Trading Quantitatif - page 18

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Quel est le lien entre le compte d'épargne et une obligation à coupon zéro ?

Quel est le lien entre le compte d'épargne et une obligation à coupon zéro ?

Bienvenue à la séance de questions-réponses d'aujourd'hui sur la finance computationnelle. Dans cette session, nous discuterons de la question numéro deux, qui est basée sur le matériel couvert dans la conférence numéro un. Pour une compréhension détaillée, je recommande de revoir la conférence numéro un. La question d'aujourd'hui porte sur la relation entre un compte d'épargne et une obligation à coupon zéro, notamment dans le contexte des taux d'intérêt.

Pour commencer, définissons un compte d'épargne. La valeur temporelle de l'argent indique que si nous avons un euro aujourd'hui et que nous nous intéressons à sa valeur future, en considérant un taux d'intérêt simple, le montant que nous recevrons dans un an sera multiplié par un euro (1 + taux d'intérêt). Ce taux d'intérêt est exprimé en pourcentage. Il s'agit d'un calcul simple dans le cas de taux d'intérêt déterministes.

Cependant, lorsque nous introduisons des taux d'intérêt stochastiques, la relation devient plus complexe et intéressante. Dans de tels cas, la différence entre la gestion d'un compte d'épargne et celle d'une obligation à coupon zéro devient cruciale. Définissons le livret d'épargne et l'obligation à coupon zéro pour mieux comprendre la différence.

Le compte d'épargne monétaire (MSA) au temps T est défini comme la valeur initiale (qui peut être considérée comme un pour simplifier) multipliée par e^(RT), où R représente le taux d'intérêt. Vous pouvez trouver des dérivations détaillées de la MSA dans la conférence numéro un. Dans le cas des taux d'intérêt stochastiques, la MSA peut être exprimée comme M(T) = M(0) * e^(∫[0 à T] R(s) ds), où R(s) représente le taux d'intérêt stochastique et l'intégrale tient compte de l'intégration de la quantité stochastique.

Abordons maintenant la définition d'une obligation à coupon zéro. Une obligation à coupon zéro est un contrat qui rapporte un euro à un instant futur T. Le problème de tarification associé à une obligation à coupon zéro est de déterminer sa valeur aujourd'hui. En d'autres termes, nous voulons trouver la valeur actuelle du paiement futur. Il s'agit d'un problème fondamental en finance computationnelle, car nous nous concentrons toujours sur la détermination de la valeur des contrats aujourd'hui pour établir leur juste valeur.

Dans le cas des taux d'intérêt stochastiques, le théorème fondamental de tarification stipule que la valeur d'un contrat avec un paiement futur au temps T, actualisée à aujourd'hui selon la mesure neutre au risque, peut être exprimée comme une attente. Plus précisément, il s'agit de l'espérance de l'intégrale des taux d'intérêt. Cela peut être vu comme une extension du concept de la MSA, où l'attente et le signe négatif le différencient de la MSA. Ainsi, l'obligation à coupon zéro peut être exprimée comme une espérance de -∫[0 à T] R(s) ds.

Pour résumer, la relation entre le compte d'épargne monétaire et l'obligation à coupon zéro peut être décrite comme suit : M(T) = valeur initiale * e^(∫[0 à T] R(s) ds) pour le MSA, alors que l'obligation à coupon zéro est définie comme l'espérance de -∫[0 à T] R(s) ds. Dans les cas déterministes, la relation est plus simple, l'obligation à coupon zéro étant égale à 1 / M(T), où M(T) est la valeur MSA au temps T.

Comprendre cette relation est essentiel en finance computationnelle, en particulier lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt stochastiques. Il joue un rôle crucial dans les problèmes d'ingénierie financière et de tarification. Le concept de changement de mesure, tel qu'expliqué dans ce cours, est un outil puissant qui simplifie les gains complexes et nous permet souvent de trouver des équations de tarification analytiques. Si ce sujet vous intéresse, je vous recommande d'explorer le cours sur l'ingénierie financière disponible sur cette chaîne.

J'espère que cette explication clarifie les différences entre le compte d'épargne et l'obligation à coupon zéro. La principale distinction réside dans le terme d'anticipation, qui devient significatif lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt stochastiques. En l'absence de taux d'intérêt stochastiques, la relation entre le compte d'épargne monétaire et l'obligation à coupon zéro est plus directe. Dans de tels cas, si nous avons un taux d'intérêt constant, l'expression de l'obligation à coupon zéro serait simplement 1 / M(T), où M(T) représente la valeur du compte d'épargne monétaire au temps T.

Cependant, lorsque des taux d'intérêt stochastiques sont introduits, le terme d'anticipation devient crucial. L'intégration des taux d'intérêt stochastiques dans le calcul des obligations à coupon zéro tient compte de l'incertitude et de la variabilité des taux d'intérêt dans le temps. Cela ajoute de la complexité à la relation entre les deux instruments financiers.

Comprendre la dynamique et la relation entre le compte d'épargne et l'obligation à coupon zéro est essentiel dans le domaine de la finance computationnelle. Il nous permet d'analyser et d'évaluer les valeurs de divers contrats financiers et de déterminer leurs justes prix. Le concept de changement de mesure, abordé dans ce cours, fournit un cadre puissant pour simplifier les gains complexes et dériver des équations de tarification.

En conclusion, le compte d'épargne monétaire et l'obligation à coupon zéro sont étroitement liés, mais ils diffèrent par leur formulation mathématique. Le compte d'épargne monétaire représente une valeur composée d'un montant principal au fil du temps, tandis que l'obligation à coupon zéro calcule la valeur actuelle d'un paiement futur par le biais d'une anticipation de taux d'intérêt intégrés. Cette distinction devient plus significative et intrigante lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt stochastiques. En comprenant cette relation, les professionnels de la finance peuvent prendre des décisions éclairées et naviguer efficacement dans le monde de la finance informatique.

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Quels sont les enjeux du calcul des volatilités implicites ?

Quels sont les enjeux du calcul des volatilités implicites ?

Bienvenue aux questions et réponses basées sur le cours de finance computationnelle. Aujourd'hui, nous allons approfondir la question numéro trois, qui concerne les défis du calcul des volatilités implicites, plus précisément dans le contexte du modèle Heston.

Lorsque nous discutons des volatilités implicites, nous nous référons généralement aux volatilités implicites Black-Scholes, sauf indication contraire. Par conséquent, pour le modèle de Heston, si on nous demande comment dériver la volatilité implicite, nous ne pouvons pas simplement inverser la formule de Heston uniquement pour la moyenne à long terme ou la variance initiale. La volatilité implicite dans le modèle Heston nécessite un processus en deux étapes : calculer les prix sur la base du modèle Heston, puis utiliser ces prix dans la formule de Black-Scholes pour l'inversion afin de trouver le sigma correspondant.

Le modèle Heston introduit plusieurs paramètres pour la variance, ce qui ajoute de la complexité au calcul. Contrairement au modèle Black-Scholes, où nous avons un seul paramètre, les multiples paramètres du modèle Heston nous empêchent de ré-inverser pour obtenir un ensemble unique de paramètres.

Les volatilités implicites sont des outils précieux pour comparer le comportement et la performance de différentes actions, car elles permettent des comparaisons relatives qui tiennent compte de la valeur actuelle de l'action. La volatilité implicite intègre l'incertitude, ce qui aide à évaluer le risque et l'incertitude associés aux valorisations d'options.

Le concept de volatilité implicite existe depuis de nombreuses années et il est devenu évident que le modèle Black-Scholes n'était pas adapté à la tarification des options en raison de son paramètre unique. En pratique, différentes options avec des prix d'exercice et des expirations variables présentent souvent des volatilités implicites différentes. Cet écart suggère qu'une hypothèse de volatilité constante n'est pas appropriée pour évaluer toutes les options simultanément. Ainsi, le défi consiste à trouver les volatilités implicites qui alignent les prix du modèle avec les prix observés sur le marché.

Le calcul des volatilités implicites consiste à inverser la formule de Black-Scholes, ce qui est une tâche non triviale. Plusieurs routines numériques, telles que la méthode de Newton ou la méthode de Brent, sont couramment utilisées à cette fin. Ces méthodes visent à trouver la volatilité implicite inconnue en résolvant une équation qui assimile le prix Black-Scholes du modèle au prix de marché de l'option.

Un calcul efficace des volatilités implicites est crucial, en particulier dans le trading à haute fréquence ou lors de l'étalonnage des modèles aux données du marché. La vitesse de calcul peut avoir un impact significatif sur les stratégies de trading ou sur l'efficacité de l'étalonnage du modèle. Par conséquent, le développement de routines numériques rapides et précises pour les calculs de volatilité implicite est d'une grande importance.

Le défi s'intensifie lorsqu'il s'agit d'options hors du cours, où la surface de l'option d'achat devient extrêmement plate. Dans de tels cas, les algorithmes de recherche itératifs peuvent avoir du mal à converger ou peuvent nécessiter un grand nombre d'itérations pour trouver le point optimal en raison du manque de gradients précis. Ainsi, la détermination d'une estimation initiale appropriée devient cruciale pour assurer l'efficience et l'efficacité du calcul.

Il convient de noter que les volatilités implicites sont principalement associées à la volatilité implicite Black-Scholes. Cependant, il est possible d'avoir des volatilités implicites basées sur d'autres modèles, tels que le mouvement brownien arithmétique ou des distributions log-normales décalées. Dans de tels cas, il est essentiel d'indiquer explicitement le modèle utilisé pour les calculs.

En conclusion, le calcul des volatilités implicites pose des défis liés à la rapidité, en particulier lorsqu'il s'agit d'options hors du cours. Des routines numériques efficaces et un examen attentif des suppositions initiales sont nécessaires pour des calculs précis et rapides. Les volatilités implicites jouent un rôle essentiel dans la tarification des options, l'évaluation des risques et l'étalonnage des modèles, ce qui rend leur calcul et leur compréhension cruciaux dans la finance computationnelle.

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Pouvez-vous tarifer des options en utilisant le mouvement arithmétique brownien ?

Pouvez-vous tarifer des options en utilisant le mouvement arithmétique brownien ?

Bienvenue à la session de questions-réponses du cours Computational Finance !

La question d'aujourd'hui est la quatrième, qui se concentre sur les options de tarification utilisant le mouvement arithmétique brownien. Cette question est basée sur les matériaux discutés dans la leçon numéro deux.

Le mouvement brownien arithmétique est un processus légèrement différent du mouvement brownien géométrique, que nous avons déjà vu. En ce qui concerne les options de tarification, telles que l'utilisation du modèle Black-Scholes, la principale différence réside dans la volatilité et la dérive. Dans cette version simplifiée du modèle, le terme de volatilité et le dérivé sont ajustés.

Dans un scénario de marché, considérons un prix d'exercice spécifique (K) et une expiration (T). On observe un prix d'option (C1). Sur la base de nos connaissances, nous pouvons facilement trouver la volatilité implicite du mouvement brownien géométrique. De même, dans ce cas, nous pouvons trouver une volatilité implicite (tilde Sigma) qui correspond parfaitement au prix de l'option observé sur le marché. Cependant, il est important de noter que les deux modèles ne sont pas équivalents. La différence entre eux devient évidente lorsque nous examinons les sensibilités, également connues sous le nom de Grecs.

Le mouvement brownien arithmétique suppose que les réalisations de stock peuvent devenir négatives, ce qui est irréaliste. En revanche, le mouvement brownien géométrique ne suppose que des trajectoires de stock positives. Cette différence nécessite d'ajuster notre stratégie de couverture pour tenir compte des réalisations de stock négatives, ce qui rend l'hypothèse de mouvement brownien arithmétique moins réaliste.

Bien que la comparaison des prix des options puisse fournir des informations, ce n'est pas toujours le meilleur critère pour déterminer si un modèle est suffisamment bon. De plus, les modèles de mouvement brownien géométriques et arithmétiques sont incapables de se calibrer sur le sourire ou l'inclinaison de la volatilité implicite. Cependant, dans ce cas précis, où l'on considère un marché avec une seule option particulière, on peut facilement comparer les deux modèles et déterminer lequel est le plus adapté.

Des considérations similaires peuvent être faites pour le processus OU, où le paramètre de volatilité (Sigma) est fixe. Cependant, le processus OU est confronté à des problèmes supplémentaires, tels que la dérive, qui n'est pas bien définie dans le cadre de la mesure neutre au risque en termes de stock divisé par les comptes d'épargne. Par conséquent, ce n'est pas un processus viable pour les options de tarification.

Pour fournir des exemples visuels, j'ai préparé quelques chemins de réalisation pour les trois équations différentielles stochastiques : le mouvement brownien géométrique, le mouvement brownien arithmétique et le processus OU. Dans les simulations, le même mouvement brownien est utilisé, ce qui donne des formes et des motifs similaires parmi les trajectoires.

En résumé, bien qu'il soit possible d'évaluer les options en utilisant le mouvement brownien arithmétique, ce n'est pas toujours l'approche la plus sensée. L'adéquation d'un modèle dépend de la question de savoir si les hypothèses sous-jacentes et la dynamique de l'actif reflètent les propriétés physiques du marché. C'est l'élément clé à considérer.

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Quelle est la différence entre un processus stochastique et une variable aléatoire ?

Quelle est la différence entre un processus stochastique et une variable aléatoire ?

Bienvenue à la session de questions-réponses du cours Computational Finance !

La question d'aujourd'hui est la cinquième, qui se concentre sur la différence entre un processus stochastique et une variable aléatoire. Cette question est basée sur les matériaux discutés dans la leçon numéro deux.

Un processus stochastique est essentiellement un ensemble de variables aléatoires paramétrées par rapport au temps. Formellement, nous pouvons représenter un processus stochastique comme X(t), où nous avons deux arguments : le temps (t) et Omega (Ω), qui correspond à l'espace de probabilité. En revanche, une variable aléatoire est un concept plus simple qui n'a pas cette dépendance temporelle. Par exemple, si nous lançons une pièce de monnaie et considérons les résultats de "pile" ou "face", il s'agit d'une variable aléatoire. Cependant, si nous introduisons le temps dans l'équation et considérons les occurrences de "queues" ou de "faces" au fil du temps, cela devient un processus stochastique.

Dans l'industrie comme dans le milieu universitaire, nous négligeons souvent le deuxième argument (Omega) lors de l'examen des processus stochastiques. Au lieu de cela, nous nous référons au processus en tant que X(t) plutôt que dX(t, Ω), ce qui fournirait une définition complète d'un processus stochastique.

Il est également important de comprendre comment interpréter les trajectoires simulées de Monte Carlo et leur lien avec le temps et Omega. Si nous traçons les valeurs du processus X(t) dans le temps, nous pouvons observer plusieurs chemins de Monte Carlo. Chaque chemin représente une réalisation possible du processus. Si nous fixons un temps spécifique, disons t*, et regardons la distribution de toutes les réalisations à ce point, nous considérons différents résultats (Omegas) à un moment donné. D'autre part, nous pouvons fixer une réalisation spécifique (Omega) et observer comment le processus évolue dans le temps, aboutissant à un chemin unique. Par conséquent, nous avons deux dimensions à considérer : fixer le temps pour analyser les distributions des résultats ou fixer une réalisation pour observer le comportement du processus dans le temps.

En résumé, un processus stochastique est un ensemble de variables aléatoires paramétrées par rapport au temps. Il représente l'évolution d'un système dans le temps et peut être observé à travers les chemins de Monte Carlo. Une variable aléatoire, en revanche, est un concept plus simple qui ne dépend pas du temps. Comprendre cette distinction est crucial lorsqu'on étudie la finance computationnelle.

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Quels sont les avantages et les inconvénients d'utiliser ABM/GBM pour modéliser un processus de stock ?

Quels sont les avantages et les inconvénients d'utiliser ABM/GBM pour modéliser un processus de stock ?

Bienvenue à la session de questions et réponses sur la finance computationnelle !

La question d'aujourd'hui est la sixième, qui explore les avantages et les inconvénients de l'utilisation du mouvement brownien arithmétique ou du mouvement brownien géométrique pour modéliser un processus de stock. Cette question est basée sur la question numéro deux et est similaire à celle discutée dans une session précédente où le mouvement brownien arithmétique a été utilisé pour évaluer les options.

La différence entre ces deux processus est relativement faible, principalement en ce qui concerne la question de savoir si nous considérons un actif qui permet à la fois des valeurs positives et négatives ou si nous nous concentrons uniquement sur des actifs positifs comme les actions. Aujourd'hui, nous allons approfondir les aspects qui nous aident à déterminer si le mouvement brownien arithmétique ou le mouvement brownien géométrique convient à la tarification d'un dérivé particulier dans divers scénarios.

Considérons un cas où nous avons un dérivé exotique dont nous devons évaluer le prix. Ce dérivé est complexe, impliquant éventuellement des caractéristiques d'appelabilité. Pour évaluer si le mouvement brownien arithmétique ou géométrique est adéquat pour la tarification, nous devons examiner certains facteurs.

La première question à se poser est de savoir si le marché des dérivés exotiques sur cette classe d'actifs est riche. S'il existe d'autres dérivés exotiques disponibles, cela suggère que nous devrions envisager un modèle qui permette un calibrage à ces prix de marché. Nous pouvons ensuite extrapoler la tarification à la dérivée d'intérêt. Cependant, si le marché n'est pas riche, cela signifie que nous pouvons évaluer le dérivé exotique, mais il n'y a pas de dérivés exotiques supplémentaires disponibles pour l'étalonnage.

Dans ce dernier cas, nous passons à l'étape suivante et vérifions s'il existe des options disponibles pour ce marché. S'il existe un marché d'options, nous devons d'abord calibrer notre modèle sur ces options, généralement des instruments liquides. Cet étalonnage permet de déterminer les paramètres du modèle. Une fois que nous avons les paramètres du modèle calibré, nous pouvons les utiliser pour fixer le prix du dérivé exotique.

S'il n'y a pas d'options d'achat et de vente disponibles sur le marché, nous rencontrons un scénario où il n'y a pas d'instruments de marché à utiliser. Dans de tels cas, par exemple, un marché sans volatilités implicites pour les appels et les options de vente, nous pouvons considérer que le modèle Black-Scholes ou le mouvement brownien géométrique convient pour évaluer le dérivé exotique. Cependant, dans cette situation, il est essentiel de noter que l'étalonnage du paramètre Sigma devrait être suffisant. On pourrait dire que si nous manquons d'instruments de couverture, tels que des options d'achat et de vente sous-jacentes, pour un dérivé doté de fonctionnalités avancées telles que la possibilité de remboursement, il n'est peut-être pas conseillé de négocier ce dérivé. Néanmoins, d'un point de vue purement théorique, le mouvement brownien géométrique peut être utilisé dans de tels scénarios avec des informations de marché limitées.

Il est crucial de comprendre que s'il y a plus d'instruments disponibles sur le marché, comme d'autres dérivés exotiques ou des options d'achat et de vente, la tarification du dérivé exotique à l'aide du mouvement brownien géométrique n'est pas appropriée. Le modèle ne peut pas se calibrer suffisamment bien sur le smile and skew de volatilité implicite avec un seul paramètre libre.

En résumé, le choix d'un modèle de tarification est toujours basé sur le type de dérivé que nous visons à tarifer. Nous devons tenir compte de la disponibilité des instruments de marché pour juger de l'adéquation d'un modèle. S'il existe des instruments de marché disponibles, des modèles tels que le mouvement brownien géométrique ou de simples modèles de Black-Scholes ne conviennent pas. Cependant, pour évaluer les volatilités implicites, le mouvement brownien géométrique est toujours applicable. Mais pour évaluer les dérivés exotiques et les actifs plus complexes, ce n'est pas le choix préféré.

En termes d'avantages et d'inconvénients, les avantages de ces modèles sont minimes. Ils permettent une représentation physique qui considère si le marché permet des actifs positifs ou négatifs. Cependant, ils ont des degrés de liberté limités pour le calibrage du modèle, ce qui les rend inadaptés à la tarification de dérivés exotiques.

J'espère que cette explication clarifie les avantages et les inconvénients de l'utilisation du mouvement brownien arithmétique ou du mouvement brownien géométrique pour modéliser les processus de stock et évaluer les dérivés. À la prochaine! Au revoir.

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Quelles vérifications d'intégrité pouvez-vous effectuer pour un processus de stock simulé ?

Quelles vérifications d'intégrité pouvez-vous effectuer pour un processus de stock simulé ?

Bienvenue à la session de questions et réponses basée sur le cours Computational Finance.

La question d'aujourd'hui est la septième, qui se concentre sur les vérifications d'intégrité qui peuvent être effectuées pour un processus stochastique simulé. Cette question porte sur des exercices pratiques impliquant la simulation d'une équation différentielle stochastique discrétisée à des fins de tarification. Il est essentiel d'effectuer certaines vérifications pour s'assurer que la mise en œuvre est correcte et pour avoir confiance dans la validité des résultats.

Pour répondre à cette question, examinons plusieurs étapes et vérifications qui peuvent être effectuées. Tout d'abord, il est important de considérer la classe d'actifs particulière simulée. Par exemple, si nous simulons un processus de stock, une vérification simple consiste à évaluer si le stock actualisé suit la propriété Martingale. L'espérance du stock à l'échéance, actualisée à aujourd'hui, devrait être égale à la valeur initiale du stock. En réalité, il peut y avoir une légère différence, qui devrait diminuer à mesure que le nombre de chemins de simulation augmente ou que la taille de la grille diminue. La surveillance et la minimisation de cette différence peuvent aider à améliorer la précision de la simulation.

Un autre aspect à vérifier est de savoir si le dérivé dont le prix est évalué peut être simplifié. Par exemple, si une option d'achat avec un prix d'exercice de zéro est choisie, elle se réduit essentiellement au premier contrôle mentionné ci-dessus. La vérification de la bonne mise en œuvre du gain du dérivé est cruciale.

La stabilité est une autre considération importante. Il s'agit d'évaluer l'impact de l'augmentation du nombre de chemins de Monte Carlo et la stabilité des résultats lors du changement des graines aléatoires. Si des simulations avec des graines différentes donnent des prix significativement différents, cela indique une instabilité potentielle du modèle. Des ajustements tels que la correction de dérive ou les termes de correction de martingale peuvent être nécessaires pour assurer la stabilité.

De plus, il est utile d'observer comment les résultats varient lors de la modification de la taille du pas de discrétisation des intervalles de temps. Cela permet d'évaluer la sensibilité de la simulation à différentes résolutions temporelles.

Une vérification critique est de savoir si le processus simulé peut réévaluer les instruments du marché. Si les paramètres du modèle sont calibrés sur des instruments de marché tels que des options, il est essentiel de comparer les prix du modèle aux prix du marché. Si les prix diffèrent de manière significative, cela suggère que le modèle ne fonctionne pas bien et peut nécessiter des ajustements ou un étalonnage supplémentaire.

Voici quelques-unes des vérifications de cohérence de base qui peuvent être effectuées pour les processus stochastiques simulés. Il est à noter que les contrôles spécifiques peuvent varier selon le type de contrat de tarification envisagé. Par exemple, pour les options avec des dates d'exercice, il est important de s'assurer qu'elles s'effondrent sur des gains de type européen comme scénario de base.

L'exécution de ces vérifications permet de valider la simulation et d'identifier tout problème ou bogue potentiel dans la mise en œuvre.

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Qu'est-ce que la formule de Feynman-Kac ?

Qu'est-ce que la formule de Feynman-Kac ?

Bienvenue à la session Questions et réponses sérieuses sur la finance computationnelle.

La question d'aujourd'hui est le numéro huit de la troisième conférence, qui se concentre sur la formule de Feynman-Katz et son application. La formule de Feynman-Katz établit un lien crucial entre les équations aux dérivées partielles (PDE) et les processus stochastiques, fournissant une méthode pour résoudre des PDE spécifiques par la simulation de chemins aléatoires. Cette machinerie puissante nous permet de résoudre des problèmes complexes en combinant des EDP avec des processus stochastiques.

La formule elle-même se rapporte à une forme particulière d'une équation aux dérivées partielles. Considérons une PDE avec un terme dérivé du temps (dt), un terme de dérive (μ), un terme dérivé du premier ordre (dX), un terme de volatilité (σ²/2) et un terme dérivé du second ordre (d²X). L'EDP comporte également une condition terminale, où la valeur V prend une fonction déterministe ETA(X) à l'instant T. Ici, X représente une variable d'état.

Le théorème de Feynman-Katz énonce que la solution de cette EDP peut être exprimée comme l'espérance de la fonction déterministe ETA évaluée à l'instant T, en la considérant comme une fonction d'un processus stochastique. Le processus stochastique, noté X(t), peut être défini comme suit : dX(t) = μ dt + σ dW(t), où dW(t) représente un processus de Wiener (mouvement brownien). Le terme de dérive μ et le terme de volatilité σ² sont déterminés par les coefficients de la PDE.

Si nous avons une EDP sous la forme dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0, avec une condition terminale, nous pouvons exprimer la solution comme l'espérance de la condition terminale évaluée en X(t), la stochastique processus à l'instant T.

Considérons un exemple simple où la PDE ne comprend que le terme dérivé de second ordre et une condition terminale. En appliquant le théorème de Feynman-Katz, nous savons que la solution sera l'espérance de la fonction ETA, qui dans ce cas est x². Ainsi, la solution peut être écrite comme l'espérance de X(t)², où X(t) est un mouvement brownien mis à l'échelle avec un état initial. Le calcul de l'espérance donne Sigma²(Tt) + X².

La formule Feynman-Katz est un outil puissant en finance, en particulier dans la tarification des options. Par exemple, dans l'équation de Black-Scholes, nous commençons avec un portefeuille de réplication, ce qui conduit à une EDP de tarification. En suivant la même stratégie, la PDE de tarification peut être élégamment liée à la simulation de l'espérance du gain terminal basée sur le processus stochastique. Cette connexion entre l'attente et la PDE fournit un cadre complet pour la tarification des options, dans lequel nous pouvons répliquer le portefeuille, dériver la PDE de tarification, puis simuler l'attente via des chemins de Monte Carlo ou des processus stochastiques simulés.

Comprendre et utiliser la formule de Feynman-Katz est essentiel dans diverses applications financières. Il offre une méthode puissante pour résoudre les EDP et fournit un lien clair entre les processus stochastiques et les équations aux dérivées partielles.

Merci, et à la prochaine !

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Quelle est la structure par terme de la volatilité implicite ?

Quelle est la structure par terme de la volatilité implicite ?

Bienvenue à la session de questions et réponses basée sur des conférences en finance computationnelle.

La question d'aujourd'hui est la neuvième, qui est liée à la matière couverte dans la leçon numéro quatre. La question est, "Quelle est la structure des termes de volatilité implicite?" Cette question se pose souvent lorsque l'on discute de l'impact de la volatilité dépendante du temps sur le modèle Black-Scholes et de savoir si elle peut générer un sourire ou un biais de volatilité implicite. Malheureusement, la réponse commune indiquant qu'une volatilité dépendante du temps peut produire un sourire ou un biais est incorrecte. Explorons la structure des termes de volatilité implicite et son lien avec le modèle Black-Scholes.

Pour comprendre la volatilité implicite, nous devons savoir comment elle est calculée et sa signification dans le contexte du modèle Black-Scholes. Dans le cadre standard de Black-Scholes, étant donné le prix de marché d'une option d'achat, nous cherchons à trouver la volatilité implicite (Sigma_imp) qui fait la différence entre le prix de marché et le prix Black-Scholes nul. Cette volatilité implicite est obtenue en inversant l'équation de prix Black-Scholes.

Lorsque l'on compare les prix des options obtenus à partir du modèle avec ceux observés sur le marché, il est difficile de déterminer la présence d'un sourire ou d'un biais de volatilité implicite uniquement basé sur les prix. Au lieu de cela, nous devrions nous concentrer sur les volatilités implicites. En regardant les volatilités implicites, nous observons que les prix des options de marché diminuent pour des prix d'exercice croissants (k), ce qui est attendu. Cependant, le comportement des volatilités implicites peut varier considérablement. Dans certains cas, ils peuvent être plats, tandis que dans d'autres, ils peuvent présenter une inclinaison. Il est crucial d'examiner les volatilités implicites plutôt que les prix pour évaluer avec précision la présence d'un sourire ou d'un biais de volatilité.

Les volatilités implicites peuvent prendre diverses formes, y compris sourire, biais ou même une forme de bâton de hockey, selon les conditions du marché. Différents types de marchés présentent différents schémas de volatilité implicite et, par conséquent, différents modèles et procédures d'étalonnage sont nécessaires pour faire correspondre ces schémas.

Parlons maintenant de la structure par terme de la volatilité implicite. Dans la structure à terme, nous nous concentrons sur la variation de l'expiration de l'option tout en maintenant le prix d'exercice fixe. Si nous introduisons une volatilité dépendante du temps dans le modèle Black-Scholes (en remplaçant un Sigma constant par sigma(T)), nous constatons que la structure des termes de volatilité implicite ne génère pas de sourire ou de biais. Au lieu de cela, il montre comment les volatilités implicites changent pour les options à parité au fil du temps. La structure à terme décrit l'évolution des volatilités implicites à mesure que les expirations des options changent. Dans un graphique 3D, nous observons que pour les options à parité, la volatilité implicite reste constante tant que l'expiration est la même (surface plane). Cependant, à mesure que nous modifions l'expiration de l'option, les volatilités implicites changent, illustrant la structure par terme de la volatilité implicite.

Il est essentiel de noter que l'introduction de la volatilité dépendante du temps dans le modèle Black-Scholes ne génère pas de sourire ou de biais de volatilité implicite. Le modèle manque toujours de sourire ou de biais, mais il permet de calibrer les options à parité en termes de volatilités implicites dans le temps. Dans mon livre et la conférence numéro quatre, vous trouverez des informations sur la manière de représenter les prix des options (achats et ventes) à l'aide de volatilités dépendant du temps en comprimant la dépendance temporelle en un Sigma constant, connu sous le nom d'étoile Sigma. Cela vous permet de réutiliser le cadre de tarification Black-Scholes tout en tenant compte de la structure des termes associée aux options à parité.

En conclusion, la volatilité dépendante du temps dans le modèle Black-Scholes ne génère pas de sourire ou de biais de volatilité implicite. Il affecte uniquement les volatilités implicites associées à la structure par terme des options à parité. Pour évaluer la présence de smile ou de skew, examinez toujours les volatilités implicites plutôt que les prix des options.

J'espère que cette explication clarifie le concept. À la prochaine. Au revoir et merci !

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Quelles sont les lacunes du modèle Black-Scholes ? Pourquoi le modèle Black-Scholes est-il encore utilisé ?

Quelles sont les lacunes du modèle Black-Scholes ? Pourquoi le modèle BS est-il toujours utilisé ?

Bienvenue à la session de questions et réponses basée sur le cours Computational Finance.

La question d'aujourd'hui est le numéro 10, qui est liée à la leçon numéro quatre. La question est : "Quelles sont les lacunes du modèle Black-Scholes, et pourquoi est-il encore utilisé ?"

Le modèle Black-Scholes, tel que discuté dans ce cours, est un modèle fondamental pour la tarification des produits dérivés. Il suppose une seule équation différentielle stochastique (SDE) avec un mouvement brownien géométrique pour représenter le cours de l'action. Ce processus simple est ensuite utilisé pour évaluer les options. Cependant, nous avons appris que les hypothèses du modèle ne sont pas adéquates pour les conditions actuelles du marché.

Un inconvénient majeur du modèle Black-Scholes est sa dépendance à un seul paramètre, Sigma, qui représente la volatilité. Ce paramètre unique est insuffisant pour saisir la complexité des sourires et des biais de volatilité implicite observés sur le marché. L'hypothèse du modèle de taux d'intérêt constants est également irréaliste, bien que les taux d'intérêt aient un impact minime sur le prix des options par rapport à la volatilité.

Un autre inconvénient du modèle de Black-Scholes est que les rendements générés par le mouvement brownien géométrique ne sont pas suffisamment suivis. Cela signifie que les événements extrêmes avec de très faibles probabilités ne sont pas correctement pris en compte, ce qui rend le modèle irréaliste.

Maintenant, pourquoi le modèle Black-Scholes est-il toujours utilisé malgré ces lacunes ? La réponse est multiple. Bien que le modèle Black-Scholes ne soit pas adapté à la tarification des produits dérivés exotiques, il peut toujours être utilisé pour la tarification des options européennes. Les options européennes sont plus simples et ont des marchés plus liquides, ce qui permet une couverture plus facile à l'aide d'options européennes vanille. Par conséquent, s'il n'y a pas d'autres instruments de marché disponibles, le modèle Black-Scholes peut être utilisé pour évaluer les dérivés exotiques. Cependant, il est important de noter que cette approche est risquée car elle n'a pas la capacité de couvrir efficacement les dérivés exotiques.

De plus, le modèle Black-Scholes est largement utilisé dans le calcul des volatilités implicites. Les volatilités implicites sont un outil essentiel pour les traders d'options et sont dérivées à l'aide de la formule Black-Scholes. Même en utilisant des modèles plus complexes comme le modèle Heston ou des modèles avec sauts, les volatilités implicites associées à ces modèles sont toujours calculées à l'aide de la formule Black-Scholes. Les volatilités implicites sont préférées car elles fournissent une mesure de la volatilité indépendante du niveau de l'actif, permettant une comparaison significative des risques entre différents actifs.

Dans ce cours, nous avons exploré diverses alternatives au modèle Black-Scholes, telles que les modèles de volatilité stochastique et les modèles de volatilité locale, qui offrent des améliorations par rapport au cadre Black-Scholes. Je vous encourage à revoir les conférences si vous avez besoin d'une compréhension plus approfondie de ces alternatives.

Merci beaucoup et j'attends avec impatience notre prochaine session.

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À quoi ressemble la table d'Ito si nous incluons le processus de saut de Poisson ?

À quoi ressemble la table d'Ito si nous incluons le processus de saut de Poisson ?

Bienvenue à la session de questions et réponses sur la finance computationnelle. Aujourd'hui, nous allons discuter de la question numéro 11, qui est basée sur les matières couvertes dans la cinquième conférence. La question est : à quoi ressemble la table Ethos lorsque nous incluons le processus de saut de Poisson ?

Pour commencer, rappelons l'application du lemme d'Ethos aux processus impliquant le mouvement brownien. Nous savons que pour trouver la dynamique d'une fonction d'un processus, nous devons appliquer le lemme d'Ethos, qui implique une expansion de Taylor. La table Ethos pour le mouvement brownien comprend des termes avec dt, dw, dtdw et dwdw. Si nous avons des termes croisés avec dt multiplié par dw ou dtdw, ils sont considérés comme nuls en raison de la symétrie. Et dwdw est simplement dt.

Considérons maintenant le cas où nous avons non seulement un mouvement brownien mais aussi un processus de Poisson inclus dans la dynamique du processus. Le processus de saut de Poisson peut être représenté comme une série de sauts qui se produisent à chaque instant. Si nous discrétisons le processus, nous pouvons avoir plusieurs sauts dans un intervalle fini. Cependant, lorsque l'on considère des intervalles infiniment petits, un seul saut se produit. Nous introduisons les notations xt- et xt pour représenter respectivement la limite gauche et la valeur du processus juste avant le saut.

Intéressons-nous maintenant à la fonction G(xt). Si nous appliquons le lemme d'Ethos à une fonction d'un processus avec un saut de Poisson, nous obtenons une expression qui inclut un terme de dérive, un terme de saut et l'incrément de G dû au saut. Le terme de dérive est similaire à celui du lemme d'Ethos pour le mouvement brownien, mais sans la partie diffusive. Le terme de saut dépend du processus de Poisson et consiste en le produit de la taille du saut et de la fonction indicatrice de l'occurrence d'un saut.

Pour résumer, la table Ethos pour un processus de saut de Poisson comprend les termes de la table Ethos pour le mouvement brownien, ainsi qu'un terme supplémentaire qui découle du produit de deux incréments du processus de Poisson. Ce terme supplémentaire est crucial dans l'application du lemme d'Ethos aux processus de saut.

Il est important de comprendre le lemme Ethos et son application aux processus de saut, car il s'agit d'un outil puissant en finance pour analyser la dynamique des fonctions des processus stochastiques. De plus amples détails sur ce sujet peuvent être trouvés dans la cinquième conférence et dans la littérature pertinente. N'hésitez pas à poser d'autres questions. Au revoir!