ブラウン運動の生成と、プロセスの構築および積分の定義におけるブラウン運動の使用について説明します。この講義では、分布を生成し、それを使用してブラウン運動プロセスを構築するプロセスについて説明します。スケーリング条件を削除した場合の分布と分散への影響が示されています。また、伊藤の補題を応用してブラウン運動を伴う積分を解くコツも解説します。最後に、関数 x の 2 乗を考慮して積分を計算する方法を説明します。
t の 2 乗に等しい関数のダイナミクスを取得するための伊藤の補題の適用について説明します。この講義では、伊藤の補題を x 2 乗に適用することにより、積分によって計算され、正規分布ではなく pi 2 乗分布が得られる項を明らかにします。講演者は、望ましい結果を達成するためにどのタイプの関数を適用すべきかを推測する経験の重要性を強調します。積分間を切り替えるようにコードが変更され、結果を改善するためにサンプル数を増やすことが提案されています。
講師は、モンテカルロ法に含まれるシミュレーション プロセスと、シミュレーションを何度も繰り返す必要があるためにどのように時間がかかるかについて説明します。結果は、弱い収束と強い収束のグラフで示されます。弱い収束誤差はゆっくりと成長する青い線で表され、強い収束誤差はデルタ T 字型の平方根に従い、解析が裏付けられます。講師は、テイラー展開を適用して追加の項を導出するミルシュタインの離散化手法によって誤差を大幅に削減できると説明します。最終的な式に到達するにはさらに多くの作業が必要ですが、ミルシュタインのスキームではボラティリティ項の導関数が必要ですが、これは常に分析的に利用できるわけではありません。
講演者は、計算金融、特に幾何学的なブラウン運動におけるモンテカルロ シミュレーションの使用について説明します。これらは、分布の意味でボラティリティ項を計算し、それをオイラー スキームと比較する方法を示します。モンテカルロ シミュレーションはオイラー法よりも収束速度が速いですが、追加の計算が必要となるため、複数の次元を含むモデルで導関数を導出するのは困難な場合があります。さらに、講演者は 2 つのスキーム間の弱感覚と強感覚の絶対誤差を比較し、モンテカルロの強い誤差はデルタ t で線形であるのに対し、オイラーの弱い誤差は同じオーダーであることを強調します。最後に、幾何学的なブラウン運動のパスを生成し、その強力な収束を分析するためのモンテカルロ シミュレーションのコード実装を提供します。
00:35:00講義のこのセクションでは、講演者はブラウン運動を生成し、それを使用してプロセスを構築し、積分を定義する方法について説明します。分布を生成し、それを使用してプロセスを構築し、スケーリング条件を削除した場合の分布と分散への影響を示します。講演者は、ブラウン運動を伴う積分を解くコツ、つまり伊藤の補題を適用する方法についても説明します。最後に、関数 x 2 乗を考慮して積分を計算する方法を示します。
00:40:00このセクションでは、講演者は、t の 2 乗に等しい関数のダイナミクスを取得するための Ethos Lemma の適用について説明します。伊藤の補題を x 2 乗に適用すると、話者は積分によって計算される項を取得し、正規分布ではなく pi 2 乗分布が得られます。講演者は、望ましい結果を得るためにどのタイプの関数を適用すべきかを推測する経験の必要性を強調します。積分間を切り替えるようにコードが変更され、結果を改善するためにサンプル数を増やすことが提案されています。
01:30:00このセクションでは、講師が、モンテカルロ法に含まれるシミュレーション プロセスと、シミュレーションを何度も繰り返す必要があるためにどのように時間がかかるかについて説明します。結果は、弱い収束と強い収束のグラフで示されます。弱い収束誤差はゆっくりと成長する青い線で表され、強い収束誤差は解析を裏付けるデルタ T 形状の平方根に従います。講師は、テイラー展開を適用して追加の項を導出するミルシュタインの離散化手法によって誤差を大幅に削減できると説明します。最終的な式に到達するにはさらに多くの作業が必要ですが、ミルシュタインのスキームではボラティリティ項の導関数が必要ですが、これは常に分析的に利用できるわけではありません。
01:35:00このセクションでは、講演者が計算金融、特に幾何学的なブラウン運動におけるモンテカルロ シミュレーションの使用について説明します。これらは、分布の意味でボラティリティ項を計算し、それをオイラー スキームと比較する方法を示します。モンテカルロ シミュレーションはオイラーよりも収束速度が速いですが、追加の計算が必要となるため、複数の次元を含むモデルで導関数を導出するのは困難な場合があります。さらに、講演者は 2 つのスキーム間の弱感覚と強感覚の絶対誤差を比較し、モンテカルロの強い誤差はデルタ t で線形であるのに対し、オイラーの弱い誤差は同じオーダーであることを強調します。最後に、幾何学的なブラウン運動のパスを生成し、その強力な収束を分析するためのモンテカルロ シミュレーションのコード実装を提供します。
Computational Finance Lecture 9- Monte Carlo Simulation▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
00:15:00このセクションでは、講演者は、ヨーロッパのオプションと同じアプローチを使用して、デジタルまたは現金またはなしのオプションの価値を計算する方法を説明します。唯一の違いはペイオフ計算にあり、満期時の株式価値のみを調べ、出力オプションでは株式が K より大きくなる確率を計算します。類似性と誤差を示す異なる診断と出力を実行します。ヨーロッパとデジタルの両方のオプションのアプローチの間で。講演者はまた、強い収束が存在しないため、ペイオフが最終支払いのみに依存するオプションにモンテカルロ シミュレーションを使用する場合の欠点についても話します。最後に、講演者は、このコードは汎用的なものである、つまりヘストン モデルなどの他のモデルにも同じアプローチを使用できることを指摘しました。
00:25:00講義のこのセクションでは、教授はモンテカルロ シミュレーションでヘストン モデルを使用しながら、次の反復で負の実現が起こる確率について説明します。負の実現の確率は、前のタイムスタンプが正の VI を持っていたと仮定し、VI+1 が負である確率を見つけることによって計算されます。このシナリオが発生する可能性は、TAPA、V BAR、および GAMMA の関係によって異なります。ガンマが非常に大きく、カッパと V bar の積が非常に小さい場合、負の実現の確率が増加し、複素数になり、シミュレーションが失敗する可能性があります。同教授は、デリバティブの価格設定における大幅な差異を避けるために、モデルを再定義せず、モンテカルロ経路がモデルと確実に一致するようにすることの重要性を強調しています。
00:55:00講義のこのセクションでは、講演者は多次元問題をシミュレーションする際のプロセスの順序付けの重要性を説明し、X 値と分散値の両方についてヘストン モデル プロセスを統合する方法を示します。 X と分散の間の相関関係は同じであるため、分散プロセスの式を X のプロセスに置き換えることができます。この置き換えにより方程式が単純化され、プロセス全体のシミュレーションが可能になります。講演者は、プロセスの統合を容易にするために大きなタイム ステップを使用することをアドバイスしています。
01:00:00このセクションでは、特定の日付のオプションの価格設定に重要な、大きなタイム ステップ シミュレーションの実行に焦点を当てます。品質を維持しながら、観測点間でシミュレートされるパスの数を減らすことで、シミュレーションに必要な時間を最小限に抑えたいと考えています。追加の近似を行わずに、ローン中央高二乗法からのサンプリングを使用した正確なシミュレーションを行うことをお勧めします。ヘストン モデルのシミュレーションは、時間 t におけるサンプルの値に基づいており、その間隔の最初の値で近似されます。この近似では、デルタ t という新しい項が導入されます。これは、シミュレーション精度に対する影響の許容レベルを決定するために調査する必要があります。
Computational Finance Lecture 10- Monte Carlo Simulation of the Heston Model▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemat...
Computational Finance Lecture 11- Hedging and Monte Carlo Greeks▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
Computational Finance Lecture 12- Forward Start Options and Model of Bates▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
Computational Finance Lecture 13- Exotic Derivatives▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Comput...
コールオプションとプットオプションに焦点を当てた欧州オプションの価格設定が、別の講義の中心でした。特性関数の使用と複素数値常微分方程式系を解く能力が、解を得る数値手法の重要性とともに強調されました。実際のアプリケーションと業界で受け入れられるためには、優れたモデルと効率的な校正および評価のバランスをとることが重要視されました。価格設定におけるフーリエ変換の cos 法の利点と、Vital でのその実装について説明しました。効率的なキャリブレーションと価格設定のためのモンテカルロ シミュレーションの利用も推奨されました。
Computational Finance Lecture 14- Summary of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
講演者は、コンピューテーショナル・ファイナンスに関するコースの実践的な性質を強調します。理論的な知識もカバーされていますが、実装の効率性と各講義での Python コード例の提供に重点が置かれています。コース教材は、書籍「A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance」に基づいていますが、自己完結型です。この講義ではコースのロードマップの概要も提供され、学生は 14 の各講義で扱われるトピックを明確に理解できます。
最初の講義では、コース全体の概要を説明し、xva および var の計算を実行するという最終目標を達成するために扱われる概念の重要性を強調することに重点を置いています。
講師は、確率的ボラティリティに存在する量子補正要素や確率的金利による FX オプションの価格設定など、金融工学に関連する追加トピックを取り上げます。インフレの概念を探求し、貨幣ベースの定義から物品ベースの定義への進化を追跡します。 LIBOR市場モデルやコンベクシティ調整などの市場モデルについて議論し、金利動向の歴史的展望と、HJMフレームワーク内のLIBOR市場モデルなどの市場モデルの背後にある動機を提供します。この講義では、対数正規LIBOR市場モデル、確率的ボラティリティ、LIBOR市場モデルにおけるスマイルとスキューのダイナミクスについても詳しく説明します。
講師は、デリバティブの価格設定、価格発見の重要性、取引属性の実践的側面、リスク管理手段（バリュー・アット・リスクや予想不足額など）など、金融工学コースで扱われるトピックを再検討します。金利スワップのポートフォリオを構築したり、イールドカーブ構築の知識を活用してシミュレーション結果を通じてVARや予想される不足額を見積もったりするなど、実用的なアプリケーションに引き続き焦点が当てられています。この講義では、モンテカルロ シミュレーションを使用した VAR 計算における欠損データ、アービトラージ、およびリグレーディングに関連する課題についても取り上げます。
最終講義では、バックテストと VAR エンジンのテストについて説明します。コースが最初の 14 週間を超えて延長されることを認めながら、インストラクターは、包括的で楽しい学習の旅に自信を表明しています。録画された講義は、評価調整 (XVA) とリスク価値の計算の理解の頂点に向けて学生を導きます。
00:05:00このセクションでは、講演者がコンピューテーショナル ファイナンスに関するコースを紹介し、バリュー アット リスクおよび xva 計算を使用した実践的な実装とポートフォリオの構築に焦点を当てていることを強調します。このコースでは、理論的な知識、実装効率についても説明し、各講義に Python コードを提供します。講演者は、コースの教材は「A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance」という本に基づいていますが、それ自体で完結していると説明します。コースのロードマップについて説明し、14 回の講義で取り上げられるトピックの概要を示します。第 1 回の講義では、コースの概要と、xva および var 計算の最終目標を達成する上での意義について説明します。
01:00:00このセクションでは、講師は、デリバティブの価格設定と価格発見の重要性、取引属性の実践的側面、バリュー・アット・リスクやリスク管理手段など、この金融工学コースで扱われるトピックの概要を説明します。予想される不足分。金利スワップのポートフォリオを構築したり、イールドカーブの構築に関する知識を利用してシミュレーション結果を通じてvarと予想される不足額を見積もったりするなど、実践的な応用に重点が置かれています。インストラクターは、モンテカルロ シミュレーションによる var 計算に関連する欠損データ、アービトラージ、再グレーディングの問題についても説明します。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 1- part 1/1, Introduction and Overview of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course i...
今後は濾過や対策の考え方を徹底的に検討していきます。フィルタリングは現在に関係する場合もあれば、将来にまで及ぶ場合もあり、確率過程を扱う場合には明確な区別が必要です。過去は株式の歴史の特異な軌跡を表しますが、将来の確率性は確率微分方程式とシミュレーションを通じてモデル化できます。このコースでは主に現在 (t0) までのフィルタリングに焦点を当てますが、その後、計算効率を高めるために将来のフィルタリングを活用することについて詳しく説明します。将来のシナリオをシミュレーションし、多様な成果を生み出すことが可能になります。しかし、本質的な不確実性を考慮すると、最も現実的なシナリオを決定することは依然として困難です。結果の分布の推定には、測定 p に関連する履歴データと校正手法の利用が含まれます。
次に、講義では尺度とフィルタリングについて詳しく説明し、価格設定とリスク管理における尺度 Q と、主にリスク管理における尺度 P の明確な役割を強調します。両方の尺度を採用する場合、どちらの尺度の適切性も一意ではないため、リスク プロファイルの将来のシナリオを作成することが不可欠になります。さらに、時間が経つにつれて、歴史的知識の蓄積により、より広範な濾過が可能になります。ただし、可測性の理解を維持し、将来の特定の時点における確率量の不確実性を認識することも重要です。
講師はさらに先へ進み、将来の時点の期待を掘り下げ、期待が時間ゼロの場合と比較してその複雑さを強調します。彼らは、このシナリオには複数のパスと、条件付き期待値のサブシミュレーションを含む、パスごとにネストされたモンテカルロ シミュレーションが必要であると説明しています。この複雑さは、ブラウン運動が常に 2 つの異なる時間 t と s での値の差として表現できる独立した増分特性によって発生します。
モンテカルロ シミュレーションに焦点を移し、講演者は株式のオプション価値をシミュレーションするためのブラウン運動の構築について説明します。彼らは 2 種類のマーチンゲールを検討し、ストック オプションの条件付き期待値を計算するためのネストされたモンテカルロ法を紹介します。シミュレーションには、時刻 s までの 1 つのパスを生成し、各パスのサブシミュレーションを実行してその時点での期待値を評価することが含まれます。このプロセスには、各パスの時間 s における特定の実現の条件付き期待値を計算することが含まれます。次に、誤差は条件付き期待値と時間 s でのパス値の差として測定されます。ブラウン運動の標準化により、独立した増分を使用してブラウン運動が構築されることが保証され、モンテカルロ シミュレーション内で必要なプロパティの適用が容易になります。
00:40:00このセクションでは、講師は将来の時点の期待について説明します。これは、期待が時間 0 にある場合よりもはるかに複雑です。講師は、これには複数のパスとパスごとにネストされたモンテカルロ シミュレーションが必要であると説明します。これには、パスごとにサブ シミュレーションを実行し、条件付きの期待値を取得することが含まれます。講師はまた、これは独立増分という性質を利用して、ブラウン運動が常に時刻 t でのブラウン運動から時刻 s でのブラウン運動を引いたものとして記述できるという事実に関係しているとも説明しています。
00:45:00講義のこのセクションでは、講演者は、株式のオプション価値をシミュレートするためのモンテカルロ シミュレーションとブラウン運動の構築について説明します。ストック オプションの条件付き期待値を計算するためのネストされたモンテカルロ法を含む 2 種類のマーチンゲールを検討します。話者は、時刻 s までの 1 つのパスのシミュレーションと、その時点での期待値を取得するための各パスのサブ シミュレーションを示します。期待値は、時間 s での特定の実現の条件付き期待値であり、パスごとに繰り返されます。誤差は、条件付き期待値と時間 s におけるパスの差として計算されます。ブラウン運動の標準化により、ブラウン運動が独立した増分から構築されることが保証され、モンテカルロ シミュレーションでのプロパティの適用が容易になります。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 1/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
さまざまな尺度が、プロセスと取引可能な資産の特定のダイナミクスに関連付けられています。一般的なケースには、普通預金口座に関連するリスク中立指標、ゼロクーポン債券に関連する T フォワード指標、および数値としての株式に関連する指標が含まれます。メジャーの変更により、メジャーを切り替えて、さまざまなプロセスの特性を活用することができます。ギルサノフの定理は、測定変換のための重要なツールであり、特定の条件下で、ある測定から別の測定に切り替えることができます。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 2/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
講演者はさらに先へ進み、ペイオフの簡素化を検討し、新しい指標の下での株価のダイナミクスを詳しく掘り下げます。 t0 の値は、新しいマーチンゲール法を導入して、最大 st マイナス k 0 の測定における期待値として提供されます。マーチンゲール法の概念が説明され、マーチンゲールの条件を満たすためにすべてをストック プロセスで分割することの重要性が強調されます。割引プロセスが強調表示され、新しい措置の下でのダイナミクスの簡素化における利点が強調されています。ダイナミクスは、mtst の比率からマーチンゲールとして導き出すことができます。さらに、講演者は、マーチンゲール法の利点を効果的に活用するために、新しい尺度に基づいて分散と測定された変換を決定する必要性を強調しました。
さらに、ゼロクーポン債を検討する際のフォワード対策への変更の重要性についても掘り下げています。基本的な価格設定理論と一般的な価格設定方程式を使用することにより、ゼロクーポン債券の現在価値を導き出すことができます。価格設定方程式には、割引利得の期待が含まれており、これはゼロクーポン債券の 1 に相当します。講師は、金利が確率的であることを強調し、尺度を T フォワード尺度に変更することで確率的割引を方程式からどのように除去できるかを説明します。このセクションは、ルーブル コードのデリバティブをモデル化する方法と、価格設定方程式がリスク中立の尺度から T フォワード尺度にどのように移行するかについての説明で終わります。
さらに同教授は、金融における価格設定モデルの尺度を変更し、次元を削減することの重要性を強調する。 T フォワード メジャーに基づいた価格に移行し、割引係数から特殊性を排除することで、実務者は日常業務の強力なツールとしてメジャー変更テクニックを活用できます。この講義では、フィルタリングの概念と条件付き期待値との関係を要約し、これらのツールが金融における複雑な問題をどのように単純化できるかを強調します。
00:40:00このセクションでは、ゼロクーポン債とフォワード対策への変更の重要性について講師が解説します。基本的な価格設定定理と一般的な価格設定方程式を使用することにより、ゼロクーポン債券の現在価値を導き出すことができます。価格設定方程式には、割引利得の期待が含まれており、これはゼロクーポン債券の 1 に等しいです。講師は、金利が確率的であることを強調し、尺度を T フォワード尺度に変更することで確率的割引を方程式からどのように削除できるかを説明します。このセクションは、講師がルーブル コード デリバティブをモデル化する方法と、価格設定方程式がリスク中立尺度から T フォワード尺度にどのように変化するかを説明して終了します。
00:45:00講義のこのセクションでは、教授は、尺度を変更して次元を削減するというアイデアと、それを金融における価格設定モデルにどのように適用できるかについて説明します。測定値を変更することで、実務者は t フォワード測定値に基づいて価格を操作し、割引係数から特異性を取り除くことができます。これにより、彼らは日常業務で強力なツールとして、測定された危険なテクニックを使用することができます。この講義では、フィルタリングの概念と条件付き期待値との関係、およびこれらのツールを使用して財務の複雑な問題を単純化する方法についても要約します。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 3/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 9/14 (モンテカルロ シミュレーション)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 9/14 (モンテカルロ シミュレーション)
この講義では、モンテカルロ シミュレーションとコンピューテーショナル ファイナンスへの統合に関連するいくつかのトピックを取り上げ、さまざまなアプローチや手法についての洞察を提供します。
講師はまず、積分問題を紹介し、モンテカルロ サンプリングを使用して積分を計算する方法をデモンストレーションします。古典的な積分アプローチと期待値に基づく積分という 2 つのアプローチについて説明します。講師は、Python によるプログラミングのデモンストレーションを通じて、シミュレーションをより効率的に分析および実行する方法を示します。彼らは、収束に対する滑らかさの影響と、さまざまな種類の収束について説明します。
さらに、この講義では、オイラーとミルシュタインという 2 つの重要な離散化手法について説明し、シミュレーションのタイム ステップに基づいて誤差を制御する方法について説明します。 90年近くにわたりさまざまな分野で活用されてきたモンテカルロ・シミュレーションの原理や歴史について解説します。 1930 年代、特にマンハッタン計画中に物理学者の間で人気が高まりました。
コンピューテーショナル・ファイナンスにおける将来の利得の期待値を計算することの重要性について説明します。これには、一定または時間依存の金利を考慮して、株式の密度を使用して実軸上で積分することが含まれます。サンプリングと確率理論に関連したモンテカルロ積分は、シミュレーションごとにさまざまな出力を提供する手法として導入されています。この講義では、高次元問題への応用と、シミュレーションの設定を調整することで誤差分布の分散を制御する機能を強調します。講師は、サンプリングとモンテカルロによるシミュレーションを改善する方法についても説明します。
モンテカルロシミュレーションを用いた積分推定の具体的な方法を説明します。この方法では、長方形領域内の点を均一にサンプリングし、曲線の下のサンプルの割合を数えて積分を推定します。金融では一般的には使用されませんが、このアプローチは高次元の問題には価値があります。講師は、関心のある領域を効率的に捉えるために、統合されている機能を理解することの重要性を強調します。
この講義では、金融におけるモンテカルロ シミュレーションの限界と課題についても詳しく説明します。大まかな推定値は得られますが、特に複雑なシミュレーションの場合、結果は非常に不正確になる可能性があります。講師は、モンテカルロ シミュレーションで予想される誤差はシミュレーション数の平方根で減少し、計算量が増加すると説明します。この講義では、積分アプローチと期待アプローチの関係をさらに探求し、それらがどのようにリンクされているかの例を示します。金融では、期待アプローチは従来のモンテカルロ シミュレーションよりも効率的で正確であると一般に考えられています。
この講義では、大数の法則と独立確率変数との関係について説明します。分散の推定と平均を求めるための期待値の計算について説明します。 「ナイーブアプローチ」と期待アプローチの比較が示されており、サンプル数が少ない場合でも後者の方が大幅に正確であることが証明されています。講師は、このシミュレーションを実行するためのコードを実演し、関数を統合するアプローチには 2 つのポイントを指定する必要があることを強調しました。
金融で遭遇する確率積分のさまざまな例について説明し、時間ステップにわたるブラウン運動の合計、増分にわたるブラウン運動の合計、および増分によるブラウン運動の乗算に焦点を当てます。より具体的な例として、関数 g(t) を関数 g(s)dW(s) で 0 から T まで積分する場合を示します。この講義では、積分範囲をより小さな部分区間に分割し、モンテカルロ シミュレーションを使用して積分を近似する方法について説明します。正確な結果を得るには、サンプル サイズと値の範囲の重要性が強調されます。
講演者は、分割と近似のプロセスを通じて確定積分を数値的に解く方法を説明します。彼らは、Ito 積分を導入し、左側の境界で選択された積分による区間の開始時の関数 GT の評価を説明しています。 T 二乗の GT 関数の例を使用して、講師は、Ito アイソメトリ プロパティで期待値と分散を取得する方法を示します。計算をシミュレートするために Python コードが提供されており、関連する手順が説明されています。
ブラウン運動の生成と、プロセスの構築および積分の定義におけるブラウン運動の使用について説明します。この講義では、分布を生成し、それを使用してブラウン運動プロセスを構築するプロセスについて説明します。スケーリング条件を削除した場合の分布と分散への影響が示されています。また、伊藤の補題を応用してブラウン運動を伴う積分を解くコツも解説します。最後に、関数 x の 2 乗を考慮して積分を計算する方法を説明します。
t の 2 乗に等しい関数のダイナミクスを取得するための伊藤の補題の適用について説明します。この講義では、伊藤の補題を x 2 乗に適用することにより、積分によって計算され、正規分布ではなく pi 2 乗分布が得られる項を明らかにします。講演者は、望ましい結果を達成するためにどのタイプの関数を適用すべきかを推測する経験の重要性を強調します。積分間を切り替えるようにコードが変更され、結果を改善するためにサンプル数を増やすことが提案されています。
モンテカルロ シミュレーション、数値ルーチン、高品質の乱数発生器の重要性について説明します。この講義では、Ito の補題を説明し、dwt dwt がゼロに等しい理由を理解するためのヒューリスティックなアプローチを提供します。グリッド サイズを小さくすると、予想よりも分散の収束が速くなることが観察されます。実験は、分散がほぼゼロに近づく一方で、期待値がより遅い速度でゼロになることを実証するために行われます。講演者は、この関係の理論的証明が非常に複雑であることを認めながら、なぜ dwt dwt がゼロに等しいのかについて直観を提供します。
この講義では、2 つの類似した関数 g1 と g2 の収束を詳しく調べ、ブラウン運動からサンプリングしたときの期待値を調査します。これらの関数の制限は、x がマイナス無限大に近づくと 0 になり、x がプラス無限大に近づくと 1 になります。講師は、シミュレートされたサンプルの数を増やした場合の誤差を計算し、誤差とサンプル数を比較するグラフを提示します。最初の関数は、滑らかではない曲線と広い振動範囲を持ち、2 番目の関数は滑らかな曲線を持ち、より速く収束します。
収束は、金融分野でモンテカルロ シミュレーションを利用する際の重要な考慮事項として強調されています。この講義では、弱い収束と強い収束の違いについて説明します。強い収束は弱い収束よりも強力です。滑らかでない関数やデジタル型の利得を扱う場合、収束時に誤差が発生し、大幅に異なる評価結果が生じる可能性があります。正確な財務シミュレーションと評価を確実に行うには、両方のタイプのコンバージェンスの違いと影響を理解することが重要です。
この講義では、モンテカルロ シミュレーションと価格設定アルゴリズムに関連した弱い収束と強い収束について説明します。弱い収束は期待レベルのモーメントと一致しますが、正確な経路依存のペイオフには強い収束が必要です。完全なモンテカルロ価格設定アルゴリズムには、現時点から契約の支払日までのグリッド、価格設定方程式、および資産の確率的ドライバーの定義が含まれます。モンテカルロ シミュレーションは、在庫プロセスの複雑さにより閉じた形式の評価が不可能な場合に必要です。通常、グリッドは等間隔ですが、場合によっては、別の戦略が使用される場合もあります。
教授は、モンテカルロ シミュレーションの精度と時間の制約を強調します。タイム ステップの数を増やすと精度が向上しますが、シミュレーション時間も増加することに注意してください。より大きなモンテカルロ ステップを可能にする高度な技術や閉形式ソリューションは、精度と速度の両方を達成するのに有益です。次に講義は、ヨーロッパ型オプションのグリッド、資産、およびペイオフの定義に進みます。オプションの最終状態は、観測のタイミングによって異なります。この講義では、キューの尺度に基づいて期待値を取得し、それを割り引いてオプション価格を計算する方法と、得られた結果のばらつきを測定するための標準誤差を計算する方法について説明します。
標準誤差の概念は、モンテカルロ シミュレーションの文脈で説明されます。講義では、期待値は大数の強い法則を使って計算できること、平均値の分散はサンプルが独立して抽出されたものと仮定して計算できることを説明します。標準誤差は、特定のパス数が与えられた場合の期待値の変動を測定するもので、分散をパス数の平方根で割ることによって求めることができます。サンプル数が増加すると、誤差は減少します。通常、サンプル数を 4 倍に増やすと、誤差は 2 分の 1 に減少します。確率微分方程式をシミュレートする古典的な方法はオイラー離散化です。これは簡単ですが、限界があります。
講師は、モンテカルロ シミュレーションにおける確率微分方程式とオイラー離散化の使用について説明します。このプロセスには、グリッドの定義、シミュレーションの実行、絶対誤差による正確なソリューションとシミュレーションの差の測定が含まれます。比較可能性を確保するには、正確なバージョンと離散化されたバージョンの両方で変数のランダム性が同じであることを確認することが重要です。この講義では、各タイム ステップとパスに二重ループを使用するより効率的であるため、モンテ カルロ シミュレーションにおけるベクトル化の重要性も強調します。ただし、このアプローチはプロセスを簡素化しますが、精度と速度の点で制限があることに注意することが重要です。
ドリフト項とボラティリティ項 (r とシグマ) を使用したブラウン運動の正確な解は、正確な表現で生成されたブラウン運動と近似で使用された同じ運動を使用して検査されます。この講義では、弱い収束における絶対誤差と平均誤差を比較し、弱い収束はヨーロッパ型のペイオフの価格設定には十分であるが、経路依存のペイオフには十分ではない可能性があることを強調します。グラフは、オイラー離散化で生成されたパスを正確な解と比較して示すために示されており、一部のパスでは 2 つの違いが観察されます。講義は、強いエラーと弱いエラーの比較で終わります。
講演者は、コードを使用したモンテカルロ シミュレーションの実装について説明します。彼らは、講義の前半で説明したように、誤差を定量化するには誤差の尺度を使用する必要があると説明しています。コードはパスを生成し、マルチカラー シミュレーションを使用して正確な値を近似値と比較します。出力は、株価と正確な値の時間パスです。講演者は、誤差レベルで比較するために、近似と正確な解の両方に対して同じブラウン運動を生成することの重要性を強調しました。弱い収束誤差と強い収束誤差を測定するために、ステップ数の範囲を定義し、ステップごとにモンテカルロ シミュレーションを実行します。コードは、弱いエラーと強いエラーの 2 種類のエラーを生成します。
講師は、モンテカルロ法に含まれるシミュレーション プロセスと、シミュレーションを何度も繰り返す必要があるためにどのように時間がかかるかについて説明します。結果は、弱い収束と強い収束のグラフで示されます。弱い収束誤差はゆっくりと成長する青い線で表され、強い収束誤差はデルタ T 字型の平方根に従い、解析が裏付けられます。講師は、テイラー展開を適用して追加の項を導出するミルシュタインの離散化手法によって誤差を大幅に削減できると説明します。最終的な式に到達するにはさらに多くの作業が必要ですが、ミルシュタインのスキームではボラティリティ項の導関数が必要ですが、これは常に分析的に利用できるわけではありません。
講演者は、計算金融、特に幾何学的なブラウン運動におけるモンテカルロ シミュレーションの使用について説明します。これらは、分布の意味でボラティリティ項を計算し、それをオイラー スキームと比較する方法を示します。モンテカルロ シミュレーションはオイラー法よりも収束速度が速いですが、追加の計算が必要となるため、複数の次元を含むモデルで導関数を導出するのは困難な場合があります。さらに、講演者は 2 つのスキーム間の弱感覚と強感覚の絶対誤差を比較し、モンテカルロの強い誤差はデルタ t で線形であるのに対し、オイラーの弱い誤差は同じオーダーであることを強調します。最後に、幾何学的なブラウン運動のパスを生成し、その強力な収束を分析するためのモンテカルロ シミュレーションのコード実装を提供します。
講演者は、ブラック-ショールズ運動または幾何学的なブラウン運動の例を使用して、さまざまな離散化手法が収束に及ぼす影響について説明します。オイラー スキームとミルシュタイン スキームの分析は、さまざまな離散化手法の影響を説明するのに役立ちます。講演者は、ミルシュタイン スキームとオイラー スキームの誤差を比較し、ミルシュタイン スキームの誤差がオイラーの誤差よりもはるかに小さいことを示していますが、常に適用できるわけではありません。さまざまなスキームの利点は、最終結果を見ると明らかではないかもしれませんが、シミュレーションの計算コストを考慮すると、時間が非常に重要になります。したがって、モンテカルロの高速シミュレーションを実行するには、大きなタイム ステップを使用することが不可欠です。
次に、講師はモンテカルロ シミュレーションにおける乱数発生器 (RNG) の役割について説明します。彼らは、正確で信頼性の高い結果を保証するために、高品質の RNG を使用することの重要性を強調しています。講師は、疑似乱数発生器 (PRNG) がシミュレーションで一般的に使用されることを述べ、それらが乱数に近い数列をどのように生成するかを説明します。また、RNG の固定シード値を使用することによるシミュレーションの再現性の必要性も強調しています。次に、講師は、モンテカルロ シミュレーションで使用される分散削減手法である逆変量の概念について説明します。正反対の変量の背後にある考え方は、対象の量に対して反対の効果を持つランダムな変量のペアを生成することです。元の変量とその逆の変量から得られた結果の平均を取ることにより、推定値の分散を減らすことができます。この手法は、対称分布を扱う場合に特に役立ちます。
次に、別の分散削減手法として制御変数の概念を紹介します。制御変数には、対象量と相関する既知の関数をシミュレーション プロセスに導入することが含まれます。ターゲット関数から得られた推定値から既知関数から得られた推定値を減算することにより、推定値の分散を小さくすることができます。講師は、実際に制御変数をどのように適用できるかを例を挙げて説明します。分散削減手法に加えて、講師は層化サンプリングの概念についても説明します。層化サンプリングでは、サンプル空間を層に分割し、各層から個別にサンプリングします。このアプローチにより、各層がサンプル内で表現されることが保証され、より正確な推定値が得られます。この講義では、層化サンプリングの実装手順を説明し、単純なランダム サンプリングと比較した層化サンプリングの利点を強調します。
最後に、講師は重要度サンプリングの概念について説明します。重要度サンプリングは、目的のイベントを生成する可能性がより高いサンプルに高い確率を割り当てることによって、まれなイベントの確率を推定するために使用される手法です。この講義では、サンプリングの重要性がレアイベント推定のためのモンテカルロ シミュレーションの効率をどのように向上させることができるかを説明します。講師は例を示し、正確な結果を得るために適切なサンプリング分布を選択することの重要性について説明します。
この講義では、積分問題、モンテカルロ サンプリングを使用した積分の計算、プログラミングのデモンストレーション、収束解析、離散化手法、モンテカルロ シミュレーションの原理と歴史、計算ファイナンスへの応用、分散削減など、モンテカルロ シミュレーションに関連する幅広いトピックを取り上げます。テクニックとサンプリングの重要性。講師は、モンテカルロ シミュレーションの理論と実際の実装についての洞察を提供し、さまざまな分野におけるそれらの関連性を強調します。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 10/14 (ヘストン モデルのモンテカルロ シミュレーション)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 10/14 (ヘストン モデルのモンテカルロ シミュレーション)
この講義では、難しいヘストン モデルを使用したデリバティブ、特に欧州オプションの価格設定にモンテカルロ シミュレーションを活用することに焦点を当てます。それは、モンテカルロと単純なブラックショールズモデルを使用してヨーロッパおよびデジタルオプションの価格を決定するウォームアップ演習から始まります。ヘストン モデルの分散をモデル化する Cox-Ingersoll-Ross (CIR) プロセスのシミュレーションについて説明し、この分布から正確にサンプリングする必要性を強調します。講師は CIR モデルの正確なシミュレーションを実演し、正確なサンプルを生成する利点を強調します。
次に、講師は、オイラー離散化と比較して、より大きなタイム ステップとより高い精度を可能にする、ほぼ正確なシミュレーションの概念を紹介します。 Heston モデルはオイラー スキームとミルシュタイン スキームの両方を使用してシミュレーションされ、結果が比較されます。ヨーロッパ型のペイオフでは弱い収束が重要であるのに対し、経路依存のペイオフでは強い収束が重要であることに注意してください。実際のアプリケーションにおける計算時間の制約を考慮して、利益のタイプと望ましい結果の品質に応じて、ステップまたはパスの数を調整する必要があります。
評価に必要な計算時間について説明し、オイラー離散化スキームとミルシュタイン離散化スキームのコード比較を示します。講師は、実稼働環境でのコードの最適化についてアドバイスし、最終的な株式価値のみを必要とするペイオフ評価にはパス全体を保存する必要がない可能性があることを強調しました。この講義では、Black-Scholes モデルの簡略化された実装として正確な解決策も提供します。
モンテカルロ シミュレーションを使用したデジタル オプションまたはキャッシュ オア ナッシング オプションの価格設定について説明し、ヨーロッパのオプションと比較したペイオフ計算の違いを強調します。両方のタイプのオプションのアプローチを比較するために、診断と出力が表示されます。この講義では、強い収束が存在しない端末依存のペイオフを持つオプションに対するモンテカルロ シミュレーションの限界を認識しています。コードの汎用的な性質が強調されているため、ヘストン モデルなどの他のモデルにも適用できます。
この講義では、ヘストン モデルが適切に動作するために必要な条件を詳しく掘り下げ、離散化技術がこれらの条件にどのように影響するかについて説明します。ボラティリティ パラメーターの変更がモデルの動作に及ぼす影響はグラフを通じて示され、プロセスがマイナスにならないことが強調されます。これらの条件を維持する際のオイラー離散化の限界も強調されています。モンテカルロ シミュレーションによるヘストン モデルの次の反復における負の実現の確率について説明します。マイナスの実現の可能性は、特定のパラメータ間の関係に基づいて計算され、大幅な価格差を回避するためにモンテカルロ パスをモデルと一致させることの重要性が強調されます。ヘストン モデル シミュレーションで負の値を処理するための 2 つのアプローチ、切り捨てと反射オイラー スキームについて説明します。それぞれのアプローチの長所と短所が比較され、計算コストは高くなりますが、より小さいタイム ステップがバイアスの低減に与える影響についても言及されています。
この講義では、ヘストン モデルにおける CIR プロセスの正確なシミュレーションの使用を検討し、非中心カイ二乗分布から直接サンプリングを可能にします。このアプローチにより、小さなタイム ステップの必要性が回避され、対象となる特定の時間でのサンプリングが可能になります。シミュレーションの計算コードについて説明し、その単純さとサンプル生成の最適性を強調します。この講義では、X 値と分散値の両方に対するヘストン モデル プロセスの統合について詳しく説明し、置換によって達成される単純化を強調します。多次元シミュレーションにおけるプロセスの適切な順序付けの重要性が強調され、統合を容易にするために大きなタイム ステップを使用することが推奨されます。この講義では、品質を維持しながら計算時間を短縮することを目的として、特定の日付でオプションの価格設定を行うための大規模なタイム ステップ シミュレーションの重要性について説明します。追加の近似を導入せずに、非心カイ二乗分布からのサンプリングを使用した正確なシミュレーションをお勧めします。この講義では、シミュレーション精度に対するデルタ t の影響についても説明し、結果に対するデルタ t の影響を調査することを提案します。
講義では、ヘストン モデルのほぼ正確なシミュレーションのパフォーマンスを分析する数値実験を紹介しながら、計算ファイナンスにおける誤差の概念について説明します。この講義では、積分を単純化し、CIR プロセスのほぼ正確なシミュレーションを使用することにより、シミュレーションが確率論的ではなく決定論的になることを説明します。講師は、ヘストン モデルをシミュレートする際に、この単純化されたスキームのパフォーマンスを評価する数値実験を実施します。
この講義では、計算量と計算ファイナンスのフレームワークに導入される小さな誤差との間のトレードオフについてさらに検討します。ボラティリティプロセスのフェラー条件は実際には満たされないことが多いため、講師はモデルを市場データに合わせて調整する必要性を強調しています。講義では、ヘストン モデルの相関係数は通常、数値スキームの考慮事項が原因で非常に負になる可能性があると指摘しています。
講師は、エキゾチックなデリバティブの価格設定におけるモンテカルロ シミュレーションの使用について説明し、流動性のある金融商品に合わせてモデルを調整することの重要性を強調します。価格設定の精度は、モデルのキャリブレーションから得られたパラメーターを使用してモンテカルロ パスをシミュレートし、デリバティブに関連するヘッジ手段を考慮することによって保証されます。講師は、タイムステップが少なくても、オイラー離散化よりもほぼ正確なシミュレーションの優位性を強調し、オイラー誤差の主な原因は、極端なパラメータまたはフェラー条件の違反の下での分散プロセスの問題のある離散化にあると説明します。
ヘストン モデルにおけるオイラー離散化の精度は、ディープ イン ザ マネー、アウト オブ ザ マネー、アット ザ マネーのオプションを含むさまざまなオプションでの実験を通じて調査されます。講義では、オイラー離散化とほぼ正確なシミュレーションに焦点を当て、実験で使用されるコードを紹介します。これには、CIR サンプリングと非心パラメータを使用した丸太ストック プロセスのシミュレーションが含まれます。
講師は、オイラー離散化とほぼ正確なシミュレーションの両方を使用してヨーロッパのオプションの価格を設定するためのシミュレーションの設定と構成について説明します。 CIR プロセスの正確なシミュレーション、ブラウン運動の相関関係、および指数変換は、シミュレーションに不可欠な部分です。一般関数を使用したオプション価格設定が実証され、権利行使価格やタイム ステップなどの変数がシミュレーションの精度に与える影響が示されます。講義は、オイラー スキームと比較して、ほぼ正確なシミュレーションが少ないタイム ステップで高い精度を達成できることを強調して締めくくられます。
この講義では、ヘストン モデルでデリバティブの価格設定を行うためのモンテカルロ シミュレーションの使用について幅広く取り上げます。 CIR プロセスのシミュレーションを調査し、課題と落とし穴について説明し、さまざまな離散化スキームを比較します。この講義では、ほぼ正確なシミュレーションの利点を強調し、キャリブレーションとモデルの精度の重要性を強調し、計算金融におけるモンテカルロ シミュレーションを実装するための実践的な洞察とコード例を提供します。
コンピュテーショナル ファイナンス: 講義 11/14 (ヘッジとモンテカルロ ギリシャ語)
コンピュテーショナル ファイナンス: 講義 11/14 (ヘッジとモンテカルロ ギリシャ語)
講義では、ヘッジの概念が金融におけるデリバティブ価格設定と同様に重要であると強調されます。講師は、特定のパラメーターに対するデリバティブ価格の影響とヘッジ実験の実施方法を決定するために、感応度のさまざまな計算を詳しく調べます。ブラック・ショールズ モデルのヘッジの原則、損益のシミュレーション、動的ヘッジ、ジャンプの影響など、いくつかの重要なトピックが取り上げられています。講師は、ヘッジの概念がデリバティブの価値を決定し、ヘッジの価格がその全体的な価値を決定することを強調しました。
包括的な理解を得るために、講師は金融業界におけるヘッジの概念から説明します。金融機関は、エキゾチックなデリバティブの価値に追加のスプレッドを適用することで収入を生み出します。リスクを軽減するために、デリバティブを複製するポートフォリオが構築されます。このポートフォリオは、プラス記号とマイナスのデルタが付いたデリバティブの値で構成され、株式に対するポートフォリオの感応度に対応します。使用するモデルに合わせて売買する必要がある株の数が決定されるため、適切なデルタを選択することが重要です。講師は、契約期間全体を通じてデルタが継続的に調整され、平均利益損失がゼロになる実験を実演します。
この講義では、デルタ ヘッジの概念について説明し、動的ヘッジと静的ヘッジを区別します。デルタ ヘッジは、ポートフォリオ内のリスク要因をヘッジするために使用され、複製ポートフォリオの価値がヘッジのデルタを決定します。動的ヘッジではデルタの頻繁な調整が必要ですが、静的ヘッジではデリバティブ契約の開始時またはデリバティブ契約中の特定の間隔でのみデリバティブの売買が行われます。このビデオでは、価格設定モデルにおける確率微分方程式の数に対するヘッジの感度と、ヘッジの頻度が潜在的な損益にどのような影響を与えるかについても説明しています。
講義では、損益計算書（P&L）の概念を紹介し、デリバティブの販売時の損益の追跡とヘッジにおけるその役割について説明します。損益計算書は、オプションの売却から得られる最初の収益と、貯蓄または借入による金利に基づいて時間の経過とともに増加するデルタ値の影響を受けます。目標は、デリバティブの満期時にバランスが取れ、ブラック・ショールズ モデルに従って請求される公正価値を示す損益計算書を達成することです。ただし、モデルが適切に選択されていない場合、公正価値に追加されるスプレッドがヘッジコストのすべてをカバーできず、損失が発生する可能性があります。したがって、代替デリバティブの価格設定には現実的かつ堅牢なモデルを採用することが不可欠です。
この講義では、ヘッジの反復プロセスと満期期間終了時の損益 (P&L) の計算について詳しく説明します。このプロセスには、時刻 t0 と時刻 t1 におけるオプションのデルタを計算し、それらの差を求めて売買する株数を確認することが含まれます。講師は、オプションの売却には本質的にボラティリティの売却とプレミアムの徴収が含まれるため、何が販売され、何が回収されているかを理解することの重要性を強調します。プロセスの最後に、売却されたオプションの価値は満期時の株式価値に基づいて決定され、損益は初期プレミアム、満期時の価値、反復プロセスを通じて売買された株式の数量を使用して評価されます。 。
講師は、株式価値に関する変動性と感受性を軽減する手段として、コンピューテーショナル・ファイナンスにおけるヘッジに焦点を移します。この講義では、損失を最小限に抑えるためにヘッジがどのように役立つかを明らかにし、モンテカルロ パス シミュレーションにおけるピアノの分布の概念を紹介し、損益の期待値が平均してゼロになるべきであることを強調しました。エキゾチックなデリバティブの販売とヘッジから得られる利益は、予想損益がゼロであるため、顧客に請求される追加スプレッドから生じます。
フーリエ変換モデルのような高度なモデルにおける未知の密度によってもたらされる課題を克服するために、感度の計算に別の方法が使用されます。このようなアプローチの 1 つは、確率過程のパラメーターに関する確率変数の導関数を計算するための数学的フレームワークを提供する、Malliavin 計算です。
マリアビン計算では、古典的な導関数の概念を確率過程によって駆動される確率変数に拡張する、マリアビン導関数の概念が導入されています。この導関数により、従来の方法が適用できない複雑なモデルの感度の計算が可能になります。マリアビン導関数を利用することにより、専門家はフーリエ変換モデルのさまざまなパラメーターに関する感度を取得できます。このアプローチでは、モデル内に存在する複雑な依存関係とダイナミクスが把握されるため、より正確な価格設定とリスク管理が可能になります。ただし、マリアビン計算を利用するには、高度な数学的手法と確率分析の深い理解が必要であることに注意することが重要です。これは、通常、クオンツ ファイナンスと数理ファイナンスの専門家によって研究される専門分野です。
要約すると、フーリエ変換モデルなど、未知の密度を含むモデルを扱う場合、マリアビン計算は感度を計算するための強力なツールを提供します。このアプローチにより、複雑な財務シナリオにおけるリスクの評価とデリバティブの正確な評価が可能になります。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 12/14 (フォワード スタート オプションとベイツのモデル)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 12/14 (フォワード スタート オプションとベイツのモデル)
この講義では、フォワード スタート オプションの複雑さを掘り下げます。フォワード スタート オプションは、開始日が遅れる欧州オプションの一種で、パフォーマンス オプションと呼ばれることがよくあります。これらのオプションは標準的なヨーロッパのオプションよりも複雑であり、講義ではそのペイオフの定義とヨーロッパのオプションと比較した利点の概要を説明します。
フォワード スタート オプションの価格設定テクニックはより複雑で、特徴的な機能の使用に焦点を当てて講義します。ここでは、2 種類のフォワード スタート オプションを検討します。1 つは Black-Scholes モデルを使用し、もう 1 つは Heston モデルに基づくより挑戦的な価格設定です。 Python での実装とボラティリティに応じた製品の価格設定についても説明します。この講義では、構成要素としてのヨーロッパのオプションの重要性と、その調整とエキゾチックなオプションとの関係を強調します。マートン ジャンプを組み込むことでヘストン モデルを拡張するベイツ モデルに触れ、適切にキャリブレーションされたモデルを保証するためのヘッジ パラメーターの使用に焦点を当てます。このビデオでは、フォワード スタート オプションの未知の初期在庫価格が将来の時点 (t1) でどのように決定されるかを説明し、これらのオプションに関連するフィルタリングの概念を紹介します。この講義では、フォワードスタートオプションが他のデリバティブの構成要素としてどのように機能するかについても検討し、デリバティブのコストを削減する戦略を提示します。さらに教授は、クリック オプションの構築、望ましいデリバティブ構造、およびヨーロッパ コールとフォワード スタート オプションとの関係についても取り上げます。講義では、価格設定の割引率を計算する際に支払日を特定することの重要性を強調しています。また、2 つの銘柄の比率をその比率の対数の指数として再定式化する方法も示します。
モンテカルロ シミュレーションやブラック ショールズ モデルなどの分析ソリューションを含む、フォワード スタート オプションのさまざまな価格設定方法について説明します。特定のクラスのプロセスにおける任意のモデルの前方開始オプションの価格設定を可能にする前方特性関数を見つける必要性について説明します。この講義では、特性関数を使用したフォワード スタート オプションの価格設定と 2 銘柄の IU 対数の期待値を示します。特性関数を決定する際に、より大きなシグマ フィールドでの条件付けが検討され、マイナスの対数を持つ指数が予想外に取得されることが可能になります。 T2からT1までの割引された特徴的な機能も利用されます。
この講義では、将来の期待を表し、リスク中立尺度に対する期待として表現される先物通貨関数について詳しく説明します。これは、決定論的な金利によって、割引通貨関数と非割引通貨関数の間に差異が生じないことを説明しています。ただし、確率的金利は複雑さをもたらします。追加の期待値を含む順方向開始特性関数を導出するプロセスの概要が、実用化に向けて外部の期待に対する解析的解決を可能にする重要性とともに概説されています。次に、順方向開始特性関数が Black-Scholes モデルと Heston モデルに適用されます。
さらに、この講義では、Black-Scholes モデルのフォワード スタート通貨関数に焦点を当てます。価格設定は初期の株価ではなく、長期にわたるパフォーマンスのみに依存する必要があり、割引通貨関数と比較してソリューションを簡素化することに注意してください。複数の次元に分散部分が存在する場合は、内部の期待値を解決する必要があります。 Black-Scholes モデルの正確な表現が示されており、2 つの株式の比率の分布が初期の株式価値に依存しないことが確認されています。分布は、p1 から t2 までの増分を含む幾何学的なブラウン運動に単純化されます。
ブラック・ショールズモデルに基づくフォワードスタートオプションの価格設定について説明し、異なる時点での 2 つの株式の比率に対する幾何学的なブラウン運動の使用を強調します。フォワード スタート オプションのコールおよびプット オプションの価格設定ソリューションは、欧州のコールおよびプットの価格設定ソリューションとよく似ていますが、権利行使調整と割引時間にわずかな違いがあります。講演では、価格を計算する際には、他のモデルを使用する場合でも、ブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティを使用することの重要性が強調されています。それは、ブラック・ショールズが市場標準と一致しているからです。また、フォワード スタート オプションの 2 つのパラメーターを考慮するという講師の推奨を強調し、視聴者にブラック ショールズ価格がこのモデルに基づいて分析的に既知であることを思い出させます。
次に、講演者はハッスル モデルを詳しく調べます。このモデルでは、分散を表す 2 番目の確率過程を導入することにより、前方開始オプションの特性関数の複雑さが増加します。ただし、講演者は、ストックプロセスの限界分布のみに焦点を当てているため、オプションの価格設定にはこの 2 番目の次元は必要ないと説明しています。特性関数を簡略化して代入すると、先物通貨関数の式が得られます。講演者は、式に含まれる関数の詳細について、Hassle モデルのスライドを再度参照することを提案しています。
講義は、Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 過程のモーメント生成関数の議論に進み、ヘストン モデルにおける順特性関数の閉形式表現を示します。講師は、モーメント生成関数を閉じた形式にすることで、より高速な計算が可能になると述べています。モーメント母関数を先物通貨関数に代入することにより、先物特性関数の閉形式式が導出される。最後に、講演者はヘストン モデルと派生式を使用して、開始オプションの価格を予測する数値実験を紹介します。
次に、スピーカーは前方開始オプションとベイツ モデルに焦点を移します。彼らは分散プロセスが dvt によってどのように表されるかを説明し、ボラティリティと分散のパラメータについて議論します。講演者は、パラメータに対するインプライド・ボラティリティの影響と、フォワード・スタート・オプションにおける時間距離の影響を観察するために 2 つの実験を実施しました。実験は、インプライド・ボラティリティの形状は同じままであるものの、レベルが異なることを示しています。時間距離が増加するにつれて、ボラティリティは長期分散の平方根に収束します。講演者は、t1 と t2 付近でより集中した密度を持つ、より短い満期オプションの背後にあるロジックを説明します。コードを使用した追加の実験は、インプライド ボラティリティを比較するために実行されます。
続いて、講師は、フォワード特性関数の実装と、フォワード開始オプションの価格設定のためのコスト手法について説明します。順特性関数は、ヘストン モデルや CIR プロセスのモーメント生成関数など、ラムダ式とさまざまなパラメーターを使用して定義されます。フォワードスタートオプションの価格設定のコスト方法は、欧州オプションの価格設定方法と似ていますが、2 つの異なる時点を処理するための調整が含まれています。講師は、フォワード インプライド ボラティリティを計算する際に、ニュートン ラフソン アルゴリズムの適切な初期推定値を取得するためのコツを共有します。これには、ボラティリティ グリッドの定義と市場価格の補間が含まれます。
講義は、ニュートン・ラフソン法を用いたフォワード・インプライド・ボラティリティの計算プロセスの説明に進みます。モデルからのオプション価格と市場価格の違いについて説明し、講師は SciPy 最適化関数を適用してニュートン・ラフソン法を計算し、インプライド ボラティリティとも呼ばれる最適なボラティリティを取得する方法を実演します。このセクションでは、長期平均と初期分散が同じであり、インプライド ボラティリティとフォワード インプット ボラティリティのレベルが一致していることを確認します。ポアソン分布に従う独立確率変数 j によって駆動される追加のジャンプを組み込んだヘストン モデルの拡張であるベイツ モデルも導入されています。
この講義では、ヘストン モデルとベイツ モデルの違いを強調します。ヘストン モデルは、満期が長い株式オプションのスマイルとスキューを調整するのには適していますが、1 ～ 2 週間以内に満了するオプションなど、満期が短いオプションでは困難を伴います。ベイツ モデルは、独立したジャンプを導入することでこの問題に対処し、短期オプションのより適切な調整を可能にします。 Bates モデルには多くのパラメータが含まれていますが、Heston モデルから拡張することは難しくありません。対数変換はベイツ モデルの特性関数を導出するために必要ですが、ジャンプを追加した場合でもモデルを適切に校正できることに注意してください。
次に、講演者は、特に確率論的強度に焦点を当てて、ベイツ モデルの修正について説明します。講演者は、現在のパラメータを調査せずに不必要な複雑さを導入するため、強度を確率論的にする必要はないという意見を表明しています。代わりに、モデル内の強度は状態変数内で線形に保たれ、一定のドリフトとして定義されます。講演者はアフィン ジャンプ拡散フレームワークを分析し、その導出の詳細を本書に記載しています。 Heston モデルと Bates モデルの特性関数の唯一の違いは、Bates モデルの「a」項にあります。さらに、2 つの補正項にはジャンプに関するすべての情報が含まれています。数値結果が表示され、強度、ジャンプの変動性、j の分布を表す mu j の影響が分析されます。
Heston モデルの Bates モデルへの拡張について説明します。 Bates モデルは、すべての市場情報に合わせてモデルを調整するために使用され、他のモデルと比較して利点が得られます。このモデルのコードはシンプルであり、特にすべての市場情報に対する調整が重要な短期オプションの場合にさらなる柔軟性を提供します。この講義では、フォワード スタート オプションやパフォーマンス オプションの価格設定から得た知識を利用して、バリアンス スワップなどのより興味深いデリバティブの価格設定についても説明します。
講演者は、投資家が資産の将来のボラティリティに賭けることを可能にする、バリアンス スワップと呼ばれる一種のデリバティブを紹介します。分散スワップのペイオフは、特定の日付グリッドにわたる二乗対数株価パフォーマンスの合計を、以前の株価パフォーマンスで割ったものとして定義されます。講師は、この利得の異常な定式化は、確率微分方程式と関連付けるとより明確になると述べています。このデリバティブの価格を設定する際、権利行使価格が一定の期待値と等しい場合、開始時のスワップの価値はゼロになります。さらに、講演者は、ほとんどのスワップは額面で取引される、つまり 2 つの取引相手が売買に同意した場合、契約の価値はゼロになると説明しています。
次に、講義では、ベイツ モデルの時間依存フレームワークと、時間依存ボラティリティの積分を時間の経過に伴う導関数のパフォーマンスにどのように結び付けるかについて説明します。ペイオフは対数パフォーマンスの二乗として定義され、ボラティリティの積分に相当します。講演者は、シグマ v 二乗の期待値と確率微分方程式を使用して、契約の 3 番目の値を見つける方法を説明します。さらに、財務における必須の要素として、252 営業日のスケーリング係数が導入されています。
最後に、講演者は、投資家が資産の将来のボラティリティに賭けることを可能にするデリバティブ契約であるバリアンス スワップの公正価値について取り上げます。スワップの公正価値は、ゼロから契約の満期までの期間に対応するスケーリング係数に金利に対応する要素を加え、q log st を st0 で割った期待値を引いたものとして表現できます。この期待値の評価は、モンテカルロ シミュレーションまたは株式の分析分布を通じて行うことができます。興味深いのは、すべての小さな間隔のパフォーマンスが複合化されているにもかかわらず、最終的な株式価値を初期値で割った比率または対数に等しいということです。
この講義では、フォワード スタート オプション、パフォーマンス オプション、ヘストン モデル、ベイツ モデル、およびバリアンス スワップに関連する幅広いトピックを取り上げます。価格設定手法、Python での実装、金融デリバティブにおけるこれらの概念の重要性についての洞察を提供します。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 13/14 (エキゾチックなデリバティブ)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 13/14 (エキゾチックなデリバティブ)
この講義では、エキゾチックなデリバティブの価格設定と、価格設定モデルを経路依存のケースに拡張することに焦点を当てます。ペイオフ構造を拡張する主な動機は、株式市場の変動にさらされながらも、より安価な価格を顧客に提供することです。デジタル機能とバリアの使用は、望ましい露出を維持しながらデリバティブコストを削減する手段として検討されています。この講義では、バイナリとデジタル、バリア オプション、アジア オプションなどのさまざまなタイプのペイオフを掘り下げ、デリバティブ価格への影響を検討します。さらに、この講義では、マルチアセット オプションの価格設定と、数百株のバスケットを処理するためのモデル拡張の可能性についても説明します。
金融商品の価格設定手順について説明します。まず、商品仕様と、ブラック・ショールズ モデル、ジャンプ、確率的ボラティリティ モデルなどの確率微分方程式を使用したモデル化と価格設定に必要なリスク要因について説明します。製品の複雑さに応じて、正確な価格設定には 1 次元または 2 次元の方程式系で十分な場合があります。このプロセスには、キャリブレーションとヘッジも含まれており、製品の価格設定とヘッジコストを最小限に抑えるために最適なパラメーターのセットが選択され、裁定取引のない環境が確保されます。
ヨーロッパのオプション、アメリカのオプション、バミューダのオプションに重点を置いて、さまざまなタイプのオプションが定義されています。欧州オプションはエキゾチックなデリバティブの基本的な構成要素と考えられていますが、タイミングを計るのが難しく、重大なリスクを伴う可能性があります。アメリカのオプションでは柔軟性が高く、いつでも行使が可能ですが、バミューダのオプションでは指定された日付でのみ行使が可能です。
エキゾチックなデリバティブとパス依存のオプションが導入されます。これらは、特定の時点での限界分布だけではなく、株式の履歴全体に依存します。バイナリとデジタルを使用してペイオフ関数を調整すると、微分値が大幅に減少することが示されています。この講義では、資産か無か、現金か無か、株式か無か、複合オプション、選択オプションなど、さまざまな種類のエキゾチックなデリバティブについて取り上げます。これらのオプションには、コストを制御するために、最大値、最小値、またはその他の制限など、何らかの方法で契約を制限することが含まれます。過去、特に高金利時代におけるエキゾチックなデリバティブの人気についても議論されています。
エキゾチックなデリバティブで高い利益を生み出す戦略を解説します。この戦略には、投資の大部分をリターンが保証された安全口座に割り当て、潜在的なオプションの支払い額を設定することが含まれます。この戦略は現在は一般的ではありませんが、過去には効果がありました。この講義には、契約を評価し、潜在的な株式の成長に上限を設定することでその価値を減らすためのコード例も含まれています。この講演では、ペイオフ構造を少し調整するだけで評価額が大幅に下がり、顧客にとってデリバティブがより魅力的なものになる可能性があることを強調しています。バリアと経路依存性を導入することで、コストを削減できます。アップアンドアウト、ダウンアンドアウト、アップアンドイン、ダウンアンドインオプションなどのさまざまなバリアオプションと、株式の過去の動きに基づくデリバティブ価格への影響について説明します。
ルックバック オプションの概念が検討され、株式の存続期間中の最大値または最小値が満期時の利益を決定します。ルックバック オプションにはパス依存性が組み込まれており、満期時の株式が行使価格よりも低い場合でも、プラスの配当を得ることができます。この講義では、モンテカルロ シミュレーションと偏微分方程式 (PDE) を使用したルックバック オプションの実装について説明し、バリア オプションの特別な境界条件と他のエキゾチックなデリバティブへの拡張を強調します。
バリア オプションについて詳細に説明し、カウンターパーティの顧客に対するバリア オプションの魅力と、クロスカレンシー市場での使用方法に焦点を当てます。この講義では、アウト、イン、ダウン、アップのオプションを含むバリア オプションの構成と利益について説明します。講師は、バリアオプションは時間に依存する可能性があり、契約がより複雑になる可能性があることを強調します。モンテカルロ シミュレーションと偏微分方程式は、バリア オプションの価格設定の計算方法として提示されます。
この講義では、アップ・アンド・アウト・オプションと標準的なヨーロッパのオプションを比較し、バリアによって引き起こされるペイオフによるアップ・アンド・アウト・オプションの価値の大幅な減少に注目します。株式が存続期間中に特定のレベルを超えない場合にのみペイオフが発生する、アップアンドアウトバリアオプションの概念が導入されます。この講義では、プログラミング演習を通じてデリバティブの価格に対するバリアの影響を実証し、アップアンドアウトバリアオプションの価格が、同様のペイオフ構造を持つデジタルオプションの価格と同等であることを示します。
次に、講師はモンテカルロ シミュレーションを使用したアップ アンド アウト バリアの実装について説明します。満期時の株価のみに依存するデジタル オプションのペイオフとは対照的に、アップ アンド アウト バリアでは、デリバティブの存続期間全体にわたる株価の動きの履歴も考慮されます。ブール行列と論理条件を利用して、バリアに到達したかどうかを判断する関数が定義されています。結果として得られる「ヒット ベクトル」は、パスごとにバリアにヒットしたかどうかを示すバイナリ ベクトルです。講師は、バリア値の変更がヒット ベクトルにどのような影響を与えるかを実演し、バリアにヒットした場合の見返りは 0、ヒットしなかった場合は 1 であることを強調しました。
デリバティブ契約に障壁を導入するという概念は、デリバティブ契約の価値を削減し、特定の資産へのエクスポージャーを求める顧客にとってより手頃なオプションを提供する方法として説明されています。バリアの存在はデリバティブの価値に大きな影響を与え、株価が指定されたレベルを超えない場合には損失が発生する可能性があります。しかし、障壁を組み込むことでデリバティブ価格を約30％引き下げることができ、投資家にとってデリバティブはより魅力的なものとなる。それにもかかわらず、障壁のある不連続デリバティブは、ヘッジコストの点で課題を引き起こす可能性があり、そのコストは無限に上昇する可能性があります。この問題を軽減するために、講師は、コストを削減するための代替方法を使用して利益を再現することを提案しています。
このビデオでは、異なる権利行使価格でコール オプションを戦略的に売買することで、オプションのデジタル機能を再現するという概念が紹介されています。権利行使価格が互いに近づくにつれて、結果として得られる利益はデジタル オプションにより近くなります。ただし、講師は、デルタ感度とガンマ感度の変化によるオプションの不連続性を正確に再現するのが難しいことを認めています。近似値をヘッジに使用することはできますが、オプションのデジタル的な性質によって生じる潜在的なヘッジ損失を補うためにプレミアムを請求することが重要です。このビデオでは、デジタル制限の導入やペイオフ構造の変更によってデリバティブコストを削減するという概念を強調しています。
次に講義は、原資産に関連するボラティリティと不確実性を軽減し、結果としてデリバティブ価格を下げる手段としてのアジアのオプションについて議論します。アジアのオプションは、変動する株式の平均的な動きに基づいており、株式自体よりもスムーズな傾向があり、それに伴う不確実性が軽減されます。講師は、固定および変動ストライクコールとプットを含む、市場で利用可能なアジアのオプションのさまざまなバリエーションを探ります。変動ストライクオプションは、不確実性を軽減し、特定の原資産レベルに関連するリスクを軽減できるため、特にコモディティ取引で人気があります。
講演者はさらに、株式の平均を計算するさまざまな方法について説明し、取引における平均の重要性を強調します。算術平均と幾何平均の 2 種類の平均が導入されていますが、幾何平均はその解析的表現のため数学的分析に適しています。実際には、加算がよく使用され、モンテカルロ シミュレーションや偏微分方程式などの近似手法が必要になります。この講義では、連続平均の概念についても詳しく説明します。連続平均は積分表現であるため算術平均とは異なり、価格設定の問題にさらなる側面が追加され、解決がより複雑になります。
その後、焦点はアジアのオプションの価格設定に移りますが、これには一次元の問題から離れ、より高次元の考慮事項が含まれる必要があります。アジアン オプションでは、株価と株価の積分という 2 つの独立変数が導入されます。オプションのペイオフは、満期時に支払いが行われる、観測された積分またはゼロから満期までのパスによって異なります。この講義では、最終部品に依存する数量を伴うエキゾチックなデリバティブ契約の価格設定が困難であり、より高度な技術が必要になる可能性があることを認識しています。ただし、アジアン オプションによって導入された複雑さにもかかわらず、デルタ ヘッジは依然として適切なヘッジ係数を達成するのに効果的です。講師は、アジアのオプションの価格設定にモンテカルロ シミュレーションを使用する方法について説明し、高次元の問題を処理する際の柔軟性を強調します。モンテカルロ シミュレーションでは、株価の複数のパスをシミュレートし、平均ペイオフを計算することで、オプション価格の推定値を得ることができます。この講義では、収束の問題や正確な結果を得るために十分な数のパスの必要性など、モンテカルロ シミュレーションの潜在的な課題についても言及します。
次に講師は、リベート付きバリア オプションとして知られる別のタイプのエキゾチック オプションについて説明します。このオプションは、前述のバリア オプションと同様の構造を持っていますが、バリアに到達した場合には追加のリベートが支払われます。リベートの存在により、バリアが突破された場合にオプション保有者が補償され、潜在的な損失が軽減されます。講義では、リベートの支払いによりオプションのコストが削減され、投資家にとってより魅力的なものになると説明されています。
リベートを使用してバリア オプションの価格を設定するために、講師は、ノックアウト オプションの逆であるリバース ノックアウト オプションの概念を紹介します。リバース ノックアウト オプションでは、バリアにヒットしなかった場合にリベートが支払われます。リバースノックアウトオプションの価格を設定し、リベートの支払いを差し引くことで、リベート付きバリアオプションの価格を決定できます。このビデオでは、モンテカルロ シミュレーションを使用してこの価格設定方法を実装する例を示しています。
講義全体を通じて、エキゾチックなデリバティブ契約を理解し、効果的に価格設定することの重要性が強調されます。エキゾチックオプションは投資家に柔軟性とカスタマイズされたソリューションを提供しますが、その価格設定とリスク管理には洗練されたモデルと技術が必要です。講演は、この分野におけるさらなる研究開発の必要性と、デリバティブ価格設定手法を強化し、市場参加者の進化するニーズに応えるための学界と産業界の協力の重要性を強調して締めくくられます。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 14/14 (コースの概要)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 14/14 (コースの概要)
計算ファイナンスに関するシリーズは、各講義で取り上げられた重要なトピックの包括的な要約で終了しました。このコースは、確率微分方程式、暗黙のボラティリティ、ジャンプ拡散、拡散過程のアフィンクラス、確率的ボラティリティモデル、オプション価格設定のためのフーリエ変換など、幅広い主題に及びました。また、モンテカルロ シミュレーションやさまざまなヘッジ戦略などの数値手法についても詳しく説明しました。
後の講義では、焦点がフォワード スタート オプションとエキゾチックなデリバティブに移り、コース全体で得た知識がこれらの複雑な金融商品の構築に適用されました。最初の講義ではコースの概要を説明し、金融工学、さまざまな市場、資産クラスの基本原則について説明しました。講義 2 では、コモディティ、通貨、暗号通貨に重点を置き、さまざまなタイプのオプションとヘッジ戦略を具体的に取り上げました。
コールおよびプット オプションの価格設定とヘッジとの関係は、コース全体を通じて中心的なテーマでした。講師は、裁定取引の機会を避けるために、ヘッジ戦略の価格は常にデリバティブの価格と同等であるべきであると強調しました。資産価格やランダム性の測定など、さまざまな資産クラスのモデル化の数学的側面について説明しました。確率過程、確率微分方程式、および伊藤の補題は、金融商品の価格設定に不可欠なツールとして強調されました。 Python シミュレーションもデモンストレーションされ、確率微分方程式が価格設定の目的で実際の株価の動きをどのようにシミュレートできるかを示しました。ブラック・ショールズモデルの長所と短所が取り上げられ、ポートフォリオ管理とヘッジ戦略の一貫性を確保するための全体的な視点の必要性が強調されました。
マーチンゲールはオプション価格設定における重要な概念として繰り返し強調され、コースで取り上げられたその他の重要なトピックには、ブラック-ショールズ モデル、インプライド ボラティリティ、ニュートン-ラフソン アルゴリズムの収束、時間依存のボラティリティの制限などが含まれます。シミュレートされたプロセスがマーチンゲールであるかどうかを検証するための Python コーディングの実際の応用と、ドリフトに対する測定の影響が調査されました。このコースでは、単純なヨーロッパのオプションの価格設定について深い洞察を提供し、価格を計算するためにさまざまなモデルや尺度をどのように使用できるかを示しました。
ブラック-ショールズ モデルの限界について、特にモデルへのジャンプの組み込みに関連して議論されました。ジャンプはインプライド ボラティリティ サーフェスの調整を改善し、スキューを生成する可能性がありますが、同時に複雑さをもたらし、ヘッジ効率を低下させます。ヘストン モデルなどの確率的ボラティリティ モデルは、エキゾチック オプションの調整と価格設定におけるモデルの柔軟性を高めるために導入されました。さらに、解決策として、迅速な価格設定手法が提示されました。講義では、フーリエ変換のアフィン モデル内で使用するモデルまたは確率微分方程式が満たさなければならない条件についても概説しました。
株式や株式の価格設定に関する 2 つの重要なモデル、つまり拡散プロセスのアフィン クラスと確率的ボラティリティ モデル、特にヘストン モデルについて説明しました。拡散プロセスのアフィン クラスにより、欧州オプションの迅速な調整が可能になります。一方、ヘストン モデルは、欧州オプションからの暗黙のボラティリティの表面全体を調整する柔軟性を提供します。講義では、モデル内の相関関係の影響と利点、PDE の価格設定、モデルがプロセスのアフィン クラスに属する場合の価格設定のためのフーリエ変換の使用について説明しました。これらのモデルを理解して活用することは、コンピューテーショナル ファイナンスにおける貴重なスキルとして強調されました。
コールオプションとプットオプションに焦点を当てた欧州オプションの価格設定が、別の講義の中心でした。特性関数の使用と複素数値常微分方程式系を解く能力が、解を得る数値手法の重要性とともに強調されました。実際のアプリケーションと業界で受け入れられるためには、優れたモデルと効率的な校正および評価のバランスをとることが重要視されました。価格設定におけるフーリエ変換の cos 法の利点と、Vital でのその実装について説明しました。効率的なキャリブレーションと価格設定のためのモンテカルロ シミュレーションの利用も推奨されました。
エキゾチックなデリバティブの価格設定におけるモンテカルロサンプリングについては、別の講義で詳しく説明しました。複数の次元、モデルの複雑さ、正確な価格設定における計算コストによってもたらされる課題に対処しました。モンテカルロ シミュレーションは、エラーの削減と精度の向上に焦点を当てた、代替の価格設定アプローチとして提示されました。講義では、積分、確率積分、オイラースキームやミルシュタインスキームなどの校正手法など、モンテカルロサンプリングのさまざまな側面を取り上げました。ペイオフ関数の滑らかさの評価と、弱いコンバーターと強いコンバーターを理解することが、正確な価格設定を確保するために重要であることが強調されました。
ヘストン モデルに特化した講義では、キャリブレーションにおける柔軟性、インプライド ボラティリティ サーフェス モデリング、および効率的なモンテカルロ シミュレーションについて説明しました。講義では、分散プロセスの Cox Ingersoll Ross (CIR) プロセスの正確なシミュレーションに関連するヘストン モデルのほぼ正確なシミュレーションにも触れました。オイラーおよびミルシュタインの離散化手法では CIR プロセスで問題が発生する可能性がありますが、シミュレーションを実行する効率的な方法があります。講義では、特にデルタヘッジを扱い、市場の高騰を考慮する場合、シミュレーション用の現実的なモデルを検討することの重要性が強調されました。
金融におけるヘッジの概念については、別のビデオで徹底的に説明しました。ヘッジには、ポートフォリオを管理し、取引後の契約を積極的に維持することによって、リスクへのエクスポージャーと潜在的な損失を軽減することが含まれます。このビデオは、価格設定を超えて契約満期までの継続的なリスク管理を含むヘッジの重要性を強調しました。デルタヘッジと市場高騰の影響について議論し、正確なシミュレーションのために現実的なモデルを採用することの重要性を強調しました。
デルタ ヘッジの限界については別の講義で取り上げ、より複雑なデリバティブについてはガンマ ヘッジやベガ ヘッジなどの他のタイプのヘッジを考慮する必要性を強調しました。感度の計算と、有限差分、経路感度、尤度商などの効率を向上させる方法について説明しました。講演では、フォワードスタートオプションの価格設定と、初期在庫が不確実な場合のオプションの価格設定に関連する課題についても掘り下げました。オプションの値は特性関数を使用して導出され、講義は暗黙のボラティリティとその Python での実装についての議論で終わりました。
金融モデル、特にヘストンモデルにおける追加のジャンプに関する講義では、パラメーターの調整とヘッジ戦略への影響を探りました。分散スワップとボラティリティの積についても、ブラック・ショールズ力学を使用した奇妙な表現、分散スワップ契約、条件付き期待値の関係に焦点を当てて議論されました。さらに、講義では、バイナリーおよびデジタルオプション、パス依存オプション、バリアオプション、アジアオプションなどのさまざまな技術を使用した商品の構造についても掘り下げました。また、複数の資産に関わる契約の価格設定についても触れた。この講義は、コース全体で得た知識の要約として機能し、将来的により高度なデリバティブに取り組むための基礎を提供しました。
最後の部分では、講演者は視聴者が全 14 回の講義を無事に完了し、計算ファイナンス、金融工学、デリバティブ価格設定の知識を習得したことを祝福しました。視聴者は、新たに得た専門知識を実践的な環境で応用したり、知識を広げるためにさらなるコースを検討したりすることが奨励されました。講演者は、彼らが金融業界で成功することを祈り、彼らが将来の努力に向けて十分な準備ができていることを確信した。
金融工学コース：講義1/14（コースの紹介と概要）
金融工学コース：講義1/14（コースの紹介と概要）
インストラクターはまず金融工学に関するコースを紹介し、その目的と重点分野を強調します。このコースは、金利と、外国為替やインフレなどの複数の資産クラスを深く掘り下げることを目的としています。最終的な目標は、学生が線形商品で構成されるマルチ資産ポートフォリオを構築し、xva およびバリュー アット リスクの計算の実行に習熟することです。コースの内容を十分に理解するには、確率微分方程式、数値シミュレーション、および数値手法に関する事前知識が必要です。
コース構造の概要は、各セッションの最後に宿題が課せられる 14 の講義で構成されています。コース全体で使用されるプログラミング言語は Python であり、説明した概念の実践的な実装と応用が可能になります。
講演者は、コンピューテーショナル・ファイナンスに関するコースの実践的な性質を強調します。理論的な知識もカバーされていますが、実装の効率性と各講義での Python コード例の提供に重点が置かれています。コース教材は、書籍「A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance」に基づいていますが、自己完結型です。この講義ではコースのロードマップの概要も提供され、学生は 14 の各講義で扱われるトピックを明確に理解できます。
最初の講義では、コース全体の概要を説明し、xva および var の計算を実行するという最終目標を達成するために扱われる概念の重要性を強調することに重点を置いています。
講師は、金融工学コース全体で扱われるトピックの広範な概要を説明します。これらには、フルホワイトおよびフルホワイト 2 要素モデル、メジャー、フィルタリング、確率モデルなどのさまざまなモデルが含まれます。線形商品やスワップションなどの非線形商品を含む金利商品の価格設定が重要な焦点です。この講義では、Python コードを使用したイールド カーブの構築、マルチカーブの構築、スパイン ポイント、および補間方法の選択について説明します。その他のトピックには、マイナス金利、オプション、住宅ローンと繰り上げ返済、外国為替、インフレ、複数資産のモンテカルロ シミュレーション、市場モデル、コンベクシティ調整、エクスポージャー計算、および cva、bcva、fva などの価値調整手段が含まれます。
コースが進むにつれてリスク管理が焦点となり、講義 13 ではコーディングと履歴データ分析を使用したリスク測定に専念します。講義 14 は、コース全体で学んだことの要約として機能します。
2 番目の講義では、Python での条件付き期待値とシミュレーションを含む、フィルタリングと変更の測定に焦点を当てます。学生は実践的な演習に取り組み、条件付きの期待値をシミュレートし、メジャーの変更を使用した価格設定の問題の利点と簡素化を探ります。
その後の講義では、インストラクターがハイジャック モデル フレームワーク、均衡対期間構造モデル、イールド カーブ ダイナミクスの概要を説明します。講義では、ショート レートと、Python でのモンテカルロ シミュレーションによるモデルのシミュレーションについて説明します。多要素拡張の検討とともに、1 要素モデルと 2 要素モデルの比較について説明します。ビデオ実験は、S&P 指数、FRB が示唆するショートレート、イールドカーブのダイナミクスを分析するために実施されます。
イールドカーブのシミュレーションは、時間の経過に伴う金利の変化を観察し、確率モデルと比較するために検討されます。取り上げられるトピックには、フルブライト モデルの親和性、正確なシミュレーション、金利商品の構築と価格設定、スワップの例における不確実なキャッシュ フローの計算などが含まれます。
イールド カーブの構築に関する講義では、イールド カーブと金利スワップ、先物金利契約、およびデリバティブの価格設定との関係について説明します。さまざまなイールドカーブの形状と市場状況との関連性について説明します。インプライド ボラティリティとスパイン ポイントの計算について、補間ルーチンと単一イールド カーブのマルチカーブ アプローチへの拡張とともに説明します。 Python の実験を使用してイールドカーブを構築し、それを市場商品に接続する実践的な側面が強調されています。
講師は、ブラック・ショールズ モデルに基づくスワップションの価格設定や、フル ホワイトまたはショート レート モデルを使用したオプションなど、金融工学に関連するトピックを検討します。 Jamshidian のトリックと Python の実験が説明されています。この講義では、マイナス金利、シフトされた対数正規シフトされたインプライド ボラティリティ、シフト パラメーターがインプライド ボラティリティの形状に及ぼす影響などの概念についても説明します。さらに、この講義では、銀行の観点から、住宅ローンの繰り上げ返済とポジションおよびヘッジへの影響について詳しく説明します。
一括住宅ローンが導入され、関連するキャッシュ フローと期限前返済の決定要因が説明されます。この講義では、住宅ローンポートフォリオに対する繰り上げ返済の影響に焦点を当て、借り換えインセンティブを市場の観察対象と結び付けます。さらに、パイプラインのリスクと金融機関によるその管理についても議論します。
このコースでは、複数の資産クラスを同時にモデル化することに進み、ポートフォリオに影響を与える可能性のある将来の潜在的なリスクをシミュレーションできます。異なる資産クラス間の相関関係が調査され、エキゾチックなデリバティブへの関心が低下している可能性があるにもかかわらず、リスク管理目的でのハイブリッドモデルの重要性が強調されています。
価格設定評価調整 (XVA) とバリュー・アット・リスクのハイブリッド モデルが、確率的ボラティリティを含む拡張とともに検討されます。この講義では、株式ダイナミクスや確率的金利など、XVA 環境に適したハイブリッド モデルについて説明します。ヘストン モデルなどの確率的ボラティリティ モデルについては 2 番目のブロックで説明し、株式プロセスと相関する確率的金利を組み込む方法について説明します。この講義では、外国為替とインフレについても掘り下げ、変動通貨の歴史と発展、先物外国為替契約、異通貨スワップ、外国為替オプションについても説明します。プロセスダイナミクスに対する測定値の変更の影響も調査され、最終的には、さまざまな資産クラスのさまざまな資産の下で定義された契約の価格設定を行い、エクスポージャーとリスク測定値を計算することを目的としています。
講師は、確率的ボラティリティに存在する量子補正要素や確率的金利による FX オプションの価格設定など、金融工学に関連する追加トピックを取り上げます。インフレの概念を探求し、貨幣ベースの定義から物品ベースの定義への進化を追跡します。 LIBOR市場モデルやコンベクシティ調整などの市場モデルについて議論し、金利動向の歴史的展望と、HJMフレームワーク内のLIBOR市場モデルなどの市場モデルの背後にある動機を提供します。この講義では、対数正規LIBOR市場モデル、確率的ボラティリティ、LIBOR市場モデルにおけるスマイルとスキューのダイナミクスについても詳しく説明します。
リスク中立の価格設定とブラック・ショールズ・モデルに重点を置き、金融商品の価格設定に使用されるさまざまな手法を取り上げます。講師は、フリーズ手法などの危険な手法の誤用を警告し、価格設定の枠組みにおけるコンベクシティ修正の重要性を強調しています。学生は、コンベクシティ修正の必要性を認識する方法と、金利の変動や市場のスマイルとスキューを価格設定の問題に組み込む方法を学びます。このセクションは、CVA、BCVA、VA、FVA を含む XVA シミュレーション、および Python シミュレーションを使用した予想されるエクスポージャ、潜在的な将来のエクスポージャ、健全性チェックの計算について説明して終わります。
講師は、デリバティブの価格設定、価格発見の重要性、取引属性の実践的側面、リスク管理手段（バリュー・アット・リスクや予想不足額など）など、金融工学コースで扱われるトピックを再検討します。金利スワップのポートフォリオを構築したり、イールドカーブ構築の知識を活用してシミュレーション結果を通じてVARや予想される不足額を見積もったりするなど、実用的なアプリケーションに引き続き焦点が当てられています。この講義では、モンテカルロ シミュレーションを使用した VAR 計算における欠損データ、アービトラージ、およびリグレーディングに関連する課題についても取り上げます。
最終講義では、バックテストと VAR エンジンのテストについて説明します。コースが最初の 14 週間を超えて延長されることを認めながら、インストラクターは、包括的で楽しい学習の旅に自信を表明しています。録画された講義は、評価調整 (XVA) とリスク価値の計算の理解の頂点に向けて学生を導きます。
金融工学コース：講義2/14、パート1/3、（フィルタリングとメジャーの理解）
金融工学コース：講義2/14、パート1/3、（フィルタリングとメジャーの理解）
講義では、講師は確率的ジャンプを備えたブラック・ショールズ モデルを詳しく掘り下げ、デリバティブ価格設定への応用例を紹介します。条件付き期待値の組み込みは、モデルの精度を向上させる手段として強調されています。さらに、数値と測定値の変更の概念についても検討し、異なる数値の間で移行することで価格設定の結果がどのように改善されるかを示します。このセクションでは、特に金利の領域におけるフィルタリング、期待、測定の変更の重要性を強調します。
この話題をさらに広げて、教授は、価格設定における尺度、フィルタリング、期待の重要な役割を強調します。これらは、株式などの指標を価格設定プロセスにどのように効果的に使用できるかを示し、指標の変更は価格設定の問題の複雑さを軽減するのに役立ちます。この講義では、確率的割引に一般的に関連付けられているフォワード尺度の概念をさらに調査します。フィルタリングは、時間、暴露プロファイル、リスクプロファイルを理解するための基本原理として説明されています。さらに、確率過程の定義と、市場データを解釈して将来の実現を予測する際のフィルタリングの重要性についても紹介します。
今後は濾過や対策の考え方を徹底的に検討していきます。フィルタリングは現在に関係する場合もあれば、将来にまで及ぶ場合もあり、確率過程を扱う場合には明確な区別が必要です。過去は株式の歴史の特異な軌跡を表しますが、将来の確率性は確率微分方程式とシミュレーションを通じてモデル化できます。このコースでは主に現在 (t0) までのフィルタリングに焦点を当てますが、その後、計算効率を高めるために将来のフィルタリングを活用することについて詳しく説明します。将来のシナリオをシミュレーションし、多様な成果を生み出すことが可能になります。しかし、本質的な不確実性を考慮すると、最も現実的なシナリオを決定することは依然として困難です。結果の分布の推定には、測定 p に関連する履歴データと校正手法の利用が含まれます。
次に、講義では尺度とフィルタリングについて詳しく説明し、価格設定とリスク管理における尺度 Q と、主にリスク管理における尺度 P の明確な役割を強調します。両方の尺度を採用する場合、どちらの尺度の適切性も一意ではないため、リスク プロファイルの将来のシナリオを作成することが不可欠になります。さらに、時間が経つにつれて、歴史的知識の蓄積により、より広範な濾過が可能になります。ただし、可測性の理解を維持し、将来の特定の時点における確率量の不確実性を認識することも重要です。
講師は、金融工学の文脈におけるフィルタリングと対策について説明します。注目すべきことに、彼らは測定可能性が不変性を意味するものではないことを強調している。むしろ、それは確率的な量を表します。フィルタリングにより、その時点で利用可能な知識の範囲が明らかになり、蓄積された知識により時間が経つにつれて拡大します。フィルタリングとメジャーの変更は財務モデリングにおける強力なツールとなり得ますが、不適切に使用すると重大な問題が発生する可能性があります。したがって、これらのツールを効果的に使用し、モデル化エラーを回避するために時間内をナビゲートする方法を把握することが重要です。このセクションは、過去のデータや市場商品から推測できる財務モデリングにおける調整プロセスの概要で終わります。
適応プロセスの概念が導入され、将来の実現を考慮せず、特定の瞬間までに入手可能な情報のみに依存するプロセスを指します。適応されたプロセスの例には、ブラウン運動や特定の期間内のプロセスの最大値の決定などが含まれます。逆に、適応していないプロセスは将来の実現に依存します。この講義では、シグマ フィールド、フィルター、期待値の間の関係を確立する、価格設定の強力なツールであるタワー プロパティについても紹介します。
条件付き期待は、特に 2 つの変数を含む関数を扱う場合に、金融工学の強力なツールとして議論されています。期待値のタワーの特性は、期待値を条件付けし、外側および入れ子になった内側の期待値を計算するために利用されます。この特性はシミュレーションに応用でき、特に確率微分方程式と特定のフィルターを使用して、ブロックチェーンのオプション価格設定モデルに適用できる特定の問題要素の分析計算を可能にします。積分方程式を組み込んで、条件付き期待値の定義を調べます。
講師は、金融工学における条件付き期待とフィルタリングの重要性を強調します。彼らは、確率変数を条件付けでき、その答えが分析的にわかっている場合、内部の期待値をサンプリングすることで外部の期待値を計算できることを強調しています。ただし、金融の分野では、条件付き密度または 2 次元密度の分析知識を持っていることはまれです。講師は、条件付き期待値は現在の観点からは依然として確率的な量であるため、コーディングにおいて条件付き期待値を正しく使用することの重要性を強調します。さらに、シミュレーション コンテキストでモデルの一部に解析ソリューションを組み込むことで収束が向上する可能性があるため、その利点についても説明しています。これらの概念を説明するために、講師はブラウン運動の外側の期待値を計算する例を示します。
講師はさらに先へ進み、将来の時点の期待を掘り下げ、期待が時間ゼロの場合と比較してその複雑さを強調します。彼らは、このシナリオには複数のパスと、条件付き期待値のサブシミュレーションを含む、パスごとにネストされたモンテカルロ シミュレーションが必要であると説明しています。この複雑さは、ブラウン運動が常に 2 つの異なる時間 t と s での値の差として表現できる独立した増分特性によって発生します。
モンテカルロ シミュレーションに焦点を移し、講演者は株式のオプション価値をシミュレーションするためのブラウン運動の構築について説明します。彼らは 2 種類のマーチンゲールを検討し、ストック オプションの条件付き期待値を計算するためのネストされたモンテカルロ法を紹介します。シミュレーションには、時刻 s までの 1 つのパスを生成し、各パスのサブシミュレーションを実行してその時点での期待値を評価することが含まれます。このプロセスには、各パスの時間 s における特定の実現の条件付き期待値を計算することが含まれます。次に、誤差は条件付き期待値と時間 s でのパス値の差として測定されます。ブラウン運動の標準化により、独立した増分を使用してブラウン運動が構築されることが保証され、モンテカルロ シミュレーション内で必要なプロパティの適用が容易になります。
最後に、講演者は、ブラウン運動のシミュレーションは単純で費用対効果が高いように見えるかもしれませんが、条件付き期待値を組み込むには、パスごとにブラウン運動の複数のシミュレーションを実行するネストされたモンテカルロ アプローチが必要であることを強調しました。したがって、このプロセスには時間がかかる場合があります。
結論として、この講義では、金融工学における測定、フィルタリング、条件付き期待、モンテカルロ シミュレーションに関連するトピックを幅広く取り上げます。デリバティブの価格設定、リスク管理、モデルの調整におけるこれらの概念の重要性が全体を通じて強調されています。これらのツールや手法の基礎となる原理を理解することで、金融専門家はモデリングの精度を高め、複雑な価格設定の問題を効果的に解決できます。
金融工学コース：講義 2/14、パート 2/3、（フィルタリングと測定の理解）
金融工学コース：講義 2/14、パート 2/3、（フィルタリングと測定の理解）
皆さん、休憩後のセッションにようこそ。本日は引き続き金融工学講座第２講の第２ブロックを進めていきます。このブロックでは、高度な概念に焦点を当てて、XVA の価格設定と金利について詳しく説明します。
前回は、Python での演習とシミュレーションとともに、フィルタリングと条件付き期待の概念について説明しました。ここで、以前に実施した実験よりもさらに進んだ追加の期待を探っていきます。具体的には、オプションの価格設定に焦点を当て、条件付き期待値からツールを活用してモンテカルロ シミュレーションの収束を向上させます。さらに、ヌメレールの概念とデリバティブ価格設定におけるその有用性についても紹介します。
このブロックでは、数値の概念だけでなく、ギルサノフの定理も使用して、ブラック・ショールズ モデルのダイナミクスをリスク中立尺度 (尺度 P) から尺度 Q に変換します。この変換には、基礎となるプロセスの変更が含まれます。幾何学的なブラウン運動に変換します。メジャー P は過去の観測値に関連付けられているのに対し、メジャー Q は通常デリバティブ価格に関連付けられていることに注意することが重要です。
3 番目のブロックでは、詳細な施策変更に焦点を当てます。メジャーの変更を使用して寸法を削減し、大きなメリットを享受するための複数の利点とコツを示します。しかし、今は今日の講義の次の 4 つの要素に集中してセッションを楽しみましょう。
まず、条件付き期待値とフィルタリングに関する知識を利用して、実際のオプションの価格設定に対処します。具体的には、欧州のオプションを検討し、条件付きの期待がその価格の決定にどのように役立つかを調査します。 Black-Scholes モデルに似ていますが、確率的ボラティリティを伴う、より複雑な確率的微分方程式を扱います。ブラック・ショールズは一定のボラティリティ (シグマ) を仮定していますが、時間依存および確率的ボラティリティを含むようにモデルを一般化します。
期待値のタワー特性を活用することで、この問題を解決し、モンテカルロ シミュレーションを改善できます。パスを直接シミュレートして確率的ボラティリティ (j) をランダムにサンプリングする代わりに、条件付き期待値を利用することでより良い収束を達成できます。 j の実現を条件付けることにより、各 j にブラック・ショールズの価格計算式を適用できます。このアプローチにより、モンテカルロ シミュレーションにおける不確実性と相関関連の問題が大幅に軽減されます。
次のセクションでは、条件付きの期待値とブラック・ショールズの公式に基づいてヨーロッパのオプションを価格設定するための正確な表現を紹介します。これには内部期待と外部期待が関係し、内部期待は j の特定の実現を条件とし、ブラック-ショールズの公式を適用します。外側の期待値では、j からサンプリングし、各サンプルに対して Black-Scholes の公式を使用する必要があります。
モンテカルロ シミュレーションで期待値にタワーのプロパティを適用した場合の影響を定量化するために、2 つのアプローチを比較します。最初のアプローチは、ブルートフォース モンテカルロ シミュレーションです。このシミュレーションでは、ブラック ショールズ モデルからの情報を利用せずに、期待値を直接サンプリングします。 2 番目のアプローチには、条件付きの期待値とブラック・ショールズの公式が組み込まれています。収束と安定性を比較すると、条件付き期待アプローチによって達成された大幅な利益が観察できます。
この情報がお役に立てば幸いです。条件付き期待の実際的な側面をさらに詳しく調べることに興味がある場合は、本書の第 3 章 (確率的ボラティリティ) と第 12 章 (タブレットの価格設定) を参照することをお勧めします。ここで、Python コードを使用したこのアプローチの実践的なデモンストレーションに進みましょう。
株価とボラティリティのモンテカルロ サンプルを生成した後、各サンプルのオプションのペイオフを計算するコードの次の部分に進みます。この場合、権利行使価格 18 のヨーロッパのコール オプションを考慮します。次の式を使用してオプションのペイオフを計算できます。
ペイオフ = np.maximum(stock_samples[-1] - ストライキ, 0)
次に、Black-Scholes の公式を使用して条件付き期待値を計算します。ボラティリティの各サンプルについて、対応するボラティリティ値を持つ Black-Scholes モデルを使用してオプション価格を計算します。
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / ストライキ) + (0.5 * (volatility_samples ** 2)) * 満期) / (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
d2 = d1 - (ボラティリティサンプル * np.sqrt(成熟度))
conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * 成熟度) * (stock_samples[0] * Norm.cdf(d1) - ストライク * Norm.cdf(d2)))
最後に、すべてのボラティリティ サンプルの条件付き期待値の平均を取ることで、全体的なオプション価格を計算します。
オプション価格 = np.mean(条件期待値)
条件付き期待値アプローチを使用することで、Black-Scholes モデルからの情報を活用して、モンテカルロ シミュレーションの収束を向上させます。これにより、オプション価格がより正確になり、満足のいく収束に必要なモンテカルロ パスの数が減ります。
ここで提供されているコードは、概念を説明するための簡略化された例であることに注意することが重要です。実際には、確率的ボラティリティ、タイムステップ、その他のモデルの仮定などの要因を考慮して、追加の考慮事項や改良が必要になる場合があります。
全体として、オプション価格設定に条件付き期待値を適用すると、特にブラック・ショールズ フレームワークの仮定から逸脱する複雑なモデルを扱う場合に、モンテカルロ シミュレーションの効率と精度を向上させることができます。
さて、焦点を金融工学における尺度変化の話題に移しましょう。システムのダイナミクスを扱う場合、適切な測定変換を通じて価格設定の問題の複雑さを単純化できる場合があります。これは、周波数の異なる複数の原資産が存在する金利の世界に特に関係します。一貫したフレームワークを確立するために、さまざまなメジャーから確率的プロセスを 1 つの基礎となるメジャーに取り込むメジャー変換に依存します。
数理ファイナンスの分野では、数値はすべての取引可能な資産の価格を表すために使用される取引可能なエンティティとして重要な役割を果たします。ヌメレールは、リンゴ、債券、株式、普通預金口座などの資産の価値を表す単位です。価格を数値で表現することで、異なる取引相手間で商品やサービスを移転するための一貫した枠組みを確立します。
以前は、資産は金やその他の数値で表現されることがよくありました。適切な数値を選択すると、金融工学の問題の複雑さを大幅に簡素化し、改善することができます。ドリフトのないプロセスであるマーチンゲールを使用した作業は、ドリフトのあるプロセスよりも扱いやすいため、金融分野では特に有利です。
さまざまな尺度が、プロセスと取引可能な資産の特定のダイナミクスに関連付けられています。一般的なケースには、普通預金口座に関連するリスク中立指標、ゼロクーポン債券に関連する T フォワード指標、および数値としての株式に関連する指標が含まれます。メジャーの変更により、メジャーを切り替えて、さまざまなプロセスの特性を活用することができます。ギルサノフの定理は、測定変換のための重要なツールであり、特定の条件下で、ある測定から別の測定に切り替えることができます。
測定変更の理論的側面は複雑な場合がありますが、このコースでは実践的な応用と実際の問題に理論を適用する方法に焦点を当てています。主なポイントは、金融工学の問題を効率的に単純化して解決するためのツールとして測定変更とマーチンゲールをどのように使用できるかを理解することです。
メジャーの変更は、マーチンゲールとして知られるドリフトのないプロセスを処理するのに役立つ強力なツールであることに注意することが重要です。尺度を適切に変更することで、プロセスからドリフトを除去し、当面の問題を単純化することができます。これは、確率的な金利や株価の動向を扱う場合に特に役立ちます。
ただし、メジャーの変更が常に実行可能であるとは限らないことや、より単純な問題が発生する可能性があることに注意してください。場合によっては、ドリフトを除去した後でも、分散などの特定の変数のダイナミクスが複雑なままになることがあります。それにもかかわらず、
一般に、メジャーを変更してドリフトを除去すると、問題が単純化されます。
ドリフトのない確率微分方程式はドリフトのある確率微分方程式よりも扱いやすいため、マルチンゲールを使用することが有利です。適切な数値を特定し、測定変更を実行することで、複雑さを効果的に軽減し、シミュレーション技術を向上させることができます。
メジャーを変更すると、メジャーを切り替えてマーチンゲールの特性を活用できるようになります。メジャーの変更を理解して適用することは、金融商品の価格設定と分析を大幅に簡素化できる貴重なスキルです。
ここで、メジャーチェンジの概念と数理ファイナンスにおける実際の応用をさらに深く掘り下げてみましょう。前に説明したメジャー変換式は次のように記述できます。
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
この式により、あるメジャー Qa から別のメジャー Qb に切り替えることができます。これには、yₛ で示される「数値プロセス」と呼ばれる特定のプロセスとウィナープロセス Wₛ の使用が含まれます。
ギルサノフの定理は、指数項の可積分条件などの特定の条件下では、この測度変換が有効であると述べています。この変換を適用すると、メジャーを Qa から Qb に、またはその逆に変更できます。
実際の応用では、メジャーチェンジは数理ファイナンスにおける現実世界の問題を単純化して解決するために使用されます。これらにより、確率過程のダイナミクスを変換し、マーチンゲールの特性を活用することができます。
数値を適切に選択し、メジャーの変更を実行することで、プロセスからドリフトを除去し、当面の問題を単純化することができます。この単純化は、確率的金利と株価のダイナミクスを含む複雑なモデルを扱う場合に特に有益です。
メジャーを変更しても、必ずしも単純な問題が発生するとは限らないことに注意することが重要です。場合によっては、ドリフトを除去した後でも、分散などの特定の変数が依然として複雑なダイナミクスを示す場合があります。ただし、一般に、メジャーの変更は、金融工学の問題を簡素化し、解決するための強力なツールとなります。
このコースでは、現実世界のシナリオにおける測定変更の実際的な適用に焦点を当てます。数理ファイナンスの複雑な問題を単純化するために、メジャーの変更とマーチンゲールの利点を抽出する方法を探っていきます。
要約すると、メジャーの変更は、メジャーを切り替えてマーチンゲールの特性を活用できるようにすることで、数学的ファイナンスにおいて重要な役割を果たします。メジャーの変更を理解して適用することで、金融商品の価格設定と分析を簡素化し、シミュレーション技術を強化し、複雑なモデルに効果的に取り組むことができます。
金融工学コース：講義2/14、パート3/3、（フィルタリングとメジャーの理解）
金融工学コース：講義2/14、パート3/3、（フィルタリングとメジャーの理解）
講義を続けて、講師は指標の変更と金融における実際の応用のトピックをさらに掘り下げます。彼らは、ギリザノフの定理と在庫尺度の概念について復習することから始めます。基礎を確立することで、インストラクターは、メジャーの変更によって財務モデルの次元を効果的に削減できる方法を探索するための準備を整えます。
この講義では、リスク中立的な措置から株式資産を活用した普通預金口座への移行に焦点を当てます。この移行は 2 つの尺度の比率を利用して実現されます。そのプロセスを簡単に説明します。選択した資産をポートフォリオ内の他の資産と同じ単位で表現することの重要性が強調されており、これはメジャーの変更によって実現できます。さらに、この講義では、関連する尺度に基づく期待が尺度で割った値の積分として表現されるペイオフ関数の議論についても詳しく説明します。この結果は、目的のクエリを見つける手段を提供します。講義は、最終項を取得するために使用される置換法を紹介して終了し、メジャー変更の実用性をさらに示します。
講演者はさらに先へ進み、ペイオフの簡素化を検討し、新しい指標の下での株価のダイナミクスを詳しく掘り下げます。 t0 の値は、新しいマーチンゲール法を導入して、最大 st マイナス k 0 の測定における期待値として提供されます。マーチンゲール法の概念が説明され、マーチンゲールの条件を満たすためにすべてをストック プロセスで分割することの重要性が強調されます。割引プロセスが強調表示され、新しい措置の下でのダイナミクスの簡素化における利点が強調されています。ダイナミクスは、mtst の比率からマーチンゲールとして導き出すことができます。さらに、講演者は、マーチンゲール法の利点を効果的に活用するために、新しい尺度に基づいて分散と測定された変換を決定する必要性を強調しました。
講義を拡張して、講師はブラック・ショールズ事件に使用されたのと同じ手順を非マーチンゲール法にどのように適用できるかを説明します。一連の必要な条件に従うことで、測定変換を利用して新しいプロセスのダイナミクスを導き出し、新しい測定の下での期待を決定できます。元の尺度と新しい尺度で両方のプロセスを実装する場合、この変換から生じるドリフトとボラティリティの修正を考慮する重要性が強調されます。最終的に、計算は、新しい尺度の下で単一の対数正規プロセスを含む洗練された式に単純化されます。
さらに、講師は、確率微分方程式の 2 次元系 S1 および S2 と、S2 が特定のレベルに達した場合にのみ支払われる普通預金口座に関連付けられたペイオフ値を紹介します。この複雑な期待値を計算するには、2 つの株式間の共同分配が必要になります。ギルサノフの定理を利用して、エレガントな形式で期待値を見つけるメジャー変換が使用されます。講師は、S1 を分子として選択し、ランダムな数値導関数を特定して、プロセスを説明します。この講義では、必要なすべての測定変更を導き出すことの重要性も強調し、さまざまな測定におけるブラウン運動間の関係に対する潜在的な影響を探ります。講師は、複雑な金融商品の価格設定をエレガントかつ強力に行う際の測定の変革の重要性を強調します。
講演を続けて、講演者はランダムなニコチン誘導体の測定された変換を説明し、ペイオフを単純化することの重要性を強調しました。方程式の公式と、項を打ち消すために見つけなければならない対応する尺度が説明されています。マネーセービング債券のダイナミクスとそのドリフト係数とボラティリティ係数については、エートス補題を適用した後に議論されます。この変換では、相関要素は無視できることがわかります。講演者は、エートス表に関連した S2 と S1 の関係の重要性も強調します。
焦点を変えて、講演者は、新しい尺度の置き換えを伴う S1 尺度変換における 2 つの在庫プロセスのダイナミクスについて説明します。
S1 メジャー変換の下で、話者は、最初の在庫プロセスは引き続き対数正規分布に従いますが、ドリフトに追加の項があると説明します。同様に、2 番目のストック プロセスには、2 つのプロセス間の相関関係により追加の項が表示されます。講演者は、変数を最も単純なものから最も高度なものへと順序付けることの重要性を強調し、確率微分方程式を単純化する手法としてコレスキー分解を利用することを推奨しています。対数正規特性を利用することで、評価の確率を効果的に解決できます。
講義の範囲を広げて、講師は金利領域の基本的なデリバティブであるゼロクーポン債について説明します。ゼロクーポン債のペイオフはシンプルで、満期時に受け取る価値は 1 つだけなので、理解しやすく、使いやすくなっています。さらに、それらは、より複雑なデリバティブの価格設定を行うための重要な構成要素として機能します。場合によっては、開始時の債券の価値が 1 より大きくなり、マイナス金利を示す場合があることに注意してください。マイナス金利は、流動性の増加を目的とした中央銀行の介入によって生じる可能性があるが、支出を刺激する効果については依然として議論の余地がある。講師は、ゼロクーポン債が金利の世界における尺度変化の過程で重要な役割を果たしていると強調する。
さらに、ゼロクーポン債を検討する際のフォワード対策への変更の重要性についても掘り下げています。基本的な価格設定理論と一般的な価格設定方程式を使用することにより、ゼロクーポン債券の現在価値を導き出すことができます。価格設定方程式には、割引利得の期待が含まれており、これはゼロクーポン債券の 1 に相当します。講師は、金利が確率的であることを強調し、尺度を T フォワード尺度に変更することで確率的割引を方程式からどのように除去できるかを説明します。このセクションは、ルーブル コードのデリバティブをモデル化する方法と、価格設定方程式がリスク中立の尺度から T フォワード尺度にどのように移行するかについての説明で終わります。
さらに同教授は、金融における価格設定モデルの尺度を変更し、次元を削減することの重要性を強調する。 T フォワード メジャーに基づいた価格に移行し、割引係数から特殊性を排除することで、実務者は日常業務の強力なツールとしてメジャー変更テクニックを活用できます。この講義では、フィルタリングの概念と条件付き期待値との関係を要約し、これらのツールが金融における複雑な問題をどのように単純化できるかを強調します。
生徒の参加を促し、理解を強化するために、インストラクターは 3 つの演習を提示します。最初の演習では、プット オプションの価格設定のための分析ソリューションを実装し、コードに Python で金利が組み込まれていることを確認します。 2 番目の演習では、価格設定をプット オプションに拡張し、その有効性を評価する機会を提供します。最後に、学生には、分析式とスライド 24 の株式 2 乗式のモンテカルロ シミュレーション結果を比較するという課題があります。この演習では、メジャー変換を適用する利点と大きな違いを強調します。
この講義では、指標の変更と金融におけるその応用について包括的に探求します。政策の切り替え、ペイオフの簡素化、新たな政策の下での動き、プロセスの変革、ゼロクーポン債と金利の重要性などのトピックを取り上げます。メジャー変換を活用することで、実務者は価格設定モデルを強化し、計算を簡素化し、複雑な金融商品に関する貴重な洞察を得ることができます。