MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Jake XiaThis lect...
このビデオでは、ブラウン運動が微分可能ではなく、無限に頻繁に t 軸を横切るという事実など、ブラウン運動の特性についても説明しています。これらの特性にもかかわらず、ブラウン運動は現実世界に影響を及ぼし、株価などの量の物理モデルとして使用できます。単純なランダム ウォークの限界はブラウン運動であり、この観察はその動作を理解するのに役立ちます。
00:30:00このセクションでは、伊藤微積分の概念が、古典的な微積分の確率過程設定への拡張として紹介されます。ただし、時間の制約があるため、基本的なプロパティとその計算のみについて説明します。伊藤の微積分を掘り下げる前に、特に株価のモデルとしてのブラウン運動の特性について説明します。モデルとしてブラウン運動を使用して株価の最小値と最大値の分布が計算され、すべての t について、M(t) が a より大きく、正の a になる確率は確率の 2 倍に等しいことが示されます。ブラウン運動が a より大きいこと。証明には、ブラウン運動が最初にライン a に到達した時間を記録するために停止時間を使用することが含まれます。
00:35:00このセクションでは、講演者は時間 t より前にブラウン運動が特定の線 (a) に当たる確率と、その後に何が起こるかについて議論します。モーションが時刻 t より前にラインに到達した場合、パスは反映される可能性があるため、最終的に a より上または下に移動する確率は同じです。講演者は続けて、この確率が時間 t が a より大きいときの最大値とどのように関係しているかを説明します。与えられた確率を並べ替えることにより、話者は、時間 t での最大値が a より大きい確率が、ブラウン運動が a より大きい確率の 2 倍に等しいことを示します。
00:40:00このセクションでは、講演者は、確率過程の最大値が特定の時点での所定の値よりも大きい確率の計算について説明します。 tau_a の後の可能性は 2 つだけです。それは増加または減少のいずれかであり、両方のイベントの確率は同じです。講演者はまた、ブラウン運動は確率 1 に等しい任意の時点で微分可能ではないことを証明し、平均値定理を使用して、t から t にイプシロンを加えた時間間隔の最大ゲインがイプシロンの a 倍であることを説明します。
00:45:00このセクションでは、伊藤の微積分において重要となるブラウン運動と二次変分の性質について講演者が議論します。講演者は、ブラウン運動が微分可能である場合、特定の点までは常に円錐内にあるはずですが、特定の時間間隔の最大値は常に特定の値より大きいため、これは起こり得ないと説明します。次に、講演者は二次変分の概念を紹介し、関数が時間間隔内で n 個の部分に分割される微積分学におけるその重要性を説明します。
00:50:00このセクションでは、講演者は二次変分とブラウン運動に対するその影響について説明します。二次変分には、関数内の連続する点間の差を取得して二乗し、n が無限大になるにつれてそれを合計することが含まれます。ブラウン運動の場合、この和の限界は T になりますが、連続微分可能な関数の場合、二次変分は 0 になります。ブラウン運動の非微分可能性は、株価や拡散プロセスをモデル化できるなど、重要な意味を持ちます。
00:55:00このセクションでは、教授はブラウン運動を調査しながら、確率変数の合計の分布とその期待値について議論します。彼は、大数の強い法則を使用して、n に対する T の平均を持つ正規変数の合計が n に対する T に収束すると説明します。次に彼は、これが確率 1 のすべてのブラウン運動に当てはまると述べています。
01:05:00このセクションでは、講演者は、原資産に適用される機能である金融デリバティブの概念について説明します。同氏は、原資産の違いに対する価値の違いを理解することが重要であると説明しています。しかし、講演者はブラウン運動を微分するのが難しいことを認めており、その代わりに dBt の微小な差を計算することに焦点を当て、それを f の微分という観点から関数の変化を記述するために使用しています。次に、話者は、係数 dB の 2 乗が dt に等しいため、微分は有効ではないと説明し、さらに説明します。
01:10:00このセクションでは、伊藤の補題の概念が確率微積分の基本的なツールとして紹介されます。 Ito の補題は Taylor の拡張から導出され、ブラウン運動を使用してわずかな時間増加に伴う関数の差の計算を可能にします。補題はブラウン運動による微積分を可能にし、微積分の理論を大幅に充実させるため、自明ではないと考えられており、研究論文で頻繁に引用されています。このセクションでは、確率微積分における伊藤の補題の重要性を強調します。
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ビデオの次のセクションでは、教授は、伊藤の補題をもう少し一般的な形式で検討して提示することで、伊藤微積分の議論を続けます。教授は、テイラー展開を使用して、最初と 2 番目の変数が変化したときの関数 f の変化を分析しました。教授はブラウン運動を利用して f(t, B_t) を評価します。このビデオでは、ブラウン運動の 2 次変分と 2 つの変数 t と x を組み込むことにより、追加の項を組み込むことで、なぜ伊藤微積分が古典的な微積分と異なるのかについて説明します。次に、ビデオでは、偏導関数で表されるテイラー展開の 2 次の項に焦点を当てます。重要な項、つまり del f 対 del t dt、del f 対 del x dx、および 2 次の項が検査されます。これらの用語を再配置することにより、追加の用語を組み込んだ、より洗練された形式の伊藤の補題が導出されます。このビデオでは、dB_t の 2 乗および dt の dB_t 倍を含む項が、x に関する f の 2 次微分を含む項と比較して重要ではないことを示しています。これは、dt と等価であるため存続します。これは、伊藤微積分の洗練された理解につながります。
ビデオは、ブラウン運動への項の追加から生じるドリフト項を含む確率過程の概念を紹介することで進みます。このタイプのプロセスが主な研究対象となり、差異はドリフト項とブラウン運動項の観点から表現できます。二次変分の存在により元の形式から逸脱する伊藤の補題の一般形式を説明します。さらに、ビデオでは伊藤の補題を使用して確率過程を評価しています。二次変分により二次導関数項の分離が可能になり、複雑な項の導出が可能になります。関数 f(x) = x^2 を含む例が示され、B_t における f の d を計算する方法が示されます。 t に関する f の 1 階偏導関数は 0 であると決定されますが、x に関する偏導関数は 2x であり、t、x での 2 階導関数は 2 となります。
ビデオでは、t の t コンマ B における f の d の計算について説明します。この式には、部分 t dt に対する部分 f、部分 x dB_t に対する部分 f、dB_t 平方の部分 x 平方に対する 1/2 部分平方 f (dt に等しい) などの項が含まれます。これらの式の使用方法と変数の置換方法を理解するのに役立つ例が提供されています。式におけるシグマと可変シグマ プライムの区別と、それらをいつ適用するかについても説明します。ブラウン運動は最も単純な形式を表すため、この式の基礎として使用されます。
次のセクションでは、教授はブラウン運動を使用した株価の提案モデルについて説明し、S_t は e に t のシグマをかけたものに等しくないと述べています。この式では期待値 0 が得られますが、ドリフトが生じます。これを解決するには、シグマ二乗 dt の項 1/2 が式から減算され、その結果、t の新しいモデル S は、2 シグマ二乗 t にシグマをかけた B_t のマイナス 1 に等しい e になります。これはドリフトのない幾何学的なブラウン運動を表します。教授はさらに、サンプル パス B_t がある場合、各時刻の B_t の指数値を取ることで、t の S に対応するサンプル パスを取得できると説明します。
次に、ビデオは統合の定義に焦点を移します。統合は微分の逆として説明され、やや「愚かな」定義が付けられています。 f と g が与えられた場合に積分が常に存在するかどうかという疑問が生じます。次にビデオでは、区間を非常に細かい部分に分割し、対応するボックスの面積を合計することを含むリーマン和タイプの積分の記述を検討します。 n が無限大に近づくにつれて関数が無限大に近づくにつれてリーマン和の限界が説明され、より詳細な説明が提供されます。
講演者は、伊藤微積分の適応プロセスの直感的な説明と定義を提供します。適応プロセスは、現在までの過去の情報、つまり理論自体に組み込まれた事実のみに基づいて意思決定を行うことを特徴としています。このビデオでは、過去の株価のみに依存する株式戦略などの例を使用して、この概念を説明しています。伊藤微積分のフレームワークにおける適応プロセスの関連性は、特に左端の時点でのみ決定が可能であり、将来の出来事が不明のままである状況において強調されます。講演者は、適応されたプロセスを理解することの重要性を強調し、最小デルタ t 戦略を含むいくつかの具体例を示します。
伊藤微積分における伊藤積分の性質については、次のセクションで説明します。まず、適応されたプロセスの Ito 積分は常に正規分布に従うことが強調されます。次に、Ito アイソメトリの概念が導入され、分散の計算が可能になります。イトアイソメトリは、プロセスのイト積分の二乗の期待値が、時間の経過に伴うプロセスの二乗積分に等しいと述べています。理解を助けるために、Ito アイソメトリーの概念を説明するために視覚補助が使用されています。
ビデオではディスカッションを続けて、Ito 積分の特性を掘り下げます。適応されたプロセスの Ito 積分の分散はブラウン運動の 2 次変化に対応することが確立されており、これは簡単な方法で計算できます。確率過程におけるマルチンゲールの概念が導入され、確率微分方程式におけるドリフト項の有無が過程がマルチンゲールであるかどうかをどのように決定するかを説明します。講演者は価格理論におけるマルチンゲールの応用にも触れ、これらの概念を伊藤計算の枠組みの中で理解することの重要性を強調しています。視聴者は、この主題への理解を深めるために、基本的な計算演習に取り組むことが奨励されます。最後に、講演者は、次に取り上げるトピックはギルサノフの定理であると述べています。
結論として、この伊藤微積分に関する包括的なビデオは幅広いトピックをカバーしています。それは、伊藤の補題、ブラウン運動の二次変分、および確率過程におけるドリフトの概念の探求から始まります。次に、Ito の補題を使用した確率過程の評価を掘り下げ、積分と積分のリーマン和型記述について説明します。このビデオでは、適応されたプロセス、マーチンゲール、および Ito 積分の特性も紹介します。最後に、ギルサノフの定理に焦点を当て、確率過程の理解とモデル化に対する伊藤微積分の広範な意味を強調します。
00:00:00このセクションでは、教授は、伊藤の補題を検討し、それをもう少し一般的な形式で述べることで、伊藤微積分の議論を続けます。教授は、テイラー展開を使用して、1 番目と 2 番目の変数が変化したときに関数 f がどのように変化するかを分析し、ブラウン運動を使用して関数 f(t, B_t) に関する情報を評価します。ブラウン運動の二次変分と 2 つの変数 t と x を使用して、古典的な微積分と比較して伊藤微積分に追加の項がある理由を説明します。
00:05:00このセクションでは、偏導関数の観点からテイラー展開の 2 次項について学びます。次に、del f over del t dt プラス del f over del x dx と 2 次の項である重要な項に焦点を当てます。項を並べ替えることで、追加の項を含む、より洗練された形式の Ito の補題が得られます。次に、dB_t の 2 乗と dB_t の dt 倍を含む項は、部分 x 二次導関数上の部分 f を含む項と比較して重要ではないことがわかります。この項は、dt に等しいため存続します。最終的に、これは伊藤微積分のより洗練された理解につながります。
00:15:00このセクションでは、Ito 補題を使用して確率過程を評価します。二次変分により二次導関数項が分離され、複雑な項を導出できるようになります。関数 f(x) = x^2 を含む例が与えられ、計算され、B_t における f の d を計算する方法が示されます。 f の t に関する一次偏導関数は 0 に等しく、x に関する偏導関数は 2x に等しく、t、x における二次導関数は 2 に等しくなります。
00:20:00このセクションでは、スピーカーは t の t コンマ B における f の d を計算する方法を説明します。式は、部分 t に対する部分 f に dt を加え、部分 x に対して部分 f を加算したもの dB_t に、dB_t 平方の部分 x 平方に対する 1/2 部分平方 f を加算したもので、dt に等しくなります。講演者は、これらの式の使用方法と変数の組み込み方法を理解するのに役立つ例を示します。また、式におけるシグマと可変シグマ素数の違いと、それらをいつ使用するかについても説明します。この公式は最も単純な形式であるため、ブラウン運動に使用されます。
00:25:00このセクションでは、ブラウン運動を使用した株価の提案されたモデルである t のシグマ倍に S_t が e に等しくない理由を教授が説明します。この式では期待値 0 が得られますが、ドリフトも発生します。解決策は、式からシグマ二乗の 1/2 倍 dt の項を減算し、t の新しいモデル S を、2 シグマ二乗 t に B_t のシグマを加えたマイナス 1 に等しい e にすることであり、ドリフトのない幾何学的なブラウン運動です。教授は続けて、サンプル パス B_t がある場合、各時刻の B_t の指数値を取得することで、t の S に対応するサンプル パスを取得できると説明しました。
00:30:00このセクションでは、ビデオで統合の定義について説明します。この定義は微分の逆として与えられ、「愚かな」定義として説明されています。 f と g が与えられた場合に積分が常に存在するかどうかという疑問が生じます。その後、ビデオではリーマン和型の積分記述について説明し、区間を非常に細かい部分に切り刻み、ボックスの面積を合計するプロセスについて説明します。リーマン和の極限は、n が関数の無限大に達するときの極限であり、これについては後で詳しく説明します。
00:40:00このセクションでは、講演者が伊藤微積分の適応プロセスの背後にある直観と定義を説明します。適応プロセスとは、現時点までの過去の情報に基づいてのみ意思決定を行うことができるプロセスであり、この事実は理論自体の中に隠されています。たとえば、過去の株価のみに基づいて意思決定を行う株式戦略は、適応されたプロセスです。伊藤微積分は、左端の時点でのみ意思決定ができ、未来を見ることができないこの設定ではうまく機能するため、これは重要です。講演者は、最小デルタ t 戦略など、適応されたプロセスを説明するためにいくつかの例を示し、それらの伊藤微積分との関連性を説明します。
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次のセクションでは、講演者は複雑なデリバティブをヘッジする手段としてのポートフォリオの複製について詳しく説明します。講演者は、権利行使価格 K マイナス 1/2 のコールの購入と権利行使価格 K プラス 1/2 のコールの売却を組み合わせて支払いを生成する例を通じて、この支払いが で販売することでどのように強化されるかを示します。 K マイナス 1/4 と K プラス 1/4 により、傾きの半分で配当が得られます。このビデオでは、スモール イプシロンの利用、複数の契約の売買、デジタル価格を近似するための 2:1 比率への再スケーリングについて説明しています。講演者は、権利行使による Co 価格のデリバティブ取引がどのようにして上昇につながるかを説明し、リスクを最小限に抑えるために採用されている実際の慣行についての洞察を提供します。
00:05:00このセクションでは、先渡契約、コール オプション、プット オプションなど、金融におけるさまざまな種類の契約についてビデオで説明します。先渡契約は、将来合意された価格で資産を購入する義務です。コールオプションは、資産の下落に対する保険のようなもので、今日合意された価格で資産を購入するオプションです。コール オプションの支払いは常に正、つまり s から K とゼロを引いた最大値です。一方、プットオプションは資産が下落することへの賭けであるため、支払いは最大で K から s を引いたものとゼロになります。このビデオでは、原資産の現在価格やボラティリティなどの特定の仮定に基づいて、これらの契約の現在価格がどのように決定されるかについても説明しています。
00:20:00このセクションでは、講演者は、ブラック・ショールズの公式とリスク中立の評価を使用して、一般的なペイオフ F を価格設定するプロセスについて説明します。そうするために、講演者は債券とある程度の株式で構成される複製ポートフォリオの概念を導入します。彼らは、複製ポートフォリオは、現実世界の確率に関係なく、満期時に利益が正確に複製できるように設計されていると説明しています。講演者は続けて、現実世界とは独立して存在するリスク中立尺度またはマーチンゲール尺度について説明します。すべてのデリバティブの価値は、そのような施策におけるアピールの期待値にすぎません。さらに、講演者は株価アンダーラインのダイナミクスと、ブラウン運動の標準偏差が T の平方根のスケールにあることの重要性について話します。彼らは、ブラック・ショールズの公式はテイラー則にもう 1 つ追加されたものにすぎないと述べています。ブラウン運動の標準偏差による項。
00:25:00このセクションでは、ブラック-ショールズ モデルの偏微分方程式を解くプロセスをビデオで説明します。この方程式はデリバティブの現在の価格をそのヘッジ戦略に結び付けており、株式のボラティリティのみに依存するため、すべての取引可能なデリバティブに適用できます。このビデオでは、いつでも複製ポートフォリオ係数 (a および b) を見つけて、株式と現金の購入を通じてデリバティブのパフォーマンスを完全に複製できるようにする方法についても説明しています。このヘッジにはリスクはなく、トレーダーはこの取引で手数料を徴収できます。
00:45:00このセクションでは、複雑なデリバティブをヘッジする方法である複製ポートフォリオの概念について講演者が説明します。彼らは、ストライク K マイナス 1/2 でコールを買い、ストライク K プラス 1/2 でコールを売り、それらを組み合わせて支払いを作成する例でこれを示しています。彼らは、K マイナス 1/4 と K プラス 1/4 で販売し、それらを組み合わせることでこのペイアウトを改善し、その結果、ペイアウトの傾きが半分になる方法を示しています。彼らは、小さなイプシロンを使用し、2:1 に再スケーリングしながら複数の契約を売買することでデジタル価格を近似する方法を説明しています。彼らは、権利行使による Co 価格のデリバティブを取ることがどのようにして上昇につながるかを示し、リスクを軽減するためにこれらすべてが実際にどのように行われるかを説明します。
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次のセクションでは、クオンツ ファイナンスの講師である Stephen Blythe 博士が、オプション価格と確率分布の関係について詳しく説明します。彼は、特定の時点における証券の確率分布は現時点での価格に条件付けされており、マーチンゲール条件は同じ価格に関するものであると説明しています。次に、ブライス博士は、応用数学の集中学習者のシラバスを形成する上で極めて重要な役割を果たしたケンブリッジ数学の学位について、興味深い歴史的な豆知識を共有します。
議論を続けて、ブライス博士はコールオプション価格と端末分布の関係を説明します。同氏は、端末の分布はコールオプションの価格によって一意に決定できると主張する。シータに対する Z の比率を考慮することにより、各銘柄の特定のリスク中立密度を取得できます。これにより、コール オプション価格と満期時の原株価の密度との相互関連性が強調され、モデルに依存しない確率測定に対する貴重な洞察が得られます。
00:00:00このセクションには、金融と定量的金融について講演する新しい講演者 Stephen Blythe 博士の紹介が含まれています。プレゼンテーションを始める前に、彼は聴衆に、20年前に議会が投票した金融業界の重要な出来事に関連した質問をします。議会はダラスのすぐ南、テキサス地下にある超電導スーパーコライダーへの資金提供を削減することを可決した。
00:35:00このセクションでは、ブライスが、バタフライ スプレッド ポートフォリオを使用して、バタフライの価格を介して二次導関数にアクセスする方法を説明します。適切なスケールでバタフライ スプレッドの制限を取ることにより、ブライスは密度関数 f(x) を取得します。これは、成熟時に K にある基礎となる確率変数のモデルに依存しない確率尺度として使用できます。この確率の尺度に基づいて、人々は蝶の価格が示唆する確率に同意するかどうかを判断し、それに応じて購入することができます。ブライス氏は、これらの関係はモデルに依存せず、オプション価格のモデルに関係なく維持されると指摘しています。
00:40:00このセクションでは、量的金融の講師である Stephen Blythe が、オプション価格と確率分布の関係について説明します。彼は、ある時点での証券の確率分布は現時点でのその証券の価格に条件があり、マーチンゲール条件も同じ価格に関するものであると説明しています。ブライスはまた、議論から少し休憩し、ケンブリッジ数学の学位と、それが応用数学集中者向けのシラバス全体をどのように生成したかについての歴史的な逸話を共有します。
01:00:00このセクションでは、ビデオは金融市場と裁定取引に関する深い経済問題を提示します。資本 T が長期的に遠くに設定されている場合、裁定取引が破綻した場合にオプションの価格と複製ポートフォリオが互いに離れることを妨げるものは何もなく、これにより 2 つのオプション間に非常に大きな差が生じる可能性があります。経験的に、価格は互いに遠ざかることが示されています。講演者は、ハーバード大学の寄付金が長期投資家であることに言及し、お金を稼ぐために10年間保有するより安いオプションを買わない理由を探るが、それは彼らが年間および5年間のリターンを気にしているからだと述べた。さらに、講演者は、任意の連続関数は例外なく、極限内で呼び出しによって複製できなければならないという数学理論を提示します。
01:05:00このセクションでは、講演者は、満期時の支払いが x の g または S の g である任意のデリバティブ商品を複製するための式について説明します。この式は、g(0) ゼロクーポン債、株式の g 素数ゼロ、およびコールの線形結合によって複製する方法を明示的に説明しています。講演者は、期待値を取得することでこの公式を証明し、さまざまな方法でオプションの価格と確率の二重性について議論し、原始的な情報としてのコール オプションの重要性と、それらがどのようにすべてに及ぶかを強調しています。この式は、さらに議論するための興味深い疑問も引き起こします。
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00:05:00このセクションでは、確率微分方程式の技術的条件について説明します。この条件は困難に見えるかもしれませんが、通常は成立するため、微分方程式の解を見つけるのが容易になります。 Li 教授は、推測アプローチとさまざまな公式を使用して、指数形式の単純な確率微分方程式を解く方法の例も示しています。確率微分方程式を解く最後のステップは、聴衆が提示した式に示されているように、すべての変数が一致することを確認することです。
00:35:00このセクションでは、教授は、近似として単純なランダム ウォークを使用してブラウン運動からサンプルを抽出するためのツリー法を説明します。ツリー法では、確率分布上の関数の値を計算することにより、ブラウン運動の近似分布を実現できます。 h が小さくなるにつれて中間値の近似は徐々に悪化し、精度と計算時間のバランスをとるために適切な h が必要になることに注意することが重要です。
00:50:00このセクションでは、ビデオで熱方程式と正規分布との関係について説明します。熱方程式は、熱が最初に 1 点に集中し、その後正規分布に従って時間の経過とともに分散される、完全に断熱されたシステムをモデル化します。これは、同時に発生する一連のブラウン運動と考えることができます。熱方程式の解は積分によって与えられ、すべての x について時間 t での陽的な解が可能になります。この閉形式の解を使用して、ブラック-ショールズ方程式を解くことができます。
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00:05:00このセクションでは、外国為替と、それがドル単位の外貨単位の価格として数学的にどのように記述されるかについて学びます。スポット FX レートは S で示され、現在の為替レートです。外国為替先物取引は、ドルの実効金利を固定できる契約です。 FX フォワードは外国金利と連動しており、FX フォワードを知ることでそれを推測することができます。裁定取引の概念についても説明し、ある通貨の金利が別の通貨の金利と異なる場合に、裁定取引をどのように利用して利益を上げることができるかについて説明します。さらに、リスクフリーレートの定義とFXプロセスでのその使用法についても説明します。
00:10:00このセクションでは、講演者は、FX 通貨のプロセスと、裁定なし条件を実現するための確率微分方程式の制約について説明します。これは、本質的に、プロセスのドリフトが利息の差である必要があるということです。料金。以前の裁定条件が適用されます。つまり、フォワード レートはスポット レートと金利差の積でなければなりません。講演者はまた、業界で使用される標準的な基本的な動的 FX モデルである Black-Scholes FX モデルを紹介し、FX の興味深い特性とその為替レートがマイナスになり得ないという事実について説明します。ただし、非常に大きくなる可能性があり、上限がないため、分布が偏ってしまいます。
00:15:00このセクションでは、スピーカーは、システムを単純化するために仮定が行われ、参加者が 2 つのペイオフ A と B のどちらかを選択するように求められるゲームを紹介します。両方のペイオフは、賭け金に関して対称であり、参加者は利益または利益のいずれかを選択します。失う量は同じですが、一方が他方よりも優先されます。講演者は、誰もそのゲームをプレイしたがらないことに気づきましたが、為替レートが 1.25 または 0.75 のシナリオを提供して、賭け A が賭け B よりも 25 ドル有利であることを示しました。講演者は、賭け金 A の方が良い取引であると結論付けました。賭け金の単位は、勝つか負けるかによって異なります。
00:20:00このセクションでは、発表者は、ドルとユーロの両方で発行されたイタリアの国債を例として、クレジット FX クォント モデルの概念を説明します。イタリアはできるだけ多くの投資家にリーチする必要があるため、ユーロ債とドル債の両方を発行している。ただし、どちらのタイプの債券もクロスデフォルトになります。つまり、イタリアが1つの国債でデフォルトした場合、ユーロとドル債を含むすべての国債が一緒にデフォルトすることになる。イタリアの危険性の尺度である信用スプレッドは、両方の通貨で同じではなく、イタリアがどちらの通貨で債券を発行することを好み、投資家がどの通貨で債券を購入することを好むかを決定します。プレゼンターは聴衆にどちらの通貨で債券を購入するかを尋ねます。彼らは、信用スプレッドのほうが高いと考えており、一方の債券をもう一方の債券と複製して 2 つを比較する戦略を考える必要があると説明しています。
00:25:00このセクションでは、講演者が金融商品のペイオフを分析し、FX およびクレジットトゥプライス債券のモデルを作成する方法について説明します。例として挙げられているのは、満期時に 100 円を支払う同じ満期の 2 つのゼロクーポン債です。1 つはドル建て、もう 1 つはユーロ建てです。彼らは裁定取引戦略を使用して、100 倍のフィートドル債を売り、100 ユーロの債券を購入し、ゼロコストで満期 T の 100,000 ユーロの為替先物契約を締結します。 FX フォワードは収益をヘッジし、債券の収益を交換してユーロ債を取得できます。この違いを説明するモデルを計算することで、市場では米ドル債券のスプレッドが実際には低く、債券がパフォーマンスを発揮しているか、パフォーマンスが悪くデフォルトになっていることが判明しました。
00:35:00このセクションでは、講演者が基本的な信用モデルからデフォルトのモデルまでを説明します。これには、デフォルト イベントを強度率 h のポアソン過程として定義することが含まれます。一定のハザード率とゼロ金利環境を仮定して、講演者はモデル内の FX ダイナミクスを説明します。これには J*dN で示されるジャンプ プロセスが含まれます。ここで、J は FX の切り下げパーセント、dN はポアソン プロセスです。目標は、FX レートの期待値が初期値と等しい、一定の裁定なし条件を達成することです。これは、ドリフト mu を e の J 乗倍に等しい値 (補償項) に設定することによって行われます。
00:40:00このセクションでは、講演者は、ポアソン過程の補償項の形式を導出する方法と、この形式が期待値の条件を満たしているかどうかを確認する方法を説明します。 log S_t の d の式が与えられ、指標関数と J dN_t の助けを借りて統合されます。次に話者は、大文字 T より大きいか小さいタウの可能性を分割し、J が定数であること、したがって積分は t の J 倍であることを示します。講演者は、すべての派生情報が参考のためにメモに掲載されていると述べています。
00:45:00このセクションでは、講演者が S_T の期待値を計算し、タウの確率分布を積分する方法を説明します。彼は、前の方程式の一番上の行を消去することから始め、S_0 にわたる S_T の対数は、タウが T より小さい場合、h 倍タウ倍 1 マイナス e の J 倍に等しく、h 倍の大文字 T 倍 1 マイナス e の J 倍インジケーターに等しいことを示します。タウが T より大きい場合、T 以上のタウの関数。その後、両辺をべき乗し、タウ倍 phi(0, tau) d tau の S の 0 から無限大までの積分を書き込み、S_T の期待値を計算します。彼は積分を 2 つの部分に分割し、最初の項を 0 から大文字 T まで、第 2 項を大文字 T からタウの無限大まで説明します。
00:50:00このセクションでは、スピーカーがジャンプ プロセスを使用して期待を受け取るプロセスについて説明します。彼は、漂流推測が最初にどのように期待値をゼロにするかを示しています。デフォルトでジャンプする S の対数のダイナミクスが定義され、確率密度が計算されます。講演者は、Ito の補題を使用して S のダイナミクスを導き出し、S の対数のプロセスから S のプロセスをどのように見つけることができるかを説明します。S の最終結果は、J に対する h 倍 1 マイナス e であることが示され、タウはより小さくなります。 T、dT、プラス e から J マイナス 1、J マイナス 1、dN、dN_t まで。
00:55:00このセクションでは、講演者が、為替レート モデルと信用モデルを使用した、通貨の異なる 2 つのゼロクーポン債券の価格決定について説明します。価格設定は標準的な価格設定理論によって実現され、時間 T での価格は時間 t での価格の期待値と等しくなります。話者は、タウが T より大きくなる確率を計算し、累積確率関数を使用して債券価格をドルで決定します。講演者は 2 つの債券の想定元本比率を比較することにより、2 つの債券のヘッジ ポートフォリオを提案します。
01:10:00このセクションでは、デフォルト時に跳ね上がる為替レートを考慮して、ドル債券価格とユーロ債券価格を導出する方法を講演者が説明します。ドル債の価格は、タウが T より大きいか、T より小さい確率を計算することによって導出されます。一方、ユーロ債の価格は、ユーロ債の時間 0 での価格を S_0 で割って、T の S の期待値を計算することによって導出されます。 T の S、つまりゼロクーポン債券価格の決定はいくつかの部分に分かれており、講演者が丁寧に説明します。
01:15:00このセクションでは、Quanto Credit Hedge の期待を行う方法についてビデオで説明しています。この期待を行うには、確率密度の 0 から無限大までの範囲で積分を行う必要があるとスピーカーは説明します。前の計算と似ていますが、今回はタウが T より小さいため、項が 2 つあります。最初の項は hT に対する e で、2 番目の項はタウの期待値の R 倍です。講演者はその方法について詳しく説明します。この項を計算します。
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Stefan AndreevThi...
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00:10:00このセクションでは、講演者は、R で示される回復確率尺度の概念を紹介します。この尺度は市場価格から導出され、将来の出来事に関する市場の信念を捉えます。話者は、市場が間違っている可能性を考慮して、確率尺度 P によって捉えられる物理的現実から R を区別します。ただし、市場の効率性を信じている一部の金融専門家は、毎回 R を P に等しく設定する場合があります。講演者は、R がロスにちなんで名付けられたことを指摘します。ロスは、回復された確率尺度を自然確率尺度と呼び、リスク中立の確率尺度は不自然であると説明しています。後者の措置は、特定のイベントが発生する確率に応じて利益を得るアロー・ドゥブルー証券の価格を提供します。講演者は、証券は 2 つあり、1 つは S&P 500 が上昇するときのもので、もう 1 つは下落するときのものであり、裁定取引のない世界においてのみ、これらの証券の価格はイベントが発生する確率と等しくなる、と結論付けています。
00:15:00このセクションでは、ピーター・カーが、経済学者がアロー・ドゥブルー証券と呼ぶもの、実際にはデジタルオプションであるものについて説明します。デジタル オプションは、原資産が所定の価格レベルを超えたかどうかに基づいて支払いを提供する証券です。アロー・ドブルー証券の議論は、代表エージェントの概念につながります。代表エージェントとは、効用関数や寄付金など、投資家のすべての数学的特性を持ち、それを実現するために正確に適量のポートフォリオを保有する投資家です。彼/彼女にとって最適です。 Peter は、この概念を使用する代わりに、長期的にランダムな成長率を持つ成長最適ポートフォリオなど、優れた特性を持つポートフォリオの価値を指すヌメレールと呼ばれるものについて話すことを好みます。
00:50:00このセクションでは、ビデオでは、Ross によって提案された回復定理で行われた仮定について説明します。最初の仮定は、2 つの変数 x と y の関数 phi が特定の形式を持っているということです。これは、検索の次元を 1 つの変数とスカラー デルタの関数に削減するのに役立ちます。 1 つの変数の関数の経済的意味は限界効用であり、追加の消費単位ごとにどれだけの幸福が得られるかを示します。減少関数は、すべての消費単位に対してプラスであると考えられていますが、消費単位が増えるにつれて幸福感はますます低くなります。一方、デルタは、お金の時間価値を表す正のスカラーであり、分子に関連付けられています。ビデオでは、この発見は c の関数として U 素数を見つけるのではなく、y の関数 c を使用して U 素数の組成を決定することを目的としていると付け加えています。
00:55:00このセクションでは、Peter Carr がロス回復定理について説明します。これは、市場のリスク回避を捉えるパラメータを必要とせずに、市場価格から市場の信念を特定するためのノンパラメトリック アプローチを提供します。ロスの仮定では、市場の信念を表す P を見つけることにより、市場の信念を決定することができます。 Arrow-Debreu 証券価格を使用することにより、ポジティブな解決策が存在し、価格設定カーネル ファイ (A 対 P の比率) を使用することで、ノンパラメトリックに識別することが可能になります。ロスの論文に先立って、研究者たちは特定の効用関数を持つ代表的な投資家を想定していましたが、ロスはそのような仮定を一切援用せずに市場の信念を特定することに成功し、市場が市場価格から何を信じているかを推測することが容易になりました。
01:20:00このセクションでは、講演者は、標準的なブラウン運動の表記「W」が、同じく「W」である富の表記とどのように矛盾し、ウィーナー過程の文字「Z」の選択につながったかを説明します。さらに、彼は「ロングのヌメレールポートフォリオ」を紹介しています。これは、その発明者であるジョン・ロングにちなんでそう呼ばれていますが、その立場がすべて肯定的であるわけではありません。 X のリスク中立ドリフト、つまり b^Q(X) はわかっており、拡散係数は X の A ですが、ロングの数値ポートフォリオのボラティリティ、X の sigma_L はわかりません。現実世界のドリフト。この sigma_L は、Long の数値ポートフォリオと IBM の間の共分散でもあり、これが共分散を知るための鍵となり、これが関係します。
01:25:00このセクションでは、Peter Carr が、ボラティリティ関数 sigma_L を見つける方法と、John Long のポートフォリオの値が X と D の関数であるという仮定を説明します。これにより、未知の正の関数が未知の関数に分割されます。 X と時間の指数関数。 X の未知の関数は Sturm-Liouville 問題の微分方程式を解きます。これは、正の関数 pi とスカラー ラムダを提供する一意の解のみが存在することを示しており、最終的に数値ポートフォリオのボラティリティを知ることができます。次にカーは、この理論を無制限の間隔に拡張する取り組みについて語り、この理論は大学院生が取り組んで解決できる可能性があると結論付けています。
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さらに、非線形ポートフォリオ効果を管理し、マーチンゲールテスト、リサンプリング、内挿に取引レベルのモデルを活用する際に、エンタープライズレベルのモデルの重要性が強調されています。これらのモデルは、取引相手の信用リスクや、資金の流動性や資本に関連するリスクを効果的に処理するために重要です。講演者は時間の制約を認めていますが、興味のある視聴者にスライドの 22 ページに追加の例を紹介します。教授たちは、コース全体にわたる学生の献身と勤勉に感謝の意を表し、今後の質問に対するリソースとして自分自身を提供して講義を締めくくります。また、変更や改良を加えてこのクラスを次の秋に再開催することも発表し、詳細についてはコースの Web サイトにアクセスするよう学生に勧めています。
01:20:00このセクションでは、教授たちは、学生がこのコースを価値あるものと感じ、将来彼らにとって良いリソースとなることを期待してコースを締めくくります。質問がある場合や今後のクラスで提案されたトピックについては、学生に連絡するよう勧めています。彼らはまた、来年の秋に変更と改善の可能性を伴ってクラスを再開催することも発表した。最後に、追加情報については Web サイトにアクセスするよう学生にアドバイスしています。
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16. ポートフォリオ管理
16. ポートフォリオ管理
「ポートフォリオ管理」ビデオでは、ポートフォリオ管理に関連する幅広いトピックを掘り下げ、主題の包括的な理解を提供します。講師は実践的なアプローチを採用し、理論を実際の応用やバイサイド業界での個人的な経験と結び付けます。ビデオで取り上げられているさまざまなセクションを見てみましょう。
ポートフォリオの直感的な構築: インストラクターは、生徒に空白のページでポートフォリオを直感的に構築するよう促してクラスを開始します。投資をパーセンテージに分類することで、資産配分がポートフォリオ管理においてどのように重要な役割を果たすかを示しています。学生は初日から投資の配分と資金の活用方法について考えるよう促されます。この演習は、学生がポートフォリオ構築の基礎を理解し、意思決定プロセスについての洞察を得るのに役立ちます。
理論と実践を結びつける: このセクションでは、有益なことを学ぶための最初のステップとしての観察の重要性を強調します。理論とモデルはデータ収集とパターン認識に基づいて構築されると講師は説明します。ただし、経済学の分野では、反復可能なパターンが常に明らかであるとは限りません。理論を検証するには、さまざまなシナリオの下で観察を確認またはテストする必要があります。学生はポートフォリオの構成を共有し、積極的な参加と関与を促進することが奨励されます。
ポートフォリオ管理の目標を理解する: 講師は、異なる資産やエクスポージャーをグループ化する方法に取り組む前に、ポートフォリオ管理の目標を理解することの重要性を強調します。彼らは年齢に応じた支出を示すグラフを提示し、支出パターンは人それぞれ異なることを強調しています。自分の状況を認識することは、ポートフォリオ管理の目標を効果的に設定するために重要です。
支出と収入のバランス: 講演者は、支出と収入の曲線の概念を紹介し、この 2 つの間の不一致を強調します。このギャップを埋めるには、収益と支出のバランスをとるために、キャッシュ フローを生み出す投資が必要です。このセクションでは、退職後の計画、学生ローンの返済、年金基金の管理、大学の寄付金の管理など、さまざまな財務計画のシナリオについても説明します。さまざまな戦略やパラメータを持つトレーダーに資本を割り当てる際の課題について、一般に分散または標準偏差によって測定されるリスクとともに議論します。
リターンと標準偏差: このセクションでは、リターンと標準偏差の関係について詳しく説明します。講演者は、現代のポートフォリオ理論の原則を、特殊なケースを通じて例示しながら探求します。現金、宝くじ、コイン投げ、国債、ベンチャーキャピタリストの資金調達、株式などの投資がリターンと標準偏差のグラフに配置され、概念がより明確に理解できるようになります。
投資の選択肢と効率的なフロンティア: 講演者は、さまざまな投資の選択肢と、そのリターンとボラティリティを示す地図上の配置について詳しく説明します。彼らは、標準偏差を最小限に抑えながら収益を最大化する効率的なフロンティアの概念を導入しています。このセクションでは、2 資産ポートフォリオの特殊なケースに焦点を当て、標準偏差と分散の計算方法を説明します。この概要により、ポートフォリオ理論が投資決定にどのような影響を与えるかを理解することができます。
分散化の利点とリスク パリティ: 講演者はポートフォリオ管理のシナリオを調査し、分散化の利点を強調します。彼らは、ボラティリティがゼロで相関がない、ボラティリティが等しくなく相関がゼロ、完全な正または負の相関の 3 つのケースについて説明します。分散は、ポートフォリオの標準偏差を効果的に減らすための戦略として重要視されています。
ポートフォリオ配分のレバレッジ: このセクションでは、均等なウェイト配分を超えて期待収益を高める手段としてレバレッジの概念を紹介します。債券と株式の配分を活用することで、投資家はより高い期待収益を達成できる可能性があります。講演者は、リスクとリターンを最適化するためにレバレッジのバランスをとることの重要性を強調しました。
シャープ レシオとケリーの公式: このビデオでは、リスク加重またはリスク調整後のリターンとしても知られるシャープ レシオとケリーの公式について詳しく説明しています。資産配分はポートフォリオ管理において重要な役割を果たしますが、ビデオでは、効率的なフロンティアだけに依存するだけでは不十分であることを強調しています。このセクションでは、資産配分の有効性だけでなく潜在的なボラティリティも示すために、60-40 ポートフォリオの例を示します。
ビデオ全体を通じて、講師は市場における個人の相互関連性と、ポートフォリオを最適化する際にこの側面を考慮することの重要性を強調しています。講演者はまた、ゲーム理論の役割と、明確に定義された物理学の問題と比較した金融の複雑性も強調しています。彼らは、ポートフォリオ管理における課題に効果的に対処するための積極的な観察、データ駆動型モデル、および適応の重要性を強調しています。最後に講演者は、特に人事や人材管理などの分野において、投資決定を超えた経営陣の重要な役割を認めています。
要約すると、このビデオではポートフォリオ管理のさまざまな側面を包括的に説明します。直感的なポートフォリオの構築、リスクとリターンの関係、リスクパリティの概念、効率的なフロンティア、レバレッジの役割、リスク管理の重要性について説明します。また、行動要因、動的な資産配分、長期投資、継続的な学習と適応の必要性についても詳しく説明します。これらの原則を理解し、健全なポートフォリオ管理戦略を実行することで、投資家はリスクを効果的に管理しながら財務目標の達成に努めることができます。
17. 確率過程 II
17. 確率過程 II
ビデオ シリーズのこのセクションでは、確率過程、特に連続変数の場合におけるパスの確率密度の処理の難しさに対する解決策として、ブラウン運動の概念が導入されています。ブラウン運動は、正の実数から実数までの一連の連続関数にわたる確率分布です。水中での花粉の動きの観察や株価の動きの予測など、さまざまな現象の合理的なモデルとなる性質を持っています。
さらに、ビデオでは、古典的な微積分を確率過程の設定に拡張した伊藤微積分の概念も紹介しています。従来の微積分はブラウン運動では機能しませんが、Ito の微積分は株価のパーセンタイル差をモデル化するためのソリューションを提供します。テイラーの展開から導出された伊藤の補題は、ブラウン運動を使用してわずかな時間増加にわたる関数の差の計算を可能にする確率微積分の基本的なツールです。それは微積分の理論を豊かにし、ブラウン運動を含むプロセスの分析を可能にします。
このビデオでは、ブラウン運動が微分可能ではなく、無限に頻繁に t 軸を横切るという事実など、ブラウン運動の特性についても説明しています。これらの特性にもかかわらず、ブラウン運動は現実世界に影響を及ぼし、株価などの量の物理モデルとして使用できます。単純なランダム ウォークの限界はブラウン運動であり、この観察はその動作を理解するのに役立ちます。
さらに、ビデオでは、ブラウン運動のコンテキストにおける確率変数の合計の分布とその期待値を調査します。正規変数の合計の収束について説明し、それをブラウン運動に適用します。
要約すると、ビデオ シリーズのこのセクションでは、確率過程におけるパスの確率密度を処理するソリューションとしてブラウン運動を紹介します。ブラウン運動の特性、株価や金融デリバティブのモデル化におけるブラウン運動の応用、そしてそれを扱うための伊藤微積分の必要性について説明します。これらの概念を理解することは、連続時間確率過程とそのさまざまな分野での応用を分析するために不可欠です。
18. 伊藤微積分学
18. 伊藤微積分学
伊藤微積分に関するこの包括的なビデオでは、確率過程と微積分に関連する幅広いトピックがカバーされています。教授は、オリジナルのより洗練されたバージョンである伊藤の補題の複雑さを掘り下げ、ブラウン運動の二次変分について詳細な説明を提供します。確率過程におけるドリフトの概念を、伊藤の補題を適用してそのような過程を評価する方法の実際的な実証とともに探究します。このビデオでは、積分と、積分のリーマン和型記述、適応プロセス、およびマルチンゲールについても触れています。この主題に慣れるために、基本的な計算演習を練習することの重要性が強調されます。さらに、このビデオは、今後のトピックであるギルサノフの定理のプレビューを示して終了します。
ビデオの次のセクションでは、教授は、伊藤の補題をもう少し一般的な形式で検討して提示することで、伊藤微積分の議論を続けます。教授は、テイラー展開を使用して、最初と 2 番目の変数が変化したときの関数 f の変化を分析しました。教授はブラウン運動を利用して f(t, B_t) を評価します。このビデオでは、ブラウン運動の 2 次変分と 2 つの変数 t と x を組み込むことにより、追加の項を組み込むことで、なぜ伊藤微積分が古典的な微積分と異なるのかについて説明します。次に、ビデオでは、偏導関数で表されるテイラー展開の 2 次の項に焦点を当てます。重要な項、つまり del f 対 del t dt、del f 対 del x dx、および 2 次の項が検査されます。これらの用語を再配置することにより、追加の用語を組み込んだ、より洗練された形式の伊藤の補題が導出されます。このビデオでは、dB_t の 2 乗および dt の dB_t 倍を含む項が、x に関する f の 2 次微分を含む項と比較して重要ではないことを示しています。これは、dt と等価であるため存続します。これは、伊藤微積分の洗練された理解につながります。
ビデオは、ブラウン運動への項の追加から生じるドリフト項を含む確率過程の概念を紹介することで進みます。このタイプのプロセスが主な研究対象となり、差異はドリフト項とブラウン運動項の観点から表現できます。二次変分の存在により元の形式から逸脱する伊藤の補題の一般形式を説明します。さらに、ビデオでは伊藤の補題を使用して確率過程を評価しています。二次変分により二次導関数項の分離が可能になり、複雑な項の導出が可能になります。関数 f(x) = x^2 を含む例が示され、B_t における f の d を計算する方法が示されます。 t に関する f の 1 階偏導関数は 0 であると決定されますが、x に関する偏導関数は 2x であり、t、x での 2 階導関数は 2 となります。
ビデオでは、t の t コンマ B における f の d の計算について説明します。この式には、部分 t dt に対する部分 f、部分 x dB_t に対する部分 f、dB_t 平方の部分 x 平方に対する 1/2 部分平方 f (dt に等しい) などの項が含まれます。これらの式の使用方法と変数の置換方法を理解するのに役立つ例が提供されています。式におけるシグマと可変シグマ プライムの区別と、それらをいつ適用するかについても説明します。ブラウン運動は最も単純な形式を表すため、この式の基礎として使用されます。
次のセクションでは、教授はブラウン運動を使用した株価の提案モデルについて説明し、S_t は e に t のシグマをかけたものに等しくないと述べています。この式では期待値 0 が得られますが、ドリフトが生じます。これを解決するには、シグマ二乗 dt の項 1/2 が式から減算され、その結果、t の新しいモデル S は、2 シグマ二乗 t にシグマをかけた B_t のマイナス 1 に等しい e になります。これはドリフトのない幾何学的なブラウン運動を表します。教授はさらに、サンプル パス B_t がある場合、各時刻の B_t の指数値を取ることで、t の S に対応するサンプル パスを取得できると説明します。
次に、ビデオは統合の定義に焦点を移します。統合は微分の逆として説明され、やや「愚かな」定義が付けられています。 f と g が与えられた場合に積分が常に存在するかどうかという疑問が生じます。次にビデオでは、区間を非常に細かい部分に分割し、対応するボックスの面積を合計することを含むリーマン和タイプの積分の記述を検討します。 n が無限大に近づくにつれて関数が無限大に近づくにつれてリーマン和の限界が説明され、より詳細な説明が提供されます。
伊藤積分とリーマン和型記述の関係に関する興味深い質問が取り上げられます。このビデオでは、Ito 積分にはリーマン和の性質が欠けており、区間内の点の選択は重要ではないことが説明されています。さらに、ビデオでは、各区間の左端の点ではなく右端の点を考慮する伊藤計算の別のバージョンについても言及しています。この代替バージョンは、伊藤微積分と同等ですが、2 次項にプラス記号の代わりにマイナス記号を組み込みます。最終的に、このビデオでは、現実の世界では、未来は予測できないため、時間間隔に関する決定は左端の点に基づいて行われなければならないことを強調しています。
講演者は、伊藤微積分の適応プロセスの直感的な説明と定義を提供します。適応プロセスは、現在までの過去の情報、つまり理論自体に組み込まれた事実のみに基づいて意思決定を行うことを特徴としています。このビデオでは、過去の株価のみに依存する株式戦略などの例を使用して、この概念を説明しています。伊藤微積分のフレームワークにおける適応プロセスの関連性は、特に左端の時点でのみ決定が可能であり、将来の出来事が不明のままである状況において強調されます。講演者は、適応されたプロセスを理解することの重要性を強調し、最小デルタ t 戦略を含むいくつかの具体例を示します。
伊藤微積分における伊藤積分の性質については、次のセクションで説明します。まず、適応されたプロセスの Ito 積分は常に正規分布に従うことが強調されます。次に、Ito アイソメトリの概念が導入され、分散の計算が可能になります。イトアイソメトリは、プロセスのイト積分の二乗の期待値が、時間の経過に伴うプロセスの二乗積分に等しいと述べています。理解を助けるために、Ito アイソメトリーの概念を説明するために視覚補助が使用されています。
ビデオではディスカッションを続けて、Ito 積分の特性を掘り下げます。適応されたプロセスの Ito 積分の分散はブラウン運動の 2 次変化に対応することが確立されており、これは簡単な方法で計算できます。確率過程におけるマルチンゲールの概念が導入され、確率微分方程式におけるドリフト項の有無が過程がマルチンゲールであるかどうかをどのように決定するかを説明します。講演者は価格理論におけるマルチンゲールの応用にも触れ、これらの概念を伊藤計算の枠組みの中で理解することの重要性を強調しています。視聴者は、この主題への理解を深めるために、基本的な計算演習に取り組むことが奨励されます。最後に、講演者は、次に取り上げるトピックはギルサノフの定理であると述べています。
次のセクションでは、ビデオでギルサノフの定理を詳しく説明します。これには、ドリフトのある確率過程をドリフトのない過程に変換し、それによってマーチンゲールに変換することが含まれます。ギルサノフの定理は価格理論において非常に重要であり、離散確率過程内のさまざまなギャンブルの問題に応用されています。ゲスト スピーカーは、パスとガウス過程にわたる確率分布の概念を紹介し、定理を理解するための準備を整えます。最終的には、ギルサノフの定理で重要な役割を果たすラドン ニコジム導関数を表す簡単な式が提供されます。
最後に、ビデオは確率過程に対する伊藤微積分の広範な意味を強調して終わります。これは、ドリフトのあるブラウン運動を使用してモデル化された株価に依存する確率分布に従って、ポートフォリオの価値の経時的な確率分布を測定できることを強調しています。伊藤微積分のツールと概念を使用すると、この問題は、異なる確率空間で期待値を計算することにより、ドリフトのないブラウン運動を伴う問題に変換できます。この変換により、非マルチンゲール過程をマーチンゲール過程に変換できるようになり、現実世界のシナリオで意味のある解釈が得られます。
伊藤微積分の複雑さを完全に理解するために、このビデオでは視聴者に基本的な計算演習を練習し、基礎となる概念に慣れるよう勧めています。そうすることで、確率過程、確率積分、さまざまな分野での伊藤微積分の応用についての理解を深めることができます。
結論として、この伊藤微積分に関する包括的なビデオは幅広いトピックをカバーしています。それは、伊藤の補題、ブラウン運動の二次変分、および確率過程におけるドリフトの概念の探求から始まります。次に、Ito の補題を使用した確率過程の評価を掘り下げ、積分と積分のリーマン和型記述について説明します。このビデオでは、適応されたプロセス、マーチンゲール、および Ito 積分の特性も紹介します。最後に、ギルサノフの定理に焦点を当て、確率過程の理解とモデル化に対する伊藤微積分の広範な意味を強調します。
19. ブラック・ショールズ式、リスク中立評価
19. ブラック・ショールズ式、リスク中立評価
この有益なビデオでは、ブラック・ショールズ公式とリスク中立評価について徹底的に説明し、金融分野での実際の応用についての貴重な洞察を提供します。このビデオは、競馬の賭けを受け入れるブックメーカーの共感できる例を通じて、リスク中立の価格設定の概念を説明することから始まります。すでに行われた賭け金の合計に基づいてオッズを設定することで、ブックメーカーはレースの結果に関係なく、リスクのない利益を確保できます。この例は、基礎となる流動性商品に関連付けられた正式な支払いであるデリバティブ契約を理解するための基礎として機能します。
ビデオは、先物契約、コール オプション、プット オプションなど、金融におけるさまざまな種類の契約を紹介することで進行します。先渡契約は、将来、あらかじめ決められた価格で資産を購入するという二者間の合意として説明されます。コール オプションは資産の下落に対する保険として機能し、オプション保有者に合意された価格で資産を購入する権利を提供します。逆に、プットオプションを使用すると、投資家は資産の下落に賭けることができ、あらかじめ決められた価格で資産を売却するオプションが与えられます。これらの契約の支払いの計算は、原資産の現在価格やそのボラティリティなどの特定の仮定に基づいています。
次に、リスク中立性の概念が導入され、配当が固定されている場合のオプションの価格は株式のダイナミクスとボラティリティのみに依存することが強調されます。市場参加者のリスク選好はオプション価格に影響を与えず、リスク中立の価格設定の重要性が強調されています。これを説明するために、不確実性のない 2 期間の市場が提示され、現実世界の確率の不在に依存するリスク中立の評価方法を使用してオプション価格が計算されます。この例では、株式を購入するために現金を借り、オプション価格がゼロになるように先渡し価格を設定します。
このビデオでは、特に先物契約のコンテキスト内で、ポートフォリオの複製の概念を詳しく説明しています。先物契約でショートポジションをとり、株式と現金を組み合わせることで、複製ポートフォリオが構築され、最終的な利益の正確な複製が保証されます。リスク中立の価格設定の目的は、デリバティブの現在の価格が複製ポートフォリオの価格と一致する必要があるため、特定のデリバティブの複製ポートフォリオを特定することです。
ブラック・ショールズの公式とリスク中立の評価を使用して一般的な利益の価格を決定することに、さらなる探求が費やされます。債券と一定量の株式で構成される複製ポートフォリオは、現実世界の確率に関係なく、満期時のデリバティブのパフォーマンスを複製する手段として導入されています。このビデオでは、現実世界とは独立して存在し、デリバティブの価格設定において基本的な役割を果たすリスク中立尺度またはマーチンゲール尺度の概念を紹介します。原株のダイナミクスとブラウン運動の標準偏差の重要性についても、テイラー則の拡張として提示されたブラック・ショールズの公式とともに議論されます。
次にビデオでは、ブラック-ショールズ モデルの偏微分方程式を解く方法を詳しく説明します。このモデルは、現在のデリバティブ価格をヘッジ戦略に関連付け、株式のボラティリティに基づいてすべての取引可能なデリバティブに適用できます。複製ポートフォリオ係数はいつでも決定され、株式と現金の購入を通じてデリバティブのパフォーマンスを完全に複製することができます。このヘッジにはリスクがないため、トレーダーは取引時に手数料を徴収できます。
さらに、講演者は、ブラック・ショールズ方程式を熱方程式に変換する方法を説明し、複雑な支払いやダイナミクスを伴うデリバティブの価格設定に数値的手法の使用を容易にします。このビデオでは、リスク中立の観点からこの問題にアプローチし、満期時のリスク中立の確率で割り引いた支払額の期待値としてデリバティブの価格を決定することの重要性を強調しています。株式のドリフトが金利に等しいというリスク中立の尺度の重要性が、二項対立の例を通じて強調されます。
アメリカのペイオフなど、より複雑な微分ペイオフの場合は、モンテカルロ シミュレーションまたは有限差分法を使用する必要があります。このビデオでは、ブラック・ショールズの公式で想定されている一定のボラティリティの仮定が現実世界のシナリオでは当てはまらない場合、これらのアプローチの必要性を強調しています。
このビデオでは、コールの価格と同じ権利行使価格のプットの価格との関係を確立するコープットパリティの概念を紹介しています。コール、プット、株式で構成される複製ポートフォリオを構築することで、投資家は最終的に特定の配当を保証できます。講演者はさらに、株式が行使価格より上で終了するか下回るかに基づいてバイナリの支払いが行われるデジタル契約の価格設定にコープット平価をどのように利用できるかを示します。これは、複製ポートフォリオとコール価格のアイデアを活用することで実現できます。
次のセクションでは、講演者は複雑なデリバティブをヘッジする手段としてのポートフォリオの複製について詳しく説明します。講演者は、権利行使価格 K マイナス 1/2 のコールの購入と権利行使価格 K プラス 1/2 のコールの売却を組み合わせて支払いを生成する例を通じて、この支払いが で販売することでどのように強化されるかを示します。 K マイナス 1/4 と K プラス 1/4 により、傾きの半分で配当が得られます。このビデオでは、スモール イプシロンの利用、複数の契約の売買、デジタル価格を近似するための 2:1 比率への再スケーリングについて説明しています。講演者は、権利行使による Co 価格のデリバティブ取引がどのようにして上昇につながるかを説明し、リスクを最小限に抑えるために採用されている実際の慣行についての洞察を提供します。
全体として、このビデオでは、ブラック・ショールズ方式、コープット平価、ポートフォリオの複製など、リスク中立の価格設定について包括的に説明しています。これは、特定のシナリオではより高度なテクニックが必要であることを認識しながら、複雑なデリバティブの価格設定とヘッジに関する貴重な洞察を提供します。これらの概念を理解することで、個人はリスク管理と金融分野におけるその応用についてより深く理解できるようになります。
20. オプション価格と確率の二重性
20. オプション価格と確率の二重性
このセクションでは、スティーブン・ブライス博士がオプション価格と確率分布の関係を詳しく掘り下げ、特定の支払関数でデリバティブ商品を複製するための公式を解明します。同氏は、コール オプションは基本的なものであり、あらゆる連続関数を複製するために使用できるため、金融分野では不可欠なものであると強調しています。ブライスはまた、株価の基礎となる確率過程を決定するためにコール オプションのみを使用することの限界を調査し、連続関数にまたがることができる別の関数ベースも使用できることを示唆しています。
ビデオでは短い休憩があり、ブライス博士がケンブリッジ数学トライポスに関連する興味深い歴史的な逸話を共有します。この試験は、ケルビン卿、ジョン・メイナード・ケインズ、カール・ピアソンなどの著名な人物の数学的知識をテストするもので、応用数学の分野を形成する上で重要な役割を果たしました。
本題に戻り、ブライス博士はオプション価格と確率の二重性の概念を導入し、これら 2 つの側面間の自然な二重性を強調します。同氏は、複雑なデリバティブ商品も確率分布として理解でき、オプション価格、確率、分布を行き来することで、より分かりやすく議論できると説明する。
動画では、オプション価格の表記方法の紹介とコールオプションのペイアウト機能の説明を進めます。ブライス博士は 2 つのコールで構成されるポートフォリオを構築し、制限を使用して権利行使価格に対するコール価格の偏微分値を求めます。彼はまた、特定の支払い関数を備えた 2 つのコール間のスプレッドを表すコール スプレッドの概念も導入しました。
次に、ブライス博士は、資産価格決定の基本定理 (FTAP) に焦点を当てて、オプション価格と確率の間の二重性を掘り下げます。同氏は、オプション価格は将来の支払い額を現在まで割り引いた期待値であり、デジタルオプションの支払い額は満期時の株価が一定水準を超える確率に関係していると説明する。彼は微積分を使用して、コール スプレッドの制限はデジタル オプションに傾向があり、デジタル オプションの価格は権利行使価格に対するコール価格の偏導関数に等しいことを証明しました。講演者は、権利行使価格が以上であるか、以上であるか、または等しいかの理論的な区別を強調し、この区別には実際的な意味がないことを指摘しています。
次に講演者は、資産価格設定の基本定理を紹介して、オプション価格と確率の関係を詳しく掘り下げます。この定理は、ゼロクーポン債に対するデリバティブの価格比率が、リスク中立分布の下での株価に対するマーチンゲールであることを確立します。ブライス博士は、この定理によってどのようにして確率密度からデリバティブの価格に到達し、確率とオプション価格設定の関係をより深く分析できるようになるのかについて説明します。
ビデオでは、オプションのポートフォリオを通じて密度関数にアクセスする方法、特にコール バタフライ戦略を使用する方法について説明します。ブライス博士は、2 つのコール スプレッドの差を適切にスケーリングすることによって構築されたコール バタフライ スプレッドは、密度関数を取得するために必要な二次導関数を近似できると説明しています。現実の世界では無限に小さくすることは現実的ではないかもしれませんが、特定の行使価格でコールバタフライを取引することにより、原資産が特定の範囲内にある確率の合理的な近似値が得られます。
このアイデアに基づいて、ブライス博士は、バタフライ スプレッド ポートフォリオを使用して二次導関数にアクセスし、密度関数を取得する方法を説明します。バタフライ スプレッドの適切な制限を取得することで、密度関数 f(x) に到達します。これは、成熟時の基礎となる確率変数のモデルに依存しない確率尺度として機能します。この確率測定により、個人は蝶の価格が示唆する確率に同意するかどうかを評価し、情報に基づいた投資決定を行うことができます。ブライス博士は、これらの関係はモデルに依存せず、オプション価格設定に使用される特定のモデルに関係なく当てはまることを強調します。
次のセクションでは、クオンツ ファイナンスの講師である Stephen Blythe 博士が、オプション価格と確率分布の関係について詳しく説明します。彼は、特定の時点における証券の確率分布は現時点での価格に条件付けされており、マーチンゲール条件は同じ価格に関するものであると説明しています。次に、ブライス博士は、応用数学の集中学習者のシラバスを形成する上で極めて重要な役割を果たしたケンブリッジ数学の学位について、興味深い歴史的な豆知識を共有します。
次に、講演者は資産価格の基本定理 (FTAP) を詳しく掘り下げます。この定理は、リスク中立分布の下では、価格対ゼロクーポン債の比率が株価に関してマーチンゲールであることを示しています。これは、確率密度からデリバティブの価格を決定するためのフレームワークを提供します。ブライス博士は、密度はコール価格からも導き出すことができ、これら 2 つのルートは基本定理を通じて相互接続されており、確率とオプション価格設定の関係をより深く分析できることを強調しています。
次のセクションでは、ブライス博士は、さまざまな権利行使価格に対するすべてのコール オプションの価格が、特定の微分関数の支払いを決定する際に重要な役割を果たすと説明します。コール オプションはすべてのデリバティブ価格に適用され、ヨーロッパのデリバティブ価格とみなされます。講演者は、デリバティブ関数はコールのポートフォリオを構築することで再現可能であり、デリバティブの支払いが満期時のコールオプションの線形結合と一致する場合、それらは今日でも同じ価値を持つことになると強調した。この概念は、裁定なしとして知られる金融の基本的な前提によって支えられています。これは、2 つのものが将来同じ価値になる場合、それらは現在も同じ価値を持つはずであると述べています。しかし、ブライス博士は、2008 年の金融危機以来、この前提が金融業界で疑問視されてきたことを認めています。
ディスカッションの続きとして、ビデオは金融市場と裁定取引に関する示唆に富む経済的問題を提示します。満期時間 (資本 T) が長期に設定されている場合、裁定取引が破綻した場合にオプションと複製ポートフォリオの価格が乖離する可能性があります。これにより、2 つのオプションの間に大きな違いが生じる可能性があります。経験的証拠は、価格が実際に互いに乖離していることを示しています。ブライス博士は、ハーバード大学基金などの長期投資家は、10 年間の価格差を利用するのではなく、年間および 5 年間のリターンに焦点を当てていると述べています。次に、彼は、任意の連続関数は極限内で例外なく呼び出しによって複製できると主張する数学理論を導入します。
講演者は、満期時の g(x) または g(S) として示される、指定された支払関数を使用して任意のデリバティブ商品を複製するための式について議論を続けます。この式は、g(0) ゼロクーポン債、株式の g 素数ゼロ、およびコール オプションの線形結合を使用してデリバティブを複製するための明示的な指示を提供します。ブライス博士は、期待値を使用してこの公式を支持し、オプション価格と確率の二重性を強調し、全範囲にわたる基本情報としてのコールオプションの重要性を強調しています。この公式は、さらなる調査を必要とする興味深い疑問も提起します。
重要な側面に対処するため、ブライス博士は、さまざまな満期および価格のすべてのコール オプション価格を知ることによって、特定の期間における株価の確率過程を決定できるかどうかを検討しています。同氏は、株価はプロセスの連続性や数学的制限に対する制約なしに、短い時間間隔で瞬間的に変動する可能性があるため、答えはノーであると主張する。ただし、ストックが拡散プロセスに従う場合、そのプロセスを決定することが可能になり、洗練された実用的なソリューションが得られます。実際には、コール オプションの有限のサブセットしか知ることができず、コール オプション価格のみに基づいて基礎となる確率プロセスを完全に決定することの限界がさらに強調されます。
ブライス博士は続けて、欧州の多数のコールオプション価格にアクセスできたとしても、それらのオプションだけを知っていても価格を一意に決定できない複雑なまたは非標準的なデリバティブ商品が依然として存在する可能性があると説明しました。彼は、すべてのコール オプションがわかっている場合でも、一連のコール オプションだけでは、基礎となる確率過程に関する完全な情報が提供されないことを強調しています。この制限を克服するために、ブライス博士は、考えられるすべての支払い範囲に対して代替ベースを検討することを提案しています。彼は、連続関数にまたがることができる任意の関数セットを使用できるが、多くの場合、呼び出しオプションを使用することが最も洗練されたアプローチになると指摘しています。
議論を続けて、ブライス博士はコールオプション価格と端末分布の関係を説明します。同氏は、端末の分布はコールオプションの価格によって一意に決定できると主張する。シータに対する Z の比率を考慮することにより、各銘柄の特定のリスク中立密度を取得できます。これにより、コール オプション価格と満期時の原株価の密度との相互関連性が強調され、モデルに依存しない確率測定に対する貴重な洞察が得られます。
このセクションが終わりに近づくにつれて、ブライス博士は、金融におけるオプション価格と確率分布の関係を理解することの重要性を繰り返し述べています。これらの洞察により、アナリストやトレーダーは、オプション価格に反映される暗黙の確率について情報に基づいた判断を下し、それに応じて投資決定を調整することができます。ブライス博士は、オプションの価格設定に使用される特定のモデルに関係なく、これらの関係が当てはまることを強調し、量的金融におけるそれらの重要性をさらに強調しています。
要約すると、スティーブン ブライス博士のプレゼンテーションは、オプション価格と確率分布の間の複雑な関係を調査しています。彼は、金融工学の隆盛と、超電導スーパーコライダーの中止によって影響を受けた定量アナリストのキャリアパスについて説明します。ブライス博士は、オプション価格と確率の二重性の概念を導入し、オプション価格と確率分布の間の自然な二重性を強調します。彼は、資産価格設定の基本定理と、金融におけるオプション価格と確率的アプローチを理解する上でのその意味を探ります。ブライス博士は、バタフライ スプレッドやその他の取引オブジェクトを使用して密度関数にアクセスし、暗黙の確率について判断する例を示しています。このプレゼンテーションには、ケンブリッジ数学トライポスに関する歴史的な逸話も含まれており、著名な数学者の金融への関与を紹介しています。これらの議論を通じて、ブライス博士は、オプション価格、確率、資産価格設定の基本原則の間の深い関係に光を当てます。
21. 確率微分方程式
21. 確率微分方程式
このビデオでは、確率微分方程式 (SDE) を解くためのさまざまな方法を詳しく説明します。教授は、与えられた方程式を満たす確率過程を見つけるという課題を強調することから始めます。ただし、特定の技術的条件下では、指定された初期条件を備えた独自のソリューションが存在することを聴衆に安心させます。 SDE を解くための有効なアプローチとして、差分法、モンテカルロ シミュレーション、ツリー法を紹介します。
教授は、SDE を解決するために必要な技術的条件を詳しく調べ、これらの条件が通常は当てはまり、解決策を見つけるのが容易になると強調しました。これらは、指数形式を使用して単純な SDE を解き、関連する公式とともに推測アプローチを適用する実践的な例を示しています。さらに、講演者は、SDE のコンポーネントを分析して、対応する機能をバックトラックして見つける方法を説明します。彼らはオーンスタイン・ウーレンベック過程を平均回帰確率過程の一例として紹介し、そのドリフト項とノイズ項に光を当てています。
具体的な解法に移り、教授は、常微分方程式や偏微分方程式に一般的に使用される有限差分法を SDE に取り組むためにどのように適応できるかを説明します。これらは、SDE を小さな区間に分解し、テイラーの公式を使用して解を近似するプロセスを説明します。講師は、有限差分法におけるブラウン運動の固有の不確実性によってもたらされる課題についても説明し、固定サンプルのブラウン運動パスを含む解決策を提示します。
次に、講師は SDE を解くためのモンテカルロ シミュレーション手法を検討します。彼らは、確率分布から多数のサンプルを抽出し、各サンプルの X(0) の計算を可能にし、X(1) の確率分布を取得する必要性を強調しています。講演者は、有限差分法とは異なり、ブラウン運動が固定されればモンテカルロ シミュレーションを使用できると述べています。
ツリー法は、SDE の別の数値解法アプローチとして導入されており、ブラウン運動からサンプルを抽出するための近似として単純なランダム ウォークを使用します。確率分布上の関数値を計算することで、ブラウン運動の近似分布を実現できます。講師は、ステップ サイズが小さくなると近似の品質が低下するため、精度と計算時間のバランスをとるために適切なステップ サイズ (h) を選択することの重要性を強調しました。
講義中、教授と学生は、SDE を解くための数値的手法、特に経路依存導関数のツリー法に焦点を当てて議論します。熱方程式についても言及されており、断熱された無限の棒内での時間の経過に伴う熱の分布をモデル化します。熱方程式は閉じた形式の解を持ち、よく理解されており、SDE を解く上で貴重な洞察を提供します。正規分布との関係が調査され、熱分布が多数の同時ブラウン運動にどのように対応するかが強調されます。
ビデオは、教授が取り上げられたトピックを要約し、最終プロジェクトには SDE を解決する詳細を実行することが含まれると述べて終わります。講演者はまた、今後の講義ではこれまでに提示した内容の実践的な応用に焦点を当て、現実世界のシナリオにおける SDE の理解をさらに深めることを示唆しました。
23. クアントのクレジットヘッジ
23. クアントのクレジットヘッジ
この包括的な講義では、モルガン・スタンレーの著名な専門家であるステファン・アンドレーエフ教授が、外国為替、金利、信用の分野における複雑な金融商品の価格設定とヘッジの魅力的な世界に飛び込みます。議論の主な焦点は、信用エクスポージャに関連するリスクの軽減を含む信用ヘッジの概念にあります。
アンドレーエフ教授は、他の金融商品の既知の価格を使用して複雑な金融商品のペイオフを再現し、高度な数学的手法を使用して複雑な商品の価格を導き出すプロセスを解明することから始めます。同氏は、新興市場におけるソブリンのデフォルトに関連した価格の動きを効果的に記述するために、突然かつ大幅な価格変動を捉える確率的現象であるジャンププロセスを組み込むことの重要性を強調している。調査された注目すべき例の 1 つは、ギリシャのデフォルト状況がユーロ通貨に与える影響です。
この講義では、デフォルトや外国為替 (FX) フォワードに対するヘッジを容易にする数学的モデルを考慮しながら、債券の理論的な価格設定のさまざまな側面を掘り下げます。導入された基本的な信用モデルには、「h」で示される強度率と補償項によって特徴付けられるポアソン過程を利用して、一定の裁定なし条件を達成することが含まれます。このモデルは、信用リスクを考慮しながら債券を分析および価格設定するためのフレームワークを提供します。
このビデオでは、クレジット リスクをヘッジするためにドル債とユーロ債の両方で構成されるポートフォリオを採用するクアント クレジット ヘッジ戦略についても詳しく説明しています。これらの債券の評価は、為替レートや期待利益などの要因に依存します。この戦略では、デフォルトの確率とジャンプ サイズの変化により、時間の経過に応じて動的な再バランスが必要になります。さらに、この講義では、ゼロ以外の回収を組み込むためのモデルの拡張についても検討します。これにより、外貨建てクレジット偶発契約およびクレジット・デフォルト・スワップの価格設定およびヘッジ機能が強化されます。
講演者は、確率微分方程式を処理するための数学的ツールである伊藤の補題を、特に拡散過程とジャンプ過程の両方を含むシナリオで利用するときに生じる複雑さを認識しています。モンテカルロ シミュレーションは、得られた結果の精度を検証する手段として提案されています。現実のモデルはより複雑であることが知られており、多くの場合、FX などの他の要因と相関する可能性のある確率的金利やハザード率が組み込まれています。この講義では、さまざまな市場向けに設計された幅広いモデルが存在し、複雑さと必要な速度がそれらの適合性を決定することを強調します。
ハザード レート (h) とジャンプ サイズ (J) の推定について議論し、講演者はこれらのパラメーターを推定するために債券価格をどのように使用できるかを説明します。デフォルトからの回復見込みは検討されており、慣例では通常、主権国家の場合は固定金利が 25%、企業の場合は 40% に設定されています。ただし、回復率は特定の状況によって大きく異なる場合があります。投資家は通常、回収率について推測を立てますが、その推測はマクロ経済的要因の影響を受ける可能性があります。この講義は、ベンチマーク債券価格を使用したハザード曲線の推定と、複数の通貨が関与するシナリオでの価格推定プロセスの複製について説明して終了します。
講義全体を通じて、アンドレーエフ教授は、複雑な金融商品の価格設定とヘッジについての聴衆の理解を深めるために、多数の例、方程式、洞察を提供します。取り上げられるトピックは、統計分析や予測からさまざまな数学モデルの複雑さにまで及び、最終的にはこの分野に興味を持つ人々に貴重な知識を提供します。
ステファン・アンドレーエフ教授は、数学的モデルを使用した債券の価格設定の概念と、債務不履行や為替変動に対するヘッジの重要性を紹介します。彼は例を通じてプロセスを実証し、危険率と回収率を正確に見積もる必要性を強調しています。
この講義では、クレジット リスクをヘッジするためにドルとユーロの債券のポートフォリオを構築するクアント クレジット ヘッジ戦略について説明します。債券の価値は、為替レートと期待される利益を考慮して決定されます。このモデルではデフォルトの確率とジャンプサイズが考慮され、時間の経過に応じて動的なポートフォリオのリバランスが必要になります。
このビデオでは、Quanto クレジット ヘッジ戦略のためのドル債とユーロ債の価格を導き出す方法について詳しく説明しています。講演者は、タウが T より大きいか T より小さい確率と S_T の期待値を決定するために必要な計算について説明します。 2 つの債券の想定元本比率を分析することにより、ヘッジされたポートフォリオ戦略が提案されます。
講演者は、Quanto クレジット ヘッジ モデルをさらに拡張して、ゼロ以外の回収を組み込んでいます。この拡張機能により、トレーダーは外貨建てのクレジット偶発契約やクレジット・デフォルト・スワップの価格を設定できるようになり、より正確なヘッジ比率が得られます。拡張モデルでは校正がより困難になりますが、アンドレーエフ教授は、複雑な数学モデルを理解する上でのその重要性を強調しています。
このビデオでは、Ito の補題を使用して拡散プロセスとジャンプ プロセスの両方を説明するときに生じる複雑な問題についても説明しています。講演者は、計算から得られた結果の精度を検証するためにモンテカルロ シミュレーションを採用することを提案しています。実際のモデルはより複雑であることが知られており、外国為替などの他の要因と相関する確率的金利やハザード レートが組み込まれることがよくあります。
さらに講義では、債務不履行からの回復予測はさまざまであり、主権国家では25％、企業では40％といった慣例で設定されるのが一般的であることを強調している。ただし、これらの値は固定されたものではなく、特定の企業によって異なる場合があります。回収率の推定にはマクロ経済的要因の考慮が含まれますが、依然として主観的な概念であり、投資家は通常、仮定に依存します。
ハザード率 (h) と J を推定するために、アンドレーエフ教授は債券価格の使用について説明します。価格が既知のベンチマーク債券を採用することで、ハザード曲線を構築できます。これらのベンチマーク債券を複製すると、各債券価格の h 値を推定するのに役立ちます。複数の通貨が関係する場合、プロセスはより複雑になり、価格を見積もるために複数のプロセスを繰り返す必要があります。クーポンを支払う債券の場合、すべてのクーポン支払いを考慮し、その期待を計算する必要があります。
全体として、ステファン・アンドレーエフ教授の講義は、外国為替、金利、クレジットにおける複雑な商品の価格設定とヘッジについて貴重な洞察を提供します。詳細な説明、例、数学モデルを通じて、信用ヘッジ、債券価格設定、危険率と回収率の推定の複雑さを明らかにします。
24. 金利と信用の HJM モデル
24. 金利と信用の HJM モデル
このセクションでは、モルガン・スタンレーの金融専門家であるデニス・ゴロホフが、HJM モデル (ヒース・ジャロウ・モートン) と、クレジット デリバティブやダブル レンジ見越額などのエキゾチックな金融商品の価格設定とヘッジにおけるその応用について説明します。 HJM モデルは、モルガン・スタンレーやゴールドマン・サックスなどの大手銀行が、さまざまなタイプのエキゾチックなデリバティブを効率的に取引し、顧客の需要を満たすために使用している強力なフレームワークです。
Gorokhov は HJM モデルを理論物理学と比較し、それが解決可能なモデルと複雑な問題の両方を提供することを強調しました。これにより、銀行は幅広いエキゾチックなデリバティブの価格を数値的に正確に決定できるようになります。同氏は、市場のボラティリティとランダム性、そしてそれらが効果的なヘッジ戦略を必要とするデリバティブトレーダーにどのような影響を与える可能性があるかを強調しています。
この講義では、確率過程からデリバティブ価格モデルを開始する概念を紹介し、株価変動の基本モデルとして対数正規ダイナミクスを使用します。このモデルには、ドリフトと呼ばれる決定論的なコンポーネントと、株価に対するランダム性の影響を捉える拡散と呼ばれるランダムなコンポーネントが組み込まれています。このモデルを使用すると、ブラック・ショールズの公式を導き出すことができ、特定の時点での株式の確率分布の計算が可能になり、株価に応じた利得を伴うデリバティブの価格設定が可能になります。
次に、HJM モデルについて、特に金利と信用の文脈で説明します。講師は、金利の動態を対数正規過程として説明し、株価がマイナスになることはないことを保証します。 HJM モデルにおけるデリバティブ価格理論の基礎である伊藤の補題が導入され、その導出が説明されます。伊藤の補題は確率変数の関数を微分するのに役立ち、デリバティブのモデリングと価格設定を容易にします。
HJM モデルで使用される方程式のグリーン関数は、株価の確率分布関数に似ていることが強調されています。すべての資産のドリフトが金利であるリスク中立の領域では、オプションの価格設定に影響を与えるのはボラティリティパラメーターのみである動的ヘッジが重要になります。モンテカルロ シミュレーションを使用して株価やその他の金融変数をシミュレーションし、デリバティブ価格の計算を可能にします。このシミュレーション手法は、金融のさまざまな分野に適用できる強力なツールです。
この講義では、割引係数の概念と金融におけるその重要性についても詳しく説明します。非増加割引係数の便利なパラメータ化として機能する先渡レートについて説明します。さまざまな満期とそれに関連する金利の間の関係を表すイールドカーブについて説明します。通常、イールドカーブは上向きに傾いており、長期借入の金利が高いことを示しています。
スワップ市場は、さまざまな満期に対する固定支払額を提供する手段として導入されました。これらの支払いを合計することで、スワップレートを求めることができます。この金利は、将来の支払いの現在価値、または将来の固定金利の支払いをカバーするために今日投資する価値を理解するのに役立ちます。
結論として、この講義では、大手銀行が発行するエキゾチックなデリバティブや有価証券の価値を評価する際のリスク中立的な価格設定の重要性を強調しています。これらの複雑な金融商品の価格設定とヘッジにおける HJM モデル、モンテカルロ シミュレーションの役割、金利、信用、割引要因の理解に焦点を当てています。
25. ロス回復定理
25. ロス回復定理
このビデオでは、ピーター カーがロス回復定理と、市場価格から市場信念を抽出する際のその応用について詳しく説明します。この定理は、物理的確率尺度、リスク中立的確率尺度、および新しく導入された回復確率尺度という 3 つの確率尺度を導入します。これらの指標により、デリバティブの市場価格に基づいて、将来の出来事に関連する自然確率を特定することが可能になります。
カー氏はまず、アロー・ドゥブルー証券の概念を説明します。アロー・ドゥブルー証券は、原資産の事前に決定された価格レベルに基づいて支払いを行うデジタル オプションです。彼はこれらの証券とバイナリー オプションの価格の見積もりを詳しく調べています。次に、一変量拡散設定での数値変更手法に焦点を移します。これは、ロス回復定理に基づいて結果を導き出すために使用されます。
講演者は、市場価格から市場信念を抽出することを容易にする仮定を強調します。彼は、追加の仮定に頼ることなくこれらの信念を特定したロスの功績を強調し、回復定理の力を示しています。カー氏は、数値ポートフォリオの概念を探求することで、成長に最適なポートフォリオと現実の成長率との関係を説明しています。
このビデオでは、ケリー基準、エキゾチック オプションとバニラ オプション、デジタル オプションと市場信念の関係についてさらに説明しています。理論を無制限の状態空間に拡張する際に直面する課題と、議論を通じて行われたさまざまな仮定について触れています。
カー氏は最後に、ロスの回復定理を詳細に検討し、市場のリスク回避に特定のパラメーターを必要とせずに市場の信念を決定するノンパラメトリックなアプローチを強調しています。同氏は、代表的な投資家やその効用関数についての仮定を持ち出すことなく、市場価格から市場の信念を引き出すロスの能力を強調している。
全体として、このビデオでは、ロス回復定理、その応用、およびその方法論の基礎となる仮定について包括的に説明します。カー氏の説明は、理論と、市場価格から市場の信念を導き出す際のその実際的な意味についての貴重な洞察を提供します。
26. 取引相手の信用リスクの概要
26. 取引相手の信用リスクの概要
この包括的なビデオでは、カウンターパーティ信用リスク (CCR) と信用価値調整 (CVA)、およびデリバティブの価格設定におけるそれらの重要性について詳しく説明します。講演者は、デリバティブ価格設定に CVA を含めることを強調しました。CVA は時価評価に影響を与えるだけでなく、デフォルト リスクに応じて変化するポートフォリオ効果も導入するからです。 CVA の正確な価格設定は、ポートフォリオの非線形効果と債権と負債の非対称性から生じる複雑さに焦点を当てて強調されています。取引レベルのモデルでは捉えられない追加リスクに対処する手段として、担保や企業レベルのデリバティブモデリングなどの CCR 管理戦略が議論されています。このビデオでは、さまざまな方法論要件と CCR の現物市場への影響によるポートフォリオのモデリングにおける課題についても触れています。
コンテンツをさらに掘り下げるために、ビデオでは取引相手の信用リスク モデリングに関連するさまざまなトピックを紹介します。これらには、シェーンブッハー モデル、マーチンゲール テスト、リサンプリング、補間が含まれており、非線形ポートフォリオ効果を処理し、取引レベル モデルを補完するエンタープライズ レベルのモデルの必要性が強調されています。講演者は、CDS パークーポンまたはフォワード CDS パーレートのマーチンゲール測定を見つけること、およびマーチンゲール条件が満たされていることを確認するためのマーチンゲール テスト、リサンプリング、および内挿の重要性について詳しく説明します。確率尺度または数値を変更して利回り曲線全体を一貫してモデル化するという概念が、実際的な公式とその実装を伴って検討されます。このビデオは、取引のポートフォリオをモデル化することの複雑さを認識し、さらなる研究のための潜在的な研究トピックを提案することで締めくくられています。
さらに、ビデオでは店頭デリバティブ取引における CCR の重要性について言及し、債務不履行により予想される債権の損失が生じる可能性があることを強調しています。 CVAは、社債のリスクと同様に、相手方の信用リスクを考慮して時価を調整する手段として導入されています。資本要件、評価、自己資本利益率に対する CCR の影響について、取引相手がデフォルトした場合に取引の評価が見かけ上の利益から損失にどのように変化するかを示す例とともに説明します。金利リスクや流動性資金調達リスクなどのさまざまなリスク カテゴリが検討され、CVA や CV 取引などの CCR を管理する戦略が強調されます。
さらに、このビデオでは、支払側と銀行または専門家による債務不履行の可能性に焦点を当てた負債 CVA の概念が紹介されています。非線形オプションのような見返りを含め、関連するすべての取引を理解することで、CVA の価格を正確に設定することの重要性を強調しています。カウンターパーティの信用リスクと流動性資金調達リスクによってもたらされる課題は、ウォーレン・バフェット氏の取引をケーススタディとして、プット売りのシナリオを通じて例示されています。このビデオでは、CCR の管理についても説明し、クレジットリンクノートの使用と信用スプレッドと債券発行への影響について調査しています。さらに、取引相手の信用リスクのモデル化に伴う困難と現物市場への影響を掘り下げ、代替案として担保を強調し、可能な戦略としてディーラーから担保付信用保護を購入することを提案しています。企業レベルのデリバティブモデリングは、取引相手の信用リスクを理解する上で重要な側面として重要視されています。
さらに、取引レベルのデリバティブ モデルの限界について議論し、非線形ポートフォリオ リスクなどの追加リスクを捉えるエンタープライズ レベルのモデルの必要性を強調しています。各取引の手法要件の違いを含め、ポートフォリオのモデリングに伴う複雑さについて説明します。数値の不正確さに対処し、マーチンゲール条件が確実に満たされるようにするための手法として、シミュレーション、マーチンゲール テスト、およびリサンプリングが導入されています。講演者はまた、先物スワップレート、先物為替レート、および特定の指標と数値資産の下でのマーチンゲールとの関係についても調査します。シェーンブッハーのモデルは、生存尺度、マーチンゲール尺度、および CDS パークーポンまたはフォワード CDS パーレートのマーチンゲール尺度を見つける複雑さに焦点を当てて提示されます。このビデオでは、ラドン-ニコジム導関数を使用して生存確率の尺度がどのように定義されるかを説明し、モデルにおけるデフォルトの影響を個別に考慮する必要性を強調しています。
さらに、講演者は、取引相手の信用リスク モデリングのためのマーチンゲール テスト、リサンプリング、補間について詳しく説明します。マーチンゲール テストでは、数値近似がモデル式の条件を満たしていることを確認します。不一致が生じた場合は、マーチンゲール リサンプリングを使用してこれらのエラーを修正します。一方、マーチンゲール補間は、モデルで明示的に利用できない項構造が必要な場合に利用され、マーチンゲール関係を維持しながら補間が可能になります。講演者は、各用語構造点のマーチンゲール条件を満たすための補間とリサンプリングのプロセスについての洞察を提供します。
このビデオでは、内挿量がマーチンゲール ターゲットのすべての条件を自動的に満たすことが保証されるため、内挿に適切な独立変数が重要であることを強調しています。マーチンゲール指標の特定について説明します。フォワード LIBOR は、そのフォワード指標のマーチンゲールとして機能します。講演者は、利回り曲線全体を一貫してモデル化するために確率尺度または数値を変更することの重要性を指摘し、数値を直接変更することで達成されます。
さらに、非線形ポートフォリオ効果を管理し、マーチンゲールテスト、リサンプリング、内挿に取引レベルのモデルを活用する際に、エンタープライズレベルのモデルの重要性が強調されています。これらのモデルは、取引相手の信用リスクや、資金の流動性や資本に関連するリスクを効果的に処理するために重要です。講演者は時間の制約を認めていますが、興味のある視聴者にスライドの 22 ページに追加の例を紹介します。教授たちは、コース全体にわたる学生の献身と勤勉に感謝の意を表し、今後の質問に対するリソースとして自分自身を提供して講義を締めくくります。また、変更や改良を加えてこのクラスを次の秋に再開催することも発表し、詳細についてはコースの Web サイトにアクセスするよう学生に勧めています。
全体として、この包括的なビデオでは、取引相手の信用リスクとそれがデリバティブの価格設定に及ぼす影響について詳しく説明しています。 CCR、CVA、エンタープライズレベルのモデル、マーチンゲールテスト、リサンプリング、内挿などの主要な概念をカバーしています。このビデオでは、取引相手の信用リスクの管理に関する実践的な例と洞察を提供し、正確な価格設定の重要性と取引レベルのモデルを超えた追加リスクへの対処を強調しています。