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Woche_01
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trac_day_07
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Sehr informativ.
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http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000653/index.shtml
VARIATION EINER FUNKTION
Die FUNKTIONSVARIATION, die erste Variation, ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Differentials einer Funktion einer Variablen, d.h. des linearen Hauptteils des Zuwachses der Funktion entlang einer bestimmten Richtung; sie wird in der Theorie der extremen Probleme verwendet, um notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum zu erhalten. Dies ist die Bedeutung des Begriffs "V. f.", der auf die Arbeit von J. Lagrange [1] (1760) zurückgeht. J. Lagrange betrachtete vor allem Funktionale der klassischen Infinitesimalrechnung der Form:
(1)
Ersetzt man die gegebene Funktion x0(t) durch x0(t) + αh(t) und setzt sie in den Ausdruck für J(x) ein, so ergibt sich unter der Annahme der stetigen Differenzierbarkeit des Integranden L folgende Gleichung
J(x0 + αh) = J(x0) + αJ1(x0)(h) + r(α), (2)
wobei |r(α)| → 0 ist, wenn α → 0. Die Funktion h(t) wird oft als Variation der Funktion x0(t) bezeichnet und manchmal mit δx(t) bezeichnet. Der Ausdruck J1(x0) (h), der ein Funktional in Bezug auf Variationen von h ist, wird als die erste Variation des Funktionals J(x) bezeichnet und mit δJ(x0, h) bezeichnet. Auf das Funktional (1) angewandt, lautet der Ausdruck für die erste Variation
(3)
wobei
Die Gleichheit der ersten Variation mit Null für alle h ist eine notwendige Bedingung für das Extremum der Funktion J(x). Für das Funktional (1) folgt die Euler-Gleichung aus dieser notwendigen Bedingung und dem Hauptlemma der Variationsrechnung (siehe Dubois-Reymond-Lemma):
Ähnlich wie bei (2) werden auch Variationen höherer Ordnungen definiert (siehe z. B. den Artikel Zweite Variation eines Funktionals).
Die allgemeine Definition der ersten Variation in der unendlichen dimensionalen Analyse wurde von B. Gateaux 1913 gegeben (siehe Gato-Variation). Im Wesentlichen ist die Definition von Gateaux identisch mit der Definition von Lagrange. Die erste Variation eines Funktionals ist ein homogenes, aber nicht notwendigerweise lineares Funktional, V. f. unter der zusätzlichen Annahme der Linearität und Stetigkeit (auf h) des Ausdrucks δJ(x0, h) wird gewöhnlich als Gato-Ableitung bezeichnet. Die Begriffe "Gato-Variation", "Gato-Derivat", "Gato-Differential" sind weiter verbreitet als V. f.; der Begriff "V. f." ist nur für die Funktionale der klassischen Variationsrechnung erhalten (siehe [3]).
Siehe [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indefinies, Turin, 1762; [2] Gateaux R., 'Bull. Soz. Mathematik. France", 1919, vol. 47, pp. 70-96; [3] Lavrent'ev M.A., Lusternik L.A., A course in calculus of variations, 2nd edition, M.-L., 1950.
В. M. M. Tichomirow.
Quellen:
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000879/index.shtml
ZWEITE VARIANTE
Die ZWEITE VARIATION ist ein Spezialfall der n-ten Variation eines Funktionals (siehe auch Gato-Variation) und verallgemeinert den Begriff der zweiten Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen; sie wird in der Variationsrechnung verwendet. Nach der allgemeinen Definition von v. im Punkt x0 der im normierten Raum X definierten Funktion f(x) gibt es
Wenn die erste Variation Null ist, ist die Nicht-Negativität von V. v. notwendig, und die strenge Positivität
δ2 f(x0, h) ≥ α ||h||2, α > 0
Unter bestimmten Annahmen ist dies eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum von f(x) bei x0.
Im einfachsten (Vektor-)Problem der klassischen Variationsrechnung ist die V. v. des Funktionals
(betrachtet auf Vektorfunktionen der Klasse C1 mit festen Randwerten x(t0) = x0, x(t1) = x1) hat die Form:
(*)
wobei 〈⋅, ⋅〉' das Standard-Skalarprodukt in ℝn bezeichnet und A(t), B(t), C(t) Matrizen mit entsprechenden Koeffizienten sind (Ableitungen werden an Punkten der Kurve x0(t) berechnet). Es ist zweckmäßig, das durch Formel (*) definierte Funktional von h nicht nur im Raum C1 zu betrachten, sondern auch im breiteren Raum W12 von absolut stetigen Vektorfunktionen mit integrierbarem Quadrat des Ableitungsmoduls. In diesem Fall werden Nichtnegativität und strenge Positivität von V. v. als Nichtnegativität und strenge Positivität der Matrix A(t) (Lejandre-Bedingung) und Abwesenheit konjugierter Punkte (Jacobi-Bedingung) formuliert, was in der Variationsrechnung Bedingungen für ein schwaches Minimum liefert.
Für die Variationsrechnung im Allgemeinen wurde V. v. für Extrema untersucht, die nicht notwendigerweise ein Minimum liefern (allerdings immer noch -wenn die Lejandre-Bedingung erfüllt ist, siehe [1]). Das wichtigste Ergebnis ist die Morse'sche Koinzidenz des V. v. Index und der Anzahl der zu t0 konjugierten Punkte auf dem Intervall (t0, t1) (siehe [2]).
Siehe [1] Morse M., The calculus of variations in tne large, N. Y., 1934; [2] Milnor J., Morse theory, translated from English, M., 1965.
В. M. Tichomirow.
Quellen:
Heute hat ein Wettbewerb begonnen, an dem ich mich auch beteiligt habe.
ab 01.11.2018.
Ende am 30.11.2018.
Ich habe mir ein Ziel gesetzt:
Die Starteinlage um das 100-fache zu erhöhen.
Und das möglichst ohne Verlustgeschäfte ;)Heute hat ein Wettbewerb begonnen, an dem ich mich auch beteiligt habe.
ab 01.11.2018.
Ende am 30.11.2018.
Ich habe mir ein Ziel gesetzt:
Die Starteinlage um das 100-fache zu erhöhen.
Und das möglichst ohne Verlustgeschäfte ;)oder Sie können wetten :-)
gibt es eine Überwachung? zumindest einen unpersönlichen Top-10-Wettbewerb - ich werde Ihnen die Daumen drücken...
oder Sie können wetten :-)
Ja. Okay. Danke.
Ich werde die Moderatoren nach den Einsätzen fragen müssen.
Ja. Okay. Danke.
Sie müssen die Moderatoren nach den Einsätzen fragen.
Ja, natürlich sind Sie willkommen...
fragen Sie einfach - seien Sie nicht wie die anderen - wenn die Dinge nicht funktionieren (und das werden sie meistens nicht), sprechen Sie die Fehler hier in der Öffentlichkeit an
ps/ oder vielleicht klappt es ja doch
Ja, natürlich sind Sie willkommen...
Aber seien Sie bitte nicht wie die anderen - wenn die Dinge nicht funktionieren (und das werden sie meistens nicht), sprechen Sie die Fehler hier in der Öffentlichkeit ehrlich an.
ps/ oder vielleicht klappt es ja doch
es ist ein Geschäft.
Ich werde täglich einen Fortschrittsbericht abgeben.
Wird es funktionieren?