定量的取引 (Quantitative trading) - ページ 11

 

6. 回帰分析



6. 回帰分析

この包括的なビデオでは、回帰分析のトピックを掘り下げ、統計モデリングにおけるその重要性を探ります。線形回帰は、その目標、線形モデルの設定、回帰モデルのフィッティングのプロセスについて説明する際に中心的な役割を果たします。強固な基礎を確保するために、有名なガウス-マルコフの仮定を含む、残差の分布の基礎となる仮定を説明することから始めます。さらに、回帰分析で共分散行列を推定する方法を提供する一般化されたガウス-マルコフ定理を紹介します。

私たちは統計モデリングに主観的な情報を組み込み、不完全または欠落したデータに対応することの重要性を強調します。統計モデリングは、分析対象の特定のプロセスに合わせて調整する必要があり、単純な線形回帰をすべての問題に盲目的に適用しないように注意します。ベータの通常の最小二乗推定について、回帰パラメータを推定するための正規化方程式、ハット行列、ガウス マルコフ定理とともに説明します。また、コンポーネント間の共分散がゼロでない回帰モデルもカバーし、より柔軟で現実的なアプローチを可能にします。

理解をさらに広げるために、多変量正規分布の概念と、正規分布した残差を仮定して最小二乗推定量の分布を解く際のその役割を探ります。モーメント生成関数、QR 分解、最尤推定などのトピックが取り上げられます。 QR 分解によって最小二乗推定がどのように簡素化されるのかを説明し、正規線形回帰モデルに関する基本的な結果を示します。通常の線形回帰モデルにおける最小二乗原理と最尤原理の間の一貫性を強調しながら、尤度関数と最尤推定値を定義します。

ビデオ全体を通して、回帰分析に含まれる反復ステップを強調します。これらのステップには、応答変数と説明変数の特定、仮定の指定、推定基準の定義、選択した推定量のデータへの適用、および仮定の検証が含まれます。また、前提条件の確認、影響診断の実施、外れ値の検出の重要性についても説明します。

要約すると、このビデオは回帰分析の包括的な概要を提供し、線形回帰、ガウス マルコフの仮定、一般化されたガウス マルコフの定理、モデリングにおける主観情報、通常の最小二乗推定、ハット行列、多変量正規分布、モーメント生成などのトピックをカバーしています。関数、QR 分解、最尤推定。これらの概念と手法を理解することで、回帰分析に取り組み、統計モデリングの取り組みで効果的に利用するための準備が整います。

  • 00:00:00このセクションでは、教授が今日取り上げる回帰分析のトピックと、統計モデリングにおける回帰分析の重要性について紹介します。この方法論、特に線形回帰は強力であり、金融や応用統計を行うその他の分野で広く使用されています。教授は、独立変数と従属変数の間の関係の抽出/活用、予測、因果推論、近似、変数間の関数関係の解明/関数関係の検証など、回帰分析のさまざまな目標について説明します。さらに、線形モデルを数学的な観点から設定し、通常の最小二乗法、ガウス・マルコフの定理、正規線形回帰モデルを用いた形式モデルを取り上げ、その後、より広範なクラスへの拡張を行います。

  • 00:05:00このセクションでは、線形回帰分析の概念について説明します。線形関数は、独立変数が与えられた応答変数の条件付き分布をモデル化します。回帰パラメータは関係を定義するために使用され、残差はデータの不確実性または誤差を表します。さらに、多項式近似とフーリエ級数を適用して、特に周期的な動作について完全な説明を提供できます。回帰モデルをフィッティングするための重要な手順には、応答変数のスケールに基づいてモデルを提案し、主要な独立変数を特定することが含まれます。これらの独立変数には、応答変数のさまざまな関数形式やラグ値を含めることができるため、設定が比較的一般的になることに注意してください。

  • 00:10:00このセクションでは、講演者が回帰分析に含まれる手順について説明します。まず、説明変数の応答を特定し、残差の分布の基礎となる仮定を指定する必要があります。次に、回帰パラメータのさまざまな推定量を判断する方法の基準を定義する必要があります。いくつかのオプションが利用可能です。第三に、最適な推定量を特徴付けて、特定のデータに適用する必要があります。第 4 に、前提を確認する必要があります。これにより、必要に応じてモデルと前提が変更される可能性があります。最後に、講演者は、モデル化されるプロセスに合わせてモデルを調整することと、単純な線形回帰をすべての問題に適用することではないことの重要性を強調しました。このセクションは、線形回帰モデルの残差分布に対して行うことができる仮定について説明して終了します。正規分布は一般的で馴染みのある出発点です。

  • 00:15:00このセクションでは、講演者は、残差の平均と分散に焦点を当てた、回帰分析で使用されるガウス・マルコフの仮定について説明します。仮定には、ゼロ平均、一定分散、無相関残差が含まれます。講演者は、行列値またはベクトル値の確率変数を含む一般化されたガウス-マルコフ仮定についても説明します。講演者は、共分散行列が n ベクトルの分散を特徴付ける方法を示し、mu 値と y 値を使用した例を示します。

  • 00:20:00このセクションでは、回帰分析で共分散行列を推定する方法として、一般化されたガウス-マルコフ定理を紹介します。この定理では、独立変数、従属変数、および残差間の共分散がゼロでない一般共分散行列が考慮され、それらが相関できると仮定されます。回帰モデルで残差が相関する理由の非線形例と、適用性を拡張するための回帰モデルのフィッティングにおけるガウス分布を超えるさまざまな分布タイプの使用について説明します。次に、回帰パラメータの推定基準と、最小二乗法、最尤法、ロバスト法、ベイズ法、不完全または欠損データの対応など、何が適切な推定値であるかを判断するために使用されるさまざまな方法について説明します。

  • 00:25:00このセクションでは、統計モデリングに主観的な情報を組み込むことの重要性と、適切なモデリングにおけるベイズ手法の有用性について講演者が議論します。同氏はまた、統計モデルを使用して不完全なデータや欠落したデータに対応する必要性も強調しています。さらに、講演者は、残差を分析してガウス マルコフの仮定が適用されるかどうかを判断することによって、回帰モデルの仮定をチェックする方法について説明します。また、影響力が非常に高いケースや異常なケースを特定する際の影響診断と外れ値検出の重要性についても言及しています。最後に、彼は通常の最小二乗の概念と、応答変数の実際の値からの二乗偏差の合計を計算するための最小二乗基準を導入しました。

  • 00:30:00このセクションでは、回帰分析とベータの通常の最小二乗推定を解く方法について学びます。独立変数の n 値である y ベクトルと従属変数の値の行列である X を取得する行列を使用して、行列の x 倍のベータに等しい近似値 y ハットを定義します。 n ベクトルの外積から X 行列とベータの積を引いたものを計算すると、ベータの通常の最小二乗推定値が得られ、ベータに関する Q の二次導関数を解くことができ、最終的に X になります。転置 X、正定値または半定値行列。最後に、回帰パラメータに関する Q の導関数を、j 番目の列のスタックの 2 倍と y の積のマイナスとして定義します。

  • 00:35:00このセクションでは、回帰モデリングにおける正規方程式の概念を紹介します。一連の方程式は、通常の最小二乗推定値ベータによって満たされる必要があります。行列代数の助けを借りて方程式を解くことができ、ベータ ハットの解は X 転置 X 逆行列が存在すると仮定します。 X を X を逆転置するには、X が完全なランクを持つ必要があります。これは、他の独立変数によって説明される独立変数があるとランクが低下することを示しています。ベータハットが完全なランクを持たない場合、ベータの最小二乗推定は一意ではない可能性があることが判明しました。

  • 00:40:00回帰分析に関するこのセクションでは、応答変数の線形ベクトルを近似値に取り込む射影行列としてハット行列が導入されています。具体的には、X の列空間に投影する直交射影行列です。残差は応答値と近似値の差であり、y マイナス y ハット、または I_n マイナス H 乗 y として表すことができます。 I_n マイナス H も、x の列空間に直交する空間にデータを射影する射影行列であることがわかります。これは、列空間への射影によって n 次元ベクトル y を表現し、残差が X の各列に直交することを理解するのに役立つため、覚えておくことが重要です。

  • 00:45:00このセクションでは、ガウス・マルコフの定理が線形モデル理論の強力な結果として紹介されます。これは、ベータ線の線形結合である一般的な関心対象を考慮することによって、回帰パラメータの関数を推定するのに役立ちます。 。この定理は、最小二乗推定値がパラメーター シータの不偏推定量であることを示し、特定の条件が満たされると仮定して、これらの推定値がすべての線形不偏推定量の中で最小の分散を持つことを示す方法を提供します。不偏推定量の概念についても簡単に説明します。

  • 00:50:00このセクションでは、講演者はガウス・マルコフの定理について説明します。これは、ガウス・マルコフの仮定が適用される場合、推定量シータは、シータのすべての線形不偏推定量の中で最小の分散を有すると述べています。これは、これが基準である限り、最小二乗推定量がシータの最適な推定量であることを意味します。この定理の証明は、同じく不偏推定値である別の線形推定値を考慮し、期待値 0 を持つ必要がある 2 つの推定値間の差を評価することに基づいています。証明の数学的議論には、分散の分解と分散の追跡が含まれます。共分散項。この結果は、計量経済学クラスにおける「BLUE 推定値」または最小二乗推定値の「BLUE」特性という用語の由来です。

  • 00:55:00このセクションでは、ビデオでは、コンポーネント間の共分散がゼロでない回帰モデルと、元のガウス マルコフの仮定を満たすためにデータ Y、X を Y スターと X スターに変換して応答変数を作成する方法について説明します。分散が一定であり、相関がありません。このビデオでは、応答値の分散が非常に大きい場合、これらの一般化最小二乗値がシグマ逆関数で割り引かれることを説明しています。次にビデオでは、正規回帰モデルの分布理論を詳しく掘り下げています。残差は平均 0 で分散シグマ二乗の正規であり、応答変数は一定の分散を持つと仮定しますが、従属変数の平均値が異なるため同一に分布するわけではありません。

  • 01:00:00このセクションでは、多変量正規分布の概念を、平均ベクトルと共分散行列に関して説明します。目標は、正規分布した残差を仮定して最小二乗推定量の分布を解くことです。モーメント生成関数は、Y とベータ ハットの結合分布を導出する方法として導入されます。多変量正規分布の場合、Y のモーメント生成関数は個々のモーメント生成関数の積であり、Y の分布は平均 mu と共分散行列 sigma を持つ正規分布になります。ベータ ハットのモーメント生成関数は、多変量正規分布であるその分布を決定するために解かれます。

  • 01:05:00このセクションでは、講演者はベータ ハットのモーメント生成関数と、それが特定のオブジェクトによって与えられる真のベータと共分散行列を平均する多変量正規分布とどのように等価であるかについて説明します。各ベータ ハットの周辺分布は、平均 beta_j と分散が対角線に等しい一変量正規分布によって与えられます。これは、ガウス モーメント生成関数から証明できます。次に、講演者は X の QR 分解について説明します。これは、独立変数行列のグラム シュミット直交正規化によって実現できます。上三角行列 R を定義し、グラム シュミット プロセスを通じて Q と R を解くことにより、任意の n x p 行列を正規直交行列 Q と上三角行列 R の積として表すことができます。

  • 01:10:00このセクションでは、QR 分解と最小二乗推定の簡略化におけるその応用について説明します。グラム・シュミット プロセスを使用して X の列を直交化すると、QR 分解を計算して、最小二乗推定を解くための単純な線形代数演算を取得できます。ベータ ハットの共分散行列はシグマ二乗 X 転置 X 逆数に等しく、ハット行列は単純に Q 倍 Q 転置です。分布理論をさらに調査して、正規線形回帰モデルに関する基本的な結果を提供します。

  • 01:15:00このセクションでは、教授は、ランダム ベクトル y をランダムな法線ベクトルに変換できる、任意の行列 A (m × n) に関する重要な定理について説明します。この定理は、そのような統計を構築する際に、最小二乗推定ベータ ハットと残差ベクトル イプシロン ハットが独立した確率変数であることを証明します。ベータ ハットの分布は多変量正規分布ですが、残差の二乗和はカイ二乗確率変数の倍数です。回帰パラメータの推定値と t 統計についても説明します。最尤推定は、通常の線形回帰モデルのコンテキストでも説明されます。通常の最小二乗推定は最尤推定であることがわかります。

  • 01:20:00このセクションでは、尤度関数と最尤推定値が定義されます。尤度関数は、多変量正規確率変数の未知のパラメーターが与えられたデータの密度関数であり、最尤推定により、観測データを最も尤もらしくするこれらのパラメーターの値が決定されます。最小二乗法を使用してモデルをフィッティングすることは、最尤原理を通常の線形回帰モデルに適用することと一致することに注意してください。さらに、一般化 M 推定量は、回帰パラメータのロバストな分位推定値を見つけるために使用される推定量のクラスとして簡単に説明されています。
6. Regression Analysis
6. Regression Analysis
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Peter KempthorneT...
 

7. バリュー・アット・リスク (VAR) モデル



7. バリュー・アット・リスク (VAR) モデル

このビデオでは、金融業界で広く使用されているバリュー アット リスク (VAR) モデルの概念について詳しく説明します。これらのモデルは、確率に基づいた計算を採用して、企業または個人が直面する可能性のある潜在的な損失を測定します。このビデオでは、簡単な例を使用して、VAR モデルの背後にある基本概念を効果的に説明しています。

VAR モデルは、個人が特定の日に投資決定を通じて損失を被る可能性を評価するための貴重なツールとして機能します。投資に関連するリスクを理解するために、投資家は時系列の標準偏差を分析できます。この指標は、時間の経過とともに平均リターンが平均からどれだけ乖離したかを明らかにします。証券を平均プラスマイナス 1 標準偏差で評価することにより、投資家はその証券のリスク調整後の潜在的なリターンについての洞察を得ることができます。

このビデオでは、VAR モデルがさまざまなアプローチを使用して構築できることを強調しています。このビデオでは主にパラメトリック アプローチに焦点を当てていますが、モンテカルロ シミュレーションを使用する代替方法も認めています。後者のアプローチでは、柔軟性とカスタマイズ オプションが向上し、より正確なリスク評価が可能になります。

さらに、ビデオでは、履歴データ セットのプロパティを反映する合成データ セットの作成について説明します。この手法を採用することで、アナリストは現実的なシナリオを生成し、潜在的なリスクを正確に評価できます。このビデオでは、気温データで観察される季節パターンを記述する際の三角法の適用例も示し、リスク分析で使用されるさまざまな方法を紹介します。

このビデオでは、VAR モデルについて説明するだけでなく、銀行や投資会社が採用しているリスク管理アプローチについても詳しく説明しています。これは、企業のリスクプロファイルを理解し、過度のリスク集中を防ぐことの重要性を強調しています。

全体として、このビデオは金融業界におけるリスク評価ツールとしての VAR モデルの利用に関する貴重な洞察を提供します。これらのモデルは、投資に関連するリスクを定量化し、統計分析を採用することにより、情報に基づいた意思決定を行い、潜在的な経済的損失を軽減するのに役立ちます。

  • 00:00:00このビデオでは、Ken Abbott が銀行や投資会社が使用するリスク管理アプローチについて説明します。彼は最初にリスクについて説明し、続いてリスク管理に企業のリスク プロファイルの理解と、大きすぎるリスクの集中からの保護がどのように含まれるかについて説明します。

  • 00:05:00バリュー・アット・リスク モデルは、特定の投資に関連するリスクを見積もる方法であり、どれを所有するかについて情報に基づいた決定を下すのに役立ちます。これらのモデルは、株式、債券、デリバティブがどのように動作するかについての統計的理解に基づいており、投資家が金利、株価、商品価格の変化に対してどの程度敏感であるかを定量化するために使用できます。

  • 00:10:00このビデオでは、VAR モデルがリスクを測定し、特定の市場でポジションを維持するために投資家が保有する必要のある資金を決定するために使用されることが説明されています。このビデオでは、時間の経過に伴う市場の動きを理解するために使用される時系列分析の概要も説明します。

  • 00:15:00このビデオでは、企業が経験する可能性のある潜在的な損失を測定するために確率を使用する財務モデルであるバリュー・アット・リスク (VAR) の概念について説明します。ビデオでは、簡単な例を使用して概念を説明しています。

  • 00:20:00バリュー・アット・リスク (VAR) モデルは、個人が投資決定を通じて特定の日にお金を失う確率を評価するのに役立ちます。時系列の標準偏差は、投資家に、平均リターンが時間の経過とともにどれだけ平均から乖離したかを示します。平均プラスマイナス 1 標準偏差で証券を評価すると、その証券のリスク調整後の潜在的なリターンがわかります。

  • 00:25:00バリュー・アット・リスク (VAR) モデルを使用すると、投資の価値が 5 年間で 4.2% 以上失われる可能性があるシナリオを特定できます。この情報は、投資が利益を生む可能性があるかどうかを判断するのに役立ちます。

  • 00:30:00このビデオでは、バリュー アット リスク (VAR) モデルがどのように機能し、リスクを軽減するのにどのように役立つかを説明します。導入された概念には、変化率とログ変化、リスクを測定するための PV1 と期間の使用が含まれます。このビデオでは、金融業界における VAR モデルの使用についても説明しています。

  • 00:35:00このビデオでは、資産の変動によって企業または個人が経験する可能性のある経済的損失を計算するリスク管理ツールであるバリュー アット リスク (VAR) の概念について説明します。利回りについても議論されており、リスクフリーレートとクレジットスプレッドで構成されていると説明されています。発表者は、資産価格の変動によって企業が経験する可能性のある潜在的な財務損失を推定するために VAR をどのように使用できるかを例として示します。

  • 00:40:00このビデオでは、金融市場のリスクを測定するバリュー・アット・リスク モデルについて説明します。共分散と相関はリスクの 2 つの尺度であり、共分散行列は対称的で、分散は対角線上にあり、共分散は対角外にあります。相関関係も対称的であり、共分散を標準偏差の積で割った値を使用して計算できます。

  • 00:45:00このビデオでは、資産ポートフォリオに関連する財務的損失のリスクを測定するために使用されるバリュー アット リスク (VAR) の概念について説明します。このビデオでは、VAR が共分散行列と相関行列を使用して計算できることを説明しています。共分散行列は資産間の相関度を測定し、相関行列は資産と負債の間の相関度を測定します。次に、ビデオでは、共分散行列と相関行列を使用して VAR を計算する方法の例を示します。

  • 00:50:00バリュー・アット・リスク (VAR) モデルは、金融投資に関連するリスクを測定する方法です。モデルは、リターンと共分散からのデータを使用して、位置ベクトルと順序統計を計算します。これは、投資のリスク レベルを決定するために使用されます。

  • 00:55:00このビデオでは、バリュー アット リスク モデルに関する 7 スライド プレゼンテーションの重要なポイントを説明します。これらのモデルは、特定の条件が満たされた場合に、経済的損失の確率を計算するために使用されます。データの欠落は問題となる可能性があり、ギャップを埋めるためにさまざまな方法が利用可能です。このプレゼンテーションでは、仮定の影響がモデルの結果にどのように重大な影響を与える可能性があるかについても説明します。

  • 01:00:00ビデオでは、バリュー アット リスク (VAR) モデルについて説明します。このモデルではパラメトリックなアプローチが使用されていますが、モンテカルロ シミュレーションを使用する別の方法もあります。この方法はより柔軟で、より多くのカスタマイズが可能です。

  • 01:05:00バリュー・アット・リスク (VAR) モデルは、資産価格の変動による財務上の損失の可能性を見積もるために使用されます。これらのモデルを使用して、特定の投資またはポートフォリオに関連するリスクを定量化できます。

  • 01:10:00このビデオでは、著者がバリュー アット リスク (VAR) モデルの重要性について説明し、これらのモデルが企業が負の固有値を経験しないようにするのに役立つと説明しています。彼は続けて、観測値が 1,000 件ある場合は、「欠損データ補完」と呼ばれるプロセスを使用して欠損データを埋める必要があると述べています。最後に、John は、ランダムな法線を相関させる変換行列を作成する方法を示します。

  • 01:15:00このビデオでは、プレゼンターがモンテカルロ シミュレーションを使用して投資の結果をシミュレートするモデルを作成する方法を説明します。また、ガウス コピュラを使用してより正確なモデルを生成する方法についても説明します。

  • 01:20:00このビデオでは、履歴データ セットと同じプロパティを持つ合成データ セットを作成する方法を説明しています。また、三角法を使用して気温データの季節パターンを記述する方法も示します。
7. Value At Risk (VAR) Models
7. Value At Risk (VAR) Models
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Kenneth AbbottThi...
 

8. 時系列分析 I


8. 時系列分析 I

このビデオでは、教授が統計モデリングの主要なアプローチである最尤推定法を再検討することから始めます。尤度関数の概念と、それと通常の線形回帰モデルとの関係について説明します。最尤推定値は、尤度関数を最大化する値として定義され、これらのパラメーター値が与えられた場合に観測データがどの程度の確率で得られるかを示します。

教授は、通常の線形回帰モデルの推定問題の解決を詳しく調べます。彼らは、誤差分散の最尤推定値が n に対するベータ ハットの Q であることを強調していますが、この推定値には偏りがあり、n から X 行列のランクを引いた値で割ることによる修正が必要であることに注意してください。モデルにパラメータが追加されると、適合値はより正確になりますが、過剰適合のリスクもあります。この定理は、回帰モデルの最小二乗推定値 (現在は最尤推定値) は正規分布に従い、残差の二乗和は自由度が n から p を引いたカイ二乗分布に従うことを示しています。 t 統計量は、モデル内の説明変数の重要性を評価するための重要なツールとして重要視されています。

一般化M推定は、ベータの関数Qを最小化することによって未知のパラメータを推定する方法として導入されています。別の関数の評価を伴う関数 h にさまざまな形式を選択することによって、さまざまな推定量を定義できます。このビデオでは、関数 chi を利用して推定値に関する良好な特性を保証する堅牢な M 推定器と、分位点推定器についても説明します。堅牢な推定量は、最小二乗推定における外れ値や大きな残差の影響を軽減するのに役立ちます。

次に、トピックは M 推定量とモデルのフィッティングにおけるその幅広い適用性に移ります。資本資産価格モデルに焦点を当て、資産価格設定に適用される線形回帰モデルのケーススタディを紹介します。教授は、株式のリターンが株式のリスクに応じた市場全体のリターンにどのように影響されるかを説明します。このケーススタディでは、データと、統計ソフトウェア R を使用してデータを収集する方法の詳細が提供されます。回帰診断について言及し、回帰パラメータに対する個々の観察の影響を評価する際のその役割を強調しています。影響力のあるデータポイントを特定するための手段としてレバレッジが紹介され、その定義と説明が提供されます。

原油収益などの追加要素を株式収益モデルに組み込むという概念が導入されています。この分析は、市場だけでは特定の銘柄のリターンを効率的に説明できない一方、原油はリターンの解明に役立つ独立した要素として機能することを示しています。石油会社エクソンモービルの例を挙げ、同社の利益が石油価格とどのように相関するかを示しています。このセクションは、独立変数の重心からのケースのマハラノビス距離に基づいた影響力のある観測値を示す散布図で終わります。

講師は、単変量時系列分析について説明します。これには、確率変数を離散プロセスとして時間の経過とともに観察することが含まれます。彼らは厳密な定常性と共分散の定常性の定義を説明しており、共分散の定常性ではプロセスの平均と共分散が時間の経過とともに一定であることが必要です。自己回帰移動平均 (ARMA) モデルと、統合された自己回帰移動平均 (ARIMA) モデルによる非定常性への拡張が紹介されています。定常モデルの推定と定常性のテストについても取り上げます。

共分散定常時系列の Wold 表現定理について議論し、そのような時系列が線形決定論的プロセスと psi_i で与えられる係数によるホワイト ノイズの加重平均に分解できることを述べています。ホワイト ノイズ コンポーネント eta_t は一定の分散を持ち、それ自体および決定論的プロセスとは相関がありません。 Wold 分解定理は、そのようなプロセスをモデル化するための有用なフレームワークを提供します。

講師は、パラメータ p (過去の観測回数を表す) を初期化し、最後の p lag 値に基づいて X_t の線形射影を推定する、時系列解析の Wold 分解法について説明します。より長いラグに対する直交性やホワイト ノイズとの一貫性を評価するなど、時系列手法を使用して残差を調べることにより、適切な移動平均モデルを決定できます。 Wold 分解法は、p が無限大に近づくにつれて射影の限界を取得し、その履歴上のデータの射影に収束し、射影定義の係数に対応することによって実装できます。ただし、モデル推定に適切な自由度を確保するには、サンプル サイズ n に対する p の比率がゼロに近づくことが重要です。

過学習を避けるために、時系列モデルで有限数のパラメーターを持つことの重要性が強調されます。 L で示されるラグ演算子は、時系列モデルの基本ツールとして導入され、時系列を 1 時間増分ずつシフトできるようにします。ラグ演算子は、ラグを含む無限次多項式である多項式 psi(L) を使用して確率過程を表すために利用されます。インパルス応答関数は、プロセス上の特定の時点でのイノベーションの影響の尺度として議論され、その時点以降に影響を与えます。講演者は、イノベーションの一時的な影響を説明するために、連邦準備制度理事会議長による金利変更を例に挙げています。

長期累積応答の概念は、時系列分析に関連して説明されます。この応答は、プロセスにおける 1 つのイノベーションの累積効果を時間の経過とともに表し、プロセスが収束しつつある価値を示します。これは、多項式 psi(L) によって捕捉された個々の応答の合計として計算されます。無限次数移動平均である Wold 表現は、多項式 psi(L) の逆数を使用して自己回帰表現に変換できます。自己回帰移動平均 (ARMA) プロセスのクラスが、その数学的定義とともに紹介されます。

次に、ARMA モデルのコンテキスト内の自己回帰モデルに焦点が移ります。講義は、移動平均プロセスに取り組む前に、より単純なケース、特に自己回帰モデルから始まります。定常条件が調査され、多項式関数 phi を複素変数 z に置き換えることによって、自己回帰モデルに関連付けられた特性方程式が導入されます。特性方程式のすべての根が単位円の外側にある場合、プロセス X_t は共分散定常とみなされます。これは、複素数 z の係数が 1 より大きいことを意味します。定常性を確保するには、単位円の外側の根の係数が 1 より大きい必要があります。

ビデオの次のセクションでは、次数 1 (AR(1)) の自己回帰プロセスにおける定常性と単位根の概念について説明します。モデルの特性方程式が示され、共分散の定常性には phi の大きさが 1 未満である必要があることが説明されています。phi が正の場合、自己回帰プロセスにおける X の分散はイノベーションの分散よりも大きいことが示されています。ファイが負の場合は小さくなります。さらに、ファイが 0 と 1 の間の自己回帰プロセスは、金融の金利モデルで採用されている指数平均回帰プロセスに対応することが実証されています。

ビデオは、特に自己回帰プロセス、特に AR(1) モデルに焦点を当てて進みます。これらのモデルには、短期間で何らかの平均に戻る傾向がある変数が含まれており、平均復帰点は長期にわたって変化する可能性があります。この講義では、ARMA モデルのパラメータを推定するために使用される Yule-Walker 方程式を紹介します。これらの方程式は、異なる遅れでの観測値間の共分散に依存しており、結果として得られる方程式系を解くことで自己回帰パラメーターを取得できます。 Yule-Walker 方程式は、統計パッケージで ARMA モデルを指定するために頻繁に利用されます。

特に尤度関数の指定と計算が困難になる複雑なモデルのコンテキストにおいて、統計的推定のためのモーメント法の原理について説明します。講義は、移動平均モデルについて説明し、μ とガンマ 0 を含む X_t の期待値の公式を提示します。時系列における非定常動作は、さまざまなアプローチを通じて扱われます。講師は、正確なモデリングを実現するには非定常動作に対応することの重要性を強調します。 1 つのアプローチは、差分処理や最初の差分を使用する Box-Jenkins のアプローチを適用するなどして、データを変換して定常化することです。さらに、非定常時系列を処理する手段として、線形傾向反転モデルの例が提供されています。

講演者はさらに、非定常プロセスとその ARMA モデルへの組み込みについて調査します。 1 回目または 2 回目の差分によって共分散の定常性が得られる場合、それをモデル仕様に統合して ARIMA モデル (自己回帰統合移動平均プロセス) を作成できます。これらのモデルのパラメーターは、最尤推定を使用して推定できます。さまざまなモデルのセットを評価し、自己回帰パラメータと移動平均パラメータの次数を決定するには、Akaike 情報量基準やベイズ情報量基準などの情報量基準が提案されます。

モデルに変数を追加する問題について、ペナルティの考慮とともに説明します。講師は、特定のしきい値を超える t 統計の評価や他の基準の採用など、追加のパラメーターを組み込むための証拠を確立する必要性を強調します。ベイズ情報量基準は、既知であると仮定して、モデル内の変数の数が有限であると仮定しますが、ハナン・クイン基準では、変数の数が無限であると仮定しますが、それらの識別可能性は保証されます。モデルの選択は困難な作業ですが、これらの基準は意思決定に役立つツールとなります。

結論として、このビデオでは統計モデリングと時系列分析のさまざまな側面をカバーしています。最尤推定とその正規線形回帰モデルとの関係について説明することから始まります。一般化された M 推定とロバストな M 推定の概念が導入されます。線形回帰モデルを資産価格設定に適用するケーススタディを示し、続いて単変量時系列分析について説明します。 Wold 表現定理と Wold 分解法は、共分散定常時系列の文脈で議論されます。時系列モデルにおける有限数のパラメーターの重要性が、自己回帰モデルや定常性条件とともに強調されます。このビデオは、自己回帰プロセス、ユール ウォーカー方程式、モーメント法原理、非定常挙動、情報基準を使用したモデル選択について説明して終わります。

  • 00:00:00このセクションでは、教授は、尤度関数と正規線形回帰モデルとの関係を議論しながら、統計モデリングにおける主要な推定方法としての最尤推定方法をレビューします。教授は、最尤推定値は、観測されたデータが最も可能性が高い関数を最大化する値であり、これらの値は、データ値を生成する可能性がどの程度あるかという観点から未知のパラメーターをスケールするものであると説明します。

  • 00:05:00このセクションでは、教授は通常の線形回帰モデルの推定問題を解決する方法について説明します。誤差分散の最尤推定値は、n にわたるベータ ハットの Q ですが、この推定値には偏りがあるため、n から X 行列のランクを引いた値で除算して修正する必要があります。モデルに追加するパラメーターが多いほど、近似値の精度は高くなりますが、曲線近似の危険性も高まります。この定理は、回帰モデルの最小二乗 (最尤推定値) は正規分布し、残差の二乗和は n マイナス p で与えられる自由度を持つカイ二乗分布を持つことを示しています。 t 統計は、モデル内のさまざまな説明変数の関連性を評価する重要な方法です。

  • 00:10:00このセクションでは、ビデオでは、ベータの関数 Q を最小化することによって未知のパラメーターを推定する一般化 M 推定の概念を説明します。別の関数の評価の合計である h にさまざまな関数形式を選択することにより、最小二乗推定や最尤推定など、さまざまな種類の推定量を定義できます。このビデオでは、ロバストな M 推定器についても説明します。これには、推定値で良好な特性を持つように関数 chi を定義することと、分位点推定器が含まれます。堅牢な推定器は、最小二乗推定における非常に大きな値または残差による不当な影響を制御するのに役立ちます。

  • 00:15:00このセクションでは、教授は M 推定量と、それがモデルのフィッティングで遭遇するほとんどの推定量をどのように包含するかについて説明します。このクラスでは、線形回帰モデルを資産価格設定に適用するケーススタディが紹介されます。資本資産価格設定モデルは、株式の収益が市場全体の収益に依存し、その株式のリスクの程度に応じて決まることを示唆していると説明されています。このケーススタディでは、R を使用してデータを収集するために必要なデータとその詳細が提供されます。教授は、回帰診断と、回帰パラメータに対する個々の観察の影響を判定する方法について言及しています。最後に、影響力のあるデータ ポイントをてこを使用して特定し、その定義と説明を示します。

  • 00:20:00このセクションでは、教授は、利益の説明を助けるために、株式利益のモデリングに原油利益などの別の要素を追加するという概念を紹介します。分析の結果、このケーススタディでは、市場が GE の利益を説明するのに効果的ではなかったことがわかります。原油は収益を説明するのに役立つもう 1 つの独立した要素です。一方、石油会社エクソンモービルには、原油価格に応じて上下するため、原油が収益にどのような影響を与えるかを示す回帰パラメータがあります。このセクションは、独立変数の重心からケースのマハラノビス距離に関連する影響力のある観測値を示す散布図で終わります。

  • 00:25:00このセクションでは、講師が単変量時系列解析のトピックを紹介します。これは、確率変数を時間の経過とともに観察することを含み、離散時間プロセスです。厳密な定常性と共分散の定常性の定義について説明します。共分散の定常性はより弱く、プロセスの平均と共分散のみが時間の経過とともに一定であることが必要です。自己回帰移動平均モデルの古典的なモデルと、統合された自己回帰移動平均モデルを使用した非定常性への拡張についても、定常モデルを推定して定常性をテストする方法とともに説明します。

  • 00:30:00ビデオのこのセクションでは、講演者が共分散定常時系列の Wold 表現定理について説明します。この定理は、平均共分散定常時系列がゼロ平均で、線形決定論的プロセスと psi_i で与えられる係数によるホワイト ノイズの加重平均という 2 つのコンポーネントに分解できることを示しています。講演者はまた、ホワイト ノイズ要素である eta_t は一定の分散を持ち、それ自体および決定論的プロセスとは相関関係がないことも説明します。 Wold 分解定理は、そのようなプロセスをモデル化するための説得力のある構造を提供します。

  • 00:35:00このセクションでは、時系列分析の Wold 分解法について説明します。この方法には、線形決定論的項の過去の観測数を表すパラメーター p の初期化と、最後の p lag 値に対する X_t の線形射影の推定が含まれます。残差が長い遅れに対して直交しているか、ホワイト ノイズと一致しているかどうかを評価するなど、時系列手法を実行して残差を分析することにより、移動平均モデルを指定し、その適切性を評価できます。 Wold 分解法は、p が大きくなるにつれて投影の限界として実装でき、その履歴上のデータの投影に収束し、投影定義の係数に対応します。ただし、モデルを推定するときに自由度が不足しないように、p/n 比を 0 に近づける必要があります。

  • 00:40:00このセクションでは、講演者は、過学習を避けるのに役立つため、時系列モデルを推定する際に有限数のパラメーターを持つことの重要性を強調しました。ラグ演算子は、演算子 L を使用して時系列を 1 時間増分だけ戻す時系列モデルの重要なツールです。あらゆる確率過程は、L の無限次数多項式である psi を持つラグ演算子を使用して表現できます。ラグ。インパルス応答関数は、その時点以降のプロセスに影響を与える、ある時点でのイノベーションの影響に関係します。講演者は、時間の経過に伴うイノベーションの影響を説明するために、連邦準備制度理事会議長の金利変更の例を取り上げています。

  • 00:45:00このセクションでは、長期累積応答の概念を時系列分析に関連して説明します。長期的な累積応答は、プロセスにおける 1 つのイノベーションの時間の経過に伴う影響であり、プロセスが移行する価値です。この応答は、遅延演算子を使用した psi の多項式で表される、個々の応答の合計によって与えられます。 Wold 表現は、L 多項式の psi の逆数を使用した自己回帰表現を持つことができる無限次数移動平均です。自己回帰移動平均プロセスのクラスも数学的定義とともに視聴者に紹介されます。

  • 00:50:00このセクションでは、ARMA モデルの自己回帰モデルに焦点を当てます。これらのモデルをより深く理解するために、自己回帰モデルから始めて移動平均プロセスに進む、より単純なケースを見ていきます。定常性条件も調査されます。多項式関数 phi が複素変数 z に置き換えられると、自己回帰モデルに関連付けられた特性方程式になります。 X_t のプロセスは、この特性方程式のすべての根が単位円の外側にある場合、つまり複素数 z の係数が 1 より大きく、単位円の外側にある場合は根の係数がより大きくなる場合に限り、共分散定常となります。 1よりも。

  • 00:55:00ビデオのこのセクションでは、次数 1 の自己回帰プロセスにおける定常性と単位根の概念について説明します。モデルの特性方程式が提示され、共分散の定常性には phi の大きさが 1 未満であることが必要であることがわかります。自己回帰プロセスにおける X の分散は、phi が正の場合にはイノベーションの分散より大きく、phi が 0 未満の場合には小さくなることが示されています。さらに、phi が 0 と 1 の間の自己回帰プロセスは、金融における金利モデルに理論的に使用されてきた指数関数的平均回帰プロセス。

  • 01:00:00このセクションでは、自己回帰プロセス、特に AR(1) モデルに焦点を当てます。これらのモデルには、通常、短期間で何らかの平均値に戻る変数が含まれていますが、平均復帰点は長期間にわたって変化する可能性があります。この講義では、ARMA モデルのパラメータを推定するために使用される Yule-Walker 方程式について説明します。これらの方程式には、異なる遅れでの観測値間の共分散が含まれており、結果として得られる方程式系は自己回帰パラメーターについて解くことができます。最後に、統計パッケージで ARMA モデルを指定するために Yule-Walker 方程式が頻繁に使用されることに注意してください。

  • 01:05:00このセクションでは、統計的推定のためのモーメント原理の方法、特に尤度関数の指定と計算が難しい複雑なモデルで、パラメータの不偏推定値を使用する方法について説明します。次に、μ とガンマ 0 を含む X_t の期待値の式を計算して、移動平均モデルについて説明します。特にデータの定常への変換、最初の差分を使用するボックスとジェンキンスのアプローチ、および線形傾向反転モデルの例を通じて、時系列における非定常動作への対応についても説明します。

  • 01:10:00このセクションでは、講演者が非定常プロセスと、それを ARMA モデルに組み込む方法について説明します。彼は、1 番目または 2 番目の差分により共分散定常性が得られる場合、それをモデル仕様に組み込んで ARIMA モデル (自己回帰統合移動平均プロセス) を作成できると説明しています。これらのモデルのパラメータは最尤法を使用して指定でき、さまざまなモデルのセットと自己回帰パラメータと移動平均パラメータの次数を赤池情報量基準やベイズ情報量基準などの情報量基準を使用して評価できます。

  • 01:15:00このセクションでは、スピーカーはモデルに変数を追加する問題と、どのようなペナルティを与える必要があるかについて議論します。彼は、何らかのしきい値やその他の基準を超える t 統計などの追加パラメータを組み込むにはどのような証拠が必要かを検討する必要があると示唆しています。ベイズ情報量基準は、モデル内に有限数の変数が存在し、それらが既知であることを前提とします。一方、ハナン・クイン基準は、モデル内に無限数の変数があると想定しますが、それらが識別可能であることを保証します。モデルの選択の問題は難しいですが、次の基準を使用して解決できます。
8. Time Series Analysis I
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9. ボラティリティモデリング



9. ボラティリティモデリング

このビデオでは、ボラティリティ モデリングの広範な概要を提供し、この分野のさまざまな概念と手法を探ります。講師はまず、自己回帰移動平均 (ARMA) モデルとボラティリティ モデリングとの関連性を紹介します。 ARMA モデルは、ブラウン運動プロセスにおける衝撃のランダムな到達を捕捉するために使用されます。講演者は、これらのモデルは、発生するジャンプの数をカウントするポアソン過程を表す t の pi という過程の存在を前提としていると説明します。ジャンプは、ポアソン分布に従って、確率変数、ガンマ シグマ Z_1 および Z_2 によって表されます。これらのパラメータの推定は、EM アルゴリズムによる最尤推定を使用して実行されます。

次に、ビデオではモデルの選択と基準について詳しく説明します。特定のデータセットに最適なモデルを決定するために、さまざまなモデル選択基準について説明します。赤池情報量基準 (AIC) は、モデルがデータにどの程度適合しているかを示す尺度として提示され、パラメーターの数に基づいてモデルにペナルティを与えます。ベイズ情報量基準 (BIC) も同様ですが、追加パラメーターに対して対数ペナルティが導入されます。 Hannan-Quinn 基準は、対数項と線形項の間の中間ペナルティを提供します。これらの基準は、ボラティリティ モデリングに最適なモデルを選択するのに役立ちます。

次に、ビデオではディッキー フラー テストについて説明します。これは、時系列が単純なランダム ウォークと一致しているか、または単位根を示しているかどうかを評価するための貴重なツールです。講師は、ARMA モデルを使用する際に課題となる可能性がある非定常プロセスを検出する際のこのテストの重要性について説明します。 ARMA モデルを使用した非定常プロセスのモデル化に関連する問題が強調され、これらの問題に対処する戦略が議論されます。

ビデオは、ARMA モデルの実世界の例への適用を示して終わります。講師は、ボラティリティ モデリングを実際にどのように適用できるか、ARMA モデルが時間依存のボラティリティをどのように捉えることができるかをデモンストレーションします。この例は、ボラティリティ モデリング手法の実際的な関連性と有効性を説明するために役立ちます。

要約すると、このビデオはボラティリティ モデリングの包括的な概要を提供し、ARMA モデルの概念、ディッキー フラー テスト、モデル選択基準、および実際のアプリケーションをカバーしています。このビデオでは、これらのトピックを検討することで、金融市場などのさまざまな領域のボラティリティのモデリングと予測に関わる複雑さと戦略についての洞察を提供します。

  • 00:00:00著者は、ボラティリティ モデルと、それが統計モデルの推定にどのように役立つかについて説明します。著者は、特定のデータ セットにどのモデルが最適であるかを決定するために使用できるさまざまなモデル選択基準があることに注目しています。

  • 00:05:00赤池情報量基準は、モデルがどの程度データに適合するかを示す尺度であり、モデルのパラメータのサイズに依存する係数によってモデルにペナルティを与えます。ベイズ情報量基準も同様ですが、追加パラメーターに対して log n ペナルティがかかります。 Hannan-Quinn 基準には、log n と 2 の中間にペナルティがあります。 Dickey-Fuller テストは、時系列が単純なランダム ウォークと一致するかどうかを確認するテストです。

  • 00:10:00このビデオでは、自己回帰移動平均 (ARMA) モデルやディッキー フラー テストの概念を含む、ボラティリティ モデリングの概要を説明します。ビデオでは続いて、ARMA モデルを使用して非定常プロセスをモデル化するときに発生する可能性のある問題と、これらの問題に対処する方法について説明します。最後に、ビデオでは ARMA モデルを実際の例に適用する方法を紹介します。

  • 00:15:00このビデオでは、ACF および PACF 関数、単位根のディッキー フラー テスト、および回帰診断の説明を含む、ボラティリティ モデリングの簡単な紹介を提供します。

  • 00:20:00ボラティリティは、金融市場における価格またはリターンの変動性の尺度です。履歴ボラティリティは、一定期間の価格の対数の差を取ることによって計算されます。ボラティリティ モデルは、時間依存のボラティリティを把握するように設計されています。

  • 00:25:00ボラティリティは、証券の価格が時間の経過とともにどれだけ変化するかを示す尺度です。ボラティリティはサンプル分散の平方根によって測定でき、年換算値に変換できます。過去のボラティリティは、リスク指標アプローチを使用して推定できます。

  • 00:30:00ボラティリティ モデルは将来の株価を予測するために使用でき、幾何学的なブラウン運動がよく使用されるモデルです。 Choongbum は、後の講義で確率微分方程式と確率微積分についてさらに詳しく説明します。

  • 00:35:00ボラティリティ モデルは、時間の経過に伴う証券の価格を予測する数学的モデルです。このモデルはガウス分布を使用して、指定された期間の価格を計算します。時間スケールを変更すると、モデルを調整する必要があります。

  • 00:40:00ボラティリティ モデリングは、時間の測定方法に基づいて異なる結果を生成する可能性があります。たとえば、幾何ブラウン運動モデルでは、日次収益がガウス分布からサンプリングされますが、正規モデルでは、近似されたガウス分布のパーセンタイルがプロットされます。いずれの場合も、近似モデルの累積分布関数は実際のパーセンタイルを中心とする必要があります。

  • 00:45:00 Garman-Klass 推定量は、終値だけではなく、より多くの情報を考慮してボラティリティを推定するためのモデルです。増分は毎日に対応する 1 日であり、市場が開く時刻 (小さな f で表されます) が考慮されることを前提としています。

  • 00:50:00このボラティリティ モデルは、始値から終値までのリターンの分散と、終値から終値までの推定値に対するこの推定値の効率を計算します。

  • 00:55:00ボラティリティ モデルは、金融資産のボラティリティをモデル化する確率微分方程式です。 Garman と Klass による論文では、最良のスケール不変推定量はスケール係数によってのみ変化する推定量であり、この推定量の効率は 8.4 であることがわかりました。

  • 01:00:00このビデオでは、ブラウン運動プロセスにランダムに到来するショックに対処する方法であるボラティリティ モデリングについて説明します。このモデルは、t のプロセス pi が存在することを前提としています。これは、発生したジャンプの数をカウントするポアソンプロセスです。これらのジャンプは、ポアソン分布を持つ確率変数であるガンマ シグマ Z_1 および Z_2 によって表されます。これらのパラメータの最尤推定は、EM アルゴリズムを使用して行われます。

  • 01:05:00 「9. ボラティリティ モデリング」ビデオでは、時間依存のボラティリティをモデル化するために使用される EM アルゴリズムと ARCH モデルについて説明します。 ARCH モデルでは、パラメーターの制約を維持しながら、ボラティリティの時間依存性を考慮しています。このモデルは、ユーロ/ドルの為替レートを推定するために使用されます。

  • 01:10:00ボラティリティ モデリングは、株価を動かす根本的なプロセスを推定するプロセスです。これには、自己回帰モデルを二乗残差にフィッティングし、ARCH 構造をテストすることが含まれます。 ARCH 構造が存在しない場合、回帰モデルには予測可能性がありません。

  • 01:15:00 GARCH モデルは、特定の資産の二乗収益のボラティリティを簡略化して表現したものです。このモデルはデータを非常によく適合させることができ、ボラティリティの時間依存性を示唆する特性を備えています。

  • 01:20:00このビデオでは、予測におけるボラティリティ モデルを他のモデルと比較して使用する利点について説明します。 GARCH モデルは、時間とともに変化するボラティリティを捉えるのに特に効果的であることが示されています。フィールドトリップの申し込みの最終日は来週の火曜日です。
9. Volatility Modeling
9. Volatility Modeling
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10. 正規化された価格設定とリスクモデル



10. 正規化された価格設定とリスクモデル

この包括的なビデオでは、金利商品、特に債券とスワップの正規化された価格設定とリスク モデルのトピックが広範囲に取り上げられています。講演者は、入力のわずかな変化でさえ重大な出力を引き起こす可能性がある、これらのモデルにおける不適切な姿勢の問題に取り組むことから始めます。この課題を克服するために、彼らは、滑らかな基底関数とペナルティ関数を使用してボラティリティ曲面の滑らかさを制御することを提案しています。チホノフ正則化は、振幅にペナルティを追加する手法として導入され、ノイズの影響を軽減し、モデルの意味を改善します。

講演者は、この分野のトレーダーが採用しているさまざまなテクニックを詳しく掘り下げます。彼らは、市場の不一致を特定し、情報に基づいた取引上の意思決定を行うために使用されるスプライン手法と主成分分析 (PCA) について説明します。債券の概念について、定期支払い、満期、額面、ゼロクーポン債、永久債などの側面から説明します。異なる満期のスワップのポートフォリオの価格を決定するイールドカーブを構築することの重要性が強調されています。

債券とスワップの金利と価格設定モデルについて詳しく説明します。講演者は、価格変動を予測するための単一数値モデルの限界を認識し、スワップの概念と、トレーダーがスワップレートのビッドおよびオファーレベルを見積もる方法を紹介しました。スワップの価格設定のためのイールドカーブの構築について、キャリブレーションおよびスプラインタイプの入力商品の選択とともに説明します。 3 次スプラインを使用してスワップを調整し、確実に額面で再価格設定するプロセスを、実際の例を使用して示します。

このビデオでは、3 か月先物金利の曲線と、市場の観測値と一致する公正な価格の必要性についてさらに詳しく説明しています。その後、焦点は取引スプレッドと最も流動性の高い商品の決定に移ります。市場の変化に影響されない曲線を作成する際の課題について説明し、そのような戦略に伴う多大なコストを強調します。改善されたヘッジ モデルの必要性に対処し、ポートフォリオ リスクの新しい一般的な公式を提示します。主成分分析は市場モードとシナリオを分析するために利用され、トレーダーが流動的でコスト効率の高いスワップを使用してヘッジできるようにします。

正規化された価格設定とリスク モデルについて詳しく調査し、不安定性や異常値に対する敏感さなどの PCA モデルの欠点を強調します。リスクをより管理しやすく流動的な数値に変換することの利点が強調されています。このビデオでは、リスク マトリックスの動作に関する追加の制約と考え方がこれらのモデルをどのように強化できるかを説明しています。 B スプライン、ペナルティ関数、L1 および L2 行列、およびチホノフ正則化の使用が、安定性を向上させ、価格設定エラーを減らす手段として説明されています。

講演者はボラティリティ曲面を調整するという課題に取り組み、未確定の問題と不安定な解決策についての洞察を提供します。ベクトルとしての表面の表現と基底関数の線形結合の使用について説明します。不良姿勢の概念が再考され、滑らかな基底関数を使用して出力を制約する重要性が強調されます。

切り捨て特異値分解 (SVD) やスプライン技術を使用した関数のフィッティングなど、さまざまな技術とアプローチがカバーされています。補間グラフの解釈と、市場の差異の調整および裁定におけるそれらの応用について説明します。スワップションとボラティリティモデリングにおけるスワップションの役割について、トレーダーにもたらす機会とともに説明します。

このビデオは、市場の異常を特定し、情報に基づいた取引の意思決定を促進する上での、正規化された価格設定とリスク モデルの関連性を強調して締めくくられています。債券の流動性と曲線を構築するためのスワップの使用を強調する一方で、安定した曲線が存在しない場合には PCA モデルに依存することも認めています。全体として、このビデオは金利商品の正規化された価格設定とリスク モデルを包括的に理解し、視聴者にこの分野の貴重な知識を提供します。

  • 00:00:00このセクションでは、モルガン・スタンレーのゲストスピーカーであるイヴァン・マシュコフ博士が、金利商品の正規化された価格設定とリスク モデルについて説明します。これには、正則化とも呼ばれる追加の制約をモデルに追加することが含まれます。講義は、市場で最も単純な金利商品の 1 つである債券の説明から始まり、その定期支払い、満期、額面について説明します。満期まで支払われないゼロクーポン債や、無限に支払われる永久債についても取り上げます。講義の最後は、分析に使用するキャッシュフロー図の説明で終わります。緑の矢印は受け取ったもの、赤の矢印は支払ったものを示しています。

  • 00:05:00このセクションでは、お金の時間価値の概念が導入されます。つまり、将来のキャッシュ フローが大きくなるほど、割引係数が小さくなり、減価償却が発生します。計算されたキャッシュ フローの公正価値は、割引係数があれば求めることができ、割引係数は割引モデルを使用して表すことができます。 1 つのパラメーター、満期までの利回りを使用する単純なモデルについて説明します。債券の価格は将来のキャッシュ フローの線形結合として表すことができ、債券価格が既知の場合はそれを解くことで債券利回りを求めることができ、逆も同様です。

  • 00:10:00このセクションでは、債券の価格設定と利回りの概念について説明します。債券の経済的価値は債券価格とキャッシュフローにあります。利回りは将来のキャッシュ フローと債券価格を相関させ、すべての時点で一定の割引を前提としていますが、常に最適であるとは限りません。債券価格の利回りに対する感応度、および債券価格が市場に応じてどのように変化するかは、債券のデュレーションを決定する上で極めて重要です。債券のデュレーションは時間の加重和式であり、将来のキャッシュ フローの現在価値に比例します。利回りと債券価格の関係は負の符号を持ち、ゼロクーポン債のデュレーションは満期と同じですが、通常のクーポン債のデュレーションは満期よりも短くなります。債券デュレーションのモデルは、すべての金利が並行して変動することを前提としています。

  • 00:15:00このセクションでは、講演者が債券とスワップの金利と価格設定モデルについて説明します。彼らは、単一の数値モデルが価格変動の予測には適切ではない可能性があることを認めており、説明のつかない損失を考慮するために二次導関数を使用することを提案しています。スワップに関して、講演者は、トレーダーが固定キャッシュ フローと変動キャッシュ フローの現在価値を使用して、スワップの最も重要な量であるスワップ レートのビッド レベルとオファー レベルを見積もる方法を説明します。また、スワップの締結には金銭の交換は必要なく、固定金利から変動キャッシュフローを差し引いた現在価値が正味ゼロになるように固定金利が設定されているとも指摘している。

  • 00:20:00このセクションでは、割引係数によって決定される重みを使用して、フォワード レートの加重合計としてのスワップ レートの概念について説明します。このビデオでは、さまざまな満期のスワップのポートフォリオ全体の価格を決定するイールドカーブを構築する必要性と、キャリブレーションおよびスプラインタイプのための入力商品を選択するプロセスについて説明しています。最後のステップは、数学的オブジェクトを使用して商品の価格を変更するときに、結果が市場価格と一致するように制御点を調整することです。

  • 00:25:00このセクションでは、Ivan Masyukov が、3 次スプラインを使用して滑らかな曲線を構築する方法について説明します。この曲線では、曲線の形状の関数形式は 3 次多項式であり、同時に各ノードの導関数の最大数を維持します。点。 B スプラインは、基底関数の線形結合として表現できる新しいタイプのスプラインとして導入され、これらのノード点を含む任意の曲線を表現できるようになります。マシュコフ氏は続けて、ソルバーを使用してスワップの価格を確実に額面に再設定する方法を説明します。これは、イールドカーブ商品と、1 年から 30 年の満期と 0.33% から最大 2.67% の相場を持つ IRS スワップの例を使用して実証されます。

  • 00:30:00このセクションでは、Ivan Masyukov が、標準金利 USD スワップの変動レッグにおける 3 か月の支払い頻度の LIBOR レートによって主に駆動される 3 か月フォワード 金利の曲線がどのようになっているのかを説明します。平坦ではなく、最初の 5 年間は急勾配であり、その後 20 年間の領域で何らかの特徴を備えた台地に達します。すべてのパラメーター利回りが 1 つだけであるという前提で曲線を取得することはできないため、公正な価格を取得し、市場の観測値と一致させるには、追加の期間が必要です。追加期間は、イールドカーブがフラットであるという大まかな仮定ではなく、イールドカーブに対する小さな修正となるでしょう。このアプローチは、ポートフォリオ内の債券とスワップの一貫したモデルを持ち、債券の流動性とクレジット スプレッドを理解するのに適しています。

  • 00:35:00このセクションでは、スプレッドがどのように取引されるか、またどの商品が最も流動性が高いと考えられるかに焦点が移ります。債券が最も流動性の高いオプションであり、10 年スワップと債券の間のスプレッドが 2 番目に流動性の高いオプションであることが明らかになりました。入力の小さな変化が出力に大きな変動を引き起こす可能性があり、トレーダーにとって懸念の原因となるため、このシフトは曲線を作成する際に信頼性が高くなります。典型的な状況は、トレーダーがモデルの価値が市場の変化に影響されないようにしたい場合です。そのためには、1 年スワップをプラス 200、2 年スワップをマイナスで購入する必要があります。 1.3など。ただし、価格は約 360 万ドルと高額になる可能性があり、特定商品の入札価格に比例します。

  • 00:40:00このセクションでは、トレーダー向けの現在のヘッジ方法が効果的ではないため、より優れたヘッジモデルの必要性について説明します。ポートフォリオ リスクの新しい一般的な定式化は、ポートフォリオ リスクのベクトル、ヘッジ ポートフォリオ、およびそのポートフォリオの重みによって特徴付けられます。主成分分析は、問題にアプローチし、市場の典型的なモードとシナリオを分析するために使用されます。これにより、トレーダーはヘッジ対象として流動性の高いスワップと安価なスワップを選択します。典型的な主成分のグラフが表示されます。市場の主な動きは、金利は現在変動していませんが、連邦準備制度の刺激により将来変動するというものです。

  • 00:45:00このセクションでは、講演者は正規化された価格設定とリスク モデル、特に PCA モデルの欠点について説明します。 PCA モデルは、最小化の必要性を排除するためにヘッジ手段を使用して定式化されていますが、係数は、特に市場の最近のモードではあまり安定していません。さらに、モデルは外れ値に敏感であり、過去のデータに過剰適合する可能性があるため、将来にわたって機能すると仮定するのは危険です。このモデルの利点には、リスクを以前よりも桁違いに少ない、より流動性の高い数値に変換できるため、トレーダーが情報に基づいた意思決定を行えることが含まれます。

  • 00:50:00このセクションでは、ビデオでは、正規化された価格設定とリスク モデルについて、また、リスク マトリックスの動作について追加の制約や考え方を設けることで状況がどのように改善されるかについて説明しています。講演者は、リスク マトリックスの PCA 解釈と、それが主成分の線形結合であり、一度に 1 つのヘッジ手段でシフトを生み出す仕組みについて説明します。彼らはまた、過去のデータを超えて先物金利の観点からイールドカーブを構築し、ヤコビアンがイールドカーブ入力のシフトを変換する行列である方程式にペナルティを与えることで非滑らかさを最小限に抑えるアプローチについても議論しています。このビデオでは、価格変動を抑えるために HJM モデルを使用して価格設定エンジンと調整プロセスがどのように機能するかについても説明しています。

  • 00:55:00このセクションでは、講演者は、モンテカルロ シミュレーションに必要なフォワード レートの発展方程式を説明します。ここで、フォワード レートは同化される量です。講演者は、先物金利のベータ乗にある程度依存する先物金利のドリフトについて説明します。ボラティリティ曲面が導入され、カレンダーと先の時間に使用するボラティリティの数値が得られ、相関関係と要因構造について簡単に説明されています。講演者は、三角形の曲面が各矢印の遷移のボラティリティに使用されることを説明し、ボラティリティ曲面の例を示します。問題は、240 × 240 の次元を持つ三角行列の計算にあり、最大 60 年分のデータが必要であり、困難な作業となっています。

  • 01:00:00ビデオのこのセクションでは、講演者がボラティリティ曲面の調整の問題に取り組む方法を説明します。校正すべき要素の数が多いため、28K × 28K の行列を格納する形式的な解決策は現実的ではありません。さらに、校正対象の要素よりも校正機器の数が少ないため、不安定な解が生成される未確定問題です。これを解決するために、表面をベクトルとして表し、入力機器と同じ数の基底関数を持つ合理的な関数に対応する基底関数の線形結合を使用します。完璧にキャリブレーションされていますが、結果として得られるサーフェスは、変動サーフェスというよりは、ハドソン川と建物の形状を持つマンハッタンのスカイラインに似ています。このアプローチは一般的に使用されますが、結果は不安定です。

  • 01:05:00ビデオのこのセクションでは、講演者が価格設定とリスク モデルにおける不適切な姿勢の問題について説明しています。これは、インプットの小さな変化がアウトプットの劇的な変化につながる可能性があることを意味します。これに対処するために、彼らは、B スプラインなど、最初は滑らかな基底関数を使用して出力に制約を設け、ペナルティ関数を使用してボラティリティ曲面の変化と滑らかさを制御することを提案しています。そうすることで、すべての入力機器に合わせて正確に調整する必要がなく、有意義な結果を生み出すことができます。講演者は、基底関数を 2 次元で構築し、線形結合を使用して結合する方法を示します。

  • 01:10:00このセクションでは、講演者が正規化された価格設定とリスク モデルの概念について説明します。講演者は、滑らかさのアプローチが必要な場合、1 と -1 の値で構成される L1 行列と L2 行列を使用してベクトルの勾配にペナルティを与えることができると説明します。小さなノイズと重要でないモードが出力に大幅な変化を引き起こす可能性がある不適切な設定の問題を解決するには、Tikhonov 正則化手法を使用できます。この技術には、ノイズの影響を軽減するために振幅にペナルティを追加することが含まれます。講演者は、調整される数値には常に不確実性があり、モデルが常に完璧であるとは限らないため、価格設定の誤差を最小限に抑えるには正則化が必要であることを強調しました。

  • 01:15:00このセクションでは、正規化された価格設定とリスク モデルの概念について説明します。 Tikhonov 正則化は、悪条件問題の安定性を向上させる方法として導入されています。正則化は、振幅または解の線形結合にペナルティを課すことにより、たとえ偏った解であっても、より有意義で現実的な結果を提供できます。切り捨て SVD は、重要な特異値のみを選択するために使用できるもう 1 つのアプローチであり、より堅牢なモデルが得られます。重要なのは、教科書的なアプローチを盲目的に適用するのではなく、正則化が必要な特定の量を特定してペナルティを与えることです。

  • 01:20:00このセクションでは、Ivan Masyukov が関数のフィッティングに使用される手法、特にスプライン手法について聴衆からの質問に答えます。彼は、スプラインまたは補間は、入力の数が限られており、その間を描画したい場合に使用されると説明しています。彼はまた、内挿グラフの解釈と、トレーダーが内挿グラフをどのように使用して、目に見える不一致を調整および裁定するかについても説明します。さらに、ボラティリティのモデリングにスワップションがどのように使用されるか、またトレーダーが目にした不一致からどのように取引を行うかについても説明します。

  • 01:25:00このセクションでは、市場トレーダーが市場の異常を発見し、取引を通じてそれを利用するために利用する正規化された価格設定とリスク モデルについて講演者が説明します。これらのモデルには、フォワード レートに関する平滑性の仮定や主成分分析 (PCA) の組み合わせなどの入力を組み込むことができます。債券は市場で最も流動性の高い商品ですが、継続的に取引されるわけではないため、スワップはカーブを構築するのにより適しています。債券はスワップよりも流動性が高いため、スワップ曲線が構築されると、債券トレーダーはそれをヘッジに使用します。ただし、債券のみを取引するトレーダーは、安定した曲線がないため、PCA モデルやその他の手法に依存することがよくあります。
10. Regularized Pricing and Risk Models
10. Regularized Pricing and Risk Models
  • 2015.01.06
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Ivan MasyukovThis...
 

11. 時系列分析Ⅱ


11. 時系列分析Ⅱ

このビデオでは、ボラティリティ モデリングに関する前回の講義の議論に基づいて、時系列分析のさまざまな側面を詳しく説明します。教授はまず、金融時系列のボラティリティを測定するための柔軟なアプローチを提供する GARCH モデルを紹介します。 GARCH モデルと組み合わせた最尤推定の利用と、時系列データのモデリングの代替としての t 分布の使用について検討します。正規分布による t 分布の近似についても説明します。多変量時系列に移り、講義では相互共分散と Wold 分解定理について説明します。講演者は、ベクトル自己回帰プロセスが高次の時系列モデルを 1 次モデルに単純化する方法を説明します。さらに、定常 VAR プロセスの平均の計算と回帰方程式系としてのそれらの表現について説明します。

次に、講義では時系列分析のための多変量回帰モデルをさらに深く掘り下げ、コンポーネント系列ごとに個別の単変量回帰モデルを介してその仕様を強調します。ベクトル化演算子の概念が導入され、多変量回帰モデルを線形回帰形式に変換する際の有用性が示されています。最尤推定やモデル選択基準などの推定プロセスについても説明します。この講義は、成長、インフレ、失業、金利政策の影響に関連する時系列データの分析におけるベクトル自己回帰モデルの応用を紹介して終了します。インパルス応答関数は、時系列の 1 つのコンポーネントにおけるイノベーションが他の変数に及ぼす影響を理解するために使用されます。

さらに、前回の講義からのボラティリティ モデリングの継続についても取り上げます。金融時系列の時間変動ボラティリティを考慮した ARCH モデルが定義されています。 GARCH モデルは、パラメータを追加して ARCH モデルを拡張したもので、ボラティリティのモデリングにおいてより高い柔軟性を提供するという ARCH モデルと比較した利点が強調されています。講師は、GARCH モデルがリターン系列のイノベーションに対してガウス分布を仮定していることを強調しました。

さらに、最尤推定を使用した GARCH モデルの実装についても検討します。二乗残差の ARMA モデルは、条件付き分散を測定するためのイノベーションの多項式ラグとして表現できます。長期分散の平方根は、演算子の根が単位円の外側にあることを確認することで決定されます。最尤推定では、時系列の連続した条件付き期待値の積として表される結合密度関数を使用して、データと未知のパラメーターに基づいて尤度関数を確立することが含まれます。これらの条件付き密度は正規分布に従います。

主に基礎となるパラメーターの制約に起因する、GARCH モデルの推定に関連する課題について説明します。凸関数を最適化し、その最小値を見つけるには、パラメータを制限のない範囲に変換する必要があります。モデルをフィッティングした後、正規性を評価し、不規則性を分析するために、さまざまなテストを使用して残差が評価されます。 Rugarch と呼ばれる R パッケージは、ユーロドル為替レートの GARCH モデルを適合させるために使用され、為替レートの収益に対する平均プロセスを適合させた後、通常の GARCH 項を採用します。自己回帰プロセスの次数は赤池情報量基準を使用して決定され、モデルを評価するために自己回帰残差の正規分位数-分位数プロットが生成されます。

講師は、時系列データのモデリングに、ガウス分布に比べて裾の重い分布を提供する t 分布の使用についても強調します。 t 分布を使用した GARCH モデルは、ボラティリティを効果的に推定し、バリュー・アット・リスクの制限を計算できます。 t 分布は正規分布の適切な近似として機能するため、講師は時系列モデリングを強化するためにさまざまな分布を探索することを奨励します。さらに、正規分布による t 分布の近似についても説明します。 t 分布は、自由度が 25 ~ 40 である場合、正規分布の合理的な近似であると考えることができます。講師は、標準正規分布と自由度 30 の標準 t 分布の確率密度関数を比較するグラフを提示し、2 つの分布は似ているが裾が異なることを示します。

講義では、教授はベクトル自己回帰 (VAR) モデルを使用した時系列データの分析について説明を続けます。変数間の関係と、関心のある変数に対するイノベーションの影響を理解することに重点が置かれています。 VAR モデル内の変数間の関係を分析するには、多変量自己相関関数 (ACF) と偏自己相関関数 (PACF) が使用されます。これらの関数は、変数間のクロスラグを捕捉し、変数間の動的な相互作用についての洞察を提供します。 ACF と PACF を調べることで、重大な遅れと変数に対するその影響を特定できます。さらに、インパルス応答関数 (IRF) を使用して、時間の経過に伴うイノベーションの変数への影響を理解します。イノベーションとは、変数の 1 つにおける衝撃または予期せぬ変化を指します。 IRF は、多変量時系列の 1 つのコンポーネントにおけるイノベーションに変数がどのように反応するかを示します。この分析は、システム全体にわたる衝撃の伝播と大きさを理解するのに役立ちます。

たとえば、失業率に革新が生じた場合、IRF はこのショックがフェデラル ファンド レートや消費者物価指数 (CPI) などの他の変数にどのような影響を与えるかを示すことができます。応答の大きさと持続時間を観察することで、システム内の相互依存性と波及効果についての洞察が得られます。 IRF に加えて、予測誤差分散分解 (FEVD) などの他の統計的尺度も利用できます。 FEVD は、各変数の予測誤差分散を、それ自体のショックと他の変数のショックからの寄与に分解します。この分析により、各変数の変動を引き起こすさまざまなショックの相対的な重要性を定量化することができます。 VAR モデルを採用し、ACF、PACF、IRF、FEVD を分析することで、研究者は多変量時系列内の関係とダイナミクスを包括的に理解できます。これらの洞察は、予測、政策分析、経済変数間の複雑な相互作用の理解に役立ちます。

要約すると、この講義では時系列データを分析するための VAR モデルの適用を強調します。クロスラグを捕捉するための ACF と PACF、イノベーションの影響を調べるための IRF、およびさまざまなショックの寄与を定量化するための FEVD の使用に焦点を当てています。これらの手法により、多変量時系列内の関係とダイナミクスをより深く理解できるようになり、正確な予測と政策決定が容易になります。

  • 00:00:00このセクションでは、教授は、金融時系列における時間変動ボラティリティを許容する ARCH モデルの定義に取り組むことにより、前の講義でのボラティリティ モデリングの継続について説明します。 GARCH モデルは、パラメーターを追加して ARCH モデルを拡張したもので、ARCH モデルよりも多くの利点があり、パラメーターが少なくなります。現在のボラティリティを過去の値または遅れた値に関連付ける追加のパラメーターを追加することにより、GARCH モデルはボラティリティを柔軟にモデル化できます。ボラティリティの下限が ARCH モデルに存在するため、このモデルには厳しい下限が設定されていますが、GARCH モデルにはボラティリティ レベルの予測においてはるかに柔軟な利点があります。これらの当てはめでは、リターン系列のイノベーションに対してガウス分布を仮定していることに注意してください。

  • 00:05:00このセクションでは、GARCH モデルと最尤推定を使用したその実装について説明します。 GARCH モデルを使用すると、ボラティリティを測定し、二乗残差の ARMA モデルをイノベーションの多項式ラグとして表現できます。条件付き分散の場合、演算子の根が単位円の外側に根を持つことを要求することで、長期分散の平方根を求めることができます。最尤推定では、未知のパラメーターが与えられたデータの尤度関数を決定する必要があり、結合密度関数は時系列の連続した条件付き期待値の積として表現できます。これらの条件付き密度は通常の確率変数です。

  • 00:10:00このセクションでは、講演者は、強制する必要がある基礎となるパラメータの制約による GARCH モデルの推定の課題について説明します。凸関数を最適化し、凸関数の最小値を見つけるには、最適化メソッドが適切に機能し、パラメーターを範囲が無制限になるスケールに変換する必要があります。モデルをフィッティングした後、正規性についてのさまざまなテストを使用して残差を評価し、不規則性の大きさを分析する必要があります。 Rugarch と呼ばれる R パッケージを使用すると、通常の GARCH 条件を使用したユーロドル為替レートの GARCH モデルが選択され、為替レート収益の平均プロセスをフィッティングした後にフィッティングされます。モデルを評価するために、Akaike 情報量基準を使用して自己回帰プロセスを適合させ、自己回帰プロセスの次数を選択し、自己回帰残差の正規 qq プロットを生成します。

  • 00:15:00このセクションでは、発表者は時系列データをモデル化するための重い裾分布、特に t 分布の使用について説明します。ガウス分布と比較すると、t 分布は残差の高い値と低い値をより適切に適応させます。発表者は、t 分布を使用した GARCH モデルがガウス分布を使用した GARCH モデルと同様にボラティリティを推定する方法と、リスク制限値での価値を計算するために使用できることを示します。全体として、t 分布は正規分布の適切な近似となる可能性があり、発表者は、時系列データをより適切にモデル化するためにさまざまな分布を探索することを推奨しています。

  • 00:20:00このセクションでは、教授は正規分布による t 分布の近似について説明します。通常、t 分布は、自由度 25 ~ 40 の正規分布の適切な近似であると考えることができます。教授は、標準正規分布と自由度 30 の標準 t 分布の確率密度関数を比較するグラフを示しています。このグラフは、2 つの分布が非常に近いものの、分布の裾部分が異なっていることを示しています。 t 分布には、正規分布よりも重い裾分布があります。教授はまた、ボラティリティ クラスタリングとそれを処理する GARCH モデルの能力についても説明します。さらに教授は、戻り値の裾がガウス分布よりも重いことを指摘しており、宿題では GARCH モデルがこれをどのように処理できるかが取り上げられています。

  • 00:25:00このセクションでは、GARCH モデルと金融時系列のモデリングにおけるその有用性について説明します。 GARCH モデルは、共分散定常時系列のモデル化に適しています。この場合、ボラティリティ測定は超過リターンの 2 乗の測定値であり、本質的には長期平均を持つ共分散定常プロセスです。 GARCH モデルは、長期平均と比較したボラティリティを記述するのに優れており、予測への有用性の観点から、ボラティリティがある程度の割合で平均値に戻ると予測します。ボラティリティが元に戻る速度は持続性パラメータによって与えられ、alpha_1 と beta_1 を加算することで測定できます。 alpha_1 と beta_1 の合計が大きいほど、ボラティリティはより持続的になります。 GARCH モデルには多くの拡張機能があり、次のトピックである多変量時系列では、多変量 Wold 表現定理について説明します。

  • 00:30:00このセクションでは、時間の経過とともに変化する複数の変数をモデル化するための単変量時系列の拡張を含む多変量時系列について学びます。共分散定常性の定義を有限で有界な 1 次および 2 次モーメントに拡張します。ここでは、M 次元の値を持つ確率変数が M 個の異なる時系列として扱われます。多変量プロセスの t 番目の観測値の分散共分散行列については、X_t から mu を掛けた X_t から mu を引いた素数の期待値である gamma_0 を定義します。次に、共分散行列 gamma_0 に、この行列の対角の平方根をもつ対角行列を事前乗算および事後乗算することによって、相関行列 r_0 が得られます。

  • 00:35:00このセクションでは、多変量時系列の現在値がそれらの値の k 番目の遅れとどのように共変動するかを調べる相互共分散行列の概念が導入されました。現在の周期ベクトル値である Gamma_k は、それらの値の k 番目の遅れと共変します。これらの行列のプロパティは、gamma_0 の対角が分散の対角エントリの共分散行列であるとして説明されました。一変量ウォルド分解定理を拡張した高度な定理であるウォルド分解定理の存在についても触れました。この定理は、経済時系列における変数間の因果関係の判断を特定するのに役立ちます。

  • 00:40:00このセクションでは、共分散定常過程の Wold 分解表現の概念が導入されます。この処理は、ホワイトノイズの確定処理と移動平均処理の和として表される。多変量の場合、決定論的プロセスは線形または指数関数的なトレンドになる可能性があり、ホワイト ノイズ プロセスは平均 0 と正の半定値分散/共分散行列をもつ m 次元ベクトルです。イノベーションとは、モデル化されたプロセスに関する、これまでの情報では予測できない混乱のことです。プロセスが共分散定常となるためには、共分散行列の項の合計が収束する必要があります。

  • 00:45:00このセクションでは、プロセスに影響を及ぼし、以前は利用できなかった情報のビットを表現する方法として、Wold 分解について説明します。次に、このセクションではベクトル自己回帰プロセスについて説明します。ベクトル自己回帰プロセスでは、多変量系列の特定のコンポーネントが他の変数または多変量系列のコンポーネントにどのように依存するかをモデル化します。次に、ベクトル自己回帰を使用して p 次プロセスを 1 次プロセスとして再表現する概念について説明します。これは、複雑なモデルの分析を簡略化するために時系列手法で使用される強力な手法です。

  • 00:50:00このセクションでは、講演者が Z_t ベクトルと Z_(t-1) ベクトルを使用した多変量確率過程の表現と、それをより大きな多変量系列を持つ 1 次時系列モデルに変換する方法について説明します。コンパニオン行列 A のすべての固有値の法が 1 未満の場合、プロセスは静止しています。これにより、プロセスが時間の経過とともに増加するときに爆発的な動作が起こらなくなります。この要件は、多項式の根がすべて単位円の外側にあることと同じです。この抜粋では、多項式の次数については言及されていません。

  • 00:55:00このセクションでは、方程式の両側の期待値を考慮して、定常 VAR プロセスの平均を計算することに焦点を当てています。プロセスの無条件平均は、2 行目から 3 行目の mu を解くことで得られます。ベクトル自己回帰モデルは、多変量系列の各成分に対応する m 個の回帰モデルから構成される回帰方程式系として表現されます。 m 番目の回帰モデルは、行列の j 番目の列を Z beta j および epsilon j としてモデル化します。ここで、Z は多変量プロセスの遅れた値のベクトルです。この計算では、p 個のプリサンプル観測が利用可能であると仮定します。

  • 01:00:00このセクションでは、時系列分析のための多変量回帰モデルについて講演者が説明します。このモデルは、p lags までの多変量系列全体の遅れに関する線形回帰モデルで構成され、回帰パラメーターは βj によって与えられます。これは、ファイ行列のさまざまな要素に対応します。講演者は多変量回帰モデルを定義し、各コンポーネント系列の単変量回帰モデルを個別に考慮して多変量回帰モデルを指定する方法を説明します。これは、一見無関係に見える計量経済学の回帰に関連しています。

  • 01:05:00講義のこのセクションでは、教授は線形回帰のパラメータの推定方法と、イノベーション項の分散と共分散を推定する方法について説明します。このプロセスには、線形回帰のパラメーターに直接的な推定方法を適用し、イノベーション項の分散/共分散を推定することが含まれます。重要な結果は、これらのコンポーネントごとの回帰が多変量回帰の最適推定値でもあるということです。この理論ではクロネッカー積演算子が使用されており、行列を取得して列をスタックする vec 演算子に適用されます。

  • 01:10:00このセクションでは、ベクトル化演算子の概念が導入され、用語をより便利な形式に操作する際のその使用法が説明されます。多変量回帰モデルは行列構造を使用して設定され、線形回帰形式で表現されます。ベータ行列、イプシロン、y をベクトル化することで、これらのモデルを使用した最尤推定における尤度関数を定義できます。この正規線形回帰モデルの同時密度に等しい未知のパラメータ beta star、sigma は、独立変数行列 X star と分散/共分散行列 sigma のより複雑な定義を使用した回帰分析で以前に使用されていたものに対応します。星。

  • 01:15:00このセクションでは、集中対数尤度の概念について説明し、回帰パラメータ ベータの推定が共分散行列 sigma から独立していることを明らかにします。これにより、共分散行列の推定中に最大化する必要がある尤度関数を集中させることができます。最大化は、行列の行列式の対数から n を引いたもの (その行列のトレースとその推定値の 2 倍) によって行われます。さらに、Akaike 情報量基準、Bayes 情報量基準、Hannan-Quinn 基準などのモデル選択基準を適用できます。最後に、ベクトル自己回帰をマクロ経済変数に当てはめる例を示し、成長、インフレ、失業、金利政策の影響の観点からどのような要因が経済に影響を与えるかを理解することの重要性を示しています。

  • 01:20:00このセクションでは、講演者は時系列データを分析するためのベクトル自己回帰モデルの使用について説明します。研究されている具体的な変数は、失業率、連邦資金、CPI (インフレの尺度) です。自己相関関数と偏自己相関関数の多変量バージョンは、これらのモデルの変数間の相互ラグを捕捉するために使用されます。次に、インパルス応答関数を使用して、多変量時系列のコンポーネントの 1 つにおけるイノベーションが他の変数に及ぼす影響を理解します。これは、移動平均表現とこれらの時系列モデルとの関係を理解する上で重要です。
11. Time Series Analysis II
11. Time Series Analysis II
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Peter KempthorneT...
 

12. 時系列分析Ⅲ



12. 時系列分析Ⅲ

この時系列分析に関する YouTube ビデオでは、教授がさまざまなモデルとそのさまざまなシナリオへの応用について取り上げています。このビデオでは、ベクトル自己回帰 (VAR) モデル、共積分、線形状態空間モデルなどのトピックを詳しく説明します。これらのモデルは、自己相関係数や偏自己相関係数を調べることによって、失業率、インフレ、経済成長などの変数を予測するために非常に重要です。

このビデオは、時系列モデルの推定と予測に使用される線形状態空間モデリングとカルマン フィルターを紹介することから始まります。線形状態空間モデリングには、モデル推定プロセスを容易にするために観測方程式と状態方程式を設定することが含まれます。強力なツールであるカルマン フィルターは、尤度関数を計算し、推定と予測に不可欠な用語を提供します。

次に、講師は自己回帰移動平均 (ARMA) プロセスの状態空間表現を導出する方法を説明します。このアプローチにより、時系列内の変数間の関係を柔軟に表現できます。このビデオは、ARMA プロセスの特定の状態空間表現を定義した 1993 年の Harvey の研究の重要性を強調しています。

次に、ビデオでは、成長、インフレ、失業を予測するためのマクロ経済変数への VAR モデルの適用について説明します。自己相関係数と偏自己相関係数を分析することで、研究者は変数間の関係を判断し、パターンと相関を特定できます。このビデオでは回帰モデルの例が示されており、遅行失業率、フェデラル ファンド金利、CPI の関数としてフェデラル ファンド金利をどのようにモデル化できるかを示しています。この例は、失業率の上昇が翌月のフェデラル・ファンド金利の低下につながる傾向があることを明らかにしています。

次に共積分の概念が導入され、非定常時系列とその線形結合に対処します。共積分には、対象の変数と組み合わせたときに定常プロセスを生成するベクトル ベータを見つけることが含まれます。このビデオでは、金利の期間構造、購買力平価、現物と先物の関係などの例について説明しています。エネルギー先物、特に原油、ガソリン、灯油契約を使用した図は、共統合の概念を示しています。

このビデオでは、VAR モデルの推定と共積分ベクトル自己回帰プロセスの分析についてさらに詳しく説明しています。 Sims、Stock、および Watson の研究が参照されており、これらのモデルに最小二乗推定量をどのように適用できるかを示しています。共積分関係の最尤推定とランク テストについても説明します。拡張ディッキー・フラー検定を使用した非定常性の検定を含む、亀裂の広がりデータに関するケーススタディが示されています。次に、ビデオは原油先物データと非定常性および統合注文の決定に焦点を当てています。 Johansen 手順は、共積分プロセスのランクをテストするために使用されます。定常関係に対応する固有ベクトルは、原油先物、ガソリン (RBOB)、灯油の間の関係についての洞察を提供します。

次に、経済学や金融で使用されるさまざまな時系列モデルを表現する方法として、線形状態空間モデルを紹介します。状態方程式と観測方程式について説明し、このモデリング フレームワークの柔軟性を示します。このビデオでは、線形状態空間モデルとして時間変化ベータを使用した資本資産価格設定モデルの表現を示しています。回帰パラメータに時間依存性を組み込むことにより、モデルは動的な変化を捉えます。さらに、講師は回帰パラメータが独立したランダム ウォークに従うと仮定して、時間の経過とともに変化する回帰パラメータの概念について説明します。新しいデータが追加されると回帰を再帰的に更新する結合状態空間方程式とその実装について説明します。次数 P の自己回帰モデルと次数 Q の移動平均モデルは、線形状態空間モデルとして表現されます。

次に、講義では状態方程式と観測方程式を詳しく掘り下げ、基礎となる状態間を遷移する際のそれらの役割を強調します。 ARMA プロセスの状態空間表現の導出について検討し、状態とその基礎となる変換行列を定義する際の柔軟性を強調します。
この講義では、時系列解析への線形状態空間モデルの応用の概要を説明します。講演者は、これらのモデルを使用して、観察されたデータと基礎となる状態の両方を組み込むことで、対象の変数を推定および予測できると説明します。再帰的アルゴリズムであるカルマン フィルターを利用することで、モデルは観測データに基づいて状態の条件付き分布を計算したり、将来の状態や観測を予測したりできます。

この講義では、線形状態空間モデルの主要なコンポーネントを理解することの重要性を強調します。状態方程式は、時間の経過に伴う基礎的な状態の遷移ダイナミクスを表し、一方、観測方程式は、観察されたデータを基礎的な状態に関連付けます。これらの方程式は、初期状態分布とともに、モデルの構造を定義します。
講師は線形状態空間モデルの推定プロセスについて説明します。最尤推定は、観察されたデータに基づいてモデルの未知のパラメーターを推定するために一般的に使用されます。カルマン フィルターは、モデルとデータ間の適合度を測定する尤度関数を計算することにより、このプロセスで重要な役割を果たします。

さらに、この講義では、線形状態空間モデルがさまざまな経済および金融現象をモデル化するための柔軟なフレームワークを提供することを強調しています。これらを使用して、自己回帰モデル、移動平均モデル、さらには時変ベータを使用した資本資産価格設定モデルなどのより複雑なモデルを表現できます。この多用途性により、線形状態空間モデルは経済学や金融の研究者や実務者にとって貴重なツールになります。線形状態空間モデルの実際の応用をさらに説明するために、講義では原油先物契約のケーススタディを紹介します。講演者は、原油、ガソリン、灯油などのさまざまな先物契約の価格間の関係を分析することで、線形状態空間モデルを利用してパターンを特定し、価格を予測し、エネルギー市場のリスクを評価する方法を示します。

要約すると、このビデオでは、線形状態空間モデルとその時系列解析におけるアプリケーションの包括的な概要を提供します。カルマン フィルターを活用することで、これらのモデルを使用すると、研究者は対象の変数を推定および予測し、基礎となる状態のダイナミクスを理解し、変数間の複雑な関係を捉えることができます。この講義では、さまざまな経済および金融の状況における線形状態空間モデルの柔軟性と有用性を強調し、線形状態空間モデルが実証分析と意思決定のための貴重なツールとなることを強調します。

  • 00:00:00このセクションでは、教授は経済の成長、インフレ、失業の予測に使用できるマクロ経済変数を紹介し、ベクトル自己回帰フィッティング モデルの概要に焦点を当てます。モデル内の特性多項式の根は非定常であることが判明し、これをモデル化するには別の級数を使用する必要があることがわかりました。この非定常性を排除するために、教授は最初の差分をモデル化することを提案しています。これは、すべての系列の差分を取得し、欠損値を除去することで実行できます。グラフには、統計的に有意であることが示される対角自己相関関数や相互相関などの差分系列の時系列プロパティが表示されます。偏自己相関関数についても説明します。これには、すべての低次ラグを説明した後の変数と別のラグの間の相関が含まれます。

  • 00:05:00このセクションでは、ビデオでは、研究者が複数のマクロ経済変数間の構造的関係をモデル化できるベクトル自己回帰モデルの使用について説明します。この例では、失業率、フェデラル ファンド金利、CPI の 3 つの変数に焦点を当てています。自己相関係数と偏自己相関係数を調べることで、研究者はこれらの変数間の関係を判断し、パターンと相関関係を特定できます。このビデオでは、遅行失業率、フェデラルファンド金利、CPIの関数としてのフェデラルファンド金利の回帰モデルも提供しています。このモデルは、失業率が上昇した場合、来月FRB金利が引き下げられる可能性が高いことを示しています。このビデオでは、自己回帰パラメータを推定し係数を解釈する際に信号対雑音比を理解することの重要性を強調しています。

  • 00:10:00ビデオのこのセクションでは、講演者が共和分の概念を紹介します。これは、非定常時系列を扱う時系列分析の主要なトピックです。議論は共積分が関連する文脈から始まり、ある次数 d で積分される確率過程、つまり d 番目の差が定常であることを意味します。最初の差分を取得すると定常性が得られますが、このプロセスでは一部の情報が失われ、共積分により、統計モデリングに使用できるすべての情報を体系的に特徴付けるためのフレームワークが提供されます。非定常プロセスは依然としてベクトル自己回帰表現を持つことができ、これはホワイト ノイズ イプシロンに等しい x の多項式ラグとして表現でき、それを定常性に還元するには d 次の差を取る必要があります。

  • 00:15:00ビデオのこのセクションでは、共和分の概念が、多変量時系列の線形結合が定常である可能性がある状況に対処する方法として導入されています。これは、多変量時系列がプロセスの定常な特徴を表すことを意味します。共積分には、x およびベータ素数 X_t の線形重みが定常プロセスとなるようなベクトル ベータを見つけることが含まれます。共積分ベクトルは任意にスケールできますが、プロセスの最初の成分系列を 1 に設定するのが一般的です。この関係は、金利、購買力平価、資金需要の期間構造など、経済学と金融のさまざまな方法で発生します。 、金利平価、一価の法則、現物と先物をカバーしました。この概念を説明するために、エネルギー先物の例を示します。

  • 00:20:00このセクションでは、教授が CME で取引される原油、ガソリン、灯油の先物契約の時系列について説明します。彼は、ガソリンと灯油の先物価格が原油という投入物のコストにどのように依存するべきかを説明します。教授は先物価格のプロットを示しています。これは、投入量に対する同じ産出量の単位を表しています。同氏は、ガソリンと灯油の先物価格は一貫して原油投入先物価格を上回っているが、どちらが大きいかによって変動すると指摘する。灯油先物価格と原油先物価格の差は、精製コスト、需要と供給、季節的影響、製油所の利益を含む、産出量から投入量を差し引いた値のスプレッドを表します。

  • 00:25:00このセクションでは、単変量モデルを拡張する次数 p のベクトル自己回帰モデルについて説明します。この講義では、ある系列の自己回帰が他のすべての系列に依存し、平均 0 と何らかの共分散構造を持つ多次元ホワイト ノイズが形成されることを説明します。次数 1 を統合するプロセスについても、いくつかの追加項による差異に関連する導出プロセスとともに説明します。最後に、講義では系列の差分の方程式を提供します。これは、定数に最初の差分多変量系列の行列倍を加え、さらに別の行列に 2 番目の差分を掛けたものに等しく、p 番目まで続きます。違い。

  • 00:30:00このセクションでは、ビデオでは、遅延系列と差分系列を使用して時系列の非定常性を排除するプロセスについて説明します。このモデルは、定常的な差分系列の確率過程モデルを表現します。ラグの行列倍である項は定常ですが、pi X_t 項には、行列 pi の特定に関わる共積分項が含まれています。元の系列には単位根があったため、行列 pi のランクは低くなり、共積分関係が定義されます。 beta の列は、x を共積分する線形独立ベクトルを定義します。 pi の分解は一意ではなく、プロセスが静止している r 次元空間で座標系を定義することによって、行列 pi をアルファ ベータ プライムとして表現できます。

  • 00:35:00このセクションでは、講演者がベクトル自己回帰モデルの推定と、元のモデルの最小二乗推定器を共積分ベクトル自己回帰プロセスの分析にどのように使用できるかを示すシムズ、ストック、ワトソンの研究について説明します。 。講演者は、共積分関係のランクの検定を行う最尤推定など、これらのモデルの推定方法に関する高度な文献についても言及しています。亀裂の広がりデータに関するケース スタディについても説明します。これには、最初に最も近い契約である CLC1 の p 値 0.164 をもたらす拡張ディッキー フラー テストを使用した、基礎となる系列の非定常性のテストが含まれます。

  • 00:40:00このセクションでは、発表者は原油先物データの非定常性と積分順序について議論し、モデルを指定する際には非定常性への対応が必要であることを示唆しています。共積分過程のランクをテストするためにヨハンセン手順を実行した結果は、強い非定常性が存在しないことを示唆しており、定常関係に対応する固有ベクトルは、原油先物では 1、RBOB では 1.3、および RBOB では 1.3 の係数によって与えられます。灯油では-1.7。原油とガソリンを差し引いた灯油の組み合わせは時間の経過とともに変化しないと考えられ、これは生産リスクをヘッジしたい精製業者にとって役立つ可能性がある。

  • 00:45:00このセクションでは、講演者は、経済学や金融で使用される多くの時系列モデルを表現するために使用できる線形状態空間モデルのトピックを紹介します。モデルには、時間 t での観測ベクトル、基礎となる状態ベクトル、時間 t での観測誤差ベクトル、および状態遷移イノベーション誤差ベクトルが含まれます。講演者は、モデル内の状態方程式と観測方程式 (状態と観測にノイズを加えた線形変換) と、それらを結合方程式に書き込む方法について説明します。表記法は複雑に見えるかもしれませんが、変数間の関係を非常に柔軟に指定できます。

  • 00:50:00このセクションでは、講演者は、時変ベータを使用した資本資産価格設定モデルを線形状態空間モデルとして表現することについて説明します。このモデルは、回帰パラメータに時間依存性を追加することで、前のモデルを拡張します。アルファとベータは時間によって変化し、アルファはガウス ランダム ウォークであり、ベータもガウス ランダム ウォークです。状態方程式は、ランダム ウォーク項を追加することによって調整され、s_(t+1) が T_t s_t に R_t eta_t を加えたものに等しくなります。線形状態空間フレームワークの複素表現を使用します。観測方程式は、r_(m,t) の単位要素行行列である Z_t 行列によって定義されます。共分散行列はブロック対角構造を持ち、イプシロンの共分散が H、R_t eta_t の共分散が R_t Q_t R_t 転置となります。最後に、講演者は、p 個の独立変数が時間変化する可能性がある線形回帰モデルの 2 番目のケースを検討します。

  • 00:55:00このセクションでは、回帰パラメータが独立したランダム ウォークに従うと仮定して、時系列で時間の経過とともに回帰パラメータを変更するという概念が導入されます。結合状態空間方程式と、新しいデータが追加されるにつれて回帰を再帰的に更新するための線形状態空間の実装について説明します。次数 P の自己回帰モデルについても説明し、線形状態空間モデルがどのように進化するかの構造を概説します。最後に、次数 Q の移動平均モデルは線形状態空間モデルとして表現されます。

  • 01:00:00このセクションでは、基礎となる状態間の遷移を与えるために使用される状態方程式と観測方程式について講師が説明します。彼らは、自己回帰移動平均モデルの例を使用して、線形状態空間モデルの設定によってモデルの推定プロセスがどのように容易になるかを示しています。講義はさらに、93 年の Harvey の研究が ARMA プロセスの特定の状態空間表現をどのように定義したか、また、状態と基礎となる変換をどのように定義するかに応じて、特定のプロセスに対して多くの異なる等価な線形状態空間モデルが存在する方法について説明します。行列 T。最後に、講義は ARMA プロセスの状態空間表現を導き出します。

  • 01:05:00このセクションでは、講演者は、観測値を使用して 2 番目の状態を反復的に解き、モデル方程式を書き換えることによって、線形状態空間モデルの遷移行列 T の単純なモデルを作成する方法を説明します。このプロセスにより、基礎となる状態が観測値に置き換えられ、最初の列として自己回帰成分と R 行列の移動平均成分のベクトルを持つ遷移行列 T が生成されます。線形状態空間モデリングの有効性は、時刻 t までの情報に基づいて t+1 における基礎となる状態の確率密度関数と将来の状態の結合密度を再帰的に計算するカルマン フィルターを備えた完全な仕様にあります。時刻 t までの情報が与えられた t+1 での観測と、時刻 t までの情報が与えられた次の観測の周辺分布。カルマン フィルターの実装には、オメガによって決定される条件付き平均、共分散、平均二乗誤差を含む表記が必要です。

  • 01:10:00このセクションでは、トランスクリプトでカルマン フィルターについて説明します。カルマン フィルターには、時系列の状態ベクトルと観測値を予測するのに役立つ 4 つのステップがあります。フィルター ゲイン マトリックスは、何が起こったかに応じて基礎となる状態の予測を調整するために使用され、各観測からどれだけの情報が得られるかを特徴づけます。時刻 t における状態の不確実性は、観察したものと予測したものとの差を最小限に抑えることで軽減されます。また、予測ステップもあり、1 期間先の状態を予測し、以前の状態を考慮して将来の状態の共分散行列を更新します。最後に、平滑化ステップでは、時系列全体の情報が与えられた場合に、基礎となる状態の条件付き期待値を特徴付けます。

  • 01:15:00このセクションでは、講演者は、線形状態空間モデルの尤度関数を計算し、プロセスを連続的に予測するためのツールとしてカルマン フィルターを紹介します。彼らは、尤度関数は、データの履歴を考慮した連続する各観測値の条件付き分布の積であると説明しています。カルマン フィルターは、この推定に必要なすべての項を提供します。誤差項が正規分布している場合、これらの推定値の平均と分散はプロセスの正確な分布を特徴づけます。さらに、カルマン フィルターは、基礎となる状態と観測値の分布の平均行列と共分散行列を更新します。
12. Time Series Analysis III
12. Time Series Analysis III
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13. コモディティモデル



13. コモディティモデル

このビデオでは、講演者が商品モデルの複雑な世界を掘り下げ、この分野の定量アナリストが直面する課題を強調しています。これらは、戦略的な原油購入と貯蔵を通じて達成された 2009 年の Trafigura の記録的な利益など、洞察力に富んだ例を提供しています。講演者は、ストレージの入札に関するさまざまな戦略、最適化の問題、商品モデルの安定性と堅牢性の重要性について説明します。さらに、電力価格に必要な独自の考慮事項に焦点を当て、商品価格のモデリングの複雑さを調査します。講演者は、債券市場、外国為替市場、株式市場で使用されているアプローチとは区別し、商品環境に合わせた代替方法論を提案しています。

このビデオは、商品分野の定量アナリストが取り組む特定の問題に光を当てることから始まります。 2009 年の原油価格の劇的な下落から巨額の利益を得た企業、Trafigura を取り上げたわかりやすい例が紹介されます。講演者は、コンタンゴとバックワーデーションの概念を強調しながら、商品市場で先物契約がどのように機能するかを説明します。コンタンゴとは、将来のスポット価格が現在のスポット価格を超えるシナリオを指し、トレーダーは価格下落期間中でも利益を得ることができます。

次に講演者は、原油価格が 1 バレルあたり 35 ドルから 60 ドルに急騰した 2009 年 2 月から 2010 年にかけての Trafigura の収益戦略を詳しく掘り下げます。 35 ドルで借り入れ、原油を購入して保管し、その後高価格の 60 ドルで販売することで、トラフィグラは 1 バレルあたり 25 ドルという驚異的な利益を達成しました。この戦略は、数百万バレルの貯蔵を伴う大規模な規模で採用され、大きな利益をもたらしました。講演者は、コストを回収し、追加の利益を効果的に生み出すために、ストレージオークションで慎重な戦略を立てる必要性を強調しました。

このビデオでは、コモディティ モデルのストレージに入札するための 2 つの異なる戦略について説明します。最初の戦略では、トレーダーが 8 月の先物契約に入札し、借入を必要とせず 12 月に売却します。 2 番目の戦略はクオンツが採用しており、8 月限と 12 月限の間でスプレッド オプションを売却することを伴います。このオプションの価値は 2 つの契約間の価格差によって決定され、プラスの差はオプション所有者に利益をもたらし、マイナスの差は利益を生み出しません。 2 番目の戦略はより複雑ですが、会社に付加価値をもたらします。

コモディティ モデルを使用して 8 月 1 日に製品を販売する利点については、次のセクションで説明します。その特定の日にオプションを売却することにより、売り手は、通常は現在の市場価格よりも高い、公式で決定されたオプションの価値を受け取ります。これにより、売り手は入札時に有利な立場に立つことができ、任意の利益率を得ることができます。講演者はまた、オプション リスクの計算と、そのリスクを軽減するために実物資産を活用する方法についても説明します。

次にビデオでは、コモディティモデル内のスプレッドオプションの複雑さを掘り下げ、技術的、契約的、法的、環境的な制約を考慮しながら最も価値のあるオプションのポートフォリオを決定する必要性を強調しています。講演者は、注入率と引き出し率の制限を考慮して、オプション満了時の価値の抽出を保証する方法でオプションのポートフォリオを販売することの重要性を強調しました。

コモディティモデルとストレージに関係する最適化問題については、別のセクションで説明します。この問題は、ストレージ容量が使い果たされたときに商品オプションから価値を抽出すること、およびストレージが空になったときにストレージから販売することを中心に展開しています。講演者は、問題に関係する変数と制約について説明し、一連のオプションを通じてポートフォリオを最適化することがどのように利益の最大化につながるかを示します。この問題は複雑であるため、ブール変数を使用し、利益を最大化することに重点を置く必要があります。

このビデオでは、商品モデルの課題、特に注入率と回収率、生産能力の制約、量や価格などの未知の変数に関連する課題をさらに掘り下げています。これらの要因は問題の非線形な性質に寄与しており、多数の変数や制約を扱う場合、解決が非常に困難になります。近似、モンテカルロ シミュレーション、確率的制御などのいくつかのアプローチを使用して、商品モデルの複雑さに対処できます。ただし、結果の精度は、使用するパラメーターの精度に大きく依存します。最も綿密な方法論であっても、パラメーターが間違っている場合は、誤った結果が生じる可能性があります。

次に講演者は、価格変動の完全な豊かさを捉えることよりも堅牢性と安定性を優先する、商品モデリングに選択した方法論について議論を続けます。モデルを過度にパラメータ化すると不安定性が生じ、わずかな変更でもその値に大きな影響を与える可能性があるため、モデルを過度にパラメータ化しないように警告しています。異なるアプローチを採用することで、安定性と堅牢性を優先し、外部の規制当局がモデルを検証できるようにしています。さらに、モデルの各コンポーネントは市場で取引でき、これは現在の市場環境において非常に重要です。動的ヘッジの概念も説明され、単純なプレーヤー関数を使用して、アクティブなオプション市場なしでオプションの価値を複製し、支払いを実行するためにどのように使用できるかを示します。

講演者は、動的ヘッジを通じてオプションの支払いを再現するという概念をさらに深く掘り下げています。この戦略により、トレーダーは買い手がいない場合でもポートフォリオを販売できるようになります。彼らは、価値を引き出す戦略を策定し、その計画を成功させるために保管施設運営者と協力することの重要性を強調しています。講演者は、このアプローチをタンカーや発電所などの物理的資産のモデルに拡張して、電気や燃料の価格に基づいて情報に基づいた意思決定を行うことで利益を最大化する方法を説明します。各資産の性質は異なる場合がありますが、概念的なアプローチは同じであるため、各資産に関連する固有の複雑さと制約を包括的に理解する必要があります。

続くセクションでは、ビデオでは、発電所の効率に基づいて 1 メガワット時の電力を生成するコストを計算するプロセスを説明します。 mm BTU で測定される熱量として定量化される効率は、1 メガワット時の電力を生成するために必要な天然ガスの量を示します。天然ガス発電所に対応する定数は通常 7 ~ 20 の間にあり、値が低いほど効率が高いことを示します。空調や人件費など、1 メガワット時の発電に関連する追加コストも考慮されます。このビデオでは、発電所の価値の決定と、発電所取得に対する適切な支払いを確認するための価格と燃料費の分布の構築についてさらに詳しく説明しています。

商品価格、特に電力価格のモデル化の課題については、次のセクションで説明します。データにはファット テールとスパイクが存在するため、ブラウン運動を使用して電力価格の分布を正確にモデル化することはできません。さらに、電力価格の変動性は株式市場に比べて大幅に高くなります。講師は、これらの課題はすべての地域に共通していることを強調し、電力価格の動きを正確に表すためにスパイクの平均回帰を捉える必要性を強調しました。高い尖度、レジーム切り替え、非定常性などの他の現象もモデルに組み込む必要があります。

このビデオでは、平均回帰、ジャンプ、レジームスイッチングなどのさまざまなアプローチを強調しながら、商品価格のモデリングに関連する課題を検討しています。ただし、これらのモデルは複雑で管理が難しい傾向があります。その代わりに、講演者は、債券市場、外国為替市場、株式市場で採用されている方法論とは異なる、コモディティ分野に特化した独自の方法論を提案しています。このアプローチは、商品市場の特徴や複雑さによりよく適合します。

講演者は、商品価格は主に需要と供給のダイナミクスによって左右されると強調する。しかし、価格のみに基づく従来の方法論では、商品価格の動きの複雑さを把握するには不十分であることが判明しています。この問題に対処するために、講演者は、モデルが入手可能な市場データと一致していることを確認しながら、基本的なモデリングを組み込むことを提案しています。彼らは、さまざまな効率を持つ発電所からの入札のオークションを通じて電力価格がどのように形成されるか、そして最終価格が需要に基づいてどのように決定されるかについて説明します。需要と価格の関係を表す結果の散布図は、ランダムな燃料価格要因の影響により多様な分布を示しています。

さらに講演者は、発電コストは燃料の価格に依存するため、電力の価格は需要と燃料の価格の両方によって決まると説明します。さらに、市場は有限であり、いくつかの発電所でダウンタイムが発生すると電力価格に影響を与える可能性があるため、停電の発生をモデル化する必要があります。これらの要素を組み込むために、講演者は、市場の各参加者の発電コストを表す発電スタックを構築することを提案しています。燃料価格と停止を考慮することで、市場価格とオプション価格に正確に一致するように発電スタックを調整できます。

ビデオは、電力価格の推移を理解するためにさまざまな商品をモデル化する方法について説明します。講演者は、燃料価格、停電、需要の挙動をモデル化するプロセスについて説明します。その後、需要、停止、変動費、燃料価格などの要因によって決定される曲線を表す発電スタックが構築されます。パラメーターは、電力価格の順方向曲線やその他の関連する市場パラメーターと一致するように慎重に選択されます。このアプローチにより、電力市場の価格高騰を比較的容易に捉えることができます。講演者は、天然ガス、灯油、重油は貯蔵可能な商品であるため、その挙動がより規則的でモデル化が容易になると述べています。

今後、講演者は、温度、供給、需要などの要素を考慮して、市場の電力価格を予測するために商品モデルをどのように活用できるかを強調します。モンテカルロシミュレーションを活用し、燃料価格の分布を包括的に理解することで、温度変動による価格高騰を正確にシミュレーションすることができます。このモデルは、市場の相関構造を入力として必要とせずに正確に捕捉します。ただし、あらゆる発電所や市場の変化を追跡する必要があるため、このようなモデルを維持するには大量の情報と組織が必要であることが強調されます。

ビデオの最後のセクションでは、講演者はさまざまな市場向けの商品モデルの構築に伴う課題を認めています。このプロセスは何年にもわたる開発を必要とする大規模な作業であり、費用がかかる取り組みとなります。複雑な内容にもかかわらず、講演者は取り上げられたトピックがディスカッションを終えるのに良い点であると信じており、視聴者に残りの質問があれば質問するよう促しています。

全体として、このビデオは、商品モデルを構築する際に定量分析者が直面する課題について貴重な洞察を提供します。これは、モデル化アプローチにおける安定性と堅牢性を優先することの重要性、商品価格のモデル化の複雑さ、電力価格の形成における供給、需要、燃料価格などの基本的要因の役割を強調しています。講演者はまた、業界関係者との協力の重要性と、さまざまな市場向けの商品モデルを維持および更新するために必要な継続的な努力についても強調しました。

  • 00:00:00このセクションでは、講演者は、他の市場の問題と比較して、商品の世界で定量アナリストが解決する問題について説明します。同氏は、石油価格が歴史的低水準に下落した2009年に記録的な利益を上げたTrafiguraの例を挙げた。また、先物契約とそれが商品市場でどのように機能するかについても話し、特にコンタンゴとバックワーデーションの概念について説明します。コンタンゴとは、将来のスポット価格が現在のスポット価格よりも高価であることを意味し、トレーダーは価格が安いときでも利益を得ることができます。

  • 00:05:00このセクションでは、原油価格が 35 ドルから 60 ドルに上昇した 2009 年 2 月から 2010 年までの期間に、Trafigura がどのようにして利益を上げたかについて講演者が説明します。同社は35ドルを借りて1バレルの原油を購入し、はるかに高い60ドルで売却できるまで保管した。これにより、バレルあたり 25 ドルの利益を得ることができ、これに乗じて 5,000 ~ 6,000 万バレル以上の貯蔵ラックが巨額に達しました。講演者は、オークションで保管庫に入札するには、保管庫に支払った金額を回収し、追加の利益を得る方法を慎重に戦略を立てる必要があると強調しています。

  • 00:10:00このセクションでは、ビデオでは、コモディティ モデルのストレージに入札するための 2 つの戦略について説明します。 1 つ目は、トレーダーがお金を借りることなく、8 月の先物契約に入札し、12 月に売却する標準的な戦略です。 2 番目の戦略はクオンツが使用する戦略で、12 月と 8 月の契約の価格の差によって決定される 8 月から 12 月のスプレッド オプションを販売します。プラスの差額はオプション所有者に支払い、マイナスの差額はゼロです。後者の戦略はより複雑ですが、会社に付加価値をもたらします。

  • 00:15:00このセクションでは、講演者がコモディティ モデルを使用して 8 月 1 日に製品を販売する利点について説明します。同氏は、指定日にオプションを売却することで、売り手は式で決定されたオプションの価値を得ることができ、通常は現在の市場価値よりも高いと説明する。これにより、売り手は入札中に有利になり、任意の利益率を得ることができます。講演者は、オプションのリスクを計算する方法と、リスクを軽減するために実物資産をどのように使用できるかについても説明します。

  • 00:20:00このセクションでは、講演者がスプレッド オプションの概念について説明し、実際のその複雑さにさらに光を当てます。同氏は、ストレージに対して販売できるオプションのポートフォリオの価値を最適化するには、技術的、契約的、法律的、環境的な制約を考慮しながら、最も価値のあるオプションのポートフォリオを決定する必要があると説明しています。講演者はさらに、オプションのポートフォリオは、オプションの有効期限が切れるたびに価値を抽出できることが保証される方法で販売されるべきであり、注入率と引き出し率には制約があると指摘しました。

  • 00:25:00このセクションでは、講演者は商品モデルとストレージに関係する最適化問題について説明します。この問題には、保管場所に空きがない場合に商品オプションから価値を引き出す方法を見つけること、また逆に、保管場所が空の場合に保管場所から販売する方法を見つけることが含まれます。講演者は問題の変数と制約を説明し、一連のオプションを通じてポートフォリオを最適化する方法を示します。全体として、最適化問題は複雑ですが、ブール変数を使用し、利益の最大化に重点を置くことで解決できます。

  • 00:30:00このセクションでは、講演者は、注入率と回収率、最大および最小容量の制約、量や価格などの未知の変数を含む商品モデルの複雑な性質について説明します。問題は非線形になり、多数の変数と制約があるため解決が非常に困難になります。近似、モンテカルロ シミュレーション、確率的制御などのいくつかのアプローチを使用して商品モデルを解決できますが、結果の精度は使用されるパラメーターの精度に依存します。パラメーターが間違っていれば、最も正確な方法論であっても間違っている可能性があります。

  • 00:35:00このセクションでは、講演者が選択した商品モデリングの方法論について説明します。この方法論は、価格変動の豊かさを捉えることよりも堅牢性と安定性を優先するように設計されています。彼らは、モデルを過度にパラメータ化すると、不安定性や小さな変化が生じ、値が大幅に変化する可能性があると説明しています。安定性と堅牢性を優先するために、別のアプローチを使用して価値の一部を犠牲にしています。さらに、使用するモデルは外部規制当局によって検証でき、モデルのすべてのコンポーネントが市場で取引できることは、今日の時代において非常に重要です。さらに、動的ヘッジの概念と、それを使用してオプションの価値を複製し、アクティブなオプション市場なしで簡単なプレーヤー関数を使用して支払いに対応する方法についても説明します。

  • 00:40:00このセクションでは、動的ヘッジ戦略を使用してオプションの支払いを複製し、買い手がいない場合でもトレーダーがポートフォリオを売却できるようにするという概念について講演者が説明します。同氏は、価値を引き出すための戦略を立てることと、保管施設の運営者と協力して計画を成功裏に実行することの重要性を強調しています。次に講演者は、このアプローチをタンカーや発電所などの物理的資産のモデル化に使用して、電気や燃料の価格に基づいて情報に基づいた意思決定を行うことで利益を最大化する方法を説明します。各資産の性質は異なりますが、概念的なアプローチは同じであり、各資産のニュアンスと制約を理解する必要があります。

  • 00:45:00このセクションでは、ビデオでは、発電所の効率に基づいて 1 メガワット時の電力を生成するコストを計算するプロセスについて説明します。熱率として知られる効率は mm BTU で測定され、1 メガワット時の電力を生成するために何単位の天然ガスを燃焼する必要があるかを示します。天然ガス発電所に対応する定数は通常 7 ~ 20 であり、7 が最も効率的です。空調や人件費など、1 メガワット時の発電に関連するその他のコストも考慮されます。ビデオではさらに、発電所の価値を決定し、発電所にいくら支払うかを計算するために価格と燃料費の分布を構築するプロセスについて説明します。

  • 00:50:00このセクションでは、講師がコモディティモデル、特に電力価格の場合の課題について説明します。データにはファット テールとスパイクが存在するため、電力価格の分布はブラウン運動を使用してモデル化できません。ボラティリティも株式市場よりもはるかに高くなります。講師は、これらの課題はすべての地域に共通しており、電力価格の動向を把握するにはスパイクの回復が必要であることを意味すると指摘しています。捕捉する必要があるその他の現象には、高尖度、レジーム切り替え、非定常性などがあります。

  • 00:55:00このセクションでは、講演者が商品価格のモデリングの課題と、平均回帰、ジャンプ、レジームスイッチなどのさまざまなモデルがどのように使用されてきたかについて説明します。ただし、これらのモデルは複雑すぎて管理が困難です。講演者は、債券の世界、外国為替、株式とはまったく異なる方法論を提案しており、それはコモディティの観点からより適切で理解しやすいものです。

  • 01:00:00このセクションでは、講演者は商品価格が主に需要と供給によってどのように決まるかについて説明します。しかし、価格そのもののみに基づいて商品価格をモデル化する標準的な方法論は困難であることが判明しています。講演者は、この問題に対処するためにいくつかの基本的なモデリングを導入すると同時に、自分のモデルが入手可能なすべての市場データと一致することを確認することを提案しています。講演者は続けて、電力価格がさまざまな効率レベルの発電所からの入札を通じてどのように形成され、最終価格が需要に基づいてどのように決定されるのかについて説明します。結果として得られる需要対価格の散布図は、燃料価格のランダム要因により太いグラフを示します。

  • 01:05:00このセクションでは、発電コストは燃料価格に依存するため、電力価格は需要と燃料価格の両方によって決定されると講演者が説明します。市場は有限であり、いくつかの発電所が停止すると電力価格に影響を与える可能性があるため、停電もモデル化する必要があります。これらの要因をモデル化するために、講演者は、市場の各参加者の発電コストである発電スタックを構築することを提案しています。燃料価格と停止を知ることで、ビートスタックを生成できます。ビートスタックは、発電スタックに従い、市場価格とオプション価格に一致するように調整されます。

  • 01:10:00このセクションでは、講演者は、さまざまな商品をモデル化し、電力価格の推移を決定するために使用する方法を説明します。まず、燃料価格、停電、需要の推移をモデル化し、次に需要、停電、変動費、燃料によって決定される曲線である発電スタックを構築します。彼らは、電力価格やその他の市場パラメーターの順方向曲線に一致するパラメーターを選択します。このアプローチにより、電力価格の高騰をそれほど労力をかけずに把握することができ、天然ガス、灯油、重油は貯蔵可能な商品であるため、それらの動作がより規則的でモデル化が容易になります。

  • 01:15:00ビデオのこのセクションでは、講演者が商品モデルを使用して、温度と需給要因に基づいて市場の電力価格を予測する方法を説明します。モンテカルロ シミュレーションを使用し、燃料価格の分布を理解することで、温度変化による価格の高騰を正確に把握し、シミュレーションすることができます。さらに、このモデルは市場の相関構造を入力として必要とせずに正確に捉えます。ただし、このアプローチのマイナス面は、すべての発電所と市場で発生する可能性のある変化を追跡する必要があるため、維持するために多くの情報と組織が必要になることです。

  • 01:20:00このセクションでは、講演者がさまざまな市場向けの商品モデルを構築する際の課題について話します。大規模な作業が必要であり、開発には何年もかかるため、費用がかかるプロセスになります。講演者は、これはやめるべきだと考えていますが、視聴者からの質問を募っています。
13. Commodity Models
13. Commodity Models
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14. ポートフォリオ理論



14. ポートフォリオ理論

ポートフォリオ理論は、投資ポートフォリオのパフォーマンスと最適な構築に焦点を当てた金融の基本的な概念です。これには、複数の資産の期待リターン、ボラティリティ、相関関係を分析して、最も効率的なポートフォリオの配分を決定することが含まれます。効率的なフロンティアは、さまざまなレベルのボラティリティを持つ実行可能なポートフォリオの範囲を表します。無リスク資産を導入することにより、実現可能な集合は、無リスク資産と他の資産の組み合わせを含むように拡張され、直線を形成します。

パラメータの正確な推定は、ポートフォリオを評価し、ポートフォリオを最適化するための二次計画問題を解くために重要です。数式は、ロングのみのポートフォリオ、保有制約、ベンチマークエクスポージャー制約などのさまざまな制約に基づいて最適なウェイトを計算するために使用されます。効用関数は、富の選好を定義し、リスク回避を考慮しながら期待される効用を最大化するために使用されます。

このビデオでは、上場投資信託 (ETF) と市場中立戦略を使用したポートフォリオ理論の応用について詳しく説明します。市場要因に対するエクスポージャーの制限や最小取引規模など、ポートフォリオのリスクと変動を制御するために、さまざまな制約を実装できます。講演者は、ポートフォリオ分析ツールと最適なポートフォリオに対する資本制約の影響を考慮しながら、米国市場のさまざまな産業セクターに投資される9つのETFの最適な配分を検討します。ヘッジファンドが採用する市場中立戦略についても議論し、多様化と相関関係の低減の可能性を強調します。

ポートフォリオを評価する際には、適切なリスク尺度を選択することが重要です。一般的には平均分散分析が使用されますが、平均絶対偏差、半分散、バリューアットリスク、条件付きバリューアットリスクなどの代替リスク尺度を使用すると、追加の洞察が得られます。ファクター モデルの使用は分散共分散行列の推定に役立ち、ポートフォリオ最適化の精度が向上します。

ビデオ全体を通して、講演者は正確なパラメータ推定の重要性、ポートフォリオ構築に対する制約の影響、ポートフォリオ評価におけるリスク尺度の重要性を強調しています。ポートフォリオ理論は、より高いリターン、より低いボラティリティ、リスク回避の優先性を考慮して、不確実性の下で合理的な投資決定を行うためのフレームワークを提供します。これらの概念を適用することで、投資家はリスク許容度や投資目的に合わせたバランスの取れたポートフォリオを構築できます。

ビデオの後続のセクションでは、講演者がポートフォリオ理論の複雑さとその実践的な意味についてさらに詳しく説明します。ここで取り上げる重要なポイントの要約は次のとおりです。

  1. ポートフォリオ最適化の歴史的理論: 講演者は、マーコウィッツの平均分散最適化に焦点を当てて、ポートフォリオ最適化の歴史的基礎について議論することから始めます。このアプローチでは、平均リターンとボラティリティに基づいてポートフォリオを分析します。これは、リスクとリターンのトレードオフを理解するためのフレームワークを提供し、現代のポートフォリオ理論の基礎として機能します。

  2. 効用理論と不確実性の下での意思決定: 効用理論、特にフォン・ノイマン・モルゲンシュテルン効用理論は、不確実性の下で合理的な意思決定を導くために導入されています。効用関数は、より高いリターンやより低いボラティリティなどの要素を考慮して、投資家の富に対する選好を表すために使用されます。講演者は、線形関数、二次関数、指数関数、べき乗関数、対数関数など、ポートフォリオ理論で一般的に使用されるさまざまな効用関数について説明します。

  3. 制約と代替リスク対策: このビデオでは、ポートフォリオの最適化に制約を含めることについて説明します。これらの制約は、ロングのみのポートフォリオ、取引高の制約、特定の市場要因へのエクスポージャー制限など、特定の投資基準を確保するために実装できます。さらに、講演者は、歪度、尖度、一貫したリスク尺度を考慮した尺度など、従来の平均分散分析を超えた代替リスク尺度についても説明します。

  4. ポートフォリオ最適化問題の解決: 講演者は、ポートフォリオ最適化問題を解決するための数学的洞察を提供します。これを二次計画問題として定式化することにより、ポートフォリオの最適な重みを決定できます。これらの重みを解くために、ラグランジュ条件と 1 次条件が利用され、共分散行列を表す 2 次導関数が使用されます。このソリューションでは、指定された制約に従って、ボラティリティを最小限に抑えながら収益を最大化することができます。

  5. 効率的なフロンティアと資本市場ライン: 効率的なフロンティアの概念が導入され、特定のレベルのリスクに対して最高のリターンを達成する一連の最適なポートフォリオを表します。講演者は、さまざまなポートフォリオのリスクとリターンのプロファイルに基づいて、効率的なフロンティアがどのように形成されるかを説明します。さらに、資本市場ラインについても説明し、リスクのない資産を市場ポートフォリオと組み合わせた場合のリスクとリターンの関係を示します。これにより、投資家は任意のリスクレベルに対する期待リターンを決定できます。

  6. パラメータとリスク尺度の推定: ポートフォリオ分析に大きな影響を与えるため、正確なパラメータ推定の重要性が強調されています。講演者は、因子モデルを使用して分散共分散行列を推定し、最適化のためのより正確な入力を提供することを強調します。さらに、平均絶対偏差、準分散、バリュー・アット・リスク、条件付きバリュー・アット・リスクなどのさまざまなリスク尺度が、投資対象の資産の特定の特性に応じて適切かどうかについて説明されています。

ビデオ全体を通じて、講演者は上場投資信託 (ETF) と市場中立戦略を使用したポートフォリオ理論の実践的な応用を強調しています。ポートフォリオ内のリスクと変動を管理するための制約の使用、最適なポートフォリオに対する資本制約の影響、および分散のための市場中立戦略の利点について詳しく説明します。

全体として、ビデオはポートフォリオ理論の包括的な概要を提供し、歴史的基礎から実際の実装までのさまざまな側面をカバーしています。正確な見積もり、制約の組み込み、リスク尺度の選択、さまざまな投資戦略の潜在的な利点の重要性を強調しています。これらの概念を理解することで、投資家は情報に基づいた意思決定を行い、リスクの好みや投資目標に沿ったポートフォリオを構築できます。

  • 00:00:00ビデオのこのセクションでは、ピーター ケンプソーンが、ファイナンスで最も重要なトピックの 1 つであるポートフォリオ理論のトピックを取り上げています。彼はまず、ポートフォリオ最適化の歴史的理論について説明します。これには、平均リターンとボラティリティ リターンの観点からポートフォリオのパフォーマンス特性を分析するためのマーコウィッツ平均分散最適化が含まれます。その後、分析はリスクのない資産への投資を含むように拡張され、不確実性の下で合理的な方法で意思決定を行うために、効用理論のテーマであるフォン・ノイマン・モルゲンシュテルン効用理論が導入されます。さらに、ケンプソーンは、ポートフォリオ最適化の制約と、単純な平均分散分析を拡張するための代替リスク尺度についても取り上げています。最後に、単期間分析、ポートフォリオの表現方法、ポートフォリオの期待リターンと分散の計算方法について説明します。

  • 00:05:00このセクションでは、講演者がポートフォリオ分析の問題を紹介し、2 つの資産による簡略化された設定を検討します。目標は、期待リターンとボラティリティ、およびそれらの間の相関関係を考慮して、これら 2 つの資産に投資する最適なポートフォリオを見つけることです。平均分散分析は、実行可能なポートフォリオ セットを分析し、最適なポートフォリオと次善のポートフォリオを決定するために使用されます。次に講演者は、これらの質問に洗練された答えを提供する上でのマルコウィッツ理論とその拡張の重要性を強調します。最後に、シミュレーションを実行して、さまざまなポートフォリオの各資産の累積収益を調べます。

  • 00:10:00このセクションでは、平均リターンが 15%、ボラティリティが 25% のシミュレートされた資産について説明します。サンプル相関はありますが、週ごとの収益の散布図には明らかな相関はありません。実行可能なポートフォリオのセットは右側のグラフに示されており、資産 2 に割り当てることで、ボラティリティを損なうことなくポートフォリオの収益が向上します。最小分散ポートフォリオについても説明します。さまざまな資産の重み付けはボラティリティの 2 乗に反比例します。青いグラフは資産 1 にわずかに近く、資産 1 の重みがわずかに高いことを示しています。

  • 00:15:00このセクションでは、次善のポートフォリオの概念を検討し、散布図上のすべての点が次善のポートフォリオであり、リターンとボラティリティの間でトレードオフを行う必要があるという結論に達します。完全に相関のない 2 つの資産をプールした場合の分散の利点について説明し、実行可能セットに対する負の相関の影響とボラティリティの低減を検討します。 2 つの資産間の相関が -1 の場合、ボラティリティがゼロのポートフォリオになる可能性があります。これは市場ではまれですが、価格設定理論では、このポートフォリオのリターンはリスクフリー レートに等しいはずです。

  • 00:20:00ビデオのこのセクションでは、講演者がポートフォリオ理論における相関と分散の関係について説明します。シミュレーションでは、資産間の相関が高まると分散によるメリットが少なくなり、ポートフォリオの分散をそれほど下げることができないことがわかります。講演者は、サンプルの推定値は母集団パラメータとは異なり、ある程度のばらつきがある可能性があるため、ポートフォリオを評価する際には平均リターン、ボラティリティ、相関関係の正確な推定値を使用することの重要性を強調しています。ポートフォリオ最適化のための二次計画問題には、ポートフォリオの平均と全額投資の制約に従ってポートフォリオの二乗ボラティリティを最小化することが含まれます。これは、ラグランジュ条件と一次条件を使用して解決できます。

  • 00:25:00このセクションでは、スピーカーが重みと最小分散を解く方法を説明します。ラグランジアンの 2 次導関数が共分散行列に等しいため、1 次条件は解となり、問題を解決できます。与えられたアルファを解に代入することにより、最適ポートフォリオの分散も解決できます。この問題は、他の 2 つの方法で考えることができます。1 つはボラティリティの制約を条件としてリターンを最大化することであり、もう 1 つは分散の負の倍数を条件としてリターンを最大化することです。これらは、同じラグランジアンによって解決される同等の問題です。

  • 00:30:00このセクションでは、実現可能な目標リターンとボラティリティ値の範囲を考慮したすべての可能なソリューションの集合である効率的なフロンティアについて学びます。 2 つの資産の場合、効率的なフロンティアは放物線であり、別の資産を追加するといくつかの放物線が作成され、実現可能なセットが定義されます。効率的なフロンティアは曲線の上側です。リスクのない資産を追加すると、実現可能なセットがリスクのない資産の点と効率的なフロンティア上の任意の点の間の直線に拡張され、リスクのない資産と他の資産を組み合わせた投資が可能になります。

  • 00:35:00このセクションでは、講師は、リターンが確実に等しいことを保証しながらボラティリティを最小限に抑えることを目標とする問題を解くための数学について説明します。
    特定の値。リスクのない資産に投資することで、投資家はより低い分散でより高いリターンを達成し、投資機会を拡大することができます。講師は、リスク資産に比例して投資するが、目標リターンに応じてウェイト配分が異なる、最適なポートフォリオを決定するための公式を提供します。これらの式は、ポートフォリオ分散の閉形式の式も提供します。最適なポートフォリオを使用した場合のトレードオフにより、目標リターンが増加するにつれて増加します。全額投資された最適なポートフォリオを市場ポートフォリオと呼びます。

  • 00:40:00このセクションでは、講演者が最適ポートフォリオの概念を説明します。これは、すべてのポートフォリオの平均リターンを最大化するポートフォリオです。彼らは、投資家がどれだけのリスクを取りたいかに関係なく、あらゆる最適なポートフォリオはリスクのない資産と市場ポートフォリオの組み合わせに投資する、と述べています。講演者は、市場ポートフォリオの期待リターンと分散の式を提示し、最適なポートフォリオの重みの公式を示します。これは資本市場ラインの定義につながり、投資家は任意のリスクレベルに対する期待リターンを決定できるようになります。

  • 00:45:00このセクションでは、ポートフォリオ最適化のための資本市場ラインについて説明します。線は、最適なポートフォリオの期待リターンを表します。これは、リスクフリー レートに市場ポートフォリオのリスクあたりのリターンの倍数を加えたものに等しくなります。市場ポートフォリオに追加のウェイトを割り当て、リスクフリー金利で資金を借りることにより、市場ポートフォリオを超えてより高いリターンとボラティリティを達成でき、効率的なフロンティアの拡大につながります。このセクションは、期待リターンとボラティリティに基づいてポートフォリオ最適化の意思決定プロセスを考慮するフォン・ノイマン・モルゲンシュテルン効用理論に関する議論で終わります。

  • 00:50:00このセクションでは、ポートフォリオ理論の概念が紹介されます。ポートフォリオ理論には、資産の期待される効用を最大化することを目的として、資産に対する特定の効用関数に基づいて不確実性の下で投資決定を行うことが含まれます。この理論は、より高いリターン、より低いボラティリティ、および使用される効用関数によって定義されるその他の要因に関する選好を考慮した、不確実性の下で合理的な決定を提供するのに強力です。リスク回避、絶対および相対リスク回避の概念を含め、効用関数の基本特性について説明します。ポートフォリオ理論で使用される効用関数には、線形関数、二次関数、指数関数、べき乗関数、および対数関数が含まれます。

  • 00:55:00このセクションでは、講演者は二次効用関数とガウス分布収益率の仮定に基づいたポートフォリオ理論について説明します。これらの仮定の下では、平均分散分析がポートフォリオ最適化への最適なアプローチとなります。ただし、歪度や尖度に対するペナルティを考慮する関数など、さまざまな効用関数では、基本モデルの拡張が必要になる場合があります。講演者はまた、実際のポートフォリオ最適化の問題には、ロングのみのポートフォリオ、保有制約、単純な線形制約、売上高制約、ベンチマークエクスポージャー制約などの制約が含まれることにも言及しています。これらの制約は、ある期間から次の期間にポートフォリオを調整するときに考慮する必要があります。

  • 01:00:00このセクションでは、スピーカーは、ポートフォリオのリスクと変動を制御するためにポートフォリオの最適化に適用できるさまざまなタイプの制約について説明します。これらには、ポートフォリオとそのベンチマーク間の追跡誤差の制御、さまざまな市場要因へのエクスポージャーの制限、最小取引および保有サイズ、および整数制約の適用が含まれます。これらの制約は、重みに対する線形制約および二次制約として表現でき、ポートフォリオ最適化問題と一緒に実装できます。例として挙げられているのは米国セクターの上場投資信託です。

  • 01:05:00このセクションでは、講演者は株式市場への投資手段としての上場投資信託の可能性について議論します。彼らは、米国市場のさまざまな産業セクターに投資されている9つの異なるETFを分析しています。これらの ETF のパフォーマンスは 2009 年と先週とで異なっており、これは分散型ポートフォリオとしての ETF の価値を浮き彫りにしています。講演者は、ポートフォリオ分析ツールを使用して、この期間におけるこれらの ETF の最適な配分を検討します。その結果、生活必需品を表す黄色のETFが高く評価され、続いてエネルギーを表す緑、健康を表すオレンジが続き、これらのセクターが投資に有望であることを示唆しています。さらに、資産あたりの最大投資を 30% に制限することにより、平均分散の最適化が適用されます。グラフは、リターンがリスクフリーレートを超えるとこの制約が有効になり始めることを示しています。これは、消費者の自由裁量ポートフォリオを増やすために、他のETFにより多くの比重を割り当てることを意味します。

  • 01:10:00このセクションでは、資本の制約が最適なポートフォリオにどのような影響を与えるかについて講師が説明します。これらは効率的なフロンティアのグラフを示し、制約に遭遇したときにポートフォリオがどのように変化するかを示します。目標収益率 10% を資本制約 30% で考慮すると、ボラティリティ 10% の最適なポートフォリオが示されます。ただし、資本制約が 15% に引き下げられると、効率的なフロンティアが減少し、より早く制約に到達するため、ポートフォリオを他の上場投資信託に割り当てる必要があります。この講義では、資本制約が特定の状況では現実的であることと、それが投資政策にどのような影響を与えるかを強調します。

  • 01:15:00このセクションでは、講演者は上場投資信託 (ETF) と市場中立戦略を使用したポートフォリオの最適化について説明します。 ETF の例は、過去のパフォーマンスがポートフォリオをどのように定義できるかを示していますが、現実的に信頼できるものではありません。次に講演者は、ヘッジファンドが市場中立戦略を使用してセクターベースのモデルにどのように投資できるかを説明します。この戦略は相関性が低く、劇的な分散効果をもたらす傾向があります。このグラフは、これらのセクターの市場中立モデル全体で最適な配分を行うことで、目標ボラティリティ 10% の達成に役立ち、異なるモデルを組み合わせることで、相関性が低いためポートフォリオの最適化に有益であることが示されています。

  • 01:20:00このセクションでは、講演者は、推定リターン、推定ボラティリティ、および相関関係の結果が、推定期間、推定誤差、およびこれらの問題を調整できるさまざまな手法の選択によって影響を受ける可能性があることを強調しています。因子モデルを使用して分散共分散行列を推定すると、最適化への入力がより正確になります。講演者はまた、現在ポートフォリオ管理やリスク資産の管理において標準となっている、平均絶対偏差、準分散、バリューアットリスク測定などのさまざまなリスク測定についても説明します。条件付きバリュー・アット・リスクと呼ばれるバリュー・アット・リスクの拡張もあります。適切なリスク尺度は投資される資産によって異なり、リスク分析のための一貫したリスク尺度について全体的な議論が行われます。
14. Portfolio Theory
14. Portfolio Theory
  • 2015.01.06
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15. 因子モデリング



15. 因子モデリング

このセクションでは、ビデオでは、基礎となるパラメーターの推定や因子モデルの解釈など、因子モデリングの実践的な側面を詳しく説明します。講演者は、特定のデータ期間にモデルを当てはめることの重要性を強調し、要因間のダイナミクスと関係をモデル化することが重要であることを認めています。

このビデオでは、最尤推定法を使用して、因子負荷量やアルファを含む因子モデルのパラメーターを推定できることが説明されています。推定プロセスには、推定された因子負荷量とアルファ値を含む回帰式を使用して、因子の実現を推定することが含まれます。 EM (期待値最大化) アルゴリズムは、既知の隠れ変数を仮定して隠れ変数を反復的に推定するため、複雑な尤度関数の強力な推定手法として注目されています。

コモディティ市場における要因モデリングの適用について説明し、収益と共分散を引き起こす根本的な要因の特定を強調します。これらの推定要因は他のモデルへの入力として機能し、市場の過去と変動をより深く理解できるようになります。講演者は、変換行列 H を使用して推定係数のさまざまな変換を検討する柔軟性についても言及しています。

尤度比テストは、因子モデルの次元をテストする手段として導入されています。推定された因子モデルの尤度を縮小モデルの尤度と比較することにより、追加の因子の重要性と関連性を評価できます。このテスト手法は、モデルに含める適切な要素数を決定するのに役立ちます。

このセクションは、要因のダイナミクスとその構造的関係をモデル化することの重要性を強調して締めくくられています。因子モデルは、因子間の相互作用と、それらの因子が資産収益と共分散に及ぼす影響を理解するためのフレームワークを提供します。ダイナミクスと構造的関係を考慮することで、投資家とアナリストは金融市場の根底にある推進力について貴重な洞察を得ることができます。

全体として、このセクションではファクター モデリングのトピックを拡張し、パラメータの推定、ファクター モデルの解釈、商品市場におけるファクター モデリングの適用について検討します。このセクションでは、金融市場について有意義な洞察を得るために、適切なモデリング手法と要因間のダイナミクスと関係を理解する必要性を強調します。

  • 00:00:00このセクションでは、因子モデリングについて説明します。因子モデリングは、因子を使用してリターンと共分散を説明することにより、多変量解析を使用して金融市場をモデル化することを目的としています。因子モデルには 2 つのタイプがあり、因子が観察可能または非表示のいずれかであり、統計的因子モデルはこれらのモデルを指定するために使用されます。線形因子モデルは、係数 f1 ~ fk を使用します。これは、係数 beta_1 ~ beta_k に依存する確率過程の値の状態空間モデルです。この設定は標準的な回帰モデルのように見え、ベクトル beta_i は因子負荷量と呼ばれ、特定の因子は資産 i、期間 t のイプシロンと呼ばれます。目標は、多数の証券と比較して少数の基礎的要因を使用してリターンと共分散を特徴付け、問題を大幅に単純化することです。

  • 00:05:00このセクションでは、ビデオでは、基礎となる要因に基づいて資産の収益を説明するための要因モデルについて説明します。残差項はランダムであると見なされ、平均 0 のホワイト ノイズであると想定されます。このモデルは、資産の収益が、平均 mu_f と共分散行列 omega_f を持つ基礎となる要因に依存すると仮定します。 psi マトリックスは、原資産の特定の分散を含む対角マトリックスを表します。 m 変量確率過程のベクトル全体の共分散行列は、条件付きおよび無条件の期待値と共分散を使用して取得できます。 x の無条件共分散は、残差項の共分散の期待値に、x の期待値と残差項の間の共分散の 2 倍を加えたものに等しくなります。共分散行列のパラメーターの数は、m に m を加えたものに 1 を 2 乗したものです。

  • 00:10:00このセクションでは、因子モデルを一連の時系列回帰として解釈することに特に注意を払い、多変量回帰に関与するパラメーターの数を減らす手段として因子モデルの概念を紹介します。すべてのアセットのすべてを一度にグループ化することに重点が置かれており、これにより、これらを適合させる際の計算効率が向上します。最も単純な因子モデルであるシャープの単一因子モデルが示されており、株式の超過収益は、さまざまな資産の beta_i によってリスクをスケールし、市場の超過収益に対する線形回帰としてモデル化できます。

  • 00:15:00このセクションでは、ビデオでは、ファクター モデリングにおける資産の共分散行列と、ポートフォリオ管理やリスク管理に役立つ共分散モデルを使用して共分散行列を簡素化する方法について説明します。また、Sharpe の単一インデックス モデルの推定プロセスと、線形因子モデルの関連因子となる可能性のある候補として観察できる共通因子変数の概念についても説明します。潜在的な要因の有効性は、モデルをフィッティングし、それが全体の共分散行列にどの程度寄与しているかを確認することによって決定されます。

  • 00:20:00このセクションでは、ビデオでは、要因モデリングと、要因を意外な要因に変換してマクロ経済変数をモデル化するアプローチについて説明します。これらの要因に予期せぬ変化を組み込むことの威力について議論されており、このアプローチは現在広く適用されています。このビデオでは、単純な回帰法とガウス マルコフの仮定を使用して基礎となるパラメーターを推定する方法も説明しています。基本的属性または資産固有の属性に基づく共通因子変数を使用する BARRA アプローチの例も提供されます。

  • 00:25:00このセクションでは、要因モデリングとリスク分析に対するファマ・フランスのアプローチについて説明します。これには、時価総額や価値対成長などの共通要因に基づいて株式をランク付けし、均等加重平均を得るためにそれらを五分位に分割することが含まれます。 。株式をさまざまな業界グループに分割する BARRA 業界因子モデルも、因子モデリングの単純な例として挙げられます。要因の実現は観察されませんが、これらのモデルの適用で推定されるため、個々の資産の収益との相関関係を計算できます。全体として、これらのアプローチは今日でも因子モデリングで広く使用され続けています。

  • 00:30:00このセクションでは、産業要因モデルの概念を紹介します。具体的には、業界因子モデルでは因子負荷量の関連付けが可能であり、これを使用して各資産を、それが属する業界グループの観点から負荷することができます。業界要因モデルの問題は、回帰モデルで推定できる、基礎となる要因の実現をどのように指定するかということです。因子実現の推定では、x の成分の変動が同じ分散を持つと仮定しますが、実際にはこれらのモデルには不均一分散性があります。全体として、このセクションでは、業界要因モデルの共分散行列と回帰推定の推定の概要を説明します。

  • 00:35:00ビデオのこのセクションでは、回帰パラメータの推定における不均一分散性と、資産が期待リターンによって重み付けされ、高い分散によってペナルティを受けるポートフォリオ最適化への影響に焦点を当てています。ファクター模倣ポートフォリオは、Fama-French モデルなどのファクターを使用した取引の実際の価値を決定するために使用され、各ファクターの実現は原資産の収益の加重合計となります。 k 次元の実現の行の重みを正規化することにより、潜在的な投資を解釈するファクター模倣ポートフォリオを資産配分用に定義できます。

  • 00:40:00このセクションでは、講演者は、基礎となる要因が不明な、T 時間単位にわたる m 個の資産の資産収益の時系列を分析するための統計的要因モデルについて説明します。講演者は、それらの根底にある要因を明らかにするための手法として、データ自体の観点から定義できる要因分析と主成分分析について説明します。講演者は、因子モデルの定義には柔軟性があり、行列 B または因子 f の任意の指定は k × k の可逆行列 H によって変換できることに注意しました。

  • 00:45:00このセクションでは、因子のモデリングと変換の概念について説明し、基礎となる因子の共分散行列の観点から線形関数がどのように同じままであるかを強調します。議論は、因子を対角化する行列 H の定義に移ります。これにより、相関のない因子成分を含む因子モデルの検討が可能になります。正規直交因子やゼロ平均因子などの特定の仮定を行うと、因子負荷 B とその転置倍に対角行列を加えた共分散行列 sigma_x にモデルが単純化されます。最尤推定は、正規分布する基礎となる確率変数を使用した正規線形因子モデルのコンテキストでも説明され、データの結合密度関数につながります。

  • 00:50:00このセクションでは、ビデオで因子モデリングと、EM アルゴリズムを使用して B 行列と psi 行列のすべてのパラメーターを指定するために最尤推定法を適用する方法について説明します。因子の実現は、因子負荷量とアルファの推定値を含む回帰式を使用して推定できます。 EM アルゴリズムは、隠れた変数が既知であると仮定して隠れた変数を推定し、そのプロセスを繰り返すことにより、複雑な尤度関数を簡素化できる強力な推定手法です。要因の実現は、リスク モデリングに使用できます。

  • 00:55:00このセクションでは、講演者が商品市場における統計的要因分析の使用と、収益と共分散を引き起こす根本的な要因の特定について説明します。推定された根本的な要因は、他のモデルへの入力として使用することもできるため、過去とその変化を理解するのに役立ちます。講演者は、変換用の H 行列による推定係数の任意のセットのさまざまな変換を考慮する柔軟性についても言及しています。さらに、基礎となる因子を解釈するための統計的因子分析の使用についても言及されており、IQ の測定や、因子をより解釈しやすくする因子負荷量の回転を見つける際の応用例も示されています。最後に、このセクションでは尤度比のテストと因子モデルの次元のテストについて説明します。

  • 01:00:00このセクションでは、主成分分析 (PCA) の概念が紹介されます。これは、共分散行列の固有値と固有ベクトルを使用して、多変量構造をより小さな次元空間に縮小する理論的枠組みです。 PCA は、データの相対位置を変更せず、座標軸のみを回転する新しい座標系を作成し、
    元の変数 x のアフィン変換。主成分変数は平均 0 と固有値の対角行列で与えられる共分散行列を持ち、gamma_1 で与えられる因子負荷と gamma_2 p_2 で与えられる残差項を持つ線形因子モデルを表します。ただし、gamma_2 p_2 ベクトルは対角共分散行列を持たない場合があります。

  • 01:05:00このセクションでは、ビデオで線形因子モデルと主成分分析の違いについて説明します。線形因子モデルでは、残差ベクトルが対角線に等しい共分散行列を持つと想定されますが、主成分分析は真実である場合とそうでない場合があります。その後、ビデオでは経験的な主成分分析について説明します。この分析では、サンプル データを使用して平均値と共分散行列の推定値を取得します。変動性の概念も導入され、第 1 主成分変数は、座標軸の変動性が最大となる次元として定義されます。 2 番目の主成分変数は、分散が最大となる最初の主成分変数と直交する方向となり、このプロセスを続けて m 個の主成分変数すべてを定義します。

  • 01:10:00このセクションでは、講演者は、主成分分析を使用して、多変量データセットの合計分散を表す共分散行列 σ のさまざまな主成分変数の変動を分解する方法を説明します。行列の非対角要素はゼロであり、主成分変数には相関がなく、固有値で表されるように独自のレベルの変動があることを示します。ケーススタディとして、講演者は 2000 年から 2013 年までの米国国債の利回りを例に挙げ、特に利回りの変化を調べています。焦点は 2001 年から 2005 年の 5 年間にあり、分析はその期間における利回りの日次変動率とマイナス水準で構成されています。

  • 01:15:00このセクションでは、発表者が主成分分析を使用した収量変化の要因モデリングについて説明します。収量変化の相関行列は、短いテナーでは高い相関があり、対角線から離れるにつれて相関が減少することを示しています。発表者はグラフを使用して相関関係を視覚的に表し、第 1 主成分変数が全体の変動の 85% を説明していることを示しました。スクリー プロットは、最初のいくつかの主成分がかなりの量の変動を説明していることを確認します。最後に、発表者は元の収量変化の標準偏差を主成分変数の標準偏差と比較します。

  • 01:20:00このセクションでは、最初のいくつかの主成分変数のさまざまな収量変化に対する負荷のプロットが示されており、主成分変数の解釈についてのアイデアが得られます。最初の主成分変数は、全範囲にわたる平均利回りの変化を測定し、利回り曲線のレベルシフトの尺度を捉える 5 年間に大きな重みを与えます。一方、2 番目の主成分変数は、利回りと利回りの差を調べます。ロングテナーとショートテナーの変化。さらに、3 番目の主成分変数は、用語構造の曲率とそれが時間の経過とともにどのように変化するかの尺度を提供します。主成分変数は相互に相関がゼロであり、時間の経過に伴う累積主成分変数は、これらの基礎となる要因が期間にわたってどのように進化したかを示します。

  • 01:25:00このセクションでは、講演者が統計的要因分析モデルをデータに当てはめ、その結果を 5 年間にわたって比較することについて説明します。講演者は、特定の期間にわたるモデルを指定することの重要性を強調し、モデルのフィッティングは出発点にすぎないと指摘しました。最終的には、これらの要因のダイナミクスとその構造的関係をモデル化することが必要です。
15. Factor Modeling
15. Factor Modeling
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