Affittuario - pagina 16
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È interessante vedere come questi parametri influenzano il risultato:
Per esempio, per le nostre condizioni di base, a diverse posizioni della valvola, otteniamo queste interessanti immagini
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Questo è per il quadro generale...
Siamo interessati all'ultima dipendenza
(profilo di fase "a-da" - l'ultimo grafico ne è un caso speciale)
Non ha funzionato molto bene. Non posterò qui i calcoli. Non c'è niente di bello in loro.
Ho provato a usare la seguente osservazione: 1+q-k = 1+epsilon, essendo epsilon un valore piccolo. Poi ho espanso la derivata per k nella serie di Taylor, tenendo prima i termini fino al terzo ordine di piccolezza. Poi, dopo le semplificazioni, abbiamo ottenuto l'equazione cubica. Ho scartato il termine più piccolo del terzo ordine e ho provato a risolvere la quadratica risultante. Ho fallito: il discriminante è positivo solo con t piccolo.
Temo di aver commesso un errore rifiutando il termine cubico: sebbene sia un termine del terzo ordine di piccolezza in epsilon, non è piccolo. L'avevo come segue: epsilon*epsilon*(epsilon-q)(t-1)(t-2)(t-3). Si può vedere che per grandi t può essere abbastanza piccolo (anche se epsilon~0.01 è un'assunzione abbastanza realistica). E non si vuole risolvere quello cubico.
Vediamo cosa ottiene Oleg.
P.S. Supponendo che epsilon*t = O(1) (o q*t = O(1) ), si può approssimare la funzione potenza con un esponente. Facciamo una prova.
C'è un altro approccio - senza serie di Taylor, ma semplicemente con il metodo della tangente (Newton, credo). E si può arrivare anche a una soluzione analitica abbastanza esatta.
Il punto è che inizialmente le condizioni non contengono un tempo continuo, ma una funzione reticolare - cioè deve essere prima eseguita una trasformazione adeguata. Solo allora sarà valida l'introduzione di un piccolo epsilon. Queste sono le proprietà delle funzioni reticolari.
A proposito, è stata la traslazione nella regione del tempo continuo che ho affrontato nel primo passo della soluzione del problema, usando la trasformata di Laplace nella catena discreti-frequenze-tempo. Per essere più precisi: anche da questo...
Quindi, l'oggetto della nostra ulteriore analisi è la funzione
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E non voglio risolvere quello cubico.
Alexey, non ho mai visto un'espressione analitica per le radici di un'equazione cubica (eccetto i casi parziali semplificati). Non avete un'espressione simile? Proprio come per un'equazione quadratica: x1=b/2+SQRT()... ecc. Pubblicalo se lo conosci. Non ho trovato nulla su Internet. Mi ricordo dalla scuola, che c'è anche una rappresentazione delle radici attraverso funzioni armoniche!
C'è un altro approccio - senza serie di Taylor, ma semplicemente con il metodo della tangente (Newton, credo). E si può arrivare anche a una soluzione analitica abbastanza esatta.
È davvero possibile ottenere una soluzione approssimativa in forma analitica in questo modo? Non ne ho mai sentito parlare. Molto interessante, mi piacerebbe vedere un esempio del metodo.
Andiamo in studio!
Sì, si parla della soluzione ottenuta per t grande. Questo è anche di interesse pratico come caso di deposito "incancellabile". Per quale t sei riuscito a ottenere un'approssimazione? Forse una transizione limite per t->inf è possibile. Allora possiamo ottenere un'espressione analitica per la percentuale di pagamento ottimale, k, in funzione di un solo parametro q - il valore dell'interesse maturato. Questo sarebbe un grande risultato.
avtomat:
Il punto è che le condizioni iniziali non contengono un tempo continuo, ma una funzione reticolare - cioè bisogna prima fare una conversione. Solo allora sarebbe valida l'introduzione di un piccolo epsilon. Queste sono le proprietà delle funzioni reticolari.
A proposito, è stata la traslazione nella regione del tempo continuo che ho affrontato nel primo passo della soluzione del problema, usando la trasformata di Laplace nella catena discreti-frequenze-tempo. Per essere più precisi: compreso questo...
Oleg, perché pensi che l'espressione analitica ottenuta sopra per la somma dei mezzi derivabili
non sia marginale per il tempo continuo? Dopo tutto, non abbiamo stipulato il limite minimo di intervallo (passo) della serie temporale originale (forma iterata di scrittura nel primo post del topic). Se è così, basta che alla transizione limite a dt->0 abbiamo un certo df(t) e non c'è contraddizione...
Oleg, perché pensi che l'espressione analitica di cui sopra per la somma delle derivate non sia il limite per il tempo continuo? Dopo tutto, non abbiamo specificatamente stipulato una restrizione sull'intervallo minimo (passo) della serie temporale originale (forma di notazione iterata nel primo post del topic). Se è così, allora è sufficiente che alla transizione limite a dt->0 abbiamo un df(t) definito e non c'è contraddizione...
Non così... Cerca di introdurre un piccolo epsilon qui...
Sì, non l'abbiamo specificatamente stipulato da nessuna parte, ma la formulazione stessa del problema implica implicitamente l'uso di una funzione reticolare.
Questo significa che la corrispondenza sarà nei nodi del reticolo. Inoltre, per le funzioni reticolari non ci sono punti intermedi - solo i nodi del reticolo. Quindi tutti i tentativi di costruire valori intermedi porteranno a risultati errati (a proposito, questi problemi appartengono al campo della quantizzazione del segnale). I valori intermedi possono essere costruiti aumentando la frequenza di campionamento, cioè introducendo di nuovo una funzione reticolare con più nodi, il che non cambierà fondamentalmente l'essenza del fenomeno. Questo significa, in particolare, che le derivate di primo, secondo, ecc. sono usate al posto delle differenze di primo, secondo, ecc. Invece di integrali - somme. ... ecc. -- Questo è un intero campo di studi.
Ma ci sono modi per spostarsi da una zona all'altra e viceversa.
In questo caso particolare del nostro problema, questo approccio non ci soddisfa. Quindi la prima cosa da fare è passare dal tempo discreto al tempo continuo.
Il punto è che le condizioni iniziali non sono a tempo continuo, ma una funzione reticolare - cioè bisogna prima eseguire una trasformazione.
Non ho mai visto un'espressione analitica per le radici di un'equazione cubica (a parte le semplificazioni parziali). Non ne hai uno? Proprio come per un'equazione quadratica: x1=b/2+SQRT()... ecc. Pubblicalo se lo conosci. Non ho trovato nulla su internet.
Laformula di Cardano.
Mi ricordo dalla scuola che c'è persino una rappresentazione delle radici attraverso funzioni armoniche!
La formula trigonometrica di Viets
... Oppure non produrre, ma utilizzare l'apparato disponibile della versione discreta della trasformata di Laplace, cioè la trasformazione Z. Non pensi che sarebbe più semplice?
Non è questo il problema. All'inizio c'è un quadro tridimensionale di "%crescita - %rendimento - rendimento" - tutto è già calcolato, ed è nel dominio discreto.
Ora il compito sportivo è di presentare il tutto in forma analitica ;)
Formula di Cardano
Formula trigonometrica di Vyet