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Finance computationnelle : Cours 9/14 (Simulation de Monte Carlo)

Finance computationnelle : Cours 9/14 (Simulation de Monte Carlo)

La conférence couvre plusieurs sujets liés à la simulation de Monte Carlo et à l'intégration dans la finance computationnelle, offrant un aperçu des différentes approches et techniques.

Le conférencier commence par présenter des problèmes d'intégration et montre comment calculer des intégrales à l'aide de l'échantillonnage de Monte Carlo. Ils expliquent deux approches : l'approche classique pour l'intégration et l'intégration basée sur la valeur attendue. A travers des démonstrations de programmation en Python, l'enseignant montre comment analyser et rendre les simulations plus efficaces. Ils discutent de l'impact de la régularité sur la convergence et des différents types de convergence.

En outre, le cours couvre deux techniques de discrétisation importantes, à savoir Euler et Milstein, et explique comment contrôler l'erreur en fonction du pas de temps dans la simulation. Le conférencier insiste sur les principes et l'histoire de la simulation de Monte Carlo, utilisée dans divers domaines depuis près de 90 ans. Il a gagné en popularité parmi les physiciens dans les années 1930, en particulier lors du projet Manhattan.

L'importance du calcul de la valeur attendue d'un gain futur en finance computationnelle est discutée. Il s'agit d'intégrer sur l'axe réel en utilisant la densité du stock, en considérant des taux d'intérêt constants ou dépendants du temps. L'intégration de Monte Carlo, associée à l'échantillonnage et à la théorie des probabilités, est présentée comme une technique qui fournit des sorties variables avec chaque simulation. Le cours met l'accent sur son application à des problèmes hautement dimensionnels et sur la capacité de contrôler la variance de la distribution des erreurs en ajustant les paramètres de la simulation. L'enseignant discute également des méthodes d'amélioration de l'échantillonnage et de la simulation avec Monte Carlo.

Une méthode spécifique d'estimation des intégrales à l'aide de la simulation de Monte Carlo est expliquée. Cette méthode consiste à échantillonner uniformément des points dans une zone rectangulaire et à compter la proportion d'échantillons sous la courbe pour estimer l'intégrale. Bien qu'elle ne soit pas couramment utilisée en finance, cette approche peut être utile pour les problèmes de grande dimension. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre la fonction à intégrer pour saisir efficacement la zone d'intérêt.

La conférence se penche également sur les limites et les défis de la simulation de Monte Carlo en finance. Bien qu'il fournisse des estimations approximatives, les résultats peuvent être très imprécis, en particulier pour les simulations complexes. Le conférencier explique que l'erreur attendue dans les simulations de Monte Carlo diminue de la racine carrée du nombre de simulations, ce qui entraîne une intensité de calcul. La conférence explore plus en détail la relation entre les approches intégrales et les attentes, en présentant un exemple de la façon dont elles sont liées. En finance, l'approche par anticipation est généralement considérée comme plus efficace et précise que la simulation traditionnelle de Monte Carlo.

Le cours couvre la loi des grands nombres et sa relation avec les variables aléatoires indépendantes. L'estimation de la variance et le calcul de l'espérance pour déterminer la moyenne sont discutés. Une comparaison est présentée entre « l'approche naïve » et l'approche par anticipation, cette dernière s'avérant significativement plus précise même avec moins d'échantillons. L'enseignant démontre le code pour réaliser cette simulation en insistant sur la nécessité de préciser deux points pour la démarche d'intégration de la fonction.

Différents exemples d'intégrales stochastiques rencontrées en finance sont discutés, mettant en évidence la sommation du mouvement brownien sur des pas de temps, la sommation du mouvement brownien sur des incréments et la multiplication du mouvement brownien par des incréments. Un cas plus concret est présenté, où une fonction g(t) est intégrée de 0 à T avec une fonction g(s)dW(s). La conférence explique comment diviser la plage d'intégration en sous-intervalles plus petits et utiliser la simulation de Monte Carlo pour approximer l'intégrale. L'importance de la taille de l'échantillon et de la plage de valeurs est soulignée pour des résultats précis.

L'orateur explique comment résoudre numériquement une intégrale déterministe par un processus de partition et d'approximation. Ils introduisent l'intégrale Ito et expliquent l'évaluation de la fonction GT au début de l'intervalle, avec l'intégrale choisie à la frontière gauche. À l'aide d'un exemple avec une fonction GT de T au carré, l'enseignant montre comment obtenir l'espérance et la variance avec la propriété d'isométrie Ito. Le code Python est fourni pour simuler le calcul, et les étapes impliquées sont expliquées.

La génération du mouvement brownien et son utilisation dans la construction d'un processus et la définition d'une intégrale sont discutées. La conférence décrit le processus de génération d'une distribution et de son utilisation pour construire le processus de mouvement brownien. L'impact de la suppression de la condition d'échelle sur la distribution et la variance est démontré. Le conférencier explique également une astuce pour résoudre les intégrales impliquant le mouvement brownien en appliquant le lemme d'Ito. Enfin, le cours montre comment considérer la fonction x au carré pour calculer l'intégrale.

L'application du lemme d'Ito pour obtenir la dynamique d'une fonction égale à tw au carré de t est discutée. En appliquant le lemme d'Ito à x au carré, la conférence révèle un terme qui est calculé par intégration, résultant en une distribution pi au carré au lieu d'une distribution normale. L'orateur insiste sur l'importance de l'expérience pour deviner quel type de fonction appliquer pour obtenir le résultat souhaité. Le code est modifié pour basculer entre les intégrales, et une augmentation du nombre d'échantillons est suggérée pour améliorer le résultat.

Les simulations de Monte Carlo, les routines numériques et l'importance des générateurs de nombres aléatoires de bonne qualité sont discutés. La conférence explique le lemme d'Ito et propose une approche heuristique pour comprendre pourquoi dwt dwt est égal à zéro. On observe que la diminution de la taille de la grille conduit à une convergence plus rapide de la variance par rapport à l'espérance. Une expérience est menée pour démontrer que l'espérance tend vers zéro à un rythme plus lent tandis que la variance se rapproche de zéro. L'orateur donne une intuition sur la raison pour laquelle dwt dwt est égal à zéro, tout en reconnaissant que la preuve théorique de cette relation est assez compliquée.

Le cours se penche sur la convergence de deux fonctions similaires, g1 et g2, et étudie leurs attentes lorsqu'elles sont échantillonnées à partir d'un mouvement brownien. Ces fonctions ont des limites de 0 lorsque x tend vers moins l'infini et de 1 lorsque x tend vers plus l'infini. L'enseignant calcule l'erreur pour un nombre croissant d'échantillons simulés et présente un graphique comparant l'erreur au nombre d'échantillons. La première fonction, avec une courbe non lisse et une large plage d'oscillation, s'oppose à la seconde fonction, qui a une courbe lisse et converge plus rapidement.

La convergence est mise en évidence comme une considération cruciale lors de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo en finance. La conférence explique la différence entre convergence faible et forte, la convergence forte étant plus puissante que faible. Des erreurs peuvent se produire dans la convergence lorsqu'il s'agit de fonctions non lisses et de gains de type numérique, conduisant à des résultats d'évaluation sensiblement différents. Comprendre les différences et les implications des deux types de convergence est essentiel pour garantir des simulations et des évaluations financières précises.

La conférence traite de la convergence faible et forte dans le contexte des simulations de Monte Carlo et des algorithmes de tarification. Alors qu'une faible convergence correspond aux moments au niveau des attentes, une forte convergence est nécessaire pour des gains précis dépendant du chemin. Un algorithme de tarification Monte Carlo complet consiste à définir une grille depuis le moment présent jusqu'à la date de paiement du contrat, une équation de tarification et un pilote stochastique pour l'actif. Les simulations de Monte Carlo sont nécessaires lorsque les évaluations en forme fermée ne sont pas possibles en raison de la complexité du processus de stock. La grille est généralement équidistante, mais dans certains cas, des stratégies alternatives peuvent être employées.

Le professeur insiste sur la précision et les contraintes temporelles de la simulation Monte Carlo. On note que si l'augmentation du nombre de pas de temps améliore la précision, elle augmente également le temps de simulation. Des techniques avancées ou des solutions de forme fermée qui permettent des pas de Monte Carlo plus grands peuvent être bénéfiques pour atteindre à la fois précision et vitesse. La conférence procède ensuite à la définition des grilles, des atouts et des gains pour une option de type européen. L'état final de l'option dépend du moment des observations. Le cours explique comment calculer le prix de l'option en prenant l'espérance sous la mesure de la file d'attente et en l'actualisant, tout en calculant également l'erreur standard pour mesurer la variabilité des résultats obtenus.

Le concept d'erreur standard est discuté dans le contexte de la simulation de Monte Carlo. La conférence explique que l'espérance peut être calculée en utilisant la loi forte des grands nombres, et la variance de la moyenne peut être calculée en supposant que les échantillons sont tirés indépendamment. L'erreur type, qui mesure la variabilité de l'espérance compte tenu d'un certain nombre de chemins, peut être déterminée en divisant la variance par la racine carrée du nombre de chemins. Plus le nombre d'échantillons augmente, plus l'erreur diminue. Typiquement, l'augmentation du nombre d'échantillons par un facteur de quatre réduira l'erreur par un facteur de deux. Une méthode classique pour simuler des équations différentielles stochastiques est la discrétisation d'Euler, qui est simple mais a ses limites.

L'enseignant discute de l'utilisation des équations différentielles stochastiques et de la discrétisation d'Euler dans les simulations de Monte Carlo. Le processus consiste à définir une grille, à effectuer une simulation et à mesurer la différence entre la solution exacte et la simulation par erreur absolue. Il est essentiel de s'assurer que le caractère aléatoire des variables dans les versions exacte et discrétisée est le même pour assurer la comparabilité. Le cours met également l'accent sur l'importance de la vectorisation dans les simulations de Monte Carlo, car elle est plus efficace que l'utilisation de doubles boucles pour chaque pas de temps et chemin. Cependant, il est important de noter que bien que cette approche simplifie le processus, elle s'accompagne de limitations en termes de précision et de vitesse.

La solution exacte pour le mouvement brownien avec un terme de dérive et un terme de volatilité (r et sigma) est examinée, en utilisant le mouvement brownien généré dans la représentation exacte et le même mouvement utilisé dans l'approximation. La conférence compare l'erreur absolue et l'erreur moyenne dans la convergence faible, soulignant qu'une convergence faible suffit pour évaluer un type de gain européen, mais peut ne pas être suffisante pour les gains dépendant du chemin. Des graphiques sont présentés pour illustrer les chemins générés pour la discrétisation d'Euler par rapport à la solution exacte, où des différences entre les deux peuvent être observées pour certains chemins. Le cours se termine par une comparaison des erreurs fortes et faibles.

Le conférencier discute de la mise en œuvre de simulations de Monte Carlo à l'aide de code. Ils expliquent que pour quantifier l'erreur, une mesure de l'erreur doit être utilisée, comme indiqué précédemment dans le cours. Le code génère des chemins et compare les valeurs exactes avec l'approximation à l'aide d'une simulation multicolore. Les sorties sont des chemins temporels pour le stock et les valeurs exactes. L'orateur insiste sur l'importance de générer les mêmes mouvements browniens pour l'approximation et la solution exacte afin de les comparer au niveau de l'erreur. Pour mesurer les erreurs de convergence faibles et fortes, ils définissent une plage du nombre d'étapes et effectuent des simulations de Monte Carlo pour chaque étape. Le code génère deux types d'erreurs : erreur faible et erreur forte.

Le conférencier discute du processus de simulation impliqué dans la méthode de Monte Carlo et comment cela peut prendre du temps parce que la simulation doit être répétée plusieurs fois. Les résultats sont présentés à travers des graphiques de convergence faible et forte, où l'erreur de convergence faible est représentée par la ligne bleue à croissance lente, tandis que l'erreur de convergence forte suit une racine carrée de forme delta T, confirmant l'analyse. Le conférencier explique que l'erreur peut être considérablement réduite grâce à la technique de discrétisation de Milstein, qui dérive des termes supplémentaires en appliquant l'expansion de Taylor. Bien qu'il implique plus de travail pour arriver à la formule finale, le schéma de Milstein nécessite la dérivée du terme de volatilité, qui n'est pas toujours disponible analytiquement.

Le conférencier explique l'utilisation de la simulation de Monte Carlo en finance computationnelle, en particulier dans le mouvement brownien géométrique. Ils montrent comment calculer le terme de volatilité au sens de la distribution et le comparent au schéma d'Euler. Bien que la simulation de Monte Carlo ait un taux de convergence plus rapide que la méthode d'Euler, il peut être difficile de dériver la dérivée dans des modèles impliquant plusieurs dimensions, car elle nécessite des calculs informatiques supplémentaires. De plus, l'orateur compare l'erreur absolue au sens faible et fort entre les deux schémas, soulignant que l'erreur forte de Monte Carlo est linéaire en delta t, tandis que l'erreur faible d'Euler est du même ordre. Enfin, ils fournissent une implémentation de code de simulation Monte Carlo pour générer des trajectoires en mouvement brownien géométrique et analyser sa forte convergence.

L'orateur discute de l'impact de différentes techniques de discrétisation sur la convergence en utilisant l'exemple du mouvement de Black-Scholes ou du mouvement brownien géométrique. L'analyse des schémas d'Euler et de Milstein sert d'illustration de l'impact des différentes techniques de discrétisation. L'orateur compare les erreurs entre les schémas de Milstein et d'Euler, montrant que l'erreur du schéma de Milstein est bien inférieure à celle d'Euler, bien qu'elle ne soit pas toujours applicable. L'avantage de différents schémas peut ne pas être évident lorsque l'on regarde les résultats finaux, mais compte tenu des dépenses de calcul de la simulation, le temps devient crucial. Par conséquent, l'utilisation de grands pas de temps serait essentielle si nous voulons effectuer des simulations rapides de Monte Carlo.

Le conférencier discute ensuite du rôle des générateurs de nombres aléatoires (GNA) dans les simulations de Monte Carlo. Ils soulignent l'importance d'utiliser des GNA de bonne qualité pour garantir des résultats précis et fiables. Le conférencier mentionne que les générateurs de nombres pseudo-aléatoires (PRNG) sont couramment utilisés dans les simulations et explique comment ils génèrent des séquences de nombres qui se rapprochent du caractère aléatoire. Ils soulignent également le besoin de reproductibilité dans les simulations en utilisant une valeur de départ fixe pour le RNG. Ensuite, le conférencier discute du concept de variables antithétiques, qui est une technique de réduction de la variance utilisée dans les simulations de Monte Carlo. L'idée derrière les variables antithétiques est de générer des paires de variables aléatoires qui ont des effets opposés sur la quantité d'intérêt. En prenant la moyenne des résultats obtenus à partir des variables originales et de leurs homologues antithétiques, la variance de l'estimation peut être réduite. Cette technique est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de distributions symétriques.

Le cours introduit ensuite le concept de variables de contrôle comme une autre technique de réduction de la variance. Les variables de contrôle impliquent l'introduction d'une fonction connue dans le processus de simulation qui est corrélée avec la quantité d'intérêt. En soustrayant l'estimation obtenue à partir de la fonction connue de l'estimation obtenue à partir de la fonction cible, la variance de l'estimation peut être réduite. Le conférencier fournit des exemples pour illustrer comment les variables de contrôle peuvent être appliquées dans la pratique. Outre les techniques de réduction de la variance, l'enseignant aborde le concept d'échantillonnage stratifié. L'échantillonnage stratifié consiste à diviser l'espace de l'échantillon en strates et à échantillonner à partir de chaque strate séparément. Cette approche garantit que chaque strate est représentée dans l'échantillon, ce qui conduit à des estimations plus précises. Le cours explique la procédure de mise en œuvre de l'échantillonnage stratifié et met en évidence ses avantages par rapport à l'échantillonnage aléatoire simple.

Enfin, le conférencier explore le concept d'échantillonnage d'importance. L'échantillonnage par importance est une technique utilisée pour estimer la probabilité d'événements rares en attribuant des probabilités plus élevées aux échantillons les plus susceptibles de produire l'événement souhaité. La conférence explique comment l'échantillonnage d'importance peut améliorer l'efficacité des simulations de Monte Carlo pour l'estimation d'événements rares. Le conférencier fournit des exemples et discute de l'importance de choisir une distribution d'échantillonnage appropriée pour des résultats précis.

La conférence couvre une gamme de sujets liés aux simulations de Monte Carlo, y compris les problèmes d'intégration, le calcul d'intégrales à l'aide de l'échantillonnage de Monte Carlo, les démonstrations de programmation, l'analyse de la convergence, les techniques de discrétisation, les principes et l'histoire de la simulation de Monte Carlo, l'application en finance informatique, la réduction de la variance techniques et échantillonnage d'importance. Le conférencier donne un aperçu de la théorie et de la mise en œuvre pratique des simulations de Monte Carlo et souligne leur pertinence dans divers domaines.

• 00:00:00 Dans cette section sur la simulation Monte Carlo, le conférencier aborde plusieurs sujets, notamment les problèmes d'intégration et le calcul des intégrales à l'aide de l'échantillonnage Monte Carlo. Ils présentent deux approches différentes : une approche classique pour l'intégration et l'intégration basée sur la valeur attendue. La conférence comprend également des démonstrations de programmation en Python et comment analyser et rendre les simulations plus efficaces. L'enseignant discute de l'impact de la régularité sur la convergence et des différents types de convergence. Ils introduisent également deux techniques de discrétisation importantes, Euler et Milstein, et montrent comment contrôler l'erreur en fonction du pas de temps dans la simulation. Enfin, ils discutent des principes et de l'histoire de la simulation de Monte Carlo, qui existe depuis près de 90 ans et a été popularisée par les physiciens dans les années 30, notamment dans le cadre du projet Manhattan.
  
  
• 00:05:00 cette section, le conférencier discute de l'importance du calcul de la valeur attendue d'un gain futur en finance informatique. Cela implique d'utiliser une intégrale sur l'axe réel avec la densité du stock, en supposant des taux d'intérêt constants ou dépendant du temps. La technique d'intégration de Monte Carlo est associée à l'échantillonnage et à la théorie des probabilités, et le résultat obtenu à partir de la simulation variera à chaque fois. La technique peut être utilisée pour des problèmes hautement dimensionnels et peut contrôler la variance de la distribution des erreurs en choisissant certains paramètres dans la simulation. La conférence aborde également les méthodes pour améliorer l'échantillonnage et la simulation avec Monte Carlo.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le conférencier explique comment effectuer une simulation de Monte Carlo pour estimer une intégrale. La méthode consiste à échantillonner des points uniformément dans une zone rectangulaire et à compter le nombre d'échantillons sous la courbe par rapport au nombre total d'échantillons. En multipliant la proportion d'échantillons sous la courbe par l'aire du rectangle, une estimation de l'intégrale peut être obtenue. Bien que cette approche ne soit généralement pas utilisée en finance, elle peut être utile pour les problèmes de grande dimension. Le conférencier note qu'en savoir plus sur la fonction intégrée peut être utile pour s'assurer que la simulation capture efficacement la zone d'intérêt.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de la technique de simulation de Monte Carlo et comment elle peut être utilisée pour estimer les intégrales. Il explique que si la simulation de Monte Carlo peut fournir une estimation approximative, les résultats peuvent être très imprécis, en particulier dans le domaine financier où des simulations très complexes sont nécessaires. L'erreur attendue dans les simulations de Monte Carlo est réduite par la racine carrée du nombre de simulations, ce qui peut être gourmand en calculs. Le professeur discute également de la relation entre l'approche intégrale et l'approche des attentes et donne un exemple de la façon dont ils sont liés. Dans l'ensemble, l'approche des attentes est considérée comme plus efficace et précise en finance par rapport à la simulation de Monte Carlo.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier discute de la loi des grands nombres et de sa relation avec les variables aléatoires indépendantes. Ils mettent en évidence l'estimation de la variance et le calcul de l'espérance, tous deux pour le calcul de la moyenne. La comparaison est ensuite montrée entre "l'approche naïve" et l'approche par anticipation, cette dernière étant nettement plus précise même avec moins d'échantillons. L'enseignant poursuit en montrant le code permettant de réaliser cette simulation en insistant sur la nécessité de préciser deux points pour que cette approche intègre la fonction.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier aborde différents exemples d'intégrales stochastiques rencontrées en finance. Le premier exemple implique la sommation du mouvement brownien sur des pas de temps, tandis que le second implique la sommation du mouvement brownien sur des incréments. Dans le troisième exemple, le mouvement brownien est multiplié par incréments. L'enseignant passe ensuite à un cas plus concret où une fonction g(t) est intégrée de 0 à T avec une fonction g(s)dW(s). La méthode consiste à diviser la plage d'intégration en sous-intervalles plus petits et à utiliser la simulation de Monte Carlo pour approximer la valeur de l'intégrale. La conférence met l'accent sur l'importance de la taille de l'échantillon et de la plage de valeurs pour des résultats précis.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur explique comment résoudre numériquement une intégrale déterministe par un processus de partition et d'approximation. Ils introduisent l'intégrale Ito et expliquent que la fonction GT est évaluée au début de l'intervalle et que l'intégrale est toujours choisie à la limite gauche. L'orateur utilise un exemple avec une fonction GT de T au carré et montre comment obtenir l'espérance et la variance avec la propriété d'isométrie Ito. Ils fournissent du code Python pour simuler le calcul et expliquent les étapes impliquées.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique comment générer un mouvement brownien et l'utiliser pour construire un processus et définir une intégrale. Ils génèrent une distribution et l'utilisent pour construire le processus, puis montrent l'impact de la suppression de la condition de mise à l'échelle sur la distribution et la variance. L'orateur explique également une astuce pour résoudre des intégrales impliquant un mouvement brownien : l'application du lemme d'Ito. Enfin, ils montrent comment considérer la fonction x au carré pour calculer l'intégrale.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, l'intervenant discute de l'application du lemme d'Ethos afin d'obtenir la dynamique d'une fonction égale à tw au carré de t. En appliquant le lemme d'Ito à x au carré, le locuteur obtient un terme qui est calculé par intégration, résultant en une distribution pi au carré au lieu d'une distribution normale. L'orateur insiste sur la nécessité d'avoir de l'expérience pour deviner quel type de fonction appliquer afin d'obtenir le résultat souhaité. Le code est modifié pour basculer entre les intégrales, et une augmentation du nombre d'échantillons est suggérée pour améliorer le résultat.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur discute des simulations de Monte Carlo, des routines numériques et de l'importance de générateurs de nombres aléatoires de bonne qualité. Ils expliquent ensuite le lemme d'Ito et se plongent dans une approche heuristique pour comprendre pourquoi dwt dwt est égal à zéro. En diminuant la taille de la grille, la variance converge beaucoup plus vite que l'espérance, et cela peut être observé dans l'expérience où l'espérance tend vers zéro beaucoup plus lentement alors que la variance est presque nulle. L'orateur donne une intuition sur la raison pour laquelle dwt dwt est égal à zéro, et conclut en disant que la preuve théorique de cela est plutôt compliquée.
  
  
• 00: 50: 00 Dans cette section, l'orateur discute de la convergence de deux fonctions similaires, g1 et g2, et étudie leurs attentes lorsqu'elles sont échantillonnées à partir d'un mouvement brownien. Les fonctions ont des limites de 0 pour x allant vers moins l'infini et 1 pour x allant vers plus l'infini. L'orateur calcule l'erreur pour un nombre croissant d'échantillons simulés et montre un graphique comparant l'erreur au nombre d'échantillons. La première fonction a une courbe non lisse et oscille avec une large plage, tandis que la seconde fonction a une courbe lisse et converge plus rapidement.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'importance de considérer la convergence lors de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo en finance. Les deux types de convergence discutés sont la convergence faible et la convergence forte, forte étant plus puissante que faible. L'orateur explique que des erreurs peuvent se produire dans la convergence lorsqu'il s'agit de fonctions non lisses et de paiements de type numérique, ce qui pourrait entraîner des résultats d'évaluation sensiblement différents. Comprendre les différences et les implications des deux types de convergence est essentiel pour garantir des simulations et des évaluations financières précises.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier discute de la convergence faible et forte dans le contexte des simulations de Monte Carlo et des algorithmes de tarification. Alors qu'une faible convergence correspond aux moments au niveau des attentes, une forte convergence est nécessaire pour des gains précis dépendant du chemin. Un algorithme de tarification Monte Carlo complet consiste à définir une grille d'aujourd'hui jusqu'à la date de paiement du contrat, une équation de tarification et un pilote stochastique pour l'actif. Les simulations de Monte Carlo sont nécessaires lorsque les évaluations en forme fermée ne sont pas possibles en raison de la complexité du processus de stock. La grille est généralement équidistante, mais dans certains cas, elle peut ne pas l'être.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de la précision et des contraintes de temps de la simulation de Monte Carlo, notant que si plus de pas de temps augmentent la précision, cela augmente également le temps passé à simuler. Des techniques avancées ou des solutions de forme fermée qui permettent de grandes étapes de Monte Carlo peuvent être bénéfiques à la fois pour la précision et le temps. Le professeur procède ensuite à la définition des grilles, atout et gain pour une option de type européen et explique que l'état final dépend du moment des observations. L'attente sous la mesure de la file d'attente est ensuite prise et actualisée pour déterminer le prix de l'option, avec une erreur type calculée pour mesurer la variabilité des résultats obtenus.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le concept d'erreur standard est discuté dans le contexte de la simulation de Monte Carlo. L'espérance peut être calculée en utilisant la loi forte des grands nombres, et la variance de la moyenne peut être calculée en supposant que les échantillons sont tirés indépendamment. L'erreur type, qui mesure la variabilité de l'espérance compte tenu d'un certain nombre de chemins, peut être déterminée en divisant la variance par la racine carrée du nombre de chemins. Lorsque le nombre d'échantillons augmente, l'erreur diminue ; généralement, l'augmentation du nombre d'échantillons par un facteur de quatre réduira l'erreur par un facteur de deux. Une méthode classique pour simuler des équations différentielles stochastiques est la discrétisation d'Euler, qui est simple mais a des limites.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation des équations différentielles stochastiques et de la discrétisation d'Euler dans les simulations de Monte Carlo. Le processus consiste à définir une grille, à effectuer une simulation et à mesurer la différence entre la solution exacte et la simulation par erreur absolue. Il est essentiel de s'assurer que le caractère aléatoire des variables dans les versions exacte et discrétisée est le même pour assurer la comparabilité. Le cours met également l'accent sur la vectorisation dans les simulations de Monte Carlo car elle est plus efficace que l'utilisation de doubles boucles pour un pas de temps et des chemins. Dans l'ensemble, bien que cette approche simplifie le processus, elle s'accompagne de limitations en termes de précision et de vitesse.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, la solution exacte du mouvement de frontière avec r et sigma est examinée, en utilisant le mouvement brownien généré dans la représentation exacte et le même mouvement utilisé dans l'approximation. L'erreur absolue et l'erreur moyenne dans la convergence faible sont comparées, et il est expliqué que si la convergence faible suffit pour évaluer un type de gain européen, elle ne suffit pas pour les gains dépendant du chemin. Les graphiques montrent les chemins générés pour la discrétisation d'Euler par rapport à la solution exacte, où des différences entre les deux peuvent être observées pour certains chemins, et une comparaison des erreurs fortes et faibles.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de la mise en œuvre de simulations de Monte Carlo à l'aide de code. Ils expliquent que pour quantifier l'erreur, une mesure de l'erreur doit être utilisée, dont ils ont parlé plus tôt dans les diapositives. Le code génère des chemins et compare l'exact à l'approximation à l'aide d'une simulation multicolore. Les sorties sont des chemins temporels pour le stock et les valeurs exactes. L'orateur souligne l'importance de générer les mêmes mouvements browniens pour l'approximation et l'exactitude pour les comparer au niveau de l'erreur. Pour mesurer les erreurs de convergence faibles et fortes, ils définissent une plage du nombre d'étapes et effectuent des simulations de Monte Carlo pour chaque étape. Le code génère deux types d'erreurs : erreur faible et erreur forte.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, le conférencier discute du processus de simulation impliqué dans la méthode de Monte Carlo et comment cela peut prendre du temps parce que la simulation doit être répétée plusieurs fois. Les résultats sont présentés à travers les graphiques de convergence faible et forte, où l'erreur de convergence faible est représentée par la ligne bleue à croissance lente, tandis que l'erreur de convergence forte suit une racine carrée de forme delta T qui confirme l'analyse. Le conférencier explique que l'erreur peut être considérablement réduite grâce à la technique de discrétisation de Milstein, qui dérive des termes supplémentaires en appliquant l'expansion de Taylor. Bien qu'il implique plus de travail pour arriver à la formule finale, le schéma de Milstein nécessite la dérivée du terme de volatilité, qui n'est pas toujours disponible analytiquement.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, l'orateur explique l'utilisation de la simulation de Monte Carlo dans la finance computationnelle, en particulier dans le mouvement brownien géométrique. Ils montrent comment calculer le terme de volatilité au sens de la distribution et le comparent au schéma d'Euler. Bien que la simulation de Monte Carlo ait un taux de convergence plus rapide qu'Euler, il peut être difficile de dériver la dérivée dans des modèles impliquant plusieurs dimensions, car elle nécessite des calculs informatiques supplémentaires. De plus, l'orateur compare l'erreur absolue au sens faible et fort entre les deux schémas, soulignant que l'erreur forte de Monte Carlo est linéaire en delta t, tandis que l'erreur faible d'Euler est du même ordre. Enfin, ils fournissent une implémentation de code de simulation Monte Carlo pour générer des trajectoires en mouvement brownien géométrique et analyser sa forte convergence.
  
  
• 01:40:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'impact de différentes techniques de discrétisation sur la convergence en utilisant l'exemple du mouvement de Black-Scholes ou brownien géométrique. L'analyse des schémas d'Euler et de Milstein sert d'illustration de l'impact des différentes techniques de discrétisation. L'orateur compare les erreurs entre les schémas de Milstein et d'Euler, montrant que l'erreur du schéma de Milstein est bien inférieure à celle d'Euler, bien qu'elle ne soit pas toujours applicable. L'avantage de différents schémas peut ne pas être vu une fois que l'on regarde les résultats finaux, mais le temps est également important lorsque l'on considère les dépenses de calcul de la simulation. Par conséquent, l'utilisation de grands pas de temps serait essentielle si nous voulons effectuer des simulations rapides de Monte Carlo.

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Finance computationnelle : Cours 10/14 (Simulation Monte Carlo du modèle Heston)

Finance computationnelle : Cours 10/14 (Simulation Monte Carlo du modèle Heston)

La conférence se concentre sur l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés, en particulier les options européennes, en utilisant le modèle Heston difficile. Il commence par un exercice d'échauffement où les options européennes et numériques sont évaluées à l'aide de Monte Carlo et du modèle simple Black-Scholes. La simulation du processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR), qui modélise la variance dans le modèle de Heston, est discutée, en soulignant la nécessité d'un échantillonnage précis à partir de cette distribution. Le conférencier démontre une simulation exacte du modèle CIR, soulignant ses avantages dans la génération d'échantillons précis.

Ensuite, le conférencier introduit le concept de simulation presque exacte, qui permet des pas de temps plus grands et une plus grande précision par rapport à la discrétisation d'Euler. Le modèle de Heston est simulé à l'aide des schémas d'Euler et de Milstein, et les résultats sont comparés. Il est noté qu'une faible convergence est importante pour les gains de type européen, tandis qu'une forte convergence est importante pour les gains dépendant du chemin. L'ajustement du nombre d'étapes ou de chemins est nécessaire en fonction du type de gain et de la qualité souhaitée des résultats, compte tenu des contraintes de temps de calcul dans les applications du monde réel.

Le temps de calcul requis pour les évaluations est discuté, et une comparaison de code entre les schémas de discrétisation d'Euler et de Milstein est présentée. Le conférencier donne des conseils sur l'optimisation du code pour les environnements de production, soulignant que le stockage de chemins entiers peut ne pas être nécessaire pour l'évaluation des gains qui ne nécessite que la valeur finale du stock. La conférence fournit également la solution exacte en tant qu'implémentation simplifiée du modèle Black-Scholes.

La tarification des options numériques ou en espèces ou rien à l'aide de la simulation de Monte Carlo est expliquée, mettant en évidence les différences dans le calcul des gains par rapport aux options européennes. Des diagnostics et des résultats sont présentés pour comparer les approches pour les deux types d'options. La conférence reconnaît les limites des simulations de Monte Carlo pour les options avec des gains dépendant du terminal, où une forte convergence n'est pas présente. La nature générique du code est soulignée, ce qui le rend applicable à d'autres modèles tels que le modèle Heston.

La conférence plonge dans les conditions requises pour que le modèle de Heston se comporte bien et explique comment les techniques de discrétisation peuvent affecter ces conditions. L'impact des changements du paramètre de volatilité sur le comportement du modèle est démontré par des graphiques, soulignant que le processus ne doit pas devenir négatif. Les limites de la discrétisation d'Euler dans le maintien de ces conditions sont également mises en évidence. La probabilité de réalisations négatives dans la prochaine itération du modèle de Heston avec simulation de Monte Carlo est discutée. La probabilité de réalisations négatives est calculée sur la base de la relation entre certains paramètres, et l'importance d'aligner les trajectoires de Monte Carlo avec le modèle est soulignée pour éviter des différences de prix importantes. Deux approches pour traiter les valeurs négatives dans la simulation du modèle de Heston sont discutées : la troncature et le schéma d'Euler réfléchissant. Les avantages et les inconvénients de chaque approche sont comparés et l'impact de pas de temps plus petits sur la réduction du biais est mentionné, bien qu'à un coût de calcul plus élevé.

La conférence explore l'utilisation de la simulation exacte pour le processus CIR dans le modèle Heston, permettant l'échantillonnage directement à partir de la distribution chi carré non centrale. Cette approche évite le besoin de petits pas de temps et permet un échantillonnage à des moments d'intérêt spécifiques. Le code de calcul pour la simulation est décrit, en insistant sur sa simplicité et son optimalité pour générer des échantillons. La conférence se penche sur l'intégration du processus du modèle Heston pour les valeurs X et la variance, mettant en évidence la simplification obtenue grâce à la substitution. L'importance d'un bon ordre des processus dans les simulations multidimensionnelles est soulignée, ainsi que la recommandation d'utiliser de grands pas de temps pour une intégration plus facile. La conférence aborde l'importance des simulations à grands pas de temps pour la tarification des options à des dates spécifiques, visant à réduire le temps de calcul tout en maintenant la qualité. Des simulations exactes utilisant un échantillonnage à partir de la distribution chi carré non centrale sont recommandées, sans introduire d'approximations supplémentaires. La conférence traite également de l'impact de delta t sur la précision de la simulation et suggère d'étudier son influence sur les résultats.

Le concept d'erreur en finance computationnelle est discuté, la conférence présentant une expérience numérique qui analyse les performances de la simulation presque exacte du modèle de Heston. La conférence explique qu'en simplifiant les intégrales et en utilisant la simulation presque exacte du processus CIR, la simulation devient déterministe plutôt que stochastique. L'enseignant effectue une expérience numérique pour évaluer les performances de ce schéma simplifié dans la simulation du modèle de Heston.

La conférence explore en outre le compromis entre l'effort de calcul et la petite erreur introduite dans le cadre de la finance computationnelle. Le conférencier souligne la nécessité de calibrer le modèle aux données du marché, car la condition de Feller pour les processus de volatilité n'est souvent pas satisfaite dans la pratique. La conférence note que les coefficients de corrélation pour le modèle Heston sont généralement fortement négatifs, potentiellement en raison de considérations de schéma numérique.

Le conférencier discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés exotiques et souligne l'importance de calibrer le modèle sur des instruments liquides. La précision des prix est assurée en simulant des trajectoires de Monte Carlo à l'aide de paramètres obtenus à partir de l'étalonnage du modèle et en tenant compte des instruments de couverture liés au dérivé. L'enseignant souligne la supériorité de la simulation presque exacte sur la discrétisation d'Euler, même avec moins de pas de temps, et explique que la principale source d'erreur d'Euler réside dans la discrétisation problématique du processus de variance sous des paramètres extrêmes ou des violations de la condition de Feller.

La précision de la discrétisation d'Euler dans le modèle de Heston est explorée à travers des expériences avec différentes options, y compris des options profondément dans la monnaie, hors de la monnaie et à la monnaie. La conférence présente le code utilisé dans l'expérience, en se concentrant sur la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte, qui implique l'échantillonnage CIR et la simulation du processus de log stock en utilisant le paramètre de non-centralité.

Le conférencier discute des paramètres et des configurations des simulations pour évaluer les options européennes en utilisant à la fois la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte. La simulation exacte du processus CIR, la corrélation des mouvements browniens et la transformation exponentielle font partie intégrante de la simulation. La tarification des options à l'aide d'une fonction générique est démontrée, mettant en évidence l'impact de variables telles que le prix d'exercice et le pas de temps sur la précision des simulations. La conférence se termine en soulignant que la simulation presque exacte atteint une grande précision avec moins de pas de temps par rapport au schéma d'Euler.

La conférence couvre en détail l'utilisation de la simulation Monte Carlo pour évaluer les dérivés dans le modèle Heston. Il explore la simulation du processus CIR, discute des défis et des pièges et compare différents schémas de discrétisation. La conférence met l'accent sur les avantages d'une simulation presque exacte, souligne l'importance de l'étalonnage et de la précision du modèle, et fournit des informations pratiques et des exemples de code pour la mise en œuvre de simulations de Monte Carlo dans la finance informatique.

• 00:00:00 Dans cette section de la conférence sur la finance informatique, l'accent est mis sur l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés tels que les options européennes à l'aide du modèle Heston, qui est un modèle difficile dans l'industrie. La conférence commence par un échauffement où la tarification des options européennes et numérisées est effectuée à l'aide de Monte Carlo et du modèle Black-Scholes simple. La simulation du processus CIR est discutée car c'est la dynamique de la variance du modèle de Heston, qui est un ingrédient essentiel de la simulation. Les pièges de la simulation sont mis en évidence et la simulation exacte du modèle CIR est démontrée, ce qui est bénéfique pour un échantillonnage précis de la distribution. La simulation presque exacte est introduite, ce qui permet des pas de temps plus grands qu'Euler et une plus grande précision, et cela est utilisé pour simuler le modèle de Heston en utilisant la discrétisation d'Euler, et les résultats sont comparés à la discrétisation de Milstein.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de la simulation de Monte Carlo du modèle Heston pour les options d'achat européennes et les gains des options d'achat numériques. Ils commencent avec un stock initial de cinq, un sigma de trente pour cent, un taux d'intérêt de six pour cent et une échéance de un. Ils comparent les résultats de différents nombres de chemins en utilisant à la fois les schémas d'Euler et de Milstein, trouvant que pour les gains de type européen, l'ordre de convergence faible est important, tandis que pour les gains partiellement dépendants, la convergence forte est importante. Ils préviennent que selon le type de gain, il faut ajuster le nombre d'étapes ou de chemins pour des résultats de meilleure qualité, en gardant à l'esprit le temps de calcul requis, en particulier dans un environnement de production où le temps est essentiel.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence sur la simulation Monte Carlo du modèle Heston, l'orateur discute du temps de calcul requis pour les évaluations et fournit une comparaison de code entre les schémas de discrétisation d'Euler et de Milstein. Le code implique la génération de chemins et l'évaluation des gains, avec des fichiers pour les options d'achat et de vente européennes. L'orateur note que le code peut être rendu plus efficace pour les environnements de production et que le stockage de chemins entiers n'est pas nécessaire pour l'évaluation des gains qui ne nécessite que la dernière valeur du stock. La solution exacte est fournie sous la forme d'une implémentation simple du modèle Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'orateur explique comment calculer la valeur d'une option numérique ou cash ou rien en utilisant la même approche que l'option européenne. La seule différence réside dans le calcul du gain, où ils ne regardent que la valeur du stock à l'échéance et pour l'option de sortie, ils calculent la probabilité que le stock soit supérieur à K. Ils exécutent différents diagnostics et sorties qui montrent les similitudes et les erreurs entre les approches pour les options européennes et numériques. L'orateur évoque également les inconvénients d'utiliser des simulations de Monte Carlo pour des options dont le gain ne dépend que du paiement final, car il n'y a pas de convergence forte. Enfin, l'orateur note que le code est générique, ce qui signifie que la même approche peut être utilisée pour d'autres modèles, comme le modèle Heston.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute des conditions qui doivent être satisfaites dans le modèle Heston pour que les chemins se comportent bien et comment les techniques de discrétisation peuvent ne pas être en mesure de maintenir ces conditions. L'orateur explique que si la volatilité est significativement plus faible par rapport à la vitesse de retour à la moyenne multipliée par la moyenne à long terme, alors les chemins du processus se comportent bien. Cependant, si cette condition n'est pas remplie, les chemins du processus peuvent atteindre zéro et rebondir, ce qui en fait un processus spécial. L'orateur démontre ensuite l'impact des modifications du paramètre de volatilité à l'aide de graphiques et explique comment le processus ne peut pas devenir négatif. L'orateur conclut en mentionnant que si l'on applique la discrétisation d'Euler, le modèle peut ne pas être en mesure de maintenir ces conditions et les chemins peuvent se comporter différemment.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de la probabilité de réalisations négatives lors de la prochaine itération en utilisant le modèle Heston avec simulation Monte Carlo. La probabilité de réalisations négatives est calculée en supposant que l'horodatage précédent avait un VI positif et en trouvant la probabilité que VI+1 soit négatif. La probabilité que ce scénario se produise dépend de la relation entre TAPA, V BAR et GAMMA. Si le gamma est très grand et que le kappa multiplié par V bar est très petit, la probabilité de réalisations négatives augmente et peut conduire à des nombres complexes, provoquant l'échec de la simulation. Le professeur souligne l'importance de ne pas redéfinir le modèle et de s'assurer que les trajectoires de Monte Carlo s'alignent sur le modèle pour éviter des différences substantielles dans la tarification des dérivés.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier discute de deux approches possibles pour traiter le problème des valeurs négatives dans la simulation du modèle Heston. La première approche est la troncature, où les valeurs négatives sont forcées à zéro, mais cela introduit un biais qui peut diverger considérablement du modèle réel. La deuxième approche est le schéma d'Euler réfléchissant, où les valeurs négatives sont reflétées dans leurs valeurs absolues, mais cela redéfinit également le processus et peut entraîner un biais. Le conférencier compare les deux schémas et note que le biais peut être réduit avec des pas de temps plus petits, mais cela entraîne un coût de calcul plus élevé.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier discute des deux approches utilisées pour la simulation Monte Carlo du modèle Heston : la troncature et le principe de réflexion. Les deux approches fournissent des biais qui ne peuvent être comparés qu'entre eux, et non à la solution exacte. Cependant, sans solution exacte, une référence avec un très grand nombre de pas de temps peut être utilisée pour comparer les biais. Le conférencier note également l'importance de fixer la graine aléatoire pour les deux approches afin d'assurer exactement le même caractère aléatoire pour les deux chemins. Enfin, l'enseignant avertit d'une petite faute de frappe dans le code concernant la réinitialisation des montures et conseille aux étudiants de fixer une valeur fixe pour delta t et de la comparer à la référence avec un grand nombre de pas de temps.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute de la simulation du processus CIR en utilisant une simulation exacte au lieu de s'appuyer sur des schémas d'Euler ou d'état intermédiaire. Sachant que le processus CIR suit une distribution chi carré non centrale, il est possible d'échantillonner directement à partir de cette distribution à l'aide de bibliothèques rapides disponibles dans des langages de programmation populaires tels que Python, MATLAB ou C++. L'avantage d'échantillonner directement à partir de la distribution du chi carré non centrale est que de petits pas de temps n'ont pas besoin d'être pris en compte car on peut échantillonner directement à partir des moments d'intérêt. De plus, la présentation comprend une discussion sur le processus de simulation de la distribution, y compris l'impact des indices et des degrés de liberté sur les paramètres.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur parle de la simulation Monte Carlo du modèle Heston. Pour effectuer la simulation d'échantillonnage exacte du CIR, les utilisateurs doivent définir un paramètre, calculer certains paramètres à des points spécifiques et obtenir v en prenant un vecteur de tous les chemins. Le code de calcul utilisé pour la simulation est simple, car il implique de générer un échantillon, d'évaluer la fonction et de prendre le pas de temps précédent. De plus, il n'y a pas de vérifications conditionnelles ou d'exigences pour que la simulation fonctionne et l'échantillonnage à partir de la distribution exacte signifie que la simulation ne dépend pas des pas de temps impliqués, ce qui en fait une méthode optimale pour générer des échantillons.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la simulation précise du modèle Heston en utilisant la distribution non centrale des scores élevés pour améliorer la convergence. Le modèle Heston a un processus de variance qui finance également le processus CIR, et un échantillonnage exact du processus CIR est important pour faciliter cette amélioration de la convergence. La première étape consiste à effectuer une transformation logarithmique pour la convergence de la simulation de Monte Carlo. Ensuite, les équations différentielles stochastiques sont exprimées en termes d'émotions browniennes indépendantes en utilisant la décomposition de Cholesky pour obtenir un échantillonnage exact à partir de la distribution des grands carrés non centraux. Il s'agit d'une étape cruciale pour le relier au processus CIR et simuler avec précision le modèle Heston.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique l'importance d'ordonner les processus lors de la simulation de problèmes multidimensionnels et montre comment intégrer le processus du modèle Heston pour les valeurs X et de variance. La corrélation entre X et la variance est la même, ce qui permet de substituer l'expression du processus de variance dans le processus de X. Cette substitution simplifie l'équation et permet la simulation de l'ensemble du processus. L'intervenant conseille d'utiliser des pas de temps importants pour faciliter l'intégration du processus.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la réalisation de simulations à grands pas de temps, qui sont cruciales pour la tarification des options à des dates spécifiques. Nous voulons minimiser le temps nécessaire aux simulations en réduisant le nombre de trajets simulés entre les points d'observation tout en maintenant la qualité. Des simulations exactes utilisant l'échantillonnage de la méthode des grands carrés centraux de prêt sont recommandées sans approximations supplémentaires. La simulation du modèle Heston est basée sur la valeur des échantillons au temps t, approchée par la valeur au début de cet intervalle. L'approximation introduit un nouveau terme, delta t, qui doit être étudié pour déterminer un niveau d'impact acceptable sur la précision de la simulation.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, le concept d'erreur dans la finance informatique est discuté, avec l'espoir que l'effort de calcul compensera la petite erreur introduite dans le cadre. Les intégrales sont simplifiées afin que l'expression de x_i+1, la simulation presque exacte du modèle de Heston, puisse être obtenue compte tenu de la simulation exacte du processus CIR. En gelant les valeurs de vt au temps t_i, le processus de variance est prédéterminé, et la simulation n'est plus stochastique. Avec ce schéma simplifié, une expérience numérique est menée pour analyser les performances de la simulation presque exacte du modèle Heston.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le conférencier discute du concept de simulation presque exacte et des avantages des simulations à grands pas de temps. Ils expliquent que faire de grands pas de temps réduit le temps nécessaire au calcul, mais introduit une erreur. La conférence comprend également une expérience analysant l'erreur générée lors de la modification de la taille des pas de temps, des prix d'exercice et d'autres paramètres du modèle Heston. Le conférencier mentionne également que la condition de Feller, une condition limite pour les processus de volatilité, n'est presque toujours pas satisfaite en pratique, et souligne l'importance de calibrer le modèle aux données du marché. Enfin, le cours note que les coefficients de corrélation pour le modèle de Heston sont généralement fortement négatifs dans la pratique, ce qui pourrait être dû au schéma numérique.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les dérivés exotiques et de l'importance de calibrer le modèle sur les instruments les plus liquides, car il est peu probable que le modèle soit calibré sur des instruments exotiques qui ne le sont pas. t commercialisés en grandes quantités. Les paramètres obtenus à partir du calibrage du modèle peuvent être utilisés pour simuler des trajectoires de Monte Carlo et évaluer le dérivé exotique afin de s'assurer que le prix est précis et que les instruments de couverture utilisés pour le dérivé sont pris en compte lors du calibrage. Le conférencier explique également comment la simulation presque exacte est meilleure que la discrétisation d'Euler, même avec moins de pas de temps, et que l'erreur d'Euler est principalement causée par une discrétisation problématique du processus de variance pour les paramètres extrêmes ou lorsque la condition de Feller n'est pas satisfaite.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, la précision de la discrétisation d'Euler du modèle de Heston est explorée à travers l'utilisation d'options profondément dans le cours, hors du cours et au cours, avec le résultats montrant une amélioration de la précision des options hors du cours aux options profondément dans le cours. Le code utilisé pour l'expérience est également discuté, en mettant l'accent sur la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte, qui comprend l'échantillon cir et la simulation du processus de stock pour le processus de stock de log en utilisant le paramètre de non-centralité.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute des paramètres et des configurations des simulations pour évaluer les options européennes en utilisant à la fois Euler et la simulation presque exacte. La simulation implique la simulation exacte du processus CIR avec une corrélation des mouvements browniens suivie d'une transformation exponentielle. L'enseignant fait ensuite la démonstration de la tarification des options à l'aide d'une fonction générique, en spécifiant un vecteur de delta t pour les pas de temps de discrétisation et en effectuant une simulation exacte de la méthode COS. L'analyse montre que la simulation presque exacte est très précise et nécessite moins de pas de temps par rapport au schéma d'Euler. De plus, la modification de variables telles que le prix d'exercice et le pas de temps peut avoir un impact significatif sur la précision des simulations.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, l'orateur compare les performances de la discrétisation d'Euler et la simulation presque exacte dans la simulation de Monte Carlo du modèle Heston. En augmentant le nombre de chemins, la différence entre les deux approches devient plus prononcée. Les résultats montrent que la simulation presque exacte surpasse la discrétisation d'Euler et est en effet presque exacte. L'approximation de l'intégrale n'est pas la clé pour obtenir des résultats de haute qualité, et l'expérience démontre que si nous avions Euler, nous aurions besoin de plusieurs pas de temps entre les deux, alors qu'une simulation presque exacte n'aurait besoin que de quelques pas entre les deux pour atteindre des valeurs élevées. précision sans avoir trop de pas de temps dans la simulation, ce qui la rend très bénéfique pour simuler le modèle Heston avec Monte Carlo.

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Finance computationnelle : Cours 11/14 (Hedging et Monte Carlo Greeks)

Finance computationnelle : Cours 11/14 (Hedging et Monte Carlo Greeks)

Dans la conférence, le concept de couverture est souligné comme étant tout aussi important pour la tarification des produits dérivés en finance. Le conférencier approfondit divers calculs de sensibilités pour déterminer l'impact du prix d'un dérivé sur des paramètres spécifiques et comment mener une expérience de couverture. Plusieurs sujets clés sont abordés, notamment les principes de couverture dans le modèle Black-Scholes, la simulation des profits et pertes, la couverture dynamique et l'influence des sauts. Le conférencier souligne que le concept de couverture détermine la valeur d'un dérivé et que le prix de la couverture détermine sa valeur globale.

Pour fournir une compréhension globale, le conférencier commence par expliquer le concept de couverture dans le secteur financier. Les institutions financières génèrent des revenus en appliquant un spread supplémentaire en plus de la valeur d'un dérivé exotique. Pour atténuer le risque, un portefeuille qui réplique le dérivé est construit. Ce portefeuille est composé de la valeur du dérivé avec un signe plus et un delta moins, qui correspond à la sensibilité du portefeuille au titre. La sélection d'un delta approprié est cruciale car elle détermine le nombre d'actions qui doivent être achetées ou vendues pour s'aligner sur le modèle utilisé. Le conférencier fait la démonstration d'une expérience dans laquelle le delta est continuellement ajusté tout au long de la durée de vie du contrat, ce qui entraîne une perte de profit moyenne de zéro.

Le cours aborde le concept de couverture delta et fait la distinction entre couverture dynamique et couverture statique. La couverture delta est utilisée pour couvrir les facteurs de risque dans un portefeuille, la valeur du portefeuille répliqué déterminant le delta de la couverture. La couverture dynamique implique des ajustements fréquents du delta, tandis que la couverture statique implique l'achat ou la vente de dérivés uniquement au début ou à des intervalles spécifiques au cours du contrat dérivé. La vidéo traite également de la sensibilité des couvertures au nombre d'équations différentielles stochastiques dans le modèle de tarification et de l'impact de la fréquence des couvertures sur les profits et les pertes potentiels.

Présentant le concept de compte de profits et pertes (P&L), la conférence explique son rôle dans le suivi des gains ou des pertes lors de la vente de dérivés et de leur couverture. Le compte P&L est influencé par le produit initial obtenu de la vente d'une option et la valeur delta h, qui augmente au fil du temps en fonction des taux d'intérêt de l'épargne ou de l'emprunt. L'objectif est d'obtenir un compte de résultat qui s'équilibre à l'échéance du dérivé, indiquant une juste valeur facturée selon le modèle Black-Scholes. Cependant, si le modèle n'est pas choisi de manière appropriée, la marge supplémentaire ajoutée à la juste valeur peut ne pas couvrir tous les coûts de couverture, ce qui entraîne une perte. Ainsi, il est essentiel d'employer un modèle réaliste et robuste pour évaluer les dérivés alternatifs.

Le cours se penche sur le processus itératif de couverture et le calcul des profits et pertes (P&L) à la fin de la période de maturité. Ce processus consiste à calculer le delta d'une option au temps t0 et au temps t1, puis à déterminer la différence entre eux pour déterminer le nombre d'actions à acheter ou à vendre. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre ce qui est vendu et collecté, car vendre une option implique essentiellement de vendre de la volatilité et de collecter des primes. À la fin du processus, la valeur de l'option vendue est déterminée en fonction de la valeur des actions à l'échéance, et le P&L est évalué en utilisant la prime initiale, la valeur à l'échéance et la quantité d'actions achetées ou vendues tout au long du processus itératif. .

Le conférencier se concentre sur la couverture dans la finance informatique comme moyen de réduire la variabilité et la sensibilité concernant la valeur des actions. La conférence clarifie comment la couverture aide à minimiser les pertes et introduit le concept de la distribution du piano dans les simulations de trajectoire de Monte Carlo, soulignant que l'attente d'un P&L devrait être en moyenne égale à zéro. Le profit tiré de la vente d'un dérivé exotique et de sa couverture provient du spread supplémentaire facturé au client puisque le P&L attendu est nul.

Pour surmonter les défis posés par la densité inconnue dans les modèles avancés comme le modèle de transformation de Fourier, des méthodes alternatives sont utilisées pour calculer les sensibilités. L'une de ces approches est le calcul de Malliavin, qui fournit un cadre mathématique pour calculer les dérivées de variables aléatoires par rapport aux paramètres des processus stochastiques.

Le calcul de Malliavin introduit le concept de dérivée de Malliavin, qui étend la notion de dérivées classiques aux variables aléatoires pilotées par des processus stochastiques. Cette dérivée permet le calcul des sensibilités pour des modèles complexes où les méthodes traditionnelles peuvent ne pas être applicables. En exploitant la dérivée de Malliavin, les praticiens peuvent obtenir des sensibilités par rapport à divers paramètres du modèle de transformation de Fourier. Cette approche permet une tarification et une gestion des risques plus précises, car elle capture les dépendances et dynamiques complexes présentes dans le modèle. Cependant, il est important de noter que l'utilisation du calcul de Malliavin nécessite des techniques mathématiques avancées et une compréhension approfondie de l'analyse stochastique. C'est un domaine spécialisé qui est généralement exploré par des experts en finance quantitative et en finance mathématique.

En résumé, lorsqu'il s'agit de modèles qui impliquent des densités inconnues, comme le modèle de transformation de Fourier, le calcul de Malliavin fournit un outil puissant pour calculer les sensibilités. Cette approche permet l'évaluation des risques et l'évaluation précise des dérivés dans des scénarios financiers complexes.

• 00:00:00 Dans cette section, le concept de couverture est présenté comme étant tout aussi important que la tarification des produits dérivés. La conférence se concentre sur les différents calculs de sensibilités pour déterminer l'impact du prix d'un dérivé sur un paramètre particulier et comment effectuer une expérience de couverture. La conférence couvre des sujets tels que les principes de couverture dans le modèle Black-Scholes, la simulation des profits et pertes, la couverture dynamique et l'impact des sauts. La conférence souligne que le concept de couverture détermine la valeur d'un dérivé et que le prix de la couverture détermine la valeur d'un dérivé.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, le conférencier explique le concept de couverture en finance. Les institutions financières gagnent de l'argent grâce au spread supplémentaire ajouté à la valeur d'un dérivé exotique. Afin de couvrir le risque, un portefeuille répliquant le dérivé est construit, composé de la valeur du dérivé avec un signe plus et un delta moins qui correspond à la sensibilité du portefeuille au titre. Le choix du delta approprié est important car il détermine combien d'actions doivent être achetées ou vendues pour que la position soit basée sur le modèle utilisé. Le conférencier montre une expérience dans laquelle le delta est continuellement ajusté sur la durée de vie du contrat, ce qui entraîne une perte de profit nulle en moyenne.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, la conférence couvre le concept de couverture delta et les deux types de couverture : dynamique et statique. La couverture delta est utilisée pour couvrir les facteurs de risque d'un portefeuille. La valeur du portefeuille répliqué détermine le delta de la couverture. La couverture dynamique implique un ajustement fréquent du delta, tandis que la couverture statique achète ou vend des dérivés uniquement au début ou à quelques reprises au cours du contrat dérivé. La vidéo traite également de la sensibilité des couvertures au nombre d'équations différentielles stochastiques dans le modèle de tarification et de la manière dont la fréquence des couvertures affecte les profits et les pertes potentiels.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la conférence sur la finance informatique, le concept de compte de profits et pertes (P&L) est introduit, qui est utilisé pour suivre le montant d'argent gagné ou perdu lors de la vente de dérivés et de leur couverture. Le compte P&L dépend du montant initial d'argent gagné de la vente d'une option et de la valeur delta h, qui augmente au fil du temps en fonction des taux d'intérêt de l'épargne ou de l'emprunt. L'objectif est d'avoir un compte P&L nul à l'échéance du dérivé, indiquant qu'une juste valeur a été imputée sur la base du modèle Black-Scholes. Si le modèle n'est pas correctement choisi, la marge supplémentaire ajoutée à la juste valeur peut ne pas couvrir tous les coûts de couverture, ce qui entraîne une perte. Il est important d'avoir un modèle réaliste et bon pour la tarification des produits dérivés alternatifs.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, la conférence traite du processus itératif de couverture et d'attribution d'un profit et d'une perte (P&L) à la fin de l'échéance. Le processus consiste à calculer le delta d'une option au temps t0 et au temps t1 et à trouver la différence entre eux pour déterminer le nombre d'actions à acheter ou à vendre. La section souligne également l'importance de garder à l'esprit ce qui est vendu et collecté, car le vendeur d'une option vend essentiellement de la volatilité et collecte des primes. À la fin du processus, la valeur de l'option vendue est déterminée en fonction de la valeur des actions à l'échéance, et le P&L est évalué en fonction de la prime initiale, de la valeur à l'échéance et du montant des actions achetées ou vendues tout au long du processus. le processus itératif.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le conférencier se concentre sur l'idée de couverture dans la finance informatique comme moyen de réduire la variabilité et la sensibilité de la valeur concernant les actions. La conférence explique comment la couverture aide à réduire les pertes et explique le concept de la distribution de piano dans les simulations de chemins de Monte Carlo, en soulignant que l'espérance d'apl devrait être nulle. La conférence explique en outre que le profit réalisé en vendant un dérivé exotique et en le couvrant provient du spread supplémentaire facturé au client puisque le pl attendu est nul. Le cours se termine en démontrant que l'espérance du pl à maturité est égale à zéro.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur discute de la procédure de couverture et de la prise d'une attente afin de déterminer si elle est égale à zéro compte tenu de la filtration t0. L'orateur poursuit en expliquant que l'espérance d'un stock actualisé à aujourd'hui est toujours égale au stock initial, et l'expression d'un gain futur attendu actualisé à aujourd'hui est égale à la valeur d'un dérivé. De plus, l'orateur montre que le profit et la perte globaux d'un dérivé peuvent être calculés en prenant les comptes pl, en effectuant une couverture appropriée, en évaluant de manière récursive les remboursements et en tenant compte de l'attente, qui peut être négative ou positive.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur discute de l'impact de la fréquence de couverture sur la distribution de probabilité des profits et pertes (P/L) dans la couverture. La variance de la distribution P/L dépend de la fréquence de couverture. L'hypothèse d'un modèle de Black Scholes est que la couverture se produit en continu, à chaque instant, ce qui est presque impossible à réaliser en pratique. En conséquence, l'expérience étudie l'impact de la fréquence de couverture sur l'incertitude P/L. Le processus itératif de développement du P/L se traduit par la distribution du P/L visible dans le graphique, les résultats montrant que l'augmentation de la fréquence de couverture entraîne une diminution de l'incertitude du P/L. Fort de ces connaissances, l'orateur étudie ensuite comment Delta - un facteur de sensibilité aux options, évolue avec le temps dans une simulation de Monte Carlo.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le professeur discute du comportement du delta lorsque l'action sous-jacente s'éloigne du prix d'exercice et comment cela est impacté par la volatilité et le temps. Selon le modèle Black-Scholes, lorsque l'action sort de la monnaie, il y a moins de chance de se retrouver dans la monnaie. Cet effet est plus important au fil du temps et le delta tend vers zéro plus rapidement à mesure que le stock diminue et approche de la maturité. Le professeur mentionne également l'impact des sauts sur la couverture delta et comment la réalité se comporte très différemment du modèle Black-Scholes. La conférence comprend une expérience et la mise en œuvre de la couverture delta avec des vecteurs pour plusieurs chemins.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute du code de couverture et des Grecs de Monte Carlo. Le code prend en compte trois arguments : t, k et s0. La valeur de s0 change au fil du temps, ce qui la rend stochastique, de sorte que le code doit incorporer des vecteurs. Le programme itère sur tous les pas de temps et calcule delta et PNL, qui croissent à un taux de r dt. La dernière étape soustrait le gain, qui dépend du fait que l'option est dans ou hors de la monnaie, et vend la couverture. L'histogramme de PNL montre différentes distributions en fonction de la fréquence des haies.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'impact de l'augmentation de la fréquence sur la distribution des profits et pertes dans une expérience de couverture. Les résultats montrent qu'à mesure que la fréquence des couvertures augmente, la distribution devient plus étroite et moins risquée. De plus, la conférence explore les effets de la modification de la dynamique du modèle en ajoutant un processus de diffusion par saut. Les résultats démontrent que les sauts sur le marché affectent directement le delta et les prix des options, et peuvent se produire dans différentes directions. Le conférencier souligne que cette expérience met en évidence l'importance de considérer différents scénarios de marché lors de la couverture.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, le processus de saut de Poisson est considéré dans un modèle de diffusion et la simulation inclut des corrections pour la dérive. L'expérience ne modifie que la dynamique du titre, mais la sensibilité de Delta est toujours basée sur le modèle Black-Scholes, créant une cohérence entre les valeurs générées par le modèle et les paramètres de couverture. Cependant, les illustrations montrent plus de chemins perdants que de chemins gagnants, ce qui pourrait être dû à la distribution des sauts et à l'impact des sauts logarithmiques sur la distribution du P&L. L'augmentation du nombre de pas de temps de 200 à 5 000 montre que la distribution devient légèrement plus étroite, mais l'effet de la perte de transactions reste problématique.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, le conférencier discute des inconvénients de l'utilisation des modèles de saut en finance, en particulier en couverture. L'inconvénient est que l'effet de saut crée un PNL négatif, ce qui rend difficile la recherche d'une couverture pour réduire le risque, c'est pourquoi des modèles comme le modèle Heston sont préférés. Une façon de réduire l'effet de saut est de se couvrir avec une autre option avec une frappe différente. L'inconvénient est que cela peut nécessiter l'achat de sept dérivés différents de compositions différentes, ce qui le rend coûteux en termes de tarification et de couverture. Le conférencier discute également de Vega, qui est la sensibilité de la valeur d'un dérivé à la volatilité - un grec crucial en matière de couverture. Enfin, le conférencier explique pourquoi la haie delta fonctionne bien dans les modèles Black Scholes et comment elle peut être améliorée.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, l'orateur aborde les concepts de couverture delta et vega dans la pratique. Dans la pratique de la couverture, le coefficient de volatilité de l'action serait différent, ce qui signifie qu'il serait nécessaire d'effectuer une couverture delta ainsi qu'une couverture vega. La couverture Vega est effectuée pour couvrir l'incertitude liée aux changements de volatilité. Par conséquent, un portefeuille de contrats dérivés devrait être couvert pour le vega en achetant ou en vendant des options qui correspondent à la sensibilité du dérivé à la volatilité. Les commerçants doivent s'assurer que leur portefeuille ne dépasse pas la limite d'un delta et d'un vega, et l'agrégation de différents métiers ensemble pour construire un portefeuille de métiers serait bénéfique lorsqu'on regarde delta, vega et d'autres grecs comme gamma pour la couverture au niveau du portefeuille .
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, la conférence aborde le concept de couverture et l'utilisation de dérivés pour réduire le risque dans un portefeuille. L'exemple donné concerne un portefeuille d'actions et de dérivés avec un delta de 50 et un vega de 200. L'objectif est de réduire le risque en utilisant des options d'achat et en achetant ou en vendant des actions. La conférence explique que la meilleure approche consiste à commencer par couvrir le vega, car cela affectera également le delta. En vendant 20 options d'achat, le vega du portefeuille est réduit à zéro et le delta est réduit à 36. Pour couvrir le delta restant, 36 actions sont vendues, ce qui donne un portefeuille avec zéro vega et delta.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la couverture avec gamma, qui est un dérivé de delta. Un gamma élevé signifie que le delta changera beaucoup, et donc un portefeuille doit être rééquilibré plus souvent pour maintenir un delta faible. Les actions ne peuvent pas être utilisées pour ajouter du gamma pour la couverture, à la place, des options ou d'autres dérivés sensibles aux valeurs de second ordre comme le gamma ou le vega doivent être utilisés. Les sensibilités dans les modèles Black-Scholes sont données sous forme fermée, cependant, la simulation de Monte Carlo est requise pour les modèles pour lesquels des solutions sous forme fermée ne sont pas disponibles. Deux approches pour obtenir des sensibilités approximatives sont la différence finie, qui est un ordre de O (delta delta thêta), et la différence centrale, qui est un ordre de delta thêta au carré.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, l'orateur aborde le calcul des sensibilités de valeur par rapport à certains paramètres à l'aide de différences finies, en se concentrant particulièrement sur les résultats expérimentaux des haies delta et vega. L'orateur illustre que la différence centrale est plus précise que la différence avant, en particulier pour les petites tailles de choc dans le calcul des sensibilités. De plus, ils introduisent le concept de sensibilités par voie, qui est la sensibilité d'une valeur d'une dérivée à un paramètre, et discutent de l'élément central de cette approche, l'échange de différenciation et d'opérateur d'attente. L'orateur souligne que bien que cette approche soit particulièrement précise pour les gains de style européen lorsque nous avons une certaine connaissance du processus stochastique utilisé pour la tarification, il existe des alternatives qui peuvent améliorer la convergence et faciliter de meilleurs résultats par rapport aux calculs aux différences finies.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la sensibilité de l'évaluation de Monte Carlo par rapport aux changements de paramètres. Si la dérivée d'une dérivée par rapport à un paramètre est connue, elle peut améliorer les résultats en incorporant la connaissance du gain. La conférence fournit un exemple d'option d'achat européenne où elle présente le modèle Black-Scholes comme pilote de stock. Le modèle a deux paramètres, sigma et s0 qui peuvent être calculés par rapport à delta et vega. Grâce à une fonction d'indicateur, nous pouvons calculer la dérivée par rapport au stock. Une fois que nous avons la dérivée du gain et la dérivée du stock par rapport aux deux paramètres, nous pouvons calculer l'espérance.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section, la vidéo traite de l'utilité des sensibilités des voies dans la finance informatique. En simulant des chemins, on peut calculer l'espérance et la sensibilité à st0 et c, conduisant aux chemins delta et vega. En analysant les résultats d'une expérience numérique, on montre que l'augmentation du nombre de trajets n'améliore pas la qualité des résultats au-delà d'un certain point. La vidéo comprend également une expérience de code python dans laquelle le nombre de chemins est modifié et l'attente du delta et du vega du chemin est calculée sur la base de la même graine. Les principaux points à retenir de cette section sont que les sensibilités de chemin peuvent être utiles, ne nécessitent pas de réexécutions comme les méthodes de différences finies et sont simples à utiliser car elles reposent sur des chemins pré-générés.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, le conférencier explique comment calculer les sensibilités à l'aide d'un modèle plus compliqué, le modèle Heston, et comment il se compare au modèle Black-Scholes. Le modèle Heston a une solution stochastique qui nécessite plusieurs paramètres pour piloter le processus de volatilité, ce qui rend le calcul de sensibilité utilisant le concept Vega plus complexe que le modèle Black-Scholes. Néanmoins, la technique de calcul des sensibilités reste la même en utilisant la sensibilité de la voie pour obtenir de bons résultats sans effort ni calculs supplémentaires. Le conférencier recommande également de comparer les calculs de différence finie et de sensibilité analytique pour assurer l'exactitude. Enfin, la méthode du rapport de vraisemblance est introduite comme technique de calcul des sensibilités en interchangeant l'intégration avec les calculs de dérivée.
  
  
• 01:40:00 Dans cette section, le professeur discute de la méthode du rapport de vraisemblance pour calculer les Grecs. La méthode consiste à prendre le rapport des densités et à substituer leurs dérivées dans l'expression du rapport de vraisemblance. Ce faisant, une valeur de dérivée peut être calculée, qui est égale à la dérivée partielle d'un logarithme de la densité d'un actif. C'est ce qu'on appelle un rapport de vraisemblance car c'est le rapport des densités. Le professeur souligne que cette méthode, bien qu'utile, peut ne pas être aussi pratique que la méthode par cheminement car elle nécessite le calcul de la fonction de gain. Cependant, il est toujours bon de garder à l'esprit car cela peut être plus efficace pour les modèles où le logarithme de la densité est donné sous forme fermée.
  
  
• 01:45:00 Dans cette section, l'orateur explique les difficultés de calcul de la sensibilité aux paramètres du modèle de transformation de Fourier en raison de la densité inconnue. Cela le rend beaucoup plus difficile à obtenir même pour delta par rapport à l'approche par voie. La méthode du rapport de vraisemblance ne fonctionnera pas bien car nous avons besoin de savoir quelque chose sur la densité lorsqu'il s'agit de processus plus avancés.

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Finance computationnelle : Cours 12/14 (Options de démarrage avancé et modèle de Bates)

Finance computationnelle : Cours 12/14 (Options de démarrage avancé et modèle de Bates)

La conférence plonge dans les subtilités des options de démarrage avancé, qui sont un type d'option européenne avec une date de démarrage différée, souvent appelées options de performance. Ces options sont plus complexes que les options européennes standard, et la conférence donne un aperçu de leur définition des gains et des avantages par rapport aux options européennes.

Les techniques de tarification des options de démarrage anticipé sont plus complexes et le cours se concentre sur l'utilisation des fonctions caractéristiques. Il explore deux types d'options de démarrage anticipé : l'une utilisant le modèle Black-Scholes et la tarification plus difficile selon le modèle Heston. L'implémentation en Python et la tarification d'un produit dépendant des volatilités sont également abordées. La conférence met l'accent sur l'importance des options européennes en tant que blocs de construction et sur leur calibrage et leur relation avec les options exotiques. Il aborde le modèle de Bates, qui étend le modèle de Heston en incorporant des sauts de Merton, et met en évidence l'utilisation de paramètres de couverture pour garantir des modèles bien calibrés. La vidéo explique comment la valeur initiale inconnue du stock dans les options de démarrage anticipé est déterminée à un instant futur (t1) et introduit le concept de filtrage par rapport à ces options. La conférence explore également comment les options de démarrage anticipé peuvent servir de blocs de construction pour d'autres dérivés, en présentant une stratégie pour réduire les coûts des dérivés. De plus, le professeur couvre la construction d'une option de clic, une structure dérivée souhaitée et sa relation avec les appels européens et les options de démarrage à terme. Le cours met l'accent sur l'importance d'identifier les dates de paiement lors du calcul des facteurs d'actualisation pour la tarification. Il montre également comment le ratio de deux stocks peut être reformulé comme l'exposant d'un logarithme du ratio.

Diverses méthodes de tarification pour les options de démarrage anticipé sont discutées, y compris la simulation de Monte Carlo et des solutions analytiques comme le modèle Black-Scholes. La nécessité de trouver la fonction caractéristique avant, qui permet la tarification des options de démarrage avant pour n'importe quel modèle dans une classe spécifique de processus, est expliquée. La conférence démontre la tarification d'une option de démarrage à terme en utilisant la fonction caractéristique et l'attente d'un logarithme IU de deux actions. Le conditionnement sur un champ sigma plus grand lors de la détermination de la fonction caractéristique est exploré, permettant à l'exposant avec le log moins d'être pris en dehors de l'espérance. Des fonctions caractéristiques actualisées de T2 à T1 sont également utilisées.

La conférence se penche sur la fonction de change à terme, qui représente les attentes futures et est exprimée comme une attente sur la mesure neutre au risque. Il explique que les taux d'intérêt déterministes n'entraînent aucune différence entre les fonctions monétaires actualisées et non actualisées. Cependant, les taux d'intérêt stochastiques introduisent de la complexité. Le processus de dérivation de la fonction caractéristique de départ vers l'avant, impliquant une valeur attendue supplémentaire, est décrit, ainsi que l'importance de permettre des solutions analytiques à l'attente externe pour une utilisation pratique. La fonction caractéristique de démarrage avant est ensuite appliquée aux modèles Black-Scholes et Heston.

En outre, la conférence se concentre sur la fonction de devise de démarrage avant pour le modèle Black-Scholes. Il note que la tarification ne devrait dépendre que de la performance dans le temps et non de la valeur initiale du stock, ce qui simplifie la solution par rapport à la fonction de devise actualisée. La présence de la partie variance dans plusieurs dimensions nécessite de résoudre une attente interne. Une représentation exacte du modèle Black-Scholes est montrée, confirmant que la distribution du ratio de deux stocks est indépendante de la valeur initiale du stock. La distribution est simplifiée en un mouvement brownien géométrique, englobant un incrément de p1 à t2.

La tarification des options de démarrage à terme selon le modèle Black-Scholes est expliquée, mettant en évidence l'utilisation du mouvement brownien géométrique pour le rapport de deux actions à des moments différents. La solution de tarification des options d'achat et de vente pour les options de démarrage anticipé ressemble étroitement à celle des options d'achat et de vente européennes, avec de légères différences dans l'ajustement des prix d'exercice et les délais d'actualisation. La conférence souligne l'importance d'utiliser les volatilités implicites de Black-Scholes lors du calcul des prix, même en utilisant d'autres modèles, car cela s'aligne sur les normes du marché. Il souligne également la recommandation du conférencier de considérer les deux paramètres pour les options de démarrage anticipé et rappelle aux téléspectateurs que les prix Black-Scholes sont connus analytiquement dans ce modèle.

Ensuite, l'orateur plonge dans le modèle Hassle, qui augmente la complexité de la fonction caractéristique pour les options de départ vers l'avant en introduisant un deuxième processus stochastique représentant la variance. Cependant, l'orateur explique que cette deuxième dimension n'est pas nécessaire pour la tarification des options puisque l'accent est mis uniquement sur la distribution marginale pour le processus de stock. Après simplification et substitution de la fonction caractéristique, l'expression de la fonction de change à terme est obtenue. Le conférencier suggère de revoir les diapositives sur le modèle de Hassle pour plus de détails sur les fonctions impliquées dans l'expression.

Le cours se poursuit par la discussion de la fonction génératrice de moment pour un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et présente l'expression sous forme fermée de la fonction caractéristique directe dans le modèle de Heston. Le conférencier note que le fait d'avoir la fonction génératrice de moment sous forme fermée permet un calcul plus rapide. En remplaçant la fonction génératrice de moment dans la fonction monétaire à terme, une expression de forme fermée pour la fonction caractéristique à terme est dérivée. Enfin, le conférencier présente une expérience numérique pour tarifer les options de démarrage anticipé à l'aide du modèle de Heston et des expressions dérivées.

Ensuite, l'orateur se concentre sur les options de démarrage vers l'avant et le modèle Bates. Ils expliquent comment le processus de variance est représenté par dvt et discutent des paramètres de volatilité et de variance. L'orateur mène deux expériences pour observer l'impact des volatilités implicites sur les paramètres et l'effet de la distance temporelle dans les options de démarrage anticipé. Les expériences démontrent que bien que la forme implicite de la volatilité reste la même, les niveaux diffèrent. À mesure que la distance temporelle augmente, la volatilité converge vers la racine carrée de la variance à long terme. L'orateur explique la logique des options de maturité plus courte ayant une densité plus concentrée autour de t1 et t2. Des expériences supplémentaires utilisant un code sont réalisées pour comparer les volatilités implicites.

Poursuivant, le conférencier aborde la mise en œuvre de la fonction caractéristique à terme et des méthodes de coût pour la tarification des options de démarrage à terme. La fonction caractéristique avant est définie à l'aide d'expressions lambda et de divers paramètres, y compris le modèle Heston et la fonction génératrice de moment pour le processus CIR. La méthode du coût pour la tarification des options de démarrage anticipé est similaire à celle de la tarification des options européennes, mais comprend des ajustements pour gérer deux moments différents. Le conférencier partage une astuce pour obtenir une bonne estimation initiale de l'algorithme de Newton-Raphson lors du calcul des volatilités implicites à terme, qui consiste à définir une grille de volatilité et à interpoler sur le prix du marché.

Le cours se poursuit par une explication du processus de calcul des volatilités implicites à terme à l'aide de la méthode de Newton-Raphson. La différence entre le prix de l'option du modèle et le prix du marché est discutée, et le conférencier montre comment appliquer la fonction d'optimisation SciPy pour calculer la méthode de Newton-Raphson et obtenir la volatilité optimale, également appelée volatilité implicite. La section confirme que la moyenne à long terme et la variance initiale sont les mêmes, et que le niveau des volatilités implicites et la volatilité des intrants à terme s'alignent. Le modèle de Bates, une extension du modèle de Heston qui incorpore des sauts supplémentaires entraînés par une variable aléatoire indépendante j, qui suit une distribution de Poisson, est également introduit.

La conférence met en évidence la différence entre le modèle Heston et le modèle Bates. Alors que le modèle Heston convient pour calibrer le sourire et biaiser les options sur actions avec des échéances plus longues, il se débat avec les options ayant des échéances plus courtes, telles que celles qui expirent dans une semaine ou deux. Le modèle de Bates résout ce problème en introduisant des sauts indépendants, permettant un meilleur calibrage des options à court terme. Bien que le modèle de Bates implique de nombreux paramètres, il n'est pas difficile d'étendre le modèle de Heston. La transformation logarithmique est nécessaire pour dériver la fonction caractéristique du modèle de Bates, et il est à noter que le modèle peut toujours être bien calibré même avec l'ajout de sauts.

L'orateur discute ensuite de la modification du modèle de Bates, en se concentrant spécifiquement sur l'intensité stochastique. L'orateur exprime son opinion selon laquelle rendre l'intensité stochastique n'est pas nécessaire car cela introduirait une complexité inutile sans explorer les paramètres actuels. Au lieu de cela, l'intensité dans le modèle est maintenue linéaire dans les variables d'état et définie comme une dérive constante. L'orateur analyse le cadre de diffusion par saut affine et inclut des détails sur les dérivations dans le livre. La seule différence entre la fonction caractéristique des modèles de Heston et de Bates réside dans le terme "a" du modèle de Bates. De plus, deux termes de correction contiennent toutes les informations sur les sauts. Des résultats numériques sont présentés, fournissant une analyse de l'impact de l'intensité, de la volatilité des sauts et de mu j, qui représente la distribution de j.

L'extension du modèle de Heston au modèle de Bates est discutée. Le modèle Bates est utilisé pour calibrer le modèle sur toutes les informations du marché, offrant un avantage par rapport aux autres modèles. Le code de ce modèle est simple et offre une flexibilité supplémentaire, en particulier pour les options à courte échéance où l'étalonnage de toutes les informations du marché est crucial. La conférence couvre également la tarification de produits dérivés plus intéressants, tels que le swap de variance, en utilisant les connaissances acquises grâce à la tarification des options de démarrage à terme ou des options de performance.

L'orateur présente un type de dérivé appelé swap de variance, qui permet aux investisseurs de parier sur la volatilité future d'un actif. Le gain d'un swap de variance est défini comme la somme des performances logarithmiques au carré des actions sur une grille de dates donnée, divisée par la performance précédente des actions. L'enseignant note que la formulation inhabituelle de ce gain devient plus claire lorsqu'il est lié à une équation différentielle stochastique. Lors de la tarification de ce dérivé, la valeur du swap au départ sera nulle si le prix d'exercice est égal à l'espérance constante. De plus, le conférencier explique que la plupart des swaps sont négociés au pair, ce qui signifie que la valeur du contrat est nulle lorsque deux contreparties conviennent d'acheter ou de vendre.

La conférence discute ensuite du cadre dépendant du temps pour le modèle de Bates et comment il relie l'intégrale sur la volatilité dépendante du temps à la performance d'un dérivé dans le temps. Le gain est défini comme la performance logarithmique au carré, qui équivaut à l'intégrale de la volatilité. L'orateur explique comment trouver la troisième valeur d'un contrat en utilisant la valeur attendue de sigma v au carré et les équations différentielles stochastiques. De plus, le coefficient d'échelle de 252 jours ouvrables est introduit comme un facteur essentiel en finance.

Enfin, le conférencier aborde la juste valeur d'un swap de variance, qui est un contrat dérivé qui permet aux investisseurs de parier sur la volatilité future d'un actif. La juste valeur du swap peut être exprimée comme un coefficient scalaire correspondant aux périodes de zéro à l'échéance du contrat, plus un élément correspondant aux taux d'intérêt, moins la valeur attendue de q log st divisé par st0. L'évaluation de cette anticipation peut se faire par simulation de Monte Carlo ou par une distribution analytique des stocks. Il est intéressant de noter que même si les performances de tous les petits intervalles sont composées, cela équivaut au rapport ou au logarithme de la valeur d'un stock à la fin divisé par la valeur initiale.

La conférence couvre un large éventail de sujets liés aux options de démarrage avancé, aux options de performance, au modèle Heston, au modèle Bates et aux swaps de variance. Il fournit des informations sur les techniques de tarification, la mise en œuvre en Python et l'importance de ces concepts dans les dérivés financiers.

• 00:00:00 Dans cette section, la conférence se concentre sur les options de départ avancé, qui sont un peu plus compliquées que les options européennes. Il s'agit d'un type d'options européennes qui ne démarrent pas immédiatement mais dans le futur, et sont appelées options de performance. La conférence couvre l'introduction des options de démarrage avancé, y compris leur définition des gains et leurs avantages par rapport aux options européennes standard. Les techniques de tarification des options de démarrage anticipé sont plus complexes et le cours couvre les fonctions caractéristiques. La conférence couvre également deux types d'options de démarrage anticipé, l'une utilisant les modèles Black-Scholes et la tarification plus difficile des options de démarrage anticipé sous le modèle Heston. Le cours se termine par l'implémentation en Python et la tarification d'un produit qui dépend des volatilités. L'importance des options européennes en tant que blocs de construction et leur calibrage et leur relation avec les options exotiques sont discutés. La conférence mentionne également le modèle de Bates, qui est le même que le modèle de Heston mais avec des sauts de Merton supplémentaires, et l'utilisation de paramètres de couverture pour garantir des modèles bien calibrés.
  
  
• 00: 05: 00 Dans cette section, la vidéo traite des options de démarrage anticipé, qui sont considérées comme des types d'options européennes, mais avec une date de démarrage future. La valeur initiale du stock dans les options à démarrage différé est inconnue et sera déterminée au temps t1, contrairement aux options européennes où la valeur initiale du stock est connue au temps t0. Le concept de filtration est également discuté en relation avec les options de démarrage à terme et comment elles ne dépendent pas de la valeur actuelle de l'action sous-jacente, mais plutôt de la performance d'une période de temps spécifique. La vidéo explique également comment les options de démarrage anticipé peuvent être utilisées comme blocs de construction pour d'autres produits dérivés et suggère un exemple de stratégie pour réduire le coût d'un produit dérivé.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence, le professeur explique la construction d'un élément pour une option de clic, qui est un dérivé apprécié des investisseurs en raison de sa structure souhaitée. Il définit également le gain de l'option de clic et montre une relation entre les appels européens et les options de démarrage vers l'avant. De plus, le professeur explique l'importance d'identifier les dates de paiement lors du calcul du facteur d'actualisation pour la tarification. De plus, il montre comment le rapport de deux stocks peut être reformulé comme l'exposant d'un logarithme du rapport.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, l'orateur discute des différentes façons de fixer le prix des options de démarrage à terme, y compris la simulation Monte Carlo et les solutions analytiques telles que le modèle Black-Scholes. L'orateur explique la nécessité de trouver la fonction caractéristique avant, qui permet de tarifer les options de démarrage de puissance pour n'importe quel modèle dans une classe fine de processus. Ils poursuivent ensuite en démontrant la tarification d'une option de démarrage à l'aide de la fonction caractéristique et de l'attente d'un logarithme UI de deux actions. L'orateur explique également comment le conditionnement a lieu sur un champ sigma plus grand lors de la détermination de la fonction caractéristique, permettant à l'exposant avec le log moins d'être pris en dehors de l'espérance. Enfin, le locuteur utilise des fonctions caractéristiques actualisées de T2 à T1 dans leur dérivation.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'orateur discute de la fonction de change à terme, qui fait référence aux attentes futures et peut être représentée comme une attente sur la mesure neutre au risque. Ils expliquent que, lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt déterministes, il n'y a pas de différence entre la fonction monétaire actualisée et non actualisée. Cependant, les choses se compliquent lorsque des taux d'intérêt stochastiques sont introduits. L'orateur note que le processus de dérivation de la fonction caractéristique de départ vers l'avant implique le calcul d'une valeur attendue supplémentaire, ce qui est crucial pour la tarification des options. Ils mentionnent également qu'il est important que les processus utilisés dans la tarification permettent des solutions analytiques à l'attente extérieure afin de rendre le processus réalisable pour une utilisation pratique. L'orateur poursuit ensuite en expliquant comment la fonction caractéristique de démarrage vers l'avant peut être appliquée aux modèles noirs de Scholes et Heston.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la fonction de devise de démarrage avant pour le modèle Black-Scholes. La tarification ne devrait dépendre que de la performance au fil du temps, et non de la valeur initiale du stock, ce qui signifie que la solution est beaucoup plus simple que la fonction de devise actualisée d'origine. Dans le cas de plusieurs dimensions, la part de variance est toujours là, donc une attente interne doit être résolue. Une représentation exacte du modèle Black-Scholes est présentée dans cette section, confirmant que la distribution du ratio de deux stocks ne dépend pas de la valeur initiale du stock. Comme la distribution ressemble à la log-normalité, elle peut être simplifiée en un mouvement brownien géométrique, avec un incrément de p1 à t2.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier discute de la tarification des options de démarrage anticipé selon le modèle Black-Scholes. Il explique que puisqu'il s'agit d'un mouvement brownien géométrique, le rapport de deux stocks à des moments différents est également un mouvement brownien géométrique. La solution de tarification des options d'achat et de vente pour les options de départ différé ressemble à celle utilisée pour les appels et les options de vente européens, mais avec de légères différences dans l'ajustement d'exercice et les temps utilisés pour l'actualisation. L'orateur souligne l'importance d'utiliser les volatilités implicites de Black-Scholes lors du calcul des prix, même en utilisant d'autres modèles, car c'est la norme du marché. Il recommande de garder à l'esprit les deux paramètres pour les options de démarrage anticipé et rappelle aux téléspectateurs que les prix Black-Scholes sont connus analytiquement dans ce modèle.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'orateur a discuté du modèle de Hassle et de la manière dont il augmente la complexité de la fonction caractéristique de l'option de démarrage anticipé en introduisant un deuxième processus stochastique qui représente la variance. L'orateur a expliqué que cette deuxième dimension n'est pas nécessaire lors de la tarification des options, car l'accent est mis uniquement sur la distribution marginale pour le processus de stock. Après simplification et substitution de la fonction de caractères, l'expression de la fonction monétaire à terme a été obtenue. Le conférencier a recommandé de revoir les diapositives du modèle Hassle pour plus de détails sur les fonctions impliquées dans l'expression.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, l'orateur discute de la fonction génératrice de moment pour un processus CIR et de l'expression de forme fermée pour la fonction caractéristique avant dans le modèle Heston. L'orateur note que la fonction génératrice de moment est donnée sous forme fermée, ce qui est bénéfique car elle permet un calcul plus rapide. En remplaçant la fonction génératrice de moment dans la fonction monétaire à terme, le locuteur obtient une expression de forme fermée pour la fonction caractéristique à terme. Enfin, l'orateur présente une expérience numérique pour tarifer les options de démarrage anticipé à l'aide du modèle de Heston et des expressions dérivées.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, l'orateur discute des options de démarrage avancé et du modèle de Bates. Ils expliquent comment le processus de variance est donné comme dvt et comment les paramètres sont utilisés pour la volatilité et la variance. L'orateur mène deux expériences pour observer l'impact des volatilités implicites sur les paramètres et l'effet de la distance temporelle dans les options de démarrage anticipé. La première expérience implique un intervalle de temps fixe, et la seconde a un point initial fixe qui étend la longueur de l'intervalle. Les expériences montrent la même forme de la volatilité implicite mais avec des niveaux différents, et à mesure que la distance augmente, la volatilité converge vers la racine carrée de la variance à long terme. La logique derrière la maturité plus courte ayant une densité plus concentrée autour de t1 et t2 est expliquée, et l'orateur effectue des expériences supplémentaires en utilisant un code pour comparer les volatilités implicites.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de la mise en œuvre de la fonction caractéristique à terme et des méthodes de coût pour la tarification des options de démarrage à terme. La fonction caractéristique directe est définie à l'aide d'expressions lambda et de divers paramètres tels que les modèles hastel et la fonction génératrice de moment pour le processus CIR. La méthode du coût pour la tarification des options de démarrage anticipé est similaire à celle de la méthode du coût pour la tarification des options européennes, avec un ajustement supplémentaire pour gérer deux moments différents. L'enseignant donne également une astuce pour obtenir une bonne estimation initiale de l'algorithme de Newton-Raphson pour le calcul des volatilités implicites à terme, qui consiste à définir une grille pour les volatilités et à interpoler sur le prix du marché.
  
  
• 00:55:00 cette section, le conférencier discute du processus de calcul des volatilités implicites à terme à l'aide de la méthode Newton-Raphson. La conférence montre la différence entre le prix de l'option du modèle et le prix du marché et utilise l'optimiseur SciPy pour calculer le Newton-Raphson appliqué pour obtenir la volatilité optimale, qui serait la volatilité implicite. La section confirme également que la moyenne à long terme et la variance initiale sont les mêmes, et que le niveau des volatilités implicites et de la volatilité des intrants à terme est le même. En outre, la section traite du modèle de Bates, une extension du modèle de Heston, et met l'accent sur l'effet de saut supplémentaire entraîné par une variable aléatoire indépendante j, qui est donnée par la distribution de Poisson.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, la différence entre le modèle Heston et le modèle Bates est discutée. Alors que le modèle Heston est adéquat pour calibrer pour sourire et biaiser les options sur actions avec une échéance plus longue, il a du mal à le faire pour les options avec une échéance plus courte, comme celles qui expirent dans une semaine ou deux. Le modèle de Bates résout ce problème en ajoutant des sauts indépendants au processus, permettant un meilleur calibrage des options à court terme. Bien que le modèle comporte de nombreux paramètres, il n'est pas difficile de s'étendre à partir du modèle de Heston. La transformation logarithmique est nécessaire pour dériver la fonction caractéristique du modèle de Bates, et il est à noter que le modèle est toujours capable de bien se calibrer même avec l'ajout de sauts.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, l'orateur discute de la modification du modèle de Bates, en particulier de l'intensité stochastique. L'orateur ne pense pas qu'il soit nécessaire de rendre l'intensité stochastique, car cela introduirait une complexité inutile sans explorer les paramètres actuels. L'intensité dans le modèle est linéaire dans les variables d'état et est définie comme une dérive constante. Le cadre de diffusion par saut affine est analysé, avec des détails sur les dérivations inclus dans le livre. La seule différence entre la fonction caractéristique des modèles Heston et Bates réside dans le terme "a" du modèle Bates, tandis que deux termes de correction incluent toutes les informations sur les sauts. Des résultats numériques sont présentés, avec une analyse de l'impact de l'intensité, de la volatilité des sauts, et du mu j, qui représente la distribution de j.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, le conférencier discute de l'extension du modèle Heston au modèle Bates, qui est utilisé pour calibrer le modèle à toutes les informations de marché, offrant un avantage par rapport aux autres modèles. Le code de ce modèle est simple et offre une flexibilité supplémentaire, en particulier dans les options à courte échéance, où l'étalonnage de toutes les informations du marché est crucial. La conférence couvre également la tarification de produits dérivés beaucoup plus intéressants, tels que le swap de variance, en utilisant les connaissances acquises grâce à la tarification des options de démarrage à terme ou des options de performance.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section, le conférencier discute d'un type de dérivé appelé swap de variance, qui est défini comme la somme des logarithmes au carré des performances boursières sur une grille de dates donnée, divisée par la performance boursière précédente. L'enseignant note que la formulation inhabituelle de ce gain devient plus claire lorsqu'il est lié à une équation différentielle stochastique. Lors de la tarification de ce dérivé, la valeur du swap au départ vaudra zéro si le prix d'exercice est égal à l'attente, qui est une constante. De plus, le conférencier explique que la plupart des swaps sont négociés au pair, ce qui signifie que la valeur du contrat est nulle lorsque deux contreparties conviennent d'acheter ou de vendre.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute du cadre dépendant du temps pour le modèle de Bates et comment il relie l'intégrale sur la volatilité dépendante du temps à la performance d'un dérivé dans le temps. Le gain est défini comme le logarithme de la performance au carré, ce qui équivaut à l'intégrale de la volatilité. L'orateur explique également comment trouver la troisième valeur d'un contrat en utilisant la valeur attendue de sigma v au carré et les équations différentielles stochastiques. De plus, le coefficient d'échelle de 252 jours ouvrables est introduit comme un facteur essentiel en finance.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, l'orateur discute de la juste valeur d'un swap de variance, qui est le contrat dérivé qui permet aux investisseurs de parier sur la volatilité future d'un actif. La juste valeur du swap peut être exprimée comme un coefficient scalaire correspondant aux périodes de zéro à l'échéance du contrat, plus un élément correspondant aux taux d'intérêt, moins la valeur attendue de q log st divisé par st0. Pour évaluer cette anticipation, une simulation de Monte Carlo ou une distribution analytique des actions peut être utilisée, et il est intéressant de noter que même si nous composons les performances de tous les petits intervalles, cela équivaut au rapport ou au logarithme de la valeur d'un stock à la fin divisé par la valeur initiale.

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Finance computationnelle : Cours 13/14 (Dérivés exotiques)

Finance computationnelle : Cours 13/14 (Dérivés exotiques)

La conférence se concentre sur la tarification des produits dérivés exotiques et l'extension des modèles de tarification aux cas dépendants du chemin. La principale motivation pour étendre la structure des gains est d'offrir aux clients des prix moins chers tout en offrant une exposition aux fluctuations des marchés boursiers. L'utilisation de fonctionnalités et de barrières numériques est explorée comme moyen de réduire les coûts des produits dérivés tout en maintenant l'exposition souhaitée. La conférence se penche sur divers types de gains, y compris les binaires et les numériques, les options à barrière et les options asiatiques, en examinant leur impact sur les prix des produits dérivés. En outre, la conférence traite de la tarification des options multi-actifs et des extensions de modèle potentielles pour gérer des paniers de centaines d'actions.

La procédure de tarification des produits financiers est discutée, en commençant par la spécification du produit et les facteurs de risque requis pour la modélisation et la tarification à l'aide d'équations différentielles stochastiques, telles que le modèle Black-Scholes, les sauts et les modèles de volatilité stochastique. Selon la complexité du produit, un système d'équations à une ou deux dimensions peut être suffisant pour une tarification précise. Le processus implique également l'étalonnage et la couverture, où un ensemble optimal de paramètres est choisi pour fixer le prix du produit et minimiser les coûts de couverture, garantissant un environnement sans arbitrage.

Différents types d'options sont définis, en mettant l'accent sur les options européennes, les options américaines et les options des Bermudes. Les options européennes sont considérées comme des éléments de base fondamentaux pour les produits dérivés exotiques, mais elles peuvent être difficiles à chronométrer et comporter des risques importants. Les options américaines offrent plus de flexibilité, permettant l'exercice à tout moment, tandis que les options des Bermudes ne permettent l'exercice qu'à des dates précises.

Des dérivés exotiques et des options dépendant du chemin sont introduits, qui dépendent de l'historique complet d'un stock plutôt que de la distribution marginale à un moment précis. Il a été démontré que l'ajustement de la fonction de gain à l'aide de binaires et de numériques réduit considérablement les valeurs dérivées. La conférence couvre divers types de produits dérivés exotiques, y compris les actifs ou rien, les espèces ou rien, les actions ou rien, les options composées et les options de choix. Ces options impliquent de limiter le contrat d'une manière ou d'une autre, par exemple avec des maximums, des minimums ou d'autres restrictions, pour contrôler les coûts. La popularité des produits dérivés exotiques dans le passé, en particulier pendant les périodes de taux d'intérêt élevés, est également discutée.

Une stratégie pour générer des profits élevés grâce à un dérivé exotique est expliquée. La stratégie consiste à allouer la majeure partie de l'investissement à un compte sécurisé avec un rendement garanti et à fixer le prix d'un paiement d'option potentiel. Bien que cette stratégie ne soit pas populaire actuellement, elle a été efficace dans le passé. La conférence comprend également des exemples de code pour évaluer les contrats et réduire leur valeur en fixant des limites supérieures à la croissance potentielle des stocks. La conférence souligne comment un petit ajustement de la structure des gains peut réduire considérablement les valorisations, rendant les produits dérivés plus attrayants pour les clients. En introduisant des barrières et une dépendance au sentier, les coûts peuvent être réduits. Diverses options de barrière sont discutées, telles que les options up-and-out, down-and-out, up-and-in, down-and-in, et leur impact sur les prix des dérivés en fonction du comportement historique de l'action.

Le concept d'options rétrospectives est exploré, où la valeur maximale ou minimale d'une action sur sa durée de vie détermine le gain à l'échéance. Les options rétrospectives intègrent la dépendance au sentier et peuvent fournir des paiements positifs même si le titre est inférieur à l'échéance au prix d'exercice. La conférence explique la mise en œuvre des options de rétrospection à l'aide de la simulation de Monte Carlo et des équations aux dérivées partielles (EDP), en mettant l'accent sur les conditions aux limites spéciales pour les options de barrière et leur extension à d'autres dérivés exotiques.

Les options barrières sont discutées en détail, soulignant leur attrait pour les clients des contreparties et leur utilisation sur le marché des devises croisées. La conférence explique les configurations et les avantages des options de barrière, y compris les options de sortie, d'entrée, de descente et de montée. Le conférencier souligne que les options de barrière peuvent être dépendantes du temps, ajoutant de la complexité au contrat. La simulation de Monte Carlo et les EDP sont présentées comme des méthodes de calcul pour la tarification des options de barrière.

La conférence compare les options up-and-out aux options européennes standard, notant la réduction significative de la valeur des options up-and-out en raison de leur gain déclenché par la barrière. Le concept d'options à barrière up-and-out est introduit, où le gain ne se produit que si l'action ne dépasse pas un certain niveau au cours de sa durée de vie. La conférence démontre l'impact d'une barrière sur le prix d'un dérivé à travers un exercice de programmation, montrant que le prix d'une option barrière up-and-out est équivalent au prix d'une option numérique avec une structure de gain similaire.

Le conférencier explique ensuite la mise en œuvre d'une barrière montante à l'aide de la simulation de Monte Carlo. Contrairement au gain d'une option numérique, qui ne dépend que de la valeur de l'action à l'échéance, une barrière up-and-out tient également compte de l'historique du comportement de l'action tout au long de la durée de vie du dérivé. Une fonction est définie pour déterminer si la barrière a été atteinte, en utilisant une matrice booléenne et une condition logique. Le "vecteur d'accès" résultant est un vecteur binaire qui indique si la barrière a été atteinte pour chaque chemin. Le conférencier montre comment la modification de la valeur de la barrière affecte le vecteur de succès, en soulignant que le gain est de zéro si la barrière est touchée et de un si elle ne l'est pas.

Le concept d'introduction d'une barrière dans les contrats dérivés est expliqué comme un moyen de réduire leur valeur, offrant une option plus abordable pour les clients recherchant une exposition à un actif spécifique. La présence d'une barrière a un impact significatif sur la valeur du dérivé, entraînant potentiellement des pertes si le stock ne dépasse pas le niveau spécifié. Cependant, en incorporant des barrières, les prix des produits dérivés peuvent être réduits d'environ 30 %, ce qui les rend plus attractifs pour les investisseurs. Néanmoins, les dérivés discontinus avec barrières peuvent présenter des défis en termes de coûts de couverture, qui peuvent atteindre l'infini. Pour atténuer ce problème, le conférencier suggère de reproduire le gain en utilisant des méthodes alternatives pour réduire les coûts.

La vidéo présente le concept de reproduction de la fonctionnalité numérique d'une option en achetant et en vendant stratégiquement des options d'achat avec différents prix d'exercice. Au fur et à mesure que les prix d'exercice se rapprochent, le gain qui en résulte ressemble davantage à une option numérique. Cependant, l'enseignant reconnaît les difficultés à reproduire précisément la discontinuité des options due aux variations des sensibilités delta et gamma. Bien que des approximations puissent être utilisées pour la couverture, il est crucial de facturer des primes pour compenser les pertes de couverture potentielles causées par la nature numérique de l'option. La vidéo met l'accent sur le concept de réduction des coûts des produits dérivés en introduisant des limitations numériques ou en modifiant la structure des gains.

La conférence aborde ensuite les options asiatiques comme moyen de réduire la volatilité et l'incertitude associées à un actif sous-jacent, réduisant ainsi le prix des dérivés. Les options asiatiques sont basées sur le comportement moyen d'un titre fluctuant, qui a tendance à être plus lisse que le titre lui-même, ce qui réduit l'incertitude associée. Le conférencier explore différentes variantes d'options asiatiques disponibles sur le marché, y compris les options d'achat et de vente fixes et flottantes. Les options d'exercice flottantes, en particulier, sont populaires dans le commerce des matières premières en raison de leur capacité à réduire l'incertitude et à atténuer les risques associés à un niveau d'actif sous-jacent spécifique.

L'orateur explique en outre les différentes méthodes de calcul de la moyenne d'une action, soulignant son importance dans le trading. Deux types de moyennes, arithmétiques et géométriques, sont introduits, la moyenne géométrique étant préférée pour l'analyse mathématique en raison de son expression analytique. En pratique, des sommations sont souvent utilisées, nécessitant des techniques d'approximation comme la simulation de Monte Carlo ou les EDP. Le cours aborde également le concept de moyenne continue, qui diffère de la moyenne arithmétique par sa représentation intégrale, ajoutant une dimension supplémentaire au problème de tarification et le rendant plus complexe à résoudre.

L'accent est ensuite mis sur la tarification des options asiatiques, ce qui implique de s'éloigner d'un problème unidimensionnel et d'impliquer des considérations de plus grande dimension. Les options asiatiques introduisent deux variables indépendantes : le cours de l'action et l'intégrale de l'action. Le gain de l'option dépend de l'intégrale observée ou du chemin de zéro à l'échéance, le paiement étant effectué à l'échéance. La conférence reconnaît que la tarification des contrats dérivés exotiques avec des quantités finales dépendantes de la partie peut être difficile, nécessitant des techniques plus avancées. Cependant, la couverture delta est toujours efficace pour atteindre des coefficients de couverture appropriés malgré les complexités introduites par les options asiatiques. Le conférencier discute de l'utilisation de la simulation de Monte Carlo pour évaluer les options asiatiques, soulignant sa flexibilité dans le traitement des problèmes de grande dimension. En simulant plusieurs trajectoires du cours de l'action et en calculant le gain moyen, la simulation de Monte Carlo peut fournir une estimation du prix de l'option. La conférence mentionne également les défis potentiels de la simulation de Monte Carlo, tels que les problèmes de convergence et la nécessité d'un nombre suffisant de chemins pour obtenir des résultats précis.

Le conférencier aborde ensuite un autre type d'option exotique connue sous le nom d'option barrière avec rabais. Cette option a une structure similaire à l'option de barrière discutée précédemment, mais avec un paiement de remise supplémentaire si la barrière est atteinte. La présence de la remise indemnise le détenteur de l'option si la barrière est franchie, atténuant ainsi les pertes potentielles. La conférence explique que le paiement de la remise réduit le coût de l'option, la rendant plus attrayante pour les investisseurs.

Pour fixer le prix des options à barrière avec rabais, le conférencier introduit le concept d'une option knock-out inversée, qui est l'inverse d'une option knock-out. L'option d'élimination inversée verse une remise si la barrière n'est pas atteinte. En fixant le prix de l'option d'exclusion inversée et en soustrayant le paiement de la remise, le prix de l'option barrière avec remise peut être déterminé. La vidéo fournit un exemple de mise en œuvre de cette méthodologie de tarification à l'aide de la simulation de Monte Carlo.

Tout au long de la conférence, l'importance de la compréhension et de la tarification efficace des contrats dérivés exotiques est soulignée. Les options exotiques offrent de la flexibilité et des solutions personnalisées aux investisseurs, mais leur tarification et leur gestion des risques nécessitent des modèles et des techniques sophistiqués. La conférence se termine en soulignant la nécessité de poursuivre la recherche et le développement dans ce domaine, ainsi que l'importance de la collaboration entre les universités et l'industrie pour améliorer les méthodologies de tarification des produits dérivés et répondre aux besoins changeants des acteurs du marché.

• 00:00:00 Dans cette section, l'accent est mis sur la tarification des produits dérivés exotiques et l'extension des modèles de tarification aux cas dépendant du chemin. La nécessité d'étendre le gain survient lorsque les clients veulent des prix moins chers pour le dérivé, mais veulent toujours la même exposition aux fluctuations du marché boursier. L'utilisation de fonctionnalités et de barrières numériques est explorée, ce qui permet de réduire le coût du dérivé tout en offrant une exposition aux fonctionnalités souhaitées. La conférence examine ensuite les différents types de gains, tels que les binaires et les numériques, les options à barrière et les options asiatiques, et leur impact sur le prix du dérivé. Enfin, les options multi-actifs sont discutées, y compris les extensions potentielles des modèles pour gérer des paniers de centaines d'actions.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section de la conférence sur les dérivés exotiques en finance informatique, l'accent est mis sur la procédure de tarification des produits financiers. Cela commence par la spécification du produit et les facteurs de risque nécessaires à la modélisation et à la tarification à l'aide de plusieurs équations différentielles stochastiques, telles que le modèle Black-Scholes, les sauts et les modèles de volatilité stochastique. Selon la complexité du produit, un système d'équations à une ou deux dimensions peut suffire à décrire ou à tarifer le produit dérivé avec précision. Le processus implique également l'étalonnage et la couverture, où un ensemble optimal de paramètres est choisi pour fixer le prix du produit et l'utiliser pour la couverture. Les coûts de couverture ne doivent pas être supérieurs au dérivé vendu au client pour garantir un monde sans arbitrage.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'orateur discute des définitions des différentes options. Quatre grandes catégories d'options sont couvertes, y compris les options européennes qui ne permettent l'exercice qu'à un moment donné, les options américaines qui permettent l'exercice à tout moment et les options des Bermudes qui permettent l'exercice à des dates précises. L'orateur poursuit en expliquant que les options européennes sont les plus populaires et sont des éléments fondamentaux pour toutes sortes de produits dérivés exotiques. Cependant, ils sont difficiles à chronométrer et peuvent être très risqués. L'orateur note que les options américaines peuvent être exercées à tout moment tandis que les options des Bermudes ne permettent l'exercice qu'à des dates précises.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, nous en apprenons davantage sur les dérivés exotiques et les options dépendantes du chemin, qui sont des contrats qui dépendent de tout l'historique d'une action. Plutôt que de s'intéresser uniquement à la distribution marginale à un moment donné, ces contrats sont basés sur la dépendance passée, et chaque chemin déterminera la valeur du contrat. Une façon de réduire le coût d'un dérivé consiste à utiliser des binaires et des numériques, qui sont des options avec un gain discontinu à l'expiration. En utilisant ces techniques pour ajuster la fonction de gain, la valeur du dérivé peut être considérablement réduite. Ce simple ajustement supprime la probabilité de résultats extrêmes, entraînant en fin de compte une baisse des prix de ces contrats.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, la vidéo traite de divers types de dérivés exotiques, qui incluent des actifs ou rien, des espèces ou rien, des actions ou rien et des options composées. Les options composées permettent de choisir la valeur d'une option à l'échéance avec une échéance différente, tandis que les options de sélection permettent aux investisseurs de choisir entre une option de vente ou d'achat. La vidéo souligne que ces types d'options impliquent de limiter le contrat d'une manière ou d'une autre, par exemple avec des maximums, des minimums ou d'autres restrictions pour contrôler les coûts. La vidéo mentionne également la popularité des produits dérivés exotiques dans le passé, en particulier en période de taux d'intérêt élevés.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, l'orateur explique une stratégie pour générer des profits élevés grâce à un dérivé exotique qui est tombé en disgrâce. La stratégie consiste à placer 95 % d'un investissement dans un compte sécurisé avec un rendement total garanti et à fixer le prix d'un paiement d'option potentiel. Bien que la stratégie ne soit pas populaire actuellement, elle était très efficace dans le passé. L'orateur poursuit ensuite en expliquant le code d'évaluation des contrats et de réduction de la valeur d'un contrat en fixant une limite supérieure à la croissance potentielle des stocks. La démonstration utilise une fonction de gain générique qui peut être modifiée à la volée pour illustrer son impact sur la tarification.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le conférencier explique comment un petit ajustement d'un gain peut réduire considérablement les valorisations, le rendant plus attrayant pour le client. En introduisant une limite sur le potentiel supérieur, la valeur du gain peut plus que tripler malgré la réduction du profit potentiel pour le client. De plus, il explique comment réduire les coûts d'un prix d'un dérivé peut être réalisé en le rendant dépendant de la barrière en introduisant une sorte de dépendance au sentier. Le contrat ne paie essentiellement que si le stock sur toute la durée de vie n'a pas atteint la limite ou la condition, ou s'il expire à zéro. Il existe différentes possibilités comme un appel up-and-out, down-and-out, un appel up-and-in, un appel down-and-in ou des options de vente, et il explique comment s'appuyer sur l'historique du stock à partir du temps t0 jusqu'à l'échéance détermine la valeur finale du paiement.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, l'accent est mis sur les produits dérivés exotiques, en particulier l'option lookback. Cette option implique un maximum d'une action sur une durée de vie, le gain à maturité étant la valeur maximale observée historiquement. Cette structure intègre la dépendance au sentier, permettant un paiement positif même si le stock est inférieur à l'échéance au prix d'exercice. De même, une valeur minimale du stock peut être utilisée pour une option de vente. L'option de rétrospection est relativement facile à mettre en œuvre à Monte Carlo, et pour les options de barrière, des équations aux dérivées partielles peuvent être utilisées, avec des conditions aux limites spéciales requises. L'introduction de barrières et de fenêtres pour le franchissement des barrières peut également être incorporée dans d'autres dérivés exotiques, tels que les knock-in et les knock-out.
  
  
• 00: 40: 00 Dans cette section, l'orateur discute des options barrières et de leur attrait pour les clients de la contrepartie. Ces contrats peuvent être attrayants, mais ils doivent s'appuyer sur des actifs sous-jacents liquides pour éviter les écarts acheteur-vendeur. Les options barrières sont couramment utilisées sur le marché des devises croisées et peuvent être envisagées à des fins de spéculation. Le conférencier explique diverses configurations et avantages des options de barrière, y compris les options de sortie, d'entrée, de descente et de montée. Ils mentionnent que la barrière peut être dépendante du temps pour ajouter de la complexité au contrat. Le calcul pour Monte Carlo est relativement simple alors que les EDP nécessitent l'ajustement des conditions aux limites.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, la conférence traite des produits dérivés exotiques tels que les options up et out et comment ils diffèrent des options européennes standard. Les options up and out n'ont un gain que si la barrière est déclenchée, ce qui signifie qu'elles sont considérablement réduites en valeur par rapport aux options européennes. La conférence introduit également le concept d'options à barrière et à barrière, où le gain ne se produit que si l'action ne dépasse pas un certain niveau au cours de sa durée de vie. L'impact d'une barrière sur le prix d'un dérivé est également exploré par le biais d'un exercice de programmation, la barrière à la hausse et à la sortie ayant un prix équivalent au prix d'une évaluation de gain numérique.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, le conférencier discute de la mise en œuvre d'une barrière montante et sortante à l'aide de la simulation de Monte Carlo. Contrairement à un gain numérique, qui ne dépend que de la valeur de l'action à l'échéance, une barrière up-and-out tient également compte de l'historique du comportement de l'action sur la durée de vie du dérivé. La fonction pour déterminer si la barrière a été atteinte est définie à l'aide d'une matrice booléenne et d'une condition logique. Le vecteur d'impact résultant est un vecteur zéro et un qui identifie si la barrière a été atteinte pour chaque chemin. Le conférencier montre comment la modification de la valeur de la barrière affecte le vecteur de succès résultant et souligne que le gain est de zéro si la barrière est atteinte et de un si elle ne l'est pas.
  
  
• 00:55:00 cette section, le concept d'option barrière a été exploré comme moyen de réduire la valeur des dérivés, offrant une alternative moins chère aux clients ayant une certaine exposition à un actif particulier. La présence d'une barrière avait un impact significatif sur la valeur du dérivé, entraînant une perte potentielle si le stock ne dépassait pas un certain niveau. L'introduction d'une barrière a réduit le prix des dérivés d'environ 30 %, les rendant plus attractifs pour les investisseurs. Cependant, dans le cas de dérivés discontinus, les coûts de couverture pourraient monter à l'infini, posant des problèmes pour le client. Une solution possible consiste à reproduire le gain avec une méthode légèrement différente pour réduire les coûts.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, la vidéo présente l'idée de reproduire la fonctionnalité numérique d'une option en vendant et en achetant des options d'achat avec différents prix d'exercice. À mesure que les grèves se rapprochent, le gain devient plus numérique. Cependant, il est difficile de reproduire la discontinuité des options en raison des modifications des sensibilités delta et gamma. La vidéo note que si des approximations peuvent être utilisées pour la couverture, il est important de facturer des primes pour compenser les pertes de couverture potentielles dues à la numérisation. Le concept de réduction du coût des produits dérivés en introduisant des limitations numériques ou en modifiant la structure d'un gain est également discuté.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, le conférencier explique comment réduire la volatilité et l'incertitude associées à un actif sous-jacent, ce qui réduit le prix des dérivés grâce à l'introduction d'options asiatiques, des options en moyenne. Il explique que la courbe moyenne d'un stock fluctuant est plus lisse que le stock lui-même, ce qui réduit l'incertitude qui lui est associée. Le conférencier discute également des différentes variantes possibles des options asiatiques disponibles sur le marché, y compris les options d'achat et de vente fixes et flottantes, les options d'exercice flottantes étant populaires dans le commerce des matières premières en raison de leur réduction de l'incertitude et des risques associés au niveau particulier du sous-jacent. actif.
  
  
• 01:10:00 Dans cette section, l'orateur explique les différentes manières de calculer la moyenne d'une action, qui est un aspect important à prendre en compte dans le trading. Les deux types de moyenne sont la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique, cette dernière étant préférée pour l'analyse mathématique en raison de son expression analytique. Cependant, en pratique, le plus souvent, les produits sont des sommations, qui nécessitent des techniques d'approximation comme Monte Carlo ou les EDP. De plus, l'orateur approfondit le concept de moyenne continue et comment il diffère de la moyenne arithmétique en raison de sa représentation intégrale. La représentation intégrale ajoute une dimension supplémentaire au problème de tarification et le rend plus compliqué à résoudre.
  
  
• 01:15:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la tarification des options asiatiques, qui s'éloigne d'un problème de tarification unidimensionnel et implique un problème de dimension supérieure puisqu'il implique deux variables indépendantes : le cours de l'action et l'intégrale du stock. Le gain de l'option dépend de l'intégrale ou du chemin observé de zéro à T, où le paiement est effectué à l'échéance. Les quantités finales dépendantes de la partie dans les contrats dérivés exotiques peuvent être écrites sous forme, mais malheureusement, le système d'équations n'est pas bon, ce qui signifie que des techniques plus avancées sont nécessaires pour évaluer et évaluer l'option. Cependant, malgré l'incertitude, la couverture delta est toujours suffisante pour obtenir les coefficients de couverture appropriés.
  
  
• 01:20:00 Dans cette section, la dynamique d'un portefeuille impliquant un dérivé d'option asiatique est discutée. Le portefeuille comporte deux dimensions pour l'action et le contrat d'option, ce qui signifie qu'il faut utiliser une EDP à deux dimensions. La dynamique du portefeuille implique une fonction générique d'une action et la dérivée d'une dérivée d'une option asiatique. La couverture des options asiatiques consiste à choisir un delta qui correspond au dérivé. Le PDE de tarification d'une option asiatique s'avère plus compliqué que pour une option européenne du fait de la dimension supplémentaire à prendre en compte. Le code de mise en œuvre des options asiatiques et de calcul de l'effet d'incertitude sur la volatilité réduite est également présenté.
  
  
• 01:25:00 Dans cette section, le conférencier discute de la variance d'une action à l'échéance et comment elle affecte le prix. Une volatilité plus faible se traduit par un prix plus bas, tandis qu'une augmentation de la volatilité entraîne une tarification plus élevée. La conférence se penche également sur les options de panier et sur la manière dont elles constituent un ensemble d'actions corrélées positivement ou négativement. Les options sur panier gagnent en popularité et peuvent aider à réduire les risques d'investissement dans les portefeuilles, et les corrélations entre différentes actions sous-jacentes peuvent réduire davantage les risques et conduire à davantage d'investissements potentiels.
  
  
• 01:30:00 Dans cette section du cours sur les produits dérivés exotiques, le professeur discute des options de panier et de leurs variantes. Ces options impliquent un ensemble d'actions qu'un investisseur souhaite inclure dans son panier, avec des options d'achat sur l'actif le plus performant ou des options d'échange basées sur la différence de deux actions sous-jacentes. L'objectif de ces options est de mieux performer que l'indice principal afin d'attirer les investisseurs. Cependant, la tarification de ces dérivés de grande dimension est très complexe et nécessite souvent des techniques numériques car elles ne peuvent pas être résolues analytiquement. La présence de dividendes complique également la dynamique du titre. Le professeur souligne que les EDP de grande dimension prennent du temps et sont difficiles à résoudre, en particulier pour les paniers composés de centaines d'actions sous-jacentes.
  
  
• 01:35:00 Dans cette section, le conférencier discute des défis rencontrés pour résoudre un problème de grande dimension lié aux options multi-actifs. Ces défis surviennent à mesure que les dimensions augmentent, entraînant une malédiction de la dimensionnalité. Les techniques de Monte Carlo sont une approche populaire pour résoudre des problèmes aussi complexes. Dans les cas où il est nécessaire de calibrer les corrélations, cela peut être fait en utilisant des données historiques ou en utilisant différents dérivés tels que des dérivés exotiques. De plus, le conférencier souligne également qu'avec les DP, on peut améliorer leur approche grâce à des techniques numériques telles que les grilles adaptatives et la parallélisation. Cependant, si la dimension est trop élevée, aucune de ces techniques ne peut être utilisée, et Monte Carlo serait la meilleure approche pour résoudre ce type de problème.

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Finance computationnelle : Cours 14/14 (Résumé du cours)

Finance computationnelle : Cours 14/14 (Résumé du cours)

La série sur la finance computationnelle s'est terminée par un résumé complet des sujets importants abordés dans chaque conférence. Le cours couvrait un large éventail de sujets, y compris les équations différentielles stochastiques, les volatilités implicites, les diffusions de saut, la classe affine des processus de diffusion, les modèles de volatilité stochastique et les transformations de Fourier pour la tarification des options. Il s'est également penché sur des techniques numériques telles que les simulations de Monte Carlo et diverses stratégies de couverture.

Dans les conférences ultérieures, l'accent s'est déplacé vers les options de démarrage anticipé et les dérivés exotiques, où les connaissances acquises tout au long du cours ont été appliquées pour structurer ces produits financiers complexes. Les premières conférences ont fourni une introduction au cours et ont discuté des principes fondamentaux de l'ingénierie financière, des différents marchés et des classes d'actifs. La deuxième conférence a spécifiquement couvert divers types d'options et de stratégies de couverture, en mettant l'accent sur les matières premières, les devises et les crypto-monnaies.

La tarification des options d'achat et de vente et sa relation avec la couverture a été un thème central tout au long du cours. Le conférencier a souligné que le prix d'une stratégie de couverture doit toujours être équivalent au prix d'un dérivé pour éviter les opportunités d'arbitrage. Les aspects mathématiques de la modélisation de différentes classes d'actifs, y compris les prix des actifs et la mesure du caractère aléatoire, ont été discutés. Les processus stochastiques, les équations différentielles stochastiques et le lemme d'Itô ont été mis en évidence comme des outils essentiels pour la tarification des instruments financiers. Des simulations Python ont également été présentées, montrant comment les équations différentielles stochastiques peuvent simuler le comportement réel des mouvements de stock à des fins de tarification. Les avantages et les inconvénients du modèle Black-Scholes ont été abordés, en insistant sur la nécessité d'une perspective holistique pour assurer la cohérence de la gestion de portefeuille et des stratégies de couverture.

Les martingales ont été soulignées à plusieurs reprises comme un concept essentiel dans la tarification des options, et d'autres sujets importants abordés dans le cours comprenaient le modèle Black-Scholes, la volatilité implicite, la convergence de l'algorithme Newton-Raphson et les limites de la volatilité dépendante du temps. L'application pratique du codage Python pour vérifier si un processus simulé est une martingale et l'impact des mesures sur la dérive ont été explorés. Le cours a fourni un aperçu approfondi de la tarification d'options européennes simples, montrant comment différents modèles et mesures peuvent être utilisés pour calculer leurs prix.

Les limites du modèle Black-Scholes ont été discutées, en particulier en ce qui concerne l'incorporation de sauts dans le modèle. Bien que les sauts puissent améliorer le calibrage des surfaces de volatilité implicite et générer un biais, ils introduisent également de la complexité et réduisent l'efficacité de la couverture. Des modèles de volatilité stochastique, tels que le modèle Heston, ont été introduits pour améliorer la flexibilité du modèle dans l'étalonnage et la tarification des options exotiques. De plus, une technique de tarification rapide a été présentée comme une solution. La conférence a également décrit les conditions que les modèles ou les équations différentielles stochastiques doivent satisfaire pour être utilisés dans les modèles affines dans les transformations de Fourier.

Deux modèles importants d'évaluation des actions et des actions ont été discutés : la classe affine des processus de diffusion et le modèle de volatilité stochastique, en particulier le modèle de Heston. La classe affine des processus de diffusion permet un calibrage rapide des options européennes, tandis que le modèle Heston offre une flexibilité dans le calibrage de toute la surface des volatilités implicites des options européennes. La conférence a couvert les impacts et les avantages de la corrélation dans les modèles, la tarification des EDP et l'utilisation des transformations de Fourier pour la tarification lorsqu'un modèle appartient à la classe affine des processus. La compréhension et l'utilisation de ces modèles ont été soulignées comme des compétences précieuses en finance computationnelle.

La tarification des options européennes, en mettant l'accent sur les options d'achat et de vente, était au centre d'une autre conférence. L'utilisation d'une fonction caractéristique et la capacité de résoudre des systèmes d'ODE à valeurs complexes ont été soulignées, ainsi que l'importance des techniques numériques pour obtenir des solutions. L'équilibre entre un bon modèle et un étalonnage et une évaluation efficaces a été souligné pour les applications pratiques et l'acceptation par l'industrie. Les avantages de la méthode cos de la transformée de Fourier pour la tarification ont été discutés, ainsi que son implémentation dans Vital. Un étalonnage efficace et l'utilisation de simulations de Monte Carlo pour la tarification ont également été recommandés.

L'échantillonnage de Monte Carlo dans la tarification des produits dérivés exotiques a été largement exploré dans une autre conférence. Les défis posés par les dimensions multiples, la complexité des modèles et les coûts de calcul dans une tarification précise ont été relevés. La simulation de Monte Carlo a été présentée comme une approche de tarification alternative, axée sur la réduction des erreurs et l'amélioration de la précision. La conférence a couvert divers aspects de l'échantillonnage de Monte Carlo, y compris l'intégration, l'intégration stochastique et les méthodes d'étalonnage telles que les schémas d'Euler et de Milstein. L'évaluation de la fluidité des fonctions de gain et la compréhension des convertisseurs faibles et forts ont été soulignées comme cruciales pour garantir une tarification précise.

La conférence consacrée au modèle Heston a discuté de sa flexibilité dans l'étalonnage, de la modélisation de surface de volatilité implicite et de la simulation Monte Carlo efficace. La conférence a également abordé la simulation presque exacte du modèle Heston, qui est liée à la simulation exacte du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) pour le processus de variance. Bien que les méthodes de discrétisation d'Euler et de Milstein puissent rencontrer des problèmes avec le processus CIR, il existe des moyens efficaces d'effectuer la simulation. La conférence a souligné l'importance d'envisager un modèle réaliste pour la simulation, en particulier lorsqu'il s'agit de couverture delta et de prise en compte des sauts de marché.

Le concept de couverture en finance a été exploré en profondeur dans une vidéo distincte. La couverture consiste à réduire l'exposition au risque et aux pertes potentielles en gérant un portefeuille et en maintenant activement le contrat après qu'il a été négocié. La vidéo a souligné l'importance de la couverture, qui va au-delà de la tarification et englobe la gestion continue des risques jusqu'à l'échéance du contrat. La couverture delta et l'impact des sauts de marché ont été discutés, soulignant l'importance d'utiliser un modèle réaliste pour une simulation précise.

Les limites de la couverture delta ont été abordées dans une autre conférence, soulignant la nécessité d'envisager d'autres types de couverture, telles que la couverture gamma et vega, pour les dérivés plus complexes. Le calcul des sensibilités et des méthodes pour améliorer leur efficacité, y compris la différence finie, les sensibilités par voie et les quotients de vraisemblance, ont été couverts. La conférence s'est également penchée sur la tarification des options de démarrage anticipé et les défis associés à la tarification des options avec des stocks initiaux incertains. La valeur de l'option a été dérivée à l'aide de fonctions caractéristiques, et la conférence s'est terminée par une discussion sur les volatilités implicites et leur implémentation en Python.

La conférence sur les sauts supplémentaires dans les modèles financiers, en particulier le modèle Heston, a exploré leur impact sur le calibrage des paramètres et les stratégies de couverture. Les swaps de variance et les produits de volatilités ont également été discutés, en se concentrant sur la relation entre la représentation étrange, les contrats de swap de variance et les attentes conditionnelles utilisant la dynamique Black-Scholes. En outre, la conférence s'est penchée sur la structuration des produits à l'aide de diverses techniques telles que les options binaires et numériques, les options dépendantes du chemin, les options barrières et les options asiatiques. Il a également abordé la tarification des contrats impliquant plusieurs actifs. Cette conférence a servi de résumé des connaissances acquises tout au long du cours, fournissant une base pour aborder des dérivés plus avancés à l'avenir.

Dans la dernière partie, l'orateur a félicité les téléspectateurs pour avoir terminé avec succès les 14 conférences et acquis des connaissances en finance informatique, en ingénierie financière et en tarification des produits dérivés. Les téléspectateurs ont été encouragés à appliquer leur nouvelle expertise dans des contextes pratiques ou à envisager d'autres cours pour approfondir leurs connaissances. Le conférencier leur a souhaité une carrière réussie dans la finance, convaincu qu'ils étaient bien préparés pour leurs projets futurs.

• 00:00:00 cette section, le conférencier résume toute la série sur la finance computationnelle en mettant en évidence les sujets importants abordés dans chaque conférence. La série couvrait un large éventail de sujets de finance computationnelle, tels que les équations différentielles stochastiques, les volatilités implicites, les diffusions de saut, la classe affine des processus de diffusion, les modèles de volatilité stochastique et les transformations de Fourier pour la tarification des options. Le conférencier a également abordé les techniques numériques telles que les simulations de Monte Carlo et les stratégies de couverture. Les dernières conférences ont porté sur les options de démarrage anticipé et les dérivés exotiques, où l'orateur a appliqué les connaissances acquises tout au long du cours pour structurer ces produits. Les deux premières conférences ont fourni une introduction au cours et ont discuté des principes de l'ingénierie financière, des différents marchés et des classes d'actifs. Dans la deuxième conférence, l'orateur a couvert différents types d'options et de stratégies de couverture, en mettant l'accent sur les matières premières, les devises et les crypto-monnaies.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la façon d'effectuer la tarification des options d'achat et de vente et comment cela est lié à la couverture. Le principal point à retenir est que le prix d'une stratégie de couverture doit toujours être équivalent au prix d'un dérivé, sinon, il existe une opportunité d'arbitrage. La conférence aborde ensuite les mathématiques de la modélisation de différentes classes d'actifs, décrivant les prix des actifs et le caractère aléatoire et comment ce caractère aléatoire peut être mesuré. L'importance des processus stochastiques, des équations différentielles stochastiques et du lemme d'Itô dans la tarification des instruments financiers est soulignée. La conférence couvre également la simulation en Python et comment les équations différentielles stochastiques sont utilisées pour simuler le comportement réel d'un mouvement de stock et comment cela peut être utilisé pour la tarification. Les avantages et les inconvénients du modèle Black-Scholes sont discutés, et il est souligné qu'il faut avoir une vue d'ensemble à l'esprit lors de la tarification des dérivés pour assurer la cohérence du portefeuille et des stratégies de couverture.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier met en évidence certains des concepts clés abordés dans le cours sur la finance informatique. L'un des outils les plus importants utilisés dans la tarification des options est le concept de martingales, qui a été souligné à plusieurs reprises tout au long du cours. Parmi les autres sujets importants qui ont été abordés figurent le modèle Black-Scholes, la volatilité implicite, la convergence des algorithmes de Newton-Raphson et les limites de l'utilisation de la volatilité dépendante du temps. Les conférences ont également mis en évidence comment le codage en Python peut être utilisé pour vérifier si un processus simulé est une martingale et comment les mesures peuvent avoir un impact sur la dérive. Dans l'ensemble, ce cours a fourni un aperçu approfondi de la tarification d'options européennes simples et de la manière dont divers modèles et mesures peuvent être utilisés pour calculer leurs prix.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section de la vidéo, les limites du modèle Black-Scholes sont discutées, en particulier en ce qui concerne la manière dont les sauts peuvent être intégrés au modèle. L'inclusion de sauts peut améliorer l'étalonnage implicite de la surface de volatilité et générer un biais. Cependant, cela augmente également la complexité du modèle et réduit l'efficacité de la couverture. Pour ces raisons, les modèles de volatilité stochastique sont introduits comme un moyen d'augmenter la flexibilité du modèle pour mieux gérer l'étalonnage et la tarification des options exotiques, et une technique de tarification rapide est discutée comme solution. De plus, les conditions que les modèles ou les équations différentielles stochastiques doivent satisfaire pour être utilisés dans les modèles affines au sein de la transformation de Fourier sont décrites.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier discute de deux modèles importants pour la tarification des actions et des actions. Le premier modèle est la classe affine des processus de diffusion qui permet un calibrage rapide des options de type européen. Le deuxième modèle est le modèle de volatilité stochastique, plus précisément le modèle Heston, qui est suffisamment flexible pour se calibrer sur toute la surface des volatilités implicites des options de type européen. La conférence couvre également les impacts et les avantages de la corrélation des modèles, la tarification de l'EDP et comment y parvenir, ainsi que l'utilisation des transformations de Fourier pour la tarification une fois qu'un modèle appartient à la classe affine des processus. Dans l'ensemble, la conférence se concentre sur l'importance et les avantages de la compréhension et de l'utilisation de ces deux modèles en finance computationnelle.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la conférence, l'accent est mis sur la tarification des options de type européen, avec des appels et des options de vente comme concentration principale. L'utilisation d'une fonction caractéristique est discutée et l'importance d'être capable de résoudre un système de valeurs complexes ODEs est soulignée, ainsi que le besoin de techniques numériques pour obtenir des solutions. Il est souligné qu'il est crucial de trouver un équilibre entre avoir un bon modèle et être capable de le calibrer et de l'évaluer efficacement, car cela est essentiel pour les applications pratiques et l'acceptation dans l'industrie. Les avantages de l'utilisation de la méthode cos de la transformée de Fourier pour la tarification sont discutés et la mise en œuvre dans Vital est démontrée. Un étalonnage efficace est également crucial et l'utilisation de simulations de Monte Carlo pour la tarification est suggérée.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'accent est mis sur différents aspects de l'échantillonnage de Monte Carlo dans la tarification des dérivés exotiques. Les dimensions multiples, la complexité des modèles et les coûts de calcul peuvent rendre la tarification précise chronophage. La simulation de Monte Carlo est souvent utilisée comme approche de tarification alternative, ce qui nécessite de se concentrer sur la manière de réduire les erreurs et d'améliorer la précision. Le cours couvre différents aspects de l'échantillonnage de Monte Carlo, y compris l'intégration, l'intégration stochastique et les méthodes d'étalonnage telles que les schémas d'Euler et de Milstein. L'évaluation de la fluidité des fonctions de gain a également un impact sur la convergence, et la compréhension des convertisseurs faibles et forts est importante pour garantir une tarification précise.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, la vidéo traite de la flexibilité du modèle Heston dans l'étalonnage, la surface de volatilité de l'implant et la simulation efficace de Monte Carlo. La conférence aborde également la simulation presque exacte du modèle de Heston, qui est liée à la simulation exacte du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) pour le processus de variance. Bien que la discrétisation d'Euler et Milstein puisse avoir des problèmes avec le processus CIR, il existe des moyens efficaces d'effectuer la simulation CIR. La conférence soulève l'importance de la condition de défaillance concernant le processus CIR, mais ce n'est pas une préoccupation pour la représentation de l'échantillonnage conditionnel puisque la distribution exacte est connue.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, la vidéo aborde le concept de couverture en finance, qui consiste à réduire l'exposition au risque et aux pertes potentielles en maintenant un portefeuille et en prenant soin du contrat après qu'il a été négocié. La vidéo explique l'importance de la couverture, qui a lieu après la transaction et doit se poursuivre jusqu'à l'échéance du contrat. La vidéo souligne que la couverture est plus importante que la simple tarification, et chaque jour, le modèle doit bien fonctionner à des fins de couverture. La vidéo aborde également le concept de couverture delta et l'effet des sauts sur le marché, soulignant l'importance d'utiliser un modèle réaliste pour la simulation.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section, le conférencier discute des limites de la couverture delta et de l'importance de considérer d'autres types de couverture, comme la couverture gamma et vega pour les dérivés plus complexes. Le cours couvre également le calcul des sensibilités et les moyens d'améliorer leur efficacité, par exemple par le biais de différences finies, de sensibilités par voie et de quotients de vraisemblance. De plus, la conférence se penche sur la tarification des options de démarrage anticipé et la complexité associée à la tarification des options avec des stocks initiaux incertains. La fonction caractéristique a été utilisée pour dériver la valeur de l'option, et la conférence se termine par une discussion sur les volatilités implicites et leur implémentation en Python.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section, la conférence couvre l'inclusion de sauts supplémentaires dans la dynamique des modèles financiers, en particulier le modèle Heston, et comment cela affecte le calibrage des paramètres et la couverture. La conférence explore également les échanges de variance et le produit des volatilités, en mettant l'accent sur la relation entre la représentation étrange, le contrat d'échange de variance et les attentes conditionnelles à l'aide de la dynamique Black-Scholes. En outre, la conférence aborde la structuration de produits à l'aide de diverses techniques telles que les options binaires et numériques, les options dépendantes du chemin, les options barrières et les options asiatiques, ainsi que la tarification des contrats impliquant plusieurs actifs. En fin de compte, la conférence sert de résumé des connaissances acquises tout au long du cours et fournit une base pour des dérivés plus avancés à l'avenir.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section, l'orateur félicite les téléspectateurs d'avoir suivi les 14 conférences et d'avoir acquis des connaissances sur la finance informatique, l'ingénierie financière et la tarification des produits dérivés. L'orateur suggère que cette réalisation prépare les téléspectateurs à travailler dans l'industrie ou à poursuivre d'autres cours pour acquérir plus de connaissances. L'orateur souhaite aux téléspectateurs une carrière réussie dans la finance.

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Cours d'Ingénierie Financière : Cours 1/14, (Introduction et aperçu du cours)

Cours d'Ingénierie Financière : Cours 1/14, (Introduction et aperçu du cours)

L'instructeur commence par présenter le cours sur l'ingénierie financière, en soulignant ses objectifs et ses principaux domaines d'intérêt. Le cours vise à approfondir les taux d'intérêt et les multiples classes d'actifs telles que le change et l'inflation. L'objectif ultime est que les étudiants construisent un portefeuille multi-actifs composé de produits linéaires et acquièrent des compétences dans l'exécution de xva et de calculs de valeur à risque. Une connaissance préalable des équations différentielles stochastiques, de la simulation numérique et des méthodes numériques est nécessaire pour s'engager pleinement dans le matériel de cours.

La structure du cours est décrite, comprenant 14 conférences accompagnées de devoirs à la fin de chaque session. Le langage de programmation utilisé tout au long du cours est Python, permettant la mise en œuvre pratique et l'application des concepts abordés.

L'orateur insiste sur le caractère pratique du cours sur la finance computationnelle. Bien que les connaissances théoriques soient couvertes, l'accent est mis sur l'efficacité de la mise en œuvre et sur la fourniture d'exemples de code Python pour chaque cours. Les supports de cours sont autonomes, bien qu'ils soient basés sur le livre "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". La conférence donne également un aperçu de la feuille de route du cours, donnant aux étudiants une compréhension claire des sujets qui seront abordés dans chacune des 14 conférences.

La première conférence vise à donner un aperçu de l'ensemble du cours et à souligner l'importance des concepts abordés dans la réalisation de l'objectif ultime d'effectuer des calculs xva et var.

Le conférencier donne ensuite un aperçu détaillé des sujets qui seront abordés tout au long du cours d'ingénierie financière. Ceux-ci incluent divers modèles tels que des modèles à deux facteurs entièrement blancs et entièrement blancs, des mesures, des filtrations et des modèles stochastiques. La tarification des produits de taux d'intérêt, y compris les produits linéaires et non linéaires comme les swaptions, est un objectif clé. Le cours couvre la construction de courbes de rendement, la construction de courbes multiples, les points de colonne vertébrale et la sélection de méthodes d'interpolation à l'aide de codes Python. Les autres sujets abordés incluent les taux d'intérêt négatifs, les options, les hypothèques et les remboursements anticipés, le change, l'inflation, la simulation de Monte Carlo pour les multi-actifs, les modèles de marché, les ajustements de convexité, les calculs d'exposition et les mesures d'ajustement de valeur telles que cva, bcva et fva.

La gestion des risques devient un point central au fur et à mesure que le cours progresse, et la conférence 13 est consacrée à la mesure des risques à l'aide du codage et de l'analyse des données historiques. La conférence 14 sert de résumé de tout ce qui a été appris tout au long du cours.

La deuxième conférence se concentre sur les filtrations et les changements de mesure, y compris les attentes conditionnelles et la simulation en Python. Les étudiants participeront à des exercices pratiques pour simuler des attentes conditionnelles et explorer les avantages et la simplification des problèmes de tarification en utilisant des changements de mesure.

Dans les conférences suivantes, l'instructeur donne un aperçu du cadre du modèle de détournement, des modèles d'équilibre par rapport à la structure à terme et de la dynamique de la courbe de rendement. Les cours portent sur les débits courts et la simulation de modèles à travers des simulations Monte Carlo en Python. La comparaison entre les modèles à un facteur et à deux facteurs est discutée, avec une exploration des extensions multifactorielles. Une expérience vidéo est menée pour analyser l'indice S&P, le taux court implicite par la Fed et la dynamique de la courbe des taux.

La simulation des courbes de taux est explorée pour observer l'évolution des taux d'intérêt dans le temps et les comparer avec des modèles stochastiques. Les sujets abordés incluent l'affinité d'un modèle Fulbright, la simulation exacte, la construction et la tarification des produits de taux d'intérêt, et le calcul des flux de trésorerie incertains dans des exemples de swap.

La conférence sur la construction d'une courbe de rendement couvre la relation entre les courbes de rendement et les swaps de taux d'intérêt, les accords de taux à terme et la tarification des dérivés. Les différentes formes de courbe de rendement et leur pertinence par rapport aux situations de marché sont expliquées. Les volatilités implicites et les calculs des points de colonne vertébrale sont discutés, ainsi que les routines d'interpolation et l'extension des courbes de rendement uniques aux approches multi-courbes. Les aspects pratiques de la construction de courbes de rendement à l'aide d'expériences Python et de leur connexion aux instruments du marché sont soulignés.

Le conférencier explore des sujets liés à l'ingénierie financière, y compris la tarification des swaptions selon le modèle Black-Scholes et les options utilisant le modèle full white ou tout autre modèle à taux court. L'astuce de Jamshidian et les expériences Python sont expliquées. Le cours couvre également des concepts tels que les taux d'intérêt négatifs, les volatilités implicites décalées log-normales et l'impact des paramètres de décalage sur les formes de volatilité implicite. De plus, la conférence se penche sur le remboursement anticipé des hypothèques et son effet sur la position et la couverture du point de vue d'une banque.

Les hypothèques in fine sont introduites et les flux de trésorerie associés et les déterminants du remboursement anticipé sont expliqués. La conférence met en évidence l'impact des remboursements anticipés sur les portefeuilles de prêts hypothécaires et établit un lien entre l'incitation au refinancement et les observables du marché. En outre, le risque de pipeline et sa gestion par les institutions financières sont discutés.

Le cours passe à la modélisation simultanée de plusieurs classes d'actifs, ce qui permet de simuler les risques futurs potentiels pouvant affecter le portefeuille. Les corrélations entre différentes classes d'actifs sont examinées et l'importance des modèles hybrides à des fins de gestion des risques est soulignée, même si l'intérêt pour les dérivés exotiques peut diminuer.

Des modèles hybrides pour les ajustements de valorisation des prix (XVA) et la valeur à risque sont explorés, ainsi que des extensions impliquant une volatilité stochastique. Le cours couvre les modèles hybrides adaptés à un environnement XVA, y compris la dynamique des actions et les taux d'intérêt stochastiques. Les modèles de volatilité stochastique, tels que le modèle Heston, sont abordés dans le deuxième bloc, abordant la manière d'intégrer les taux d'intérêt stochastiques qui sont corrélés avec le processus boursier. La conférence se penche également sur le change et l'inflation, discutant de l'histoire et du développement des devises flottantes, des contrats de change à terme, des swaps de devises et des options de change. L'impact des changements de mesure sur la dynamique des processus est également examiné, dans le but ultime de fixer le prix des contrats définis sous différents actifs dans diverses classes d'actifs et de calculer les expositions et les mesures de risque.

L'instructeur couvre des sujets supplémentaires liés à l'ingénierie financière, y compris l'élément de correction quantique présent dans la volatilité stochastique et la tarification des options FX avec des taux d'intérêt stochastiques. Le concept d'inflation est exploré, en retraçant son évolution d'une définition monétaire à une définition basée sur les biens. Les modèles de marché tels que le modèle de marché LIBOR et les ajustements de convexité sont discutés, offrant une perspective historique sur l'évolution des taux d'intérêt et la motivation des modèles de marché tels que le modèle de marché LIBOR dans le cadre HJM. La conférence se penche également sur les modèles de marché LIBOR log-normal, la volatilité stochastique et la dynamique du sourire et du biais dans le modèle de marché LIBOR.

Diverses techniques utilisées dans la tarification des produits financiers sont abordées, en mettant l'accent sur la tarification neutre au risque et le modèle Black-Scholes. L'enseignant met en garde contre l'utilisation abusive de techniques risquées, telles que la technique du gel, et souligne l'importance de la correction de la convexité dans les cadres de tarification. Les étudiants apprendront à reconnaître la nécessité d'une correction de la convexité et à intégrer les mouvements des taux d'intérêt ou le sourire et le biais du marché dans les problèmes de tarification. La section se termine en couvrant les simulations XVA, y compris CVA, BCVA, VA et FVA, et le calcul des expositions attendues, des expositions futures potentielles et des vérifications d'intégrité à l'aide de simulations Python.

L'instructeur revient sur les sujets abordés dans le cours d'ingénierie financière, y compris la tarification des dérivés, l'importance de la découverte des prix, les aspects pratiques des attributions commerciales et les mesures de gestion des risques telles que la valeur à risque et le déficit attendu. L'accent reste mis sur les applications pratiques, telles que la construction d'un portefeuille de swaps de taux d'intérêt et l'utilisation des connaissances de la construction de la courbe de rendement pour estimer la VAR et le manque à gagner attendu grâce aux résultats de simulation. La conférence aborde également les défis liés aux données manquantes, à l'arbitrage et au reclassement dans le calcul VAR à l'aide de la simulation Monte Carlo.

Dans la conférence finale, le conférencier discute des back-tests et des tests du moteur VAR. Tout en reconnaissant que le cours s'étendra au-delà des 14 premières semaines, l'instructeur exprime sa confiance dans le parcours d'apprentissage complet et agréable. Les conférences enregistrées guideront les étudiants vers le sommet de la compréhension des ajustements d'évaluation (XVA) et du calcul de la valeur à risque.

• 00:00:00 Dans cette section de la vidéo, l'instructeur présente le cours sur l'ingénierie financière et décrit ses principaux objectifs, notamment en se concentrant sur les taux d'intérêt et plusieurs classes d'actifs telles que le change et l'inflation. L'objectif du cours est que les étudiants construisent un portefeuille multi-actifs composé de produits linéaires et effectuent des calculs de xva et de valeur à risque. Une connaissance préalable des équations différentielles stochastiques, de la simulation numérique et des méthodes numériques est requise. La charge de travail consiste en 14 cours magistraux avec des devoirs donnés à la fin de chaque cours, et le langage de programmation utilisé est Python.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, l'orateur présente le cours sur la finance informatique, en mettant l'accent sur sa mise en œuvre pratique et la construction d'un portefeuille à l'aide de calculs de valeur à risque et de xva. Le cours couvre également les connaissances théoriques, l'efficacité de la mise en œuvre et fournit du code Python pour chaque cours. L'orateur explique que le matériel du cours est autonome, bien qu'il soit basé sur le livre "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". La feuille de route du cours est discutée, donnant un aperçu des sujets qui seront abordés dans les 14 conférences. Le premier cours se concentre sur la vue d'ensemble du cours et son importance dans la réalisation de l'objectif ultime des calculs xva et var.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, le conférencier donne un aperçu des sujets qui seront abordés dans le cours d'ingénierie financière. Le cours couvrira divers modèles tels que les modèles à deux facteurs full white et full white, les mesures, les filtrations et les modèles stochastiques. Ils se concentreront sur la tarification des produits de taux d'intérêt tels que les produits linéaires et non linéaires, y compris les swaptions. Le cours détaillera la construction de la courbe de rendement, comment construire une courbe de rendement, construire des courbes multiples, des points de colonne vertébrale et comment choisir l'interpolation à l'aide de codes Python. La conférence aborde ensuite des sujets tels que les taux d'intérêt négatifs, les options, les hypothèques et les remboursements anticipés, le change, l'inflation, le moteur de Monte Carlo pour les multi-actifs, les modèles de marché, les ajustements de convexité, les calculs d'exposition et les mesures d'ajustement de valeur telles que cva, bcva , et fva.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section du cours, l'accent est mis sur la gestion des risques et sur la manière de mesurer et de gérer les risques du point de vue d'un gestionnaire de risques. La leçon 13 couvrira la mesure des risques à l'aide du codage et de l'analyse des données historiques, tandis que la leçon 14 résumera tout ce qui a été appris dans le cours. La deuxième conférence couvrira le concept de filtrations et de changements de mesure, y compris les attentes conditionnelles et la simulation en Python. La conférence comprendra également des exercices pratiques sur la façon de simuler des anticipations conditionnelles et comment utiliser les changements de mesure pour bénéficier et simplifier les problèmes de tarification.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, l'instructeur décrit les sujets à couvrir dans plusieurs conférences à venir. La conférence est divisée en deux blocs, le premier bloc étant axé sur la discussion de l'historique et des hypothèses du cadre du modèle de détournement et de son lien avec les modèles d'équilibre par rapport aux modèles de structure à terme. Le deuxième bloc examine la dynamique de la courbe de rendement et les taux courts, en simulant des modèles via des simulations Monte Carlo en Python. Les modèles à deux facteurs sont comparés au modèle à un facteur, mettant en évidence les extensions possibles aux multi-facteurs. De plus, une expérience vidéo est réalisée pour examiner l'indice S&P, le taux court implicite par la Fed et la dynamique de la courbe des taux.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la vidéo, l'instructeur aborde la simulation des courbes de rendement et comment elle peut être utilisée pour observer l'évolution des taux d'intérêt dans le temps, qui peut être comparée à des modèles stochastiques. La conférence est divisée en deux parties, la première partie couvrant l'affinité d'un modèle fulbright et d'une simulation exacte, tandis que la seconde partie se concentre sur la construction et la tarification de différents produits de taux d'intérêt sur le marché. L'instructeur insiste également sur l'importance de comprendre comment évaluer les produits de taux d'intérêt car ils servent de blocs de construction pour construire une courbe de rendement, dans le but ultime de simuler des chemins de Monte Carlo multicolores pour un modèle et de calibrer ce modèle sur les marchés d'options. Un swap est utilisé comme exemple pour illustrer comment la séquence des flux de trésorerie provenant de l'échange de taux fixes et variables est incertaine et comment elle peut être calculée.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section de la vidéo, l'instructeur discute des éléments constitutifs d'une courbe de rendement et de leur relation avec les swaps de taux d'intérêt, les accords de trading à terme et la tarification des dérivés. Il explique les formes possibles d'une courbe de rendement et leur pertinence par rapport aux situations de marché, ainsi que le concept de volatilités implicites et le calcul des points de colonne vertébrale pour construire une courbe de rendement. L'instructeur souligne également l'importance des routines d'interpolation pour les courbes de rendement et discute de l'extension d'une courbe de rendement unique à une approche à plusieurs courbes. Cette section met l'accent sur les aspects pratiques de la construction d'une courbe de rendement à l'aide d'expériences Python et de leur connexion avec des instruments de marché.
  
  
• 00:35:00 Dans cette partie du cours, le conférencier aborde divers sujets liés à l'ingénierie financière. Le premier bloc couvre la tarification des swaptions selon le modèle Black-Scholes, tandis que le deuxième bloc couvre les options de tarification en utilisant un modèle à taux large ou tout modèle à taux court. Le célèbre tour de Jamshidian et les expériences Python sont également expliqués dans cette section. Le concept de taux d'intérêt négatifs, de volatilités implicites décalées log-normales et l'impact du paramètre de décalage sur les formes de volatilité implicite sont également mis en évidence. En outre, la conférence couvre les remboursements anticipés d'hypothèques et l'impact des remboursements anticipés sur la position et la couverture du point de vue d'une banque.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier présente le concept des hypothèques bullet et explique les flux de trésorerie associés et les déterminants du remboursement anticipé. Ils discutent également de l'impact des remboursements anticipés sur le portefeuille de prêts hypothécaires et relient l'incitation au refinancement aux observables du marché. La conférence couvre également le risque de pipeline et sa gestion par les institutions financières. À l'avenir, le conférencier parle de la modélisation simultanée de plusieurs classes d'actifs, ce qui fournit une base pour simuler des scénarios possibles de risques futurs pouvant affecter le portefeuille. Les corrélations entre les différentes classes d'actifs seront importantes et les modèles hybrides seront toujours utiles à des fins de gestion des risques, malgré le déclin de l'intérêt pour les dérivés exotiques.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la vidéo, le conférencier discute de l'utilisation de modèles hybrides pour la tarification des ajustements de valorisation et de la valeur à risque, ainsi que des extensions à volatilité stochastique. Le premier bloc couvre les modèles hybrides qui peuvent être utilisés pour l'environnement XVA, y compris la dynamique des stocks et les taux d'intérêt stochastiques. Le deuxième bloc se concentre sur les modèles de volatilité stochastique tels que le modèle Heston et sur la manière d'inclure les taux d'intérêt stochastiques qui sont corrélés avec le processus boursier lui-même. La conférence se penche également sur le change et l'inflation, y compris l'histoire et le développement des devises flottantes, des contrats de change à terme, des swaps de devises et des options sur FX. Le concept de changement de mesure joue un rôle dans la dynamique des processus après la discussion des changements de mesure. En fin de compte, l'objectif est d'être en mesure d'évaluer les contrats définis pour différents actifs dans différentes classes d'actifs et de calculer les expositions et les mesures de risque.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, l'instructeur couvre des sujets tels que l'élément de correction quantique présent dans la volatilité stochastique, la tarification des options FX avec des taux d'intérêt stochastiques et le concept d'inflation. L'exposé expliquera l'évolution de la définition de l'inflation, passant d'une définition monétaire à une définition basée sur les biens. La conférence couvrira également des modèles de marché tels que le modèle de marché LIBOR et les ajustements de convexité. L'instructeur fournira un historique de l'évolution des taux d'intérêt et expliquera la motivation derrière les modèles de marché comme le modèle de marché LIBOR en utilisant le cadre HJM. Les spécifications des modèles de marché LIBOR log-normal, la volatilité stochastique, et le smile and skews sur le modèle de marché LIBOR seront également discutés.
  
  
• 00:55:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, l'instructeur aborde diverses techniques utilisées dans la tarification des produits, y compris la tarification sans risque et le modèle Black-Scholes. Il met également en garde contre l'abus de techniques risquées, telles que la technique du gel, et souligne l'importance de la correction de la convexité dans les cadres de tarification. Le cours explique comment reconnaître la nécessité d'une correction de convexité et comment inclure l'ensemble du taux d'intérêt ou du smile and skew présent sur le marché pour résoudre le problème. La section se termine en discutant des simulations xva, y compris cva, bca, va et fva, et comment calculer les expositions attendues, les expositions futures potentielles et les vérifications d'intégrité à l'aide de simulations Python.
  
  
• 01:00:00 Dans cette section, l'instructeur décrit les sujets qui seront abordés dans ce cours d'ingénierie financière, y compris la tarification des dérivés et l'importance de la découverte des prix, les aspects pratiques des attributions commerciales et les mesures de gestion des risques telles que la valeur à risque et manque à gagner attendu. L'accent est mis sur les applications pratiques, y compris la construction d'un portefeuille de swaps de taux d'intérêt et l'utilisation des connaissances sur la construction de courbes de rendement pour estimer la var et le manque à gagner attendu grâce aux résultats de simulation. L'instructeur aborde également les problèmes de données manquantes, d'arbitrage et de reclassement liés au calcul var avec la simulation de Monte Carlo.
  
  
• 01:05:00 Dans cette section, le conférencier discute de la dernière conférence du cours, qui porte sur le back-testing et le test du moteur VAR. Il mentionne également que le cours prendra plus de 14 semaines à compléter, mais il sera fait dans un style génial, en construisant chaque conférence dans des connaissances supplémentaires pour soutenir l'objectif ultime, qui est les ajustements d'évaluation XVA et le calcul de la valeur à risque. Le parcours a déjà été enregistré et le conférencier exprime sa confiance qu'il atteindra le sommet de la montagne lors d'une visite agréable.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 1/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 1/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Dans la conférence, l'instructeur se penche sur le modèle Black-Scholes avec des sauts stochastiques, présentant son application dans la tarification des produits dérivés. L'incorporation d'attentes conditionnelles est mise en évidence comme un moyen d'améliorer la précision du modèle. De plus, le concept de numéraires et les changements de mesure sont explorés, démontrant comment le passage d'un numéraire à l'autre peut améliorer les résultats de tarification. Cette section souligne l'importance de la filtration, des attentes et des changements de mesure, en particulier dans le domaine des taux d'intérêt.

Développant le sujet, le professeur souligne le rôle central des mesures, des filtrages et des attentes dans la tarification. Ils illustrent comment des mesures, telles que les stocks, peuvent être utilisées efficacement dans les processus de tarification, tandis que les changements de mesure aident à réduire la complexité des problèmes de tarification. Le cours approfondit la notion de mesure prospective, communément associée à l'actualisation stochastique. Les filtrages sont expliqués en tant que principes fondamentaux pour comprendre le temps, les profils d'exposition et les profils de risque. De plus, la définition d'un processus stochastique et l'importance de la filtration dans l'interprétation des données de marché et l'anticipation des réalisations futures sont introduites.

À l'avenir, le concept de filtrations et de mesures est examiné en profondeur. Les filtrations peuvent concerner le présent ou s'étendre dans le futur, ce qui nécessite une distinction claire lorsqu'il s'agit de processus stochastiques. Le passé représente une trajectoire singulière de l'histoire d'un stock, tandis que la stochasticité du futur peut être modélisée par des équations différentielles stochastiques et des simulations. Bien que le cours se concentre principalement sur les filtrations jusqu'à présent (t0), il se penche ensuite sur l'exploitation des futures filtrations pour une efficacité de calcul améliorée. Il devient possible de simuler des scénarios futurs et de développer divers résultats. Cependant, compte tenu de l'incertitude inhérente, il reste difficile de déterminer le scénario le plus réaliste. L'estimation de la distribution des résultats implique l'utilisation de données historiques et de techniques d'étalonnage associées à la mesure p.

La conférence se penche ensuite sur les mesures et les filtrages, soulignant les rôles distincts de la mesure Q dans la tarification et la gestion des risques, et de la mesure P principalement dans la gestion des risques. Lorsque les deux mesures sont utilisées, la génération de scénarios futurs pour les profils de risque devient impérative en raison du caractère non unique de la pertinence de l'une ou l'autre des mesures. De plus, au fil du temps, l'accumulation des connaissances historiques conduit à des filtrages plus larges. Cependant, il est également essentiel de maintenir une compréhension de la mesurabilité et de reconnaître l'incertitude des quantités stochastiques à des moments futurs spécifiques.

L'enseignant procède à une discussion sur les filtrations et les mesures dans le cadre de l'ingénierie financière. Notamment, ils soulignent que la mesurabilité n'implique pas la constance ; il désigne plutôt une quantité stochastique. Les filtrages élucident l'étendue des connaissances disponibles à chaque instant, s'étendant au fur et à mesure que l'on avance dans le temps en raison des connaissances accumulées. Alors que les filtrages et les changements de mesure peuvent être des outils puissants dans la modélisation financière, leur utilisation inappropriée peut entraîner des problèmes importants. Ainsi, il est crucial de comprendre comment utiliser efficacement ces outils et naviguer dans le temps pour éviter les erreurs de modélisation. La section se termine par un aperçu du processus de calibrage dans la modélisation financière, qui peut être déduit de données historiques ou d'instruments de marché.

Le concept de processus adaptés est introduit, se référant à des processus qui reposent uniquement sur des informations disponibles jusqu'à un moment donné, sans tenir compte des réalisations futures. Des exemples de processus adaptés englobent le mouvement brownien et la détermination de la valeur maximale d'un processus dans une période de temps spécifique. A l'inverse, les processus non adaptés reposent sur des réalisations futures. La conférence présente également la propriété de la tour, un outil puissant de tarification, qui établit une relation entre les champs sigma, les filtrations et les attentes.

L'attente conditionnelle est considérée comme un outil puissant en ingénierie financière, en particulier lorsqu'il s'agit de fonctions impliquant deux variables. La propriété d'attente de la tour est utilisée pour conditionner les attentes et calculer les attentes externes et internes imbriquées. Cette propriété trouve une application dans les simulations, permettant le calcul analytique de certaines composantes du problème qui peuvent être appliquées aux modèles de tarification des options de la blockchain, en utilisant notamment des équations différentielles stochastiques et des filtrations spécifiques. La définition de l'espérance conditionnelle est explorée, incorporant une équation intégrale.

L'enseignant insiste sur l'importance des anticipations conditionnelles et des filtrations en ingénierie financière. Ils soulignent que si une variable aléatoire peut être conditionnée et que sa réponse est connue analytiquement, l'espérance extérieure peut être calculée par échantillonnage pour l'espérance intérieure. Cependant, en finance, il est rare de posséder une connaissance analytique des densités conditionnelles ou des densités bidimensionnelles. L'enseignant insiste sur l'importance d'utiliser correctement les attentes conditionnelles dans le codage, car elles restent des quantités stochastiques du point de vue du présent. En outre, ils discutent des avantages de l'incorporation d'une solution analytique pour une partie du modèle dans un contexte de simulation, car cela peut entraîner une amélioration de la convergence. Pour illustrer ces concepts, l'enseignant donne un exemple de calcul de l'espérance extérieure d'un mouvement brownien.

En avançant, le conférencier plonge dans l'attente d'un point futur dans le temps, soulignant sa complexité par rapport aux cas où l'attente est au temps zéro. Ils expliquent que ce scénario nécessite plusieurs chemins et des simulations de Monte Carlo imbriquées pour chaque chemin, impliquant des sous-simulations pour les attentes conditionnelles. Cette complexité est due à la propriété des incréments indépendants, où le mouvement brownien peut toujours être exprimé comme la différence entre ses valeurs à deux instants différents, t et s.

Se concentrant sur les simulations de Monte Carlo, l'orateur discute de la construction du mouvement brownien pour simuler la valeur d'option d'une action. Ils explorent deux types de martingales et introduisent la méthode de Monte Carlo imbriquée pour calculer l'espérance conditionnelle d'une option d'achat d'actions. La simulation consiste à générer un chemin jusqu'au temps s et à effectuer des sous-simulations pour chaque chemin afin d'évaluer l'espérance à ce moment. Ce processus implique le calcul de l'espérance conditionnelle d'une réalisation spécifique à l'instant s pour chaque chemin. L'erreur est alors mesurée comme la différence entre l'espérance conditionnelle et la valeur du chemin à l'instant s. La normalisation du mouvement brownien garantit qu'il est construit à l'aide d'incréments indépendants, ce qui facilite l'application des propriétés souhaitées dans une simulation de Monte Carlo.

Enfin, l'orateur souligne que si la simulation du mouvement brownien peut sembler simple et rentable, l'incorporation d'une attente conditionnelle nécessite une approche Monte Carlo imbriquée, qui consiste à effectuer plusieurs simulations du mouvement brownien pour chaque chemin. Par conséquent, ce processus peut prendre du temps.

En conclusion, la conférence couvre en détail des sujets liés aux mesures, aux filtrations, aux attentes conditionnelles et aux simulations de Monte Carlo en ingénierie financière. L'importance de ces concepts dans la tarification des produits dérivés, la gestion des risques et l'étalonnage des modèles est soulignée tout au long. En comprenant les principes sous-jacents à ces outils et techniques, les professionnels de la finance peuvent améliorer la précision de leur modélisation et résoudre efficacement les problèmes complexes de tarification.

• 00:00:00 L'instructeur démontrera l'utilisation du modèle Black-Scholes avec des sauts stochastiques et comment cela peut être amélioré en incorporant des attentes conditionnelles. Le concept de numéraires et les changements de mesure seront également abordés, ce qui implique de changer les mesures entre différents numéraires pour obtenir de meilleurs résultats. Dans l'ensemble, la section met l'accent sur l'importance de la filtration, des anticipations et mesure les changements dans les prix des produits dérivés, en particulier dans le monde des taux d'intérêt.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le professeur discute de l'importance des mesures, des filtrages et des attentes en matière de tarification. Il explique comment une mesure, telle qu'un stock, peut être utilisée dans la tarification, et comment les changements de mesure peuvent être utilisés pour réduire la dimensionnalité des problèmes de tarification. Le concept d'une mesure prospective, qui est généralement associée à l'actualisation stochastique, est également exploré. La section met en évidence les principes clés des filtrations et la façon dont ils font partie intégrante de la compréhension du temps, des profils d'exposition et des profils de risque. En outre, la définition d'un processus stochastique et le concept de filtration dans la compréhension des données du marché et des réalisations futures sont introduits.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section de la conférence, le concept de filtrations et de mesures est discuté. Les filtrations peuvent être actuelles ou futures, et il est essentiel de faire la distinction entre les deux lorsqu'il s'agit de processus stochastiques. Le passé est un chemin unique de l'histoire d'un stock, et la stochasticité du futur peut être décrite à l'aide d'équations différentielles et de simulations stochastiques. Le cours considère principalement les filtrations jusqu'à aujourd'hui (t0), mais plus tard, il traite de l'utilisation des filtrations pour l'avenir pour extraire l'efficacité de calcul. Il est possible de simuler l'avenir et de développer des scénarios qui représentent de nombreux résultats possibles. Cependant, il n'est pas possible de savoir quel scénario est le plus réaliste car il y a toujours de l'incertitude. La distribution des résultats peut être estimée à l'aide de données historiques et calibrée à l'aide de la régression ou d'autres techniques associées à la mesure p.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le concept de mesures et de filtrations est abordé. La mesure Q est principalement associée à la tarification et à la gestion des risques, tandis que la mesure P est principalement utilisée pour la gestion des risques. La génération de scénarios futurs pour le profil de risque est essentielle lorsque les deux mesures sont utilisées, car il est difficile de déterminer la pertinence de l'une ou l'autre des mesures car elles ne sont pas uniques. De plus, l'augmentation du temps conduit à plus de connaissances historiques, ce qui entraîne une filtration plus importante à mesure que les connaissances augmentent. Cependant, la mesurabilité est également cruciale, et nous devons comprendre l'incertitude des quantités stochastiques à des moments particuliers dans le futur.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept de filtrations et de mesures en ingénierie financière. Il est important de noter que mesurable ne signifie pas constant, car il s'agit toujours d'une quantité stochastique. La filtration vous indique combien de connaissances vous avez à chaque instant donné, et à mesure que vous avancez dans le temps, les filtrations deviennent plus grandes en raison des connaissances accumulées. Les filtres et les changements de mesure peuvent être des outils puissants dans la modélisation financière, mais s'ils sont utilisés de manière inappropriée, ils peuvent causer des problèmes majeurs. Il est essentiel de savoir utiliser ces outils et voyager dans le temps pour ne pas se tromper de modélisation financière. Le conférencier termine la section en décrivant le processus de calibrage dans la modélisation financière et comment il peut être déduit de données historiques ou d'instruments de marché.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section, le concept de processus adaptés est discuté, qui fait référence à l'idée qu'un processus ne regarde pas vers l'avenir mais s'appuie uniquement sur les informations connues jusqu'à ce moment. Des exemples de processus adaptés incluent le mouvement brownien et la recherche de la valeur maximale d'un processus dans un certain laps de temps, tandis que des exemples de processus non adaptés incluent ceux qui reposent sur des réalisations futures. La propriété de la tour, qui est un puissant outil de tarification, est également introduite et implique une relation entre un champ sigma, des filtrations et des attentes.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, le concept d'espérance conditionnelle est discuté comme un outil puissant en ingénierie financière, en particulier lorsqu'il s'agit de fonctions de deux variables. La propriété d'attente de la tour est utilisée pour conditionner les attentes et calculer une attente externe et une attente interne imbriquée. Cette propriété peut être utilisée dans des simulations, où des parties du problème peuvent être calculées analytiquement et appliquées à des modèles de tarification d'options blockchain, en particulier en utilisant des équations différentielles stochastiques et des filtrations spécifiques. La définition de l'espérance conditionnelle est également explorée avec une équation intégrale.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section, le conférencier aborde le concept d'anticipations conditionnelles et de filtrations en ingénierie financière. Ils soulignent que si une variable aléatoire peut être conditionnée et que la réponse est connue analytiquement, l'espérance extérieure peut être calculée en effectuant l'échantillonnage pour l'espérance intérieure. Or, en finance, il est rare de connaître analytiquement les densités conditionnelles ou les densités bidimensionnelles. Ils soulignent également l'importance d'utiliser correctement les anticipations conditionnelles dans les codes car ce sont encore des quantités stochastiques du point de vue actuel. De plus, le conférencier parle des avantages d'imposer une solution analytique à une partie du modèle dans un sens de simulation et comment cela peut entraîner une meilleure convergence. Enfin, ils fournissent un exemple de calcul de l'espérance extérieure d'un mouvement brownien.
  
  
• 00: 40: 00 Dans cette section, le conférencier discute d'une attente d'un point futur dans le temps, ce qui est beaucoup plus complexe que le cas où l'attente est au temps zéro. Le conférencier explique que cela nécessite plusieurs chemins et des simulations de Monte Carlo imbriquées pour chaque chemin, ce qui implique d'effectuer des sous-simulations pour chaque chemin et de prendre des attentes conditionnelles. L'enseignant explique également que cela est lié au fait que le mouvement brownien peut toujours s'écrire comme un mouvement brownien à l'instant t moins le mouvement brownien à l'instant s, en utilisant la propriété des incréments indépendants.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur discute des simulations de Monte Carlo et de la construction du mouvement brownien pour simuler la valeur d'option d'une action. Deux types de martingales sont explorés, y compris la méthode de Monte Carlo imbriquée pour calculer l'espérance conditionnelle d'une option d'achat d'actions. L'orateur illustre la simulation d'un chemin jusqu'à l'instant s et la sous-simulation pour que chaque chemin prenne l'attente à cet instant. L'espérance est l'espérance conditionnelle d'une réalisation particulière à l'instant s, qui est répétée pour chaque chemin. L'erreur est calculée comme la différence entre l'espérance conditionnelle et le chemin au temps s. La normalisation du mouvement brownien garantit qu'il est construit à partir d'incréments indépendants, ce qui facilite l'application des propriétés sur une simulation de Monte Carlo.
  
  
• 00:50:00 Dans cette section de la vidéo, l'orateur discute de la simulation du mouvement de course et souligne que bien que simple et bon marché, s'il y a une attente conditionnelle impliquée, cela nécessite un multicolore imbriqué qui implique plusieurs simulations de mouvement brownien. Cela signifie que pour chaque chemin, une simulation imbriquée doit être effectuée, ce qui peut s'avérer chronophage.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 2/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 2/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Bienvenue à tous à la séance d'après-pause. Aujourd'hui, nous allons continuer avec le deuxième bloc de la conférence 2 du cours d'ingénierie financière. Dans ce bloc, nous allons nous plonger dans les prix et les taux d'intérêt de XVA, en nous concentrant sur des concepts avancés.

Auparavant, nous avons discuté du concept de filtration et des attentes conditionnelles, ainsi que d'un exercice et d'une simulation en Python. Maintenant, nous allons explorer des attentes supplémentaires qui sont plus avancées que les expériences que nous avons menées précédemment. Plus précisément, nous nous concentrerons sur la tarification des options et tirerons parti des outils d'anticipation conditionnelle pour améliorer la convergence dans les simulations de Monte Carlo. De plus, je vous présenterai le concept de numéraire et son utilité dans la tarification des produits dérivés.

Dans ce bloc, nous utiliserons non seulement le concept de numéraire mais aussi le théorème de Girsanov pour transformer la dynamique du modèle Black-Scholes de la mesure neutre au risque (mesure P) à la mesure Q. Cette transformation implique de changer le processus sous-jacent au mouvement brownien géométrique. Il est important de noter que la mesure P est associée à des observations historiques, tandis que la mesure Q est généralement liée à la tarification des produits dérivés.

Passant au troisième bloc, nous nous concentrerons sur les changements de mesure détaillés. Je démontrerai plusieurs avantages et astuces pour utiliser les changements de mesure pour réduire les dimensions et récolter des avantages significatifs. Cependant, pour l'instant, concentrons-nous sur les quatre éléments suivants de la conférence d'aujourd'hui et profitons de la session.

Tout d'abord, nous utiliserons notre connaissance de l'attente conditionnelle et de la filtration pour aborder la tarification réelle des options. Plus précisément, nous examinerons une option européenne et explorerons comment les anticipations conditionnelles peuvent aider à déterminer son prix. Nous travaillerons avec une équation différentielle stochastique plus complexe, ressemblant au modèle de Black-Scholes mais avec une volatilité stochastique. Alors que Black-Scholes suppose une volatilité constante (sigma), nous généraliserons le modèle pour inclure la volatilité dépendante du temps et stochastique.

En tirant parti de la propriété de la tour des attentes, nous pouvons résoudre ce problème et améliorer nos simulations de Monte Carlo. Au lieu de simuler directement des trajectoires et d'échantillonner aléatoirement la volatilité stochastique (j), nous pouvons obtenir une meilleure convergence en utilisant des anticipations conditionnelles. En conditionnant sur la réalisation de j, nous pouvons appliquer la formule de tarification Black-Scholes pour chaque j. Cette approche réduit considérablement l'incertitude et les problèmes liés à la corrélation dans les simulations de Monte Carlo.

Dans la section suivante, j'introduirai une représentation exacte de la tarification des options européennes basée sur les anticipations conditionnelles et la formule Black-Scholes. Cela impliquera des attentes intérieures et extérieures, où l'attente intérieure conditionne une réalisation spécifique de j et applique la formule de Black-Scholes. L'espérance extérieure nécessite un échantillonnage à partir de j et l'utilisation de la formule de Black-Scholes pour chaque échantillon.

Pour quantifier l'impact de l'application de la propriété de la tour pour les attentes dans les simulations de Monte Carlo, nous comparerons deux approches. La première approche est une simulation de Monte Carlo par force brute, où nous échantillonnons directement l'attente sans utiliser les informations du modèle Black-Scholes. La deuxième approche intègre les attentes conditionnelles et la formule de Black-Scholes. En comparant la convergence et la stabilité, nous pouvons observer le gain significatif obtenu grâce à l'approche des espérances conditionnelles.

J'espère que vous trouvez cette information utile. Si vous souhaitez explorer plus avant les aspects pratiques des attentes conditionnelles, je vous recommande de vous reporter au chapitre 3 (volatilité stochastique) et au chapitre 12 (tarification des tablettes) du livre. Passons maintenant à la démonstration pratique de cette approche en utilisant du code Python.

Après avoir généré les échantillons de Monte Carlo pour le stock et la volatilité, nous passons à la partie suivante du code, qui consiste à calculer les gains d'option pour chaque échantillon. Dans ce cas, nous considérons une option d'achat européenne avec un prix d'exercice de 18. Nous pouvons calculer le gain de l'option en utilisant l'équation suivante :

gain = np.maximum(stock_samples[-1] - grève, 0)

Ensuite, nous calculons l'espérance conditionnelle à l'aide de la formule de Black-Scholes. Pour chaque échantillon de volatilité, nous calculons le prix de l'option à l'aide du modèle Black-Scholes avec la valeur de volatilité correspondante :

volatilité_samples = np.exp(j_samples / 2)

d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * maturité) / (volatility_samples * np.sqrt(maturité))

d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturity))

conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * maturité) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))

Enfin, nous calculons le prix global de l'option en prenant la moyenne des anticipations conditionnelles sur tous les échantillons de volatilité :

option_price = np.mean(conditional_expectation)

En utilisant l'approche d'espérance conditionnelle, nous exploitons les informations du modèle Black-Scholes pour améliorer la convergence de la simulation de Monte Carlo. Cela conduit à des prix d'options plus précis et réduit le nombre de chemins de Monte Carlo requis pour une convergence satisfaisante.

Il est important de noter que le code fourni ici est un exemple simplifié pour illustrer le concept. En pratique, il peut y avoir des considérations et des raffinements supplémentaires pour tenir compte de facteurs tels que la volatilité stochastique, les pas de temps et d'autres hypothèses de modèle.

Dans l'ensemble, l'application d'anticipations conditionnelles dans la tarification des options peut améliorer l'efficacité et la précision des simulations de Monte Carlo, en particulier lorsqu'il s'agit de modèles complexes qui s'écartent des hypothèses du cadre Black-Scholes.

Maintenant, concentrons-nous sur le sujet des changements de mesure dans l'ingénierie financière. Lorsqu'il s'agit de dynamique de système, il est parfois possible de simplifier la complexité du problème de tarification par des transformations de mesure appropriées. Ceci est particulièrement pertinent dans le monde des taux d'intérêt, où il existe de multiples sous-jacents avec des fréquences différentes. Pour établir un cadre cohérent, nous nous appuyons sur des transformations de mesures qui rassemblent des processus stochastiques de différentes mesures en une seule mesure sous-jacente.

Dans le domaine de la finance mathématique, les numéraires jouent un rôle important en tant qu'entités négociables utilisées pour exprimer les prix de tous les actifs négociables. Un numéraire est l'unité dans laquelle les valeurs des actifs sont exprimées, telles que les pommes, les obligations, les actions ou les comptes d'épargne. En exprimant les prix en termes de numéraire, nous établissons un cadre cohérent pour le transfert de biens et de services entre différentes contreparties.

Dans le passé, les actifs étaient souvent exprimés en termes d'or ou d'autres numéraires. Le choix d'un numéraire approprié peut considérablement simplifier et améliorer la complexité des problèmes d'ingénierie financière. Travailler avec des martingales, qui sont des procédés sans dérive, est particulièrement favorable en finance car elles sont plus faciles à manier que les procédés avec dérive.

Différentes mesures sont associées à des dynamiques spécifiques de processus et d'actifs négociables. Les cas courants incluent la mesure neutre au risque associée aux comptes d'épargne, la mesure T-forward associée aux obligations à coupon zéro et la mesure associée aux actions comme numéraires. Les changements de mesure permettent de passer d'une mesure à l'autre et de bénéficier des propriétés de différents processus. Le théorème de Girsanov est un outil crucial pour les transformations de mesure, permettant de passer d'une mesure à une autre sous certaines conditions.

Bien que les aspects théoriques des changements de mesure puissent être complexes, ce cours se concentre sur les applications pratiques et sur la manière d'appliquer la théorie à des problèmes réels. Le principal point à retenir est de comprendre comment les changements de mesure et les martingales peuvent être utilisés comme outils pour simplifier et résoudre efficacement les problèmes d'ingénierie financière.

Il est important de noter que les changements de mesure sont des outils puissants qui peuvent nous aider à gérer les processus sans dérive, appelés martingales. En modifiant de manière appropriée la mesure, nous pouvons éliminer la dérive d'un processus et simplifier le problème à résoudre. Ceci est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de taux d'intérêt stochastiques et de dynamique des actions.

Cependant, il convient de mentionner que les changements de mesure ne sont pas toujours réalisables ou entraînent des problèmes plus simples. Parfois, même après suppression de la dérive, la dynamique de certaines variables, comme la variance, peut rester complexe. Néanmoins,

en général, la suppression de la dérive par des changements de mesure simplifie le problème.

Travailler avec des martingales est favorable car les équations différentielles stochastiques sans dérive sont plus faciles à manipuler que celles avec dérive. En identifiant les numéraires appropriés et en effectuant des changements de mesure, nous pouvons efficacement réduire la complexité et améliorer nos techniques de simulation.

Les changements de mesure nous permettent de basculer entre les mesures et de bénéficier des propriétés des martingales. Comprendre et appliquer les changements de mesure est une compétence précieuse qui peut grandement simplifier la tarification et l'analyse des instruments financiers.

Maintenant, approfondissons le concept des changements de mesure et leur application pratique en finance mathématique. La formule de transformation de mesure dont nous avons parlé précédemment peut s'écrire comme suit :

dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)

Cette formule permet de passer d'une mesure, Qa, à une autre mesure, Qb. Il implique l'utilisation d'un processus spécifique appelé "processus numéraire" noté yₛ et le processus de Wiener Wₛ.

Le théorème de Girsanov stipule que sous certaines conditions, comme la condition d'intégrabilité sur le terme exponentiel, cette transformation de mesure est valide. En appliquant cette transformation, nous pouvons changer la mesure de Qa à Qb et vice versa.

Dans les applications pratiques, les changements de mesure sont utilisés pour simplifier et résoudre des problèmes du monde réel en finance mathématique. Ils nous permettent de transformer la dynamique des processus stochastiques et de tirer parti des propriétés des martingales.

En sélectionnant de manière appropriée les numéraires et en effectuant des changements de mesure, nous pouvons supprimer la dérive d'un processus et simplifier le problème à résoudre. Cette simplification est particulièrement bénéfique lorsqu'il s'agit de modèles complexes impliquant des taux d'intérêt stochastiques et la dynamique des stocks.

Il est important de noter que les changements de mesure ne se traduisent pas toujours par des problèmes plus simples. Parfois, même après suppression de la dérive, certaines variables telles que la variance peuvent encore présenter une dynamique complexe. Cependant, en général, les changements de mesure fournissent un outil puissant pour simplifier et résoudre les problèmes d'ingénierie financière.

Dans ce cours, nous nous concentrerons sur l'application pratique des changements de mesure dans des scénarios réels. Nous explorerons comment extraire les avantages des changements de mesure et des martingales pour simplifier des problèmes complexes en finance mathématique.

Pour résumer, les changements de mesure jouent un rôle crucial dans la finance mathématique en nous permettant de basculer entre les mesures et de tirer parti des propriétés des martingales. En comprenant et en appliquant les changements de mesure, nous pouvons simplifier la tarification et l'analyse des instruments financiers, améliorer nos techniques de simulation et aborder plus efficacement les modèles complexes.

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Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 3/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Cours Ingénierie Financière : Cours 2/14, partie 3/3, (Compréhension des Filtrations et Mesures)

Poursuivant le cours, l'instructeur approfondit le sujet des changements de mesure et leurs applications pratiques en finance. Ils commencent par fournir un rappel sur le théorème de Girizanov et le concept d'une mesure de stock. En établissant une base, l'instructeur prépare le terrain pour explorer comment les changements de mesure peuvent réduire efficacement la dimensionnalité dans les modèles financiers.

La conférence se concentre sur la transition d'une mesure neutre au risque à une mesure de compte d'épargne basée sur l'actif en actions. Cette transition est réalisée en utilisant le rapport des deux mesures, et le processus est expliqué en termes simples. L'accent est mis sur l'importance d'exprimer l'actif choisi dans la même unité que les autres actifs de son portefeuille, ce qui peut être accompli grâce à des changements de mesure. De plus, la conférence plonge dans la discussion de la fonction de gain, où l'espérance sous la mesure associée est exprimée comme l'intégrale sur un divisé par la mesure. Ce résultat fournit un moyen de trouver la requête souhaitée. La conférence se termine en présentant la méthode de substitution utilisée pour obtenir le terme final, illustrant davantage le caractère pratique des changements de mesure.

À l'avenir, l'orateur explore la simplification du gain et se penche sur la dynamique du stock dans le cadre de la nouvelle mesure. La valeur de t0 est fournie comme espérance sous des mesures de st maximum moins k 0, introduisant une nouvelle méthode de martingale. Le concept de l'approche martingale est élucidé, soulignant l'importance de tout diviser par le processus de stock pour satisfaire les conditions d'une martingale. Le processus d'actualisation est mis en évidence, en mettant l'accent sur ses avantages en termes de simplification de la dynamique dans le cadre de la nouvelle mesure. La dynamique peut être dérivée du rapport de mtst en martingale. De plus, le conférencier souligne la nécessité de déterminer la variance et la transformation mesurée sous la nouvelle mesure pour tirer parti efficacement des avantages de l'approche martingale.

En développant le cours, le conférencier explique comment la même procédure utilisée pour le cas Black-Scholes peut être appliquée à des processus sans martingale. En suivant un ensemble de conditions nécessaires, on peut utiliser des transformations de mesure pour dériver la dynamique d'un nouveau processus et déterminer les attentes sous une nouvelle mesure. L'importance de tenir compte des corrections sur la dérive et la volatilité résultant de cette transformation est soulignée lors de la mise en œuvre des deux processus sous la mesure originale et la nouvelle mesure. En fin de compte, le calcul se simplifie en une expression élégante impliquant un seul processus log-normal sous la nouvelle mesure.

De plus, le conférencier introduit un système bidimensionnel d'équations différentielles stochastiques, S1 et S2, ainsi qu'une valeur de gain associée à un compte d'épargne qui ne paie que si S2 atteint un certain niveau. Pour calculer cette anticipation complexe, la distribution conjointe entre les deux stocks devient nécessaire. La transformation de mesure est employée, tirant parti du théorème de Girsanov pour trouver l'espérance sous une forme élégante. Le conférencier explique le processus, avec S1 choisi comme numérateur et la dérivée aléatoire du numéraire identifiée. La conférence souligne également l'importance de dériver tous les changements de mesure nécessaires et explore l'impact potentiel sur les relations entre les mouvements browniens dans différentes mesures. Le conférencier souligne l'importance de la transformation des mesures dans la tarification élégante et puissante d'instruments financiers complexes.

Poursuivant la conférence, l'orateur élucide la transformation mesurée pour le dérivé aléatoire de la nicotine et souligne l'importance de simplifier le gain. La formule de l'équation est expliquée, ainsi que la mesure correspondante qui doit être trouvée pour annuler les termes. La dynamique de l'obligation d'épargne et ses coefficients de dérive et de volatilité sont discutés après application du lemme d'éthos. Dans cette transformation, l'élément de corrélation s'avère négligeable. L'orateur souligne également l'importance de la relation entre S2 et S1 par rapport à la table ethos.

En changeant d'orientation, l'orateur discute de la dynamique de deux processus de stock sous la transformation de mesure S1, qui implique la substitution d'une nouvelle mesure.

Sous la transformation de mesure S1, l'orateur explique que le premier processus de stock suit toujours une distribution log-normale mais avec un terme supplémentaire dans la dérive. De même, le deuxième processus de stock présente un terme supplémentaire en raison de la corrélation entre les deux processus. L'orateur souligne l'importance d'ordonner les variables de la plus simple à la plus avancée et recommande d'utiliser la décomposition de Cholesky comme technique pour simplifier les équations différentielles stochastiques. En tirant parti des propriétés log-normales, la probabilité d'évaluation peut être efficacement résolue.

Élargissant la portée de la conférence, le conférencier aborde ensuite les obligations à coupon zéro, qui sont des dérivés fondamentaux dans le domaine des taux d'intérêt. Les obligations à coupon zéro ont un gain simple - une valeur unique reçue à une échéance - ce qui les rend faciles à comprendre et à utiliser. En outre, ils servent d'éléments de base cruciaux pour la tarification de produits dérivés plus complexes. Il est à noter que dans certains cas, la valeur d'une obligation à l'origine peut être supérieure à un, indiquant des taux d'intérêt négatifs. Des taux négatifs peuvent résulter d'interventions de la banque centrale visant à accroître la liquidité, même si leur efficacité à stimuler les dépenses reste un sujet de débat. Le conférencier souligne que les obligations à coupon zéro jouent un rôle crucial dans le processus de changement de mesure dans le monde des taux d'intérêt.

De plus, le conférencier se penche sur l'importance de changer la mesure en mesure à terme lors de l'examen des obligations à coupon zéro. En utilisant le théorème de tarification fondamental et l'équation de tarification générique, la valeur actuelle d'une obligation à coupon zéro peut être dérivée. L'équation de tarification implique une attente d'un gain actualisé, qui équivaut à un pour une obligation à coupon zéro. Le conférencier souligne que les taux d'intérêt sont stochastiques et explique comment l'actualisation stochastique peut être éliminée de l'équation en changeant la mesure en mesure T à terme. La section se termine par une explication de la manière dont un dérivé du code rouble peut être modélisé et de la manière dont l'équation de tarification passe de la mesure neutre au risque à la mesure T forward.

De plus, le professeur souligne l'importance de changer les mesures et de réduire la dimensionnalité dans les modèles de tarification au sein de la finance. En passant aux prix sous la mesure à terme T et en éliminant la spécificité du facteur d'actualisation, les praticiens peuvent utiliser les techniques de changement de mesure comme des outils puissants dans leurs opérations quotidiennes. La conférence résume le concept de filtrages et leur relation avec les anticipations conditionnelles, en soulignant comment ces outils peuvent simplifier des problèmes complexes en finance.

Pour faire participer les élèves et renforcer leur compréhension, l'instructeur présente trois exercices. Le premier exercice consiste à mettre en œuvre une solution analytique pour la tarification des options de vente, en s'assurant que le code intègre les taux d'intérêt en Python. Le deuxième exercice étend la tarification aux options de vente, offrant l'occasion d'évaluer son efficacité. Enfin, les étudiants sont chargés de comparer l'expression analytique au résultat de la simulation de Monte Carlo pour l'expression de stock au carré sur la diapositive 24. Cet exercice met en évidence les avantages et les différences substantielles dans l'application des transformations de mesure.

La conférence offre une exploration complète des changements de mesure et de leurs applications en finance. Il couvre des sujets tels que le changement de mesures, la simplification des gains, la dynamique sous de nouvelles mesures, la transformation des processus et l'importance des obligations à coupon zéro et des taux d'intérêt. En tirant parti des transformations de mesures, les praticiens peuvent améliorer leurs modèles de tarification, simplifier les calculs et obtenir des informations précieuses sur des instruments financiers complexes.

• 00:00:00 Dans cette section, l'instructeur continue avec le sujet des changements de mesure et leurs applications en finance. Il commence par un rappel sur le théorème de Girizanov et le concept de mesure de stock, puis montre comment les changements de mesure peuvent être utilisés pour réduire la dimensionnalité. Il explique également comment définir une mesure prospective et utiliser les changements de mesure pour supprimer l'actualisation stochastique des produits sur actions ou sur taux d'intérêt. L'instructeur présente ensuite un problème où les changements de mesure peuvent être bénéfiques pour simplifier le problème et obtenir une solution élégante. Dans l'ensemble, la section fournit des informations utiles sur les applications pratiques des changements de mesures en finance.
  
  
• 00:05:00 Dans cette section, la conférence se concentre sur le passage de mesures neutres au risque à des mesures de compte d'épargne motivées par l'actif boursier. Pour y parvenir, le rapport des deux mesures est utilisé et le processus impliqué est expliqué en termes simples. La conférence souligne l'importance de choisir un actif à exprimer dans la même unité que tous les autres actifs de son portefeuille et comment cela peut être réalisé grâce à la commutation des mesures. La fonction de gain est également discutée et l'espérance sous la mesure associée est écrite comme l'intégrale sur un sur m, le résultat fournissant les moyens de trouver la requête. Le cours se termine en montrant la substitution utilisée pour obtenir le terme final.
  
  
• 00:10:00 Dans cette section, l'intervenant aborde la simplification du payoff et la question de la dynamique du stock sous la nouvelle mesure. La valeur de t0 est donnée comme l'espérance sous des mesures de st maximum moins k 0, et une nouvelle méthode de martingale est introduite. L'approche martingale explique que tout doit être divisé par le processus de stock pour se qualifier pour la martingale. Le conférencier souligne également le processus d'actualisation et mentionne qu'il n'est bénéfique que s'il conduit à une dynamique simplifiée dans le cadre de la nouvelle mesure. La dynamique peut être trouvée à partir du rapport de mtst en martingale. Enfin, l'orateur insiste sur la nécessité de trouver la variance et la transformation mesurée sous la nouvelle mesure pour bénéficier de l'approche martingale.
  
  
• 00:15:00 Dans cette section, le conférencier explique comment appliquer la même procédure utilisée pour le cas Black-Scholes aux processus sans martingale. En suivant un ensemble de conditions nécessaires, il est possible d'utiliser la transformation de mesure pour dériver la dynamique d'un nouveau processus et les attentes sous une nouvelle mesure. L'enseignant souligne l'importance de prendre en compte les corrections sur la dérive et la volatilité qui découlent de cette transformation lors de la mise en œuvre des deux processus sous la mesure originale et la nouvelle mesure. Le calcul se simplifie finalement en une expression élégante avec un seul processus log-normal sous une nouvelle mesure.
  
  
• 00:20:00 Dans cette section, le conférencier présente un système bidimensionnel d'équations différentielles stochastiques, S1 et S2, et une valeur de gain associée à un compte d'épargne, qui ne paie que si S2 atteint un certain niveau. Pour calculer cette attente complexe, une distribution conjointe entre les deux stocks est nécessaire. La transformation de mesure est ensuite utilisée pour trouver l'espérance via le théorème de Girsanov, sous une forme très élégante. Tout d'abord, S1 est choisi comme numérateur, puis la dérivée aléatoire du numéraire est trouvée. La conférence discute de l'importance de dériver tous les changements de mesure nécessaires et comment les relations entre les mouvements browniens dans différentes mesures pourraient être impactées. Le conférencier souligne l'importance de la transformation de la mesure dans la tarification d'instruments financiers complexes avec élégance et puissance.
  
  
• 00:25:00 Dans cette section de la conférence, l'orateur explique la transformation mesurée pour le dérivé aléatoire de la nicotine et l'importance de simplifier le gain. L'orateur explique la formule de l'eq et la mesure correspondante qu'il faut trouver pour annuler les termes. Ils reviennent sur la dynamique du bon d'épargne et son coefficient de dérive et de volatilité après application du lemme d'éthos. L'élément de corrélation n'est pas significatif dans cette transformation. L'orateur note l'importance de la relation entre s2 et s1 par rapport à la table ethos.
  
  
• 00:30:00 Dans cette section, l'orateur passe en revue la dynamique de deux processus de stock sous la transformation de mesure s1, qui implique la substitution d'une nouvelle mesure. Le premier processus de stock suit toujours une distribution log-normale, mais avec un terme ajouté dans la dérive. De même, le deuxième processus de stock a un terme supplémentaire en raison de la corrélation entre les deux processus. L'orateur souligne l'importance d'ordonner les variables de la plus simple à la plus avancée et recommande d'utiliser la décomposition de Cholesky pour simplifier les équations différentielles stochastiques. En fin de compte, en utilisant les propriétés log-normales, la probabilité de l'évaluation peut être résolue.
  
  
• 00:35:00 Dans cette section du cours d'ingénierie financière, le conférencier discute des obligations à coupon zéro, qui sont un dérivé de base mais puissant dans le monde des taux d'intérêt. Le gain d'une obligation à coupon zéro est une valeur unique reçue à une échéance, ce qui en fait un instrument simple à comprendre et à utiliser. Il peut également être un élément fondamental pour la tarification de produits dérivés plus complexes. Le conférencier note qu'il peut y avoir des cas où la valeur de l'obligation est supérieure à un au départ, indiquant des taux d'intérêt négatifs. Les taux négatifs peuvent être le résultat d'interventions de la banque centrale pour augmenter la liquidité, mais leur efficacité à stimuler les dépenses fait l'objet d'un débat. Le conférencier précise que les obligations à coupon zéro seront un intermédiaire important dans le processus de changement des mesures dans le monde des taux d'intérêt.
  
  
• 00:40:00 Dans cette section, le conférencier discute des obligations à coupon zéro et de l'importance de changer la mesure en mesure à terme. En utilisant le théorème de tarification fondamental et l'équation de tarification générique, la valeur actuelle de l'obligation à coupon zéro peut être dérivée. L'équation de tarification comprend une attente d'un gain actualisé, qui est égal à un pour une obligation à coupon zéro. Le conférencier souligne que les taux d'intérêt sont stochastiques et explique comment la décote stochastique peut être supprimée de l'équation en changeant la mesure en mesure T à terme. La section se termine avec le conférencier expliquant comment un dérivé du code rouble peut être modélisé et comment l'équation de tarification passe de la mesure neutre au risque à la mesure T forward.
  
  
• 00:45:00 Dans cette section de la conférence, le professeur discute de l'idée de changer les mesures et de réduire la dimensionnalité, et comment elle peut être appliquée aux modèles de tarification en finance. En modifiant les mesures, les praticiens peuvent travailler avec des prix sous la mesure à terme t et supprimer la spécificité du facteur d'actualisation. Cela leur permet d'utiliser des techniques dangereuses mesurées comme des outils puissants dans les opérations quotidiennes. La conférence résume également le concept de filtrages et leur relation avec les attentes conditionnelles, et comment ces outils peuvent être utilisés pour simplifier des problèmes complexes en finance.
  
  
• 00:50:00 cette section, l'importance de comprendre les filtrations, les attentes conditionnelles et de mesurer les changements dans la tarification des options à l'aide de sauts conditionnés Black-Scholes. La section a expliqué comment choisir un numérateur et comment ces mesures sont liées au mouvement brownien. Les changements de mesure se sont avérés bénéfiques dans des exemples tels que le transfert d'équations différentielles stochastiques, la réduction dimensionnelle et les transformations dérivées. Des devoirs ont été fournis pour aider les étudiants à développer des compétences en matière de tarification des produits dérivés et de taux d'intérêt, telles que la recherche d'anticipations, la dynamique et la réalisation de simulations de Monte Carlo.
  
  
• 00:55:00 Dans cette partie du cours, l'instructeur présente trois exercices aux étudiants. La première nécessite de mettre en œuvre une solution analytique pour la tarification des options de vente et de s'assurer qu'elle fonctionne correctement en incluant le taux d'intérêt dans le code Python disponible dans la description de la conférence. Le deuxième exercice consiste à étendre la même tarification aux options de vente et à vérifier son efficacité. Enfin, les étudiants doivent comparer l'expression analytique au résultat de la simulation de Monte Carlo pour l'expression de stock au carré dans la diapositive 24, ce qui démontrera les avantages et l'énorme différence dans l'application des transformations mesurées.