理解をさらに広げるために、多変量正規分布の概念と、正規分布した残差を仮定して最小二乗推定量の分布を解く際のその役割を探ります。モーメント生成関数、QR 分解、最尤推定などのトピックが取り上げられます。 QR 分解によって最小二乗推定がどのように簡素化されるのかを説明し、正規線形回帰モデルに関する基本的な結果を示します。通常の線形回帰モデルにおける最小二乗原理と最尤原理の間の一貫性を強調しながら、尤度関数と最尤推定値を定義します。
00:15:00このセクションでは、講演者は、残差の平均と分散に焦点を当てた、回帰分析で使用されるガウス・マルコフの仮定について説明します。仮定には、ゼロ平均、一定分散、無相関残差が含まれます。講演者は、行列値またはベクトル値の確率変数を含む一般化されたガウス-マルコフ仮定についても説明します。講演者は、共分散行列が n ベクトルの分散を特徴付ける方法を示し、mu 値と y 値を使用した例を示します。
00:30:00このセクションでは、回帰分析とベータの通常の最小二乗推定を解く方法について学びます。独立変数の n 値である y ベクトルと従属変数の値の行列である X を取得する行列を使用して、行列の x 倍のベータに等しい近似値 y ハットを定義します。 n ベクトルの外積から X 行列とベータの積を引いたものを計算すると、ベータの通常の最小二乗推定値が得られ、ベータに関する Q の二次導関数を解くことができ、最終的に X になります。転置 X、正定値または半定値行列。最後に、回帰パラメータに関する Q の導関数を、j 番目の列のスタックの 2 倍と y の積のマイナスとして定義します。
00:35:00このセクションでは、回帰モデリングにおける正規方程式の概念を紹介します。一連の方程式は、通常の最小二乗推定値ベータによって満たされる必要があります。行列代数の助けを借りて方程式を解くことができ、ベータ ハットの解は X 転置 X 逆行列が存在すると仮定します。 X を X を逆転置するには、X が完全なランクを持つ必要があります。これは、他の独立変数によって説明される独立変数があるとランクが低下することを示しています。ベータハットが完全なランクを持たない場合、ベータの最小二乗推定は一意ではない可能性があることが判明しました。
00:40:00回帰分析に関するこのセクションでは、応答変数の線形ベクトルを近似値に取り込む射影行列としてハット行列が導入されています。具体的には、X の列空間に投影する直交射影行列です。残差は応答値と近似値の差であり、y マイナス y ハット、または I_n マイナス H 乗 y として表すことができます。 I_n マイナス H も、x の列空間に直交する空間にデータを射影する射影行列であることがわかります。これは、列空間への射影によって n 次元ベクトル y を表現し、残差が X の各列に直交することを理解するのに役立つため、覚えておくことが重要です。
00:55:00このセクションでは、ビデオでは、コンポーネント間の共分散がゼロでない回帰モデルと、元のガウス マルコフの仮定を満たすためにデータ Y、X を Y スターと X スターに変換して応答変数を作成する方法について説明します。分散が一定であり、相関がありません。このビデオでは、応答値の分散が非常に大きい場合、これらの一般化最小二乗値がシグマ逆関数で割り引かれることを説明しています。次にビデオでは、正規回帰モデルの分布理論を詳しく掘り下げています。残差は平均 0 で分散シグマ二乗の正規であり、応答変数は一定の分散を持つと仮定しますが、従属変数の平均値が異なるため同一に分布するわけではありません。
01:00:00このセクションでは、多変量正規分布の概念を、平均ベクトルと共分散行列に関して説明します。目標は、正規分布した残差を仮定して最小二乗推定量の分布を解くことです。モーメント生成関数は、Y とベータ ハットの結合分布を導出する方法として導入されます。多変量正規分布の場合、Y のモーメント生成関数は個々のモーメント生成関数の積であり、Y の分布は平均 mu と共分散行列 sigma を持つ正規分布になります。ベータ ハットのモーメント生成関数は、多変量正規分布であるその分布を決定するために解かれます。
01:05:00このセクションでは、講演者はベータ ハットのモーメント生成関数と、それが特定のオブジェクトによって与えられる真のベータと共分散行列を平均する多変量正規分布とどのように等価であるかについて説明します。各ベータ ハットの周辺分布は、平均 beta_j と分散が対角線に等しい一変量正規分布によって与えられます。これは、ガウス モーメント生成関数から証明できます。次に、講演者は X の QR 分解について説明します。これは、独立変数行列のグラム シュミット直交正規化によって実現できます。上三角行列 R を定義し、グラム シュミット プロセスを通じて Q と R を解くことにより、任意の n x p 行列を正規直交行列 Q と上三角行列 R の積として表すことができます。
01:10:00このセクションでは、QR 分解と最小二乗推定の簡略化におけるその応用について説明します。グラム・シュミット プロセスを使用して X の列を直交化すると、QR 分解を計算して、最小二乗推定を解くための単純な線形代数演算を取得できます。ベータ ハットの共分散行列はシグマ二乗 X 転置 X 逆数に等しく、ハット行列は単純に Q 倍 Q 転置です。分布理論をさらに調査して、正規線形回帰モデルに関する基本的な結果を提供します。
01:15:00このセクションでは、教授は、ランダム ベクトル y をランダムな法線ベクトルに変換できる、任意の行列 A (m × n) に関する重要な定理について説明します。この定理は、そのような統計を構築する際に、最小二乗推定ベータ ハットと残差ベクトル イプシロン ハットが独立した確率変数であることを証明します。ベータ ハットの分布は多変量正規分布ですが、残差の二乗和はカイ二乗確率変数の倍数です。回帰パラメータの推定値と t 統計についても説明します。最尤推定は、通常の線形回帰モデルのコンテキストでも説明されます。通常の最小二乗推定は最尤推定であることがわかります。
01:20:00このセクションでは、尤度関数と最尤推定値が定義されます。尤度関数は、多変量正規確率変数の未知のパラメーターが与えられたデータの密度関数であり、最尤推定により、観測データを最も尤もらしくするこれらのパラメーターの値が決定されます。最小二乗法を使用してモデルをフィッティングすることは、最尤原理を通常の線形回帰モデルに適用することと一致することに注意してください。さらに、一般化 M 推定量は、回帰パラメータのロバストな分位推定値を見つけるために使用される推定量のクラスとして簡単に説明されています。
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VAR モデルは、個人が特定の日に投資決定を通じて損失を被る可能性を評価するための貴重なツールとして機能します。投資に関連するリスクを理解するために、投資家は時系列の標準偏差を分析できます。この指標は、時間の経過とともに平均リターンが平均からどれだけ乖離したかを明らかにします。証券を平均プラスマイナス 1 標準偏差で評価することにより、投資家はその証券のリスク調整後の潜在的なリターンについての洞察を得ることができます。
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教授は、通常の線形回帰モデルの推定問題の解決を詳しく調べます。彼らは、誤差分散の最尤推定値が n に対するベータ ハットの Q であることを強調していますが、この推定値には偏りがあり、n から X 行列のランクを引いた値で割ることによる修正が必要であることに注意してください。モデルにパラメータが追加されると、適合値はより正確になりますが、過剰適合のリスクもあります。この定理は、回帰モデルの最小二乗推定値 (現在は最尤推定値) は正規分布に従い、残差の二乗和は自由度が n から p を引いたカイ二乗分布に従うことを示しています。 t 統計量は、モデル内の説明変数の重要性を評価するための重要なツールとして重要視されています。
一般化M推定は、ベータの関数Qを最小化することによって未知のパラメータを推定する方法として導入されています。別の関数の評価を伴う関数 h にさまざまな形式を選択することによって、さまざまな推定量を定義できます。このビデオでは、関数 chi を利用して推定値に関する良好な特性を保証する堅牢な M 推定器と、分位点推定器についても説明します。堅牢な推定量は、最小二乗推定における外れ値や大きな残差の影響を軽減するのに役立ちます。
次に、トピックは M 推定量とモデルのフィッティングにおけるその幅広い適用性に移ります。資本資産価格モデルに焦点を当て、資産価格設定に適用される線形回帰モデルのケーススタディを紹介します。教授は、株式のリターンが株式のリスクに応じた市場全体のリターンにどのように影響されるかを説明します。このケーススタディでは、データと、統計ソフトウェア R を使用してデータを収集する方法の詳細が提供されます。回帰診断について言及し、回帰パラメータに対する個々の観察の影響を評価する際のその役割を強調しています。影響力のあるデータポイントを特定するための手段としてレバレッジが紹介され、その定義と説明が提供されます。
講師は、パラメータ p (過去の観測回数を表す) を初期化し、最後の p lag 値に基づいて X_t の線形射影を推定する、時系列解析の Wold 分解法について説明します。より長いラグに対する直交性やホワイト ノイズとの一貫性を評価するなど、時系列手法を使用して残差を調べることにより、適切な移動平均モデルを決定できます。 Wold 分解法は、p が無限大に近づくにつれて射影の限界を取得し、その履歴上のデータの射影に収束し、射影定義の係数に対応することによって実装できます。ただし、モデル推定に適切な自由度を確保するには、サンプル サイズ n に対する p の比率がゼロに近づくことが重要です。
過学習を避けるために、時系列モデルで有限数のパラメーターを持つことの重要性が強調されます。 L で示されるラグ演算子は、時系列モデルの基本ツールとして導入され、時系列を 1 時間増分ずつシフトできるようにします。ラグ演算子は、ラグを含む無限次多項式である多項式 psi(L) を使用して確率過程を表すために利用されます。インパルス応答関数は、プロセス上の特定の時点でのイノベーションの影響の尺度として議論され、その時点以降に影響を与えます。講演者は、イノベーションの一時的な影響を説明するために、連邦準備制度理事会議長による金利変更を例に挙げています。
モデルに変数を追加する問題について、ペナルティの考慮とともに説明します。講師は、特定のしきい値を超える t 統計の評価や他の基準の採用など、追加のパラメーターを組み込むための証拠を確立する必要性を強調します。ベイズ情報量基準は、既知であると仮定して、モデル内の変数の数が有限であると仮定しますが、ハナン・クイン基準では、変数の数が無限であると仮定しますが、それらの識別可能性は保証されます。モデルの選択は困難な作業ですが、これらの基準は意思決定に役立つツールとなります。
結論として、このビデオでは統計モデリングと時系列分析のさまざまな側面をカバーしています。最尤推定とその正規線形回帰モデルとの関係について説明することから始まります。一般化された M 推定とロバストな M 推定の概念が導入されます。線形回帰モデルを資産価格設定に適用するケーススタディを示し、続いて単変量時系列分析について説明します。 Wold 表現定理と Wold 分解法は、共分散定常時系列の文脈で議論されます。時系列モデルにおける有限数のパラメーターの重要性が、自己回帰モデルや定常性条件とともに強調されます。このビデオは、自己回帰プロセス、ユール ウォーカー方程式、モーメント法原理、非定常挙動、情報基準を使用したモデル選択について説明して終わります。
00:05:00このセクションでは、教授は通常の線形回帰モデルの推定問題を解決する方法について説明します。誤差分散の最尤推定値は、n にわたるベータ ハットの Q ですが、この推定値には偏りがあるため、n から X 行列のランクを引いた値で除算して修正する必要があります。モデルに追加するパラメーターが多いほど、近似値の精度は高くなりますが、曲線近似の危険性も高まります。この定理は、回帰モデルの最小二乗 (最尤推定値) は正規分布し、残差の二乗和は n マイナス p で与えられる自由度を持つカイ二乗分布を持つことを示しています。 t 統計は、モデル内のさまざまな説明変数の関連性を評価する重要な方法です。
00:10:00このセクションでは、ビデオでは、ベータの関数 Q を最小化することによって未知のパラメーターを推定する一般化 M 推定の概念を説明します。別の関数の評価の合計である h にさまざまな関数形式を選択することにより、最小二乗推定や最尤推定など、さまざまな種類の推定量を定義できます。このビデオでは、ロバストな M 推定器についても説明します。これには、推定値で良好な特性を持つように関数 chi を定義することと、分位点推定器が含まれます。堅牢な推定器は、最小二乗推定における非常に大きな値または残差による不当な影響を制御するのに役立ちます。
00:15:00このセクションでは、教授は M 推定量と、それがモデルのフィッティングで遭遇するほとんどの推定量をどのように包含するかについて説明します。このクラスでは、線形回帰モデルを資産価格設定に適用するケーススタディが紹介されます。資本資産価格設定モデルは、株式の収益が市場全体の収益に依存し、その株式のリスクの程度に応じて決まることを示唆していると説明されています。このケーススタディでは、R を使用してデータを収集するために必要なデータとその詳細が提供されます。教授は、回帰診断と、回帰パラメータに対する個々の観察の影響を判定する方法について言及しています。最後に、影響力のあるデータ ポイントをてこを使用して特定し、その定義と説明を示します。
00:20:00このセクションでは、教授は、利益の説明を助けるために、株式利益のモデリングに原油利益などの別の要素を追加するという概念を紹介します。分析の結果、このケーススタディでは、市場が GE の利益を説明するのに効果的ではなかったことがわかります。原油は収益を説明するのに役立つもう 1 つの独立した要素です。一方、石油会社エクソンモービルには、原油価格に応じて上下するため、原油が収益にどのような影響を与えるかを示す回帰パラメータがあります。このセクションは、独立変数の重心からケースのマハラノビス距離に関連する影響力のある観測値を示す散布図で終わります。
01:10:00このセクションでは、講演者が非定常プロセスと、それを ARMA モデルに組み込む方法について説明します。彼は、1 番目または 2 番目の差分により共分散定常性が得られる場合、それをモデル仕様に組み込んで ARIMA モデル (自己回帰統合移動平均プロセス) を作成できると説明しています。これらのモデルのパラメータは最尤法を使用して指定でき、さまざまなモデルのセットと自己回帰パラメータと移動平均パラメータの次数を赤池情報量基準やベイズ情報量基準などの情報量基準を使用して評価できます。
01:15:00このセクションでは、スピーカーはモデルに変数を追加する問題と、どのようなペナルティを与える必要があるかについて議論します。彼は、何らかのしきい値やその他の基準を超える t 統計などの追加パラメータを組み込むにはどのような証拠が必要かを検討する必要があると示唆しています。ベイズ情報量基準は、モデル内に有限数の変数が存在し、それらが既知であることを前提とします。一方、ハナン・クイン基準は、モデル内に無限数の変数があると想定しますが、それらが識別可能であることを保証します。モデルの選択の問題は難しいですが、次の基準を使用して解決できます。
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さらに、最尤推定を使用した GARCH モデルの実装についても検討します。二乗残差の ARMA モデルは、条件付き分散を測定するためのイノベーションの多項式ラグとして表現できます。長期分散の平方根は、演算子の根が単位円の外側にあることを確認することで決定されます。最尤推定では、時系列の連続した条件付き期待値の積として表される結合密度関数を使用して、データと未知のパラメーターに基づいて尤度関数を確立することが含まれます。これらの条件付き密度は正規分布に従います。
主に基礎となるパラメーターの制約に起因する、GARCH モデルの推定に関連する課題について説明します。凸関数を最適化し、その最小値を見つけるには、パラメータを制限のない範囲に変換する必要があります。モデルをフィッティングした後、正規性を評価し、不規則性を分析するために、さまざまなテストを使用して残差が評価されます。 Rugarch と呼ばれる R パッケージは、ユーロドル為替レートの GARCH モデルを適合させるために使用され、為替レートの収益に対する平均プロセスを適合させた後、通常の GARCH 項を採用します。自己回帰プロセスの次数は赤池情報量基準を使用して決定され、モデルを評価するために自己回帰残差の正規分位数-分位数プロットが生成されます。
講師は、時系列データのモデリングに、ガウス分布に比べて裾の重い分布を提供する t 分布の使用についても強調します。 t 分布を使用した GARCH モデルは、ボラティリティを効果的に推定し、バリュー・アット・リスクの制限を計算できます。 t 分布は正規分布の適切な近似として機能するため、講師は時系列モデリングを強化するためにさまざまな分布を探索することを奨励します。さらに、正規分布による t 分布の近似についても説明します。 t 分布は、自由度が 25 ～ 40 である場合、正規分布の合理的な近似であると考えることができます。講師は、標準正規分布と自由度 30 の標準 t 分布の確率密度関数を比較するグラフを提示し、2 つの分布は似ているが裾が異なることを示します。
00:30:00このセクションでは、時間の経過とともに変化する複数の変数をモデル化するための単変量時系列の拡張を含む多変量時系列について学びます。共分散定常性の定義を有限で有界な 1 次および 2 次モーメントに拡張します。ここでは、M 次元の値を持つ確率変数が M 個の異なる時系列として扱われます。多変量プロセスの t 番目の観測値の分散共分散行列については、X_t から mu を掛けた X_t から mu を引いた素数の期待値である gamma_0 を定義します。次に、共分散行列 gamma_0 に、この行列の対角の平方根をもつ対角行列を事前乗算および事後乗算することによって、相関行列 r_0 が得られます。
00:35:00このセクションでは、多変量時系列の現在値がそれらの値の k 番目の遅れとどのように共変動するかを調べる相互共分散行列の概念が導入されました。現在の周期ベクトル値である Gamma_k は、それらの値の k 番目の遅れと共変します。これらの行列のプロパティは、gamma_0 の対角が分散の対角エントリの共分散行列であるとして説明されました。一変量ウォルド分解定理を拡張した高度な定理であるウォルド分解定理の存在についても触れました。この定理は、経済時系列における変数間の因果関係の判断を特定するのに役立ちます。
00:40:00このセクションでは、共分散定常過程の Wold 分解表現の概念が導入されます。この処理は、ホワイトノイズの確定処理と移動平均処理の和として表される。多変量の場合、決定論的プロセスは線形または指数関数的なトレンドになる可能性があり、ホワイト ノイズ プロセスは平均 0 と正の半定値分散/共分散行列をもつ m 次元ベクトルです。イノベーションとは、モデル化されたプロセスに関する、これまでの情報では予測できない混乱のことです。プロセスが共分散定常となるためには、共分散行列の項の合計が収束する必要があります。
00:45:00このセクションでは、プロセスに影響を及ぼし、以前は利用できなかった情報のビットを表現する方法として、Wold 分解について説明します。次に、このセクションではベクトル自己回帰プロセスについて説明します。ベクトル自己回帰プロセスでは、多変量系列の特定のコンポーネントが他の変数または多変量系列のコンポーネントにどのように依存するかをモデル化します。次に、ベクトル自己回帰を使用して p 次プロセスを 1 次プロセスとして再表現する概念について説明します。これは、複雑なモデルの分析を簡略化するために時系列手法で使用される強力な手法です。
00:55:00このセクションでは、方程式の両側の期待値を考慮して、定常 VAR プロセスの平均を計算することに焦点を当てています。プロセスの無条件平均は、2 行目から 3 行目の mu を解くことで得られます。ベクトル自己回帰モデルは、多変量系列の各成分に対応する m 個の回帰モデルから構成される回帰方程式系として表現されます。 m 番目の回帰モデルは、行列の j 番目の列を Z beta j および epsilon j としてモデル化します。ここで、Z は多変量プロセスの遅れた値のベクトルです。この計算では、p 個のプリサンプル観測が利用可能であると仮定します。
01:10:00このセクションでは、ベクトル化演算子の概念が導入され、用語をより便利な形式に操作する際のその使用法が説明されます。多変量回帰モデルは行列構造を使用して設定され、線形回帰形式で表現されます。ベータ行列、イプシロン、y をベクトル化することで、これらのモデルを使用した最尤推定における尤度関数を定義できます。この正規線形回帰モデルの同時密度に等しい未知のパラメータ beta star、sigma は、独立変数行列 X star と分散/共分散行列 sigma のより複雑な定義を使用した回帰分析で以前に使用されていたものに対応します。星。
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次に、経済学や金融で使用されるさまざまな時系列モデルを表現する方法として、線形状態空間モデルを紹介します。状態方程式と観測方程式について説明し、このモデリング フレームワークの柔軟性を示します。このビデオでは、線形状態空間モデルとして時間変化ベータを使用した資本資産価格設定モデルの表現を示しています。回帰パラメータに時間依存性を組み込むことにより、モデルは動的な変化を捉えます。さらに、講師は回帰パラメータが独立したランダム ウォークに従うと仮定して、時間の経過とともに変化する回帰パラメータの概念について説明します。新しいデータが追加されると回帰を再帰的に更新する結合状態空間方程式とその実装について説明します。次数 P の自己回帰モデルと次数 Q の移動平均モデルは、線形状態空間モデルとして表現されます。
次に、講義では状態方程式と観測方程式を詳しく掘り下げ、基礎となる状態間を遷移する際のそれらの役割を強調します。 ARMA プロセスの状態空間表現の導出について検討し、状態とその基礎となる変換行列を定義する際の柔軟性を強調します。 この講義では、時系列解析への線形状態空間モデルの応用の概要を説明します。講演者は、これらのモデルを使用して、観察されたデータと基礎となる状態の両方を組み込むことで、対象の変数を推定および予測できると説明します。再帰的アルゴリズムであるカルマン フィルターを利用することで、モデルは観測データに基づいて状態の条件付き分布を計算したり、将来の状態や観測を予測したりできます。
00:10:00ビデオのこのセクションでは、講演者が共和分の概念を紹介します。これは、非定常時系列を扱う時系列分析の主要なトピックです。議論は共積分が関連する文脈から始まり、ある次数 d で積分される確率過程、つまり d 番目の差が定常であることを意味します。最初の差分を取得すると定常性が得られますが、このプロセスでは一部の情報が失われ、共積分により、統計モデリングに使用できるすべての情報を体系的に特徴付けるためのフレームワークが提供されます。非定常プロセスは依然としてベクトル自己回帰表現を持つことができ、これはホワイト ノイズ イプシロンに等しい x の多項式ラグとして表現でき、それを定常性に還元するには d 次の差を取る必要があります。
00:30:00このセクションでは、ビデオでは、遅延系列と差分系列を使用して時系列の非定常性を排除するプロセスについて説明します。このモデルは、定常的な差分系列の確率過程モデルを表現します。ラグの行列倍である項は定常ですが、pi X_t 項には、行列 pi の特定に関わる共積分項が含まれています。元の系列には単位根があったため、行列 pi のランクは低くなり、共積分関係が定義されます。 beta の列は、x を共積分する線形独立ベクトルを定義します。 pi の分解は一意ではなく、プロセスが静止している r 次元空間で座標系を定義することによって、行列 pi をアルファ ベータ プライムとして表現できます。
00:45:00このセクションでは、講演者は、経済学や金融で使用される多くの時系列モデルを表現するために使用できる線形状態空間モデルのトピックを紹介します。モデルには、時間 t での観測ベクトル、基礎となる状態ベクトル、時間 t での観測誤差ベクトル、および状態遷移イノベーション誤差ベクトルが含まれます。講演者は、モデル内の状態方程式と観測方程式 (状態と観測にノイズを加えた線形変換) と、それらを結合方程式に書き込む方法について説明します。表記法は複雑に見えるかもしれませんが、変数間の関係を非常に柔軟に指定できます。
00:55:00このセクションでは、回帰パラメータが独立したランダム ウォークに従うと仮定して、時系列で時間の経過とともに回帰パラメータを変更するという概念が導入されます。結合状態空間方程式と、新しいデータが追加されるにつれて回帰を再帰的に更新するための線形状態空間の実装について説明します。次数 P の自己回帰モデルについても説明し、線形状態空間モデルがどのように進化するかの構造を概説します。最後に、次数 Q の移動平均モデルは線形状態空間モデルとして表現されます。
01:00:00このセクションでは、基礎となる状態間の遷移を与えるために使用される状態方程式と観測方程式について講師が説明します。彼らは、自己回帰移動平均モデルの例を使用して、線形状態空間モデルの設定によってモデルの推定プロセスがどのように容易になるかを示しています。講義はさらに、93 年の Harvey の研究が ARMA プロセスの特定の状態空間表現をどのように定義したか、また、状態と基礎となる変換をどのように定義するかに応じて、特定のプロセスに対して多くの異なる等価な線形状態空間モデルが存在する方法について説明します。行列 T。最後に、講義は ARMA プロセスの状態空間表現を導き出します。
01:05:00このセクションでは、講演者は、観測値を使用して 2 番目の状態を反復的に解き、モデル方程式を書き換えることによって、線形状態空間モデルの遷移行列 T の単純なモデルを作成する方法を説明します。このプロセスにより、基礎となる状態が観測値に置き換えられ、最初の列として自己回帰成分と R 行列の移動平均成分のベクトルを持つ遷移行列 T が生成されます。線形状態空間モデリングの有効性は、時刻 t までの情報に基づいて t+1 における基礎となる状態の確率密度関数と将来の状態の結合密度を再帰的に計算するカルマン フィルターを備えた完全な仕様にあります。時刻 t までの情報が与えられた t+1 での観測と、時刻 t までの情報が与えられた次の観測の周辺分布。カルマン フィルターの実装には、オメガによって決定される条件付き平均、共分散、平均二乗誤差を含む表記が必要です。
01:10:00このセクションでは、トランスクリプトでカルマン フィルターについて説明します。カルマン フィルターには、時系列の状態ベクトルと観測値を予測するのに役立つ 4 つのステップがあります。フィルター ゲイン マトリックスは、何が起こったかに応じて基礎となる状態の予測を調整するために使用され、各観測からどれだけの情報が得られるかを特徴づけます。時刻 t における状態の不確実性は、観察したものと予測したものとの差を最小限に抑えることで軽減されます。また、予測ステップもあり、1 期間先の状態を予測し、以前の状態を考慮して将来の状態の共分散行列を更新します。最後に、平滑化ステップでは、時系列全体の情報が与えられた場合に、基礎となる状態の条件付き期待値を特徴付けます。
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このビデオでは、最尤推定法を使用して、因子負荷量やアルファを含む因子モデルのパラメーターを推定できることが説明されています。推定プロセスには、推定された因子負荷量とアルファ値を含む回帰式を使用して、因子の実現を推定することが含まれます。 EM (期待値最大化) アルゴリズムは、既知の隠れ変数を仮定して隠れ変数を反復的に推定するため、複雑な尤度関数の強力な推定手法として注目されています。
コモディティ市場における要因モデリングの適用について説明し、収益と共分散を引き起こす根本的な要因の特定を強調します。これらの推定要因は他のモデルへの入力として機能し、市場の過去と変動をより深く理解できるようになります。講演者は、変換行列 H を使用して推定係数のさまざまな変換を検討する柔軟性についても言及しています。
00:20:00このセクションでは、ビデオでは、要因モデリングと、要因を意外な要因に変換してマクロ経済変数をモデル化するアプローチについて説明します。これらの要因に予期せぬ変化を組み込むことの威力について議論されており、このアプローチは現在広く適用されています。このビデオでは、単純な回帰法とガウス マルコフの仮定を使用して基礎となるパラメーターを推定する方法も説明しています。基本的属性または資産固有の属性に基づく共通因子変数を使用する BARRA アプローチの例も提供されます。
00:25:00このセクションでは、要因モデリングとリスク分析に対するファマ・フランスのアプローチについて説明します。これには、時価総額や価値対成長などの共通要因に基づいて株式をランク付けし、均等加重平均を得るためにそれらを五分位に分割することが含まれます。 。株式をさまざまな業界グループに分割する BARRA 業界因子モデルも、因子モデリングの単純な例として挙げられます。要因の実現は観察されませんが、これらのモデルの適用で推定されるため、個々の資産の収益との相関関係を計算できます。全体として、これらのアプローチは今日でも因子モデリングで広く使用され続けています。
00:35:00ビデオのこのセクションでは、回帰パラメータの推定における不均一分散性と、資産が期待リターンによって重み付けされ、高い分散によってペナルティを受けるポートフォリオ最適化への影響に焦点を当てています。ファクター模倣ポートフォリオは、Fama-French モデルなどのファクターを使用した取引の実際の価値を決定するために使用され、各ファクターの実現は原資産の収益の加重合計となります。 k 次元の実現の行の重みを正規化することにより、潜在的な投資を解釈するファクター模倣ポートフォリオを資産配分用に定義できます。
00:40:00このセクションでは、講演者は、基礎となる要因が不明な、T 時間単位にわたる m 個の資産の資産収益の時系列を分析するための統計的要因モデルについて説明します。講演者は、それらの根底にある要因を明らかにするための手法として、データ自体の観点から定義できる要因分析と主成分分析について説明します。講演者は、因子モデルの定義には柔軟性があり、行列 B または因子 f の任意の指定は k × k の可逆行列 H によって変換できることに注意しました。
00:45:00このセクションでは、因子のモデリングと変換の概念について説明し、基礎となる因子の共分散行列の観点から線形関数がどのように同じままであるかを強調します。議論は、因子を対角化する行列 H の定義に移ります。これにより、相関のない因子成分を含む因子モデルの検討が可能になります。正規直交因子やゼロ平均因子などの特定の仮定を行うと、因子負荷 B とその転置倍に対角行列を加えた共分散行列 sigma_x にモデルが単純化されます。最尤推定は、正規分布する基礎となる確率変数を使用した正規線形因子モデルのコンテキストでも説明され、データの結合密度関数につながります。
00:50:00このセクションでは、ビデオで因子モデリングと、EM アルゴリズムを使用して B 行列と psi 行列のすべてのパラメーターを指定するために最尤推定法を適用する方法について説明します。因子の実現は、因子負荷量とアルファの推定値を含む回帰式を使用して推定できます。 EM アルゴリズムは、隠れた変数が既知であると仮定して隠れた変数を推定し、そのプロセスを繰り返すことにより、複雑な尤度関数を簡素化できる強力な推定手法です。要因の実現は、リスク モデリングに使用できます。
00:55:00このセクションでは、講演者が商品市場における統計的要因分析の使用と、収益と共分散を引き起こす根本的な要因の特定について説明します。推定された根本的な要因は、他のモデルへの入力として使用することもできるため、過去とその変化を理解するのに役立ちます。講演者は、変換用の H 行列による推定係数の任意のセットのさまざまな変換を考慮する柔軟性についても言及しています。さらに、基礎となる因子を解釈するための統計的因子分析の使用についても言及されており、IQ の測定や、因子をより解釈しやすくする因子負荷量の回転を見つける際の応用例も示されています。最後に、このセクションでは尤度比のテストと因子モデルの次元のテストについて説明します。
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Peter KempthorneT...
6. 回帰分析
6. 回帰分析
この包括的なビデオでは、回帰分析のトピックを掘り下げ、統計モデリングにおけるその重要性を探ります。線形回帰は、その目標、線形モデルの設定、回帰モデルのフィッティングのプロセスについて説明する際に中心的な役割を果たします。強固な基礎を確保するために、有名なガウス-マルコフの仮定を含む、残差の分布の基礎となる仮定を説明することから始めます。さらに、回帰分析で共分散行列を推定する方法を提供する一般化されたガウス-マルコフ定理を紹介します。
私たちは統計モデリングに主観的な情報を組み込み、不完全または欠落したデータに対応することの重要性を強調します。統計モデリングは、分析対象の特定のプロセスに合わせて調整する必要があり、単純な線形回帰をすべての問題に盲目的に適用しないように注意します。ベータの通常の最小二乗推定について、回帰パラメータを推定するための正規化方程式、ハット行列、ガウス マルコフ定理とともに説明します。また、コンポーネント間の共分散がゼロでない回帰モデルもカバーし、より柔軟で現実的なアプローチを可能にします。
理解をさらに広げるために、多変量正規分布の概念と、正規分布した残差を仮定して最小二乗推定量の分布を解く際のその役割を探ります。モーメント生成関数、QR 分解、最尤推定などのトピックが取り上げられます。 QR 分解によって最小二乗推定がどのように簡素化されるのかを説明し、正規線形回帰モデルに関する基本的な結果を示します。通常の線形回帰モデルにおける最小二乗原理と最尤原理の間の一貫性を強調しながら、尤度関数と最尤推定値を定義します。
ビデオ全体を通して、回帰分析に含まれる反復ステップを強調します。これらのステップには、応答変数と説明変数の特定、仮定の指定、推定基準の定義、選択した推定量のデータへの適用、および仮定の検証が含まれます。また、前提条件の確認、影響診断の実施、外れ値の検出の重要性についても説明します。
要約すると、このビデオは回帰分析の包括的な概要を提供し、線形回帰、ガウス マルコフの仮定、一般化されたガウス マルコフの定理、モデリングにおける主観情報、通常の最小二乗推定、ハット行列、多変量正規分布、モーメント生成などのトピックをカバーしています。関数、QR 分解、最尤推定。これらの概念と手法を理解することで、回帰分析に取り組み、統計モデリングの取り組みで効果的に利用するための準備が整います。
7. バリュー・アット・リスク (VAR) モデル
7. バリュー・アット・リスク (VAR) モデル
このビデオでは、金融業界で広く使用されているバリュー アット リスク (VAR) モデルの概念について詳しく説明します。これらのモデルは、確率に基づいた計算を採用して、企業または個人が直面する可能性のある潜在的な損失を測定します。このビデオでは、簡単な例を使用して、VAR モデルの背後にある基本概念を効果的に説明しています。
VAR モデルは、個人が特定の日に投資決定を通じて損失を被る可能性を評価するための貴重なツールとして機能します。投資に関連するリスクを理解するために、投資家は時系列の標準偏差を分析できます。この指標は、時間の経過とともに平均リターンが平均からどれだけ乖離したかを明らかにします。証券を平均プラスマイナス 1 標準偏差で評価することにより、投資家はその証券のリスク調整後の潜在的なリターンについての洞察を得ることができます。
このビデオでは、VAR モデルがさまざまなアプローチを使用して構築できることを強調しています。このビデオでは主にパラメトリック アプローチに焦点を当てていますが、モンテカルロ シミュレーションを使用する代替方法も認めています。後者のアプローチでは、柔軟性とカスタマイズ オプションが向上し、より正確なリスク評価が可能になります。
さらに、ビデオでは、履歴データ セットのプロパティを反映する合成データ セットの作成について説明します。この手法を採用することで、アナリストは現実的なシナリオを生成し、潜在的なリスクを正確に評価できます。このビデオでは、気温データで観察される季節パターンを記述する際の三角法の適用例も示し、リスク分析で使用されるさまざまな方法を紹介します。
このビデオでは、VAR モデルについて説明するだけでなく、銀行や投資会社が採用しているリスク管理アプローチについても詳しく説明しています。これは、企業のリスクプロファイルを理解し、過度のリスク集中を防ぐことの重要性を強調しています。
全体として、このビデオは金融業界におけるリスク評価ツールとしての VAR モデルの利用に関する貴重な洞察を提供します。これらのモデルは、投資に関連するリスクを定量化し、統計分析を採用することにより、情報に基づいた意思決定を行い、潜在的な経済的損失を軽減するのに役立ちます。
8. 時系列分析 I
8. 時系列分析 I
このビデオでは、教授が統計モデリングの主要なアプローチである最尤推定法を再検討することから始めます。尤度関数の概念と、それと通常の線形回帰モデルとの関係について説明します。最尤推定値は、尤度関数を最大化する値として定義され、これらのパラメーター値が与えられた場合に観測データがどの程度の確率で得られるかを示します。
教授は、通常の線形回帰モデルの推定問題の解決を詳しく調べます。彼らは、誤差分散の最尤推定値が n に対するベータ ハットの Q であることを強調していますが、この推定値には偏りがあり、n から X 行列のランクを引いた値で割ることによる修正が必要であることに注意してください。モデルにパラメータが追加されると、適合値はより正確になりますが、過剰適合のリスクもあります。この定理は、回帰モデルの最小二乗推定値 (現在は最尤推定値) は正規分布に従い、残差の二乗和は自由度が n から p を引いたカイ二乗分布に従うことを示しています。 t 統計量は、モデル内の説明変数の重要性を評価するための重要なツールとして重要視されています。
一般化M推定は、ベータの関数Qを最小化することによって未知のパラメータを推定する方法として導入されています。別の関数の評価を伴う関数 h にさまざまな形式を選択することによって、さまざまな推定量を定義できます。このビデオでは、関数 chi を利用して推定値に関する良好な特性を保証する堅牢な M 推定器と、分位点推定器についても説明します。堅牢な推定量は、最小二乗推定における外れ値や大きな残差の影響を軽減するのに役立ちます。
次に、トピックは M 推定量とモデルのフィッティングにおけるその幅広い適用性に移ります。資本資産価格モデルに焦点を当て、資産価格設定に適用される線形回帰モデルのケーススタディを紹介します。教授は、株式のリターンが株式のリスクに応じた市場全体のリターンにどのように影響されるかを説明します。このケーススタディでは、データと、統計ソフトウェア R を使用してデータを収集する方法の詳細が提供されます。回帰診断について言及し、回帰パラメータに対する個々の観察の影響を評価する際のその役割を強調しています。影響力のあるデータポイントを特定するための手段としてレバレッジが紹介され、その定義と説明が提供されます。
原油収益などの追加要素を株式収益モデルに組み込むという概念が導入されています。この分析は、市場だけでは特定の銘柄のリターンを効率的に説明できない一方、原油はリターンの解明に役立つ独立した要素として機能することを示しています。石油会社エクソンモービルの例を挙げ、同社の利益が石油価格とどのように相関するかを示しています。このセクションは、独立変数の重心からのケースのマハラノビス距離に基づいた影響力のある観測値を示す散布図で終わります。
講師は、単変量時系列分析について説明します。これには、確率変数を離散プロセスとして時間の経過とともに観察することが含まれます。彼らは厳密な定常性と共分散の定常性の定義を説明しており、共分散の定常性ではプロセスの平均と共分散が時間の経過とともに一定であることが必要です。自己回帰移動平均 (ARMA) モデルと、統合された自己回帰移動平均 (ARIMA) モデルによる非定常性への拡張が紹介されています。定常モデルの推定と定常性のテストについても取り上げます。
共分散定常時系列の Wold 表現定理について議論し、そのような時系列が線形決定論的プロセスと psi_i で与えられる係数によるホワイト ノイズの加重平均に分解できることを述べています。ホワイト ノイズ コンポーネント eta_t は一定の分散を持ち、それ自体および決定論的プロセスとは相関がありません。 Wold 分解定理は、そのようなプロセスをモデル化するための有用なフレームワークを提供します。
講師は、パラメータ p (過去の観測回数を表す) を初期化し、最後の p lag 値に基づいて X_t の線形射影を推定する、時系列解析の Wold 分解法について説明します。より長いラグに対する直交性やホワイト ノイズとの一貫性を評価するなど、時系列手法を使用して残差を調べることにより、適切な移動平均モデルを決定できます。 Wold 分解法は、p が無限大に近づくにつれて射影の限界を取得し、その履歴上のデータの射影に収束し、射影定義の係数に対応することによって実装できます。ただし、モデル推定に適切な自由度を確保するには、サンプル サイズ n に対する p の比率がゼロに近づくことが重要です。
過学習を避けるために、時系列モデルで有限数のパラメーターを持つことの重要性が強調されます。 L で示されるラグ演算子は、時系列モデルの基本ツールとして導入され、時系列を 1 時間増分ずつシフトできるようにします。ラグ演算子は、ラグを含む無限次多項式である多項式 psi(L) を使用して確率過程を表すために利用されます。インパルス応答関数は、プロセス上の特定の時点でのイノベーションの影響の尺度として議論され、その時点以降に影響を与えます。講演者は、イノベーションの一時的な影響を説明するために、連邦準備制度理事会議長による金利変更を例に挙げています。
長期累積応答の概念は、時系列分析に関連して説明されます。この応答は、プロセスにおける 1 つのイノベーションの累積効果を時間の経過とともに表し、プロセスが収束しつつある価値を示します。これは、多項式 psi(L) によって捕捉された個々の応答の合計として計算されます。無限次数移動平均である Wold 表現は、多項式 psi(L) の逆数を使用して自己回帰表現に変換できます。自己回帰移動平均 (ARMA) プロセスのクラスが、その数学的定義とともに紹介されます。
次に、ARMA モデルのコンテキスト内の自己回帰モデルに焦点が移ります。講義は、移動平均プロセスに取り組む前に、より単純なケース、特に自己回帰モデルから始まります。定常条件が調査され、多項式関数 phi を複素変数 z に置き換えることによって、自己回帰モデルに関連付けられた特性方程式が導入されます。特性方程式のすべての根が単位円の外側にある場合、プロセス X_t は共分散定常とみなされます。これは、複素数 z の係数が 1 より大きいことを意味します。定常性を確保するには、単位円の外側の根の係数が 1 より大きい必要があります。
ビデオの次のセクションでは、次数 1 (AR(1)) の自己回帰プロセスにおける定常性と単位根の概念について説明します。モデルの特性方程式が示され、共分散の定常性には phi の大きさが 1 未満である必要があることが説明されています。phi が正の場合、自己回帰プロセスにおける X の分散はイノベーションの分散よりも大きいことが示されています。ファイが負の場合は小さくなります。さらに、ファイが 0 と 1 の間の自己回帰プロセスは、金融の金利モデルで採用されている指数平均回帰プロセスに対応することが実証されています。
ビデオは、特に自己回帰プロセス、特に AR(1) モデルに焦点を当てて進みます。これらのモデルには、短期間で何らかの平均に戻る傾向がある変数が含まれており、平均復帰点は長期にわたって変化する可能性があります。この講義では、ARMA モデルのパラメータを推定するために使用される Yule-Walker 方程式を紹介します。これらの方程式は、異なる遅れでの観測値間の共分散に依存しており、結果として得られる方程式系を解くことで自己回帰パラメーターを取得できます。 Yule-Walker 方程式は、統計パッケージで ARMA モデルを指定するために頻繁に利用されます。
特に尤度関数の指定と計算が困難になる複雑なモデルのコンテキストにおいて、統計的推定のためのモーメント法の原理について説明します。講義は、移動平均モデルについて説明し、μ とガンマ 0 を含む X_t の期待値の公式を提示します。時系列における非定常動作は、さまざまなアプローチを通じて扱われます。講師は、正確なモデリングを実現するには非定常動作に対応することの重要性を強調します。 1 つのアプローチは、差分処理や最初の差分を使用する Box-Jenkins のアプローチを適用するなどして、データを変換して定常化することです。さらに、非定常時系列を処理する手段として、線形傾向反転モデルの例が提供されています。
講演者はさらに、非定常プロセスとその ARMA モデルへの組み込みについて調査します。 1 回目または 2 回目の差分によって共分散の定常性が得られる場合、それをモデル仕様に統合して ARIMA モデル (自己回帰統合移動平均プロセス) を作成できます。これらのモデルのパラメーターは、最尤推定を使用して推定できます。さまざまなモデルのセットを評価し、自己回帰パラメータと移動平均パラメータの次数を決定するには、Akaike 情報量基準やベイズ情報量基準などの情報量基準が提案されます。
モデルに変数を追加する問題について、ペナルティの考慮とともに説明します。講師は、特定のしきい値を超える t 統計の評価や他の基準の採用など、追加のパラメーターを組み込むための証拠を確立する必要性を強調します。ベイズ情報量基準は、既知であると仮定して、モデル内の変数の数が有限であると仮定しますが、ハナン・クイン基準では、変数の数が無限であると仮定しますが、それらの識別可能性は保証されます。モデルの選択は困難な作業ですが、これらの基準は意思決定に役立つツールとなります。
結論として、このビデオでは統計モデリングと時系列分析のさまざまな側面をカバーしています。最尤推定とその正規線形回帰モデルとの関係について説明することから始まります。一般化された M 推定とロバストな M 推定の概念が導入されます。線形回帰モデルを資産価格設定に適用するケーススタディを示し、続いて単変量時系列分析について説明します。 Wold 表現定理と Wold 分解法は、共分散定常時系列の文脈で議論されます。時系列モデルにおける有限数のパラメーターの重要性が、自己回帰モデルや定常性条件とともに強調されます。このビデオは、自己回帰プロセス、ユール ウォーカー方程式、モーメント法原理、非定常挙動、情報基準を使用したモデル選択について説明して終わります。
9. ボラティリティモデリング
9. ボラティリティモデリング
このビデオでは、ボラティリティ モデリングの広範な概要を提供し、この分野のさまざまな概念と手法を探ります。講師はまず、自己回帰移動平均 (ARMA) モデルとボラティリティ モデリングとの関連性を紹介します。 ARMA モデルは、ブラウン運動プロセスにおける衝撃のランダムな到達を捕捉するために使用されます。講演者は、これらのモデルは、発生するジャンプの数をカウントするポアソン過程を表す t の pi という過程の存在を前提としていると説明します。ジャンプは、ポアソン分布に従って、確率変数、ガンマ シグマ Z_1 および Z_2 によって表されます。これらのパラメータの推定は、EM アルゴリズムによる最尤推定を使用して実行されます。
次に、ビデオではモデルの選択と基準について詳しく説明します。特定のデータセットに最適なモデルを決定するために、さまざまなモデル選択基準について説明します。赤池情報量基準 (AIC) は、モデルがデータにどの程度適合しているかを示す尺度として提示され、パラメーターの数に基づいてモデルにペナルティを与えます。ベイズ情報量基準 (BIC) も同様ですが、追加パラメーターに対して対数ペナルティが導入されます。 Hannan-Quinn 基準は、対数項と線形項の間の中間ペナルティを提供します。これらの基準は、ボラティリティ モデリングに最適なモデルを選択するのに役立ちます。
次に、ビデオではディッキー フラー テストについて説明します。これは、時系列が単純なランダム ウォークと一致しているか、または単位根を示しているかどうかを評価するための貴重なツールです。講師は、ARMA モデルを使用する際に課題となる可能性がある非定常プロセスを検出する際のこのテストの重要性について説明します。 ARMA モデルを使用した非定常プロセスのモデル化に関連する問題が強調され、これらの問題に対処する戦略が議論されます。
ビデオは、ARMA モデルの実世界の例への適用を示して終わります。講師は、ボラティリティ モデリングを実際にどのように適用できるか、ARMA モデルが時間依存のボラティリティをどのように捉えることができるかをデモンストレーションします。この例は、ボラティリティ モデリング手法の実際的な関連性と有効性を説明するために役立ちます。
要約すると、このビデオはボラティリティ モデリングの包括的な概要を提供し、ARMA モデルの概念、ディッキー フラー テスト、モデル選択基準、および実際のアプリケーションをカバーしています。このビデオでは、これらのトピックを検討することで、金融市場などのさまざまな領域のボラティリティのモデリングと予測に関わる複雑さと戦略についての洞察を提供します。
10. 正規化された価格設定とリスクモデル
10. 正規化された価格設定とリスクモデル
この包括的なビデオでは、金利商品、特に債券とスワップの正規化された価格設定とリスク モデルのトピックが広範囲に取り上げられています。講演者は、入力のわずかな変化でさえ重大な出力を引き起こす可能性がある、これらのモデルにおける不適切な姿勢の問題に取り組むことから始めます。この課題を克服するために、彼らは、滑らかな基底関数とペナルティ関数を使用してボラティリティ曲面の滑らかさを制御することを提案しています。チホノフ正則化は、振幅にペナルティを追加する手法として導入され、ノイズの影響を軽減し、モデルの意味を改善します。
講演者は、この分野のトレーダーが採用しているさまざまなテクニックを詳しく掘り下げます。彼らは、市場の不一致を特定し、情報に基づいた取引上の意思決定を行うために使用されるスプライン手法と主成分分析 (PCA) について説明します。債券の概念について、定期支払い、満期、額面、ゼロクーポン債、永久債などの側面から説明します。異なる満期のスワップのポートフォリオの価格を決定するイールドカーブを構築することの重要性が強調されています。
債券とスワップの金利と価格設定モデルについて詳しく説明します。講演者は、価格変動を予測するための単一数値モデルの限界を認識し、スワップの概念と、トレーダーがスワップレートのビッドおよびオファーレベルを見積もる方法を紹介しました。スワップの価格設定のためのイールドカーブの構築について、キャリブレーションおよびスプラインタイプの入力商品の選択とともに説明します。 3 次スプラインを使用してスワップを調整し、確実に額面で再価格設定するプロセスを、実際の例を使用して示します。
このビデオでは、3 か月先物金利の曲線と、市場の観測値と一致する公正な価格の必要性についてさらに詳しく説明しています。その後、焦点は取引スプレッドと最も流動性の高い商品の決定に移ります。市場の変化に影響されない曲線を作成する際の課題について説明し、そのような戦略に伴う多大なコストを強調します。改善されたヘッジ モデルの必要性に対処し、ポートフォリオ リスクの新しい一般的な公式を提示します。主成分分析は市場モードとシナリオを分析するために利用され、トレーダーが流動的でコスト効率の高いスワップを使用してヘッジできるようにします。
正規化された価格設定とリスク モデルについて詳しく調査し、不安定性や異常値に対する敏感さなどの PCA モデルの欠点を強調します。リスクをより管理しやすく流動的な数値に変換することの利点が強調されています。このビデオでは、リスク マトリックスの動作に関する追加の制約と考え方がこれらのモデルをどのように強化できるかを説明しています。 B スプライン、ペナルティ関数、L1 および L2 行列、およびチホノフ正則化の使用が、安定性を向上させ、価格設定エラーを減らす手段として説明されています。
講演者はボラティリティ曲面を調整するという課題に取り組み、未確定の問題と不安定な解決策についての洞察を提供します。ベクトルとしての表面の表現と基底関数の線形結合の使用について説明します。不良姿勢の概念が再考され、滑らかな基底関数を使用して出力を制約する重要性が強調されます。
切り捨て特異値分解 (SVD) やスプライン技術を使用した関数のフィッティングなど、さまざまな技術とアプローチがカバーされています。補間グラフの解釈と、市場の差異の調整および裁定におけるそれらの応用について説明します。スワップションとボラティリティモデリングにおけるスワップションの役割について、トレーダーにもたらす機会とともに説明します。
このビデオは、市場の異常を特定し、情報に基づいた取引の意思決定を促進する上での、正規化された価格設定とリスク モデルの関連性を強調して締めくくられています。債券の流動性と曲線を構築するためのスワップの使用を強調する一方で、安定した曲線が存在しない場合には PCA モデルに依存することも認めています。全体として、このビデオは金利商品の正規化された価格設定とリスク モデルを包括的に理解し、視聴者にこの分野の貴重な知識を提供します。
11. 時系列分析Ⅱ
11. 時系列分析Ⅱ
このビデオでは、ボラティリティ モデリングに関する前回の講義の議論に基づいて、時系列分析のさまざまな側面を詳しく説明します。教授はまず、金融時系列のボラティリティを測定するための柔軟なアプローチを提供する GARCH モデルを紹介します。 GARCH モデルと組み合わせた最尤推定の利用と、時系列データのモデリングの代替としての t 分布の使用について検討します。正規分布による t 分布の近似についても説明します。多変量時系列に移り、講義では相互共分散と Wold 分解定理について説明します。講演者は、ベクトル自己回帰プロセスが高次の時系列モデルを 1 次モデルに単純化する方法を説明します。さらに、定常 VAR プロセスの平均の計算と回帰方程式系としてのそれらの表現について説明します。
次に、講義では時系列分析のための多変量回帰モデルをさらに深く掘り下げ、コンポーネント系列ごとに個別の単変量回帰モデルを介してその仕様を強調します。ベクトル化演算子の概念が導入され、多変量回帰モデルを線形回帰形式に変換する際の有用性が示されています。最尤推定やモデル選択基準などの推定プロセスについても説明します。この講義は、成長、インフレ、失業、金利政策の影響に関連する時系列データの分析におけるベクトル自己回帰モデルの応用を紹介して終了します。インパルス応答関数は、時系列の 1 つのコンポーネントにおけるイノベーションが他の変数に及ぼす影響を理解するために使用されます。
さらに、前回の講義からのボラティリティ モデリングの継続についても取り上げます。金融時系列の時間変動ボラティリティを考慮した ARCH モデルが定義されています。 GARCH モデルは、パラメータを追加して ARCH モデルを拡張したもので、ボラティリティのモデリングにおいてより高い柔軟性を提供するという ARCH モデルと比較した利点が強調されています。講師は、GARCH モデルがリターン系列のイノベーションに対してガウス分布を仮定していることを強調しました。
さらに、最尤推定を使用した GARCH モデルの実装についても検討します。二乗残差の ARMA モデルは、条件付き分散を測定するためのイノベーションの多項式ラグとして表現できます。長期分散の平方根は、演算子の根が単位円の外側にあることを確認することで決定されます。最尤推定では、時系列の連続した条件付き期待値の積として表される結合密度関数を使用して、データと未知のパラメーターに基づいて尤度関数を確立することが含まれます。これらの条件付き密度は正規分布に従います。
主に基礎となるパラメーターの制約に起因する、GARCH モデルの推定に関連する課題について説明します。凸関数を最適化し、その最小値を見つけるには、パラメータを制限のない範囲に変換する必要があります。モデルをフィッティングした後、正規性を評価し、不規則性を分析するために、さまざまなテストを使用して残差が評価されます。 Rugarch と呼ばれる R パッケージは、ユーロドル為替レートの GARCH モデルを適合させるために使用され、為替レートの収益に対する平均プロセスを適合させた後、通常の GARCH 項を採用します。自己回帰プロセスの次数は赤池情報量基準を使用して決定され、モデルを評価するために自己回帰残差の正規分位数-分位数プロットが生成されます。
講師は、時系列データのモデリングに、ガウス分布に比べて裾の重い分布を提供する t 分布の使用についても強調します。 t 分布を使用した GARCH モデルは、ボラティリティを効果的に推定し、バリュー・アット・リスクの制限を計算できます。 t 分布は正規分布の適切な近似として機能するため、講師は時系列モデリングを強化するためにさまざまな分布を探索することを奨励します。さらに、正規分布による t 分布の近似についても説明します。 t 分布は、自由度が 25 ～ 40 である場合、正規分布の合理的な近似であると考えることができます。講師は、標準正規分布と自由度 30 の標準 t 分布の確率密度関数を比較するグラフを提示し、2 つの分布は似ているが裾が異なることを示します。
講義では、教授はベクトル自己回帰 (VAR) モデルを使用した時系列データの分析について説明を続けます。変数間の関係と、関心のある変数に対するイノベーションの影響を理解することに重点が置かれています。 VAR モデル内の変数間の関係を分析するには、多変量自己相関関数 (ACF) と偏自己相関関数 (PACF) が使用されます。これらの関数は、変数間のクロスラグを捕捉し、変数間の動的な相互作用についての洞察を提供します。 ACF と PACF を調べることで、重大な遅れと変数に対するその影響を特定できます。さらに、インパルス応答関数 (IRF) を使用して、時間の経過に伴うイノベーションの変数への影響を理解します。イノベーションとは、変数の 1 つにおける衝撃または予期せぬ変化を指します。 IRF は、多変量時系列の 1 つのコンポーネントにおけるイノベーションに変数がどのように反応するかを示します。この分析は、システム全体にわたる衝撃の伝播と大きさを理解するのに役立ちます。
たとえば、失業率に革新が生じた場合、IRF はこのショックがフェデラル ファンド レートや消費者物価指数 (CPI) などの他の変数にどのような影響を与えるかを示すことができます。応答の大きさと持続時間を観察することで、システム内の相互依存性と波及効果についての洞察が得られます。 IRF に加えて、予測誤差分散分解 (FEVD) などの他の統計的尺度も利用できます。 FEVD は、各変数の予測誤差分散を、それ自体のショックと他の変数のショックからの寄与に分解します。この分析により、各変数の変動を引き起こすさまざまなショックの相対的な重要性を定量化することができます。 VAR モデルを採用し、ACF、PACF、IRF、FEVD を分析することで、研究者は多変量時系列内の関係とダイナミクスを包括的に理解できます。これらの洞察は、予測、政策分析、経済変数間の複雑な相互作用の理解に役立ちます。
要約すると、この講義では時系列データを分析するための VAR モデルの適用を強調します。クロスラグを捕捉するための ACF と PACF、イノベーションの影響を調べるための IRF、およびさまざまなショックの寄与を定量化するための FEVD の使用に焦点を当てています。これらの手法により、多変量時系列内の関係とダイナミクスをより深く理解できるようになり、正確な予測と政策決定が容易になります。
12. 時系列分析Ⅲ
12. 時系列分析Ⅲ
この時系列分析に関する YouTube ビデオでは、教授がさまざまなモデルとそのさまざまなシナリオへの応用について取り上げています。このビデオでは、ベクトル自己回帰 (VAR) モデル、共積分、線形状態空間モデルなどのトピックを詳しく説明します。これらのモデルは、自己相関係数や偏自己相関係数を調べることによって、失業率、インフレ、経済成長などの変数を予測するために非常に重要です。
このビデオは、時系列モデルの推定と予測に使用される線形状態空間モデリングとカルマン フィルターを紹介することから始まります。線形状態空間モデリングには、モデル推定プロセスを容易にするために観測方程式と状態方程式を設定することが含まれます。強力なツールであるカルマン フィルターは、尤度関数を計算し、推定と予測に不可欠な用語を提供します。
次に、講師は自己回帰移動平均 (ARMA) プロセスの状態空間表現を導出する方法を説明します。このアプローチにより、時系列内の変数間の関係を柔軟に表現できます。このビデオは、ARMA プロセスの特定の状態空間表現を定義した 1993 年の Harvey の研究の重要性を強調しています。
次に、ビデオでは、成長、インフレ、失業を予測するためのマクロ経済変数への VAR モデルの適用について説明します。自己相関係数と偏自己相関係数を分析することで、研究者は変数間の関係を判断し、パターンと相関を特定できます。このビデオでは回帰モデルの例が示されており、遅行失業率、フェデラル ファンド金利、CPI の関数としてフェデラル ファンド金利をどのようにモデル化できるかを示しています。この例は、失業率の上昇が翌月のフェデラル・ファンド金利の低下につながる傾向があることを明らかにしています。
次に共積分の概念が導入され、非定常時系列とその線形結合に対処します。共積分には、対象の変数と組み合わせたときに定常プロセスを生成するベクトル ベータを見つけることが含まれます。このビデオでは、金利の期間構造、購買力平価、現物と先物の関係などの例について説明しています。エネルギー先物、特に原油、ガソリン、灯油契約を使用した図は、共統合の概念を示しています。
このビデオでは、VAR モデルの推定と共積分ベクトル自己回帰プロセスの分析についてさらに詳しく説明しています。 Sims、Stock、および Watson の研究が参照されており、これらのモデルに最小二乗推定量をどのように適用できるかを示しています。共積分関係の最尤推定とランク テストについても説明します。拡張ディッキー・フラー検定を使用した非定常性の検定を含む、亀裂の広がりデータに関するケーススタディが示されています。次に、ビデオは原油先物データと非定常性および統合注文の決定に焦点を当てています。 Johansen 手順は、共積分プロセスのランクをテストするために使用されます。定常関係に対応する固有ベクトルは、原油先物、ガソリン (RBOB)、灯油の間の関係についての洞察を提供します。
次に、経済学や金融で使用されるさまざまな時系列モデルを表現する方法として、線形状態空間モデルを紹介します。状態方程式と観測方程式について説明し、このモデリング フレームワークの柔軟性を示します。このビデオでは、線形状態空間モデルとして時間変化ベータを使用した資本資産価格設定モデルの表現を示しています。回帰パラメータに時間依存性を組み込むことにより、モデルは動的な変化を捉えます。さらに、講師は回帰パラメータが独立したランダム ウォークに従うと仮定して、時間の経過とともに変化する回帰パラメータの概念について説明します。新しいデータが追加されると回帰を再帰的に更新する結合状態空間方程式とその実装について説明します。次数 P の自己回帰モデルと次数 Q の移動平均モデルは、線形状態空間モデルとして表現されます。
次に、講義では状態方程式と観測方程式を詳しく掘り下げ、基礎となる状態間を遷移する際のそれらの役割を強調します。 ARMA プロセスの状態空間表現の導出について検討し、状態とその基礎となる変換行列を定義する際の柔軟性を強調します。
この講義では、時系列解析への線形状態空間モデルの応用の概要を説明します。講演者は、これらのモデルを使用して、観察されたデータと基礎となる状態の両方を組み込むことで、対象の変数を推定および予測できると説明します。再帰的アルゴリズムであるカルマン フィルターを利用することで、モデルは観測データに基づいて状態の条件付き分布を計算したり、将来の状態や観測を予測したりできます。
この講義では、線形状態空間モデルの主要なコンポーネントを理解することの重要性を強調します。状態方程式は、時間の経過に伴う基礎的な状態の遷移ダイナミクスを表し、一方、観測方程式は、観察されたデータを基礎的な状態に関連付けます。これらの方程式は、初期状態分布とともに、モデルの構造を定義します。
講師は線形状態空間モデルの推定プロセスについて説明します。最尤推定は、観察されたデータに基づいてモデルの未知のパラメーターを推定するために一般的に使用されます。カルマン フィルターは、モデルとデータ間の適合度を測定する尤度関数を計算することにより、このプロセスで重要な役割を果たします。
さらに、この講義では、線形状態空間モデルがさまざまな経済および金融現象をモデル化するための柔軟なフレームワークを提供することを強調しています。これらを使用して、自己回帰モデル、移動平均モデル、さらには時変ベータを使用した資本資産価格設定モデルなどのより複雑なモデルを表現できます。この多用途性により、線形状態空間モデルは経済学や金融の研究者や実務者にとって貴重なツールになります。線形状態空間モデルの実際の応用をさらに説明するために、講義では原油先物契約のケーススタディを紹介します。講演者は、原油、ガソリン、灯油などのさまざまな先物契約の価格間の関係を分析することで、線形状態空間モデルを利用してパターンを特定し、価格を予測し、エネルギー市場のリスクを評価する方法を示します。
要約すると、このビデオでは、線形状態空間モデルとその時系列解析におけるアプリケーションの包括的な概要を提供します。カルマン フィルターを活用することで、これらのモデルを使用すると、研究者は対象の変数を推定および予測し、基礎となる状態のダイナミクスを理解し、変数間の複雑な関係を捉えることができます。この講義では、さまざまな経済および金融の状況における線形状態空間モデルの柔軟性と有用性を強調し、線形状態空間モデルが実証分析と意思決定のための貴重なツールとなることを強調します。
13. コモディティモデル
13. コモディティモデル
このビデオでは、講演者が商品モデルの複雑な世界を掘り下げ、この分野の定量アナリストが直面する課題を強調しています。これらは、戦略的な原油購入と貯蔵を通じて達成された 2009 年の Trafigura の記録的な利益など、洞察力に富んだ例を提供しています。講演者は、ストレージの入札に関するさまざまな戦略、最適化の問題、商品モデルの安定性と堅牢性の重要性について説明します。さらに、電力価格に必要な独自の考慮事項に焦点を当て、商品価格のモデリングの複雑さを調査します。講演者は、債券市場、外国為替市場、株式市場で使用されているアプローチとは区別し、商品環境に合わせた代替方法論を提案しています。
このビデオは、商品分野の定量アナリストが取り組む特定の問題に光を当てることから始まります。 2009 年の原油価格の劇的な下落から巨額の利益を得た企業、Trafigura を取り上げたわかりやすい例が紹介されます。講演者は、コンタンゴとバックワーデーションの概念を強調しながら、商品市場で先物契約がどのように機能するかを説明します。コンタンゴとは、将来のスポット価格が現在のスポット価格を超えるシナリオを指し、トレーダーは価格下落期間中でも利益を得ることができます。
次に講演者は、原油価格が 1 バレルあたり 35 ドルから 60 ドルに急騰した 2009 年 2 月から 2010 年にかけての Trafigura の収益戦略を詳しく掘り下げます。 35 ドルで借り入れ、原油を購入して保管し、その後高価格の 60 ドルで販売することで、トラフィグラは 1 バレルあたり 25 ドルという驚異的な利益を達成しました。この戦略は、数百万バレルの貯蔵を伴う大規模な規模で採用され、大きな利益をもたらしました。講演者は、コストを回収し、追加の利益を効果的に生み出すために、ストレージオークションで慎重な戦略を立てる必要性を強調しました。
このビデオでは、コモディティ モデルのストレージに入札するための 2 つの異なる戦略について説明します。最初の戦略では、トレーダーが 8 月の先物契約に入札し、借入を必要とせず 12 月に売却します。 2 番目の戦略はクオンツが採用しており、8 月限と 12 月限の間でスプレッド オプションを売却することを伴います。このオプションの価値は 2 つの契約間の価格差によって決定され、プラスの差はオプション所有者に利益をもたらし、マイナスの差は利益を生み出しません。 2 番目の戦略はより複雑ですが、会社に付加価値をもたらします。
コモディティ モデルを使用して 8 月 1 日に製品を販売する利点については、次のセクションで説明します。その特定の日にオプションを売却することにより、売り手は、通常は現在の市場価格よりも高い、公式で決定されたオプションの価値を受け取ります。これにより、売り手は入札時に有利な立場に立つことができ、任意の利益率を得ることができます。講演者はまた、オプション リスクの計算と、そのリスクを軽減するために実物資産を活用する方法についても説明します。
次にビデオでは、コモディティモデル内のスプレッドオプションの複雑さを掘り下げ、技術的、契約的、法的、環境的な制約を考慮しながら最も価値のあるオプションのポートフォリオを決定する必要性を強調しています。講演者は、注入率と引き出し率の制限を考慮して、オプション満了時の価値の抽出を保証する方法でオプションのポートフォリオを販売することの重要性を強調しました。
コモディティモデルとストレージに関係する最適化問題については、別のセクションで説明します。この問題は、ストレージ容量が使い果たされたときに商品オプションから価値を抽出すること、およびストレージが空になったときにストレージから販売することを中心に展開しています。講演者は、問題に関係する変数と制約について説明し、一連のオプションを通じてポートフォリオを最適化することがどのように利益の最大化につながるかを示します。この問題は複雑であるため、ブール変数を使用し、利益を最大化することに重点を置く必要があります。
このビデオでは、商品モデルの課題、特に注入率と回収率、生産能力の制約、量や価格などの未知の変数に関連する課題をさらに掘り下げています。これらの要因は問題の非線形な性質に寄与しており、多数の変数や制約を扱う場合、解決が非常に困難になります。近似、モンテカルロ シミュレーション、確率的制御などのいくつかのアプローチを使用して、商品モデルの複雑さに対処できます。ただし、結果の精度は、使用するパラメーターの精度に大きく依存します。最も綿密な方法論であっても、パラメーターが間違っている場合は、誤った結果が生じる可能性があります。
次に講演者は、価格変動の完全な豊かさを捉えることよりも堅牢性と安定性を優先する、商品モデリングに選択した方法論について議論を続けます。モデルを過度にパラメータ化すると不安定性が生じ、わずかな変更でもその値に大きな影響を与える可能性があるため、モデルを過度にパラメータ化しないように警告しています。異なるアプローチを採用することで、安定性と堅牢性を優先し、外部の規制当局がモデルを検証できるようにしています。さらに、モデルの各コンポーネントは市場で取引でき、これは現在の市場環境において非常に重要です。動的ヘッジの概念も説明され、単純なプレーヤー関数を使用して、アクティブなオプション市場なしでオプションの価値を複製し、支払いを実行するためにどのように使用できるかを示します。
講演者は、動的ヘッジを通じてオプションの支払いを再現するという概念をさらに深く掘り下げています。この戦略により、トレーダーは買い手がいない場合でもポートフォリオを販売できるようになります。彼らは、価値を引き出す戦略を策定し、その計画を成功させるために保管施設運営者と協力することの重要性を強調しています。講演者は、このアプローチをタンカーや発電所などの物理的資産のモデルに拡張して、電気や燃料の価格に基づいて情報に基づいた意思決定を行うことで利益を最大化する方法を説明します。各資産の性質は異なる場合がありますが、概念的なアプローチは同じであるため、各資産に関連する固有の複雑さと制約を包括的に理解する必要があります。
続くセクションでは、ビデオでは、発電所の効率に基づいて 1 メガワット時の電力を生成するコストを計算するプロセスを説明します。 mm BTU で測定される熱量として定量化される効率は、1 メガワット時の電力を生成するために必要な天然ガスの量を示します。天然ガス発電所に対応する定数は通常 7 ～ 20 の間にあり、値が低いほど効率が高いことを示します。空調や人件費など、1 メガワット時の発電に関連する追加コストも考慮されます。このビデオでは、発電所の価値の決定と、発電所取得に対する適切な支払いを確認するための価格と燃料費の分布の構築についてさらに詳しく説明しています。
商品価格、特に電力価格のモデル化の課題については、次のセクションで説明します。データにはファット テールとスパイクが存在するため、ブラウン運動を使用して電力価格の分布を正確にモデル化することはできません。さらに、電力価格の変動性は株式市場に比べて大幅に高くなります。講師は、これらの課題はすべての地域に共通していることを強調し、電力価格の動きを正確に表すためにスパイクの平均回帰を捉える必要性を強調しました。高い尖度、レジーム切り替え、非定常性などの他の現象もモデルに組み込む必要があります。
このビデオでは、平均回帰、ジャンプ、レジームスイッチングなどのさまざまなアプローチを強調しながら、商品価格のモデリングに関連する課題を検討しています。ただし、これらのモデルは複雑で管理が難しい傾向があります。その代わりに、講演者は、債券市場、外国為替市場、株式市場で採用されている方法論とは異なる、コモディティ分野に特化した独自の方法論を提案しています。このアプローチは、商品市場の特徴や複雑さによりよく適合します。
講演者は、商品価格は主に需要と供給のダイナミクスによって左右されると強調する。しかし、価格のみに基づく従来の方法論では、商品価格の動きの複雑さを把握するには不十分であることが判明しています。この問題に対処するために、講演者は、モデルが入手可能な市場データと一致していることを確認しながら、基本的なモデリングを組み込むことを提案しています。彼らは、さまざまな効率を持つ発電所からの入札のオークションを通じて電力価格がどのように形成されるか、そして最終価格が需要に基づいてどのように決定されるかについて説明します。需要と価格の関係を表す結果の散布図は、ランダムな燃料価格要因の影響により多様な分布を示しています。
さらに講演者は、発電コストは燃料の価格に依存するため、電力の価格は需要と燃料の価格の両方によって決まると説明します。さらに、市場は有限であり、いくつかの発電所でダウンタイムが発生すると電力価格に影響を与える可能性があるため、停電の発生をモデル化する必要があります。これらの要素を組み込むために、講演者は、市場の各参加者の発電コストを表す発電スタックを構築することを提案しています。燃料価格と停止を考慮することで、市場価格とオプション価格に正確に一致するように発電スタックを調整できます。
ビデオは、電力価格の推移を理解するためにさまざまな商品をモデル化する方法について説明します。講演者は、燃料価格、停電、需要の挙動をモデル化するプロセスについて説明します。その後、需要、停止、変動費、燃料価格などの要因によって決定される曲線を表す発電スタックが構築されます。パラメーターは、電力価格の順方向曲線やその他の関連する市場パラメーターと一致するように慎重に選択されます。このアプローチにより、電力市場の価格高騰を比較的容易に捉えることができます。講演者は、天然ガス、灯油、重油は貯蔵可能な商品であるため、その挙動がより規則的でモデル化が容易になると述べています。
今後、講演者は、温度、供給、需要などの要素を考慮して、市場の電力価格を予測するために商品モデルをどのように活用できるかを強調します。モンテカルロシミュレーションを活用し、燃料価格の分布を包括的に理解することで、温度変動による価格高騰を正確にシミュレーションすることができます。このモデルは、市場の相関構造を入力として必要とせずに正確に捕捉します。ただし、あらゆる発電所や市場の変化を追跡する必要があるため、このようなモデルを維持するには大量の情報と組織が必要であることが強調されます。
ビデオの最後のセクションでは、講演者はさまざまな市場向けの商品モデルの構築に伴う課題を認めています。このプロセスは何年にもわたる開発を必要とする大規模な作業であり、費用がかかる取り組みとなります。複雑な内容にもかかわらず、講演者は取り上げられたトピックがディスカッションを終えるのに良い点であると信じており、視聴者に残りの質問があれば質問するよう促しています。
全体として、このビデオは、商品モデルを構築する際に定量分析者が直面する課題について貴重な洞察を提供します。これは、モデル化アプローチにおける安定性と堅牢性を優先することの重要性、商品価格のモデル化の複雑さ、電力価格の形成における供給、需要、燃料価格などの基本的要因の役割を強調しています。講演者はまた、業界関係者との協力の重要性と、さまざまな市場向けの商品モデルを維持および更新するために必要な継続的な努力についても強調しました。
14. ポートフォリオ理論
14. ポートフォリオ理論
ポートフォリオ理論は、投資ポートフォリオのパフォーマンスと最適な構築に焦点を当てた金融の基本的な概念です。これには、複数の資産の期待リターン、ボラティリティ、相関関係を分析して、最も効率的なポートフォリオの配分を決定することが含まれます。効率的なフロンティアは、さまざまなレベルのボラティリティを持つ実行可能なポートフォリオの範囲を表します。無リスク資産を導入することにより、実現可能な集合は、無リスク資産と他の資産の組み合わせを含むように拡張され、直線を形成します。
パラメータの正確な推定は、ポートフォリオを評価し、ポートフォリオを最適化するための二次計画問題を解くために重要です。数式は、ロングのみのポートフォリオ、保有制約、ベンチマークエクスポージャー制約などのさまざまな制約に基づいて最適なウェイトを計算するために使用されます。効用関数は、富の選好を定義し、リスク回避を考慮しながら期待される効用を最大化するために使用されます。
このビデオでは、上場投資信託 (ETF) と市場中立戦略を使用したポートフォリオ理論の応用について詳しく説明します。市場要因に対するエクスポージャーの制限や最小取引規模など、ポートフォリオのリスクと変動を制御するために、さまざまな制約を実装できます。講演者は、ポートフォリオ分析ツールと最適なポートフォリオに対する資本制約の影響を考慮しながら、米国市場のさまざまな産業セクターに投資される9つのETFの最適な配分を検討します。ヘッジファンドが採用する市場中立戦略についても議論し、多様化と相関関係の低減の可能性を強調します。
ポートフォリオを評価する際には、適切なリスク尺度を選択することが重要です。一般的には平均分散分析が使用されますが、平均絶対偏差、半分散、バリューアットリスク、条件付きバリューアットリスクなどの代替リスク尺度を使用すると、追加の洞察が得られます。ファクター モデルの使用は分散共分散行列の推定に役立ち、ポートフォリオ最適化の精度が向上します。
ビデオ全体を通して、講演者は正確なパラメータ推定の重要性、ポートフォリオ構築に対する制約の影響、ポートフォリオ評価におけるリスク尺度の重要性を強調しています。ポートフォリオ理論は、より高いリターン、より低いボラティリティ、リスク回避の優先性を考慮して、不確実性の下で合理的な投資決定を行うためのフレームワークを提供します。これらの概念を適用することで、投資家はリスク許容度や投資目的に合わせたバランスの取れたポートフォリオを構築できます。
ビデオの後続のセクションでは、講演者がポートフォリオ理論の複雑さとその実践的な意味についてさらに詳しく説明します。ここで取り上げる重要なポイントの要約は次のとおりです。
ポートフォリオ最適化の歴史的理論: 講演者は、マーコウィッツの平均分散最適化に焦点を当てて、ポートフォリオ最適化の歴史的基礎について議論することから始めます。このアプローチでは、平均リターンとボラティリティに基づいてポートフォリオを分析します。これは、リスクとリターンのトレードオフを理解するためのフレームワークを提供し、現代のポートフォリオ理論の基礎として機能します。
効用理論と不確実性の下での意思決定: 効用理論、特にフォン・ノイマン・モルゲンシュテルン効用理論は、不確実性の下で合理的な意思決定を導くために導入されています。効用関数は、より高いリターンやより低いボラティリティなどの要素を考慮して、投資家の富に対する選好を表すために使用されます。講演者は、線形関数、二次関数、指数関数、べき乗関数、対数関数など、ポートフォリオ理論で一般的に使用されるさまざまな効用関数について説明します。
制約と代替リスク対策: このビデオでは、ポートフォリオの最適化に制約を含めることについて説明します。これらの制約は、ロングのみのポートフォリオ、取引高の制約、特定の市場要因へのエクスポージャー制限など、特定の投資基準を確保するために実装できます。さらに、講演者は、歪度、尖度、一貫したリスク尺度を考慮した尺度など、従来の平均分散分析を超えた代替リスク尺度についても説明します。
ポートフォリオ最適化問題の解決: 講演者は、ポートフォリオ最適化問題を解決するための数学的洞察を提供します。これを二次計画問題として定式化することにより、ポートフォリオの最適な重みを決定できます。これらの重みを解くために、ラグランジュ条件と 1 次条件が利用され、共分散行列を表す 2 次導関数が使用されます。このソリューションでは、指定された制約に従って、ボラティリティを最小限に抑えながら収益を最大化することができます。
効率的なフロンティアと資本市場ライン: 効率的なフロンティアの概念が導入され、特定のレベルのリスクに対して最高のリターンを達成する一連の最適なポートフォリオを表します。講演者は、さまざまなポートフォリオのリスクとリターンのプロファイルに基づいて、効率的なフロンティアがどのように形成されるかを説明します。さらに、資本市場ラインについても説明し、リスクのない資産を市場ポートフォリオと組み合わせた場合のリスクとリターンの関係を示します。これにより、投資家は任意のリスクレベルに対する期待リターンを決定できます。
パラメータとリスク尺度の推定: ポートフォリオ分析に大きな影響を与えるため、正確なパラメータ推定の重要性が強調されています。講演者は、因子モデルを使用して分散共分散行列を推定し、最適化のためのより正確な入力を提供することを強調します。さらに、平均絶対偏差、準分散、バリュー・アット・リスク、条件付きバリュー・アット・リスクなどのさまざまなリスク尺度が、投資対象の資産の特定の特性に応じて適切かどうかについて説明されています。
ビデオ全体を通じて、講演者は上場投資信託 (ETF) と市場中立戦略を使用したポートフォリオ理論の実践的な応用を強調しています。ポートフォリオ内のリスクと変動を管理するための制約の使用、最適なポートフォリオに対する資本制約の影響、および分散のための市場中立戦略の利点について詳しく説明します。
全体として、ビデオはポートフォリオ理論の包括的な概要を提供し、歴史的基礎から実際の実装までのさまざまな側面をカバーしています。正確な見積もり、制約の組み込み、リスク尺度の選択、さまざまな投資戦略の潜在的な利点の重要性を強調しています。これらの概念を理解することで、投資家は情報に基づいた意思決定を行い、リスクの好みや投資目標に沿ったポートフォリオを構築できます。
特定の値。リスクのない資産に投資することで、投資家はより低い分散でより高いリターンを達成し、投資機会を拡大することができます。講師は、リスク資産に比例して投資するが、目標リターンに応じてウェイト配分が異なる、最適なポートフォリオを決定するための公式を提供します。これらの式は、ポートフォリオ分散の閉形式の式も提供します。最適なポートフォリオを使用した場合のトレードオフにより、目標リターンが増加するにつれて増加します。全額投資された最適なポートフォリオを市場ポートフォリオと呼びます。
15. 因子モデリング
15. 因子モデリング
このセクションでは、ビデオでは、基礎となるパラメーターの推定や因子モデルの解釈など、因子モデリングの実践的な側面を詳しく説明します。講演者は、特定のデータ期間にモデルを当てはめることの重要性を強調し、要因間のダイナミクスと関係をモデル化することが重要であることを認めています。
このビデオでは、最尤推定法を使用して、因子負荷量やアルファを含む因子モデルのパラメーターを推定できることが説明されています。推定プロセスには、推定された因子負荷量とアルファ値を含む回帰式を使用して、因子の実現を推定することが含まれます。 EM (期待値最大化) アルゴリズムは、既知の隠れ変数を仮定して隠れ変数を反復的に推定するため、複雑な尤度関数の強力な推定手法として注目されています。
コモディティ市場における要因モデリングの適用について説明し、収益と共分散を引き起こす根本的な要因の特定を強調します。これらの推定要因は他のモデルへの入力として機能し、市場の過去と変動をより深く理解できるようになります。講演者は、変換行列 H を使用して推定係数のさまざまな変換を検討する柔軟性についても言及しています。
尤度比テストは、因子モデルの次元をテストする手段として導入されています。推定された因子モデルの尤度を縮小モデルの尤度と比較することにより、追加の因子の重要性と関連性を評価できます。このテスト手法は、モデルに含める適切な要素数を決定するのに役立ちます。
このセクションは、要因のダイナミクスとその構造的関係をモデル化することの重要性を強調して締めくくられています。因子モデルは、因子間の相互作用と、それらの因子が資産収益と共分散に及ぼす影響を理解するためのフレームワークを提供します。ダイナミクスと構造的関係を考慮することで、投資家とアナリストは金融市場の根底にある推進力について貴重な洞察を得ることができます。
全体として、このセクションではファクター モデリングのトピックを拡張し、パラメータの推定、ファクター モデルの解釈、商品市場におけるファクター モデリングの適用について検討します。このセクションでは、金融市場について有意義な洞察を得るために、適切なモデリング手法と要因間のダイナミクスと関係を理解する必要性を強調します。
元の変数 x のアフィン変換。主成分変数は平均 0 と固有値の対角行列で与えられる共分散行列を持ち、gamma_1 で与えられる因子負荷と gamma_2 p_2 で与えられる残差項を持つ線形因子モデルを表します。ただし、gamma_2 p_2 ベクトルは対角共分散行列を持たない場合があります。