нетрудно проверить, что точка (a,b) при повороте на 90 градусов всегда переходит в точку (-b,a). Тогда при повороте графика нашей функции произвольная его точка (x,f(x)) перейдет в (-f(x),x). Но по условию задачи новый график совпадает со старым, значит мы должны потребовать
f(-f(x))=x (1)
для любого x на числовой оси. Теперь, если для некой точки x0 выполняется f(x0)=x0, то согласно (1) должно выполняться и f(-x0)=x0 (2)
Заметим, что график мы можем спокойно вращать его еще раз на тот же угол, и он снова перейдет в себя, но при этом уже точка (-f(x),x) переходит в (-x,-f(x)). Значит мы обязаны принять, что f(-x)=-f(x), с чем (2) согласуется только в случае, если x0=0, что и требовалось доказать.
Нету такой функции. Ну кроме y=0. Это моё заднее слово. :)
y=0は回転しても自分自身の中に入らない
まず、オリンピアード問題には90度の角度はありません。クアンタム」の問題は知りませんでした。
次に、問題の並びから判断すると、設問a)は次の設問より簡単です。だから、何かを証明することは可能なのです。
第三に、そのような関数があること、そうでなければオリンピアード問題は存在しないことです :)思考の惰性で邪魔をしているだけです。
では、90度について解いてみよう。何かアイデアが浮かぶかもしれない。
y=0 не переходит в себя при повороте
では、まったくないかというと、そんなことはありません。
証明A）
点(a,b)を90度回転させると必ず点(-b,a)を通過することは簡単に確認できる。すると、関数のグラフを回転させたとき、その任意の点(x,f(x))は(-f(x),x)に変化することになります。しかし、問題の条件によって、新しいグラフは古いグラフと一致するので、次のように要求する必要があります。
f(-f(x))=x (1)
は、数軸上の任意のxについてさて、ある点x0についてf(x0)=x0を満たすとすると、(1) により、f(-x0)=x0も 満たすはずである(2)
なお、グラフをもう一度同じ角度だけ回転させると、再び自分自身の中に入るが、点 (-f(x),x) はすでに (-x,-f(x)) の中に入ってしまうので、安全に回転できる。そこで、f(-x)=-f(x)とする必要があり、これと(2) が一致するのは、証明に必要だったx0=0のときだけである。
が、例の件は私も困っています:))))
追伸：ちなみに、もう一回回転させると、さらに証明は明白になりますが、それは歌詞です。
Во-первых, в олимпиадной угла 90 градусов нет.
誤植もあるし...。ある角度を回すと」という表現が怪しい。普通、問題の表現で不確実性を示す場合は、「ある角度を回すと」とか、そういう表現をするのだが......。ということで、やはり誤植に一票。
そこで、a)の点は、特殊な場合について解決される。定点はx=0である。
では、解決策を見てみましょうか。ここでは、a)の点のみを見ていきます。
はい、解答 a) は暗黙のうちに角度が 90 であることを仮定しています。
では、b)については、このままにしておきましょうか。
a) 自分と交差する...:)
b) 自分自身を交差させることを確認するのみ
доказательство а)
нетрудно проверить, что точка (a,b) при повороте на 90 градусов всегда переходит в точку (-b,a). Тогда при повороте графика нашей функции произвольная его точка (x,f(x)) перейдет в (-f(x),x). Но по условию задачи новый график совпадает со старым, значит мы должны потребовать
f(-f(x))=x (1)
для любого x на числовой оси. Теперь, если для некой точки x0 выполняется f(x0)=x0, то согласно (1) должно выполняться и f(-x0)=x0 (2)
Заметим, что график мы можем спокойно вращать его еще раз на тот же угол, и он снова перейдет в себя, но при этом уже точка (-f(x),x) переходит в (-x,-f(x)). Значит мы обязаны принять, что f(-x)=-f(x), с чем (2) согласуется только в случае, если x0=0, что и требовалось доказать.
а вот с примером у меня тоже туговато:))))
一例を思いついたかもしれません。正確には、組み立て方を発明したのです。描いてみる（複雑すぎて寝そうだった）。
もちろん、この関数は不連続である。 だから
原点を通る直線y=x*1/2(角度Pi/6)を引きなさい。そしてもう一つ、y=-x*2（角度は-Pi/3）である。
これがブランクです。そこから切り出す必要があります。回転時にピースが「双子」に一致することを条件として行っています。
次のページ縦軸を縦軸の右側に引く（例：x=1）。
コンパスを持ち、片足を原点に、もう片足を引いた垂直線と最初のワークとの交点（x=1, y=0.5）に置き、Oの周りをねじって2番目のワークと交差させます。// しかし，360度回転させた方が良い．将来的に，負の方向に回転させる場合に便利である．
(x=0.5,y=-1の時)
この交点から、再び最初の作品との交点（x=0.5, y=0.25）まで垂線を引く...という手順をもう一度繰り返す。満足に、いや、無限に。
ズーム方向も同様です（もちろん逆順です）。
そして今度は、すべての構造がマイナス方向に重複しています。
以上です。チャートが出来上がりました。 あとは、それが表す関数を書けばよい。
пять баллов
自分もそうなんですけどね～。:)