[アーカイブ！】純粋数学、物理学、化学など：トレードとは一切関係ない脳トレ問題集 - ページ 281

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Mathemat писал(а) >>

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今のところ混乱しています。

5^1000の問題についての考察。

5の累乗で0が2つ並ぶことがないことを証明できれば、答えは例えば(5^1000)*11となる

 

MetaDriver писал(а) >>

もし、5の累乗に0が2つ並ぶことがないことを証明できれば、答えは例えば(5^1000)*11となります。

いいえ、11では使えません。あるゼロは消え、あるゼロは現れる。でも、何かあるんです。

 

そうですね、最初は5^1000の問題で混乱しますよね。でも、その後に考え始めるんです。5の位で割った数を一貫して構成するようにする。やり方はほぼ覚えたが、まだ証明できていないだけだ。

さて、私はもう寝ますね、ヴォローディアさん。同時に、最後の問題についても考えてみる。

 
Mathemat >>:

Ладно, я ушел спать, Володя. Заодно о последней задачке подумаю.

では、おやすみなさい。私も墜落しそうです。

 
MetaDriver >>:

Ужыс. Я пока запутался.

Соображение нащёт задачи с 5^1000:

Если удастся доказать что ни в каких степенях пятёрки не может стоять два нуля подряд, тогда ответом будет например (5^1000)*11

つまり、5^1000という項目には、まさにこの2つのゼロが並んでいるのです。電卓で確認したところ、行き詰まりました:)

 

おお、なんという不気味な電卓をお持ちなのでしょう、alsu さん。シェアする気はありますか？

そうそう、有効数字30桁を正しく数えたら、たしかにゼロが2つ並んでいる。

 
Mathemat >>:

Ой какой у тебя жуткий калькулятор, alsu. Не поделишься?

А, ну да. Если считать, что первые 30 значащих цифр он считает верно, то да, есть два нуля подряд.

その通りです。と考えれば。

ババ・ヤーガが反対している!一旦切り上げを始めると、左の最初の3桁か4桁しか信じられなくなるほどの誤差が蓄積されるのです。:)

 

よし、純粋な存在証明の方法はそのままでは通用しないので、数を構成してみよう。

5で割り切れる1桁からなる数（つまり5）があったとして、その左側に1桁足すと5^2で割り切れるようになります。この桁は2か7のどちらかです（これが帰納法の基数です）。

誘導の主張。

5^nで割り切れるn桁の数字が既にあるとする。そして、その左辺に0でない1桁を加えることで、(n+1)桁の数字が5^(n+1)で割り切れるようにします。

証明する。

元の数はA*5^nです。左の桁のbを足すと、次の数字になります。

b*10^n + A*5^n = (2^n*b + A) * 5^n

したがって、この括弧が5で割り切れるような桁数bを求めなければならない。そして、誘導文が証明されることになる。

比較を解かなければならないのです。

2^n*b = -A (mod 5)

ここでbは1から9までの数字（0は許されない、禁則）であり、これは5モジュールの演繹の完全系にまたがる。2^nは5で割り切れないので、左の式でもカバーできる。したがって、-A（mod 5）に正確に等しい数字bが少なくとも1つ必ず存在することになる。

それだけです。

 
Mathemat >>:

ОК, конструируем число, раз уж методы доказательства чистого существования напрямую не работают.

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Всё.

そんな感じですね。

 

ちなみに、問題集で出された5つの数字（に限らない）の問題の解答はこちらです。


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