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Finance computationnelle : Cours 9/14 (Simulation de Monte Carlo)
Finance computationnelle : Cours 9/14 (Simulation de Monte Carlo)
La conférence couvre plusieurs sujets liés à la simulation de Monte Carlo et à l'intégration dans la finance computationnelle, offrant un aperçu des différentes approches et techniques.
Le conférencier commence par présenter des problèmes d'intégration et montre comment calculer des intégrales à l'aide de l'échantillonnage de Monte Carlo. Ils expliquent deux approches : l'approche classique pour l'intégration et l'intégration basée sur la valeur attendue. A travers des démonstrations de programmation en Python, l'enseignant montre comment analyser et rendre les simulations plus efficaces. Ils discutent de l'impact de la régularité sur la convergence et des différents types de convergence.
En outre, le cours couvre deux techniques de discrétisation importantes, à savoir Euler et Milstein, et explique comment contrôler l'erreur en fonction du pas de temps dans la simulation. Le conférencier insiste sur les principes et l'histoire de la simulation de Monte Carlo, utilisée dans divers domaines depuis près de 90 ans. Il a gagné en popularité parmi les physiciens dans les années 1930, en particulier lors du projet Manhattan.
L'importance du calcul de la valeur attendue d'un gain futur en finance computationnelle est discutée. Il s'agit d'intégrer sur l'axe réel en utilisant la densité du stock, en considérant des taux d'intérêt constants ou dépendants du temps. L'intégration de Monte Carlo, associée à l'échantillonnage et à la théorie des probabilités, est présentée comme une technique qui fournit des sorties variables avec chaque simulation. Le cours met l'accent sur son application à des problèmes hautement dimensionnels et sur la capacité de contrôler la variance de la distribution des erreurs en ajustant les paramètres de la simulation. L'enseignant discute également des méthodes d'amélioration de l'échantillonnage et de la simulation avec Monte Carlo.
Une méthode spécifique d'estimation des intégrales à l'aide de la simulation de Monte Carlo est expliquée. Cette méthode consiste à échantillonner uniformément des points dans une zone rectangulaire et à compter la proportion d'échantillons sous la courbe pour estimer l'intégrale. Bien qu'elle ne soit pas couramment utilisée en finance, cette approche peut être utile pour les problèmes de grande dimension. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre la fonction à intégrer pour saisir efficacement la zone d'intérêt.
La conférence se penche également sur les limites et les défis de la simulation de Monte Carlo en finance. Bien qu'il fournisse des estimations approximatives, les résultats peuvent être très imprécis, en particulier pour les simulations complexes. Le conférencier explique que l'erreur attendue dans les simulations de Monte Carlo diminue de la racine carrée du nombre de simulations, ce qui entraîne une intensité de calcul. La conférence explore plus en détail la relation entre les approches intégrales et les attentes, en présentant un exemple de la façon dont elles sont liées. En finance, l'approche par anticipation est généralement considérée comme plus efficace et précise que la simulation traditionnelle de Monte Carlo.
Le cours couvre la loi des grands nombres et sa relation avec les variables aléatoires indépendantes. L'estimation de la variance et le calcul de l'espérance pour déterminer la moyenne sont discutés. Une comparaison est présentée entre « l'approche naïve » et l'approche par anticipation, cette dernière s'avérant significativement plus précise même avec moins d'échantillons. L'enseignant démontre le code pour réaliser cette simulation en insistant sur la nécessité de préciser deux points pour la démarche d'intégration de la fonction.
Différents exemples d'intégrales stochastiques rencontrées en finance sont discutés, mettant en évidence la sommation du mouvement brownien sur des pas de temps, la sommation du mouvement brownien sur des incréments et la multiplication du mouvement brownien par des incréments. Un cas plus concret est présenté, où une fonction g(t) est intégrée de 0 à T avec une fonction g(s)dW(s). La conférence explique comment diviser la plage d'intégration en sous-intervalles plus petits et utiliser la simulation de Monte Carlo pour approximer l'intégrale. L'importance de la taille de l'échantillon et de la plage de valeurs est soulignée pour des résultats précis.
L'orateur explique comment résoudre numériquement une intégrale déterministe par un processus de partition et d'approximation. Ils introduisent l'intégrale Ito et expliquent l'évaluation de la fonction GT au début de l'intervalle, avec l'intégrale choisie à la frontière gauche. À l'aide d'un exemple avec une fonction GT de T au carré, l'enseignant montre comment obtenir l'espérance et la variance avec la propriété d'isométrie Ito. Le code Python est fourni pour simuler le calcul, et les étapes impliquées sont expliquées.
La génération du mouvement brownien et son utilisation dans la construction d'un processus et la définition d'une intégrale sont discutées. La conférence décrit le processus de génération d'une distribution et de son utilisation pour construire le processus de mouvement brownien. L'impact de la suppression de la condition d'échelle sur la distribution et la variance est démontré. Le conférencier explique également une astuce pour résoudre les intégrales impliquant le mouvement brownien en appliquant le lemme d'Ito. Enfin, le cours montre comment considérer la fonction x au carré pour calculer l'intégrale.
L'application du lemme d'Ito pour obtenir la dynamique d'une fonction égale à tw au carré de t est discutée. En appliquant le lemme d'Ito à x au carré, la conférence révèle un terme qui est calculé par intégration, résultant en une distribution pi au carré au lieu d'une distribution normale. L'orateur insiste sur l'importance de l'expérience pour deviner quel type de fonction appliquer pour obtenir le résultat souhaité. Le code est modifié pour basculer entre les intégrales, et une augmentation du nombre d'échantillons est suggérée pour améliorer le résultat.
Les simulations de Monte Carlo, les routines numériques et l'importance des générateurs de nombres aléatoires de bonne qualité sont discutés. La conférence explique le lemme d'Ito et propose une approche heuristique pour comprendre pourquoi dwt dwt est égal à zéro. On observe que la diminution de la taille de la grille conduit à une convergence plus rapide de la variance par rapport à l'espérance. Une expérience est menée pour démontrer que l'espérance tend vers zéro à un rythme plus lent tandis que la variance se rapproche de zéro. L'orateur donne une intuition sur la raison pour laquelle dwt dwt est égal à zéro, tout en reconnaissant que la preuve théorique de cette relation est assez compliquée.
Le cours se penche sur la convergence de deux fonctions similaires, g1 et g2, et étudie leurs attentes lorsqu'elles sont échantillonnées à partir d'un mouvement brownien. Ces fonctions ont des limites de 0 lorsque x tend vers moins l'infini et de 1 lorsque x tend vers plus l'infini. L'enseignant calcule l'erreur pour un nombre croissant d'échantillons simulés et présente un graphique comparant l'erreur au nombre d'échantillons. La première fonction, avec une courbe non lisse et une large plage d'oscillation, s'oppose à la seconde fonction, qui a une courbe lisse et converge plus rapidement.
La convergence est mise en évidence comme une considération cruciale lors de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo en finance. La conférence explique la différence entre convergence faible et forte, la convergence forte étant plus puissante que faible. Des erreurs peuvent se produire dans la convergence lorsqu'il s'agit de fonctions non lisses et de gains de type numérique, conduisant à des résultats d'évaluation sensiblement différents. Comprendre les différences et les implications des deux types de convergence est essentiel pour garantir des simulations et des évaluations financières précises.
La conférence traite de la convergence faible et forte dans le contexte des simulations de Monte Carlo et des algorithmes de tarification. Alors qu'une faible convergence correspond aux moments au niveau des attentes, une forte convergence est nécessaire pour des gains précis dépendant du chemin. Un algorithme de tarification Monte Carlo complet consiste à définir une grille depuis le moment présent jusqu'à la date de paiement du contrat, une équation de tarification et un pilote stochastique pour l'actif. Les simulations de Monte Carlo sont nécessaires lorsque les évaluations en forme fermée ne sont pas possibles en raison de la complexité du processus de stock. La grille est généralement équidistante, mais dans certains cas, des stratégies alternatives peuvent être employées.
Le professeur insiste sur la précision et les contraintes temporelles de la simulation Monte Carlo. On note que si l'augmentation du nombre de pas de temps améliore la précision, elle augmente également le temps de simulation. Des techniques avancées ou des solutions de forme fermée qui permettent des pas de Monte Carlo plus grands peuvent être bénéfiques pour atteindre à la fois précision et vitesse. La conférence procède ensuite à la définition des grilles, des atouts et des gains pour une option de type européen. L'état final de l'option dépend du moment des observations. Le cours explique comment calculer le prix de l'option en prenant l'espérance sous la mesure de la file d'attente et en l'actualisant, tout en calculant également l'erreur standard pour mesurer la variabilité des résultats obtenus.
Le concept d'erreur standard est discuté dans le contexte de la simulation de Monte Carlo. La conférence explique que l'espérance peut être calculée en utilisant la loi forte des grands nombres, et la variance de la moyenne peut être calculée en supposant que les échantillons sont tirés indépendamment. L'erreur type, qui mesure la variabilité de l'espérance compte tenu d'un certain nombre de chemins, peut être déterminée en divisant la variance par la racine carrée du nombre de chemins. Plus le nombre d'échantillons augmente, plus l'erreur diminue. Typiquement, l'augmentation du nombre d'échantillons par un facteur de quatre réduira l'erreur par un facteur de deux. Une méthode classique pour simuler des équations différentielles stochastiques est la discrétisation d'Euler, qui est simple mais a ses limites.
L'enseignant discute de l'utilisation des équations différentielles stochastiques et de la discrétisation d'Euler dans les simulations de Monte Carlo. Le processus consiste à définir une grille, à effectuer une simulation et à mesurer la différence entre la solution exacte et la simulation par erreur absolue. Il est essentiel de s'assurer que le caractère aléatoire des variables dans les versions exacte et discrétisée est le même pour assurer la comparabilité. Le cours met également l'accent sur l'importance de la vectorisation dans les simulations de Monte Carlo, car elle est plus efficace que l'utilisation de doubles boucles pour chaque pas de temps et chemin. Cependant, il est important de noter que bien que cette approche simplifie le processus, elle s'accompagne de limitations en termes de précision et de vitesse.
La solution exacte pour le mouvement brownien avec un terme de dérive et un terme de volatilité (r et sigma) est examinée, en utilisant le mouvement brownien généré dans la représentation exacte et le même mouvement utilisé dans l'approximation. La conférence compare l'erreur absolue et l'erreur moyenne dans la convergence faible, soulignant qu'une convergence faible suffit pour évaluer un type de gain européen, mais peut ne pas être suffisante pour les gains dépendant du chemin. Des graphiques sont présentés pour illustrer les chemins générés pour la discrétisation d'Euler par rapport à la solution exacte, où des différences entre les deux peuvent être observées pour certains chemins. Le cours se termine par une comparaison des erreurs fortes et faibles.
Le conférencier discute de la mise en œuvre de simulations de Monte Carlo à l'aide de code. Ils expliquent que pour quantifier l'erreur, une mesure de l'erreur doit être utilisée, comme indiqué précédemment dans le cours. Le code génère des chemins et compare les valeurs exactes avec l'approximation à l'aide d'une simulation multicolore. Les sorties sont des chemins temporels pour le stock et les valeurs exactes. L'orateur insiste sur l'importance de générer les mêmes mouvements browniens pour l'approximation et la solution exacte afin de les comparer au niveau de l'erreur. Pour mesurer les erreurs de convergence faibles et fortes, ils définissent une plage du nombre d'étapes et effectuent des simulations de Monte Carlo pour chaque étape. Le code génère deux types d'erreurs : erreur faible et erreur forte.
Le conférencier discute du processus de simulation impliqué dans la méthode de Monte Carlo et comment cela peut prendre du temps parce que la simulation doit être répétée plusieurs fois. Les résultats sont présentés à travers des graphiques de convergence faible et forte, où l'erreur de convergence faible est représentée par la ligne bleue à croissance lente, tandis que l'erreur de convergence forte suit une racine carrée de forme delta T, confirmant l'analyse. Le conférencier explique que l'erreur peut être considérablement réduite grâce à la technique de discrétisation de Milstein, qui dérive des termes supplémentaires en appliquant l'expansion de Taylor. Bien qu'il implique plus de travail pour arriver à la formule finale, le schéma de Milstein nécessite la dérivée du terme de volatilité, qui n'est pas toujours disponible analytiquement.
Le conférencier explique l'utilisation de la simulation de Monte Carlo en finance computationnelle, en particulier dans le mouvement brownien géométrique. Ils montrent comment calculer le terme de volatilité au sens de la distribution et le comparent au schéma d'Euler. Bien que la simulation de Monte Carlo ait un taux de convergence plus rapide que la méthode d'Euler, il peut être difficile de dériver la dérivée dans des modèles impliquant plusieurs dimensions, car elle nécessite des calculs informatiques supplémentaires. De plus, l'orateur compare l'erreur absolue au sens faible et fort entre les deux schémas, soulignant que l'erreur forte de Monte Carlo est linéaire en delta t, tandis que l'erreur faible d'Euler est du même ordre. Enfin, ils fournissent une implémentation de code de simulation Monte Carlo pour générer des trajectoires en mouvement brownien géométrique et analyser sa forte convergence.
L'orateur discute de l'impact de différentes techniques de discrétisation sur la convergence en utilisant l'exemple du mouvement de Black-Scholes ou du mouvement brownien géométrique. L'analyse des schémas d'Euler et de Milstein sert d'illustration de l'impact des différentes techniques de discrétisation. L'orateur compare les erreurs entre les schémas de Milstein et d'Euler, montrant que l'erreur du schéma de Milstein est bien inférieure à celle d'Euler, bien qu'elle ne soit pas toujours applicable. L'avantage de différents schémas peut ne pas être évident lorsque l'on regarde les résultats finaux, mais compte tenu des dépenses de calcul de la simulation, le temps devient crucial. Par conséquent, l'utilisation de grands pas de temps serait essentielle si nous voulons effectuer des simulations rapides de Monte Carlo.
Le conférencier discute ensuite du rôle des générateurs de nombres aléatoires (GNA) dans les simulations de Monte Carlo. Ils soulignent l'importance d'utiliser des GNA de bonne qualité pour garantir des résultats précis et fiables. Le conférencier mentionne que les générateurs de nombres pseudo-aléatoires (PRNG) sont couramment utilisés dans les simulations et explique comment ils génèrent des séquences de nombres qui se rapprochent du caractère aléatoire. Ils soulignent également le besoin de reproductibilité dans les simulations en utilisant une valeur de départ fixe pour le RNG. Ensuite, le conférencier discute du concept de variables antithétiques, qui est une technique de réduction de la variance utilisée dans les simulations de Monte Carlo. L'idée derrière les variables antithétiques est de générer des paires de variables aléatoires qui ont des effets opposés sur la quantité d'intérêt. En prenant la moyenne des résultats obtenus à partir des variables originales et de leurs homologues antithétiques, la variance de l'estimation peut être réduite. Cette technique est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de distributions symétriques.
Le cours introduit ensuite le concept de variables de contrôle comme une autre technique de réduction de la variance. Les variables de contrôle impliquent l'introduction d'une fonction connue dans le processus de simulation qui est corrélée avec la quantité d'intérêt. En soustrayant l'estimation obtenue à partir de la fonction connue de l'estimation obtenue à partir de la fonction cible, la variance de l'estimation peut être réduite. Le conférencier fournit des exemples pour illustrer comment les variables de contrôle peuvent être appliquées dans la pratique. Outre les techniques de réduction de la variance, l'enseignant aborde le concept d'échantillonnage stratifié. L'échantillonnage stratifié consiste à diviser l'espace de l'échantillon en strates et à échantillonner à partir de chaque strate séparément. Cette approche garantit que chaque strate est représentée dans l'échantillon, ce qui conduit à des estimations plus précises. Le cours explique la procédure de mise en œuvre de l'échantillonnage stratifié et met en évidence ses avantages par rapport à l'échantillonnage aléatoire simple.
Enfin, le conférencier explore le concept d'échantillonnage d'importance. L'échantillonnage par importance est une technique utilisée pour estimer la probabilité d'événements rares en attribuant des probabilités plus élevées aux échantillons les plus susceptibles de produire l'événement souhaité. La conférence explique comment l'échantillonnage d'importance peut améliorer l'efficacité des simulations de Monte Carlo pour l'estimation d'événements rares. Le conférencier fournit des exemples et discute de l'importance de choisir une distribution d'échantillonnage appropriée pour des résultats précis.
La conférence couvre une gamme de sujets liés aux simulations de Monte Carlo, y compris les problèmes d'intégration, le calcul d'intégrales à l'aide de l'échantillonnage de Monte Carlo, les démonstrations de programmation, l'analyse de la convergence, les techniques de discrétisation, les principes et l'histoire de la simulation de Monte Carlo, l'application en finance informatique, la réduction de la variance techniques et échantillonnage d'importance. Le conférencier donne un aperçu de la théorie et de la mise en œuvre pratique des simulations de Monte Carlo et souligne leur pertinence dans divers domaines.
Finance computationnelle : Cours 10/14 (Simulation Monte Carlo du modèle Heston)
Finance computationnelle : Cours 10/14 (Simulation Monte Carlo du modèle Heston)
La conférence se concentre sur l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés, en particulier les options européennes, en utilisant le modèle Heston difficile. Il commence par un exercice d'échauffement où les options européennes et numériques sont évaluées à l'aide de Monte Carlo et du modèle simple Black-Scholes. La simulation du processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR), qui modélise la variance dans le modèle de Heston, est discutée, en soulignant la nécessité d'un échantillonnage précis à partir de cette distribution. Le conférencier démontre une simulation exacte du modèle CIR, soulignant ses avantages dans la génération d'échantillons précis.
Ensuite, le conférencier introduit le concept de simulation presque exacte, qui permet des pas de temps plus grands et une plus grande précision par rapport à la discrétisation d'Euler. Le modèle de Heston est simulé à l'aide des schémas d'Euler et de Milstein, et les résultats sont comparés. Il est noté qu'une faible convergence est importante pour les gains de type européen, tandis qu'une forte convergence est importante pour les gains dépendant du chemin. L'ajustement du nombre d'étapes ou de chemins est nécessaire en fonction du type de gain et de la qualité souhaitée des résultats, compte tenu des contraintes de temps de calcul dans les applications du monde réel.
Le temps de calcul requis pour les évaluations est discuté, et une comparaison de code entre les schémas de discrétisation d'Euler et de Milstein est présentée. Le conférencier donne des conseils sur l'optimisation du code pour les environnements de production, soulignant que le stockage de chemins entiers peut ne pas être nécessaire pour l'évaluation des gains qui ne nécessite que la valeur finale du stock. La conférence fournit également la solution exacte en tant qu'implémentation simplifiée du modèle Black-Scholes.
La tarification des options numériques ou en espèces ou rien à l'aide de la simulation de Monte Carlo est expliquée, mettant en évidence les différences dans le calcul des gains par rapport aux options européennes. Des diagnostics et des résultats sont présentés pour comparer les approches pour les deux types d'options. La conférence reconnaît les limites des simulations de Monte Carlo pour les options avec des gains dépendant du terminal, où une forte convergence n'est pas présente. La nature générique du code est soulignée, ce qui le rend applicable à d'autres modèles tels que le modèle Heston.
La conférence plonge dans les conditions requises pour que le modèle de Heston se comporte bien et explique comment les techniques de discrétisation peuvent affecter ces conditions. L'impact des changements du paramètre de volatilité sur le comportement du modèle est démontré par des graphiques, soulignant que le processus ne doit pas devenir négatif. Les limites de la discrétisation d'Euler dans le maintien de ces conditions sont également mises en évidence. La probabilité de réalisations négatives dans la prochaine itération du modèle de Heston avec simulation de Monte Carlo est discutée. La probabilité de réalisations négatives est calculée sur la base de la relation entre certains paramètres, et l'importance d'aligner les trajectoires de Monte Carlo avec le modèle est soulignée pour éviter des différences de prix importantes. Deux approches pour traiter les valeurs négatives dans la simulation du modèle de Heston sont discutées : la troncature et le schéma d'Euler réfléchissant. Les avantages et les inconvénients de chaque approche sont comparés et l'impact de pas de temps plus petits sur la réduction du biais est mentionné, bien qu'à un coût de calcul plus élevé.
La conférence explore l'utilisation de la simulation exacte pour le processus CIR dans le modèle Heston, permettant l'échantillonnage directement à partir de la distribution chi carré non centrale. Cette approche évite le besoin de petits pas de temps et permet un échantillonnage à des moments d'intérêt spécifiques. Le code de calcul pour la simulation est décrit, en insistant sur sa simplicité et son optimalité pour générer des échantillons. La conférence se penche sur l'intégration du processus du modèle Heston pour les valeurs X et la variance, mettant en évidence la simplification obtenue grâce à la substitution. L'importance d'un bon ordre des processus dans les simulations multidimensionnelles est soulignée, ainsi que la recommandation d'utiliser de grands pas de temps pour une intégration plus facile. La conférence aborde l'importance des simulations à grands pas de temps pour la tarification des options à des dates spécifiques, visant à réduire le temps de calcul tout en maintenant la qualité. Des simulations exactes utilisant un échantillonnage à partir de la distribution chi carré non centrale sont recommandées, sans introduire d'approximations supplémentaires. La conférence traite également de l'impact de delta t sur la précision de la simulation et suggère d'étudier son influence sur les résultats.
Le concept d'erreur en finance computationnelle est discuté, la conférence présentant une expérience numérique qui analyse les performances de la simulation presque exacte du modèle de Heston. La conférence explique qu'en simplifiant les intégrales et en utilisant la simulation presque exacte du processus CIR, la simulation devient déterministe plutôt que stochastique. L'enseignant effectue une expérience numérique pour évaluer les performances de ce schéma simplifié dans la simulation du modèle de Heston.
La conférence explore en outre le compromis entre l'effort de calcul et la petite erreur introduite dans le cadre de la finance computationnelle. Le conférencier souligne la nécessité de calibrer le modèle aux données du marché, car la condition de Feller pour les processus de volatilité n'est souvent pas satisfaite dans la pratique. La conférence note que les coefficients de corrélation pour le modèle Heston sont généralement fortement négatifs, potentiellement en raison de considérations de schéma numérique.
Le conférencier discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés exotiques et souligne l'importance de calibrer le modèle sur des instruments liquides. La précision des prix est assurée en simulant des trajectoires de Monte Carlo à l'aide de paramètres obtenus à partir de l'étalonnage du modèle et en tenant compte des instruments de couverture liés au dérivé. L'enseignant souligne la supériorité de la simulation presque exacte sur la discrétisation d'Euler, même avec moins de pas de temps, et explique que la principale source d'erreur d'Euler réside dans la discrétisation problématique du processus de variance sous des paramètres extrêmes ou des violations de la condition de Feller.
La précision de la discrétisation d'Euler dans le modèle de Heston est explorée à travers des expériences avec différentes options, y compris des options profondément dans la monnaie, hors de la monnaie et à la monnaie. La conférence présente le code utilisé dans l'expérience, en se concentrant sur la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte, qui implique l'échantillonnage CIR et la simulation du processus de log stock en utilisant le paramètre de non-centralité.
Le conférencier discute des paramètres et des configurations des simulations pour évaluer les options européennes en utilisant à la fois la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte. La simulation exacte du processus CIR, la corrélation des mouvements browniens et la transformation exponentielle font partie intégrante de la simulation. La tarification des options à l'aide d'une fonction générique est démontrée, mettant en évidence l'impact de variables telles que le prix d'exercice et le pas de temps sur la précision des simulations. La conférence se termine en soulignant que la simulation presque exacte atteint une grande précision avec moins de pas de temps par rapport au schéma d'Euler.
La conférence couvre en détail l'utilisation de la simulation Monte Carlo pour évaluer les dérivés dans le modèle Heston. Il explore la simulation du processus CIR, discute des défis et des pièges et compare différents schémas de discrétisation. La conférence met l'accent sur les avantages d'une simulation presque exacte, souligne l'importance de l'étalonnage et de la précision du modèle, et fournit des informations pratiques et des exemples de code pour la mise en œuvre de simulations de Monte Carlo dans la finance informatique.
Finance computationnelle : Cours 11/14 (Hedging et Monte Carlo Greeks)
Finance computationnelle : Cours 11/14 (Hedging et Monte Carlo Greeks)
Dans la conférence, le concept de couverture est souligné comme étant tout aussi important pour la tarification des produits dérivés en finance. Le conférencier approfondit divers calculs de sensibilités pour déterminer l'impact du prix d'un dérivé sur des paramètres spécifiques et comment mener une expérience de couverture. Plusieurs sujets clés sont abordés, notamment les principes de couverture dans le modèle Black-Scholes, la simulation des profits et pertes, la couverture dynamique et l'influence des sauts. Le conférencier souligne que le concept de couverture détermine la valeur d'un dérivé et que le prix de la couverture détermine sa valeur globale.
Pour fournir une compréhension globale, le conférencier commence par expliquer le concept de couverture dans le secteur financier. Les institutions financières génèrent des revenus en appliquant un spread supplémentaire en plus de la valeur d'un dérivé exotique. Pour atténuer le risque, un portefeuille qui réplique le dérivé est construit. Ce portefeuille est composé de la valeur du dérivé avec un signe plus et un delta moins, qui correspond à la sensibilité du portefeuille au titre. La sélection d'un delta approprié est cruciale car elle détermine le nombre d'actions qui doivent être achetées ou vendues pour s'aligner sur le modèle utilisé. Le conférencier fait la démonstration d'une expérience dans laquelle le delta est continuellement ajusté tout au long de la durée de vie du contrat, ce qui entraîne une perte de profit moyenne de zéro.
Le cours aborde le concept de couverture delta et fait la distinction entre couverture dynamique et couverture statique. La couverture delta est utilisée pour couvrir les facteurs de risque dans un portefeuille, la valeur du portefeuille répliqué déterminant le delta de la couverture. La couverture dynamique implique des ajustements fréquents du delta, tandis que la couverture statique implique l'achat ou la vente de dérivés uniquement au début ou à des intervalles spécifiques au cours du contrat dérivé. La vidéo traite également de la sensibilité des couvertures au nombre d'équations différentielles stochastiques dans le modèle de tarification et de l'impact de la fréquence des couvertures sur les profits et les pertes potentiels.
Présentant le concept de compte de profits et pertes (P&L), la conférence explique son rôle dans le suivi des gains ou des pertes lors de la vente de dérivés et de leur couverture. Le compte P&L est influencé par le produit initial obtenu de la vente d'une option et la valeur delta h, qui augmente au fil du temps en fonction des taux d'intérêt de l'épargne ou de l'emprunt. L'objectif est d'obtenir un compte de résultat qui s'équilibre à l'échéance du dérivé, indiquant une juste valeur facturée selon le modèle Black-Scholes. Cependant, si le modèle n'est pas choisi de manière appropriée, la marge supplémentaire ajoutée à la juste valeur peut ne pas couvrir tous les coûts de couverture, ce qui entraîne une perte. Ainsi, il est essentiel d'employer un modèle réaliste et robuste pour évaluer les dérivés alternatifs.
Le cours se penche sur le processus itératif de couverture et le calcul des profits et pertes (P&L) à la fin de la période de maturité. Ce processus consiste à calculer le delta d'une option au temps t0 et au temps t1, puis à déterminer la différence entre eux pour déterminer le nombre d'actions à acheter ou à vendre. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre ce qui est vendu et collecté, car vendre une option implique essentiellement de vendre de la volatilité et de collecter des primes. À la fin du processus, la valeur de l'option vendue est déterminée en fonction de la valeur des actions à l'échéance, et le P&L est évalué en utilisant la prime initiale, la valeur à l'échéance et la quantité d'actions achetées ou vendues tout au long du processus itératif. .
Le conférencier se concentre sur la couverture dans la finance informatique comme moyen de réduire la variabilité et la sensibilité concernant la valeur des actions. La conférence clarifie comment la couverture aide à minimiser les pertes et introduit le concept de la distribution du piano dans les simulations de trajectoire de Monte Carlo, soulignant que l'attente d'un P&L devrait être en moyenne égale à zéro. Le profit tiré de la vente d'un dérivé exotique et de sa couverture provient du spread supplémentaire facturé au client puisque le P&L attendu est nul.
Pour surmonter les défis posés par la densité inconnue dans les modèles avancés comme le modèle de transformation de Fourier, des méthodes alternatives sont utilisées pour calculer les sensibilités. L'une de ces approches est le calcul de Malliavin, qui fournit un cadre mathématique pour calculer les dérivées de variables aléatoires par rapport aux paramètres des processus stochastiques.
Le calcul de Malliavin introduit le concept de dérivée de Malliavin, qui étend la notion de dérivées classiques aux variables aléatoires pilotées par des processus stochastiques. Cette dérivée permet le calcul des sensibilités pour des modèles complexes où les méthodes traditionnelles peuvent ne pas être applicables. En exploitant la dérivée de Malliavin, les praticiens peuvent obtenir des sensibilités par rapport à divers paramètres du modèle de transformation de Fourier. Cette approche permet une tarification et une gestion des risques plus précises, car elle capture les dépendances et dynamiques complexes présentes dans le modèle. Cependant, il est important de noter que l'utilisation du calcul de Malliavin nécessite des techniques mathématiques avancées et une compréhension approfondie de l'analyse stochastique. C'est un domaine spécialisé qui est généralement exploré par des experts en finance quantitative et en finance mathématique.
En résumé, lorsqu'il s'agit de modèles qui impliquent des densités inconnues, comme le modèle de transformation de Fourier, le calcul de Malliavin fournit un outil puissant pour calculer les sensibilités. Cette approche permet l'évaluation des risques et l'évaluation précise des dérivés dans des scénarios financiers complexes.
Finance computationnelle : Cours 12/14 (Options de démarrage avancé et modèle de Bates)
Finance computationnelle : Cours 12/14 (Options de démarrage avancé et modèle de Bates)
La conférence plonge dans les subtilités des options de démarrage avancé, qui sont un type d'option européenne avec une date de démarrage différée, souvent appelées options de performance. Ces options sont plus complexes que les options européennes standard, et la conférence donne un aperçu de leur définition des gains et des avantages par rapport aux options européennes.
Les techniques de tarification des options de démarrage anticipé sont plus complexes et le cours se concentre sur l'utilisation des fonctions caractéristiques. Il explore deux types d'options de démarrage anticipé : l'une utilisant le modèle Black-Scholes et la tarification plus difficile selon le modèle Heston. L'implémentation en Python et la tarification d'un produit dépendant des volatilités sont également abordées. La conférence met l'accent sur l'importance des options européennes en tant que blocs de construction et sur leur calibrage et leur relation avec les options exotiques. Il aborde le modèle de Bates, qui étend le modèle de Heston en incorporant des sauts de Merton, et met en évidence l'utilisation de paramètres de couverture pour garantir des modèles bien calibrés. La vidéo explique comment la valeur initiale inconnue du stock dans les options de démarrage anticipé est déterminée à un instant futur (t1) et introduit le concept de filtrage par rapport à ces options. La conférence explore également comment les options de démarrage anticipé peuvent servir de blocs de construction pour d'autres dérivés, en présentant une stratégie pour réduire les coûts des dérivés. De plus, le professeur couvre la construction d'une option de clic, une structure dérivée souhaitée et sa relation avec les appels européens et les options de démarrage à terme. Le cours met l'accent sur l'importance d'identifier les dates de paiement lors du calcul des facteurs d'actualisation pour la tarification. Il montre également comment le ratio de deux stocks peut être reformulé comme l'exposant d'un logarithme du ratio.
Diverses méthodes de tarification pour les options de démarrage anticipé sont discutées, y compris la simulation de Monte Carlo et des solutions analytiques comme le modèle Black-Scholes. La nécessité de trouver la fonction caractéristique avant, qui permet la tarification des options de démarrage avant pour n'importe quel modèle dans une classe spécifique de processus, est expliquée. La conférence démontre la tarification d'une option de démarrage à terme en utilisant la fonction caractéristique et l'attente d'un logarithme IU de deux actions. Le conditionnement sur un champ sigma plus grand lors de la détermination de la fonction caractéristique est exploré, permettant à l'exposant avec le log moins d'être pris en dehors de l'espérance. Des fonctions caractéristiques actualisées de T2 à T1 sont également utilisées.
La conférence se penche sur la fonction de change à terme, qui représente les attentes futures et est exprimée comme une attente sur la mesure neutre au risque. Il explique que les taux d'intérêt déterministes n'entraînent aucune différence entre les fonctions monétaires actualisées et non actualisées. Cependant, les taux d'intérêt stochastiques introduisent de la complexité. Le processus de dérivation de la fonction caractéristique de départ vers l'avant, impliquant une valeur attendue supplémentaire, est décrit, ainsi que l'importance de permettre des solutions analytiques à l'attente externe pour une utilisation pratique. La fonction caractéristique de démarrage avant est ensuite appliquée aux modèles Black-Scholes et Heston.
En outre, la conférence se concentre sur la fonction de devise de démarrage avant pour le modèle Black-Scholes. Il note que la tarification ne devrait dépendre que de la performance dans le temps et non de la valeur initiale du stock, ce qui simplifie la solution par rapport à la fonction de devise actualisée. La présence de la partie variance dans plusieurs dimensions nécessite de résoudre une attente interne. Une représentation exacte du modèle Black-Scholes est montrée, confirmant que la distribution du ratio de deux stocks est indépendante de la valeur initiale du stock. La distribution est simplifiée en un mouvement brownien géométrique, englobant un incrément de p1 à t2.
La tarification des options de démarrage à terme selon le modèle Black-Scholes est expliquée, mettant en évidence l'utilisation du mouvement brownien géométrique pour le rapport de deux actions à des moments différents. La solution de tarification des options d'achat et de vente pour les options de démarrage anticipé ressemble étroitement à celle des options d'achat et de vente européennes, avec de légères différences dans l'ajustement des prix d'exercice et les délais d'actualisation. La conférence souligne l'importance d'utiliser les volatilités implicites de Black-Scholes lors du calcul des prix, même en utilisant d'autres modèles, car cela s'aligne sur les normes du marché. Il souligne également la recommandation du conférencier de considérer les deux paramètres pour les options de démarrage anticipé et rappelle aux téléspectateurs que les prix Black-Scholes sont connus analytiquement dans ce modèle.
Ensuite, l'orateur plonge dans le modèle Hassle, qui augmente la complexité de la fonction caractéristique pour les options de départ vers l'avant en introduisant un deuxième processus stochastique représentant la variance. Cependant, l'orateur explique que cette deuxième dimension n'est pas nécessaire pour la tarification des options puisque l'accent est mis uniquement sur la distribution marginale pour le processus de stock. Après simplification et substitution de la fonction caractéristique, l'expression de la fonction de change à terme est obtenue. Le conférencier suggère de revoir les diapositives sur le modèle de Hassle pour plus de détails sur les fonctions impliquées dans l'expression.
Le cours se poursuit par la discussion de la fonction génératrice de moment pour un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et présente l'expression sous forme fermée de la fonction caractéristique directe dans le modèle de Heston. Le conférencier note que le fait d'avoir la fonction génératrice de moment sous forme fermée permet un calcul plus rapide. En remplaçant la fonction génératrice de moment dans la fonction monétaire à terme, une expression de forme fermée pour la fonction caractéristique à terme est dérivée. Enfin, le conférencier présente une expérience numérique pour tarifer les options de démarrage anticipé à l'aide du modèle de Heston et des expressions dérivées.
Ensuite, l'orateur se concentre sur les options de démarrage vers l'avant et le modèle Bates. Ils expliquent comment le processus de variance est représenté par dvt et discutent des paramètres de volatilité et de variance. L'orateur mène deux expériences pour observer l'impact des volatilités implicites sur les paramètres et l'effet de la distance temporelle dans les options de démarrage anticipé. Les expériences démontrent que bien que la forme implicite de la volatilité reste la même, les niveaux diffèrent. À mesure que la distance temporelle augmente, la volatilité converge vers la racine carrée de la variance à long terme. L'orateur explique la logique des options de maturité plus courte ayant une densité plus concentrée autour de t1 et t2. Des expériences supplémentaires utilisant un code sont réalisées pour comparer les volatilités implicites.
Poursuivant, le conférencier aborde la mise en œuvre de la fonction caractéristique à terme et des méthodes de coût pour la tarification des options de démarrage à terme. La fonction caractéristique avant est définie à l'aide d'expressions lambda et de divers paramètres, y compris le modèle Heston et la fonction génératrice de moment pour le processus CIR. La méthode du coût pour la tarification des options de démarrage anticipé est similaire à celle de la tarification des options européennes, mais comprend des ajustements pour gérer deux moments différents. Le conférencier partage une astuce pour obtenir une bonne estimation initiale de l'algorithme de Newton-Raphson lors du calcul des volatilités implicites à terme, qui consiste à définir une grille de volatilité et à interpoler sur le prix du marché.
Le cours se poursuit par une explication du processus de calcul des volatilités implicites à terme à l'aide de la méthode de Newton-Raphson. La différence entre le prix de l'option du modèle et le prix du marché est discutée, et le conférencier montre comment appliquer la fonction d'optimisation SciPy pour calculer la méthode de Newton-Raphson et obtenir la volatilité optimale, également appelée volatilité implicite. La section confirme que la moyenne à long terme et la variance initiale sont les mêmes, et que le niveau des volatilités implicites et la volatilité des intrants à terme s'alignent. Le modèle de Bates, une extension du modèle de Heston qui incorpore des sauts supplémentaires entraînés par une variable aléatoire indépendante j, qui suit une distribution de Poisson, est également introduit.
La conférence met en évidence la différence entre le modèle Heston et le modèle Bates. Alors que le modèle Heston convient pour calibrer le sourire et biaiser les options sur actions avec des échéances plus longues, il se débat avec les options ayant des échéances plus courtes, telles que celles qui expirent dans une semaine ou deux. Le modèle de Bates résout ce problème en introduisant des sauts indépendants, permettant un meilleur calibrage des options à court terme. Bien que le modèle de Bates implique de nombreux paramètres, il n'est pas difficile d'étendre le modèle de Heston. La transformation logarithmique est nécessaire pour dériver la fonction caractéristique du modèle de Bates, et il est à noter que le modèle peut toujours être bien calibré même avec l'ajout de sauts.
L'orateur discute ensuite de la modification du modèle de Bates, en se concentrant spécifiquement sur l'intensité stochastique. L'orateur exprime son opinion selon laquelle rendre l'intensité stochastique n'est pas nécessaire car cela introduirait une complexité inutile sans explorer les paramètres actuels. Au lieu de cela, l'intensité dans le modèle est maintenue linéaire dans les variables d'état et définie comme une dérive constante. L'orateur analyse le cadre de diffusion par saut affine et inclut des détails sur les dérivations dans le livre. La seule différence entre la fonction caractéristique des modèles de Heston et de Bates réside dans le terme "a" du modèle de Bates. De plus, deux termes de correction contiennent toutes les informations sur les sauts. Des résultats numériques sont présentés, fournissant une analyse de l'impact de l'intensité, de la volatilité des sauts et de mu j, qui représente la distribution de j.
L'extension du modèle de Heston au modèle de Bates est discutée. Le modèle Bates est utilisé pour calibrer le modèle sur toutes les informations du marché, offrant un avantage par rapport aux autres modèles. Le code de ce modèle est simple et offre une flexibilité supplémentaire, en particulier pour les options à courte échéance où l'étalonnage de toutes les informations du marché est crucial. La conférence couvre également la tarification de produits dérivés plus intéressants, tels que le swap de variance, en utilisant les connaissances acquises grâce à la tarification des options de démarrage à terme ou des options de performance.
L'orateur présente un type de dérivé appelé swap de variance, qui permet aux investisseurs de parier sur la volatilité future d'un actif. Le gain d'un swap de variance est défini comme la somme des performances logarithmiques au carré des actions sur une grille de dates donnée, divisée par la performance précédente des actions. L'enseignant note que la formulation inhabituelle de ce gain devient plus claire lorsqu'il est lié à une équation différentielle stochastique. Lors de la tarification de ce dérivé, la valeur du swap au départ sera nulle si le prix d'exercice est égal à l'espérance constante. De plus, le conférencier explique que la plupart des swaps sont négociés au pair, ce qui signifie que la valeur du contrat est nulle lorsque deux contreparties conviennent d'acheter ou de vendre.
La conférence discute ensuite du cadre dépendant du temps pour le modèle de Bates et comment il relie l'intégrale sur la volatilité dépendante du temps à la performance d'un dérivé dans le temps. Le gain est défini comme la performance logarithmique au carré, qui équivaut à l'intégrale de la volatilité. L'orateur explique comment trouver la troisième valeur d'un contrat en utilisant la valeur attendue de sigma v au carré et les équations différentielles stochastiques. De plus, le coefficient d'échelle de 252 jours ouvrables est introduit comme un facteur essentiel en finance.
Enfin, le conférencier aborde la juste valeur d'un swap de variance, qui est un contrat dérivé qui permet aux investisseurs de parier sur la volatilité future d'un actif. La juste valeur du swap peut être exprimée comme un coefficient scalaire correspondant aux périodes de zéro à l'échéance du contrat, plus un élément correspondant aux taux d'intérêt, moins la valeur attendue de q log st divisé par st0. L'évaluation de cette anticipation peut se faire par simulation de Monte Carlo ou par une distribution analytique des stocks. Il est intéressant de noter que même si les performances de tous les petits intervalles sont composées, cela équivaut au rapport ou au logarithme de la valeur d'un stock à la fin divisé par la valeur initiale.
La conférence couvre un large éventail de sujets liés aux options de démarrage avancé, aux options de performance, au modèle Heston, au modèle Bates et aux swaps de variance. Il fournit des informations sur les techniques de tarification, la mise en œuvre en Python et l'importance de ces concepts dans les dérivés financiers.
Finance computationnelle : Cours 13/14 (Dérivés exotiques)
Finance computationnelle : Cours 13/14 (Dérivés exotiques)
La conférence se concentre sur la tarification des produits dérivés exotiques et l'extension des modèles de tarification aux cas dépendants du chemin. La principale motivation pour étendre la structure des gains est d'offrir aux clients des prix moins chers tout en offrant une exposition aux fluctuations des marchés boursiers. L'utilisation de fonctionnalités et de barrières numériques est explorée comme moyen de réduire les coûts des produits dérivés tout en maintenant l'exposition souhaitée. La conférence se penche sur divers types de gains, y compris les binaires et les numériques, les options à barrière et les options asiatiques, en examinant leur impact sur les prix des produits dérivés. En outre, la conférence traite de la tarification des options multi-actifs et des extensions de modèle potentielles pour gérer des paniers de centaines d'actions.
La procédure de tarification des produits financiers est discutée, en commençant par la spécification du produit et les facteurs de risque requis pour la modélisation et la tarification à l'aide d'équations différentielles stochastiques, telles que le modèle Black-Scholes, les sauts et les modèles de volatilité stochastique. Selon la complexité du produit, un système d'équations à une ou deux dimensions peut être suffisant pour une tarification précise. Le processus implique également l'étalonnage et la couverture, où un ensemble optimal de paramètres est choisi pour fixer le prix du produit et minimiser les coûts de couverture, garantissant un environnement sans arbitrage.
Différents types d'options sont définis, en mettant l'accent sur les options européennes, les options américaines et les options des Bermudes. Les options européennes sont considérées comme des éléments de base fondamentaux pour les produits dérivés exotiques, mais elles peuvent être difficiles à chronométrer et comporter des risques importants. Les options américaines offrent plus de flexibilité, permettant l'exercice à tout moment, tandis que les options des Bermudes ne permettent l'exercice qu'à des dates précises.
Des dérivés exotiques et des options dépendant du chemin sont introduits, qui dépendent de l'historique complet d'un stock plutôt que de la distribution marginale à un moment précis. Il a été démontré que l'ajustement de la fonction de gain à l'aide de binaires et de numériques réduit considérablement les valeurs dérivées. La conférence couvre divers types de produits dérivés exotiques, y compris les actifs ou rien, les espèces ou rien, les actions ou rien, les options composées et les options de choix. Ces options impliquent de limiter le contrat d'une manière ou d'une autre, par exemple avec des maximums, des minimums ou d'autres restrictions, pour contrôler les coûts. La popularité des produits dérivés exotiques dans le passé, en particulier pendant les périodes de taux d'intérêt élevés, est également discutée.
Une stratégie pour générer des profits élevés grâce à un dérivé exotique est expliquée. La stratégie consiste à allouer la majeure partie de l'investissement à un compte sécurisé avec un rendement garanti et à fixer le prix d'un paiement d'option potentiel. Bien que cette stratégie ne soit pas populaire actuellement, elle a été efficace dans le passé. La conférence comprend également des exemples de code pour évaluer les contrats et réduire leur valeur en fixant des limites supérieures à la croissance potentielle des stocks. La conférence souligne comment un petit ajustement de la structure des gains peut réduire considérablement les valorisations, rendant les produits dérivés plus attrayants pour les clients. En introduisant des barrières et une dépendance au sentier, les coûts peuvent être réduits. Diverses options de barrière sont discutées, telles que les options up-and-out, down-and-out, up-and-in, down-and-in, et leur impact sur les prix des dérivés en fonction du comportement historique de l'action.
Le concept d'options rétrospectives est exploré, où la valeur maximale ou minimale d'une action sur sa durée de vie détermine le gain à l'échéance. Les options rétrospectives intègrent la dépendance au sentier et peuvent fournir des paiements positifs même si le titre est inférieur à l'échéance au prix d'exercice. La conférence explique la mise en œuvre des options de rétrospection à l'aide de la simulation de Monte Carlo et des équations aux dérivées partielles (EDP), en mettant l'accent sur les conditions aux limites spéciales pour les options de barrière et leur extension à d'autres dérivés exotiques.
Les options barrières sont discutées en détail, soulignant leur attrait pour les clients des contreparties et leur utilisation sur le marché des devises croisées. La conférence explique les configurations et les avantages des options de barrière, y compris les options de sortie, d'entrée, de descente et de montée. Le conférencier souligne que les options de barrière peuvent être dépendantes du temps, ajoutant de la complexité au contrat. La simulation de Monte Carlo et les EDP sont présentées comme des méthodes de calcul pour la tarification des options de barrière.
La conférence compare les options up-and-out aux options européennes standard, notant la réduction significative de la valeur des options up-and-out en raison de leur gain déclenché par la barrière. Le concept d'options à barrière up-and-out est introduit, où le gain ne se produit que si l'action ne dépasse pas un certain niveau au cours de sa durée de vie. La conférence démontre l'impact d'une barrière sur le prix d'un dérivé à travers un exercice de programmation, montrant que le prix d'une option barrière up-and-out est équivalent au prix d'une option numérique avec une structure de gain similaire.
Le conférencier explique ensuite la mise en œuvre d'une barrière montante à l'aide de la simulation de Monte Carlo. Contrairement au gain d'une option numérique, qui ne dépend que de la valeur de l'action à l'échéance, une barrière up-and-out tient également compte de l'historique du comportement de l'action tout au long de la durée de vie du dérivé. Une fonction est définie pour déterminer si la barrière a été atteinte, en utilisant une matrice booléenne et une condition logique. Le "vecteur d'accès" résultant est un vecteur binaire qui indique si la barrière a été atteinte pour chaque chemin. Le conférencier montre comment la modification de la valeur de la barrière affecte le vecteur de succès, en soulignant que le gain est de zéro si la barrière est touchée et de un si elle ne l'est pas.
Le concept d'introduction d'une barrière dans les contrats dérivés est expliqué comme un moyen de réduire leur valeur, offrant une option plus abordable pour les clients recherchant une exposition à un actif spécifique. La présence d'une barrière a un impact significatif sur la valeur du dérivé, entraînant potentiellement des pertes si le stock ne dépasse pas le niveau spécifié. Cependant, en incorporant des barrières, les prix des produits dérivés peuvent être réduits d'environ 30 %, ce qui les rend plus attractifs pour les investisseurs. Néanmoins, les dérivés discontinus avec barrières peuvent présenter des défis en termes de coûts de couverture, qui peuvent atteindre l'infini. Pour atténuer ce problème, le conférencier suggère de reproduire le gain en utilisant des méthodes alternatives pour réduire les coûts.
La vidéo présente le concept de reproduction de la fonctionnalité numérique d'une option en achetant et en vendant stratégiquement des options d'achat avec différents prix d'exercice. Au fur et à mesure que les prix d'exercice se rapprochent, le gain qui en résulte ressemble davantage à une option numérique. Cependant, l'enseignant reconnaît les difficultés à reproduire précisément la discontinuité des options due aux variations des sensibilités delta et gamma. Bien que des approximations puissent être utilisées pour la couverture, il est crucial de facturer des primes pour compenser les pertes de couverture potentielles causées par la nature numérique de l'option. La vidéo met l'accent sur le concept de réduction des coûts des produits dérivés en introduisant des limitations numériques ou en modifiant la structure des gains.
La conférence aborde ensuite les options asiatiques comme moyen de réduire la volatilité et l'incertitude associées à un actif sous-jacent, réduisant ainsi le prix des dérivés. Les options asiatiques sont basées sur le comportement moyen d'un titre fluctuant, qui a tendance à être plus lisse que le titre lui-même, ce qui réduit l'incertitude associée. Le conférencier explore différentes variantes d'options asiatiques disponibles sur le marché, y compris les options d'achat et de vente fixes et flottantes. Les options d'exercice flottantes, en particulier, sont populaires dans le commerce des matières premières en raison de leur capacité à réduire l'incertitude et à atténuer les risques associés à un niveau d'actif sous-jacent spécifique.
L'orateur explique en outre les différentes méthodes de calcul de la moyenne d'une action, soulignant son importance dans le trading. Deux types de moyennes, arithmétiques et géométriques, sont introduits, la moyenne géométrique étant préférée pour l'analyse mathématique en raison de son expression analytique. En pratique, des sommations sont souvent utilisées, nécessitant des techniques d'approximation comme la simulation de Monte Carlo ou les EDP. Le cours aborde également le concept de moyenne continue, qui diffère de la moyenne arithmétique par sa représentation intégrale, ajoutant une dimension supplémentaire au problème de tarification et le rendant plus complexe à résoudre.
L'accent est ensuite mis sur la tarification des options asiatiques, ce qui implique de s'éloigner d'un problème unidimensionnel et d'impliquer des considérations de plus grande dimension. Les options asiatiques introduisent deux variables indépendantes : le cours de l'action et l'intégrale de l'action. Le gain de l'option dépend de l'intégrale observée ou du chemin de zéro à l'échéance, le paiement étant effectué à l'échéance. La conférence reconnaît que la tarification des contrats dérivés exotiques avec des quantités finales dépendantes de la partie peut être difficile, nécessitant des techniques plus avancées. Cependant, la couverture delta est toujours efficace pour atteindre des coefficients de couverture appropriés malgré les complexités introduites par les options asiatiques. Le conférencier discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les options asiatiques, soulignant sa flexibilité dans le traitement des problèmes de grande dimension. En simulant plusieurs trajectoires du cours de l'action et en calculant le gain moyen, la simulation de Monte Carlo peut fournir une estimation du prix de l'option. La conférence mentionne également les défis potentiels de la simulation de Monte Carlo, tels que les problèmes de convergence et la nécessité d'un nombre suffisant de chemins pour obtenir des résultats précis.
Le conférencier aborde ensuite un autre type d'option exotique connue sous le nom d'option barrière avec rabais. Cette option a une structure similaire à l'option de barrière discutée précédemment, mais avec un paiement de remise supplémentaire si la barrière est atteinte. La présence de la remise indemnise le détenteur de l'option si la barrière est franchie, atténuant ainsi les pertes potentielles. La conférence explique que le paiement de la remise réduit le coût de l'option, la rendant plus attrayante pour les investisseurs.
Pour fixer le prix des options à barrière avec rabais, le conférencier introduit le concept d'une option knock-out inversée, qui est l'inverse d'une option knock-out. L'option d'élimination inversée verse une remise si la barrière n'est pas atteinte. En fixant le prix de l'option d'exclusion inversée et en soustrayant le paiement de la remise, le prix de l'option barrière avec remise peut être déterminé. La vidéo fournit un exemple de mise en œuvre de cette méthodologie de tarification à l'aide de la simulation de Monte Carlo.
Tout au long de la conférence, l'importance de la compréhension et de la tarification efficace des contrats dérivés exotiques est soulignée. Les options exotiques offrent de la flexibilité et des solutions personnalisées aux investisseurs, mais leur tarification et leur gestion des risques nécessitent des modèles et des techniques sophistiqués. La conférence se termine en soulignant la nécessité de poursuivre la recherche et le développement dans ce domaine, ainsi que l'importance de la collaboration entre les universités et l'industrie pour améliorer les méthodologies de tarification des produits dérivés et répondre aux besoins changeants des acteurs du marché.
Finance computationnelle : Cours 14/14 (Résumé du cours)
Finance computationnelle : Cours 14/14 (Résumé du cours)
La série sur la finance computationnelle s'est terminée par un résumé complet des sujets importants abordés dans chaque conférence. Le cours couvrait un large éventail de sujets, y compris les équations différentielles stochastiques, les volatilités implicites, les diffusions de saut, la classe affine des processus de diffusion, les modèles de volatilité stochastique et les transformations de Fourier pour la tarification des options. Il s'est également penché sur des techniques numériques telles que les simulations de Monte Carlo et diverses stratégies de couverture.
Dans les conférences ultérieures, l'accent s'est déplacé vers les options de démarrage anticipé et les dérivés exotiques, où les connaissances acquises tout au long du cours ont été appliquées pour structurer ces produits financiers complexes. Les premières conférences ont fourni une introduction au cours et ont discuté des principes fondamentaux de l'ingénierie financière, des différents marchés et des classes d'actifs. La deuxième conférence a spécifiquement couvert divers types d'options et de stratégies de couverture, en mettant l'accent sur les matières premières, les devises et les crypto-monnaies.
La tarification des options d'achat et de vente et sa relation avec la couverture a été un thème central tout au long du cours. Le conférencier a souligné que le prix d'une stratégie de couverture doit toujours être équivalent au prix d'un dérivé pour éviter les opportunités d'arbitrage. Les aspects mathématiques de la modélisation de différentes classes d'actifs, y compris les prix des actifs et la mesure du caractère aléatoire, ont été discutés. Les processus stochastiques, les équations différentielles stochastiques et le lemme d'Itô ont été mis en évidence comme des outils essentiels pour la tarification des instruments financiers. Des simulations Python ont également été présentées, montrant comment les équations différentielles stochastiques peuvent simuler le comportement réel des mouvements de stock à des fins de tarification. Les avantages et les inconvénients du modèle Black-Scholes ont été abordés, en insistant sur la nécessité d'une perspective holistique pour assurer la cohérence de la gestion de portefeuille et des stratégies de couverture.
Les martingales ont été soulignées à plusieurs reprises comme un concept essentiel dans la tarification des options, et d'autres sujets importants abordés dans le cours comprenaient le modèle Black-Scholes, la volatilité implicite, la convergence de l'algorithme Newton-Raphson et les limites de la volatilité dépendante du temps. L'application pratique du codage Python pour vérifier si un processus simulé est une martingale et l'impact des mesures sur la dérive ont été explorés. Le cours a fourni un aperçu approfondi de la tarification d'options européennes simples, montrant comment différents modèles et mesures peuvent être utilisés pour calculer leurs prix.
Les limites du modèle Black-Scholes ont été discutées, en particulier en ce qui concerne l'incorporation de sauts dans le modèle. Bien que les sauts puissent améliorer le calibrage des surfaces de volatilité implicite et générer un biais, ils introduisent également de la complexité et réduisent l'efficacité de la couverture. Des modèles de volatilité stochastique, tels que le modèle Heston, ont été introduits pour améliorer la flexibilité du modèle dans l'étalonnage et la tarification des options exotiques. De plus, une technique de tarification rapide a été présentée comme une solution. La conférence a également décrit les conditions que les modèles ou les équations différentielles stochastiques doivent satisfaire pour être utilisés dans les modèles affines dans les transformations de Fourier.
Deux modèles importants d'évaluation des actions et des actions ont été discutés : la classe affine des processus de diffusion et le modèle de volatilité stochastique, en particulier le modèle de Heston. La classe affine des processus de diffusion permet un calibrage rapide des options européennes, tandis que le modèle Heston offre une flexibilité dans le calibrage de toute la surface des volatilités implicites des options européennes. La conférence a couvert les impacts et les avantages de la corrélation dans les modèles, la tarification des EDP et l'utilisation des transformations de Fourier pour la tarification lorsqu'un modèle appartient à la classe affine des processus. La compréhension et l'utilisation de ces modèles ont été soulignées comme des compétences précieuses en finance computationnelle.
La tarification des options européennes, en mettant l'accent sur les options d'achat et de vente, était au centre d'une autre conférence. L'utilisation d'une fonction caractéristique et la capacité de résoudre des systèmes d'ODE à valeurs complexes ont été soulignées, ainsi que l'importance des techniques numériques pour obtenir des solutions. L'équilibre entre un bon modèle et un étalonnage et une évaluation efficaces a été souligné pour les applications pratiques et l'acceptation par l'industrie. Les avantages de la méthode cos de la transformée de Fourier pour la tarification ont été discutés, ainsi que son implémentation dans Vital. Un étalonnage efficace et l'utilisation de simulations de Monte Carlo pour la tarification ont également été recommandés.
L'échantillonnage de Monte Carlo dans la tarification des produits dérivés exotiques a été largement exploré dans une autre conférence. Les défis posés par les dimensions multiples, la complexité des modèles et les coûts de calcul dans une tarification précise ont été relevés. La simulation de Monte Carlo a été présentée comme une approche de tarification alternative, axée sur la réduction des erreurs et l'amélioration de la précision. La conférence a couvert divers aspects de l'échantillonnage de Monte Carlo, y compris l'intégration, l'intégration stochastique et les méthodes d'étalonnage telles que les schémas d'Euler et de Milstein. L'évaluation de la fluidité des fonctions de gain et la compréhension des convertisseurs faibles et forts ont été soulignées comme cruciales pour garantir une tarification précise.
La conférence consacrée au modèle Heston a discuté de sa flexibilité dans l'étalonnage, de la modélisation de surface de volatilité implicite et de la simulation Monte Carlo efficace. La conférence a également abordé la simulation presque exacte du modèle Heston, qui est liée à la simulation exacte du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) pour le processus de variance. Bien que les méthodes de discrétisation d'Euler et de Milstein puissent rencontrer des problèmes avec le processus CIR, il existe des moyens efficaces d'effectuer la simulation. La conférence a souligné l'importance d'envisager un modèle réaliste pour la simulation, en particulier lorsqu'il s'agit de couverture delta et de prise en compte des sauts de marché.
Le concept de couverture en finance a été exploré en profondeur dans une vidéo distincte. La couverture consiste à réduire l'exposition au risque et aux pertes potentielles en gérant un portefeuille et en maintenant activement le contrat après qu'il a été négocié. La vidéo a souligné l'importance de la couverture, qui va au-delà de la tarification et englobe la gestion continue des risques jusqu'à l'échéance du contrat. La couverture delta et l'impact des sauts de marché ont été discutés, soulignant l'importance d'utiliser un modèle réaliste pour une simulation précise.
Les limites de la couverture delta ont été abordées dans une autre conférence, soulignant la nécessité d'envisager d'autres types de couverture, telles que la couverture gamma et vega, pour les dérivés plus complexes. Le calcul des sensibilités et des méthodes pour améliorer leur efficacité, y compris la différence finie, les sensibilités par voie et les quotients de vraisemblance, ont été couverts. La conférence s'est également penchée sur la tarification des options de démarrage anticipé et les défis associés à la tarification des options avec des stocks initiaux incertains. La valeur de l'option a été dérivée à l'aide de fonctions caractéristiques, et la conférence s'est terminée par une discussion sur les volatilités implicites et leur implémentation en Python.
La conférence sur les sauts supplémentaires dans les modèles financiers, en particulier le modèle Heston, a exploré leur impact sur le calibrage des paramètres et les stratégies de couverture. Les swaps de variance et les produits de volatilités ont également été discutés, en se concentrant sur la relation entre la représentation étrange, les contrats de swap de variance et les attentes conditionnelles utilisant la dynamique Black-Scholes. En outre, la conférence s'est penchée sur la structuration des produits à l'aide de diverses techniques telles que les options binaires et numériques, les options dépendantes du chemin, les options barrières et les options asiatiques. Il a également abordé la tarification des contrats impliquant plusieurs actifs. Cette conférence a servi de résumé des connaissances acquises tout au long du cours, fournissant une base pour aborder des dérivés plus avancés à l'avenir.
Dans la dernière partie, l'orateur a félicité les téléspectateurs pour avoir terminé avec succès les 14 conférences et acquis des connaissances en finance informatique, en ingénierie financière et en tarification des produits dérivés. Les téléspectateurs ont été encouragés à appliquer leur nouvelle expertise dans des contextes pratiques ou à envisager d'autres cours pour approfondir leurs connaissances. Le conférencier leur a souhaité une carrière réussie dans la finance, convaincu qu'ils étaient bien préparés pour leurs projets futurs.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 1/14, (Introduction et aperçu du cours)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 1/14, (Introduction et aperçu du cours)
L'instructeur commence par présenter le cours sur l'ingénierie financière, en soulignant ses objectifs et ses principaux domaines d'intérêt. Le cours vise à approfondir les taux d'intérêt et les multiples classes d'actifs telles que le change et l'inflation. L'objectif ultime est que les étudiants construisent un portefeuille multi-actifs composé de produits linéaires et acquièrent des compétences dans l'exécution de xva et de calculs de valeur à risque. Une connaissance préalable des équations différentielles stochastiques, de la simulation numérique et des méthodes numériques est nécessaire pour s'engager pleinement dans le matériel de cours.
La structure du cours est décrite, comprenant 14 conférences accompagnées de devoirs à la fin de chaque session. Le langage de programmation utilisé tout au long du cours est Python, permettant la mise en œuvre pratique et l'application des concepts abordés.
L'orateur insiste sur le caractère pratique du cours sur la finance computationnelle. Bien que les connaissances théoriques soient couvertes, l'accent est mis sur l'efficacité de la mise en œuvre et sur la fourniture d'exemples de code Python pour chaque cours. Les supports de cours sont autonomes, bien qu'ils soient basés sur le livre "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". La conférence donne également un aperçu de la feuille de route du cours, donnant aux étudiants une compréhension claire des sujets qui seront abordés dans chacune des 14 conférences.
La première conférence vise à donner un aperçu de l'ensemble du cours et à souligner l'importance des concepts abordés dans la réalisation de l'objectif ultime d'effectuer des calculs xva et var.
Le conférencier donne ensuite un aperçu détaillé des sujets qui seront abordés tout au long du cours d'ingénierie financière. Ceux-ci incluent divers modèles tels que des modèles à deux facteurs entièrement blancs et entièrement blancs, des mesures, des filtrations et des modèles stochastiques. La tarification des produits de taux d'intérêt, y compris les produits linéaires et non linéaires comme les swaptions, est un objectif clé. Le cours couvre la construction de courbes de rendement, la construction de courbes multiples, les points de colonne vertébrale et la sélection de méthodes d'interpolation à l'aide de codes Python. Les autres sujets abordés incluent les taux d'intérêt négatifs, les options, les hypothèques et les remboursements anticipés, le change, l'inflation, la simulation de Monte Carlo pour les multi-actifs, les modèles de marché, les ajustements de convexité, les calculs d'exposition et les mesures d'ajustement de valeur telles que cva, bcva et fva.
La gestion des risques devient un point central au fur et à mesure que le cours progresse, et la conférence 13 est consacrée à la mesure des risques à l'aide du codage et de l'analyse des données historiques. La conférence 14 sert de résumé de tout ce qui a été appris tout au long du cours.
La deuxième conférence se concentre sur les filtrations et les changements de mesure, y compris les attentes conditionnelles et la simulation en Python. Les étudiants participeront à des exercices pratiques pour simuler des attentes conditionnelles et explorer les avantages et la simplification des problèmes de tarification en utilisant des changements de mesure.
Dans les conférences suivantes, l'instructeur donne un aperçu du cadre du modèle de détournement, des modèles d'équilibre par rapport à la structure à terme et de la dynamique de la courbe de rendement. Les cours portent sur les débits courts et la simulation de modèles à travers des simulations Monte Carlo en Python. La comparaison entre les modèles à un facteur et à deux facteurs est discutée, avec une exploration des extensions multifactorielles. Une expérience vidéo est menée pour analyser l'indice S&P, le taux court implicite par la Fed et la dynamique de la courbe des taux.
La simulation des courbes de taux est explorée pour observer l'évolution des taux d'intérêt dans le temps et les comparer avec des modèles stochastiques. Les sujets abordés incluent l'affinité d'un modèle Fulbright, la simulation exacte, la construction et la tarification des produits de taux d'intérêt, et le calcul des flux de trésorerie incertains dans des exemples de swap.
La conférence sur la construction d'une courbe de rendement couvre la relation entre les courbes de rendement et les swaps de taux d'intérêt, les accords de taux à terme et la tarification des dérivés. Les différentes formes de courbe de rendement et leur pertinence par rapport aux situations de marché sont expliquées. Les volatilités implicites et les calculs des points de colonne vertébrale sont discutés, ainsi que les routines d'interpolation et l'extension des courbes de rendement uniques aux approches multi-courbes. Les aspects pratiques de la construction de courbes de rendement à l'aide d'expériences Python et de leur connexion aux instruments du marché sont soulignés.
Le conférencier explore des sujets liés à l'ingénierie financière, y compris la tarification des swaptions selon le modèle Black-Scholes et les options utilisant le modèle full white ou tout autre modèle à taux court. L'astuce de Jamshidian et les expériences Python sont expliquées. Le cours couvre également des concepts tels que les taux d'intérêt négatifs, les volatilités implicites décalées log-normales et l'impact des paramètres de décalage sur les formes de volatilité implicite. De plus, la conférence se penche sur le remboursement anticipé des hypothèques et son effet sur la position et la couverture du point de vue d'une banque.
Les hypothèques in fine sont introduites et les flux de trésorerie associés et les déterminants du remboursement anticipé sont expliqués. La conférence met en évidence l'impact des remboursements anticipés sur les portefeuilles de prêts hypothécaires et établit un lien entre l'incitation au refinancement et les observables du marché. En outre, le risque de pipeline et sa gestion par les institutions financières sont discutés.
Le cours passe à la modélisation simultanée de plusieurs classes d'actifs, ce qui permet de simuler les risques futurs potentiels pouvant affecter le portefeuille. Les corrélations entre différentes classes d'actifs sont examinées et l'importance des modèles hybrides à des fins de gestion des risques est soulignée, même si l'intérêt pour les dérivés exotiques peut diminuer.
Des modèles hybrides pour les ajustements de valorisation des prix (XVA) et la valeur à risque sont explorés, ainsi que des extensions impliquant une volatilité stochastique. Le cours couvre les modèles hybrides adaptés à un environnement XVA, y compris la dynamique des actions et les taux d'intérêt stochastiques. Les modèles de volatilité stochastique, tels que le modèle Heston, sont abordés dans le deuxième bloc, abordant la manière d'intégrer les taux d'intérêt stochastiques qui sont corrélés avec le processus boursier. La conférence se penche également sur le change et l'inflation, discutant de l'histoire et du développement des devises flottantes, des contrats de change à terme, des swaps de devises et des options de change. L'impact des changements de mesure sur la dynamique des processus est également examiné, dans le but ultime de fixer le prix des contrats définis sous différents actifs dans diverses classes d'actifs et de calculer les expositions et les mesures de risque.
L'instructeur couvre des sujets supplémentaires liés à l'ingénierie financière, y compris l'élément de correction quantique présent dans la volatilité stochastique et la tarification des options FX avec des taux d'intérêt stochastiques. Le concept d'inflation est exploré, en retraçant son évolution d'une définition monétaire à une définition basée sur les biens. Les modèles de marché tels que le modèle de marché LIBOR et les ajustements de convexité sont discutés, offrant une perspective historique sur l'évolution des taux d'intérêt et la motivation des modèles de marché tels que le modèle de marché LIBOR dans le cadre HJM. La conférence se penche également sur les modèles de marché LIBOR log-normal, la volatilité stochastique et la dynamique du sourire et du biais dans le modèle de marché LIBOR.
Diverses techniques utilisées dans la tarification des produits financiers sont abordées, en mettant l'accent sur la tarification neutre au risque et le modèle Black-Scholes. L'enseignant met en garde contre l'utilisation abusive de techniques risquées, telles que la technique du gel, et souligne l'importance de la correction de la convexité dans les cadres de tarification. Les étudiants apprendront à reconnaître la nécessité d'une correction de la convexité et à intégrer les mouvements des taux d'intérêt ou le sourire et le biais du marché dans les problèmes de tarification. La section se termine en couvrant les simulations XVA, y compris CVA, BCVA, VA et FVA, et le calcul des expositions attendues, des expositions futures potentielles et des vérifications d'intégrité à l'aide de simulations Python.
L'instructeur revient sur les sujets abordés dans le cours d'ingénierie financière, y compris la tarification des dérivés, l'importance de la découverte des prix, les aspects pratiques des attributions commerciales et les mesures de gestion des risques telles que la valeur à risque et le déficit attendu. L'accent reste mis sur les applications pratiques, telles que la construction d'un portefeuille de swaps de taux d'intérêt et l'utilisation des connaissances de la construction de la courbe de rendement pour estimer la VAR et le manque à gagner attendu grâce aux résultats de simulation. La conférence aborde également les défis liés aux données manquantes, à l'arbitrage et au reclassement dans le calcul VAR à l'aide de la simulation Monte Carlo.
Dans la conférence finale, le conférencier discute des back-tests et des tests du moteur VAR. Tout en reconnaissant que le cours s'étendra au-delà des 14 premières semaines, l'instructeur exprime sa confiance dans le parcours d'apprentissage complet et agréable. Les conférences enregistrées guideront les étudiants vers le sommet de la compréhension des ajustements d'évaluation (XVA) et du calcul de la valeur à risque.
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 1/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 1/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Dans la conférence, l'instructeur se penche sur le modèle Black-Scholes avec des sauts stochastiques, présentant son application dans la tarification des produits dérivés. L'incorporation d'attentes conditionnelles est mise en évidence comme un moyen d'améliorer la précision du modèle. De plus, le concept de numéraires et les changements de mesure sont explorés, démontrant comment le passage d'un numéraire à l'autre peut améliorer les résultats de tarification. Cette section souligne l'importance de la filtration, des attentes et des changements de mesure, en particulier dans le domaine des taux d'intérêt.
Développant le sujet, le professeur souligne le rôle central des mesures, des filtrages et des attentes dans la tarification. Ils illustrent comment des mesures, telles que les stocks, peuvent être utilisées efficacement dans les processus de tarification, tandis que les changements de mesure aident à réduire la complexité des problèmes de tarification. Le cours approfondit la notion de mesure prospective, communément associée à l'actualisation stochastique. Les filtrages sont expliqués en tant que principes fondamentaux pour comprendre le temps, les profils d'exposition et les profils de risque. De plus, la définition d'un processus stochastique et l'importance de la filtration dans l'interprétation des données de marché et l'anticipation des réalisations futures sont introduites.
À l'avenir, le concept de filtrations et de mesures est examiné en profondeur. Les filtrations peuvent concerner le présent ou s'étendre dans le futur, ce qui nécessite une distinction claire lorsqu'il s'agit de processus stochastiques. Le passé représente une trajectoire singulière de l'histoire d'un stock, tandis que la stochasticité du futur peut être modélisée par des équations différentielles stochastiques et des simulations. Bien que le cours se concentre principalement sur les filtrations jusqu'à présent (t0), il se penche ensuite sur l'exploitation des futures filtrations pour une efficacité de calcul améliorée. Il devient possible de simuler des scénarios futurs et de développer divers résultats. Cependant, compte tenu de l'incertitude inhérente, il reste difficile de déterminer le scénario le plus réaliste. L'estimation de la distribution des résultats implique l'utilisation de données historiques et de techniques d'étalonnage associées à la mesure p.
La conférence se penche ensuite sur les mesures et les filtrages, soulignant les rôles distincts de la mesure Q dans la tarification et la gestion des risques, et de la mesure P principalement dans la gestion des risques. Lorsque les deux mesures sont utilisées, la génération de scénarios futurs pour les profils de risque devient impérative en raison du caractère non unique de la pertinence de l'une ou l'autre des mesures. De plus, au fil du temps, l'accumulation des connaissances historiques conduit à des filtrages plus larges. Cependant, il est également essentiel de maintenir une compréhension de la mesurabilité et de reconnaître l'incertitude des quantités stochastiques à des moments futurs spécifiques.
L'enseignant procède à une discussion sur les filtrations et les mesures dans le cadre de l'ingénierie financière. Notamment, ils soulignent que la mesurabilité n'implique pas la constance ; il désigne plutôt une quantité stochastique. Les filtrages élucident l'étendue des connaissances disponibles à chaque instant, s'étendant au fur et à mesure que l'on avance dans le temps en raison des connaissances accumulées. Alors que les filtrages et les changements de mesure peuvent être des outils puissants dans la modélisation financière, leur utilisation inappropriée peut entraîner des problèmes importants. Ainsi, il est crucial de comprendre comment utiliser efficacement ces outils et naviguer dans le temps pour éviter les erreurs de modélisation. La section se termine par un aperçu du processus de calibrage dans la modélisation financière, qui peut être déduit de données historiques ou d'instruments de marché.
Le concept de processus adaptés est introduit, se référant à des processus qui reposent uniquement sur des informations disponibles jusqu'à un moment donné, sans tenir compte des réalisations futures. Des exemples de processus adaptés englobent le mouvement brownien et la détermination de la valeur maximale d'un processus dans une période de temps spécifique. A l'inverse, les processus non adaptés reposent sur des réalisations futures. La conférence présente également la propriété de la tour, un outil puissant de tarification, qui établit une relation entre les champs sigma, les filtrations et les attentes.
L'attente conditionnelle est considérée comme un outil puissant en ingénierie financière, en particulier lorsqu'il s'agit de fonctions impliquant deux variables. La propriété d'attente de la tour est utilisée pour conditionner les attentes et calculer les attentes externes et internes imbriquées. Cette propriété trouve une application dans les simulations, permettant le calcul analytique de certaines composantes du problème qui peuvent être appliquées aux modèles de tarification des options de la blockchain, en utilisant notamment des équations différentielles stochastiques et des filtrations spécifiques. La définition de l'espérance conditionnelle est explorée, incorporant une équation intégrale.
L'enseignant insiste sur l'importance des anticipations conditionnelles et des filtrations en ingénierie financière. Ils soulignent que si une variable aléatoire peut être conditionnée et que sa réponse est connue analytiquement, l'espérance extérieure peut être calculée par échantillonnage pour l'espérance intérieure. Cependant, en finance, il est rare de posséder une connaissance analytique des densités conditionnelles ou des densités bidimensionnelles. L'enseignant insiste sur l'importance d'utiliser correctement les attentes conditionnelles dans le codage, car elles restent des quantités stochastiques du point de vue du présent. En outre, ils discutent des avantages de l'incorporation d'une solution analytique pour une partie du modèle dans un contexte de simulation, car cela peut entraîner une amélioration de la convergence. Pour illustrer ces concepts, l'enseignant donne un exemple de calcul de l'espérance extérieure d'un mouvement brownien.
En avançant, le conférencier plonge dans l'attente d'un point futur dans le temps, soulignant sa complexité par rapport aux cas où l'attente est au temps zéro. Ils expliquent que ce scénario nécessite plusieurs chemins et des simulations de Monte Carlo imbriquées pour chaque chemin, impliquant des sous-simulations pour les attentes conditionnelles. Cette complexité est due à la propriété des incréments indépendants, où le mouvement brownien peut toujours être exprimé comme la différence entre ses valeurs à deux instants différents, t et s.
Se concentrant sur les simulations de Monte Carlo, l'orateur discute de la construction du mouvement brownien pour simuler la valeur d'option d'une action. Ils explorent deux types de martingales et introduisent la méthode de Monte Carlo imbriquée pour calculer l'espérance conditionnelle d'une option d'achat d'actions. La simulation consiste à générer un chemin jusqu'au temps s et à effectuer des sous-simulations pour chaque chemin afin d'évaluer l'espérance à ce moment. Ce processus implique le calcul de l'espérance conditionnelle d'une réalisation spécifique à l'instant s pour chaque chemin. L'erreur est alors mesurée comme la différence entre l'espérance conditionnelle et la valeur du chemin à l'instant s. La normalisation du mouvement brownien garantit qu'il est construit à l'aide d'incréments indépendants, ce qui facilite l'application des propriétés souhaitées dans une simulation de Monte Carlo.
Enfin, l'orateur souligne que si la simulation du mouvement brownien peut sembler simple et rentable, l'incorporation d'une attente conditionnelle nécessite une approche Monte Carlo imbriquée, qui consiste à effectuer plusieurs simulations du mouvement brownien pour chaque chemin. Par conséquent, ce processus peut prendre du temps.
En conclusion, la conférence couvre en détail des sujets liés aux mesures, aux filtrations, aux attentes conditionnelles et aux simulations de Monte Carlo en ingénierie financière. L'importance de ces concepts dans la tarification des produits dérivés, la gestion des risques et l'étalonnage des modèles est soulignée tout au long. En comprenant les principes sous-jacents à ces outils et techniques, les professionnels de la finance peuvent améliorer la précision de leur modélisation et résoudre efficacement les problèmes complexes de tarification.
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 2/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 2/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Bienvenue à tous à la séance d'après-pause. Aujourd'hui, nous allons continuer avec le deuxième bloc de la conférence 2 du cours d'ingénierie financière. Dans ce bloc, nous allons nous plonger dans les prix et les taux d'intérêt de XVA, en nous concentrant sur des concepts avancés.
Auparavant, nous avons discuté du concept de filtration et des attentes conditionnelles, ainsi que d'un exercice et d'une simulation en Python. Maintenant, nous allons explorer des attentes supplémentaires qui sont plus avancées que les expériences que nous avons menées précédemment. Plus précisément, nous nous concentrerons sur la tarification des options et tirerons parti des outils d'anticipation conditionnelle pour améliorer la convergence dans les simulations de Monte Carlo. De plus, je vous présenterai le concept de numéraire et son utilité dans la tarification des produits dérivés.
Dans ce bloc, nous utiliserons non seulement le concept de numéraire mais aussi le théorème de Girsanov pour transformer la dynamique du modèle Black-Scholes de la mesure neutre au risque (mesure P) à la mesure Q. Cette transformation implique de changer le processus sous-jacent au mouvement brownien géométrique. Il est important de noter que la mesure P est associée à des observations historiques, tandis que la mesure Q est généralement liée à la tarification des produits dérivés.
Passant au troisième bloc, nous nous concentrerons sur les changements de mesure détaillés. Je démontrerai plusieurs avantages et astuces pour utiliser les changements de mesure pour réduire les dimensions et récolter des avantages significatifs. Cependant, pour l'instant, concentrons-nous sur les quatre éléments suivants de la conférence d'aujourd'hui et profitons de la session.
Tout d'abord, nous utiliserons notre connaissance de l'attente conditionnelle et de la filtration pour aborder la tarification réelle des options. Plus précisément, nous examinerons une option européenne et explorerons comment les anticipations conditionnelles peuvent aider à déterminer son prix. Nous travaillerons avec une équation différentielle stochastique plus complexe, ressemblant au modèle de Black-Scholes mais avec une volatilité stochastique. Alors que Black-Scholes suppose une volatilité constante (sigma), nous généraliserons le modèle pour inclure la volatilité dépendante du temps et stochastique.
En tirant parti de la propriété de la tour des attentes, nous pouvons résoudre ce problème et améliorer nos simulations de Monte Carlo. Au lieu de simuler directement des trajectoires et d'échantillonner aléatoirement la volatilité stochastique (j), nous pouvons obtenir une meilleure convergence en utilisant des anticipations conditionnelles. En conditionnant sur la réalisation de j, nous pouvons appliquer la formule de tarification Black-Scholes pour chaque j. Cette approche réduit considérablement l'incertitude et les problèmes liés à la corrélation dans les simulations de Monte Carlo.
Dans la section suivante, j'introduirai une représentation exacte de la tarification des options européennes basée sur les anticipations conditionnelles et la formule Black-Scholes. Cela impliquera des attentes intérieures et extérieures, où l'attente intérieure conditionne une réalisation spécifique de j et applique la formule de Black-Scholes. L'espérance extérieure nécessite un échantillonnage à partir de j et l'utilisation de la formule de Black-Scholes pour chaque échantillon.
Pour quantifier l'impact de l'application de la propriété de la tour pour les attentes dans les simulations de Monte Carlo, nous comparerons deux approches. La première approche est une simulation de Monte Carlo par force brute, où nous échantillonnons directement l'attente sans utiliser les informations du modèle Black-Scholes. La deuxième approche intègre les attentes conditionnelles et la formule de Black-Scholes. En comparant la convergence et la stabilité, nous pouvons observer le gain significatif obtenu grâce à l'approche des espérances conditionnelles.
J'espère que vous trouvez cette information utile. Si vous souhaitez explorer plus avant les aspects pratiques des attentes conditionnelles, je vous recommande de vous reporter au chapitre 3 (volatilité stochastique) et au chapitre 12 (tarification des tablettes) du livre. Passons maintenant à la démonstration pratique de cette approche en utilisant du code Python.
Après avoir généré les échantillons de Monte Carlo pour le stock et la volatilité, nous passons à la partie suivante du code, qui consiste à calculer les gains d'option pour chaque échantillon. Dans ce cas, nous considérons une option d'achat européenne avec un prix d'exercice de 18. Nous pouvons calculer le gain de l'option en utilisant l'équation suivante :
gain = np.maximum(stock_samples[-1] - grève, 0)
Ensuite, nous calculons l'espérance conditionnelle à l'aide de la formule de Black-Scholes. Pour chaque échantillon de volatilité, nous calculons le prix de l'option à l'aide du modèle Black-Scholes avec la valeur de volatilité correspondante :
volatilité_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * maturité) / (volatility_samples * np.sqrt(maturité))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * maturité) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))
Enfin, nous calculons le prix global de l'option en prenant la moyenne des anticipations conditionnelles sur tous les échantillons de volatilité :
option_price = np.mean(conditional_expectation)
En utilisant l'approche d'espérance conditionnelle, nous exploitons les informations du modèle Black-Scholes pour améliorer la convergence de la simulation de Monte Carlo. Cela conduit à des prix d'options plus précis et réduit le nombre de chemins de Monte Carlo requis pour une convergence satisfaisante.
Il est important de noter que le code fourni ici est un exemple simplifié pour illustrer le concept. En pratique, il peut y avoir des considérations et des raffinements supplémentaires pour tenir compte de facteurs tels que la volatilité stochastique, les pas de temps et d'autres hypothèses de modèle.
Dans l'ensemble, l'application d'anticipations conditionnelles dans la tarification des options peut améliorer l'efficacité et la précision des simulations de Monte Carlo, en particulier lorsqu'il s'agit de modèles complexes qui s'écartent des hypothèses du cadre Black-Scholes.
Maintenant, concentrons-nous sur le sujet des changements de mesure dans l'ingénierie financière. Lorsqu'il s'agit de dynamique de système, il est parfois possible de simplifier la complexité du problème de tarification par des transformations de mesure appropriées. Ceci est particulièrement pertinent dans le monde des taux d'intérêt, où il existe de multiples sous-jacents avec des fréquences différentes. Pour établir un cadre cohérent, nous nous appuyons sur des transformations de mesures qui rassemblent des processus stochastiques de différentes mesures en une seule mesure sous-jacente.
Dans le domaine de la finance mathématique, les numéraires jouent un rôle important en tant qu'entités négociables utilisées pour exprimer les prix de tous les actifs négociables. Un numéraire est l'unité dans laquelle les valeurs des actifs sont exprimées, telles que les pommes, les obligations, les actions ou les comptes d'épargne. En exprimant les prix en termes de numéraire, nous établissons un cadre cohérent pour le transfert de biens et de services entre différentes contreparties.
Dans le passé, les actifs étaient souvent exprimés en termes d'or ou d'autres numéraires. Le choix d'un numéraire approprié peut considérablement simplifier et améliorer la complexité des problèmes d'ingénierie financière. Travailler avec des martingales, qui sont des procédés sans dérive, est particulièrement favorable en finance car elles sont plus faciles à manier que les procédés avec dérive.
Différentes mesures sont associées à des dynamiques spécifiques de processus et d'actifs négociables. Les cas courants incluent la mesure neutre au risque associée aux comptes d'épargne, la mesure T-forward associée aux obligations à coupon zéro et la mesure associée aux actions comme numéraires. Les changements de mesure permettent de passer d'une mesure à l'autre et de bénéficier des propriétés de différents processus. Le théorème de Girsanov est un outil crucial pour les transformations de mesure, permettant de passer d'une mesure à une autre sous certaines conditions.
Bien que les aspects théoriques des changements de mesure puissent être complexes, ce cours se concentre sur les applications pratiques et sur la manière d'appliquer la théorie à des problèmes réels. Le principal point à retenir est de comprendre comment les changements de mesure et les martingales peuvent être utilisés comme outils pour simplifier et résoudre efficacement les problèmes d'ingénierie financière.
Il est important de noter que les changements de mesure sont des outils puissants qui peuvent nous aider à gérer les processus sans dérive, appelés martingales. En modifiant de manière appropriée la mesure, nous pouvons éliminer la dérive d'un processus et simplifier le problème à résoudre. Ceci est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt stochastiques et de dynamique des actions.
Cependant, il convient de mentionner que les changements de mesure ne sont pas toujours réalisables ou entraînent des problèmes plus simples. Parfois, même après suppression de la dérive, la dynamique de certaines variables, comme la variance, peut rester complexe. Néanmoins,
en général, la suppression de la dérive par des changements de mesure simplifie le problème.
Travailler avec des martingales est favorable car les équations différentielles stochastiques sans dérive sont plus faciles à manipuler que celles avec dérive. En identifiant les numéraires appropriés et en effectuant des changements de mesure, nous pouvons efficacement réduire la complexité et améliorer nos techniques de simulation.
Les changements de mesure nous permettent de basculer entre les mesures et de bénéficier des propriétés des martingales. Comprendre et appliquer les changements de mesure est une compétence précieuse qui peut grandement simplifier la tarification et l'analyse des instruments financiers.
Maintenant, approfondissons le concept des changements de mesure et leur application pratique en finance mathématique. La formule de transformation de mesure dont nous avons parlé précédemment peut s'écrire comme suit :
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
Cette formule permet de passer d'une mesure, Qa, à une autre mesure, Qb. Il implique l'utilisation d'un processus spécifique appelé "processus numéraire" noté yₛ et le processus de Wiener Wₛ.
Le théorème de Girsanov stipule que sous certaines conditions, comme la condition d'intégrabilité sur le terme exponentiel, cette transformation de mesure est valide. En appliquant cette transformation, nous pouvons changer la mesure de Qa à Qb et vice versa.
Dans les applications pratiques, les changements de mesure sont utilisés pour simplifier et résoudre des problèmes du monde réel en finance mathématique. Ils nous permettent de transformer la dynamique des processus stochastiques et de tirer parti des propriétés des martingales.
En sélectionnant de manière appropriée les numéraires et en effectuant des changements de mesure, nous pouvons supprimer la dérive d'un processus et simplifier le problème à résoudre. Cette simplification est particulièrement bénéfique lorsqu'il s'agit de modèles complexes impliquant des taux d'intérêt stochastiques et la dynamique des stocks.
Il est important de noter que les changements de mesure ne se traduisent pas toujours par des problèmes plus simples. Parfois, même après suppression de la dérive, certaines variables telles que la variance peuvent encore présenter une dynamique complexe. Cependant, en général, les changements de mesure fournissent un outil puissant pour simplifier et résoudre les problèmes d'ingénierie financière.
Dans ce cours, nous nous concentrerons sur l'application pratique des changements de mesure dans des scénarios réels. Nous explorerons comment extraire les avantages des changements de mesure et des martingales pour simplifier des problèmes complexes en finance mathématique.
Pour résumer, les changements de mesure jouent un rôle crucial dans la finance mathématique en nous permettant de basculer entre les mesures et de tirer parti des propriétés des martingales. En comprenant et en appliquant les changements de mesure, nous pouvons simplifier la tarification et l'analyse des instruments financiers, améliorer nos techniques de simulation et aborder plus efficacement les modèles complexes.
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 3/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 3/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)
Poursuivant le cours, l'instructeur approfondit le sujet des changements de mesure et leurs applications pratiques en finance. Ils commencent par fournir un rappel sur le théorème de Girizanov et le concept d'une mesure de stock. En établissant une base, l'instructeur prépare le terrain pour explorer comment les changements de mesure peuvent réduire efficacement la dimensionnalité dans les modèles financiers.
La conférence se concentre sur la transition d'une mesure neutre au risque à une mesure de compte d'épargne basée sur l'actif en actions. Cette transition est réalisée en utilisant le rapport des deux mesures, et le processus est expliqué en termes simples. L'accent est mis sur l'importance d'exprimer l'actif choisi dans la même unité que les autres actifs de son portefeuille, ce qui peut être accompli grâce à des changements de mesure. De plus, la conférence plonge dans la discussion de la fonction de gain, où l'espérance sous la mesure associée est exprimée comme l'intégrale sur un divisé par la mesure. Ce résultat fournit un moyen de trouver la requête souhaitée. La conférence se termine en présentant la méthode de substitution utilisée pour obtenir le terme final, illustrant davantage le caractère pratique des changements de mesure.
À l'avenir, l'orateur explore la simplification du gain et se penche sur la dynamique du stock dans le cadre de la nouvelle mesure. La valeur de t0 est fournie comme espérance sous des mesures de st maximum moins k 0, introduisant une nouvelle méthode de martingale. Le concept de l'approche martingale est élucidé, soulignant l'importance de tout diviser par le processus de stock pour satisfaire les conditions d'une martingale. Le processus d'actualisation est mis en évidence, en mettant l'accent sur ses avantages en termes de simplification de la dynamique dans le cadre de la nouvelle mesure. La dynamique peut être dérivée du rapport de mtst en martingale. De plus, le conférencier souligne la nécessité de déterminer la variance et la transformation mesurée sous la nouvelle mesure pour tirer parti efficacement des avantages de l'approche martingale.
En développant le cours, le conférencier explique comment la même procédure utilisée pour le cas Black-Scholes peut être appliquée à des processus sans martingale. En suivant un ensemble de conditions nécessaires, on peut utiliser des transformations de mesure pour dériver la dynamique d'un nouveau processus et déterminer les attentes sous une nouvelle mesure. L'importance de tenir compte des corrections sur la dérive et la volatilité résultant de cette transformation est soulignée lors de la mise en œuvre des deux processus sous la mesure originale et la nouvelle mesure. En fin de compte, le calcul se simplifie en une expression élégante impliquant un seul processus log-normal sous la nouvelle mesure.
De plus, le conférencier introduit un système bidimensionnel d'équations différentielles stochastiques, S1 et S2, ainsi qu'une valeur de gain associée à un compte d'épargne qui ne paie que si S2 atteint un certain niveau. Pour calculer cette anticipation complexe, la distribution conjointe entre les deux stocks devient nécessaire. La transformation de mesure est employée, tirant parti du théorème de Girsanov pour trouver l'espérance sous une forme élégante. Le conférencier explique le processus, avec S1 choisi comme numérateur et la dérivée aléatoire du numéraire identifiée. La conférence souligne également l'importance de dériver tous les changements de mesure nécessaires et explore l'impact potentiel sur les relations entre les mouvements browniens dans différentes mesures. Le conférencier souligne l'importance de la transformation des mesures dans la tarification élégante et puissante d'instruments financiers complexes.
Poursuivant la conférence, l'orateur élucide la transformation mesurée pour le dérivé aléatoire de la nicotine et souligne l'importance de simplifier le gain. La formule de l'équation est expliquée, ainsi que la mesure correspondante qui doit être trouvée pour annuler les termes. La dynamique de l'obligation d'épargne et ses coefficients de dérive et de volatilité sont discutés après application du lemme d'éthos. Dans cette transformation, l'élément de corrélation s'avère négligeable. L'orateur souligne également l'importance de la relation entre S2 et S1 par rapport à la table ethos.
En changeant d'orientation, l'orateur discute de la dynamique de deux processus de stock sous la transformation de mesure S1, qui implique la substitution d'une nouvelle mesure.
Sous la transformation de mesure S1, l'orateur explique que le premier processus de stock suit toujours une distribution log-normale mais avec un terme supplémentaire dans la dérive. De même, le deuxième processus de stock présente un terme supplémentaire en raison de la corrélation entre les deux processus. L'orateur souligne l'importance d'ordonner les variables de la plus simple à la plus avancée et recommande d'utiliser la décomposition de Cholesky comme technique pour simplifier les équations différentielles stochastiques. En tirant parti des propriétés log-normales, la probabilité d'évaluation peut être efficacement résolue.
Élargissant la portée de la conférence, le conférencier aborde ensuite les obligations à coupon zéro, qui sont des dérivés fondamentaux dans le domaine des taux d'intérêt. Les obligations à coupon zéro ont un gain simple - une valeur unique reçue à une échéance - ce qui les rend faciles à comprendre et à utiliser. En outre, ils servent d'éléments de base cruciaux pour la tarification de produits dérivés plus complexes. Il est à noter que dans certains cas, la valeur d'une obligation à l'origine peut être supérieure à un, indiquant des taux d'intérêt négatifs. Des taux négatifs peuvent résulter d'interventions de la banque centrale visant à accroître la liquidité, même si leur efficacité à stimuler les dépenses reste un sujet de débat. Le conférencier souligne que les obligations à coupon zéro jouent un rôle crucial dans le processus de changement de mesure dans le monde des taux d'intérêt.
De plus, le conférencier se penche sur l'importance de changer la mesure en mesure à terme lors de l'examen des obligations à coupon zéro. En utilisant le théorème de tarification fondamental et l'équation de tarification générique, la valeur actuelle d'une obligation à coupon zéro peut être dérivée. L'équation de tarification implique une attente d'un gain actualisé, qui équivaut à un pour une obligation à coupon zéro. Le conférencier souligne que les taux d'intérêt sont stochastiques et explique comment l'actualisation stochastique peut être éliminée de l'équation en changeant la mesure en mesure T à terme. La section se termine par une explication de la manière dont un dérivé du code rouble peut être modélisé et de la manière dont l'équation de tarification passe de la mesure neutre au risque à la mesure T forward.
De plus, le professeur souligne l'importance de changer les mesures et de réduire la dimensionnalité dans les modèles de tarification au sein de la finance. En passant aux prix sous la mesure à terme T et en éliminant la spécificité du facteur d'actualisation, les praticiens peuvent utiliser les techniques de changement de mesure comme des outils puissants dans leurs opérations quotidiennes. La conférence résume le concept de filtrages et leur relation avec les anticipations conditionnelles, en soulignant comment ces outils peuvent simplifier des problèmes complexes en finance.
Pour faire participer les élèves et renforcer leur compréhension, l'instructeur présente trois exercices. Le premier exercice consiste à mettre en œuvre une solution analytique pour la tarification des options de vente, en s'assurant que le code intègre les taux d'intérêt en Python. Le deuxième exercice étend la tarification aux options de vente, offrant l'occasion d'évaluer son efficacité. Enfin, les étudiants sont chargés de comparer l'expression analytique au résultat de la simulation de Monte Carlo pour l'expression de stock au carré sur la diapositive 24. Cet exercice met en évidence les avantages et les différences substantielles dans l'application des transformations de mesure.
La conférence offre une exploration complète des changements de mesure et de leurs applications en finance. Il couvre des sujets tels que le changement de mesures, la simplification des gains, la dynamique sous de nouvelles mesures, la transformation des processus et l'importance des obligations à coupon zéro et des taux d'intérêt. En tirant parti des transformations de mesures, les praticiens peuvent améliorer leurs modèles de tarification, simplifier les calculs et obtenir des informations précieuses sur des instruments financiers complexes.