Trading Quantitatif - page 13

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Wall Street : les commerçants rapides

Wall Street : les commerçants rapides

Beaucoup de gens ignorent que la majorité des transactions boursières aux États-Unis ne sont plus exécutées par des êtres humains mais plutôt par des ordinateurs robotiques. Ces superordinateurs sont capables d'acheter et de vendre des milliers de titres différents en un clin d'œil. Le trading à haute fréquence, comme on le sait, est devenu répandu à Wall Street ces dernières années et a joué un rôle dans le crash du mini-marché au printemps dernier lorsque le Dow Jones Industrial Average a chuté de 600 points en seulement 15 minutes.

La Securities and Exchange Commission et les membres du Congrès ont commencé à soulever des questions difficiles sur l'utilité, les dangers potentiels et les soupçons de manipulation du marché par le biais du commerce informatique. Le passage des commerçants humains aux machines a transformé le paysage de la Bourse de New York, qui était autrefois le centre du monde financier. Aujourd'hui, moins de 30% des transactions ont lieu sur le parquet de la bourse, le reste étant effectué via des plateformes électroniques et des systèmes de négociation alternatifs.

Deux bourses électroniques, BATS et Direct Edge, détenues par de grandes banques et des sociétés de trading à haute fréquence, ont vu le jour et négocient plus d'un milliard d'actions par jour à des vitesses étonnantes. Des sociétés de trading à haute fréquence comme Tradeworks, dirigées par Manoj Narang et une équipe de mathématiciens et de scientifiques appelés quants (analystes quantitatifs), se livrent à cette pratique. Ils exécutent des transactions pendant des fractions de seconde, dans le but de réaliser un profit d'un centime ou moins par transaction. Ces entreprises s'appuient sur des algorithmes mathématiques complexes programmés dans leurs ordinateurs pour analyser les données en temps réel et prendre des décisions en une fraction de seconde.

Un aspect clé du trading à haute fréquence est que les ordinateurs n'ont aucune compréhension des sociétés échangées. Ils ne connaissent pas la valeur des entreprises, leur management ou tout autre facteur qualitatif. Les décisions de trading sont purement basées sur des facteurs quantitatifs, la probabilité et l'analyse statistique. Cette approche permet de saisir des opportunités passagères sur le marché mais ne tient pas compte des facteurs fondamentaux.

Les traders à haute fréquence investissent massivement dans les superordinateurs et les infrastructures pour obtenir un avantage de vitesse. Plus leurs ordinateurs sont proches des serveurs de la bourse, plus ils reçoivent rapidement des informations critiques sur le marché. Même quelques millisecondes d'avantage peuvent se traduire par des profits importants. Les critiques soutiennent que les traders à haute fréquence exploitent cet avantage pour lancer des ordres, manipuler les actions et extraire de l'argent du marché sans ajouter de valeur réelle.

Alors que les partisans affirment que le trading à haute fréquence augmente la liquidité du marché, réduit les coûts de transaction et resserre les écarts d'actions, les critiques pensent qu'il nuit à l'équité et à la transparence. La nature à grande vitesse du trading et la complexité des algorithmes rendent difficile pour les régulateurs de surveiller et d'assurer des règles du jeu équitables. Le "flash crash" de 2010, lorsque le Dow Jones a plongé de 600 points en quelques minutes, a révélé les risques potentiels associés au trading à haute fréquence et au manque de contrôle.

Les régulateurs et les législateurs ont commencé à proposer des réformes pour répondre aux préoccupations liées au trading à haute fréquence. La Securities and Exchange Commission envisage des mesures pour suivre et identifier les transactions à haute fréquence, et des disjoncteurs ont été mis en place pour arrêter les transactions en cas de volatilité extrême des prix. Cependant, d'autres changements sont nécessaires pour restaurer la confiance dans l'intégrité du marché et assurer la transparence aux investisseurs moyens qui ont le sentiment que le système est truqué contre eux.

Au cours des dernières années, les traders à haute fréquence ont étendu leurs activités aux marchés des devises et des matières premières, ce qui a suscité davantage d'inquiétudes quant à leur impact sur les marchés financiers. L'évolution de la technologie a dépassé la capacité des régulateurs à suivre le rythme, et il y a un appel croissant à des réformes qui établissent un équilibre entre l'innovation et l'intégrité du marché.

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"Modélisation mathématique et calcul en finance : avec des exercices et des codes informatiques Python et MATLAB" , par CW Oosterlee et LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.

"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" est un livre inestimable qui explore l'intersection des mathématiques, de la finance et de l'informatique. Rédigé par des experts dans le domaine, il fournit un guide complet pour comprendre et mettre en œuvre des modèles mathématiques en finance à l'aide de langages de programmation populaires tels que Python et MATLAB.

Le livre commence par présenter aux lecteurs les concepts fondamentaux de la modélisation mathématique en finance, y compris la théorie des probabilités, le calcul stochastique et les techniques d'optimisation. Il met l'accent sur les aspects pratiques de la modélisation et du calcul, soulignant l'importance des méthodes numériques et de la simulation dans la résolution de problèmes financiers réels.

L'une des caractéristiques les plus remarquables de ce livre est l'inclusion de nombreux exercices et codes informatiques en Python et MATLAB. Ces exercices permettent aux lecteurs de s'engager activement avec le matériel, de renforcer leur compréhension des concepts et de développer leurs compétences en programmation. En travaillant sur les exercices et en mettant en œuvre les codes fournis, les lecteurs peuvent acquérir une expérience pratique de l'application de modèles mathématiques à la finance et améliorer leur maîtrise de l'utilisation de ces langages de programmation pour l'analyse financière.

Le livre couvre un large éventail de sujets liés à la finance, tels que la tarification des options, l'optimisation du portefeuille, la gestion des risques et l'allocation d'actifs. Il aborde des sujets avancés tels que la modélisation de la volatilité, la modélisation des taux d'intérêt et la modélisation du risque de crédit, offrant aux lecteurs une compréhension complète des techniques mathématiques utilisées dans la modélisation financière.

Les auteurs trouvent un équilibre entre la rigueur théorique et l'application pratique tout au long du livre. Ils fournissent des explications claires sur les concepts et algorithmes mathématiques sous-jacents, accompagnés d'exemples concrets et d'études de cas. Cette approche permet aux lecteurs de saisir les fondements théoriques tout en découvrant comment ces modèles peuvent être appliqués pour résoudre des problèmes financiers pratiques.

En outre, le livre met en évidence les avantages et les limites des différentes approches de modélisation, dotant les lecteurs des compétences de pensée critique nécessaires pour prendre des décisions éclairées lors du choix et de la mise en œuvre de modèles dans des scénarios du monde réel.

"Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes" est une excellente ressource pour les étudiants, les chercheurs et les praticiens dans le domaine de la finance qui cherchent à approfondir leur compréhension de la modélisation mathématique et des méthodes de calcul. Sa combinaison d'explications théoriques, d'exercices pratiques et de codes informatiques prêts à l'emploi en fait un compagnon indispensable pour quiconque s'intéresse à l'application de techniques mathématiques pour résoudre des problèmes financiers.

https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course

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Ce cours Computational Finance est basé sur le livre : "Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes"

Finance computationnelle : Cours 1/14 (Introduction et aperçu des classes d'actifs)

Cette conférence complète sert d'introduction aux domaines fascinants de la finance informatique et de l'ingénierie financière, couvrant un large éventail de sujets essentiels à la compréhension de la finance moderne. Le conférencier souligne l'importance des modèles théoriques de la finance mathématique et informatique, qui sont utilisés pour créer des modèles pratiques pour la tarification des dérivés dans divers scénarios.

Dans le cours sur la finance computationnelle, les étudiants approfondiront divers sujets cruciaux pour comprendre et appliquer des méthodes financières pratiques. Dirigé par l'instructeur, Leth Lag, le cours mettra l'accent sur la mise en œuvre de techniques de programmation efficaces utilisant Python pour la simulation et la tarification des options. Ce programme complet est conçu pour les personnes intéressées par la finance, la finance quantitative et l'ingénierie financière. Il couvrira des concepts essentiels tels que les volatilités implicites, les stratégies de couverture et le domaine fascinant des dérivés exotiques.

La finance computationnelle est un domaine interdisciplinaire situé entre la finance mathématique et les méthodes numériques. Son objectif principal est de développer des techniques directement applicables à l'analyse économique, combinant des compétences en programmation avec des modèles théoriques. L'ingénierie financière, quant à elle, englobe une approche multidisciplinaire qui utilise la théorie financière, les méthodes d'ingénierie, les outils mathématiques et les pratiques de programmation. Les ingénieurs financiers jouent un rôle essentiel dans la création de modèles pratiques basés sur la finance mathématique et informatique, qui peuvent être utilisés pour évaluer les dérivés et gérer efficacement les contrats financiers complexes. Ces modèles doivent être théoriquement solides et adaptables à divers scénarios.

Le cours mettra en lumière différentes classes d'actifs négociées en finance informatique, notamment les actions, les options, les taux d'intérêt, les devises, les marchés du crédit, les matières premières, l'énergie et les crypto-monnaies. Les crypto-monnaies, en particulier, offrent une exposition à diverses classes d'actifs et peuvent être utilisées à des fins de couverture. Chaque classe d'actifs a ses contrats uniques utilisés pour le contrôle des risques et les stratégies de couverture. Le marché de gré à gré (OTC), avec ses multiples contreparties, présente des complexités supplémentaires qui doivent être comprises.

Le conférencier explorera le rôle des crypto-monnaies dans la finance, en mettant l'accent sur leurs diverses caractéristiques et sur la nécessité de méthodologies, de modèles et d'hypothèses spécifiques pour la tarification. De plus, les parts de marché de différentes classes d'actifs, telles que les taux d'intérêt, le forex, les actions, les matières premières et les swaps sur défaillance de crédit (CDS), seront examinées. Alors que les options représentent une partie relativement petite du monde financier, elles offrent une perspective distincte sur l'analyse financière et informatique.

Le sujet des options et de la spéculation sera discuté en profondeur, soulignant comment les options offrent une alternative à l'achat d'actions en permettant aux individus de spéculer sur l'orientation future d'une action avec un investissement en capital relativement faible. Cependant, les options ont une date d'échéance et peuvent perdre de la valeur si le cours de l'action reste inchangé, ce qui fait du timing un facteur crucial dans la spéculation. Le cours fournira une introduction aux marchés financiers, aux classes d'actifs et au rôle des ingénieurs financiers dans la navigation dans ces paysages complexes. Les actions, en tant que classe d'actifs la plus populaire, seront explorées en détail, en mettant l'accent sur le concept de propriété et sur la manière dont la valeur des actions est influencée par les performances de l'entreprise et les attentes futures.

La conférence mettra en lumière la nature stochastique du comportement des actions sur le marché, influencée par des facteurs tels que l'offre et la demande, les concurrents et les performances de l'entreprise. La valeur attendue d'une action peut différer de sa valeur réelle, ce qui entraîne de la volatilité. La volatilité est un élément crucial dans la modélisation et la tarification des options car elle détermine les fluctuations futures des cours des actions. De plus, la conférence distinguera deux types d'investisseurs : ceux qui s'intéressent aux rendements des dividendes et ceux qui recherchent des opportunités de croissance.

Le concept de dividendes et d'investissement dans les dividendes sera introduit, en mettant l'accent sur la façon dont les dividendes fournissent un investissement stable et certain alors que les entreprises distribuent régulièrement des paiements aux actionnaires. Cependant, les versements de dividendes peuvent varier et des rendements de dividendes élevés peuvent indiquer un risque accru dans les investissements d'une entreprise. La conférence abordera brièvement les taux d'intérêt et les marchés monétaires, reconnaissant que ces sujets seront couverts plus en détail dans un cours de suivi.

L'inflation et son impact sur les taux d'intérêt seront discutés, expliquant comment les banques centrales contrôlent l'inflation en ajustant les taux d'intérêt. La conférence explorera les avantages à court terme et les implications à long terme de la baisse des taux d'intérêt, ainsi que des stratégies alternatives telles que la théorie monétaire moderne ou les achats d'actifs par les banques centrales. De plus, le rôle de l'incertitude parmi les acteurs du marché dans la détermination des taux d'intérêt et l'effet fiscal caché de l'inflation sur les citoyens seront expliqués. La conférence se terminera en approfondissant le sujet de la gestion des risques dans les prêts. Le conférencier soulignera les risques potentiels auxquels sont confrontés les prêteurs, tels que les emprunteurs faisant faillite ou les défauts de paiement. Pour atténuer ces risques, les prêteurs facturent souvent une prime de risque pour s'assurer qu'ils sont adéquatement indemnisés pour toute perte potentielle.

À l'avenir, le conférencier se concentrera sur les taux d'intérêt et leur importance dans la finance. Ils expliqueront comment les taux d'intérêt affectent divers instruments financiers, y compris les comptes d'épargne, les hypothèques et les prêts. Le concept d'intérêt composé sera introduit, mettant l'accent sur la notion qu'une unité monétaire aujourd'hui vaut plus que la même unité à l'avenir en raison de facteurs tels que l'inflation. Les deux principales méthodes de calcul des taux d'intérêt, simples et composés, seront abordées, avec une explication détaillée de leurs différences et des exemples pratiques.

Le conférencier approfondira ensuite les taux d'intérêt composés, en particulier pour les placements d'une durée d'un an. Ils expliqueront la modélisation mathématique des taux composés à l'aide de la fonction exponentielle, où une unité monétaire est multipliée par e élevé à la puissance du taux d'intérêt. De plus, le conférencier décrira comment cette représentation mathématique s'aligne sur les équations différentielles qui régissent les comptes d'épargne, conduisant à la détermination du facteur de multiplication utilisé pour actualiser les flux de trésorerie futurs. Cependant, l'orateur notera qu'en réalité, les taux d'intérêt ne sont pas constants mais varient dans le temps, comme en témoignent différents instruments tels que les ténors et les prix des devises comme l'euro et l'USD.

Les graphiques représentant les taux d'intérêt et la liquidité du marché pour la zone euro et le dollar seront discutés. Notamment, l'état actuel de la zone euro révèle des rendements négatifs sur toutes les échéances jusqu'à 30 ans, ce qui implique qu'investir dans des obligations d'État au sein de la zone euro pourrait entraîner une perte d'argent. L'orateur suggérera que les particuliers peuvent préférer échanger des euros contre des dollars et investir dans des obligations américaines, car elles offrent des rendements plus élevés. Néanmoins, cette approche comporte des risques, notamment des pertes potentielles dues aux fluctuations des taux de change. L'orateur soulignera que les taux d'intérêt dépendent du temps et sont soumis à la dynamique du marché.

Le conférencier fera la lumière sur le concept d'achat d'obligations, soulignant que les acheteurs d'obligations paient souvent plus que la valeur réelle de l'obligation. Par conséquent, la valeur de l'argent investi dans des obligations peut se déprécier au fil du temps et l'inflation peut éroder la valeur de l'investissement. Les principaux acheteurs d'obligations, tels que les fonds de pension et les banques centrales, seront mentionnés, soulignant leur rôle important sur le marché obligataire. Par ailleurs, l'enseignant abordera le concept de volatilité, qui mesure la variation des prix financiers dans le temps. La volatilité est calculée à l'aide de mesures statistiques telles que la variance et donne un aperçu de la tendance d'un marché ou d'un titre à fluctuer, introduisant incertitude et risque.

Le cours portera ensuite son attention sur les rendements et la volatilité des actifs, deux concepts cruciaux en finance computationnelle. Les rendements des actifs font référence aux gains ou aux pertes d'un titre au cours d'une période donnée, tandis que la volatilité mesure la variance de ces rendements. Un marché très volatil indique des fluctuations de prix importantes sur une courte période, ce qui entraîne une incertitude et un risque accrus. L'indice VIX, un instrument qui mesure l'incertitude des marchés, sera introduit. Il utilise des options hors du cours ou des options de vente et est couramment utilisé par les investisseurs pour protéger leur capital en cas de baisse de la valeur marchande. L'importance du moment et de la prévision des temps d'exposition sera soulignée, car ils peuvent être difficiles dans la pratique.

L'instructeur discutera des subtilités de l'analyse de la volatilité de divers indices, y compris l'indice VIX. Ils reconnaîtront les difficultés à modéliser mathématiquement la volatilité en raison des circonstances et des fluctuations du marché. De plus, les options européennes, qui servent de blocs de construction fondamentaux pour la tarification des produits dérivés basée sur la volatilité, seront introduites. Le conférencier fournira une distinction claire entre les options d'achat et les options de vente, expliquant que les options d'achat accordent au détenteur le droit d'acheter un actif à un prix et à une date prédéterminés, tandis que les options de vente donnent au détenteur le droit de vendre un actif à un prix prédéterminé. et la date, servant essentiellement d'assurance.

Avec la base d'options établie, le conférencier présentera un aperçu des options au sein de différentes classes d'actifs. Ils mettront l'accent sur les deux principaux types d'options : les options d'achat et les options de vente. Dans le cas d'une option d'achat, l'acheteur a le droit de vendre l'actif sous-jacent à l'émetteur à une date d'échéance et à un prix d'exercice spécifiés. Cela signifie qu'à l'échéance, l'émetteur est obligé d'acheter l'action au prix d'exercice si l'acheteur choisit d'exercer l'option. D'autre part, une option de vente accorde à l'acheteur le droit de vendre l'actif sous-jacent à l'émetteur à une date d'échéance et à un prix d'exercice spécifiés. À l'échéance, l'émetteur doit acheter l'action au prix d'exercice spécifié si l'acheteur exerce l'option.

Pour illustrer la rentabilité potentielle des options, le conférencier présente deux représentations graphiques, l'une pour les options d'achat et l'autre pour les options de vente. Ces graphiques illustrent le profit ou la perte potentiel en fonction de la valeur de l'action sous-jacente. En examinant les graphiques, les téléspectateurs peuvent mieux comprendre comment les variations de la valeur de l'action peuvent affecter la rentabilité des options.

Tout au long du cours, l'instructeur explorera d'autres sujets avancés liés à la finance informatique, y compris la modélisation des produits dérivés, la mise en œuvre efficace de la programmation et l'utilisation de Python pour la simulation et la tarification des options. Ils programmeront en direct pendant les sessions et analyseront les résultats en collaboration avec les téléspectateurs, offrant une expérience pratique et des informations pratiques.

Le cours est spécialement conçu pour les personnes intéressées par la finance, la finance quantitative et l'ingénierie financière. Il vise à combler le fossé entre la finance mathématique et les méthodes numériques, en offrant les connaissances et les compétences interdisciplinaires nécessaires pour résoudre les problèmes financiers du monde réel. Les concepts de volatilités implicites, de stratégies de couverture et de dérivés exotiques seront également abordés, offrant une compréhension complète de la finance informatique et de ses applications dans le secteur financier.

À la fin du cours, les participants auront acquis une base solide en finance computationnelle, en ingénierie financière et en application pratique des méthodes numériques. Ils seront équipés des outils et des connaissances nécessaires pour développer et mettre en œuvre des modèles de tarification des dérivés, de gestion des risques et d'analyse des données financières. Ce cours sert de tremplin pour ceux qui cherchent à poursuivre une carrière dans la finance, l'analyse quantitative ou l'ingénierie financière, leur permettant de prendre des décisions éclairées et de contribuer au domaine en constante évolution de la finance informatique.

• 00:00:00 Le cours couvrira divers sujets liés à la finance informatique, y compris la modélisation des produits dérivés, la mise en œuvre efficace de la programmation et l'utilisation de Python pour la simulation et la tarification des options. L'instructeur du cours, Leth Lag, programmera en direct et analysera les résultats avec les téléspectateurs. Le cours est conçu pour ceux qui s'intéressent à la finance, à la finance quantitative et à l'ingénierie financière, et couvrira également les concepts de volatilités implicites et de couverture. Le cours se terminera par une discussion sur les dérivés exotiques.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la finance computationnelle, qui est une branche de l'informatique appliquée qui traite des problèmes financiers pratiques et met l'accent sur les méthodes numériques pratiques. Ce domaine est interdisciplinaire, entre la finance mathématique et les méthodes numériques. L'objectif de la finance computationnelle est de développer des techniques directement applicables à l'analyse économique, ce qui implique l'utilisation de programmation et de modèles théoriques. Un autre aspect abordé est l'ingénierie financière, qui est un domaine multidisciplinaire qui applique la théorie financière, les méthodes d'ingénierie, les outils mathématiques et la pratique de la programmation. L'ingénierie financière et la finance informatique sont liées, et les ingénieurs financiers développent des modèles pratiques, réalisables, rapides et efficaces et peuvent être utilisés par les institutions financières pour évaluer les dérivés et mettre en œuvre des stratégies de couverture.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le rôle de l'ingénierie financière dans le développement de modèles pour des contrats financiers complexes est discuté. Les ingénieurs financiers utilisent des modèles théoriques issus de la finance mathématique et informatique pour créer des modèles pratiques qui peuvent être utilisés pour évaluer les dérivés et autres contrats complexes. Les modèles doivent être théoriquement corrects et fonctionner dans un large éventail de scénarios. L'ingénierie financière est guidée par les besoins d'un client et nécessite un ensemble de compétences multidisciplinaires, y compris la modélisation quantitative et la programmation. La conférence explique également les principales classes d'actifs en finance, y compris les bourses d'actions et d'options, que les ingénieurs financiers évaluent à l'aide de leurs modèles et outils.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'orateur discute des différentes classes d'actifs qui sont négociées en finance informatique. Il y a les actions, les options, les taux d'intérêt, les devises, le marché du crédit, les matières premières, l'énergie et les crypto-monnaies. Dans le cas des crypto-monnaies, il existe de nombreux types différents en fonction de leurs caractéristiques et elles peuvent également être considérées comme un marché d'options. L'orateur aborde différents contrats au sein de chaque classe d'actifs utilisés pour couvrir et contrôler le risque. De plus, l'orateur note que certains marchés, comme le marché OTC, sont conçus pour le profil de risque des clients et impliquent de multiples contreparties.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute du rôle des crypto-monnaies dans la finance et explique comment elles sont conçues pour offrir une exposition à différentes classes d'actifs. Les crypto-monnaies peuvent être utilisées pour couvrir les risques, et certaines offrent également une exposition aux actions, à l'or, à l'argent et au pétrole. Différentes crypto-monnaies ont des caractéristiques uniques, nécessitant différentes méthodologies, modèles et hypothèses de tarification. L'orateur aborde ensuite la part de marché des différentes classes d'actifs, telles que les taux d'intérêt, le forex, les actions, les matières premières et les CDS. Bien que les options ne représentent qu'une infime partie du monde financier, elles sont toujours importantes et offrent une perspective unique sur l'analyse financière et informatique.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le sujet des options et de la spéculation est abordé. Les options peuvent être une alternative moins chère à l'achat d'actions, permettant de parier sur l'orientation future d'une action avec un petit investissement en capital. Cependant, les options ont une date d'échéance et perdent de la valeur si rien n'arrive au cours de l'action pendant cette période, ce qui fait du timing un défi important dans la spéculation. La conférence introduit le concept de marchés financiers, les classes d'actifs et le rôle d'un ingénieur financier. La première et la plus populaire classe d'actifs, les actions ou les actions, est également explorée, y compris comment acheter une action signifie devenir propriétaire de l'entreprise et comment la valeur d'une action dépend de la performance de l'entreprise et des attentes de paiements futurs.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur discute du comportement des actions sur le marché, qui est stochastique et influencé par divers facteurs tels que l'offre et la demande, les concurrents et les performances de l'entreprise. Cela signifie que la valeur attendue d'une action peut différer de sa valeur réelle, ce qui entraîne de la volatilité. La volatilité est un élément important dans la modélisation et la tarification des options, car elle détermine les fluctuations futures du prix d'une action. De plus, le propriétaire d'une action détient théoriquement une part de l'entreprise et peut recevoir des dividendes ou tirer profit de la croissance de l'action. Il existe deux types d'investisseurs : ceux qui s'intéressent aux rendements des dividendes et ceux qui recherchent des opportunités de croissance.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la vidéo, le concept de dividendes et d'investissement en dividendes est abordé. L'investissement en dividendes est attrayant pour ceux qui veulent un investissement stable et certain, car chaque trimestre ou semestriellement, une entreprise versera des paiements aux actionnaires. Cependant, les dividendes peuvent varier d'une année à l'autre, et des versements de dividendes élevés peuvent indiquer un risque accru dans les investissements d'une entreprise. La vidéo aborde également brièvement les taux d'intérêt et les marchés monétaires, notant que les taux d'intérêt sont un pourcentage du principe, mais ce sujet sera abordé dans un cours de suivi.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'inflation et de l'impact des taux d'intérêt sur l'économie. Lorsque l'économie se porte bien et que la circulation monétaire augmente, il existe un risque d'inflation, qui peut être contrôlé par les banques via une augmentation des taux d'intérêt. Cependant, la baisse des taux d'intérêt peut donner un coup de pouce à court terme à l'économie, mais ce n'est pas une solution à long terme. Les banques centrales peuvent utiliser la théorie monétaire moderne ou acheter des actifs sur le marché comme alternative. De plus, le conférencier explique comment les taux d'intérêt sont affectés par l'incertitude des acteurs du marché quant à la réception d'argent des banques et comment l'inflation peut agir comme une taxe cachée sur les citoyens. Enfin, le conférencier parle de la gestion des risques dans les prêts et suggère qu'un emprunteur peut faire faillite ou faire défaut sur les prêts, ce qui entraîne une prime de risque pour s'assurer que le prêteur est indemnisé pour toute perte.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur discute des taux d'intérêt et de leur importance dans la finance. Ils expliquent comment les taux d'intérêt affectent les comptes d'épargne, les hypothèques et les prêts. L'orateur explique comment les taux d'intérêt peuvent être modélisés et que le concept le plus simple est qu'un euro aujourd'hui vaut plus qu'un euro dans un an en raison de facteurs tels que l'inflation. Les deux principales façons de composer et de calculer les taux d'intérêt sont simples et composés, les intérêts composés s'étalant sur la durée de vie de l'investissement. Le conférencier définit ces termes et donne des exemples pour les illustrer.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, l'orateur aborde le concept de taux d'intérêt composés pour une échéance d'un an. Le taux composé est calculé comme un euro multiplié par e à la puissance r. L'orateur explique comment cela est modélisé mathématiquement en décrivant une équation différentielle qui décrit les comptes d'épargne. La solution de l'équation différentielle donne le facteur de multiplication, qui est utilisé pour actualiser les flux de trésorerie futurs. Cependant, l'orateur note qu'en réalité, les taux d'intérêt ne sont pas constants mais dépendants du temps, ce qui est illustré par divers instruments tels que les durées et les prix pour l'Europe et l'USD.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute des graphiques représentant les taux d'intérêt et la liquidité du marché pour la zone euro et le dollar. Les graphiques montrent qu'actuellement, tous les rendements de l'euro jusqu'à 30 ans sont négatifs, ce qui signifie qu'investir dans des obligations d'État en Europe entraînerait une perte d'argent. L'orateur suggère que les gens préféreraient échanger des euros contre des dollars et investir dans des obligations américaines car elles offrent des rendements plus élevés. Cependant, il existe un risque car le taux de change peut baisser, détériorant les bénéfices potentiels. L'orateur note également que les taux d'intérêt dépendent du temps et ne sont pas constants.

• 01:00:00 Dans cette section, le conférencier discute du concept d'achat d'obligations. Les acheteurs d'obligations paient plus que ne vaut l'obligation, et par conséquent, la valeur de l'argent se détériorera avec le temps et il peut également y avoir de l'inflation, entraînant une perte d'investissement. Les fonds de pension et les banques centrales sont les principaux acheteurs d'obligations. Le conférencier aborde également le concept de volatilité, qui est une mesure de la variation des prix financiers au fil du temps et est calculée en utilisant la variance de la mesure statistique de la tendance d'un marché ou d'un titre à augmenter ou à baisser au cours d'une période de temps.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, nous découvrons les rendements et la volatilité des actifs, deux concepts importants en finance informatique. Les rendements des actifs sont les gains ou les pertes d'un titre au cours d'une période donnée, et la volatilité mesure la variance de ces rendements. Un marché très volatil signifie que les prix peuvent osciller considérablement en peu de temps, ce qui peut entraîner de l'incertitude et des risques. L'indice VIX est un exemple d'instrument de marché qui mesure l'incertitude et est construit à l'aide d'options hors de la monnaie ou de vente. Il est souvent utilisé par les investisseurs pour protéger leur capital en cas de baisse de la valeur marchande. Cependant, le timing est crucial lors de son utilisation, car les temps d'exposition peuvent être très courts et difficiles à prévoir.
  
  
• 01:10:00 L'instructeur discute de la volatilité de divers indices, y compris l'indice VIX, et comment il peut être difficile de l'analyser mathématiquement en raison des circonstances et des fluctuations du marché. Il présente ensuite les options européennes, qui sont un élément fondamental de la tarification des dérivés sur la volatilité, avec une correspondance biunivoque entre le prix de l'option et la volatilité. L'instructeur explique les différences entre les options d'achat et de vente, une option d'achat donnant au détenteur le droit d'acheter un actif à une date future pour un prix défini, tandis qu'une option de vente donne au détenteur le droit de vendre un actif à une date future pour un prix fixe, jouant essentiellement le rôle d'assurance.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier présente un aperçu des options au sein des classes d'actifs et identifie deux principaux types d'options : les options d'achat et les options de vente. Dans le cas d'une option d'achat, l'acheteur peut vendre à l'émetteur à une date d'échéance et un prix d'exercice spécifiés, ce qui signifie qu'à l'échéance, l'émetteur est obligé de vendre des actions au prix d'exercice. En revanche, pour une option de vente, l'acheteur peut vendre au vendeur, ce qui se fait à nouveau à l'échéance, mais cette fois, le vendeur doit acheter des actions au prix d'exercice spécifié. Le conférencier présente ensuite deux graphiques, un pour les deux types d'options, mettant en évidence leur gain potentiel en fonction de la valeur de l'action.

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Finance computationnelle : Cours 2/14 (Actions, options et stochastique)

Finance computationnelle : Cours 2/14 (Actions, options et stochastique)

L'instructeur commence par donner un aperçu du cours, en insistant sur l'importance de comprendre la confiance commerciale, la couverture et la nécessité des modèles mathématiques en finance. Ils approfondissent le sujet de la tarification des options de vente et expliquent le concept de couverture. Les processus stochastiques et la modélisation des prix des actifs sont également abordés, avec l'introduction du lemme d'Ito comme outil de résolution des équations différentielles stochastiques.

Pour illustrer l'application pratique de ces concepts, l'instructeur présente un exemple de stratégie de formation où un investisseur cherche à protéger son investissement d'une baisse potentielle de la valeur des actions. Ils suggèrent d'acheter une assurance sous forme d'options de vente pour assurer un montant minimum d'argent dans le pire des cas.

Passant au trading d'options, le conférencier se concentre sur l'utilisation des options de vente pour se protéger contre les mouvements à la baisse des cours des actions. Cependant, ils notent que l'achat d'options de vente peut être coûteux, en particulier lorsque la volatilité de l'action est élevée, comme l'illustre Tesla. Pour réduire les coûts d'option, on peut diminuer le prix d'exercice, mais cela signifie accepter un prix inférieur pour l'action. Le conférencier fournit une capture d'écran de Reuters présentant différents types d'options disponibles sur le marché, classées par échéance et prix d'exercice. Ils expliquent également la relation entre le prix d'exercice et les prix des options d'achat et de vente.

La volatilité implicite est introduite comme mesure de l'incertitude du marché. Le conférencier explique que des prix d'exercice plus bas sont associés à une volatilité implicite plus élevée. Delta, qui mesure la dépendance de la valeur d'une option à l'actif sous-jacent, est également introduit. La vidéo se penche ensuite sur le concept de couverture et sur la manière dont un ratio peut être établi pour obtenir un portefeuille sans risque, tout en limitant potentiellement les gains si l'action n'augmente pas en valeur. La couverture avec des options est discutée, soulignant sa pertinence pour les investissements à court terme, mais notant son coût potentiel pendant les périodes de forte volatilité.

La négociation d'options est explorée plus en détail comme moyen de couverture et de réduction des risques. Le conférencier suggère que les options sont généralement plus souhaitables pour les investissements à court terme avec une échéance définie, car elles peuvent être coûteuses pour les investissements à long terme. Le concept de couverture avec des options d'achat est introduit, soulignant comment la vente d'options peut aider à réduire le risque pour les investisseurs détenant un large portefeuille d'actions. Cependant, il est conseillé de ne pas vendre trop d'options d'achat, car cela peut limiter le potentiel de hausse et comporte toujours un certain degré de risque.

La vidéo se penche ensuite sur les matières premières, expliquant qu'il s'agit de matières premières utilisées comme couverture contre l'inflation en raison de leurs modèles de prix imprévisibles mais souvent saisonniers. Le négoce de matières premières est principalement effectué sur le marché à terme, où des accords sont conclus pour acheter ou vendre des matières premières à une date future. La distinction entre les marchés de l'électricité et d'autres matières premières est mise en évidence, l'électricité posant des défis uniques en raison de son incapacité à être entièrement stockée et de son impact sur la prévisibilité et la valeur des dérivés.

Le conférencier aborde ensuite le commerce des devises en tant que classe d'actifs, communément appelée marché des changes. Contrairement à l'achat ou à la vente traditionnels d'un taux de change particulier, les individus échangent des sommes d'argent entre les devises. Le conférencier insiste sur le rôle du dollar américain en tant que monnaie de base et monnaie de réserve. Ils abordent également la manipulation des taux de change par les banques centrales pour renforcer ou affaiblir les devises. De plus, une petite application des dérivés de change pour couvrir les risques de change dans les affaires internationales est mentionnée.

Le conférencier explique comment les banques et les institutions financières peuvent acheter ou vendre une assurance contre les fluctuations des taux de change pour gérer les incertitudes en matière d'investissement. Investir dans différents pays peut introduire des incertitudes en raison de la force des devises et des politiques monétaires, entraînant des rendements incertains. La finance computationnelle joue un rôle crucial dans la gestion et le calcul des risques associés à de tels investissements en modélisant les incertitudes et en tenant compte de divers facteurs. L'orateur note en outre que les bitcoins peuvent être considérés comme des taux de change et discute de leur nature hybride en tant que marchandise réglementée dont la valeur est déterminée par l'échange contre le dollar américain. La volatilité des bitcoins rend leur valeur future difficile à prévoir.

En outre, le conférencier explore le concept de tarification neutre au risque, qui est un principe fondamental de la tarification des options. La tarification neutre au risque suppose que, dans un marché parfaitement efficient, le rendement attendu d'une option doit être égal au taux sans risque. Cette approche simplifie le processus de tarification en tenant compte des probabilités de différents résultats sur la base d'une mesure neutre au risque, où le rendement attendu de l'option est actualisé au taux sans risque.

Le conférencier présente ensuite le modèle Black-Scholes-Merton (BSM), qui est un modèle mathématique largement utilisé pour la tarification des options. Le modèle BSM intègre divers facteurs tels que le cours actuel de l'action, le prix d'exercice, le délai d'expiration, le taux d'intérêt sans risque et la volatilité de l'actif sous-jacent. Il suppose que l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique et que le marché est efficace.

L'orateur explique les éléments clés du modèle BSM, y compris la formule de calcul de la valeur d'une option européenne d'achat ou de vente. Ils soulignent l'importance de la volatilité dans la tarification des options, car une volatilité plus élevée augmente la valeur d'une option en raison du potentiel de fluctuations de prix plus importantes. L'orateur mentionne également le rôle de la volatilité implicite, qui est l'anticipation du marché de la volatilité future implicite par les prix des options.

Ensuite, la conférence se penche sur le concept de couverture delta, qui est une stratégie utilisée pour minimiser les risques en maintenant une position neutre dans l'actif sous-jacent. Delta mesure la sensibilité du prix d'une option aux variations du prix de l'actif sous-jacent. En ajustant le nombre d'actions détenues dans l'actif sous-jacent, un investisseur peut créer un portefeuille delta neutre qui est moins affecté par les mouvements de prix.

L'orateur explique le processus de couverture delta à l'aide du modèle BSM et montre comment il peut réduire efficacement les risques. Ils discutent du concept de couverture dynamique, où la couverture est continuellement ajustée à mesure que le prix de l'actif sous-jacent change. Cela garantit que le portefeuille reste delta neutre et minimise l'exposition aux fluctuations du marché.

En plus de la couverture delta, le cours couvre d'autres techniques de gestion des risques telles que la couverture gamma et la couverture vega. Gamma mesure le taux de variation du delta, tandis que vega mesure la sensibilité du prix d'une option aux variations de la volatilité implicite. Ces techniques permettent aux investisseurs de gérer et d'ajuster leurs positions en fonction de l'évolution des conditions et des risques du marché.

Vers la fin de la conférence, l'orateur souligne les limites et les hypothèses du modèle BSM. Ils reconnaissent que les marchés du monde réel peuvent s'écarter des hypothèses du modèle, telles que la présence de coûts de transaction, des contraintes de liquidité et l'impact des frictions du marché. Le conférencier encourage une approche prudente et souligne l'importance de comprendre les limites et les incertitudes associées aux modèles d'évaluation des options.

Dans l'ensemble, la conférence fournit un aperçu complet de la confiance commerciale, des stratégies de couverture, des modèles d'évaluation des options et des techniques de gestion des risques. Il fournit aux apprenants les connaissances et les outils essentiels pour naviguer dans le monde complexe des marchés financiers et prendre des décisions éclairées dans les activités de négociation et d'investissement.

• 00:00:00 Dans cette section, l'instructeur explique les sujets de la confiance commerciale, de la couverture et de la nécessité des modèles qui seront appris dans le cours. Ils expliquent en détail comment fixer le prix des options de vente et le concept de couverture. L'instructeur couvre également les processus stochastiques et comment modéliser les prix des actifs. Ils présentent le lemme d'Ito et comment il peut être utilisé pour résoudre des équations différentielles stochastiques. Enfin, l'instructeur donne un exemple de stratégie de formation où un investisseur souhaite protéger son investissement d'une baisse potentielle de la valeur d'une action. Pour ce faire, ils peuvent souscrire une assurance pour s'assurer qu'ils disposent d'au moins une certaine somme d'argent dans le pire des cas.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation des options de vente pour se protéger contre les mouvements à la baisse du cours d'une action. Cependant, l'achat d'une option de vente peut être coûteux, surtout lorsque la volatilité de l'action est élevée, comme c'est le cas pour Tesla. Pour rendre l'option moins chère, on peut diminuer le prix d'exercice, bien que cela signifie accepter un prix inférieur pour l'action. Le conférencier montre ensuite une capture d'écran de Reuters, qui montre les différents types d'options disponibles sur le marché, classées par échéance et prix d'exercice, et explique la relation entre le prix d'exercice et les prix des options d'achat et de vente.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le concept de volatilité implicite est introduit, le décrivant comme une mesure de l'incertitude sur le marché. Plus le prix d'exercice est faible, plus la volatilité implicite est élevée, et le delta est également introduit comme mesure de la dépendance de la valeur d'une option à l'actif sous-jacent. La vidéo explique ensuite comment fonctionne la couverture et comment existe un ratio qui n'entraîne aucun mouvement de la valeur d'un portefeuille, fournissant des résultats instantanés sans risque, mais peut également limiter les gains potentiels si la valeur de l'action n'augmente pas. La couverture avec des options est ensuite discutée, et il est expliqué qu'elle convient à ceux qui ne prévoient pas de conserver leurs actions pendant une longue période, bien qu'elle puisse être coûteuse lorsque la volatilité est élevée.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier discute du trading d'options comme une forme de couverture et de réduction des risques. Ils expliquent que les options ne sont généralement souhaitables que pour les investissements à court terme avec une échéance définie, et que les utiliser pour des investissements à long terme peut être coûteux. Le conférencier parle également du concept de couverture avec des options d'achat et comment la vente d'options peut être un moyen de réduire le risque pour les investisseurs qui détiennent un large portefeuille d'actions. Cependant, ils préviennent que la vente d'un trop grand nombre d'options d'achat peut réduire l'avantage potentiel de la détention d'actions et que la négociation d'options comporte toujours un certain degré de risque.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, la vidéo explore les matières premières, qui sont des matières premières telles que les métaux précieux, le pétrole et les produits alimentaires qui sont souvent utilisés comme couverture contre l'inflation car leurs prix sont imprévisibles mais présentent souvent des effets saisonniers. Le commerce des matières premières se fait principalement sur le marché futur où des transactions pour acheter ou vendre la matière première à un moment futur sont conclues. La différence entre les marchés de l'électricité et les autres matières premières est que l'électricité ne peut pas être entièrement stockée, ce qui rend le marché difficile, surtout si la prévisibilité et la hausse d'un dérivé dépendent de l'électricité. Les marchés de l'énergie pour les matières premières traitent souvent spécifiquement du commerce et de la fourniture d'énergie et sont réglementés par les autorités nationales internationales pour protéger les droits des consommateurs et éviter les oligopoles.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de la classe d'actifs des devises, autrement connue sous le nom de marché des changes. Il est unique en ce sens que les individus ne peuvent pas acheter ou vendre un taux de change particulier. Au lieu de cela, ils échangent des sommes d'argent d'une devise à une autre. Le dollar est considéré comme la monnaie de base et c'est une monnaie de réserve. Le marché des changes est l'un des marchés les plus manipulés au monde en raison de l'accès des banques centrales aux réserves. Ils peuvent influencer ou manipuler les taux de change pour renforcer ou affaiblir une devise. Le conférencier parle également d'une petite application sur les marchés des changes, où un dérivé peut être utilisé pour se couvrir contre les risques de change lorsque l'on fait des affaires à l'étranger.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur explique comment les banques et autres institutions financières peuvent acheter ou vendre une assurance contre les fluctuations des taux de change afin de faire face aux incertitudes en matière d'investissement. Lorsque vous investissez à l'étranger, différents pays peuvent avoir des devises et des politiques monétaires différentes, ce qui peut entraîner des rendements incertains. La finance computationnelle se concentre sur la gestion et le calcul des risques liés à ces types d'investissements en modélisant ces incertitudes et en tenant compte de nombreux facteurs. L'orateur note également que les bitcoins peuvent être considérés comme des taux de change, et qu'il s'agit d'un produit hybride intéressant puisqu'il est réglementé comme une marchandise, mais sa qualité est déterminée par son échange contre le dollar américain. De plus, il y a une volatilité dans le prix des bitcoins, ce qui rend difficile de prédire sa valeur à l'avenir.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'utilisation des options de vente pour protéger les bénéfices sur les investissements Bitcoin. La valeur d'une option de vente dépend de la distance entre le prix d'exercice et la valeur actuelle de Bitcoin, un prix d'exercice plus élevé entraînant un prix plus élevé pour l'option. Cependant, jouer sur ce marché nécessite un capital important en raison de la somme d'argent nécessaire pour payer l'assurance. La volatilité de Bitcoin ajoute également à l'incertitude et au coût de l'investissement dans les options. L'orateur donne également un bref historique des options et explique que les options avec des périodes d'échéance plus longues ont tendance à être plus chères que les actifs sous-jacents en raison du coût de l'assurance.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur présente et explique différents types d'options, notamment les options européennes, américaines, des Bermudes et exotiques/dépendantes du chemin. Les options européennes ne peuvent être exercées qu'à la date d'expiration/d'échéance, tandis que les options américaines peuvent être exercées n'importe quel jour de bourse, ce qui les rend plus chères. Les options des Bermudes ont des dates d'exercice spécifiques tandis que les options exotiques/dépendantes du chemin sont personnalisées et peu liquides. Le conférencier aborde ensuite divers termes liés aux options, tels que l'échéance, le prix d'exercice, le portefeuille, l'émetteur et l'ingénierie financière. L'objectif principal de la série de conférences est d'évaluer avec précision les options et de minimiser les risques qui leur sont associés. Le conférencier simplifie également la discussion avec un graphique et souligne l'importance de comprendre les principaux facteurs qui déterminent la tarification des options.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, le professeur discute de la tarification et de la comparaison des options d'achat d'actions à l'aide de modèles statistiques et d'analyses de régression. L'accent est mis sur la perspective d'un émetteur d'une option qui souhaite couvrir sa position pour vendre une option et en même temps se protéger contre le risque de hausse ou de baisse du titre. En couvrant un portefeuille, un vendeur peut vendre une option et recevoir une valeur, VC0, et une valeur delta, qui doivent être compensées par l'achat ou la vente d'un certain nombre d'actions pour se protéger contre toute exposition potentielle. L'écrivain doit considérer deux scénarios lorsqu'il décide du delta, si le stock monte ou descend, pour minimiser les risques et maximiser les profits.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, le professeur explique comment construire un portefeuille d'une manière qui n'est pas affectée par les fluctuations du marché. Pour ce faire, la valeur du portefeuille ne doit pas changer, que le titre monte ou baisse. Le professeur utilise un exercice simple pour déterminer le delta, qui est la différence entre le stock en hausse et le stock en baisse. Une fois celle-ci calculée, elle peut être substituée pour déterminer la valeur de l'option, qui s'avère inférieure au prix du volume. Cela signifie que l'analyse statistique utilisée pour prédire le stock n'a rien à voir avec la valeur d'une option, qui dépend du stock. La différence dans les valeurs des options s'est avérée plus importante que la probabilité, ce qui peut être lié à la volatilité plus élevée de l'action qui fait monter le prix.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, les facteurs qui déterminent le prix d'une option sont discutés, y compris l'état actuel de l'action, l'échéance et la volatilité. Les taux d'intérêt jouent également un rôle dans la détermination de la valeur d'une option. Un délai d'expiration plus long et une volatilité plus élevée augmentent les chances qu'une option soit dans la monnaie, tandis que la parité de sortie indique qu'il existe une relation entre les appels et les options de vente. En basculant entre les deux, il est possible d'évaluer numériquement ce qui est le plus avantageux. Il n'est pas nécessaire de faire d'hypothèse concernant le stock lors de l'utilisation de la parité de production, et si la relation ne tient pas, l'arbitrage existe.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept d'arbitrage et présente une stratégie qui consiste à utiliser des informations sur les appels et les options de vente pour identifier si un arbitrage existe sur le marché. L'importance de la modélisation du comportement aléatoire du marché boursier est également soulignée et les deux modèles communs, mouvement brownien géométrique et arithmétique, sont introduits. Le conférencier souligne comment ce dernier permet aux actions de devenir négatives, ce qui n'est pas souhaitable. De plus, le concept de retour sur investissement est discuté et une petite expérience est réalisée en utilisant des données de marché sur cinq ans pour mesurer les rendements en pourcentage. Les rendements oscillent autour de zéro avec des sauts occasionnels vers le haut ou vers le bas.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, la vidéo traite de l'utilisation des retours collectés pour estimer la densité des retours au fil du temps, qui a une moyenne de zéro et un écart type de un pour cent. La fonction de distribution cumulative empirique est comparée à une distribution normale, montrant que la première a une queue plus épaisse et ne va pas aussi vite vers zéro que celle obtenue à partir de la distribution empirique. La vidéo présente ensuite le processus de Wiener, également connu sous le nom de mouvement brownien, en tant que pratique courante pour modéliser le bruit dans le but de modéliser le caractère aléatoire d'un stock. Le processus de Wiener a de nombreuses propriétés souhaitables, notamment des retours nuls au temps t0, des incréments indépendants stationnaires, une distribution normale avec une moyenne nulle et une variance t, et un chemin continu sans sauts. La vidéo aborde également les deux principales composantes de la modélisation des actions : le temps et la volatilité, qui déterminent le prix et sont au carré dans le modèle.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le conférencier explique la définition d'un processus stochastique et son utilisation dans la modélisation des cours et rendements boursiers. Un processus stochastique est une variable aléatoire à deux paramètres : le temps et l'espace probabiliste. L'enseignant donne une définition formelle d'un processus stochastique comme un ensemble de variables aléatoires définies en deux dimensions. Ils discutent également du processus de mouvement brownien géométrique, qui est utilisé pour simuler les cours des actions. Le processus consiste en un terme de dérive et un terme de volatilité, et il peut être discrétisé pour modéliser les cours des actions à chaque pas de temps. L'enseignant insiste sur l'importance de prendre en compte la composante temporelle lors de la modélisation des cours et rendements boursiers.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier discute des équations différentielles stochastiques et de la forme intégrale. Ils décrivent ensuite le modèle de Samelson, qui est un processus de la forme du mouvement brownien géométrique. Ce modèle correspond assez bien aux données réelles pour les actions et les indices lorsqu'il est calibré pour suivre les réalisations historiques. Cependant, il ne convient pas à l'étalonnage des options, et les écarts dans les données réelles semblent avoir une plus grande probabilité de hausses et de baisses importantes que ne le prédit le modèle. Cela est dû à la nature gaussienne du modèle, où les événements extrêmes ne peuvent pas se produire, et la plupart des informations se trouvent dans des intervalles de trois sigma.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, l'orateur discute de divers modèles utilisés pour les options en mettant l'accent sur le rôle de la volatilité en tant que moteur principal de ces modèles. Les modèles utilisés pour les options sont déterminés par la volatilité, et pour résoudre des problèmes tels que le manque d'ajustement dans les queues, les solutions alternatives possibles incluent l'inclusion de sauts ou de volatilité stochastique. Le conférencier présente également trois processus, le mouvement brownien arithmétique, le mouvement brownien géométrique et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, en mettant l'accent sur leurs caractéristiques et leurs différences. Alors que le mouvement brownien arithmétique est simple, les rendements boursiers peuvent être négatifs, ce qui rend le mouvement brownien géométrique préférable car les valeurs du processus restent toujours positives. Enfin, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est représenté par une version speedomètre avec une moyenne à long terme et un paramètre représentant la vitesse à laquelle les chemins oscilleront autour de cette moyenne.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute des différences entre divers processus stochastiques utilisés dans différentes classes d'actifs, tels que le mouvement brownien géométrique couramment utilisé pour les actions, car les actions ne peuvent pas être négatives et connaissent généralement une croissance exponentielle. La conférence présente également le lemme d'Ito, un outil en finance utilisé pour trouver la solution à une équation différentielle stochastique particulière. Le lemme enseigne quelle est la dynamique d'un processus, compte tenu d'une fonction du processus, et le conférencier explique comment cela permet de résoudre à la main de nombreuses équations différentielles. L'élément principal à retenir pour traiter le lemme d'Ito est la table d'Ito.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'utilisation de la table Ethos pour trouver l'équation différentielle stochastique pour un processus donné. Le lemme d'Ito est un outil puissant pour trouver la dynamique d'un processus, étant donné un second processus dans une fonction qui aimerait s'appliquer, et il peut facilement être appliqué en cas de mémorisation de la table. L'orateur donne un exemple de processus de stock utilisant le mouvement brownien géométrique et la fonction logarithmique pour trouver la dynamique, et grâce à l'application du tableau, il ne reste qu'un seul élément dans l'équation, qui est utilisé pour trouver la solution finale.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de la solution pour un processus d'un stock en termes de mouvement brownien et de logarithme d'un processus de stock. Le logarithme d'un processus de stock a une distribution gaussienne avec une partie constante et une partie de mouvement brownien arithmétique. La fonction de densité pour le logarithme d'un processus de stock se révèle être une distribution log-normale avec une moyenne et une variance déterminées par les paramètres du processus. L'orateur explique ensuite comment différents paramètres influent sur la distribution log-normale du processus, tels que les changements de volatilité entraînant une distribution plus large.
  
  
• 01:40:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'impact de mu sur la variance d'un processus et de l'effet résultant sur la distribution du processus. Un mu plus élevé conduit à une distribution à queue plus épaisse et augmente la volatilité du processus. Le locuteur montre alors un processus normal simulé et un processus log-normal, dans lequel ce dernier a une densité asymétrique et une queue plus grosse vers le haut. Cela reflète les stocks entraînés par le mouvement géométrique des limites et leur forme exponentielle de densité.

[MetaQuotes]

Finance computationnelle : Cours 3/14 (Tarification d'options et simulation en Python)

Finance computationnelle : Cours 3/14 (Tarification d'options et simulation en Python)

Dans la conférence, l'instructeur se penche sur la simulation du cheminement des actions en Python et explore le modèle Black-Scholes pour les options de tarification. Ils discutent de deux approches pour dériver le prix sans arbitrage des options, à savoir la couverture et les martingales. L'orateur montre comment programmer des martingales et les simuler, soulignant le lien entre les équations aux dérivées partielles (EDP) et la simulation de Monte Carlo dans le cadre de tarification.

À l'aide de la méthode de discrétisation d'Euler, l'orateur explique comment simuler et générer des graphes de processus stochastiques. Ils commencent par un processus simple et utilisent le lemme d'Ito pour passer de S à X, le logarithme de S. L'enseignant introduit ensuite la méthode de discrétisation d'Euler et démontre son implémentation en Python. Cette méthode consiste à discrétiser la fonction continue et à simuler les incréments pour la dérive et le mouvement brownien, ce qui donne des graphiques de trajectoires simulées.

D'un point de vue computationnel, le conférencier discute de la simulation de trajectoires pour les modèles d'évaluation d'options. Au lieu de simuler chaque chemin individuellement, ils expliquent l'efficacité de l'exécution du découpage du temps et de la construction d'une matrice où chaque ligne représente un chemin spécifique. Le nombre de lignes correspond au nombre de chemins, tandis que le nombre de colonnes correspond au nombre de pas de temps. L'orateur explique la mise en œuvre du processus de discrétisation à l'aide de la variable aléatoire normale standard et souligne l'importance de la normalisation pour une meilleure convergence.

Le cours couvre également la simulation de trajectoires pour le mouvement brownien géométrique à l'aide de Python. L'orateur illustre comment fixer une graine aléatoire pour des simulations stables et présente le modèle Black-Scholes, qui implique une équation différentielle stochastique avec dérive et des paramètres tels que mu et sigma pour modéliser les prix des actifs. Le conférencier souligne que le modèle Black-Scholes est encore largement utilisé dans l'industrie financière, en particulier pour la tarification des options sur actions. Ils discutent des concepts de mesure du monde réel et de mesure neutre au risque, qui aident à évaluer les options en fonction de différentes probabilités de résultats.

En outre, la conférence explore la tarification et la simulation d'options en Python. L'orateur fait la distinction entre la mesure du monde réel, estimée sur la base de données historiques sans supposer d'arbitrage ou de conditions sans risque, et la mesure neutre au risque, qui nécessite certaines conditions pour être maintenue. Ils présentent une stratégie de négociation impliquant la négociation continue d'une action et l'ajustement de la position d'option pour capturer le mouvement de l'action sous-jacente. L'orateur explique la dynamique du portefeuille à l'aide du lemme d'Ito et déduit la nature stochastique des valeurs d'options grâce à cette méthode.

Le conférencier se penche également sur les techniques de construction d'un portefeuille de couverture indépendant du mouvement brownien. Ils discutent du choix d'un delta qui annule les termes impliquant le mouvement brownien, garantissant un portefeuille delta neutre. L'orateur souligne l'importance que le portefeuille rapporte le même rendement qu'un compte d'épargne et introduit le concept de comptes de placement.

De plus, le cours traite de la dérivation d'équations aux dérivées partielles (EDP) pour l'évaluation d'options à l'aide du modèle Black-Scholes. L'EDP qui en résulte est un dérivé de second ordre avec des conditions aux limites qui déterminent la juste valeur d'une option. Le conférencier souligne que la tarification des options du modèle Black-Scholes ne dépend pas significativement du paramètre de dérive mu, qui peut être obtenu à partir d'un étalonnage ou de données historiques. Cependant, les coûts de transaction pour la couverture ne sont pas pris en compte dans ce modèle.

La conférence couvre divers concepts importants du modèle Black-Scholes et de la tarification des options. Il traite de l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, conduisant à un scénario sans risque pour l'application du modèle. Le conférencier explique le concept de couverture delta et comment il élimine la plus grande composante aléatoire d'un portefeuille. De plus, l'orateur présente le gamma comme mesure du comportement de delta et souligne que chaque paramètre du modèle peut être couvert. Enfin, la conférence explore les facteurs déterminants de la valeur d'une option, tels que le temps, la grève, la volatilité et les paramètres liés au marché.

Dans la conférence, le conférencier explore plus en détail le modèle Black-Scholes et son application dans la tarification des options. Ils discutent des hypothèses et des limites du modèle, y compris l'hypothèse d'une volatilité constante et de l'absence de coûts de transaction. Malgré ces limites, le modèle Black-Scholes reste largement utilisé dans le secteur financier en raison de sa simplicité et de son efficacité dans la tarification des options d'achat et de vente européennes.

L'orateur introduit le concept de volatilité implicite, qui est l'anticipation du marché de la volatilité future dérivée des prix actuels des options. La volatilité implicite est un paramètre crucial dans le modèle Black-Scholes car elle affecte la tarification des options. Le conférencier explique comment la volatilité implicite peut être obtenue à partir des données de marché à l'aide du modèle et discute de son importance dans les stratégies de négociation d'options.

La conférence se penche sur diverses stratégies de trading d'options, telles que la couverture delta et le trading gamma. La couverture delta consiste à ajuster en permanence la composition du portefeuille pour maintenir une position neutre par rapport à l'évolution du prix de l'actif sous-jacent. Le trading gamma se concentre sur l'exploitation des changements de gamma, qui mesurent comment le delta change par rapport au prix de l'actif sous-jacent. Ces stratégies visent à gérer les risques et à maximiser la rentabilité du trading d'options.

L'orateur aborde également d'autres facteurs importants influençant les prix des options, notamment la décroissance temporelle (thêta), les taux d'intérêt (rho) et le rendement des dividendes. Ils expliquent comment ces facteurs affectent la tarification des options et comment les traders peuvent les utiliser pour prendre des décisions éclairées.

Tout au long de la conférence, la programmation Python est utilisée pour démontrer la mise en œuvre de divers modèles de tarification d'options et stratégies de négociation. Le conférencier fournit des exemples de code et explique comment utiliser les bibliothèques et les fonctions pour effectuer des calculs et des simulations.

En résumé, le cours donne un aperçu complet de la tarification et de la simulation des options à l'aide du modèle Black-Scholes et des concepts connexes. Il met l'accent sur l'application pratique de ces concepts dans la programmation Python, ce qui en fait une ressource précieuse pour les personnes intéressées par la finance quantitative et le trading d'options.

• 00:00:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur discute de la simulation de trajectoire de stock en Python et du modèle Black-Scholes pour la tarification. Il explique les deux manières de dériver le prix sans arbitrage des options, par le biais de la couverture et des martingales, et montre comment programmer des martingales et les simuler. Il discute également de la relation entre les équations aux dérivées partielles (EDP) et la simulation de Monte Carlo dans un cadre de tarification et comment distinguer différentes mesures dans une équation différentielle stochastique. La conférence se termine par une preuve du modèle Black-Scholes et une démonstration de la façon d'effectuer la tarification à l'aide de Python.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'orateur explique comment simuler et générer des graphiques de processus stochastiques à l'aide de la méthode de discrétisation d'Euler. Ils commencent par un processus simple du cours précédent et utilisent le lemme d'Ito pour passer de S à X, le logarithme de S. Ils expliquent ensuite la méthode de discrétisation d'Euler et comment l'implémenter en utilisant Python. La méthode consiste à discrétiser la fonction continue et à simuler les incréments pour la dérive et le mouvement brownien. Le code montré dans la vidéo est utilisé pour générer les graphiques des chemins simulés.
  
  
• 00:10: 00 Dans cette section, l'orateur discute de la perspective informatique de la simulation de chemins pour un modèle d'évaluation des options. Au lieu de simuler chaque chemin individuellement, il est efficace en termes de calcul d'effectuer un découpage temporel et de construire une matrice où chaque ligne correspond à un chemin particulier. Le nombre de lignes est déterminé par le nombre de chemins et le nombre de colonnes est déterminé par le nombre de pas de temps. L'orateur explique la mise en œuvre de la discrétisation du processus à l'aide de la variable aléatoire normale standard, et comment la normalisation permet d'obtenir une meilleure convergence.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'orateur explique comment simuler les trajectoires d'un mouvement brownien géométrique à l'aide de Python, y compris comment fixer une graine aléatoire pour des simulations stables. Ils introduisent également le modèle Black-Scholes, qui comprend une équation différentielle stochastique avec une dérive, et des paramètres tels que mu et sigma, pour modéliser le prix d'un actif comme une action. Ils notent que ce modèle est encore couramment utilisé dans le secteur financier et expliquent comment il peut être utilisé pour évaluer les options sur actions. Le conférencier aborde également le concept de mesure du monde réel et de mesure neutre au risque, qui aide à évaluer les options en fonction des probabilités de différents résultats.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, la conférence traite de la tarification des options et de la simulation en Python. La mesure du monde réel est expliquée comme les paramètres estimés sur la base de données historiques, sans rien présumer de l'arbitrage ou de l'absence de risque, tandis que la mesure neutre au risque nécessite des conditions arbitraires pour être maintenues. Une stratégie est présentée où l'on détient une option et négocie en continu une action pour détenir certaines actions, en achetant ou en vendant une option pour capter le mouvement de l'action sous-jacente. Le portefeuille est régulièrement rééquilibré chaque jour pour correspondre à sa valeur et se protéger contre toute fluctuation de l'action sous-jacente. Le lemme d'Ito est appliqué pour trouver la dynamique du portefeuille, et la valeur d'une option est dérivée de manière stochastique grâce à cette méthode.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section du cours, l'orateur discute de la substitution de la dynamique au stock afin d'appliquer le lemme d'Ito et de manipuler un terme carré. Ils expliquent ensuite comment construire un portefeuille de couverture qui ne dépend pas du mouvement brownien, ce qui est réalisé en choisissant un delta pour lequel tous les termes autour du mouvement brownien seront égaux à zéro. L'orateur explique également comment ce portefeuille doit donner le même rendement que de mettre tout l'argent sur un compte d'épargne, et ils expliquent la représentation de l'argent via des comptes de paramètres d'argent.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier explique comment dériver une équation aux dérivées partielles (EDP) pour évaluer les options à l'aide du modèle Black-Scholes. L'EDP qui en résulte est un dérivé de second ordre avec des conditions aux limites qui peut être utilisé pour déterminer la juste valeur d'une option. Fait intéressant, le modèle ne dépend pas du paramètre mu, ce qui signifie que les dérives obtenues à partir de l'étalonnage ou des données historiques n'ont pas d'impact significatif sur la tarification des options dans un cadre neutre au risque. Cependant, il est essentiel de noter que les coûts de transaction pour la couverture ne sont pas pris en compte dans ce modèle.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier discute de plusieurs concepts importants du modèle Black-Scholes et de la tarification des options. La première est l'hypothèse qu'il n'y a pas de possibilités d'arbitrage, ce qui signifie que le modèle est appliqué dans un scénario sans risque. L'orateur explique également la couverture delta et comment elle élimine la plus grande composante aléatoire d'un portefeuille. De plus, l'orateur introduit l'importance du gamma, qui mesure le comportement du delta et comment chaque paramètre du modèle peut être couvert. Enfin, le conférencier aborde les facteurs déterminants de la valeur d'une option, notamment le temps, le prix d'exercice, la volatilité et les paramètres liés au marché. L'une des conclusions les plus importantes du modèle Black-Scholes est que l'équation de tarification ne dépend pas de mu, qui n'est pas un élément extrêmement important dans la tarification des options.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute de la tarification des options et de la simulation en Python. Ils analysent un graphique affichant différentes options de vente et d'achat pour SMP avec une valeur actuelle de 38 cents, des échéances variables, et la volatilité implicite obtenue à partir de la volatilité implicite et du delta de Black-Scholes. Ils expliquent que le modèle Black-Scholes, malgré ses limites et ses hypothèses, est considéré comme la norme du marché pour la tarification des options. L'orateur introduit ensuite les martingales, qui offrent une autre façon de déterminer la juste valeur d'une option. Ils expliquent le concept de filtration et les trois conditions pour qu'un processus stochastique soit considéré comme une martingale. Ils notent que la troisième condition est la plus importante et que les martingales sont une méthode utile pour les BD de grande dimension.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la vidéo, le concept de martingale et sa relation avec l'équité et l'arbitrage nul sont abordés. Les conditions pour vérifier si le mouvement brownien est une martingale sont expliquées et démontrées à l'aide d'exemples. L'indépendance des incréments du mouvement brownien et la propriété des attentes linéaires sont également abordées. L'exemple impliquant une distribution log-normale est présenté et la condition principale qui doit être vérifiée pour déterminer s'il s'agit d'une martingale est expliquée.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation de la méthode de filtration pour calculer l'espérance de e wt-s et confirme que le processus donné à la ligne précédente satisfait la condition marginale et est une martingale. Le principal point à retenir de cette section est qu'un processus intégral stochastique est une martingale, et chaque fois qu'un processus défini est une intégrale sans dérive, xt est toujours une martingale par rapport à la filtration. Le processus sans dérive peut également être représenté sous forme différentielle comme dxt = dt * dw t.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le conférencier discute si oui ou non le cours d'une action est une martingale. Les actions ne sont généralement pas des martingales, car ce serait un mauvais investissement si vous vous attendiez à la même somme d'argent que vous avez investie à l'avenir. Cependant, si vous envisagez un processus d'actualisation des actions et actualisez les flux de trésorerie futurs à aujourd'hui, vous vous attendez à ce que la valeur de l'entreprise soit égale à la valeur que vous voyez aujourd'hui. L'enseignant applique le lemme d'Ito et trouve la dynamique de s sur m pour voir si ce terme est une martingale. L'application du théorème du processus intégral stochastique peut déterminer les conditions dans lesquelles cela est vrai. La première dérivée partielle par rapport au stock est un sur m, et la deuxième dérivée est zéro, donc ce terme est une martingale.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'orateur explique comment basculer entre les mesures afin de transformer la dynamique du processus de stock actualisé en martingale sous la mesure Q, qui est la mesure d'intérêt. L'orateur montre comment faire passer l'attente d'une mesure P mesurable à une mesure Q et explique qu'une fois que nous avons le processus et la mesure, nous pouvons dériver la transformation de la mesure. En appliquant la condition selon laquelle le processus de stock actualisé doit être une martingale dans la mesure Q, le locuteur annule les termes principaux et dérive la transformation de mesure pour basculer entre les mesures.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur discute du point de départ des équations de tarification qui implique une attente sous une mesure neutre au risque d'un gain futur actualisé jusqu'à aujourd'hui. Cela forme le prix du marché d'un dérivé, et l'équation de la dynamique de cette expression implique le prix du marché du risque, qui indique la relation entre la croissance attendue d'une action par rapport au taux d'intérêt, mis à l'échelle pour la volatilité. L'instructeur montre comment utiliser le lemme d'Itô pour trouver la dynamique de cette expression, et après simplification, l'équation résultante est la même que l'expression de PDE dans l'équation de Black-Scholes.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique que lors du calcul d'une attente sous une mesure neutre au risque, il n'est pas permis de considérer un processus qui n'est pas sous la mesure neutre au risque. Cela signifie que le processus utilisé pour l'espérance devrait avoir r pour l'actualiser. Par conséquent, dans le processus utilisé pour l'espérance, la dérive doit toujours être modifiée de m à r. L'orateur utilise le code Python pour démontrer comment vérifier si une action est une martingale ou non et introduit une valeur d'action à prix réduit en utilisant l'argent économisé sur les comptes. Ils augmentent également le nombre de chemins de simulation pour améliorer la précision, mais mettent en garde contre le traçage de tous les chemins pour des raisons de performances.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute du lien entre la simulation de Monte Carlo et les équations aux dérivées partielles (PDE) pour la tarification des options. L'orateur présente une PDE générique et souligne que la PDE ne dépend pas de μ mais du taux d'intérêt, r. Pour relier la tarification avec simulation de Monte Carlo à la résolution de cette EDP, l'intervenant introduit la formule de Feynman-Kac qui établit le lien entre les EDP et les processus stochastiques et propose une méthode de résolution de certaines EDP en simulant des chemins aléatoires d'un processus stochastique. La condition finale est également discutée et l'orateur note que l'actualisation est généralement associée à la tarification.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, le conférencier explique comment calculer la valeur d'un dérivé aujourd'hui en actualisant le paiement futur attendu et comment le taux sans risque est utilisé pour actualiser les flux de trésorerie futurs. L'orateur discute également du processus stochastique et de la façon de le relier à l'équation aux dérivées partielles (PDE) pour la valeur de la dérivée. En appliquant le lemme d'Itô au processus, en simplifiant les termes et en intégrant les deux côtés de l'équation différentielle stochastique, l'orateur montre que l'espérance de l'intégrale est nulle, ce qui aide à prouver la relation entre la PDE et la valeur de la dérivée.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier explique le calcul stochastique et son utilisation dans la tarification des options. Il montre comment l'espérance d'une intégrale stochastique impliquant un mouvement brownien est toujours nulle, ce qui conduit à ce que la valeur d'une option aujourd'hui soit égale à l'espérance du gain d'un processus à maturité. Le conférencier montre comment résoudre des équations aux dérivées partielles avec des conditions terminales en utilisant le calcul stochastique et montre comment la solution d'un SDE peut être obtenue en calculant le deuxième moment de la variable et en l'appliquant à l'équation de tarification. Enfin, il explique que la valeur future actualisée du gain est toujours liée à la solution de l'équation de tarification et que la dérive du processus est toujours égale à la dérive de la mesure neutre au risque.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, le conférencier explique deux approches majeures de la tarification des options : l'approche PDE et l'approche de probabilité neutre au risque. L'approche neutre au risque consiste à changer la mesure de probabilité de la vraie probabilité statistique à la probabilité neutre au risque, ce qui est particulièrement important lorsqu'il s'agit de martingales. Le conférencier discute également des différences entre les mesures et du moment où choisir laquelle, la probabilité neutre au risque étant la probabilité d'un événement ou d'un état futur sur lequel les deux parties commerciales du marché s'accordent. Cela permet d'estimer les probabilités associées à un événement particulier et de mesurer son prix.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, l'orateur explique le concept de probabilité neutre au risque, qui est la probabilité mesurée par le marché qui est utilisée pour évaluer les instruments financiers. La probabilité neutre au risque n'est pas une statistique ou une prédiction historique, mais reflète plutôt la croyance commune du marché quant à la probabilité qu'un événement se produise. L'orateur montre comment simuler des simulations de Monte Carlo en utilisant soit la mesure Q, soit la mesure P. La mesure Q est la mesure neutre au risque, et elle est déterminée une fois que le prix d'un contrat est établi, ce qui nous indique la probabilité neutre au risque attribuée à l'événement particulier. L'orateur insiste sur l'importance d'utiliser cette mesure de probabilité pour éviter l'arbitrage et explique comment estimer les paramètres nécessaires aux simulations à partir des données de marché et des données historiques.
  
  
• 01:40:00 Dans cette section de la conférence, le concept de dérive est abordé en relation avec la tarification des options et la simulation en Python. La simulation consiste à calculer le rapport entre le stock à tout moment et l'argent épargné sur les comptes, qui est une martingale dans le cadre de la mesure neutre au risque. Le code est tracé et montre que sous la mesure B, le rapport n'est pas une martingale. La deuxième partie de la conférence comprend l'application du célèbre modèle de Black-Scholes pour trouver le prix de l'option sous le mouvement brownien géométrique et dériver la formule de Black-Scholes en utilisant une transformation logarithmique et en intégrant la fonction. L'attente est calculée selon la mesure neutre au risque et la valeur du dérivé est obtenue à l'aide de la formule de Feynman-Kac.
  
  
• 01:45:00 Dans cette section, la vidéo explique le processus d'utilisation de la fonction de génération de cumulant pour calculer le prix de l'option. Il s'agit de transformer l'intégrale de tarification d'option d'origine en une version de fonction génératrice de cumulant. La transformation fournit une distribution normale plus facile à gérer qu'une distribution log-normale. Après la substitution, nous nous retrouvons avec le théorème de tarification de Black-Scholes, une célèbre formule de tarification des options d'achat européennes.

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Finance computationnelle : Cours 4/14 (Volatilité implicite)

Finance computationnelle : Cours 4/14 (Volatilité implicite)

Dans cette conférence complète sur la finance computationnelle, le concept de volatilité implicite occupe le devant de la scène, mettant en lumière son importance dans les calculs de tarification des options. Bien que le modèle Black-Scholes serve de base au calcul de la volatilité implicite, ses limites et ses inefficacités sont dûment soulignées. Le cours aborde diverses méthodologies de calcul de la volatilité implicite, notamment les processus itératifs tels que la méthode de Newton-Raphson. En outre, le conférencier explore les défis associés à la modélisation des prix des options et souligne le rôle des volatilités implicites dans le reflet des attentes du marché. Tout au long de la conférence, l'importance cruciale de comprendre la volatilité dans la tarification des options et de construire des portefeuilles de couverture efficaces reste un thème central.

La conférence prolonge son exploration en se concentrant sur la relation entre les prix des options et la volatilité implicite, avec un accent particulier sur les options de vente et d'achat liquides hors de la monnaie. Il examine différents types de biais de volatilité implicite, englobant des paramètres de volatilité dépendant du temps et l'influence de la dépendance temporelle sur le sourire de volatilité implicite. En outre, la conférence approfondit les limites du modèle Black-Scholes et les approches alternatives pour gérer les modèles de volatilité, y compris les modèles de volatilité locale, les modèles de saut et les modèles de volatilité stochastique. L'impact de l'échéance des options sur la volatilité est également élucidé, les options à échéance plus courte présentant une distribution plus concentrée autour du niveau monétaire par rapport aux échéances plus longues, où l'effet sourire devient moins prononcé.

Le professeur commence par résumer les concepts clés abordés dans les sections précédentes, spécifiquement liés à la tarification des options et à la modélisation de la volatilité. La volatilité implicite est introduite, mettant en évidence son calcul à partir des données de marché et son rôle dans la mesure de l'incertitude. L'algorithme de calcul de la volatilité implicite est discuté en détail. En outre, les limites et l'efficacité du modèle Black-Scholes sont abordées, ainsi que des extensions telles que l'incorporation de paramètres de volatilité dépendant du temps et la génération de surfaces de volatilité implicites. La conférence aborde également les inconvénients de s'appuyer uniquement sur le modèle Black-Scholes et présente des modèles alternatifs comme la volatilité locale et la volatilité stochastique. L'accent est mis sur la nécessité de spécifier un modèle approprié pour la tarification des sinistres conditionnels et sur l'importance de construire un portefeuille de couverture composé d'options et d'actions pour arriver à une équation différentielle partielle (PDE) de tarification.

L'orateur explore ensuite l'utilisation des anticipations dans la résolution d'équations aux dérivées partielles, en particulier lorsqu'il s'agit d'un taux d'intérêt déterministe et de la nécessité de prendre les anticipations sous la mesure neutre au risque. L'équation de tarification des options d'achat et de vente européennes est présentée, en s'appuyant sur une fonction de distribution cumulative normale du stock initial (CDF) évaluée aux points d1, qui dépend des paramètres du modèle, ainsi qu'un exposant impliquant le taux d'intérêt jusqu'à l'échéance. La conférence explique que cette formule peut être facilement implémentée dans Excel.

Ensuite, le conférencier élabore sur les paramètres requis pour le modèle Black-Scholes, qui sert d'outil pour estimer les prix des options. Ces paramètres englobent le délai jusqu'à l'échéance, le prix d'exercice, le taux d'intérêt, la valeur actuelle des actions et le paramètre de volatilité, sigma, qui doit être estimé à l'aide des prix du marché. Le conférencier met l'accent sur la correspondance biunivoque entre le prix de l'option et la volatilité, soulignant qu'une augmentation de la volatilité implique une augmentation correspondante du prix de l'option, et vice versa. Le concept de volatilité implicite est ensuite discuté, en insistant sur son calcul basé sur le prix moyen et sa signification dans le modèle Black-Scholes.

Le cours approfondit ensuite l'obtention de la volatilité implicite à partir de modèles à paramètres multiples. Il est à noter que quel que soit le modèle choisi, il doit réussir le test du modèle Black-Scholes. Cependant, l'utilisation du modèle Black-Scholes pour évaluer simultanément toutes les options devient peu pratique en raison des volatilités implicites différentes pour chaque exercice. La conférence souligne également que les volatilités implicites ont tendance à augmenter avec des échéances d'options plus longues, ce qui signifie une plus grande incertitude. Un exemple est fourni pour démontrer le calcul de la volatilité implicite à l'aide de données de marché et d'une option d'achat standard sur 100 actions.

Le concept de volatilité implicite est développé plus en détail par le conférencier. Les données historiques sur une option sont utilisées pour estimer sa volatilité à l'aide de l'équation de Black-Scholes. Cependant, le conférencier souligne que si cette estimation fournit un certain prix pour l'option, le marché peut l'avoir évaluée différemment en raison de sa nature prospective, contrastant avec l'estimation historique rétrospective. Malgré cet écart, la relation entre les deux volatilités est toujours utilisée à des fins d'investissement, bien que le conférencier conseille la prudence contre une dépendance purement spéculative à cette relation. Le cours explique ensuite comment calculer la volatilité implicite à l'aide de l'équation de Black-Scholes compte tenu du prix du marché et d'autres spécifications d'une option. Cependant, le conférencier reconnaît que le concept de volatilité implicite est intrinsèquement défectueux car il n'y a pas de valeur correcte définitive, et le modèle utilisé est une approximation plutôt qu'une véritable représentation de la tarification des options.

Le conférencier explique ensuite le processus de recherche de la volatilité implicite en utilisant la méthode de Newton-Raphson, une approche itérative. Cette méthode consiste à mettre en place une fonction basée sur l'équation de Black-Scholes et le prix du marché pour résoudre le sigma, la volatilité implicite. Le conférencier met en évidence l'utilisation d'un développement en série de Taylor pour calculer la différence entre la solution exacte et l'itération, dans le but de trouver une fonction où la volatilité implicite de Black-Scholes correspond à la volatilité implicite du marché. La capacité à calculer rapidement la volatilité implicite en quelques millisecondes est cruciale pour que les teneurs de marché identifient les opportunités d'arbitrage et génèrent des profits.

Le concept du processus itératif de calcul de la volatilité implicite à l'aide de la méthode de Newton-Raphson est introduit. Le processus implique plusieurs itérations jusqu'à ce que la fonction g approche de zéro, chaque nouvelle étape étant estimée en fonction de la précédente. L'enseignant insiste sur l'importance de la conjecture initiale pour la convergence de la méthode de Newton-Raphson. Les options extrêmes hors du cours ou les options proches de zéro peuvent présenter des défis lorsque la fonction devient plate, ce qui entraîne un petit gradient qui entrave la convergence. Pour surmonter ce problème, les praticiens définissent généralement une grille de suppositions initiales. L'algorithme se rapproche de la fonction à l'aide de sa ligne tangente et calcule l'abscisse à l'origine, avec des gradients plus raides conduisant à une convergence plus rapide.

De plus, l'enseignant explique l'implémentation de l'algorithme de Newton-Raphson pour calculer la volatilité implicite d'une option. L'algorithme s'appuie sur le modèle Black-Scholes, avec des paramètres d'entrée tels que le prix du marché, le prix d'exercice, le délai jusqu'à l'échéance, le taux d'intérêt, le volume initial des actions et le paramètre de volatilité initial. La convergence de l'algorithme est analysée et un seuil d'erreur est déterminé. Le code est démontré à l'aide de Python, avec les méthodes et définitions nécessaires préparées à l'avance, en exploitant les bibliothèques NumPy et SciPy.

La conférence développe le calcul de la volatilité implicite, en mettant l'accent sur les entrées nécessaires à ce calcul, telles que la valeur de l'option et la dérivée du prix d'achat par rapport au paramètre de volatilité, connu sous le nom de Vega. Le cœur du code implique le processus étape par étape de calcul de la volatilité implicite, le conférencier fournissant des explications sur les différents paramètres impliqués et leur signification. Le cours se termine par une brève démonstration du processus itératif utilisé pour calculer la volatilité implicite.

L'orateur aborde également le sujet de l'erreur dans le calcul de la volatilité implicite et comment elle est déterminée par les différences entre les itérations. Le graphique de sortie présente la volatilité implicite obtenue pour un prix d'appel, un prix d'exercice, une échéance et d'autres paramètres. L'orateur illustre comment la convergence varie avec différentes hypothèses initiales de volatilité, soulignant l'importance de ce processus dans l'étalonnage de l'industrie. L'estimation initiale doit être proche de la volatilité implicite réelle pour que le modèle converge avec succès. Les praticiens du secteur tentent généralement différentes volatilités initiales jusqu'à ce qu'une convergence appropriée soit atteinte, et que cette valeur de volatilité particulière soit choisie.

la conférence plonge plus profondément dans l'interprétation des volatilités implicites. Les volatilités implicites peuvent fournir des informations sur les attentes et le sentiment du marché. Lorsque la volatilité implicite est élevée, cela suggère que les acteurs du marché anticipent des fluctuations de prix importantes, ce qui peut indiquer une incertitude ou un risque perçu dans l'actif sous-jacent. À l'inverse, des volatilités implicites faibles indiquent des attentes de prix relativement stables.

La conférence souligne que les volatilités implicites ne sont pas une mesure de la volatilité future mais plutôt un reflet des prix du marché. Les volatilités implicites sont influencées par divers facteurs tels que la dynamique de l'offre et de la demande, le sentiment du marché et l'appétit pour le risque des acteurs du marché. Par conséquent, il est crucial d'interpréter les volatilités implicites dans le contexte d'autres indicateurs de marché et de l'analyse fondamentale.

Le conférencier met également en évidence le concept de surfaces de volatilité implicites ou de sourires de volatilité. Les surfaces de volatilité implicite représentent la relation entre les volatilités implicites et les différents prix d'exercice et échéances. Dans certaines conditions de marché, les volatilités implicites des options hors du cours peuvent être supérieures ou inférieures à celles des options au cours. Cette courbure de la surface de volatilité implicite est connue sous le nom de sourire de volatilité ou sourire narquois. La conférence explique que le sourire de la volatilité indique la perception des acteurs du marché de la probabilité de mouvements de prix extrêmes, tels que des risques de baisse importants ou des événements positifs inattendus.

De plus, le cours couvre le concept de structures de terme de volatilité implicite. Les structures de terme de volatilité implicite décrivent la relation entre les volatilités implicites et les différentes échéances pour une option spécifique. Le conférencier explique que les structures de termes de volatilité implicite peuvent présenter différentes formes, telles qu'une pente ascendante (contango), une pente descendante (rétroversion) ou des courbes plates. Ces structures par terme peuvent donner un aperçu des attentes du marché concernant la volatilité future sur différents horizons temporels.

De plus, la conférence se penche sur les limites et les défis associés aux volatilités implicites. Il souligne que les volatilités implicites sont dérivées des prix des options, qui sont influencés par divers facteurs et hypothèses, notamment les taux d'intérêt, les rendements des dividendes et l'hypothèse de marché efficace. Par conséquent, les volatilités implicites peuvent ne pas toujours refléter avec précision la véritable volatilité sous-jacente.

En outre, la conférence aborde le concept de volatilité historique et sa comparaison avec la volatilité implicite. La volatilité historique est calculée sur la base des mouvements de prix passés de l'actif sous-jacent, tandis que la volatilité implicite est dérivée des prix des options. Le conférencier note que la volatilité historique est rétrospective et peut ne pas saisir pleinement les attentes futures du marché, tandis que la volatilité implicite intègre des informations prospectives intégrées dans les prix des options.

Enfin, la conférence se termine par un résumé des principaux points abordés. Il souligne l'importance de comprendre la volatilité implicite, ses méthodes de calcul et son interprétation dans le contexte de la tarification des options et des attentes du marché. Le conférencier encourage la poursuite de l'exploration et de la recherche dans ce domaine, compte tenu de son importance dans les marchés financiers et la prise de décision en matière d'investissement.

• 00:00:00 Dans cette section de la conférence, le professeur commence par résumer ce qui a été appris jusqu'à présent sur la tarification des options et la modélisation de la volatilité. Il explique le concept de volatilité implicite et comment elle est calculée à partir du marché, ainsi que son importance dans la mesure de l'incertitude. L'algorithme de calcul de la volatilité implicite est également discuté. De plus, les limites et l'efficacité du modèle Black-Scholes sont couvertes, ainsi que des extensions du modèle telles que l'introduction d'un paramètre de volatilité dépendant du temps et la génération de surfaces de volatilité implicites. Enfin, les limites à la baisse du modèle Black-Scholes et des modèles alternatifs comme la volatilité locale et la volatilité stochastique sont mentionnées. Le cours met l'accent sur la nécessité de spécifier un modèle pouvant être utilisé pour fixer le prix des sinistres conditionnels, et sur l'importance de construire un portefeuille de couverture composé d'une option et d'actions pour arriver à une EDP de tarification.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'utilisation des anticipations dans la résolution d'équations aux dérivées partielles, en particulier dans le cas d'un taux d'intérêt déterministe et de la nécessité de prendre l'espérance sous la mesure neutre du poignet. Le processus utilisé dans l'attente doit être sous la mesure Q du meurtre, qui est actualisée sous la mesure P. L'équation de tarification des options d'achat et de vente européennes s'appuie sur un CDF normal du stock initial évalué aux points d1, qui est une fonction des paramètres du modèle, et un exposant du taux d'intérêt jusqu'à l'échéance. La formule peut être facilement implémentée dans Excel.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le conférencier explique les paramètres requis pour le modèle Black-Scholes, qui est utilisé pour estimer les prix des options. Ces paramètres comprennent le délai jusqu'à l'échéance, le prix d'exercice, le taux d'intérêt, la valeur actuelle des actions et le paramètre de volatilité, sigma, qui doit être estimé à l'aide des prix du marché. L'orateur souligne qu'il existe une correspondance biunivoque entre le prix de l'option et la volatilité, et qu'une augmentation de la volatilité implique une augmentation du prix de l'option, et vice versa. La conférence aborde ensuite la volatilité implicite, qui est calculée sur la base du prix moyen et est un élément important du modèle Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier explique comment obtenir la volatilité implicite d'un modèle comportant de nombreux paramètres. Il note que quel que soit le modèle choisi, il doit toujours passer le modèle black-scholes. Cependant, le modèle de black-scholes ne peut pas être utilisé pour évaluer toutes les options en même temps car la volatilité de l'implant pour chaque grève est différente. L'enseignant souligne également que plus la maturité d'une option est longue, plus les volatilités implicites deviennent élevées, ce qui les rend plus incertaines. Enfin, la conférence donne un exemple de calcul de la volatilité de l'implant à partir des données du marché et d'une option d'achat standard sur 100 actions.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept de volatilité implicite. Il commence par utiliser des données historiques sur une option pour estimer sa volatilité à l'aide de l'équation de Black-Scholes. Il note ensuite que même si cela donne un certain prix pour l'option, le marché peut l'évaluer différemment en raison du fait que le marché est prospectif, alors que l'estimation historique est rétrospective. Il explique que les gens utilisent encore la relation entre les deux volatilités à des fins d'investissement, mais il met en garde contre le fait que cela soit purement spéculatif. Enfin, il explique comment utiliser l'équation de Black-Scholes pour calculer la volatilité implicite d'une option compte tenu de son prix de marché et d'autres spécifications. Cependant, il note que le concept de volatilité implicite est intrinsèquement défectueux car il n'y a aucun moyen de connaître le nombre correct et le modèle utilisé n'est pas le vrai modèle de tarification des options.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier explique le processus de recherche de la volatilité implicite en calculant l'inverse du modèle d'évaluation des options en utilisant l'approche de Newton-Raphson. Cela implique la mise en place d'une fonction pour l'équation de Black-Scholes et le prix du marché pour trouver sigma, qui est la volatilité implicite. Pour ce faire, ils utilisent un développement en série de Taylor pour calculer la différence entre la solution exacte et l'itération, l'objectif étant de trouver une fonction où la volatilité implicite de Black-Scholes est égale à la volatilité implicite du marché. Les teneurs de marché s'appuient sur le calcul rapide de la volatilité implicite en millisecondes pour identifier les opportunités d'arbitrage et réaliser un profit.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le concept de processus itératif pour calculer la volatilité implicite à l'aide de la méthode de Newton-Raphson est introduit. Le processus consiste à calculer une itération plusieurs fois jusqu'à ce que la fonction g soit suffisamment proche de zéro, chaque nouvelle étape étant estimée sur la précédente. Cependant, la conjecture initiale est un facteur crucial pour la convergence de la méthode de Newton-Raphson. Si la valeur de l'option est extrêmement hors de la monnaie ou trop proche de zéro, la fonction devient très plate et le gradient devient trop petit pour converger. Les gens définissent généralement une grille pour les suppositions initiales afin de surmonter le problème de la supposition initiale. L'algorithme se rapproche de la fonction par sa ligne tangente et calcule l'abscisse à l'origine dans la ligne standard, et plus le gradient est raide plus la convergence est rapide.
  
  
• 00:35:00 Dans cette partie du cours, l'orateur explique l'implémentation de l'algorithme de Newton-Raphson pour calculer la volatilité implicite d'une option. La fonction à optimiser est le modèle Black-Scholes, les paramètres d'entrée étant le prix du marché, le prix d'exercice, le temps jusqu'à l'échéance, le taux d'intérêt, le volume de stock initial et le paramètre de volatilité initial. L'algorithme repose sur deux évaluations : la fonction cible et sa première dérivée, connue sous le nom de Vega. La convergence de l'algorithme est analysée et un niveau d'erreur est dérivé. Le code est implémenté en Python, avec les méthodes et définitions nécessaires préparées au préalable, et s'appuie sur les bibliothèques NumPy et SciPy.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier explique le processus de calcul de la volatilité implicite. Les entrées requises pour ce calcul comprennent la valeur de l'option et la dérivée du prix d'achat par rapport au paramètre de volatilité. Le paramètre Vega, qui est la sensibilité de la valeur de l'option au paramètre de volatilité, est également discuté. Le cœur du code implique le calcul de la volatilité implicite et le conférencier parcourt le processus étape par étape. Ils expliquent également les différents paramètres impliqués dans le calcul et leur signification. Le cours se termine par une brève démonstration du processus itératif utilisé pour calculer la volatilité implicite.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'erreur dans le calcul de la volatilité implicite et comment elle est déterminée par la différence entre les itérations. Le graphique de sortie montre la volatilité implicite qui a été trouvée pour un prix d'achat, le prix d'exercice, l'échéance et d'autres paramètres. L'orateur montre également comment la convergence change avec différentes hypothèses initiales de volatilité et comment ce processus est important dans l'étalonnage de l'industrie. L'estimation initiale doit être proche de la volatilité implicite réelle, sinon le modèle ne convergera pas. Les praticiens de l'industrie essaient différentes volatilités initiales jusqu'à ce que le modèle réussisse et que cette volalité soit choisie.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation des volatilités implicites dans le calcul des prix des options. Ils notent que le problème réside dans le fait que la volatilité initiale est proche de zéro, ce qui rend la recherche de gradient inefficace. La conférence examine également comment les volatilités implicites peuvent indiquer à quels types de formes le marché s'attendra et comment calculer si les prix des options sont corrects. Le conférencier conclut en affirmant qu'il faut toujours utiliser le prix d'exercice égal à zéro lors de la vérification des prix des options.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, nous découvrons les défis de la modélisation des prix des options et comment la flexibilité du modèle Black-Scholes est limitée lors de l'ajustement de deux volatilités implicites avec un seul paramètre, en particulier lorsque les volatilités implicites ne sont plus constantes. Cependant, le modèle Black-Scholes est toujours utilisé lorsqu'il est assez bon pour s'adapter à une seule option avec une grève particulière, car il peut être calibré sur le prix qui est donné sur le marché. Nous apprenons également que lors du traçage des volatilités implicites par rapport à un ensemble de grèves, il existe généralement trois formes différentes qui peuvent être observées, la plus courante étant le sourire de volatilité implicite, où le point le plus bas du sourire peut être situé dans une région autour de le point le plus bas, mais cela ne veut pas dire que c'est nécessairement la volatilité implicite.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section de la conférence, la relation entre les prix des options et la volatilité implicite est discutée, en mettant l'accent sur les options de vente et d'achat hors de la monnaie les plus liquides. La conférence explique comment les prix des options augmentent à mesure qu'ils s'éloignent de la monnaie et, par conséquent, la différence entre le prix du marché et le prix du modèle (volatilité implicite) augmente également. La conférence couvre également différents types de biais de volatilité implicite, dont un où la volatilité implicite augmente légèrement à mesure que vous vous éloignez de l'option à parité. Le cours se termine par une discussion sur la façon d'améliorer l'équation de Black-Scholes en utilisant des paramètres de volatilité dépendant du temps.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, la vidéo traite de l'impact de la dépendance temporelle sur la volatilité implicite et comment elle affecte la génération du sourire de volatilité implicite. Il n'est pas possible de générer le sourire de volatilité implicite avec une volatilité dépendante du temps pour différentes grèves, mais il est possible d'avoir une structure de terme de volatilité implicite
  où l'impact de la volatilité varie selon la durée des options. La vidéo montre également comment calculer la volatilité implicite et générer des chemins avec une volatilité dépendante du temps et comment cela affecte l'équation de volatilité implicite de Black-Scholes. La vidéo montre également un exemple d'ajustement de différents niveaux de volatilité pour deux options avec des échéances différentes.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique comment la volatilité implicite change en fonction des différents prix d'exercice et échéances à l'aide de graphiques. Ils introduisent le concept de surface de volatilité implicite, qui est un élément important dans la discussion des volatilités et des modèles de volatilité stochastique. Ils discutent ensuite de la relation entre l'échéance d'une option et sa volatilité, expliquant que les options à échéance courte ont une distribution plus concentrée autour du niveau monétaire, tandis que les échéances plus longues se diffusent dans le temps et l'effet sourire devient moins prononcé. Enfin, ils soulignent que pour des maturités plus longues, la distribution de l'option devient beaucoup plus large, signifiant plus d'incertitude.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, la vidéo traite des différentes formes de volatilité implicite, qui varient en fonction de la maturité du contrat et d'autres facteurs. Le modèle Black-Scholes est limité car il ne peut se calibrer qu'à un point de la grille, de sorte que toute volatilité en dehors du niveau monétaire sera plate. Bien que le modèle Black-Scholes ne soit pas idéal pour les paiements ou les contrats plus complexes, il est toujours important car il donne un aperçu de la tarification des dérivés, de la construction de portefeuilles répliqués, de la couverture et de la simulation des mouvements du marché. Malgré ses limites, le modèle Black-Scholes est un modèle fondamental en finance.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, l'orateur parle des limites du modèle Black-Scholes dans la réalité. Il souligne que bien que la couverture nécessite un rééquilibrage continu d'un portefeuille pour donner le même taux de rendement qu'un investissement dans un compte d'épargne, cela n'est pas pratique car acheter et vendre des actions des centaines de fois par jour serait très coûteux en raison des coûts de transaction. Par conséquent, la couverture se produit beaucoup moins fréquemment, en fonction du comportement du marché, et les coûts de transaction et les couvertures moins fréquentes ne sont pas pris en compte dans le modèle Black-Scholes. En outre, des études empiriques de séries temporelles financières ont révélé que l'hypothèse de normalité des prix des actifs ne peut pas capturer les queues lourdes. Cela signifie que la probabilité attribuée aux événements extrêmes est très faible, ce qui n'est pas bien saisi par la distribution log-normale du modèle Black-Scholes.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section du cours, l'instructeur explique les différentes approches de gestion des modèles de volatilité. La première approche traite des modèles de volatilité locale, qui est une simple extension du modèle réel. La fonction du modèle de volatilité locale est appelée fonction de volatilité locale et est construite à partir de données de marché. La deuxième approche, qui sera abordée dans le cours suivant, est un modèle de sauts, permettant de générer des effets de sourire et de biais. La troisième approche implique la volatilité stochastique, une extension avancée de la volatilité locale, utilisant une équation différentielle stochastique pour piloter la volatilité.

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Finance computationnelle : cours 5/14 (processus de saut)

Finance computationnelle : cours 5/14 (processus de saut)

La conférence progresse pour explorer les moyens d'améliorer le modèle Black-Scholes en incorporant des sauts dans le processus de stock, en passant d'un modèle diffusif à un modèle de diffusion sautée. L'instructeur commence par expliquer l'inclusion des sauts dans le processus de stock et donne une définition des sauts. Ils démontrent ensuite une implémentation simple d'un processus de saut en Python, soulignant la nécessité de gérer les sauts dans un processus stochastique pour les actions tout en s'assurant que le modèle reste sous la mesure q.

En outre, la conférence se penche sur les implications de l'introduction de sauts dans la tarification et comment cela affecte la tarification PDE (équation différentielle partielle), en introduisant des termes intégraux supplémentaires. La discussion s'étend à l'impact de différentes distributions de sauts sur les formes de volatilité implicites et à l'utilisation de concepts tels que les attentes itérées par les attentes, la propriété de tour des attentes et les fonctions caractéristiques des processus de sauts lorsqu'il s'agit d'attentes complexes.

Le conférencier met l'accent sur le caractère pratique des processus de saut dans les options de tarification et de calibrage des modèles, soulignant leur réalisme et leur capacité à s'adapter aux queues lourdes, ainsi qu'à contrôler le kurtosis et l'asymétrie de la densité de verrouillage et de virage. En incorporant un processus de saut, un meilleur ajustement au sourire de volatilité implicite ou au biais de volatilité implicite peut être obtenu, faisant des processus de saut une alternative plus favorable au modèle Black-Scholes.

En changeant d'orientation, la conférence introduit le concept de processus de saut représentés par un processus de comptage, qui ne sont pas corrélés au mouvement brownien. Ces processus sont modélisés à l'aide d'un processus de Poisson aléatoire, caractérisé par une valeur initiale nulle et des incréments indépendants suivant une distribution de Poisson. Le taux du processus de Poisson détermine le nombre moyen de sauts dans une période de temps spécifiée. Le cours explique comment calculer le nombre moyen de sauts dans un intervalle donné pour les processus de saut en utilisant la notation et les attentes.

En finance computationnelle, le conférencier discute de la simulation des processus de saut, notant que la magnitude du saut ne peut pas exploser et décrivant les hypothèses techniques qui y sont associées. Le processus implique la définition de matrices et de paramètres pour simuler des incréments indépendants à l'aide d'une distribution de Poisson pour chaque incrément du processus de saut. Le cours couvre également l'utilisation du processus de Poisson dans le lemme d'Ethos pour étendre la dynamique des processus de saut pour la valorisation des actions. Dans le contexte de la finance computationnelle, le cours introduit et explique le concept de processus de saut. Il définit le terme "t-moins" comme le temps juste avant qu'un saut ne se produise dans un processus et explore la dynamique du processus à travers le lemme d'Ethos et le calcul des dérivées par rapport au temps. La relation entre la taille du saut et l'ajustement résultant dans la fonction "g" est discutée, en soulignant la pertinence pratique de ces concepts dans la modélisation des processus stochastiques. La conférence souligne également l'importance de considérer l'indépendance des processus de saut et des processus diffusifs lors de la modélisation du comportement du marché boursier.

Pour dériver la dynamique d'une fonction "g" dans un modèle incorporant à la fois des processus de saut et de diffusion, le cours se concentre sur le comportement de haute complexité de diffusion et l'application du lemme d'Ito. Le lemme d'Ito est utilisé pour gérer les termes croisés, tels que dxpt au carré, dans le contexte d'une complexité accrue du modèle. Une fois que tous les éléments, y compris la dérive, la diffusion et les sauts, sont combinés, la dynamique de "g" peut être dérivée à l'aide du lemme d'Ito. L'extension de la table d'Ito est également abordée, soulignant les différences entre un processus de Poisson et un mouvement brownien. La conférence se termine en décrivant le processus de dérivation de la dynamique d'une fonction "g" qui intègre à la fois les processus de saut et de diffusion.

À l'avenir, la conférence décrit le processus d'obtention de la dynamique d'un stock avec saut et mouvement brownien sous la mesure Q. Ce processus implique de définir une nouvelle variable et de déterminer sa dynamique, en s'assurant que l'espérance de la dynamique est nulle. La composante de saut est supposée être indépendante de tous les autres processus, ce qui donne une expression qui comprend des termes pour la dérive, la volatilité et l'attente de J moins un. Cette expression est ensuite substituée dans l'équation de la mesure Q, garantissant que la dynamique de ST sur le compte d'épargne est une martingale.

L'instructeur poursuit en expliquant comment dériver un modèle avec diffusion et sauts, en fournissant un exemple pour illustrer les chemins d'un modèle à deux composants : diffusif et saut. La partie diffusive représente un comportement continu, tandis que l'élément de saut introduit une discontinuité, permettant la représentation des modèles de saut observés dans certains stocks. L'instructeur couvre également les paramètres du saut et le paramètre de volatilité du mouvement brownien, ainsi que les valeurs initiales des actions et des taux d'intérêt. Pour améliorer encore la compréhension, l'instructeur montre comment programmer la simulation et tracer les trajectoires résultantes.

Le cours passe ensuite à l'explication de l'espérance de e à la puissance j, qui est calculée analytiquement comme l'espérance d'une distribution log-normale. La simulation des incréments de Poisson commandés par c fois pi fois dt est effectuée, avec z représentant les incréments pour une distribution normale et j représentant l'amplitude du saut. La dynamique du processus de diffusion des sauts implique à la fois des équations différentielles partielles et des équations différentielles intégrales, où la partie intégrale représente l'espérance des tailles de saut. L'équation de tarification peut être dérivée par la construction de portefeuille ou par l'approche de la fonction caractéristique, et les paramètres doivent être calibrés à l'aide des prix des options sur le marché.

Dans le contexte de la construction de portefeuille, le cours décrit le processus de construction d'un portefeuille composé d'une option vendue et d'une couverture avec une action sous-jacente. En s'assurant que la dynamique du portefeuille augmente au même rythme que le compte d'épargne, une équation différentielle de prix peut être dérivée. Pour obtenir la dynamique souhaitée, le stock divisé par le compte d'épargne doit être une martingale. La conférence dérive ensuite la condition pour mu, démontrant qu'une fois la dynamique établie, la dynamique de v peut être dérivée. Cette information est ensuite utilisée pour calculer les attentes et dériver la dynamique de v.

Le conférencier explore en outre l'équation d'une dérivée du premier ordre par rapport au temps, qui est également du premier ordre par rapport à x et comprend une espérance pour une valeur d'un contrat au temps t avec un saut. Cela conduit à un terme intégral en raison de la présence d'une attente, résultant en une équation différentielle intégrale partielle (PID) qui est plus difficile à résoudre que les PDE pures. La solution consiste à trouver l'expression analytique de la valeur attendue, qui peut parfois être exprimée en termes de séries infinies. L'importance des conditions aux limites et la transformation des PID en transformations logarithmiques pour une meilleure convergence sont également discutées.

Poursuivant la discussion sur les processus de saut, le cours se concentre sur la transformation des processus de saut dans le cas du PID et du PID sous l'option de luxe. La conférence présente deux approches courantes pour spécifier la magnitude du saut, à savoir le modèle classique des marchands et la double exponentielle non symétrique. Alors que l'étalonnage du modèle devient plus compliqué avec l'ajout de sigma j et mu j, l'aspect pratique et l'acceptation par l'industrie favorisent souvent les modèles avec moins de paramètres. La conférence reconnaît également qu'à mesure que la dynamique des processus de saut devient plus complexe, la réalisation de la convergence devient difficile, nécessitant des techniques avancées telles que l'espace de Fourier ou des solutions analytiques pour l'étalonnage des paramètres.

Le cours explique ensuite le processus de tarification à l'aide de la simulation de Monte Carlo pour les processus de diffusion par sauts. La tarification consiste à calculer l'espérance du gain futur en actualisant sa valeur actuelle. Bien que des méthodes telles que les PID et la simulation de Monte Carlo fonctionnent bien en termes de complexité de calcul pour les simulations, elles peuvent ne pas être idéales pour la tarification et l'étalonnage du modèle en raison de l'augmentation significative du nombre de paramètres lorsque des sauts sont introduits. La conférence se penche également sur l'interprétation de la distribution des sauts et des paramètres d'intensité et leur impact sur le sourire et le biais de la volatilité implicite. Une expérience de simulation est menée, faisant varier les paramètres tout en gardant les autres fixes pour observer les effets résultants sur les sauts et l'inclinaison.

Pour analyser les effets de la volatilité et de l'intensité des sauts sur la forme du sourire et du niveau de volatilité implicite, l'enseignant discute de leurs relations. L'augmentation de la volatilité d'un saut conduit à un niveau de volatilité plus élevé, tandis que l'intensité des sauts affecte également le niveau et la forme du sourire de volatilité implicite. Ces informations sont cruciales pour comprendre le comportement des prix des options et calibrer les modèles aux données réelles du marché.

La conférence introduit ensuite le concept de la propriété de la tour et son application à la simplification des problèmes en finance. En conditionnant sur un chemin à partir d'un processus pour calculer l'espérance ou le prix d'un autre processus, les problèmes à plusieurs dimensions dans les équations différentielles stochastiques peuvent être simplifiés. La propriété Tower peut également être appliquée à des problèmes dans les équations de Black-Scholes avec des paramètres de volatilité et des processus comptables, qui deviennent souvent des sommations lorsqu'il s'agit d'intégrales de saut. L'enseignant insiste sur la nécessité de faire des hypothèses sur les paramètres de ces applications.

Ensuite, le conférencier discute de l'utilisation des techniques de Fourier pour résoudre les équations de tarification en finance computationnelle. Les techniques de Fourier reposent sur la fonction caractéristique, qui peut être trouvée sous forme analytique pour certains cas particuliers. Le conférencier passe en revue un exemple utilisant le modèle de Merton et explique comment trouver la fonction caractéristique de cette équation. En séparant les termes d'attente impliquant des parties indépendantes, l'enseignant montre comment exprimer la sommation en termes d'attentes, permettant la détermination de la fonction caractéristique. L'avantage d'utiliser les techniques de Fourier est leur capacité à permettre des calculs de prix rapides, qui sont cruciaux pour l'étalonnage du modèle et l'évaluation en temps réel.

Ensuite, le conférencier discute de l'utilisation des techniques de Fourier pour résoudre les équations de tarification en finance computationnelle. Les techniques de Fourier reposent sur la fonction caractéristique, qui peut être trouvée sous forme analytique pour certains cas particuliers. Le conférencier passe en revue un exemple utilisant le modèle de Merton et explique comment trouver la fonction caractéristique de cette équation. En séparant les termes d'attente impliquant des parties indépendantes, l'enseignant montre comment exprimer la sommation en termes d'attentes, permettant la détermination de la fonction caractéristique. L'avantage d'utiliser les techniques de Fourier est leur capacité à permettre des calculs de prix rapides, qui sont cruciaux pour l'étalonnage du modèle et l'évaluation en temps réel.

Tout au long du cours, l'instructeur insiste sur l'importance de comprendre et d'intégrer les processus de saut dans les modèles financiers informatiques. En incluant des sauts, les modèles peuvent mieux capturer le comportement des cours réels des actions et fournir des résultats de tarification et d'étalonnage plus précis. La conférence met également en évidence les défis associés aux processus de saut, tels que la complexité de la résolution d'équations différentielles intégrales et la nécessité d'un étalonnage minutieux des paramètres. Cependant, avec les techniques et méthodologies appropriées, les processus de saut peuvent améliorer considérablement la précision et le réalisme des modèles financiers informatiques.

• 00:00:00 Dans cette section, le conférencier explique comment améliorer le modèle black-scholes en incluant des sauts dans le processus de stock et en passant d'un modèle diffusif à un modèle saut-diffusion. La discussion commence par la manière d'inclure des sauts dans le processus de stock et la définition des sauts. Le conférencier montre également comment effectuer une implémentation simple d'un processus de saut en Python et comment gérer les sauts dans un processus stochastique pour les actions afin de s'assurer que le modèle est toujours sous q mesure. L'inclusion de sauts dans la tarification introduit des termes intégraux supplémentaires, qui seront présents dans la pde de tarification. La conférence traite également de l'impact de différentes distributions de sauts sur différentes formes de volatilité implicite et de la manière d'utiliser les attentes itérées d'attente, la propriété de tour d'attente et les fonctions caractéristiques des processus de saut lorsqu'il s'agit d'attentes compliquées. Enfin, le cours explique comment utiliser la transformation de Fourier pour inverser la fonction caractéristique pour l'étalonnage des modèles de diffusion par sauts à paramètres multiples.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'extension du modèle aux sauts. Le comportement d'un titre, tel que KLM, ne peut pas être expliqué par un mouvement brownien géométrique car il révèle des schémas de sauts. Ces sauts sont observés sur le marché et peuvent être dus à des événements de marché inattendus ou à des versements de dividendes, mais ils sont souvent liés à des facteurs tels que des conflits politiques ou des problèmes de livraison de matières premières. Pour mieux s'adapter au comportement d'une action et aux grèves multiples pour la tarification des options, un processus est nécessaire qui inclut ce phénomène de saut. L'un de ces processus est un modèle basé sur Lévy avec diffusion par saut, qui comprend un mouvement brownien et une partie de saut qui peut expliquer les modèles de saut présentés par certains stocks.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilité des processus de saut dans les options de tarification et de calibrage des modèles. Il explique comment les sauts sont réalistes lors de la tarification des options et comment ils permettent un meilleur calibrage tout en incluant des queues lourdes. De plus, les processus de saut peuvent aider à contrôler le kurtosis et l'asymétrie de la densité de verrouillage et de virage. En construisant un processus qui inclut un saut, il démontre comment il peut faciliter un meilleur ajustement au sourire de volatilité implicite ou au biais de volatilité implicite. Dans l'ensemble, les processus de saut sont une alternative supérieure au modèle Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le deuxième processus stochastique de la finance informatique est introduit, qui est un processus de saut représenté par un processus de comptage. Le processus de saut n'est pas corrélé au mouvement brownien et est modélisé avec un processus de Poisson aléatoire. Le processus de Poisson a initialement une valeur nulle et des incréments indépendants avec une probabilité donnée par la distribution de Poisson. Le taux du processus de Poisson représente la quantité moyenne de sauts dans une période de temps spécifiée. La probabilité qu'un saut se produise pendant un petit intervalle de temps est ensuite calculée à l'aide du processus de Poisson et d'un petit o dt. La probabilité que des sauts nuls se produisent est également discutée.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier explique comment calculer le nombre moyen de sauts dans un intervalle donné pour les processus de saut. Le calcul consiste à substituer la différence entre le nombre de sauts au point s plus dt et x-ps en utilisant une courte notation de dxp. L'espérance d'un événement est calculée par la valeur attendue multipliée par la probabilité de l'événement. De plus, une définition d'un processus de Poisson compensé est introduite, où la valeur attendue du processus est zéro. Enfin, la conférence mentionne qu'il n'y a généralement pas de corrélation entre l'ampleur du saut d'une variable aléatoire et le processus, ce qui rend difficile l'évaluation de l'ampleur d'un saut et la définition du moment où il s'est produit.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier discute des processus de saut en finance computationnelle. La magnitude du saut ne peut pas exploser et il existe des hypothèses techniques à son sujet. La simulation des chemins et des réalisations du processus implique la définition de matrices et de paramètres pour une distribution de Poisson, qui est utilisée pour simuler des incréments indépendants pour chaque incrément du processus de saut. Le cours explique également comment utiliser le processus de Poisson dans le lemme d'Ethos pour étendre sa dynamique à la valorisation des actions.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le concept de processus de saut est introduit et expliqué dans le contexte de la finance informatique. Le terme "t-moins" est défini comme un temps juste avant qu'un saut n'ait lieu dans un processus, et la dynamique du processus est explorée à travers le lemme ethos et le calcul des dérivées par rapport au temps. La relation entre la taille du saut et l'ajustement résultant dans la fonction g est discutée, et la pertinence pratique de ces concepts dans la modélisation des processus stochastiques est soulignée. De plus, l'importance de considérer l'indépendance des processus de saut et des processus diffusifs lors de la modélisation du comportement du marché boursier est soulignée.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la dérivation de la dynamique d'une fonction g dans un modèle comportant à la fois des processus de saut et de diffusion. L'orateur commence par expliquer que lorsque la complexité du modèle augmente en raison d'une forte diffusion, la dérivation des solutions peut devenir beaucoup plus difficile. L'orateur introduit ensuite le lemme d'Ito afin de discuter de son application dans ce contexte, en particulier lorsqu'il s'agit de termes croisés tels que dxpt au carré. L'orateur explique ensuite qu'une fois tous les éléments (dérive, diffusion et sauts) réunis, la dynamique de g peut être dérivée à l'aide du lemme d'Ito. L'extension de la table Ito est également abordée, l'orateur expliquant que la différence entre un processus de Poisson et un mouvement brownien devient apparente. Enfin, l'orateur décrit le processus de dérivation de la dynamique d'une fonction g qui intègre à la fois les processus de saut et de diffusion.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, l'orateur décrit le processus pour arriver à la dynamique d'un stock avec saut et mouvement brownien sous la mesure Q. Le processus implique de définir une nouvelle variable et de déterminer sa dynamique, et de s'assurer que l'espérance de la dynamique est nulle. La composante de saut est supposée être indépendante de tous les autres processus, et l'expression résultante comprend des termes de dérive et de volatilité ainsi que l'espérance de J moins un. La dernière étape consiste à substituer ce processus dans l'équation de la mesure Q et à s'assurer que la dynamique de ST sur le compte d'épargne est une martingale.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur explique comment dériver un modèle avec diffusion et sauts et donne un exemple de ce à quoi ressembleraient les trajectoires d'un modèle avec deux composants de composants diffusifs et de sauts. Le processus a une partie diffusive, qui se comporte de manière continue, et un élément de saut, qui le rend discontinu. L'instructeur discute également des paramètres du saut et du paramètre de volatilité du mouvement brownien, ainsi que des valeurs initiales des actions et des taux d'intérêt. Enfin, l'instructeur montre comment programmer la simulation et tracer les trajectoires.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence sur la finance informatique, l'orateur explique l'espérance de e à la puissance j, qui est calculée analytiquement comme l'espérance d'une distribution log-normale. Ils simulent ensuite des incréments de Poisson pilotés par c pi fois dt, avec z comme incréments pour une distribution normale et j comme amplitude de saut. La dynamique du processus de diffusion des sauts implique à la fois des équations différentielles partielles et des équations différentielles intégrales, la partie intégrale représentant l'espérance des tailles de saut. L'équation de tarification peut être dérivée par la construction de portefeuille ou par l'approche de la fonction caractéristique, les paramètres devant être calibrés à l'aide des prix des options sur le marché.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, la conférence décrit le processus de construction d'un portefeuille composé d'une option vendue et d'une couverture avec une action sous-jacente. En s'assurant que la dynamique du portefeuille augmente au même rythme que le compte d'épargne, une équation différentielle de prix peut être dérivée. Le cours explique que pour obtenir la dynamique de l'information sur les actions et les risques, l'action divisée par le compte d'épargne doit être une martingale. La conférence dérive ensuite la condition pour mu, montrant qu'une fois la dynamique établie, la dynamique de v peut être dérivée. Cette information est ensuite utilisée pour calculer les attentes et dériver la dynamique de v.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'équation d'une dérivée du premier ordre par rapport au temps, c'est-à-dire du premier ordre par rapport à x, et inclut une espérance pour une valeur d'un contrat au temps t avec un saut. Cela conduit à un terme intégral dû à la présence d'une espérance qui devient une équation différentielle intégrale partielle (PID) puisqu'elle inclut un terme intégral. L'orateur explique qu'à cause de cela, les PID peuvent être plus difficiles à résoudre que les PDE. La solution consiste à trouver l'expression analytique de la valeur attendue, qui peut parfois être exprimée en termes de séries infinies. L'orateur discute également de l'importance des conditions aux limites et de la transformation des PID en transformations logarithmiques pour une meilleure convergence.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de la transformation des processus de saut dans le cas de pid et pid sous l'option deluxe. L'orateur note que la spécification de la magnitude de saut j appartient à l'utilisateur, mais décrit deux approches courantes : le modèle classique des marchands et la double exponentielle non symétrique. Alors que l'étalonnage du modèle devient plus compliqué avec l'ajout de sigma j et mu j, généralement, avoir moins de paramètres est plus pratique et acceptable dans l'industrie. L'orateur note que si la dynamique des processus de saut est trop compliquée, alors la convergence devient problématique et des techniques avancées sont nécessaires, comme l'espace de Fourier ou même des solutions analytiques, pour calibrer ces paramètres.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique comment effectuer la tarification à l'aide de la simulation de Monte Carlo pour un processus de diffusion par saut, qui consiste à calculer l'espérance du gain futur en actualisant sa valeur aujourd'hui. Bien que des méthodes telles que les PID et Monte Carlo fonctionnent bien en termes de complexité de calcul pour les simulations, elles peuvent ne pas être idéales pour la tarification et l'étalonnage du modèle car l'introduction de sauts augmente considérablement le nombre de paramètres. Le conférencier explique également comment interpréter la distribution des sauts et des paramètres d'intensité, et leur impact sur la volatilité implicite smile et skew. De plus, l'orateur mène une expérience de simulation pour faire varier les paramètres tout en gardant les autres fixes pour observer les changements dans les effets de saut et d'inclinaison.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute des effets de la volatilité et de l'intensité des sauts sur la forme du sourire et du niveau de volatilité implicite. L'augmentation de la volatilité d'un saut conduit à un niveau de volatilité plus élevé, tandis que l'intensité des sauts affecte également le niveau et la forme du sourire de volatilité implicite. La conférence passe ensuite à la discussion de la propriété de la tour pour les attentes et comment elle peut être utilisée pour gérer les sauts et les intégrales. La propriété de tour pour les attentes permet de simplifier et de gérer plus facilement les expressions d'attente, ce qui en fait un outil utile pour calculer les attentes impliquant des sauts.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, le conférencier discute de la propriété de la tour et l'applique pour simplifier les problèmes de finance. En conditionnant sur un chemin à partir d'un processus pour calculer l'espérance ou le prix d'un autre processus, les problèmes à plusieurs dimensions dans les équations différentielles stochastiques peuvent être simplifiés. La propriété Tower peut également être appliquée à des problèmes dans les équations de Black-Scholes avec des paramètres de volatilité et des processus comptables, qui deviennent souvent des sommations lorsqu'il s'agit d'intégrales de saut. Le conférencier insiste sur le fait qu'il faut faire des hypothèses sur les paramètres de ces applications.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation des techniques de Fourier pour résoudre les équations de tarification en finance computationnelle. Les techniques de Fourier reposent sur la fonction caractéristique qui peut être trouvée sous forme analytique pour certains cas particuliers. Le conférencier passe en revue un exemple utilisant le modèle de Merton et explique comment trouver la fonction caractéristique de cette équation. En séparant des termes d'espérance impliquant des parties indépendantes, l'enseignant montre comment exprimer la sommation en termes d'espérances et ainsi trouver la fonction caractéristique. L'avantage d'utiliser les techniques de Fourier est qu'elles permettent des calculs de tarification extrêmement rapides, ce qui est crucial pour l'étalonnage du modèle et l'évaluation en temps réel.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, le conférencier discute d'une formule qui relie le processus de saut à une transformée de Fourier. En utilisant l'espérance conditionnelle, le conférencier simplifie la formule en une fonction caractéristique qui implique l'espérance des exposants. La nouvelle expression ressemble étroitement à la définition d'un exposant. Une simplification supplémentaire aboutit à une expression compacte de la fonction caractéristique, qui sera utilisée dans l'évaluation des techniques de Fourier.

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Finance computationnelle : Cours 6/14 (Processus de diffusion par sauts affines)

Finance computationnelle : Cours 6/14 (Processus de diffusion par sauts affines)

Le conférencier donne un aperçu de la sélection des modèles de tarification au sein des institutions financières, en se concentrant sur la distinction entre le front office et le back office. Le front office gère les activités de trading et initie les transactions, qui sont ensuite transférées au back office pour la maintenance des transactions et la comptabilité. Le conférencier souligne la nécessité de prendre en compte divers facteurs, notamment l'étalonnage, l'évaluation des risques, la précision des prix et l'efficacité des calculs lors du choix d'un modèle de tarification. De plus, le concept de fonctions caractéristiques et de processus de diffusion par sauts affines est introduit en tant que classes modèles qui permettent une évaluation efficace des prix. Ces modèles sont capables de calculs de prix rapides, ce qui les rend adaptés au trading en temps réel. La conférence aborde également des sujets tels que la dérivation de la fonction monétaire, l'extension du cadre par l'incorporation de sauts et le flux de travail de tarification et de modélisation dans les institutions financières.

L'importance de comprendre les processus de saut et leur impact sur la précision des prix est soulignée tout au long de la conférence, ainsi que les défis liés à la résolution d'équations différentielles intégrales et à l'étalonnage des paramètres du modèle. En tirant parti des techniques et des méthodologies appropriées, les modèles financiers informatiques peuvent être améliorés pour mieux refléter le comportement réel des cours des actions et améliorer les résultats de tarification et d'étalonnage.

Par ailleurs, le conférencier met l'accent sur le rôle du front office dans les institutions financières, notamment dans la conception et la tarification des produits financiers pour les clients. Le front office est chargé de sélectionner les modèles de tarification appropriés pour ces produits et de s'assurer que les transactions sont correctement comptabilisées. La collaboration avec le back office est cruciale pour valider et mettre en œuvre les modèles choisis, en s'assurant de leur adéquation aux risques et métiers de l'établissement. L'objectif principal du front office est de trouver un équilibre entre offrir des prix compétitifs aux clients et gérer les risques dans des limites acceptables tout en assurant un flux régulier de bénéfices.

Le conférencier décrit les étapes essentielles d'une tarification réussie, en commençant par la spécification du produit financier et la formulation d'équations différentielles stochastiques pour capturer les facteurs de risque sous-jacents. Ces facteurs de risque jouent un rôle essentiel dans la détermination du modèle de tarification et le calcul ultérieur des prix. Une spécification et une modélisation appropriées de ces facteurs de risque sont essentielles pour une tarification et une gestion des risques précises.

Au cours de la conférence, différentes méthodes de tarification sont discutées, y compris des solutions exactes et semi-exactes, ainsi que des techniques numériques telles que la simulation de Monte Carlo. Le conférencier souligne l'importance de l'étalonnage du modèle, où les paramètres du modèle de tarification sont ajustés pour correspondre aux observations du marché. Les techniques de Fourier sont introduites comme une alternative plus rapide pour l'étalonnage du modèle, permettant un calcul efficace des paramètres du modèle.

La conférence compare également deux approches populaires de tarification en finance computationnelle : la simulation de Monte Carlo et les équations aux dérivées partielles (EDP). La simulation de Monte Carlo est largement utilisée pour les problèmes de tarification de grande dimension, mais sa précision peut être limitée et sujette aux erreurs d'échantillonnage. Les PDE, en revanche, offrent des avantages tels que la possibilité de calculer des sensibilités telles que delta, gamma et vega à faible coût et une fluidité dans les solutions. L'orateur mentionne que les méthodes basées sur Fourier seront couvertes dans de futures conférences car elles offrent des approches de tarification plus rapides et plus appropriées pour des produits financiers simples.

Le concept de fonctions caractéristiques est présenté comme un outil clé pour combler le fossé entre les modèles avec des fonctions de densité de probabilité analytiques connues et ceux qui n'en ont pas. En utilisant des fonctions caractéristiques, il devient possible de dériver la fonction de densité de probabilité d'un stock, qui est essentielle pour la tarification et l'évaluation des risques.

Tout au long du cours, l'importance de l'étalonnage est soulignée. Les instruments liquides sont utilisés comme références pour l'étalonnage, et leurs paramètres sont ensuite appliqués pour évaluer avec précision les produits dérivés plus complexes. Le conférencier souligne la nécessité d'améliorer et d'affiner en permanence les modèles et techniques de tarification pour s'adapter à l'évolution des conditions du marché et obtenir des résultats de tarification fiables.

En résumé, la conférence donne un aperçu du processus de choix des modèles de tarification dans les institutions financières, en se concentrant sur le rôle du front office, l'étalonnage du modèle et les considérations de risque, d'efficacité et de précision. Il introduit également diverses techniques telles que la simulation de Monte Carlo, les EDP et les méthodes basées sur Fourier pour la tarification et l'étalonnage des modèles. Le concept de fonctions caractéristiques et leur importance dans la dérivation des fonctions de densité de probabilité sont discutés, ainsi que les défis et l'importance du raffinement du modèle et de l'adaptation aux conditions du monde réel.

• 00:00:00 Dans cette section, le conférencier explique comment choisir un modèle de tarification dans le contexte des institutions financières. Il explique que le front office est généralement associé aux activités de trading, tandis que le back office se concentre sur le maintien des transactions et la comptabilité. Lorsqu'un client veut acheter un produit dérivé, la transaction a lieu au front office, puis elle est transférée au back office. Le conférencier souligne également l'importance de prendre en compte différents aspects, tels que l'étalonnage, les risques, la tarification et l'efficacité, lors du choix d'un modèle de tarification. De plus, il introduit le concept de fonctions caractéristiques et de processus de diffusion par sauts affines, qui sont des classes de modèles qui permettent une évaluation efficace des prix de manière rapide. La conférence explique également comment dériver la fonction monétaire pour le modèle de bloc et comment étendre le cadre en ajoutant des sauts.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'orateur aborde le flux de travail du front office d'une institution financière, qui s'occupe principalement de la conception et de la tarification des produits financiers pour les clients. Le front office décide du modèle à utiliser pour la tarification du produit et enregistre la transaction. Il coordonne également avec le back-office la validation et la mise en œuvre des modèles utilisés en s'assurant de leur adéquation aux risques et métiers de l'établissement. Le front office vise à équilibrer la préférence d'offrir de meilleurs prix aux clients tout en maintenant les risques dans des limites acceptables et des profits continus. L'orateur décrit les étapes nécessaires, y compris la spécification du produit financier et les équations différentielles stochastiques pour les facteurs de risque impliqués, pour une tarification réussie.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur aborde le processus de tarification et de modélisation des produits financiers. Le processus implique de spécifier les facteurs de risque, de choisir des modèles adaptés aux dimensions, de définir le prix du modèle, de calibrer le modèle et d'effectuer la tarification. La dernière étape consiste à vendre le produit et à se couvrir. Le conférencier explique également les différentes méthodes de tarification et a mis en évidence des solutions exactes et semi-exactes, ainsi que des méthodes numériques comme la simulation de Monte Carlo. L'accent de la conférence est mis sur le quatrième point de l'étalonnage du modèle, où l'orateur parle de l'utilisation des techniques de Fourier pour un étalonnage plus rapide.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'orateur aborde différentes approches de tarification en finance computationnelle, à savoir la simulation de Monte Carlo et les EDP. La simulation de Monte Carlo est une approche populaire, en particulier pour les problèmes de tarification de grande dimension, car les EDP peuvent être difficiles à résoudre et à discrétiser en plusieurs dimensions. Cependant, la technique est limitée à deux dimensions et est associée à un bruit aléatoire et à des erreurs d'échantillonnage potentielles. Les PDE, en revanche, ont l'avantage de pouvoir calculer des sensibilités telles que delta, gamma et vega à faible coût et sont toujours fluides. L'orateur explique que dans les prochaines conférences, ils se concentreront sur les méthodes basées sur Fourier, qui sont plus rapides et plus adaptées aux produits simples. Il explique également comment le calibrage est effectué sur la base d'instruments liquides et comment ces paramètres sont ensuite utilisés pour évaluer des produits dérivés plus complexes.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'instructeur discute de l'utilisation de l'échantillonnage de Monte Carlo pour la tarification des dérivés financiers et des problèmes potentiels d'erreur d'échantillonnage et d'effets aléatoires. Ils mentionnent également l'utilisation de méthodes alternatives telles que les techniques de Fourier pour l'étalonnage et la recherche de la fonction de densité de probabilité d'un stock. Le concept de fonction caractéristique est introduit pour aider à combler l'écart entre les modèles pour lesquels la fonction de densité de probabilité est connue analytiquement et ceux pour lesquels elle ne l'est pas. L'objectif est de trouver finalement un moyen de passer de la fonction caractéristique à la fonction de densité de probabilité du stock.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation des transformations de Fourier pour la récupération de densité, ce qui est particulièrement utile dans la tarification des options de type européen. La méthode de transformation de Fourier est efficace en termes de calcul et ne se limite pas aux modèles gaussiens, elle peut donc être utilisée pour toute variable aléatoire ayant une fonction caractéristique. Le processus de récupération de densité consiste à relier les chemins du processus stochastique à la densité observée à un instant t donné. Le conférencier montre plusieurs graphiques et discute de l'importance de la fréquence des signaux et de la relation entre la variance d'un processus et le nombre de rotations.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur aborde les aspects techniques de la transformée de Fourier et son importance dans l'analyse du signal. Ils expliquent comment la transformée de Fourier peut transformer une fonction monétaire en une représentation dans le domaine fréquentiel et définir une fonction caractéristique comme une attente d'un exposant de i. La densité est dérivée de la CDF en prenant sa dérivée, et la fonction caractéristique peut être utilisée pour trouver le k-ième moment d'une variable. Enfin, ils mettent en évidence les propriétés utiles de la transformée de Fourier, notamment la relation entre la dérivée d'une fonction caractéristique et le k-ième moment.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur explique la relation entre une variable X définie comme un logarithme de Y et la fonction caractéristique du log Y de U. En prenant un logarithme, X est transformé et l'équation se simplifie en une intégrale de 0 à l'infini, où une fonction de correction du logarithme d'une variable permet de calculer chaque instant d'un stock. Cette méthode est plus simple tant que le modèle considéré n'implique pas de stocks négatifs, ce qui est considéré comme rare. L'orateur mentionne également que cela est utile pour calculer analytiquement les moments de Black-Scholes. L'orateur introduit également la fonction caractéristique pour le modèle Black-Scholes.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier explique comment effectuer une transformation logarithmique sur une variable de stock en finance computationnelle. En convertissant la variable, l'équation aux dérivées partielles (PDE) résultante devient plus simple à résoudre. Le conférencier fournit l'EDP mise à jour après la transformation et explique comment trouver la solution en utilisant le théorème de Duffie-Pan-Singleton. Des détails supplémentaires sur les conditions exactes de la solution devraient être discutés ultérieurement.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur explique comment résoudre l'équation différentielle partielle pour la fonction caractéristique en utilisant la méthode Duffy-Pan-Singleton. Pour trouver la solution, les dérivées de la transformation de u en x doivent être calculées et substituées dans la PDE. Ensuite, en utilisant des conditions aux limites, le locuteur trouve des solutions pour les équations différentielles ordinaires pour a et b, qui sont ensuite substituées dans l'expression de la fonction caractéristique pour arriver au résultat final. Cette méthode est utilisée pour trouver la fonction caractéristique du modèle de Black-Scholes, qui est un cas trivial avec une solution analytique connue.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, l'orateur explique le processus de dérivation des fonctions connectées et de recherche des valeurs de a et b dans les processus de diffusion par saut affine. Les fonctions correctives nécessitent de vérifier si la solution peut être appliquée à la PDE donnée, puis de déterminer le nombre d'ODE à résoudre pour trouver a et b. Dans le modèle Black-Scholes, la fonction caractéristique dépend du logarithme initial de la valeur du stock. La classe de modèles que l'on peut considérer comme des Processus de Diffusion Affine existe telle que la fonction caractéristique a la forme e^(a+bx). L'orateur discute également des conditions requises pour qu'un système d'équations différentielles stochastiques satisfasse la forme de fonction caractéristique donnée, y compris la nécessité de représenter la structure de volatilité sous forme de matrice en fonction du nombre de x et de mouvements browniens.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le conférencier explique les conditions des processus de diffusion affine par saut. Le nombre de mouvements browniens correspond généralement au nombre de variables d'état dans le modèle, mais il n'y a pas d'exigences strictes. Les trois conditions de ces processus sont la dérive qui ne peut dépendre que linéairement de X, une condition sur les taux d'intérêt et une condition sur la structure de la volatilité. La condition la plus cruciale et la plus difficile est la structure de la volatilité ; les matrices obtenues après multiplication ou élévation au carré de la volatilité ne doivent être linéaires qu'en X. Cette condition n'est pas satisfaite par le modèle Black-Scholes, mais elle peut être transformée sous transformation logarithmique pour satisfaire la condition.
  
  
• 01:00:00 Dans cette partie du cours, le professeur aborde le concept de fonction caractéristique dans le contexte d'un système d'équations différentielles et l'applique au modèle Black-Scholes. La fonction caractéristique est définie comme une fonction monétaire actualisée avec une condition aux limites et une filtration. Il peut être résolu en utilisant une solution pour le système correspondant d'ODE de type Riccati. Le professeur donne un exemple de la façon d'utiliser cette approche pour résoudre la fonction caractéristique dans le cas du modèle Black-Scholes.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la fonction caractéristique des processus de diffusion par sauts affines. En regardant l'équation de la fonction caractéristique actualisée, on constate que ce terme peut être pris à l'extérieur car il est constant. Cette section examine également les conditions de diffusion fine et de résolution des équations différentielles ordinaires pour A et B. Il est important de choisir des paramètres qui peuvent être résolus analytiquement pour éviter des calculs chronophages. La section traite également du travail avec plus d'une dimension et donne un exemple de modélisation de deux stocks avec des processus de mouvement brownien géométrique non corrélés.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le conférencier discute du calcul des fonctions caractéristiques pour un réglage de diffusion par saut affine en 2 dimensions. Le conférencier explique que le système d'équations différentielles stochastiques comprend un terme supplémentaire, j, et un processus de Poisson multidimensionnel, ce qui signifie que les sauts sont désormais inclus dans le cadre de la diffusion affine des sauts. Le conférencier explique également que la condition terminale de la fonction caractéristique comprend une condition aux limites où a est un terme constant sans aucune dépendance de x, et b1 et b2 correspondent respectivement à x1 et x2. Enfin, l'équation de la fonction caractéristique 2d est donnée, où nous avons a, iu1 et iu2, qui sont explicitement connus.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, la discussion se concentre sur l'indépendance entre la diffusion et les parties saccadées dans le modèle Affine Jump Diffusion Processes, où l'amplitude du saut est indépendante et l'intensité du cadre ne dépend pas de j. Les conditions de ce cadre sont les dérives linéaires, la volatilité au carré ou les métriques de covariance du taux d'intérêt et de même pour l'intensité, ce qui signifie que psi, l'intensité d'un processus de Poisson, ne peut dépendre que linéairement des valeurs d'état. Enfin, la section se termine par une discussion sur les difficultés d'utilisation des sauts dans les modèles en raison de la volatilité et des fluctuations accrues, ce qui rend le calibrage et la couverture plus compliqués.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, l'orateur discute des dimensions des fonctions de prévision d'entrée et de sortie pour les processus de diffusion par sauts affines. La fonction de prévision de la sortie est généralement unidimensionnelle, représentant la distribution marginale pour le log du stock, et dépend des caractéristiques de u, y compris la variance et les sauts. La dimension de la fonction de prévision d'entrée est liée au nombre d'équations différentielles stochastiques. L'orateur démontre ensuite le processus d'un modèle de diffusion par saut affine en dérivant l'équation différentielle stochastique et l'équation différentielle intégrale partielle. Ils trouvent que le modèle n'est pas affine à cause du terme au carré, mais après avoir effectué une transformation logarithmique, ils se retrouvent avec une équation différentielle de base avec une seule variable aléatoire indépendante, j. Ils calculent ensuite les dérivées pour obtenir la solution de la fonction caractéristique, qui est un produit de la fonction caractéristique de j et de la fonction de x.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de la dérivation de l'équation différentielle pour les processus de diffusion par sauts affines. Cela se fait en prenant les termes par x, en les mettant à zéro et en collectant tous les autres termes à mettre par la dérivée de a. La solution pour a est ensuite dérivée et est la même que celle trouvée sans utiliser d'hypothèses de diffusion affine. Cependant, certains paramètres constants sont inclus, tels que a0 et l0 qui sont du côté p, indiquant que l'intensité des sauts est constante et non dépendante de l'état.

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Finance computationnelle : Cours 7/14 (Modèles de volatilité stochastique)

Finance computationnelle : Cours 7/14 (Modèles de volatilité stochastique)

Dans la conférence, nous approfondissons le concept des modèles de volatilité stochastique comme alternative aux modèles Black-Scholes, qui peuvent avoir leurs limites. Le conférencier souligne que les modèles de volatilité stochastique appartiennent à la classe des modèles de diffusion affine, qui nécessitent des techniques avancées pour obtenir efficacement les prix et les volatilités implicites. La motivation derrière l'incorporation de la volatilité stochastique est expliquée et le modèle de volatilité stochastique bidimensionnel de Heston est présenté.

Un aspect important couvert est le calibrage des modèles sur l'ensemble de la surface de volatilité implicite plutôt que sur un seul point. Ceci est particulièrement crucial lorsqu'il s'agit de gains dépendant du chemin et de la dépendance à la direction de frappe. Les praticiens calibrent généralement les modèles sur des instruments liquides tels que les options d'achat et de vente, puis extrapolent aux prix des dérivés exotiques. Les modèles de volatilité stochastique sont populaires sur le marché car ils permettent un calibrage sur l'ensemble de la surface de volatilité, malgré leurs limites inhérentes.

La conférence met également en évidence l'importance des surfaces de volatilité sur le marché boursier et la nécessité de modèles appropriés. Si la surface de volatilité présente un sourire abrupt, les modèles incorporant des sauts ou une volatilité stochastique sont souvent préférés. Différentes mesures utilisées pour la tarification des options, y compris la mesure P et la mesure neutre au risque, sont discutées. Il est à noter que si le fait de rendre les taux d'intérêt dépendants du temps n'améliore pas les sourires ou l'asymétrie, l'introduction d'une volatilité stochastique ou locale peut aider à l'étalonnage. Le modèle de Hassel, qui utilise des processus de racine carrée de retour à la moyenne pour modéliser la volatilité, est également présenté.

La conférence explore en détail le concept de modèles de volatilité stochastique. Initialement, un processus normal et un mouvement brownien sont utilisés pour définir une équation différentielle stochastique, mais il est reconnu que cette approche ne parvient pas à capturer avec précision la volatilité, d'autant plus qu'elle peut devenir négative. Les avantages du processus Box Inverse, également connu sous le nom de processus CIR, sont expliqués car il présente des queues grasses et reste non négatif, ce qui en fait un modèle approprié pour la volatilité. Le modèle de Heston, avec sa structure de volatilité stochastique, est introduit, et la variance (VT) suit une distribution chi carré non centrale. Il est précisé que cette distribution est une distribution de transition, et la condition de Feller est mentionnée comme une condition technique critique à vérifier lors de l'étalonnage du modèle.

Les conditions des modèles de volatilité stochastique pour éviter que les trajectoires atteignent zéro, appelées condition de Feller, sont discutées. La condition est satisfaite lorsque deux fois le produit du paramètre kappa et de la moyenne à long terme est supérieur ou égal à gamma au carré, la volatilité au carré. Lorsque la condition n'est pas remplie, les chemins peuvent atteindre zéro et rebondir, conduisant à une condition aux limites réalisable. Les propriétés des distributions chi carré non centrales et leur relation avec les processus CIR sont expliquées. Des chemins de variance et des graphiques de densité sont fournis pour illustrer les effets de la satisfaction ou de la non-satisfaction de la condition de Feller.

L'importance des distributions à queue grasse dans les modèles de volatilité stochastique est soulignée, car elles sont souvent observées après l'étalonnage des modèles aux données du marché. Il est à noter que si la condition de Feller d'un modèle n'est pas satisfaite, les chemins de Monte Carlo peuvent atteindre zéro et rester à zéro. L'inclusion de la corrélation dans les modèles via le mouvement brownien est expliquée et il est mentionné que les sauts sont généralement considérés comme indépendants. La conférence se termine par un graphique illustrant l'impact de la condition de Feller sur la densité.

Le cours porte sur la corrélation et la variance dans le mouvement brownien. L'orateur explique que lorsqu'il s'agit de mouvements browniens corrélés, une certaine relation doit être vraie, et il en va de même pour les incréments. La technique de décomposition de Cholesky est introduite comme moyen de corréler deux mouvements browniens en utilisant une matrice définie positive et la multiplication de deux matrices triangulaires inférieures. Cette méthode est utile pour formuler les deux processus discutés plus loin dans le cours.

Discussion de la construction d'une multiplication matricielle triangulaire inférieure avec des mouvements browniens indépendants, résultant en un vecteur contenant une combinaison de processus indépendants et corrélés.

En outre, le conférencier explique que la fonction caractéristique du modèle Heston fournit des informations précieuses sur une tarification efficace et rapide. En dérivant la fonction caractéristique, il devient évident que tous les termes impliqués sont explicites, éliminant le besoin de calculs analytiques ou numériques complexes pour résoudre les équations différentielles ordinaires. Cette simplicité est considérée comme l'un des avantages significatifs du modèle Heston, ce qui en fait un outil pratique et puissant pour la tarification des produits dérivés.

Le conférencier souligne que la compréhension des caractéristiques et des implications de chaque paramètre du modèle Heston est cruciale pour gérer efficacement les risques associés à la volatilité. Des paramètres tels que le kappa, la moyenne à long terme, la volatilité, la corrélation et la valeur initiale du processus de variance ont tous des impacts distincts sur la dynamique de la volatilité et la surface de volatilité implicite. En calibrant ces paramètres sur le marché et en analysant leurs effets, les praticiens peuvent obtenir des informations précieuses sur les sourires et les biais de volatilité implicites, permettant une tarification et une gestion des risques plus précises.

La conférence souligne l'importance de calibrer les modèles de volatilité stochastique sur l'ensemble de la surface de volatilité implicite plutôt que sur un seul point. Les gains dépendants du chemin et les dépendances de la direction de frappe nécessitent une approche d'étalonnage complète pour saisir toute la complexité des données de marché. En règle générale, les praticiens calibrent les modèles sur des instruments liquides tels que les appels et les options de vente, puis extrapolent aux prix des dérivés exotiques. Bien que les modèles de volatilité stochastique permettent un étalonnage sur l'ensemble de la surface de volatilité, il est reconnu que le processus d'étalonnage n'est pas parfait et a ses limites.

Pour améliorer encore la compréhension des modèles de volatilité stochastique, le conférencier se penche sur le concept de distributions à queue grasse, qui sont souvent observées lors de l'étalonnage des modèles aux données du marché. L'orateur explique que si la condition d'abattage d'un modèle n'est pas satisfaite, les trajectoires de Monte Carlo peuvent atteindre zéro et rester à zéro, affectant la précision du modèle. De plus, l'inclusion des sauts et la prise en compte indépendante des corrélations dans les modèles de volatilité stochastique sont discutées. La conférence donne un aperçu de la façon dont ces éléments influencent la dynamique de la volatilité et la tarification.

La conférence se termine en comparant le modèle Heston au modèle Black-Scholes. Alors que le modèle Heston offre une plus grande flexibilité et stochasticité dans la modélisation de la volatilité, le modèle Black-Scholes reste une référence pour la tarification des dérivés. Comprendre les implications des différents changements de paramètres sur les sourires et les biais de volatilité implicites est essentiel pour que les praticiens choisissent le modèle approprié pour leurs besoins spécifiques. Grâce à un étalonnage et une analyse complets, les modèles de volatilité stochastique tels que celui de Heston peuvent fournir des informations précieuses sur la tarification et la gestion des risques sur les marchés financiers.

En plus de discuter du modèle de Heston, la conférence aborde l'importance de la corrélation et de la variance dans le mouvement brownien. L'orateur explique que lorsqu'il s'agit de mouvements browniens corrélés, certaines relations et conditions doivent être vraies, y compris l'utilisation de la décomposition de Cholesky. Cette technique permet la corrélation de deux mouvements browniens à l'aide d'une matrice définie positive et la multiplication de deux matrices triangulaires inférieures. Le cours souligne que cette méthode est essentielle pour formuler des processus dans des cas multidimensionnels et obtenir la structure de corrélation souhaitée.

De plus, l'enseignant se concentre sur la construction et la représentation de mouvements browniens indépendants et corrélés dans des modèles de volatilité stochastique. Bien que la décomposition de Cholesky soit un outil utile pour corréler les mouvements browniens, la conférence souligne qu'à des fins pratiques, elle n'est pas toujours nécessaire. Au lieu de cela, le lemme d'Ito peut être appliqué pour incorporer efficacement les mouvements browniens corrélés. La conférence fournit des exemples de construction de portefeuilles d'actions avec des mouvements browniens corrélés et montre comment appliquer le lemme d'Ito pour déterminer la dynamique de fonctions multidimensionnelles impliquant plusieurs variables.

Le cours couvre également l'équation aux dérivées partielles (EDP) de tarification pour le modèle de Heston en utilisant une approche de martingale. Cette approche consiste à s'assurer qu'une quantité spécifique, appelée pi, qui représente le rapport de la volatilité sur la moyenne à long terme, est une martingale. En appliquant Ethos Lemma, la conférence dérive l'équation de la martingale, qui implique des dérivées et le processus de variance. L'EDP de tarification permet de déterminer des prix équitables pour les contrats dérivés et d'utiliser la mesure neutre au risque dans la tarification.

De plus, le conférencier discute de l'impact de différents paramètres sur la forme de la volatilité implicite dans les modèles de volatilité stochastique. Il a été démontré que des paramètres tels que le gamma, la corrélation et la vitesse de réversion moyenne (kappa) influencent la courbure, l'asymétrie et la structure à terme des volatilités implicites. Comprendre les effets de ces paramètres aide à calibrer avec précision les modèles et à capturer la dynamique de volatilité souhaitée.

Tout au long de la conférence, l'orateur insiste sur l'importance de la calibration du modèle, en particulier sur l'ensemble de la surface de volatilité implicite. L'étalonnage sur des instruments liquides et l'extrapolation sur des dérivés exotiques est une pratique courante chez les praticiens. Les modèles de volatilité stochastique, y compris le modèle Heston, offrent la flexibilité de s'étalonner sur l'ensemble de la surface de volatilité, permettant une meilleure précision dans la tarification et la gestion des risques. Cependant, il est reconnu que l'étalonnage des modèles n'est pas sans limites et que les différences subtiles entre les modèles, tels que les modèles Heston et Black-Scholes, doivent être soigneusement examinées pour garantir une tarification et une évaluation des risques appropriées.

Le cours donne un aperçu complet des modèles de volatilité stochastique, en se concentrant sur le modèle de Heston, ses implications paramétriques, les techniques d'étalonnage et le rôle de la corrélation et de la variance dans le mouvement brownien. En comprenant et en appliquant efficacement ces concepts, les praticiens peuvent améliorer leur capacité à évaluer les dérivés, à gérer les risques et à naviguer dans les complexités des marchés financiers.

• 00:00:00 Dans cette section, nous découvrons les modèles de volatilité stochastique comme alternative aux modèles Black-Scholes, qui peuvent présenter des lacunes. L'inclusion de sauts peut résoudre certains problèmes, mais ils sont difficiles à mettre en œuvre et à interpréter. Les modèles de volatilité stochastique appartiennent à une classe de modèles de diffusion affine qui nécessitent des techniques avancées pour obtenir efficacement les prix et les volatilités implicites. La conférence couvre la motivation de la volatilité stochastique et présente le modèle de volatilité stochastique bidimensionnel de Heston. Nous couvrons également comment gérer les populations, corréler les mouvements browniens, utiliser la corrélation, étendre le lemme d'Ito aux cas de plus grande dimension et évaluer les EDP en utilisant des approches de martingale, Monte Carlo et des transformations de Fourier. La conférence met l'accent sur l'importance de comprendre la signification et l'impact de chaque paramètre lors de la gestion des risques associés à une courbure ou à une inclinaison. Enfin, nous comparons le modèle Heston au modèle Black-Scholes et dérivons et utilisons la fonction caractéristique pour le premier.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'importance de calibrer un modèle sur toute la surface de volatilité implicite par opposition à un seul point sur la surface. Ils expliquent que si un gain dépend du chemin et dépend de la direction de frappe, le calibrage sur un seul point de la surface n'est pas suffisant. La conférence explique ensuite comment les praticiens calibrent généralement les modèles sur des instruments liquides tels que les appels et les options de vente, puis extrapolent au prix des dérivés exotiques. Le conférencier explique également que les modèles de volatilité stochastique sont populaires sur le marché car ils permettent aux praticiens de se calibrer sur toute la surface de volatilité, bien que le calibrage ne soit pas parfait et ait ses limites.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'utilisation de modèles de volatilité stochastique pour calibrer la surface de volatilité du marché boursier. Ils expliquent que si la surface a un sourire prononcé, un modèle qui inclut des sauts peut être nécessaire, ou un modèle comme la volatilité stochastique qui modélise la volatilité comme une variable aléatoire. Le conférencier explique également les différentes mesures utilisées pour la tarification des options, y compris la mesure P et la mesure neutre au risque. Ils avertissent que rendre les taux d'intérêt dépendants du temps n'améliore pas les sourires ou les biais, mais rendre la volatilité stochastique ou locale peut aider à l'étalonnage. Enfin, ils introduisent le modèle de Hassel, qui utilise des processus de racine carrée de retour à la moyenne pour modéliser la volatilité.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence, le concept de modèles de volatilité stochastique est discuté. L'utilisation d'un processus normal et d'un mouvement brownien pour définir une équation différentielle stochastique est expliquée, mais elle ne parvient pas à modéliser avec précision la volatilité car elle peut devenir négative. Les avantages du processus Box Inverse, également connu sous le nom de processus CIR, sont ensuite mis en évidence car il a des queues épaisses et est non négatif, ce qui en fait un modèle approprié pour la volatilité. Le modèle de Heston, avec sa structure de volatilité stochastique, est introduit, et VT, la variance du modèle de Heston, suit une distribution chi carré non centrale. Il est expliqué qu'il s'agit d'une distribution de transition, et l'état de l'abatteuse est mentionné comme une condition technique importante à vérifier lors de l'étalonnage du modèle.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'instructeur discute des conditions pour que les modèles de volatilité stochastique aient des chemins qui n'atteignent pas zéro, également connus sous le nom de condition de Fellouris. La condition est satisfaite lorsque deux fois le produit du paramètre kappa et de la moyenne à long terme est supérieur ou égal à gamma au carré, la volatilité au carré. Si la condition n'est pas satisfaite, les chemins peuvent atteindre zéro et rebondir, ce qui est connu sous le nom de condition aux limites réalisable. L'instructeur explique également les propriétés des distributions chi carré non centrales et leur relation avec les processus CIR. Enfin, l'instructeur fournit des graphiques des chemins de variance et de la densité lorsque la condition de Fellouris est satisfaite et non satisfaite.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'orateur discute des modèles de volatilité stochastique et de l'importance des distributions à queue grasse, qui sont souvent observées après l'étalonnage des modèles aux données du marché. L'orateur note que si la condition d'abattage d'un modèle n'est pas satisfaite, alors les chemins de Monte Carlo peuvent atteindre zéro et rester à zéro. L'orateur explique ensuite comment la corrélation est incluse dans les modèles via le mouvement brownien et que les sauts sont généralement considérés comme indépendants. La section se termine par un graphique qui montre les effets de l'état de l'abatteuse sur la densité.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section de la vidéo sur les modèles de volatilité stochastique, l'orateur discute de la corrélation et de la variance dans le mouvement brownien. Il explique que s'il s'agit de mouvements browniens corrélés, une certaine relation doit être vraie, et il en va de même pour les incréments. L'orateur poursuit en décrivant la technique de décomposition de Cholesky, qui permet la corrélation de deux mouvements browniens à l'aide d'une matrice définie positive et la multiplication de deux matrices triangulaires inférieures. Cette méthode sera utilisée pour aider à formuler les deux processus dans la discussion à venir.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier discute de la construction de la multiplication matricielle triangulaire inférieure avec des mouvements browniens indépendants, qui se traduit par un vecteur contenant une combinaison de processus indépendants et corrélés. Le cours montre comment déterminer la corrélation entre deux mouvements browniens en simplifiant la notation et en substituant des expressions. En utilisant cette dérivation, les mêmes propriétés de moments et de corrélation sont préservées, permettant une flexibilité dans le choix d'une méthode de décomposition appropriée.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la conférence, le présentateur discute du passage de l'utilisation de deux mouvements browniens corrélés à l'utilisation de deux variables indépendantes, et de la manière dont la corrélation peut être obtenue à l'aide de la décomposition de Cholesky. Les avantages de traiter des mouvements browniens indépendants sont également expliqués, avec des exemples de graphiques donnés pour montrer les différences dans les corrélations négatives, positives et nulles. Le présentateur donne également un exemple de code sur la façon de simuler ces corrélations en utilisant la standardisation des échantillons et la génération de chemins. Le processus de génération du mouvement brownien est également mis en évidence, la nouvelle réalisation du mouvement brownien étant générée à partir de la précédente en utilisant un processus itératif.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, la vidéo explique comment simuler des trajectoires multicolores pour un mouvement linéaire corrélé et comment traiter des dimensions plus élevées et des matrices de corrélation définies non positives. La décomposition de Cholesky est utilisée pour élaborer des mouvements browniens indépendants avec des temps de corrélation dt, qui peuvent être appliqués pour chaque dimension. Cependant, si vous rencontrez une matrice de corrélation définie non positive, vous devez utiliser certains algorithmes pour mapper la matrice sur une matrice définie positive. Il est également important de spécifier les limites de votre coefficient de corrélation pour vous assurer qu'il se situe dans une plage réaliste de -1 et 1. De plus, la vidéo mentionne qu'en pratique, chaque processus dans un cas multidimensionnel peut dépendre de tous les mouvements browniens corrélés. , mais c'est un cas inhabituel.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier présente la décomposition de Cholesky, qui est un outil utile pour traiter la corrélation des mouvements browniens et transformer le système d'équations de corrélé à non corrélé. Ils expliquent comment représenter le système d'équations différentielles en termes de mouvements browniens indépendants en utilisant la corrélation et la décomposition de Cholesky. L'enseignant discute également de la condition technique d'application du lemme d'Ethos pour les processus vectoriels, à savoir que la fonction g doit être suffisamment différentiable. Ils fournissent un exemple d'équation différentielle stochastique multidimensionnelle et comment différencier la fonction g avec chaque processus dans le vecteur pour obtenir la dynamique du processus.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le conférencier discute de la représentation des mouvements browniens indépendants et corrélés dans les modèles de volatilité stochastique. Ils expliquent qu'à des fins pratiques, il n'est pas nécessaire de faire une décomposition de Cholesky et qu'à la place, le lemme d'Ito peut être utilisé pour appliquer des mouvements browniens corrélés. Le conférencier donne également un exemple de construction d'un portefeuille de deux actions avec des mouvements browniens et des valeurs sigma corrélés. Ils expliquent en outre le processus d'application du lemme d'Ito pour trouver la dynamique d'une fonction multidimensionnelle impliquant deux ou trois variables.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de l'application du lemme Ethos pour dériver l'équation différentielle partielle (PDE) de tarification pour le modèle Heston en utilisant une approche martingale. L'EDP de tarification exige que la valeur d'un dérivé, actualisée au présent, soit égale à sa valeur future attendue, le compte monétaire étant piloté par l'équation des taux d'intérêt et le processus de variance étant stochastiquement variable. Bien que la dérivation d'une PDE de tarification pour une variable qui n'est pas observable ou négociable puisse être assez compliquée, l'approche martingale est considérée comme l'une des méthodes les plus simples pour y parvenir. L'EDP de tarification est puissante en ce qu'elle permet de dériver le juste prix d'un contrat et la mesure neutre au risque.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, le conférencier explique l'approche martingale de la tarification des dérivés dans le cadre du modèle de volatilité stochastique. L'approche consiste à définir une quantité comme pi, qui est le rapport de v sur m, puis à s'assurer que cette quantité est une martingale en appliquant Ethos Lemma. L'orateur dérive l'équation de la martingale, qui implique la dérivée simple, un sur m dv moins rv sur m dt. L'économie se compose d'un actif, d'une volatilité non négociable et d'un compte d'épargne. Pour obtenir la solution, le locuteur applique la série de Taylor et gère les termes avec Ito Calculus, ce qui est simple. Cependant, le calcul du terme lié au produit du processus d'écart et du stock est plus complexe. La solution finale implique deux mouvements browniens et un terme supplémentaire qui dépend de la corrélation entre la variance et le stock.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le conférencier discute de la flexibilité et de la stochasticité du processus de variance du modèle Heston par rapport au modèle Black-Scholes. Ils expliquent comment le modèle implique plusieurs paramètres, notamment le kappa, la moyenne à long terme, la volatilité et la corrélation, ainsi qu'un autre paramètre, la valeur initiale du processus de variance. Ils notent également que le plus grand avantage du modèle est que chacun de ces paramètres a un impact individuel sur la volatilité, permettant le calibrage et l'implantation d'un biais intelligent de volatilité. Le conférencier souligne qu'il analysera l'impact de différents changements de paramètres sur les sourires et les compétences de volatilité implicite.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier explique les effets de différents paramètres sur la forme de la volatilité implicite dans les modèles de volatilité stochastique. Le paramètre gamma contrôle la courbure de la volatilité implicite, et son augmentation conduit à une forme de pentification. Les corrélations affectent l'asymétrie de la volatilité implicite, et les corrélations négatives conduisent à une forme de sourire. La vitesse de réversion moyenne (kappa) affecte la structure par terme de la volatilité implicite, un kappa plus grand entraînant une convergence plus rapide vers la moyenne à long terme. Bien que le kappa ait un certain effet sur le niveau et la forme de la volatilité implicite, son impact principal porte sur la structure par terme.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'impact de différents paramètres sur les modèles de volatilité stochastique, en particulier pour contrôler la structure par terme des volatilités implicites. La moyenne à long terme et les paramètres v0 ont un effet similaire sur le modèle. La barre V contrôle le niveau si l'échéance est donnée et v0 contrôle la structure par terme des volatilités implicites. La comparaison des volatilités implicites instantanées aux black-scholes peut déterminer si un modèle de pierre tombale ou des black-scholes est plus approprié. De plus, l'orateur utilise les prix des options pour illustrer les différences entre les modèles Hastel et Black-Scholes. Le contrôle des sourires implicites est généralement associé à des queues plus grosses dans les modèles Hastel, tandis que les modèles Black-Scholes convergent beaucoup plus rapidement vers zéro.
  
  
• 01:25:00 garder à l'esprit lors du calibrage des modèles de volatilité stochastique et de l'examen de l'impact de différents paramètres sur les prix. Bien que l'examen des prix à lui seul ne puisse pas déterminer la forme de la volatilité implicite, le calibrage des options de volatilité implicite hors de la monnaie peut donner une meilleure idée de la précision du modèle. Les différences entre un modèle et le marché peuvent avoir un impact significatif sur les volatilités implicites, en particulier dans les options hors de la monnaie, donc comprendre le biais et le sourire de la volatilité est crucial dans l'étalonnage du modèle. Les différences subtiles entre le modèle Heston et le modèle Black-Scholes nécessitent d'examiner différents éléments au-delà des prix des options, tels que les queues plus lourdes et la forme de la volatilité. Le coefficient de corrélation est également important pour lier la volatilité aux actions, et sa valeur est choisie en fonction des prix du marché pour les options, et non des données historiques.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, l'orateur discute du modèle Heston et de sa supériorité sur le modèle Black Scholes dans la tarification des produits dérivés. Cependant, un défi se pose lorsque l'on essaie de déterminer quelle quantité sur le marché représente la volatilité stochastique réelle. Pour confirmer si le modèle de Heston est affiné, le locuteur vérifie si les variables d'état et la matrice de covariance au carré sont linéaires dans le vecteur d'état, qui se compose de deux variables d'état, s_t et variance_t. L'orateur explique ensuite qu'après avoir effectué la transformation logarithmique, il doit vérifier si tous les termes sont linéaires par rapport au vecteur d'espace d'état. Malgré la complexité du modèle, effectuer la transformation logarithmique ne complique pas significativement les dérivations.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de la matrice de covariance instantanée et déclare qu'elle aide à vérifier si le processus est correct ou non. De plus, une fonction caractéristique pour le modèle de Heston est dérivée et on l'appelle une décomposition pratique qui est pertinente pour une tarification efficace et rapide. L'orateur reconnaît qu'il couvre quelques pages de dérivations dans le livre mais souligne que tous les termes sont explicites et qu'aucun calcul analytique ou numérique n'est nécessaire pour résoudre les ODE pour la fonction caractéristique. Ceci est considéré comme l'un des plus grands avantages du modèle Heston.

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Finance computationnelle : Cours 8/14 (Transformation de Fourier pour la tarification des options)

Finance computationnelle : Cours 8/14 (Transformation de Fourier pour la tarification des options)

Au cours de la conférence sur la transformation de Fourier pour l'évaluation des options, l'instructeur se penche sur l'application de la technique et divers aspects. Ils commencent par expliquer que la transformation de Fourier est utilisée pour calculer la densité et évaluer efficacement les options pour les modèles appartenant à la classe des modèles de diffusion fine. La technique consiste à calculer une intégrale sur l'axe réel, ce qui peut être coûteux en calcul. Cependant, en utilisant le lemme d'inversion, l'instructeur explique comment le domaine pour "u" peut être réduit, permettant le calcul de la partie réelle de l'intégrale. Cette approche permet de minimiser la charge de calcul associée aux calculs coûteux.

Le conférencier discute en outre de l'amélioration de cette représentation à l'aide de la transformation de Fourier rapide (FFT), qui améliore considérablement l'efficacité de la mise en œuvre. En tirant parti des propriétés de la FFT, la charge de travail de calcul est réduite, ce qui rend la tarification des options plus efficace et plus rapide. La session se termine par une comparaison entre la méthode de transformation de Fourier et la méthode des coûts, donnant un aperçu de leurs détails de mise en œuvre respectifs.

À l'avenir, le conférencier plonge dans la première étape de la dérivation d'un moyen rapide de calculer la densité à l'aide de la transformation de Fourier. Cette étape consiste à diviser le domaine en deux et à extraire la partie réelle, ce qui est une opération peu coûteuse en calcul. De plus, le conférencier explore la division des nombres complexes et l'importance de prendre le conjugué, car cela facilite des calculs plus efficaces de la fonction caractéristique. La construction d'une grille pour obtenir la densité pour chaque valeur "x" est également discutée, soulignant l'importance de sélectionner des domaines appropriés et de définir des limites.

Le cours se poursuit par une explication du calcul de la densité de "x" à l'aide d'une intégrale de transformation de Fourier et d'une grille comprenant "n" points de grille. L'instructeur insiste sur la nécessité d'effectuer des calculs de densité pour plusieurs valeurs "x" simultanément. Une fois les grilles définies, une nouvelle intégrale impliquant une fonction nommée "gamma" est introduite, et l'intégration trapézoïdale est utilisée pour approximer l'intégrale discrète. Pour illustrer ce processus, l'enseignant donne un exemple d'intégration trapézoïdale d'une fonction avec une grille équidistante.

L'orateur se penche ensuite sur le processus de configuration des paramètres pour définir la grille de la transformation de Fourier. Ces paramètres englobent le nombre de points de grille, la valeur maximale de "u" et la relation entre delta "x" et delta "u". Une fois ces paramètres établis, les intégrales et les sommations peuvent être substituées, permettant la dérivation d'une fonction pour chaque valeur "x". Le cours comprend une équation incorporant l'intégration trapézoïdale et des fonctions caractéristiques évaluées aux nœuds frontières du trapèze.

La représentation de l'intégrale et l'importance d'utiliser la transformation de Fourier rapide (FFT) dans la tarification des options sont discutées en détail. L'orateur explique qu'en définissant une fonction adaptée à l'entrée dans la FFT, les praticiens peuvent tirer parti des capacités d'évaluation et de mise en œuvre rapides déjà présentes dans la plupart des bibliothèques. Le conférencier poursuit en expliquant les étapes impliquées dans le calcul de cette transformation et comment elle peut être utilisée pour calculer des intégrales. Dans l'ensemble, la conférence souligne l'importance de la FFT dans la finance informatique et son utilité dans la tarification des options.

En plus des sujets susmentionnés, la conférence explore divers aspects liés à la transformation de Fourier pour l'évaluation des options. Celles-ci incluent l'utilisation de techniques d'interpolation pour assurer des calculs précis pour un nombre discret de points, la relation entre la série de Taylor et la fonction caractéristique, l'application de la méthode d'expansion en cosinus pour les fonctions paires et l'utilisation de domaines tronqués pour approximer la densité. Le cours couvre également la récupération de la densité, les résultats numériques obtenus à l'aide du développement de Fourier et la représentation des prix sous forme de matrices et de vecteurs.

Tout au long du cours, l'instructeur met l'accent sur la mise en œuvre pratique de la méthode de transformation de Fourier, discute de l'impact de différents paramètres et met en évidence les avantages et les limites de l'approche. En fournissant des explications complètes et des expériences numériques, le cours donne aux apprenants les connaissances et les outils nécessaires pour appliquer la transformation de Fourier pour la tarification des options dans des scénarios réels.

Le conférencier discute de la récupération de la fonction de densité dans la transformation de Fourier pour l'évaluation des options. Ils soulignent l'importance de sélectionner un nombre suffisamment grand de points (notés "n") dans la transformation pour obtenir des calculs de densité de haute précision. L'enseignant introduit le nombre complexe "i" pour définir le domaine et le maximum, avec "u_max" déterminé par la distribution. En outre, le conférencier explique le besoin d'interpolation, en particulier en utilisant l'interpolation cubique aux points de grille "x_i" pour assurer un calcul précis de la fonction de densité de sortie, même pour les entrées qui ne se trouvent pas sur la grille.

Le conférencier explore en outre les avantages de l'interpolation et sa pertinence pour la tarification des options à l'aide de la transformation de Fourier. Bien que la transformation de Fourier soit avantageuse pour les grilles plus grandes, l'interpolation peut être préférée lorsqu'il s'agit de grands nombres, car elle est comparativement moins coûteuse en calcul que la FFT. L'orateur montre comment fonctionne l'interpolation à travers des exemples de code, soulignant qu'en ajustant les paramètres, il devient possible de calculer les sensibilités et d'obtenir des grecs sans frais supplémentaires. Cette caractéristique rend la technique d'expansion en cosinus idéale pour évaluer des produits dérivés plus exotiques tels que les options barrière et Bermudes.

De plus, le conférencier discute de la relation entre la série de Taylor et la fonction caractéristique en finance computationnelle. La conférence présente la correspondance biunivoque entre la série et la fonction caractéristique, permettant des relations directes sans nécessiter d'intégrales supplémentaires. Le conférencier décrit ensuite la «méthode cos» pour la tarification des options, qui utilise une expansion en cosinus de Fourier pour représenter les fonctions paires autour de zéro. Cette méthode implique le calcul d'intégrales et de coefficients, avec la note cruciale que le premier terme de l'expansion doit toujours être multiplié par moitié.

Le cours examine de plus près le processus de modification du domaine d'intégration de la fonction "g" pour obtenir une plage de support finie de "a" à "b". L'orateur explique l'importance de la formule d'Euler dans la simplification de l'expression et montre comment la substitution de « u » par « k pi divisé par ba » conduit à une expression plus simple impliquant la densité. Le domaine tronqué est désigné par un chapeau et des valeurs spécifiques pour les paramètres "a" et "b" sont choisies en fonction du problème à résoudre. L'orateur souligne qu'il s'agit d'une technique d'approximation et que des choix heuristiques interviennent dans le choix des valeurs de « a » et « b ».

En outre, la conférence explore la relation entre l'expansion de Fourier et la récupération de la densité. En prenant les parties réelles des deux côtés de l'équation, le cours démontre la formule d'Euler qui permet d'exprimer l'intégrale de la densité comme une partie réelle de la fonction caractéristique. Cette méthode élégante et rapide facilite la recherche des relations entre les intégrales de la fonction cible et la fonction caractéristique en utilisant la définition de la fonction caractéristique. La méthode des coûts vise à découvrir ces relations pour calculer les coefficients de dilatation et récupérer la densité. Bien que la méthode introduit des erreurs provenant de la sommation infinie et du domaine de troncature, ces erreurs sont faciles à contrôler.

Le cours se concentre ensuite sur la synthèse du développement en cosinus de Fourier, qui peut atteindre une grande précision même avec un petit nombre de termes. Une expérience numérique impliquant une fonction de densité de probabilité normale (PDF) est menée pour examiner la génération d'erreurs basée sur le nombre de termes, avec la mesure du temps incluse. L'expérience de code est structurée pour générer la densité à l'aide de la méthode du cosinus, définissant l'erreur comme la différence absolue maximale entre la densité récupérée à l'aide de la méthode du cosinus et la PDF normale exacte. La méthode du cosinus ne nécessite que quelques lignes de code pour récupérer la densité à l'aide de la fonction caractéristique, qui est au cœur de la méthode.

De plus, l'orateur discute des résultats numériques de l'expansion de Fourier, qui peuvent être efficacement effectuées en utilisant la notation matricielle. L'erreur diminue à mesure que le nombre de termes d'expansion augmente, avec une erreur aussi faible que 10 ^ -17 obtenue avec 64 termes. L'utilisation d'un plus petit nombre de termes peut entraîner des oscillations ou un ajustement plus faible. L'orateur note que des paramètres tels que le domaine et le nombre de termes d'expansion doivent être soigneusement réglés, en particulier pour les distributions à queue lourde. En outre, la conférence souligne que la densité log-normale peut également être modélisée à l'aide de la fonction caractéristique normale.

À l'avenir, le conférencier se plonge dans le cas log-normal et explique comment sa densité diffère de la distribution normale. En raison de la distribution log-normale, un nombre plus élevé de termes d'expansion est généralement requis. L'enseignant insiste sur l'importance de choisir un nombre approprié de termes pour un type de distribution et un domaine spécifiques.

Le cours insiste sur le fait que la méthode du coût est particulièrement utile pour récupérer de la densité et qu'elle est couramment utilisée pour la tarification des produits dérivés, tels que les options de type européen qui n'ont qu'un paiement à l'échéance. Le conférencier poursuit en expliquant le fonctionnement de la tarification, impliquant l'intégration du produit d'une fonction de densité et de gain sous la mesure neutre au risque.

Au fur et à mesure que la conférence progresse, l'orateur discute d'options plus exotiques, où une fonction de connectivité peut être dérivée et des cosinus peuvent être utilisés. Le terme "densités de transition" est introduit, se référant aux distributions qui décrivent la transition d'un point sur l'axe du temps à un autre. La valeur initiale est donnée en termes de distribution d'une variable aléatoire. La présentation explore en outre la troncature de la densité, où la densité est limitée à un intervalle spécifié. La méthode de la quadrature gaussienne est expliquée, qui consiste à intégrer une sommation des parties réelles d'une fonction caractéristique multipliée par un exposant.

Le cours introduit le concept du prix logarithmique ajusté de l'actif, qui est défini comme le logarithme du stock à maturité divisé par un coefficient d'échelle. Une représentation alternative du gain est présentée, et l'orateur note que le choix de "v" impacte directement le coefficient "h_n". Cette approche peut être utilisée pour évaluer les gains pour plusieurs prix d'exercice, fournissant une méthode pratique pour évaluer les options à différents prix d'exercice simultanément.

Ensuite, l'orateur plonge dans le processus de calcul de l'intégrale d'une fonction de gain multipliée par la densité à l'aide de fonctions exponentielles et cosinus dans la transformation de Fourier pour la tarification des options. Une forme générique pour les deux intégrales impliquées est fournie, et différents coefficients sont sélectionnés pour calculer divers gains. L'orateur souligne l'importance de pouvoir mettre en œuvre cette technique pour plusieurs grèves, permettant la tarification de toutes les grèves à la fois, ce qui permet de gagner du temps et de réduire les dépenses de calcul. Enfin, la représentation tarifaire est présentée sous la forme d'une matrice multipliée par un vecteur.

La formule de mise en œuvre de la transformation de Fourier dans la tarification des options est discutée, impliquant la vectorisation des éléments et des manipulations matricielles. La conférence explique le processus consistant à prendre "k" comme vecteur et à créer une matrice avec des frappes "n_k". Les parties réelles sont calculées pour gérer les nombres complexes. La fonction caractéristique est d'une grande importance car elle ne dépend pas de "x" et joue un rôle clé dans la réalisation d'implémentations efficaces pour plusieurs frappes. La précision et la convergence de l'implémentation dépendent du nombre de termes, et une comparaison d'échantillons est présentée.

De plus, le conférencier se penche sur le code utilisé pour la méthode de transformation de Fourier dans la tarification des options et explique les différentes variables impliquées. Ils introduisent le concept d'une plage pour les coefficients "a" et "b", généralement maintenus à 10 ou 8 pour les modèles de diffusion par sauts. Le code inclut une expression lambda pour la fonction caractéristique, qui est une fonction générique adaptable à différents modèles. L'orateur insiste sur l'importance de mesurer le temps en effectuant plusieurs itérations de la même expérience et en calculant le temps moyen. Enfin, ils illustrent la méthode des coûts et comment elle utilise la plage d'intégration pour supposer une grande volatilité.

Le cours se poursuit par une explication du processus de définition des prix d'exercice et de calcul des coefficients pour la méthode de transformation de Fourier de la tarification des options. Le conférencier souligne que si l'ajustement des paramètres du modèle peut conduire à une meilleure convergence et nécessiter moins de termes pour l'évaluation, il est généralement prudent de s'en tenir aux paramètres de modèle standard. Ils détaillent les étapes de définition d'une matrice et d'exécution de la multiplication matricielle pour obtenir le prix d'exercice actualisé, en comparant l'erreur résultante à celle de la solution exacte. La conférence souligne que l'erreur dépend du nombre de termes et de la plage de frappe choisie.

Le conférencier présente ensuite une comparaison de différentes méthodes d'évaluation des options, y compris la méthode Fast Fourier Transform (FFT) et la méthode Cosine. Ils expliquent que la méthode FFT est plus adaptée pour un grand nombre de points de grille, tandis que la méthode Cosinus est plus efficace pour un plus petit nombre de points de grille. Le conférencier démontre le calcul des prix des options en utilisant les deux méthodes et compare les résultats.

De plus, le cours couvre l'application des méthodes basées sur Fourier dans d'autres domaines de la finance, tels que la gestion des risques et l'optimisation de portefeuille. Le conférencier explique que les méthodes basées sur Fourier peuvent être utilisées pour estimer des mesures de risque telles que la valeur à risque (VaR) et la valeur à risque conditionnelle (CVaR). En combinant les méthodes de Fourier avec des techniques d'optimisation, il est possible de trouver des allocations de portefeuille optimales qui minimisent le risque ou maximisent les rendements.

La conférence se termine en résumant les principaux points abordés tout au long de la présentation. Les techniques de transformation de Fourier fournissent un outil puissant pour la tarification des options et d'autres applications financières. La méthode du cosinus permet une tarification efficace et précise des options en tirant parti de la fonction caractéristique et de l'expansion de Fourier. Le choix des paramètres, tels que le nombre de termes et le domaine, impacte la précision et la convergence de la méthode. De plus, les méthodes basées sur Fourier peuvent être étendues à divers problèmes financiers au-delà de la tarification des options.

Dans l'ensemble, la conférence fournit un aperçu complet des techniques de transformation de Fourier dans la tarification des options, couvrant des sujets tels que la récupération de la densité, l'interpolation, la méthode cos, les distributions log-normales, les grèves multiples, les considérations de mise en œuvre et les comparaisons avec d'autres méthodes de tarification. Les explications du conférencier et des exemples de code permettent d'illustrer l'application pratique de ces techniques en finance et de mettre en évidence leurs avantages en termes de précision et d'efficacité.

• 00:00:00 Dans cette section, nous apprenons la transformation de Fourier pour la tarification des options. La technique de la transformation de Fourier est utilisée pour calculer la densité et évaluer efficacement les options pour les modèles qui appartiennent à la classe d'un modèle de diffusion fine. La technique consiste à calculer une intégrale sur l'axe réel, ce qui peut être coûteux en calcul. Cependant, en utilisant le lemme d'inversion, nous pouvons réduire le domaine pour u et calculer la partie réelle de l'intégrale, ce qui aide à s'éloigner des calculs coûteux. Le bloc comprend une discussion sur l'amélioration de cette représentation à l'aide d'une transformation de Fourier rapide, rendant la mise en œuvre beaucoup plus rapide et efficace. Enfin, la session se termine par une comparaison de la méthode de transformation de Fourier et de la méthode des coûts, ainsi que les détails de mise en œuvre de ces techniques.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de la première étape de la dérivation d'un moyen rapide de calculer la densité pour utiliser la transformation de Fourier rapide pour la tarification des options. La première étape consiste à diviser le domaine en deux et à prendre la partie réelle, ce qui est une opération bon marché. De plus, le conférencier discute de la division des nombres complexes et de la prise du conjugué, ce qui permet un calcul plus efficace de la fonction caractéristique. La conférence couvre également la construction d'une grille pour obtenir la densité pour chaque x, ce qui implique de choisir un certain domaine et de définir des limites.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section du cours, le professeur explique comment calculer la densité de x en utilisant une intégrale de transformation de Fourier et une grille de n nombre de points de grille. Ils précisent que le calcul de la densité doit être effectué pour plusieurs x en même temps. Une fois les grilles définies, elles définissent une nouvelle intégrale de 0 à l'infini d'une fonction nommée gamma et déterminent l'intégration trapézoïdale à partir de l'intégrale discrète. Le professeur donne un exemple pour expliquer comment effectuer une intégration trapézoïdale pour une fonction avec une grille équidistante.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute du processus de configuration des paramètres afin de définir la grille pour la transformation de Fourier. Ces paramètres comprennent le nombre de points de grille, la valeur maximale de u et une relation entre delta x et delta u. Une fois ces paramètres définis, les intégrales et les sommations peuvent être substituées et une fonction peut être obtenue pour chaque valeur x. L'orateur fournit une équation qui comprend une intégration trapézoïdale et des fonctions de caractères évaluées aux nœuds limites du trapèze.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de la représentation de l'intégrale et de l'importance d'utiliser la transformation de Fourier rapide (FFT) dans la tarification des options. L'orateur explique qu'en définissant une fonction qui correspond aux entrées de la FFT, nous pouvons bénéficier de l'évaluation et de la mise en œuvre rapides de la FFT déjà disponibles dans la plupart des bibliothèques. L'orateur poursuit ensuite en expliquant les étapes impliquées dans le calcul de cette transformation et comment elle peut être utilisée pour calculer des intégrales. Dans l'ensemble, la conférence met en évidence la pertinence de la FFT dans la finance informatique et son utilité pour la tarification des options.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de la transformation de Fourier pour l'évaluation des options. Ils commencent par définir la fonction caractéristique et la grille que nous utiliserions pour la transformation de Fourier. L'enseignant note la nécessité de l'interpolation, car nous avons un nombre discret de points, par exemple, quelques milliers de points, mais des millions de points sont nécessaires pour un bon fonctionnement. Ils notent que l'intégration trapézoïdale de la fonction caractéristique aide à récupérer la densité, mais elle n'est toujours pas bénéfique. L'enseignant explique qu'il est possible de réduire le nombre d'évaluations et d'opérations nécessaires à la transformation de Fourier discrétisée en utilisant la transformation de Fourier rapide. Ils montrent un graphique qui compare la réduction des opérations lorsque la dimensionnalité des points de la grille augmente, où la complexité obtenue avec la transformation de Fourier rapide est nettement meilleure.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier explique la transformation de Fourier et son utilisation dans la tarification des options. Ils se concentrent sur un terme et définissent la fonction corrective de densité calculée à partir de la fonction conjonctive. En utilisant la transformation de Fourier rapide, le conférencier souligne que le plus grand avantage est que les termes de chaque côté de la diagonale dans la matrice m sont en fait les mêmes termes, et ce fait peut être utilisé pour réduire le nombre d'opérations nécessaires au calcul. De plus, la conférence aborde les propriétés de la symétrie et de la similitude entre les termes du compteur du côté opposé de la diagonale. Le cours donne une explication détaillée du terme de correction qui est essentiel pour représenter le problème en zk.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'instructeur discute de l'application de la transformation de Fourier rapide (FFT) en finance informatique. L'algorithme FFT permet de réduire le nombre de calculs nécessaires en utilisant les propriétés de similarité des termes dans les métriques. Cependant, pour utiliser la FFT, la formulation doit être sous une forme spéciale que l'algorithme peut digérer. L'instructeur souligne que différentes techniques d'intégration numérique peuvent être utilisées pour récupérer la densité, mais la formulation doit être telle que la FFT puisse être appliquée. Enfin, l'instructeur fournit une expérience montrant le codage de la FFT pour une distribution gaussienne et comment différents paramètres impactent la récupération de densité.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute des détails concernant la fonction de densité de récupération dans la transformation de Fourier pour la tarification des options. Le nombre de points utilisés dans la transformation est n, qui doit être suffisamment grand pour obtenir une densité de haute précision. L'enseignant définit i comme un nombre complexe utilisé pour définir le domaine et le maximum, u max étant déterminé par la distribution. L'enseignant poursuit en expliquant comment gérer l'interpolation, en utilisant une interpolation cubique à la grille xi sur les points fxi. Cette interpolation est nécessaire pour s'assurer que la fonction de densité de sortie est calculée avec précision même pour les entrées qui ne sont pas dans le réseau.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier discute des avantages de l'interpolation et de son lien avec la tarification des options à l'aide de la transformation de Fourier. L'orateur mentionne que si la transformation de Fourier est bénéfique pour les grandes boîtes, l'interpolation peut être préférée pour les grands nombres car elle est comparativement moins chère que la FFT. L'orateur montre également comment fonctionne l'interpolation via le code et explique qu'en modifiant les paramètres, il est possible de calculer les sensibilités et d'obtenir des grecs sans frais supplémentaires, ce qui rend la technique d'expansion en cosinus idéale pour évaluer des dérivés plus exotiques tels que les options barrière et bermuda.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de la relation entre la série de Taylor et la fonction caractéristique utilisée en finance computationnelle. La série a une correspondance biunivoque avec la fonction caractéristique, permettant des relations directes sans intégrales supplémentaires. Le conférencier décrit ensuite la méthode cos pour la tarification des options, qui utilise une expansion en cosinus de Fourier pour représenter les fonctions paires autour de zéro. La méthode implique le calcul d'intégrales et de coefficients, et il est important de garder à l'esprit que le premier terme de l'expansion doit toujours être multiplié par moitié.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, l'orateur discute de la nécessité de changer le domaine d'intégration de la fonction g afin d'avoir une plage de support finie de a à b. Ils expliquent l'importance de la formule d'Euler pour simplifier l'expression et montrent comment la substitution de u par k pi divisé par ba conduit à une expression plus simple impliquant la densité. Le domaine tronqué est désigné par un chapeau et des valeurs spécifiques pour les paramètres a et b sont choisies en fonction du problème à résoudre. L'orateur souligne qu'il s'agit d'une technique d'approximation et qu'il y a des choix heuristiques impliqués dans la sélection des valeurs de a et b.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, la conférence explore la relation entre l'expansion de Fourier et la récupération de densité. En prenant les parties réelles des deux côtés de l'équation, le cours montre que nous disposons d'une formule d'Euler qui nous permet d'exprimer l'intégrale de la densité comme une partie réelle de la fonction caractéristique. C'est un moyen très élégant et rapide de trouver la relation entre les intégrales de la fonction cible et la fonction caractéristique en utilisant la définition de la fonction monétaire. La méthode des coûts consiste à trouver ces belles relations entre les intégrales de la fonction cible et la fonction caractéristique pour calculer les coefficients de dilatation et la récupération de la densité. La méthode introduit des erreurs qui proviennent de la sommation infinie et du domaine de troncature, mais ces erreurs sont faciles à contrôler.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section du cours sur la transformation de Fourier pour la tarification des options, l'accent est mis sur le résumé de l'expansion du cosinus de Fourier. L'expansion peut atteindre une grande précision même pour quelques termes présents, comme le montre une expérience numérique impliquant un PDF normal, où la génération d'erreurs est vérifiée en fonction du nombre de termes et le temps est mesuré. L'expérience de code est structurée pour générer la densité à l'aide de la méthode du cosinus et définir l'erreur comme la différence absolue maximale de densité, qui est récupérée à l'aide de la méthode du cosinus et comparée à la PDF normale exacte. La méthode du cosinus ne nécessite que quelques lignes de code pour récupérer la densité à l'aide de la fonction caractéristique, qui est le cœur de la méthode.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, l'orateur discute des résultats numériques du développement de Fourier, qui peuvent être exécutés efficacement avec la notation matricielle. L'erreur diminue à mesure que le nombre de termes d'expansion augmente, avec une erreur de 10^-17 obtenue avec 64 termes. Un plus petit nombre de termes peut entraîner des oscillations ou un ajustement moins bon. L'orateur note que des paramètres tels que le domaine et le nombre de termes d'expansion doivent être ajustés, en particulier pour les distributions à queue lourde. La densité logarithmique normale peut également être modélisée à l'aide de la fonction caractéristique normale.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute du cas log-normal et comment sa densité diffère de la distribution normale. En raison de la distribution log-normale, un nombre plus élevé de termes d'expansion est nécessaire. L'enseignant encourage à conserver le nombre de termes pour un type de distribution et de domaine spécifique. La méthode du coût est puissante pour récupérer de la densité et est principalement utilisée pour la tarification des produits dérivés, tels que les options de type européen qui n'ont qu'un paiement à l'échéance. L'enseignant explique le fonctionnement de la tarification, qui consiste à intégrer le produit d'une fonction de densité et de gain sous la mesure neutre au risque.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, la vidéo traite d'options plus exotiques, dans lesquelles une fonction de connectivité peut être dérivée et des cosmétiques peuvent être utilisés. Les distributions de terme sont des densités de transition, ce qui signifie que lors du calcul de la densité de transition d'un point sur l'axe du temps à un autre, la valeur initiale est donnée en termes de distribution d'une variable aléatoire. La présentation aborde ensuite la troncature de la densité, où la densité est tronquée à un intervalle spécifié, et la méthode de la quadrature gaussienne, qui consiste à intégrer une somme de parties réelles d'une fonction caractéristique multipliée par un exposant. Le prix logarithmique ajusté de l'actif est défini comme le logarithme du stock à l'échéance divisé par un coefficient d'échelle, et une représentation alternative du gain est présentée. La vidéo note que le choix de v a un impact direct sur le coefficient hn et que cette approche peut être utilisée pour évaluer les gains pour plusieurs frappes.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, l'orateur discute du processus de calcul de l'intégrale sur une fonction de gain multipliée par la densité grâce à l'utilisation de fonctions exponentielles et cosinus dans la transformation de Fourier pour la tarification des options. L'orateur poursuit en expliquant une forme générique pour deux intégrales impliquées et comment la sélection de différents coefficients permet de calculer divers gains. Le conférencier souligne l'importance de pouvoir mettre en œuvre cette technique pour plusieurs grèves, permettant de tarifer toutes les grèves à la fois, économisant ainsi du temps et réduisant les dépenses. Enfin, l'orateur explique la représentation tarifaire sous la forme d'une matrice multipliée par un vecteur.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section du cours, la formule de mise en œuvre de la transformation de Fourier pour la tarification des options est discutée. Cela implique de vectoriser des éléments et des manipulations matricielles. L'implémentation consiste à prendre k comme vecteur et à créer une matrice avec nk frappes. La formule consiste à calculer des parties réelles pour gérer les nombres complexes. La fonction caractéristique est d'une grande importance car elle ne dépend pas de x, et elle joue un rôle clé dans la réalisation d'implémentations efficaces pour des frappes multiples. La précision et la convergence de l'implémentation dépendent du nombre de termes, et une comparaison d'échantillons est présentée.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, l'orateur discute du code utilisé pour la méthode de transformation de Fourier pour la tarification des options et explique les différentes variables impliquées. Ils introduisent le concept de plage pour les coefficients a et b et expliquent comment il est généralement maintenu à 10 ou 8 pour les modèles de diffusion par sauts. Le code inclut également une expression lambda pour la fonction caractéristique, qui est une fonction générique qui peut fonctionner pour différents modèles. L'orateur souligne l'importance de mesurer le temps en effectuant plusieurs itérations de la même expérience et en prenant le temps moyen pour chacun d'eux. Enfin, ils illustrent la méthode du coût et comment elle utilise la plage d'intégration pour supposer une grande volatilité.
  
  
• 01:40:00 Dans cette section, l'orateur explique le processus de définition des prix d'exercice et de calcul des coefficients pour la méthode de transformation de Fourier de la tarification des options. L'orateur note que même si le réglage des paramètres du modèle peut conduire à une meilleure convergence et moins de termes nécessaires à l'évaluation, il est généralement prudent de s'en tenir aux paramètres de modèle standard. L'orateur détaille ensuite les étapes de définition d'une matrice et d'exécution de la multiplication matricielle pour obtenir le prix d'exercice actualisé, l'erreur résultante étant comparée à celle de la méthode des trous noirs. De plus, l'orateur montre comment l'introduction de frappes supplémentaires peut conduire à une fonction plus fluide et faciliter l'étalonnage du modèle à plusieurs frappes.