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Nous nous basions, à mon avis, sur une formule incorrecte au fur et à mesure. J'ai simplement suggéré, à mon avis, une méthode de calcul plus logique - non pas par le dépôt initial du mois, mais par le dépôt final, après l'accumulation des q.
C'est intéressant, il semble qu'Oleg ait dérivé ses formules indépendamment. Et il a aussi trouvé un certain optimum. Je ne comprends pas...
Au fur et à mesure, nous nous sommes appuyés, à mon avis, sur une formule incorrecte. J'ai simplement suggéré, à mon avis, une méthode de calcul plus logique - non pas par le dépôt initial du mois, mais par le dépôt final, après l'accumulation des q.
C'est intéressant, il semble qu'Oleg ait dérivé ses formules indépendamment. Et il a aussi trouvé une sorte d'optimum. Je ne comprends pas...
L'examen sur mon scooter (Excel) a révélé un fait simple : l'extremum devient acceptable pour être pris en compte à des q beaucoupplus élevés, à 50% p.a. il est à peine prononcé (k~ 45% p.a.).
// C'est-à-dire qu'à 50 % par an, il est plus facile de retirer les mêmes 50 % et de ne pas s'inquiéter, si q est encore plus faible, il faut absolument retirer la totalité de l'augmentation.
Les graphiques au début du fil montrent une croissance mensuelle de 50%. /C'est à ce moment-là que c'est OUI.
--zy. Ah oui Alexey, tu te trompes quelque part, le vapcheta extremum a sa place. À des rendements plus élevés, il faut garder à l'esprit et compter.
--
Mais n'attendez pas de moi une formule analytique. Vous ne devriez pas m'intimider avec des diphurcs et MatCad. :)))
Quelle différence cela fait-il que les rendements, Volodya. La formule principale.
Et le total retiré serait D(1+q)^t - D((1+q)(1-k))^t = D(1+q)^t*{1-(1-k)^t}.
J'ai déduit sans aucune restriction. Le maximum sur k dans cette formule est évident. Et puis, compte tenu des contraintes de Sergei, j'ai simplement calculé le maximum possible de k_max = q/(1+q) < q.
Cherchez une erreur "quelque part", je ne la vois pas encore moi-même. Le raisonnement est élémentaire, mais il est plus détaillé que celui de Sergei.
Eh bien, nous ne sommes pas en train de résoudre des diphurcs ou des intégrales ici ; tout est plus simple, au niveau de l'école de 7ème année...
Il y a eu un dépôt de 100, q=0,3 ; une partie du dépôt a été comptabilisée, c'est-à-dire +30%. C'était 130. Il a été retiré k=6,1% du montant total (au fait, Sergey, corrigeons la solution, car nous retirons le montant total, n'est-ce pas ?). Donc, 0,061*130=7,93. La part du montant accumulé est égale à 7,93/30 = 0,264333.
Oui, la formule de réponse doit être corrigée. Et ça devrait l'être :
Soit D le dépôt au début du premier mois. En accumulant des intérêts q, on obtient un dépôt D(1+q). Ensuite, nous retirons l'intérêt k, c'est-à-dire kD(1+q). Il reste donc D(1+q)(1-k).
Deuxième mois. Accumulé q, gauche (1+q)D(1+q)(1-k). D(1+q)D(1+q)(1-k), D((1+q)(1-k))^2 est à gauche.
À la fin du tième mois, le compte (par induction) aura D((1+q)(1-k))^t.
Et le retrait total sera D(1+q)^t - D((1+q)(1-k))^t = D(1+q)^t*{1-(1-k)^t}.
C'est comme ça que ça marche. Et pas de progressions géométriques ici.
Et où avez-vous eu l'idée que "Et le total retiré serait... " ? ?? Le premier terme exact n'est pas clair. // D(1+q)^t est un peu comme un dépôt cultivé sans retrait ?
Ce n'est pas du tout évident pour moi. Vérifiez à nouveau. Tu as raté quelque chose.
// Excel est un bâtard, bien sûr, mais il s'entête à montrer l'extremum.
Eh bien oui, c'est le dépôt qui serait passé de D si nous n'avions rien retiré. Mais puisque nous l'avons fait, nous avons retiré exactement la différence entre ce qui aurait été si nous ne nous étions pas retirés, moins ce qui reste réellement. Où l'argent va-t-il aller ?
Mais il y a un sérieux problème.
Eh bien, le maximum est obtenu lorsque le minimum est (1-k)^t, c'est-à-dire à k=1.
Et ce maximum, selon ma formule stupide, est égal à D(1+q)^t. Ce n'est pas possible, car nous retirons la totalité du dépôt le premier mois, et il ne s'agit que de D(1+q). Il n'y a rien à développer davantage.
Oh, une autre incohérence : à la frontière k = q/ (1+q), nous retirons non pas D(1+q)^t - D, comme je l'ai calculé ici, mais seulement k_boundary*D(1+q)t = Dqt: le dépôt augmentera simplement de q% chaque mois, nous retirons la totalité du montant et le nouveau mois recommence avec D
OK, calculons directement l'enlèvement, par sommation. Supprimé :
kD(1+q)^1 + kD(1+q)^2*(1-k)^1 + kD(1+q)^3*(1-k)^2 + ... + kD(1+q)^t*(1-k)^(t-1) =
= kD(1+q) + kD(1+q)*Sum( i=1..t-1 ; ((1+q)(1-k))^i ) =
= kD(1+q){1 + r + rr + ... + r^(t-1)}
Ici r=(1+q)(1-k)
Maintenant, soyons plus prudents. Si k=1, alors r=0, et toute la parenthèse est égale à 1, puisqu'il n'y a qu'un seul terme non nul. La réponse ici est D(1+q) - tout converge. Pas dans notre cas, nous voulons travailler plus longtemps.
Si r=1 (frontière k=q/(1+q)), alors la parenthèse est égale à t, et l'ensemble retiré est égal à k_frontière*D(1+q)*t = Dqt. Tout converge à nouveau.
Si r<1 (k est plus petit que la limite), alors tout s'additionne normalement : on obtient kD(1+q)*(1-r^t)/(1-r). Au fait, cette formule peut aussi être utilisée dans le cas précédent, en allant à la limite à r->1 et en la calculant par la règle de Lopital. Une dernière chose : cette formule fonctionne même pour le tout premier cas !
Il n'est toujours pas clair pourquoi "puisquenous nous retirons, nous retirons exactement la différence entre ce qui aurait été si nous ne nous étions pas retirés, moins ce qui reste réellement. Où l'argent va-t-il aller ?"Faux" ? Je pense qu'il est temps pour une équation de bilan matériel...
Donc, retiré égale kD(1+q) * (1-(1+q-k-qk)^t) / (qk+k-q)
OK, calculons ce qui a été pris directement, en l'additionnant.
Mathemat:
On ne sait toujours pas pourquoi "puisqu'il a été retiré, ils ont retiré exactement la différence entre ce qui aurait été s'ils n'avaient pas retiré, moins ce qui est resté en réalité. Où d'autre l'argent va-t-il aller ?"Faux" ? Je pense qu'il est temps de faire une équation de bilan matière...
Donc, le retrait est égal à kD(1+q) * (1-(1+q-k-qk)^t) / (qk+k-q)
Bien sûr que c'est faux. Pour illustrer.
Supposons que nous ayons une augmentation de 10 % par mois, c'est-à-dire q=0,1 ;
Alors, dans 12 mois, le dépôt sans retrait deviendrait D*(1,1)^12 = D*3,13843
Si on retire par mois k=q=0,1, alors au total D*0,1*12=D*1,2, alors que le dépôt est resté = D, c'est-à-dire qu'au total D*1,2+D=D*2,2.
Je suis sûr que 3.13843 > 2.2.
Votre équation de bilan matière ne tient pas la route, oh elle ne tient pas la route.....
;)
mmm.... Honnêtement, euh... je ne comprends pas pourquoi une telle solution "analytique" est plus belle que la formule que je vous ai donnée...
(qui, soit dit en passant, semble assez analytique)
.
.
à titre de comparaison :
.
pour des valeurs données :
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il y a quelque chose à réduire-simplifier, mais en multipliant par t...
La dernière fois, j'ai fait une petite erreur avec la substitution... maintenant c'est bon :
Oleg, explique tes formules. Écrivez en langage humain (sous forme générale, pas avec des chiffres substitués) la formule de retrait que vous avez utilisée. Si vous ne savez pas écrire - alors je ne suis pas du tout sûr que vous ayez fait le programme correctement :)
Mais ne le faites pas en langage ASAP, s'il vous plaît. Plus c'est simple, mieux c'est. Je vous rappelle ma formule (le dépôt initial est égal à 1, k est le pourcentage de retrait, q est le pourcentage d'accumulation, t est la durée en mois) :
Donc, le retrait est égal à k(1+q) * (1-(1+q-k-qk)^t) / (qk+k-q)
MD: Уверен, что 3.13843 > 2.2
Votre équation de bilan matière ne tient pas la route, oh elle ne tient pas la route.....
Je ne comprends pas non plus, où est passé le reste, MD?