一方、トータルリターン指数は価格の変化を追跡するだけでなく、構成銘柄に関連する収益や分配も考慮します。これには配当や利息の再投資が含まれます。トータルリターン指数を計算するには、価格差と所得リターンを組み合わせます。前述の公式を使用することも、BA II Plus や HP 12C などの電卓で利用可能なパーセント変化関数を利用することもできます。
マラソンの所要時間などの連続確率変数の場合は、PDF を使用します。 PDF は、確率変数が特定の間隔内に収まる確率を記述します。マラソンの走行時間を例にとると、PDF は特定の時間範囲内でマラソンを完走する確率を提供します。これを視覚化するには、横軸が実行時間を表し、縦軸が確率密度を表すグラフを想像できます。特定の間隔内の曲線の下の面積は、確率変数がその範囲内に収まる確率を表します。
PMF と PDF は、確率変数の分布を理解するための重要なツールです。これらにより、確率を特定の値または間隔に割り当てることができ、さまざまな結果の可能性についての洞察が得られます。これらの概念は、株式リターン、債券リターン、ポートフォリオ価値などのさまざまな金融変数の不確実性を分析および定量化するのに役立つため、リスク管理と財務調査の基礎となります。
著者は、望ましい信頼水準とサンプルサイズに基づいて適切な信頼性係数を選択するための表を提供しています。また、母集団分散が既知か未知かに応じた Z スコアと t スコアの使用についても説明します。サンプル平均と標準偏差を使用して、試験勉強に費やした平均時間の 95% 信頼区間の計算を示す例が示されています。
オプション値に影響を与える要因 (CFA® およびFRM® 試験の計算)
オプション値に影響を与える要因 (CFA® およびFRM® 試験の計算)
コンセプトカプセルのトピックを掘り下げて、オプションの価値に影響を与える要因を探ってみましょう。このトピックは、FRM プログラムだけでなく、CFA カリキュラムの 3 つのレベルすべてに関連します。要因を詳しく説明する前に、オプションの表記法と基本的なオプションのペイオフ プロファイルをまとめてみましょう。
オプションの価値に影響を与える要因は 6 つあり、これらはオプション理論で扱われる概念と一致しています。表記法を見直してみましょう。現在の株価を「S」と表記します。行使価格または権利行使価格は「X」または「K」で表されます。どちらの表記も使用できます。オプションの満期までの時間は「T」で示され、オプションが満期に達するまでの残り時間を示します。 「R」は評価期間中の短期リスクフリーレートを表します。最後に、「D」は、原株や資産に関連する配当またはその他の利益の現在価値を表します。
ここで、オプションの定義とそのさまざまなペイオフプロファイルを簡単にまとめてみましょう。オプションは、購入者に義務ではなく権利を提供するため、先物や先物とは異なります。オプションの買い手は、自分にとって何が最も利益になるかに応じて、権利を行使するかどうかを選択できます。オプションにはコール オプションとプット オプションの 2 種類があります。コール オプションは原資産を購入する権利を付与し、プット オプションは原資産を売却する権利を付与します。これらの視点はロングポジションからのものであり、ショートポジションはこれらのアクションを逆転させることに注意することが重要です。たとえば、ショート コールは原資産を売却する義務を表します。
オプションのペイオフ ポジションには、ロング コール、ショート コール、ロング プット、ショート プットの 4 つがあります。ロングコールは原資産を購入する権利を表し、通常、資産の価格が上昇すると予想される場合に使用されます。逆に、ショートコールは原資産を売却する義務を表します。ロング・プットの場合、保有者は原資産を売却する権利を持ち、通常、資産価格の下落が予想される場合に使用されます。ショートプットは原資産を購入する義務を表します。
これらのオプションの値を計算するには、数式を使用できます。ロングコールの計算式は、最大値 0 と株価 (ST) と行使価格 (K) の差です。短いコールの場合、式は長いコールの負の値になります。ロング・プットの計算式は、最大値 0 と、行使価格 (K) と株価 (ST) の差です。最後に、ショート プットはロング プットのマイナスの値です。
アメリカのオプションとヨーロッパのオプションを区別することが重要です。アメリカのオプションはより柔軟性があり、保有者は満期までいつでもオプションを行使できます。一方、欧州オプションはより厳格であり、満期時にのみ行使できます。ただし、欧州オプションは満期前でも取引できますが、権利行使は最終日にのみ可能です。米国のオプションは柔軟性が高いため、価格が高くなる傾向にあるため、分析では主に欧州のオプションへの影響を考慮します。
オプションの値に影響を与える要因の本題に移り、提供された表を調べてみましょう。この表には、変数と、コール値とプット値に対する変数の影響が表示されます。これらの要因の増加による影響の分析に焦点を当てます。
まず株価（S）について考えてみましょう。株価が上がればコール額も上がります。株価と行使価格の差が拡大し、コールオプションの価値が上昇するためだ。逆に、株価が上昇するとプット価格は減少します。これは、プット オプションの計算式における株価に関連する負の符号により、行使価格と株価の間のスプレッドが狭まるためです。
次に、権利行使価格 (K) の上昇による影響を見てみましょう。権利行使価格 (K) の増加はコール価値と反比例の関係にあります。行使価格が上昇すると、株価と行使価格の差が縮まり、コールオプションの価値が低下します。一方、権利行使価格の上昇はプット価値の上昇につながります。権利行使価格が上昇すると、行使価格と株価のスプレッドが拡大し、プットオプションの価値が高まります。
有効期限までの時間 (T) に移ると、この係数の増加はコールとプットの両方の値にプラスの影響を与えます。満了までの時間が長くなるほど、基礎となる株価がオプション保有者に有利に動く可能性が高くなります。この価格変動の可能性の増加により、オプションの価値が高まります。
オプション価値に対するリスクフリーレート (R) の影響は、ある程度直感的です。リスクフリーレートが上昇すると、オプションに関連する将来のキャッシュフローの現在価値が増加します。これにより、コールの値が高くなり、プットの値が低くなります。
配当 (D) もオプションの価値に影響を与えます。コール オプションの場合、配当の増加により株式に関連する将来のキャッシュ フローの現在価値が減少し、コール オプションの価値が低下します。逆に、プット オプションの場合、配当が増加すると、株式に関連する将来のキャッシュ フローの現在価値が増加し、その結果、プット オプションの価値が高まります。
最後に、原株のボラティリティ (σ) は、コール価値とプット価値の両方にプラスの影響を与えます。ボラティリティが高くなると、価格変動が大きくなる可能性が高まり、オプションがイン・ザ・マネーで終了する可能性が高まります。その結果、株式のボラティリティが高くなり、コールおよびプットオプションの価値が上昇します。
これらの要因がオプション価値に与える影響は、他の要因や市場状況によって異なる可能性があることに注意することが重要です。ブラック・ショールズ モデルなどのオプション価格設定モデルは、これらの要素を考慮に入れて、オプションを評価するためのより包括的なフレームワークを提供します。
オプションの価格に影響を与える要因を理解することは、オプションの価格設定、リスク管理、およびオプションに関連する投資戦略の開発にとって非常に重要です。
オプションの価値に影響を与えるもう 1 つの重要な要素は、原資産 (S) の価格です。コール オプションの場合、原資産の価格が上昇すると、オプションの価値が高まります。これは、オプション保有者がより低い権利行使価格で資産を購入し、より高い市場価格で売却する権利があるためです。この利益の可能性により、コール オプションの価値が高まります。一方、プットオプションの場合、原資産の価格が上昇すると、オプションの価値は低くなります。これは、オプション保有者が市場価格が高いときに、より低い権利行使価格で資産を売却する権利があるためです。この損失の可能性により、プット オプションの価値が低下します。
インプライド ボラティリティ (IV) は、オプションの価値に影響を与えるもう 1 つの重要な要素です。インプライド・ボラティリティは、将来のボラティリティに対する市場の予想であり、オプションの現在の価格から導出されます。インプライド・ボラティリティが増加すると、原資産の価格変動が大きくなる可能性が高くなるため、オプションの価値も上昇する傾向があります。ボラティリティが高まると、オプションがイン・ザ・マネーで終了する確率が高まり、オプションの価値が高まります。逆に、インプライド・ボラティリティが低下すると、オプションの価値は低下する傾向があります。
市場の需要と供給のダイナミクスもオプションの価値に影響を与える可能性があります。オプションの需要が高い場合、購入圧力の高まりにより価格が上昇する可能性があります。逆に、オプションの需要が低い場合は、価格が下がる可能性があります。市況、投資家心理、市場全体の傾向は需要と供給のダイナミクスに影響を与え、オプションの価値に影響を与える可能性があります。
ここで説明する要素は、オプションを評価するための理論的枠組みを提供するブラック-ショールズ モデルなどのオプション価格設定モデルで一般的に使用されていることに注意してください。ただし、実際のオプション価格は、市場の非効率性、取引コスト、流動性、その他の要因により、モデルの予測から乖離する可能性があります。
オプションの価値に影響を与える要因を理解することは、オプションのトレーダーや投資家にとって非常に重要です。これらの要素を考慮し、市場状況を分析することで、個人はオプション取引戦略、リスク管理、ポートフォリオ構築に関して、より多くの情報に基づいた意思決定を行うことができます。
セキュリティ市場指数 (CFA® 試験用の計算)
セキュリティ市場指数 (CFA® 試験用の計算)
こんにちは、いらっしゃい！今日は、株価指数の概念を詳しく掘り下げ、特に株価指数に焦点を当てて、株価指数を評価するさまざまな方法を検討します。株式インデックスは広く認知されており、ニュースでもよく目にしますが、インデックスは株式市場に限定されたものではないことに注意することが重要です。債券、ヘッジファンド、通貨、その他多くの市場で利用できるインデックスがあります。
インデックスは本質的に特定の市場を表現したものです。投資家が市場のパフォーマンスとリスクを追跡するためのツールとして機能します。さらに、上場投資信託 (ETF) はこれらの指数をベンチマークとして使用することがよくあります。インデックスには、価格収益率インデックスとトータル収益率インデックスの 2 つの主要なバージョンがあります。
価格収益指数は、構成銘柄の価格のみを追跡します。インデックスの終了値と開始値の差を、インデックスの元の価格レベルで割って計算します。基本的に、価格収益率指数は保有期間収益率の概念に似ています。
一方、トータルリターン指数は価格の変化を追跡するだけでなく、構成銘柄に関連する収益や分配も考慮します。これには配当や利息の再投資が含まれます。トータルリターン指数を計算するには、価格差と所得リターンを組み合わせます。前述の公式を使用することも、BA II Plus や HP 12C などの電卓で利用可能なパーセント変化関数を利用することもできます。
さまざまな種類の株価指数に移りますが、最も単純な株価加重指数から始めましょう。この方法では、各構成銘柄の価格を合計し、平均値を計算します。各証券を 1 ユニット購入することが前提となります。このインデックス タイプは、ダウ ジョーンズ工業平均や日経平均などの例でよく使用されます。計算は簡単ですが、欠点もあります。株式の分割または統合が行われる場合は常に、価格変動の影響を受けないよう指数レベルを調整する必要があります。
もう 1 つのタイプは等加重インデックスであり、非加重インデックスとも呼ばれます。この方法では、口数に関係なく、各証券に同額が投資されます。これにより、多くの場合、端株が発生します。均等加重指数は、指数銘柄の算術平均リターンを計算して計算されます。均等加重指数の例には、バリュー ライン複合平均やフィナンシャル タイムズ普通株指数などがあります。
ここで説明する 3 番目のタイプは、時価総額加重インデックスであり、金額加重方式としても知られています。各構成銘柄のウェイトは、時価総額によって決まります。時価総額は株価と発行済株式総数を乗じて計算されます。各証券に割り当てられたウェイトは、その時価総額をすべての証券の時価総額の合計で割ることによって計算されます。この方法はインデックスの全体的な値を反映します。時価総額加重指数の例としては、S&P 500 があります。
これらの概念を説明するために、インデックスの種類ごとに数値例を考えてみましょう。指定された価格、株数、時価総額に基づいてインデックスのレベルとリターンを計算します。
結論として、株価指数は投資家がさまざまな市場のパフォーマンスとリスクを追跡するために不可欠なツールとして機能します。価格加重指数、等加重指数、時価総額加重指数などのさまざまな加重方法を理解することで、投資家は投資の好みや目標に基づいて情報に基づいた意思決定を行うことができます。
配当割引モデル（CFA®試験用の計算）
配当割引モデル（CFA®試験用の計算）
こんにちは、コンセプト カプセルへようこそ!今日の話題は配当割引モデル（DDM）です。この説明では主に CFA レベル 1 の観点から DDM の基本に焦点を当てますが、CFA レベル 2 DDM の章の入門書としても役立ちます。
配当割引モデルは、株式の価値を評価するために使用される評価方法です。この方法では、将来の配当と出口価値を予測し、これらのキャッシュ フローを現在、つまり期間 0 まで割り引きます。 DDM は優先株と普通株式の両方の評価に使用できますが、普通株式の方がリスクが高くなります。
DDM を使用して優先株を評価する場合、当社はそれを永久株として扱います。優先株は、永久と同様に、固定額の配当を無期限に支払います。優先株式の評価計算式は、配当 (キャッシュ フロー) を優先株式のコスト (割引率) で割る永久計算式から導出されます。優先株の割引率は普通株式に使用される割引率よりも低くする必要があることに注意することが重要です。参加優先株や転換優先株などの特別なカテゴリーの優先株がある場合は、それに応じて配当率と割引率を調整する必要があります。
優先株の価値を計算する簡単な例を考えてみましょう。割引率 (k) が 10%、配当 (c) が 5 であるとします。永久公式を適用すると、優先株の価値は 50 となります。
普通株式の評価に移ると、将来のキャッシュフローの規模とタイミングが不確実であるため、さらに困難になります。さらに、必要な収益率を見積もる必要があります。これには、Capital Asset Pricing Model (CAPM) などのモデルが一般的に使用されます。まずは 1 年間の保有期間モデルから始めて、それを複数年に延長します。
1 年間の保有期間モデルでは、投資家が 1 年目の終わりに株式を売却すると仮定します。その年に受け取った配当を知り、年末の出口価値を見積もる必要があります。 CAPM 式を使用して、必要な収益率を計算します。キャッシュ フローは期間ゼロまで割り戻されて、株式の価値が決定されます。
このモデルは、各年の配当と出口価値を組み込むことで、複数の年に簡単に拡張できます。新しい公式を覚える必要はありません。期間を調整するだけです。たとえば、2 年間の保有期間には、2 年間のキャッシュ フローの割引が含まれます。
この概念を 3 年間の保有期間を持つ質問に適用してみましょう。今後 3 年間の年間配当は 1 ユーロ、1.5 ユーロ、2 ユーロとなる予定です。 3年後の株価は20ユーロと推定される。必要な収益率が 10% である場合、キャッシュ フローを期間ゼロに割り引いて株式の価値を計算できます。結果の値は 18.67 ユーロになります。
最後に、永久に「g」の割合で配当が一定に増加すると仮定して、無限の保有期間のシナリオを検討します。この場合、式は D0 * (1 + g) / (ke - g) に単純化されます。ここで、D0 は期間 0 での配当、ke は資本コスト、g は一定の成長率です。添え字に注意を払い、配当の見積りと評価の期間を正確に一致させることが重要です。
一定の年数を経て成長率が一定になった場合は、その時点からゴードン成長モデル (GGM) を使用できます。ただし、株式の価値は配当金が分子に取られる年よりも前の時点で決定されることを覚えておくことが重要です。これは、を使用する必要があることを意味します。
ゴードン成長モデル (GGM) の適用を説明するために、例を考えてみましょう。ある企業が来年 1 株あたり 2 ドルの配当を支払う予定だとします。配当は年間 5% の一定率で無期限に増加することが予想されます。必要な収益率 (ke) は 10% です。
GGM 式を使用すると、株式の価値を計算できます。
値 = D1 / (ke - g)
ここで、D1 は期間 1 で期待される配当、ke は必要な収益率、g は一定の成長率です。
値を式に代入すると、次のようになります。
値 = 2 ドル / (0.10 - 0.05) = 40 ドル
つまり、GGM によると、株式の価値は 40 ドルです。
ゴードン成長モデルは一定の成長率を前提としていますが、これはすべての場合に当てはまらない可能性があることに注意することが重要です。配当成長率が安定して予測可能な成熟企業に最適です。
配当割引モデル (DDM) は株式を評価するための便利なツールですが、制限もあります。これは、一定の配当成長率や将来のキャッシュ フロー見積もりの精度など、いくつかの仮定に依存しています。市場状況やその他の要因も株価に影響を与える可能性があるため、将来の配当や売却額を正確に予測することが困難になります。
さらに、DDM は主に配当を支払う企業に適用されます。配当を支払っていない企業や配当パターンが一貫していない企業の場合は、割引キャッシュ フロー (DCF) 分析などの代替の評価方法がより適切な場合があります。
全体として、配当割引モデルは、予想される配当と将来のキャッシュ フローに基づいて株式の価値を見積もるためのフレームワークを提供します。これは、企業の株式の本質的価値を判断しようとしている金融アナリストや投資家にとって不可欠な概念です。
二項オプション価格モデル (CFA® およびFRM® 試験の計算)
二項オプション価格モデル (CFA® およびFRM® 試験の計算)
二項オプション価格設定法の概念を詳しく見てみましょう。今日は、CFA と財務カリキュラムの両方で扱われるこのトピックについて説明します。これはオプションの価値を計算するために使用される 2 つの方法のうちの 1 つであり、もう 1 つはブラック-ショールズ モデルです。
二項法では、オプションの原価格が指定された時間間隔内で 2 つの状態のみになり得ると仮定します。これが、任意のノードで 2 つの可能な状態のみを考慮するため、二項と呼ばれる理由です。 S0 で示される現在の株価から始めます。そこから、アップステート (S_u) とダウンステート (S_d) という 2 つの異なる自然状態を考慮します。アップステートの株価は、現在の株価 (S0) に「u」で示される係数を確率「p」で乗算することによって決定されます。逆に、下落時の株価は、現在の株価 (S0) に「d」で示される係数を (1-p) の確率で乗じることによって決定されます。
アップステート ノードに到達すると、上または下に進むことができます。同じ p 値と (1-p) 値を使用して、確率はツリー全体で同じままになります。たとえば、上方向への移動の確率が 60%、下方向への移動の確率が 40% である場合、これらの確率はツリー全体で一定のままになります。各ノードから、u と d のさまざまな組み合わせで示される次の状態の株価を計算できます。
この説明では、1 期間法に焦点を当てます。これは、1 期間先のみを考慮することを意味します。二項ツリーのこの部分に限定して説明します。二項法を実装するには、まず、可能な 2 つの異なる株価を決定します。その後、両方のノードでオプションのペイオフを計算し、その期間の期待値を取得できるようにします。その期間の期待値を取得したら、割引キャッシュ フロー (DCF) 式を適用して、それを期間 0 に割り戻します。この場合、確率が関与しない従来の DCF 計算とは異なり、DCF 式で確率を使用することに注意することが重要です。
さて、コールオプション二項ツリーに移りましょう。株価要因を決定した後、上昇と下落の規模と確率を計算します。これらをそれぞれ「u」および「d」と表記します。次に、二項ツリーを描画し、すべてのノードでのオプションのペイオフを計算します。これには、ゼロの最大値、または株価 (st) と権利行使価格 (k) の差を決定することが含まれます。次に、ペイオフにそれぞれの確率を掛けて、全期間におけるオプションの期待値を計算します。最後に、この期待値を期間ゼロまで割り引いて、オプションの現在の価値を決定します。
計算を容易にするために、さまざまな表記法や公式を使用します。上昇のリスク中立確率は「pi_u」で示され、下降のリスク中立確率は「pi_d」で示されます。これらの確率は相補的であり、合計すると 100% になります。リスクフリーレートは「rf」で表され、「u」と「d」はそれぞれ上昇幅と下降幅を表します。さらに、「d」は 1 を「u」で割ったものに等しい。上昇と下降の確率を計算するには、リスクフリー レート「u」と「d」を含む公式を使用します。
これらの概念を特定の例に適用してみましょう。株式の現在の価格が 80 ドル、上昇幅が 1.4 であると仮定します。リスクフリー レートは次のとおりです。
期待される利益が得られたら、それを期間 0 に割り戻して、オプションの現在の価値を取得する必要があります。これを行うために、6% として与えられるリスクフリー レートを使用します。
期待利得を割り引く公式は次のとおりです。
現在のオプション価値 = 期待ペイオフ / (1 + リスクフリーレート)
値を置き換えると、次のようになります。
現在のオプション値 = (32 * 0.504 + 0 * 0.496) / (1 + 0.06)
方程式を単純化すると、次のようになります。
現在のオプション値 = (16.128 + 0) / 1.06
現在のオプション値 ≈ 15.23
したがって、コール オプションの現在の価値は約 15.23 ドルです。
この例は、1 年の有効期限に対する二項オプション価格設定方法を使用したコール オプションの評価を示していることに注意することが重要です。このプロセスには、上昇要因と下降要因の決定、確率の計算、二項ツリーの構築、各ノードでのオプションのペイオフの評価、期待されるペイオフの計算、そして最後にそれを現在価値に割り引くことが含まれます。
二項オプション価格設定方法は、原資産の価格変動に対する単純化された 2 状態モデルを前提としており、現実世界のダイナミクスをすべて捉えているわけではないことに注意してください。さらに、この方法は満期時にのみ行使できるヨーロピアンスタイルのオプションによく使用されます。アメリカ式のオプションの場合、最適な演習戦略を決定するには追加の考慮事項が必要です。
この説明が、二項オプション価格設定方法に含まれる手順と、このアプローチを使用してコール オプションを評価する方法を理解するのに役立つことを願っています。他にご質問がございましたら、お知らせください。
確率の基礎 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 1 章)
このビデオ シリーズでは、James Forjan 教授が、FRM Part 2 - Book 2 - Quantitative Analysis に含まれる章を包括的にカバーしています。このシリーズでは、確率、仮説検定、回帰、コピュラなどのさまざまなトピックを深く掘り下げています。フォルジャン教授は各概念を詳細に検討し、受験者のこれらの主題の理解と習熟を高めることを目的とした関連する質問の例を提供します。このビデオ シリーズを視聴することで、受験者は定量分析の理解を強化し、FRM Part 2 試験の準備を効果的に行うことができます。
確率の基礎 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 1 章)
定量分析シリーズの第 2 巻の第 1 章では、確率の基礎と金融リスク管理におけるその応用に焦点を当てています。この章は、財務リスク管理者がリスクを効果的に特定、定量化し、管理できるようにすることを目的としています。これらのタスクでは確率を考慮することの重要性が強調されています。
この章は、リスクを結果の不確実性と変動性として定義することから始めます。リスクは確率の観点から測定できます。前の本と比較して第 2 巻の定量的な性質を強調し、章全体で金融計算機と通常の計算機の使用について言及しています。
この章の学習目標には、確率に関連するさまざまな概念の説明、区別、定義、計算が含まれます。そのような概念の 1 つは相互排他的なイベントであり、ゴルフ コースのスプリンクラー システムで 2 人の配管工のどちらかを選択する例を通して説明されています。相互に排他的なイベントの概念は、1 つのイベントを選択すると、もう 1 つのイベントの発生が除外されるということです。
この章では、個別のメリットに基づいて評価され、他の結果の承認または拒否に影響を与えない独立したイベントについても説明します。独立したイベントとそれらの潜在的な関係を示すために、天候と株式市場のリターンを含む例が示されています。
条件付き確率は、他のイベントの発生に依存する確率として導入されます。仕事、収入レベル、結婚などのさまざまな要因に基づいて双子が生まれる確率など、個人的な経験に基づいて類推が行われます。経済の文脈では、GDP と金利の関係が条件付き確率の例として使用されます。
この章では、イギリスの統計学者トーマス・ベイズの名にちなんで名付けられたベイズの定理を使用して条件付き確率を計算する方法を説明します。ベイズの定理により、既知の結果につながる一連のイベントを予測できます。新しい情報に基づいて修正された確率である事後確率の概念が導入されます。
本書では、最近制定された減税に基づいて現職大統領が政党に所属する確率や、超過利益の生成に基づいて経営者認定の確率を決定するためにベイズの定理を使用する例が示されています。
この章は、説明した公式の要約表で終わり、読者に例を検討して概念を暗記することを奨励します。予測と意思決定の精度を高めるためには、より多くの情報を得ることが重要であると強調しています。
定量分析における確率の基礎に関するこの章では、金融リスク管理者がリスクを理解し、管理するための重要なツールを提供します。これは数学的原則と前の本で説明したリスク管理原則を組み合わせたもので、効果的なリスク管理のための包括的なフレームワークを提供します。
確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 2 章)
確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 2 章)
定量分析の第 1 部、第 2 巻には、確率変数に関する章があります。著者は、後に Excel となる Lotus 1-2-3 を学習していた 1980 年代後半の経験を思い出します。彼らは、関数ウィザード内の乱数ジェネレーターと、乱数を生成することがいかに魅力的だったかを思い出します。これらの値はランダムに生成されたものですが、リスク管理や金融調査における確率変数の研究により、株式リターン、債券リターン、デリバティブ証券リターン、ポートフォリオ値、バリュー・アット・リスク、および予想不足額についてのより深い理解が得られます。
この章を学習する目的は、確率変数の強固な基礎を確立し、それをリスク管理に適用できるようにすることです。学習目標には、確率質量関数 (PMF)、累積分布関数 (CDF)、期待値、分布のモーメント、離散確率変数と連続確率変数の区別など、さまざまな概念の説明、説明、特徴付けが含まれます。さらに、この章では、分布を等しい部分に分割することを含む分位数について説明し、線形変換について簡単に触れます。
確率変数は、将来の期待値が不確実な量として定義されます。これは、取り得る値がランダムな現象の結果である変数として説明することもできます。たとえば、株価やクレジット デフォルト スワップの価値を予測するには、確率変数の処理が必要になります。これらの結果には、特定のシナリオに応じた確率が割り当てられます。たとえば、株価が 1 ドル上昇または下落する確率は、999 ドルなどのはるかに高い値に上昇したり、ゼロに下落したりする確率よりもはるかに高くなります。
確率変数を効果的に分析するには、潜在的な結果に確率を割り当て、イベントを特定の結果または結果のセットとして定義することが重要です。確率変数は、離散または連続のいずれかに分類できます。離散確率変数には、1 から 6 の結果が出るサイコロを振るなど、可能な値の可算セットがあります。一方、連続確率変数は、指定された間隔内で任意の値を取ることができ、多くの場合、次のような滑らかな曲線で表されます。マラソンを走るのにかかる時間。
確率関数は、確率変数の可能な値の間で確率の合計がどのように分布するかに関する情報を提供します。確率関数には、離散確率変数の確率質量関数 (PMF) と連続確率変数の確率密度関数 (PDF) の 2 種類があります。 PMF はランダム変数が特定の値を取る確率を示し、PDF はランダム変数が指定された間隔内に収まる確率を記述します。どちらのタイプの関数にも、確率が 0 ～ 1 の範囲にあり、すべての確率の合計が 1 に等しいことを保証するプロパティがあります。
累積分布関数 (CDF) は、確率変数が特定の値以下である確率を提供します。離散確率変数の場合、CDF は階段状のグラフとして視覚化できますが、連続確率変数の場合、CDF は滑らかな曲線として表示されます。 PDF を負の無限大から特定の値まで積分することにより、CDF を計算できます。
確率変数とそれに関連する関数を理解することは、リスク管理と財務分析にとって不可欠です。これらの概念は、さまざまな結果の可能性を評価し、情報に基づいた意思決定を行うためのフレームワークを提供します。
確率質量関数 (PMF) と確率密度関数 (PDF) は、確率変数の分布に関する重要な情報を提供します。 PMF は離散確率変数に使用され、関数は確率変数が特定の値を取る確率を与えます。一方、PDF は連続確率変数に使用され、確率変数が特定の区間内に収まる確率を与えます。
ベルヌーイ確率変数の例を考えてみましょう。ベルヌーイ確率変数は、0 または 1 の 2 つの値のみを取る単純な離散確率変数です。バスケットボールのフリースローの結果を表すベルヌーイ確率変数があると想像してください。この変数の PMF は、ショットが成功するか失敗する確率を示します。ショットを成功させる確率が 0.7 の場合、PMF は値 1 (ショットを成功) に 0.7 の確率を割り当て、値 0 (ショットを外した) に 0.3 の確率を割り当てます。これらの確率の合計は常に 1 に等しくなければなりません。
マラソンの所要時間などの連続確率変数の場合は、PDF を使用します。 PDF は、確率変数が特定の間隔内に収まる確率を記述します。マラソンの走行時間を例にとると、PDF は特定の時間範囲内でマラソンを完走する確率を提供します。これを視覚化するには、横軸が実行時間を表し、縦軸が確率密度を表すグラフを想像できます。特定の間隔内の曲線の下の面積は、確率変数がその範囲内に収まる確率を表します。
PMF と PDF は、確率変数の分布を理解するための重要なツールです。これらにより、確率を特定の値または間隔に割り当てることができ、さまざまな結果の可能性についての洞察が得られます。これらの概念は、株式リターン、債券リターン、ポートフォリオ価値などのさまざまな金融変数の不確実性を分析および定量化するのに役立つため、リスク管理と財務調査の基礎となります。
一般的な一変量確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 3 章)
一般的な一変量確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 3 章)
このテキストは定量分析の第 1 部、第 2 巻からのもので、一般的な一変量確率変数に関する章に焦点を当てています。個人的には、この章は博士課程のときに数理経済学と計量経済学のクラスで学んだことを思い出させると思います。学習目標を検討し、それが私たちにどのように当てはまるかを見てみましょう。
最初の学習目標は特に重要です。そのためには、さまざまな分布間で主要なプロパティを区別する必要があります。さまざまな分布を分析し、それらの類似点と相違点を特定します。最後に、混合分布の概念についても詳しく説明します。
一様分布から始めましょう。この分布では、考えられるすべての結果が、指定された範囲にわたって等しい可能性を持ちます。一様分布のグラフは、左側の 0 から始まり、右側の X まで広がります。 X として示される確率変数は、この範囲内の任意の値を取ることができます。特に、最小値はアルファと呼ばれ、最大値はベータと呼ばれます。 0 とアルファの間、またはベータと範囲の上限の間には値がないことに注意することが重要です。均一な分布の典型的な例は、公平な 6 面のサイコロを振ることです。 1 から 6 までの各結果の確率は 1/6 です。したがって、アルファからベータまでの値は同等の可能性を持ちます。このテキストでは、一様分布の確率密度関数、平均、分散の公式も提供します。
議論されているもう 1 つの例は、クライアントがポートフォリオ マネージャーに会うのを待つのに費やす時間であり、これは 0 分から 15 分の間で均一に分布する可能性があります。
さらに進むと、さらに興味深いベルヌーイ分布に遭遇します。これには、成功 (1) と失敗 (0) を表す 2 つの可能性への値の割り当てが含まれます。挙げた例は銀行の成功または失敗に言及していますが、これらの値にはより広い解釈ができる可能性があります。何かが起こる確率は 100% でなければならないため、ベルヌーイ分布のグラフの範囲は 0 から 1 です。 P で示される成功確率は、指定された例では 0.7 です。これは、10 行中 7 行が成功し、10 行中 3 行が失敗することを意味します。本文では、ベルヌーイ分布の平均と標準偏差の公式を示します。
生命保険の成功または失敗、企業が配当金を支払っている場合、または同様の可能性でまったく配当金が支払われていない場合など、さまざまな例でベルヌーイ分布の適用を示します。
次に、二項分布に遭遇します。これは債券分析とオプション評価に役立ちます。これには、n 個の独立した同一のベルヌーイ試行のシーケンスが含まれ、それぞれの試行は P で示される同じ成功確率を持ちます。これらの試行の成功数の公式は、階乗表記を使用して説明されます。二項分布の平均と標準偏差も提供されます。このテキストでは、存続確率が 70% である場合に、10 行のうち少なくとも 9 行が資金危機から生き残る確率を計算する例が示されています。
次に、ポアソン分布が導入されます。イベントのタイミングがランダムで独立していると仮定して、特定の時間間隔で発生するイベントの数をモデル化します。イベント間の平均時間は既知であり、分布はパラメーター ラムダ (λ) によって特徴付けられます。このテキストでは、確率密度関数が提供され、ポアソン分布の平均と分散の両方が λ に等しいことが述べられています。ポアソン分布の例には、銀行に到着する顧客の数、サッカー チームの得点、保険会社が受け取る週または月ごとの保険金請求の数などがあります。月平均 2 人の顧客として、資産管理会社が 1 年にちょうど 30 人の顧客を受け入れる確率を計算する問題の例が示されています。
このテキストでは、ガウス分布としても知られる正規分布を再検討します。この分布は、多くの望ましい特性があるため、統計分析とモデリングで広く使用されています。正規分布のグラフは対称でベル型で、平均値にピークがあります。 μで示される平均は分布の中心を表し、σで示される標準偏差はデータの広がりまたは分散を制御します。テキストでは、正規分布の確率密度関数と累積分布関数が提供されます。
正規分布は、金融や経済学で株価収益率、金利、その他の経済変数をモデル化するためによく適用されます。仮説検定や信頼区間の推定にも使用されます。株式収益が特定のしきい値を超える確率を計算する問題の例が示されています。
次に、本文では、ポアソン過程におけるイベント間の時間をモデル化する指数分布を紹介します。これは、イベントの発生率を表すパラメーター λ によって特徴付けられます。指数分布は信頼性解析とキュー理論で広く使用されています。このテキストでは、指数分布の確率密度関数と累積分布関数を提供します。
平均待ち時間を考慮して、顧客が銀行の行列で一定時間未満しか待たない確率を計算する問題の例が提示されています。
最後に、テキストでは対数正規分布を紹介します。これは、正規分布する確率変数の指数を取得することによって正規分布から導出されます。対数正規分布は、株価、資産収益率、および正の歪度と不均一分散性を示すその他の変数をモデル化するために一般的に使用されます。このテキストでは、対数正規分布の確率密度関数と累積分布関数を提供します。
現在の価格とボラティリティを考慮して、株価が将来特定の値を超える確率を計算する問題の例が示されています。
一般的な一変量確率変数に関するこの章では、定量分析で使用されるさまざまな重要な分布について説明します。これらの分布とその特性を理解することは、金融、経済、その他の分野でデータを分析およびモデル化するために不可欠です。これらの概念を習得することで、情報に基づいた意思決定を行い、データから有意義な洞察を引き出すことができます。
サンプルモーメント (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 5 章)
サンプルモーメント (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 5 章)
定量分析の第 1 部、第 2 巻の「サンプル モーメント」というタイトルの章では、サンプルとそのモーメントの概念について詳しく説明します。私のビデオをよくご覧になっている方はご存知かと思いますが、私は、関連性があるだけでなく、私たちの目的にもかなう、興味深い例を紹介することを好みます。それらをばかばかしいと思う人もいるかもしれませんが、私たちの議論の文脈では重要な意味を持ちます。この章を始めるにあたり、私の個人的なお気に入りであるグレープ フルーツを中心とした導入例を紹介します。
グレープフルーツの種を探索する: 私はグレープフルーツを食べるのが楽しいだけでなく、子供たちにグレープフルーツをカットすることにも喜びを感じています。彼らはその味を好みますし、間違いなく健康に有益です。しかし、グレープフルーツを切り開くと、その中にたくさんの種が入っているのを発見すると、苦境が生じます。私たちがグレープフルーツの種子の数を理解することに興味を持っている研究者であると仮定しましょう。これを調査するために、私たちは食料品店から数千個のグレープフルーツを調達する旅に乗り出します。家に帰ってから、グレープフルーツを一つ一つ注意深く切り開いてみると、入っている種の量はさまざまでした。グレープフルーツには、種子が 3 つまたは 4 つあるものもあれば、6 つまたは 7 つあるもの、さらには 10 つまたは 12 個の種子が含まれているものもあります。
サンプルデータの記録: 私たちは 1,000 個のグレープフルーツを所有しているため、各果物に含まれる種子の数を熱心に記録します。ただし、このサンプル全体では広範な情報が提供されない可能性があります。グレープフルーツを切り開く際に何が予想されるのか、大まかな範囲と一般的なアイデアを提供します。さらに深く掘り下げるには、章のタイトルの 2 番目の部分「瞬間」に焦点を移す必要があります。私たちは、将来のグレープフルーツの消費と予想される種子の数について私たちに啓発できるこのサンプルの瞬間を調査することを目指しています。私たちが最初に遭遇する瞬間は、平均や平均です。 1,000 個のグレープフルーツに含まれる種子の合計を 1,000 で割ると、平均して、たとえば 5 個の種子が得られます。
複数の瞬間を考慮する: ただし、新しいグレープフルーツを切り開くたびに、正確に 5 つの種子が得られるわけではないことを認識しなければなりません。 3 つの種子、7 つの種子、またはその他の数量を取得する可能性があります。したがって、他の瞬間も考慮する必要があります。要約すると、この最初の一見些細な例から得られる重要な点は、モーメント (この章ではそのうちの 4 つについて説明します) がサンプルの分布に関する洞察を提供するということです。この知識があれば、将来のグレープフルーツの消費量と予想される種子の数について情報に基づいた決定を下すことができます。
学習目標: さて、この章で概説されている学習目標に注目してみましょう。興味深いことに、これらの目標にはグレープフルーツについて明確に言及されていませんが、私たちは皆、そのことに感謝できると信じています。さて、この先には何が待っているのでしょうか？平均値、母集団モーメント、サンプルモーメント、推定量、および推定値を含む大量の推定を行います。これらの瞬間にバイアスがあるかどうかを評価します。たとえば、グレープフルーツのサンプルで、グレープフルーツの 3 個ごとに 50 個の種子が含まれていることを示唆する瞬間に遭遇した場合、それは非常にありそうもないことであり、グレープフルーツの種子に関する合理的な期待からは程遠いように思われるでしょう。したがって、偏った瞬間に注意する必要があります。さらに、中心極限定理を調査し、分布の 3 番目と 4 番目のモーメント、つまり歪度と尖度の検討に進みます。最後に、共変量、相関関係、共歪度、および共尖度について詳しく説明します。これらは、このスライドデッキを楽しく洞察力に富んだ体験にすることを約束します。
結論: 確率変数の研究は、個々の変数を分析するだけではありません。これには、複数の変数の関係、依存関係、分布を調べることが含まれます。
これらの概念を理解することで、研究者や分析者は、複雑なシステムの動作と相互作用について貴重な洞察を得ることができます。この章の次のセクションでは、統計分析におけるさまざまな瞬間の重要性とその応用についてさらに詳しく説明します。
中央値と四分位範囲: 今回のトピックは、特に研究における中央値とその重要性です。金融分野の研究者を含む研究者は、データを 4 つの部分に分割し、中央のセクションに焦点を当てる四分位範囲の調査に興味を持っています。ただし、財務リスク管理者として、分布の左端も考慮することが重要です。ここでバリュー・アット・リスク（VaR）の概念が登場しますが、これについては後ほど詳しく説明します。ここでは、中央値について少し時間をかけて議論しましょう。
中央値の計算: 中央値の計算は、観測値の数に基づいて異なるため、興味深いものです。たとえば、種子数が異なる 3 つのグレープフルーツ (3、5、7) がある場合、中央値は中央の値、つまり 5 になります。奇数サイズのサンプルでは、中央値は単に中央の観測値になります。ただし、観測値が偶数の場合は、中央の 2 つの値の平均を取ります。シード数が 5 と 7 の 2 つのグレープフルーツの例では、中央値は (5 + 7) / 2 = 6 となります。
中央値の堅牢性: 特に均等なサイズのサンプルを扱う場合、中央値はデータセット内の実際の観測値に対応しない可能性があることに注意することが重要です。さらに、中央値は極端な値の影響を受けないため、堅牢な測定値となります。さらに、特に大きな数の場合、中間点として機能します。
個別変数を超えて: これまで、分布の瞬間に焦点を当ててきました。ただし、平均の左側と右側も理解する必要があります。これにより、ランダムサンプルの挙動についての洞察が得られる中心極限定理が導き出されます。 1,000 個の観測値など、母集団から大規模なサンプルを抽出すると、サンプル平均の分布は正規分布に近似します。サンプルサイズがさらに増加すると、サンプル平均の分布はさらに正規分布に近づきます。私たちの場合、さまざまな店舗から 1,000 件の観測値を取得できるため、標本平均を計算して標本分布を近似することができます。
標本分布と近似: 要約すると、標本が正規分布している場合、標本平均の標本分布も正規になります。ただし、標本母集団がほぼ対称である場合、特に標本サイズが小さい場合、標本分布はほぼ正規になります。ただし、データに歪度を導入する場合、標本分布がほぼ正規になるためには、通常、30 以上の標本サイズが必要です。
実際の応用: 確率推定: この概念を説明するために、例を考えてみましょう。平均寿命が 30,000 キロメートル、標準偏差が 3,600 キロメートルである特定のブランドのタイヤがあるとします。 81 本のタイヤの平均寿命が 29,200 キロメートル未満になる確率を調べたいと考えています。提供された情報と Z テーブルを使用して Z スコアを計算すると、確率は約 0.02275、つまり 2.275% であることがわかります。これは、平均寿命が 29,200 キロメートル未満になる確率が比較的低いことを示しています。
変数間の依存関係と関係: これまで、単一の確率変数を調べてきました。ただし、金利とインフレなどの 2 つの変数間の関係を研究することに関心があることがよくあります。これら 2 つの変数はランダムであり、高度な相関関係を示す可能性があります。この関係を評価するには、時間の経過に伴う 2 つの確率変数の結合変動を測定する共分散を使用します。各観測値の差と、両方の変数の対応する平均値を乗算することで、共分散を計算できます。
共分散: 2 つの変数 X と Y の間の共分散は、次の式を使用して計算できます。
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
ここで、X と Y は変数、μX と μY はそれぞれの平均、n は観測値の数です。
共分散の符号は、変数間の関係の方向を示します。共分散が正の場合、正の関係があることを示唆しています。これは、1 つの変数が増加すると、他の変数も同様に増加する傾向があることを意味します。逆に、負の共分散は負の関係を示し、一方の変数が増加すると、他方の変数は減少する傾向にあります。
ただし、共分散の大きさは変数のスケールの影響を受けるため、共分散の大きさだけでは変数間の関係の強さを明確に測ることはできません。この制限を克服し、関係の強さをよりよく理解するには、相関係数を使用できます。
相関係数: r で示される相関係数は、2 つの変数間の線形関係の強さと方向を測定します。これは、-1 から 1 までの範囲の標準化された尺度です。
相関係数の計算式は次のとおりです。
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
ここで、cov(X, Y) は X と Y の間の共分散、σX と σY はそれぞれ X と Y の標準偏差です。
相関係数は、変数間の関係についての貴重な洞察を提供します。相関係数が 1 または -1 に近い場合、強い線形関係があることを示します。相関係数 1 は完全な正の線形関係を示し、-1 は完全な負の線形関係を示します。相関係数が 0 に近い場合は、変数間の関係が弱いか、線形関係がないことを示します。
相関関係は因果関係を意味するものではないことに注意することが重要です。 2 つの変数の相関性が高い場合でも、一方の変数が他方の変数を変化させるとは限りません。相関関係は、2 つの変数がどの程度一緒に動くかを単純に定量化します。
共分散分析と相関分析を通じて変数間の関係を理解すると、研究者や分析者は、さまざまな要因間のパターン、依存関係、および潜在的な予測力についての洞察を得ることができます。これらの尺度は、変数間の関係を研究し、情報に基づいた意思決定を行うために、金融、経済学、社会科学などのさまざまな分野で広く使用されています。
多変量確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 4 章)
多変量確率変数 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 4 章)
多変量確率変数に関するこの章では、複数の確率変数間の依存関係の概念を検討します。確率変数に関する前章を基に、債券価格と満期利回りの関係を掘り下げ、追加の要因が債券価格に与える潜在的な影響を強調します。多変量確率変数の概念を導入し、確率質量関数と確率密度関数の理解を拡張して、離散確率変数と連続確率変数の両方を分析します。この章は、分析に追加の次元を組み込むことで知識を拡張し、最終的にポートフォリオ分析の理解を高めることを目的としています。この章で取り上げる主なトピックには、確率行列、関数の期待値、共分散、相関関係、変換、ポートフォリオ分析、分散、条件付き期待値、および同一かつ独立に分布する確率変数が含まれます。
はじめに: この章は、2 つ以上の確率変数間の依存関係を説明する多変量確率変数の概念を強調することから始まります。債券価格と満期までの利回りの例をもとに、さまざまなリスクの複雑さを捉えるために単一の変数のみに依存することには限界があることを私たちは認識しています。我々は、債券価格をより包括的に理解するために、貿易、関税、税金、政府規制、消費者の嗜好などの追加要素を考慮する必要があることを認識する。分析を多変量確率変数に拡張することで、さまざまな要因間の相互作用と、調査する変数に対するそれらの影響を説明することを目指しています。
学習目標: この章では、前の章の学習目標と一致する学習目標の概要を説明します。これらの目的には、確率行列の理解、関数の期待値の調査、確率変数間の関係の調査、共分散と相関関係の調査、変換の分析、ポートフォリオ分析の組み込み、分散の調査、条件付き期待値の調査、および同一かつ独立に分布する確率変数に関する議論で終わることが含まれます。 。これらの目標は、既存の知識に基づいて構築され、それを多変量解析の領域に拡張します。
多変量確率変数: 多変量確率変数は、複数の確率変数間の依存関係を捉える変数として導入されます。単一変数分析とは対照的に、多変量分析では、これらの変数が関心のある変数にどのような影響を与えるかを研究できます。複数の確率変数が研究対象の変数に同時に影響を与えるシナリオを検討します。この章では、多変量解析が複雑な関係の理解をどのように強化するかを示す例を示します。
確率分布: この章では、前の章で紹介した確率質量関数 (PMF) と確率密度関数 (PDF) を再取り上げます。離散確率変数は PMF に関連付けられますが、連続確率変数では確率分布を正確に表すために PDF が必要です。累積確率の概念についても説明します。これにより、コンポーネントが特定の値以下になる確率を決定できます。これらのツールを利用することで、正規分布、指数分布、一様分布などのさまざまな分布に基づいてさまざまな結果の可能性を評価できます。
二変量離散確率変数分布: 2 つの確率変数間の結合確率を表す二変量離散確率変数分布を調査します。この分布を表形式で視覚化すると、変数間の関係がより明確に理解できます。条件付き分布と周辺分布を分析することで、特定の結果に関連する確率についての洞察が得られます。この分析は、変数間の依存関係を特定し、それらの個別の影響と複合的な影響を評価するのに役立ちます。
条件付き分布と期待値: 条件付き分布は、1 つの変数の値がわかっている場合に、確率変数間の関係を調べる手段として導入されます。特定の変数値に基づいて分析を条件付けることにより、他の変数の条件付き期待値を評価できます。このアプローチにより、特定の条件下で期待される結果を推定することができ、関心のある変数に対するさまざまな要因の影響を明らかにすることができます。条件付き期待値は、限界確率と関連する条件付き確率分布を使用して計算できます。
確率変数間の関係の測定: この章の最後では、確率変数間の関係を測定することの重要性を強調しています。共分散や相関など、確率変数間の依存度を定量化できるさまざまな統計的尺度を調査します。
共分散は、ある変数の変化が別の変数の変化にどのように対応するかを評価する尺度として導入されます。これは、関係の方向 (正または負) と変数がどの程度一緒に動くかを捕捉します。この章では、離散確率変数と連続確率変数の両方の共分散を計算する式を説明します。
一方、相関関係では、共分散を変数の標準偏差の積で割ることによって共分散を標準化します。この正規化により、変数間の関係の強さを -1 から 1 のスケールで比較できます。正の相関は直接的な関係を示し、負の相関は逆の関係を示し、ゼロに近い相関は弱い関係または線形でない関係を示します。
確率変数の変換: この章では、確率変数を変換して、その関係と分布をより適切に分析する概念について説明します。変換には、加算、減算、乗算、除算などの単純な数学演算や、より複雑な関数が含まれる場合があります。適切な変換を適用すると、多くの場合、分析が簡素化され、変数の動作についてより深い洞察が得られます。
ポートフォリオ分析: この章では、金融における多変量分析の応用としてポートフォリオ分析を紹介します。私たちは、多変量手法を使用して、リターンによって表されるさまざまな資産クラス間の関係をどのように分析できるかを調査します。分散の概念が強調され、低い相関または負の相関を持つ資産を組み合わせることでポートフォリオのリスクがどのように軽減されるかを強調しています。ポートフォリオのパフォーマンスを評価し、資産配分を最適化するために、ポートフォリオの分散や共分散などのさまざまな尺度について説明します。
分散および共分散行列: この章では分散の概念を詳しく掘り下げ、それを多変量設定に拡張します。分散共分散行列は共分散行列とも呼ばれ、複数の確率変数間の分散と共分散を包括的に表現します。これは、ポートフォリオ分析とリスク管理における重要なツールとして機能し、ポートフォリオのリスクを計算し、最適な資産配分を特定できるようにします。
条件付き期待値: 条件付き期待値は、特定の条件を与えられた確率変数の期待値を推定する手段として研究されています。この概念により、追加の情報や制約を分析に組み込み、予測を改良することができます。この章では、離散確率変数と連続確率変数の両方の条件付き期待値について説明し、意思決定と予測の問題におけるそれらの有用性を強調します。
同一かつ独立して分布する確率変数: この章は、同一かつ独立して分布する (iid) 確率変数についての説明で終わります。一連の確率変数が同じ分布に従い、相互に独立している場合、それらは iid であると言われます。この概念は、さまざまな統計分析やモデルで重要です。この章では、iid 確率変数の特性と意味を調査し、確率論と統計的推論におけるそれらの関連性を強調します。
概要: 多変量解析と確率変数の依存性に関する章では、複数の変数の同時挙動を考慮することで、確率と統計についての理解を深めます。分析に追加のディメンションを組み込むことで、変数間の複雑な関係や依存関係をより適切に把握できるようになります。この章では、確率行列、関数の期待値、共分散、相関関係、変換、ポートフォリオ分析、分散共分散行列、条件付き期待値、iid 確率変数など、さまざまなトピックを取り上げます。これらの概念により、多変量データを分析し、情報に基づいた意思決定を行い、確率変数の根底にある力学についてより深い洞察を得るツールが得られます。
仮説検証 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 6 章)
仮説検証 (FRM パート 1 2023 – ブック 2 – 第 6 章)
定量分析コースの第 1 部、第 2 巻には、仮説検証に関する章があります。著者は、この章には学生が学部の統計学の授業で覚えているかもしれない情報が含まれている可能性が高いと述べています。この章では、サンプル平均とサンプル分散の理解、信頼区間の構築と解釈、帰無仮説と対立仮説の操作、片側検定または両側検定の実施、結果の解釈など、さまざまな学習目標について説明します。
この章は、サンプル平均値についての説明から始まります。サンプル平均値は、サンプル内のすべての値の合計を観測値の数で割ったものとして定義されます。標本平均の計算は主な焦点ではありませんが、母集団平均に関する推論を行う際のその使用法を理解することは不可欠です。著者は、母集団全体からデータを収集することは多くの場合非現実的であるため、平均値の近似的な標本分布を提供する中心極限定理に基づいてサンプルが選択され、検定が実行されることを強調しています。
次に著者は、母集団の標準偏差は通常不明であるため、標本標準偏差を推定することの重要性を強調しています。これらは、サンプル平均の標準誤差を計算するための式を提供します。計算を説明するために、平均が 15.50 ドル、標準偏差が 3.3、サンプル サイズが 30 の例が示されています。
次にこの章では、平均からの観測値の分散を測定する標本分散について説明します。著者は、分散が大きいほど、データのリスクやばらつきが大きいことを示していると説明しています。これらは、個々の観測値と標本平均の差を考慮し、自由度で割って標本分散を計算するための式を提供します。
信頼区間に移り、著者は信頼水準の概念を導入し、結果の特定の割合がその中に収まると予想される範囲をそれがどのように提供するかを説明します。一般に 95% の信頼水準が使用されます。これは、そのような間隔の実現値の 95% にパラメーター値が含まれることを意味します。著者は、信頼区間を構築するための一般的な公式を提示しています。これには、点推定値 (サンプル平均など) に信頼性係数を乗算した標準誤差を加えた値または引いた値が含まれます。信頼性係数は、必要な信頼水準と、母集団の分散が既知であるか未知であるかによって異なります。
著者は、望ましい信頼水準とサンプルサイズに基づいて適切な信頼性係数を選択するための表を提供しています。また、母集団分散が既知か未知かに応じた Z スコアと t スコアの使用についても説明します。サンプル平均と標準偏差を使用して、試験勉強に費やした平均時間の 95% 信頼区間の計算を示す例が示されています。
最後に、この章では仮説検定について簡単に説明します。仮説検定には、母集団の特徴について仮説または主張を立て、その妥当性を評価するための検定を実行することが含まれます。著者は、仮説の記述、検定統計量の選択、有意水準の指定、決定ルールの定義、標本統計量の計算、決定など、仮説検定に関わる手順を説明します。
全体として、この章では、特にサンプル平均、サンプル分散、信頼区間、仮説検定に焦点を当てた、定量分析における重要な概念の包括的な概要を説明します。これらのトピックは統計分析の基礎であり、データから推論を行って結論を引き出すための基礎を提供します。