Matematica pura, fisica, logica (braingames.ru): giochi di cervello non legati al commercio - pagina 58
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Quindi: Tutte le scale hanno un fondo e una cima chiaramente definiti.
80 megacervelli si sono alzati in un rettangolo 10×8. In ogni fila longitudinale hanno trovato il più alto, il più basso dei quali era il megamogon con un cane. Poi trovarono il più basso in ogni fila trasversale, e il più alto tra loro era un megamorg che indossava un cappello. La domanda è: chi è più alto: il megafono con il cane o quello con il cappello?
Ce n'era uno simile sul 4.
X >= Y >= Z --> X >= Z
(5)
Megamogg vuole salire sul tetto della sua casa con una scala. Ci sono molte scale nel magazzino, ma purtroppo alla maggior parte di esse mancano i gradini. Le scale a cui mancano due pioli di fila non possono essere scalate da Megamogg. Tutte le sue scale in origine avevano N gradini. Tutte le scale hanno un fondo e una cima chiaramente definiti. Quante varianti di scale poteva salire Megamogg?
Tex, è più semplice di così. La sequenza dei conigli di Fibonacci è disegnata.
F(1) = 2
F(2) = 3
F(N) = F(N-1)+F(N-2)
// Non so se esiste una formula di non ripetizione, non l'ho ancora elaborata.
Sei sicuro?
F(1) = 1
F(2) = 2
F(3) = 4
F(4) = 7
F(5) = 12
F(6) = 19
F(7) = 33 (???)
Certo.
Con un passo, due opzioni (avere/nessun passo)
Con due = tre opzioni (entrambi hanno, nessun primo, nessun secondo)
ecc.
La mia formula è corretta.
Ъ
La mia formula è corretta.
Formula di ricorrenza e, ma non così semplice come ho. Ma la conseguenza e la soluzione stessa sono i numeri di Fibonacci F(N+2). Resta solo da dare una prova corretta. MD, dove hai trovato la tua formula? Solo contando le variazioni per piccoli numeri?
Ho la derivazione completa della formula. Aspetterò per ora.
Sul 4k, sembrava essere simile.
X >= Y >= Z --> X >= Z
Formula di ricorrenza e, ma non così semplice come ho. Ma la conseguenza e la soluzione stessa sono i numeri di Fibonacci F(N+2). Resta solo da dare una prova corretta. MD, dove hai trovato la tua formula? Solo contando le variazioni per piccoli numeri?
Ho la derivazione completa della formula. Aspetterò per ora.
Sia c(n) il numero di scale con n gradini che MM non può salire. Considerate le seguenti opzioni:
1 0
1 0 0
Qui ci sono i pioli inferiori di tre serie di scale, 1 - c'è un gradino, 0 - non c'è nessun gradino. Ovviamente, se n >= 2
c(n) = c(n-1) + c(n-2) + 2^(n-2), è chiaro che c(0) = 0, c(1) = 0 (1)
Il numero totale di scale che possono essere salite è espresso dalla formula: 2^n - c(n) =? F(n+2)
Lasciatecelo provare. Definiamo una funzione
f(n+2) = 2^n - c(n); calcoliamo f(2) = 1, f(3) = 2 corrisponde ai numeri di Fibonacci corrispondenti. (2)
Per n > 1, sostituiamo c(n) da (2) in (1), e otteniamo
2^n - f(n+2) = 2^(n-1) - f(n+1) + 2^(n-2) - f(n) + 2^(n-2), i gradi di due sono ridotti, otteniamo:
f(n+2) = f(n+1) + f(n), Dati i valori calcolati di f(2) = F(2) = 1, f(3) = F(3) = 2, è ovvio che f(n+2) = F(n+2)
Io, a proposito, ho una soluzione diversa (nessun grado di due):
Una scala è detta corretta se MM può salirla. Il numero di potenziali gradini della scala è chiamato il suo ordine.
Per semplicità introdurremo tali notazioni: il numero di scale corrette di ordine n e con un passo mancante si denomina come q(n; falso), e con un passo presente si denomina come q(n; vero). Denotiamo il numero di tutte le scale regolari di ordine n come q(n).
Ci sono due casi:
1. La scala superiore ha un gradino inferiore. Allora il numero totale di scale "composte" di ordine N è q(N-1; vero) * 2, perché il numero di scale regolari di ordine 1 è 2.
D'altra parte, ovviamente q(N-1; vero) = q(N-2). Quindi il numero totale di scelte corrette per questo caso sarà 2*q(N-2).
2. La scala superiore non ha un piolo inferiore. Il numero totale di scale composte di ordine N è q(N-1; falso) * 1, perché la scala inferiore di ordine 1 deve avere un passo perché la scala composita sia corretta.
D'altra parte, q(N-1; falso) = q(N-2; vero) = q(N-3). Quindi il numero totale di scelte corrette è q(N-3).
Quindi, abbiamo la relazione di ricorrenza:
q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
È lineare, e la sua equazione è la seguente:
z^3 - 2*z - 1 = 0.
Ovviamente si decompone in moltiplicatori:
(z + 1) * (z^2 - z - 1) = 0.
Quindi le radici sono z_1 = ( 1 + sqrt(5) ) / 2 = fi, z_2 = 1 - fi, z_3 = -1.
Una soluzione generale dell'equazione è una combinazione lineare di
q(n) = C_1*z_1^n + C_2*z_2^n + C_3*z_3^n (***).
Il conteggio manuale per le prime scelte dà i seguenti numeri di scelte - numeri di Fibonacci (F_0 = 0, F_1 = 1):
q(1) = 2 = F_3,
q(2) = 3 = F_4,
q(3) = 5 = F_5,
q(4) = 8 = F_6,
q(5) = 13 = F_7, ecc.
La regolarità è evidente. Sostituire in (***):
F_3 = C_1*z_1 + C_2*z_2 - C_3 (***).
F_4 = C_1*z_1^2 + C_2*z_2^2 + C_3 (***).
F_5 = C_1*z_1^3 + C_2*z_2^3 - C_3 (***).
In primo luogo, si noti che da queste tre equazioni C_i è determinato in modo univoco (il determinante principale del sistema è quasi il determinante di Vandermonde, che non è uguale a zero). D'altra parte, i numeri di Fibonacci si ottengono letteralmente se C_1 = 1/sqrt(5) = -C_2 e C_3 = 0.
Da qui la risposta: il numero di scale regolari di ordine N è F_{N+2}.
Io, a proposito, ho una soluzione diversa (nessun grado di due):
La stessa relazione di ricorrenza è vera per Fibonacci: q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
Quindi è stato sufficiente provare la coincidenza di tre valori consecutivi della serie perché la serie coincida