリバティブのヘッジや価格設定に頻繁に使用されるため選択されます。計算に使用される割引曲線全体に大きな影響を与える可能性があるため、利回り曲線上の点の補間について説明します。さらに、イールドカーブは国の経済の方向性を示す先行指標とみなされ、中央銀行の金融政策の影響を受ける可能性があります。ゼロクーポン債と利回りのマッピングについて説明します。利回りは通常、年単位の実効金利として表されます。イールドカーブは金利予想だけでなく、投資家のリスク態度や、満期の異なる債券に対する投資家の選好も反映していることに注意してください。
講義を続けて、講師はイールドカーブの仕組みと短期債券の需要への依存性について説明します。利回り曲線はノードのセットによって表され、それぞれが対応するペアに関連付けられます。これらのペアは、曲線上のスパイン ポイントを定義するために使用され、曲線自体はゼロ レートのセットを実数にマッピングする関数です。スパイン ポイントの決定にはキャリブレーション手段が必要であり、これらのポイント間の補間方法は市場慣例や個々のトレーダーの好みに基づいて変化する可能性があります。この補間は、スパイン ポイント間の結合値を取得するために必要です。ゼロクーポン債のイールドカーブへのマッピングとイールドカーブの構築についても詳しく説明します。
講演者は、債券価値の計算における補間の重要な役割を強調し、それがヘッジパフォーマンスに及ぼす影響を強調しました。内挿法の選択は、利回り曲線に関連する感度とリスクに大きな影響を与えます。さらに、イールドカーブの構築はヘッジ戦略に大きな影響を与えます。この講義では、5 年間で 5% の利回りがゼロクーポン債や利回り曲線上のスパイン ポイントに関連するなど、具体的な例を挙げて、利回り曲線と利回りの命名に関する慣習を詳しく掘り下げます。セッションは、次のセグメントの前兆として終了します。このセグメントでは、イールドカーブの構築をより深く調査し、金融商品の感度、さまざまな補間手法の影響、ヘッジパフォーマンスに対する補間の影響について取り上げます。
講演の後半では、講演者は収量を正確に計算することの重要性を強調し、単一項の期待値だけに依存するのではなく完全な式を使用する必要性を強調しました。これは、整数関数と指数関数が同等の期待を持たないという事実によるものです。イールドカーブのダイナミクスが紹介され、健全な経済を示す通常のイールドカーブを含む、さまざまな形状のイールドカーブが調査されます。講演者はさらに、中央銀行がどのように量的緩和を利用して短期金利を引き下げ、その結果イールドカーブの形状に影響を与えているかについて説明します。
インストラクターは、フラット カーブや逆イールド カーブなど、さまざまな形状のイールド カーブについて説明します。後者は通常、市場危機または差し迫った危機に関連しています。これは正常曲線から逆曲線への移行を表しており、銀行がさらなる融資発行を躊躇し、経済全体の刺激が限定的になる可能性がある。この講義では、長期にわたるイールドカーブのダイナミクスを示す米国財務省のグラフを紹介し、将来の経済動向についての洞察を提供します。イールドカーブの平行移動とそれが金利領域のポジションに与える影響についても取り上げます。
焦点を短期金利下のイールドカーブのダイナミクスに移し、講師はイールドカーブのダイナミクスを紹介するビデオデモンストレーションを提示します。ビデオでは、青い線は実効フェデラル ファンド金利を表しています。これは翌日物金利を反映しているため、短期金利と考えることができます。緑色の線は市場が示唆する利回りに対応しており、市場の期待を表しています。このビデオでは、イールドカーブがフラット化して逆イールドとなり、投資家が株式市場から米国債に移った2008年の金融危機など、さまざまな危機を説明している。
講師はビデオへのリンクを提供し、視聴者がイールドカーブのダイナミクスを自分で調べることを奨励します。効果的なリスク管理には、短期金利とイールドカーブの動きの関係を理解することが不可欠です。短期金利をシミュレートし、ゼロクーポン債を組み込んだ公式を使用して各パスのイールドカーブを構築することで、イールドカーブのダイナミクスと挙動についての洞察を得ることができます。
この理解を踏まえて、講義の後半では、短期金利から導き出されるより現実的なイールドカーブのダイナミクスを掘り下げていきます。この調査の目的は、短期金利とイールドカーブの間の相互作用を包括的に理解し、金融市場におけるより良いリスク評価と管理を可能にすることです。
金融工学コース: 講義 4/14、パート 2/2、(短期金利下のイールドカーブ ダイナミクス)
金融工学コース: 講義 4/14、パート 2/2、(短期金利下のイールドカーブ ダイナミクス)
インストラクターは、短期金利モデルのシミュレーションと、イールドカーブのダイナミクスの測定におけるその応用について深く掘り下げます。イールドカーブは将来の利回りに対する市場の期待を表しており、市場の認識や期待の影響を受けます。これらのダイナミクスを分析するために、インストラクターは、短期金利の実現ごとに連続複利を観察し、各シナリオの利回り曲線を生成することを含む実験を提示します。このシミュレーションは、短期レート モデルと駆動関数シータ t の現実性を評価するのに役立ちます。この実験では精度を高めるために実際の市場データが利用されています。
講師は、リスク分析における短期金利シミュレーションの有用性を強調します。さまざまなシナリオのイールドカーブを生成することで、金利商品で構成されるポートフォリオの現在価値を評価することが可能になります。これを実証するために、講師は短期金利の複数のパスをシミュレートし、各パスのゼロクーポン債を計算します。興味深いことに、講義では、フルホワイト モデルを使用して生成されたイールド カーブが平行移動を示しているが、これは実際には非現実的であると指摘しています。講義は、利回り曲線の生成に使用される Python コードを紹介して終了します。
議論を続けると、関数シータを計算するためにゼロクーポン債券に連続体を持たせることの重要性が強調されます。この講義では、数値の安定性を確保するために、補間の重要性、特に指数ではなくレート自体を補間することの重要性を強調します。補間のさまざまな選択肢と結合計算のポイント数が検討されます。さらに、この講義では、ゼロクーポン債券と利回りのシミュレーションと生成について詳しく説明し、これらのプロセスを一貫して堅牢に実装することの重要性を強調します。最後に、市場データから生成された利回り曲線とワールドワイド モデルのシミュレートされたモンテカルロ パスを紹介し、健全でありながら著しく低い金利を明らかにします。
講義は、フルホワイトモデルの限界について説明します。このモデルではイールド カーブ全体の調整が可能ですが、フォワード カーブ全体の調整には不十分であり、これはほとんどの短期金利モデルに共通する制限です。この制限を克服するために、講師は、フォワードカーブとイールドカーブの調整に対処するのに適した労働市場モデルを紹介します。さらに、完全な白のモデルでは、完全に相関するゼロ成分に関する問題が発生し、その有効性がさらに低下します。
次に、単一因子ハルホワイト モデルの制限について説明します。これらの制限には、満期が近い債券間の相関は高いが、満期が遠い債券の相関は低いことが含まれており、異なる金利の期間構造全体に合わせてモデルを調整することが不可能になります。このモデルは、ゼロクーポン債券と短期金利の動向との間に相関関係が 1 であると仮定しているため、リスク管理の目的にも適していないと考えられています。これらの問題に対処するために、2 要素ハルホワイト モデルの拡張機能が導入されています。ただし、この拡張機能は主に、価格設定ではなく、リスク管理とシナリオ分析に使用されます。 2 要素モデルのダイナミクスについて説明します。最初の要素は利回り曲線のレベルを表し、2 番目の要素は利回り曲線の歪みを表します。
講師は、単要素モデルのバリエーションであるガウス 2 要素ハル ホワイト モデルについて説明します。 2 つのモデル間の比較が示されており、モデル間で切り替えるとパラメーターの意味が異なる可能性があることが強調されています。この講義では、プロセスのシミュレーションとモンテカルロ シミュレーションでのその効率的な実装の観点から、ガウス 2 要素ハル ホワイト モデルの利点を強調します。この講義では、モデルの不可欠な機能とゼロクーポン債券の価格設定におけるその応用について探ります。
次に、フルホワイト 2 要素モデルを使用した、特定の実現に対する利回り曲線のシミュレーションについて説明します。このモデルのゼロ クーポン ボンドは閉じた分析形式を持ち、ガウス プロセス システムが含まれます。ガウス 2 因子モデルをシミュレートするには、ボラティリティと相関係数の式を使用して、項構造に対応する 2 つの平均復帰プロセスをシミュレートする必要があります。この講義では、プロセス X と Y を区別します。X は利回り曲線のレベルを表し、Y は曲線の急峻さまたは歪みを表します。これらのプロセスに関連する 2 つのブラウン運動間の相関は負であり、曲線に対する硬化効果を示しています。
この講義では、同じ手法を 2 要素モデルに適用した場合の結合間の相関関係についても詳しく説明します。単一要素モデルとは異なり、二要素モデルでは、対応する収益間の相関関係は 1 と等しくありません。この発見は、モデルに追加の要素を追加すると、特に価格上限を設定する場合に、より現実的なインプライド ボラティリティの形状につながることが確認されています。ただし、モデル内の因子の数が増えると、複雑さが増し、キャリブレーションが困難になることに注意することが重要です。それにもかかわらず、2 ファクター モデルは一貫して同じイールド カーブを生成するため、AJM (アービトラージ フリー ジョイント モデル) フレームワークとなります。
この講義では、ガウス モデルにさらに多くの要素を組み込むことの限界についてさらに説明します。パラメータが多数ある場合でも、確率的ボラティリティが存在しないため、インプライド ボラティリティに関する柔軟性は限られたままであると説明されています。次に、講義は 2 要素モデルのパスのシミュレーションに進み、追加の相関係数を使用して白の 2 要素モデル全体によって暗示される利回り曲線の利回りを調べます。結果として生じる収量は、平行移動を示すだけでなく、相関関係やダイナミクスの影響も反映しています。この機能は、リスク管理の目的に役立つことがわかります。講師は、シミュレーションに使用した Python コードを共有してこのセクションを締めくくります。
講師は、利回り曲線をモデル化する際に適切な補間手法を選択することの重要性を強調し、補間手法の選択が結果に大きな影響を与える可能性があることを強調しました。次回の講義では、歩留まりの再構築、さまざまな内挿の影響、避けるべき一般的な落とし穴、現実的な内挿を保証する方法などのトピックを取り上げます。さらに、講義ではゼロクーポン債のグリッドの概念も紹介します。市場から生成されたゼロクーポン債と、ハル・ホワイト モデルを使用して計算された債券との間で比較が行われます。モンテカルロ シミュレーションが実行され、10 年間にわたる単一要素モデルと 2 要素モデルの両方の利回り曲線が生成されます。講義は、これら 2 つのモデルから得られた収量計算の比較で終わります。
次に、講義では、イールドカーブダイナミクスの 2 要素モデルのシミュレーション結果の提示に焦点を当てます。これらの結果は、1 要素モデルの結果および市場から得られた分析結果と比較されます。 2 要素モデルは、イールドカーブのダイナミクスをより現実的かつ包括的に表現できることが明らかです。 2 要素モデルの全体的なボラティリティは追加のボラティリティ要素により高くなりますが、全体像が大きく変わるわけではありません。重要な点は、ガウス 2 要素モデルに追加の要素を組み込むと、モンテカルロ シミュレーションでの収量ダイナミクスがより現実的に表現できるようになるということです。最後に、講師は、ハル・ホワイト モデルの解決やゼロ クーポン債の特性関数への関連付けなど、講義で得た主な学習を要約し、イールド カーブの構築とその限界について簡単に紹介します。
講義の最後に、クール ホワイト モデルの限界について説明します。これらの制限は主に、異なる満期を持つ債券間の相関関係と、パラメータセットが限られているためにモデルが市場の幅広い金融商品に合わせて調整できないことに関係しています。これらの問題に対処するために、講義ではモデルを 2 要素フレームワークに拡張し、ゼロクーポン債間の完全な相関仮定の緩和を可能にすることを提案しています。講義は、宿題として 2 つの演習を割り当てて終了します。1 つは t フォワード測定に基づく期待に関するもので、もう 1 つはラプラス変換を使用して特定の期待を示すものです。
講義全体を通じて、リスク分析とイールドカーブダイナミクスに適切なモデルを理解して選択することの重要性が明らかになります。ハル-ホワイト モデルとそのバリエーションは貴重な洞察とツールを提供しますが、その限界を認識し、特定の課題に対処するための代替モデルを検討することが不可欠です。
講義で紹介される代替モデルの 1 つは、労働市場モデルです。これは、順方向曲線全体を調整する際のハル・ホワイト モデルの制限に対する解決策を提供します。労働市場モデルでは、フォワード カーブとイールド カーブの両方をより包括的に調整できるため、特定のリスク管理アプリケーションに適した選択肢となります。
さらに、この講義では、イールドカーブモデリングにおける補間技術の重要性についても強調します。利回り曲線の動作と形状を正確に把握するには、適切な内挿方法を選択することが重要です。講師は、補間は単なる技術的な詳細ではなく、根底にあるダイナミクスについての慎重な検討と理解を必要とする技術であることを強調します。補間の影響を説明するために、講義では市場データから生成されたイールドカーブとハル・ホワイト モデルを使用して計算されたイールド カーブの比較を示します。講師は、補間の選択が異なると、どのように利回り曲線の形状や値が変化するかを実演します。この分析は、望ましい特性と利回り曲線の現実性に合わせた補間方法を選択することの重要性を強調しています。
講義が進むにつれて、さまざまなシナリオのイールドカーブをシミュレーションするというトピックが登場します。モンテカルロ シミュレーションは、利回り曲線を生成し、金利商品に関連する潜在的なリスクを評価するための貴重なツールであることが証明されています。短期金利の複数のパスをシミュレートし、各パスのゼロクーポン債を計算することで、アナリストはさまざまな市場シナリオの下で金利商品のポートフォリオの現在価値を評価できます。
講義は、イールドカーブの生成に使用される Python コードのデモンストレーションで終わります。このコードは、講義全体で説明した概念の実際的な実装を示し、学習者に実践的な経験を提供し、主題の理解を強化します。
要約すると、この講義では、短期金利モデル、イールドカーブのダイナミクス、およびリスク分析に対するそれらの影響について詳しく説明します。ハル ホワイト モデルの限界について説明し、労働市場モデルやガウス 2 要素ハル ホワイト モデルなどの代替モデルを紹介します。適切な内挿手法を選択し、モンテカルロ シミュレーションを実行することの重要性が強調されます。この講義では、例と実践的なデモンストレーションを通じて、さまざまな金融状況においてイールドカーブを効果的にモデル化および分析するために必要な知識とツールを学習者に提供します。
金融工学コース: 講義 5/14、パート 1/2、(金利商品)
金融工学コース: 講義 5/14、パート 1/2、(金利商品)
講義は、金利スワップ、先物金利契約、変動利付債などのさまざまな金利商品の紹介から始まります。これらの製品は、フロアレットやカプレットなどの価格変動に依存しています。講師は、LIBOR 先物金利がすべての金利契約の基本的な要素として機能することを強調します。
線形商品と非線形商品について説明し、講義では、スワップやデリバティブを含むさまざまな金利商品で広く使用されている単純複利フォワード LIBOR 金利の概念を詳しく掘り下げます。この先物金利は、金利期間に関する予想を立てるのに役立ちます。リセット日までは金利は確率的確率変数のままですが、リセット日後は不確実性なく固定されることに注意することが重要です。
講師は、先渡レート契約につながる 2 つの取引相手間の先渡レートの交換について説明します。これらの契約におけるキャッシュ フローは、割引目的で LIBOR レートに 1 を加えたタウ倍で除算されます。先物 LIBOR 金利は特定の期間にわたって定義され、その定義はゼロクーポン債券に関連付けることができます。契約の価格設定には、リスク中立の措置と割引の使用が含まれ、固定金利と発生期間が重要な役割を果たします。
リスク中立措置の下での取引可能な資産（普通預金口座を含む）の概念がマーチンゲールであることについて説明されています。講師は、先物価値が 2 つの債券の差額として表現できることを実証し、先物はゼロ価値で取引されることを強調し、固定金利がその金額に等しいはずであることを示唆しています。この講義では、頻繁に取引される金利商品である変動金利債についても取り上げます。当初、そのような契約の支払いはゼロに設定され、その後、契約の開始時に何も支払う必要がないという利便性を考慮して調整されます。
この講義では、LIBOR レートに基づいて定義され、想定元本に発生期間を乗じた端数としてクーポンが含まれる変動金利債 (FRN) に焦点を当てます。 LIBOR レートは確率的であるため、FRN は変動レートを受け取ります。契約の価値は、すべての支払いを合計することによって決定され、リスク中立尺度での期待を使用して個別に現在価値に割り引かれます。 FRN の尺度は TK フォワード尺度に変更され、期待値を決定するには、エンプティ レートと LIBOR レートの間の結合分布を見つける必要があり、これは支払い計算に重要です。
講義は、金利スワップ、先物金利契約、変動利付債などのさまざまな金利商品の紹介から始まります。これらの製品は、フロアレットやカプレットなどの価格変動に依存しています。講師は、LIBOR 先物金利がすべての金利契約の基本的な要素として機能することを強調します。
線形商品と非線形商品について説明し、講義では、スワップやデリバティブを含むさまざまな金利商品で広く使用されている単純複利フォワード LIBOR 金利の概念を詳しく掘り下げます。この先物金利は、金利期間に関する予想を立てるのに役立ちます。リセット日までは金利は確率的確率変数のままですが、リセット日後は不確実性なく固定されることに注意することが重要です。
講師は、先渡レート契約につながる 2 つの取引相手間の先渡レートの交換について説明します。これらの契約におけるキャッシュ フローは、割引目的で LIBOR レートに 1 を加えたタウ倍で除算されます。先物 LIBOR 金利は特定の期間にわたって定義され、その定義はゼロクーポン債券に関連付けることができます。契約の価格設定には、リスク中立の措置と割引の使用が含まれ、固定金利と発生期間が重要な役割を果たします。
リスク中立措置の下での取引可能な資産（普通預金口座を含む）の概念がマーチンゲールであることについて説明されています。講師は、先物価値が 2 つの債券の差額として表現できることを実証し、先物はゼロ価値で取引されることを強調し、固定金利がその金額に等しいはずであることを示唆しています。この講義では、頻繁に取引される金利商品である変動金利債についても取り上げます。当初、そのような契約の支払いはゼロに設定され、その後、契約の開始時に何も支払う必要がないという利便性を考慮して調整されます。
この講義では、LIBOR レートに基づいて定義され、想定元本に発生期間を乗じた端数としてクーポンが含まれる変動金利債 (FRN) に焦点を当てます。 LIBOR レートは確率的であるため、FRN は変動レートを受け取ります。契約の価値は、すべての支払いを合計することによって決定され、リスク中立尺度での期待を使用して個別に現在価値に割り引かれます。 FRN の尺度は TK フォワード尺度に変更され、期待値を決定するには、エンプティ レートと LIBOR レートの間の結合分布を見つける必要があり、これは支払い計算に重要です。
この講義では、支払日と測定日のズレについて取り上げ、正しい評価の必要性を強調しています。このメジャーは支払いスケジュールの分子に対応しており、正しく一致していない場合は修正や調整が必要です。 tk フォワード手法に基づいて tk 時点で支払いが行われる LIBOR はマーチンゲールであり、変動金利債の価格設定を可能にします。価格設定方程式には、一定期間の LIBOR レートの予想が含まれており、契約はスワップと呼ばれ、一方の当事者が支払いを受け取り、他方の当事者が固定金利に基づいて支払いを行います。
指定された期間にわたるキャッシュ フローの交換を含むスワップ契約について詳しく説明します。スワップは住宅ローン市場のリスクをヘッジするために一般的に使用されます。オプションは 2 つあります。個人が固定金利を支払い、変動金利を受け取るスワップ ペイヤーと、個人が固定金利を受け取り、変動金利を支払うスワップ レシーバーです。想定元本は確定的、確率的、または時間減衰することがあり、支払い頻度は変動する可能性があります。固定部分は一定のままですが、変動部分にはLIBORレートの動向に関連する不確実性が伴います。
この講義では、金融工学、特に確率的支払いを伴う契約におけるヘッジの重要性を強調します。金融機関が固定金利または変動金利の支払いを受け取る義務がある場合、ヘッジは原資産の変動による潜在的な損失を相殺するために重要です。
講師は続けて、ゼロクーポン債の未払い期間の合計を利用し、LIBOR 金利と行使価格の間に線形関係を確立することにより、スワップ契約の価値を計算する方法を説明します。この計算により、スワップの価値についての洞察が得られ、ヘッジにおけるゼロクーポン債の役割が強調されます。
講義ではさらに、スワップの価値は債券の最初と最後の支払いに依存し、最初と最後のゼロクーポン債で効果的にヘッジできることを強調しました。年金要素は取引可能な資産として機能するため、スワップを扱う際に重要な要素となります。金利スワップは、双方がそれぞれの特定のエクスポージャーをヘッジできる完璧な手段と考えられており、銀行はこれを個人からのローンのヘッジに利用することができ、その結果、非常に大きな価値が得られます。
講義では特に金利スワップに焦点を移し、金利スワップは多くの場合ポートフォリオレベルで検討され、開始時の価値は通常ゼロに設定され、自由取引が可能になることに留意します。スワップレートは、スワップ価値をゼロにする権利行使であり、LIBOR レートの加重和として表すことができます。基本的な金利スワップは、市場で入手可能な金利商品を利用し、それをイールドカーブにマッピングすることで、基礎となるモデルの仮定を立てることなく価格を設定できます。市場商品に基づいたイールドカーブの構築については、次回の講義でさらに詳しく説明します。
講師は、時間に依存するもの、市場商品によって決定されるもの、またはランダムなものなど、スワップのさまざまなタイプの想定元本を詳しく説明します。さらに、取引される資産またはそれらの線形結合の使用を含む、マーチンゲールに必要な条件についても説明します。資産の二乗などの非線形公式が使用される場合、メジャーと資産の間の関係はマーチンゲールとみなされないことが強調されます。 LIBOR の二乗に対する伊藤の補題の適用は、ドリフト効果の存在により、D フォワード測定の下では L 二乗がマーチンゲールではないことを示しています。
イールドカーブとHulumentモデルを用いたスワップの評価方法について講義が進みます。イールドカーブの仕様が提供され、このモデルを使用してさまざまなストライキのスワップが生成されます。スワップの価値はストライクに応じて直線的に変化し、スワップ レートはニュートン・ラフソン アルゴリズムを使用して決定されます。レクチャーは、パー スワップが 0.03808 に等しい場合、スワップの値はゼロに近く、スワップの値がゼロになるストライクが見つかったことを示すことに注目して終了します。
講義のこのセクションでは、金利スワップに焦点を当てた金利商品の包括的な概要を説明します。スワップの価格設定、ヘッジ戦略、ゼロクーポン債の役割、イールドカーブを使用したスワップの評価など、さまざまなトピックを取り上げています。これらの概念を理解することで、学生は金融工学とスワップ契約価値の計算について貴重な洞察を得ることができます。
金融工学コース: 講義 5/14、パート 2/2、(金利商品)
金融工学コース: 講義 5/14、パート 2/2、(金利商品)
この講義では、ボラティリティを伴うデリバティブの価格設定に焦点を当てます。講演者は、特にハル・ホワイト モデルの文脈で、金利の測定変更の概念を説明することから始めます。彼らは、ロドム/ニコデモスの導関数を導き出し、ギルサノフの定理を適用して測定値の変化を計算します。指標の変更をこのように理解することは、金利商品のオプションの価格設定を行う上で非常に重要です。
次に、講義では、AJM フレームワークを使用して、さまざまな措置の下でのゼロクーポン債のダイナミクスを探ります。講演者は、これらのダイナミクスがこれらの債券のオプションの価格設定にどのように関係しているかについて説明します。これらは、ゼロ クーポン債券のダイナミクスの式における積分と dz の瞬間フォワード レートの置き換えを強調し、導出された最終的な式を提供します。この講義では、ハル・ホワイト モデルと T フォワード手法に基づくゼロクーポン債のダイナミクスについても詳しく説明します。特に確率的割引においては、複雑な計算を避けるために、尺度を変更することの重要性が強調されます。
講演者は、さまざまな尺度を切り替えるツールとしてキリザノフ、ロフラー、およびラドンニコジム導関数を紹介します。彼らは、伊藤の補題をラドン・ニコジム導関数に適用することによって、債券と普通預金口座のダイナミクスを見つける方法を説明しています。これはギルサノフ定理につながります。これは、T フォワード測定とリスク中立測定の間の関係を確立し、測定を切り替える際の追加のドリフトを強調します。リスク中立尺度の下でのブラウン運動を T フォワード尺度で置き換えることにより、ハル ホワイト モデルのダイナミクスが導出されます。
次に、ラムダと成熟度に依存するシータ関数で表されるメジャーショートレートモデルを紹介します。彼らは、小さい t と大文字の mt という 2 つの引数で mu シータを定義し、ギルサノフの定理を適用して、尺度をリスク中立尺度から T フォワード尺度に変更します。焦点はゼロクーポン債の価格設定オプションに移り、リスク中立の尺度からゼロフォワード尺度への尺度の変更が必要になります。講演者は、ゼロクーポン債券のダイナミクスと T フォワード手法に基づいたその分布について議論し、債券の表現を提供し、一定の時間依存関数に権利行使価格を調整します。彼らはまた、この措置の下でのプロセス r の分布についても議論しています。
次に、パラメータを調整した Black-Scholes モデルを使用して、T フォワード測定の下での r の分布をどのように解くことができるかを説明します。メジャーを変更すると、正規累積分布関数と閉じた形式の解を使用して、ゼロクーポン債券の分析価格設定が可能になります。講演者は、ゼロクーポン債券の価格を決定する実験を実施し、その分析式を標準のオイラー離散化を使用したモンテカルロ シミュレーションと比較します。シミュレーション用のコードが提供され、さまざまな権利行使に対するオプション価格の計算について説明します。
講演では、ゼロクーポン債券の欧州型オプションの価格設定を強調し、先物LIBOR金利のオプション価格設定と密接に関連しているその重要性を強調した。これらのオプションの価格設定のための 2 つのアプローチについて説明します。1 つは完全なライト モデルに基づくもの、もう 1 つは LIBOR レートに分配または確率的プロセスを直接課すことによるものです。ヨーロッパのコール オプションまたはカプレットの価格設定の計算式が提供され、リスク中立尺度から T フォワード尺度に尺度を変更する方法が説明されます。引き続きコールオプションに焦点が当てられており、プットオプションまたはフロアが宿題として与えられるとの言及もある。
さらに、LIBOR 金利のダイナミクスと価格設定についても説明します。この講義では、LIBOR レートが特定の尺度の下でマーチンゲールであることを認識し、ドリフトのないダイナミクスの仮定を考慮しています。ただし、LIBOR レートを表すために対数正規分布を使用すると、特にエキゾチックなデリバティブの価格設定において、マイナス金利の可能性などの課題が生じます。特に上限金利と下限金利を使用した市場データへの調整が必要であると考えられており、金利上限は変動金利でローンを組む保有者に保険を提供する手段であると説明されています。
講義は、カプレットの価格設定について議論することから進みます。カプレットは、カプレットとして知られる基本契約に分解できます。講演者は、対数正規分布を使用してカプレットの価格設定を行うと、マイナス金利の可能性があるため問題が生じると指摘しています。これに対処するために、分布に適用するシフト パラメーターが導入されます。次に、基礎となるモデルを使用したカプレットの価格設定について説明します。これは、ゼロクーポン債券のオプションの価格設定と密接に関連しています。 LIBOR レートの定義をゼロ構成要素に置き換えることにより、価格設定方程式が簡素化され、その結果、わずかに異なる行使価格でゼロ クーポン債券のコール オプションの価格設定が行われます。講義は、簡略化された利回り曲線を含む価格設定コードの簡単なプレゼンテーションで終わります。
さらに講演者は、「カプレット」としても知られるゼロクーポン債のプットオプションの価格設定について詳しく掘り下げ、価格設定の際に行使価格だけでなく想定元本も調整することの重要性を強調した。彼らは、モンテカルロシミュレーションと、ゼロクーポン債およびイールドカーブのオプションの理論的価格設定がほぼ一致していることを認めています。ただし、インプライド ボラティリティ曲面を形成する際の平均回帰やボラティリティなどの市場モデル パラメーターの重要性を強調しています。彼らは、これらのパラメータがハル・ホワイト・モデルに与える影響は限定的かもしれないが、暗黙のボラティリティ・スマイルを生成することはできず、スキューのみを生成することに注目しています。最後に、講演者は講義で取り上げた 2 つの主要なブロックを要約します。これには、単純な金利商品と、ハル-ホワイト モデルのコンテキストにおける単純なオプションの価格設定が含まれます。
講義の終わりに向かって、講師は学生に、このコースではヨーロッパ型のペイオフのみに焦点を当て、その後のコースではよりエキゾチックなデリバティブについても取り上げることを伝えます。下限オプションの価格設定や、シフトされた対数正規分布の新しいバリアントに対するブラックの公式の導出など、宿題が割り当てられます。学生は、ブラックの公式から得られた結果を数値結果と比較し、必要な調整を反映するために対数正規確率微分方程式へのシフトを導入するように指示されます。
この講義では、特にゼロクーポン債券のダイナミクスと価格設定、これらの債券のオプション、LIBOR 金利に焦点を当て、ボラティリティを伴うデリバティブの価格設定について詳しく説明します。これらの価格計算を容易にするために、測定変更の概念、ラドン・ニコジム導関数の使用、およびギルサノフ定理の適用について説明します。この講義では、市場モデルのパラメーターが暗黙のボラティリティ曲面に及ぼす影響を強調しながら、指標、権利行使価格、想定元本を調整することの重要性を強調します。
金融工学コース：講義6/14 パート1/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
金融工学コース：講義6/14 パート1/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
引き続きイールドカーブの話題を取り上げ、金利デリバティブの評価や財務分析において重要な要素となる正確なイールドカーブを構築することの重要性を強調します。講師は、イールドカーブは将来のキャッシュフローの割引、支払いの現在価値の決定、企業の評価などの用途に不可欠であると説明します。イールドカーブの構築は通常、流動性のある金融商品に依存しており、評価プロセスに不確実性がほとんど導入されません。数学的な観点から見ると、イールドカーブはこれらの流動性のある商品の市場相場をマッピングします。
次に、インストラクターはイールドカーブの性質についてさらに詳しく説明します。彼らは、イールドカーブは金利の世界におけるさまざまな市場手段を結び付け、将来の金利の期待を表すと説明しています。イールドカーブは日々観察すると確率論的に見えるかもしれませんが、今日の観点から見るとその価格は期待に基づいて決定的です。利回り曲線の構築には、流動性のある商品の個別のセットの選択と、スパイン ポイントを接続するための補間が含まれます。講師は、同じような品質の楽器を選ぶことの重要性を強調し、時間の経過とともに楽器の数は変わる可能性があると指摘しました。彼らは、イールドカーブが数学的なツールとして機能するだけでなく、現在の市場状況のバロメーターとして機能する貴重な経済的洞察も提供することを強調しています。
この講義では、イールドカーブの構築と解釈についてさらに深く掘り下げます。インストラクターは、イールドカーブが市場における資金の配分をどのように反映しているか、資金が株式に投資されるか債券に投資されるか、債券が優先されるかどうか、長期か短期かについて説明します。イールドカーブは、将来の金利に関する投資家の期待とリスクに対する投資家の態度についての洞察を提供します。しかし、講師は、中央銀行の介入や外部投資などの要因により、イールドカーブが将来を正確に予測するには限界があると警告する。したがって、イールドカーブを注意深く構築し、長年にわたる変化を考慮することが、その精度を確保するために重要です。
金利の用語構造についても、イールドカーブとの関連で説明します。講師は、利回り曲線はさまざまな満期の利回り間の時間関係を表しており、地域経済に依存していることを強調します。彼らは、米国が最大の経済大国の一つとしての地位と基軸通貨としてのドルの使用により、米国国債の曲線が世界経済指標として非常に重要であると述べています。米国国債などの国債は通常、現地通貨で発行された場合はデフォルトしないとみなされますが、外貨で発行された債券にはデフォルトのリスクが高くなります。リスクプレミアムの概念も、利回りや金利に影響を与える要因として議論されます。
この講義では、さまざまな形状のイールドカーブとそれが経済に与える影響について探ります。標準的な正規形状は、長期利回りが短期利回りよりも大幅に高いことを示し、通常の経済状況を反映しています。対照的に、短期利回りが安定している一方で長期利回りが低下する逆イールドは、銀行や年金に課題をもたらす可能性のある不健全なシナリオを意味する可能性があります。インストラクターは、さまざまなイールドカーブの形状の例を示し、それらが市場にどのような影響を与えるかを説明します。
インフレが利回りに及ぼす影響について議論され、投資家は投資に対するマイナスの実質収益に対する補償を必要とするため、インフレ期待の上昇が利回りの上昇につながることを強調しています。この講義では、経済の変化によるイールドカーブのスティープ化とフラット化の概念についても説明します。 10 年固定満期スワップと 2 年スワップのスプレッドは急勾配曲線の方向を示す可能性があり、逆イールド曲線は平坦化曲線を示します。これらのさまざまなカーブとスプレッドが過去に経済にどのような影響を与えたかを示すために、グラフの例が使用されます。
講義では、イールドコントロールの概念とそれが金利に与える影響について紹介します。イールドコントロールとは、インフレと雇用に関連する目標を達成するために金利を調整することでイールドカーブに影響を与える中央銀行の能力を指します。中央銀行は債券を売買して需要に影響を与え、経済を刺激することができます。しかし、これらの行動には、特にインフレ圧力が高まった場合にはリスクと制限も伴います。講師は、イールドカーブはスプラインポイントとそれに対応する割引係数によって数学的に定義され、短期金利の期待を表すと説明します。
次に、インストラクターは金融工学におけるイールド カーブとマルチカーブの構築について詳しく説明します。彼らは、この曲線は市場から取得したスパイン ポイントと補間ルーチンを組み合わせることによって構築されると説明しています。適切に構築されたイールドカーブには、選択した商品を使用してイールドカーブの価格設定を行うこと、継続的なフォワードレートを確保すること、正確なヘッジのためのローカル補間法の採用など、いくつかの要件を満たす必要があります。曲線の構築には、最適化問題の定義と、さまざまな満期のスパイン ポイントとしてゼロ クーポン債のベクトルを決定することも含まれます。
教授は、イールドカーブとマルチカーブの作成方法を段階的に説明します。このプロセスには、曲線のすべてのスパイン ポイントに依存する契約の現在価値 (PVI) のベクトルを見つけることが含まれます。目標は、市場相場が曲線の作成に使用されるすべての商品の曲線価格と一致することを確認することです。この問題を解決するために、L ノルムを使用した最適化手法が使用されます。教授は、絶対差を最小化して最適解に到達するニュートン・ラフソン アルゴリズムを使用して、一次元の場合の問題を解決する方法を説明します。次に、講演者は、Black-Scholes モデルの最適なシグマを見つけるために使用される反復プロセスについて説明します。彼は、モデルの停止基準と収束を達成するための要件について説明します。講演者は、カーブ上のスパイン ポイントの相互依存性を強調し、暗黙のボラティリティ スマイルまたはスキューを構築するために複数のストライクを反復する必要性を強調しました。ヤコビアンの構築を含む、このプロセスに必要な補間および最適化手法の構築についても説明します。
さまざまな曲線、特にイールドカーブとインプライド・ボラティリティ・スマイルを構築する際の補間の重要性が講演者によって強調されました。彼らは、連続性と微分可能性の条件によりイールドカーブの補間は比較的簡単ですが、適切な補間方法を選択することはインプライド・ボラティリティ・スマイルにとってさらに重要であり、誤った選択は重大な価格裁定を導入する可能性があると指摘しています。講演者は、補間があらゆる場合において重要な役割を果たし、適切な補間ルーチンを選択する際には細部への細心の注意が必要であることを強調しました。
この講義では、イールドカーブの構築と解釈について包括的に説明します。金利デリバティブの評価と市場力学を理解する上での重要性を強調しています。この講義では、数学的定式化、さまざまな曲線形状が経済に及ぼす影響、および収量管理の役割についても説明します。さらに、イールドカーブとマルチカーブの構築を詳しく掘り下げ、最適化手法、補間の選択、および金融工学におけるそれらの影響について説明します。
金融工学コース：講義6/14の2/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
金融工学コース：講義6/14の2/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
講演では、講演者はイールドカーブ構築のためのアルゴリズム構築の実践的な側面を詳しく掘り下げます。彼らはカーブの調整の重要性を強調し、スワップなどの市場商品を使用してイールドカーブを構築するために使用される Python コードを分析します。さまざまな補間方法がヘッジに及ぼす影響も調査されます。講師は、ベクトルと行列を使用した代数計算を含む、利回り曲線を構築するための反復ルーチンを説明します。次の反復をゼロに設定して曲線を最適化する方法を示します。
次に、インストラクターは、マトリックスを構築するために最適な脊椎ポイントを見つけるプロセスについて説明します。このプロセスでは、収束が達成されるまでベクトル割引係数 (dfs) を繰り返し調整する必要があります。調整はヤコビアン行列に基づいており、ヤコビアンの逆行列が dfs のデルタの調整を決定します。この講義では、最適なゼロ結合を見つける前に曲線を構築するためのグリッド (ti と割引係数のペア) を指定することの重要性を強調します。 2 年金利スワップと 5 年金利スワップのイールド カーブを作成する実際の例が提供され、方程式よりも未知数が多いシステムを解くという課題が強調されています。
スパインポイントのスワップ支払いを使用してイールドカーブを構築する際の課題は、システムが不十分に決定されているために議論されています。解決策は、最後の支払いのみを背骨ポイントとみなして、その間のポイントを補間することです。混乱を避けるために、器具の数は脊椎ポイントの数と同じである必要があることが強調されます。先物金利契約とスワップを使用してイールドカーブを構築するプロセスについて、数値的な実装に重点を置いて説明します。
この講義では、イールドカーブを構築することの重要性と、通常はゼロである市場相場の影響を強調します。 LIDOR レートの定義について、LIDOR レートの観点から契約の現在価値 (PV1) を表現するとともに説明します。 PV1 は、最初の方程式セットを使用して計算できる割引係数 (df1) のみに依存します。 2 番目の方程式には、2 つの支払日によるスワップが含まれます。この講義では、スワップのみを使用する場合の曲線構築のための下三角行列の使用と効率的な逆行列について説明します。
米国財務省の市場データを使用してイールドカーブを構築するプロセスについて説明します。 LIBOR 金利とさまざまな満期のスワップの相場は、イールド カーブの構築に使用されます。この講義では、曲線の校正に使用される多次元ニュートン・ラフソン関数を紹介し、適切な補間方法を選択することの重要性を強調します。スパイン ポイントのベクトルでスワップ商品を評価する関数も導入されています。
この講義ではイールドカーブとマルチカーブの構築に焦点を当てます。このプロセスは、スワップを定義することから始まり、その後、一連の商品と満期を使用してイールド カーブの構築に進みます。建設プロセス中に収量曲線を最適化するために、多変量ニュートン法が採用されています。許容値を選択することの重要性が強調され、許容値 10 の 10 乗による最適化の課題が強調されます。講義は、この最適化手法によって達成される高速収束を強調して終わります。
スパインポイントと補間法を用いた器具の評価について説明します。利回り曲線はスパイン ポイントと補間法を使用して構築され、その後、現在のスパイン ポイントの状態に基づいてゼロ クーポン債券の関数として各スワップが評価されます。すべてのスパイン ポイントに対する各現在価値 (PV) の感度を表すヤコビアンは、個々のスパイン ポイントにショックを実行し、すべてのスワップを評価することによって数値的に計算されます。この講義では、ヤコビアンを計算するためのコンパクトで効率的な関数に焦点を当てます。
この講義では、ニュートン・ラフソン反復法、ヤコビ行列、および numpy 線形代数ツールセットを使用して利回り曲線とマルチカーブを構築するプロセスについて説明します。イールドカーブを作成した後、カーブを作成する前にスワップが評価されます。この講義では、Python コードの負荷を避けるために評価の数に制限を設定する必要性を強調し、この問題を防ぐための保護機能を組み込むことを提案しています。さらに、この講義では、初期イールド カーブとスパイン ポイントを含む反復プロセスから取得された校正イールド カーブの両方を使用してスワップの現在価値 (PV) を計算する方法を示します。
教授はさらに、金利スワップの最適化ルーチンとイールドカーブの調整について調査します。スワップを使用した利回り曲線の調整では、ゼロ未満の値が発生した場合でも、非常に正確な結果が得られることに注意してください。この講義では、計算効率と精度を向上させるための微分感度の分析計算の採用など、改善の余地がある領域についても説明します。
「ヘッジ」の概念は、後続のセクションの焦点として導入されます。さまざまな補間ルーチンがヘッジ結果に及ぼす影響について説明し、さまざまな補間方法を検討します。教授は、既存の文献を参照して補間の追加オプションを検討することを推奨しています。講義は、小規模な条件下でテストを実施することの重要性と、内挿ルーチンがイールドカーブに及ぼす影響を考慮することの重要性を強調して締めくくられます。
講義では、講演者はイールドカーブの構築に使用されるさまざまな補間ルーチンと、それらが結果に与える影響について検討します。単純な線形補間などの単純な補間の欠点は、特にモデルベースの利回り曲線を使用する場合に強調されます。瞬間フォワードレートはゼロクーポン債券の対数に依存するため、補間で細かい点が見落とされると、短期金利期間構造の動作が不安定になる可能性があると説明されています。これらの制限を克服するために、対数割引係数で差別化する方法が提案されています。
この講義では、ローカル補間とグローバル補間についても説明し、カーブ上の多数のポイントへの影響を避けるために、衝撃や変化の影響をスパイン ポイントに局所的に限定することの重要性を強調します。さらに講師は、曲線上の楽器の特性とそれが演奏に与える影響を考慮して補間方法を選択することの重要性を強調します。
イールドカーブとマルチカーブの構築について金融工学の観点から説明します。 Python の実験が提示され、小さな調整を通じて利回り曲線を調整するために開発された関数が示されています。この実験には、関数としての機器セットの構築と、二次および三次補間の組み込みが含まれます。さらに、市場外スワップの価格設定と、曲線の構築に使用されるすべての市場商品に対するスワップの感度分析は、ポートフォリオ セット内のショックを受けた商品ごとに微分および曲線の再調整を通じて実証されます。
講演者は、ショックとデルタを使用したイールドカーブとマルチカーブの構築方法を説明します。このプロセスには、ショック固定レートを使用して各商品に対して手順全体を繰り返し、各市場商品に関するスワップの導関数を表すデルタを再定義することが含まれます。デルタ値は、衝撃サイズを分割し、曲線を再構築し、結果として生じる影響を評価することによって近似されます。これらのデルタ値を使用すると、曲線構築に必要な各市場商品の使用法を決定することが可能になり、先物の効果的なヘッジが可能になります。線形補間を使用して、期待される結果と一致する、満期 3 年および 5 年の商品を使用した 4 年スワップのヘッジを示します。最後に、線形補間と三次補間を比較すると、三次補間の方が計算コストが高くなりますが、結果に大きな違いが生じることがわかります。
講演者は、金融工学の文脈におけるイールドカーブとマルチカーブの構築について説明します。三次補間と線形補間の比較が行われ、三次補間の方が高度ではあるものの、速度が遅いことが強調されています。補間がヘッジに及ぼす影響については、キュービック補間によってより滑らかな曲線が得られる可能性があるものの、スワップの満期をはるかに超える満期を持つ商品に対する感応度が高いため、ヘッジ費用が増大する可能性があることに留意しています。講演者は、代替案として二次補間を検討することを提案し、ヘッジに対する補間の影響を無視すべきではないと強調しました。
講演を続けて、講演者はショックとデルタを使用したイールドカーブとマルチカーブの構築について詳しく説明します。この方法には、衝撃を与えた固定レートで各機器のプロセス全体を再校正することが含まれます。各市場商品に関するスワップの導関数を表すデルタは、ショックのサイズを分割し、その結果生じる曲線への影響を近似することによって再定義されます。デルタ値を分析することにより、カーブ構築のための各市場商品の適切な配分を決定することが可能になり、効果的な先物ヘッジが可能になります。講演者は、予想される結果と一致する、3 年および 5 年満期の商品を使用した 4 年スワップのヘッジを説明するための線形補間の使用を実演します。
この講義では、イールドカーブの形状と挙動に大きな影響を与えるため、適切な補間方法を選択することの重要性を強調しています。三次補間はより滑らかな曲線を提供する可能性がありますが、スワップの満期をはるかに超える満期を持つ商品に対する感度が高いため、多くの場合、より大きなヘッジ費用が発生します。したがって、講演者は、精度と計算効率のバランスをとる代替手段として二次補間を検討することを提案しています。
さらに、この講義では、曲線の作成に使用される機器の特性と、それらが曲線のパフォーマンスに与える影響を考慮する必要性を強調しています。正確な価格設定とリスク管理を確保するには、金融商品が異なると、異なる補間方法や調整が必要になる場合があります。イールドカーブ構築プロセスの文脈内で金融商品の動作を注意深く分析し、理解することが不可欠です。
講義は、補間オプションのさらなる研究と探索を奨励することで終わります。 3 次補間はより高度で、より滑らかな曲線を提供しますが、常に最適な選択であるとは限りません。金融専門家や研究者は、既存の文献を詳しく調査し、さまざまな補間ルーチンを研究して、特定のニーズに最適なアプローチを特定することをお勧めします。
イールドカーブとマルチカーブの構築には、数学的手法、キャリブレーション方法、および補間ルーチンの組み合わせが必要です。これは、機器の特性、計算効率、ヘッジへの影響など、さまざまな要素を慎重に考慮する必要がある複雑なプロセスです。適切な方法を採用し、基礎となる原則を理解することで、金融実務者は市場状況を正確に反映し、効果的なリスク管理戦略をサポートする堅牢なイールドカーブを構築できます。金融工学コース：講義6/14、パート3/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
金融工学コース：講義6/14、パート3/3（イールドカーブとマルチカーブの構築）
講義では、イールドカーブを構築する際に取引相手のデフォルト確率を組み込むマルチカーブの概念が紹介されます。この追加情報により、支払いの頻度とそれに伴う不履行のリスクが考慮されます。講演者は、取引相手に長期間にわたってお金を貸すことは、短期の貸付と比較してリスクが増大することを強調しました。マルチカーブは、2008 年から 2009 年の金融危機後に金融数学の発展として登場し、今日の市場で広く普及しています。
この講義には、マルチカーブの Python 実装が含まれており、学生に宿題タスクを割り当て、曲線のキャリブレーションとヘッジの側面のための追加のツールを組み込んで既存のコードを強化するように課題を与えます。
金融工学におけるイールドカーブとマルチカーブの構築について説明し、カーブの種類とリスク管理に対する支払い頻度の影響を強調します。支払い頻度が高いほど、取引先が不履行になった場合の潜在的な損失が軽減され、より安全な選択となります。マルチカーブの背後にある動機は、異なるテナー間のベーシススプレッドが顕著になり、さまざまな周波数カーブ間に複数のベーシスポイントの差が生じた 2007 年から 2009 年の危機に由来しています。
講演者は、金融商品によって流動性と信用リスクプレミアムが異なり、利回り曲線に影響を与えると説明しました。金融危機以前は、価格設定は単一の曲線に基づいていました。ただし、危機後は、さまざまなテナー構成について追加のリスクプレミアムを考慮する必要があります。講演者は、瞬間フォワードレートの図を使用して、異なる期間間のリスクプレミアムの広がりを説明します。市場のコンセンサスは、最高頻度の保有期間に基づいて将来のキャッシュ フローを割り引くことであり、割り引くための最適な選択は、信用リスクが最も少ない曲線であり、通常は 1 日の 10 に関連付けられます。
この講義では、価格設定におけるデフォルト確率の組み込みと、マルチカーブのコンテキスト内でデリバティブの価格設定を行うためのフレームワークの開発について詳しく説明します。ユーロ翌日物インデックス平均や米国連邦準備制度の翌日物金利などの曲線について説明します。実務家は最初に市場を観察し、その後理論が開発され、マルチカーブフレームワークにデフォルト確率を含めることが必要になりました。ライブラリ定義を変更して、リスクフリー曲線とカウンターパーティのデフォルト確率を組み込む必要があります。講演者は、LIBORレートの拡張バージョンの必要性を強調し、この変更に対応するための変更を測定します。デフォルト確率を組み込み、取引を実行する前にカウンターパーティの存在を検証することにより、実務者はマルチカーブフレームワーク内のデリバティブ価格設定についてより深く理解できるようになります。
デフォルトの確率の概念は、信用リスクのあるデリバティブの価格設定の文脈で説明されます。デフォルトの確率は、特定の期間にわたってデフォルトが発生するリスクを表し、通常はクレジット デフォルト スワップなどの市場商品から導出されます。市場手段が利用できない場合、銀行や金融機関は業界のリスクとの関連性に基づいてデフォルトの確率を割り当てます。信用リスクのあるデリバティブの価格設定には、将来のすべてのキャッシュ フローを割り引いて、金利と債務不履行の可能性が独立していると仮定することが含まれます。次に、デフォルト確率の指標関数を使用して、期待される利得が計算されます。
この講義では、債務不履行の確率と強化率が生存確率と危険率にどのように関係するかについて説明します。クレジット・デフォルト・スワップ（CDX）は、デフォルトの確率を推定するために使用されるデリバティブ取引として導入されています。 CDX の市場相場を調べることで、リスク プレミアムを計算し、デフォルトの可能性についての洞察を得ることができます。リスキーイールドカーブにはデフォルトの確率が組み込まれており、リスク調整を使用してゼロクーポン債を調整します。実際には、D(t0, ti) は通常、割引係数として解釈され、ゼロ クーポン債券の割引係数の集合としてイールド カーブを構築できます。
このビデオでは、割引曲線の上に特定の期間に対応する曲線を構築することにより、デフォルトの確率を考慮した無担保負債の公正価格を決定するプロセスが説明されています。これは、リスクのないゼロクーポン債券と、曲線の調整係数を表す追加のリスクプレミアムを伴うゼロクーポン債券の計算を示しています。このビデオでは、マルチカーブ設定で金利スワップの価格設定を計算する方法についても説明しています。これは、リスクのある負債の概念と翌日物インデックススワップのレートを組み合わせ、対応するマーチンゲール法に基づいて先物 LIBOR の期待値を計算することで価格設定を近似します。
講師は、異なる曲線間の循環依存性と実際のイールドカーブの構築を強調します。通常、割引曲線が最初に構築され、続いて割引曲線と追加の市場相場に基づいて 3 か月曲線と 6 か月曲線が構築されます。ただし、スプレッドが関係する場合には複雑さが発生し、すべての曲線を個別にではなく同時に校正する必要があります。より複雑になる可能性がありますが、他のリスクをヘッジする際の一貫性を維持することで、ブラック・ショールズ モデルで間違った金利を使用して市場相場に一致させることができます。
このビデオでは、価格設定および複数のイールド カーブの構築のために Python でマルチカーブを実装するためのガイダンスを提供します。これは、単一利回り曲線用に以前に開発されたコードに基づいて構築され、複数の曲線を処理できるように拡張されています。マルチカーブコンテキストでの価格設定を容易にするために、スワップ定義の拡張が導入されました。このビデオでは、新しい金利スワップとシングルカーブ設定の間の一貫性を確保するために健全性チェックを実行することの重要性も強調しています。これは、同じ曲線の 2 つのインスタンスを使用して、それらが同じ値を生成することを検証することによって実現されます。
講演者はイールドカーブの調整について議論し、前のケースとは別に初期推測を伴う新しいカーブに対応する 4 つのスワップを紹介します。市場価格とモデル価格を一致させることが引き続き目標です。割引曲線はブートストラップ曲線に基づいており、スワップは順曲線のラムダ式として定義されます。講演者は、スワップのゼロクーポン債またはイールドカーブの検索と、特定の利回り目標に対してスワップをゼロにする値の最適化について説明します。曲線のキャリブレーションが二重チェックされ、スワップの値がプロットされます。健全性チェックにより、新しいスワップ実装の一貫性が確認され、最後に、新しい曲線がブートストラップされます。
講演者は、価格が平価に戻ったことを指摘しながら、調整とブートストラップのプロセスの結果について説明します。割引曲線と予測曲線がプロットされ、それらの間のスプレッド曲線が示されます。講演者は、金融商品の数が限られているためにフォワードカーブが低くなり、その結果、異なる成熟度の間でスムーズな移行ができないことを強調しました。調整プロセスは比較的高速であり、割引曲線のサーバーに比べて最適化の反復が必要です。最後に、講演者は、イールドカーブの動的な性質、数学的定式化、問題の定式化、スパインポイント、最適化ルーチン、分析例など、講義で取り上げられた主要な概念を要約します。
最後に、講演者は、曲線の開始部分の既存のコードの拡張と追加の手段の組み込みについて説明します。さまざまな解釈の影響を理解するためにヘッジの枠組みを開発することの実際的な重要性が強調されます。このビデオでは、マルチカーブの重要性と、デフォルト確率および予測との関係について説明しています。最後に、マルチカーブを処理するために既存のフレームワークを実装および拡張するための Python コードをデモンストレーションします。宿題として、聴衆は、新しい曲線用に既存のコードを拡張し、6 か月、3 か月、および利用可能な市場商品に基づいた順方向曲線の追加レイヤーを組み込むという課題を課されます。
このビデオでは、デフォルトの確率を考慮した無担保負債の公正価格の計算方法を説明しています。これには、割引曲線の上に特定の用語に対応する曲線を構築することが含まれます。このビデオでは、リスクのないゼロクーポン債券と、曲線の調整係数を表す追加のリスクプレミアムベースのゼロクーポン債券の計算を示しています。さらに、リスク負債の概念と翌日物インデックススワップのレートを組み合わせて、金利スワップの価格設定について説明します。価格設定の近似には、対応するマーチンゲール法に基づいて先物 LIBOR の期待値を計算することが含まれます。
結論として、講師はイールドカーブ構築、マルチカーブ、および金融工学におけるそれらの実際的な意味の重要性を繰り返し述べています。この講義では、カーブの調整、ヘッジ、デフォルトの確率、信用リスクを伴うデリバティブの価格設定、Python でのマルチカーブの実装など、さまざまな側面を取り上げます。既存のコードを拡張し、追加の手段を組み込むことで、学生はマルチカーブについての理解を深め、マルチカーブのフレームワーク内でのカーブの調整と価格設定の側面について実践的な経験を積むことができます。
金融工学コース: 講義 7/14、パート 1/2、(スワップションとマイナス金利)
金融工学コース: 講義 7/14、パート 1/2、(スワップションとマイナス金利)
講義は、スワップ、金利、イールドカーブの構築、基本的な商品価格設定など、これまでのトピックの復習から始まります。その後、スワップションの価格設定とマイナス金利下での価格設定など、より高度な主題に進みます。ボラティリティに依存するスワップションは、カプレットやフローレートなどの金利のオプションとともに検討されます。
カプレットの概念は、ハルホワイト モデルの調整に役割を果たすヨーロッパのオプションとして導入されています。カプレットは経路依存モデルで使用され、機器を市場に出すには校正が必要です。講師は、カプレットの価格設定に関する Black-76 モデルについて説明し、金利先物についての Black-Scholes 方程式と Black の方程式を区別します。金利とエキゾチックなデリバティブ価格のインプライド・ボラティリティ・サーフェスについては、将来の方針のトピックとして簡単に言及されています。
この講義では、カプラーの市場価格を使用したフルホワイト モデルのパラメーター校正について詳しく説明します。ブラックのモデルを使用したインプライド ボラティリティが導入され、調整プロセスで使用されます。黒の暗黙的ボラティリティとモデルからの暗黙的ボラティリティの区別が強調されます。この講義では、2 つのゼロ結合に依存するライブラリの公式と、価格設定におけるその代替について説明します。新しいストライクは、予想外の一定または時間依存の成分を除去するために定義され、TK 測定の下でのダイナミクスまたは分布の探索を可能にします。
スワップションの価格設定は、ゼロクーポンモデルにおけるゼロクーポン債券の価格設定に関連して説明されます。違いは支払いのタイミングにあり、ゼロクーポン債は最初に支払われ、スワップションは最後に支払われます。この講義では、信号フィールドでの調整の概念と、この問題を解決するためのマネー サービス アカウントの定義の使用について紹介します。これは、フォワード メジャーの下での 2 つのマネー サービス口座の比率の期待値としてのスワップション価格の表現につながります。
この講義では、カプレット、債券、ゼロクーポン債のオプションの関係についてさらに詳しく説明します。ブラック・ショールズ モデルは、モデルのパラメータを定期的に校正して、インプライド ボラティリティを計算するために利用されます。この講義では、シミュレーション日を正しく選択し、オプション価格設定における尺度と期待を一致させることの重要性を強調します。
ゼロクーポン債券の金利商品と価格設定オプションを使用したインプライド・ボラティリティ・スマイルの生成について説明します。コードは正確な評価を保証するために検査され、市場債券とモデルから導出されたイールドカーブゼロクーポン債券との間で比較が行われます。プット オプションを含むゼロ クーポン債券のオプションの価格設定がカバーされており、ボラティリティとモデル バージョンが価格設定に与える影響を分析するために実験が実行されます。
この講義では、オプションの市場価値とブラック '76 価格が等しいという制約を満たすインプライド ボラティリティを見つけるための反復プロセスを紹介します。さまざまなボラティリティ レベルのグリッドが定義され、ニュートン ラフソンの開始点として補間されます。平均回帰パラメータがインプライド ボラティリティに及ぼす影響について、ボラティリティ パラメータの調整中に修正するための推奨事項とともに説明します。 XVA の考慮事項では、時間依存パラメーターが強調されます。
インプライド・ボラティリティ・スキューや調整の課題への影響を含め、デリバティブ価格設定において確率的ボラティリティを HJM モデルに追加する場合の制限が解決されます。この講義では、スワップにおける年金部分の重要性と、尺度を変更する際にそれを考慮する必要性を強調します。金利スワップは金融機関で普及しているため、計算効率を維持しながら金利スワップを理解し、モデルを改善することが重要です。
単一の曲線を想定して、スワップの価格設定に焦点を当てます。スワップの価値は、最初と最後の 2 つの支払いに依存し、権利行使額に年金を乗じた 2 つのゼロ要素の差として表すことができます。額面価格設定について説明します。ストライクは値をゼロにするように選択され、結果として現金の支払いが発生しません。エキゾチックなデリバティブの価格設定にはボラティリティが必要であり、商品を市場に出すための調整が必要です。
市場のボラティリティを測定するための金融工学におけるスワップションの使用について説明します。スワップションは、事前に定められた将来の日付にスワップを締結する権利を保有者に提供する欧州デリバティブです。義務ではありません。スワップションの権利行使価格によって、保有者がスワップの支払い者になるか受信者になるかが決まります。スワップの定義を置き換えることにより、スワップションの評価方程式が導出され、方程式の分子が尺度変更の適切な候補として特定されます。これにより、年金部分のキャンセルと方程式の簡素化が可能になります。
講演者は、スワップ レートがマイナスになることはできないと仮定して、スワップション価格を計算するための年金指標と幾何学的なブラウン運動の使用について説明します。年金指標は測定に適切な選択であると考えられており、この指標ではスワップはマーチンゲールでなければなりません。ブラック・ショールズ方程式は、スワップションの価格設定モデルとして導入されています。ただし、実際にはスワップがマイナスの値になる可能性があり、価格設定方程式に課題が生じる可能性があることを講演者は認めています。彼らは、この問題の解決策が講義の後半で示されると述べています。最終的な目標は、BlueWise モデルに基づいて価格を決定することであり、これは今後の講義でのシミュレーションに使用されます。
講師は、ゼロクーポン債に関するスワップの定式化と、異なるウェイトを持つゼロクーポン債の単一の合計としてスワップを再定義する方法について説明します。この定式化は、完全な白のダイナミクスの下で価格設定オプションの解決策を探す場合に便利であることがわかります。この講義では、リスク中立の尺度からゼロクーポン債に関連した尺度に変更するプロセスについて説明します。これは、スワップの価格設定の課題に対処するのに役立ちます。ジャンブチディアン フリックは、合計の最大値の期待値を期待値の合計と交換する手法として導入されており、価格スワップションのクローズド形式のソリューションを見つける上で重要なステップです。この方法は、価格設定プロセスを簡素化し、正確な結果を得るのに役立ちます。
インストラクターのディスカッションは、市場のボラティリティに関する貴重な情報を提供するため、スワップションを理解し効果的に価格設定することの重要性を強調しています。これらのデリバティブを正確に評価して価格設定する能力は、金融市場における情報に基づいた意思決定とリスク管理に貢献します。
この講義では、スワップションとマイナス金利に関連した価格設定に関連するさまざまな高度なトピックを取り上げます。モデルの調整、インプライド・ボラティリティの決定、さまざまな価格設定アプローチの微妙な違いの理解の複雑さを探ります。講師は、パラメーターを慎重に選択し、尺度と期待を一致させ、複雑な金融環境におけるデリバティブの価格設定に関連する制限と課題を考慮することの重要性を強調します。