定量的取引 (Quantitative trading) - ページ 18

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普通預金口座とゼロクーポン債券はどのように関係していますか?

普通預金口座とゼロクーポン債券はどのように関係していますか?

コンピューテーショナル ファイナンスに関する本日の Q&A セッションへようこそ。このセッションでは、講義 1 で取り上げた内容に基づいた質問 2 について説明します。詳細を理解するには、講義 1 をもう一度復習することをお勧めします。今日の質問は、特に金利の観点から、普通預金口座とゼロクーポン債券の関係に焦点を当てます。

まず、普通預金口座を定義しましょう。お金の時間価値は、現在 1 ユーロを持っていて、その将来の価値に興味がある場合、単純な金利を考慮すると、1 年間で受け取る金額は 1 ユーロ倍 (1 + 金利) になるということです。この金利はパーセンテージで表されます。これは、金利が決定的である場合の単純な計算です。

しかし、確率的金利を導入すると、その関係はより複雑で興味深いものになります。このような場合、普通預金口座の管理とゼロクーポン債券の管理の違いが重要になります。違いをより明確に理解するために、普通預金口座とゼロクーポン債券を定義してみましょう。

時間 T における普通預金口座 (MSA) は、e^(RT) を乗算した初期値 (単純化のため 1 と考えることができます) として定義されます。ここで、R は金利を表します。 MSA の詳細な導出については、講義 1 で見つけることができます。確率的金利の場合、MSA は M(T) = M(0) * e^(∫[0 to T] R(s) ds) として表すことができます。ここで、R(s) は確率的金利を表しますそして積分は確率量の積分を説明します。

次に、ゼロクーポン債の定義について説明します。ゼロクーポン債券は、将来の時点 T に 1 ユーロを支払う契約です。ゼロクーポン債券に関連する価格設定の問題は、その現在の価値を決定することです。言い換えれば、将来の支払いの現在価値を求めたいのです。私たちは今日の契約の価値を決定して公正価値を確立することに常に焦点を当てているため、これはコンピューテーショナル・ファイナンスにおける根本的な問題です。

確率的金利の場合、基本的な価格定理は、時間 T における将来の支払いを伴う契約の価値を、リスク中立の尺度の下で今日に割り引いて、期待値として表すことができると述べています。具体的には、金利の積分の期待値です。これは、MSA の概念の拡張として見ることができ、期待値と負の符号によって MSA と区別されます。したがって、ゼロクーポン債は、-∫[0 to T] R(s) ds の期待値として表現できます。

要約すると、普通預金口座とゼロクーポン債券の関係は次のように説明できます。MSA の場合、M(T) = 初期値 * e^(∫[0 to T] R(s) ds)、一方ゼロクーポン結合は、-∫[0 to T] R(s) ds の期待値として定義されます。決定論的なケースでは、関係はより単純で、ゼロクーポン債券は 1 / M(T) に等しくなります。ここで、M(T) は時間 T における MSA 値です。

この関係を理解することは、計算ファイナンス、特に確率的金利を扱う場合に不可欠です。これは金融工学と価格設定の問題において重要な役割を果たします。このコースで説明するように、測定の変更の概念は、複雑なペイオフを簡素化し、分析的な価格設定方程式を見つけることを可能にする強力なツールです。このトピックに興味がある場合は、このチャンネルで利用できる金融工学のコースを検討することをお勧めします。

この説明で、普通預金口座とゼロクーポン債の違いが明確になれば幸いです。主な違いは期待項にあり、これは確率的金利を扱う場合に重要になります。確率的金利が存在しない場合、普通預金口座とゼロクーポン債券の関係はより単純になります。このような場合、金利が一定であれば、ゼロクーポン債の式は単純に 1 / M(T) になります。ここで、M(T) は時間 T における普通預金口座の価値を表します。

ただし、確率的金利が導入されると、期待項が重要になります。ゼロクーポン債の計算における確率的金利の統合により、時間の経過に伴う金利の不確実性と変動性が考慮されます。これにより、2 つの金融商品間の関係がさらに複雑になります。

コンピュテーショナルファイナンスの分野では、普通預金口座とゼロクーポン債券の間のダイナミクスと関係を理解することが不可欠です。これにより、さまざまな金融契約の価値を分析および評価し、その公正価格を決定することができます。このコースで説明する測定変更の概念は、複雑なペイオフを簡素化し、価格設定方程式を導き出すための強力なフレームワークを提供します。

結論として、普通預金口座とゼロクーポン債券は密接に関連していますが、数学的定式化の点で異なります。普通預金口座は元金の長期にわたる複利価値を表しますが、ゼロクーポン債は統合金利の期待を通じて将来の支払いの現在価値を計算します。確率的金利を扱う場合、この違いはより重要で興味深いものになります。この関係を理解することで、金融専門家は情報に基づいた意思決定を行い、コンピューテーショナル ファイナンスの世界を効果的にナビゲートできるようになります。

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インプライド・ボラティリティの計算における課題は何ですか?

インプライド・ボラティリティの計算における課題は何ですか?

コンピューテーショナル・ファイナンスのコースに基づいた質疑応答へようこそ。今日は、特にヘストン モデルのコンテキストにおいて、インプライド ボラティリティを計算する際の課題に関連する質問 3 について詳しく掘り下げていきます。

インプライド ボラティリティについて議論する場合、特に明記されていない限り、通常はブラック ショールズのインプライド ボラティリティを指します。したがって、ヘストン モデルの場合、インプライド ボラティリティをどのように導出するかと問われた場合、長期平均または初期分散のみについて単純にヘストンの式を逆にすることはできません。ヘストン モデルのインプライド ボラティリティには、2 段階のプロセスが必要です。ヘストン モデルに基づいて価格を計算し、次にこれらの価格をブラック-ショールズの逆算式で利用して、対応するシグマを見つけます。

ヘストン モデルでは分散に複数のパラメーターが導入されるため、計算が複雑になります。パラメーターが 1 つしかない Black-Scholes モデルとは異なり、Heston モデルの複数のパラメーターにより、一意のパラメーターのセットを取得するために再反転することができません。

インプライド・ボラティリティは、株式の現在価値を考慮した相対的な比較を可能にするため、さまざまな株式の動きやパフォーマンスを比較するための貴重なツールです。インプライド・ボラティリティには不確実性が組み込まれており、オプションの評価に伴うリスクと不確実性を評価するのに役立ちます。

インプライド・ボラティリティの概念は長年存在していましたが、ブラック・ショールズ・モデルはパラメータが 1 つしかないため、オプションの価格設定には適さないことが明らかになりました。実際には、権利行使や期限が異なるさまざまなオプションは、異なるインプライド ボラティリティを示すことがよくあります。この矛盾は、一定のボラティリティの仮定がすべてのオプションを同時に価格設定するのに適切ではないことを示唆しています。したがって、課題は、モデルからの価格を市場で観察される価格と一致させる暗黙のボラティリティを見つけることにあります。

インプライド ボラティリティの計算には、ブラック ショールズの公式を逆算することが含まれますが、これは簡単な作業ではありません。この目的には、ニュートン法やブレント法などのいくつかの数値ルーチンが一般的に使用されます。これらの方法は、モデルからのブラック ショールズ価格をオプションの市場価格と同等にする方程式を解くことによって、未知のインプライド ボラティリティを見つけることを目的としています。

インプライド ボラティリティの効率的な計算は、特に高頻度取引や市場データに合わせてモデルを調整する場合に重要です。計算の速度は、取引戦略やモデル調整の有効性に大きな影響を与える可能性があります。したがって、インプライド・ボラティリティ計算のための高速かつ正確な数値ルーチンを開発することが非常に重要です。

アウト・オブ・ザ・マネー・オプションを扱う場合、コール・オプションの表面が非常に平坦になるため、この課題はさらに深刻になります。このような場合、反復検索アルゴリズムは収束に苦労する可能性があり、正確な勾配がないために最適な点を見つけるために多数の反復が必要になる場合があります。したがって、計算の効率と有効性を確保するには、適切な初期推定値を決定することが重要になります。

インプライド・ボラティリティは主にブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティに関連していることに注目する価値があります。ただし、算術ブラウン運動やシフトされた対数正規分布など、他のモデルに基づいたインプライド ボラティリティを持つ可能性があります。このような場合、計算に使用されたモデルを明示的に記述することが重要です。

結論として、インプライド ボラティリティの計算は、特にアウト オブ ザ マネーのオプションを扱う場合、スピードに関連した課題を引き起こします。正確かつ高速な計算には、効率的な数値ルーチンと初期推定の慎重な考慮が必要です。インプライド・ボラティリティは、オプションの価格設定、リスク評価、モデルの調整において重要な役割を果たしており、コンピューテーショナル・ファイナンスにおいてはその計算と理解が極めて重要です。

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算術ブラウン運動を使用してオプションの価格を設定できますか?

算術ブラウン運動を使用してオプションの価格を設定できますか?

コンピュテーショナル ファイナンス コースの Q&A セッションへようこそ!

今日の質問は 4 番目で、算術ブラウン運動を使用した価格オプションに焦点を当てています。この質問は、講義番号 2 で説明した資料に基づいています。

算術ブラウン運動は、これまでに見た幾何学ブラウン運動と比較すると、わずかに異なるプロセスです。ブラック・ショールズモデルの使用など、価格設定オプションに関しては、主な違いはボラティリティとドリフトにあります。このモデルの簡略化されたバージョンでは、ボラティリティ項と導関数が調整されています。

市場シナリオで、特定の権利行使価格 (K) と満期 (T) を考えてみましょう。オプション価格 (C1) を観察します。私たちの知識に基づいて、幾何学的なブラウン運動の暗黙のボラティリティを簡単に見つけることができます。同様に、この場合、市場で観測されたオプション価格と完全に一致するインプライド ボラティリティ (シグマ チルダ) を見つけることができます。ただし、2 つのモデルは同等ではないことに注意することが重要です。ギリシャ人としても知られる感受性を調べると、両者の違いが明らかになります。

算術ブラウン運動は、株価の実現がマイナスになる可能性があることを前提としていますが、これは非現実的です。対照的に、幾何学的なブラウン運動は正のストック パスのみを仮定します。この違いにより、マイナスの株式実現を考慮してヘッジ戦略を調整する必要があり、算術ブラウン運動の仮定が現実的ではなくなります。

オプションの価格を比較すると、何らかの洞察が得られる可能性がありますが、モデルが十分に優れているかどうかを判断するための最良の基準とは限りません。さらに、幾何学的ブラウン運動モデルと算術ブラウン運動モデルの両方は、暗黙のボラティリティのスマイルまたはスキューに合わせて調整できません。ただし、この特定のケースでは、特定のオプションが 1 つだけある市場を検討するため、2 つのモデルを簡単に比較して、どちらがより適しているかを判断できます。

ボラティリティパラメータ (シグマ) が固定されている OU プロセスについても、同様の考慮事項を行うことができます。しかし、OU プロセスは、株式を普通預金口座で割ったリスク中立の基準では明確に定義されていないドリフトなど、さらなる問題に直面しています。したがって、これはオプションの価格設定を行うための実行可能なプロセスではありません。

視覚的な例を提供するために、幾何学的ブラウン運動、算術ブラウン運動、OU プロセスという 3 つの確率微分方程式の実現パスをいくつか用意しました。シミュレーションでは、同じブラウン運動が使用され、その結果、パス間で同様の形状とパターンが得られます。

要約すると、算術ブラウン運動を使用してオプションの価格を設定することは可能ですが、それが常に最も賢明なアプローチであるとは限りません。モデルの適切性は、資産の基礎となる仮定とダイナミクスが市場の物理的特性を反映しているかどうかによって決まります。それが考慮すべき重要な要素です。

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確率過程と確率変数の違いは何ですか?

確率過程と確率変数の違いは何ですか?

コンピュテーショナル ファイナンス コースの Q&A セッションへようこそ!

今日の問題は 5 番目で、確率過程と確率変数の違いに焦点を当てています。この質問は、講義番号 2 で説明した資料に基づいています。

確率過程は本質的に、時間に関してパラメータ化された確率変数の集合です。形式的には、確率過程は X(t) として表すことができます。ここで、時間 (t) と確率空間に対応するオメガ (Ω) という 2 つの引数を持ちます。対照的に、確率変数はこの時間依存性を持たない単純な概念です。たとえば、コインを投げて「裏」または「表」の結果を検討する場合、それは確率変数です。しかし、方程式に時間を導入し、時間の経過に伴う「裏」または「表」の発生を考慮すると、それは確率的プロセスになります。

産業界でも学術界でも、確率過程を議論する際に 2 番目の引数 (オメガ) が無視されることがよくあります。代わりに、このプロセスを dX(t, Ω) ではなく X(t) と呼びます。これにより、確率的プロセスの完全な定義が提供されます。

シミュレートされたモンテカルロ パスと、時間とオメガとの関係を解釈する方法を理解することも重要です。プロセス X(t) の値を時間の経過とともにプロットすると、複数のモンテカルロ パスを観察できます。各パスは、プロセスの可能な実現を表します。特定の時刻 (t* としましょう) を固定し、その時点でのすべての実現の分布を見ると、特定の時刻におけるさまざまな結果 (オメガ) を考慮することになります。一方、特定の実現 (オメガ) を修正し、プロセスが時間の経過とともにどのように進化し、結果として 1 つのパスが得られるかを観察することができます。したがって、考慮すべき 2 つの側面があります。1 つは結果の分布を分析するための時間を固定するか、もう 1 つは時間の経過に伴うプロセスの動作を観察するための認識を固定することです。

要約すると、確率過程は、時間に関してパラメータ化された確率変数の集合です。これは時間の経過に伴うシステムの進化を表し、モンテカルロ パスを通じて観察できます。一方、確率変数は時間に依存しない単純な概念です。コンピューテーショナル・ファイナンスを研究する場合、この違いを理解することが重要です。

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ストックプロセスのモデリングに ABM/GBM を使用する利点と欠点は何ですか?

ストックプロセスのモデリングに ABM/GBM を使用する利点と欠点は何ですか?

コンピューテーショナル ファイナンスに関する質疑応答セッションへようこそ。

今日の質問は 6 番目で、ストック プロセスのモデル化に算術ブラウン運動または幾何学ブラウン運動を使用することの長所と短所を検討します。この質問は質問番号 2 に基づいており、オプションの価格設定に算術ブラウン運動が使用された前のセッションで議論された質問に似ています。

これら 2 つのプロセスの違いは比較的小さく、主にプラスとマイナスの両方の値を考慮する資産を考慮するか、株式などのプラスの資産のみに焦点を当てるかに関係します。今日は、さまざまなシナリオで特定のデリバティブの価格設定に算術ブラウン運動と幾何学ブラウン運動のどちらが適しているかを判断するのに役立つ側面を詳しく掘り下げていきます。

価格を設定する必要があるエキゾチックなデリバティブがある場合を考えてみましょう。この導関数は複雑であり、呼び出し可能機能が関与している可能性があります。算術または幾何学的なブラウン運動が価格設定に適切であるかどうかを評価するには、特定の要素を検討する必要があります。

最初に尋ねるべき質問は、この資産クラスのエキゾチックなデリバティブ市場が豊富かどうかです。他に利用可能なエキゾチックなデリバティブがある場合は、これらの市場価格に合わせて調整できるモデルを検討する必要があることを示唆しています。その後、価格設定を目的のデリバティブに推定することができます。ただし、市場が裕福でない場合は、エキゾチックなデリバティブに価格を付けることはできますが、調整に利用できる追加のエキゾチックなデリバティブがないことを意味します。

後者の場合、次のステップに進み、この市場で利用可能なオプションがあるかどうかを確認します。オプション市場がある場合は、まずこれらのオプション (通常は流動性の商品) に合わせてモデルを調整する必要があります。このキャリブレーションは、モデルのパラメーターを決定するのに役立ちます。調整されたモデルパラメータを取得したら、それを使用してエキゾチックなデリバティブの価格を決定できます。

市場で利用可能なコールとプットがない場合、利用できる市場手段が存在しないというシナリオに遭遇します。このような場合、たとえばコールとプットのインプライド・ボラティリティがない市場では、ブラック・ショールズ・モデルまたは幾何学的なブラウン運動がエキゾチック・デリバティブの価格設定に適していると考えることができます。ただし、この状況では、シグマ パラメータの校正で十分であることに注意することが重要です。コール可能性などの高度な機能を備えたデリバティブに対して、基礎となるコールやプット オプションなどのヘッジ手段が不足している場合、そのデリバティブを取引するのは賢明ではないかもしれないと主張する人もいるかもしれません。それにもかかわらず、純粋に理論的な観点から見ると、市場情報が限られているこのようなシナリオでも幾何学的なブラウン運動を使用できます。

他のエキゾチックなデリバティブやコールとプットなど、市場で利用可能な商品がさらに多い場合、幾何学的なブラウン運動を使用してエキゾチックなデリバティブの価格設定は適切ではないことを理解することが重要です。モデルは、1 つの自由パラメータだけでは、暗黙のボラティリティのスマイルとスキューを十分に調整できません。

要約すると、価格設定モデルの選択は常に、価格設定を目指すデリバティブの種類に基づいて行われます。モデルの適切性を判断するには、市場手段の利用可能性を考慮する必要があります。利用可能な市場商品がある場合、幾何学的なブラウン運動や単純なブラック ショールズ モデルなどのモデルは適していません。ただし、インプライド ボラティリティの価格設定には、幾何学的なブラウン運動が引き続き適用されます。しかし、エキゾチックなデリバティブやより複雑な資産の価格設定を行う場合、これは好ましい選択ではありません。

長所と短所の点から見ると、これらのモデルの利点は最小限です。これらにより、市場がプラスの資産を許可するかマイナスの資産を許可するかを考慮した物理的表現が可能になります。ただし、モデルの調整の自由度が限られているため、エキゾチックなデリバティブの価格設定には適していません。

この説明で、株式プロセスのモデル化やデリバティブの価格設定に算術ブラウン運動または幾何学ブラウン運動を使用する利点と欠点が明確になることを願っています。次回お会いしましょう！さようなら。

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シミュレートされた在庫プロセスに対してどのような健全性チェックを実行できますか?

シミュレートされた在庫プロセスに対してどのような健全性チェックを実行できますか?

コンピュテーショナル ファイナンス コースに基づく質疑応答セッションへようこそ。

今日の質問は 7 番目で、シミュレートされた確率的プロセスに対して実行できる健全性チェックに焦点を当てています。この質問は、価格設定を目的とした離散化確率微分方程式のシミュレーションを含む実践的な演習に関するものです。実装が正しいことを確認し、結果の妥当性について確信を得るには、特定のチェックを実行することが不可欠です。

この質問に対処するために、実行できるいくつかの手順とチェックを検討してみましょう。まず、シミュレーションされる特定の資産クラスを考慮することが重要です。たとえば、株式プロセスをシミュレートする場合、簡単なチェックは、割引された株式がマーチンゲール特性に従っているかどうかを評価することです。満期時の株式の期待値は、現在に割り引いて、当初の株式価値と等しくなるはずです。実際には、わずかな差が存在する可能性がありますが、シミュレーション パスの数が増加するか、グリッド サイズが減少するにつれて、差は減少するはずです。この差を監視して最小限に抑えると、シミュレーションの精度を向上させることができます。

チェックすべきもう 1 つの側面は、価格設定されているデリバティブが簡素化できるかどうかです。たとえば、権利行使価格がゼロのコール オプションが選択された場合、基本的には上記の最初のチェックに減ります。デリバティブの利益が適切に実装されていることを検証することが重要です。

安定性も重要な考慮事項です。これには、モンテカルロ パスの数を増やした場合の影響と、ランダム シードを変更したときの結果の安定性を評価することが含まれます。異なるシードを使用したシミュレーションで大幅に異なる価格が得られた場合、モデルに潜在的な不安定性があることを示します。安定性を確保するには、ドリフト補正やマーチンゲール補正項などの調整が必要になる場合があります。

さらに、時間間隔の離散化ステップ サイズを変更したときに結果がどのように変化するかを観察することは有益です。これは、さまざまな時間解像度に対するシミュレーションの感度を評価するのに役立ちます。

重要なチェックの 1 つは、シミュレートされたプロセスが市場商品の価格を裏付けることができるかどうかです。モデルのパラメーターがオプションなどの市場商品に合わせて調整されている場合、モデルの価格を市場価格と比較することが不可欠です。価格が大幅に異なる場合は、モデルのパフォーマンスが良好ではないことを示唆しており、調整や追加のキャリブレーションが必要になる可能性があります。

これらは、シミュレートされた確率的プロセスに対して実行できる基本的な健全性チェックの一部です。特定のチェックは、検討されている価格契約の種類によって異なる場合があることに注意してください。たとえば、権利行使日のあるオプションの場合、基本シナリオとしてヨーロッパ型のペイオフに確実に崩壊することが重要です。

これらのチェックを実行すると、シミュレーションを検証し、実装における潜在的な問題やバグを特定するのに役立ちます。

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ファインマン・カック式とは何ですか?

ファインマン・カック式とは何ですか?

コンピュテーショナル ファイナンスに関する真剣な質疑応答セッションへようこそ。

今日の問題は、講義番号 3 の 8 番目で、ファインマン カッツの公式とその応用に焦点を当てています。ファインマン・カッツの公式は、偏微分方程式 (PDE) と確率過程の間に重要な関係を確立し、ランダム パスのシミュレーションを通じて特定の偏微分方程式を解く方法を提供します。この強力な機構により、偏微分方程式と確率過程を組み合わせることにより、複雑な問題を解決できるようになります。

式自体は、偏微分方程式の特定の形式に関連しています。時間微分項 (dt)、ドリフト項 (μ)、一次微分項 (dX)、ボラティリティ項 (σ²/2)、および二次微分項 (d²X) を含む偏微分方程式を考えてみましょう。 PDE には終了条件も含まれており、値 V は時間 T で決定論的関数 ETA(X) になります。ここで、X は状態変数を表します。

ファインマン・カッツの定理は、この偏微分方程式の解は、確率過程の関数とみなして、時間 T で評価される決定論的関数 ETA の期待値として表現できると述べています。 X(t) で表される確率過程は次のように定義できます: dX(t) = μ dt + σ dW(t)。ここで dW(t) はウィーナー過程 (ブラウン運動) を表します。ドリフト項 μ とボラティリティ項 σ² は PDE の係数によって決定されます。

dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0 の形式の偏微分方程式と終端条件がある場合、確率論的な X(t) で評価される終端条件の期待値として解を表すことができます。時間 T でのプロセス。

PDE に 2 次導関数項と終端条件のみが含まれる簡単な例を考えてみましょう。ファインマン・カッツの定理を適用すると、解は関数 ETA の期待値 (この場合は x²) になることがわかります。したがって、解は X(t)² の期待値として書くことができます。ここで、X(t) は、何らかの初期状態を持つスケーリングされたブラウン運動です。期待値を計算すると、Sigma²(Tt) + X² が得られます。

ファインマン・カッツの公式は、金融、特にオプションの価格設定において強力なツールです。たとえば、ブラック-ショールズ方程式では、複製ポートフォリオから開始し、価格設定偏微分方程式に導きます。同じ戦略に従うことにより、価格設定偏微分方程式は、確率過程に基づいた最終利益の期待のシミュレーションにエレガントに関連付けることができます。期待と偏微分方程式の間のこの関係は、オプション価格設定の包括的なフレームワークを提供します。そこでは、ポートフォリオを複製し、価格設定偏微分方程式を導き出し、モンテカルロ パスまたはシミュレートされた確率過程を通じて期待値をシミュレートできます。

ファインマン・カッツの公式を理解して利用することは、さまざまな金融アプリケーションにおいて不可欠です。これは偏微分方程式を解くための強力な方法を提供し、確率過程と偏微分方程式の間の明確なリンクを提供します。

ありがとう、また次回！

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インプライド・ボラティリティ期間構造とは何ですか?

インプライド・ボラティリティ期間構造とは何ですか?

Computational Finance の講義に基づく質疑応答セッションへようこそ。

今日の質問は 9 番目で、講義 4 で取り上げた内容に関連しています。問題は、「インプライド・ボラティリティの期間構造とは何ですか?」ということです。この疑問は、ブラック・ショールズモデルに対する時間依存ボラティリティの影響や、それがインプライド・ボラティリティのスマイルまたはスキューを生成する可能性があるかどうかを議論するときによく発生します。残念ながら、時間依存のボラティリティがスマイルやスキューを生み出す可能性があるという一般的な答えは間違っています。インプライド・ボラティリティ項の構造とブラック・ショールズ・モデルとの関係を見てみましょう。

インプライド・ボラティリティを理解するには、それがどのように計算されるか、そしてブラック・ショールズ・モデルの文脈におけるその意味を知る必要があります。標準的なブラック ショールズ フレームワークでは、コール オプションの市場価格を考慮して、市場価格とブラック ショールズ価格の差をゼロにするインプライド ボラティリティ (Sigma_imp) を見つけることを目的としています。このインプライド・ボラティリティは、ブラック・ショールズの価格設定方程式を逆にすることによって導出されます。

モデルから得られたオプション価格を市場で観察された価格と比較する場合、価格のみに基づいてインプライド・ボラティリティ・スマイルまたはスキューの存在を判断することは困難です。代わりに、インプライド・ボラティリティに注目する必要があります。インプライド・ボラティリティを見ると、権利行使価格 (k) が上昇すると市場オプション価格が減少することがわかりますが、これは予想通りです。ただし、インプライド ボラティリティの動作は大きく異なる場合があります。場合によっては平坦になることもありますが、他の場合には歪みが生じることもあります。ボラティリティのスマイルまたはスキューの存在を正確に評価するには、価格ではなくインプライド ボラティリティを調べることが重要です。

インプライド ボラティリティは、市場の状況に応じて、スマイル、スキュー、さらにはホッケースティックの形状など、さまざまな形をとることがあります。市場のタイプが異なれば、暗示的ボラティリティのパターンも異なるため、それらのパターンに一致させるには、異なるモデルと調整手順が必要になります。

ここで、インプライド・ボラティリティの用語構造について説明します。期間構造では、権利行使価格を固定しながらオプションの有効期限を変更することに重点を置いています。 Black-Scholes モデルに時間依存のボラティリティを導入すると (定数 Sigma を sigma(T) に置き換える)、暗黙のボラティリティ項の構造がスマイルやスキューを生成しないことがわかります。代わりに、アット・ザ・マネーのオプションのインプライド・ボラティリティが時間の経過とともにどのように変化するかを示します。構造という用語は、オプションの有効期限が変化するにつれて暗黙のボラティリティが変化することを表します。 3D プロットでは、アット・ザ・マネー オプションの場合、有効期限が同じである限り (平面)、インプライド ボラティリティが一定のままであることがわかります。ただし、オプションの有効期限を変更すると、インプライド ボラティリティが変化し、インプライド ボラティリティの期間構造が示されます。

ブラック・ショールズモデルに時間依存ボラティリティを導入しても、インプライド・ボラティリティ・スマイルやスキューは生成されないことに注意することが重要です。このモデルにはまだスマイルや歪みがありませんが、時間の経過に伴う暗黙のボラティリティの観点からアット・ザ・マネーのオプションを調整することができます。私の本と講義番号 4 には、時間依存性をシグマ スターとして知られる定数シグマに圧縮することにより、時間依存性のボラティリティを使用してオプション価格 (コールとプットの両方) を表現する方法に関する資料が記載されています。これにより、アット・ザ・マネー・オプションに関連する期間構造を考慮しながら、Black-Scholes の価格設定フレームワークを再利用できます。

結論として、ブラック ショールズ モデルの時間依存ボラティリティは、インプライド ボラティリティ スマイルやスキューを生成しません。これは、アット・ザ・マネー・オプションの期間構造に関連するインプライド・ボラティリティにのみ影響します。スマイルまたはスキューの存在を評価するには、オプション価格ではなくインプライド・ボラティリティを常に調べてください。

この説明で概念が明確になることを願っています。次回お会いしましょう。バイバイ、そしてありがとう！

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ブラック・ショールズモデルの欠点は何ですか?ブラック・ショールズモデルが今でも使用されているのはなぜですか?

ブラック・ショールズモデルの欠点は何ですか?なぜBSモデルが今も使われているのでしょうか？

コンピュテーショナル ファイナンス コースに基づく質疑応答セッションへようこそ。

今日の質問は第 10 番で、講義番号 4 に関連しています。問題は、「ブラック・ショールズモデルの欠点は何か、そしてなぜそれがまだ使用されているのか?」ということです。

このコースで説明するブラック・ショールズ モデルは、デリバティブの価格設定の基本的なモデルです。幾何学的なブラウン運動を伴う単一の確率微分方程式 (SDE) が株価を表すことを前提としています。この単純なプロセスは、オプションの価格設定に使用されます。しかし、モデルの前提が現在の市場状況には適切ではないことがわかりました。

ブラック・ショールズ モデルの大きな欠点の 1 つは、ボラティリティを表す単一のパラメーターであるシグマに依存していることです。この 1 つのパラメータだけでは、市場で観察されるインプライド ボラティリティのスマイルとスキューの複雑さを捉えるには不十分です。金利がボラティリティに比べてオプション価格設定に与える影響は最小限ですが、モデルの固定金利の仮定も非現実的です。

Black-Scholes モデルのもう 1 つの欠点は、幾何学的なブラウン運動によって生成されるリターンが十分に強く尾を引いていないことです。これは、確率が非常に低い極端な現象が適切に考慮されておらず、モデルが非現実的であることを意味します。

では、これらの欠陥があるにもかかわらず、ブラック・ショールズモデルが依然として使用されているのはなぜでしょうか?答えは多面的です。ブラック・ショールズモデルはエキゾチックなデリバティブの価格設定には適していませんが、ヨーロッパのオプションの価格設定には依然として使用できます。ヨーロッパのオプションはよりシンプルで流動性の高い市場があり、バニラのヨーロッパ オプションを使用して簡単にヘッジできます。したがって、他に利用可能な市場商品がない場合は、エキゾチックなデリバティブの価格設定にブラック・ショールズ モデルが使用される可能性があります。ただし、このアプローチにはエキゾチックなデリバティブを効果的にヘッジする能力がないため、危険であることに注意することが重要です。

さらに、ブラック-ショールズ モデルはインプライド ボラティリティの計算に広く使用されています。インプライド ボラティリティはオプション トレーダーにとって不可欠なツールであり、ブラック-ショールズの公式を使用して導出されます。ヘストン モデルやジャンプのあるモデルなどのより複雑なモデルを使用する場合でも、それらのモデルに関連付けられたインプライド ボラティリティは、依然としてブラック-ショールズの公式を使用して計算されます。インプライド・ボラティリティは、資産のレベルに関係なくボラティリティの尺度を提供し、異なる資産間の有意義なリスク比較を可能にするため、好まれます。

このコースでは、確率的ボラティリティ モデルやローカル ボラティリティ モデルなど、ブラック ショールズ フレームワークを改良したブラック ショールズ モデルのさまざまな代替案を検討しました。これらの代替案についてさらに深く理解する必要がある場合は、講義を再度受講することをお勧めします。

誠にありがとうございます。次回のセッションを楽しみにしています。

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ポアソンジャンプ処理を含めると、Ito のテーブルはどのようになりますか?

ポアソンジャンプ処理を含めると、Ito のテーブルはどのようになりますか?

コンピュテーショナル ファイナンスに関する質疑応答セッションへようこそ。今日は、第 5 講で扱った資料に基づいた質問番号 11 について説明します。問題は、ポアソン ジャンプ プロセスを含めた場合、Ethos テーブルはどのように見えるかということです。

まず、ブラウン運動を含むプロセスへのエートス補題の適用を思い出してみましょう。プロセスの機能のダイナミクスを見つけるには、テイラー展開を含むエートスの補題を適用する必要があることがわかっています。ブラウン運動のエートス テーブルには、dt、dw、dtdw、および dwdw の項が含まれています。 dt に dw または dtdw を掛けた交差項がある場合、それらは対称性によりゼロとみなされます。そして、dwdw は単に dt です。

ここで、過程の力学にブラウン運動だけでなくポアソン過程も含まれる場合を考えてみましょう。ポアソン ジャンプ プロセスは、各時点で発生する一連のジャンプとして表すことができます。プロセスを離散化すると、有限区間内で複数のジャンプが可能になります。ただし、無限に小さい間隔を考慮すると、ジャンプは 1 回だけ発生します。表記 xt- と xt を導入して、左側の限界とジャンプ直前のプロセスの値をそれぞれ表します。

ここで、関数 G(xt) に注目してみましょう。ポアソンジャンプを伴うプロセスの関数にエートス補題を適用すると、ドリフト項、ジャンプ項、およびジャンプによる G の増分を含む式が得られます。ドリフト項はブラウン運動のエートス補題の項と似ていますが、拡散部分がありません。ジャンプ項はポアソン過程に依存し、ジャンプサイズとジャンプ発生の指標関数の積で構成されます。

要約すると、ポアソン ジャンプ プロセスのイートス テーブルには、ブラウン運動のイートス テーブルの項と、ポアソン プロセスの 2 つの増分の積から生じる追加の項が含まれています。この追加の項は、エートス補題をジャンプ プロセスに適用する場合に重要です。

エートス補助定理とそのジャンプ プロセスへの応用を理解することは重要です。これは、確率的プロセスの機能のダイナミクスを分析するための金融における強力なツールであるためです。このトピックの詳細については、講義 5 および関連文献を参照してください。さらにご質問がございましたらお気軽にお尋ねください。さようなら！