Trading Quantitatif - page 15

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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 3/14, partie 1/2, (The HJM Framework)

Cours d'Ingénierie Financière : Cours 3/14, partie 1/2, (The HJM Framework)

L'orateur plonge dans le sujet des conditions sans arbitrage dans les modèles de taux d'intérêt, en se concentrant spécifiquement sur le cadre Heat, Jarrow et Morton (HJM). Ils fixent le programme de la conférence et clarifient la distinction entre les modèles d'équilibre et les modèles de structure de terme. Tout en soulignant la puissance et l'importance des modèles de structure par terme, qui génèrent des courbes de rendement sans nécessiter de calibrage, l'orateur explique la dérivation des conditions sans arbitrage dans le cadre HJM. Le prochain bloc impliquera des simulations de Monte Carlo pour deux modèles, Julie et Hull-White, ainsi qu'un devoir fourni. Il convient de noter que le cadre HJM sert de cadre générique et sans arbitrage pour tous les modèles de taux d'intérêt.

À l'avenir, le concept de taux courts et de taux d'intérêt est introduit, soulignant que les taux courts sont associés à des périodes de temps infinitésimales. Le premier modèle à taux court, le processus Ornstein-Uhlenbeck (OU), est présenté comme un exemple de modèle endogène qui nécessite un calibrage à la courbe de rendement, ce qui peut entraîner des degrés de liberté limités et un mauvais calibrage. D'autre part, les modèles exogènes prennent la courbe des taux comme entrée, évitant ainsi le problème de calibrage. La conférence donne également un aperçu du développement des compétences en modélisation et des compétences en programmation pour la modélisation des taux d'intérêt.

Le cadre HJM est exploré, en se concentrant sur la transformation de modèles endogènes en modèles exogènes. Cette transformation garantit que, quels que soient les paramètres de modèle choisis, la courbe de rendement reste la même. Le conférencier souligne la puissance exceptionnelle du cadre AJM, qui fournit un chemin clair des modèles d'équilibre aux modèles de structure de terme. La conférence mentionne que de nombreux modèles existent dans la littérature, dont deux populaires sont discutés. L'un de ces modèles est le modèle de taux courts de Vasicek, qui a fait l'objet de critiques pour sa capacité limitée à s'adapter aux taux d'intérêt négatifs.

La question des taux d'intérêt négatifs est abordée et l'orateur explique comment les ingénieurs financiers abordent ce problème en utilisant le processus Cox-Ingersoll-Ross (CIR), qui interdit les taux négatifs mais permet aux taux d'atteindre zéro. Pour déplacer ce processus, un paramètre est introduit, permettant à la distribution de passer de zéro à des valeurs négatives, généralement autour de deux ou trois pour cent. L'importance de l'ajustement à la courbe de rendement et les défis de l'étalonnage sont également discutés. L'enseignant souligne que si la courbe des taux ne peut pas être ajustée, il est inutile de tenter d'ajuster d'autres aspects du modèle. Des exemples de simulation sont fournis pour illustrer l'impact de paramètres variables, tels que la vitesse de retour à la moyenne et le coefficient de volatilité.

L'impact du coefficient de volatilité sur les trajectoires de différents modèles, y compris les modèles HJM et CIR, est discuté. Des coefficients de volatilité plus élevés entraînent des pics plus importants dans les trajectoires et une incertitude accrue, tandis que des coefficients plus petits conduisent à des distributions plus étroites. Le conférencier explique également comment le retour à la moyenne et les taux d'intérêt affectent le comportement de ces modèles. Le code Python est utilisé pour simuler des chemins à l'aide de la discrétisation et de la standardisation d'Euler, tout en imposant des conditions pour empêcher les chemins de devenir négatifs.

Le présentateur fournit une discussion approfondie du cadre HJM (Heath-Jarrow-Morton), qui sert de cadre global englobant tous les modèles de taux d'intérêt. La dynamique des taux à terme instantanés, représentant les taux sur des périodes futures dans la perspective d'aujourd'hui, est modélisée dans le cadre HJM. Le cadre AJM est présenté comme une base fondamentale pour les modèles de taux d'intérêt en raison de sa relation explicite entre la volatilité des taux à terme instantanés et la dérive sans arbitrage, garantissant que le modèle est toujours sans arbitrage. Le cadre est exploré dans le contexte des modèles de marché à taux courts et LIBOR, qui sont des cas particuliers du cadre AJM.

La relation entre l'absence d'arbitrage et la dérive est discutée, en particulier en relation avec la volatilité des taux à terme instantanés. Le réglage de la volatilité permet de basculer entre différents modèles. Bien que le cadre HJM s'adapte à différentes structures de volatilité, il est difficile d'obtenir des expressions analytiques pour les taux courts ou les modèles de marché LIBOR. Cependant, dans certains cas, le cadre HJM fournit des expressions analytiques pour les obligations à coupon zéro basées sur la volatilité spécifiée. Ce cadre joue un rôle crucial dans la transition des modèles d'équilibre aux modèles de structure à terme, car il permet l'utilisation de rendements observables comme données d'entrée pour le modèle. Une comparaison est faite avec d'autres modèles, tels que les modèles à taux courts dans le cadre HJM, qui sont assimilés aux Ferrari en termes d'étalonnage rapide mais manquent de flexibilité dans l'étalonnage et la mise en œuvre pour plusieurs instruments de marché. L'objectif principal d'un modèle de taux courts pour les taux d'intérêt est d'assurer l'exactitude de la courbe des taux et des obligations à coupon zéro.

Les limites des différents modèles de structure de termes utilisés en ingénierie financière sont discutées par l'enseignant. Alors que le cadre HJM offre plus de flexibilité dans le calibrage de la courbe de rendement, sa simplicité avec seulement deux paramètres rend difficile le calibrage pour les options exotiques complexes évaluées sur de longues périodes. Le modèle de marché à volatilité stochastique, malgré ses coûts de maintenance élevés et ses défis d'étalonnage, est considéré comme idéal pour évaluer les exotiques et la volatilité. Le conférencier procède à la définition de taux à terme instantanés à l'aide d'obligations à coupon zéro et illustre comment construire un taux à terme sur une période spécifique à l'aide d'une stratégie de refinancement, extrayant ainsi un taux effectif.

L'orateur se penche sur le concept d'une stratégie de refinancement sans arbitrage et explique comment impliquer des taux à partir de composants nuls. Ils introduisent une forme fonctionnelle pour le taux à terme et imposent une structure qui lui assure une forme exponentielle avec un taux de cumul. En prenant le logarithme de l'expression et en le multipliant par un signe négatif, ils identifient le taux qui satisfait à l'équation pour le taux court et le taux à terme. Le taux à terme instantané est défini comme f dt, et l'orateur souligne qu'il est toujours par rapport à l'échéance.

Ensuite, le cours introduit la notion de taux à terme instantané, défini comme la dérivée du logarithme de l'obligation à coupon zéro par rapport à l'échéance. Cela sert de bloc de construction fondamental dans le cadre HJM, car toutes les quantités sont exprimées en termes de taux à terme instantanés. L'importance de la différenciation entre les obligations à coupon zéro et les comptes d'épargne est soulignée, la première étant une valeur déterministe et la seconde une quantité stochastique. La dynamique du taux à terme instantané est un point central dans le cadre du HJM, visant à comprendre et modéliser la dynamique des taux d'intérêt.

Le professeur poursuit en décrivant la dynamique du taux direct instantané sous la mesure p et l'objectif de déterminer la dynamique lors du passage de la mesure de p à q. Le cadre HJM englobe la dynamique du taux à terme instantané, le compte d'épargne monétaire (intégrale du taux court) et la relation des obligations à coupon zéro. Pour définir la dynamique du taux direct instantané sous la q-mesure, des quantités spécifiques doivent fonctionner comme des martingales. La relation entre le taux court et le taux direct instantané est expliquée, en insistant sur l'interdépendance entre les différents taux instantanés et les liens entre divers paramètres.

Poursuivant l'exposé, l'orateur souligne l'importance de comprendre la relation entre l'absence d'arbitrage et la dérive des modèles de taux d'intérêt, notamment en termes de volatilité du taux à terme instantané. En ajustant la volatilité, on peut basculer entre différents modèles dans le cadre HJM. Ce cadre permet diverses structures de volatilité, bien qu'il puisse être difficile d'obtenir des expressions analytiques pour les taux courts ou un modèle de marché LIBOR. Cependant, dans certains cas, le cadre HJM fournit des expressions analytiques pour les obligations à coupon zéro basées sur la volatilité spécifiée.

Le conférencier souligne que le cadre HJM est un cadre générique et sans arbitrage pour tous les modèles de taux d'intérêt. Il offre une voie claire des modèles d'équilibre vers les modèles de structure de termes, ce qui en fait un outil puissant dans le domaine. Il existe de nombreux modèles disponibles dans la littérature, mais deux modèles populaires sont discutés en détail.

Premièrement, le modèle de taux court de Vasicek est examiné. Le conférencier reconnaît que ce modèle a été critiqué pour ne pas autoriser les taux d'intérêt négatifs. Pour résoudre ce problème, certains ingénieurs financiers adoptent le processus Cox-Ingersoll-Ross (CIR), qui n'autorise pas les taux négatifs mais permet aux taux d'atteindre un niveau de zéro. Cependant, le conférencier mentionne qu'il est possible d'introduire un paramètre de décalage dans le processus CIR, déplaçant efficacement la distribution de zéro à une valeur négative, telle que moins deux ou trois pour cent. L'ajustement du modèle à la courbe de rendement est souligné comme un aspect critique, et la question de l'étalonnage est discutée. Le conférencier déclare que si la courbe de rendement ne peut pas être ajustée avec précision, il est inutile d'ajuster d'autres paramètres.

Ensuite, le conférencier présente des simulations de Monte Carlo pour deux modèles : Julie et Hull-White. Les simulations visent à fournir des exemples pratiques et à illustrer l'impact de différents paramètres, tels que la vitesse de retour à la moyenne et le coefficient de volatilité, sur les trajectoires du modèle. Le code Python, utilisant la discrétisation et la standardisation d'Euler, est utilisé pour simuler ces chemins. Des conditions sont imposées pour empêcher les chemins de devenir négatifs.

La conférence aborde ensuite l'impact du coefficient de volatilité sur les trajectoires de divers modèles, y compris les modèles HJM et CIR. Des coefficients de volatilité plus élevés entraînent des pics plus importants dans les trajectoires et une incertitude accrue, tandis que des coefficients plus petits conduisent à des distributions plus étroites. L'influence du retour à la moyenne et des taux d'intérêt sur le comportement de ces modèles est également expliquée.

Le conférencier conclut en résumant les points clés abordés, en réitérant la puissance et l'importance des modèles de structure terminologique dans le cadre HJM. La possibilité de générer automatiquement des courbes de rendement sans nécessiter d'étalonnage de la courbe de rendement est soulignée. Enfin, un devoir à la maison est fourni, encourageant les étudiants à explorer davantage et à appliquer les concepts et les techniques discutés dans le cours magistral.

La conférence propose une exploration approfondie des conditions sans arbitrage dans les modèles de taux d'intérêt, en particulier dans le cadre du HJM. Il couvre les différences entre les modèles d'équilibre et les modèles de structure de termes, la dérivation de conditions sans arbitrage et des exemples pratiques à travers des simulations de Monte Carlo. L'importance de l'ajustement à la courbe de rendement, les défis d'étalonnage et l'impact des paramètres variables sont discutés en détail, fournissant aux étudiants des informations précieuses sur la modélisation des taux d'intérêt et les compétences en programmation.

• 00:00:00 Dans cette section, l'orateur discute des conditions sans arbitrage dans les modèles de taux d'intérêt, en particulier dans le contexte du cadre Heat, Jarrow et Morton (HJM). Il décrit le programme de la conférence et explique la différence entre les modèles d'équilibre et les modèles de structure de termes. Le conférencier souligne la puissance et l'importance des modèles de structure par terme, qui génèrent eux-mêmes des courbes de rendement et ne nécessitent pas d'étalonnage à la courbe de rendement. Il explique également comment dériver les conditions sans arbitrage dans le cadre HJM. Dans le bloc suivant, le conférencier effectuera des simulations de Monte Carlo pour deux modèles, Julie et Hull-White, et fournira un devoir à la maison. Le cadre HJM est un cadre générique sans arbitrage pour tous les modèles de taux d'intérêt.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section de la conférence, le concept de taux courts et de taux d'intérêt est introduit, l'accent étant mis sur le taux court associé à une période de temps infinitésimale. Les taux courts sont des quantités stochastiques et le premier modèle de taux courts, le processeur OU, a été développé en 1977. Cependant, des modèles endogènes comme celui-ci nécessitent un étalonnage sur la courbe de rendement, ce qui peut entraîner une perte de degrés de liberté et un mauvais étalonnage, tandis que les modèles exogènes prennent la courbe de rendement comme entrée, évitant le problème de calibrage. La conférence fournit également des informations sur la manière de développer des compétences de modélisation et de programmation pour la modélisation des taux d'intérêt.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le cadre HJM est discuté, où les modèles endogènes sont transformés en modèles exogènes. Cela signifie que quels que soient les paramètres choisis pour le modèle, la courbe de rendement sera toujours renvoyée sans aucune différence. Il est également mentionné que le cadre AJM est extrêmement puissant et fournit une voie claire de l'équilibre vers les modèles de structure à terme. Il existe de nombreux modèles différents disponibles dans la littérature, et deux modèles populaires sont discutés, y compris le modèle de taux court de Vasicek, qui a été critiqué pour ne pas autoriser les taux d'intérêt négatifs.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier discute de la question des taux d'intérêt négatifs et de la manière dont certains ingénieurs financiers y remédient en prenant le processus CIR, qui n'autorise pas les taux d'intérêt négatifs, mais permet aux taux d'être au niveau zéro. Il explique que l'on peut corriger ce processus en le décalant, et ce paramètre de décalage peut déplacer la distribution de zéro à moins deux ou trois pour cent. Le conférencier discute également de l'importance de l'ajustement à la courbe de rendement et de la question de l'étalonnage, déclarant que si nous ne pouvons pas ajuster la courbe de rendement, il ne sert à rien d'ajuster quoi que ce soit d'autre. Enfin, il fournit des exemples de simulation de l'impact de paramètres variables tels que la vitesse de retour à la moyenne et le coefficient de volatilité.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'instructeur discute de l'impact du coefficient de volatilité sur les trajectoires de divers modèles, tels que les modèles HJM et CIR. Il démontre comment des coefficients de volatilité plus élevés entraînent des pics plus importants dans les trajectoires et plus d'incertitude, tandis que des coefficients plus petits entraînent une distribution plus étroite. L'instructeur explique également comment la réversion moyenne et les taux d'intérêt influent sur le comportement de ces modèles. Dans le code python, il utilise la discrétisation et la standardisation euler pour simuler les chemins et impose des conditions pour empêcher les chemins de devenir négatifs.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la conférence YouTube sur l'ingénierie financière, le présentateur discute du cadre HJM (Heath-Jarrow-Morton), qui fournit un cadre global pour tous les modèles de taux d'intérêt. Le présentateur explique que le cadre modélise la dynamique des taux à terme instantanés, qui sont des taux sur une période future dans la perspective d'aujourd'hui. Le cadre AJM constitue une base fondamentale pour les modèles de taux d'intérêt, car il fournit une relation explicite entre la volatilité des taux à terme instantanés et la dérive sans arbitrage, garantissant que le modèle est toujours sans arbitrage. Le cadre est discuté dans le contexte des modèles de marché à taux court et LIBOR, qui sont des cas particuliers du cadre AJM.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, la relation entre la liberté d'arbitrage et la dérive est discutée en relation avec la volatilité du taux à terme instantané, qui peut être modifiée afin de basculer entre différents modèles. Le cadre HJM permet différentes structures de volatilité, mais il est difficile d'obtenir des expressions analytiques pour les taux courts ou un modèle de marché LIBOR. Cependant, dans certains cas, le modèle fournit des expressions analytiques pour les obligations à coupon zéro basées sur la volatilité spécifiée par le cadre HJM. Ce cadre est essentiel pour passer des modèles d'équilibre aux modèles de structure par terme et permet d'utiliser des rendements observables comme données d'entrée du modèle. Ceci est comparé à différents modèles, tels que les modèles à taux courts dans le cadre HJM, qui peuvent être considérés comme similaires à une Ferrari en termes d'étalonnage rapide, mais manquent de flexibilité dans l'étalonnage et la mise en œuvre pour plusieurs instruments de marché. L'objectif fondamental d'un modèle de taux courts pour les taux d'intérêt est de garantir la courbe des taux et les obligations à coupon zéro.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier discute des limites des différents modèles de structure terminologique utilisés en ingénierie financière. Si le cadre HJM offre plus de flexibilité dans le calibrage à la courbe des taux, sa simplicité de deux paramètres rend difficile le calibrage pour un exotique multi-calibre évalué sur plusieurs années. Il explique que le modèle de marché à volatilité stochastique présente des coûts de maintenance élevés et des défis d'étalonnage, mais qu'il est idéal pour la tarification des produits exotiques et de la volatilité. Le conférencier définit ensuite des taux à terme instantanés à l'aide d'obligations à coupon zéro et montre comment construire un taux à terme sur une période de temps grâce à une stratégie de refinancement, extrayant ainsi un taux effectif.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, l'orateur parle de la stratégie de refinancement sans arbitrage et de la manière d'impliquer un taux à partir de zéro composants. Ils définissent une forme fonctionnelle pour le taux à terme et imposent une structure telle qu'il soit de forme exponentielle et qu'il y ait un certain taux de régularisation. En prenant un logarithme de l'expression et en le multipliant par un moins, ils trouvent le taux qui satisfait l'équation du taux court et du taux à terme. Le taux à terme instantané est défini comme f dt, et ils le différencient en fonction de l'échéance. L'oratrice insiste sur l'importance de garder à l'esprit qu'il s'agit toujours de maturité.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section du cours, le concept de taux à terme instantané est introduit, qui est défini comme la dérivée du logarithme de l'obligation à coupon zéro par rapport à l'échéance. Il s'agit d'un élément fondamental du cadre HJM, car tout est exprimé en termes de taux à terme instantanés. La conférence souligne l'importance de faire la distinction entre les obligations à coupon zéro et les comptes d'épargne monétaire, car ce dernier est une quantité stochastique tandis que le premier est une valeur déterministe. La dynamique du taux à terme instantané est centrée sur le cadre HJM, où l'objectif est de comprendre et de modéliser la dynamique des taux d'intérêt.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, le professeur décrit la dynamique du taux d'avancement instantané sous la mesure p et l'objectif de trouver la dynamique de ce processus lorsque nous changeons la mesure de p à q. Le cadre HJM se compose de la dynamique du taux à terme instantané, du compte d'épargne monétaire, qui est l'intégrale du taux court, et de la relation d'obligation à coupon zéro. Pour définir la dynamique du taux direct instantané sous la mesure q, certaines quantités doivent être des martingales. Le professeur explique également la relation entre le taux court et le taux à terme instantané et met en évidence la dépendance entre différents taux instantanés et les relations entre différents paramètres.

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Cours d'ingénierie financière : Cours 3/14, partie 2/2, (The HJM Framework)

Cours d'ingénierie financière : Cours 3/14, partie 2/2, (The HJM Framework)

Dans la conférence, l'accent est mis sur le cadre HJM et ses hypothèses pour la modélisation des taux d'intérêt. Le conférencier commence par discuter des conditions sans arbitrage dans le cadre HJM, qui sont cruciales pour tout modèle de taux d'intérêt dans ce cadre. Ces conditions garantissent que chaque actif actualisé avec le compte d'épargne se comporte comme une martingale. En appliquant la formule d'Itō aux obligations à coupon zéro et au compte d'épargne, la dynamique de l'actif divisé par le compte d'épargne est obtenue, conduisant au célèbre lemme de HJM concernant les conditions sans arbitrage pour les taux à terme instantanés.

Ensuite, le conférencier explore comment la dérive des taux à terme instantanés est déterminée dans le cadre du HJM. La volatilité du taux à terme instantané joue un rôle clé dans la définition de la dérive si l'on veut être dans le monde neutre au risque et sans arbitrage. L'enseignant explique que pour modéliser des taux courts ou des taux à terme instantanés, il est indispensable de préciser la volatilité du taux à terme instantané. Une fois cela défini, la dynamique du taux à terme instantané est connue, garantissant un environnement sans arbitrage. Le cours aborde également le calcul de la dynamique du taux court, qui fait intervenir la courbe de maturité, une fonction déterministe constante, et une intégrale par rapport à la dérivée partielle de la volatilité.

La conférence approfondit les aspects pratiques du cadre HJM. Le conférencier explique comment différents modèles de taux courts peuvent être générés en spécifiant la volatilité dans le cadre. Une volatilité constante est présentée comme la forme la plus simple, permettant le calcul de la fonction alpha sous la condition HJM. La dynamique du taux court peut alors être dérivée en remplaçant le sigma et l'alpha spécifiés dans le cadre, en utilisant la courbe des obligations à coupon zéro comme entrée. L'importance de la courbe des taux, qui est estimée à partir d'instruments de marché, est soulignée comme un élément clé dans la tarification des dérivés de taux d'intérêt.

Une attention particulière est accordée au modèle Uli, qui appartient à la classe affine des processus et offre des paramètres de dérive et sigma dépendant du temps. Le conférencier explique comment ce modèle permet le calcul des obligations à coupon zéro sous une forme exponentielle sans avoir besoin de simulations de Monte Carlo imbriquées, économisant ainsi de la puissance de calcul. La relation entre les taux courts et les fonctions déterministes connues dans b est explicitement exprimée, et l'utilisation potentielle de l'algorithme de Longstaff Schwarz pour estimer les anticipations est mentionnée.

La conférence souligne également l'importance de représenter les modèles d'une manière composée à zéro et élégante. Le cadre HJM est reconnu comme un outil puissant pour atteindre cet objectif. Une expérience Python est menée pour démontrer comment les chemins simulés peuvent être utilisés pour calculer les obligations à coupon zéro, en les comparant aux rendements d'entrée. Il est souligné que le cadre HJM garantit que les trajectoires simulées produisent toujours les mêmes obligations à coupon zéro que celles incorporées dans l'entrée de rendement.

Les méthodes de simulation de Monte Carlo dans le cadre HJM sont discutées comme un moyen de générer des courbes de rendement. Le conférencier présente une approche qui consiste à spécifier une courbe de rendement, à estimer la courbe à composante nulle et à calculer les paramètres thêta et sigma. Des simulations de Monte Carlo sont ensuite effectuées et les facteurs d'actualisation résultants sont utilisés pour tracer les courbes des obligations à coupon zéro à partir du modèle et du marché. Le conférencier présente la flexibilité de l'approche dans la gestion des changements de valeurs de paramètres et met en évidence l'adéquation parfaite entre les rendements d'entrée et de sortie.

Le calibrage des modèles dans le cadre HJM est également abordé, en mettant l'accent sur l'avantage de calibrer les produits pertinents sans avoir besoin d'un calibrage séparé de la courbe de rendement. Les difficultés souvent rencontrées dans l'étalonnage de la courbe de rendement sont discutées, soulignant les avantages du cadre HJM à cet égard. La dérivation du modèle à volatilité constante dans les modèles de taux courts utilisant les hypothèses HJM est expliquée, présentant une forme simplifiée de la dynamique des taux courts qui facilite l'évaluation du modèle.

Le cours se termine par un résumé des principaux points abordés et propose trois exercices permettant aux étudiants d'appliquer les concepts et les calculs appris. Les exercices impliquent le calcul dynamique d'Ito,

• 00:00:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur le cadre HJM et ses hypothèses pour la modélisation des taux d'intérêt. Les conditions sans arbitraire sous le modèle HJM sont discutées, qui définissent le principal moteur de tout modèle de taux d'intérêt appartenant au cadre HJM. De plus, les modèles Pulley et Full-Wyte sont présentés comme des cas particuliers du cadre HJM, et des simulations de Monte Carlo sont utilisées pour illustrer comment les modèles de structure par terme peuvent récupérer la courbe de rendement. La conférence se termine par un résumé des principaux points, ainsi que par trois exercices perspicaces et utiles que les étudiants doivent compléter.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute des conditions sans arbitrage pour les taux à terme instantanés dans le cadre HJM. La condition de liberté arbitraire stipule que chaque actif de l'économie actualisé avec le compte d'épargne doit être une martingale. L'enseignant applique ensuite la formule d'Itō aux obligations à coupon zéro et au compte d'épargne pour obtenir la dynamique de l'actif divisé par le compte d'épargne, qui est exprimée en exposant et en fonction des taux à terme instantanés. La dérivée résultante est plutôt compliquée et implique des intégrales et deux arguments, mais elle conduit finalement au fameux lemme HJM sur les conditions sans arbitrage pour les taux à terme instantanés.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence, le cadre HJM est utilisé pour déterminer la dérive des taux à terme instantanés, qui est entièrement déterminée par la volatilité si l'on veut être dans le monde neutre au risque et sans arbitraire. Cela signifie que si quelqu'un veut modéliser des taux courts ou des taux à terme instantanés, il doit définir la volatilité du taux à terme instantané. Une fois que cela est défini, la dynamique du taux à terme instantané est connue et l'arbitrage est libre d'arbitraire. La preuve et les dérivations sont omises, mais la dynamique du taux court est calculée à l'aide de la définition du taux à terme instantané et des équations différentielles stochastiques. La dynamique du taux court comprend la courbe de maturité, une fonction déterministe constante et une intégrale de 0 à t de la dérivée partielle de la volatilité par rapport au mouvement brownien.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le professeur discute du cadre HJM et de la manière de générer différents modèles de taux courts en spécifiant la volatilité dans le cadre. La volatilité la plus simple possible est une constante, et en la spécifiant, nous pouvons calculer la fonction pour alpha sous la condition HJM. La dynamique du taux court peut être dérivée en remplaçant sigma et alpha dans le cadre et en utilisant la courbe des obligations à coupon zéro comme entrée. Le professeur explique que la courbe des taux, associée à la courbe des obligations à coupon zéro, est l'une des briques les plus importantes utilisées en finance pour les dérivés de taux d'intérêt, et qu'elle est estimée à partir d'instruments de marché. Une fois que nous avons un certain nombre de swaps, d'autres dérivés de taux d'intérêt et d'instruments de marché, nous pouvons construire la courbe des obligations à coupon zéro en interpolant entre les points.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section de la conférence, le modèle uli est discuté, qui appartient à la classe affine des processus et a une dérive dépendante du temps et un paramètre sigma. Le modèle permet de trouver l'option dynamique et la fonction d'obligation à coupon zéro sous une forme exponentielle, ce qui facilite le calcul des obligations à coupon zéro du temps t1 au temps t2 sans avoir besoin d'une simulation Monte Carlo imbriquée, ce qui économise de la puissance de calcul. Au lieu de cela, la relation entre les taux courts et les fonctions déterministes en b, qui sont connues sous une forme proche, est explicitement exprimée. L'algorithme de Longstaff Schwarz peut également être utilisé pour estimer les attentes, ce qui sera discuté dans un cours de suivi.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'importance de pouvoir représenter un modèle sous la forme d'une manière élégante composée de zéros est discutée. Le cadre HJM offre un outil puissant à cette fin, comme on le voit dans une expérience Python où une courbe obligataire à coupon zéro est spécifiée et un modèle Hul Lee est pris avec un paramètre sigma. Des chemins simulés sont utilisés pour calculer les obligations à coupon zéro, et l'espérance de E à l'intégrale moins est comparée à l'entrée. Le cadre AJM exige que quel que soit le paramètre choisi pour sigma, l'obligation à coupon zéro des trajectoires simulées sera toujours la même que celles qui ont été incorporées comme entrée des rendements.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier discute de la méthode de simulation de Monte Carlo dans le cadre HJM pour créer une courbe de rendement. L'approche qu'il utilise consiste à spécifier une courbe de rendement, à estimer la courbe à composante nulle et à calculer les paramètres thêta et sigma. Il effectue ensuite la simulation de Monte Carlo et stocke le facteur d'actualisation, en prenant la sortie de la simulation de Monte Carlo pour tracer l'obligation à coupon zéro du modèle et du marché. Le conférencier montre comment l'approche peut gérer les changements de valeurs de paramètres, et il y a toujours une correspondance parfaite entre le rendement en entrée et en sortie.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur explique comment le cadre HJM permet de calibrer des modèles sur des produits pertinents sans avoir besoin de calibrer séparément sur la courbe de rendement. L'orateur note que le calibrage à la courbe des taux présente souvent des difficultés, ce qui n'est pas le cas avec ce cadre. De plus, l'orateur explique comment le modèle à volatilité constante dans les modèles à taux courts peut être dérivé en utilisant la spécification de la volatilité sous les hypothèses HJM. La substitution est utilisée pour obtenir une forme simplifiée de la dynamique des taux courts, ce qui permet d'évaluer la formule du modèle.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute du cadre HJM et de la dynamique du taux court. Le paramètre lambda est une fonction dépendante du temps, donnée en termes d'instruments de marché, et le taux à terme instantané est un élément clé du cadre HJM. La fonction thêta garantit que les obligations à coupon zéro obtenues en intégrant un raccourci, en prenant un exposant et en prenant une attente de celui-ci, correspondaient à l'entrée. Pour le cadre HJM, le conférencier mentionne que nous avons deux paramètres, lambda et sigma, qui peuvent être utilisés pour l'étalonnage. Le paramètre lambda serait fixe et recalibré chaque semaine ou chaque mois. Le paramètre sigma serait calibré fréquemment à l'aide de swaptions. Le conférencier souligne l'importance de calibrer le modèle aux instruments qui seront utilisés pour la couverture, et les instruments de calibrage devraient être limités aux instruments utilisés dans la tarification et la couverture.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la simulation de la fonction thêta t, qui est cruciale dans le cadre HJM. La différenciation de la fonction thêta t est effectuée et il existe des moyens d'optimiser la mise en œuvre pour améliorer l'efficacité. Le code présenté est à but pédagogique, et un graphique illustre l'impact des différents paramètres d'inversion et des volatilités sur les trajectoires. La section passe ensuite à la définition des obligations à coupon zéro du marché et à la simulation de trajectoires de Monte Carlo pour celles-ci. La courbe de rendement est comparée à celle obtenue à partir du modèle Hull-White, et il y a deux paramètres dans le cadre HJM, ce qui offre plus de flexibilité dans l'étalonnage des dérivés exotiques. Un code Python est généré pour calculer l'espérance de un sur MT et la comparer à la courbe de rendement. Les paramètres peuvent être modifiés et leur impact sur la courbe des taux observé.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute du cadre HJM et de son utilisation dans la modélisation des taux d'intérêt. La courbe de rendement est une donnée importante dans ces modèles, et la construction du modèle garantit que la courbe de rendement est toujours parfaitement calibrée pour s'adapter au marché. L'utilisation de l'interpolation et de l'étalonnage avec des degrés de liberté supplémentaires est cruciale pour la tarification des produits dérivés. La conférence couvre également les spécifications des conditions sans arbitrage dans le monde des taux d'intérêt et discute des différences entre les différents modèles, y compris les modèles Hull-White et Full-White. En conclusion, le professeur propose trois exercices aux étudiants pour appliquer ces concepts et ces calculs au modèle exponentiel de Vasicek.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, nous apprenons à couvrir une obligation et à trouver des poids qui égalisent les incertitudes entre les instruments de couverture, le tout à l'aide d'un modèle vasculaire à paramètres constants. Le processus est stochastique et non déterministe, mais choisir les pondérations de manière à ce qu'elles soient égales aide à redistribuer l'argent entre différentes obligations et à s'assurer que vous avez un bon portefeuille. Ensuite, nous examinons le problème des taux d'intérêt négatifs et comment le résoudre en utilisant une pratique de marché appelée décalage, qui introduit un paramètre positif pour décaler tous les chemins de R d'un certain montant. Les exercices aident à calculer la dynamique d'Ito pour un système d'équations donné, à calculer les attentes et à résoudre le problème des taux d'intérêt négatifs.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 4/14, partie 1/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

Cours Ingénierie Financière : Cours 4/14, partie 1/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

Le présentateur livre une conférence informative sur les modèles de taux courts et leur lien avec la dynamique de la courbe de rendement. Ils commencent par introduire le concept de modèles de taux courts et discutent de leur pertinence. Pour améliorer la compréhension, ils étendent la discussion d'un modèle blanc froid à un seul facteur à un modèle multifactoriel plus complet, en effectuant plusieurs simulations en cours de route.

Une introduction complète aux courbes de rendement suit, avec une exploration des différentes formes de courbe de rendement et leur relation avec la dynamique des taux courts. Le présentateur établit un lien entre ces concepts et des expériences de marché réelles, mettant en lumière leurs applications pratiques. Tout en explorant les limites du modèle à un facteur, le présentateur présente également des solutions potentielles, notamment la construction et la simulation d'un modèle à deux facteurs.

Dans le segment suivant, l'instructeur se concentre sur les processus de retour à la moyenne et montre comment générer des chemins pour ces processus. Ils présentent un graphique 3D montrant la distribution des taux d'intérêt dans le temps. En présentant une transformation appelée "yt", l'instructeur explique comment ce processus extrait la partie de retour à la moyenne de l'ensemble du modèle blanc. En appliquant le lemme Ito à yt et en substituant la dynamique à l'ensemble du modèle blanc, ils dérivent la solution de la distribution du modèle blanc.

La dynamique de yt occupe le devant de la scène lorsque le conférencier met en évidence son indépendance de composante stochastique, supprimant ainsi la dépendance à l'égard de rt et de yt. Ils procèdent à la recherche de la solution pour le processus rt par l'intégration. La solution pour le modèle de taux complet comprend une constante d'échelle, une fonction de dérive dépendante du temps, une composante de volatilité avec un exposant et un coefficient de décroissance. La nature déterministe de l'expression facilite l'intégration des fonctions dépendant du temps et l'intégrale résultante est normalement distribuée. Par conséquent, rt suit une distribution normale avec une espérance et une variance, où l'espérance à long terme converge vers la fonction thêta t. La classe des processus de diffusion affine est également brièvement discutée.

Passant aux processus de diffusion par sauts, l'enseignant approfondit les caractéristiques propres au modèle de Hull-White et aux modèles de taux d'intérêt. Ils soulignent que le modèle de Hull-White appartient à la classe des processus de diffusion par sauts affines, permettant la dérivation de la fonction caractéristique de ce processus et des expressions analytiques pour les obligations à coupon zéro. La dérivation de la fonction caractéristique et l'application de la décomposition du modèle de Hull-White sont expliquées en détail. Les paramètres dépendant du temps sont identifiés comme des facteurs significatifs impactant les fonctions du modèle, avec la possibilité de les sortir de l'attente.

Le professeur discute ensuite de la solution du modèle et souligne l'importance du théorème de Dupey-Duffy-Singleton. Ils expliquent que la solution prend la forme d'une équation de type Riccati, et le théorème facilite la dérivation des fonctions A et B. La signification de ce théorème réside dans l'expression de l'espérance conditionnelle uniquement en termes de dépendance au point spécifique des chemins Rt, donc améliorer la simulation. Cette fonctionnalité s'avère particulièrement utile pour les évaluations de portefeuille nécessitant plusieurs simulations de Monte Carlo imbriquées. De plus, la nature fermée et la facilité de mise en œuvre des fonctions A et B en font des modèles très adoptés dans l'industrie, évitant le besoin d'un recalibrage coûteux tout en calibrant efficacement pour produire la dynamique de la courbe.

L'instructeur met l'accent sur une expression puissante qui permet d'évaluer les obligations à coupon zéro sans recourir à des simulations de Monte Carlo imbriquées. Cette expression élimine le besoin de simulations supplémentaires, améliorant considérablement l'efficacité des swaps de prix avec des échéances à long terme. Les fonctions A et B, qui dépendent de la maturité, jouent un rôle central dans ce processus et peuvent être directement évaluées. Le conférencier fournit des relations de forme fermée entre les obligations à coupon zéro et les fonctions A et B, impliquant une fonction thêta, la volatilité et une version minimale de l'indicateur de vitesse. De plus, ils démontrent deux approches pour évaluer les obligations à coupon zéro à partir du modèle : utiliser l'expression analytique ou éviter les intégrations.

Poursuivant la conférence, l'instructeur explique comment calculer les obligations à coupon zéro dans le modèle blanc complet, en utilisant une méthode plus rapide et plus efficace que la simulation de Monte Carlo imbriquée. Ils présentent l'expression de l'obligation à coupon zéro en fonction des variables a et b, ainsi que le taux à terme instantané le plus court, r0. Cette méthode s'avère avantageuse en termes de rapidité et d'efficacité par rapport à la précédente approche de simulation Monte Carlo imbriquée. L'importance de la courbe de rendement dans la détermination des valeurs actualisées des flux de trésorerie futurs est également soulignée. La courbe de rendement sert d'outil crucial pour mapper les cotations d'instruments liquides sur une courbe unifiée, différentes échéances d'obligations à coupon zéro étant utilisées pour construire des taux à terme. L'objectif principal de la courbe de rendement est de fournir une anticipation des taux futurs selon divers scénarios.

La conférence explore en outre l'importance de sélectionner les instruments les plus liquides lors de la construction d'une courbe de rendement. Ces instruments sont choisis en raison de leur utilisation fréquente dans la couverture et la valorisation des dérivés exotiques. L'interpolation des points sur la courbe de rendement est discutée, car elle peut avoir un impact substantiel sur la courbe d'actualisation globale utilisée dans les calculs. De plus, la courbe des taux est considérée comme un indicateur avancé de la direction économique d'un pays et peut être influencée par les politiques monétaires des banques centrales. La mise en correspondance des obligations à coupon zéro avec le rendement est expliquée, les rendements étant généralement exprimés sous forme de taux effectifs en unités d'années. Il convient de noter que la courbe des taux reflète non seulement les attentes en matière de taux d'intérêt, mais également l'attitude des investisseurs face au risque et leur préférence pour les obligations de différentes échéances.

Poursuivant le cours, le conférencier explique la mécanique des courbes de taux et leur dépendance à la demande d'obligations à court terme. Les courbes de rendement sont représentées par un ensemble de nœuds, chacun associé à une paire correspondante. Ces paires sont utilisées pour définir les points de la colonne vertébrale sur la courbe, et la courbe elle-même est une fonction qui mappe un ensemble de taux zéro à des nombres réels. La détermination des points de colonne vertébrale implique des instruments d'étalonnage, et la méthode d'interpolation entre ces points peut varier en fonction des conventions du marché ou des préférences individuelles des commerçants. Cette interpolation est nécessaire pour obtenir des valeurs de liaison entre les points de la colonne vertébrale. La cartographie des obligations à coupon zéro à la courbe des taux et la construction de la courbe des taux sont également discutées en détail.

L'orateur souligne le rôle crucial de l'interpolation dans le calcul de la valeur des obligations et souligne son impact sur la performance des couvertures. Le choix de la méthode d'interpolation influence significativement les sensibilités et les risques associés aux courbes de taux. De plus, la construction de la courbe des taux a un impact profond sur les stratégies de couverture. La conférence se penche sur les conventions concernant la dénomination des courbes de rendement et des rendements, avec des exemples spécifiques, tels qu'un rendement de cinq pour cent sur cinq ans lié aux obligations à coupon zéro et aux points de colonne vertébrale sur la courbe de rendement. La session se termine en préfigurant le prochain segment, qui explorera plus en profondeur la construction de la courbe de rendement, abordant la sensibilité des instruments, l'impact des différentes techniques d'interpolation et l'influence de l'interpolation sur la performance de couverture.

Dans la partie suivante de la conférence, l'orateur souligne l'importance de calculer avec précision les rendements et souligne la nécessité d'employer l'expression complète au lieu de se fier uniquement à l'attente d'un seul terme. Cela est dû au fait que les fonctions intégrales et exposantes ne possèdent pas d'attentes équivalentes. La dynamique de la courbe de rendement est introduite et diverses formes de courbes de rendement sont explorées, y compris la courbe de rendement normale, qui indique une économie saine. L'orateur explique en outre comment les banques centrales utilisent l'assouplissement quantitatif pour faire baisser les taux à court terme, ce qui a par conséquent un impact sur la forme de la courbe des taux.

L'instructeur discute des différentes formes de courbes de rendement, y compris la courbe plate et la courbe de rendement inversée. Ce dernier est généralement associé à des crises de marché ou à des crises imminentes. Il représente une transition d'une courbe normale à une courbe inversée et peut amener les banques à hésiter à émettre davantage de prêts, ce qui conduit à une stimulation limitée de l'économie globale. La conférence présente un graphique du Trésor américain affichant la dynamique de la courbe de rendement au fil du temps, donnant un aperçu des tendances économiques futures. Le déplacement parallèle des courbes de rendement et son impact sur les positions dans le domaine des taux d'intérêt sont également couverts.

Déplaçant l'accent sur la dynamique de la courbe de rendement à taux courts, le conférencier présente une démonstration vidéo qui met en valeur la dynamique de la courbe de rendement. Dans la vidéo, la ligne bleue représente le taux effectif des fonds fédéraux, qui peut être considéré comme un taux court puisqu'il reflète les taux au jour le jour. La ligne verte correspond au rendement implicite du marché, représentant les attentes du marché. La vidéo illustre diverses crises, comme la crise financière de 2008, où la courbe des taux s'est aplatie et inversée, amenant les investisseurs à passer du marché boursier aux bons du Trésor.

Le conférencier fournit un lien vers la vidéo, encourageant les téléspectateurs à explorer eux-mêmes la dynamique de la courbe de rendement. Comprendre la relation entre les taux courts et les mouvements de la courbe des taux est essentiel pour une gestion efficace des risques. En simulant des taux courts et en construisant des courbes de rendement pour chaque trajectoire à l'aide de formules qui intègrent des obligations à coupon zéro, on peut mieux comprendre la dynamique et le comportement des courbes de rendement.

S'appuyant sur cette compréhension, la partie suivante de la conférence se plongera dans une dynamique plus réaliste de la courbe des taux dérivée des taux courts. Cette exploration vise à fournir une compréhension globale de l'interaction entre les taux courts et les courbes de rendement, permettant une meilleure évaluation et gestion des risques sur les marchés financiers.

• 00:00:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le présentateur aborde le concept de modèles de taux courts et leur relation avec la dynamique de la courbe de rendement. Ils couvrent l'extension d'un modèle blanc froid à un facteur à un modèle multifactoriel et effectuent plusieurs simulations. En outre, ils fournissent une introduction aux courbes de rendement et discutent des différentes formes de courbes de rendement et de la dynamique des taux courts, reliant ces concepts à des expériences de marché réelles. La discussion comprend les limites du modèle à facteur unique et les solutions pour celles-ci, y compris la construction et la simulation d'un modèle à deux facteurs. L'animateur conclut le cours magistral par un résumé et deux exercices à faire à la maison.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section du cours, l'instructeur explique comment générer des chemins pour les processus de retour à la moyenne et présente un tracé 3D de ces chemins montrant la distribution des taux d'intérêt dans le temps. L'instructeur introduit ensuite une transformation pour l'ensemble du modèle blanc qui permet de dériver la solution pour la distribution du modèle blanc. Cette transformation est définie comme un processus appelé yt, qui extrait la partie de retour à la moyenne de l'ensemble du modèle blanc. En appliquant le lemme Ito à yt et en substituant la dynamique à l'ensemble du modèle blanc, l'instructeur montre comment dériver la solution pour la distribution du modèle blanc.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la dynamique de yt, qui ne dépend pas d'une composante stochastique, supprimant la dépendance à rt et yt. La solution pour le processus rt est trouvée par intégration. La solution pour le modèle de taux complet consiste en une constante d'échelle, une dérive qui est une fonction dépendante du temps, une composante de volatilité avec un exposant et un coefficient de décroissance. L'expression est déterministe, ce qui signifie que l'intégration de fonctions dépendant du temps est facile, et l'intégrale est normalement distribuée de sorte que rt soit normalement distribué avec une espérance et une variance, où l'espérance à long terme converge vers la fonction thêta t. La classe des processus de diffusion affine est également brièvement discutée.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'enseignant discute des caractéristiques des processus de diffusion par sauts, en particulier pour le modèle de Hull-White et les modèles de taux d'intérêt. Il note que ce modèle appartient à la classe des processus de diffusion par sauts affines, ce qui permet de trouver la fonction caractéristique de ce processus et des expressions analytiques pour les obligations à coupon zéro. Il explique en outre la dérivation de la fonction caractéristique et l'application de la décomposition du modèle de Hull-White. Enfin, il souligne que les paramètres dépendant du temps affectent les fonctions du modèle et qu'ils peuvent être pris en dehors de l'attente.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de la solution du modèle et de l'importance du théorème de Dupey-Duffy-Singleton. La solution se présente sous la forme d'une équation de type Riccati, et les fonctions A et B peuvent être dérivées à l'aide du théorème de Dupey-Duffy-Singleton. Ce théorème est important car il permet d'exprimer l'espérance conditionnelle en termes de dépendance uniquement au point particulier des chemins Rt, ce qui améliore la simulation. Ceci est particulièrement utile pour les évaluations de portefeuille qui nécessitent plusieurs évaluations de simulations Monte Carlo imbriquées. De plus, les fonctions A et B sont de forme fermée et faciles à mettre en œuvre, ce qui en fait des modèles bien adoptés dans l'industrie qui se calibrent efficacement en fonction de la courbe de rendement et ne nécessitent pas de recalibrage coûteux.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, l'instructeur discute de l'expression puissante par laquelle les obligations à coupon zéro peuvent être évaluées, ce qui élimine le besoin de simulations de Monte Carlo imbriquées, rendant les swaps de prix avec des échéances à long terme beaucoup plus efficaces . Cette expression dépend des fonctions A et B qui sont déterminées par la maturité et peuvent être directement évaluées sans nécessiter de simulations supplémentaires. L'instructeur fournit également les relations de forme fermée entre les obligations à coupon zéro et les fonctions A et B, qui impliquent une fonction thêta, la volatilité et une version minimale de l'indicateur de vitesse. De plus, l'instructeur montre comment évaluer les obligations à coupon zéro à partir du modèle en utilisant l'expression analytique ou en évitant les intégrations.
  
  
• 00:30:00 cette section, le conférencier explique comment calculer les obligations à coupon zéro sous le modèle blanc complet sans utiliser la simulation de Monte Carlo. L'expression de l'obligation à coupon zéro est donnée par la fonction a et b, et r0, qui est le taux à terme instantané le plus court. Cette méthode est plus rapide et plus efficace que la précédente simulation de Monte Carlo imbriquée. La courbe de rendement, qui est importante pour déterminer les valeurs actuelles des flux de trésorerie futurs, est également abordée, ainsi que leur utilisation dans différentes classes d'actifs. Les limites du modèle blanc unidimensionnel en gestion des risques sont également évoquées.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la conférence, l'importance de la courbe de rendement comme moyen d'actualisation des flux de trésorerie futurs est discutée. La courbe de rendement représente les attentes du marché concernant les taux futurs et est utilisée pour mapper les cotations d'instruments liquides sur une courbe unifiée. Différentes échéances de composantes nulles sont utilisées pour construire les taux à terme et le concept principal de la courbe de rendement est de fournir une anticipation des taux futurs avec différents scénarios. Le cours explique également comment simuler la courbe de rendement et comment étendre les modèles d'un facteur à deux facteurs. Les produits de taux d'intérêt sont une anticipation de la valeur future, et les valeurs des actions sont des flux de trésorerie futurs actualisés.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, l'importance de sélectionner les instruments les plus liquides lors de la construction d'une courbe de rendement est discutée. Ces instruments liquides sont choisis car ils sont les plus couramment utilisés pour la couverture et sont utilisés pour la valorisation des dérivés exotiques. L'interpolation des points sur la courbe de rendement est également discutée car elle peut avoir un impact significatif sur la courbe d'actualisation globale utilisée dans les calculs. La courbe des taux est considérée comme un indicateur avancé de la direction de l'économie du pays et peut être affectée par la politique monétaire des banques centrales. Enfin, la mise en correspondance des obligations à coupon zéro avec le rendement est expliquée, les rendements étant généralement exprimés sous la forme d'un taux effectif en unités d'années. La courbe des rendements reflète non seulement les attentes en matière de taux d'intérêt, mais également l'attitude des investisseurs à l'égard du risque et leur besoin d'échéances différentes pour les obligations.
  
  
• 00:45:00 cette section, le conférencier explique comment fonctionnent les courbes de rendement et comment elles évoluent en fonction de la demande d'obligations à court terme. Les courbes de rendement peuvent être représentées par un ensemble de nœuds, où chaque nœud est associé à une paire correspondante. Ces paires sont utilisées pour définir les points de la colonne vertébrale sur la courbe, et la courbe elle-même est une fonction qui mappe un ensemble de taux zéro à des nombres réels. Les points de colonne vertébrale sont déterminés à l'aide d'instruments d'étalonnage, et l'interpolation utilisée entre eux peut changer en fonction des conventions du marché ou des choix du commerçant. Cette interpolation est nécessaire pour obtenir des liaisons entre les points de la colonne vertébrale. Le conférencier explique également comment mapper les obligations à coupon zéro sur la courbe des taux et comment construire la courbe des taux.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur souligne l'importance de l'interpolation dans le calcul des valeurs des obligations et discute de ses performances de couverture. Le choix de l'interpolation joue un rôle important dans la détermination des sensibilités et des risques associés aux courbes. Le conférencier parle également de l'impact de la construction de la courbe de rendement sur la couverture et discute des conventions concernant la dénomination des courbes de rendement et des rendements. Un rendement de cinq pour cent sur cinq ans, par exemple, se rapporte aux obligations à coupon zéro et aux points de colonne vertébrale sur la courbe des rendements. La conférence se termine en soulignant que la session suivante approfondira la construction de la courbe de rendement, où les participants verront comment la construction de la courbe affecte la sensibilité d'un instrument, l'impact des différentes routines d'interpolation et comment une interpolation peut affecter les performances de couverture.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'importance de calculer correctement les rendements et souligne la nécessité d'utiliser l'expression complète plutôt que de simplement prendre l'attente d'un seul terme. Ils expliquent que c'est parce que les fonctions intégrale et exposant n'ont pas d'attentes équivalentes. L'orateur introduit également l'idée de la dynamique de la courbe de rendement et explore différentes formes possibles de la courbe de rendement, y compris la courbe de rendement normale qui indique une économie saine. La discussion se termine par une explication de la manière dont les banques centrales utilisent l'assouplissement quantitatif pour faire baisser les taux à court terme et comment cela affecte la courbe des taux.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'instructeur aborde les différentes formes de courbes de rendement, y compris la courbe plate et la courbe de rendement inversée, qui est généralement associée à une crise de marché ou à une crise imminente. Il s'agit d'une transition entre une courbe normale et une courbe inversée, et les banques peuvent ne plus émettre de prêts, ce qui peut ne pas stimuler l'ensemble de l'économie. L'instructeur présente également un graphique du Trésor américain qui montre la dynamique de la courbe de rendement dans le temps, indiquant ce qui se passera dans l'économie. En outre, la discussion couvre le déplacement parallèle d'une courbe de rendement et l'impact sur les positions que quelqu'un a dans le monde des taux d'intérêt.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de la dynamique de la courbe des taux à court terme. L'accent est mis sur une vidéo qui démontre la dynamique de la courbe des taux, où la ligne bleue représente le taux effectif des fonds fédéraux, qui peut être considéré comme un taux court puisqu'il s'agit d'un taux au jour le jour. La ligne verte correspond au rendement implicite du marché, qui est une attente du marché. La vidéo montre diverses crises telles que la crise financière de 2008 où la courbe s'est aplatie et inversée, conduisant les investisseurs à quitter le marché boursier pour le Trésor. Le conférencier fournit le lien vidéo afin que les téléspectateurs puissent en apprendre davantage sur la dynamique de la courbe de rendement.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, la vidéo explique comment simuler des taux courts et construire une courbe de rendement pour chaque chemin à l'aide de formules prenant en compte les obligations zéro. En observant les différentes dynamiques de la courbe des taux dans chaque trajectoire, il est possible de comprendre la relation entre les taux courts et les courbes des taux, ce qui est utile à des fins de gestion des risques. Dans le bloc suivant, le cours se concentrera sur la dynamique plus réaliste de la courbe des taux implicite des taux courts.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 4/14, partie 2/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

Cours Ingénierie Financière : Cours 4/14, partie 2/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

L'instructeur plonge dans le sujet de la simulation de modèles de taux courts et de leur application à la mesure de la dynamique des courbes de rendement. Les courbes de rendement représentent les attentes du marché concernant les rendements futurs et sont influencées par les perceptions et les attentes du marché. Pour analyser ces dynamiques, le formateur présente une expérience qui consiste à observer le taux composé en continu pour chaque réalisation du taux court et à générer des courbes de rendement pour chaque scénario. Cette simulation permet d'évaluer le réalisme du modèle de taux court et de la fonction motrice theta t. Des données réelles sur le marché sont utilisées dans cette expérience pour améliorer la précision.

L'enseignant met en évidence l'utilité des simulations à taux courts pour l'analyse des risques. En générant des courbes de taux pour différents scénarios, il devient possible d'évaluer la valeur actuelle d'un portefeuille composé de produits de taux d'intérêt. Pour le démontrer, l'enseignant simule plusieurs chemins pour les taux courts et calcule les obligations à coupon zéro pour chaque chemin. Fait intéressant, la conférence souligne que les courbes de rendement générées à l'aide du modèle entièrement blanc présentent un décalage parallèle, ce qui est irréaliste dans la pratique. La conférence se termine par une présentation du code Python utilisé pour générer les courbes de rendement.

Poursuivant la discussion, l'importance d'avoir un continuum dans les obligations à coupon zéro pour le calcul de la fonction thêta est soulignée. Le cours insiste sur l'importance de l'interpolation, en particulier l'interpolation sur le taux lui-même au lieu de l'exposant, pour assurer la stabilité numérique. Divers choix d'interpolation et le nombre de points pour le calcul des obligations sont explorés. De plus, la conférence se penche sur la simulation et la génération d'obligations et de rendements à coupon zéro, soulignant l'importance de la mise en œuvre de ces processus de manière cohérente et robuste. Enfin, la conférence présente la courbe de rendement générée à partir des données de marché et les trajectoires simulées de Monte Carlo du modèle mondial, révélant un taux sain mais remarquablement bas.

La conférence aborde ensuite les limites du modèle entièrement blanc. Alors que le modèle permet de calibrer l'ensemble de la courbe de rendement, il ne parvient pas à calibrer l'ensemble de la courbe à terme, ce qui est une limitation courante dans la plupart des modèles de taux courts. Pour surmonter cette limitation, le conférencier présente le modèle du marché du travail, qui est bien adapté pour traiter la courbe à terme et le calibrage de la courbe des taux. De plus, le modèle entièrement blanc rencontre des problèmes avec des composants zéro parfaitement corrélés, ce qui réduit encore son efficacité.

Ensuite, les limites du modèle Hull-White à facteur unique sont discutées. Ces limites comprennent une corrélation élevée entre les obligations à échéances proches mais une corrélation plus faible pour les obligations à échéances éloignées, ce qui rend impossible le calibrage du modèle sur l'ensemble de la structure par terme des différents taux d'intérêt. Le modèle est également jugé inadapté à des fins de gestion des risques car il suppose une corrélation de un entre les obligations à coupon zéro et la dynamique des taux courts. Pour résoudre ces problèmes, une extension du modèle Hull-White à deux facteurs est introduite. Cependant, cette extension est principalement utilisée pour la gestion des risques et l'analyse de scénarios plutôt que pour la tarification. La dynamique du modèle à deux facteurs est expliquée, le premier facteur représentant le niveau de la courbe des taux et le second facteur représentant l'asymétrie de la courbe des taux.

Le conférencier discute ensuite du modèle gaussien de Hull-White à deux facteurs, qui est une variante du modèle à facteur unique. Une comparaison entre les deux modèles est présentée, en soulignant que les significations des paramètres peuvent différer lors du passage de l'un à l'autre. La conférence met en évidence les avantages du modèle gaussien à deux facteurs de Hull-White en termes de simulation de processus et son implémentation efficace dans les simulations de Monte Carlo. La conférence explore la fonction intégrale du modèle et son application dans la tarification des obligations à coupon zéro.

La simulation des courbes de rendement pour des réalisations données à l'aide du modèle blanc complet à deux facteurs est ensuite expliquée. L'obligation à coupon zéro pour ce modèle a une forme analytique fermée et implique un système de processus gaussien. La simulation du modèle gaussien à deux facteurs implique la simulation de deux processus de retour à la moyenne qui correspondent à la structure des termes, en utilisant des expressions pour les volatilités et les coefficients de corrélation. Le cours fait la distinction entre les processus X et Y, où X représente le niveau de la courbe de rendement et Y représente la pente ou l'asymétrie de la courbe. La corrélation entre les deux mouvements browniens associés à ces processus est négative, indiquant un effet de raidissement sur la courbe.

La conférence se penche également sur la corrélation entre les obligations lors de l'application de la même technique au modèle à deux facteurs. Contrairement au modèle à facteur unique, la corrélation entre les rendements correspondants n'est pas égale à un dans le modèle à deux facteurs. Cette constatation confirme que l'ajout d'un facteur supplémentaire au modèle conduit à une forme de volatilité implicite plus réaliste, en particulier lorsque les prix sont plafonnés. Cependant, il est important de noter que l'augmentation du nombre de facteurs dans le modèle ajoute de la complexité et des difficultés d'étalonnage. Malgré cela, le modèle à deux facteurs génère systématiquement la même courbe de rendement, ce qui en fait un cadre AJM (modèle conjoint sans arbitrage).

La conférence discute en outre des limites de l'incorporation de plus de facteurs dans le modèle gaussien. On explique que même avec un grand nombre de paramètres, la flexibilité en termes de volatilités implicites reste limitée du fait de l'absence de volatilité stochastique. La conférence procède ensuite à la simulation de trajectoires pour le modèle à deux facteurs, en examinant les rendements de la courbe de rendement impliqués par l'ensemble du modèle blanc à deux facteurs avec des coefficients de corrélation supplémentaires. Les rendements qui en résultent présentent non seulement un déplacement parallèle, mais reflètent également l'impact des corrélations et de la dynamique. Cette fonctionnalité s'avère précieuse à des fins de gestion des risques. L'enseignant conclut cette section en partageant le code Python utilisé pour la simulation.

Soulignant l'importance de choisir des techniques d'interpolation appropriées lors de la modélisation des courbes de rendement, le conférencier souligne que le choix de la méthode d'interpolation peut influencer de manière significative les résultats. Les prochaines conférences couvriront des sujets tels que la reconstruction du rendement, l'impact des différentes interpolations, les pièges courants à éviter et les méthodes pour assurer une interpolation réaliste. De plus, la conférence introduit le concept d'une grille pour les obligations à coupon zéro. Une comparaison est faite entre les obligations à coupon zéro générées à partir du marché et celles calculées à l'aide du modèle de Hull-White. Une simulation de Monte Carlo est effectuée, générant des courbes de rendement pour les modèles à un facteur et à deux facteurs sur une période de dix ans. Le cours se termine par une comparaison des calculs de rendement obtenus à partir de ces deux modèles.

Ensuite, la conférence se concentre sur la présentation des résultats de simulation pour le modèle à deux facteurs de la dynamique de la courbe de rendement. Ces résultats sont comparés à ceux du modèle à un facteur ainsi qu'aux résultats analytiques issus du marché. Il devient évident que le modèle à deux facteurs fournit une représentation plus réaliste et plus complète de la dynamique de la courbe de rendement. Bien que la volatilité globale dans le modèle à deux facteurs soit plus élevée en raison du facteur de volatilité supplémentaire, cela ne modifie pas de manière significative la situation globale. La principale conclusion est que l'incorporation d'un facteur supplémentaire dans le modèle gaussien à deux facteurs conduit à une représentation beaucoup plus réaliste de la dynamique des rendements dans la simulation de Monte Carlo. Enfin, l'enseignant résume les principaux enseignements du cours, notamment la résolution du modèle de Hull-White et la relation des obligations à coupon zéro à la fonction caractéristique, et introduit brièvement la construction de la courbe des taux et ses limites.

En conclusion de la conférence, les limites du modèle Cool White sont discutées. Ces limitations tournent principalement autour des corrélations entre les obligations de différentes échéances et de l'incapacité du modèle à se calibrer sur une large gamme d'instruments sur le marché en raison de son ensemble de paramètres limité. Pour résoudre ces problèmes, la conférence suggère d'étendre le modèle à un cadre à deux facteurs, permettant l'assouplissement de l'hypothèse de corrélation parfaite entre les obligations à coupon zéro. Le cours se termine par l'attribution de deux exercices à faire à la maison : l'un impliquant des attentes sous la mesure t vers l'avant et l'autre utilisant des transformées de Laplace pour démontrer certaines attentes.

Tout au long de la conférence, l'importance de comprendre et de sélectionner des modèles appropriés pour l'analyse des risques et la dynamique de la courbe de rendement devient évidente. Bien que le modèle Hull-White et ses variantes offrent des informations et des outils précieux, il est essentiel de reconnaître leurs limites et d'explorer des modèles alternatifs pour relever des défis spécifiques.

L'un de ces modèles alternatifs introduits dans la conférence est le modèle du marché du travail, qui fournit une solution à la limitation du modèle Hull-White dans le calibrage de l'ensemble de la courbe vers l'avant. Le modèle du marché du travail permet un étalonnage plus complet de la courbe à terme et de la courbe des rendements, ce qui en fait un choix approprié pour certaines applications de gestion des risques.

De plus, la conférence met en évidence l'importance des techniques d'interpolation dans la modélisation de la courbe de rendement. Le choix de la bonne méthode d'interpolation est crucial pour capturer avec précision le comportement et la forme de la courbe de rendement. Le conférencier souligne que l'interpolation n'est pas seulement un détail technique, mais un art qui nécessite un examen attentif et une compréhension de la dynamique sous-jacente. Pour illustrer l'impact de l'interpolation, le cours propose une comparaison entre les courbes de taux générées à partir des données de marché et celles calculées à l'aide du modèle de Hull-White. Le conférencier montre comment différents choix d'interpolation peuvent entraîner des formes et des valeurs variables de courbe de rendement. Cette analyse souligne l'importance de sélectionner une méthode d'interpolation qui s'aligne sur les caractéristiques souhaitées et le réalisme de la courbe de rendement.

Au fur et à mesure que la conférence progresse, le sujet de la simulation des courbes de rendement pour différents scénarios émerge. Les simulations de Monte Carlo s'avèrent être un outil précieux pour générer des courbes de taux et évaluer les risques potentiels associés aux produits de taux d'intérêt. En simulant plusieurs trajectoires pour les taux courts et en calculant les obligations à coupon zéro pour chaque trajectoire, les analystes peuvent évaluer la valeur actuelle d'un portefeuille de produits de taux d'intérêt dans différents scénarios de marché.

La conférence se termine par une démonstration du code Python utilisé pour générer des courbes de rendement. Le code présente la mise en œuvre pratique des concepts abordés tout au long de la conférence, offrant aux apprenants une expérience pratique et renforçant leur compréhension du sujet.

En résumé, la conférence propose une exploration approfondie des modèles de taux courts, de la dynamique de la courbe de rendement et de leurs implications pour l'analyse des risques. Il discute des limites du modèle de Hull-White et présente des modèles alternatifs tels que le modèle du marché du travail et le modèle gaussien à deux facteurs de Hull-White. L'importance de sélectionner des techniques d'interpolation appropriées et de réaliser des simulations de Monte Carlo est soulignée. À travers des exemples et des démonstrations pratiques, le cours donne aux apprenants les connaissances et les outils nécessaires pour modéliser et analyser efficacement les courbes de rendement dans divers contextes financiers.

• 00:00:00 Dans cette section du cours, l'instructeur discute de la simulation de modèles à taux courts et de leur utilisation pour mesurer la dynamique d'une courbe de rendement obtenue à partir des modèles. La courbe des taux est essentiellement une anticipation d'un rendement futur possible, et elle évolue de manière dynamique en fonction des attentes et des perceptions du marché. L'expérimentation consiste à observer la dynamique du taux capitalisé en continu pour chaque réalisation du taux court et à générer des courbes de taux pour chaque scénario. Cette simulation peut aider à déterminer si le modèle de taux court est réaliste ou non, et la courbe de rendement est pilotée par la fonction thêta t. L'expérience utilise des données de marché réelles pour une plus grande précision.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique comment les simulations de taux courts peuvent être utilisées pour l'analyse des risques. En générant des courbes de rendement pour différents scénarios, la valeur actuelle d'un portefeuille de produits de taux d'intérêt peut être évaluée. L'orateur le démontre à travers une expérience où il simule plusieurs chemins pour les taux courts et calcule les obligations à coupon zéro pour chaque chemin. Ils montrent également comment les courbes de rendement générées à l'aide du modèle entièrement blanc ne sont en réalité qu'un déplacement parallèle l'une de l'autre, ce qui est considéré comme irréaliste dans la pratique. La conférence se termine par une démonstration du code Python utilisé pour générer les courbes de rendement.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'importance d'avoir un continuum dans les obligations à coupon zéro pour le calcul de la fonction thêta. L'interpolation est également essentielle, et le professeur préfère interpoler sur le taux lui-même plutôt que sur l'exposant pour assurer la stabilité numérique. Le cours aborde ensuite les différents choix d'interpolations et le nombre de points d'obligations à calculer. De plus, il a parlé de la simulation et de la génération d'obligations et de rendements à coupon zéro, soulignant l'importance de s'assurer que la mise en œuvre est cohérente et à toute épreuve. Enfin, il montre la courbe de rendement générée à partir des données de marché et des trajectoires de monte-carlo simulées du modèle mondial, démontrant un taux sain mais extrêmement bas.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence sur l'ingénierie financière, les limites du modèle blanc complet sont discutées. Bien que le modèle soit élégant et permette le calibrage de l'ensemble de la courbe de rendement, il ne permet pas le calibrage de l'ensemble de la courbe à terme, ce qui est une limitation pour la plupart des modèles de taux courts. Afin de résoudre ce problème, la conférence présente le modèle du marché du travail, qui est bien adapté pour aider à traiter la courbe à terme et la courbe des taux. De plus, l'ensemble du modèle blanc a des problèmes avec des composants zéro parfaitement corrélés, ce qui limite encore son efficacité.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section de la conférence, les limites du modèle à facteur unique de Hull-White sont discutées, telles que la forte corrélation entre les obligations à échéances proches les unes des autres mais plus faible pour les obligations à échéances éloignées, ce qui rend impossible pour s'adapter à l'ensemble de la structure par terme des différents taux d'intérêt. Le modèle est également désavantageux à des fins de gestion des risques puisqu'il suppose la corrélation de un entre les obligations à coupon zéro et la dynamique des taux courts. Pour résoudre ces problèmes, une extension du modèle de Hull-White à deux facteurs est présentée. Cependant, cette extension ne serait pas utilisée pour la tarification, mais plutôt pour la gestion des risques et des scénarios. La dynamique du modèle à deux facteurs est décrite, où le premier facteur représente le niveau de la courbe de rendement et le second facteur représente l'asymétrie du rendement.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier explique un modèle à deux facteurs appelé modèle gaussien de Hull-White à deux facteurs, qui est une variante du modèle à facteur unique de Hull-White. L'enseignant compare les deux modèles et souligne l'importance de garder à l'esprit que la signification des paramètres peut différer lors du basculement entre les deux modèles. La conférence discute également des avantages du modèle gaussien à deux facteurs de Hull-White en termes de simulation de processus et de son implémentation efficace dans les simulations de Monte Carlo. Le conférencier explore ensuite la fonction intégrale du modèle et comment effectuer la tarification des obligations à coupon zéro.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur explique comment simuler des courbes de rendement pour des réalisations données en utilisant le modèle à deux facteurs entièrement blanc. L'obligation à coupon zéro pour le modèle blanc entier à deux facteurs a une forme analytique fermée et implique un système de processus gaussien. La simulation du modèle gaussien à deux facteurs implique de simuler deux processus de retour à la moyenne qui correspondent à la structure des termes, en utilisant quelques expressions pour les volatilités et les coefficients de corrélation. Le processus X est associé au niveau de la courbe des taux, tandis que le processus Y correspond à la pente de l'asymétrie de la courbe. La corrélation entre les deux mouvements browniens est négative, indiquant un raidissement de la courbe.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de la corrélation entre les obligations lors de l'application de la même technique utilisée dans la section précédente à l'ensemble du modèle blanc à deux facteurs. La corrélation entre les rendements correspondants n'est plus égale à un car nous avons affaire à des fonctions différentes, confirmant qu'en ajoutant un facteur supplémentaire au modèle, nous obtenons une forme de volatilité implicite plus réaliste, en particulier lors de la tarification des plafonds. De plus, en ajoutant plus de facteurs au modèle, nous augmentons sa complexité et sa difficulté de calibration. Cependant, ce modèle génère toujours la même courbe de rendement, ce qui en fait un cadre AJM.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute des limites de l'ajout de facteurs supplémentaires au modèle gaussien, déclarant que même s'il y avait des centaines de paramètres, la flexibilité en termes de volatilités implicites est limitée en raison du manque de volatilité stochastique. Le conférencier passe ensuite à la simulation de trajectoires pour le modèle à deux facteurs, où il examine les rendements de la courbe de rendement implicites à partir d'un modèle à deux facteurs blanc complet avec des coefficients de corrélation supplémentaires. Les rendements ne sont pas seulement un changement parallèle, mais montrent l'impact des corrélations et de la dynamique, ce qui est utile à des fins de gestion des risques. L'enseignant discute ensuite du code Python utilisé pour cette simulation.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'importance de choisir l'interpolation appropriée lors de la modélisation d'une courbe de rendement est soulignée. L'enseignant informe les apprenants que le choix de la technique d'interpolation appropriée est un art et peut avoir un impact significatif sur les résultats. Dans les deux prochaines conférences, il y aura une discussion sur la reconstruction du rendement, l'impact des différentes interpolations, les pièges à éviter et comment s'assurer que l'interpolation est proche de/réaliste dans un certain sens. Le cours se poursuit ensuite avec la définition d'une grille pour les obligations à coupon zéro. Le conférencier montre une comparaison entre les obligations à coupon zéro générées à partir du marché et celles calculées à partir du modèle de Hull-White. Une simulation de Monte Carlo des trajectoires jusqu'à dix ans est effectuée, et une courbe de rendement est générée pour encore quarante ans dans le modèle à deux facteurs. Une comparaison est faite entre les modèles à facteur unique et à deux facteurs en termes de calculs de rendement.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute des résultats de simulation d'un modèle à deux facteurs de la dynamique de la courbe de rendement et les compare à un modèle à un facteur et aux résultats analytiques du marché. Les résultats montrent que le modèle à deux facteurs produit une représentation plus réaliste et plus riche de la dynamique de la courbe de rendement. Le conférencier note également que la volatilité globale dans le modèle à deux facteurs est plus grande en raison du facteur de volatilité supplémentaire, mais cela ne change pas l'image globale. La conclusion la plus importante est que l'ajout d'un facteur supplémentaire dans le modèle gaussien à deux facteurs peut entraîner une dynamique beaucoup plus réaliste des rendements générés à partir de la simulation de Monte Carlo. Enfin, le conférencier résume les principaux enseignements de la conférence, y compris la recherche de solutions pour le modèle de Hull-White et la relation des obligations à coupon zéro à la fonction caractéristique, et présente brièvement la construction de la courbe de rendement et ses limites.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la conférence, les limites du modèle Cool White sont discutées, en particulier les corrélations entre les obligations de différentes échéances et le fait que le modèle a peu de paramètres qui ne permettent l'étalonnage que pour quelques instruments du marché. . La solution discutée est l'extension à un modèle à deux facteurs, qui permet de lever l'hypothèse de corrélation parfaite entre les obligations à coupon zéro. Deux exercices sont donnés à la maison, l'un impliquant de trouver des attentes sous la mesure t vers l'avant et l'autre utilisant des transformées de Laplace pour montrer certaines attentes.

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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 5/14, partie 1/2, (Produits de taux d'intérêt)

Cours d'Ingénierie Financière : Cours 5/14, partie 1/2, (Produits de taux d'intérêt)

Le cours commence par la présentation de divers produits de taux d'intérêt, tels que les swaps de taux d'intérêt, les accords de taux à terme et les billets à taux variable. Ces produits reposent sur des volatilités telles que des floorlets et des couplets pour la tarification. Le conférencier souligne que le taux à terme LIBOR est un élément fondamental de tous les contrats de taux d'intérêt.

Les produits linéaires et non linéaires sont discutés, et la conférence se penche sur le concept du taux LIBOR à terme composé simple, qui est largement utilisé dans différents produits de taux d'intérêt, y compris les swaps et les dérivés. Ce taux à terme aide à établir les attentes concernant la période de taux d'intérêt. Il est important de noter que jusqu'à la date de réinitialisation, le taux d'intérêt reste une variable aléatoire stochastique, mais après la date de réinitialisation, il devient fixe sans aucune incertitude.

Le conférencier explore l'échange de taux à terme entre deux contreparties, conduisant à des accords de taux à terme. Les flux de trésorerie dans ces accords sont divisés par un plus tau fois le taux LIBOR à des fins d'actualisation. Le taux LIBOR à terme est défini sur une période spécifique, et sa définition peut être liée aux obligations à coupon zéro. La tarification de l'accord implique l'utilisation d'une mesure neutre au risque et d'une actualisation, avec un taux fixe et une période d'accumulation jouant un rôle clé.

Le concept d'actifs négociables dans le cadre de la mesure neutre au risque, y compris le compte d'épargne, étant des martingales est expliqué. Le conférencier démontre que la valeur d'un contrat à terme peut être représentée comme la différence entre deux obligations et souligne que les contrats à terme sont négociés à une valeur nulle, ce qui implique que le taux fixe doit être égal à ce montant. La conférence couvre également les billets à taux variable, qui sont des produits de taux d'intérêt fortement négociés. Initialement, les paiements pour ces contrats sont fixés à zéro et ensuite ajustés pour tenir compte de la commodité de ne rien avoir à payer au début du contrat.

La conférence se concentre sur les billets à taux variable (FRN), qui sont définis sur la base des taux LIBOR et impliquent des coupons en tant que fractions du notionnel multipliées par des périodes d'accumulation. Le taux LIBOR étant stochastique, le FRN reçoit un taux variable. La valeur du contrat est déterminée en additionnant tous les paiements, qui sont actualisés individuellement à la valeur actuelle en utilisant les attentes dans la mesure neutre au risque. La mesure des FRN passe à la mesure à terme TK, et la détermination des attentes nécessite de trouver la distribution conjointe entre le taux vide et le taux LIBOR, ce qui est crucial pour les calculs de paiement.

Le cours commence par la présentation de divers produits de taux d'intérêt, tels que les swaps de taux d'intérêt, les accords de taux à terme et les billets à taux variable. Ces produits reposent sur des volatilités telles que des floorlets et des couplets pour la tarification. Le conférencier souligne que le taux à terme LIBOR est un élément fondamental de tous les contrats de taux d'intérêt.

Les produits linéaires et non linéaires sont discutés, et la conférence se penche sur le concept du taux LIBOR à terme composé simple, qui est largement utilisé dans différents produits de taux d'intérêt, y compris les swaps et les dérivés. Ce taux à terme aide à établir les attentes concernant la période de taux d'intérêt. Il est important de noter que jusqu'à la date de réinitialisation, le taux d'intérêt reste une variable aléatoire stochastique, mais après la date de réinitialisation, il devient fixe sans aucune incertitude.

Le conférencier explore l'échange de taux à terme entre deux contreparties, conduisant à des accords de taux à terme. Les flux de trésorerie dans ces accords sont divisés par un plus tau fois le taux LIBOR à des fins d'actualisation. Le taux LIBOR à terme est défini sur une période spécifique, et sa définition peut être liée aux obligations à coupon zéro. La tarification de l'accord implique l'utilisation d'une mesure neutre au risque et d'une actualisation, avec un taux fixe et une période d'accumulation jouant un rôle clé.

Le concept d'actifs négociables dans le cadre de la mesure neutre au risque, y compris le compte d'épargne, étant des martingales est expliqué. Le conférencier démontre que la valeur d'un contrat à terme peut être représentée comme la différence entre deux obligations et souligne que les contrats à terme sont négociés à une valeur nulle, ce qui implique que le taux fixe doit être égal à ce montant. La conférence couvre également les billets à taux variable, qui sont des produits de taux d'intérêt fortement négociés. Initialement, les paiements pour ces contrats sont fixés à zéro et ensuite ajustés pour tenir compte de la commodité de ne rien avoir à payer au début du contrat.

La conférence se concentre sur les billets à taux variable (FRN), qui sont définis sur la base des taux LIBOR et impliquent des coupons en tant que fractions du notionnel multipliées par des périodes d'accumulation. Le taux LIBOR étant stochastique, le FRN reçoit un taux flottant. La valeur du contrat est déterminée en additionnant tous les paiements, qui sont actualisés individuellement à la valeur actuelle en utilisant les attentes dans la mesure neutre au risque. La mesure des FRN passe à la mesure à terme TK, et la détermination des attentes nécessite de trouver la distribution conjointe entre le taux vide et le taux LIBOR, ce qui est crucial pour les calculs de paiement.

La conférence aborde le décalage entre les dates de paiement et les dates de mesure et souligne la nécessité d'une évaluation correcte. La mesure correspond au numérateur dans un calendrier de paiement, et toute correction ou ajustement est nécessaire s'il ne s'aligne pas correctement. Le Libor avec un paiement à l'instant tk dans le cadre de la mesure à terme tk est une martingale, permettant la tarification des billets à taux variable. L'équation de tarification consiste à prendre l'attente du taux Libor sur une période donnée, et le contrat est appelé un swap, où une partie reçoit un paiement tandis que l'autre paie sur la base de taux fixes.

Les contrats de swap sont discutés en détail, impliquant l'échange de flux de trésorerie sur une période spécifiée. Les swaps sont couramment utilisés pour couvrir les risques sur le marché hypothécaire. Il existe deux options : le payeur du swap, où un individu paie un taux fixe et reçoit un taux variable, et le récepteur du swap, où un individu reçoit un taux fixe et paie un taux variable. Le montant notionnel peut être déterministe, stochastique ou décroissant dans le temps, et la fréquence de paiement peut varier. La partie fixe reste constante, tandis que la partie flottante porte une incertitude liée à la dynamique du taux LIBOR.

Le cours met l'accent sur l'importance de la couverture dans l'ingénierie financière, en particulier dans les contrats à paiements stochastiques. La couverture est essentielle pour compenser les pertes potentielles dues aux fluctuations des actifs sous-jacents lorsqu'une institution financière a l'obligation de recevoir des paiements à taux fixe ou variable.

Le conférencier continue d'expliquer comment la valeur d'un contrat de swap peut être calculée en utilisant la somme des périodes d'accumulation sur les obligations à coupon zéro et en établissant une relation linéaire entre le taux Libor et le prix d'exercice. Ce calcul donne un aperçu de la valeur d'un swap et met en évidence le rôle des obligations à coupon zéro dans la couverture.

La conférence souligne en outre que la valeur d'un swap dépend des premier et dernier paiements de l'obligation et peut être efficacement couverte avec les première et dernière obligations à coupon zéro. Le facteur d'annuité est un élément crucial lorsqu'il s'agit de swaps car il agit comme un actif négociable. Les swaps de taux d'intérêt sont considérés comme des instruments parfaits qui permettent à deux parties de couvrir leurs expositions spécifiques, et les banques peuvent les utiliser pour couvrir les prêts des particuliers, ce qui entraîne des notions de valeur significativement élevées.

La conférence se concentre spécifiquement sur les swaps de taux d'intérêt, notant qu'ils sont souvent considérés au niveau du portefeuille et que la valeur initiale est généralement fixée à zéro, ce qui permet une transaction gratuite. Le taux de swap, qui est le prix d'exercice qui rend la valeur du swap égale à zéro, peut être exprimé comme une somme pondérée des taux Libor. Les swaps de taux d'intérêt de base peuvent être évalués sans faire d'hypothèses de modèle sous-jacentes en utilisant des instruments de taux d'intérêt disponibles sur le marché et en les mappant à une courbe de rendement. La construction d'une courbe de rendement basée sur des instruments de marché sera discutée plus en détail dans une prochaine conférence.

Le conférencier se penche sur les différents types de notionnels dans un swap, qui peuvent être dépendants du temps, déterminés par des instruments de marché ou aléatoires. De plus, les conditions nécessaires à une martingale sont expliquées, notamment l'utilisation d'actifs négociés ou de combinaisons linéaires de ceux-ci. Il est souligné que si une formule non linéaire, telle que le carré d'un actif, est utilisée, la relation entre la mesure et l'actif ne peut pas être considérée comme une martingale. L'application du lemme d'Ito au Libor au carré démontre que L au carré n'est pas une martingale sous la mesure directe D en raison de la présence d'un effet de dérive.

La conférence progresse pour expliquer comment évaluer un swap à l'aide d'une courbe de rendement et du modèle Hulument. Une spécification de courbe de rendement est fournie et des swaps pour différents prix d'exercice sont générés à l'aide de ce modèle. La valeur d'un swap change linéairement avec le prix d'exercice et le taux de swap est déterminé à l'aide de l'algorithme de Newton-Raphson. La conférence se termine en notant que si le pair swap est égal à 0,03808, alors la valeur du swap est proche de zéro, indiquant que le prix d'exercice pour lequel la valeur du swap est zéro a été trouvé.

Cette section du cours donne un aperçu complet des produits de taux d'intérêt, en mettant l'accent sur les swaps de taux d'intérêt. Il couvre divers sujets, notamment la tarification des swaps, les stratégies de couverture, le rôle des obligations à coupon zéro et l'évaluation des swaps à l'aide de courbes de rendement. En comprenant ces concepts, les étudiants acquièrent des informations précieuses sur l'ingénierie financière et le calcul des valeurs des contrats de swap.

• 00:00:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le conférencier présente les produits de taux d'intérêt tels que les swaps de taux d'intérêt, les accords de taux à terme et les nœuds à taux variable. La conférence aborde également la tarification de ces produits qui reposent sur des volatilités telles que les floorlets et les couplets. Le cours commence par la définition du taux à terme LIBOR qui sera utilisé dans tous les contrats du monde des taux d'intérêt. Le cours aborde également les produits linéaires et non linéaires. Discussion plus approfondie du taux à terme composé simple et de la manière dont il motive la tarification d'un accord de ratio à terme. Le conférencier termine la section avec l'introduction d'exercices qui donneront plus de perspicacité dans les matériaux couverts dans la conférence.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'orateur explique comment calculer la valeur actuelle d'une transaction de flux de trésorerie et explique que la valeur est obtenue en actualisant tous les flux de trésorerie à la date d'aujourd'hui. Le taux d'exercice équitable ou taux équitable pour les prêts interbancaires avec une date de transaction est défini comme un taux à terme, qui est un taux sur une certaine période de temps, lié à un flux de trésorerie spécifique. L'intervenant souligne l'importance de comprendre cette construction, car elle est fondamentale en ingénierie financière. L'orateur explique que le taux d'exercice équitable ou taux équitable k est choisi de telle sorte que la valeur actuelle du contrat soit égale à zéro.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, nous en apprenons davantage sur l'instrument fondamental, le taux LIBOR à terme composé simple. C'est un bloc de construction qui est largement utilisé dans toutes sortes de produits de taux d'intérêt différents une fois que nous parlons de swaps et de dérivés de taux d'intérêt. Ce taux à terme permet de définir les attentes sur la période de taux d'intérêt. Il est essentiel de noter que jusqu'au moment de la réinitialisation (la date de paiement), le taux d'intérêt est toujours une variable aléatoire stochastique, mais après la date de réinitialisation, il est fixe et il n'y a aucune incertitude.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept d'échange de taux à terme entre deux contreparties. Ils peuvent convenir d'échanger un taux variable contre un taux d'exercice fixe à l'avenir, conduisant à des accords de taux à terme. Le contrat spécifie les flux de trésorerie divisés par un plus tau k libor tk moins un tk moins un dk, ce qui représente une actualisation du flux de trésorerie. Le taux Libor à terme est défini sur la période tk moins un à tk, et cette définition peut être liée aux obligations à coupon zéro. Pour fixer le prix de l'accord, ils utilisent une mesure neutre au risque et une actualisation, conduisant à une obligation à coupon zéro moins un tk moins un tk divisé par le compte d'épargne dk moins un, ainsi qu'un taux fixe k et la période d'accumulation.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'orateur explique comment les actifs négociables dans le cadre de la mesure neutre au risque, y compris le compte d'épargne, sont martingale. Ils montrent que la valeur d'un forward équivaut à la différence entre deux obligations et comment les fraudes sont négociées à valeur nulle, ce qui implique que le taux fixe doit être égal à ce montant. Ils discutent également du concept d'un billet à taux variable, qui est un autre produit à taux d'intérêt très négocié. Enfin, l'orateur explique comment, au départ, les paiements pour de tels contrats seraient fixés à zéro, mais s'ajusteraient plus tard pour compenser la commodité de ne rien avoir à payer au début du contrat.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, nous en apprenons davantage sur le FRN (note à taux variable), qui est défini sur la base des taux LIBOR et est un instrument où chaque coupon est défini comme une fraction du notionnel multiplié par les périodes d'accumulation. Le FRN reçoit un taux flottant car le taux LIBOR est stochastique et non fixe. La valeur du contrat est définie comme la somme de tous ces paiements pour chaque date, et chaque paiement individuel est actualisé à la valeur actuelle et déterminé par une attente sur la mesure neutre au risque. La mesure du FRN passe à la mesure à terme TK, et nous devons trouver la distribution conjointe entre le taux vide et le taux LIBOR pour déterminer les attentes, mais elle correspond au paiement de la bibliothèque, qui est crucial.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section de la conférence, le sujet du décalage entre la date de paiement et la date de mesure est abordé, avec des implications qui doivent être prises en compte lors d'une évaluation correcte. La mesure correspond au numérateur dans un calendrier de paiement, et si ce n'est pas le cas, des corrections et des ajustements peuvent être nécessaires. Le Libor avec un paiement à l'instant tk dans le cadre de la mesure à terme tk est une martingale, ce qui signifie qu'il peut être appliqué à la tarification des billets à taux variable. L'équation de tarification peut être représentée comme l'attente du taux Libor sur une période de temps, et le contrat est appelé un swap dans lequel une partie reçoit un paiement tandis que l'autre paie sur la base de taux fixes.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, nous découvrons les contrats de swap, qui impliquent l'échange de flux de trésorerie sur une période de temps et sont couramment utilisés pour couvrir les risques sur le marché hypothécaire. Les contrats d'échange ont deux options : le payeur d'échange, où l'individu paie un taux fixe et reçoit un taux variable, et le récepteur d'échange, où l'individu reçoit un taux fixe et paie un taux variable. Le montant notionnel peut être déterministe, stochastique ou décliner dans le temps, et la fréquence des paiements peut également varier. La partie fixe est toujours la même et la partie flottante implique une certaine incertitude liée à la dynamique du débit de la bibliothèque.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'importance de la couverture dans l'ingénierie financière, en particulier dans les contrats avec des paiements stochastiques. Il explique que si une institution financière a l'obligation de recevoir des paiements à taux fixe ou variable, il est crucial de faire correspondre l'autre côté des paiements avec une couverture sur le marché pour compenser toute perte potentielle due aux fluctuations des actifs sous-jacents. En outre, le conférencier note que les banques peuvent réaliser un profit grâce à une charge supplémentaire sur la juste valeur d'un contrat de swap, qui compense les coûts associés à la résiliation de l'hypothèque et à la couverture des risques. Le conférencier explique également comment la valeur d'un contrat de swap peut être calculée à l'aide de la somme des périodes d'accumulation sur les obligations à coupon zéro et d'une relation linéaire entre le taux Libor et le prix d'exercice. Dans l'ensemble, la section souligne l'importance de la couverture dans l'ingénierie financière et donne un aperçu du calcul des valeurs des contrats de swap.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, la conférence explique la valeur d'un swap et comment il est accessible via la valeur des obligations à coupon zéro. La valeur d'un swap dépend du premier et du dernier versement de l'obligation et peut être couverte de manière significative avec la première et la dernière obligation à coupon zéro. Le facteur d'annuité est une unité essentielle à retenir lorsqu'il s'agit de swaps car il agit comme un actif négociable. De plus, les swaps de taux d'intérêt sont considérés comme des instruments parfaits qui peuvent aider deux parties à couvrir leur exposition particulière, et les banques peuvent les utiliser pour couvrir les prêts des particuliers, qui, une fois collectés, créent des notions de valeur significativement élevées.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, la conférence se concentre sur les produits de taux d'intérêt, en particulier les swaps. Il explique que les swaps sont souvent considérés à un niveau de portefeuille plus important et que la valeur initiale est généralement choisie égale à zéro, ce qui permet une transaction gratuite. Un taux de swap est défini comme le prix d'exercice qui rend la valeur du swap égale à zéro, et cela peut être exprimé comme une somme pondérée des taux Libor. La tarification des swaps de taux d'intérêt de base peut être effectuée sans hypothèses de modèle sous-jacentes, en utilisant des instruments de taux d'intérêt disponibles sur le marché et en les mappant à une courbe de rendement. La conférence se termine en notant que la construction d'une courbe de rendement compte tenu des instruments de marché sera discutée plus en détail dans une conférence de suivi.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le conférencier discute des différents types de notionnels dans un swap, qui peuvent être dépendants du temps, déterminés par des instruments de marché ou aléatoires. Il parle également des conditions nécessaires à la martingale, qui incluent l'utilisation d'actifs négociés ou de combinaisons linéaires de ceux-ci. Si le carré d'un actif ou une autre formule non linéaire est utilisée, la relation entre la mesure et l'actif ne peut pas être considérée comme une martingale. De plus, l'application du lemme d'Ito au Libor au carré démontre que L au carré n'est pas une martingale sous la mesure directe D en raison de l'existence d'un effet de dérive.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, nous expliquons comment évaluer un swap à l'aide d'une courbe de rendement et du modèle Hulument. Le code comprend une spécification d'une courbe de rendement et génère des swaps pour différentes grèves. La valeur d'un swap change de manière linéaire lors de la grève et le taux de swap est trouvé à l'aide de l'algorithme de Newton-Raphson. Le résultat montre que si le swap au pair est égal à 0,038 08, alors la valeur du swap est proche de zéro, ce qui signifie que nous avons trouvé le prix d'exercice pour lequel la valeur du swap est nulle.

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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 5/14, partie 2/2, (Produits de taux d'intérêt)

Cours d'Ingénierie Financière : Cours 5/14, partie 2/2, (Produits de taux d'intérêt)

Dans cette conférence, l'accent est mis sur la tarification des dérivés qui impliquent de la volatilité. L'orateur commence par couvrir le concept de changement de mesure des taux d'intérêt, en particulier dans le contexte du modèle de Hull-White. Ils dérivent la dérivée de Rhodom/Nicodemus et appliquent le théorème de Girsanov pour calculer les changements de mesure. Cette compréhension des changements de mesure est cruciale dans la tarification des options sur les produits de taux d'intérêt.

Ensuite, la conférence explore la dynamique des obligations à coupon zéro sous différentes mesures en utilisant le cadre AJM. L'orateur discute de la façon dont ces dynamiques sont liées à la tarification des options sur ces obligations. Ils mettent en évidence la substitution du taux à terme instantané à l'intégrale et à dz dans l'expression de la dynamique d'une obligation à coupon zéro, fournissant une expression finale dérivée. La conférence se penche également sur la dynamique des obligations à coupon zéro sous le modèle Hull-White et la mesure T-forward. L'importance de changer la mesure, en particulier dans l'actualisation stochastique, est soulignée pour éviter des calculs complexes.

L'orateur présente les dérivées de Kirizanov, Loefler et Radon-Nikodym en tant qu'outils permettant de basculer entre différentes mesures. Ils expliquent comment trouver la dynamique de l'obligation et du compte d'épargne en appliquant le lemme d'Ito à la dérivée de Radon-Nikodym. Cela conduit au théorème de Girsanov, qui établit la relation entre la mesure T-forward et la mesure neutre au risque et met en évidence la dérive supplémentaire lors du passage d'une mesure à l'autre. En remplaçant le mouvement brownien sous la mesure neutre au risque par la mesure T-forward, la dynamique du modèle Hull-White est dérivée.

Le cours présente ensuite un modèle de taux court de mesure représenté par lambda et une fonction thêta dépendant de la maturité. Ils définissent mu theta avec deux arguments, petit t et capital mt, et appliquent le théorème de Girsanov pour changer la mesure de la mesure neutre au risque à la mesure T-forward. L'accent est mis sur la tarification des options sur les obligations à coupon zéro, ce qui nécessite un changement de mesure de la mesure neutre au risque à la mesure à terme zéro. L'orateur discute de la dynamique de l'obligation à coupon zéro et de sa distribution sous la mesure T-forward, en fournissant une expression pour l'obligation et en ajustant le prix d'exercice à une fonction constante dépendant du temps. Ils discutent également de la distribution du processus r sous cette mesure.

À l'avenir, la conférence explique comment la distribution de r sous la mesure T-forward peut être résolue à l'aide du modèle Black-Scholes avec des paramètres ajustés. La modification de la mesure permet une tarification analytique des obligations à coupon zéro à l'aide de fonctions de distribution cumulatives normales et de solutions fermées. L'orateur mène une expérience pour fixer le prix d'une obligation à coupon zéro et compare l'expression analytique à une simulation de Monte Carlo en utilisant la discrétisation standard d'Euler. Le code pour la simulation est fourni et le calcul des prix des options pour différentes grèves est discuté.

La conférence met l'accent sur la tarification des options de type européen sur les obligations à coupon zéro, soulignant leur importance car elles sont étroitement liées à la tarification des options sur un taux LIBOR à terme. Deux approches de tarification de ces options sont expliquées : l'une basée sur le modèle full light et l'autre en imposant directement une distribution ou un processus stochastique au taux LIBOR. La formule de tarification des options d'achat ou couplets européens est fournie, et la méthode pour changer la mesure de la mesure neutre au risque à la mesure T-forward est expliquée. L'accent reste mis sur les options d'achat, avec une mention qu'une option de vente ou un plancher sur celle-ci sera donné comme devoir.

De plus, la dynamique et la tarification des taux LIBOR sont discutées. La conférence reconnaît que le taux LIBOR est une martingale sous la mesure donnée, permettant l'hypothèse d'une dynamique sans dérive. Cependant, l'utilisation d'une distribution log-normale pour représenter les taux LIBOR pose des défis, tels que la possibilité de taux négatifs, en particulier dans la tarification des dérivés exotiques. Un calibrage aux données de marché, notamment à l'aide de taux plafonds et planchers, est jugé nécessaire, et le plafond de taux d'intérêt est décrit comme un moyen d'assurance pour un porteur d'un prêt à taux variable.

La conférence se poursuit en discutant de la tarification des caplets, qui peuvent être décomposés en contrats de base appelés distiques. L'orateur note que la tarification des caplets à l'aide d'une distribution log-normale pose des problèmes en raison du potentiel de taux d'intérêt négatifs. Pour résoudre ce problème, un paramètre de décalage est introduit à imposer à la distribution. La tarification d'un caplet à l'aide d'un modèle sous-jacent est ensuite expliquée, ce qui est étroitement lié à la tarification d'une option sur une obligation à coupon zéro. En substituant la définition d'un taux LIBOR en termes de composants nuls, l'équation de tarification est simplifiée, ce qui entraîne la tarification d'une option d'achat sur une obligation à coupon zéro avec un prix d'exercice légèrement différent. La conférence se termine par une brève présentation du code des prix, qui implique une courbe de rendement simplifiée.

En outre, l'orateur se penche sur la tarification des options de vente sur les obligations à coupon zéro, également appelées «couplets», et souligne l'importance d'ajuster non seulement le prix d'exercice, mais également le notionnel lors de la tarification. Ils reconnaissent l'étroite correspondance entre la simulation de Monte Carlo et la tarification théorique des options sur les obligations à coupon zéro et les courbes de rendement. Cependant, ils mettent en évidence l'importance des paramètres du modèle de marché tels que le retour à la moyenne et la volatilité dans la formation des surfaces de volatilité implicite. Ils notent que même si ces paramètres peuvent avoir un impact limité sur le modèle Hull-White, il ne peut pas générer un sourire de volatilité implicite, seulement un biais. Enfin, le conférencier résume les deux principaux blocs couverts dans la conférence, qui comprennent les produits de taux d'intérêt simples et la tarification des options simples dans le contexte du modèle de Hull-White.

Vers la fin du cours, l'instructeur informe les étudiants que le cours se concentrera uniquement sur les gains de type européen, tandis que les dérivés plus exotiques seront abordés dans un cours ultérieur. Des devoirs sont assignés, y compris la tarification d'une option plancher et la dérivation de la formule de Black pour une nouvelle variante de la distribution log-normale décalée. Les élèves doivent comparer les résultats obtenus à partir de la formule de Black avec leurs résultats numériques et introduire un passage à l'équation différentielle stochastique log-normale pour refléter les ajustements nécessaires.

La conférence propose une exploration approfondie de la tarification des dérivés impliquant la volatilité, en se concentrant spécifiquement sur la dynamique et la tarification des obligations à coupon zéro, les options sur ces obligations et les taux LIBOR. Le concept de changement de mesure, l'utilisation des dérivés de Radon-Nikodym et l'application du théorème de Girsanov sont couverts pour faciliter ces calculs de tarification. La conférence met l'accent sur l'importance d'ajuster les mesures, les prix d'exercice et les valeurs notionnelles tout en soulignant l'impact des paramètres du modèle de marché sur les surfaces de volatilité implicite.

• 00:00:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, l'accent est mis sur la tarification des dérivés qui impliquent de la volatilité. Le cours couvre le concept de changement de mesure pour les taux d'intérêt, en particulier pour le modèle Hull-White, où la dérivée de Rhodom/Nichodemus est dérivée, et le théorème de Girsanov est appliqué pour calculer les changements de mesure. La conférence passe ensuite à la discussion des obligations à coupon zéro et de leur dynamique selon différentes mesures, en utilisant le cadre AJM, et comment cela se rapporte à la tarification des options sur ces obligations. Le cours se termine par une discussion des produits linéaires et non linéaires et de leurs observables.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, la dynamique d'une obligation à coupon zéro est discutée, qui est exprimée par le rd. Le taux direct instantané est remplacé par l'intégrale et le dz, et l'expression finale est dérivée. La dynamique de l'obligation à coupon zéro sous le modèle de Hull-White est ensuite calculée. La dynamique de l'obligation à coupon zéro sous la mesure T-forward est également discutée, en mettant l'accent sur l'importance de changer la mesure, en particulier dans l'actualisation stochastique. En changeant la mesure, la double intégrale sur la densité conjointe de l'intégrale et de st peut être évitée pour trouver l'expression de l'espérance.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'utilisation de la dérivée de Kirizanov, Loefler et Radon-Nikodym pour basculer entre différentes mesures. Le dérivé aléatoire de Nikodym est utilisé pour trouver la dynamique de l'obligation et du compte d'épargne. En appliquant le lemme d'Ito, la dynamique de la dérivée aléatoire de Nikodym est trouvée, conduisant au théorème de Girsanov, qui nous indique la relation entre la mesure T forward et la mesure neutre au risque et la dérive supplémentaire que nous avons si nous basculons entre les mesures . Enfin, le locuteur substitue le mouvement brownien sous la mesure neutre au risque par la mesure T vers l'avant, conduisant à la dynamique du modèle Hull-White.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section du cours sur les produits de taux d'intérêt dans un cours d'ingénierie financière, l'orateur introduit un modèle de mesure de taux courts donné par lambda et une fonction thêta qui dépend de la maturité. Ils définissent mu thêta avec deux arguments, petit t et capital mt, et appliquent un théorème de Girizan pour changer la mesure de neutre au risque à la mesure t avant. L'accent est ensuite mis sur la tarification d'une option sur une obligation à coupon zéro, ce qui implique de changer la mesure de risque neutre à la mesure à terme zéro. L'orateur discute de la dynamique de l'obligation à coupon zéro et de sa distribution sous la mesure à terme t, en présentant une expression pour l'obligation à coupon zéro et en ajustant k à une fonction constante dépendant du temps. La distribution pour le processus r sous cette mesure est également discutée.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de la distribution de "r" sous la mesure t vers l'avant et comment elle peut être résolue à l'aide du modèle Black-Scholes avec des paramètres ajustés. Ils expliquent qu'en modifiant la mesure, la tarification d'une obligation à coupon zéro peut être effectuée de manière analytique à l'aide de fonctions de distribution cumulatives normales avec des solutions de forme fermée. L'orateur effectue également une expérience pour fixer le prix d'une obligation à coupon zéro et vérifie leur expression analytique par rapport à une simulation de Monte Carlo en utilisant la discrétisation standard d'Euler. Ils fournissent le code pour la simulation et discutent du calcul du prix de l'option pour différentes grèves.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'orateur aborde la tarification des options de type européen sur les obligations à coupon zéro et l'importance de comprendre leur tarification car elles sont étroitement liées à la tarification des options sur un taux Libor à terme. L'intervenant explique les deux approches de tarification de ces options, l'une basée sur le modèle full light et l'autre en imposant directement une distribution ou un processus stochastique au taux redevable. La formule de tarification des options d'achat européennes ou couplets est fournie et la méthode pour changer la mesure de la mesure neutre au risque à la mesure t forward est expliquée. L'orateur se concentre sur les options d'achat et mentionne qu'une option de vente ou un plancher sur celle-ci sera donné comme devoir.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la dynamique et la tarification des taux LIBOR. Étant donné que le taux LIBOR est une martingale sous la mesure donnée, une dynamique sans dérive pour le processus peut être supposée. La distribution log-normale est utilisée pour représenter les taux LIBOR, ce qui présente certains problèmes tels que la possibilité de taux négatifs, en particulier dans la tarification des dérivés exotiques qui dépendent des taux LIBOR. Un calibrage aux données du marché est également nécessaire, ce qui peut être fait en utilisant des taux plafond et plancher comme une combinaison linéaire de couplets individuels. Le plafond de taux d'intérêt est conçu pour fournir une assurance au titulaire d'un prêt à taux variable.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur aborde la tarification des caplets, qui peut être décomposée en contrats de base appelés couplets. L'orateur explique qu'au lieu d'utiliser une distribution log-normale pour évaluer les caplets, ce qui est problématique pour les taux d'intérêt négatifs, un paramètre de décalage doit être imposé à la distribution. L'orateur poursuit ensuite en expliquant comment fixer le prix d'un caplet à l'aide d'un modèle sous-jacent, qui est lié à la tarification d'une option sur une obligation à coupon zéro. L'équation de tarification est simplifiée en substituant la définition d'un taux libor en termes de composants nuls, ce qui entraîne la tarification d'une option d'achat sur une obligation à coupon zéro avec un prix d'exercice légèrement différent. L'orateur conclut par une brève présentation du code de tarification, qui implique une courbe de rendement simplifiée.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de la tarification d'une option de vente sur une obligation à coupon zéro, également connue sous le nom de "couplet", et souligne l'importance d'ajuster non seulement le prix d'exercice mais aussi le notionnel lorsque tarification. L'orateur note que bien qu'il y ait une adéquation parfaite entre la simulation de Monte Carlo et la tarification théorique des options sur les obligations à coupon zéro et la courbe des taux, il est important de garder à l'esprit l'impact des paramètres du modèle de marché tels que le retour à la moyenne et la volatilité sous la forme d'obligations implicites. surfaces de volatilité. Cependant, l'orateur note que lorsqu'il s'agit de l'ensemble du modèle blanc, l'impact de ces paramètres peut être limité et il ne peut pas générer un sourire de volatilité implicite, seulement un biais. Enfin, l'orateur résume les deux blocs couverts dans le cours, qui comprennent les produits de taux d'intérêt simples et la tarification des options simples dans le contexte du modèle blanc dans son ensemble.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'instructeur explique que le cours ne couvrira que les paiements de type européen, tandis que les dérivés plus exotiques seront abordés dans un cours de suivi. Des devoirs sont assignés, ce qui comprend la tarification d'une option plancher et la dérivation de la formule de Black pour une nouvelle variante de distribution logarithmique normale décalée. Les élèves doivent comparer les résultats obtenus à partir de la formule de Black avec leurs résultats numériques et introduire un décalage vers l'équation différentielle stochastique log-normale.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 1/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 1/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Poursuivant sur le sujet des courbes de rendement, la conférence met l'accent sur l'importance de construire une courbe de rendement précise, qui sert d'élément essentiel dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt et des analyses financières. L'instructeur explique que les courbes de rendement sont essentielles pour actualiser les flux de trésorerie futurs, déterminer les valeurs actuelles des paiements et évaluer les entreprises, entre autres applications. La construction d'une courbe de rendement repose généralement sur des instruments liquides, qui introduisent moins d'incertitude dans le processus d'évaluation. D'un point de vue mathématique, les courbes de rendement cartographient les cotations boursières de ces instruments liquides.

Ensuite, l'instructeur fournit des informations supplémentaires sur la nature des courbes de rendement. Ils expliquent que les courbes de rendement relient divers instruments de marché dans le monde des taux d'intérêt et représentent les anticipations des taux futurs. Alors que la courbe des taux peut sembler stochastique lorsqu'elle est observée au jour le jour, son prix est déterministe dans la perspective d'aujourd'hui en fonction des attentes. La construction d'une courbe de rendement implique la sélection d'un ensemble discret d'instruments liquides et l'interpolation pour connecter les points de la colonne vertébrale. L'instructeur insiste sur l'importance de choisir des instruments de qualité similaire et note que le nombre d'instruments peut changer avec le temps. Ils soulignent que la courbe de rendement sert non seulement d'outil mathématique, mais offre également des informations économiques précieuses, agissant comme un baromètre des conditions actuelles du marché.

Le cours approfondit la construction et l'interprétation des courbes de rendement. L'instructeur explique comment les courbes de rendement reflètent l'allocation de l'argent sur le marché, s'il est investi en actions ou en obligations, et si les obligations sont préférées, qu'elles soient à long terme ou à court terme. Les courbes de rendement donnent un aperçu des attentes des investisseurs concernant les taux d'intérêt futurs et de leur attitude à l'égard du risque. Cependant, l'instructeur prévient que les courbes de rendement ont des limites pour prévoir avec précision l'avenir en raison de facteurs tels que les interventions des banques centrales et les investissements externes. Par conséquent, la construction méticuleuse d'une courbe de rendement et la prise en compte des changements qui se produisent sur de nombreuses années sont essentielles pour garantir son exactitude.

La structure par terme des taux d'intérêt est également expliquée par rapport aux courbes de rendement. L'instructeur souligne que les courbes de rendement représentent la relation temporelle entre les rendements de différentes échéances et dépendent de l'économie locale. Ils mentionnent que la courbe des bons du Trésor américain revêt une importance significative en tant qu'indicateur économique mondial en raison de la position des États-Unis comme l'une des plus grandes économies et de l'utilisation du dollar comme monnaie de réserve. Les obligations d'État, telles que les bons du Trésor américain, sont généralement considérées comme exemptes de défaut lorsqu'elles sont émises dans la monnaie locale, tandis que les obligations émises en devises étrangères comportent un risque de défaut plus élevé. Le concept de prime de risque est également discuté en tant que facteur influençant le rendement ou les taux d'intérêt.

La conférence explore diverses formes de courbes de rendement et leurs implications pour l'économie. Une forme normale standard indique que les rendements à long terme sont significativement plus élevés que les rendements à court terme, reflétant une situation économique normale. En revanche, une courbe de rendement inversée, où les rendements à long terme diminuent tandis que les rendements à court terme restent stables, peut signifier un scénario malsain qui peut créer des défis pour les banques et les retraites. L'instructeur fournit des exemples de différentes formes de courbe de rendement et explique comment elles peuvent affecter le marché.

L'impact de l'inflation sur les rendements est discuté, soulignant qu'une augmentation des anticipations d'inflation conduit à des rendements plus élevés car les investisseurs exigent une compensation pour le rendement réel négatif de leurs investissements. Le cours couvre également les concepts de pentification et d'aplatissement de la courbe des taux en raison des changements dans l'économie. L'écart entre un swap à échéance constante de 10 ans et un swap de 2 ans peut indiquer le sens d'une courbe de pentification, tandis que l'inversion de la courbe des taux signifie une courbe d'aplatissement. Des exemples graphiques sont utilisés pour démontrer comment ces différentes courbes et écarts ont influencé l'économie dans le passé.

La conférence introduit le concept de contrôle du rendement et son influence sur les taux d'intérêt. Le contrôle des rendements fait référence à la capacité de la banque centrale à influencer la courbe des rendements en ajustant les taux d'intérêt pour atteindre les objectifs liés à l'inflation et à l'emploi. Les banques centrales peuvent acheter ou vendre des obligations pour influencer la demande et stimuler l'économie. Cependant, ces actions comportent également des risques et des limites, surtout si les pressions inflationnistes augmentent. L'instructeur explique que la courbe de rendement est définie mathématiquement par des points de spline et des facteurs d'actualisation correspondants, qui représentent les attentes des taux courts.

Ensuite, l'instructeur se penche sur la construction de la courbe de rendement et des multi-courbes en ingénierie financière. Ils expliquent que la courbe est construite en combinant des points de colonne vertébrale obtenus sur le marché avec une routine d'interpolation. Plusieurs exigences doivent être remplies pour une courbe de rendement bien construite, notamment la tarification de la courbe à l'aide des instruments sélectionnés, la garantie de taux à terme continus et l'utilisation d'une méthode d'interpolation locale pour une couverture précise. La construction de la courbe implique également la définition d'un problème d'optimisation et la détermination du vecteur des obligations à coupon zéro en tant que points de la colonne vertébrale à différentes échéances.

Le professeur explique étape par étape comment construire une courbe de rendement et des multi-courbes. Le processus consiste à trouver un vecteur de valeur actuelle d'un contrat (PVI) qui dépend de tous les points de la colonne vertébrale de la courbe. L'objectif est de s'assurer que la cotation du marché correspond au prix de la courbe pour tous les instruments utilisés dans la construction de la courbe. Pour résoudre ce problème, une technique d'optimisation utilisant la norme L est employée. Le professeur illustre comment résoudre le problème dans des cas unidimensionnels à l'aide de l'algorithme de Newton-Raphson, qui minimise la différence absolue pour arriver à une solution optimale. Ensuite, l'orateur discute du processus d'itération utilisé pour trouver le sigma optimal pour un modèle Black-Scholes. Il explique les critères d'arrêt du modèle et les exigences pour parvenir à la convergence. L'orateur met l'accent sur l'interdépendance des points de la colonne vertébrale sur la courbe et souligne la nécessité d'itérer pour plusieurs frappes afin de créer un sourire ou un biais de volatilité implicite. La construction des techniques d'interpolation et d'optimisation nécessaires à ce processus, y compris la construction d'un jacobien, est également expliquée.

L'importance de l'interpolation dans la construction de diverses courbes, en particulier la courbe des taux et le sourire de volatilité implicite, est soulignée par l'orateur. Ils notent que si l'interpolation dans les courbes de rendement est relativement simple en raison des conditions de continuité et de différentiabilité, la sélection de la méthode d'interpolation appropriée est encore plus critique pour le sourire de volatilité implicite, car un choix incorrect peut introduire un arbitrage de prix important. L'orateur souligne que l'interpolation joue un rôle crucial dans tous les cas et qu'une attention particulière aux détails est nécessaire lors du choix de la routine d'interpolation appropriée.

Le cours offre une couverture complète de la construction et de l'interprétation des courbes de rendement. Il met en évidence leur importance dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt et la compréhension de la dynamique du marché. La conférence explore également la formulation mathématique, l'impact des différentes formes de courbe sur l'économie et le rôle du contrôle du rendement. De plus, il se penche sur la construction de courbes de rendement et de multi-courbes, en discutant des techniques d'optimisation, des choix d'interpolation et de leurs implications en ingénierie financière.

• 00:00:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, l'accent est mis sur la construction d'une courbe de rendement, qui est l'un des éléments les plus importants dans les évaluations des dérivés de taux d'intérêt et dans la finance générale, utilisée dans l'actualisation, la tarification et l'évaluation flux de trésorerie futurs. La section couvre l'explication économique des courbes de rendement, comment interpréter leurs formes et leur relation avec différents statuts économiques. Ensuite, le cours passe à la formulation mathématique, qui est cruciale pour construire et calibrer des courbes basées sur les cotations du marché sur les swaps. La routine d'optimisation est définie sur la base de Newton Raphson et elle est implémentée en Python. La section couvre également l'impact des différentes interpolations sur les stratégies de couverture et l'extension de la construction de courbes multiples qui pourraient inclure des informations sur la possibilité de défaillance de la contrepartie et de non-paiement de ses obligations.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'importance et la construction des courbes de rendement sont discutées. Les courbes de rendement sont utilisées pour actualiser les flux de trésorerie futurs, les facteurs d'actualisation calculés à l'aide de la courbe étant utilisés pour déterminer la valeur actuelle des paiements futurs, les évaluations des entreprises, etc. La construction d'une courbe de rendement est généralement basée sur des instruments liquides, qui introduisent moins d'incertitude. Enfin, d'un point de vue mathématique, les courbes de rendement cartographient les cotations boursières des instruments liquides.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'instructeur explique que la courbe de rendement relie les différents instruments de marché dans le monde des taux d'intérêt et que la solution représente les attentes des taux futurs. La courbe des taux n'est pas un creux, et elle semble stochastique parce qu'elle est observée au jour le jour, mais dans la perspective d'aujourd'hui, le prix est déterministe en fonction des attentes. La courbe de rendement est construite à partir d'un ensemble discret d'instruments liquides et interpolée pour relier les points de la colonne vertébrale. L'instructeur insiste sur l'importance de choisir les bons instruments sur la base d'une qualité similaire et note que le nombre d'instruments change avec le temps. La courbe de rendement n'est pas seulement un outil mathématique, elle contient également des informations économiques importantes et est considérée comme un baromètre des marchés actuels.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur discute de la construction de la courbe de rendement et de son importance pour refléter où se trouve l'argent sur le marché, et s'il est investi en actions ou en obligations, et si les obligations, qu'elles soient longues -à court terme ou à court terme. La courbe des rendements montre les attentes des investisseurs concernant les taux d'intérêt futurs et les formes de la courbe reflètent les attitudes des investisseurs face au risque. Cependant, la courbe des rendements n'est pas entièrement fiable pour prévoir l'avenir car il existe diverses limites, notamment les interventions des banques centrales et les investissements extérieurs. Ainsi, sa précision dépend de sa bonne construction et de l'évaluation des changements qui se sont produits au fil des années.
  
  
• 00:20:00 Dans cette partie du cours, le professeur explique la structure par terme des taux d'intérêt et son lien avec la courbe des taux. La courbe des taux est une relation temporelle entre les rendements de différentes échéances et dépend de l'économie locale. La courbe des bons du Trésor américain est considérée comme l'indicateur le plus important de l'économie mondiale en raison de la position des États-Unis comme l'une des plus grandes économies et de l'utilisation du dollar comme monnaie de réserve. Les obligations d'État, telles que les bons du Trésor américain, sont considérées comme exemptes de défaut car le gouvernement ne peut pas manquer à ses obligations, mais cela n'est vrai que si les obligations sont émises dans la monnaie locale. Les obligations émises en devises étrangères comportent un risque de défaut plus élevé. La prime de risque est également considérée comme un facteur qui affecte le rendement ou les taux d'intérêt.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'instructeur explique l'assurance des obligations et les primes de risque, qui sont la différence de rendement entre les obligations gouvernementales et d'entreprise pour tenir compte du risque de défaut. Il discute également des formes de courbe de rendement et de leurs implications pour l'économie. Une forme normale standard pour une courbe de rendement est lorsque le rendement d'une échéance plus longue est nettement supérieur à celui d'une échéance à plus court terme, reflétant une situation normale de l'économie. Une courbe de rendement inversée, où les rendements à long terme baissent et les rendements à court terme restent les mêmes, peut indiquer un scénario malsain et causer des problèmes aux banques et aux retraites. L'instructeur fournit des exemples de différentes formes de courbe de rendement et de leurs effets potentiels sur le marché.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, la vidéo traite de l'impact de l'inflation sur les rendements et comment elle peut faire évoluer les rendements dans la direction opposée. Si les anticipations d'inflation augmentent, les rendements augmenteront car les investisseurs devront être indemnisés pour le rendement réel négatif de leur investissement. La vidéo explique également comment la pentification et l'aplatissement de la courbe de rendement peuvent se produire en raison de changements dans l'économie. L'écart entre un swap à échéance constante de 10 ans et un swap de 2 ans peut indiquer le sens d'une courbe de pentification tandis que l'inversion de la courbe des taux signifie une courbe d'aplatissement. La vidéo utilise des graphiques pour montrer des exemples de la façon dont les différentes courbes et écarts ont affecté l'économie dans le passé.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de la courbe des taux et du contrôle des taux, qui sont des facteurs importants qui peuvent influencer les taux d'intérêt. La courbe des taux indique l'état du marché et peut être influencée par la banque centrale, qui contrôle les taux d'intérêt pour atteindre les objectifs d'inflation et d'emploi. Le contrôle du rendement permet aux banques centrales d'acheter ou de vendre des obligations pour influencer la demande et stimuler l'économie, mais cela peut également entraîner des risques et des limitations si les pressions inflationnistes augmentent. La courbe de rendement est définie mathématiquement par des points de spline et des facteurs d'actualisation correspondants, qui sont des anticipations de taux courts.
  
  
• 00:40:00 Dans cette partie du cours, l'enseignant aborde la construction de la courbe de rendement et des multi-courbes en ingénierie financière. La courbe est construite à l'aide d'une combinaison de points de colonne vertébrale, qui proviennent du marché, et d'une routine d'interpolation. La courbe de rendement doit répondre à certaines exigences, comme être tarifée par les instruments, avoir des taux à terme continus et avoir une interpolation aussi locale que possible, pour assurer une bonne couverture. La construction de la courbe nécessite également de définir un problème d'optimisation et de déterminer le vecteur des obligations à coupon zéro comme points de la colonne vertébrale à différentes échéances.
  
  
• 00:45:00 Dans cette partie du cours d'ingénierie financière, le professeur explique comment construire une courbe de taux et des multi-courbes. Il s'agit de trouver un vecteur de PVI (valeur actuelle d'un contrat) qui dépend éventuellement de tous les points de la colonne vertébrale de la courbe. La condition à satisfaire est que la cotation du marché et le prix de la courbe soient égaux à tous les instruments utilisés pour construire une courbe. La solution finale au problème nécessite d'optimiser la différence en utilisant la norme L. Le professeur illustre ensuite comment résoudre le problème dans des cas unidimensionnels à l'aide d'un algorithme newton-raphson pour arriver à une solution permettant de minimiser la différence absolue.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, l'orateur explique le processus d'itération utilisé pour trouver le sigma optimal pour un modèle Black-Scholes, y compris les critères d'arrêt du modèle et les exigences de convergence. Ils notent l'importance de garder à l'esprit l'impact de chaque point de la colonne vertébrale sur les autres instruments de la courbe et la nécessité d'itérer plusieurs grèves pour créer un sourire ou un biais de volatilité implicite. Ils discutent également de la manière de construire l'interpolation et l'optimisation nécessaires à ce processus, y compris la construction d'un jacobien.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de l'importance de l'interpolation dans la construction de différentes courbes, en particulier la courbe des taux et le sourire de volatilité implicite. L'orateur note que si l'interpolation dans le cas des courbes de rendement est facile à gérer en raison des conditions de continuité et de différentiabilité, le choix de la bonne routine d'interpolation est encore plus crucial dans le cas du smile de volatilité implicite car un choix d'interpolation incorrect ou inadéquat peut générer beaucoup de arbitrage des prix. L'orateur suggère que l'interpolation est importante dans tous les cas, et que le choix de la routine d'interpolation appropriée doit être fait avec une grande attention aux détails.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 2/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 2/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Dans la conférence, l'orateur se penche sur les aspects pratiques de la construction d'un algorithme pour la construction de la courbe de rendement. Ils soulignent l'importance de l'étalonnage de la courbe et analysent le code Python utilisé pour construire la courbe de rendement à l'aide d'instruments de marché tels que les swaps. L'impact de différentes méthodes d'interpolation sur la couverture est également exploré. Le conférencier explique la routine d'itération pour construire une courbe de rendement, qui implique des calculs algébriques avec des vecteurs et des matrices. Ils montrent comment optimiser la courbe en mettant la prochaine itération à zéro.

Ensuite, l'instructeur explique le processus de recherche des points de colonne vertébrale optimaux pour construire une matrice. Ce processus implique l'ajustement itératif des facteurs d'actualisation vectoriels (dfs) jusqu'à ce que la convergence soit atteinte. Les ajustements sont basés sur une matrice jacobienne, et l'inverse du jacobien détermine l'ajustement pour le delta du dfs. Le cours insiste sur l'importance de spécifier des grilles (couples de ti et de facteurs d'actualisation) pour construire la courbe avant de trouver des liaisons nulles optimales. Un exemple pratique de construction d'une courbe de rendement pour un swap de taux d'intérêt à deux ans et à cinq ans est fourni, soulignant le défi de résoudre un système avec plus d'inconnues que d'équations.

Les défis de la construction d'une courbe de rendement à l'aide de paiements de swap pour les points de la colonne vertébrale sont discutés en raison d'un système sous-déterminé. La solution consiste à considérer uniquement le paiement final comme le point de la colonne vertébrale et à interpoler les points intermédiaires. Il est souligné que le nombre d'instruments doit être égal au nombre de points de la colonne vertébrale pour éviter toute confusion. Le processus de construction d'une courbe de rendement à l'aide d'un accord de taux à terme et d'un swap est expliqué, en mettant l'accent sur la mise en œuvre numérique.

La conférence met l'accent sur l'importance de construire une courbe de rendement et l'impact des cotations du marché, qui sont généralement nulles. La définition du taux LIDOR est discutée, ainsi que l'expression de la valeur actuelle d'un contrat (PV1) en termes de taux LIDOR. La PV1 ne dépend que du facteur d'actualisation (df1), qui peut être calculé à l'aide du premier ensemble d'équations. La deuxième série d'équations implique le swap avec deux dates de paiement. La conférence explique l'utilisation d'une matrice triangulaire inférieure et d'une inversion efficace pour la construction de courbes lorsque seuls des swaps sont utilisés.

Le processus de construction d'une courbe de rendement à l'aide des données de marché du Département du Trésor des États-Unis est exploré. Les cotations des taux LIBOR et des swaps avec des échéances variables sont utilisées pour construire la courbe de rendement. Le cours présente la fonction multidimensionnelle de Newton-Raphson utilisée pour calibrer la courbe et souligne l'importance de sélectionner la bonne méthode d'interpolation. La fonction d'évaluation d'un instrument de swap sur un vecteur de points spinaux est également introduite.

Le cours porte sur la construction de courbes de taux et de multi-courbes. Le processus commence par la définition d'un swap, puis passe à la construction d'une courbe de rendement à l'aide d'un éventail d'instruments et d'échéances. Une méthode multivariée de Newton est utilisée pour optimiser la courbe de rendement pendant le processus de construction. L'importance du choix d'une valeur de tolérance est soulignée, et le défi de l'optimisation avec une tolérance de 10 à la puissance 10 est souligné. Le cours conclut en soulignant la convergence rapide obtenue avec cette méthode d'optimisation.

L'évaluation des instruments utilisant des points de colonne vertébrale et des méthodes d'interpolation est expliquée. La courbe de rendement est construite à l'aide de points d'épine dorsale et d'une méthode d'interpolation, suivie de l'évaluation de chaque swap en fonction des obligations à coupon zéro en fonction de l'état actuel du point d'épine dorsale. Un jacobien, représentant la sensibilité de chaque valeur actuelle (PV) individuelle à tous les points de la colonne vertébrale, est calculé numériquement en effectuant un choc sur chaque point de la colonne vertébrale et en évaluant tous les swaps. Le cours met en évidence la fonction compacte et efficace de calcul du jacobien.

La conférence traite du processus de construction de la courbe de rendement et des multi-courbes à l'aide de la méthode d'itération de Newton-Raphson, de la matrice jacobienne et de l'ensemble d'outils d'algèbre linéaire numpy. Après avoir construit la courbe de rendement, les swaps sont évalués avant de construire la courbe. La conférence insiste sur la nécessité de fixer une limite au nombre d'évaluations pour éviter de surcharger le code Python et suggère d'incorporer des protections pour éviter ce problème. En outre, la conférence montre comment calculer la valeur actuelle (PV) des swaps en utilisant à la fois la courbe de rendement initiale et la courbe de rendement calibrée obtenue à partir du processus d'itération impliquant les points de la colonne vertébrale.

Le professeur explore en outre la routine d'optimisation et l'étalonnage de la courbe de rendement pour les swaps de taux d'intérêt. Il est à noter que le calibrage de la courbe de rendement à l'aide de swaps donne des résultats très précis, même en cas de valeurs inférieures à zéro. La conférence met également en évidence les domaines à améliorer, tels que l'utilisation de calculs analytiques pour les sensibilités dérivées afin d'améliorer l'efficacité et la précision des calculs.

Le concept de « couverture » est présenté comme point central de la section suivante. L'impact de différentes routines d'interpolation sur les résultats de couverture est discuté, et diverses méthodes d'interpolation sont explorées. Le professeur recommande de consulter la littérature existante pour explorer d'autres options d'interpolation. Le cours se termine en soulignant l'importance d'effectuer des tests dans de petites conditions et en considérant les effets des routines d'interpolation sur la courbe de rendement.

Dans la conférence, l'orateur examine différentes routines d'interpolation utilisées dans la construction de la courbe de rendement et leur influence sur les résultats. Les inconvénients de l'interpolation simple, telle que l'interpolation linéaire simple, sont mis en évidence, en particulier lors de l'utilisation d'une courbe de rendement basée sur un modèle. Il est expliqué que le comportement de la structure des taux à court terme peut devenir erratique si de petits détails sont négligés dans l'interpolation, car le taux à terme instantané dépend du logarithme d'une obligation à coupon zéro. Pour surmonter ces limitations, une méthode suggérée consiste à différencier les facteurs d'actualisation logarithmique.

La conférence explore également l'interpolation locale et globale, en insistant sur l'importance de localiser l'impact d'un choc ou d'un changement sur un point de la colonne vertébrale pour éviter d'affecter un grand nombre de points sur la courbe. De plus, l'enseignant souligne l'importance de choisir une méthode d'interpolation qui considère les caractéristiques des instruments sur la courbe et leur impact sur ses performances.

La construction des courbes de taux et des multi-courbes est discutée du point de vue de l'ingénierie financière. Une expérience Python est présentée, démontrant une fonction développée pour calibrer une courbe de rendement par de petits ajustements. L'expérience comprend la construction d'un ensemble d'instruments en tant que fonction et l'incorporation d'une interpolation quadratique et cubique. En outre, la tarification d'un swap hors marché et l'analyse de sensibilité du swap à tous les instruments de marché utilisés dans la construction de la courbe sont démontrées par la différenciation et le recalibrage de la courbe pour chaque instrument choqué dans l'ensemble du portefeuille.

Le conférencier explique comment construire une courbe de rendement et des multi-courbes en utilisant le choc et le delta. Le processus consiste à répéter toute la procédure pour chaque instrument avec un taux fixe choqué et à redéfinir le delta, qui représente la dérivée du swap par rapport à chaque instrument de marché. Les valeurs delta sont approximées en divisant la taille du choc, en reconstruisant la courbe et en évaluant l'impact résultant. Avec ces valeurs delta, il devient possible de déterminer l'utilisation requise de chaque instrument de marché pour la construction de la courbe, permettant une couverture efficace des contrats à terme. L'interpolation linéaire est utilisée pour illustrer la couverture d'un swap à quatre ans à l'aide d'instruments à échéances de trois et cinq ans, conformément aux résultats attendus. Enfin, une comparaison entre l'interpolation linéaire et cubique révèle que l'interpolation cubique est plus coûteuse en calcul mais conduit à des différences substantielles dans les résultats.

L'orateur aborde la construction de courbes de taux et de multi-courbes dans un contexte d'ingénierie financière. Une comparaison entre l'interpolation cubique et l'interpolation linéaire est faite, soulignant que l'interpolation cubique est plus avancée mais aussi plus lente. L'impact de l'interpolation sur la couverture est abordé, en notant que si l'interpolation cubique peut entraîner une courbe plus lisse, elle peut entraîner des dépenses de couverture plus importantes en raison des sensibilités aux produits dont les échéances sont bien supérieures à celles des swaps. L'orateur suggère d'explorer l'interpolation quadratique comme alternative et souligne que l'impact de l'interpolation sur la couverture ne doit pas être négligé.

Poursuivant l'exposé, l'orateur développe la construction de courbes de taux et de multi-courbes à l'aide de choc et de delta. Cette méthode consiste à recalibrer l'ensemble du processus pour chaque instrument avec un taux fixe choqué. Le delta, qui représente la dérivée du swap par rapport à chaque instrument de marché, est redéfini en divisant la taille du choc et en approximant l'impact résultant sur la courbe. En analysant les valeurs delta, il devient possible de déterminer l'allocation appropriée de chaque instrument de marché pour la construction de la courbe, permettant une couverture efficace des contrats à terme. L'orateur démontre l'utilisation de l'interpolation linéaire pour illustrer la couverture d'un swap de quatre ans à l'aide d'instruments à échéance de trois et cinq ans, alignés sur les résultats attendus.

La conférence souligne l'importance de choisir la bonne méthode d'interpolation, car elle a un impact significatif sur la forme et le comportement de la courbe de rendement. Bien que l'interpolation cubique puisse offrir une courbe plus lisse, elle entraîne souvent des dépenses de couverture plus importantes en raison de sa sensibilité aux produits dont les échéances sont bien supérieures à celles des swaps. Par conséquent, le conférencier suggère d'explorer l'interpolation quadratique comme une alternative qui établit un équilibre entre la précision et l'efficacité de calcul.

De plus, le cours insiste sur la nécessité de considérer les caractéristiques des instruments utilisés dans la construction de la courbe et leur impact sur ses performances. Différents instruments peuvent nécessiter des méthodes d'interpolation ou des ajustements différents pour garantir une tarification et une gestion des risques précises. Il est essentiel d'analyser attentivement et de comprendre le comportement des instruments dans le cadre du processus de construction de la courbe des taux.

La conférence se termine en encourageant la poursuite des recherches et l'exploration des options d'interpolation. Bien que l'interpolation cubique soit plus avancée et offre une courbe plus lisse, ce n'est pas toujours le choix optimal. Les professionnels de la finance et les chercheurs sont encouragés à se plonger dans la littérature existante et à étudier diverses routines d'interpolation pour identifier l'approche la plus adaptée à leurs besoins spécifiques.

La construction de courbes de rendement et de multi-courbes implique une combinaison de techniques mathématiques, de méthodes d'étalonnage et de routines d'interpolation. Il s'agit d'un processus complexe qui nécessite un examen attentif de divers facteurs, tels que les caractéristiques de l'instrument, l'efficacité des calculs et les implications de couverture. En employant les bonnes méthodes et en comprenant les principes sous-jacents, les praticiens financiers peuvent construire des courbes de rendement robustes qui reflètent avec précision les conditions du marché et soutiennent des stratégies efficaces de gestion des risques.

• 00:00:00 Dans cette section, le conférencier aborde les aspects pratiques de la construction d'un algorithme pour la construction de la courbe de rendement, y compris l'étalonnage de la courbe et l'analyse du code Python pour construire la courbe de rendement à l'aide d'instruments de marché tels que les swaps. Le cours couvre également l'impact des différentes interpolations sur la couverture et définit la routine d'itération pour la construction d'une courbe de rendement, qui consiste à effectuer des calculs algébriques avec des vecteurs et des matrices. Enfin, l'enseignant montre comment mettre à zéro la prochaine itération tout en optimisant la courbe.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section du cours, l'instructeur explique le processus de recherche des points optimaux de la colonne vertébrale pour construire une matrice. Le processus implique des ajustements itératifs des facteurs d'actualisation vectoriels (dfs) jusqu'à ce que la convergence soit atteinte. Les ajustements sont basés sur une matrice jacobienne, et l'inverse du jacobien détermine l'ajustement pour le delta du dfs. L'instructeur discute également de l'importance de spécifier les grilles, c'est-à-dire les paires de facteurs ti et d'actualisation pour construire la courbe avant de trouver les obligations zéro optimales, citant l'exemple de la construction d'une courbe de rendement pour un swap de taux d'intérêt de deux ans et de cinq ans. Le problème se pose lorsqu'il y a plus d'inconnues que d'équations, nécessitant une solution problématique.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'orateur discute des défis de la construction d'une courbe de rendement en utilisant des paiements de swap pour les points de la colonne vertébrale, en raison d'un système sous-déterminé. La solution consiste à considérer uniquement le paiement final comme le point de la colonne vertébrale et à interpoler les points intermédiaires. L'orateur souligne que le nombre d'instruments doit être égal au nombre de points de la colonne vertébrale, et trop d'instruments peuvent prêter à confusion. Le processus de construction d'une courbe de rendement à l'aide d'un contrat de taux à terme et d'un swap est expliqué et peut être mis en œuvre numériquement.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'importance de construire une courbe de rendement et l'impact des cotations sur le marché sont discutés, ainsi que le fait que généralement, les cotations sur le marché sont nulles. La conférence passe ensuite à la discussion de la définition du taux LIDOR et de la manière dont la PV1 peut être exprimée en termes de taux LIDOR. L'expression de la PV1 ne dépend que de la df1, qui peut être calculée en utilisant le premier ensemble d'équations. Le deuxième ensemble d'équations concerne le swap, qui a deux dates de paiement. Enfin, la conférence explique la matrice triangulaire inférieure et comment l'inversion peut être effectuée efficacement pour la construction de courbes lorsque seuls des swaps sont utilisés.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'importance de construire une courbe de rendement et comment en construire une en utilisant les données de marché du département américain du Trésor. Les données consistent en des cotations pour les taux LIBOR et des swaps avec différentes échéances. L'objectif est d'utiliser les cotations pour construire une courbe de rendement, puis de vérifier si la courbe évalue tous les instruments au pair. L'enseignant explique la fonction multidimensionnelle de Newton-Raphson utilisée pour y parvenir et souligne l'importance de choisir la bonne méthode d'interpolation. Enfin, la fonction d'évaluation d'un instrument de swap sur un vecteur de points spinaux est introduite.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section du cours vidéo, l'instructeur explique la construction d'une courbe de rendement et de multi-courbes. Il commence par définir un swap, puis passe à la construction d'une courbe de rendement avec un éventail d'instruments et d'échéances. Il définit une méthode de Newton multivariée pour optimiser la courbe de rendement pendant le processus de construction. L'instructeur insiste sur l'importance de choisir une valeur pour la tolérance et met en évidence le défi de l'optimisation avec une tolérance de 10 à la puissance 10. Il conclut qu'avec cette méthode d'optimisation, la convergence serait très rapide.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique comment évaluer les instruments à l'aide de points de colonne vertébrale et de méthodes d'interpolation. Tout d'abord, la courbe de rendement est construite à l'aide des points de la colonne vertébrale et de la méthode d'interpolation. Ensuite, chaque swap est évalué en fonction des obligations à coupon zéro en fonction de l'état actuel du point d'épine dorsale. Un jacobien est calculé, qui est la sensibilité de chaque PV individuel à tous les points de la colonne vertébrale. Cela se fait numériquement en effectuant un choc sur chaque point de la colonne vertébrale et en évaluant tous les échanges. Le jacobien est ensuite stocké dans une matrice. La fonction de calcul du jacobien est compacte et efficace.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le conférencier discute du processus de construction de la courbe de rendement et des multi-courbes à l'aide de la méthode d'itération de Newton-Raphson, de la matrice jacobienne et de l'ensemble d'outils d'algèbre linéaire numpy. Une fois la courbe de rendement construite, l'étape suivante consiste à évaluer les swaps avant de construire la courbe. Le conférencier conseille la nécessité de fixer une limite au nombre d'évaluations effectuées pour éviter d'écraser le Python et suggère d'introduire des protections dans les codes pour éviter cela. Enfin, le conférencier montre comment calculer la pv actuelle des swaps à l'aide de la courbe de rendement initiale et de la courbe de rendement calibrée, obtenue à partir des points ri spine générés à partir du processus d'itération.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le professeur discute de la routine d'optimisation et de l'étalonnage de la courbe de rendement pour les swaps de taux d'intérêt. La courbe de rendement est calibrée à l'aide de swaps et est très précise, avec des paramètres affichant même des valeurs inférieures à zéro. Le professeur met également en évidence des domaines d'amélioration, tels que les calculs analytiques pour les sensibilités dérivées, pour accélérer le temps de calcul et augmenter la précision. Cette conférence présente le concept de "couverture", qui sera exploré plus en détail dans la section suivante, ainsi que l'impact de différentes routines d'interpolation sur les résultats de couverture. Diverses routines d'interpolation sont discutées, et le professeur recommande d'explorer la littérature sur les options d'interpolation pour plus de détails. Le cours se termine par un focus sur les petites conditions de test et l'impact des routines d'interpolation.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, le conférencier discute des différentes routines d'interpolation utilisées pour créer une courbe de rendement et de leur impact sur les résultats. L'interpolation simple implique une interpolation linéaire simple qui peut être problématique lors de l'utilisation d'une courbe de rendement basée sur un modèle. En effet, le taux à terme instantané dépend du logarithme d'une obligation à coupon zéro et sans petites choses dans l'interpolation, le comportement de la structure par terme du taux court peut être bizarre. Une méthode pour améliorer les limites de ces interpolations consiste à différencier sur les facteurs d'actualisation logarithmique. Le conférencier explore également l'interpolation locale et globale, soulignant qu'un changement ou un choc au point de la colonne vertébrale doit être aussi localisé que possible pour éviter d'impacter trop de points sur la courbe. De plus, il note l'importance de sélectionner une interpolation qui considère les caractéristiques des instruments sur la courbe et leur impact sur les performances de la courbe.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, la construction des courbes de rendement et des multi-courbes est abordée. La conférence parcourt une expérience python où une fonction a été développée pour calibrer une courbe de rendement avec de petits ajustements, y compris la construction d'un ensemble d'instruments en tant que fonction et l'ajout d'une interpolation quadratique et cubique. L'expérience démontre également la tarification d'un swap hors marché et la sensibilité du swap à tous les instruments de marché utilisés dans la construction de la courbe grâce à la différenciation et au recalibrage de la courbe pour chaque instrument choqué dans l'ensemble du portefeuille.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique comment construire une courbe de rendement et des multi-courbes en utilisant le choc et le delta. Pour construire la courbe, ils refont tout le processus pour chaque instrument avec un taux fixe choqué. Ensuite, ils redéfinissent le delta, qui est la dérivée du swap par rapport à chaque instrument de marché, en divisant la taille du choc, en reconstruisant la courbe et en approximant la valeur du delta. Avec ces valeurs delta, ils peuvent voir quelle quantité de chaque instrument de marché ils doivent utiliser pour la construction de la courbe, ce qui leur permet de couvrir leur avenir. L'orateur utilise une interpolation linéaire pour démontrer comment ils peuvent couvrir un swap de quatre ans avec des instruments qui ont une échéance de trois et cinq ans, ce qui correspond à leurs attentes. Enfin, ils comparent les résultats de l'utilisation de l'interpolation linéaire par rapport à l'interpolation cubique et constatent que l'interpolation cubique est plus coûteuse à calculer mais entraîne une grande différence dans les résultats.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'intervenant aborde la construction des courbes de taux et des multi-courbes dans un contexte d'ingénierie financière. Ils comparent l'interpolation cubique à l'interpolation linéaire, notant que l'interpolation cubique est beaucoup plus lente et plus avancée. Ils discutent également de l'impact de l'interpolation sur la couverture, notant que même si la courbe peut être plus lisse avec l'interpolation cubique, les dépenses de couverture peuvent être plus importantes en raison des sensibilités aux produits beaucoup plus tardives que l'échéance des swaps. L'orateur suggère d'essayer l'interpolation quadratique et souligne que l'impact de l'interpolation sur la couverture ne doit pas être négligé.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 3/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Cours Ingénierie Financière : Cours 6/14, partie 3/3, (Construction de Courbe de Taux et Multi-Courbes)

Dans le cours, le concept de multi-courbes est introduit, qui intègre les probabilités de défaut des contreparties lors de la construction des courbes de rendement. Ces informations supplémentaires tiennent compte de la fréquence des paiements et des risques de défaillance associés. L'orateur souligne que prêter de l'argent pour une durée plus longue à une contrepartie augmente le risque par rapport à un prêt à plus court terme. Les courbes multiples sont apparues comme un développement des mathématiques financières après la crise financière de 2008-2009 et restent répandues sur le marché actuel.

La conférence comprend une implémentation Python de multi-courbes et assigne une tâche aux étudiants, les mettant au défi d'améliorer le code existant en incorporant des instruments supplémentaires pour l'étalonnage des courbes et les aspects de couverture.

La construction de courbes de taux et de multi-courbes en ingénierie financière est discutée, en insistant sur l'impact de la fréquence de paiement sur le type de courbe et la gestion des risques. Une fréquence de paiement plus élevée réduit la perte potentielle en cas de défaillance de la contrepartie, ce qui en fait un choix plus sûr. La motivation derrière les courbes multiples découle de la crise de 2007-2009, lorsque les écarts de base entre les différents ténors sont devenus importants, entraînant de multiples points de base de différence entre les courbes de fréquence variables.

L'orateur explique que différents instruments présentent des primes de liquidité et de risque de crédit variables, influençant leurs courbes de rendement. Avant la crise financière, la tarification était basée sur une courbe unique. Cependant, après la crise, des primes de risque supplémentaires doivent être envisagées pour différentes structures de teneur. L'orateur illustre la prime de risque répartie entre différentes échéances à l'aide d'une illustration de taux à terme instantanés. Le consensus du marché est d'actualiser les flux de trésorerie futurs sur la base de la fréquence d'occupation la plus élevée, et le choix optimal pour l'actualisation est une courbe présentant le moins de risque de crédit, généralement associée à un 10 d'un jour.

La conférence se penche sur l'inclusion des probabilités de défaut dans la tarification et le développement d'un cadre pour la tarification des dérivés dans le contexte multi-courbe. Des courbes telles que l'Euro Overnight Index Average et le US Federal Reserve Overnight Rate sont discutées. Les praticiens ont d'abord observé le marché, puis la théorie a été développée, nécessitant l'inclusion de probabilités de défaut dans le cadre multi-courbes. La définition de la bibliothèque doit être modifiée pour intégrer la courbe sans risque et les probabilités de défaut de la contrepartie. L'orateur souligne la nécessité de versions étendues du taux LIBOR et mesure les changements pour s'adapter à cette modification. En intégrant les probabilités de défaut et en vérifiant l'existence de la contrepartie avant d'exécuter les transactions, les praticiens acquièrent une meilleure compréhension de la tarification des dérivés dans le cadre multi-courbes.

Le concept de probabilité de défaut est expliqué dans le contexte de la tarification des dérivés présentant un risque de crédit. La probabilité de défaut représente le risque de défaut survenant sur une période spécifique et est généralement dérivée d'instruments de marché tels que les swaps sur défaillance de crédit. Lorsque les instruments de marché ne sont pas disponibles, les banques et les institutions financières attribuent une probabilité de défaut basée sur l'association des risques de l'industrie. La tarification des dérivés présentant un risque de crédit implique l'actualisation de tous les flux de trésorerie futurs et l'hypothèse d'une indépendance entre les taux d'intérêt et la probabilité de défaut. Le gain attendu est ensuite calculé à l'aide d'une fonction indicatrice de la probabilité de défaut.

La conférence traite de la relation entre les probabilités de défaut et les taux d'amélioration, les probabilités de survie et les taux de risque. Les swaps sur défaut de crédit (CDX) sont introduits en tant que dérivés négociés utilisés pour estimer la probabilité de défaut. En examinant les cotations de marché des CDX, la prime de risque peut être calculée, ce qui donne un aperçu de la probabilité de défaut. La courbe de rendement risquée intègre la probabilité de défaut et ajuste les obligations à coupon zéro en utilisant des ajustements de risque. En pratique, D(t0, ti) est généralement interprété comme un facteur d'actualisation, permettant la construction d'une courbe des taux comme un ensemble de facteurs d'actualisation des obligations à coupon zéro.

La vidéo explique le processus de détermination d'un juste prix pour un passif non garanti qui tient compte des probabilités de défaut en construisant une courbe correspondant à un terme spécifique au-dessus d'une courbe d'actualisation. Il démontre le calcul d'obligations à coupon zéro sans risque et d'une obligation à coupon zéro avec une prime de risque supplémentaire, représentant le facteur d'ajustement de la courbe. La vidéo explique également comment la tarification d'un swap de taux d'intérêt peut être calculée dans un cadre à plusieurs courbes. Il combine les concepts d'un passif risqué et du taux du swap d'indice au jour le jour, se rapprochant de la tarification en calculant l'espérance du LIBOR à terme sous la mesure de martingale correspondante.

L'enseignant insiste sur la dépendance circulaire entre différentes courbes et sur la construction de courbes de taux dans la pratique. La courbe d'actualisation est généralement construite en premier, suivie de la construction de courbes de trois mois et de six mois basées sur la courbe d'actualisation et des cotations de marché supplémentaires. Cependant, des complications surviennent lorsqu'il y a des écarts impliqués, nécessitant un étalonnage de toutes les courbes simultanément plutôt qu'individuellement. Bien que cela puisse être plus complexe, le maintien de la cohérence dans la couverture d'autres risques permet d'utiliser le mauvais taux d'intérêt dans le modèle Black-Scholes pour correspondre à la cotation du marché.

La vidéo fournit des conseils sur la mise en œuvre de plusieurs courbes en Python pour la tarification et la construction de plusieurs courbes de rendement. Il s'appuie sur des codes précédemment développés pour les courbes de rendement uniques et les étend pour gérer plusieurs courbes. Une extension de la définition du swap est introduite pour faciliter la tarification dans le contexte multi-courbe. La vidéo souligne également l'importance d'effectuer une vérification de cohérence pour assurer la cohérence entre le nouveau swap de taux d'intérêt et un réglage de courbe unique. Ceci est réalisé en utilisant deux instances de la même courbe pour vérifier qu'elles donnent la même valeur.

L'orateur discute du calibrage de la courbe des taux et introduit quatre swaps correspondant à la nouvelle courbe avec des suppositions initiales distinctes du cas précédent. L'objectif reste d'aligner les prix du marché sur les prix des modèles. La courbe d'actualisation est basée sur la courbe bootstrap et les swaps sont définis comme des expressions lambda de la courbe à terme. L'orateur explique la recherche d'obligations à coupon zéro ou de courbes de rendement pour les swaps et l'optimisation des valeurs qui rendent le swap nul pour l'objectif de rendement spécifique. Le calibrage de la courbe est revérifié et les valeurs des swaps sont tracées. La vérification de l'intégrité confirme la cohérence de la nouvelle implémentation du swap, et enfin, la nouvelle courbe est amorcée.

L'orateur discute des résultats du processus d'étalonnage et d'amorçage, notant que le prix revient au pair. La courbe d'actualisation et la courbe de prévision sont tracées, illustrant la courbe d'écart entre elles. L'orateur souligne que la courbe à terme est plus faible en raison du nombre limité d'instruments, ce qui entraîne un manque de transition en douceur entre les différentes échéances. Le processus de calibrage est relativement rapide, nécessitant des itérations d'optimisation par rapport au serveur pour la courbe de remise. En conclusion, l'orateur résume les concepts clés abordés dans le cours, y compris la nature dynamique de la courbe de rendement, la formulation mathématique, la formulation du problème, les points de colonne vertébrale, la routine d'optimisation et les exemples analytiques.

Enfin, l'orateur discute de l'extension du code existant pour le début d'une courbe et de l'inclusion d'instruments supplémentaires. L'importance pratique de l'élaboration d'un cadre de couverture pour comprendre les impacts des différentes interprétations est soulignée. La vidéo explique l'importance des multi-courbes et leur relation avec les probabilités de défaut et les prévisions. Il conclut en démontrant le code Python pour implémenter et étendre le cadre existant pour gérer les multi-courbes. En tant que devoir, le public est chargé d'étendre le code existant pour une nouvelle courbe et d'incorporer une couche supplémentaire d'une courbe à terme basée sur six mois, trois mois et les instruments de marché disponibles.

La vidéo explique comment calculer le juste prix d'un passif non garanti qui tient compte des probabilités de défaut. Cela implique de construire une courbe correspondant à un terme spécifique au-dessus d'une courbe d'actualisation. La vidéo montre le calcul d'obligations à coupon zéro sans risque et d'une obligation à coupon zéro basée sur une prime de risque supplémentaire, représentant le facteur d'ajustement de la courbe. En outre, la tarification d'un swap de taux d'intérêt est discutée, combinant les concepts de passif risqué et le taux du swap d'indice au jour le jour. L'approximation des prix consiste à calculer l'espérance du LIBOR à terme sous la mesure de martingale correspondante.

Pour conclure, l'enseignant rappelle l'importance de la construction des courbes de taux, multi-courbes, et leurs implications pratiques en ingénierie financière. Le cours couvre divers aspects tels que l'étalonnage des courbes, la couverture, la probabilité de défaut, la tarification des dérivés avec risque de crédit et la mise en œuvre de multi-courbes en Python. En étendant le code existant et en incorporant des instruments supplémentaires, les étudiants sont mis au défi d'approfondir leur compréhension des multi-courbes et d'acquérir une expérience pratique de l'étalonnage des courbes et des aspects de tarification dans un cadre multi-courbes.

• 00:00:00 Dans cette section de la conférence, le concept de multi-courbes est introduit, qui prend en compte les probabilités de défaut potentielles des contreparties lors de la construction d'une courbe de rendement en incluant des informations supplémentaires concernant la fréquence des paiements et les risques de défaut associés . L'exemple donné est que prêter de l'argent à une contrepartie pendant trois mois est plus risqué que prêter de l'argent pendant un mois seulement. Les courbes multiples sont un développement plus récent des mathématiques financières qui a été créé après la crise financière de 2008-2009 et qui est présent sur le marché aujourd'hui. Le cours comprend une implémentation Python de multi-courbes et un devoir qui demande aux étudiants d'étendre les codes existants avec des instruments supplémentaires pour l'étalonnage des courbes et les aspects de couverture.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section du Cours d'Ingénierie Financière, l'instructeur aborde la construction des courbes de rendement et des multi-courbes. Il explique que la fréquence des paiements détermine le nombre de swaps de base et le type de courbe. Du point de vue de la gestion des risques, recevoir des paiements fréquents est plus sûr car il y a moins d'argent à perdre en cas de défaillance d'une contrepartie. La motivation pour les courbes multiples était principalement due à la crise de 2007-2009, lorsque les écarts de base entre les différents ténors n'étaient plus négligeables et avaient de multiples points de base de différence entre les différentes fréquences de courbes.
  
  
• 00:10:00 Dans cette partie de la conférence, l'orateur aborde la construction des courbes de taux et des multi-courbes en ingénierie financière. Différents instruments se caractérisent par une liquidité et une prime de risque de crédit qui affectent leurs courbes de rendement. Avant la crise financière, la tarification était basée sur une courbe unique, mais à présent, des primes de risque supplémentaires doivent être prises en compte pour différentes structures de durée. L'orateur a tracé une illustration des taux à terme instantanés pour montrer la prime de risque répartie entre les différentes échéances. Le consensus du marché est d'actualiser les flux de trésorerie futurs sur la base de la fréquence d'occupation la plus élevée et le choix optimal pour l'actualisation est une courbe qui comporte le moins de risque de crédit. Une courbe d'actualisation est généralement associée à un 10 d'un jour et comporte le moins de risque de crédit possible.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence, le concept d'inclure les probabilités de défaut dans la tarification et de développer un cadre pour la tarification de ces dérivés est discuté. Le cadre des courbes multiples est expliqué, avec la discussion de courbes telles que l'Euro Overnight Index Average et le US Federal Reserve Overnight Rate. Les praticiens ont d'abord observé le marché, avec la théorie développée plus tard, et l'inclusion des probabilités de défaut dans le cadre multi-courbe est nécessaire. La définition de la bibliothèque doit être modifiée pour inclure la courbe sans risque et les probabilités de défaut de la contrepartie, et des versions étendues du taux LIBOR et des changements de mesure sont nécessaires pour ce changement. En incluant le concept de probabilités de défaut et en s'assurant que la contrepartie existe toujours avant de faciliter les transactions, les praticiens peuvent mieux comprendre la tarification des dérivés dans le cadre multi-courbes.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section du cours, le concept de probabilité de défaut est discuté dans le contexte de la tarification d'un dérivé avec risque de crédit. La probabilité de défaut est une variable aléatoire qui indique le risque de défaut sur une période de temps. La distribution de la probabilité de défaut est généralement extraite d'instruments de marché tels que les swaps sur défaillance de crédit. Si les instruments de marché ne sont pas disponibles, les banques et les institutions financières associent l'entreprise à un risque sectoriel pour lui attribuer une probabilité de défaut. La tarification des dérivés avec risque de crédit implique l'actualisation de tous les flux de trésorerie futurs et l'hypothèse d'une indépendance entre les taux d'intérêt et la probabilité de défaut. Ensuite, le gain attendu est calculé à l'aide d'une fonction indicatrice de la probabilité de défaut.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section du cours, l'instructeur explique comment les probabilités de défaut et les taux d'amélioration sont associés aux probabilités de survie et aux taux de risque. La probabilité de défaut peut être estimée à l'aide de swaps sur défaillance de crédit (CDX), qui sont des dérivés négociés. En examinant les cotations du marché des CDX, nous pouvons calculer la prime de risque et déterminer la probabilité d'un défaut. La courbe de rendement risquée qui est construite inclut la probabilité de défaut, qui ajuste les obligations à coupon zéro en utilisant des ajustements de risque. En pratique, les praticiens interprètent généralement le D(t0, ti) comme un facteur d'actualisation, ce qui permet de construire une courbe de rendement comme un ensemble de facteurs d'actualisation des obligations à coupon zéro.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, la vidéo explique comment déterminer le juste prix d'un passif non garanti qui tient compte des probabilités de défaut en construisant une courbe correspondant à un terme spécifique au-dessus d'une courbe d'actualisation. La vidéo montre comment calculer des obligations à coupon zéro sans risque et une obligation à coupon zéro pour une prime de risque supplémentaire qui représente le facteur d'ajustement de la courbe. La vidéo explique ensuite comment le prix d'un swap de taux d'intérêt peut être calculé en combinant les concepts de responsabilité risquée et le taux du swap d'indice au jour le jour, où le prix peut être approximé en calculant l'attente du libor à terme sous la mesure de martingale correspondante. .
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier discute de la construction des courbes de rendement dans la pratique et de la dépendance circulaire entre les différentes courbes. La courbe d'actualisation est construite en premier, suivie des courbes à trois mois et à six mois basées sur la courbe d'actualisation et des cotations supplémentaires du marché. Cependant, le problème se pose lorsqu'il y a des spreads impliqués, nécessitant un calibrage à la fois au lieu de courbe par courbe. Bien qu'il soit plus impliqué, l'utilisation du mauvais taux d'intérêt dans le modèle Black-Scholes peut toujours correspondre à la cotation du marché tant que la cohérence est maintenue dans la couverture d'autres risques.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, la vidéo explique comment implémenter plusieurs courbes en Python pour la tarification ou la construction de plusieurs courbes de rendement en s'appuyant sur les codes précédents développés pour des courbes de rendement uniques. L'extension d'une définition de swap est utilisée pour gérer la tarification d'un swap dans un cadre à plusieurs courbes. La vidéo explique également comment effectuer un contrôle d'intégrité pour vérifier la cohérence du nouveau swap de taux d'intérêt avec un réglage de courbe unique en utilisant deux fois la même courbe pour s'assurer qu'elles donnent exactement la même valeur.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur aborde le calibrage de la courbe des taux. Ils définissent quatre swaps qui correspondent à la nouvelle courbe et ont des suppositions initiales, qui sont distinctes du cas précédent. L'objectif est toujours d'aligner les prix du marché avec ceux du modèle. La courbe de remise est basée sur la courbe bootstrap et ils définissent les swaps comme une expression lambda de la courbe à terme. Ils rechercheront une obligation à coupon zéro ou une courbe de rendement pour les swaps et optimiseront les valeurs auxquelles le swap est nul pour cet objectif de rendement particulier. Ils revérifient le calibrage de la courbe et tracent les valeurs des swaps. La vérification de l'intégrité montre que la mise en œuvre du nouveau swap est cohérente, et ils amorcent finalement la nouvelle courbe.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute des résultats de l'étalonnage et du bootstrap de la courbe de rendement, qui ont abouti à un retour des prix au pair. Ils tracent également la courbe d'actualisation et la courbe de prévision, qui donne la différence entre elles et illustre la courbe de spread. L'orateur note que la courbe vers l'avant est plus faible, et cela est dû au fait qu'il n'y a que quatre instruments, ce qui n'entraîne aucune transition en douceur entre les différentes échéances. Le calibrage est relativement rapide et l'optimisation n'est requise que pour l'itération par rapport au serveur pour la courbe de remise. Enfin, le conférencier résume les concepts clés abordés dans la conférence, qui portait sur la courbe de rendement et sa dynamique, la formulation mathématique, la formulation du problème, les points de colonne vertébrale, la routine d'optimisation et des exemples analytiques.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute de l'extension du code existant pour le début d'une courbe et de l'introduction d'instruments supplémentaires. Le conférencier souligne l'importance pratique de développer un cadre de couverture pour comprendre les impacts des différentes interprétations. La vidéo explique en outre l'importance des multi-courbes et comment elles sont liées aux probabilités de défaut et aux prévisions, suivie d'une démonstration du code python sur la façon de l'implémenter et d'étendre le cadre existant pour la gestion des multi-courbes. La vidéo se termine en décrivant deux tâches de codage comme devoirs pour le public, pour étendre le code existant pour une nouvelle courbe et inclure une couche supplémentaire d'une courbe à terme basée sur six mois, trois mois et les instruments de marché disponibles.

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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 7/14, partie 1/2, (Swaptions et taux d'intérêt négatifs)

Cours d'Ingénierie Financière : Cours 7/14, partie 1/2, (Swaptions et taux d'intérêt négatifs)

La conférence commence par un examen des sujets précédents, y compris les swaps, les taux d'intérêt, la construction de la courbe de rendement et la tarification des produits de base. Il progresse ensuite vers des sujets plus avancés : la tarification des swaptions et la tarification sous taux d'intérêt négatifs. Les swaptions, qui dépendent de la volatilité, sont explorées, ainsi que les options sur les taux d'intérêt telles que les couplets et les taux de flux.

Le concept de caplet est présenté comme une option européenne qui joue un rôle dans le calibrage du modèle Hull-White. Les caplets sont utilisés dans les modèles dépendant du chemin et nécessitent un étalonnage pour les instruments du marché. Le conférencier discute du modèle Black-76 pour la tarification des caplets et fait la distinction entre les équations de Black-Scholes et les équations de Black pour les taux d'intérêt à terme. La surface de volatilité implicite pour les taux d'intérêt et la tarification des dérivés exotiques est brièvement mentionnée comme sujet pour un cours futur.

La conférence se penche sur l'étalonnage des paramètres pour le modèle entièrement blanc en utilisant les prix du marché pour les coupleurs. Les volatilités implicites utilisant le modèle de Black sont introduites et utilisées dans le processus d'étalonnage. La distinction entre la volatilité implicite de Black et la volatilité implicite du modèle est soulignée. Le cours couvre la formule d'une bibliothèque dépendante de deux obligations nulles et sa substitution dans la tarification. Une nouvelle grève est définie pour supprimer les composants constants ou dépendant du temps en dehors de l'attente, permettant l'exploration de la dynamique ou des distributions sous la mesure TK.

La tarification des swaptions est discutée en relation avec la tarification des obligations à coupon zéro dans un modèle à coupon zéro. La différence réside dans le calendrier des paiements, les obligations à coupon zéro payant au début et les swaptions à la fin. Le cours introduit le concept de conditionnement sur un champ de signal et utilise la définition d'un compte de service monétaire pour résoudre ce problème. Cela conduit à une expression du prix de la swaption comme l'espérance du ratio de deux comptes de services monétaires dans le cadre de la mesure à terme.

La conférence explore en outre la relation entre les caplets, les obligations et les options sur les obligations à coupon zéro. Le modèle Black-Scholes est utilisé pour le calcul des volatilités implicites, avec étalonnage périodique des paramètres du modèle. La conférence met l'accent sur l'importance de choisir correctement les dates de simulation et de faire correspondre les mesures et les attentes dans la tarification des options.

La génération de sourires de volatilité implicite à l'aide de produits de taux d'intérêt et d'options de tarification sur des obligations à coupon zéro est discutée. Le code est inspecté pour garantir des évaluations précises, et une comparaison est effectuée entre les obligations à coupon zéro à courbe de rendement dérivées du marché et dérivées d'un modèle. La tarification des options sur les obligations à coupon zéro, y compris les options de vente, est couverte et des expériences sont réalisées pour analyser l'impact de la volatilité et des versions de modèles sur la tarification.

La conférence présente un processus d'itération pour trouver la volatilité implicite qui satisfait la contrainte d'égalité de la valeur marchande et du prix Black '76 pour une option. Des grilles de différents niveaux de volatilité sont définies et interpolées comme point de départ pour Newton-Raphson. L'impact du paramètre de réversion moyenne sur les volatilités implicites est discuté, avec une recommandation pour le fixer tout en calibrant le paramètre de volatilité. Les paramètres dépendant du temps sont mis en évidence pour des considérations XVA.

Les limites de l'ajout de la volatilité stochastique au modèle HJM dans la tarification des dérivés sont abordées, y compris l'impact sur le biais de volatilité implicite et les défis d'étalonnage. La conférence met en évidence l'importance de la composante annuité dans les swaps et la nécessité d'en tenir compte lors d'un changement de mesure. Comprendre les swaps de taux d'intérêt et améliorer les modèles tout en maintenant l'efficacité des calculs est crucial en raison de leur prévalence dans les institutions financières.

La tarification des swaps est axée sur l'hypothèse d'une courbe unique. La valeur d'un swap dépend de deux versements, initialement et à la fin, et peut être représentée comme la différence de deux composantes nulles avec le prix d'exercice multiplié par l'annuité. La tarification au pair est expliquée, où la grève est choisie pour rendre la valeur nulle, ce qui n'entraîne aucun paiement en espèces. La volatilité est nécessaire pour évaluer les produits dérivés exotiques, nécessitant un calibrage aux instruments du marché.

L'utilisation des swaptions dans l'ingénierie financière pour évaluer la volatilité du marché est discutée. Les swaptions sont des produits dérivés européens qui donnent au détenteur le droit, mais non l'obligation, de conclure un swap à une date future prédéterminée. Le prix d'exercice de la swaption détermine si le détenteur sera payeur ou receveur du swap. En substituant la définition du swap, l'équation d'évaluation des swaptions est dérivée et le numérateur de l'équation est identifié comme un candidat approprié pour un changement de mesure. Cela permet d'annuler la composante rente et de simplifier l'équation.

L'orateur explique l'utilisation des mesures d'annuité et du mouvement brownien géométrique pour calculer les prix des swaptions, en supposant que les taux de swap ne peuvent pas être négatifs. La mesure de la rente est considérée comme un choix approprié pour la mesure, et selon cette mesure, le swap doit être une martingale. L'équation de Black-Scholes est introduite comme modèle de tarification pour les swaptions. Cependant, l'orateur reconnaît qu'en pratique, les swaps peuvent avoir des valeurs négatives, ce qui peut poser des problèmes pour l'équation de tarification. Ils mentionnent qu'une solution à ce problème sera présentée plus tard dans la conférence. Le but ultime est de déterminer le prix selon le modèle BlueWise, qui sera utilisé pour la simulation dans les futures conférences.

Le conférencier discute de la formulation d'un swap en termes d'obligations à coupon zéro et comment il peut être redéfini comme une somme unique d'obligations à coupon zéro avec des poids différents. Cette formulation s'avère pratique lors de la recherche d'une solution pour les options de tarification sous une dynamique entièrement blanche. La conférence couvre le processus de changement de la mesure d'une mesure neutre au risque à une mesure associée à une obligation à coupon zéro, ce qui aide à relever le défi de la tarification d'un swap. Le Jambchidian Flick est présenté comme une technique pour échanger l'attente du maximum d'une somme avec une somme d'attentes, une étape cruciale dans la recherche d'une solution de forme fermée pour la tarification des swaptions. Cette méthode aide à simplifier le processus de tarification et à obtenir des résultats précis.

La discussion de l'instructeur souligne l'importance de comprendre et d'évaluer efficacement les swaptions, car elles fournissent des informations précieuses sur la volatilité du marché. La capacité d'évaluer et de tarifer avec précision ces dérivés contribue à une prise de décision éclairée et à la gestion des risques sur les marchés financiers.

La conférence couvre divers sujets avancés liés à la tarification dans le contexte des swaptions et des taux d'intérêt négatifs. Il explore les subtilités de l'étalonnage des modèles, de la détermination des volatilités implicites et de la compréhension des nuances des différentes approches de tarification. Le conférencier souligne l'importance de sélectionner soigneusement les paramètres, de faire correspondre les mesures et les attentes, et de tenir compte des limites et des défis associés à la tarification des dérivés dans des environnements financiers complexes.

• 00:00:00 Dans cette section du cours sur l'ingénierie financière, l'instructeur aborde deux sujets importants : la tarification des swaptions et la tarification en cas de taux d'intérêt négatifs. La conférence commence par un bref examen des conférences précédentes, qui couvraient les instruments financiers de base tels que les swaps et les taux d'intérêt, la construction de la courbe de rendement et la tarification des produits de base. Le cours passe ensuite à des sujets plus avancés tels que la tarification des swaptions, qui dépendent de la volatilité, et la tarification des taux d'intérêt négatifs, qui ne peuvent être négligés dans le contexte de la tarification. La conférence couvre également la tarification des options sur les taux d'intérêt, telles que les couplets et les taux de flux. La deuxième partie de la conférence se concentre sur la tarification dans le cadre du modèle blanc complet et sur la façon de parler des volatilités implicites sous le changement et le régime.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier explique le concept d'un caplet, une option européenne qui paie à une date future, et comment il est utilisé comme élément de base pour l'étalonnage du modèle Hull-White. Les caplets sont souvent utilisés pour simuler des modèles dépendant du chemin, tels que le modèle Hull-White, dans lequel les paramètres doivent être calibrés pour les instruments du marché. Le conférencier discute également du modèle Black-76 pour la tarification des caplets et mentionne la différence entre les équations de Black-Scholes et les équations de Black pour les taux d'intérêt à terme. Enfin, la conférence aborde le concept de surface de volatilité implicite pour les taux d'intérêt et la tarification des dérivés exotiques, qui fera partie d'un cours de suivi.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'orateur explique comment calibrer les paramètres du modèle blanc complet pour générer des chemins en utilisant un prix du marché pour le couplet. Le concept de volatilités implicites utilisant le modèle de Black est introduit et peut également être utilisé dans le processus d'étalonnage. Il est souligné que lorsqu'on parle de volatilité implicite, il s'agit toujours de la volatilité implicite de Black et non de la volatilité implicite du modèle utilisé. L'orateur poursuit ensuite en expliquant la formule d'une bibliothèque qui dépend de deux obligations zéro et comment elle peut être substituée dans la tarification. Une nouvelle grève est définie pour supprimer la partie constante ou dépendante du temps en dehors de l'attente, permettant au locuteur de trouver la dynamique ou la distribution pour $RTK-1$ sous la mesure $TK$.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier discute de la tarification des swaptions par rapport à la tarification des obligations à coupon zéro dans un modèle à coupon zéro. Une différence entre les deux est que le paiement de l'obligation à coupon zéro se produit au début, tandis que pour la swaption, il se produit à la fin, ce qui rend difficile l'application directe de la première. Cependant, le conditionnement sur un champ de signal peut résoudre ce problème en utilisant la définition d'un compte de service monétaire, permettant la décomposition de l'intégrale du compte de service monétaire en deux intégrales. Cela conduit à une expression du prix de la swaption comme l'espérance du ratio de deux comptes de services monétaires dans le cadre de la mesure à terme.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier discute du lien entre les caplets et les obligations avec les options sur les obligations à coupon zéro et l'utilisation de la tarification pour calculer les volatilités implicites à l'aide du modèle Black-Scholes. Le modèle est calibré sur une base peu fréquente, une fois tous les quelques mois, et le coefficient de volatilité est recalibré sur une base quotidienne ou même infrarouge. La conférence souligne l'importance de choisir avec soin les dates correctes lors de la simulation et l'importance de faire correspondre les mesures et les attentes lorsqu'il s'agit de prix d'options.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la génération de sourires de volatilité implicite à l'aide de produits de taux d'intérêt tels que les coupleurs et sur l'utilisation de la machinerie de tarification des options sur les obligations à coupon zéro. Le code est inspecté pour s'assurer qu'il n'y a pas d'erreurs dans les évaluations, et une comparaison est effectuée entre les obligations à coupon zéro de la courbe de rendement obtenues sur le marché et le modèle pour s'assurer qu'il n'y a pas d'erreurs à ce stade. La section couvre également le calcul des prix d'une option sur une obligation à coupon zéro, la vérification ou la tarification d'une option de vente sur une obligation à coupon zéro et la réalisation d'expériences pour vérifier l'impact de la volatilité et de la version minérale sur la tarification.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section du cours, l'instructeur discute de l'utilisation d'un processus d'itération pour trouver la volatilité implicite d'une option qui satisfait la contrainte selon laquelle la valeur marchande d'une option est égale au prix Black '76 d'un option. Le processus implique de définir des grilles de différents niveaux de volatilité et de les interpoler comme une bonne estimation pour Newton – Raphson. De plus, l'instructeur note que le paramètre de réversion moyenne a un impact moindre sur les volatilités implicites que le paramètre de volatilité et est souvent fixe dans la pratique, tandis que êta est fréquemment calibré et considéré comme dépendant du temps pour permettre l'inclusion de la structure des termes de volatilité dans le modèle. L'utilisation de paramètres dépendant du temps est essentielle dans le contexte de XVA, qui sera abordé plus loin dans le cours.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute des limites de l'ajout de volatilité stochastique au modèle HJM dans la tarification des dérivés. Bien que cela puisse avoir un impact sur le sourire ou le biais de la volatilité implicite, l'ajout d'une volatilité stochastique rend l'étalonnage plus difficile. Par ailleurs, le conférencier souligne l'importance de la composante rente dans les swaps et la nécessité d'en tenir compte lors d'un changement de mesure. L'orateur note que la majorité des portefeuilles de négociation d'instruments dans les institutions bancaires et financières sont des swaps de taux d'intérêt, il est donc important d'avoir une bonne compréhension de ces produits et de la possibilité d'améliorer les modèles tout en maintenant l'efficacité des calculs.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la tarification d'un swap, avec la simplification qu'il n'y a qu'une seule courbe. La valeur du swap dépend des deux paiements, initialement à la valeur du swap et à la fin, et est représentée comme une différence de deux composantes nulles avec le prix d'exercice multiplié par l'annuité. Le swap est toujours au pair et nous choisissons le prix d'exercice de sorte que la valeur soit égale à zéro, ce qui signifie qu'aucun paiement en espèces n'est requis. La valeur du swap peut être représentée comme l'annuité multipliée par le taux de swap moins le prix d'exercice, une formule importante utilisée dans l'évaluation des swaps. L'ajout de volatilité est nécessaire pour évaluer les dérivés exotiques, et l'étalonnage aux instruments de marché est nécessaire pour déterminer les paramètres du modèle.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la conférence, l'instructeur discute de l'utilisation des swaptions dans l'ingénierie financière comme moyen d'obtenir des informations sur la volatilité du marché. Les swaptions sont des produits dérivés de type européen qui donnent au détenteur le droit, mais non l'obligation, de conclure un swap à une date future prédéterminée. Le prix d'exercice de la swaption détermine si le détenteur sera payeur ou receveur du swap. En substituant la définition d'un swap, l'équation d'évaluation des swaptions est obtenue et le numérateur s'avère être un bon candidat pour le changement de mesure. Cela permet l'annulation de la composante rente et la simplification de l'équation.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de l'utilisation des mesures d'annuité et du mouvement brownien géométrique pour dériver la tarification des swaptions en supposant que les taux de swap ne peuvent pas être négatifs. Ils expliquent que la mesure de rente est un bon candidat pour la mesure et que le swap sous la mesure de rente doit être une martingale. L'orateur présente ensuite l'équation de Black-Scholes pour la tarification des swaptions et note que les swaps peuvent être négatifs dans la pratique, ce qui peut entraîner des problèmes avec l'équation de tarification. Ils suggèrent une solution qui sera introduite plus tard dans la conférence et soulignent leur objectif ultime de trouver le prix sous le modèle BlueWise, qui sera utilisé pour la simulation dans les futures conférences.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le conférencier discute de la formulation d'un swap en termes d'obligations à coupon zéro et comment il peut être reformulé comme une somme unique d'obligations à coupon zéro avec des poids différents. Cette formulation est pratique pour trouver une solution pour les options de tarification sous une dynamique de blanc complet. La conférence explique également le processus de changement de mesure d'une mesure neutre au risque à une mesure associée à une obligation à coupon zéro et comment cela aide à résoudre le problème de la tarification d'un swap. Le conférencier présente le Jambchidian Flick, qui permet d'échanger l'attente du maximum d'une somme avec une somme d'attentes, une étape cruciale dans la recherche d'une solution de forme fermée pour la tarification des swaptions.