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Hola a todos.

Me han permitido utilizar un depósito de X0 rublos durante t meses. Cada mes se deposita un porcentaje fijo q del valor actual del depósito X. Se me permite retirar de la cuenta un porcentaje k cada mes, que no supera el valor de q.

Por lo tanto, la tarea consiste en maximizar la cantidad de dinero retirada durante un periodo de t meses. Parece obvio que retirar la totalidad de los intereses acumulados q cada mes no es la mejor opción, porque en este caso el depósito no crece y con menos carga en la cuenta, el importe finalmente retirado puede ser mayor... Por otro lado, el valor de k no debe llegar a cero, porque en este caso la cantidad de dinero retirada también llega a cero. Aparentemente, la verdad está en algún lugar del medio. ¿Pero dónde exactamente?

Ayúdame a resolver este problema analíticamente de forma general.

P.D. No he posteado en una rama de zadacha no relacionada con el comercio, porque el tema propuesto está relacionado con este último.

 
Parece que hay que hacer igualdades de ecuaciones y luego diferenciarlas (el problema recuerda a una ambulancia, cuando se puede tomar un atajo en un campo a baja velocidad, o conducir por el asfalto a mayor velocidad pero en una ruta más larga - ¿en qué momento se sale del asfalto hacia el campo?)
 

Así que la pregunta es: ¿cómo se inventan? Hasta ahora sólo funciona de forma iterativa:


Tenemos que presentarlo en forma analítica (como una dependencia funcional del tiempo t).

 
Expandir aún más la fórmula de f, es decir, llevarla a fi = fi(x0).
 

¡Ahá! Entonces resulta así:

Y la expresión de la cantidad de dinero retirada durante un periodo de t meses puede escribirse como

Si es así, mejor. ¿Y ahora qué? Tienes que deshacerte de la cantidad...

 

sería algo así.

 

¡No puede ser!...

¿Puede ser más específico? Me refiero a la forma de una fórmula.

¡Así se puede ver realmente lo óptimo en términos de porcentaje de eliminación!

 
Neutron:

Si es así, mejor. ¿Qué es lo siguiente? Tenemos que deshacernos de la suma...

Recuerda la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica


 
donde q es el denominador de la GP, b1 es el primer término
 
alsu:

recordar la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica



¡Shaitan! En efecto, .

Entonces, finalmente, la expresión para la suma de los fondos retirados estará dada como

Sólo queda tomar la derivada del tiempo y equipararla a cero... Sí.

 
Neutron:

Hola a todos.

Me han permitido utilizar un depósito de X0 rublos durante t meses. Cada mes el depósito recibe un porcentaje fijo q del valor actual del depósito X. Se me permite retirar de la cuenta un porcentaje k cada mes que no supere el valor de q.

Así que el problema es maximizar la cantidad de dinero retirado durante un periodo de t meses.

Es obvio que la cantidad a retirar es q y sólo al final del periodo t. En todos los demás casos, el importe retirado será inferior.
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