Trading Quantitatif - page 12

 

16. Gestion de portefeuille



16. Gestion de portefeuille

La vidéo "Gestion de portefeuille" aborde un large éventail de sujets liés à la gestion de portefeuille, offrant une compréhension complète du sujet. L'instructeur adopte une approche pratique, reliant la théorie aux applications réelles et aux expériences personnelles dans l'industrie du côté achat. Plongeons-nous dans les différentes sections couvertes dans la vidéo :

  • Construction intuitive de portfolios : L'instructeur initie le cours en encourageant les étudiants à construire intuitivement des portfolios sur une page vierge. En décomposant les investissements en pourcentages, ils démontrent à quel point l'allocation d'actifs joue un rôle crucial dans la gestion de portefeuille. Les étudiants sont invités à réfléchir à la répartition de leurs investissements et à la manière d'utiliser leurs fonds dès le premier jour. Cet exercice aide les étudiants à saisir les principes fondamentaux de la construction d'un portefeuille et donne un aperçu des processus de prise de décision.

  • Théorie en lien avec la pratique : cette section met en évidence l'importance de l'observation en tant que première étape vers l'apprentissage de quelque chose d'utile. L'instructeur explique que les théories et les modèles sont construits sur la base de la collecte de données et de la reconnaissance de formes. Cependant, dans le domaine de l'économie, les schémas reproductibles ne sont pas toujours évidents. Pour valider les théories, les observations doivent être confirmées ou testées dans divers scénarios. Les étudiants sont encouragés à partager leurs constructions de portefeuille, favorisant la participation active et l'engagement.

  • Comprendre les objectifs de la gestion de portefeuille : l'instructeur insiste sur l'importance de comprendre les objectifs de la gestion de portefeuille avant d'aborder la manière de regrouper différents actifs ou expositions. Ils présentent un graphique illustrant les dépenses en fonction de l'âge, soulignant que les habitudes de dépenses de chacun sont uniques. Reconnaître sa situation est crucial pour établir efficacement des objectifs de gestion de portefeuille.

  • Équilibrer les dépenses et les gains : l'orateur introduit le concept de la courbe des dépenses et des gains, en soulignant l'inadéquation entre les deux. Pour combler l'écart, des investissements générant des flux de trésorerie sont nécessaires pour équilibrer les revenus et les dépenses. La section couvre également divers scénarios de planification financière, tels que la planification de la retraite, le remboursement des prêts étudiants, la gestion des fonds de pension et la gestion des dotations universitaires. Les défis de l'allocation de capital aux commerçants avec des stratégies et des paramètres différents sont discutés, le risque étant généralement mesuré par la variance ou l'écart type.

  • Rendement et écart type : Cette section se penche sur la relation entre le rendement et l'écart type. L'orateur explore les principes de la théorie moderne du portefeuille, en les illustrant à travers des cas particuliers. Les investissements tels que les espèces, les loteries, les tirages au sort, les obligations d'État, le financement par capital-risque et les actions sont positionnés sur un graphique de rendement par rapport à l'écart type, ce qui permet de mieux comprendre les concepts.

  • Choix d'investissement et frontière efficace : le conférencier se penche sur différents choix d'investissement et leur placement sur une carte illustrant les rendements et la volatilité. Ils introduisent le concept de frontière efficiente, qui maximise les rendements tout en minimisant l'écart-type. La section se concentre sur un cas particulier d'un portefeuille à deux actifs, expliquant comment calculer l'écart type et la variance. Cet aperçu permet aux téléspectateurs de comprendre comment la théorie du portefeuille peut éclairer les décisions d'investissement.

  • Avantages de la diversification et parité des risques : le conférencier étudie des scénarios de gestion de portefeuille, soulignant les avantages de la diversification. Ils discutent de trois cas : volatilité nulle et absence de corrélation, volatilités inégales et corrélation nulle, et corrélation positive ou négative parfaite. La diversification est soulignée comme une stratégie pour réduire efficacement l'écart type dans un portefeuille.

  • Tirer parti de la répartition du portefeuille : Cette section présente le concept de levier comme moyen d'augmenter les rendements attendus au-delà de la répartition à pondération égale. En tirant parti de la répartition obligations-actions, les investisseurs peuvent potentiellement obtenir des rendements attendus plus élevés. Le conférencier souligne l'importance d'équilibrer l'effet de levier pour optimiser le risque et le rendement.

  • Ratio de Sharpe et formule de Kelly : la vidéo se penche sur le ratio de Sharpe, également connu sous le nom de rendement pondéré en fonction des risques ou ajusté en fonction des risques, et la formule de Kelly. Alors que l'allocation d'actifs joue un rôle essentiel dans la gestion de portefeuille, la vidéo souligne qu'il ne suffit pas de se fier uniquement à la frontière efficiente. La section fournit un exemple de portefeuille 60-40 pour démontrer l'efficacité de l'allocation d'actifs mais aussi sa volatilité potentielle.

  • Parité des risques et optimisation du portefeuille : Le concept de parité des risques est introduit comme une alternative à la répartition traditionnelle de l'actif 60-40 basée sur la valeur marchande. La parité des risques vise à obtenir une pondération égale du risque entre deux actifs plutôt qu'une exposition au marché, ce qui se traduit par un écart type inférieur et un risque réduit. La vidéo met l'accent sur l'idée de la diversification en tant que source de "repas gratuit", et un exemple simple est présenté pour illustrer comment la pondération égale de deux actifs peut conduire à un meilleur résultat. Le rééquilibrage est également discuté comme une méthode pour maintenir la pondération des actifs 50-50 souhaitée dans une approche de parité des risques.

  • Avantages de la diversification et combinaisons d'actifs : l'instructeur discute du concept des avantages de la diversification et de la façon dont la combinaison d'actifs dans un portefeuille peut réduire la volatilité. Ils mentionnent spécifiquement le marché obligataire 60/40 et la parité des risques comme des stratégies visant à atteindre une pondération de risque égale dans un portefeuille. En diversifiant à travers différentes classes d'actifs, les investisseurs peuvent potentiellement atténuer les risques et améliorer la performance du portefeuille.

  • Le rôle de l'effet de levier et de l'efficacité du portefeuille : Le conférencier souligne l'importance de l'effet de levier dans l'allocation de portefeuille. Ils expliquent que l'ajout d'un effet de levier à un portefeuille peut améliorer la frontière efficiente, permettant des rendements plus élevés. Cependant, il est crucial de gérer soigneusement l'effet de levier pour éviter un risque excessif et des pertes potentielles. La section met l'accent sur le compromis entre le risque et le rendement lors de l'utilisation de l'effet de levier dans la gestion de portefeuille.

  • Optimisation des rendements ajustés au risque : Le concept du ratio de Sharpe, une mesure du rendement ajusté au risque, est discuté en relation avec la gestion de portefeuille. La vidéo explique comment la maximisation du ratio de Sharpe peut conduire à un portefeuille à parité des risques et souligne que la modification de l'effet de levier n'affecte pas la pente de la ligne sur la courbe. Le conférencier aborde également la relation entre le bêta et l'écart type du portefeuille, le bêta fluctuant en fonction de la volatilité du marché.

  • Gestion de portefeuille humaine ou robotique : l'orateur soulève la question de savoir si un gestionnaire de fonds spéculatifs humain est nécessaire à l'ère actuelle, compte tenu des progrès de la technologie et des algorithmes. Ils évoquent la possibilité de programmer un robot pour gérer efficacement un portefeuille. Cependant, la réponse à cette question est laissée pour une exploration et une discussion plus approfondies.

  • Conséquences imprévues et risques systémiques : la vidéo montre comment la synchronisation des événements peut entraîner des conséquences imprévues. À travers des exemples tels que des soldats marchant sur un pont ou des métronomes se synchronisant sans cerveaux, l'orateur met en évidence les risques que tout le monde mette en œuvre la même stratégie optimale, ce qui pourrait conduire à un effondrement à l'échelle du système. La section met l'accent sur la nécessité d'une observation, d'une collecte de données, d'une construction de modèles et d'une vérification continus pour résoudre les problèmes complexes de gestion de portefeuille.

  • Limitations et incertitude dans la gestion de portefeuille : la vidéo reconnaît les défis de la prévision des rendements, de la volatilité et de la corrélation dans la gestion de portefeuille. Les données historiques sont souvent utilisées pour faire des prédictions, mais l'avenir reste incertain. L'orateur discute des limites de l'estimation des rendements et des volatilités, soulignant le débat en cours dans le domaine. Ils suggèrent d'explorer le livre "Fortune's Formula" pour avoir un aperçu de l'histoire et des discussions en cours autour de l'optimisation de portefeuille.

Tout au long de la vidéo, l'instructeur met l'accent sur l'interdépendance des individus sur le marché et sur l'importance de tenir compte de cet aspect lors de l'optimisation des portefeuilles. L'orateur souligne également le rôle de la théorie des jeux et la complexité de la finance par rapport à des problèmes bien définis en physique. Ils soulignent l'importance de l'observation active, des modèles basés sur les données et de l'adaptation pour relever efficacement les défis de la gestion de portefeuille. Enfin, le conférencier reconnaît le rôle essentiel de la direction au-delà des décisions d'investissement, en particulier dans des domaines tels que les ressources humaines et la gestion des talents.

  • L'importance de la gestion des risques : La gestion des risques est un aspect crucial de la gestion de portefeuille qui ne peut être négligé. La vidéo souligne la nécessité d'une stratégie globale de gestion des risques pour protéger les investissements et atténuer les pertes potentielles. Le conférencier discute des différentes approches de la gestion des risques, y compris la diversification, la couverture et l'intégration d'outils de gestion des risques tels que les ordres stop-loss et les trailing stops. Ils soulignent l'importance de surveiller et de réévaluer en permanence l'exposition au risque pour s'assurer que le portefeuille reste aligné sur les objectifs et la tolérance au risque de l'investisseur.

  • Facteurs comportementaux dans la gestion de portefeuille : La vidéo se penche sur le rôle des facteurs comportementaux dans la gestion de portefeuille. Le conférencier souligne l'impact des émotions, des préjugés et de la mentalité de troupeau des investisseurs sur les décisions d'investissement. Ils discutent de la manière dont ces facteurs peuvent conduire à un comportement irrationnel, à des inefficacités du marché et à la formation de bulles. Comprendre et gérer ces biais comportementaux est essentiel pour une gestion de portefeuille réussie. Le conférencier suggère d'employer des stratégies telles que des processus d'investissement disciplinés, une réflexion à long terme et le maintien d'un portefeuille diversifié pour contrer les biais comportementaux.

  • Allocation d'actifs dynamique : Le concept d'allocation d'actifs dynamique est présenté comme une stratégie qui ajuste les allocations de portefeuille en fonction de l'évolution des conditions du marché et des perspectives économiques. Le conférencier explique que l'allocation d'actifs dynamique vise à tirer parti des opportunités de marché tout en atténuant les risques. Ils discutent de l'importance de surveiller les indicateurs de marché, les données économiques et les facteurs géopolitiques pour prendre des décisions éclairées concernant l'allocation d'actifs. La vidéo souligne la nécessité d'une approche flexible de la gestion de portefeuille qui s'adapte à l'évolution de la dynamique du marché.

  • Investissement à long terme et patience : La vidéo met l'accent sur les avantages de l'investissement à long terme et sur l'importance de la patience pour atteindre les objectifs d'investissement. Le conférencier discute du pouvoir des rendements composés au fil du temps et des avantages de rester investi malgré les fluctuations du marché. Ils soulignent les pièges potentiels de la réflexion à court terme et de la prise de décision réactive. La vidéo encourage les investisseurs à adopter une perspective à long terme, à maintenir un portefeuille bien diversifié et à résister à l'envie de prendre des décisions d'investissement impulsives basées sur la volatilité à court terme du marché.

  • Apprentissage continu et adaptation : Le domaine de la gestion de portefeuille est en constante évolution, et la vidéo souligne l'importance de l'apprentissage et de l'adaptation continus. Le conférencier encourage les téléspectateurs à se tenir au courant des dernières recherches, des tendances du marché et des avancées technologiques dans le secteur de l'investissement. Ils soulignent la valeur du perfectionnement professionnel, de la participation à des séminaires et du réseautage avec des pairs pour améliorer les connaissances et les compétences en gestion de portefeuille. La vidéo se termine en soulignant qu'une gestion de portefeuille réussie nécessite un engagement envers la formation continue et l'adaptation à l'évolution de la dynamique du marché.

En résumé, la vidéo offre une exploration complète des divers aspects de la gestion de portefeuille. Il couvre la construction intuitive de portefeuille, la relation entre risque et rendement, le concept de parité des risques, la frontière efficiente, le rôle de l'effet de levier et l'importance de la gestion des risques. Il se penche également sur les facteurs comportementaux, l'allocation d'actifs dynamique, l'investissement à long terme et le besoin d'apprentissage et d'adaptation continus. En comprenant ces principes et en mettant en œuvre de saines stratégies de gestion de portefeuille, les investisseurs peuvent s'efforcer d'atteindre leurs objectifs financiers tout en gérant efficacement le risque.

  • 00:00:00 Dans cette section, l'instructeur discute de l'application de la théorie moderne du portefeuille et partage des expériences personnelles de son utilisation dans différents domaines, en se concentrant sur la perspective du côté acheteur. L'instructeur commence le cours en demandant aux élèves de construire intuitivement un portfolio à l'aide d'une page vierge, en expliquant la signification d'un portfolio et en donnant des exemples sur la façon de l'aborder. Le but de l'exercice est de montrer aux élèves comment ils peuvent décomposer le pourcentage de leurs investissements, qu'il s'agisse d'un petit montant ou d'un gros portefeuille, et de réfléchir à la façon d'utiliser l'argent dès le premier jour. L'instructeur rassemblera ensuite les idées et les mettra au tableau, en posant éventuellement des questions aux étudiants sur leurs choix.

  • 00:05:00 Dans cette section, l'instructeur explique comment la théorie est liée à la pratique, expliquant que l'observation est la première étape vers l'apprentissage de quelque chose d'utile. Une fois la collecte de données et la reconnaissance des formes terminées, des théories et des modèles peuvent être construits pour expliquer le phénomène. Contrairement à la physique, les modèles répétables ne sont pas toujours évidents en économie. Après avoir développé une théorie, les observations doivent être confirmées ou vérifiées pour des cas particuliers afin de comprendre si le modèle fonctionne ou non. L'instructeur demande alors à la classe de rendre leurs constructions de portfolio et dit qu'il n'y aura plus de diapositives pour s'assurer que la classe le suive.

  • 00:10:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur présente une liste de divers actifs dans lesquels les gens ont une forte conviction, notamment les actions à petite capitalisation, les obligations, l'immobilier, les matières premières, les stratégies quantitatives, les stratégies de sélection, les modèles de valeur profonde et plus. Ils posent ensuite la question de savoir comment regrouper ces actifs ou expositions et expliquent qu'avant de répondre à cette question, il est essentiel de comprendre les objectifs de la gestion de portefeuille. Ils présentent un graphique qui trace les dépenses en fonction de l'âge, soulignant le fait que les habitudes de dépenses de chacun sont différentes et qu'il est essentiel de connaître votre situation pour comprendre les objectifs de gestion de portefeuille.

  • 00:15:00 Dans cette section, l'orateur explique la courbe des dépenses et des revenus, et comment ils ne correspondent pas toujours. Afin de combler la différence, il faut avoir un investissement qui génère des flux de trésorerie pour équilibrer les revenus et les dépenses. Différentes situations nécessitent une planification financière différente, comme prendre sa retraite à un certain âge, rembourser des prêts étudiants en un an ou gérer un fonds de pension ou une dotation universitaire. L'orateur discute également des défis de l'allocation de capital aux commerçants avec des stratégies et des paramètres différents, et de la façon dont le risque n'est pas bien défini mais est généralement mesuré par la variance ou l'écart type.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute de la relation entre le retour et l'écart type, étant entendu que l'écart type ne peut pas devenir négatif tandis que le retour peut descendre en dessous de zéro. Ils passent en revue la théorie du portefeuille moderne de Harry Markowitz et fournissent des cas particuliers à titre d'exemples pour aider à mieux comprendre les concepts. L'orateur donne également des exemples de cas où certains investissements, tels que l'argent comptant, la loterie, le retournement de pièces, les obligations d'État, le financement par capital-risque et l'achat d'actions, tomberaient dans le tableau des rendements par rapport à l'écart type.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur discute de différents choix d'investissement et de leur place correspondante sur une carte qui montre une volatilité et des rendements supérieurs et inférieurs. L'orateur explique comment choisir des investissements en fonction de la frontière efficiente, qui est une combinaison possible d'investissements qui maximise les rendements et minimise l'écart type. L'orateur réduit cela à un cas particulier de deux actifs et explique comment calculer l'écart type et la variance de ce portefeuille. Dans l'ensemble, cette section donne un aperçu de la façon d'utiliser la théorie du portefeuille pour choisir des investissements.

  • 00:30:00 Dans cette section, le conférencier passe en revue divers scénarios de gestion de portefeuille. Premièrement, lorsque sigma 1 est égal à 0 et sigma 2 n'est pas égal à 0, et qu'il n'y a pas de volatilité dans le portefeuille, il n'y a donc pas de corrélation. Deuxièmement, lorsque sigma 1 n'est pas égal à 0, mais que sigma y est égal à sigma 2 et qu'ils ne sont pas corrélés. Dans ce cas, la diversification peut aider à réduire l'écart-type du portefeuille. Enfin, lorsque les actifs sont parfaitement corrélés, ils finissent à un point, et lorsqu'ils sont corrélés négativement, le portefeuille est à son point le plus bas. Le conférencier insiste sur l'importance de la diversification dans la réduction de l'écart-type d'un portefeuille.

  • 00:35:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier parle de différents cas de gestion de portefeuille. Il explique que lorsque des liquidités sont ajoutées au portefeuille, elles deviennent un actif sans risque et peuvent être combinées avec des actifs non monétaires pour créer une frontière efficace plus élevée et des rendements plus élevés. Il note également que lorsque les pondérations des actifs sont aux deux extrêmes, les rendements sont les mêmes, mais lorsque les pondérations sont équilibrées, la variance peut être réduite à zéro. Enfin, l'orateur discute de la pente de la ligne et de sa relation avec la ligne du marché des capitaux et la frontière efficiente.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'orateur aborde le concept de frontière efficiente pour la gestion de portefeuille, en se concentrant sur des exemples de deux et trois actifs. Il explique que pour deux actifs avec une corrélation négative de un, la variance peut être minimisée à zéro avec une fonction quadratique. Pour trois actifs avec des volatilités égales et une corrélation nulle, la variance de la frontière efficiente peut être minimisée à 1 sur la racine carrée de trois fois sigma 1. L'orateur souligne que l'exemple de deux actifs est significatif en pratique pour comparer des combinaisons, telles que l'indice de référence populaire 60-40 des actions et des obligations, et conduit à la discussion du bêta et du ratio de Sharpe.

  • 00:45:00 Dans cette section, le concept du ratio de Sharpe, également connu sous le nom de rendement pondéré en fonction du risque ou ajusté en fonction du risque, et la formule de Kelly sont abordés. Il est expliqué que si l'allocation d'actifs est essentielle dans la gestion de portefeuille, il ne suffit pas d'utiliser simplement la frontière efficiente pour déterminer les pondérations d'actifs et les stratégies à choisir. L'exemple du portefeuille 60-40 est donné pour montrer comment l'allocation d'actifs peut être efficace mais aussi volatile, comme l'ont démontré la bulle technologique de 2000 et la crise financière de 2008.

  • 00:50:00 Dans cette section, le concept de parité des risques est présenté comme une alternative à la répartition traditionnelle 60-40 des actifs basée sur la valeur marchande. La parité des risques implique une pondération égale du risque entre deux actifs, par opposition à l'exposition au marché, afin d'obtenir un écart type et un risque inférieurs. L'idée de la diversification en tant que source de "repas gratuit" est également discutée, avec un exemple simple donné pour démontrer comment une pondération égale de deux actifs peut conduire à un meilleur résultat. Le concept de rééquilibrage est introduit comme moyen de maintenir la pondération 50-50 des actifs dans l'approche de parité des risques.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'instructeur discute du concept des avantages de la diversification et de la manière dont il peut être obtenu en combinant des actifs dans un portefeuille pour réduire la volatilité. Il parle du marché obligataire 60/40 et de la parité des risques, qui vise à atteindre une pondération égale des risques dans un portefeuille. Le concept d'effet de levier est introduit lors de la discussion sur la façon d'aller au-delà de l'allocation de pondération égale et de créer plus de risque. L'instructeur propose de tirer parti de l'allocation 25/75 obligations/actions pour obtenir des rendements attendus plus élevés.

  • 01:00:00 Dans cette section, l'orateur discute de la relation entre l'effet de levier, l'écart type et le ratio de Sharpe dans un portefeuille à parité des risques. Ils expliquent qu'en maximisant le ratio de Sharpe, on peut obtenir un portefeuille à parité des risques et que le changement de levier n'affecte pas la pente de la ligne sur la courbe. Ils abordent également la relation entre le bêta et l'écart-type du portefeuille, le bêta augmentant ou diminuant en fonction de la volatilité du marché. Enfin, l'orateur pose la question de savoir pourquoi quelqu'un a besoin d'un gestionnaire de fonds spéculatifs quand on peut programmer un robot pour gérer un portefeuille, mais laisse la réponse à cette question pour plus tard.

  • 01:05:00 Dans cette section, la vidéo montre comment la synchronisation des événements peut créer des conséquences imprévues. L'exemple des soldats marchant sur un pont illustre comment la force des personnes se déplaçant de manière synchronisée peut créer un déséquilibre qui provoque l'effondrement des choses. Le même phénomène s'applique aux portefeuilles lorsque tout le monde met en œuvre la même stratégie optimale, créant un système qui risque de s'effondrer. La vidéo montre un autre exemple utilisant des métronomes qui se synchronisent sans avoir de cerveau. Ce phénomène est expliqué dans un livre, et la démonstration crée un impact significatif.

  • 01:10:00 Dans cette section, l'orateur aborde le concept de maximisation des résultats en tenant compte du fait que tous les individus du marché sont interconnectés. Ils soulignent que trouver le meilleur moyen d'optimiser votre portefeuille peut amener tout le monde à comprendre la même chose et, en fin de compte, entraîner des pertes. L'orateur mentionne également que le domaine de la finance, en particulier la finance quantitative, n'est pas prévisible et n'est pas un processus mécanique comme la résolution de problèmes de physique. L'idée d'observer, de collecter des données, de construire des modèles, de vérifier et d'observer à nouveau est cruciale pour résoudre les problèmes. L'orateur explique que la théorie des jeux joue un rôle important dans la situation du marché, mais qu'elle est plus complexe qu'un ensemble de règles bien définies. Enfin, le concept de portefeuilles à parité des risques est abordé, soulignant que le succès du portefeuille peut dépendre de la capacité à déterminer avec précision quel actif a une faible volatilité.

  • 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute d'une approche de parité des risques dans la gestion de portefeuille, où les obligations sont surpondérées en raison de leur faible volatilité. Cependant, le portefeuille peut encore mal performer si les obligations connaissent une vente massive, comme on l'a vu après que Bernanke a annoncé la réduction progressive de l'assouplissement quantitatif. Cela soulève la question de savoir si l'approche de la parité des risques est efficace ou non. L'orateur note que les données historiques sont utilisées pour prévoir la volatilité, le rendement et la corrélation, mais l'avenir est toujours incertain. De plus, les investisseurs de carrière ont tendance à se comparer et à suivre le troupeau, ce qui les empêche de découvrir de nouvelles classes d'actifs ou d'inventer de nouvelles stratégies. Enfin, alors que les ordinateurs battent les humains à bien des égards, il n'est pas clair s'ils pourront un jour remplacer complètement les gestionnaires de placements humains. Le conférencier note également que la direction a un rôle clé dans la gestion des ressources humaines et des talents, et pas seulement en se concentrant sur les investissements.

  • 01:20:00 Dans cette section, l'orateur parle du risque et de la façon dont il ne vaut pas mieux le mesurer uniquement par la volatilité ou l'écart type. Il explique que même si le risque peut être examiné sous plusieurs angles, se concentrer uniquement sur le rendement attendu est la seule réponse à la théorie de la gestion de portefeuille. Cependant, l'orateur n'est pas d'accord, affirmant qu'il est important de différencier deux gérants ayant le même rendement attendu et que c'est là que se situe le débat. La section se termine par une discussion sur les limites de l'estimation des rendements et des volatilités.

  • 01:25:00 Dans cette section, les conférenciers discutent de la difficulté de prévoir les rendements, la volatilité et la corrélation dans la gestion de portefeuille. Ils suggèrent que le portefeuille de parité des risques se concentre sur l'égalisation des risques plutôt que sur les rendements et peut être une meilleure stratégie. De plus, ils mentionnent le critère de Kelly, qui traite des questions d'investissements sur plusieurs périodes et de paris optimaux avec sa bankroll. Ils recommandent de consulter le livre "Fortune's Formula" pour en savoir plus sur l'histoire et le débat autour de l'optimisation de portefeuille.
16. Portfolio Management
16. Portfolio Management
  • 2015.01.06
  • www.youtube.com
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Jake XiaThis lect...
 

17. Processus stochastiques II



17. Processus stochastiques II

Dans cette section de la série vidéo, le concept de mouvement brownien est introduit comme solution à la difficulté de gérer la densité de probabilité d'un chemin dans un processus stochastique, en particulier dans le cas d'une variable continue. Le mouvement brownien est une distribution de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues des réels positifs aux réels. Il a des propriétés qui en font un modèle raisonnable pour divers phénomènes, comme l'observation du mouvement du pollen dans l'eau ou la prédiction du comportement des cours boursiers.

De plus, la vidéo présente le concept de calcul d'Ito, qui est une extension du calcul classique au cadre des processus stochastiques. Le calcul traditionnel ne fonctionne pas avec le mouvement brownien et le calcul d'Ito fournit une solution pour modéliser la différence de centile dans les cours des actions. Le lemme d'Ito, dérivé du développement de Taylor, est un outil fondamental du calcul stochastique qui permet de calculer la différence d'une fonction sur une petite augmentation de temps en utilisant le mouvement brownien. Il enrichit la théorie du calcul et permet l'analyse des processus impliquant le mouvement brownien.

La vidéo traite également des propriétés du mouvement brownien, telles que le fait qu'il n'est différentiable nulle part et croise l'axe t infiniment souvent. Malgré ces caractéristiques, le mouvement brownien a des implications réelles et peut être utilisé comme modèle physique pour des quantités telles que les cours des actions. La limite d'une marche aléatoire simple est un mouvement brownien, et cette observation aide à comprendre son comportement.

De plus, la vidéo explore la distribution d'une somme de variables aléatoires et son espérance dans le contexte du mouvement brownien. Il traite de la convergence de la somme des variables normales et l'applique aux mouvements browniens.

En résumé, cette section de la série de vidéos présente le mouvement brownien comme solution pour gérer la densité de probabilité d'un chemin dans un processus stochastique. Il explique les propriétés du mouvement brownien, son application dans la modélisation des cours boursiers et des dérivés financiers, et la nécessité pour le calcul d'Ito de fonctionner avec lui. La compréhension de ces concepts est essentielle pour analyser les processus stochastiques en temps continu et leurs applications dans divers domaines.

  • 00:00:00 Dans cette section, le professeur introduit le sujet des processus stochastiques continus et rappelle aux étudiants de revoir des concepts tels que les martingales et les chaînes de Markov, qui seront utilisés dans les cours à venir. Il explique également que contrairement aux processus à temps discret, la variable de temps sous-jacente est continue dans les processus à temps continu. Cela conduit à la difficulté de décrire la distribution de probabilité sans utiliser de méthodes indirectes, car il faudrait un nombre infini d'intervalles pour décrire le processus temporel continu.

  • 00:05:00 Dans cette partie de la vidéo, l'intervenant évoque la difficulté de gérer la densité de probabilité d'un chemin dans un processus stochastique, notamment dans le cas d'une variable continue. Ils introduisent le concept de mouvement brownien comme solution à ce problème, qui est une distribution de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues des réels positifs aux réels. Cette distribution garantit que le processus commence toujours à 0, a des incréments stationnaires avec une distribution normale et des incréments indépendants entre des intervalles qui ne se chevauchent pas. Bien que cette distribution soit très compliquée, il est nécessaire de décrire la probabilité que le chemin se produise lorsqu'il s'agit d'une variable de temps continue.

  • 00:10:00 Dans cette section, le professeur discute de la distribution de probabilité d'un mouvement brownien et comment il satisfait certaines conditions qui le rendent très difficile à prouver. L'espace de tous les chemins possibles en fait un espace de probabilité compliqué. Le professeur explique ensuite comment le mouvement brownien est la limite des marches aléatoires simples et discute de ses autres noms tels que processus de Wiener. Il conclut en déclarant que les prochaines conférences révéleront l'importance d'étudier les processus stochastiques en temps continu.

  • 00: 15: 00 Dans cette section, le concept de prise de limite est discuté en relation avec le mouvement brownien et comment il peut être utilisé pour modéliser les cours des actions. En prenant une marche aléatoire simple, en la mettant à l'échelle du temps 0 au temps 1 et en étendant linéairement les valeurs intermédiaires, la distribution résultante est un mouvement brownien. Ce processus n'est pas nouveau ; c'est la limite de ces objets que nous connaissons déjà. Cette observation a des implications lors de l'utilisation du mouvement brownien comme modèle physique pour une certaine quantité, comme les cours des actions. Le mouvement brownien a été découvert par le botaniste Brown dans les années 1800 lors de l'observation d'une particule de pollen dans l'eau, ce qui a conduit à la réalisation qu'il existe un mouvement nerveux continu, connu aujourd'hui sous le nom de mouvement brownien.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute du concept de mouvement brownien et pourquoi c'est un modèle raisonnable pour certains phénomènes tels que l'observation du mouvement du pollen dans l'eau ou la prédiction du comportement des cours boursiers. Brown a découvert que le mouvement du pollen dans l'eau est un mouvement brownien vers la gauche et la droite, mais Einstein a été le premier à l'expliquer rigoureusement et à fournir des informations. L'orateur explique que de minuscules molécules d'eau se comportent de manière infinitésimale et se déplacent follement dans l'eau. Lorsque ceux-ci entrent en collision avec le pollen, ils changent un peu sa direction. De même, si vous regardez le prix d'une action sur de petites échelles, vous verrez que le prix continue de fluctuer, le faisant monter ou descendre. Dans les deux cas, la limite d'une marche aléatoire simple est un mouvement brownien et en font donc un modèle raisonnable à utiliser.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur explique certaines propriétés de la courbe qui s'écarte du mouvement brownien, notamment le fait qu'elle croise l'axe t infiniment souvent, ne s'écarte pas trop de la courbe y=sqrt(t) , et n'est dérivable nulle part. Bien que cela puisse sembler surprenant et même problématique, cela a des implications réelles et une version modifiée du calcul, appelée calcul d'Ito, peut être utilisée pour l'analyser.

  • 00:30:00 Dans cette section, le concept de calcul d'Ito est présenté comme une extension du calcul classique au cadre des processus stochastiques. Cependant, seules les propriétés de base et leurs calculs seront couverts en raison de contraintes de temps. Avant de se plonger dans le calcul d'Ito, les propriétés du mouvement brownien sont discutées, en particulier, en tant que modèle pour les cours boursiers. La distribution de la valeur min et de la valeur max des cours boursiers en utilisant le mouvement brownien comme modèle est calculée et il est montré que pour tout t, la probabilité d'avoir M(t) supérieur à a et a positif est égale à 2 fois la probabilité d'avoir le mouvement brownien supérieur à a. La preuve implique l'utilisation du temps d'arrêt pour enregistrer la première fois que le mouvement brownien atteint la droite a.

  • 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de la probabilité qu'un mouvement brownien atteigne une certaine ligne (a) avant l'instant t et de ce qui se passe ensuite. Si le mouvement atteint la ligne avant l'instant t, la probabilité qu'il se retrouve au-dessus ou au-dessous de a est la même car le chemin peut être réfléchi. L'orateur poursuit ensuite en expliquant comment cette probabilité est liée au fait que le maximum à l'instant t est supérieur à a. En réarrangeant les probabilités données, le locuteur montre que la probabilité qu'un maximum à l'instant t soit supérieur à a est égale à deux fois la probabilité que le mouvement brownien soit supérieur à a.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'orateur discute du calcul de la probabilité que le maximum d'un processus stochastique soit supérieur à une valeur donnée à un instant donné. Il n'y a que deux possibilités après tau_a : il augmente ou diminue, et les deux événements ont la même probabilité. L'orateur prouve également que le mouvement brownien n'est pas différentiable à un instant donné avec une probabilité égale à 1 et utilise le théorème de la valeur moyenne pour expliquer que le gain maximum dans l'intervalle de temps de t à t plus epsilon est une fois epsilon.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur discute des propriétés du mouvement brownien et de la variation quadratique, qui seront importantes dans le calcul d'Ito. L'orateur explique que si un mouvement brownien est différentiable, il aurait toujours dû être à l'intérieur d'un cône jusqu'à un certain point, mais cela ne peut pas arriver, car la valeur maximale sur un certain intervalle de temps est toujours supérieure à une certaine valeur. L'orateur introduit ensuite le concept de variation quadratique et explique son importance en calcul, où une fonction est découpée en n morceaux dans l'intervalle de temps.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'orateur discute de la variation quadratique et de ses implications pour le mouvement brownien. La variation quadratique consiste à prendre la différence entre des points consécutifs dans une fonction et à la mettre au carré, puis à la sommer lorsque n tend vers l'infini. Pour le mouvement brownien, la limite de cette somme va à T , mais pour les fonctions continuellement différentiables, la variation quadratique est de 0. La non-différenciabilité du mouvement brownien a des implications importantes, telles que la possibilité de modéliser les cours des actions et les processus de diffusion.

  • 00:55:00 Dans cette section, le professeur discute de la distribution d'une somme de variables aléatoires et de son espérance tout en explorant le mouvement brownien. Il explique que la somme des variables normales avec une moyenne de T sur n converge vers T sur n en utilisant la loi forte des grands nombres. Il mentionne ensuite que cela s'applique à tous les mouvements browniens avec probabilité un.

  • 01:00:00 Dans cette section, l'orateur parle du calcul d'Ito et de sa motivation. Il explique comment le mouvement brownien n'est pas un mauvais modèle pour les cours des actions, mais il n'est pas idéal car au lieu des différences, la différence de centile doit être distribuée normalement. Cela signifie que l'équation différentielle pour modéliser la différence de centile des prix des actions suit le mouvement brownien. Cependant, le calcul classique ne fonctionne pas dans ce cas car le mouvement brownien n'est pas différentiable. Cela nécessite autre chose, et c'est là qu'intervient le calcul d'Ito. L'orateur explique également comment le calcul d'Ito peut être utile pour estimer des différences infinitésimales, et il peut être utile pour évaluer les options.

  • 01:05:00 Dans cette section, l'orateur aborde le concept de dérivés financiers, qui est une fonction appliquée à un actif financier sous-jacent. Il explique que comprendre la différence de valeur par rapport à la différence de l'actif sous-jacent est crucial. Cependant, l'orateur reconnaît qu'il est difficile de différencier le mouvement brownien, et à la place, il se concentre sur le calcul de la différence minuscule de dBt et l'utilise pour décrire le changement de la fonction en termes de différenciation de f. Le locuteur explique ensuite que la différenciation n'est pas valable car le facteur dB au carré est égal à dt, ce qu'il explique plus en détail.

  • 01:10:00 Dans cette section, le concept du lemme d'Ito est présenté comme un outil fondamental du calcul stochastique. Le lemme d'Ito est dérivé du développement de Taylor et permet de calculer la différence d'une fonction sur une petite augmentation de temps en utilisant le mouvement brownien. Le lemme est considéré comme non trivial et très cité dans les articles de recherche, car il permet le calcul avec le mouvement brownien et enrichit considérablement la théorie du calcul. Cette section souligne l'importance du lemme d'Ito dans le calcul stochastique.

  • 01:15:00 Dans cette section, l'orateur explique que dB_t au carré est égal à dt, ce qui est dû au fait que B_t est comme une variable aléatoire normale avec une moyenne de 0 et une variance de t. Le calcul utilisant le mouvement brownien devient plus complexe à cause de ce calcul. L'orateur encourage les téléspectateurs à réfléchir au concept et mentionne qu'il le réexaminera.
17. Stochastic Processes II
17. Stochastic Processes II
  • 2015.01.06
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18. Calcul d'Itō



18. Calcul d'Itō

Dans cette vidéo complète sur le calcul d'Ito, un large éventail de sujets liés aux processus stochastiques et au calcul est couvert. Le professeur plonge dans les subtilités du lemme d'Ito, une version plus sophistiquée de l'original, et fournit une explication détaillée de la variation quadratique du mouvement brownien. Le concept de dérive dans un processus stochastique est exploré, ainsi que des démonstrations pratiques de la façon dont le lemme d'Ito peut être appliqué pour évaluer de tels processus. La vidéo aborde également l'intégration et la description de type somme riemannienne de l'intégration, les processus adaptés et les martingales. L'importance de pratiquer des exercices de calcul de base pour se familiariser avec le sujet est soulignée. De plus, la vidéo se termine en donnant un aperçu du sujet à venir, le théorème de Girsanov.

Dans la section suivante de la vidéo, le professeur poursuit la discussion sur le calcul d'Ito en passant en revue et en présentant le lemme d'Ito sous une forme légèrement plus générale. Grâce à l'utilisation du développement de Taylor, le professeur analyse les changements dans une fonction, f, lorsque ses première et deuxième variables varient. Le professeur exploite le mouvement brownien pour évaluer f(t, B_t). En incorporant la variation quadratique du mouvement brownien et les deux variables, t et x, la vidéo explique pourquoi le calcul d'Ito diffère du calcul classique en incorporant un terme supplémentaire. Ensuite, la vidéo se concentre sur le terme de second ordre dans le développement de Taylor, exprimé en termes de dérivées partielles. Les termes cruciaux, à savoir del f sur del t dt, del f sur del x dx, et les termes du second ordre, sont examinés. En réorganisant ces termes, une forme plus sophistiquée du lemme d'Ito est dérivée, incorporant un terme supplémentaire. La vidéo démontre que les termes impliquant dB_t carré et dt fois dB_t sont insignifiants par rapport au terme impliquant la dérivée seconde de f par rapport à x, car il survit en raison de son équivalence à dt. Cela conduit à une compréhension raffinée du calcul d'Ito.

La vidéo procède en introduisant le concept d'un processus stochastique avec un terme de dérive résultant de l'ajout d'un terme à un mouvement brownien. Ce type de processus devient le principal objet d'étude, où la différence peut être exprimée en termes de terme de dérive et de terme de mouvement brownien. La forme générale du lemme d'Ito est expliquée, qui s'écarte de la forme originale en raison de la présence d'une variation quadratique. De plus, la vidéo utilise le lemme d'Ito pour évaluer les processus stochastiques. La variation quadratique permet la séparation du terme dérivé second, permettant la dérivation de termes complexes. Un exemple impliquant la fonction f(x) = x^2 est présenté, démontrant comment calculer d de f à B_t. La première dérivée partielle de f par rapport à t est déterminée comme étant 0, tandis que la dérivée partielle par rapport à x est 2x, la seconde dérivée étant 2 à t, x.

La vidéo explique ensuite le calcul de d de f à t virgule B de t. La formule comprend des termes tels que f partiel sur t partiel dt, f partiel sur x partiel dB_t et 1/2 carré partiel f sur carré x partiel de dB_t carré, qui est égal à dt. Des exemples sont fournis pour aider à comprendre comment utiliser ces formules et comment substituer les variables. La distinction entre sigma et un sigma premier variable dans la formule et quand les appliquer est également expliquée. Le mouvement brownien est utilisé comme base pour cette formule, car il représente la forme la plus simple.

Dans la section suivante, le professeur aborde le modèle proposé pour le cours des actions en utilisant le mouvement brownien, indiquant que S_t n'est pas égal à e au sigma fois B de t. Bien que cette expression donne une valeur attendue de 0, elle introduit une dérive. Pour résoudre ce problème, le terme 1/2 de sigma carré multiplié par dt est soustrait de l'expression, ce qui donne le nouveau modèle S de t égal à e moins 1 sur 2 sigma carré t plus sigma multiplié par B_t. Cela représente un mouvement brownien géométrique sans dérive. Le professeur explique en outre que si nous avons un chemin d'échantillon B_t, nous pouvons obtenir un chemin d'échantillon correspondant pour S de t en prenant la valeur exponentielle de B_t à chaque instant.

Ensuite, la vidéo se concentre sur la définition de l'intégration. L'intégration est décrite comme l'inverse de la différenciation, avec une définition un peu "stupide". La question se pose de savoir si l'intégration existe toujours étant donné f et g. La vidéo explore ensuite la description de l'intégration de type somme riemannienne, qui consiste à diviser l'intervalle en morceaux très fins et à additionner les aires des boîtes correspondantes. La limite des sommes riemanniennes est expliquée lorsque la fonction se rapproche de l'infini lorsque n tend vers l'infini, fournissant une explication plus détaillée.

Une question intrigante concernant la relation entre l'intégrale d'Ito et la description du type somme riemannienne est abordée. La vidéo explique que l'intégrale Ito n'a pas la propriété de la somme riemannienne, où le choix du point dans l'intervalle n'a pas d'importance. De plus, la vidéo mentionne une version alternative du calcul Ito qui considère le point le plus à droite de chaque intervalle au lieu du point le plus à gauche. Cette version alternative, bien qu'équivalente au calcul d'Ito, incorpore des signes moins au lieu de signes plus dans le terme de second ordre. En fin de compte, la vidéo souligne que dans le monde réel, les décisions concernant les intervalles de temps doivent être prises en fonction du point le plus à gauche, car l'avenir ne peut pas être prédit.

L'orateur fournit une explication et une définition intuitives des processus adaptés dans le calcul d'Ito. Les processus adaptés se caractérisent par la prise de décisions uniquement basées sur des informations passées jusqu'à l'heure actuelle, un fait intégré à la théorie elle-même. La vidéo illustre ce concept à l'aide d'exemples tels qu'une stratégie boursière qui repose uniquement sur les cours boursiers passés. La pertinence des processus adaptés dans le cadre du calcul d'Ito est mise en évidence, en particulier dans les situations où les décisions ne peuvent être prises qu'au moment le plus à gauche et où les événements futurs restent inconnus. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre les processus adaptés et donne plusieurs exemples illustratifs, dont la stratégie delta t minimum.

Les propriétés de l'intégrale d'Ito dans le calcul d'Ito sont discutées dans la section suivante. Tout d'abord, il est mis en évidence que l'intégrale Ito d'un processus adapté suit une distribution normale à tout instant. Deuxièmement, le concept d'isométrie Ito est introduit, ce qui permet le calcul de la variance. L'isométrie Ito indique que la valeur attendue du carré de l'intégrale Ito d'un processus est égale à l'intégrale du carré du processus dans le temps. Pour faciliter la compréhension, une aide visuelle est utilisée pour élucider la notion d'isométrie Ito.

Poursuivant la discussion, la vidéo se penche sur les propriétés des intégrales Ito. On établit que la variance de l'intégrale Ito d'un processus adapté correspond à la variation quadratique du mouvement brownien, et celle-ci peut être calculée de manière simple. Le concept de martingales dans les processus stochastiques est introduit, expliquant comment la présence ou l'absence d'un terme de dérive dans une équation différentielle stochastique détermine si le processus est une martingale. L'orateur aborde également les applications des martingales dans la théorie des prix, soulignant l'importance de comprendre ces concepts dans le cadre du calcul Ito. Les téléspectateurs sont encouragés à s'engager dans des exercices de calcul de base pour améliorer leur familiarité avec le sujet. Enfin, l'orateur mentionne que le prochain sujet à traiter est le théorème de Girsanov.

Dans la section suivante, la vidéo se penche sur le théorème de Girsanov, qui consiste à transformer un processus stochastique avec dérive en un processus sans dérive, le transformant ainsi en martingale. Le théorème de Girsanov revêt une importance significative dans la théorie des prix et trouve des applications dans divers problèmes de jeu au sein de processus stochastiques discrets. Le conférencier invité introduit le concept de la distribution de probabilité sur les chemins et les processus gaussiens, ouvrant la voie à la compréhension du théorème. Finalement, une formule simple est fournie pour représenter la dérivée de Radon-Nikodym, qui joue un rôle crucial dans le théorème de Girsanov.

Enfin, la vidéo se termine en soulignant les implications plus larges du calcul Itō pour les processus stochastiques. Il souligne que la distribution de probabilité de la valeur d'un portefeuille dans le temps peut être mesurée selon une distribution de probabilité qui dépend d'un cours de bourse modélisé à l'aide du mouvement brownien avec dérive. Grâce aux outils et aux concepts du calcul Itō, ce problème peut être transformé en un problème impliquant un mouvement brownien sans dérive en calculant l'espérance dans un espace de probabilité différent. Cette transformation permet la conversion d'un processus non martingale en un processus martingale, qui a des interprétations significatives dans des scénarios du monde réel.

Pour saisir pleinement les subtilités du calcul Itō, la vidéo encourage les spectateurs à pratiquer des exercices de calcul de base et à se familiariser avec les concepts sous-jacents. Ce faisant, les individus peuvent développer une compréhension plus approfondie des processus stochastiques, de l'intégration stochastique et des applications du calcul Itō dans divers domaines.

En conclusion, cette vidéo complète sur le calcul Itō couvre un large éventail de sujets. Il commence par une exploration du lemme d'Ito, de la variation quadratique du mouvement brownien et du concept de dérive dans les processus stochastiques. Il se penche ensuite sur l'évaluation des processus stochastiques à l'aide du lemme d'Ito et discute de l'intégration et de la description de type somme riemannienne de l'intégration. La vidéo présente également les processus adaptés, les martingales et les propriétés des intégrales Ito. Enfin, il met en évidence le théorème de Girsanov et souligne les implications plus larges du calcul d'Itō pour comprendre et modéliser les processus stochastiques.

  • 00:00:00 Dans cette section, le professeur poursuit la discussion sur le calcul d'Ito en passant en revue le lemme d'Ito et en l'énonçant sous une forme un peu plus générale. Le professeur utilise le développement de Taylor pour analyser comment la fonction f change lorsque les première et deuxième variables changent, et utilise le mouvement brownien pour évaluer l'information sur la fonction f(t, B_t). La variation quadratique du mouvement brownien et les deux variables, t et x, sont utilisées pour expliquer pourquoi le calcul d'Ito a un terme supplémentaire par rapport au calcul classique.

  • 00:05:00 Dans cette section, nous découvrons le terme du second ordre dans le développement de Taylor en l'écrivant en termes de dérivées partielles. Nous nous concentrons ensuite sur les termes importants, qui sont del f sur del t dt plus del f sur del x dx plus les termes du second ordre. En réarrangeant les termes, nous obtenons une forme plus sophistiquée du lemme d'Ito qui inclut un terme supplémentaire. On voit alors que les termes impliquant dB_t au carré et dt fois dB_t sont insignifiants par rapport au terme impliquant f partielle sur dérivée seconde partielle x, qui survit car il est égal à dt. En fin de compte, cela conduit à une compréhension plus fine du calcul d'Ito.

  • 00:10:00 Dans cette section, le professeur introduit le concept de processus stochastique avec un terme de dérive résultant de l'ajout d'un terme à un mouvement brownien. Ce type de processus sera l'objet principal d'étude, où la différence peut s'écrire en termes de terme de dérive et de terme de mouvement brownien. La section poursuit ensuite en expliquant la forme générale du lemme d'Ito, qui est une version plus compliquée de la forme originale qui s'en écarte en raison de la variation quadratique.

  • 00:15:00 Dans cette section, le lemme Ito est utilisé pour évaluer les processus stochastiques. La variation quadratique sépare le terme dérivé second, permettant de dériver des termes compliqués. Un exemple impliquant la fonction f(x) = x^2 est donné et élaboré, montrant comment calculer d de f à B_t. La dérivée partielle première de f par rapport à t est égale à 0, et la dérivée partielle par rapport à x est égale à 2x, avec la dérivée seconde égale à 2 à t, x.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur explique comment calculer d de f à t virgule B de t. La formule est f partiel sur t partiel dt plus f partiel sur x partiel dB_t plus 1/2 carré partiel f sur carré x partiel de dB_t carré, qui est égal à dt. L'orateur montre des exemples pour aider à comprendre comment utiliser ces formules et comment brancher les variables. Ils expliquent également la différence entre le sigma et un sigma premier variable dans la formule et quand les utiliser. La formule est utilisée pour le mouvement brownien car c'est la forme la plus simple.

  • 00:25:00 Dans cette section, le professeur explique pourquoi S_t n'est pas égal à e au sigma fois B de t, qui était le modèle proposé pour le cours des actions utilisant le mouvement brownien. Bien que cette expression nous donnerait la valeur attendue de 0, elle entraînerait également une dérive. La solution consiste à soustraire le terme 1/2 de sigma carré fois dt de l'expression, ce qui rend le nouveau modèle S de t égal à e au moins 1 sur 2 sigma carré t plus sigma de B_t, un mouvement brownien géométrique sans dérive. Le professeur poursuit en expliquant que si nous avons un chemin d'échantillon B_t, nous pouvons obtenir un chemin d'échantillon correspondant pour S de t en prenant la valeur exponentielle de B_t à chaque instant.

  • 00:30:00 Dans cette section, la vidéo traite de la définition de l'intégration. La définition est donnée comme l'inverse de la différenciation et est décrite comme une définition "stupide". La question se pose de savoir si oui ou non l'intégration existe toujours étant donné f et g. La vidéo aborde ensuite la description de l'intégration de type somme riemannienne et décrit le processus de découpage de l'intervalle en morceaux très fins et de sommation des aires des boîtes. La limite des sommes de Riemann est la limite lorsque n tend vers l'infini de la fonction, qui est ensuite expliquée plus en détail.

  • 00:35:00 Dans cette section, le professeur discute d'une question intéressante sur l'intégrale d'Ito et sa relation avec la description du type somme riemannienne. Il explique que l'intégrale d'Ito n'a pas la même propriété que la somme riemannienne où peu importe quel point est pris dans l'intervalle. De plus, il mentionne qu'il existe une version équivalente du calcul Ito, mais au lieu de prendre le point le plus à gauche de chaque intervalle, il prend le point le plus à droite, ce qui s'avère être équivalent au calcul Ito mais avec des moins au lieu de plus dans le second- terme de la commande. En fin de compte, il explique que dans le monde réel, les décisions concernant les intervalles de temps doivent être prises en fonction du point le plus à gauche car l'avenir ne peut pas être prédit.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'orateur explique l'intuition et la définition derrière les processus adaptés dans le calcul Itō. Un processus adapté est un processus qui ne peut prendre des décisions que sur la base d'informations passées jusqu'à l'heure actuelle, et ce fait est caché dans la théorie elle-même. Par exemple, une stratégie boursière qui prend des décisions basées uniquement sur les cours boursiers passés est un processus adapté. Ceci est important car le calcul Itō fonctionne bien dans ce contexte, où les décisions ne peuvent être prises qu'au moment le plus à gauche et ne peuvent pas voir l'avenir. Le conférencier donne plusieurs exemples pour illustrer des processus adaptés, y compris une stratégie delta t minimum, et explique leur pertinence pour le calcul Itō.

  • 00:45:00 Dans cette section, les propriétés de l'intégrale d'Ito dans le calcul d'Ito sont discutées. La première propriété est que l'intégrale Ito d'un processus adapté a une distribution normale à tout moment. La deuxième propriété est connue sous le nom d'isométrie Ito et peut être utilisée pour calculer la variance. L'isométrie Ito indique que la valeur attendue du carré de l'intégrale Ito d'un processus est égale à l'intégrale du carré du processus dans le temps. Une aide visuelle est utilisée pour expliquer le concept d'isométrie Ito.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'orateur discute des propriétés des intégrales Ito. La variance de l'intégrale Ito d'un processus adapté est égale à la variation quadratique du mouvement brownien, qui peut être calculée de manière simple. L'orateur explique également le concept de martingales pour les processus stochastiques et explique quand une intégrale Ito peut être une martingale. L'intégrale est une martingale si la fonction est adaptée au mouvement brownien et est une fonction raisonnable.

  • 00:55:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute du concept de martingales dans le calcul Itō, qui sont des processus stochastiques qui n'ajoutent ni ne soustraient de valeur au fil du temps, mais ajoutent plutôt des variations. Ils expliquent comment la présence ou l'absence d'un terme de dérive dans une équation différentielle stochastique détermine si le processus est une martingale. Le conférencier aborde également les applications des martingales dans la théorie des prix et discute de l'importance de comprendre ces concepts dans le calcul Itō. Ils encouragent les téléspectateurs à pratiquer des exercices de calcul de base pour se familiariser avec le sujet. Enfin, ils mentionnent le théorème de Girsanov comme prochain sujet qu'ils aborderont.

  • 01:00:00 Dans cette section, le sujet de la modification des distributions de probabilité par un changement de mesure est abordé en utilisant le mouvement brownien comme exemple. La question est de savoir s'il est possible de basculer entre deux distributions de probabilité sur des trajectoires de mouvement brownien, l'une sans dérive et l'autre avec dérive, par un changement de mesure. Cela équivaut à trouver une dérivée de Radon-Nikodym qui rend les deux distributions de probabilité équivalentes. Le concept de modification des distributions de probabilité par un changement de mesure est important dans l'analyse et la probabilité et est utilisé pour trouver la dérivée de Radon-Nikodym.

  • 01:05:00 Dans cette section, nous découvrons les distributions de probabilité et comment elles décrivent la probabilité de sous-ensembles au sein d'un ensemble et comment différentes distributions de probabilité peuvent être équivalentes ou non en fonction de leur probabilité. Nous découvrons également la dérivée de Radon-Nikodym, qui est un théorème qui s'applique à tous les espaces de probabilité et décrit comment une mesure de probabilité peut être changée en une autre mesure simplement en termes de multiplication si elle est équivalente. De plus, la section explore le théorème de Girsanov, qui dit que deux mouvements browniens, avec et sans dérive, sont équivalents même s'ils peuvent sembler différents à première vue.

  • 01:10:00 Dans cette section, le concept du théorème de Girsanov est discuté, qui consiste à transformer un processus stochastique en un processus stochastique sans dérive, ce qui en fait une martingale. Ce théorème a une signification significative dans la théorie des prix et s'applique à une gamme de problèmes de jeu dans des processus stochastiques discrets. Le conférencier invité introduit le concept de la distribution de probabilité sur les chemins et les processus gaussiens. Finalement, ils fournissent une formule simple pour représenter le dérivé Radon-Nikodym.

  • 01:15:00 Dans cette section, l'orateur discute du calcul Itō et de ses implications pour les processus stochastiques. La distribution de probabilité de la valeur d'un portefeuille dans le temps peut être mesurée selon une distribution de probabilité qui dépend d'un cours de bourse modélisé à l'aide du mouvement brownien avec dérive. Cela peut être transformé en un problème de mouvement brownien sans dérive en calculant l'espérance dans un espace de probabilité différent. Cela permet la transformation d'un processus non martingale en un processus martingale, qui a de bonnes significations physiques.
18. Itō Calculus
18. Itō Calculus
  • 2015.01.06
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19. Formule de Black-Scholes, évaluation neutre au risque



19. Formule de Black-Scholes, évaluation neutre au risque

Dans cette vidéo informative, la formule Black-Scholes et l'évaluation neutre au risque sont discutées en profondeur, fournissant des informations précieuses sur leurs applications pratiques dans le domaine de la finance. La vidéo commence par illustrer le concept de tarification neutre au risque à travers un exemple pertinent d'un bookmaker acceptant des paris sur des courses de chevaux. En fixant des cotes basées sur le total des paris déjà placés, le bookmaker peut assurer un profit sans risque, quel que soit le résultat de la course. Cet exemple sert de base pour comprendre les contrats dérivés, qui sont des paiements formels liés à un instrument liquide sous-jacent.

La vidéo présente ensuite différents types de contrats en finance, notamment les contrats à terme, les options d'achat et les options de vente. Un contrat à terme est expliqué comme un accord entre deux parties pour acheter un actif à un prix prédéterminé dans le futur. Les options d'achat agissent comme une assurance contre le déclin de l'actif, offrant au détenteur de l'option le droit d'acheter l'actif à un prix convenu. À l'inverse, les options de vente permettent aux investisseurs de parier sur la baisse de l'actif, leur offrant la possibilité de vendre l'actif à un prix prédéterminé. Les calculs des paiements de ces contrats sont basés sur des hypothèses spécifiques telles que le prix actuel de l'actif sous-jacent et sa volatilité.

Le concept de neutralité au risque est ensuite introduit, soulignant que le prix d'une option, lorsque le paiement est fixe, dépend uniquement de la dynamique et de la volatilité de l'action. Les préférences de risque des acteurs du marché n'affectent pas le prix de l'option, ce qui souligne l'importance d'une tarification neutre au risque. Pour illustrer cela, un marché à deux périodes sans incertitude est présenté et les prix des options sont calculés à l'aide de la méthode d'évaluation neutre au risque, qui repose sur l'absence de probabilités réelles. L'exemple implique d'emprunter de l'argent pour acheter des actions et de fixer le prix à terme pour atteindre un prix d'option nul.

La vidéo se penche sur le concept de réplication de portefeuilles, en particulier dans le contexte des contrats à terme. En prenant une position courte dans un contrat à terme et en combinant des actions et des liquidités, un portefeuille de réplication est construit, garantissant une réplication exacte du gain final. L'objectif de la tarification neutre au risque est d'identifier les portefeuilles de réplication pour un dérivé donné, car le prix actuel du dérivé doit correspondre au prix du portefeuille de réplication.

Une exploration plus approfondie est consacrée à la tarification d'un gain général à l'aide de la formule Black-Scholes et d'une évaluation neutre au risque. Un portefeuille de réplication, composé d'une obligation et d'un certain nombre d'actions, est introduit comme moyen de répliquer la performance du dérivé à l'échéance, quelles que soient les probabilités réelles. La vidéo présente le concept de mesure neutre au risque ou mesure de martingale, qui existe indépendamment du monde réel et joue un rôle fondamental dans la tarification des produits dérivés. La dynamique du stock sous-jacent et l'importance de l'écart-type du mouvement brownien sont également discutées, la formule de Black-Scholes étant présentée comme une extension de la règle de Taylor.

La vidéo se penche ensuite sur la résolution de l'équation aux dérivées partielles du modèle Black-Scholes, qui relie le prix actuel des dérivés à sa stratégie de couverture et s'applique à tous les dérivés négociables basés sur la volatilité des actions. Les coefficients de réplication du portefeuille sont déterminés à tout moment, permettant la réplication parfaite de la performance d'un dérivé par l'achat d'actions et de liquidités. Cette couverture ne comporte aucun risque, permettant aux commerçants de percevoir une commission sur la transaction.

En outre, le conférencier explique comment l'équation de Black-Scholes peut être transformée en une équation de la chaleur, facilitant l'utilisation de méthodes numériques pour évaluer les dérivés avec des paiements ou des dynamiques complexes. La vidéo met en évidence l'importance d'aborder le problème d'un point de vue neutre au risque pour déterminer le prix du dérivé comme la valeur attendue du paiement actualisée par la probabilité neutre au risque à l'échéance. L'importance de la mesure neutre au risque, où la dérive du titre est égale au taux d'intérêt, est soulignée à travers un exemple binaire.

Pour les gains dérivés plus compliqués, tels que les gains américains, des simulations de Monte Carlo ou des méthodes de différences finies doivent être utilisées. La vidéo souligne la nécessité de ces approches lorsque l'hypothèse de volatilité constante, telle que supposée dans la formule Black-Scholes, n'est pas vraie dans les scénarios du monde réel.

La vidéo présente le concept de co-put parity, qui établit une relation entre le prix d'un call et le prix d'un put avec le même prix d'exercice. En construisant un portefeuille de réplication composé d'un appel, d'une vente et d'actions, les investisseurs peuvent garantir un paiement spécifique à la fin. L'orateur démontre en outre comment la parité Co-put peut être utilisée pour fixer le prix des contrats numériques, qui ont des paiements binaires selon que l'action se termine au-dessus ou en dessous du prix d'exercice. Ceci peut être réalisé en tirant parti de l'idée d'un portefeuille de réplication et des prix des appels.

Dans la section suivante, l'orateur développe la réplication de portefeuilles comme moyen de couvrir des dérivés complexes. À travers un exemple impliquant l'achat d'un appel avec un prix d'exercice K moins 1/2 et la vente d'un appel avec un prix d'exercice K plus 1/2, combinés pour créer un paiement, l'orateur montre comment ce paiement peut être amélioré en vendant à K moins 1/4 et K plus 1/4, résultant en un paiement avec la moitié de la pente. La vidéo met en évidence l'utilisation de petits epsilon, l'achat et la vente de plusieurs contrats, et la mise à l'échelle à un ratio de 2:1 pour se rapprocher du prix numérique. L'orateur explique comment la prise de dérivés du prix du Co par grève entraîne une rampe et donne un aperçu des pratiques réelles utilisées pour minimiser les risques.

Dans l'ensemble, cette vidéo fournit une couverture complète de la tarification neutre au risque, y compris la formule Black-Scholes, la parité Co-put et la réplication des portefeuilles. Il offre des informations précieuses sur la tarification et la couverture des dérivés complexes, tout en reconnaissant la nécessité de techniques plus avancées dans certains scénarios. En comprenant ces concepts, les individus peuvent acquérir une compréhension plus approfondie de la gestion des risques et de ses applications dans le domaine financier.

  • 00:00:00 Dans cette section, le concept de tarification neutre au risque est expliqué à travers un exemple simple d'un bookmaker acceptant des paris sur des courses de chevaux. Le bookmaker ayant une bonne connaissance des chevaux établit les cotes en fonction de probabilités réelles, mais s'il établit les cotes en fonction du total des paris déjà placés, il peut réaliser un profit sans risque quel que soit le cheval qui gagne. L'exemple conduit à une discussion sur les contrats dérivés, qui sont des paiements formels liés à un instrument liquide sous-jacent, généralement négociés en bourse ou de gré à gré. Le dérivé le plus simple, un contrat à terme, est présenté comme un accord par une partie pour acheter un actif à une autre partie à un prix prédéterminé à un moment futur spécifique.

  • 00:05:00 Dans cette section, la vidéo traite de différents types de contrats en finance, y compris un contrat à terme, une option d'achat et une option de vente. Un contrat à terme est une obligation d'acheter un actif à un prix convenu dans le futur. Une option d'achat, qui est comme une assurance contre la baisse de l'actif, est une option d'achat d'un actif à un prix convenu aujourd'hui. Le paiement d'une option d'achat est toujours positif - maximum de s moins K et zéro. D'autre part, une option de vente est un pari sur la baisse de l'actif, de sorte que le paiement est maximum de K moins s et zéro. La vidéo explique également comment le prix actuel de ces contrats peut être déterminé sur la base de certaines hypothèses, telles que le prix actuel de l'actif sous-jacent et la volatilité.

  • 00:10:00 Dans cette section de la vidéo, il est expliqué qu'il n'y a pas d'incertitude sur le prix d'une option lorsque le paiement est fixé, et que le prix de l'option ne dépend que de la dynamique et de la volatilité de l'action. Le concept de neutralité au risque est introduit, ce qui signifie que le prix de l'option n'a rien à voir avec les préférences de risque des acteurs du marché ou des contreparties. La vidéo montre ensuite un exemple simple d'un marché à deux périodes sans incertitude, où les prix des options sont calculés à l'aide de la méthode d'évaluation neutre au risque et non des probabilités réelles ondulées à la main. L'exemple implique d'emprunter de l'argent à la banque pour acheter l'action et de fixer le prix à terme de sorte que le prix de l'option soit égal à zéro.

  • 00:15:00 Dans cette section, le concept d'un contrat à terme est expliqué en termes de portefeuille de réplication. L'orateur explique comment, en prenant une position courte dans un contrat à terme et en utilisant une combinaison d'actions et de liquidités, un portefeuille de réplication peut être créé qui garantit le gain final. L'objectif de la tarification neutre au risque est de trouver un tel portefeuille de réplication pour un dérivé donné. Si un portefeuille de réplication est créé, le prix actuel du dérivé doit être le même que le prix du portefeuille de réplication.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute du processus de tarification d'un gain général F à l'aide de la formule de Black-Scholes et d'une évaluation neutre au risque. Pour ce faire, l'orateur introduit le concept d'un portefeuille de réplication composé d'une obligation et d'une certaine quantité d'actions. Ils expliquent que le portefeuille de réplication est conçu pour garantir que, quelle que soit la probabilité réelle, le gain peut être reproduit exactement à l'échéance. L'orateur poursuit en décrivant la mesure neutre au risque ou mesure de martingale, qui existe indépendamment du monde réel. La valeur de tous les produits dérivés n'est que la valeur attendue de l'appel dans de telles mesures. De plus, l'orateur parle de la dynamique du soulignement du stock et de l'importance de l'écart type du mouvement brownien à l'échelle de la racine carrée de T. Ils mentionnent que la formule de Black-Scholes n'est rien de plus que la règle de Taylor avec un plus terme en raison de l'écart type du mouvement brownien.

  • 00:25:00 Dans cette section, la vidéo explique le processus de résolution de l'équation différentielle partielle pour le modèle Black-Scholes. L'équation relie le prix actuel d'un dérivé à sa stratégie de couverture et s'applique à tous les dérivés négociables car elle ne dépend que de la volatilité de l'action. La vidéo décrit également la recherche de coefficients de portefeuille de réplication (a et b) à tout moment, permettant une réplication parfaite de la performance d'un dérivé grâce à l'achat d'actions et d'espèces. Cette couverture ne comporte aucun risque et les commerçants peuvent percevoir une commission sur cette transaction.

  • 00:30:00 Dans cette section, l'orateur explique que l'équation de Black Scholes peut être transformée en une équation de chaleur bien connue et comprise, qui peut être résolue par des méthodes numériques pour des paiements ou des dynamiques plus complexes. Les conditions de paiement finales et les conditions aux limites pour les appels et les options de vente sont également discutées, et l'orateur note que pour la dynamique simple et la dynamique log-normale dynamique de Black Scholes, les équations peuvent être résolues exactement. L'orateur souligne également l'importance d'aborder le problème à partir d'une position neutre au risque pour trouver le prix du dérivé comme la valeur attendue du paiement actualisée par la probabilité neutre au risque de l'échéance. La mesure neutre au risque est telle que la dérive du stock est le taux d'intérêt, comme on le voit dans l'exemple binaire.

  • 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute du calcul de la formule de Black-Scholes en prenant la valeur attendue du paiement du put de Colin avec la distribution terminale de distribution log-normale. Pour des gains plus compliqués, comme les gains américains, des simulations de Monte Carlo ou des différences finies doivent être implémentées. L'orateur donne également un exemple du portefeuille de réplication en action à l'aide d'options sur actions IBM et explique comment la parité put-call peut être utilisée pour fixer le prix des puts lorsque la volatilité n'est pas constante. La discussion reconnaît que l'hypothèse de la formule Black-Scholes de volatilité constante n'est pas toujours vraie dans le monde réel, et des méthodes plus compliquées doivent être utilisées pour fixer le prix de certaines options.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'intervenant explique le concept de co-put parity, qui est une relation entre le prix d'un call et le prix d'un put pour le même strike. En créant un portefeuille de réplication avec un appel, une vente et une action, un investisseur peut garantir un paiement à la fin. L'orateur utilise également le concept de parité Co-put pour fixer le prix d'un contrat numérique, qui a un paiement binaire basé sur le fait que l'action se termine au-dessus ou en dessous du prix d'exercice. Cela peut être fait en utilisant l'idée d'un portefeuille de réplication et les prix des appels.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur explique le concept de portefeuilles répliquants, qui sont un moyen de couvrir des dérivés compliqués. Ils le démontrent avec un exemple d'achat d'un call avec strike K moins 1/2 et de vente d'un call avec strike K plus 1/2, puis de les combiner pour créer un paiement. Ils montrent comment améliorer ce paiement en vendant à K moins 1/4 et K plus 1/4 et en les combinant, ce qui donne un paiement deux fois moins incliné. Ils expliquent comment approximer le prix numérique en utilisant un petit epsilon, en achetant et en vendant plusieurs contrats tout en redimensionnant à 2:1. Ils montrent comment la prise de dérivés du prix du Co par grève entraîne une rampe et expliquent comment tout cela est fait dans la vraie vie pour réduire les risques.
19. Black-Scholes Formula, Risk-neutral Valuation
19. Black-Scholes Formula, Risk-neutral Valuation
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20. Prix de l'option et dualité de probabilité



20. Prix de l'option et dualité de probabilité

Dans cette section, le Dr Stephen Blythe se penche sur la relation entre les prix des options et les distributions de probabilité, mettant en lumière la formule de réplication de tout produit dérivé avec une fonction de paiement donnée. Il souligne que les options d'achat sont fondamentales et peuvent être utilisées pour reproduire n'importe quelle fonction continue, ce qui les rend essentielles dans le domaine financier. Blythe explore également les limites de l'utilisation des options d'achat seules pour déterminer le processus stochastique sous-jacent d'un cours d'action, suggérant que des bases alternatives de fonctions capables de couvrir des fonctions continues peuvent également être utilisées.

La vidéo prend une brève pause pendant que le Dr Blythe partage une anecdote historique intrigante liée aux Cambridge Mathematics Tripos. Cet examen, qui a testé les connaissances mathématiques de personnalités notables telles que Lord Kelvin, John Maynard Keynes et Karl Pearson, a joué un rôle important dans la formation du domaine des mathématiques appliquées.

Revenant au sujet principal, le Dr Blythe introduit le concept de prix d'option et de dualité de probabilité, soulignant la dualité naturelle entre ces deux aspects. Il explique que les produits dérivés compliqués peuvent être compris comme des distributions de probabilités et qu'en basculant entre les prix des options, les probabilités et les distributions, ils peuvent être discutés de manière plus accessible.

La vidéo poursuit avec l'introduction de la notation des prix des options et l'explication de la fonction de paiement d'une option d'achat. Le Dr Blythe construit un portefeuille composé de deux appels et utilise des limites pour trouver la dérivée partielle du prix de l'appel par rapport au prix d'exercice. Il introduit également le concept d'un écart d'appel, qui représente l'écart entre deux appels avec une fonction de paiement spécifique.

Le Dr Blythe se penche ensuite sur la dualité entre les prix des options et les probabilités, en se concentrant sur le théorème fondamental de l'évaluation des actifs (FTAP). Il explique que les prix des options sont les valeurs attendues des paiements futurs actualisés au présent, et que le paiement d'une option numérique est lié à la probabilité que le cours de l'action soit supérieur à un certain niveau à l'échéance. À l'aide de calculs, il démontre que la limite de l'écart d'appel tend vers l'option numérique et que le prix de l'option numérique est égal à la dérivée partielle du prix d'appel par rapport au prix d'exercice. L'orateur insiste sur la distinction théorique entre le prix d'exercice supérieur ou supérieur ou égal à, notant que cette distinction n'a aucune signification pratique.

Ensuite, l'orateur se penche sur le lien entre les prix des options et la probabilité en introduisant le théorème fondamental de l'évaluation des actifs. Ce théorème établit que le rapport de prix d'un dérivé à une obligation à coupon zéro est une martingale par rapport au cours de l'action sous la distribution neutre au risque. Le Dr Blythe explique comment ce théorème permet de passer de la densité de probabilité au prix de n'importe quel dérivé, permettant une analyse plus approfondie de la relation entre la probabilité et le prix des options.

La vidéo se poursuit pour discuter d'une méthode d'accès à la fonction de densité à travers un portefeuille d'options, en utilisant spécifiquement la stratégie d'appel papillon. Le Dr Blythe explique qu'un écart papillon d'appel, construit en mettant à l'échelle de manière appropriée la différence entre deux écarts d'appel, peut approximer la dérivée seconde nécessaire pour obtenir la fonction de densité. Bien qu'il ne soit pas possible de devenir infiniment petit dans le monde réel, le trading de papillons d'appel avec des prix d'exercice spécifiques fournit une approximation raisonnable de la probabilité que l'actif sous-jacent se situe dans un intervalle particulier.

S'appuyant sur cette idée, le Dr Blythe explique comment le portefeuille de propagation papillon peut être utilisé pour accéder à la dérivée seconde et obtenir la fonction de densité. En prenant des limites appropriées de la propagation papillon, il arrive à la fonction de densité f(x), qui sert de mesure de probabilité indépendante du modèle pour la variable aléatoire sous-jacente à maturité. Cette mesure de probabilité permet aux individus d'évaluer s'ils sont d'accord avec la probabilité impliquée par le prix du papillon et de prendre des décisions d'investissement éclairées. Le Dr Blythe souligne que ces relations sont indépendantes du modèle et qu'elles sont valables quel que soit le modèle spécifique utilisé pour la tarification des options.

Dans la section suivante, le Dr Stephen Blythe, chargé de cours en finance quantitative, élabore sur la relation entre les prix des options et les distributions de probabilité. Il explique que la distribution de probabilité d'un titre à un moment donné est conditionnée par son prix à l'instant présent, et la condition martingale est par rapport au même prix. Le Dr Blythe prend ensuite un moment pour partager une information historique intéressante sur le diplôme de Cambridge Mathematics, qui a joué un rôle central dans l'élaboration du programme des concentrateurs de mathématiques appliquées.

Pour aller de l'avant, l'orateur se penche sur le théorème fondamental des prix des actifs (FTAP). Ce théorème stipule que le ratio prix/zéro-coupon-obligation est une martingale par rapport au cours de l'action sous la distribution neutre au risque. Il fournit un cadre pour passer de la densité de probabilité au prix de tout dérivé. Le Dr Blythe souligne que la densité peut également être dérivée des prix des appels, et ces deux routes sont interconnectées par le théorème fondamental, permettant une analyse plus approfondie de la relation entre la probabilité et la tarification des options.

Dans la section suivante, le Dr Blythe explique que les prix de toutes les options d'achat pour divers prix d'exercice jouent un rôle crucial dans la détermination du paiement pour une fonction dérivée donnée. Les options d'achat couvrent tous les prix des dérivés et sont considérées comme des prix européens des dérivés. L'orateur souligne qu'une fonction dérivée peut être reproduite en construisant un portefeuille d'options d'achat, et si le paiement du dérivé correspond à une combinaison linéaire d'options d'achat à l'échéance, elles auront la même valeur aujourd'hui. Ce concept est sous-tendu par l'hypothèse fondamentale de la finance, connue sous le nom de non-arbitrage, qui stipule que si deux choses valent la même valeur dans le futur, elles devraient avoir la même valeur aujourd'hui. Cependant, le Dr Blythe reconnaît que cette hypothèse a été remise en question en finance depuis la crise financière de 2008.

Poursuivant la discussion, la vidéo présente une question économique stimulante sur les marchés financiers et l'arbitrage. Lorsque l'échéance (capital T) est fixée loin dans le long terme, il est possible que les prix de l'option et du portefeuille de réplication divergent si l'arbitrage échoue. Cela peut entraîner une différence substantielle entre les deux options. Des preuves empiriques ont montré que les prix ont effectivement dévié les uns des autres. Le Dr Blythe mentionne que les investisseurs à long terme, tels que la dotation de Harvard, se concentrent sur leurs rendements annuels et sur cinq ans au lieu d'exploiter l'écart de prix sur une période de 10 ans. Il introduit ensuite une théorie mathématique qui affirme que toute fonction continue peut être répliquée par des appels sans exception, à la limite.

L'orateur discute ensuite de la formule de réplication d'un produit dérivé arbitraire avec une fonction de paiement donnée, notée g(x) ou g(S) à l'échéance. La formule fournit des instructions explicites sur la réplication du dérivé à l'aide de g (0) obligations à coupon zéro, g prime zéro de l'action et une combinaison linéaire d'options d'achat. Le Dr Blythe soutient cette formule en utilisant des valeurs attendues et met l'accent sur la dualité entre les prix des options et les probabilités, soulignant l'importance des options d'achat en tant qu'information fondamentale qui couvre tout le spectre. La formule pose également des questions intrigantes qui méritent une exploration plus approfondie.

Abordant un aspect important, le Dr Blythe explore s'il est possible de déterminer le processus stochastique du cours d'une action sur une période donnée en connaissant tous les prix des options d'achat pour différentes échéances et différents prix. Il soutient que la réponse est non, car le cours de l'action peut fluctuer instantanément sur un petit intervalle de temps, sans aucune contrainte sur la continuité du processus ni limitation mathématique. Cependant, si le stock suit un processus de diffusion, il devient possible de déterminer le processus, résultant en une solution élégante et pratique. En réalité, on ne peut connaître qu'un sous-ensemble fini d'options d'achat, ce qui souligne davantage les limites de la détermination complète du processus stochastique sous-jacent uniquement sur la base des prix des options d'achat.

Le Dr Blythe poursuit en expliquant que même avec l'accès à un grand nombre de prix d'options d'achat européennes, il peut toujours y avoir des produits dérivés complexes ou non standard dont les prix ne peuvent pas être déterminés de manière unique en ne connaissant que ces options. Il souligne que l'ensemble des options d'achat ne fournit pas à lui seul des informations complètes sur le processus stochastique sous-jacent, même si toutes les options d'achat sont connues. Pour surmonter cette limitation, le Dr Blythe suggère d'envisager des bases alternatives pour la durée de tous les paiements possibles. Il note que n'importe quel ensemble arbitraire de fonctions capables de couvrir une fonction continue peut être utilisé, bien que l'utilisation d'options d'appel offre souvent l'approche la plus élégante.

Poursuivant la discussion, le Dr Blythe élucide la relation entre les prix des options d'achat et les distributions terminales. Il affirme que la distribution des terminaux peut être uniquement déterminée par les prix des options d'achat. En considérant le rapport de Z sur thêta, une densité neutre au risque particulière pour chaque stock peut être obtenue. Cela met en évidence l'interdépendance entre les prix des options d'achat et la densité du cours de l'action sous-jacente à l'échéance, fournissant des informations précieuses sur les mesures de probabilité indépendantes du modèle.

Alors que la section tire à sa fin, le Dr Blythe réitère l'importance de comprendre les liens entre les prix des options et les distributions de probabilité en finance. Ces informations permettent aux analystes et aux traders de porter des jugements éclairés sur les probabilités implicites reflétées dans les prix des options et d'ajuster leurs décisions d'investissement en conséquence. Le Dr Blythe souligne que ces relations restent vraies quel que soit le modèle spécifique utilisé pour la tarification des options, soulignant davantage leur importance dans la finance quantitative.

En résumé, la présentation du Dr Stephen Blythe explore la relation complexe entre les prix des options et les distributions de probabilité. Il discute de l'essor de l'ingénierie financière et du cheminement de carrière des analystes quantitatifs, qui a été influencé par l'annulation du super collisionneur supraconducteur. Le Dr Blythe introduit le concept de prix d'option et de dualité de probabilité, en mettant l'accent sur la dualité naturelle entre les prix d'option et les distributions de probabilité. Il explore le théorème fondamental de l'évaluation des actifs et ses implications pour comprendre les prix des options et les approches probabilistes en finance. Le Dr Blythe fournit des exemples d'utilisation de spreads papillon et d'autres objets de trading pour accéder aux fonctions de densité et porter des jugements sur les probabilités implicites. La présentation comprend également des anecdotes historiques sur les Cambridge Mathematics Tripos, mettant en valeur l'implication de mathématiciens notables dans la finance. À travers ces discussions, le Dr Blythe met en lumière les liens profonds entre les prix des options, les probabilités et les principes fondamentaux de la tarification des actifs.

  • 00:00:00 Cette section contient l'introduction d'un nouveau conférencier, le Dr Stephen Blythe, qui présente la finance et la finance quantitative. Avant de commencer sa présentation, il pose à l'auditoire une question liée à un événement important de la finance, sur lequel le Congrès s'était prononcé il y a 20 ans. Le Congrès a voté pour couper le financement du super collisionneur supraconducteur sous le Texas, juste au sud de Dallas.

  • 00:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'impact de l'annulation du super collisionneur supraconducteur par le Congrès, qui a eu lieu dans les années 1990. À la suite de cette décision, le marché des physiciens universitaires s'est effondré presque du jour au lendemain, ce qui a conduit de nombreuses personnes à chercher un emploi dans la finance. Cet événement, combiné à la croissance du marché des produits dérivés et à la nécessité de construire de nouveaux cadres théoriques pour résoudre les problèmes du marché, a entraîné l'essor du domaine de l'ingénierie financière et la création du parcours de carrière d'analyste quantitatif. L'orateur lui-même a commencé sa carrière dans le milieu universitaire et s'est ensuite tourné vers la finance avant de retourner dans le milieu universitaire et enseigne maintenant un cours à Harvard sur la finance quantitative appliquée. Son cours couvre la construction de cadres théoriques et leur utilisation pour résoudre des problèmes réels rencontrés sur le marché financier.

  • 00:10:00 Dans cette section de la vidéo, le professeur introduit le concept de prix d'option et de dualité de probabilité. Il explique que tous les produits dérivés peuvent être définis en termes de fonction de paiement, et il définit trois actifs : l'option d'achat, l'obligation à coupon zéro et l'option numérique. Il note que la théorie sous-jacente de la finance est guidée par des exemples concrets et que l'approche probabiliste pour comprendre la finance est particulièrement élégante. Le professeur met l'accent sur la dualité naturelle entre les prix des options et les distributions de probabilité, déclarant que ces dérivés compliqués ne sont en fait que des distributions de probabilité, et qu'ils peuvent être discutés de manière facilement compréhensible en faisant des allers-retours entre les prix des options, les probabilités et les distributions.

  • 00:15:00 Dans cette section, l'orateur introduit la notation des prix des options et explique la fonction de paiement d'un appel. Ils construisent un portefeuille composé de deux appels et utilisent des limites pour trouver la dérivée partielle du prix de l'appel par rapport à K. L'orateur mentionne également que l'écart d'appel est l'écart entre deux appels avec une fonction de paiement particulière.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur explique la dualité entre les prix des options et les probabilités, sur la base du théorème fondamental de l'évaluation des actifs (FTAP). Plus précisément, l'orateur suppose que les prix actuels sont les valeurs attendues des paiements futurs actualisés au présent, et que le paiement d'une option numérique est lié à la probabilité qu'une action soit supérieure à un certain prix à l'échéance. L'orateur utilise le calcul pour montrer que la limite de l'écart d'appel tend vers le numérique et que le prix du numérique est égal à la dérivée partielle par rapport au prix d'exercice du prix d'appel. L'orateur discute également de l'importance de définir si le prix d'exercice est supérieur ou supérieur ou égal à, notant que cette distinction théorique n'a pas d'importance dans la pratique.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur discute du lien entre les prix des options et la probabilité en introduisant le théorème fondamental d'évaluation des actifs. La valeur attendue sous la distribution neutre au risque est retirée afin de trouver cette formule de tarification, qui est strictement vraie. Les martingales jouent un rôle crucial dans cette formalisation de la tarification des actifs, et il a fallu un certain temps pour que l'approche soit adoptée sur le parquet malgré la théorie sous-jacente toujours présente. En assimilant deux prix pour l'option numérique, l'orateur établit un lien entre les prix des appels et la densité du cours de l'action sous-jacente au capital T.

  • 00:30:00 Dans cette section, l'orateur explique un moyen d'accéder à la fonction de densité via un portefeuille d'options en considérant la différence entre deux écarts d'appels correctement mis à l'échelle, ce que l'on appelle un papillon d'appel. Cet objet échangé peut aider à approximer la dérivée seconde qui conduit à la fonction de densité. Bien qu'il ne soit pas possible d'aller infiniment petit dans le monde réel, nous pouvons échanger un papillon d'appel de 150, 160 ou 170, ce qui est une approximation raisonnable de la probabilité d'être dans cet intervalle.

  • 00:35:00 Dans cette section, Blythe explique comment le portefeuille de spread papillon peut être utilisé pour accéder à la dérivée seconde via le prix du papillon. En prenant les limites de la propagation du papillon à des échelles appropriées, Blythe obtient une fonction de densité f (x), qui peut être utilisée comme mesure de probabilité indépendante du modèle de la variable aléatoire sous-jacente à K à maturité. Sur la base de cette mesure de probabilité, les gens peuvent juger s'ils sont d'accord avec la probabilité impliquée par le prix du papillon et l'acheter en conséquence. Blythe note que ces relations sont indépendantes du modèle et resteront valables quel que soit le modèle pour les prix des options.

  • 00:40:00 Dans cette section, Stephen Blythe, conférencier en finance quantitative, discute de la relation entre les prix des options et les distributions de probabilité. Il explique que la distribution de probabilité d'un titre à un certain moment dépend du prix de ce titre à l'heure actuelle et que la condition martingale est également relative au même prix. Blythe prend également une courte pause dans la discussion et partage une anecdote historique sur le diplôme de Cambridge Mathematics et comment il a généré l'ensemble du programme pour les concentrateurs de mathématiques appliquées.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur partage quelques faits historiques intéressants sur les Cambridge Mathematics Tripos, qui est un examen qui a eu lieu à Cambridge pour tester les connaissances mathématiques. Il parle des réalisations de personnes notables qui ont passé l'examen, notamment Lord Kelvin, John Maynard Keynes et Karl Pearson. L'orateur passe ensuite à la discussion de la relation entre les prix des options et les probabilités. Il explique que le théorème fondamental de l'évaluation des actifs affirme que les prix des options sont le paiement attendu actualisé à l'échéance, et si ce théorème est valable, il est possible de passer de la probabilité au prix de l'option.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'orateur discute du théorème fondamental des prix des actifs (FTAP), qui stipule que le rapport du prix à l'obligation à coupon zéro est une martingale par rapport au cours de l'action sous la distribution neutre au risque . Ce théorème permet de passer de la densité de probabilité au prix de tout dérivé. L'orateur note que la densité peut également être dérivée des prix des appels, et ces deux routes sont interconnectées par le théorème fondamental. Cela permet d'analyser et de comprendre la relation entre la probabilité et la tarification des options.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'orateur explique que connaître les prix de toutes les options d'achat pour tous les prix d'exercice détermine le paiement dérivé pour une fonction donnée. Les options d'achat couvrent tous les prix des dérivés et sont des prix européens des dérivés. Une fonction détermine le dérivé, qui peut être reproduit par un portefeuille d'options d'achat, et si le paiement du dérivé est le même qu'une combinaison linéaire d'options d'achat à l'échéance, elles valent toutes les deux la même chose aujourd'hui. L'hypothèse fondamentale de la finance, pas d'arbitrage, souligne ce concept et dicte que si deux choses valent un dollar dans un an, elles valent la même chose aujourd'hui. Cependant, depuis 2008, cette hypothèse est remise en question en finance.

  • 01:00:00 Dans cette section, la vidéo présente une question économique profonde sur les marchés financiers et l'arbitrage. Lorsque le capital T est défini loin sur le long terme, rien n'empêche les prix de l'option et du portefeuille de réplication de s'éloigner l'un de l'autre en cas d'échec de l'arbitrage, ce qui peut entraîner une très grande différence entre les deux options. Empiriquement, il a été démontré que les prix s'éloignent les uns des autres. L'orateur mentionne que la dotation de Harvard est un investisseur à long terme et explore pourquoi il n'achète pas l'option la moins chère en la conservant pendant 10 ans pour gagner de l'argent, mais déclare que c'est parce qu'ils se soucient de leurs rendements annuels et quinquennaux. De plus, l'orateur présente une théorie mathématique qui stipule que toute fonction continue doit pouvoir être répliquée par des appels, sans exception, à la limite.

  • 01:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de la formule de réplication d'un produit dérivé arbitraire avec un paiement g de x ou g de S à l'échéance. La formule explique explicitement comment répliquer par g(0) obligations à coupon zéro, g premier zéro d'actions et une combinaison linéaire d'options d'achat. L'orateur prouve cette formule en prenant des valeurs attendues et discute de la dualité des prix des options et des probabilités de différentes manières, soulignant l'importance des options d'achat en tant qu'information primitive et comment elles couvrent tout. La formule soulève également des questions intéressantes pour une discussion plus approfondie.

  • 01:10:00 Dans cette section, l'orateur discute de la possibilité de déterminer le processus stochastique d'un cours d'action sur une période en connaissant tous les prix des options d'achat pour toutes les échéances et tous les prix. L'orateur soutient que la réponse est non car il est possible que le titre bascule instantanément sur un petit intervalle de temps, sans contrainte sur la continuité du processus ni contraintes mathématiques. Cependant, le processus peut être déterminé si le stock a un processus de diffusion, et le résultat est élégant et pratique. L'implication pratique est qu'en réalité, on ne connaîtra qu'un sous-ensemble fini d'options d'achat.

  • 01:15:00 Dans cette section, Stephen Blythe explique que même si un trader a accès à un grand nombre de prix d'options d'achat européens, il peut y avoir des produits dérivés complexes ou non standard dont le prix n'est pas déterminé uniquement en connaissant simplement ces options. En effet, l'ensemble des options d'achat ne détermine pas le processus stochastique sous-jacent, même si l'on les connaît toutes. Blythe discute également de la suggestion de sélectionner une autre base pour l'étendue de tous les paiements possibles au lieu des options d'achat, et explique que toute base arbitraire de fonctions pouvant s'étendre sur une fonction continue peut fonctionner, mais l'utilisation des options d'achat est souvent la méthode la plus élégante pour cela. but.

  • 01:20:00 Dans cette section, Stephen Blythe explique la relation entre les prix des options d'achat et la distribution des terminaux, cette dernière étant uniquement déterminée par la première. Il note également que prendre Z sur thêta se traduit par une densité neutre au risque particulière pour chaque action.
20. Option Price and Probability Duality
20. Option Price and Probability Duality
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21. Équations différentielles stochastiques



21. Équations différentielles stochastiques

Cette vidéo fournit une exploration approfondie de diverses méthodes de résolution d'équations différentielles stochastiques (SDE). Le professeur commence par souligner le défi de trouver un processus stochastique qui satisfait une équation donnée. Cependant, ils rassurent le public sur le fait que, sous certaines conditions techniques, il existe une solution unique avec des conditions initiales spécifiées. Le conférencier présente la méthode des différences finies, la simulation de Monte Carlo et la méthode des arbres comme approches efficaces pour résoudre les SDE.

Le professeur se penche sur les conditions techniques nécessaires à la résolution des SDE et souligne que ces conditions sont généralement remplies, ce qui facilite la recherche de solutions. Ils présentent un exemple pratique de résolution d'un SDE simple en utilisant une forme exponentielle et en appliquant une approche de devinette avec des formules pertinentes. De plus, l'orateur illustre comment analyser les composants d'un SDE pour revenir en arrière et trouver la fonction correspondante. Ils présentent le processus d'Ornstein-Uhlenbeck comme un exemple de processus stochastique de retour à la moyenne, mettant en lumière ses termes de dérive et de bruit.

Passant aux méthodes de résolution spécifiques, le professeur explique comment la méthode des différences finies, couramment utilisée pour les équations aux dérivées ordinaires et partielles, peut être adaptée pour aborder les SDE. Ils décrivent le processus de décomposition de la SDE en petits intervalles et d'approximation de la solution à l'aide de la formule de Taylor. Le conférencier discute également des défis posés par l'incertitude inhérente au mouvement brownien dans la méthode des différences finies et présente une solution impliquant un chemin de mouvement brownien à échantillon fixe.

Ensuite, l'enseignant explore la méthode de simulation de Monte Carlo pour résoudre les SDE. Ils soulignent la nécessité de tirer de nombreux échantillons d'une distribution de probabilité, permettant de calculer X(0) pour chaque échantillon et d'obtenir une distribution de probabilité pour X(1). L'orateur note que contrairement à la méthode des différences finies, la simulation de Monte Carlo peut être utilisée une fois que le mouvement brownien a été fixé.

La méthode de l'arbre est présentée comme une autre approche de solution numérique pour les SDE, impliquant l'utilisation de marches aléatoires simples comme approximations pour tirer des échantillons de mouvements browniens. En calculant des valeurs de fonction sur une distribution de probabilité, une distribution approximative du mouvement brownien peut être réalisée. L'enseignant souligne l'importance de choisir une taille de pas appropriée (h) pour équilibrer la précision et le temps de calcul, car la qualité de l'approximation se détériore avec des tailles de pas plus petites.

Pendant le cours, le professeur et les étudiants s'engagent dans des discussions concernant les méthodes numériques de résolution des SDE, en se concentrant particulièrement sur les méthodes d'arbres pour les dérivées dépendantes du chemin. L'équation de la chaleur est également mentionnée, qui modélise la distribution de la chaleur dans le temps dans une barre infinie isolée. L'équation de la chaleur a une solution de forme fermée et est bien comprise, fournissant des informations précieuses sur la résolution des SDE. Sa relation avec la distribution normale est explorée, soulignant comment la distribution de la chaleur correspond à une multitude de mouvements browniens simultanés.

La vidéo se termine avec le professeur résumant les sujets abordés et mentionnant que le projet final consiste à effectuer les détails de la résolution des SDE. L'orateur indique également que les conférences à venir se concentreront sur les applications pratiques du matériel présenté jusqu'à présent, enrichissant davantage la compréhension des SDE dans des scénarios du monde réel.

  • 00:00:00 Dans cette section, le professeur discute du concept de trouver un processus stochastique qui satisfait une équation donnée, et note que ces types d'équations peuvent être difficiles à résoudre. Cependant, tant que les fonctions impliquées sont raisonnables, il existe une solution unique avec des conditions initiales données. Le professeur mentionne également les conditions techniques qui doivent être remplies pour que les fonctions soient jugées raisonnables.

  • 00:05:00 Dans cette section, les conditions techniques des équations différentielles stochastiques sont expliquées. Bien que les conditions puissent sembler intimidantes, elles tiendront généralement, ce qui facilitera la recherche d'une solution à l'équation différentielle. Le professeur Li fournit également un exemple de la façon de résoudre une simple équation différentielle stochastique sous forme exponentielle en utilisant une approche de devinette et diverses formules. La dernière étape de la résolution des équations différentielles stochastiques consiste à vérifier que toutes les variables correspondent, comme le montre l'expression donnée par le membre de l'auditoire.

  • 00:10:00 Dans cette section, l'orateur montre un exemple de résolution d'une équation différentielle stochastique en analysant ses composants et en les utilisant pour revenir à la fonction. Il note que cette approche n'est peut-être pas meilleure que de deviner la réponse, mais elle peut être utile lorsqu'une solution explicite n'est pas connue ou lorsqu'il n'y a pas de supposition raisonnable. Il présente ensuite le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, qui est utilisé pour modéliser les processus stochastiques de retour à la moyenne, tels que le comportement des gaz. Le processus a un terme de dérive qui est proportionnel à la valeur actuelle et un terme de bruit qui est indépendant de la valeur.

  • 00:15:00 Dans cette section, l'orateur explique comment résoudre une équation différentielle stochastique en proposant une estimation pour une fonction de test et en suivant une analyse similaire à celle utilisée pour les équations différentielles ordinaires ou partielles. L'orateur partage le fait que pour ce processus, la supposition initiale sera a(0) égal à 1, bien qu'il admette qu'il n'y a pas de véritable intuition ou ligne directrice pour arriver à cette supposition. En utilisant la règle de la chaîne pour différencier, ils dérivent une équation prime de t et la réécrivent comme X(t) divisé par a(t), plus a(t) fois la différentielle d'une autre équation. Les deux termes s'annulent, et ils concluent que a(t) doit être e moins alpha t. Brancher cela dans l'équation donne b(t), et donc X de t est e au moins alpha*t de x de 0 plus 0 à t sigma e aux alpha*s.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'accent est mis sur les méthodes utilisées pour résoudre les équations différentielles stochastiques. L'orateur indique que la méthode des différences finies, la simulation de Monte Carlo ou la méthode de l'arbre sont généralement utilisées pour tenter de résoudre ces équations. Bien que les méthodes aux différences finies soient généralement utilisées pour résoudre l'ODE et l'EDP, elles peuvent être adaptées pour fonctionner avec des équations différentielles stochastiques. La méthode est illustrée par un exemple où une équation différentielle stochastique donnée est découpée en petits morceaux, et la solution est approximée à l'aide de la formule de Taylor.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur discute de la méthode des différences finies pour les équations différentielles. Ils expliquent que la méthode consiste à prendre une petite valeur, h, et à répéter l'équation 1 plus de 100 fois jusqu'à atteindre la valeur finale. La même méthode peut être appliquée aux fonctions à deux variables en utilisant une expansion de Taylor pour remplir la grille couche par couche. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations différentielles stochastiques, la méthode des différences finies devient plus compliquée car chaque valeur peut provenir de plusieurs possibilités. Ceci peut être résolu en prenant un exemple de chemin de mouvement brownien et en utilisant la méthode des différences finies avec ce chemin fixe.

  • 00:30:00 Dans cette section, le conférencier explique comment résoudre numériquement une équation différentielle stochastique à l'aide de la simulation Monte Carlo. Pour ce faire, il est nécessaire de tirer un grand nombre d'échantillons d'une certaine distribution de probabilité. En faisant cela et en calculant la valeur de X (0) pour chaque échantillon, il est possible d'obtenir une distribution de probabilité pour X de 1. L'orateur note qu'une méthode de différence finie ne peut pas être utilisée pour les équations différentielles stochastiques en raison de l'incertitude sous-jacente de Mouvement brownien, mais cette méthode peut être utilisée une fois le mouvement brownien fixé.

  • 00:35:00 Dans cette section, le professeur explique la méthode de l'arbre pour tirer un échantillon de mouvements browniens en utilisant une marche aléatoire simple comme approximations. En calculant les valeurs d'une fonction sur une distribution de probabilité, la méthode de l'arbre permet de réaliser une distribution approchée du mouvement brownien. Il est important de noter que l'approximation pour les valeurs intermédiaires devient progressivement pire à mesure que h devient plus petit, nécessitant le bon h pour équilibrer la précision et le temps de calcul.

  • 00:40:00 Dans cette section, le professeur et les étudiants discutent de différentes méthodes pour résoudre numériquement des équations différentielles stochastiques, en se concentrant particulièrement sur les méthodes d'arbre pour les dérivées dépendantes du chemin. Ils abordent également l'équation de la chaleur, qui est une équation aux dérivées partielles qui modélise la répartition de la chaleur dans le temps dans une barre infinie parfaitement isolée. L'équation a une solution de forme fermée et est bien comprise.

  • 00:45:00 Dans cette section, le concept de linéarité est introduit, qui stipule que si une famille de fonctions satisfait toutes une équation spécifique, alors l'intégration de ces solutions satisfait également la même équation, tant que des fonctions raisonnables sont utilisées. Ceci est utile car il permet de résoudre des conditions initiales, telles qu'une fonction delta de Dirac. En utilisant ce principe et en superposant un grand nombre de solutions pour une condition initiale delta de Dirac, une solution pour des conditions initiales arbitraires peut être obtenue.

  • 00:50:00 Dans cette section, la vidéo traite de l'équation de la chaleur et de sa relation avec la distribution normale. L'équation de la chaleur modélise un système parfaitement isolé dans lequel la chaleur est initialement concentrée en un point puis se répartit dans le temps selon la distribution normale. Cela peut être considéré comme un ensemble de mouvements browniens se produisant simultanément. La solution de l'équation de la chaleur est donnée par intégration, permettant une solution explicite au temps t pour tout x. Cette solution de forme fermée peut ensuite être utilisée pour résoudre l'équation de Black-Scholes.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'orateur conclut le cours sur les équations différentielles stochastiques en déclarant que le projet final consiste à réaliser tous les détails et en expliquant comment l'équation de Black-Scholes se transformera en une équation de la chaleur. L'orateur mentionne également que les prochaines conférences se concentreront sur les applications du matériel couvert jusqu'à présent.
21. Stochastic Differential Equations
21. Stochastic Differential Equations
  • 2015.01.06
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23. Couverture de crédit Quanto



23. Couverture de crédit Quanto

Dans cette conférence complète, le professeur Stefan Andreev, un expert renommé de Morgan Stanley, plonge dans le monde fascinant de la tarification et de la couverture d'instruments financiers complexes dans les domaines du change, des taux d'intérêt et du crédit. La discussion porte principalement sur le concept de couverture de crédit, qui consiste à atténuer les risques associés à l'exposition au crédit.

Le professeur Andreev commence par élucider le processus de reproduction du gain d'un produit financier complexe en utilisant les prix connus d'autres instruments et en employant des techniques mathématiques sophistiquées pour dériver le prix du produit complexe. Il souligne l'importance d'incorporer des processus de saut, qui sont des phénomènes stochastiques qui capturent des mouvements de prix soudains et significatifs, pour décrire efficacement le comportement des prix liés aux défauts souverains sur les marchés émergents. Un exemple notable exploré est l'impact de la situation de défaut de la Grèce sur l'euro.

La conférence se penche sur divers aspects de la tarification théorique des obligations, en considérant des modèles mathématiques qui facilitent la couverture contre les défauts et les contrats de change (FX). Le modèle de crédit de base introduit implique l'utilisation de processus de Poisson caractérisés par un taux d'intensité, noté « h », et un terme compensateur pour obtenir une condition de non-arbitrage constante. Ce modèle fournit un cadre pour analyser et évaluer les obligations tout en tenant compte des risques de crédit.

La vidéo se penche également sur la stratégie Quanto Credit Hedging, qui consiste à utiliser un portefeuille composé à la fois d'obligations en dollars et en euros pour couvrir le risque de crédit. La valorisation de ces obligations repose sur des facteurs tels que le taux de change et le gain attendu. La stratégie nécessite un rééquilibrage dynamique au fil du temps en raison des changements dans la probabilité de défaut et de la taille des sauts. En outre, la conférence explore l'extension du modèle pour incorporer des recouvrements non nuls, ce qui améliore les capacités de tarification et de couverture des contrats conditionnels de crédit et des swaps sur défaillance de crédit libellés en devises étrangères.

L'orateur reconnaît les complexités qui surviennent lors de l'utilisation du lemme d'Ito, un outil mathématique pour gérer les équations différentielles stochastiques, en particulier dans les scénarios impliquant à la fois des processus de diffusion et de saut. Des simulations de Monte Carlo sont suggérées comme moyen de vérifier l'exactitude des résultats dérivés. On note que les modèles réels sont plus complexes, incorporant souvent des taux d'intérêt stochastiques et des taux de risque qui peuvent être corrélés avec d'autres facteurs comme le change. La conférence met en évidence l'existence d'une large gamme de modèles conçus pour divers marchés, la complexité et la rapidité requise déterminant leur adéquation.

L'estimation des taux de risque (h) et des tailles de saut (J) est discutée, le conférencier expliquant comment les prix des obligations peuvent être utilisés pour estimer ces paramètres. Les estimations de recouvrement après défaut sont explorées, les conventions fixant généralement des taux fixes à 25 % pour les nations souveraines et à 40 % pour les entreprises. Cependant, les taux de récupération peuvent varier considérablement en fonction des circonstances spécifiques. Les investisseurs font généralement des hypothèses sur les taux de récupération, et l'estimation peut être influencée par des facteurs macroéconomiques. La conférence se termine en abordant l'estimation des courbes de risque à l'aide des prix des obligations de référence et en reproduisant les processus pour estimer les prix dans des scénarios impliquant plusieurs devises.

Tout au long de la conférence, le professeur Andreev fournit de nombreux exemples, équations et idées pour approfondir la compréhension de l'auditoire sur la tarification et la couverture de produits financiers complexes. Les sujets abordés vont de l'analyse statistique et des prédictions aux subtilités de divers modèles mathématiques, fournissant finalement des connaissances précieuses aux personnes intéressées par ce domaine.

Le professeur Stefan Andreev présente le concept de tarification des obligations à l'aide de modèles mathématiques et l'importance de la couverture contre les défaillances et les fluctuations des taux de change. Il démontre le processus à travers des exemples et souligne la nécessité d'une estimation précise des taux de risque et des taux de récupération.

La conférence explore la stratégie Quanto Credit Hedging, qui consiste à construire un portefeuille d'obligations en dollars et en euros pour se couvrir contre le risque de crédit. La valeur des obligations est déterminée en tenant compte du taux de change et du gain attendu. Le modèle prend en compte la probabilité de défaut et la taille du saut, nécessitant un rééquilibrage dynamique du portefeuille au fil du temps.

La vidéo se penche sur la dérivation des prix des obligations en dollars et en euros pour la stratégie Quanto Credit Hedging. L'orateur explique les calculs nécessaires pour déterminer la probabilité que tau soit supérieur à T ou inférieur à T et la valeur attendue de S_T. En analysant les ratios des notionnels des deux obligations, une stratégie de portefeuille couverte est proposée.

Le conférencier étend encore le modèle de couverture de crédit Quanto pour incorporer des recouvrements non nuls. Cette extension permet aux traders de fixer le prix des contrats contingents de crédit et des swaps sur défaillance de crédit libellés en devises étrangères, fournissant des ratios de couverture plus précis. Bien que l'étalonnage devienne plus difficile avec le modèle étendu, le professeur Andreev souligne son importance dans la compréhension des modèles mathématiques complexes.

La vidéo traite également des complications qui surviennent lors de l'utilisation du lemme d'Ito pour tenir compte à la fois des processus de diffusion et de saut. Le conférencier suggère d'utiliser des simulations de Monte Carlo pour valider l'exactitude des résultats obtenus à partir des calculs. Les modèles de la vie réelle sont reconnus comme plus complexes, incorporant souvent des taux d'intérêt stochastiques et des taux de risque corrélés à d'autres facteurs tels que les taux de change.

En outre, la conférence souligne que les estimations de recouvrement en cas de défaut varient et sont généralement fixées à des conventions telles que 25 % pour les nations souveraines et 40 % pour les entreprises. Cependant, ces valeurs ne sont pas fixes et peuvent différer selon la société spécifique. L'estimation des taux de récupération implique la prise en compte de facteurs macroéconomiques, même si cela reste un concept subjectif où les investisseurs se fient généralement à des hypothèses.

Pour estimer les taux de risque (h) et J, le professeur Andreev explique l'utilisation des prix des obligations. En prenant des obligations de référence avec des prix connus, des courbes de risque peuvent être construites. La réplication de ces obligations de référence permet d'estimer la valeur h pour chaque prix d'obligation. Lorsque plusieurs devises sont impliquées, le processus devient plus complexe, nécessitant la réplication de plusieurs processus pour estimer les prix. Dans le cas d'obligations payant des coupons, tous les paiements de coupons doivent être pris en compte et leurs attentes calculées.

Dans l'ensemble, la conférence du professeur Stefan Andreev fournit des informations précieuses sur la tarification et la couverture de produits complexes en matière de change, de taux d'intérêt et de crédit. Grâce à des explications détaillées, des exemples et des modèles mathématiques, il met en lumière les subtilités de la couverture du crédit, la tarification des obligations et l'estimation des taux de risque et des recouvrements.

  • 00:00:00 Dans cette section de la conférence, le professeur Stefan Andreev de Morgan Stanley explique qu'il existe deux domaines clés en finance pour les compétences quantitatives : les statistiques et les prévisions, ainsi que la tarification et la couverture d'instruments complexes. Le professeur Andreev se concentre sur la tarification et la couverture de produits complexes dans les domaines du change, des taux d'intérêt et du crédit. Il décrit le processus de reproduction du gain d'un produit complexe en utilisant d'autres produits dont les prix sont connus et en utilisant des techniques mathématiques pour dériver le prix du produit complexe. Il souligne également l'importance d'utiliser des processus de saut pour décrire certains comportements de prix liés aux défauts souverains sur les marchés émergents, y compris l'euro lors de la situation de défaut de la Grèce.

  • 00:05:00 Dans cette section, nous apprenons le change et comment il est mathématiquement décrit comme le prix d'une unité de devise étrangère en dollars. Le taux de change au comptant est noté S et est un taux de change actuel. Les contrats à terme sur devises sont des contrats qui permettent de bloquer un taux d'intérêt effectif en dollars. Les contrats de change à terme sont liés aux taux d'intérêt étrangers, qui peuvent être déduits en connaissant les contrats de change à terme. Le concept d'arbitrage est également abordé, expliquant comment il peut être utilisé pour réaliser un profit lorsque les taux d'intérêt d'une devise sont différents de ceux d'une autre. De plus, la définition des taux sans risque et leur utilisation dans le processus de change sont présentées.

  • 00:10:00 Dans cette section, l'orateur discute du processus pour la devise FX et des contraintes sur son équation différentielle stochastique pour avoir une condition de non-arbitrage, qui est essentiellement que les dérives du processus doivent être la différence d'intérêt les taux. Les conditions d'arbitrage d'avant s'appliquent, ce qui signifie que le taux à terme doit être le taux au comptant multiplié par le différentiel de taux d'intérêt. Le conférencier présente également le modèle Black-Scholes FX, qui est le modèle de base dynamique FX standard utilisé dans l'industrie, et discute des propriétés intéressantes du FX et du fait que son taux de change ne peut pas être négatif. Cependant, il peut devenir très grand et n'a pas de limite supérieure, ce qui fausse la distribution.

  • 00:15:00 Dans cette section, l'orateur présente un jeu où des hypothèses sont faites pour simplifier le système et les participants sont invités à choisir entre deux gains, A et B. Les deux gains sont symétriques en ce qui concerne les montants misés et les participants gagnent ou perdre le même montant, mais l'un est préféré à l'autre. L'orateur découvre que personne ne veut jouer au jeu, mais en fournissant des scénarios où les taux de change sont de 1,25 ou 0,75, il illustre que le pari A vaut 25 $ de mieux que le pari B. L'orateur conclut que le pari A est la meilleure affaire puisque la valeur des unités du pari dépend de si vous gagnez ou perdez.

  • 00:20:00 Dans cette section, le présentateur explique le concept des modèles quanto de crédit FX, en utilisant les obligations italiennes émises en dollars et en euros comme exemple. L'Italie émet à la fois des obligations en euros et en dollars car elle doit toucher le plus d'investisseurs possible. Cependant, les deux types d'obligations présentent un défaut croisé ; ce qui signifie que si l'Italie fait défaut sur une obligation, toutes ses obligations font défaut ensemble, y compris les obligations en euros et en dollars. L'écart de crédit, qui mesure le degré de risque de l'Italie, n'est pas le même dans les deux devises et détermine dans quelle devise l'Italie préfère émettre des obligations et dans quelle devise les investisseurs préfèrent acheter des obligations. Le présentateur demande au public dans quelle devise ils pensent avoir un écart de crédit plus élevé et expliquent qu'ils doivent trouver une stratégie pour répliquer une obligation avec l'autre pour comparer les deux.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur explique comment analyser les gains des instruments et écrire un modèle pour le FX et le crédit pour évaluer les obligations. L'exemple donné est celui de deux obligations à coupon zéro, une en dollars et une en euros, de même échéance qui paient 100 à l'échéance. Ils utilisent une stratégie d'arbitrage pour vendre 100 fois des obligations en dollars Ft et acheter 100 obligations en euros, en concluant un contrat de change à terme de 100 000 euros pour l'échéance T à un coût nul. Le FX à terme couvre le produit, et ils peuvent échanger le produit des obligations pour obtenir les obligations en euros. En calculant un modèle qui explique la différence, ils constatent que les spreads des obligations en USD sont en fait plus faibles sur le marché et que les obligations sont performantes ou non performantes et en défaut.

  • 00:30:00 Dans cette section, le concept de couverture à l'aide de contrats de change à terme et d'obligations est exploré. Le scénario de deux obligations, l'une émise en dollars et l'autre émise en euros de même valeur nominale est discuté. Théoriquement, si le taux de change est correctement fixé, les deux obligations devraient avoir la même valeur à l'échéance, et l'investisseur ne peut réaliser ni profit ni perte. Cependant, lorsqu'il y a un défaut, la situation change, et les obligations peuvent ne pas avoir des valeurs égales, et il est difficile de se couvrir en utilisant uniquement des contrats à terme sur devises et des obligations. Le cas du défaut de paiement de l'Argentine en 2001 est présenté pour montrer à quoi cela ressemble lorsque l'attaquant FX est laissé nu. Des modèles mathématiques sont présentés comme une solution pour aider à se couvrir en utilisant la stratégie de réplication, et des explications supplémentaires sont données concernant la tarification sans couverture et vice versa.

  • 00:35:00 Dans cette section, l'orateur explique le modèle de crédit de base pour modéliser le défaut, ce qui implique de définir les événements de défaut comme un processus de Poisson avec un taux d'intensité, h. En supposant un taux de risque constant et un environnement de taux d'intérêt nul, l'orateur explique la dynamique de change dans le modèle, qui comprend un processus de saut noté J*dN, où J est le pourcentage de dévaluation de FX et dN est le processus de Poisson. L'objectif est d'atteindre une condition de non-arbitrage constante où la valeur attendue du taux de change est égale à la valeur initiale, ce qui est fait en fixant la dérive, mu, égale à h fois e à la puissance de J (le terme compensateur).

  • 00:40:00 Dans cette section, l'intervenant explique comment dériver la forme du terme compensateur du processus de Poisson et comment vérifier si cette forme satisfait la condition d'espérance. La formule pour d de log S_t est donnée et intégrée à l'aide d'une fonction indicatrice et de J dN_t. Le locuteur divise ensuite les possibilités pour tau supérieur ou inférieur à T majuscule et montre comment J est une constante, et donc l'intégrale est J fois N de t. L'orateur mentionne que toutes les dérivations sont affichées sur les notes à titre de référence.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur explique comment calculer l'espérance de S_T et l'intégrer sur la distribution de probabilité de tau. Il commence par effacer la ligne du haut de l'équation précédente et montre que log de S_T sur S_0 est égal à h fois tau fois 1 moins e au J si tau est inférieur à T et h fois T majuscule fois 1 moins e au J fois l'indicateur fonction de tau plus grand ou égal à T si tau est plus grand que T. Il exponentie ensuite les deux côtés et écrit l'intégrale de 0 à l'infini de S de tau fois phi(0, tau) d tau pour calculer l'espérance de S_T. Il divise l'intégrale en deux parties et explique le premier terme de 0 à T majuscule et le second terme de T majuscule à l'infini pour tau.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'orateur explique le processus de travail avec les processus de saut et la prise en compte des attentes. Il démontre comment sa conjecture de dérive rend initialement l'attente nulle. La dynamique pour le log de S avec saut sur défaut est définie et la densité de probabilité est calculée. L'orateur utilise le lemme d'Ito pour dériver la dynamique de S et explique comment le processus pour S peut être trouvé à partir du processus pour le log de S. Le résultat final pour S se révèle être h fois 1 moins e au J, tau est moins que T, dT, plus e au J moins 1, J moins 1, dN, dN_t.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'exercice de tarification de deux obligations à coupon zéro avec des devises différentes en utilisant le modèle de taux de change et le modèle de crédit. La tarification est obtenue grâce à la théorie de tarification standard, où le prix au temps T est égal à l'attente d'un prix au temps t. L'orateur calcule la probabilité que tau soit supérieur à T et utilise la fonction de probabilité cumulative pour déterminer le prix de l'obligation en dollars. En comparant les ratios des notionnels de deux obligations, l'orateur propose un portefeuille de couverture pour les deux obligations.

  • 01:00:00 Dans cette section, l'orateur explique comment couvrir un risque de crédit en construisant un portefeuille composé d'une obligation en dollars et d'une obligation en euros avec le même payoff, mais où le payoff pour l'eurobond est en euros au lieu de dollars . L'orateur montre comment calculer l'espérance de rendement des obligations en euros en dollars à l'aide de la fonction indicatrice, puis construit un portefeuille au temps t=0 qui coûte zéro en vendant une obligation en dollars et en achetant une certaine quantité d'obligations en euros. L'orateur explique ensuite comment vérifier si le portefeuille offre le même prix en cas de défaut et sans défaut, ce qui indiquerait un portefeuille couvert.

  • 01:05:00 Dans cette section, l'orateur évoque la stratégie de couverture du risque de crédit à l'exemple des obligations dollar et euro. La valeur de l'obligation en dollars est calculée à l'aide d'une formule impliquant le taux de change tandis que la valeur de l'obligation en euros est calculée à l'aide du nombre d'obligations et du taux de change. La stratégie de couverture est dynamique et dépend de la probabilité de défaut et de la taille du saut. Le rééquilibrage du portefeuille est nécessaire en permanence, en particulier à mesure que le temps avance et qu'il y a des changements dans la probabilité de défaut. L'orateur se penche également sur la complexité de la tarification des obligations lorsque la reprise est supérieure à zéro.

  • 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique comment dériver le prix des obligations en dollars et le prix des obligations en euros, en tenant compte du taux de change qui saute en cas de défaut. Le prix des obligations en dollars est obtenu en calculant la probabilité que tau soit supérieur à T ou inférieur à T, tandis que le prix des obligations en euros est obtenu en divisant le prix au moment 0 de l'obligation en euros par S_0 et en calculant la valeur attendue de S de T par T. La détermination de S de T, le prix de l'obligation à coupon zéro, se décompose en plusieurs parties, qui sont soigneusement expliquées par l'orateur.

  • 01:15:00 Dans cette section, la vidéo explique comment créer une attente pour le Quanto Credit Hedging. Pour faire cette attente, le locuteur explique qu'il faut faire une intégrale sur l'intervalle de 0 à l'infini de la densité de probabilité. Cela ressemble au calcul précédent, et cette fois il y a deux termes puisque tau est inférieur à T. Le premier terme est e pour le hT et le second terme est R fois l'attente de tau, que l'orateur détaille sur la façon dont pour calculer ce terme.

  • 01:20:00 Dans cette section, l'intervenant explique comment étendre le modèle de couverture de crédit Quanto pour inclure des recouvrements non nuls. Il suggère que l'on pourrait pousser le modèle encore plus loin en ajoutant un autre terme, et explique que son équipe chez Morgan Stanley travaille déjà sur un tel modèle. Le modèle étendu permettra aux négociants de fixer le prix des contrats contingents de crédit et des swaps sur défaillance de crédit libellés en devises étrangères, et fournira de meilleurs ratios de couverture. Il note que le modèle étendu rend l'étalonnage plus difficile, mais trouve que le projet est un exercice intéressant pour les étudiants qui cherchent à comprendre des modèles mathématiques complexes.

  • 01:25:00 Dans cette section, l'orateur discute des complications qui surviennent lors de l'utilisation du lemme d'Ito pour rendre compte à la fois des processus de diffusion et de saut. Ils suggèrent d'utiliser une simulation de Monte Carlo pour vérifier l'exactitude des résultats obtenus à partir des calculs. Le conférencier explique également que les modèles réels sont plus complexes et intègrent souvent des taux d'intérêt stochastiques et des taux de risque, qui peuvent être corrélés avec d'autres facteurs tels que le change. Ils notent qu'il existe une gamme de modèles mis en œuvre pour différents marchés, en fonction de leur complexité et de la vitesse requise. Enfin, l'orateur répond à une question sur lequel des paris italiens initiaux était le meilleur et explique qu'ils ne peuvent répondre à la question que dans leur modèle, en tenant compte de facteurs tels que l'offre et la demande, et la liquidité en euros et en dollars.

  • 01:30:00 Dans cette section, l'orateur discute de la couverture de crédit dans le cas d'un investissement en euros par rapport au dollar et des effets d'un défaut sur la valeur des devises. La valeur attendue de la devise est déterminée par les différentiels de taux d'intérêt, et les investisseurs préféreraient acheter des obligations dans la devise qui s'apprécierait si le défaut ne se produisait pas, car ils ne sont payés que si le défaut ne se produisait pas. Les estimations de recouvrement en cas de défaut varient et sont généralement fixées à 25 % pour les pays souverains et à 40 % pour les entreprises, mais ces chiffres ne sont que des conventions et le recouvrement varie d'une entreprise à l'autre. La reprise peut être estimée à l'aide de facteurs macroéconomiques, mais il s'agit d'un concept flou, et les investisseurs font généralement des hypothèses à ce sujet.

  • 01:35:00 Dans cette section, Stefan Andreev explique comment estimer le taux de risque (h) et J en utilisant les prix des obligations. Si le taux de recouvrement est fixe, le prix de l'obligation peut être converti en taux de risque. Stefan suggère qu'en prenant des obligations de référence avec des prix connus, les courbes de risque peuvent être créées. Pour évaluer les dérivés, ces obligations de référence peuvent être utilisées en les reproduisant et en estimant la valeur h pour chaque prix d'obligation. Si plusieurs devises sont impliquées, il devient difficile de répliquer plusieurs processus pour estimer les prix. Pour inclure les obligations qui paient des coupons, nous devons noter tous les paiements de coupons, puis prendre leurs attentes.
23. Quanto Credit Hedging
23. Quanto Credit Hedging
  • 2015.01.06
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24. Modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit



24. Modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit

Dans cette section, Denis Gorokhov, expert financier chez Morgan Stanley, discute du modèle HJM (Heath-Jarrow-Morton) et de son application dans la tarification et la couverture des produits financiers exotiques, y compris les dérivés de crédit et les double range accruals. Le modèle HJM est un cadre puissant utilisé par les grandes banques comme Morgan Stanley et Goldman Sachs pour négocier efficacement divers types de dérivés exotiques et répondre aux demandes des clients.

Gorokhov compare le modèle HJM à la physique théorique, soulignant qu'il offre à la fois des modèles solubles et des problèmes complexes. Il permet aux banques d'évaluer avec précision numériquement une large gamme de produits dérivés exotiques. Il met l'accent sur la volatilité et le caractère aléatoire des marchés et sur la manière dont ils peuvent avoir un impact sur les traders de produits dérivés qui ont besoin de stratégies de couverture efficaces.

La conférence introduit le concept de démarrage d'un modèle d'évaluation dérivé à partir d'un processus stochastique et utilise la dynamique log-normale comme modèle fondamental pour les mouvements des prix des actions. Le modèle intègre une composante déterministe appelée dérive et une composante aléatoire appelée diffusion, qui capture l'impact du caractère aléatoire sur les cours des actions. À l'aide de ce modèle, la formule de Black-Scholes peut être dérivée, permettant le calcul de la distribution de probabilité pour l'action à un moment donné et permettant la tarification des dérivés avec un gain dépendant du cours de l'action.

Le modèle HJM est ensuite discuté spécifiquement dans le contexte des taux d'intérêt et du crédit. Le conférencier explique la dynamique des taux d'intérêt comme un processus log-normal, garantissant que les cours des actions ne peuvent pas être négatifs. Le lemme d'Ito, pierre angulaire de la théorie des prix dérivés dans le modèle HJM, est présenté et sa dérivation est expliquée. Le lemme d'Ito aide à différencier la fonction d'une variable stochastique, facilitant la modélisation et la tarification des dérivés.

La fonction de Green de l'équation utilisée dans le modèle HJM est mise en évidence comme étant similaire à la fonction de distribution de probabilité pour les cours boursiers. Dans l'espace neutre au risque, où la dérive de tous les actifs est le taux d'intérêt, la couverture dynamique devient cruciale, seul le paramètre de volatilité affectant le prix des options. Les simulations de Monte Carlo sont utilisées pour simuler les cours des actions et d'autres variables financières, permettant le calcul des prix des dérivés. Cette méthode de simulation est un outil puissant qui s'applique à divers domaines de la finance.

La conférence approfondit également le concept de facteurs d'actualisation et leur importance en finance. Les taux à terme, qui servent de paramétrage pratique pour les facteurs d'actualisation non croissants, sont expliqués. La courbe des taux, représentant la relation entre les différentes échéances et les taux d'intérêt associés, est discutée. En règle générale, la courbe de rendement a une pente ascendante, ce qui indique des taux d'intérêt plus élevés pour les emprunts à plus long terme.

Le marché des swaps est introduit en tant que fournisseur de valeurs de paiement fixes pour différentes échéances. En additionnant ces paiements, le taux de swap peut être déterminé. Ce taux aide à comprendre la valeur actuelle des paiements futurs ou la valeur d'investir aujourd'hui pour couvrir les futurs paiements à taux fixe.

En conclusion, la conférence souligne l'importance de la tarification neutre au risque dans l'évaluation de la valeur des dérivés exotiques et des titres émis par les grandes banques. Il met en évidence le rôle du modèle HJM, des simulations de Monte Carlo et de la compréhension des facteurs de taux d'intérêt, de crédit et d'actualisation dans la tarification et la couverture de ces instruments financiers complexes.

  • 00:00:00 Dans cette rubrique, Denis Gorokhov, qui travaille chez Morgan Stanley, évoque le modèle HJM découvert par trois individus au début des années 1990. Le modèle HJM est un cadre général de tarification des dérivés pouvant être utilisé pour les taux d'intérêt et le crédit. Ce modèle permet aux grandes banques comme Morgan Stanley et Goldman de négocier rapidement des milliers de types différents de dérivés exotiques et de répondre à la demande des clients. Gorokhov compare le modèle HJM à la physique théorique, où il y a de beaux modèles, comme un modèle soluble mais il y a aussi des problèmes complexes. Il s'agit d'un cadre similaire, et il permet aux banques d'évaluer numériquement avec précision toutes sortes de produits dérivés exotiques.

  • 00:05:00 Dans cette section, le professeur et Denis Gorokhov discutent de la volatilité et du caractère aléatoire des marchés et de la façon dont cela peut affecter les traders dérivés qui doivent être couverts. Ils introduisent le concept de démarrage d'un modèle d'évaluation dérivé à partir d'un processus stochastique et utilisent la dynamique log-normale comme modèle de base pour les mouvements des prix des actions. Le modèle comprend une dérive, qui est une partie déterministe de la dynamique du cours des actions, et la diffusion, qui est l'impact du caractère aléatoire sur le cours des actions. À l'aide de ce modèle, on peut dériver la formule de Black-Scholes, qui calcule la distribution de probabilité de l'action à un moment donné et permet la tarification des dérivés avec un gain dépendant du cours de l'action.

  • 00:10:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier discute du modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit. Ils introduisent le concept de processus stochastique et comment il suit un terme de dérive et de volatilité. Ils montrent la solution de l'équation et comment elle est simple par intégration. Le conférencier explique comment la dynamique est supposée être log-normale pour éviter des prix négatifs pour le stock et comment cela aide à approximer la distribution de probabilité pour la variable standard. Ils introduisent le lemme d'Ito et expliquent comment il a été obtenu, ce qui permet de différencier la fonction d'une variable stochastique. Enfin, ils montrent la formule du modèle et comment elle est très similaire à la formule de l'équation précédente, la seule différence étant la valeur d'alpha.

  • 00:15:00 Dans cette section, l'orateur explique l'importance du modèle HJM dans la compréhension de la dynamique des stocks et du formalisme Black-Scholes. Il met l'accent sur la restriction financière fondamentale selon laquelle les actions ne peuvent pas être un passif et ne peuvent pas devenir négatives. A travers le formalisme de Black-Scholes et la méthode de Monte Carlo, l'orateur explique comment calculer la variation de portefeuille et obtenir le rendement sans risque, ce qui conduit à l'équation différentielle de Black-Scholes pour l'action. L'équation est fondamentale et élégante, abandonnant la dérive mu, et dépendant du taux d'intérêt. L'orateur attribue ce fait crucial à la couverture, où vous avez une position dans une option et une position opposée dans les actions sous-jacentes.

  • 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute du lemme d'Ito, un concept du calcul stochastique qui joue un rôle crucial dans le modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit. L'orateur note d'abord que le modèle HJM élimine la dérive et le risque de l'équation, permettant une tarification facile des options. Cependant, il est important de comprendre la dérivation du lemme d'Ito pour comprendre les hypothèses sous-jacentes du modèle. L'orateur propose ensuite une dérivation simple du lemme d'Ito, qui consiste à diviser les intervalles de temps en petits intervalles et à examiner la dynamique log-normale et le caractère aléatoire des fluctuations des cours boursiers. La pierre angulaire du lemme d'Ito se trouve dans le second terme de la dérivée de l'équation du prix de l'option.

  • 00:25:00 Dans cette section, l'orateur discute du modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit et explique comment simplifier les équations impliquées. En négligeant les termes aléatoires beaucoup plus petits que les linéaires et en faisant la somme de toutes les équations, le locuteur arrive à un terme qui apparaît stochastique mais devient déterministe dans la grande limite N. Ceci est montré en démontrant comment une somme de variables aléatoires devient plus étroite et se comporte de manière déterministe lorsque N tend vers l'infini. Le conférencier recommande cet exercice pour mieux comprendre le concept.

  • 00:30:00 Dans cette section, l'orateur discute du modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit et comment il dépend de la distribution normale standard. En calculant le quatrième moment d'une variable normale, on peut déterminer que la fonction de distribution de probabilité devient déterministe dans la grande limite N, ce qui signifie que la tarification des options est possible. Cela est dû au lemme d'Ito, qui est donné sans preuve dans de nombreux livres dérivés, mais qui est une pierre angulaire de la théorie des prix dérivés. L'équation obtenue par le lemme d'Ito est similaire à l'équation de la chaleur et peut être résolue à l'aide de méthodes standard.

  • 00:35:00 Dans cette section, le professeur discute du modèle HJM pour les taux d'intérêt et les crédits et comment il est utilisé dans les simulations de Monte Carlo pour évaluer les dérivés. La fonction de Green de l'équation utilisée dans ce modèle est très similaire à la fonction de distribution de probabilité pour le cours de l'action, la différence étant que la dérive de l'action dans le monde réel disparaît complètement et que le taux d'intérêt est laissé. Dans l'espace neutre au risque, où la dérive de tous les actifs est le taux d'intérêt et non la dérive réelle, la couverture dynamique joue un rôle crucial, et seul le paramètre de volatilité compte pour la tarification des options. Ainsi, les simulations de Monte Carlo sont utilisées pour simuler les actions et d'autres variables financières et calculer le prix du dérivé, ce qui en fait un cadre puissant qui s'applique à plusieurs domaines.

  • 00:40:00 Dans cette section, le concept de simulation de Monte Carlo est expliqué comme une méthode fondamentale pour évaluer les dérivés et comment il peut être utilisé pour évaluer les dérivés exotiques qui ne sont pas facilement disponibles à l'aide de méthodes analytiques. La vidéo explique ensuite les bases des dérivés de taux d'intérêt et comment ils permettent aux particuliers et aux institutions financières de mieux gérer leur risque de taux d'intérêt. La valeur actuelle de l'argent et le facteur d'actualisation sont des concepts importants en finance, et les taux à terme sont utilisés comme une paramétrisation pratique pour la fonction non croissante des facteurs d'actualisation.

  • 00:45:00 Dans cette section, le concept de modélisation des taux à terme pour les dérivés de taux d'intérêt est abordé ainsi que la manière dont la dynamique de la courbe des taux diffère de celle du marché boursier. La courbe de rendement est un objet unidimensionnel qui montre à quel point les différentes échéances font, avec une courbe typique ayant une pente ascendante, ce qui signifie payer des taux d'intérêt plus élevés pour des emprunts à plus long terme. Un exemple de courbe de rendement est justifié en utilisant le rendement d'un bon du Trésor américain à 10 ans, où le gouvernement américain emprunte de l'argent pour financer ses activités et me verse un coupon sur une période de temps, ainsi que le remboursement du principal à la fin de la période. La baisse progressive des taux d'intérêt au cours des dernières années a entraîné une faible demande d'emprunt.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'orateur discute de la tentative du gouvernement de rendre les taux d'intérêt aussi bas que possible afin d'alléger le fardeau des entreprises et des particuliers en période de récession. Cependant, investir dans des actifs non productifs, comme l'immobilier, n'est pas forcément une solution garantie. En outre, l'orateur explique le rôle du LIBOR, un taux à court terme auquel les institutions financières à Londres s'empruntent de l'argent les unes aux autres sans garantie, dans la tarification des produits dérivés. Divers dérivés, tels que les swaptions et les swaps annulables, dépendent des facteurs d'actualisation qui sont déterminés par les taux à terme ; ceux-ci servent de paramètres clés dans les simulations de Monte Carlo pour la modélisation des dérivés de taux d'intérêt.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'orateur explique le concept du marché des swaps et comment il peut être utilisé pour obtenir le facteur d'actualisation, qui nous indique combien vaut aujourd'hui un dollar dans le futur. Le marché des swaps fournit des valeurs de paiement fixes pour différentes échéances, qui, une fois additionnées, donnent le taux de swap. Ce taux peut être utilisé pour comprendre combien il vaut la peine d'investir aujourd'hui pour couvrir les paiements futurs, ou la valeur actuelle du paiement à taux fixe. Il est expliqué que la sécurité à taux variable permet à la valeur actuelle du paiement d'être égale à la valeur notionnelle.

  • 01:00:00 Dans cette section, le conférencier explique le concept d'actualisation OIS et la fonction du taux d'actualisation, qui est utilisé pour fixer le prix de toutes sortes de swaps. Les dérivés de taux d'intérêt sont basés sur la dynamique de la courbe des taux et l'évolution de la fonction d'actualisation. Le conférencier aborde également le cadre HJM pour la modélisation et la tarification des dérivés, ainsi que d'autres modèles tels que les modèles Ho-Lee, Hull-White et CIR. L'orateur démontre la mise en œuvre du lemme d'Ito pour dériver l'équation de la dérive et de la volatilité des taux à terme dans la simulation de Monte Carlo.

  • 01:05:00 Dans cette section, le modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit est discuté. Le monde neutre au risque présente certaines complications pour le taux d'intérêt, qui peuvent être réalisées par une équation dépendant de sigma. Une fois ce modèle obtenu, le modèle des dérivés de taux d'intérêt est simple, similaire au monde boursier. Les dérivés de crédit sont discutés comme un exemple de ce modèle HJM, où il existe une probabilité que l'on ne reçoive pas l'argent dans le cas des obligations de sociétés. Ce risque, reflété dans les coupons qu'ils paient, compense le défaut éventuel, et le credit default swap est l'instrument fondamental des dérivés de crédit.

  • 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique le concept des credit default swaps, qui sont utilisés pour se protéger contre le défaut. Il explique que si un obligataire subit un défaut, le vendeur de la protection l'indemnisera pour sa perte. Le conférencier explique également comment la probabilité de survie implicite du marché est un concept fondamental dans le monde des dérivés de crédit. De plus, il explique que le modèle HJM pour les dérivés de crédit décrit la dynamique des taux de risque, qui paramétrent les probabilités de survie. Enfin, le conférencier explique un type très important de dérivé appelé obligations remboursables par anticipation d'entreprise qui permet aux entreprises d'emprunter 100 $ à quelqu'un et de lui payer 5 % chaque année, mais qui ont également la possibilité de restituer les 100 $ et de conclure la transaction.

  • 01:15:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept de dette exigible et ses avantages pour les entreprises dans la gestion de leur dette. Il explique que la dette remboursable permet à l'émetteur d'exercer une option de refinancement à un taux inférieur en cas de baisse des taux d'intérêt avec le temps. Cela offre une économie de coûts significative pour l'émetteur et est similaire à la tendance récente du refinancement des hypothèques pour les particuliers. Le conférencier explique également que la tarification de la dette exigible nécessite de prendre en compte le risque de taux d'intérêt et la qualité de l'émetteur, ainsi que la compréhension des taux de risque, qui indiquent la nature risquée de l'émetteur. Dans l'ensemble, le conférencier souligne l'utilité de la tarification neutre au risque dans l'évaluation de la valeur des dérivés exotiques et des titres émis par les grandes banques.

  • 01:20:00 Dans cette section, l'orateur explique l'utilisation du modèle HJM et de la simulation de Monte Carlo pour les paiements compliqués tels que les notes structurées. Les entreprises ont besoin de lever des fonds et de payer des intérêts, et les investisseurs recherchent des rendements supérieurs à ceux offerts par une option sans risque comme les bons du Trésor américain. Les obligations d'entreprise offrent des coupons plus élevés, mais ont toujours de faibles rendements après impôts et inflation. Dans ce contexte, les banques émettent des obligations structurées, qui paient des coupons plus élevés si certaines conditions de marché sont satisfaites. Les investisseurs qui croient en leur vision du marché sont attirés par ce type de risque, où ils peuvent obtenir un rendement élevé sur leur investissement mais peuvent tout perdre s'ils supportent un risque de crédit très élevé.

  • 01:25:00 Dans cette section, le conférencier explique le concept des billets structurés, où au lieu de fixer un coupon simple, un dérivé est vendu pour améliorer le coupon, ce qui se traduit par un rendement élevé. Les investisseurs recherchent une amélioration du rendement et sont prêts à prendre des risques éclairés s'ils comprennent la signification économique de chaque condition. Le conférencier mentionne que la simulation d'un cours boursier, comme la simulation du rendement à 30 ans et du rendement à 10 ans, est nécessaire pour modéliser de tels instruments financiers uniques. Il mentionne également que ces produits ne sont pas standard, mais que les banques sont en mesure de gagner de l'argent supplémentaire tout en économisant de l'argent, car elles sont moins chères à émettre que les obligations classiques.

  • 01:30:00 Dans cette section, Denis Gorokhov discute de l'utilisation des simulations de Monte Carlo dans la tarification et la couverture des produits financiers exotiques, tels que les dérivés de crédit. Il explique que pour simuler les taux d'intérêt, le modèle Heath-Jarrow-Morton (HJM) est souvent utilisé. Gorokhov discute également du processus d'implication de la volatilité du marché ou des estimations historiques afin de fixer le prix de ces produits complexes, les dérivés liquides étant utilisés pour impliquer sigma et permettre la tarification des dérivés exotiques non vitaux. Il aborde également l'utilisation de la préséance historique pour déduire les fréquences implicites de certains résultats du marché, comme la probabilité que le S&P 500 tombe en dessous d'un certain niveau.

  • 01:35:00 Dans cette section, Denis Gorokhov discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les produits dérivés exotiques, tels que les double range accruals. Il explique que si certains dérivés peuvent être évalués à l'aide d'approximations analytiques, les traders utilisent souvent la simulation de Monte Carlo pour évaluer avec précision le risque et évaluer les produits complexes. Gorokhov donne un exemple de la façon d'utiliser MATLAB pour écrire un programme simple pour vérifier la formule de Black-Scholes, mais note que pour les modèles plus compliqués, tels que HJM pour la structure des termes, l'étalonnage est nécessaire et dérivé des volatilités implicites des options liquides.

  • 01:40:00 Dans cette section, Denis Gorokhov explique que l'analyse de Monte Carlo peut être difficile pour les modèles compliqués, mais est nécessaire pour les dérivés plus exotiques qui nécessitent une tarification neutre au risque. Bien que l'analyse historique puisse être utilisée pour tester la performance historique des Grecs ou de la sensibilité d'un modèle par rapport à l'action sous-jacente, elle n'a rien à voir avec la prédiction, car la tarification neutre au risque n'implique pas de faire des prédictions. L'idée de la couverture dynamique est de gérer de gros portefeuilles de produits dérivés sans prendre de risques, en facturant un petit supplément pour gagner sa vie. Les banques peuvent supporter un certain risque résiduel en raison de la complexité des dérivés, mais des hypothèses peuvent être faites pour rééquilibrer les positions de manière dynamique et avancer sans perdre d'argent. Monte Carlo peut être configuré en utilisant des paramètres implicites à partir des prix actuels de divers dérivés sur le marché, ce qui donne un bon prix de base. D'autres Monte Carlos peuvent être effectués pour fournir une estimation robuste des coûts de tarification et de couverture, y compris des scénarios de stress.

  • 01:45:00 Dans cette rubrique, Denis Gorokhov explique l'importance des stress tests pour les banques. Il souligne que la couverture dynamique et les produits dérivés ne consistent pas seulement à connaître le prix actuel, mais aussi à être en mesure de prédire le comportement du marché dans différents scénarios tels que les variations de taux d'intérêt ou les pics de volatilité. Les tests de résistance sont menés par les grands départements des banques pour examiner toutes sortes de risques et de flux de trésorerie pour l'ensemble de la banque et pas seulement pour un desk en particulier. Ces tests sont devenus fortement réglementés par le gouvernement, ce qui en fait un problème non négligeable à gérer pour les grandes banques.
24. HJM Model for Interest Rates and Credit
24. HJM Model for Interest Rates and Credit
  • 2015.01.06
  • www.youtube.com
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Denis GorokhovTh...
 

25. Théorème de récupération de Ross



25. Théorème de récupération de Ross

Dans cette vidéo, Peter Carr plonge dans le théorème de récupération de Ross et son application pour extraire les croyances du marché à partir des prix du marché. Le théorème introduit trois mesures de probabilité : physique, neutre au risque et la mesure de probabilité récupérée nouvellement introduite. Ces mesures permettent d'identifier les probabilités naturelles associées à des événements futurs sur la base des prix de marché des dérivés.

Carr commence par expliquer le concept des titres Arrow-Debreu, qui sont des options numériques qui paient en fonction d'un niveau de prix prédéterminé d'un actif sous-jacent. Il se penche sur l'estimation des prix de ces titres et options binaires. L'accent est ensuite mis sur le changement de technique de numéraire dans un cadre de diffusion univariée, qui est utilisé pour dériver des résultats basés sur le théorème de récupération de Ross.

L'orateur insiste sur les hypothèses qui facilitent l'extraction des croyances du marché à partir des prix du marché. Il souligne la réussite de Ross dans l'identification de ces croyances sans s'appuyer sur des hypothèses supplémentaires, mettant en valeur la puissance du théorème de récupération. En explorant le concept de portefeuilles numéraires, Carr explique la relation entre le portefeuille optimal de croissance et le taux de croissance réel.

La vidéo aborde en outre le critère de Kelly, les options exotiques et vanille, et le lien entre les options numériques et les croyances du marché. Il aborde les défis rencontrés lors de l'extension de la théorie à des espaces d'états illimités et les diverses hypothèses formulées tout au long de la discussion.

Carr conclut en examinant en détail le théorème de récupération de Ross, en mettant l'accent sur son approche non paramétrique pour déterminer les croyances du marché sans exiger de paramètres spécifiques pour l'aversion au risque du marché. Il met l'accent sur la capacité de Ross à extraire les croyances du marché à partir des prix du marché sans invoquer d'hypothèses sur les investisseurs représentatifs ou leurs fonctions d'utilité.

Dans l'ensemble, cette vidéo fournit une exploration complète du théorème de récupération de Ross, de ses applications et des hypothèses sous-jacentes à sa méthodologie. Les explications de Carr offrent des informations précieuses sur la théorie et ses implications pratiques dans l'extraction des croyances du marché à partir des prix du marché.

  • 00:00:00 Dans cette section, Peter Carr, responsable de la modélisation du marché mondial chez Morgan Stanley, discute d'un article du professeur Stephen Ross de la Sloan School intitulé The Recovery Theorem. Le théorème donne un ensemble suffisant de conditions déterminant ce que Ross appelle les probabilités naturelles qui sont les probabilités concernant les événements futurs qui peuvent être déterminées à partir des prix du marché des dérivés, qui sont des options négociées sur des titres sous-jacents tels que des actions, des indices et des devises. Bloomberg publie ces informations, qui peuvent être utilisées avec certaines hypothèses pour extraire les probabilités de marché implicites et produire une matrice de transition de probabilité ou une fonction de densité.

  • 00:05:00 Dans cette section, les trois mesures de probabilité utilisées dans les produits dérivés sont introduites, y compris P, qui signifie physique et représente la probabilité réelle des états futurs pour, par exemple, le S&P 500. La mesure de probabilité neutre au risque, souvent représenté par Q, fait référence à un dispositif fictif compatible avec le fait que les investisseurs sont neutres au risque, ce qui signifie qu'ils n'exigent aucune prime pour supporter le risque. Enfin, il y a une troisième mesure de probabilité qui ne se trouve dans aucune littérature sur le point d'être discutée.

  • 00:10:00 Dans cette section, l'orateur introduit le concept de mesure de probabilité récupérée, qui sera notée R. Cette mesure est dérivée des prix du marché et capture les croyances du marché concernant les événements futurs. Le locuteur différencie R de la réalité physique capturée par la mesure de probabilité P, en tenant compte de la possibilité que le marché puisse se tromper. Cependant, certains professionnels de la finance qui croient en l'efficacité du marché peuvent fixer R égal à P à chaque fois. L'orateur souligne que R porte le nom de Ross, qui appelle la mesure de probabilité récupérée la mesure de probabilité naturelle, tout en décrivant la mesure de probabilité neutre au risque comme non naturelle. Ces dernières mesures offrent des prix des titres Arrow-Debreu, qui seraient payants en fonction de la probabilité que certains événements se produisent. L'orateur conclut qu'il y a deux titres, un pour quand le S&P 500 monte et un pour quand il descend, et ce n'est que dans un monde sans arbitrage que les prix de ces titres seront égaux aux probabilités des événements qui se produisent.

  • 00:15:00 Dans cette section, Peter Carr explique ce que les économistes appellent les titres Arrow-Debreu, qui sont en fait des options numériques. Les options numériques sont des titres qui offrent un paiement en fonction du fait qu'un actif sous-jacent a dépassé un niveau de prix prédéterminé. La discussion des titres Arrow-Debreu conduit au concept d'un agent représentatif, qui est un investisseur qui possède toutes les propriétés mathématiques d'un investisseur, comme une fonction d'utilité et une dotation, et détient exactement la bonne quantité d'un portefeuille pour le rendre optimale pour lui/elle. Au lieu d'utiliser ce concept, Peter préfère parler de ce qu'on appelle un numéraire, qui fait référence à la valeur d'un portefeuille qui a de belles propriétés, comme un portefeuille optimal de croissance avec un taux de croissance aléatoire à long terme.

  • 00:20:00 Dans cette section de la vidéo, Peter Carr discute du critère de Kelly, un portefeuille avec le taux de croissance moyen le plus élevé, qui est très populaire parmi les économistes financiers. Cependant, certains économistes financiers ont résisté, comme Paul Samuelson, qui s'est fait le champion de l'opposition au critère de Kelly. Samuelson est même allé jusqu'à publier un article dans lequel chaque mot avait une syllabe, à l'exception du dernier mot «syllabe» lui-même. Plus tard, Peter Carr présente brièvement les prix des titres Arrow-Debreu, qui sont les prix des options numériques, et leur lien avec les croyances du marché, suivi d'une discussion sur le théorème de récupération de Ross.

  • 00:25:00 Dans cette section, Peter Carr explique comment appliquer la technique de changement de numéraire à un paramètre de diffusion univariée pour obtenir des résultats basés sur le théorème de récupération de Ross. Il définit le numéraire et précise que la valeur du titre doit toujours être positive et explique comment changer le numéraire pour utiliser un actif dont la valeur est toujours positive. Il discute également des défis rencontrés pour étendre le travail à un espace d'état illimité et comment différentes hypothèses sont faites dans différentes parties de l'exposé. Enfin, un membre de l'auditoire exprime ses commentaires sur la question du numéraire, ce qui conduit à une discussion plus approfondie.

  • 00:30:00 Dans cette section, Peter Carr explique le concept de portefeuille numéraire et son fonctionnement en matière d'investissement. Il prend l'exemple d'un portefeuille composé de deux titres, un risqué et un sans risque, où l'investisseur place une fraction constante de sa richesse dans chaque titre. Chaque fois que le prix change, l'investisseur doit négocier afin de maintenir une fraction constante de sa richesse investie dans l'actif risqué. Carr introduit également l'idée d'options numériques ou d'options binaires qui rapportent une unité monétaire si un événement se réalise. Il explique comment évaluer ces options et comment elles fonctionnent dans un cadre à états finis avec différents niveaux discrets.

  • 00:35:00 Dans cette section, le conférencier explique la différence entre les options exotiques et vanille et introduit le concept d'un paiement papillon. Il explique également comment les options peuvent être combinées pour former un portefeuille qui reproduit parfaitement le gain d'un titre Arrow-Debreu. L'orateur note que même si le marché des changes ne donnait pas directement les prix des options numériques, le prix implicite d'un numérique peut être extrait des options vanille. De plus, il explique comment des hypothèses peuvent être faites pour estimer la probabilité de transition d'un taux de change à un autre.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'orateur parle de faire une hypothèse où vous pouvez prendre des informations uniquement au niveau d'aujourd'hui, en supposant que la probabilité d'un changement de pourcentage donné est invariante au niveau de départ, et en transformant un bit vectoriel d'information donné par le marché dans une matrice appelée matrice de transition. L'orateur aborde ensuite la fréquence des transitions d'un point à un autre et les raisons pour lesquelles les prix des titres Arrow-Debreu diffèrent de la probabilité réelle de telles transitions, citant la valeur temporelle de l'argent et l'aversion au risque comme raisons.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur explique le théorème de récupération de Ross, qui traite de l'extraction des croyances du marché sur les événements futurs à partir des prix du marché. L'orateur donne un exemple des titres Arrow-Debreu, où il est tout aussi probable de monter ou de descendre, et on pense qu'il coûte plus cher d'acheter un titre qui a une valeur d'assurance. L'orateur explique que l'article de Ross fait des hypothèses légères et simples, montrant la puissance des hypothèses, et que le théorème de récupération de Ross permet d'extraire les croyances du marché. Enfin, l'orateur discute de la terminologie utilisée par Ross, telle que la matrice de tarification, la matrice de transition de probabilité naturelle et le noyau de tarification, qui est utilisé pour normaliser les prix affectés par la valeur temporelle de l'argent et l'aversion au risque.

  • 00:50:00 Dans cette section, la vidéo explique les hypothèses faites dans le théorème de récupération proposé par Ross. La première hypothèse est que la fonction phi de deux variables x et y a une forme spécifique, ce qui permet de réduire la dimensionnalité de la recherche à une fonction d'une variable et d'un delta scalaire. La signification économique de la fonction d'une variable est l'utilité marginale, qui indique le bonheur que l'on tire de chaque unité de consommation supplémentaire. La fonction décroissante est considérée comme positive pour chaque unité de consommation, mais apporte de moins en moins de bonheur à mesure que davantage d'unités sont consommées. Pendant ce temps, delta est un scalaire positif qui capture la valeur temporelle de l'argent et est associé au numérateur. La vidéo ajoute que les résultats visent à déterminer la composition de U prime avec une fonction c de y plutôt que de trouver U prime en fonction de c.

  • 00:55:00 Dans cette section, Peter Carr discute du théorème de récupération de Ross, qui fournit une approche non paramétrique pour identifier les croyances du marché à partir des prix du marché sans avoir besoin de paramètres qui capturent l'aversion au risque du marché. Les hypothèses de Ross permettent de déterminer les croyances du marché en trouvant P, qui représente les croyances du marché. En utilisant les prix des titres Arrow-Debreu, une solution positive existe, et en utilisant le noyau de tarification phi, le rapport de A à P, permet l'identification non paramétrique. Avant l'article de Ross, les chercheurs supposaient un investisseur représentatif avec une fonction d'utilité spécifique, mais Ross parvient à identifier les croyances du marché sans invoquer de telles hypothèses, ce qui permet de déduire plus facilement ce que le marché croit des prix du marché.

  • 01:00:00 Dans cette section, Peter Carr explique le concept de changement de numéraire pour comprendre ce que Ross a fait avec son théorème de récupération. Un numéraire est un portefeuille dont la valeur est toujours positive, et il existe une théorie bien développée dans la tarification des produits dérivés sur la façon de changer le numéraire. Carr commence par une économie avec un soi-disant compte du marché monétaire et explique comment le solde de ce compte peut augmenter et est aléatoire. Il explique également comment une banque pourrait facturer un taux négatif, ce qui pourrait avoir un impact sur le solde du compte. Carr fait référence au théorème de Perron-Frobenius dans sa discussion et mentionne que dans un cadre continu, on pourrait rechercher une fonction et un scalaire au lieu d'un vecteur et d'un scalaire.

  • 01:05:00 Dans cette section, une théorie appelée le théorème de récupération de Ross est discutée, qui consiste à examiner un compte du marché monétaire et un ensemble d'actifs risqués et à supposer qu'il n'y a pas d'arbitrage entre eux. L'incertitude à l'origine de tout est appelée X, et on suppose qu'il s'agit d'une diffusion, ce qui signifie qu'elle a des chemins d'échantillonnage continus mais non différenciables. X peut être n'importe quoi, comme le niveau du S&P 500 ou un taux d'intérêt. S'il n'y a pas d'arbitrage, alors il existe une mesure de probabilité dite neutre au risque notée Q, qui est liée mais non égale aux prix des titres Arrow-Debreu. Sous cette mesure de probabilité Q, le rendement attendu de tous les actifs est le taux sans risque.

  • 01:10:00 Dans cette section, nous apprenons le changement de prix attendu, qui est le taux sans risque multiplié par le prix et comment cela conduit au rendement attendu. La vidéo explique comment modifier les numéraires et mesurer les valeurs des actifs dans différents numéraires. Il poursuit en expliquant que la covariance entre le taux de change dollar/livre et IBM affecte le taux de croissance des soldes bancaires et est le point clé lorsqu'on investit dans IBM et place des gains dans une banque américaine ou britannique.

  • 01:15:00 Dans cette section, l'orateur discute du processus de recherche d'un numéraire qui sera corrélé avec les actions pour croître à une dérive réelle de 9%, par opposition au 1% initialement mis en place dans le risque- mesure neutre Q. Ils mentionnent que le portefeuille numéraire de John Long, également connu sous le nom de portefeuille optimal de croissance, est le numéraire qui convertirait le taux de croissance sans risque en taux de croissance réel. Cette section présente d'autres hypothèses, telles que l'homogénéité temporelle et les intervalles bornés des chemins d'échantillonnage, pour identifier le portefeuille de numéraires de John Long.

  • 01:20:00 Dans cette section, l'orateur explique comment la notation du mouvement brownien standard "W" est en conflit avec la notation de la richesse, également "W", conduisant au choix de la lettre "Z" pour le processus de Wiener. En outre, il introduit le «portefeuille numéraire de Long», qui porte le nom de son inventeur, John Long, bien que ses positions ne soient pas toutes positives. Bien que nous connaissions la dérive neutre au risque de X, c'est-à-dire b^Q(X), et que le coefficient de diffusion soit A de X, nous ne connaissons pas la volatilité du portefeuille numéraire de Long, sigma_L de X, qui est essentielle pour connaître le dérive du monde réel. Ce sigma_L est aussi la covariance entre le portefeuille numéraire de Long et IBM, et c'est la clé pour connaître la covariance, qui est ce qui est pertinent.

  • 01:25:00 Dans cette section, Peter Carr explique comment trouver la fonction de volatilité sigma_L et l'hypothèse que la valeur du portefeuille de John Long est une fonction de X et D. Cela conduit à une fonction positive inconnue se divisant en une fonction inconnue de X et une fonction exponentielle du temps. La fonction inconnue de X résout une équation différentielle du problème de Sturm-Liouville, ce qui montre qu'il n'y a qu'une solution unique qui délivre une fonction positive pi et un lambda scalaire pour que l'on apprenne la volatilité du portefeuille numéraire à la fin. Carr parle ensuite des efforts pour étendre cette théorie à des intervalles illimités et conclut que cette théorie est ouverte aux étudiants diplômés pour travailler et résoudre.
25. Ross Recovery Theorem
25. Ross Recovery Theorem
  • 2015.01.06
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Peter CarrThis gu...
 

26. Introduction au risque de crédit de contrepartie



26. Introduction au risque de crédit de contrepartie

Cette vidéo complète fournit une exploration approfondie du risque de crédit de contrepartie (CCR) et de l'ajustement de la valeur de crédit (CVA) et de leur importance dans la tarification des dérivés. L'orateur insiste sur l'inclusion de la CVA dans la tarification des produits dérivés, car elle affecte non seulement les valeurs de marché, mais introduit également un effet de portefeuille qui varie en fonction du risque de défaut. La tarification précise de la CVA est soulignée, en mettant l'accent sur les effets de portefeuille non linéaires et les complexités découlant des asymétries des créances et des passifs. Les stratégies de gestion du CCR, telles que la constitution de garanties et la modélisation des produits dérivés au niveau de l'entreprise, sont examinées comme des moyens de faire face à des risques supplémentaires non pris en compte par les modèles au niveau commercial. La vidéo aborde également les défis de la modélisation des portefeuilles en raison des exigences méthodologiques variables et de l'impact du CCR sur le marché au comptant.

Pour approfondir le contenu, la vidéo présente une série de sujets liés à la modélisation du risque de crédit de contrepartie. Ceux-ci incluent le modèle de Schönbucher, les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation, soulignant la nécessité de modèles au niveau de l'entreprise pour gérer les effets de portefeuille non linéaires et compléter les modèles au niveau du commerce. L'orateur explique comment trouver la mesure de martingale d'un coupon par CDS ou d'un taux par CDS à terme, ainsi que l'importance du test, du rééchantillonnage et de l'interpolation de la martingale pour s'assurer que les conditions de la martingale sont remplies. Le concept de modification de la mesure de probabilité ou du numéraire pour modéliser de manière cohérente l'ensemble de la courbe de rendement est exploré, accompagné de formules pratiques et de leur mise en œuvre. La vidéo conclut en reconnaissant la complexité de la modélisation d'un portefeuille de métiers et en suggérant des sujets de recherche potentiels pour une étude plus approfondie.

En outre, la vidéo aborde l'importance du CCR dans le commerce des dérivés de gré à gré, soulignant que les événements de défaut peuvent entraîner la perte des créances attendues. Le CVA est introduit comme un moyen d'ajuster le prix du marché en tenant compte du risque de crédit de contrepartie, similaire au risque d'une obligation d'entreprise. L'impact du CCR sur les besoins en capital, l'évaluation et le rendement des capitaux propres est discuté, ainsi qu'un exemple montrant comment l'évaluation d'une transaction peut passer de gains apparents à des pertes lorsque la contrepartie fait défaut. Diverses catégories de risques, telles que le risque de taux d'intérêt et le risque de financement de liquidité, sont examinées, et les stratégies de gestion du CCR, telles que CVA et CV Trading, sont mises en évidence.

En outre, la vidéo présente le concept de responsabilité CVA, qui se concentre sur le côté payable et la probabilité de défaillance de la banque ou de l'expert. Il souligne l'importance d'une tarification précise de la CVA en comprenant toutes les transactions impliquées, y compris leurs gains non linéaires de type option. Les défis posés par le risque de crédit de contrepartie et le risque de financement de liquidité sont illustrés par le scénario de vente d'options de vente, la transaction de Warren Buffett servant d'étude de cas. La vidéo traite également de la gestion du CCR, de l'exploration de l'utilisation des billets liés au crédit et de l'impact sur les écarts de crédit et l'émission d'obligations. En outre, il se penche sur les difficultés associées à la modélisation du risque de crédit de contrepartie et les implications pour le marché au comptant, mettant en évidence la garantie comme alternative et suggérant l'achat d'une protection de crédit garantie auprès des concessionnaires comme stratégie possible. La modélisation des produits dérivés au niveau de l'entreprise est soulignée comme un aspect crucial de la compréhension du risque de crédit de contrepartie.

En outre, les limites des modèles de produits dérivés au niveau commercial sont discutées, soulignant la nécessité pour les modèles au niveau de l'entreprise de saisir des risques supplémentaires, tels que les risques de portefeuille non linéaires. Les complexités impliquées dans la modélisation des portefeuilles sont expliquées, y compris les variations dans les exigences méthodologiques pour chaque métier. La simulation, le test de martingale et le rééchantillonnage sont introduits en tant que techniques pour traiter les inexactitudes numériques et s'assurer que les conditions de martingale sont respectées. L'orateur explore également les taux de swap à terme, les taux de change à terme et leur relation avec les martingales sous des mesures spécifiques et des actifs numéraires. Le modèle de Schönbucher est présenté, en mettant l'accent sur les mesures de survie, les mesures de martingale et les subtilités de la recherche de la mesure de martingale d'un coupon par coupon CDS ou d'un taux par CDS à terme. La vidéo explique comment la mesure de la probabilité de survie est définie à l'aide de la dérivée de Radon-Nikodym et souligne la nécessité de considérer séparément l'impact du défaut dans le modèle.

En outre, le conférencier se penche sur les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation pour la modélisation du risque de crédit de contrepartie. Le test de martingale consiste à s'assurer que les approximations numériques satisfont aux conditions de la formule du modèle. Si des divergences surviennent, un rééchantillonnage martingale est utilisé pour corriger ces erreurs. L'interpolation de martingale, d'autre part, est utilisée lorsque le modèle nécessite une structure de terme qui n'est pas explicitement disponible, ce qui permet une interpolation tout en maintenant les relations de martingale. L'orateur donne un aperçu du processus d'interpolation et de rééchantillonnage pour satisfaire les conditions de martingale pour chaque point de structure de terme.

La vidéo met l'accent sur l'importance des variables indépendantes appropriées pour l'interpolation, car elle garantit que la quantité interpolée satisfait automatiquement toutes les conditions de la cible martingale. L'identification de la mesure de martingale est expliquée, le LIBOR à terme servant de martingale dans sa mesure à terme. L'orateur note l'importance de changer la mesure de probabilité ou le numéraire pour modéliser de manière cohérente l'ensemble de la courbe de rendement, grâce à un simple changement de numéraire.

De plus, l'importance des modèles au niveau de l'entreprise est mise en évidence dans la gestion des effets de portefeuille non linéaires et l'exploitation des modèles au niveau du commerce pour les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation. Ces modèles sont cruciaux pour gérer efficacement le risque de crédit de contrepartie, ainsi que les risques liés à la liquidité de financement et au capital. L'orateur reconnaît les contraintes de temps mais renvoie les téléspectateurs intéressés à la page 22 des diapositives pour un exemple supplémentaire. Les professeurs concluent la conférence en exprimant leur appréciation pour le dévouement et le travail acharné des étudiants tout au long du cours, tout en s'offrant comme ressource pour de futures enquêtes. Ils annoncent également que le cours sera répété à l'automne prochain, avec des modifications et des améliorations potentielles, encourageant les étudiants à visiter le site Web du cours pour plus d'informations.

Dans l'ensemble, cette vidéo complète fournit une exploration détaillée du risque de crédit de contrepartie et de son impact sur la tarification des dérivés. Il couvre des concepts clés tels que CCR, CVA, les modèles au niveau de l'entreprise, les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation. La vidéo offre des exemples pratiques et des informations sur la gestion du risque de crédit de contrepartie, en soulignant l'importance d'une tarification précise et en abordant les risques supplémentaires au-delà des modèles au niveau commercial.

  • 00:00:00 Dans cette section, nous en apprenons davantage sur le risque de crédit de contrepartie qui existe principalement dans les transactions sur dérivés de gré à gré, où une contrepartie peut devoir de l'argent à l'autre. Un cas de défaut, y compris la faillite, signifie la perte d'une partie de la créance attendue. Le CVA, credit valuation adjustement, est le prix d'un risque de crédit de contrepartie, qui ajuste le prix du mark-to-market à partir d'un modèle sans défaut de contrepartie. Il est parfois comparé au risque d'une obligation de société, appelé risque d'émission.

  • 00:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'importance du risque de crédit de contrepartie (CCR) et de l'ajustement de la valeur de crédit (CVA) en termes de tarification des dérivés et de son impact sur les exigences de capital, la valorisation et le rendement des capitaux propres. Il explique comment un CVA doit être inclus dans la tarification des dérivés car il affecte non seulement le mark-to-market mais ajoute également un effet de portefeuille, qui peut varier en fonction du risque de défaut du portefeuille. L'orateur donne également un exemple de la façon dont la valorisation d'une transaction peut sembler générer des gains, mais peut s'avérer être une perte si la contrepartie fait défaut.

  • 00:10:00 Dans cette section, Yi Tang demande à la classe d'indiquer s'ils pensent avoir perdu ou gagné 50 millions de dollars - avec un manque de personnes levant la main pour indiquer qu'ils ont gagné. Dans cet esprit, Tang demande pourquoi les gens auraient pu perdre 50 millions de dollars, soulignant que dans l'exemple de scénario donné, les clients auraient commencé à 0 $ et seraient donc à une position nette de +50 millions, mais beaucoup ont perçu cela comme une perte. Tang identifie la perte intermédiaire comme la cause, les concessionnaires étant tenus de se couvrir par défaut. CVA et CV Trading sont mis en évidence ici comme des stratégies d'atténuation, le CVA étant défini comme le prix d'un risque de crédit de contrepartie.

  • 00:15:00 Dans cette section, le concept d'ajustement de la valeur du crédit (CVA) est expliqué, y compris les formules et leur mise en œuvre pratique. La vidéo souligne l'importance de comprendre les représentations et les signes de la formule, car l'absence de ces signes pourrait prêter à confusion. En outre, les effets de portefeuille non linéaires, tels que les transactions compensatoires, et l'asymétrie dans le traitement des créances et des dettes, comme un gain semblable à une option, sont également discutés pour démontrer la complexité de la tarification de la CVA. Cela met en évidence la nécessité de connaître toutes les transactions afin de fixer le prix de la CVA avec précision.

  • 00:20:00 Dans cette section, un expert en risque explique comment la modélisation des transactions sur dérivés multi-actifs peut être difficile dans le risque de crédit de contrepartie en raison de gains non linéaires de type option. L'expert présente le concept de CVA passif, qui est similaire au CVA actif, mais du côté exigible, lorsque la banque ou l'expert a une probabilité de défaut. Ils pensent également qu'il n'est pas nécessaire de déterminer quelle partie est la première à faire défaut lors de la tarification de la CVA et présentent un exemple dans lequel la PV de la transaction était de zéro le premier jour et est devenue 100 millions de dollars plus tard, avec un risque de contrepartie correctement couvert, et s'il existe d'autres risques. .

  • 00:25:00 Dans cette section, Yi Tang aborde les différentes catégories de risques, y compris le risque de taux d'intérêt et le risque d'homme clé, et souligne comment les risques de marché sont couverts pour gérer le risque de taux d'intérêt du commerce. Yi introduit également le risque de financement de la liquidité des flux de trésorerie, expliquant que le commerce a besoin de financement pour les créances dérivées non garanties même s'il n'a pas l'argent actuellement. Il explique en outre que l'utilisation des avantages de financement à payer non garantis pour couvrir partiellement le risque de financement des créances dérivées non garanties peut être utile pour gérer ce risque de liquidité. L'exemple de l'étude des options de vente ou des spreads de vente est également mis en évidence pour mettre en valeur l'application du CVA.

  • 00:30:00 Dans cette section, la vidéo traite de la stratégie de vente de put, qui rapporte des revenus aux traders et leur permet de bénéficier potentiellement des augmentations du cours des actions. Warren Buffett a fait une transaction célèbre en vendant des options de vente à long terme sur quatre principaux indices boursiers, collectant environ quatre milliards de primes sans fournir de garantie. Le commerce posait des défis, y compris le risque de crédit de contrepartie ou la probabilité de défaut de Warren Buffett. Il y avait également un risque de financement des liquidités, car Buffett pourrait potentiellement devoir plus d'argent en cas de vente sur le marché. Les commerçants ont facturé à Buffett ces risques et ces coûts de financement, mais certains concessionnaires n'avaient peut-être pas de bureau de négociation CV approprié pour la gestion des risques.

  • 00:35:00 Dans cette section, le conférencier se penche sur le risque de crédit de contrepartie (CCR) et sur la manière de le gérer. Il explique comment les risques de contrepartie sont couverts et comment, contrairement à une obligation, l'exposition au CCR peut évoluer dans le temps. Il fournit un exemple détaillé de la façon dont un type de commerce de type "note liée au crédit" a été structuré pour gérer le CCR, mais prévient que la gestion du CCR pourrait élargir encore les écarts de crédit et potentiellement affecter l'émission d'obligations. La section se termine par une discussion sur la façon dont Berkshire Hathaway a géré son CCR pendant la crise financière de 2008, en évitant la perte de trésorerie malgré les pertes non réalisées sur le marché.

  • 00:40:00 Dans cette section, l'orateur approfondit le concept de risque de crédit de contrepartie et son impact sur le marché au comptant. Lorsqu'il y a un écart de crédit élevé sur le marché des CDS, cela pourrait entraîner une demande plus élevée d'obligations, entraînant une hausse des coûts de financement. La collatéralisation est explorée comme une alternative tout en abordant le problème de qui perd de l'argent. L'orateur discute ensuite des moyens de mettre fin à la série infinie causée par le risque de crédit et suggère que la stratégie simple consisterait à acheter une protection de crédit garantie auprès d'un courtier. Enfin, il souligne que la modélisation des produits dérivés au niveau de l'entreprise est un concept important à comprendre.

  • 00:45:00 Dans cette section, l'orateur explique les limites des modèles de produits dérivés au niveau des transactions, qui impliquent de modéliser chaque transaction indépendamment, en agrégeant leur PV et leurs Grecs via une agrégation linéaire pour obtenir la PV du portefeuille. Cependant, cette approche ne tient pas compte des risques supplémentaires, tels que les risques de portefeuille non linéaires, qui nécessitent une modélisation plus poussée. L'orateur discute d'un tel risque, le risque de contrepartie, et comment les modèles au niveau de l'entreprise peuvent aider à gérer ces risques plus efficacement en modélisant le risque de contrepartie dans les transactions. L'orateur explique la complexité du développement et de la mise en œuvre de tels modèles, y compris une quantité importante de tests de martingale et d'interpolation.

  • 00:50:00 Dans cette section, l'instructeur explique les difficultés de modélisation d'un portefeuille de métiers en raison des variations des exigences méthodologiques pour chaque métier. La simulation est généralement utilisée et peut introduire des inexactitudes numériques, qui peuvent être corrigées par des tests de martingale et un rééchantillonnage, ce qui applique les conditions de martingale dans la procédure numérique. La section examine également des exemples de mesures de martingale pour le prix à terme, le LIBOR à terme, le taux de change à terme, le coupon par CDS à terme et le taux de swap à terme. Chacune de ces mesures dépend du ratio d'actifs négociés sans flux de trésorerie intermédiaire ou d'obligations à coupon zéro.

  • 00:55:00 Dans cette section, l'orateur discute des taux de swap à terme et des taux de change à terme et de leur relation avec les martingales sous des mesures particulières avec des actifs numéraires spécifiques. Ils expliquent la technique de changement de mesure de probabilité et comment le prix d'un titre négocié est indépendant de la mesure. Cependant, les dérivés de crédit posent un problème car la mesure de la rente à risque pourrait être nulle dans certains cas où l'entité de crédit de référence n'a aucun recouvrement en cas de défaut, et ils discutent des solutions potentielles à ce problème mathématique.

  • 01:00:00 Dans cette section, l'orateur explique le modèle de risque de crédit de Schönbucher, qui se concentre sur les mesures de survie. Le modèle traite de la difficulté d'avoir un 0 au numéraire, l'annuité risquée lorsque la reprise est de 0. L'orateur explique comment trouver la mesure de la martingale d'un CDS par coupon ou d'un taux par CDS à terme, qui est le point de départ de la modèle de martingale. La mesure de la probabilité de survie est définie à l'aide de la dérivée de Radon-Nikodym et une condition de martingale est créée. Bien que les mesures de probabilité ne soient pas équivalentes, il est toujours possible de faire un changement de mesure de probabilité, mais le modèle doit considérer séparément ce qui se passera en cas de défaut.

  • 01:05:00 Dans cette section, le conférencier présente les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation pour la modélisation du risque de crédit de contrepartie. Le test de martingale consiste à tester si les conditions de la formule modèle sont satisfaites numériquement. Sinon, un rééchantillonnage martingale est utilisé pour corriger cette erreur due à des approximations numériques. L'interpolation de martingale est utilisée lorsqu'un modèle nécessite une structure de terme qui n'est pas dans le modèle, et elle interpole tout en garantissant des relations de martingale. L'orateur explique comment ils interpolent et rééchantillonnent en satisfaisant les conditions de martingale pour chaque point de structure de terme.

  • 01:10:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute de la modélisation de la martingale, soulignant la nécessité d'une variable indépendante appropriée pour l'interpolation et comment cette technique garantit que la quantité interpolée satisfait automatiquement toutes les conditions de la martingale cible. La mesure de martingale peut être identifiée en utilisant le LIBOR à terme comme martingale dans sa mesure à terme et en effectuant une représentation de martingale sous certaines conditions techniques. L'orateur note que changer la mesure de probabilité ou changer le numéraire est nécessaire pour modéliser l'ensemble de la courbe de rendement de manière cohérente, et cela est réalisé par un simple changement de numéraire.

  • 01:15:00 Dans cette section, Yi Tang explique la nécessité de modèles au niveau de l'entreprise pour gérer les effets de portefeuille non linéaires et tirer parti des modèles au niveau du commerce pour les tests de martingale, le rééchantillonnage de martingale et l'interpolation. Il souligne que ces modèles sont essentiels pour gérer le risque de crédit de contrepartie ainsi que pour financer les risques de capital de liquidité. Yi Tang mentionne également qu'en raison des limites de temps, il ne pourra pas passer en revue un autre exemple, mais les téléspectateurs intéressés peuvent consulter la page 22 des diapositives. Les professeurs concluent le cours en ajoutant des commentaires finaux et en suggérant des sujets de recherche pour l'article final. Ils reconnaissent la nature stimulante du cours et apprécient le travail acharné et les efforts des étudiants en classe.

  • 01:20:00 Dans cette section, les professeurs concluent le cours en exprimant leur espoir que les étudiants l'ont trouvé précieux et qu'ils seront une bonne ressource pour eux à l'avenir. Ils encouragent les étudiants à les contacter pour toute question ou suggestion de sujets pour les cours futurs. Ils ont également annoncé qu'une répétition de la classe aura lieu l'automne prochain avec des changements et des améliorations potentiels. Enfin, ils conseillent aux étudiants de visiter le site Web pour obtenir des informations supplémentaires.
26. Introduction to Counterparty Credit Risk
26. Introduction to Counterparty Credit Risk
  • 2015.01.06
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MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Yi TangThis lectu...