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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 7/14, partie 2/2, (Swaptions et taux d'intérêt négatifs)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 7/14, partie 2/2, (Swaptions et taux d'intérêt négatifs)
La conférence vidéo plonge dans les subtilités de la tarification des swaptions dans un environnement de taux d'intérêt négatifs. L'instructeur présente l'algorithme proposé par Farshid Jamshidian en 1989, qui facilite la transformation du problème du calcul du maximum d'une somme en une somme de maximums spécifiques, sous certaines conditions. Une exigence cruciale pour cette approche est que la fonction psi_k(x) doit être monotone croissante ou décroissante afin d'obtenir des calculs précis. La conférence se termine par des devoirs et un exercice Python axé sur les techniques de calcul numérique.
L'orateur insiste sur l'importance de déterminer la valeur de x_star, qui correspond à la somme maximale de psi égale à zéro. Trouver cette valeur permet la substitution de la taille de sommation, k, dans l'équation. L'orateur explore ensuite comment cette condition, associée à l'utilisation de fonctions croissantes monotones, permet d'éliminer le maximum de la partie la plus externe à la plus interne de l'équation. De plus, un exercice est présenté qui consiste à calculer l'espérance d'un maximum en utilisant à la fois la force brute et les techniques de séquence de jonction de James.
L'orateur partage ensuite un exercice personnel impliquant l'évaluation de la somme de tous les termes psi_i pour i allant de 0 à 14. Ils abordent également l'utilisation de la simulation Monte Carlo pour la tarification, en utilisant l'astuce Jump Diffusion pour déterminer la valeur x optimale , ce qui influence significativement le résultat de la sommation. Le locuteur parcourt tous les termes pour chaque frappe pour identifier le maximum et applique ensuite l'astuce jamshidienne en prenant l'attente du maximum et en additionnant les valeurs maximales. Cependant, il est important de reconnaître certaines limites associées à cette technique, telles que son inapplicabilité aux facteurs de grande dimension et la nécessité d'un examen attentif des hypothèses sous-jacentes.
Ensuite, la conférence se penche sur l'équation de tarification pour les solutions utilisant l'ensemble du modèle blanc. Cela implique de définir une obligation à coupon zéro dans l'ensemble du cadre du modèle blanc, avec des fonctions explicites A et B exprimées en termes de paramètres du modèle. L'orateur explique comment la fonction Thêta peut être représentée en termes d'obligations à coupon zéro, qui peuvent ensuite se substituer aux taux à terme. Le principal point à retenir est que, par rapport à l'équation de Black-Scholes utilisée pour la tarification des swaptions dans le cadre de la mesure d'annuité, il est plus avantageux de passer à la mesure associée à l'actualisation, ce qui nécessite de simuler un processus à taux court. En employant l'astuce jamshidienne, il devient possible de rechercher R_star et d'obtenir une sommation comprenant deux composantes : l'une liée à l'optimisation et l'autre liée aux obligations à coupon zéro avec des poids spécifiques.
La conférence progresse pour discuter de la tarification des swaptions à l'aide de l'astuce de Jamshidian, montrant comment cette approche facilite le calcul de la volatilité implicite. Le prix d'une swaption peut être exprimé comme une somme pondérée d'options sur des obligations à coupon zéro, où les pondérations c_k représentent les proportions d'options et les options sur obligations à coupon zéro sont des options de vente ajustées. La tarification de ces options d'obligations à coupon zéro suit un processus simple basé sur des informations précédemment couvertes. La mise en œuvre de cette approche est relativement simple car elle implique l'analyse de fonctions monotones lors du calcul de la volatilité implicite ou de la tarification des swaptions.
À l'avenir, le conférencier explique la séquence des événements économiques qui ont conduit à des taux d'intérêt négatifs, en soulignant la distinction entre les taux d'intérêt réels et nominaux. Ils discutent de la façon dont un manque de confiance et des événements déflationnistes peuvent avoir un impact sur l'activité commerciale et l'économie globale. Le conférencier reconnaît les interventions menées par les banques centrales pour stimuler la masse monétaire et regagner la confiance pendant la Grande Récession, y compris la baisse des taux d'intérêt pour encourager l'investissement et l'activité économique. Cependant, ils reconnaissent également les inconvénients potentiels et les iniquités associées à la situation, notamment en termes de pouvoir d'achat si l'inflation dépasse les taux nominaux.
La conférence se penche sur l'utilisation des taux d'intérêt négatifs comme mesure non conventionnelle pour inciter les investisseurs à emprunter de l'argent et à investir sur le marché. L'objectif est de stimuler l'économie en incitant les grandes institutions financières à acheter des actifs ou à s'engager dans des activités de marché. Le concept de taux d'intérêt négatifs peut fonctionner efficacement en l'absence d'inflation. Cependant, si l'inflation se produit et dépasse les attentes des banques centrales, les taux peuvent devoir être augmentés pour compenser. Cela peut présenter un risque pour les entreprises et les investisseurs ayant des dettes à faible taux, pouvant conduire à la faillite. Ces évolutions mettent en évidence l'existence à la fois de cycles économiques longs allant jusqu'à 100 ans et de cycles plus courts d'environ 10 ans. Le conférencier aborde également le concept d'inflation et souligne l'importance de comprendre le fonctionnement du marché de l'inflation afin de se préparer à tout phénomène lié à l'inflation.
En outre, l'instructeur se penche sur la question des taux d'intérêt négatifs, qui sont devenus plus répandus dans l'environnement économique actuel. Une comparaison des taux européens entre 2008 et 2017 montre que les placements à court terme rapportent désormais des taux négatifs, incitant peu à l'épargne. L'instructeur aborde également les défis posés par les taux d'intérêt négatifs lorsqu'il s'agit de calculer les volatilités et de traiter les obligations à taux variable. Par conséquent, des modèles nouveaux et alternatifs sont nécessaires pour résoudre efficacement ces problèmes. De plus, l'instructeur mentionne que les banques tentent souvent d'atténuer les conséquences néfastes des taux d'intérêt négatifs en incorporant des maximums ou en renonçant aux paiements de coupons pour les clients.
La conférence vidéo se poursuit en explorant des stratégies pour faire face aux taux d'intérêt négatifs et en déterminant la volatilité implicite des options de tarification. Ceci est crucial car, dans un scénario où les taux d'intérêt deviennent négatifs, les activités de négociation de produits dérivés peuvent s'arrêter. Lors de l'utilisation du modèle Black-Scholes traditionnel pour calculer les volatilités implicites, la sortie peut être "NaN" (pas un nombre). Une approche pour relever ce défi consiste à utiliser des volatilités implicites décalées. Cela implique l'incorporation d'un paramètre de décalage supplémentaire dans le modèle Black-Scholes pour tenir compte du taux d'intérêt négatif maximum. Cependant, il est important de surveiller de près ce paramètre de décalage. S'il s'approche de l'avant négatif, le problème se pose à nouveau.
L'orateur discute en outre de l'utilisation de la variante décalée du LIBOR pour la tarification des swaptions, soulignant comment elle résout le problème des taux d'intérêt négatifs. En introduisant un paramètre de décalage supplémentaire, même si le prix d'exercice considéré est négatif, cela n'affecte pas le résultat de la tarification. En effet, le modèle décalé garantit que les taux restent au-dessus de la plage négative, compte tenu de la nature log-normale du modèle. De plus, il est crucial d'associer le paramètre de décalage à l'expiration et à la durée de l'actif sous-jacent. Pour illustrer ces concepts, l'orateur fournit des représentations visuelles de la distribution log-normale et présente les prix des options sous différents paramètres de décalage.
Développant la notion de déplacement dans la formule de Black-Scholes, la conférence se penche sur l'impact des paramètres de déplacement sur les volatilités et les formes de distribution. Une implémentation de code est présentée pour la tarification, utilisant à la fois la simulation de Monte Carlo et des expressions analytiques. La simulation consiste à générer des chemins pour le mouvement brownien géométrique décalé (GBM) et à calculer le prix moyen. Le code ajuste également les points initiaux, génère des densités pour le modèle local avec un décalage pour thêta et trace des densités log-normales pour différents paramètres de décalage. L'importance de maintenir le paramètre de décalage aussi proche de zéro que possible est soulignée, car des paramètres de décalage plus élevés peuvent affecter de manière significative la distribution et la volatilité.
Le professeur insiste sur l'aspect crucial de la prise en compte précise des paramètres de changement lors de la tarification des swaptions, soulignant que même une petite erreur peut entraîner des erreurs de tarification importantes. La conférence consolide les concepts couverts, y compris la tarification des caplets et des planchers, les swaps de taux d'intérêt, la tarification des swaptions utilisant le modèle noir, les taux d'intérêt négatifs et l'application de l'astuce de Jamshidian dans la tarification des swaptions sous le modèle Hull-White. Pour conclure, le professeur donne des devoirs aux étudiants, les encourageant à appliquer les concepts appris au cours magistral pour calculer les volatilités implicites et les options de prix.
Dans la dernière section de la vidéo, l'orateur explique comment fixer le prix d'une option dans le cadre du modèle de ligne complète en combinant deux blocs ensemble. L'objectif est de comparer les résultats avec la simulation de Monte Carlo pour s'assurer que le code est exempt de bugs et d'erreurs. La conférence se termine avec l'instructeur encourageant les étudiants à apprécier leurs devoirs et à approfondir les sujets abordés.
La conférence vidéo offre une exploration complète des taux d'intérêt négatifs, des swaptions de prix et de l'application de diverses techniques et modèles mathématiques. Il souligne l'importance de comprendre des concepts tels que l'astuce de Jamshidian, les volatilités implicites décalées et l'influence des paramètres de décalage sur les prix et les formes de distribution. En dotant les étudiants de ces outils et de ces connaissances, la conférence les prépare à naviguer dans les complexités du monde financier, à prendre des décisions éclairées et à évaluer avec précision les options et les swaptions dans des conditions de marché difficiles.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 1/4, (Hypothèques et Prépaiements)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 1/4, (Hypothèques et Prépaiements)
Dans la conférence, le concept de tarification des prêts hypothécaires est discuté en profondeur, soulignant la nature complexe de cette tâche du point de vue de l'ingénierie financière. Le principal défi réside dans la gestion des risques liés aux prépaiements des clients et aux paiements supplémentaires effectués en plus des mensualités régulières. Deux types de prêts hypothécaires sont spécifiquement ciblés : les prêts hypothécaires in fine et les prêts hypothécaires via la rente.
Une hypothèque in fine implique que les clients ne paient que le taux d'intérêt et le notionnel en cours à la fin du contrat, tandis qu'une hypothèque de rente implique une réduction progressive du notionnel jusqu'à ce qu'il ne reste plus de notionnel en cours à la conclusion du contrat. Les paiements anticipés, les risques de pipeline et l'inclusion du comportement et des incitations des personnes dans la tarification des contrats financiers sont également abordés dans la conférence.
Il est souligné que les risques liés aux remboursements anticipés sont minimisés pour les prêts hypothécaires à taux variable puisque les clients n'ont aucune incitation optimale à effectuer des remboursements anticipés. Le taux de remboursement anticipé constant est discuté en relation avec la gestion de portefeuille. Pour évaluer le profil de remboursement d'un portefeuille de prêts hypothécaires, il faut tenir compte des risques de remboursement anticipé en fonction du profil de remboursement global plutôt que des clients individuels.
La conférence se penche sur le swap d'amortissement d'indice et sur la manière dont il peut être utilisé pour faire correspondre les risques de remboursement anticipé au sein du portefeuille. En outre, l'aspect comportemental des remboursements anticipés est exploré, en tenant compte des incitations au refinancement et de la prise de décision rationnelle ou irrationnelle des individus lorsqu'ils décident d'allouer des fonds supplémentaires à leur prêt hypothécaire.
Les risques auxquels sont confrontées les banques et autres institutions financières sont également mis en évidence, notamment en ce qui concerne les flux de trésorerie hypothécaires et l'incertitude qui les entoure. Cela inclut le risque de défaillance des clients et la nécessité pour les banques de revendre des maisons, parfois à perte. La conférence met l'accent sur l'importance de la tarification et de la gestion des risques dans l'émission de prêts hypothécaires, en particulier en ce qui concerne le risque de pipeline et le risque de remboursement anticipé. Le risque lié au pipeline découle du délai entre l'acceptation d'un prêt hypothécaire et la signature du contrat, ce qui laisse de la place aux variations des taux d'intérêt au cours de cette période.
Les risques associés aux prêts hypothécaires, tels que le risque de pipeline et le risque de remboursement anticipé, sont expliqués plus en détail. Le risque de pipeline fait référence au risque qu'un client puisse opter pour un taux d'intérêt inférieur, ce qui se produit lorsqu'un client a la possibilité d'exécuter un contrat à un taux inférieur. D'autre part, le risque de remboursement anticipé concerne la volonté d'un client de modifier le contrat et le risque associé de remboursement anticipé. Les institutions financières qui concluent des contrats avec des clients sont confrontées à des positions non écloses qui introduisent des risques supplémentaires dans la tarification des produits dérivés. Les hypothèques possèdent une option intégrée qui permet au créancier hypothécaire de rembourser son hypothèque plus rapidement que le calendrier convenu, ce qui entraîne un risque de remboursement anticipé. La conférence souligne qu'il est logique pour un créancier hypothécaire de prioriser le remboursement de son hypothèque plutôt que de conserver des économies dans un compte avec des taux d'intérêt négatifs ou nuls.
Bien que la tarification des prêts hypothécaires dans le cadre de la mesure neutre au risque soit importante, la conférence souligne que les incitations des consommateurs à contracter ou à rembourser par anticipation des prêts hypothécaires peuvent ne pas être uniquement motivées par les circonstances du marché. Des facteurs tels que l'âge ou la liberté financière peuvent influencer l'incitation à rembourser par anticipation les hypothèques et à éviter les paiements mensuels. La conférence explore le lien entre la tarification dans le cadre de la mesure neutre au risque et les aspects comportementaux impliqués dans la tarification des paiements anticipés. Il se penche également sur deux types de calendriers d'amortissement : les hypothèques viagères et les hypothèques in fine, qui garantissent que les emprunteurs remboursent finalement la somme initiale empruntée pour l'achat de la maison, ainsi que des montants supplémentaires représentant les coûts d'emprunt.
La vidéo explique la relation entre les prêts hypothécaires, les remboursements anticipés et les risques auxquels sont confrontées les institutions financières. Les remboursements anticipés effectués par les emprunteurs, dépassant leurs échéances prévues, obligent la banque à ajuster leur couverture, entraînant des surcoûts. Des paiements anticipés importants peuvent également réduire les flux de trésorerie entrants de la banque et la durée du contrat. Cependant, un nombre important de paiements anticipés soudains génèrent un risque de paiement anticipé qui doit être analysé et atténué. Pour gérer ces risques, les banques créent des portefeuilles hypothécaires et utilisent des swaps pour compenser les paiements à taux fixe.
Le conférencier discute des risques et des bénéfices associés aux hypothèques et aux remboursements anticipés. Les prêts hypothécaires sont évalués au niveau du portefeuille, avec des couvertures constituées de notionnels nettement plus importants. La rentabilité d'une banque dans une hypothèque dépend de facteurs tels que le montant notionnel, la durée du prêt et le taux d'intérêt. Toutefois, les remboursements anticipés représentent une perte potentielle pour la banque. Les autres risques associés aux prêts hypothécaires comprennent le risque de pipeline, le risque fiscal, le risque de défaut et le risque d'effondrement du marché immobilier. La conférence souligne que le plan d'amortissement choisi pour une hypothèque peut avoir un impact sur le montant des intérêts courus.
Le conférencier fournit une exploration détaillée des différents types de prêts hypothécaires et de leurs calendriers d'amortissement associés. L'un de ces types est l'hypothèque in fine, qui implique un paiement forfaitaire unique à la fin de la durée de l'hypothèque. Si cela simplifie les obligations de paiement tout au long du terme, cela comporte le risque d'un paiement substantiel dû à la fin. Le conférencier suggère qu'une hypothèque in fine peut convenir aux personnes qui ont des opportunités d'investissement alternatives, comme un compte d'épargne avec un taux d'intérêt plus élevé que l'hypothèque. La conférence offre également un aperçu des paiements mensuels et des périodes d'accumulation, fournissant une compréhension complète des structures de paiement hypothécaire.
Les taux de remboursement anticipé constants associés aux hypothèques sont discutés en détail. Ces taux représentent des montants fixes que les propriétaires choisissent de rembourser par anticipation pour leurs hypothèques. Le taux de remboursement anticipé est généralement estimé sur la base d'un important portefeuille de prêts hypothécaires et affecte la valeur notionnelle sur la période d'amortissement. Les contraintes légales sur les montants des remboursements anticipés sont également mentionnées. Le conférencier calcule le montant total des intérêts payés sur un prêt hypothécaire à l'aide d'un taux de remboursement anticipé et souligne l'importance de tenir compte des remboursements anticipés dans la tarification des prêts hypothécaires. Des expériences et des exercices numériques sont présentés pour illustrer les concepts, et un tracé et un code Python sont utilisés pour analyser efficacement les flux de trésorerie et les calendriers d'amortissement.
La conférence met l'accent sur l'impact des taux de remboursement anticipé sur l'amortissement d'un prêt hypothécaire au fil du temps. Un exemple est fourni pour une hypothèque à taux fixe de 10 ans à un taux d'intérêt de 3%, que la banque doit couvrir à l'aide d'un swap. L'expérience compare des scénarios avec et sans remboursements anticipés, démontrant comment les remboursements anticipés diminuent progressivement au fil du temps à mesure que l'encours notionnel diminue. Les résultats mettent en évidence que les remboursements anticipés peuvent réduire considérablement le montant des intérêts payés, mais qu'un paiement forfaitaire substantiel est toujours requis à la fin. Le conférencier note également qu'en pratique, les prêts hypothécaires peuvent être combinés avec des comptes d'épargne ou des produits dérivés qui offrent des rendements plus élevés, tout en minimisant l'imposition sur l'encours notionnel.
De plus, la conférence plonge dans la construction d'un tableau d'amortissement pour une hypothèque in fine en utilisant le code Python. Le code permet de calculer des échéanciers de paiement en fonction de taux d'intérêt et de taux de remboursement anticipé donnés. Il fournit un tableau matriciel qui décrit les paiements requis tout au long de la durée de vie de l'hypothèque. Les taux de remboursement anticipé peuvent être exprimés en pourcentage, ce qui facilite l'analyse d'un vaste portefeuille de prêts hypothécaires. Le calendrier de paiement est affecté lorsque les paiements anticipés sont introduits, ce qui montre la flexibilité et l'utilité du code Python pour analyser les structures de paiement.
L'orateur explique les colonnes d'une matrice de paiement hypothécaire. Le temps est représenté dans la première colonne, suivi de la notion exceptionnelle dans la deuxième colonne. Le remboursement anticipé, le remboursement et le devis théorique sont définis dans les colonnes suivantes. La colonne de prépaiement indique la fraction du notionnel qui sera prépayée et est déterminée par le taux de prépaiement constant (CPR). Remboursement, dans la quatrième colonne, signifie la réduction de la notion en cours chaque mois avec des paiements réguliers. La cinquième colonne représente les paiements d'intérêts, tandis que la dernière colonne affiche les versements mensuels requis. Le conférencier présente le modèle en utilisant un exemple d'hypothèque in fine de 30 ans sans remboursement anticipé.
En résumé, la conférence offre une exploration approfondie de la tarification des prêts hypothécaires, des risques de remboursement anticipé et de leur impact sur les institutions financières. Il couvre divers types de prêts hypothécaires, y compris les prêts hypothécaires in fine et les prêts hypothécaires sous forme de rente, et souligne l'importance de tenir compte du comportement et des incitations des clients dans la tarification des prêts hypothécaires. La conférence se penche sur les risques auxquels sont confrontées les institutions financières, tels que le risque de pipeline et le risque de remboursement anticipé, et discute des stratégies pour atténuer ces risques grâce à la gestion de portefeuille et à l'utilisation de dérivés financiers comme les swaps. La conférence met également en évidence l'incertitude entourant les flux de trésorerie hypothécaires, y compris la possibilité de défauts de paiement des clients et la nécessité pour les banques de revendre des maisons à perte potentielle.
De plus, la conférence reconnaît que la tarification des prêts hypothécaires uniquement selon une mesure neutre au risque peut ne pas saisir toute la gamme des incitations et des comportements des consommateurs. Des facteurs tels que l'âge, la liberté financière et les préférences personnelles peuvent influencer considérablement la décision des clients de rembourser par anticipation ou de refinancer leur prêt hypothécaire. Par conséquent, la conférence met l'accent sur l'importance d'intégrer les aspects comportementaux dans les modèles de tarification des prêts hypothécaires, en tenant compte des motivations et de la prise de décision rationnelle/irrationnelle des emprunteurs.
Le conférencier explore le concept de taux de remboursement anticipé constants et leur relation avec la gestion de portefeuille. Au lieu d'analyser les risques de remboursement anticipé au niveau d'un client individuel, le cours insiste sur la nécessité d'évaluer le profil de remboursement global d'un portefeuille de prêts hypothécaires. En tenant compte du comportement global de remboursement anticipé, les banques peuvent mieux gérer les risques associés et utiliser des outils tels que les swaps amortissables sur indices pour faire correspondre et couvrir efficacement les risques de remboursement anticipé.
En outre, la conférence se penche sur les risques auxquels sont confrontées les institutions financières en raison des hypothèques et des remboursements anticipés. Lorsque les emprunteurs effectuent des remboursements anticipés importants, cela nécessite des ajustements de la stratégie de couverture de la banque, ce qui entraîne des coûts supplémentaires et des perturbations potentielles des flux de trésorerie et de la durée du contrat. Le paiement anticipé soudain d'un nombre important de clients crée un risque de remboursement anticipé, qui doit être soigneusement analysé et couvert pour atténuer son impact sur le portefeuille de la banque. Le conférencier souligne que les banques créent des portefeuilles hypothécaires et utilisent des swaps pour compenser les paiements à taux fixe, réduisant ainsi les risques.
La conférence se termine par une discussion sur l'évaluation des titres hypothécaires, en notant qu'elle dépend de quantités observables sur le marché. Bien que cet aspect soit brièvement évoqué, le cours magistral implique qu'une exploration plus approfondie de ces grandeurs sera abordée dans les parties suivantes du cours.
La conférence fournit une compréhension globale de la tarification des prêts hypothécaires, des risques de remboursement anticipé et de leurs implications pour les institutions financières. Il aborde divers types de prêts hypothécaires, les aspects comportementaux, les techniques de gestion de portefeuille et les stratégies d'atténuation des risques. En tenant compte de la dynamique complexe des flux de trésorerie hypothécaires, des remboursements anticipés et du comportement des clients, la conférence fournit aux téléspectateurs les connaissances et les outils nécessaires pour relever les défis de la tarification et de la gestion efficace des portefeuilles hypothécaires.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 2/4, (Hypothèques et Prépaiements)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 2/4, (Hypothèques et Prépaiements)
En plus des sujets abordés jusqu'à présent, la conférence explore plus en détail le concept des hypothèques viagères et leurs caractéristiques essentielles. Une rente hypothécaire est un type de prêt hypothécaire où la notion d'encours diminue progressivement au fil du temps en raison de remboursements réguliers. Les paiements mensuels pour les hypothèques viagères comprennent deux éléments : les paiements de taux d'intérêt et les calendriers de remboursement contractuels désignés par « q ». Ces remboursements sont structurés de manière à ce que l'encours notionnel soit réduit à chaque paiement jusqu'à ce que le paiement final couvre le solde restant.
L'instructeur explique que les hypothèques de rente ont des versements fixes pendant toute la durée du contrat, assurant un équilibre entre le taux d'intérêt et la partie principale. Ce solde se traduit par une somme constante à chaque échéance. À mesure que l'encours notionnel diminue, les remboursements et les paiements d'intérêts suivent des tendances opposées. L'intérêt composé sur le notionnel restant diminue avec le temps. Pour calculer le montant correct des versements, les flux de trésorerie futurs actualisés de l'hypothèque doivent être égaux à la valeur du notionnel en cours. Tout paiement anticipé effectué doit ajuster le montant du paiement constant en conséquence.
Le cours se penche sur le calcul des paiements constants ou des rentes. La valeur d'une rente est déterminée en additionnant tous les flux de trésorerie futurs actualisés jusqu'à aujourd'hui. En utilisant la formule des sommes géométriques, on peut dériver une expression analytique de l'annuité. Cependant, si des paiements anticipés sont effectués, le montant du paiement constant changera, ce qui nécessitera un nouveau calcul. Le conférencier explique également comment calculer les paiements de taux d'intérêt et de principal, ainsi que comment ajuster l'encours notionnel après les remboursements anticipés.
De plus, le conférencier met l'accent sur la notion de temps et son impact sur les hypothèques, les remboursements et les remboursements anticipés. Au fur et à mesure que les remboursements et les remboursements anticipés sont effectués, l'encours notionnel d'un prêt hypothécaire diminue, ce qui entraîne une diminution correspondante des paiements mensuels. Le taux de remboursement anticipé peut être considéré comme une reformulation du paiement du taux d'intérêt et est inclus dans la composante taux d'intérêt. Lorsqu'un emprunteur décide de rembourser par anticipation un versement, l'échéancier de paiement restant est ajusté pour refléter l'encours notionnel mis à jour. Des graphiques sont présentés pour illustrer l'impact des différents niveaux de remboursement anticipé sur le notionnel en constante réduction, en considérant des scénarios avec des taux de remboursement anticipé de 0 % et 12 %. La conférence conclut que des taux de remboursement anticipé plus élevés peuvent entraver la réduction de l'encours notionnel.
La conférence se penche également sur la structure des hypothèques viagères et leur mécanisme de remboursement. Une rente hypothécaire consiste en des versements mensuels fixes qui englobent à la fois des composantes de remboursement et de taux d'intérêt. Ces paiements fixes assurent une structure de remboursement équilibrée sur toute la durée de l'hypothèque. Le conférencier explore l'impact des paiements anticipés sur les paiements mensuels et explique comment le montant du paiement constant (c) doit être recalculé lorsque les paiements anticipés sont effectués. De plus, le montant notionnel de l'hypothèque diminue progressivement jusqu'à ce qu'il ne reste plus de notionnel en cours. À la fin de la période hypothécaire, tous les paiements atteignent zéro, facilitant une transition en douceur en présence de taux de remboursement anticipé. Le conférencier fournit le code Python pour le calendrier de remboursement et explique sa signification.
En outre, la conférence traite des étapes impliquées dans le calcul du nouveau notionnel après un remboursement ou un remboursement anticipé dans une hypothèque. Ce processus est itératif et prend en compte le notionnel précédent, les taux de remboursement, les taux de remboursement anticipé et les paiements de taux d'intérêt sur la durée de vie du contrat. Si le prépaiement dépend du temps ou est stochastique, des ajustements doivent être apportés aux calculs. De plus, la conférence souligne que les remboursements anticipés réduisent les coûts mensuels, tandis qu'un taux de remboursement anticipé nul conduit à des versements constants tout au long de la durée de vie de l'hypothèque. Il est expliqué que si le prépaiement n'intervient qu'à une date précise, les versements resteront constants jusqu'à cette date, après quoi tout sera recalculé.
Le conférencier explique ensuite comment les taux de remboursement anticipé des prêts hypothécaires sont estimés du point de vue de la gestion de portefeuille. Le taux de remboursement anticipé, représenté par le coefficient lambda, est un facteur crucial dans la gestion de portefeuille car il affecte la performance et le risque du portefeuille. L'estimation du taux de remboursement anticipé implique la prise en compte de données historiques et l'analyse de divers facteurs qui influencent la décision d'un emprunteur de rembourser par anticipation son prêt hypothécaire. Ces facteurs peuvent comprendre les taux d'intérêt, les objectifs financiers des particuliers et les conditions du marché. La conférence explore l'impact des quantités observables sur le marché sur le taux de remboursement anticipé et discute des méthodes d'estimation de celui-ci sur la base d'un portefeuille de prêts hypothécaires.
Ensuite, la conférence se penche sur le concept d'incitation au refinancement et sa relation avec les modèles de remboursement anticipé des prêts hypothécaires. Les emprunteurs sont plus susceptibles de rembourser par anticipation leur prêt hypothécaire lorsqu'ils observent un taux d'intérêt inférieur par rapport au taux de leur prêt hypothécaire actuel. Cette incitation au refinancement est un moteur clé de tout modèle de remboursement anticipé et est étroitement liée aux taux du marché. De plus, le type de prêt hypothécaire, son échéance et les garanties qui y sont associées peuvent influer sur les taux hypothécaires. Le conférencier souligne que l'attractivité du collatéral influence le taux d'intérêt offert par les banques. D'autres facteurs pouvant avoir une incidence sur les taux de remboursement anticipé comprennent l'âge de l'hypothèque, le mois de l'année, les considérations fiscales et l'épuisement professionnel.
La conférence aborde les facteurs qui affectent les taux de remboursement anticipé, en tenant compte à la fois de la situation du marché et des profils individuels des clients. L'incitation au taux d'intérêt est identifiée comme le facteur le plus important influençant les taux de remboursement anticipé. La détermination de l'incitation au remboursement anticipé implique l'évaluation des quantités observables sur le marché. La conférence suggère que la référence la plus raisonnable pour la tarification d'un prêt hypothécaire est un taux de swap, que les banques utilisent pour calculer le taux hypothécaire pour les nouveaux clients. Le facteur de risque de liquidité détermine un écart supplémentaire pour le taux hypothécaire. Les remboursements anticipés sont considérés comme un coût pour les banques car ils réduisent la position de couverture, et la détermination du taux hypothécaire implique l'évaluation des risques et des bénéfices associés.
L'attention se porte ensuite sur la fonction incitative des remboursements anticipés des prêts hypothécaires. Le taux de swap dépend des montants de remboursement anticipé, qui sont directement liés au taux hypothécaire initial d'un prêt hypothécaire à taux fixe et au taux associé au refinancement. Le coefficient de risque de liquidité et la marge bénéficiaire de la banque contribuent également à déterminer le nouveau taux hypothécaire. Cependant, la conférence reconnaît que les gens ne se comportent pas toujours de manière logique ou rationnelle lorsqu'ils décident de rembourser par anticipation leur hypothèque. Par exemple, les particuliers peuvent choisir de prépayer lorsque ce n'est pas nécessairement optimal, comme lorsqu'ils gagnent de l'argent supplémentaire. La fonction d'incitation est définie comme la différence entre le taux hypothécaire actuel et le nouveau taux hypothécaire, et elle est utilisée pour évaluer s'il est judicieux de refinancer ou de rembourser par anticipation une hypothèque.
L'instructeur insiste sur l'importance de comprendre la forme de la fonction d'incitation dans différentes circonstances de marché. Le graphique représentant la fonction incitative présente des points de rupture et une forme sigmoïde, qui reflète à la fois la fonction incitative et le comportement non rationnel des emprunteurs. La conférence souligne l'importance de prendre en compte les petits détails lors de la mise en œuvre des fonctions d'incitation, car même des variations subtiles peuvent avoir un impact crucial.
La conférence se termine avec le conférencier discutant du concept de remboursements anticipés sur les hypothèques. Lorsque le taux de swap diminue ou atteint zéro, l'incitation au remboursement anticipé diminue. Dans les cas où les taux de swap deviennent négatifs, l'incitation peut atteindre son niveau maximum. La forme du graphique de la fonction incitative est explorée plus en détail, en accordant une attention particulière à la différence entre l'ancien taux hypothécaire et les valeurs des swaps. Il est souligné que bien que la forme soit généralement décroissante, il est essentiel de prêter attention aux petits détails lors de la mise en œuvre des fonctions incitatives.
La conférence fournit une compréhension complète des hypothèques de rente, de leurs mécanismes de remboursement, du calcul des paiements constants, de l'impact des remboursements anticipés, de l'estimation des taux de remboursement anticipé, des incitations au refinancement et des facteurs influençant le comportement de remboursement anticipé. En tenant compte de ces aspects, les particuliers peuvent prendre des décisions éclairées concernant leurs prêts hypothécaires et comprendre la dynamique du marché hypothécaire.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 3/4, (Hypothèques et remboursements anticipés)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 3/4, (Hypothèques et remboursements anticipés)
Dans la conférence d'aujourd'hui, nous visons à établir un lien étroit entre les incitations au refinancement, les remboursements anticipés et divers types de prêts hypothécaires. Nous commençons par examiner le concept d'un taux de paiement constant et sa relation avec les hypothèques en tant que swaps amortissables sans incertitude. Sur cette base, nous introduisons le concept d'un swap amortissable sur indice, qui intègre la volonté des clients de rembourser par anticipation ou de refinancer en fonction des conditions du marché. Cela nous amène en outre à lier les incitations au refinancement et le taux de swap de référence dans la tarification des dérivés, spécifiquement appliqués à un portefeuille de prêts hypothécaires qui s'amortit avec le temps.
Pour mieux comprendre la dynamique impliquée, nous explorons les fonctions déterministes et stochastiques des plans d'amortissement. Alors qu'une fonction déterministe suffit dans les cas les plus simples, le scénario le plus avancé introduit une stochasticité, principalement déterminée par le taux de swap. Cette stochasticité capture le comportement irrationnel des clients, ce qu'il est important de prendre en compte lors de l'observation des taux du marché et de leur intégration dans la tarification d'un swap amortissable. Cependant, la tarification d'une notion stochastique pose des défis, et une approche standard peut ne pas suffire, nécessitant l'implication de contreparties avancées pour créer de tels dérivés.
Nous nous penchons sur l'impact des facteurs stochastiques, tels que le taux de swap et la volatilité, sur la tarification des prêts hypothécaires et le risque de remboursement anticipé. L'utilisation du lemme d'Ito devient essentielle pour déterminer si les quantités observées adhèrent aux propriétés de la martingale, en particulier lorsque le facteur observé est une fonction du Libor. Il convient de noter que le risque de remboursement anticipé n'existe que dans les prêts hypothécaires à taux fixe, car les prêts hypothécaires à taux variable n'ont pas d'incitation au remboursement anticipé. En comprenant les principes des swaps amortissables sur indices, nous pouvons gérer efficacement le risque de remboursement anticipé et réduire le risque de taux d'intérêt.
En élargissant nos connaissances, nous introduisons le concept d'un swap amortissable sur indice, un swap de taux d'intérêt de gré à gré qui combine un swap vanille simple avec une absorption partielle. Généralement conçu pour les investisseurs sophistiqués en raison de ses montants notionnels importants, ce dérivé exotique n'est généralement pas inclus dans les évaluations XVA. Néanmoins, l'exploration de la tarification des prêts hypothécaires et de leur lien avec le comportement de remboursement anticipé, les incitations au refinancement et les observations du marché revêt une valeur significative. Les schémas d'amortissement déterministes servent d'instruments couramment négociés, facilitant leur traitement et leur intégration dans le cadre d'un swap amortissable sur indice, qui comporte intrinsèquement une optionnalité intégrée.
Nous nous concentrons maintenant sur la modélisation du notionnel d'un swap amortissable sur indice, qui englobe la possibilité d'un amortissement stochastique via une fonction complexe liée au type d'hypothèque. Le taux de remboursement anticipé, à son tour, devient une fonction dépendante du taux de swap, tandis que l'incitation au refinancement repose sur des estimations historiques dérivées de divers facteurs tels que l'âge, le revenu, la richesse et les impôts. L'estimation des coefficients impliqués dans ces modèles de prépaiement nécessite des données historiques et une analyse détaillée. Le portefeuille de clientèle de chaque banque étant différent, la détermination de ces coefficients devient une étude approfondie propre à chaque établissement.
Dans la conférence, l'orateur discute également de l'estimation des coefficients utilisés dans les modèles de remboursement anticipé des prêts hypothécaires, soulignant qu'ils ne sont pas axés sur le marché mais uniquement basés sur des estimations de comportement historique. En outre, le concept de swap amortissable sur indice est défini, mettant en évidence son utilisation des incitations au refinancement et des taux de remboursement anticipé, qui sont déterminés sur la base de données historiques, pour établir les valeurs notionnelles des prêts hypothécaires. En évaluant ces attentes, on peut déterminer la valeur globale d'un portefeuille de prêts hypothécaires et apporter les ajustements nécessaires en fonction des conditions du marché.
L'instructeur développe davantage les complexités impliquées dans la décomposition des notionnels, expliquant qu'ils ne peuvent pas être divisés davantage car ils dépendent du taux de swap, qui, à son tour, n'est pas indépendant du taux de swap Libor. Bien que l'hypothèse d'indépendance soit possible, elle n'est pas recommandée sans une étude approfondie de l'impact de la corrélation. Au lieu de cela, il est conseillé d'utiliser la simulation de Monte Carlo. L'ensemble de ce processus comporte plusieurs étapes, notamment la tarification d'un taux de swap, l'estimation de la fonction de refinancement, la construction d'une fonction basée sur le type de prêt hypothécaire et l'ajustement des notionnels. Le prochain bloc de la conférence se concentrera sur la simulation du nœud nord, qui donne un aperçu de la façon dont les notionnels se comportent au fil du temps en fonction du type de prêt hypothécaire. Il est crucial d'aborder ce processus avec une attention méticuleuse aux détails et un examen attentif de chaque étape impliquée.
En résumé, la conférence d'aujourd'hui a mis l'accent sur l'interaction entre les incitations au refinancement, les remboursements anticipés et les différents types de prêts hypothécaires. Nous avons exploré le concept de swaps amortissables, à la fois avec et sans incertitude, et introduit le swap amortissable sur indice, qui intègre un comportement de remboursement anticipé déterminé par le marché. En liant les incitations au refinancement, les taux de swap de référence et la tarification des produits dérivés, nous pouvons gérer efficacement l'amortissement d'un portefeuille de prêts hypothécaires au fil du temps.
Les facteurs stochastiques tels que le taux de swap et la volatilité jouent un rôle important dans la tarification et l'évaluation du risque de remboursement anticipé. L'utilisation du lemme d'Ito devient indispensable pour évaluer avec précision les propriétés de martingale des grandeurs observées. Il est également important de différencier les prêts hypothécaires à taux fixe et à taux variable lorsque l'on considère le risque de remboursement anticipé.
Nous nous sommes penchés sur les subtilités du swap amortissable sur indice, un dérivé exotique qui combine un swap vanille simple avec une absorption partielle. Bien que généralement conçu pour les investisseurs avertis, il offre des informations précieuses sur la tarification des prêts hypothécaires, le comportement de remboursement anticipé et les observations du marché. Les schémas d'amortissement déterministes s'harmonisent bien avec ce type de swap, simplifiant son traitement et incorporant une optionnalité intégrée.
La conférence a mis l'accent sur la modélisation du notionnel d'un swap d'amortissement d'indice, en tenant compte de l'amortissement stochastique et de la fonction complexe liée au type d'hypothèque. L'estimation des coefficients pour les modèles de prépaiement nécessite des données historiques et une analyse détaillée, variant selon les banques en fonction de leurs portefeuilles de clients uniques.
En outre, nous avons discuté des défis associés à la décomposition des notionnels et de l'importance de comprendre la corrélation entre les taux de swap et les taux Libor. L'utilisation de la simulation de Monte Carlo est recommandée pour évaluer les dérivés avec des notions stochastiques, offrant une approche globale pour gérer la complexité du processus.
Cette conférence a mis en lumière le lien entre les incitations au refinancement, les remboursements anticipés et divers types de prêts hypothécaires. En intégrant des observations du marché, des données historiques et des techniques de modélisation avancées, nous pouvons gérer efficacement le risque de remboursement anticipé et naviguer dans les complexités de la tarification des portefeuilles de prêts hypothécaires.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 4/4, (Hypothèques et remboursements anticipés)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 8/14, partie 4/4, (Hypothèques et remboursements anticipés)
Dans la conférence, la tarification des prêts hypothécaires occupe le devant de la scène et l'instructeur présente une expérience Python qui combine la connaissance de la tarification des rentes et des prêts hypothécaires, y compris les incitations au refinancement, pour simuler la stochasticité des valeurs notionnelles. La conférence couvre divers aspects tels que les swaps, les modèles de tarification et les risques associés, y compris les options de pipeline, auxquels les banques sont confrontées.
Une partie importante de la conférence se concentre sur le comportement du profil notionnel pour les hypothèques in fine et viagères et sur la manière dont elles peuvent être simulées. Il est souligné que le caractère aléatoire des chemins simulés a une influence substantielle sur le profil notionnel. Il a été démontré que les remboursements anticipés ont un impact significatif sur la valeur notionnelle, en particulier pour les hypothèques in fine, tandis que les hypothèques viagères sont comparativement moins affectées. Le conférencier présente des codes Python qui sont étendus pour rendre le taux de remboursement anticipé constant dépendant du temps, nécessitant des entrées telles que la courbe des obligations à coupon zéro, le taux de swap et les chemins stochastiques à chaque pas de temps.
L'orateur se penche sur le taux de remboursement anticipé des prêts hypothécaires et son influence sur la fonction notionnelle et incitative de l'encours, qui dépend de facteurs de marché comme le taux de swap. Deux profils de paiement hypothécaire, bullet et rente, sont présentés, et leur indexation en fonction du temps et du comportement de remboursement anticipé est expliquée. Le cours introduit deux fonctions incitatives, sigmoïde et logistique, et souligne que la courbe de rendement utilisée pour la simulation de marché est fixée à 5 %. Les trajectoires de Monte Carlo générées pour les parts de taux d'intérêt servent de base à l'évaluation des fonctions incitatives.
L'instructeur discute plus en détail de la simulation des taux de swap, en tenant compte du point de vue du client et de son prêt hypothécaire en cours. Ils définissent la fonction incitative en fonction de l'hypothèque du client et itèrent au fil du temps pour créer des calendriers théoriques. La fonction d'incitation est évaluée pour le profil de l'hypothèque à chaque pas de temps, et cette information est stockée dans des métriques, ce qui donne un notionnel stochastique qui dépend de la fonction d'incitation, des taux d'intérêt stochastiques et du type d'hypothèque. La conférence comprend des résultats tracés, présentant les chemins avec et sans options de prépaiement.
L'enseignant insiste sur l'importance des fonctions incitatives et de la stochasticité dans le contexte des prêts hypothécaires et des remboursements anticipés. Divers exemples de profils théoriques sont présentés, illustrant leur comportement dans différents scénarios, y compris un comportement rationnel et irrationnel utilisant la fonction sigmoïde. L'impact de l'augmentation de l'incertitude et de la volatilité est discuté, en mettant l'accent sur le rôle de la fonction d'incitation dans l'exposition au risque et sur la nécessité d'acheter ou de vendre des swaps amortissables sur indices ou des swoptions. Il est démontré que le nombre d'étapes de la simulation a un impact sur le profil de notion, et des ajustements pratiques sont mis en évidence.
Une discussion approfondie est tenue sur les hypothèques de rente dans le cadre rationnel, avec un graphique illustrant le fonctionnement des incitations au remboursement anticipé et la façon dont les clients déterminent leur remboursement anticipé maximum. Des limitations telles que des restrictions légales ou des pénalités peuvent exister, influençant les choix du client. Une comparaison entre les hypothèques in fine et les hypothèques viagères révèle que l'incertitude dépend fortement de l'échéancier, une réduction du notionnel entraînant une incertitude moindre. La décomposition d'un portefeuille de commandes complexe en parties linéaires et non linéaires est expliquée, l'ingénierie financière offrant une possibilité de financement sans nécessairement recourir à des swaps amortissables sur indices.
Le calcul des versements et la valeur notionnelle d'un prêt hypothécaire sont expliqués à l'aide d'un cas simplifié d'un prêt hypothécaire à deux périodes. La valeur notionnelle est divisée en deux parties : n-up et la différence entre n-up et n-low. Cette dernière partie gère le remboursement anticipé du prêt hypothécaire et n'est positive que si le prix d'exercice est supérieur à LK, similaire à l'effet non linéaire d'une option d'achat. Le calcul du deuxième paiement implique une somme de deux paiements, le premier paiement étant déterministe et le deuxième paiement étant actualisé en fonction des résultats possibles de n-up et n-low.
La conférence redéfinit le swap amortissable d'indice comme une combinaison d'un swap amortissable déterministe et d'un floorlet non linéaire. Le conférencier souligne que l'achat d'un prêt hypothécaire peut être considéré comme la prise d'une position longue dans un swap, les remboursements anticipés réduisant la notion de prêt hypothécaire, ce qui s'apparente à une option pour conclure un swap. La composition d'un swap amortissable sur indice peut être optimisée pour répliquer son profil de risque, et des dérivés exotiques avancés comme celui-ci peuvent être couverts ou répliqués à l'aide d'instruments liquides simplifiés disponibles sur le marché. La conférence insiste constamment sur les risques de remboursement anticipé et leur impact sur la notion de portefeuille hypothécaire.
Un autre sujet abordé dans la vidéo est le risque supplémentaire associé aux hypothèques européennes ou aux hypothèques néerlandaises, spécifiquement lié à la capacité du client à choisir le taux de fixation de l'hypothèque. La conférence met en évidence deux dates critiques : t0, le jour de la cotation, et t1, le moment où le client signe un contrat avec la banque. Le risque pour la banque est que le client choisisse le taux le plus bas, entraînant des pertes substantielles. Ce risque est appelé risque de pipeline et il est crucial de le gérer efficacement pour protéger les bénéfices de la banque.
La discussion tourne autour de la tarification du risque de pipeline pour les prêts hypothécaires et les remboursements anticipés. La couverture du risque de pipeline pose des défis car elle nécessite l'utilisation de swaptions, nécessitant un recalcul continu des valeurs et des profils associés. Ce processus n'est pas une occurrence unique pour un seul client ; il s'applique à chaque client individuel. De plus, les risques s'accumulent dans un portefeuille, ce qui nécessite de regrouper les prêts hypothécaires dans un portefeuille plus vaste qui doit vieillir. La conférence se termine en se concentrant sur la tarification du risque de pipeline, en incorporant la possibilité pour les clients de choisir le taux à la date de cotation ou à la date de règlement, selon le taux le plus bas.
L'enseignant explique la décomposition du swap amortissable d'indice en un produit linéaire et la partie swaption restante. Cette stratégie de décomposition est courante en finance lorsqu'il s'agit de structures impliquant des options. Pour gérer le risque associé, la formule de Black est présentée comme une approche simple, ne nécessitant que de la volatilité pour la swaption de ces configurations. La conférence met l'accent sur l'importance de tenir compte du comportement et des incitations des clients, ainsi que de la tarification dans un monde sans risque lorsque l'on travaille avec des prêts hypothécaires.
En outre, le conférencier compare les hypothèques in fine et les hypothèques viagères, soulignant que les hypothèques viagères impliquent des remboursements réguliers au fil du temps au lieu d'un paiement forfaitaire à la fin du contrat. La conférence explore les facteurs qui conduisent aux remboursements anticipés des clients, tels que les incitations au refinancement, et présente des expériences numériques sur la simulation notionnelle basée sur les fonctions de marché et d'incitation des hypothèques. La discussion couvre également les risques associés à la transition d'un swap amortissable sur indice à un remboursement anticipé stochastique et à des options.
Vers la fin du cours, des exercices sont proposés aux étudiants pour simuler les notionnels et les prix des contrats hypothécaires. L'accent est mis sur le concept de convexité et son impact sur les anticipations en finance. Les élèves sont chargés de déterminer le côté d'une fonction qui donne l'égalité par rapport à une bibliothèque avec une mesure de paiement martingale, en utilisant des méthodes analytiques ou numériques. La conférence introduit le concept de collection de convexité et explore ses effets sur les attentes. Les étudiants sont également encouragés à modifier le code pour s'assurer que les remboursements anticipés ne se produisent que quelques fois pendant la durée de vie du contrat hypothécaire, développant ainsi leurs compétences en programmation en Python.
Dans l'ensemble, la conférence fournit une compréhension complète de la tarification des prêts hypothécaires, couvrant diverses complexités telles que les risques de remboursement anticipé, les fonctions d'incitation, la stochasticité, le risque de pipeline et la décomposition des swaps d'amortissement d'indice. Il donne aux étudiants les connaissances et les compétences pratiques nécessaires pour analyser et simuler des portefeuilles hypothécaires tout en tenant compte des facteurs du marché et du comportement des clients.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 9/14, partie 1/2, (Modèles hybrides et taux d'intérêt stochastiques)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 9/14, partie 1/2, (Modèles hybrides et taux d'intérêt stochastiques)
Dans la conférence, l'accent est mis sur les modèles hybrides et leur importance dans les portefeuilles des institutions financières. Ces modèles sont utilisés pour simuler des scénarios futurs pour diverses classes d'actifs, y compris les swaps de taux d'intérêt, les contrats de change et les actions. L'enseignant commence par discuter de l'importance d'utiliser des modèles hybrides pour les calculs de xVA (ajustements de valorisation) et de VaR (valeur à risque). Ils introduisent le modèle hybride Black-Scholes, qui établit un lien entre les actions et les taux d'intérêt et peut être facilement étendu à la tarification du forex. Ce modèle sert de base à d'autres discussions sur les modèles de volatilité stochastique.
Le cours est divisé en blocs, le deuxième bloc étant centré sur les modèles de volatilité stochastique. Le modèle Heston-Hull-White est discuté, ce qui implique l'incorporation de la volatilité stochastique dans le cadre du modèle hybride. Le conférencier donne un aperçu de la dynamique du modèle et met en évidence son application dans la simulation des valeurs futures potentielles des portefeuilles. L'objectif est d'évaluer les risques et d'évaluer la valeur des portefeuilles qui englobent plusieurs classes d'actifs, telles que les taux d'intérêt, les actions, les devises, les matières premières, le crédit et l'inflation. L'orateur insiste sur la corrélation entre les différentes classes d'actifs et la nécessité de prendre en compte leurs interdépendances.
La conférence met également l'accent sur l'étalonnage des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles (SDE) aux cotations du marché, en particulier pour simuler des processus corrélés de différentes classes d'actifs. Les modèles hybrides sont particulièrement utiles pour les gains hybrides et étaient initialement populaires pour évaluer les dérivés exotiques. Cependant, en raison de considérations de coût et de restrictions réglementaires, ils ont trouvé plus d'efficacité dans le cadre xVA et hVAR (hybrid value at risk). Le concept d'effet de compensation, qui considère les valeurs de compensation des différentes classes d'actifs en raison de leurs corrélations, est mis en évidence comme un facteur important dans l'évaluation du portefeuille et le calcul de l'exposition.
Alors que les modèles hybrides offrent des avantages dans l'évaluation des options d'achat et des expositions futures potentielles, la conférence reconnaît les défis associés à ces modèles. L'instructeur suggère de garder les modèles aussi simples que possible pour faciliter les évaluations rapides, car la rapidité est cruciale dans la tarification des produits dérivés. L'étalonnage aux données du marché et la prise en compte des corrélations entre différentes équations différentielles stochastiques sont essentiels. Certaines approximations peuvent être nécessaires lorsqu'il s'agit de corrélations non nulles. La conférence suggère des simulations de Monte Carlo ou des équations aux dérivées partielles (EDP) comme méthodes pour évaluer les modèles hybrides.
Les limites de l'utilisation des EDP pour évaluer des portefeuilles avec des actifs de différentes classes sont discutées en raison de la grande dimensionnalité impliquée. La conférence préconise l'utilisation des simulations de Monte Carlo, qui offrent une approche plus pratique. Une évaluation et un calibrage efficaces sont mis en évidence comme cruciaux pour l'évaluation du portefeuille, car des milliers d'évaluations sont généralement nécessaires. L'enseignant mentionne l'extension du modèle Black-Scholes avec Hull-White pour les taux d'intérêt, en insistant sur le rôle de la stochasticité et de la dépendance temporelle dans les modèles hybrides. Les mécanismes restants du modèle restent similaires au modèle standard de Black-Scholes.
Le conférencier se penche également sur le concept de changement de la mesure neutre au risque à la mesure T forward pour tirer parti des avantages des modèles hybrides dans le traitement de l'actualisation stochastique. Ils discutent du calcul des attentes pour les types de gains européens basés sur le temps et les variables sous-jacentes, en utilisant des formes intégrales et les dérivées de Radon-Nikodym à partir des transformations de mesure. La dynamique du stock et du stock décoté est expliquée, en insistant sur la nécessité pour eux d'être des processus de martingale. Le concept de cours à terme est introduit pour simplifier le processus.
Des explications supplémentaires sont fournies sur la dérivation de l'équation différentielle stochastique du cours des actions à terme (SDE) et sur l'importance d'effectuer des transformations logarithmiques pour la rendre linéaire dans les variables d'état. L'enseignant applique le lemme d'Ito au SDE du cours à terme des actions et aborde la transformation de mesure requise pour le processus. Le SDE sans dérive qui en résulte présente deux mouvements browniens distincts, correspondant aux taux boursiers et d'intérêt, avec une corrélation entre eux. La factorisation des deux mouvements browniens est discutée en fonction de leurs propriétés distributionnelles.
La dynamique du stock à terme est explorée dans le cours à l'aide d'un modèle hybride avec deux équations différentielles stochastiques. Il est souligné que la volatilité du stock à terme n'est plus constante mais influencée par la volatilité des taux d'intérêt. L'orateur discute du calcul des volatilités implicites dans le contexte des taux d'intérêt stochastiques. Ils suggèrent d'utiliser les prix pour déterminer les volatilités implicites et soulignent l'importance de basculer entre les mesures neutres au risque et les mesures T-forward pour exclure l'actualisation stochastique des gains. Cette section souligne les complexités liées au travail avec les taux d'intérêt stochastiques dans l'ingénierie financière.
La conférence présente un modèle de taux d'intérêt stochastique avec un processus unidimensionnel et une fonction de volatilité dépendante du temps rappelant l'équation de Black-Scholes sans taux d'intérêt. La composante d'actualisation est prise en compte en dehors de l'attente, et le processus de tarification des options européennes implique uniquement la valeur constante de l'intégrale de la fonction dépendante du temps. Le conférencier présente également la méthode du coût pour la tarification, en tirant parti de l'affinité du modèle Black-Scholes, et donne un aperçu de la façon dont l'actualisation stochastique est gérée dans cette approche.
Dans le segment suivant, l'orateur discute du processus d'intégration nécessaire pour obtenir l'expression de la constante "c" et de sa pertinence dans la tarification avec un taux d'intérêt stochastique. Ils expliquent que le modèle de Black-Scholes avec un taux d'intérêt stochastique peut représenter les prix des options européennes comme une équation de Black-Scholes modifiée avec une volatilité ajustée. Cependant, on note que même avec une équation différentielle stochastique à deux dimensions pour le taux d'intérêt, il n'y a pas d'impact sur la volatilité implicite des stock-options. L'inclusion des taux d'intérêt n'entraîne qu'une volatilité dépendante du temps pour les actions, sans stochasticité supplémentaire, conduisant à une volatilité plate sur différents prix d'exercice. L'orateur mène une expérience pour illustrer l'influence de différents paramètres sur la structure par terme de la volatilité implicite.
La conférence approfondit davantage l'utilisation des valeurs à terme dans l'étalonnage de la volatilité implicite du prix des options à l'aide de données réelles. L'impact de la vitesse de retour à la moyenne (lambda) sur la structure par terme de la volatilité implicite des actions est discuté, ainsi que la volatilité des taux d'intérêt. L'orateur souligne que la fixation de l'un de ces paramètres peut entraîner une forme similaire des volatilités implicites, simplifiant le processus d'étalonnage. De plus, l'effet de la corrélation sur les volatilités implicites est abordé, où la positivité ou la négativité de la variance globale de sigma_f impacte les volatilités implicites en conséquence.
La conférence met l'accent sur l'importance des modèles hybrides dans les portefeuilles des institutions financières, en particulier pour les calculs de xVA et de VaR. Il explore la dynamique et la complexité des modèles de volatilité stochastique, discute du calibrage des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles et met en évidence les corrélations entre différentes classes d'actifs. Le cours couvre également l'application des transformations de mesure, la dérivation des SDE à terme du cours des actions et les défis et considérations liés aux taux d'intérêt stochastiques. Le calibrage des volatilités implicites et l'impact de divers paramètres sur la structure par terme de la volatilité implicite sont également abordés.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 9/14, partie 2/2, (Modèles hybrides et taux d'intérêt stochastiques)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 9/14, partie 2/2, (Modèles hybrides et taux d'intérêt stochastiques)
Dans cette conférence, l'accent est mis sur les modèles hybrides avancés, en particulier les modèles hybrides à volatilité stochastique comme les modèles entièrement blancs de Scholes-Black, Heston et Shobel-Zoo. L'enseignant démontre l'impact de différents coefficients de corrélation sur le rendement hybride d'un panier composé d'une action et d'une obligation. Des techniques de simulation efficaces pour ces modèles hybrides utilisant la simulation de Monte Carlo sont également discutées.
La conférence se penche sur le modèle blanc complet Shobel-Zoo, qui étend le modèle Black-Scholes en introduisant un processus de volatilité normalement distribué. Cependant, il a des limites en raison de son modèle structurel. L'enseignant discute des contraintes et limites du modèle Schobel-Zhu par rapport au modèle Heston. La structure de volatilité du modèle Schobel-Zhu est moins flexible, ce qui se traduit par une plage plus limitée de biais de volatilité implicite et de sourires par rapport au modèle Heston.
Un autre modèle discuté est le modèle Shwartz-Zhao, qui introduit un processus supplémentaire pour sigma au carré et étend l'ensemble des variables d'état. Cependant, la résolution analytique de la fonction caractéristique devient coûteuse en termes de calcul en raison de l'ensemble complexe d'équations de Riccati impliquées. L'enseignant montre les formes des volatilités implicites et des biais pour différents paramètres et les compare au modèle de Heston.
L'impact des corrélations sur la tarification des gains hybrides est exploré. Une expérience est menée pour évaluer la valeur du dérivé pour différentes corrélations entre les mouvements des actions et des taux d'intérêt. L'importance de calibrer les corrélations avec les données du marché avant de calibrer d'autres paramètres du modèle est soulignée. Le cours mentionne brièvement des méthodes de discrétisation plus avancées pour les modèles hybrides qui seront discutés plus tard.
La conférence se concentre sur l'extension de la flexibilité et de l'étalonnage du modèle Heston avec des taux d'intérêt stochastiques. L'introduction d'une dimension supplémentaire pour les taux d'intérêt crée des défis avec les mesures de covariance instantanées. Des approximations sont utilisées pour trouver la fonction connecteur et résoudre le problème de corrélation. L'importance de maintenir la corrélation entre les actions et les taux d'intérêt pour évaluer la fonction caractéristique et calibrer le modèle aux données du marché est soulignée.
Les méthodes d'approximation, telles que la méthode delta et le développement de la série de Taylor, sont discutées pour simplifier l'évaluation de la variance et des fonctions caractéristiques. L'enseignant propose des formules et des techniques d'approximation des variances et discute des limites de ces approximations.
La fonction dépendante du temps de la volatilité des actions et la cartographie de la fonction dans le temps sont expliquées, ainsi que la méthode de simulation de discrétisation d'Euler. Le conférencier mentionne que plus tard, ils compareront les estimations de la simulation à la force brute de Monte Carlo et à la transformation de Fourier. L'étape itérative de la méthode de discrétisation d'Euler pour l'approximation de l'intégrale est également abordée.
La conférence aborde la question de l'accessibilité à zéro par les chemins de volatilité dans le modèle CIR et fournit des correctifs pour la discrétisation d'Euler. L'importance de garder les variances des modèles hybrides aussi indépendantes que possible pour de meilleurs résultats de simulation est soulignée. Le processus pour x(t) est discuté, y compris sa matrice de corrélation et la décomposition de Cholesky, soulignant la nécessité de maintenir l'indépendance vis-à-vis de la variance.
Les défis liés au traitement des matrices définies non positives dans l'ingénierie financière sont discutés, et l'importance d'ajuster les corrélations pour satisfaire la condition des termes positifs sous la racine carrée est soulignée. Le cours couvre également la forme générique de la discrétisation et les étapes importantes de la modélisation des taux d'intérêt stochastiques.
Le conférencier présente l'astuce et la représentation pour une simulation presque exacte du modèle Heston, applicable également au modèle Heston-Hull-White. La simplification obtenue grâce à des cas particuliers pour le processus de variance et l'évaluation des intégrales à l'aide de la discrétisation d'Euler et des distributions chi carré non centrales est expliquée. Le concept de simulation presque exacte est discuté, en soulignant l'importance du processus de variance dans la détermination de l'exactitude. Le conférencier souligne la nécessité d'utiliser un vecteur entier d'échantillons pour v vie et établit l'ordre de simulation en échantillonnant d'abord le processus de variance, suivi du taux court.
L'enseignant donne un aperçu d'une simulation effectuée sur le modèle de Heston pour White et la compare avec d'autres méthodes. La discrétisation d'Euler, la simulation presque exacte et la méthode COS (Characteristic Function-Based Option Pricing Method) sont comparées. Les résultats montrent que toutes les méthodes donnent de bons résultats. L'enseignant partage le code de la simulation, y compris la configuration du modèle Heston pour White et la discrétisation tridimensionnelle du modèle hybride à l'aide de la méthode d'Euler. Des ajustements sont effectués pour s'assurer que les réalisations de l'écart sont plafonnées et plancher à partir de zéro. La méthode COS pour le modèle de Heston pour White est également discutée, et l'approximation de la fonction caractéristique est dérivée et codée.
L'accent est mis sur la comparaison de différentes méthodes pour les modèles hybrides et les taux d'intérêt stochastiques. Les résultats de la simulation Monte Carlo montrent une bonne précision avec 10 000 échantillons, mais un plus grand nombre de trajets Monte Carlo est recommandé pour une meilleure précision. Divers modèles hybrides tels que les modèles Black-Scholes, Heston et Schulz-Zucchi sont couverts. La conférence aborde également l'application de modèles hybrides dans la tarification de différentes classes d'actifs au sein d'une même évaluation et leur utilisation dans les calculs xVA. Deux exercices sont proposés aux étudiants, l'un sur des modèles avancés comme Heston CIR et l'autre sur le développement d'une simulation Monte Carlo.
Dans la dernière partie de la conférence, l'orateur discute du développement d'une simulation de Monte Carlo utilisant un modèle blanc pour les taux d'intérêt stochastiques. Il est suggéré de dériver les équations différentielles ordinaires correspondantes pour obtenir des simulations de Monte Carlo plus rapides qui permettent des pas plus grands. Cette approche sera comparée à la méthode de discrétisation d'Euler. L'orateur conclut la conférence et exprime l'anticipation de la présence des étudiants à la prochaine session.
Cette conférence couvre divers modèles hybrides avancés, leurs limites, les techniques d'étalonnage, l'impact des corrélations sur les prix, les méthodes d'approximation, les techniques de simulation et les comparaisons entre différentes méthodes. L'accent est mis sur la compréhension des subtilités de ces modèles et de leurs applications pratiques en ingénierie financière.
et une tentative d'extension du modèle à l'aide d'une nouvelle variable échoue. Au lieu de cela, l'approche consiste à utiliser des approximations pour trouver la fonction connecteur C afin de résoudre le problème de corrélation entre les actions et les taux d'intérêt. Historiquement, la corrélation entre les taux d'intérêt à court terme et le marché boursier n'est pas forte, mais elle varie en fonction des circonstances économiques et du marché dans son ensemble.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 1/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 1/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
L'instructeur plonge dans le domaine de l'ingénierie financière, en se concentrant sur deux classes d'actifs cruciales : le change et l'inflation. Il fournit une compréhension complète du processus de modélisation pour chaque classe d'actifs et montre comment les options peuvent être évaluées en conséquence. De plus, l'instructeur se penche sur l'inclusion de la volatilité stochastique et des taux d'intérêt stochastiques dans l'évaluation de ces actifs.
La conférence commence par explorer l'histoire du change, en soulignant sa croissance significative au cours des dernières années attribuée à la mondialisation. L'instructeur discute de l'impact de l'étalon-or, qui a limité la propriété privée de la monnaie, et de la manière dont le système de Bretton Woods a établi le cadre actuel de plusieurs monnaies adossées à l'or. La conférence se termine par l'attribution de devoirs pour renforcer la matière couverte.
De plus, la vidéo se penche sur l'aspect historique des monnaies et le rôle de l'or en leur sein. Plus précisément, il décrit la transition qui s'est produite en 1971 lorsque les États-Unis ont cessé d'utiliser l'or comme étalon pour déterminer la valeur de leur monnaie. Ce changement radical a conduit au système mondial actuel où les devises sont échangées en fonction de leur force relative plutôt que d'être adossées à l'or.
L'évaluation des risques est un autre sujet important abordé dans la vidéo. Il explore les différents risques que les investisseurs peuvent rencontrer lorsqu'ils s'engagent avec des obligations, des devises et de l'inflation. La conférence élucide les relations complexes et les complexités associées à ces facteurs de risque. La détermination des taux de change à travers la dynamique de l'offre et de la demande est également discutée en profondeur. La vidéo souligne comment les banques centrales manipulent ces taux par l'utilisation des réserves. De plus, cela dissipe l'idée que l'or est un investissement et précise que posséder de l'or n'est pas une nécessité pour les investisseurs.
Les concepts d'ingénierie financière sont à l'honneur, avec la vidéo présentant la réplication d'un contrat de change à terme. Un exemple est fourni pour illustrer l'initiation d'un contrat de change à terme et comment le taux de change entre les devises d'origine et la nouvelle devise est déterminé. L'application de l'ingénierie financière dans la tarification des contrats de change à terme est également examinée. La vidéo montre le calcul du taux direct, qui est obtenu en multipliant le taux spot par le taux d'effet.
La conférence approfondit le concept d'ingénierie financière, en explorant son application dans la tarification des actifs et des passifs. L'équivalence de deux approches de tarification est démontrée, permettant le calcul d'un taux à terme utilisant ces approches.
La gestion de l'exposition aux devises étrangères et à l'inflation par le biais de produits dérivés est un aspect important de l'ingénierie financière. La conférence met en lumière la détermination d'un taux à terme, qui dépend du taux de change auquel un pays échangera sa monnaie contre un autre. De plus, l'écart de base s'ajuste à la différence entre la demande et l'offre de diverses devises.
Les subtilités du change (FX) et de l'inflation sont expliquées, la conférence soulignant que différentes règles s'appliquent en fonction du type spécifique de contrat d'échange de devises en cours d'exécution.
L'évaluation d'un contrat de change tout en tenant compte des effets des taux de change et de l'actualisation fait l'objet d'une discussion approfondie. L'instructeur démontre le processus de calcul, y compris l'utilisation d'un contrat de change à terme dans le même but.
Enfin, la conférence explore l'impact des taux de change (FX) et de l'inflation sur les swaps. Il se penche sur le calcul de la valeur du swap en devises nationales et étrangères tout en tenant compte des fluctuations des taux de change.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
L'accent de l'instructeur est mis sur les options de tarification liées au change ou sur les options off, en utilisant le cadre Black-Scholes comme point de départ. Le cours couvre en détail la dérivation des équations différentielles pour les mesures nationales neutres au risque et leur impact sur la dynamique des équations différentielles stochastiques. Pour illustrer ces concepts, des expériences Python sont menées, comparant le modèle Western Corridor dans deux devises en utilisant à la fois la simulation de Monte Carlo et la transformation de Fourier avec la méthode COS. La section se penche également sur la dynamique du processus de change et l'établissement des martingales en tant que quantités de marché et leur valeur correspondante.
Pour aller de l'avant, la conférence aborde la dynamique des changes (FX) et de l'inflation. Il commence par définir un processus d'effets génériques, puis se concentre sur la tarification, en passant à la mesure nationale neutre au risque pour FX. La conférence explique l'utilisation de la fonction élevée pour gérer les comptes d'épargne en monnaie étrangère, qui sont ensuite échangés en montants nationaux et actualisés à l'aide du compte d'épargne en monnaie nationale. En appliquant le lemme d'Ethos et en simplifiant l'équation, le cours conclut que la dynamique du change et de l'inflation ne représente pas un rendement marqué sous cette mesure. Cependant, des informations précieuses sont fournies qui peuvent être appliquées efficacement.
Un sujet important couvert par le conférencier est le processus de transformation de la mesure de E à Q, créant un nouveau processus utilisé pour l'évaluation de la tarification des options. Le processus dérivé représente le processus de change sous la mesure neutre au risque des informations sur les risques nationaux, garantissant que lorsque des comptes d'épargne en monnaie étrangère sont échangés contre de la monnaie locale, la quantité est marquée. Cela permet la tarification des options européennes à l'aide des équations de Black-Scholes, les seules différences étant l'actualisation des options sous la mesure neutre au risque et l'inclusion du terme de dérive rd-rf. Le modèle du marché des changes est une extension d'un modèle log-normal standard, et les options européennes peuvent être évaluées en utilisant la même méthodologie de modification des mesures et d'identification des martingales.
S'étendant sur le marché des changes, la conférence se concentre sur l'augmentation du modèle Black-Scholes avec une volatilité stochastique et des taux d'intérêt stochastiques. Alors que les conférences précédentes traitaient des taux d'intérêt déterministes, l'introduction de la stochasticité devient essentielle pour les calculs XVA et les simulations VAR. De plus, la corrélation entre différents facteurs stochastiques est soulignée, soulignant les pièges potentiels de se fier uniquement à des taux d'intérêt déterministes. La complexité du marché des changes découle de sa nature non négociable et de la nécessité d'échanger des actifs sur différentes colonnes pour faire respecter les conditions de martingale. De plus, le monde des effets introduit un terme supplémentaire dans les équations différentielles stochastiques qui nécessite une analyse minutieuse et un étalonnage sur le marché.
Le conférencier se penche sur l'étalonnage de diverses classes d'actifs, y compris les actions de petites entreprises et les produits de taux d'intérêt, l'une des plus grandes classes d'actifs au monde. Il est à noter que tenter de calibrer tous les paramètres simultanément peut être difficile, ce qui conduit à la recommandation de calibrer les paramètres individuels et de les incorporer dans la dynamique des stocks. La conférence explore également l'évaluation des options européennes par la transformation de Fourier, en discutant des approximations employées. En outre, l'importance de définir des mesures des taux d'intérêt sur le marché étranger et de les transformer en mesure neutre au risque sur les marchés nationaux est abordée.
Les modèles affines pour les obligations à coupon zéro et les comptes d'épargne binaires sont discutés, en mettant l'accent sur leur dynamique et le calibrage des options, des plafonds et des tablettes. L'utilisation d'équations différentielles stochastiques pour dériver des modèles d'effets et exploiter des paramètres calibrés pour chaque processus individuel est proposée. La conférence plonge dans les complexités de la tarification des dérivés avec des termes de dérive complexes, en mettant l'accent sur le traitement précis de ce terme supplémentaire. Le principal moteur de la tarification des options est la volatilité correspondant au processus de change, les rendements d'ordre supérieur influençant la volatilité des taux d'intérêt.
L'importance de la volatilité dans le change est soulignée par l'orateur, notamment en raison de la nature non linéaire du processus, y compris la présence de la racine carrée d'un terme. Les défis associés à la gestion de la dérive et la nécessité d'employer un taux d'intérêt stochastique sont discutés. Deux équations différentielles stochastiques correspondant au zéro coupon étranger et couplées aux mesures domestiques sont expliquées, en insistant sur l'exigence qu'elles soient des martingales dans des conditions particulières. L'importance de la corrélation entre les marchés étrangers et le FX est soulignée, soulignant qu'elle ne peut pas être considérée comme nulle. Enfin, l'orateur dérive l'équation de prix pour les options européennes pour FX, incorporant tous les concepts discutés.
Le professeur présente le paiement d'une option d'achat européenne avec une valeur maximale de yt moins k, impliquant un processus d'actualisation avec le compte d'épargne domestique. Pour traiter les taux d'intérêt stochastiques, la première étape consiste à passer d'une mesure de flux à la mesure t-forward associée au capital d'échéance des obligations t. Comme la dynamique de FX ne présente aucune dérive, le professeur n'a qu'à incorporer les volatilités dans le diamètre. En appliquant le lemme Ethos à cette quantité, le professeur inclut trois éléments différents dans la dynamique, y compris les composants zéro discutés précédemment et la dynamique de yt dans le processus FX.
À l'avenir, l'orateur se penche sur la dynamique des processus de change à terme et de variance dans le modèle à taux court, où le paramètre de volatilité reste constant. Cependant, la contribution à la volatilité du FX dépend du temps et n'est pas constante, ce qui entraîne une réduction de la dimensionnalité de quatre à deux. L'orateur mentionne également la correction quantique supplémentaire qui survient lors du passage de mesures neutres au risque à une mesure t-forward domestique, ce qui pose des problèmes lors de l'utilisation de petits pas de temps. La section se termine par une discussion sur les expériences numériques et les approximations employées pour la fonction caractéristique.
Le conférencier souligne l'importance de sélectionner avec soin les paramètres du modèle car ils ont un impact significatif sur les décisions de tarification et de couverture. Le modèle Heston est discuté et la fonction caractéristique est définie, permettant la tarification et le calcul des volatilités d'impact de change. Une comparaison est faite entre la simulation de Monte Carlo et l'approximation de Fourier, impliquant 20 exécutions différentes de Monte Carlo avec 1000 trajets par exécution. Les résultats démontrent un alignement entre la tarification des options de Monte Carlo et l'approximation de Fourier, avec des différences satisfaisantes pour l'étalonnage sur les données de marché de la volatilité implicite. Cependant, il est à noter que la qualité des résultats peut varier en fonction des paramètres de modèle spécifiés.
Le professeur discute du code Python pour la méthode COS et analyse sa précision. Le code comprend des spécifications pour 500 termes d'extension et intègre différents paramètres et configurations de modèles pour les marchés nationaux et étrangers, ainsi que des collections métriques complètes. Le professeur souligne l'importance des échantillons aléatoires dans les simulations de Monte Carlo et suggère de changer les graines aléatoires pour améliorer les résultats. Une simulation de Monte Carlo avec plusieurs exécutions est effectuée, évaluant les prix des options à l'aide de la méthode d'évaluation des gains. La moyenne de toutes les exécutions est calculée, ainsi que l'espérance et l'écart type, ce qui permet de surveiller les erreurs résultant de changements dans la graine aléatoire.
Enfin, le conférencier souligne l'importance d'une sélection précise des paramètres du modèle, car elle influence grandement les décisions de tarification et de couverture. La fonction caractéristique du modèle Heston est définie, permettant la tarification et le calcul des volatilités d'impact de change. Une comparaison entre la simulation de Monte Carlo et l'approximation de Fourier est effectuée, impliquant 20 exécutions de Monte Carlo avec 1000 trajets par exécution. Les résultats démontrent un alignement satisfaisant entre la tarification des options de Monte Carlo et l'approximation de Fourier, fournissant un étalonnage aux données de marché sur la volatilité implicite. Cependant, l'orateur insiste sur l'influence des paramètres spécifiés du modèle sur la qualité des résultats.
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 3/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Cours d'Ingénierie Financière : Cours 10/14, partie 3/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Le conférencier se penche sur le thème de l'inflation, retraçant son évolution au cours du siècle dernier. Initialement, l'inflation était associée à la politique monétaire et à l'augmentation de la masse monétaire, mais sa définition a maintenant changé pour englober les variations des niveaux de prix. L'importance des dérivés d'inflation pour couvrir les risques d'inflation, en particulier pour les banques et les fonds de pension, est soulignée. Le prix de ces dérivés est étroitement lié au prix des devises, ce qui ajoute à leur importance sur le marché financier. Cette section donne un aperçu concis de l'inflation et de sa pertinence dans le secteur financier.
À l'avenir, le conférencier examinera les variations des mesures de l'inflation utilisées d'un pays à l'autre, en mettant l'accent sur l'indice européen des prix à la consommation harmonisé (IPCH) et l'indice américain des prix à la consommation (IPC). La comparaison de ces mesures n'est pas toujours simple, car elles peuvent ne pas refléter avec précision les augmentations de prix réelles. Cependant, ils sont toujours utilisés pour fixer le prix des contrats dérivés, les dérivés étant souvent liés aux valeurs de l'indice IPC. Pour illustrer les tendances historiques de l'inflation aux États-Unis, le conférencier présente un graphique montrant la fluctuation des chiffres de l'IPC au fil du temps, en utilisant une date de référence de 2000-2015.
Dans la partie suivante du cours, l'instructeur explore la nature non linéaire de l'inflation et son évolution sur différentes périodes. Un graphique est présenté, soulignant l'impact des krachs boursiers sur la déflation et les effets déflationnistes potentiels de la mondialisation. Le conférencier approfondit également les concepts d'inflation collante et transitoire, expliquant leurs implications pour les prix et l'économie. Il est souligné qu'en raison de sa nature dynamique, l'inflation ne peut pas être facilement décrite par des modèles économiques simples. Divers facteurs, tels que la démographie et l'économie mondiale, influencent l'inflation, ce qui en fait un phénomène complexe à analyser. En outre, les modifications de la composition des paniers de mesure des prix au fil du temps peuvent avoir une incidence significative sur les chiffres de l'inflation.
Poursuivant la discussion, le conférencier explique qu'il est difficile de comparer l'inflation dans le temps en raison des définitions changeantes associées aux différents biens et services. La conférence met également en lumière la composition des éléments utilisés dans le calcul de l'indice IPC et les techniques employées pour ajuster et lisser les résultats. Ces techniques incluent l'effet hédonique, qui tient compte de l'utilité d'un produit lors de l'examen des augmentations de prix, et la substitution, où les consommateurs se tournent vers des biens moins chers pour atténuer la hausse des prix.
L'impact du logement sur l'inflation et les mesures de l'inflation sont ensuite examinés. Aux États-Unis, les prix des logements ne sont pas inclus dans l'IPC ou les mesures de l'inflation parce que le logement est considéré comme un investissement en capital. Cependant, les mesures de l'IPC intègrent un «impact sur le logement», qui estime le coût de la vie dans une maison louée. La conférence souligne que le panier de produits utilisé pour les calculs de l'inflation change avec le temps, ce qui conduit à des chiffres d'inflation potentiellement peu fiables. Bien que l'indice IPC soit considéré comme un indicateur retardé de l'inflation, il sert de quantité observable sous-jacente pour la tarification des produits dérivés. Les fonds de pension, les compagnies d'assurance et les banques traitant des produits dérivés dépendant de l'inflation sont les principaux utilisateurs des produits d'inflation, car l'inflation peut affecter considérablement leurs paiements. Le point mort d'inflation est déterminé par l'écart entre les obligations légales et les obligations indexées sur l'inflation.
Déplaçant l'accent, le conférencier explique la distinction entre les instruments nominaux et réels par rapport à l'inflation. Les instruments nominaux ne tiennent pas compte de l'inflation et sont considérés comme des prix nominaux qui ne protègent pas contre les forces inflationnistes. Les swaps d'inflation et les contrats à terme sur l'inflation sont des produits qui exposent les particuliers à la différence entre l'économie réelle et l'économie nominale. Le contrat de base discuté est un swap d'inflation, où la performance est basée sur l'indice CPI à un moment donné, en échangeant les parties flottante et fixe. Le conférencier souligne l'importance de prendre en compte les retards lors de la modélisation de l'inflation, car les données sur l'inflation sont publiées avec un décalage et sont basées sur les mois précédents.
La conférence poursuit en expliquant comment les matières premières peuvent fournir une meilleure représentation de l'inflation par rapport aux chiffres de l'inflation, car les prix des matières premières sont immédiatement observables sur les marchés quotidiens, tandis que les chiffres de l'inflation ont quelques mois de décalage. L'inflation à terme est définie comme l'inflation observée à un moment donné, et si l'inflation à terme est disponible sur le marché et que la courbe de rendement des obligations à coupon zéro nominales est connue, l'obligation à coupon zéro réelle peut être calculée. Le cours couvre également la tarification des swaps d'inflation en utilisant des méthodologies similaires à celles des swaps de change et de taux d'intérêt. En outre, le conférencier aborde les options de tarification utilisant des processus d'inflation et la possibilité de définir et d'étendre des modèles hybrides d'inflation avec des taux d'intérêt stochastiques.
En développant les similitudes et les différences entre le change et l'inflation, le professeur explique la relation entre les taux nominaux et réels. Le transfert de fonds entre les économies nominales et réelles crée un terme de connexion qui influence la mesure neutre au risque. La conférence se penche également sur les options dérivées telles que les options d'achat et explore l'inflation d'une année sur l'autre, qui mesure la performance de l'inflation sur une période de temps spécifique. De plus, le professeur examine la distribution de l'inflation dans le cas log-normal et comment ce ratio est affecté dans le cadre Black-Scholes. La conférence englobe divers processus liés au change et à l'inflation, y compris les mesures neutres au risque, les options sur dérivés et la performance de l'inflation au fil du temps.
Le professeur développe en outre le lien entre l'inflation et le taux de change dans la tarification des produits d'inflation et des swaps de devises. La dérivation de la fonction caractéristique pour la distribution du logarithme des taux d'inflation anticipés est expliquée à l'aide de transformations de Fourier et de techniques de tarification. L'importance de la tarification des options est soulignée car elle aide à calibrer les paramètres de volatilité des instruments de marché, permettant l'évaluation des expositions futures du portefeuille et l'application de mesures de risque telles que les calculs VAR.
En mettant l'accent sur le marché des changes (FX) et l'inflation, la conférence couvre l'évaluation des taux de change, la détermination de la juste valeur des contrats de change et la dérivation de la juste valeur des devises croisées. La tarification des options de change est discutée, étendant la méthodologie de tarification pour intégrer la volatilité stochastique et les taux d'intérêt. En outre, la conférence explore la définition des contrats à terme sur l'inflation et la tarification des swaps d'inflation. La conférence se termine par la présentation de trois exercices permettant aux étudiants d'appliquer leurs connaissances, notamment la dérivation de la fonction de question pour l'inflation d'une année sur l'autre dans le cadre de Black-Scholes et l'utilisation de simulations pour trouver les attentes d'une fonction.
Enfin, l'instructeur présente un exercice centré sur l'équation différentielle stochastique du change. L'objectif de l'exercice est de simplifier l'équation, de factoriser les mouvements browniens pour obtenir le chapeau Sigma, puis de déterminer les termes chapeau Sigma et Sigma Sigma. L'instructeur conclut le cours en faisant ses adieux aux étudiants et en exprimant l'espoir qu'ils ont apprécié le cours et les exercices.