[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 305

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Mathemat >>:
Не факт.
Тут надо за что-то зацепиться. Одна зацепка есть, но что с ней делать, не знаю пока.

La piste :

S=S1+S2 ;
S=S3+S4 ;
S=S5+S6 ;
S=T1+T2+T3+T4+K1+K2+K3;
S1=K1+K3+T1+T4 ;
S2=K2+T2+T3 ;
S3=K1+K2+T2+T4 ;
S4=K3+T1+T3 ;
S5=K2+K3+T3+T4 ;
S6=K1+T1+T2 ; où
S - surface totale
S1-S6 - zones formées à partir de la section S en deux parties
T1-T4 - surfaces des triangles
K1-K3 - surfaces des quadrangles,
les équations géométriques sont manquantes.
 
sous-verre, ce n'est pas un indice, d'accord. Un élève de huitième année ne résoudra pas de tels systèmes, c'est une olympiade après tout. Il doit trouver quelque chose de vraiment génial, pas ce genre de choses insensées :)
2 Richie :
Les 3 petits triangles sont égaux, donc par conséquent ils sont similaires. <br / translate="no">
L'égalité est simplement l'égalité des domaines, et non la similitude. Même un carré et un cercle peuvent être égaux.
 
Commençons par introduire la notation afin de ne pas avoir à l'expliquer en mots.

Si nous prouvons que le point V est le milieu de CC', alors nous prouvons tout : le triangle AC'C sera alors divisé par le segment AV en parties égales. Puisque les triangles ombragés à l'intérieur de AC'C sont égaux, alors les deux quadrilatères sont égaux. Les autres triangles partiels ABA' et BCB' peuvent être considérés de la même manière.
Il y a des indices. Par exemple, que AUVB' est un trapèze. Le parallélisme de ses côtés AU et VB' est facilement prouvé à partir de l'homothétie des triangles correspondants - AUW et B'WV. Mais je ne vois pas où appliquer ce fait.
Et l'homothétie de AUW et B'WV découle de l'équiaxialité des triangles ombrés et de l'application de la formule de l'aire du triangle par les côtés et le sinus de l'angle entre eux.
P.S. La solution frappe par sa brièveté (probablement, presque chaque élève de huitième année peut résoudre le problème dans son esprit) :

Mais il y a un indice du nombre d'or. Je me doutais...
 
Mathemat писал(а) >>
AUW et B'WV. Mais où appliquer ce fait - je ne vois pas où.

J'ai essayé de l'appliquer pour calculer les longueurs de VB et UA, puisque nous connaissons les aires des triangles - 1 cm². Le WV latéral est facile à trouver. Si le triangle UWV est équilatéral, c'est-à-dire que ses angles sont 60g, nous connaissons tous les angles et il est facile de calculer le trapèze. Si nous connaissons VB et UA, qui décomposent les 4 angles ouverts en triangles, alors nous obtenons l'aire du triangle majeur ABC et utilisons cette aire pour calculer les aires des 4 angles.
Oui, la réponse est belle :))

 
Richie >>: Если треугольник UWV равносторонний

Pourquoi un équilatéral ?

 
Mathemat писал(а) >>

>> Pourquoi est-elle équilatérale ?


Oui, ce n'est pas un fait. C'est plus facile comme ça. Voici ce que j'ai écrit plus haut : si ABC et UWV sont équilatéraux et que les triangles latéraux sont égaux (la condition du problème), alors ces triangles latéraux seront similaires, mais je peux me tromper.
En général, je trouve qu'il est beaucoup plus facile de résoudre ce problème sur ordinateur en faisant un système :))
D'où vient (Racine(5)+1) ?

 
Un autre problème :

1. Il suffit, par exemple, de prouver que les triangles AC'C et B'BC sont égaux. Eh bien et faire pour les semblables.
2. Comment faire ? Leurs hauteurs sont liées comme AC'/AB et leurs bases comme AC/B'C. En d'autres termes, les deux relations montrent comment les points C' et B' divisent les côtés du triangle original. Si nous prouvons que ces relations sont inverses l'une de l'autre, alors la première suivra.
P.S. J'ai trouvé une solution en ligne, mais je ne l'ai pas examinée. Je me suis assuré qu'aucune propriété du triangle original n'est utilisée. Ce n'est pas équilatéral, pas isocèle, etc. Mais le problème est résolu de manière tout à fait correcte. Mettons ça de côté pour l'instant.

Suivant :
Trouvez quatre triangles droits équilatéraux dont les côtés sont des nombres naturels.
J'espère que tout le monde se souvient des formules pour les triplets pythagoriciens entiers (2pq, pp-qq, pp+qq) ?
 
Mathemat >>:
Еще одна зацепочка:

1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.

Je suis resté assis pendant deux heures, j'ai trouvé tous les rapports d'aspect, j'ai exprimé l'aire du quadrilatère requis par les côtés des petits triangles (elle est égale à 1 cm²*2*WB'/UB'), mais je n'ai toujours pas trouvé de solution finale. Allez, mettez la solution sur la table, ou mon cerveau va se casser :(

Suivant :
Trouvez quatre triangles droits équilatéraux dont les côtés sont des nombres naturels.
J'espère que tout le monde se souvient des formules pour les triplets pythagoriciens entiers (2pq, pp-qq, pp+qq) ?

c'est-à-dire que le problème se réduit à trouver quatre paires de nombres p,q pour lesquelles pppq-pqqq est invariant.

 
alsu >>:

Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(

Wow, je n'ai rien reçu du tout, à part les remarques que j'ai postées ici. Il se peut qu'une merveilleuse propriété trapézoïdale soit impliquée. Voici le lien : http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.

Il semble y avoir un problème avec les liens. OK, c'est parti : http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137

c'est-à-dire que le problème se réduit à trouver quatre paires de nombres p,q pour lesquelles pppq-pqqq est invariant.

Eh bien, il semble que oui. pq(p-q)(p+q) = inv.

 
Mathemat >>:

http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.

Il y a un peu de confusion avec les indices dans la solution.
J'aurais dû rester assise une heure de plus, j'étais proche :) Mais la difficulté du problème est clairement pour des élèves de huitième année, mais pas en dessous du niveau de l'Olympiade régionale.

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