Steve Kroft gets a rare look inside the secretive world "high-frequency trading," a controversial technique the SEC is scrutinizing in which computers can ma...
Computational Finance Lecture 1- Introduction and Overview of Asset Classes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemati...
01:40:00このセクションでは、講演者はプロセスの分散に対するμの影響と、その結果として生じるプロセスの分布への影響について説明します。 mu が高くなると、分布の裾が広がり、プロセスの変動性が高まります。次に、話者はシミュレートされた正規過程と対数正規過程を示します。後者には非対称の密度と上向きの太い尾部があります。これは、幾何学的な境界運動とその指数関数的な形式の密度によって引き起こされる資源を反映しています。
Computational Finance Lecture 2- Stock, Options and Stochastics▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling...
オイラー離散化法を使用して、確率過程のシミュレーションとグラフの生成方法を説明します。彼らは簡単なプロセスから開始し、Ito の補題を使用して S から X (S の対数) に切り替えます。その後、講師はオイラー離散化手法を紹介し、Python での実装をデモンストレーションします。この方法では、連続関数を離散化し、ドリフトとブラウン運動の両方の増分をシミュレートして、シミュレートされたパスのグラフを作成します。
00:05:00このセクションでは、オイラー離散化法を使用して確率過程のグラフをシミュレートおよび生成する方法について講演者が説明します。前回の講義の簡単なプロセスから始まり、伊藤の補題を使用して S から S の対数である X に切り替えます。その後、オイラーの離散化手法と Python を使用してそれを実装する方法について説明します。この方法には、連続関数を離散化し、ドリフトとブラウン運動の両方の増分をシミュレートすることが含まれます。ビデオに示されているコードは、シミュレートされたパスのグラフを生成するために使用されます。
01:10:00このセクションでは、講演者は、リスク中立の尺度に基づいて期待値を計算する場合、リスク中立の尺度に基づいていないプロセスを考慮することは許されないと説明しています。これは、期待に使用されるプロセスには、それを割り引く r が必要であることを意味します。したがって、期待に使用されるプロセスでは、ドリフトを常に m から r に変更する必要があります。講演者は Python コードを使用して株がマーチンゲールかどうかを確認する方法をデモンストレーションし、口座に貯蓄された資金を使用した割引株価を紹介します。また、精度を向上させるためにシミュレーションのパスの数も増やしますが、パフォーマンス上の理由からすべてのパスをプロットしないように注意してください。
01:15:00このセクションでは、講演者は、オプション価格設定におけるモンテカルロ シミュレーションと偏微分方程式 (PDE) との関係について説明します。講演者は一般的な偏微分方程式を提示し、偏微分方程式はμには依存せず、金利 r に依存することを強調します。モンテカルロ シミュレーションによる価格設定をこの偏微分方程式の解法に関連付けるために、講演者はファインマン-カックの公式を紹介しました。この公式は偏微分方程式と確率過程の間のリンクを確立し、確率過程のランダムなパスをシミュレートすることによって特定の偏微分方程式を解く方法を提供します。最終条件についても議論され、講演者は、通常、割引は価格設定に関連していると述べています。
Computational Finance Lecture 3- Option Pricing and Simulation in Python▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical...
ニュートン・ラフソン法を使用してインプライド・ボラティリティを計算するための反復プロセスの概念が導入されています。このプロセスでは、関数 g がゼロに近づくまで複数回の反復が必要となり、新しい各ステップは前のステップに基づいて推定されます。講師は、ニュートン・ラフソン法の収束における初期推定の重要性を強調します。極端なアウトオブザマネーのオプションやゼロに近いオプションは、関数が平坦になり、収束を妨げる小さな勾配が生じるため問題が発生する可能性があります。この問題を克服するために、専門家は通常、初期推測のグリッドを定義します。このアルゴリズムは、接線を使用して関数を近似し、急勾配の x 切片を計算します。これにより、より速い収束が得られます。
00:30:00このセクションでは、ニュートン・ラフソン法を使用して暗黙のボラティリティを計算する反復プロセスの概念を紹介します。このプロセスには、関数 g がゼロに十分に近づくまで反復を複数回計算することが含まれます。各新しいステップは前のステップに基づいて推定されます。ただし、初期推定はニュートン・ラフソン法の収束にとって重要な要素です。オプションの価値が極端にアウト オブ ザ マネーであるか、ゼロに近すぎる場合、関数は非常に平坦になり、勾配が小さすぎて収束できなくなります。通常、初期推測の問題を克服するために、初期推測のグリッドを定義します。このアルゴリズムは関数を接線で近似し、標準直線の x 切片を計算し、勾配が急になるほど収束が速くなります。
Computational Finance Lecture 4- Implied Volatility▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computa...
次に、対数正規分布の期待値として解析的に計算される e の j 乗の期待値について説明します。 c 倍 pi 倍 dt によって駆動されるポアソン増分のシミュレーションが実行されます。z は正規分布の増分を表し、j はジャンプの大きさを表します。ジャンプ拡散プロセスのダイナミクスには、偏微分方程式と積分微分方程式の両方が含まれます。積分部分はジャンプ サイズの期待値を表します。価格設定方程式は、ポートフォリオ構築または特性関数アプローチを通じて導き出すことができ、パラメーターは市場のオプション価格を使用して調整する必要があります。
ポートフォリオ構築という文脈で、この講義では、売られたオプションと原株とのヘッジから構成されるポートフォリオを構築するプロセスについて説明します。ポートフォリオのダイナミクスが普通預金口座と同じ割合で増加することを保証することで、価格設定の微分方程式を導き出すことができます。望ましいダイナミクスを達成するには、株式を普通預金口座で割った値がマーチンゲールになる必要があります。次に、講義では mu の条件を導出し、ダイナミクスが確立されれば v のダイナミクスを導出できることを示します。この情報は、期待値を計算し、v のダイナミクスを導き出すために使用されます。
講師はさらに、時間に関する一次導関数の方程式を検討します。これは、x に関しても一次であり、ジャンプを伴う時刻 t における契約の値の期待値を含みます。これにより、期待値の存在により積分項が生成され、純粋な PDE よりも解くのが難しい部分積分微分方程式 (PID) が生成されます。解決策には、期待値の解析式を見つけることが含まれます。期待値は無限級数で表現される場合もあります。境界条件の重要性と、収束を向上させるための PID の対数変換への変換についても説明します。
00:30:00このセクションでは、ジャンプ プロセスの概念がコンピューテーショナル ファイナンスの文脈で導入され、説明されます。 「t マイナス」という用語は、プロセス内でジャンプが発生する直前の時間として定義され、エートス補題と時間に関する導関数の計算を通じてプロセスのダイナミクスが調査されます。ジャンプのサイズとその結果として生じる関数 g の調整との関係について説明し、確率過程のモデル化におけるこれらの概念の実際的な関連性を強調します。さらに、株式市場の行動をモデル化する際には、ジャンププロセスと拡散プロセスの独立性を考慮することの重要性が強調されます。
00:35:00講義のこのセクションでは、ジャンプと拡散の両方のプロセスを持つモデルで関数 g のダイナミクスを導出することに焦点を当てます。講演者はまず、高拡散によりモデルの複雑さが増すと、解の導出が大幅に困難になる可能性があることを説明しました。次に、講演者は、この文脈で、特に dxpt の 2 乗などの交差項を扱う場合に、それがどのように適用されるかを議論するために、Ito の補題を紹介します。次に講演者は、すべての要素 (ドリフト、拡散、ジャンプ) をまとめると、Ito の補題を使用して g のダイナミクスを導出できると説明します。伊藤テーブルの拡張についても触れられており、講演者はポアソン過程とブラウン運動の違いが明らかになる、と説明しています。最後に、講演者は、ジャンプと拡散の両方のプロセスを組み込んだ関数 g のダイナミクスを導出するプロセスの概要を説明します。
00:40:00このセクションでは、講演者は、Q 測定の下でジャンプとブラウン運動を伴う株式のダイナミクスに到達するプロセスについて説明します。このプロセスには、新しい変数を定義し、そのダイナミクスを決定し、ダイナミクスの期待値がゼロであることを確認することが含まれます。ジャンプ コンポーネントは他のすべてのプロセスから独立していると想定され、結果の式には、J マイナス 1 の期待値とともにドリフトとボラティリティの項が含まれます。最後のステップでは、このプロセスを Q 測定の方程式に代入し、普通預金口座に対する ST のダイナミクスがマーチンゲールであることを確認します。
00:50:00計算ファイナンスの講義のこのセクションでは、講演者は、対数正規分布の期待値として分析的に計算される e の j 乗の期待値について説明します。次に、正規分布の増分として z、ジャンプの大きさとして j を使用して、c pi と dt の積によって駆動されるポアソン増分をシミュレートします。ジャンプ拡散プロセスのダイナミクスには偏微分方程式と積分微分方程式の両方が含まれ、積分部分はジャンプ サイズの期待値を表します。価格設定方程式は、ポートフォリオ構築または特性関数アプローチを通じて導き出すことができ、パラメーターは市場のオプション価格を使用して調整する必要があります。
00:55:00このセクションでは、売却されるオプションと原株とのヘッジから構成されるポートフォリオを構築するプロセスについて説明します。ポートフォリオのダイナミクスが普通預金口座と同じ割合で増加することを保証することで、価格設定の微分方程式を導き出すことができます。講義では、株式とリスク情報のダイナミクスを実現するには、株式を普通預金口座で割ったものがマーチンゲールでなければならないと説明します。次に、講義では mu の条件を導出し、ダイナミクスが確立されれば v のダイナミクスを導出できることを示します。この情報は、期待値を計算し、v のダイナミクスを導き出すために使用されます。
01:00:00このセクションでは、講演者は、時間に関する一次導関数、つまり x に関する一次導関数の方程式について議論します。これには、時間 t における契約の値の期待値が含まれています。ジャンプ。これは期待値の存在により積分項が生成され、積分項が含まれるため偏積分微分方程式 (PID) になります。このため、PID は PDE よりも解くのが難しい場合があると講演者は説明します。解決策には、期待値の解析式を見つけることが含まれます。期待値は無限級数で表現される場合もあります。講演者は、境界条件の重要性と、収束を高めるための PID の対数変換への変換についても説明します。
Computational Finance Lecture 5- Jump Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computation...
00:25:00このセクションでは、講師は、密度回復のためのフーリエ変換の使用について説明します。これは、ヨーロッパタイプのオプションの価格設定に特に役立ちます。フーリエ変換方法は計算効率が高く、ガウスベースのモデルに限定されないため、特性関数を持つ任意の確率変数に使用できます。密度回復プロセスには、確率過程の経路を、特定の時間 t で観察された密度に関連付けることが含まれます。講師はいくつかのグラフを示し、信号の周波数の重要性と、プロセスの分散と回転数の関係について説明します。
00:30:00このセクションでは、講演者がフーリエ変換の技術的側面と信号解析におけるその重要性について説明します。彼らは、フーリエ変換が通貨関数を周波数領域表現にどのように切り替え、特性関数を i の指数の期待値として定義できるかを説明しています。密度は CDF から導関数を取得することで導出され、特性関数を使用して変数の k 番目のモーメントを見つけることができます。最後に、特性関数の導関数と k 番目のモーメントとの関係など、フーリエ変換の有用な特性を強調します。
00:35:00このセクションでは、講演者は、Y の対数として定義される変数 X と U の log Y の特性関数との関係を説明します。対数をとることにより、X は変換され、方程式は次の積分に簡略化されます。 0 から無限大まで、変数の対数の補正関数により株式のあらゆる瞬間を計算できます。この方法は、検討中のモデルにマイナス在庫が含まれていない (まれであると考えられている) 限り、より簡単です。講演者は、これがブラックショールズモーメントを分析的に計算するのに役立つとも述べています。講演者は、Black-Scholes モデルの特徴的な機能についても紹介します。
00:45:00このセクションでは、講演者が Duffy-Pan-Singleton 法を使用して特性関数の偏微分方程式を解く方法について説明します。解を見つけるには、u から x への変換の導関数を計算し、PDE に代入する必要があります。次に、境界条件を使用して、話者は a と b の常微分方程式の解を見つけ、それを特性関数の式に代入して最終結果を導き出します。この方法は、ブラック-ショールズ モデルの特性関数を見つけるために使用されます。これは、既知の解析ソリューションの自明なケースです。
00:50:00このセクションでは、講演者がアフィン ジャンプ拡散プロセスで連結関数を導出し、a と b の値を見つけるプロセスを説明します。修正関数では、解が指定された偏微分方程式に適用できるかどうかを確認し、その後、a と b を見つけるために解く必要がある ODE の数を決定する必要があります。 Black-Scholes モデルでは、特性関数は株価の初期対数に依存します。アフィン拡散過程とみなせるモデルのクラスは、特性関数が e^(a+bx) の形式を持つように存在します。講演者は、確率微分方程式系が与えられた特性関数形式を満たすために必要な条件についても説明します。これには、ボラティリティ構造が x の数とブラウン運動に応じて行列として表現される必要性も含まれます。
01:20:00このセクションでは、講演者はアフィン ジャンプ拡散プロセスの入力および出力予測関数の次元について説明します。出力予測関数は通常 1 次元であり、在庫の対数の限界分布を表し、分散やジャンプなどの u の特性に依存します。入力予測関数の次元は確率微分方程式の数に関係します。次に、講演者は、確率微分方程式と偏積分微分方程式を導出することで、アフィン ジャンプ拡散モデルのプロセスを実演します。彼らは、二乗項のためにモデルがアフィンではないことを発見しましたが、対数変換を実行すると、1 つの独立確率変数 j だけを含む基本微分方程式が残ります。次に、導関数を計算して、j の特性関数と x の関数の積である特性関数の解を求めます。
01:25:00このセクションでは、講師がアフィンジャンプ拡散過程の微分方程式の導出について説明します。これは、項を x で取得し、それらをゼロに設定し、他のすべての項を収集して a の微分によって行われます。次に、 a の解が導出されます。これは、アフィン拡散仮定を使用せずに見つかったものと同じです。ただし、サイド p である a0 や l0 など、いくつかの定数パラメータが含まれており、ジャンプの強度が一定で状態に依存しないことを示しています。
Computational Finance Lecture 6- Affine Jump Diffusion Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
この講義では、株式市場におけるボラティリティ面の重要性と適切なモデルの必要性についても強調します。ボラティリティ表面が急峻なスマイルを示す場合、ジャンプまたは確率的ボラティリティを組み込んだモデルが好まれることがよくあります。 P 尺度やリスク中立尺度など、オプションの価格設定に使用されるさまざまな尺度について説明します。金利の時間依存性を高めてもスマイルや歪みは改善されませんが、確率的または局所的なボラティリティを導入すると調整に役立つ可能性があることに注意してください。平均値回帰平方根プロセスを利用してボラティリティをモデル化するハッセル モデルも導入されています。
00:50:00このセクションでは、講師がコレスキー分解を紹介します。これは、相関のあるブラウン運動を扱い、方程式系を相関のあるものから相関のないものに変換するのに役立つツールです。彼らは、相関とコレスキー分解を使用して、独立したブラウン運動に関して微分方程式系を表現する方法を説明します。講師はまた、ベクトル過程にエートス補題を適用するための技術的条件、つまり関数 g が十分に微分可能である必要があることについても説明します。これらは、多次元確率微分方程式の例と、関数 g をベクトル内の各プロセスで微分してプロセスのダイナミクスを取得する方法を示しています。
01:05:00このセクションでは、確率的ボラティリティ モデルに基づいてデリバティブの価格を設定するためのマーチンゲール アプローチについて講演者が説明します。このアプローチでは、量を m に対する v の比である pi として定義し、その後、エトス補題を適用してこの量がマーチンゲールであることを確認します。話者は、m dv から m dt にかけて rv を引いた単純な導関数を含むマーチンゲールの方程式を導き出します。経済は、資産、取引できないボラティリティ、および預金口座で構成されます。解を得るために、スピーカーはテイラー級数を適用し、伊藤微積分で項を処理しますが、これは簡単です。ただし、分散プロセスと在庫の積に関連する項の計算はさらに複雑になります。最終的な解には、2 つのブラウン運動と、分散とストックの間の相関関係に依存する追加項が含まれます。
Computational Finance Lecture 7- Stochastic Volatility Models▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling a...
次に、講演者は、フーリエ変換のグリッドを定義するためのパラメーターを構成するプロセスを詳しく説明します。これらのパラメータには、グリッド点の数、「u」の最大値、デルタ「x」とデルタ「u」の関係が含まれます。これらのパラメーターが確立されると、積分と合計を置き換えることができ、各 "x" 値に対する関数を導出できるようになります。台形積分を組み込んだ方程式と台形の境界節点で評価される特性関数を講義します。
この講義では、関数「g」の積分領域を変更して、「a」から「b」までの有限のサポート範囲を実現するプロセスを詳しく見ていきます。講演者は、式を簡略化する際のオイラーの公式の重要性を説明し、「u」を「k pi を ba で割った値」に置き換えることで、密度を含むより簡単な式がどのように得られるかを示します。切り詰められたドメインはハット記号で示され、パラメータ「a」および「b」の特定の値は、解決される問題に基づいて選択されます。講演者は、これは近似手法であり、「a」と「b」の値の選択にはヒューリスティックな選択が含まれることを強調します。
00:05:00このセクションでは、オプションの価格設定に高速フーリエ変換を使用するための密度を高速に計算する方法を導出する最初のステップについて講師が説明します。最初のステップでは、ドメインを 2 つに分割し、実数部分を取得します。これは低コストの操作です。さらに、特性関数をより効率的に計算できるようにする複素数の除算と共役の取り方についても説明します。この講義では、すべての x の密度を取得するためのグリッドの構築についても説明します。これには、特定のドメインの選択と境界の定義が含まれます。
00:10:00講義のこのセクションでは、教授はフーリエ変換積分と n 個の格子点からなる格子を使用して x の密度を計算する方法を説明します。彼らは、密度計算は複数の x に対して同時に実行する必要があることを明確にしています。グリッドが定義されると、ガンマという名前の関数の 0 から無限大までの新しい積分が定義され、離散積分から台形積分が決定されます。教授は例を挙げて、等間隔のグリッドを持つ関数の台形積分を実行する方法を説明します。
00:15:00講義のこのセクションでは、講演者はフーリエ変換のグリッドを定義するためにパラメーターを構成するプロセスについて説明します。これらのパラメータには、グリッド点の数、u の最大値、およびデルタ x とデルタ u の関係が含まれます。これらのパラメーターを定義すると、積分と合計を代入して、各 x 値の関数を取得できます。話者は、台形積分と台形の境界ノードで評価される文字関数を含む方程式を提供します。
00:40:00このセクションでは、オプション価格設定のためのフーリエ変換における回復密度関数の詳細について講師が説明します。変換に使用される点の数は n ですが、これは高精度の密度を達成するのに十分な大きさでなければなりません。講師は i を領域と最大値を定義するために使用される複素数として定義し、u max は分布によって決まります。講師はさらに、fxi ポイント上のグリッド xi での 3 次補間を使用して、補間の処理方法を説明します。この補間は、グリッド内にない入力に対しても出力密度関数が正確に計算されるようにするために必要です。
00:55:00このセクションでは、講演者は、a から b までの有限のサポート範囲を持たせるために、関数 g の積分領域を変更する必要性について説明します。彼らは、式を簡略化する際のオイラーの公式の重要性を説明し、u を k pi を ba で割ったものに置き換えることで、密度を含むより単純な式がどのように得られるかを示しています。切り詰められた領域はハットで示され、パラメータ a と b の特定の値は、解決される問題に応じて選択されます。講演者は、これは近似手法であり、a と b の値の選択にはヒューリスティックな選択が含まれることを強調します。
01:05:00オプション価格設定のためのフーリエ変換に関する講義のこのセクションでは、フーリエ コサイン展開の概要に焦点を当てています。通常の PDF を用いた数値実験で、項数に基づいてエラーの発生を確認し、時間を測定した結果、項数が少ない場合でも拡張により高い精度が得られます。コード実験は、コサイン法を使用して密度を生成し、誤差を密度の最大絶対差として定義するように構成されています。誤差はコサイン法を使用して回復され、正確な通常の PDF と比較されます。コサイン法では、メソッドの核心である特性関数を使用して密度を回復するために必要なコードは数行だけです。
01:30:00講義のこのセクションでは、オプション価格設定のためのフーリエ変換の実装式について説明します。これには、要素のベクトル化と行列の操作が含まれます。実装には、k をベクトルとして受け取り、nk 個のストライクを含む行列を作成することが含まれます。この式には、複素数を処理するために実部の計算が含まれます。特性関数は x に依存しないため非常に重要であり、マルチストライクの効率的な実装を実現する上で重要な役割を果たします。実装の精度と収束は項の数に依存します。サンプルの比較が示されています。
01:35:00このセクションでは、講演者がオプション価格設定のフーリエ変換手法に使用されるコードについて説明し、関連するさまざまな変数について説明します。彼らは、係数 a と b の範囲の概念を導入し、ジャンプ拡散モデルで一般的に 10 または 8 に維持される方法を説明しています。このコードには、さまざまなモデルで機能する汎用関数である特性関数のラムダ式も含まれています。講演者は、同じ実験を複数回繰り返し、すべての平均時間を計ることで時間を測定することの重要性を強調しました。最後に、コスト法と、大きなボラティリティを想定するために積分範囲を使用する方法を示します。
Computational Finance Lecture 8- Fourier Transformation for Option Pricing▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
ウォール街: スピードトレーダー
ウォール街: スピードトレーダー
多くの人は、米国の株式取引の大部分がもはや人間ではなくロボットコンピューターによって実行されていることを知りません。これらのスーパーコンピューターは、瞬く間に何千もの異なる証券を売買することができます。知られているように、高頻度取引は近年ウォール街で普及しており、昨年春のダウ工業株30種平均がわずか15分間で600ポイントも急落したミニ市場暴落の一因となった。
証券取引委員会と議会議員は、コンピューター取引を通じた市場操作の有用性、潜在的な危険性、疑惑について厳しい疑問を投げかけ始めている。人間のトレーダーから機械への移行により、かつては金融界の中心であったニューヨーク証券取引所の状況は一変しました。現在、取引所で行われる取引は 30% 未満で、残りは電子プラットフォームや代替取引システムを通じて行われています。
大手銀行と高頻度取引会社が所有する 2 つの電子証券取引所、BATS とダイレクト エッジが出現し、驚くべきスピードで 1 日あたり 10 億株以上の株式が取引されています。マノージ・ナラン氏とクオンツ（定量アナリスト）と呼ばれる数学者や科学者のチームが経営するトレードワークスのような高頻度取引会社は、この手法に取り組んでいる。彼らはほんの一瞬で取引を実行し、取引ごとに 1 ペニー以下の利益を上げることを目指しています。これらの企業は、コンピューターにプログラムされた複雑な数学的アルゴリズムを利用して、リアルタイムのデータを分析し、瞬時の意思決定を行っています。
高頻度取引の重要な側面の 1 つは、コンピュータが取引されている企業を理解できないことです。彼らは企業の価値、経営陣、その他の定性的要素を知りません。取引の決定は純粋に定量的要因、確率、統計分析に基づいて行われます。このアプローチでは、市場の一瞬の機会を捉えることができますが、基本的な要因は無視されます。
高頻度トレーダーは、スピードの優位性を得るためにスーパーコンピューターとインフラストラクチャに多額の投資を行っています。コンピューターが証券取引所のサーバーに近ければ近いほど、重要な市場情報をより早く受け取ることができます。ほんの数ミリ秒のアドバンテージでも、大きな利益をもたらす可能性があります。批評家は、高頻度トレーダーはこの利点を利用して、実際の価値を付加することなく、フロントラン注文を行い、株価を操作し、市場から資金を搾り取っていると主張しています。
支持者らは、高頻度取引は市場の流動性を高め、取引コストを削減し、株式スプレッドを縮小すると主張する一方、批判者らは、高頻度取引が公平性と透明性を損なうと考えている。取引の高速性とアルゴリズムの複雑さにより、規制当局が平等な競争条件を監視し確保することが困難になっています。ダウ・ジョーンズが数分で600ポイント急落した2010年の「フラッシュ・クラッシュ」では、高頻度取引とコントロールの欠如に伴う潜在的なリスクが露呈した。
規制当局や議員らは、高頻度取引に関連する懸念に対処するための改革提案を始めている。証券取引委員会は高頻度取引を追跡・特定するための措置を検討しており、価格変動が極端な場合には取引を停止するサーキットブレーカーが導入されている。しかし、市場の健全性に対する信頼を回復し、システムが不正に操作されていると感じる平均的な投資家に透明性を提供するには、さらなる変化が必要です。
近年、高頻度トレーダーは通貨市場や商品市場にも活動を拡大しており、金融市場への影響についての懸念がさらに高まっています。テクノロジーの進化は規制当局の対応能力を上回っており、イノベーションと市場の健全性のバランスをとる改革を求める声が高まっています。
「金融における数学的モデリングと計算: 演習と Python および MATLAB コンピューター コード付き」 、CW Oosterlee および LA Grzelak 著、World Scientific Publishing、2019 年。
『金融における数学的モデリングと計算: 演習と Python および MATLAB コンピューター コード付き』は、数学、金融、コンピューター サイエンスの交差点を探求する貴重な本です。この分野の専門家によって書かれたこの本は、Python や MATLAB などの一般的なプログラミング言語を使用して、金融における数学モデルを理解して実装するための包括的なガイドを提供します。
この本は、確率論、確率論、最適化手法など、金融における数学モデリングの基本概念を読者に紹介することから始まります。モデリングと計算の実践的な側面に重点を置き、現実世界の金融問題を解決する際の数値的手法とシミュレーションの重要性を強調しています。
この本の際立った特徴の 1 つは、Python と MATLAB による多数の演習とコンピューター コードが含まれていることです。これらの演習により、読者はコンテンツに積極的に取り組み、概念の理解を強化し、プログラミング スキルを向上させることができます。演習に取り組み、提供されたコードを実装することで、読者は数学モデルを財務に適用する実践的な経験を積み、財務分析にこれらのプログラミング言語を使用する習熟度を高めることができます。
この本では、オプションの価格設定、ポートフォリオの最適化、リスク管理、資産配分など、金融に関連する幅広いトピックを取り上げています。ボラティリティ モデリング、金利モデリング、信用リスク モデリングなどの高度なトピックを掘り下げ、財務モデリングで使用される数学的手法についての包括的な理解を読者に提供します。
著者は、本書全体を通じて、理論的な厳密さと実践的な応用のバランスを保っています。これらは、実際の例やケーススタディを伴って、基礎となる数学的概念とアルゴリズムを明確に説明します。このアプローチにより、読者は理論的基礎を把握できると同時に、これらのモデルを実際の財務問題の解決にどのように適用できるかについての洞察も得ることができます。
さらに、この本では、さまざまなモデリング アプローチの利点と限界を強調し、現実世界のシナリオでモデルを選択および実装する際に、情報に基づいた意思決定を行うために必要な批判的思考スキルを読者に提供します。
「金融における数学的モデリングと計算: 演習と Python および MATLAB コンピューター コード付き」は、数学的モデリングと計算手法について理解を深めたいと考えている金融分野の学生、研究者、実務者にとって優れたリソースです。理論的な説明、実践的な演習、すぐに使用できるコンピューター コードが組み合わされているため、数学的手法を適用して金融問題を解決することに興味がある人にとって不可欠なツールとなります。
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
このコース Computational Finance は、書籍「財務における数学的モデリングと計算: 演習と Python および MATLAB コンピューター コード付き」に基づいています。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 1/14 (資産クラスの概要と概要)
この包括的な講義は、計算ファイナンスと金融工学の魅力的な分野への入門として機能し、現代の金融を理解するために不可欠な幅広いトピックをカバーします。講師は、さまざまなシナリオの下でデリバティブの価格設定を行うための実践的なモデルを作成するために利用される、数理および計算ファイナンスの理論モデルの重要性を強調します。
コンピューテーショナル・ファイナンスに関するコースでは、学生は実践的なファイナンス手法を理解し、応用するために重要なさまざまなトピックを掘り下げます。インストラクターの Leth Lag が主導するこのコースでは、シミュレーションとオプションの価格設定に Python を使用した効率的なプログラミング手法の実装に重点が置かれます。この包括的なプログラムは、金融、定量的金融、金融工学に興味がある個人を対象に設計されています。インプライド・ボラティリティ、ヘッジ戦略、エキゾチックなデリバティブの魅力的な領域などの重要な概念をカバーします。コンピューテーショナル・ファイナンスは、数理ファイナンスと数値的手法の間に位置する学際的な分野です。その主な目的は、プログラミング スキルと理論モデルを組み合わせて、経済分析に直接適用できる手法を開発することです。一方、金融工学には、金融理論、工学的手法、数学的ツール、プログラミング実践を採用した学際的なアプローチが含まれます。金融エンジニアは、デリバティブの価格設定や複雑な金融契約の効率的な処理に利用できる、数学的および計算ファイナンスに基づく実用的なモデルを作成する上で重要な役割を果たします。これらのモデルは理論的に健全であり、さまざまなシナリオに適応できる必要があります。
このコースでは、株式、オプション、金利、外国為替、信用市場、商品、エネルギー、暗号通貨など、コンピュテーショナルファイナンスで取引されるさまざまな資産クラスに光を当てます。特に暗号通貨はさまざまな資産クラスへのエクスポージャーを提供し、ヘッジ目的で使用できます。各資産クラスには、リスク管理とヘッジ戦略に使用される独自の契約があります。店頭 (OTC) 市場には複数の取引相手が存在するため、理解する必要があるさらなる複雑性が存在します。
講師は金融における仮想通貨の役割を探り、その多様な特徴と、価格設定のための特定の方法論、モデル、仮定の必要性を強調します。さらに、金利、為替、株式、商品、クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）など、さまざまな資産クラスの市場シェアも調査されます。オプションは金融の世界では比較的小さな部分を占めていますが、金融および計算分析に関して明確な視点を提供します。
オプションと投機のトピックについて徹底的に議論し、個人が比較的少額の資本投資で株式の将来の方向性を推測できるようにすることで、オプションがどのように株式購入の代替手段となるかを強調します。ただし、オプションには満期日があり、株価が変わらないと価値が失われる可能性があるため、投機においてはタイミングが重要な要素となります。このコースでは、金融市場、資産クラス、およびこれらの複雑な状況をナビゲートする際の金融エンジニアの役割について紹介します。最も人気のある資産クラスである株式について、所有権の概念と、株式の価値が企業業績や将来の期待によってどのように影響されるかを強調しながら、詳細に検討します。
この講義では、需要と供給、競合他社、企業業績などの要因に影響される、市場における株式の動きの確率的性質に光を当てます。株式の期待価値は実際の価値と異なる場合があり、それがボラティリティを引き起こす可能性があります。ボラティリティは将来の株価の変動を決定するため、オプションのモデル化と価格設定において重要な要素です。さらに、この講義では、配当利回りに関心のある投資家と成長の機会を求める投資家という 2 つのタイプの投資家を区別します。
配当と配当投資の概念が導入され、企業が定期的に株主に支払いを行うため、配当がいかに安定的かつ確実な投資となるかを強調します。ただし、配当金の支払額は変動する可能性があり、高い配当利回りは企業の投資におけるリスクの増加を示している可能性があります。講義では金利と金融市場について簡単に触れますが、これらのトピックはフォローアップ コースでより広範囲に取り上げられることを承知しています。
インフレとその金利への影響について議論し、中央銀行が金利を調整することでインフレをどのように制御するかを明らかにします。この講義では、金利引き下げの短期的なメリットと長期的な影響、さらには現代金融理論や中央銀行による資産購入などの代替戦略について探ります。さらに、金利決定における市場参加者間の不確実性の役割と、国民に対するインフレの隠れた税効果についても説明します。講義は、融資におけるリスク管理のトピックを掘り下げて終了します。講師は、借り手の破産やローン不履行など、貸し手が直面する潜在的なリスクを強調します。これらのリスクを軽減するために、貸し手は潜在的な損失が適切に補償されるようにリスクプレミアムを請求することがよくあります。
今後、講演者は金利と金融におけるその重要性に焦点を移していきます。金利が普通預金口座、住宅ローン、ローンなどのさまざまな金融商品にどのような影響を与えるかについて説明します。複利の概念が導入され、インフレなどの要因により、現在の通貨の 1 単位の価値が将来の同じ単位よりも高くなるという概念が強調されます。単純金利と複利金利の 2 つの主な計算方法について、その違いと実際の例を詳しく説明します。
次に、講演者は複利、特に満期が 1 年の投資についてさらに詳しく掘り下げます。彼らは、指数関数を使用した複利の数学的モデリングについて説明します。この関数では、1 通貨単位に e の金利乗を掛けます。さらに、講演者は、この数学的表現がどのように普通預金口座を支配する微分方程式と一致し、将来のキャッシュ フローを割り引くために使用される乗算係数の決定につながるかについて説明します。ただし、講演者は、実際には金利は一定ではなく、期間やユーロや米ドルなどの通貨の価格などのさまざまな手段によって証明されるように、時間の経過とともに変化することに注意します。
ユーロ圏とドルの金利と市場流動性を表すグラフについて説明します。特に、ユーロ圏の現状では、最長 30 年までのすべての満期にわたって利回りがマイナスとなっており、ユーロ圏内の国債への投資が損失を招く可能性があることを示唆しています。講演者は、個人はより高い利回りを提供するため、ユーロをドルに交換して米国債に投資することを好むかもしれないと示唆する。ただし、このアプローチには為替レートの変動による潜在的な損失などのリスクが伴います。講演者は、金利は時間に依存し、市場動向に左右されることを強調します。
講師は債券購入の概念を説明し、債券購入者が債券の実際の価値よりも多くの金額を支払うことが多いことを強調します。その結果、債券に投資されたお金の価値は時間の経過とともに減価し、インフレによって投資価値が目減りする可能性があります。年金基金や中央銀行など債券の主要な買い手について言及し、債券市場における重要な役割を強調する。さらに、時間の経過に伴う金融価格の変動を測定するボラティリティの概念についても触れます。ボラティリティは分散などの統計的尺度を使用して計算され、不確実性とリスクをもたらす市場または証券の変動傾向に関する洞察を提供します。
その後、このコースでは、コンピューテーショナル ファイナンスにおける 2 つの重要な概念である資産リターンとボラティリティに焦点を移します。資産リターンは特定の期間内の証券の利益または損失を指しますが、ボラティリティはこれらのリターンの分散を測定します。ボラティリティの高い市場では、短期間で価格が大幅に変動し、不確実性とリスクが高まります。市場の不確実性を測る指標であるVIX指数が導入される。これはアウト・オブ・ザ・マネーまたはプット・オプションを利用し、市場価値の下落時に資本を保護するために投資家によって一般的に使用されます。実際には難しい場合があるため、タイミングと露光時間の予測の重要性が強調されます。
インストラクターは、VIX 指数を含むさまざまな指数のボラティリティ分析の複雑さについて説明します。彼らは、市場の状況や変動によるボラティリティを数学的にモデル化することが困難であることを認識するでしょう。さらに、ボラティリティに基づくデリバティブ価格設定の基本的な構成要素として機能する欧州オプションも導入されます。講師はコール オプションとプット オプションを明確に区別し、コール オプションは保有者に所定の価格と日付で資産を購入する権利を与えるのに対し、プット オプションは保有者に所定の価格で資産を売却する権利を与えることを説明します。と日付は、基本的に保険として機能します。
オプションの基礎を確立した後、講師はさまざまな資産クラス内のオプションの概要を説明します。彼らは、コール オプションとプット オプションという 2 つの主要なタイプのオプションを強調します。コールオプションの場合、買い手は指定された満期日と権利行使価格で原資産を売り手に売却する権利を有します。これは、買い手がオプションの行使を選択した場合、満期時に筆者は権利行使価格で株式を購入する義務があることを意味します。一方、プットオプションは、指定された満期日と権利行使価格で原資産を売り手に売却する権利を買い手に与えます。満期時に買い手がオプションを行使した場合、ライターは指定された権利行使価格で株式を購入しなければなりません。
オプションの潜在的な収益性を説明するために、講師は 2 つのグラフ表現 (1 つはコール オプション、もう 1 つはプット オプション) を提示します。これらのグラフは、原株の価値に基づいて潜在的な利益または損失を示しています。グラフを調べることで、視聴者は株式価値の変化がオプションの収益性にどのような影響を与えるかについて洞察を得ることができます。
コース全体を通じて、インストラクターは、デリバティブのモデリング、効率的なプログラミングの実装、シミュレーションとオプション価格設定のための Python の使用など、コンピュテーショナル ファイナンスに関連する追加の高度なトピックを学習します。彼らはセッション中にライブでプログラムを作成し、視聴者と協力して結果を分析し、実践的な経験と実践的な洞察を提供します。
このコースは、金融、定量的金融、金融工学に興味がある個人を対象に特別に設計されています。数理ファイナンスと数値的手法の間のギャップを埋めることを目的としており、現実世界の金融問題に取り組むために必要な学際的な知識とスキルを提供します。インプライド・ボラティリティ、ヘッジ戦略、エキゾチックなデリバティブの概念も取り上げ、コンピューテーショナル・ファイナンスと金融業界におけるその応用についての包括的な理解を提供します。
コースの終了までに、参加者はコンピューテーショナルファイナンス、金融工学、および数値手法の実践における強固な基礎を習得していることになります。彼らは、デリバティブの価格設定、リスク管理、財務データの分析のためのモデルを開発および実装するためのツールと知識を備えています。このコースは、金融、定量分析、または金融工学の分野でのキャリアを追求したい人にとっての足がかりとして機能し、情報に基づいた意思決定を行い、進化し続けるコンピューテーショナル ファイナンスの分野に貢献できるようにします。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 2/14 (株式、オプション、確率論)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 2/14 (株式、オプション、確率論)
インストラクターはまずコースの概要を説明し、取引の信頼性、ヘッジ、金融における数学的モデルの必要性を理解することの重要性を強調します。プット オプションの価格設定のトピックを掘り下げ、ヘッジの概念を説明します。確率過程と資産価格モデリングもカバーされており、確率微分方程式を解くためのツールとして伊藤の補題が導入されています。
これらの概念の実際の応用を説明するために、講師は、投資家が潜在的な株式価値の下落から投資を保護しようとするトレーニング戦略の例を示します。彼らは、最悪のシナリオに備えて最小限の資金を確保するために、プットオプションの形で保険を購入することを提案しています。
オプション取引に移り、講師は株価の下落から守るためのプット オプションの使用に焦点を当てます。しかし、彼らは、特にテスラの例のように株価のボラティリティが高い場合、プットオプションの購入は高価になる可能性があると指摘しています。オプションコストを削減するには権利行使価格を下げることができますが、これは株価の引き下げを受け入れることを意味します。講師はロイターからのスクリーンショットを提供し、市場で利用可能なさまざまな種類のオプションを満期と権利行使価格ごとに分類して示しています。また、コールおよびプット オプションの権利行使価格とオプション価格の関係についても説明します。
インプライド・ボラティリティは、市場の不確実性の尺度として導入されます。講師は、権利行使価格が低いほどインプライド・ボラティリティが高まると説明しています。原資産に対するオプションの価値依存性を測定するデルタも導入されています。次にビデオでは、ヘッジの概念と、株式の価値が上昇しない場合に利益が制限される可能性があるにもかかわらず、リスクのないポートフォリオを達成するために比率をどのように設定できるかを詳しく説明します。オプションによるヘッジについて説明し、短期投資への適性を強調していますが、ボラティリティが高い時期には潜在的にコストがかかることにも注意しています。
オプション取引は、ヘッジとリスク軽減の手段としてさらに研究されています。講師は、オプションは長期投資ではコストが高くなる可能性があるため、通常、満期が明確な短期投資の方が望ましいと示唆しています。コールによるヘッジの概念が導入され、オプションの売りが大規模な株式ポートフォリオを保有する投資家のリスク軽減にどのように役立つかを強調しています。ただし、コールを売りすぎると潜在的な上値が制限される可能性があり、常にある程度のリスクが伴うため、コールを売りすぎないように注意する必要があります。
次に、ビデオではコモディティについて詳しく説明し、コモディティは予測不可能だが季節的な価格パターンがあるため、インフレに対するヘッジとして使用される原材料であると説明しています。商品取引は主に先物市場で行われ、将来の日に商品を売買する取引が行われます。電力市場と他の商品との違いが強調されており、電力は完全に蓄えることができないこと、デリバティブの予測可能性や価値に影響を与えることにより、特有の課題を抱えています。
講師は、一般に外国為替市場と呼ばれる、資産クラスとしての通貨取引について説明します。従来の特定の為替レートでの売買とは異なり、個人は通貨間で金額を交換します。講師は基軸通貨および基軸通貨としての米ドルの役割を強調する。彼らはまた、通貨を強くしたり弱くしたりするための中央銀行による為替レートの操作にも触れています。さらに、国際ビジネスにおける為替リスクをヘッジするための外国為替デリバティブの小規模な応用についても言及されています。
講演者は、銀行や金融機関が投資の不確実性を管理するために、変動する為替レートに対して保険を購入または販売する方法について説明します。さまざまな国に投資すると、通貨の強さや金融政策の違いにより不確実性が生じ、収益が不確実になる可能性があります。コンピューテーショナル・ファイナンスは、不確実性をモデル化し、さまざまな要因を考慮することにより、そのような投資に関連するリスクを管理および計算する上で重要な役割を果たします。講演者はさらに、ビットコインが外国為替レートとみなされる可能性があることを指摘し、米ドルとの交換を通じて価値が決定される規制商品としてのビットコインのハイブリッドな性質について説明します。ビットコインの変動性により、ビットコインの将来の価値を予測するのは困難です。
さらに講演者は、オプション価格設定の基本原則であるリスク中立価格設定の概念についても探求します。リスク中立の価格設定では、完全に効率的な市場では、オプションの期待収益がリスクフリー レートに等しいはずであると想定しています。このアプローチでは、リスク中立の尺度に基づいてさまざまな結果の確率を考慮することで価格設定プロセスが簡素化され、オプションの期待収益がリスクフリーレートで割り引かれます。
次に講演者は、オプションの価格設定に広く使用されている数学モデルであるブラック・ショールズ・マートン (BSM) モデルを紹介します。 BSM モデルには、現在の株価、権利行使価格、有効期限までの時間、リスクフリー金利、原資産のボラティリティなどのさまざまな要素が組み込まれています。これは、原資産が幾何学的なブラウン運動に従い、市場が効率的であることを前提としています。
講演者は、欧州のコールまたはプット オプションの価値を計算する式など、BSM モデルの主要なコンポーネントについて説明します。彼らは、ボラティリティが高くなると価格変動が大きくなる可能性があるため、オプションの価値が高まるため、オプションの価格設定におけるボラティリティの重要性を強調しています。講演者はまた、オプション価格によって暗示される将来のボラティリティに対する市場の期待であるインプライド・ボラティリティの役割についても言及しています。
次に、原資産の中立的な立場を維持することでリスクを最小限に抑えるために使用される戦略であるデルタ ヘッジの概念を詳しく説明します。デルタは、原資産の価格の変化に対するオプション価格の感応度を測定します。原資産の保有株数を調整することで、投資家は価格変動の影響をあまり受けないデルタニュートラルなポートフォリオを作成できます。
講演者は、BSM モデルを使用したデルタ ヘッジのプロセスを説明し、それがどのように効果的にリスクを軽減できるかを示します。彼らは、原資産の価格の変化に応じてヘッジが継続的に調整される動的ヘッジの概念について説明します。これにより、ポートフォリオがデルタニュートラルに保たれ、市場変動の影響を最小限に抑えることができます。
この講義では、デルタ ヘッジに加えて、ガンマ ヘッジやベガ ヘッジなどの他のリスク管理手法についても説明します。ガンマはデルタの変化率を測定し、ベガはインプライド ボラティリティの変化に対するオプション価格の感度を測定します。これらの手法により、投資家は変化する市場状況やリスクに基づいてポジションを管理し、調整することができます。
講演の終わりに向かって、講演者は BSM モデルの限界と前提を強調します。彼らは、現実世界の市場が、取引コストの存在、流動性の制約、市場摩擦の影響など、モデルの仮定から逸脱する可能性があることを認めています。講演者は慎重なアプローチを奨励し、オプション価格設定モデルに関連する制限と不確実性を理解することの重要性を強調しました。
全体として、この講義では、取引の信頼性、ヘッジ戦略、オプション価格設定モデル、およびリスク管理手法の包括的な概要を提供します。学習者は金融市場の複雑な世界をナビゲートし、取引や投資活動において情報に基づいた意思決定を行うために不可欠な知識とツールを身につけることができます。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 3/14 (Python によるオプション価格設定とシミュレーション)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 3/14 (Python によるオプション価格設定とシミュレーション)
講義では、インストラクターは Python でのストック パス シミュレーションを詳しく調べ、価格設定オプションの Black-Scholes モデルを調査します。彼らは、オプションの裁定なしの価格を導き出すための 2 つのアプローチ、つまりヘッジとマーチンゲールについて説明します。講演者は、マーチンゲールをプログラムしてシミュレーションする方法を実演し、価格設定フレームワークにおける偏微分方程式 (PDE) とモンテカルロ シミュレーションの関係を強調します。
オイラー離散化法を使用して、確率過程のシミュレーションとグラフの生成方法を説明します。彼らは簡単なプロセスから開始し、Ito の補題を使用して S から X (S の対数) に切り替えます。その後、講師はオイラー離散化手法を紹介し、Python での実装をデモンストレーションします。この方法では、連続関数を離散化し、ドリフトとブラウン運動の両方の増分をシミュレートして、シミュレートされたパスのグラフを作成します。
講演者は計算の観点から、オプション価格設定モデルのパスのシミュレーションについて説明します。各パスを個別にシミュレートする代わりに、タイム スライシングを実行し、各行が特定のパスを表す行列を構築する効率について説明しています。行の数はパスの数に対応し、列の数はタイム ステップの数に対応します。講演者は、標準正規確率変数を使用した離散化プロセスの実装について説明し、より良い収束のための標準化の重要性を強調します。
この講義では、Python を使用した幾何学的なブラウン運動のパスのシミュレーションについても説明します。講演者は、安定したシミュレーションのためにランダム シードを修正する方法を説明し、資産価格をモデリングするためのドリフトとミューやシグマなどのパラメーターを含む確率微分方程式を含むブラック-ショールズ モデルを紹介します。講演者は、ブラック・ショールズモデルが金融業界、特に株式のオプションの価格設定に今でも広く使用されていることを強調しました。彼らは、さまざまな結果の確率に基づいてオプションの価格設定を支援する、現実世界の尺度とリスク中立の尺度の概念について説明します。
さらに、この講義では、Python でのオプションの価格設定とシミュレーションについても説明します。講演者は、アービトラージやリスクのない状況を想定せずに過去のデータに基づいて推定した現実世界の尺度と、特定の条件を維持する必要があるリスク中立の尺度を区別します。彼らは、株式の継続的な取引と、基礎となる株式の動きを捉えるためのオプションポジションの調整を含む取引戦略を提示します。講演者は、伊藤の補題を使用してポートフォリオのダイナミクスを説明し、この方法を通じてオプション値の確率的性質を導き出します。
講演者は、ブラウン運動に依存しないヘッジポートフォリオを構築する手法についても詳しく説明します。彼らは、ブラウン運動に関係する項を無効にし、デルタ中立のポートフォリオを確保するデルタの選択について議論します。講演者は、普通預金口座と同じ収益をもたらすポートフォリオの重要性を強調し、マネー設定口座の概念を紹介します。
さらに、この講義では、Black-Scholes モデルを使用したオプション評価のための偏微分方程式 (PDE) の導出についても取り上げます。結果として得られる偏微分方程式は、オプションの公正価値を決定する境界条件を備えた二次導関数です。講演者は、ブラック・ショールズモデルのオプション価格設定は、校正または履歴データから取得できるドリフトパラメータμに大きく依存しないことを強調しました。ただし、このモデルではヘッジのための取引コストは考慮されていません。
この講義では、ブラック ショールズ モデルとオプションの価格設定におけるさまざまな重要な概念について説明します。ここでは、裁定取引の機会がないという仮定について説明しており、モデルの適用にリスクのないシナリオをもたらします。講演者は、デルタ ヘッジの概念と、それがポートフォリオの最大のランダム要素をどのように排除するかについて説明します。さらに、講演者はデルタの動作の尺度としてガンマを導入し、モデル内のすべてのパラメーターをヘッジできることを強調しました。最後に、講義では、時間、行使価格、ボラティリティ、市場関連パラメーターなど、オプションの価値の決定要因について説明します。
講演では、講演者はブラック・ショールズモデルとそのオプション価格設定への応用についてさらに探求します。彼らは、一定のボラティリティや取引コストが存在しないという仮定を含む、モデルの仮定と限界について議論します。これらの制限にもかかわらず、ブラック・ショールズモデルは、ヨーロッパのコールおよびプットオプションの価格設定におけるその単純さと有効性により、金融業界で依然として広く使用されています。
講演者は、現在のオプション価格から導き出される将来のボラティリティに対する市場の期待であるインプライド・ボラティリティの概念を紹介します。インプライド・ボラティリティはオプションの価格設定に影響を与えるため、ブラック・ショールズ・モデルでは重要なパラメーターです。講演者は、モデルを使用して市場データからインプライド ボラティリティをどのように取得できるかを説明し、オプション取引戦略におけるその重要性について説明します。
この講義では、デルタ ヘッジやガンマ取引など、さまざまなオプション取引戦略について詳しく説明します。デルタヘッジには、原資産の価格の変化に対して中立的なポジションを維持するためにポートフォリオの構成を継続的に調整することが含まれます。ガンマ取引は、原資産の価格に対してデルタがどのように変化するかを測定するガンマの変化を活用することに焦点を当てています。これらの戦略は、オプション取引におけるリスクを管理し、収益性を最大化することを目的としています。
講演者は、時間減衰（シータ）、金利（ロー）、配当利回りなど、オプション価格に影響を与える他の重要な要因にも触れています。これらの要因がオプションの価格設定にどのような影響を与えるか、そしてトレーダーがそれらの要因を利用して情報に基づいた意思決定を行う方法について説明します。
講義全体を通じて、Python プログラミングを利用して、さまざまなオプション価格設定モデルと取引戦略の実装をデモンストレーションします。スピーカーはコード例を示し、ライブラリや関数を利用して計算やシミュレーションを実行する方法を説明します。
要約すると、この講義では、ブラック-ショールズ モデルと関連概念を使用したオプションの価格設定とシミュレーションの包括的な概要を説明します。 Python プログラミングにおけるこれらの概念の実践的な応用に重点を置いており、クオンツ ファイナンスやオプション取引に興味のある個人にとって貴重なリソースとなっています。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 4/14 (暗黙のボラティリティ)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 4/14 (暗黙のボラティリティ)
コンピューテーショナル ファイナンスに関するこの包括的な講義では、インプライド ボラティリティの概念が中心となり、オプション価格計算におけるその重要性が明らかになります。ブラック・ショールズ モデルはインプライド ボラティリティを計算するための基礎として機能しますが、その限界と非効率性が十分に強調されています。この講義では、インプライド ボラティリティを計算するためのさまざまな方法論、特にニュートン・ラフソン法などの反復プロセスについて詳しく説明します。さらに、講師はオプション価格のモデリングに関連する課題を検討し、市場の期待を反映する際のインプライド・ボラティリティの役割を強調します。講義全体を通して、オプション価格のボラティリティを理解し、効果的なヘッジポートフォリオを構築することが極めて重要であることが依然として中心テーマです。
この講義では、特に流動的なアウト・オブ・ザ・マネーのプットとコールに重点を置き、オプション価格とインプライド・ボラティリティの関係に焦点を当てて探究を広げます。これは、時間依存のボラティリティ パラメーターと、インプライド ボラティリティ スマイルに対する時間依存の影響を含む、さまざまなタイプのインプライド ボラティリティ スキューを調査します。さらに、この講義では、ブラック ショールズ モデルの限界と、ローカル ボラティリティ モデル、ジャンプ モデル、確率的ボラティリティ モデルなどのボラティリティ モデルを処理するための代替アプローチについて詳しく説明します。オプションの満期がボラティリティに及ぼす影響も明らかにされており、満期の短いオプションは満期の長いオプションと比較してマネーレベル付近でより集中した分布を示しており、スマイル効果はそれほど顕著ではありません。
教授は、特にオプションの価格設定とボラティリティのモデリングに関連する、前のセクションで説明した主要な概念を要約することから始めます。インプライド ボラティリティが導入され、市場データからの計算と不確実性の測定におけるその役割が強調されます。インプライド・ボラティリティを計算するアルゴリズムについて詳しく説明します。さらに、時間依存のボラティリティ パラメーターの組み込みや暗黙のボラティリティ曲面の生成などの拡張機能とともに、ブラック ショールズ モデルの制限と効率性にも対処しています。この講義では、ブラック ショールズ モデルのみに依存することのマイナス面にも触れ、ローカル ボラティリティや確率的ボラティリティなどの代替モデルを紹介します。条件付請求の価格設定のための適切なモデルを指定する必要性と、価格設定の偏微分方程式 (PDE) に到達するためにオプションと株式から構成されるヘッジ ポートフォリオを構築する重要性が強調されます。
講演者は、偏微分方程式を解く際の期待値の利用法、特に決定論的な金利を扱う場合と、リスク中立の基準の下で期待値を取得する必要性について検討を続けます。欧州のコールおよびプット オプションの価格設定方程式は、ポイント d1 で評価される初期株式正規累積分布関数 (CDF) に依存して提示されます。CDF は、満期までの期間にわたる金利に関係する指数とともに、モデル パラメーターに依存します。講義では、この数式が Excel で簡単に実装できることを説明します。
次に、オプション価格を見積もるためのツールとして機能するブラック・ショールズモデルに必要なパラメータについて詳しく説明します。これらのパラメータには、満期までの時間、ストライキ、金利、現在の株価、市場価格を使用して推定する必要があるボラティリティ パラメータ シグマが含まれます。講師は、オプション価格とボラティリティが一対一に対応していることを強調し、ボラティリティの上昇はそれに対応してオプション価格の上昇を意味し、その逆も同様であることを強調しました。次に、インプライド・ボラティリティの概念について説明し、仲値に基づく計算とブラック・ショールズ・モデルにおけるその重要性を強調します。
この講義では、複数のパラメータを持つモデルからインプライド ボラティリティを取得する方法についてさらに詳しく説明します。選択したモデルに関係なく、Black-Scholes モデルのテストに合格する必要があることに注意してください。ただし、ブラック・ショールズ モデルを使用してすべてのオプションの価格を同時に決定することは、権利行使ごとにインプライド ボラティリティが異なるため、非現実的になります。講演ではまた、オプションの満期が長くなるにつれてインプライド・ボラティリティが増加する傾向があり、不確実性が高まっていることを示していると指摘している。市場データと 100 株の標準コール オプションを使用したインプライド ボラティリティの計算を示す例が提供されています。
インプライド・ボラティリティの概念については、講師がさらに詳しく説明します。オプションの履歴データは、ブラック・ショールズ方程式を使用してそのボラティリティを推定するために使用されます。ただし、講師は、この推定はオプションの一定の価格を提供するものの、過去を見据えた過去の推定とは対照的に、その将来を見据えた性質により、市場は異なる価格を設定した可能性があることを強調しています。この矛盾にもかかわらず、2 つのボラティリティの関係は依然として投資目的に利用されていますが、講師はこの関係への純粋な投機的な依存に注意するようアドバイスしています。次に、市場価格やオプションのその他の仕様を考慮して、ブラック・ショールズ方程式を使用してインプライド・ボラティリティを計算する方法について説明します。しかし、講師は、インプライド・ボラティリティの概念には決定的な正しい値がなく、使用されるモデルはオプション価格の真の表現ではなく近似であるため、本質的に欠陥があることを認めています。
講師は、反復アプローチであるニュートン・ラフソン法を使用して暗黙のボラティリティを見つけるプロセスについて説明します。この方法には、ブラック・ショールズ方程式と市場価格に基づいて関数を設定し、暗黙のボラティリティであるシグマを解くことが含まれます。講師は、ブラック・ショールズの暗黙的ボラティリティが市場の暗黙的ボラティリティと一致する関数を見つけることを目的として、正確な解と反復の差を計算するためのテイラー級数展開の使用を強調します。マーケットメーカーが裁定取引の機会を特定し、利益を生み出すためには、インプライド ボラティリティをミリ秒単位で迅速に計算する機能が不可欠です。
ニュートン・ラフソン法を使用してインプライド・ボラティリティを計算するための反復プロセスの概念が導入されています。このプロセスでは、関数 g がゼロに近づくまで複数回の反復が必要となり、新しい各ステップは前のステップに基づいて推定されます。講師は、ニュートン・ラフソン法の収束における初期推定の重要性を強調します。極端なアウトオブザマネーのオプションやゼロに近いオプションは、関数が平坦になり、収束を妨げる小さな勾配が生じるため問題が発生する可能性があります。この問題を克服するために、専門家は通常、初期推測のグリッドを定義します。このアルゴリズムは、接線を使用して関数を近似し、急勾配の x 切片を計算します。これにより、より速い収束が得られます。
さらに、オプションのインプライド・ボラティリティを計算するためのニュートン・ラフソン・アルゴリズムの実装について説明します。このアルゴリズムは、市場価格、行使価格、満期までの時間、金利、初期在庫量、初期ボラティリティ パラメーターなどの入力パラメーターを使用した Black-Scholes モデルに依存しています。アルゴリズムの収束が分析され、エラーしきい値が決定されます。このコードは、NumPy ライブラリと SciPy ライブラリを活用して、事前に準備された必要なメソッドと定義を備えた Python を使用してデモンストレーションされます。
この講義では、オプション値やベガとして知られるボラティリティ パラメーターに関するコール価格の導関数など、この計算に必要な入力を強調しながら、インプライド ボラティリティの計算について詳しく説明します。コードの中核には、インプライド ボラティリティを計算する段階的なプロセスが含まれており、講師が関連するさまざまなパラメーターとその重要性について説明します。講義は、インプライド ボラティリティの計算に使用される反復プロセスの簡単なデモンストレーションで終わります。
講演者はまた、インプライド ボラティリティの計算における誤差と、それが反復間の差異によってどのように決定されるかについても取り上げます。出力チャートには、コール価格、ストライク、満期、その他のパラメーターから得られたインプライド ボラティリティが表示されます。講演者は、ボラティリティの初期推定が異なると収束がどのように変化するかを説明し、業界の調整におけるこのプロセスの重要性を強調しました。モデルが正常に収束するには、最初の推定値が実際のインプライド ボラティリティに近い必要があります。業界の実務者は通常、適切な収束が達成されるまで、さまざまな初期ボラティリティを試み、その特定のボラティリティ値が選択されます。
この講義では、インプライド・ボラティリティの解釈をさらに深く掘り下げます。インプライド・ボラティリティは、市場の期待やセンチメントに関する洞察を提供します。インプライド・ボラティリティが高い場合、市場参加者が大幅な価格変動を予想していることを示唆しており、これは原資産の不確実性やリスク認識を示している可能性があります。逆に、インプライド・ボラティリティが低いということは、価格が比較的安定しているという期待を示しています。
この講義では、インプライド・ボラティリティは将来のボラティリティの尺度ではなく、むしろ市場価格の反映であることを強調しています。インプライド・ボラティリティは、需要と供給のダイナミクス、市場センチメント、市場参加者のリスク選好などのさまざまな要因の影響を受けます。したがって、他の市場指標やファンダメンタルズ分析と照らし合わせてインプライド ボラティリティを解釈することが重要です。
講師はまた、インプライド・ボラティリティ・サーフェスまたはボラティリティ・スマイルの概念についても強調しています。インプライド ボラティリティ サーフェスは、インプライド ボラティリティとさまざまな権利行使価格および満期との関係を表します。特定の市場状況では、アウト・オブ・ザ・マネー・オプションのインプライド・ボラティリティがアット・ザ・マネー・オプションのインプライド・ボラティリティよりも高くなる場合もあれば、低くなる場合もあります。暗示ボラティリティ曲面のこの曲率は、ボラティリティ スマイルまたはスマイルとして知られています。講演では、ボラティリティ・スマイルは、大きな下値リスクや予期せぬポジティブな出来事など、極端な値動きの可能性に対する市場参加者の認識を示していると説明。
さらに、この講義ではインプライド・ボラティリティ期間構造の概念についても説明します。インプライド ボラティリティ期間構造は、特定のオプションのインプライド ボラティリティとさまざまな満期との関係を表します。講師は、インプライド・ボラティリティ期間の構造は、上向きの傾斜（コンタンゴ）、下向きの傾斜（バックワーデーション）、平坦な曲線など、さまざまな形状を示す可能性があると説明します。これらの期間構造は、さまざまな期間にわたる将来のボラティリティに関する市場の期待に対する洞察を提供します。
さらに、この講義では、インプライド ボラティリティに関連する制限と課題についても詳しく説明します。インプライド・ボラティリティはオプション価格から導き出され、金利、配当利回り、効率的市場仮説などのさまざまな要因や仮定の影響を受けることを強調しています。したがって、インプライド ボラティリティは、真の潜在的なボラティリティを必ずしも正確に反映するとは限りません。
さらに、この講義ではヒストリカル ボラティリティの概念とインプライド ボラティリティとの比較について説明します。ヒストリカル ボラティリティは原資産の過去の価格変動に基づいて計算されますが、インプライド ボラティリティはオプション価格から導出されます。講師は、過去のボラティリティは過去を見据えたものであり、将来の市場の期待を完全には捉えていない可能性があるのに対し、インプライド・ボラティリティにはオプション価格に組み込まれた将来を見据えた情報が組み込まれていると指摘しています。
最後に、講義の要点をまとめて終了します。インプライド・ボラティリティ、その計算方法、およびオプションの価格設定と市場の期待に関連した解釈を理解することの重要性を強調しています。講師は、金融市場や投資意思決定におけるこの分野の重要性を考慮して、この分野のさらなる探索と研究を奨励します。
ここで、ボラティリティの影響はオプションの長さによって異なります。このビデオでは、インプライド ボラティリティを計算し、時間依存のボラティリティを含むパスを生成する方法と、それがブラック-ショールズのインプライド ボラティリティ方程式にどのように影響するかについても説明しています。このビデオでは、満期の異なる 2 つのオプションに異なるボラティリティ レベルを当てはめる例も示しています。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 5/14 (ジャンプ プロセス)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 5/14 (ジャンプ プロセス)
講義は、ストック プロセスにジャンプを組み込み、拡散モデルからジャンプ拡散モデルに移行することで、ブラック ショールズ モデルを強化する方法を探求します。インストラクターは、ストックプロセスにジャンプが含まれていることを説明し、ジャンプの定義を提供することから始めます。次に、Python でのジャンプ プロセスの簡単な実装を示し、モデルが q 測度の下にあることを確認しながら、株式の確率過程でジャンプを処理する必要性を強調しています。
さらに、この講義では、追加の積分項を導入しながら、価格設定のジャンプ導入の影響と、それが価格設定 PDE (偏微分方程式) にどのような影響を与えるかについて詳しく説明します。議論は、インプライド・ボラティリティの形状に対するさまざまなジャンプ分布の影響や、複雑な期待値を扱う際の期待値反復期待値、期待値のタワー特性、ジャンプ・プロセスの特性関数などの概念の利用にまで及びます。
講師は、オプションの価格設定やモデルの調整におけるジャンプ プロセスの実用性を強調し、その現実性と重いテールに対応する能力、ロック アンド ターン密度の尖度や非対称性を制御する能力を強調します。ジャンプ プロセスを組み込むことにより、インプライド ボラティリティ スマイルまたはインプライド ボラティリティ スキューへのより適切な適合が達成され、ジャンプ プロセスがブラック-ショールズ モデルのより有利な代替手段となります。
焦点を変えて、講義では、ブラウン運動とは無相関な、カウントプロセスに代表されるジャンププロセスの概念を紹介します。これらのプロセスは、初期ゼロ値とポアソン分布に従う独立した増分によって特徴付けられるランダム ポアソン プロセスを使用してモデル化されます。ポアソン過程の速度によって、指定された期間内の平均ジャンプ数が決まります。この講義では、表記法と期待値を使用して、ジャンプ処理の一定間隔内の平均ジャンプ数を計算する方法を説明します。
コンピューテーショナル・ファイナンスでは、講師はジャンプ プロセスのシミュレーションについて説明し、ジャンプの大きさが爆発的に増加する可能性はないことを指摘し、それに関連する技術的な前提を概説します。このプロセスには、ジャンプ プロセスの各増分に対してポアソン分布を使用して独立した増分をシミュレートするための行列とパラメーターを定義することが含まれます。この講義では、株価変動のジャンプ プロセスのダイナミクスを拡張するための、エートス補題におけるポアソン プロセスの利用についても説明します。この講義では、コンピューテーショナル ファイナンスという文脈の中で、ジャンプ プロセスの概念を紹介し、説明します。これは、用語「t マイナス」をプロセス内でジャンプが発生する直前の時間として定義し、エートス補題と時間に関する導関数の計算を通じてプロセスのダイナミクスを探ります。ジャンプ サイズと、その結果として生じる関数 "g" の調整との関係について説明し、確率過程のモデル化におけるこれらの概念の実際的な関連性を強調します。この講義では、株式市場の行動をモデル化する際に、ジャンププロセスと拡散プロセスの独立性を考慮することの重要性も強調しています。
ジャンプと拡散の両方のプロセスを組み込んだモデルで関数 "g" のダイナミクスを導出するために、この講義では、拡散の複雑性が高い動作と伊藤の補題の適用に焦点を当てます。伊藤の補題は、モデルの複雑さが増大する状況において、dxpt の 2 乗などの交差項を処理するために使用されます。ドリフト、拡散、ジャンプなどのすべての要素を組み合わせると、Ito の補題を使用して「g」の力学を導き出すことができます。伊藤テーブルの拡張についても触れられ、ポアソン過程とブラウン運動の違いが強調されます。講義は、ジャンプと拡散の両方のプロセスを組み込んだ関数「g」のダイナミクスを導出するプロセスの概要を説明して終了します。
次に、講義では、Q 測定の下でジャンプとブラウン運動を伴う株式のダイナミクスを取得するプロセスについて説明します。このプロセスには、新しい変数の定義とそのダイナミクスの決定が含まれ、ダイナミクスの期待値がゼロであることを確認します。ジャンプ コンポーネントは他のすべてのプロセスから独立していると想定され、その結果、ドリフト、ボラティリティ、J マイナス 1 の期待値の項を含む式が得られます。次に、この式が Q 尺度の方程式に代入され、普通預金口座に対する ST のダイナミクスがマーチンゲールであることが保証されます。
インストラクターは、拡散とジャンプの両方を含むモデルを導出する方法について説明し、拡散とジャンプの 2 つのコンポーネントを含むモデルのパスを説明する例を示します。拡散部分は連続的な動作を表しますが、ジャンプ要素は不連続性を導入し、特定の銘柄で観察されるジャンプ パターンの表現を可能にします。インストラクターは、株価と金利の初期値とともに、ジャンプのパラメーターとブラウン運動のボラティリティ パラメーターについても説明します。理解をさらに高めるために、インストラクターはシミュレーションをプログラムし、結果のパスをプロットする方法を実演します。
次に、対数正規分布の期待値として解析的に計算される e の j 乗の期待値について説明します。 c 倍 pi 倍 dt によって駆動されるポアソン増分のシミュレーションが実行されます。z は正規分布の増分を表し、j はジャンプの大きさを表します。ジャンプ拡散プロセスのダイナミクスには、偏微分方程式と積分微分方程式の両方が含まれます。積分部分はジャンプ サイズの期待値を表します。価格設定方程式は、ポートフォリオ構築または特性関数アプローチを通じて導き出すことができ、パラメーターは市場のオプション価格を使用して調整する必要があります。
ポートフォリオ構築という文脈で、この講義では、売られたオプションと原株とのヘッジから構成されるポートフォリオを構築するプロセスについて説明します。ポートフォリオのダイナミクスが普通預金口座と同じ割合で増加することを保証することで、価格設定の微分方程式を導き出すことができます。望ましいダイナミクスを達成するには、株式を普通預金口座で割った値がマーチンゲールになる必要があります。次に、講義では mu の条件を導出し、ダイナミクスが確立されれば v のダイナミクスを導出できることを示します。この情報は、期待値を計算し、v のダイナミクスを導き出すために使用されます。
講師はさらに、時間に関する一次導関数の方程式を検討します。これは、x に関しても一次であり、ジャンプを伴う時刻 t における契約の値の期待値を含みます。これにより、期待値の存在により積分項が生成され、純粋な PDE よりも解くのが難しい部分積分微分方程式 (PID) が生成されます。解決策には、期待値の解析式を見つけることが含まれます。期待値は無限級数で表現される場合もあります。境界条件の重要性と、収束を向上させるための PID の対数変換への変換についても説明します。
ジャンプ プロセスの説明を続けて、PID およびデラックス オプションの PID の場合のジャンプ プロセスの変換に焦点を当てます。この講義では、ジャンプの大きさを指定するための 2 つの一般的なアプローチ、つまり古典的なマーチャント モデルと非対称二重指数関数を紹介します。モデルのキャリブレーションはシグマ j とミュー j を追加するとより複雑になりますが、実用性と業界での受け入れにより、パラメータが少ないモデルが好まれることがよくあります。この講義では、ジャンプ プロセスのダイナミクスがより複雑になるにつれて、収束を達成することが困難になり、パラメーター キャリブレーションのためのフーリエ空間や解析ソリューションなどの高度な技術が必要になることも認識しています。
続いて、モンテカルロシミュレーションを用いたジャンプ拡散プロセスの価格設定プロセスについて説明します。価格設定には、現在価値を割り引いて将来の利益の期待を計算することが含まれます。 PID やモンテカルロ シミュレーションなどの手法は、シミュレーションの計算の複雑さの点では優れたパフォーマンスを発揮しますが、ジャンプが導入されるとパラメーターの数が大幅に増加するため、価格設定やモデルの調整には理想的ではない可能性があります。この講義では、ジャンプと強度パラメーターの分布の解釈と、それらがインプライド ボラティリティのスマイルとスキューに与える影響についても詳しく説明します。他のパラメータを固定したままパラメータを変更してシミュレーション実験を実行し、結果として生じるジャンプとスキューへの影響を観察します。
インプライド・ボラティリティのスマイルとレベルの形状に対するボラティリティとジャンプの強さの影響を分析するために、講師はそれらの関係について説明します。ジャンプのボラティリティを高めると、ボラティリティのレベルが高くなりますが、ジャンプの強度もインプライド ボラティリティ スマイルのレベルと形状に影響します。この情報は、オプション価格の動きを理解し、実際の市場データに合わせてモデルを調整するために重要です。
次に、講義では、タワー プロパティの概念と、金融の問題を単純化するためのその応用について紹介します。あるプロセスからのパスを条件付けして別のプロセスの期待値または価格を計算することにより、確率微分方程式における複数の次元の問題を単純化できます。タワーのプロパティは、ボラティリティ パラメーターと会計プロセスを伴うブラック-ショールズ方程式の問題にも適用できます。これらは、ジャンプ積分を扱うときにしばしば合計になります。講師は、これらのアプリケーションのパラメータに関して仮定を行う必要性を強調します。
次に、講師は、計算金融における価格設定方程式を解くためのフーリエ手法の使用について説明します。フーリエ手法は特性関数に依存しており、特殊な場合には解析形式で見つけることができます。講師はマートンのモデルを使用した例を示し、この方程式の特性関数を見つける方法を説明します。講師は、独立した部分を含む期待項を分離することによって、期待値の観点から総和を表現する方法を示し、特性関数を決定できるようにします。フーリエ手法を使用する利点は、モデルのキャリブレーションとリアルタイム評価に不可欠な、高速な価格計算を可能にする機能です。
次に、講師は、計算金融における価格設定方程式を解くためのフーリエ手法の使用について説明します。フーリエ手法は特性関数に依存しており、特殊な場合には解析形式で見つけることができます。講師はマートンのモデルを使用した例を示し、この方程式の特性関数を見つける方法を説明します。講師は、独立した部分を含む期待項を分離することによって、期待値の観点から総和を表現する方法を示し、特性関数を決定できるようにします。フーリエ手法を使用する利点は、モデルのキャリブレーションとリアルタイム評価に不可欠な、高速な価格計算を可能にする機能です。
講義全体を通じて、講師はジャンプ プロセスを理解し、コンピューテーショナル ファイナンス モデルに組み込むことの重要性を強調します。ジャンプを含めることにより、モデルは現実世界の株価の動きをより適切に捕捉し、より正確な価格設定と調整結果を提供することができます。この講義では、積分微分方程式を解く複雑さや慎重なパラメーター校正の必要性など、ジャンプ プロセスに関連する課題についても強調します。ただし、適切な技術と方法論を使用すると、ジャンプ プロセスによりコンピューテーショナル ファイナンス モデルの精度と現実性が大幅に向上します。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 6/14 (アフィン ジャンプ拡散プロセス)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 6/14 (アフィン ジャンプ拡散プロセス)
講師は、フロント オフィスとバック オフィスの違いに焦点を当て、金融機関内の価格設定モデルの選択に関する洞察を提供します。フロント オフィスは取引活動を処理し、取引を開始します。その後、取引はバック オフィスに転送され、取引の保守と簿記が行われます。講師は、価格設定モデルを選択する際には、校正、リスク評価、価格設定の精度、計算効率などのさまざまな要素を考慮する必要があることを強調しています。さらに、効率的な価格評価を可能にするモデルクラスとして、特性関数とアフィンジャンプ拡散プロセスの概念が導入されています。これらのモデルは高速な価格計算が可能なため、リアルタイム取引に適しています。この講義では、通貨関数の導出、ジャンプ組み込みによるフレームワークの拡張、金融機関における価格設定とモデリングのワークフローなどのトピックについても詳しく説明します。
ジャンプ プロセスとそれが価格設定の精度に与える影響を理解することの重要性が、積分微分方程式の解法やモデル パラメーターの校正に伴う課題とともに、講義全体を通じて強調されています。適切な技術と方法論を活用することで、計算ファイナンス モデルを強化して、現実世界の株価の動きをより適切に反映し、価格設定と調整の結果を改善することができます。
さらに講演者は、特に顧客向けの金融商品の設計と価格設定における金融機関のフロントオフィスの役割を強調します。フロントオフィスは、これらの商品に適切な価格設定モデルを選択し、取引が正しく予約されていることを確認する責任があります。選択したモデルを検証して実装し、金融機関のリスクと取引への適合性を確保するには、バックオフィスとの連携が不可欠です。フロントオフィスの主な目的は、安定した利益の流れを確保しながら、クライアントに競争力のある価格を提供することと許容範囲内でリスクを管理することとのバランスを取ることです。
講演者は、金融商品の仕様と、根底にあるリスク要因を捉えるための確率微分方程式の定式化から始めて、価格設定を成功させるために必要な重要な手順を概説します。これらのリスク要因は、価格モデルとその後の価格計算を決定する際に重要な役割を果たします。これらのリスク要因を適切に指定し、モデル化することは、正確な価格設定とリスク管理にとって非常に重要です。
講義では、厳密解と半厳密解、モンテカルロ シミュレーションなどの数値手法を含む、さまざまな価格設定方法について説明します。講演者は、市場観察に一致するように価格設定モデルのパラメーターを調整するモデル調整の重要性を強調しています。フーリエ手法はモデル キャリブレーションのより高速な代替手段として導入され、モデル パラメーターの効率的な計算を可能にします。
また、この講義では、計算金融における価格設定のための 2 つの一般的なアプローチ、モンテカルロ シミュレーションと偏微分方程式 (PDE) を比較します。モンテカルロ シミュレーションは高次元の価格設定問題に広く使用されていますが、精度が限られており、サンプリング エラーが発生しやすい場合があります。一方、偏微分方程式には、デルタ、ガンマ、ベガなどの感度を低コストで計算できることや、解が滑らかであることなどの利点があります。講演者は、フーリエベースの手法は、単純な金融商品に対してより迅速かつ適切な価格設定アプローチを提供するため、将来の講義で取り上げられる予定であると述べています。
特性関数の概念は、既知の分析確率密度関数を備えたモデルとそうでないモデルの間のギャップを埋めるための重要なツールとして導入されています。特性関数を利用することで、価格設定やリスク評価に不可欠な株式の確率密度関数を導出することが可能になります。
講義全体を通じて、キャリブレーションの重要性が強調されます。液体商品は校正の基準として使用され、そのパラメータはより複雑な派生商品の価格を正確に決定するために適用されます。講師は、進化する市場状況に適応し、信頼できる価格設定結果を達成するために、価格設定モデルと技術を継続的に改善および改良する必要性を強調します。
要約すると、この講義では、フロントオフィスの役割、モデルの調整、リスク、効率、精度の考慮事項に焦点を当て、金融機関における価格設定モデルを選択するプロセスについての洞察を提供します。また、モンテカルロ シミュレーション、偏微分方程式、価格設定とモデルのキャリブレーションのためのフーリエ ベースの手法などのさまざまな手法も紹介します。特性関数の概念と確率密度関数を導出する際のその重要性について、モデルの改良と現実世界の条件への適応の課題と重要性とともに説明します。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 7/14 (確率的ボラティリティ モデル)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 7/14 (確率的ボラティリティ モデル)
講義では、限界がある可能性があるブラック・ショールズモデルの代替としての確率的ボラティリティモデルの概念を詳しく掘り下げます。講演者は、確率的ボラティリティ モデルはアフィン拡散モデルのクラスに属し、価格とインプライド ボラティリティを効率的に取得するには高度な技術が必要であることを強調しました。確率的ボラティリティを組み込む背後にある動機が説明され、ヘストンの 2 次元確率的ボラティリティ モデルが紹介されます。
ここで取り上げる重要な側面の 1 つは、単一点ではなく暗黙のボラティリティ曲面全体に対するモデルの調整です。これは、パス依存のペイオフや攻撃方向の依存性を扱う場合に特に重要です。実務者は通常、コールやプットなどの流動的な商品に合わせてモデルを調整し、エキゾチックなデリバティブの価格を推定します。確率的ボラティリティ モデルは、固有の制限にもかかわらず、ボラティリティ サーフェス全体の調整を可能にするため、市場で人気があります。
この講義では、株式市場におけるボラティリティ面の重要性と適切なモデルの必要性についても強調します。ボラティリティ表面が急峻なスマイルを示す場合、ジャンプまたは確率的ボラティリティを組み込んだモデルが好まれることがよくあります。 P 尺度やリスク中立尺度など、オプションの価格設定に使用されるさまざまな尺度について説明します。金利の時間依存性を高めてもスマイルや歪みは改善されませんが、確率的または局所的なボラティリティを導入すると調整に役立つ可能性があることに注意してください。平均値回帰平方根プロセスを利用してボラティリティをモデル化するハッセル モデルも導入されています。
この講義では、確率的ボラティリティ モデルの概念を詳しく説明します。最初は、正規過程とブラウン運動を使用して確率微分方程式が定義されますが、このアプローチでは、特にボラティリティがマイナスになる可能性があるため、ボラティリティを正確に捉えることができないことが認識されています。 CIR プロセスとしても知られるボックス インバース プロセスの利点は、ファット テールを示し、非マイナスのままであるため、ボラティリティに適したモデルであると説明されています。確率的ボラティリティ構造を備えたヘストン モデルが導入され、分散 (VT) が非心カイ二乗分布に従うことが示されています。この分布は遷移分布であることが明らかにされており、フェラー条件はモデルの校正中にチェックすべき重要な技術条件として言及されています。
フェラー条件と呼ばれる、パスがゼロに達することを回避するための確率的ボラティリティ モデルの条件について説明します。この条件は、カッパ パラメータと長期平均の積の 2 倍がガンマの 2 乗、つまりボラティリティの 2 乗以上である場合に満たされます。条件が満たされない場合、パスはゼロに達して跳ね返り、到達可能な境界条件につながる可能性があります。非心カイ二乗分布の特性と CIR プロセスとの関係について説明します。分散パスと密度グラフは、フェラー条件を満たすか満たさない場合の影響を示すために提供されます。
確率的ボラティリティ モデルにおけるファットテール分布の重要性は、モデルを市場データに合わせて調整した後に観察されることが多いため、強調されています。モデルのフェラー条件が満たされない場合、モンテカルロ パスはゼロに到達し、ゼロのままになる可能性があることに注意してください。ブラウン運動によるモデルへの相関の組み込みについて説明され、ジャンプは通常独立していると考えられることが述べられています。講義は、密度に対するフェラー条件の影響を示すグラフで終わります。
この講義ではブラウン運動の相関と分散に焦点を当てます。講演者は、相関のあるブラウン運動を扱う場合、特定の関係が成り立つ必要があり、同じことが増分にも当てはまると説明します。コレスキー分解の手法は、正定行列と 2 つの下三角行列の乗算を使用して 2 つのブラウン運動を相関させる手段として導入されています。この方法は、この講義で後ほど説明する 2 つのプロセスを定式化するのに役立ちます。
独立したブラウン運動による下三角行列の乗算の構築が議論され、その結果、独立したプロセスと相関したプロセスの組み合わせを含むベクトルが得られます。
さらに、講師は、ヘストン モデルの特徴的な関数が、効率的かつ迅速な価格設定に関する貴重な洞察を提供すると説明します。特性関数を導出することで、関係するすべての項が明示的であることが明らかになり、常微分方程式を解くための複雑な解析計算や数値計算が不要になります。このシンプルさはヘストン モデルの重要な利点の 1 つと考えられており、デリバティブの価格設定のための実用的で強力なツールとなっています。
講演者は、ボラティリティに関連するリスクを効果的に管理するには、ヘストン モデルの各パラメーターの特性と影響を理解することが重要であると強調します。カッパ、長期平均、ボラティリティ、相関関係、分散プロセスの初期値などのパラメータはすべて、ボラティリティ ダイナミクスとインプライド ボラティリティ サーフェスに明確な影響を与えます。これらのパラメーターを市場に合わせて調整し、その影響を分析することで、実務家はインプライド・ボラティリティのスマイルとスキューについて貴重な洞察を得ることができ、より正確な価格設定とリスク管理が可能になります。
この講義では、確率的ボラティリティ モデルを、単一点だけではなく暗黙のボラティリティ曲面全体に合わせて調整することの重要性を強調します。パスに依存するペイオフとストライク方向の依存性により、市場データの複雑さを完全に把握するための包括的な調整アプローチが必要になります。通常、専門家はコールやプットなどの流動的な商品に合わせてモデルを調整し、エキゾチックなデリバティブの価格を推定します。確率的ボラティリティ モデルでは、ボラティリティ サーフェス全体の調整が可能ですが、調整プロセスは完全ではなく、限界があることが認識されています。
確率的ボラティリティ モデルの理解をさらに高めるために、講師は、モデルを市場データに合わせて調整するときによく観察されるファットテール分布の概念を詳しく掘り下げます。講演者は、モデルのフェラー条件が満たされていない場合、モンテカルロ パスがゼロに達したりゼロのままになる可能性があり、モデルの精度に影響を与えると説明しました。さらに、確率的ボラティリティ モデルにおけるジャンプの組み込みと相関の独立した考慮についても説明します。この講義では、これらの要素がボラティリティのダイナミクスと価格設定にどのように影響するかについての洞察を提供します。
講義はヘストン モデルとブラック ショールズ モデルを比較して終わります。ヘストン モデルはボラティリティのモデリングにおいてより高い柔軟性と確率性を提供しますが、ブラック-ショールズ モデルは依然としてデリバティブの価格設定のベンチマークです。実務家が特定のニーズに適したモデルを選択するには、さまざまなパラメーターの変更がインプライド ボラティリティのスマイルとスキューに与える影響を理解することが不可欠です。ヘストンのような確率的ボラティリティ モデルは、包括的な調整と分析を通じて、金融市場の価格設定とリスク管理に関する貴重な洞察を提供できます。
この講義では、ヘストン モデルについて説明することに加えて、ブラウン運動における相関と分散の重要性についても取り上げます。講演者は、相関のあるブラウン運動を扱う場合、コレスキー分解の使用を含め、特定の関係と条件が当てはまらなければならないと説明します。この手法では、正定行列と 2 つの下三角行列の乗算を使用した 2 つのブラウン運動の相関関係が可能になります。講義では、この方法が多次元の場合のプロセスを定式化し、目的の相関構造を達成するために不可欠であることを強調します。
さらに、講師は確率的ボラティリティ モデルにおける独立した相関ブラウン運動の構築と表現に焦点を当てます。コレスキー分解はブラウン運動を相関させるのに便利なツールですが、実際の目的では必ずしも必要ではないことを講義では指摘しています。代わりに、Ito の補題を適用して、相関のあるブラウン運動を効果的に組み込むことができます。この講義では、相関ブラウン運動を持つ株式のポートフォリオを構築する例を示し、伊藤の補題を適用して複数の変数を含む多次元関数のダイナミクスを決定する方法を示します。
この講義では、マーチンゲール法を使用したヘストン モデルの価格設定偏微分方程式 (PDE) についても説明します。このアプローチには、長期平均に対するボラティリティの比率を表す pi と呼ばれる特定の量がマーチンゲールであることを確認することが含まれます。この講義では、エトスの補題を適用することにより、微分と分散過程を含むマーチンゲールの方程式を導き出します。価格設定 PDE により、デリバティブ契約の公正価格の決定と、価格設定におけるリスク中立の尺度の使用が可能になります。
さらに、講演者は、確率的ボラティリティ モデルにおけるインプライド ボラティリティの形状に対するさまざまなパラメーターの影響について説明します。ガンマ、相関、平均反転速度 (カッパ) などのパラメーターが、インプライド ボラティリティの曲率、歪度、期間構造に影響を与えることが示されています。これらのパラメーターの影響を理解することは、モデルを正確に調整し、目的のボラティリティ ダイナミクスを把握するのに役立ちます。
講演全体を通して、講演者はモデルの校正、特に暗黙のボラティリティ曲面全体の重要性を強調しました。液体機器に合わせて校正し、特殊なデリバティブに外挿することは、専門家の間では一般的な方法です。ヘストン モデルを含む確率的ボラティリティ モデルは、ボラティリティ サーフェス全体に合わせて調整する柔軟性を提供し、価格設定とリスク管理の精度を向上させることができます。ただし、モデルのキャリブレーションには制限がないわけではなく、適切な価格設定とリスク評価を確保するために、ヘストン モデルやブラック-ショールズ モデルなどのモデル間の微妙な違いを慎重に検討する必要があることが認識されています。
この講義では、ヘストン モデル、そのパラメーターの意味、キャリブレーション手法、ブラウン運動における相関と分散の役割に焦点を当て、確率的ボラティリティ モデルの包括的な概要を説明します。これらの概念を理解し効果的に適用することで、実務者はデリバティブの価格設定、リスク管理、複雑な金融市場の対処能力を強化できます。
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 8/14 (オプション価格設定のためのフーリエ変換)
コンピューテーショナル・ファイナンス: 講義 8/14 (オプション価格設定のためのフーリエ変換)
オプション価格設定のためのフーリエ変換についての講義では、インストラクターがテクニックの応用とさまざまな側面を詳しく掘り下げます。彼らはまず、フーリエ変換を利用して密度を計算し、微細拡散モデルのクラスに分類されるモデルのオプションの価格を効率的に決定することを説明しました。この手法には実軸上の積分の計算が含まれますが、計算コストが高くなる可能性があります。ただし、反転補題を使用することで、講師は「u」の定義域を縮小し、積分の実部の計算を可能にする方法を説明します。このアプローチは、高価な計算に伴う計算負担を最小限に抑えるのに役立ちます。
講師はさらに、実装効率を大幅に向上させる高速フーリエ変換 (FFT) を使用したこの表現の改善について説明します。 FFT の特性を活用することで計算負荷が軽減され、オプションの価格設定がより効率的かつ迅速になります。このセッションは、フーリエ変換手法とコスト手法の比較で終了し、それぞれの実装の詳細についての洞察を提供します。
次に、講師はフーリエ変換を使用して密度を高速に計算する方法を導き出す最初のステップを詳しく説明します。このステップでは、ドメインを 2 つに分割し、実数部分を抽出します。これは、計算コストが低い操作です。さらに、講師は、複素数の除算と、特性関数のより効率的な計算を容易にする共役をとることの重要性についても学びます。各「x」値の密度を取得するためのグリッドの構築についても説明し、適切なドメインの選択と境界の定義の重要性を強調します。
フーリエ変換積分とn個の格子点からなる格子を用いたxの密度の計算について説明します。インストラクターは、複数の「x」値の密度計算を同時に実行する必要性を強調します。グリッドが定義されると、「ガンマ」という名前の関数を含む新しい積分が導入され、台形積分が離散積分を近似するために使用されます。このプロセスを説明するために、講師は等間隔のグリッドを使用して関数の台形積分を実行する例を示します。
次に、講演者は、フーリエ変換のグリッドを定義するためのパラメーターを構成するプロセスを詳しく説明します。これらのパラメータには、グリッド点の数、「u」の最大値、デルタ「x」とデルタ「u」の関係が含まれます。これらのパラメーターが確立されると、積分と合計を置き換えることができ、各 "x" 値に対する関数を導出できるようになります。台形積分を組み込んだ方程式と台形の境界節点で評価される特性関数を講義します。
積分の表現と、オプション価格設定における高速フーリエ変換 (FFT) の採用の重要性について詳しく説明します。講演者は、FFT への入力に適した関数を定義することで、実務者はほとんどのライブラリにすでに存在する高速評価および実装機能を活用できると説明しました。講師は、この変換の計算に含まれる手順と、それを積分の計算にどのように利用できるかを説明します。全体として、この講義は、計算ファイナンスにおける FFT の重要性と、オプション価格設定における FFT の有用性を強調しています。
前述のトピックに加えて、この講義ではオプション価格設定のためのフーリエ変換に関連するさまざまな側面を検討します。これらには、離散的な点の正確な計算を保証する内挿技術の使用、テイラー級数と特性関数の関係、偶数関数へのコサイン展開法の適用、密度を近似するための切り捨て領域の使用が含まれます。この講義では、密度の回復、フーリエ展開を使用して得られる数値結果、行列とベクトルの形式での価格表現についても説明します。
講義全体を通じて、講師はフーリエ変換法の実際的な実装を強調し、さまざまなパラメーターの影響について議論し、このアプローチの利点と限界を強調します。この講義では、包括的な説明と数値実験を提供することで、実際のシナリオでオプション価格設定にフーリエ変換を適用するために必要な知識とツールを学習者に提供します。
講師は、オプション価格設定のためのフーリエ変換における密度関数の回復について説明します。彼らは、高精度の密度計算を達成するために、変換で十分に大きな数の点 (「n」で示される) を選択することの重要性を強調しています。講師は、複素数「i」を定義域と最大値を定義するために導入し、「u_max」は分布によって決まります。さらに、講師は補間の必要性、特にグリッド上にない入力に対しても出力密度関数を正確に計算するためにグリッド点「x_i」での三次補間を使用する必要性について説明します。
講演者はさらに、補間の利点と、フーリエ変換を使用したオプション価格設定との関連性を探ります。フーリエ変換はグリッドが大きい場合に有利ですが、大きい数を扱う場合は FFT よりも計算コストが比較的低い補間の方が好ましい場合があります。講演者は、コード例を通じて補間がどのように機能するかを示し、パラメータを調整することで追加コストなしで感度を計算しギリシャ関数を取得できることを強調しました。この機能により、コサイン展開手法は、バリア オプションやバミューダ オプションなどのよりエキゾチックなデリバティブの価格設定に最適になります。
さらに、テイラー級数と計算ファイナンスにおける特徴的な関数の関係についても解説します。この講義では、追加の積分を必要とせずに直接関係を可能にする、級数と特性関数間の 1 対 1 対応を紹介します。次に講師は、フーリエ コサイン展開を使用してゼロ付近の偶数関数を表す、オプション価格設定の「cos 法」について説明します。この方法には、積分と係数の計算が含まれますが、展開の最初の項は常に 2 分の 1 で乗算する必要があるという重要な点に注意してください。
この講義では、関数「g」の積分領域を変更して、「a」から「b」までの有限のサポート範囲を実現するプロセスを詳しく見ていきます。講演者は、式を簡略化する際のオイラーの公式の重要性を説明し、「u」を「k pi を ba で割った値」に置き換えることで、密度を含むより簡単な式がどのように得られるかを示します。切り詰められたドメインはハット記号で示され、パラメータ「a」および「b」の特定の値は、解決される問題に基づいて選択されます。講演者は、これは近似手法であり、「a」と「b」の値の選択にはヒューリスティックな選択が含まれることを強調します。
さらに、講義ではフーリエ展開と密度の回復の関係についても考察します。この講義では、方程式の両辺の実部を取得することにより、密度の積分を特性関数の実部として表現できるオイラーの公式を示します。このエレガントで高速な方法により、特性関数の定義を使用して、ターゲット関数の積分と特性関数の間の関係を見つけることが容易になります。コスト法は、これらの関係を発見して膨張係数を計算し、密度を回復することを目的としています。この方法では無限加算や切り捨て領域による誤差が生じますが、これらの誤差は制御が簡単です。
次に、少ない項数でも高い精度を達成できるフーリエ コサイン展開について説明します。正規確率密度関数 (PDF) を含む数値実験を実行して、時間測定を含め、項の数に基づく誤差の生成を調べます。コード実験は、コサイン法を使用して密度を生成するように構成されており、コサイン法を使用して回復された密度と正確な標準 PDF の間の最大絶対差として誤差を定義します。コサイン法では、メソッドの中心となる特性関数を使用して密度を回復するために、わずか数行のコードが必要です。
さらに、講演者は、行列表記を使用して効率的に実行できるフーリエ展開の数値結果についても説明します。展開項の数が増加するにつれて誤差は減少し、64 項では 10^-17 という低い誤差が達成されます。使用する項の数が少ないと、変動が生じたり、適合性が低下したりする可能性があります。講演者は、特に尾部が大きい分布の場合、定義域や展開項の数などのパラメーターを慎重に調整する必要があると述べています。さらに、この講義では、対数正規密度も正規特性関数を使用してモデル化できることを強調しています。
次に、講師は対数正規の場合を詳しく調べ、その密度が正規分布とどのように異なるかを説明します。対数正規分布のため、通常はより多くの展開項が必要になります。講師は、特定のタイプの分布とドメインに対して適切な数の用語を選択することの重要性を強調します。
講義では、原価法は密度の回復に特に有用であり、満期時にのみ支払いがあるヨーロッパ型オプションなどのデリバティブ価格設定に一般的に採用されていると強調します。講師は、リスク中立の基準の下での密度とペイオフ関数の積の統合を含む、価格設定がどのように機能するかを説明します。
講義が進むにつれて、講演者は、接続関数を導出し、コサインを使用できる、より珍しいオプションについて説明します。 「遷移密度」という用語が導入され、時間軸上のある点から別の点への遷移を表す分布を指します。初期値は確率変数の分布によって与えられます。このプレゼンテーションでは、密度が指定された間隔に制限される密度の切り捨てについてさらに検討します。特性関数の実数部の合計に何らかの指数を掛けたものを積分するガウス求積法について説明します。
この講義では、調整対数資産価格の概念を紹介します。調整対数資産価格は、満期時の株式の対数をスケーリング係数で割ったものとして定義されます。利得の別の表現が提示され、講演者は、「v」の選択が係数「h_n」に直接影響を与えることに注目します。このアプローチは、複数の権利行使のペイオフを評価するために使用でき、さまざまな権利行使価格でオプションを同時に価格設定するための便利な方法を提供します。
次に講演者は、オプション価格設定のためのフーリエ変換で指数関数とコサイン関数を使用して、ペイオフ関数と密度を乗算した積分を計算するプロセスを詳しく説明します。関連する 2 つの積分の一般的な形式が提供され、さまざまな利得を計算するために異なる係数が選択されます。講演者は、複数のストライクに対してこの手法を実装できることの重要性を強調し、すべてのストライクの価格設定を一度に可能にすることで、時間を節約し、計算コストを削減します。最後に、価格表現は、ベクトルを掛けた行列の形式で表示されます。
オプション価格設定におけるフーリエ変換の実装公式について、要素のベクトル化と行列操作を含めて説明します。講義では、「k」をベクトルとして取り、「n_k」個のストライクを含む行列を作成するプロセスを説明します。実部は複素数を処理するために計算されます。特性関数は「x」に依存しないため重要度が高く、マルチストライクの効率的な実装を実現する上で重要な役割を果たします。実装の精度と収束は項の数に依存します。サンプルの比較が示されています。
さらに、講演者はオプション価格設定のフーリエ変換手法に使用されるコードを詳しく調べ、関連するさまざまな変数について説明します。これらは、係数「a」と「b」の範囲の概念を導入しており、通常、ジャンプ拡散モデルでは 10 または 8 に保たれます。コードには、さまざまなモデルに適応できる汎用関数である特性関数のラムダ式が含まれています。講演者は、同じ実験を複数回繰り返して平均時間を計算することで時間を測定することの重要性を強調しました。最後に、コスト法と、大きなボラティリティを想定するために統合範囲をどのように利用するかを示します。
講義は、権利行使の定義とオプション価格設定のフーリエ変換法の係数の計算のプロセスの説明に続きます。講師は、モデル パラメーターを調整すると収束が向上し、評価に必要な項が少なくなる可能性がある一方で、一般的には標準のモデル パラメーターを使用するのが安全であると強調します。行列を定義し、行列の乗算を実行して割引行使価格を取得し、結果として得られる誤差を正確な解の誤差と比較する手順を詳しく説明します。この講義では、誤差が項の数と選択した範囲に依存することを強調しています。
次に講演者は、高速フーリエ変換 (FFT) 法やコサイン法など、オプション価格設定のさまざまな方法の比較を示します。彼らは、FFT 法は格子点の数が多い場合により適しており、コサイン法は格子点の数が少ない場合により効率的であると説明しています。講師は両方の方法を使用したオプション価格の計算を実演し、結果を比較します。
さらに、この講義では、リスク管理やポートフォリオの最適化など、金融の他の分野におけるフーリエベースの手法の応用についても取り上げます。講師は、フーリエベースの手法を使用してバリューアットリスク (VaR) や条件付きバリューアットリスク (CVaR) などのリスク尺度を推定できることを説明します。フーリエ手法と最適化手法を組み合わせることで、リスクを最小限に抑え、リターンを最大化する最適なポートフォリオ配分を見つけることができます。
講義は、プレゼンテーション全体で議論された主要なポイントを要約して終了します。フーリエ変換技術は、オプション価格設定やその他の金融アプリケーションに強力なツールを提供します。コサイン法では、特性関数とフーリエ展開を活用することで、オプションの効率的かつ正確な価格設定が可能になります。項の数や領域などのパラメーターの選択は、方法の精度と収束に影響します。さらに、フーリエベースの手法は、オプション価格設定を超えたさまざまな財務問題に拡張できます。
全体として、この講義ではオプション価格設定におけるフーリエ変換手法の包括的な概要を提供し、密度の回復、内挿、cos 法、対数正規分布、多重ストライク、実装上の考慮事項、他の価格設定方法との比較などのトピックを取り上げます。講師の説明とコード例は、金融におけるこれらのテクニックの実際の応用例を示し、精度と効率の面での利点を強調するのに役立ちます。