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http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000653/index.shtml
VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
VARIAÇÃO FUNCIONAL, a primeira variação, é uma generalização da noção de diferencial de uma função de uma variável, a principal parte linear do incremento da função ao longo de uma determinada direção; é utilizada na teoria dos problemas extremos para obter condições necessárias e suficientes de um extremo. Este é o significado do termo "V. f.", a partir do trabalho de J. Lagrange [1] (1760). J. Lagrange considerou predominantemente funcionais os cálculos clássicos da forma:
(1)
Se substituirmos a função dada x0(t) por x0(t) + αh(t) e a substituirmos na expressão por J(x), então, supondo a diferenciação contínua da integrand L, a seguinte equação se mantém
J(x0 + αh) = J(x0) + αJ1(x0)(h) + r(α), (2)
onde |r(α)| → 0 quando α → 0. A função h(t) é freqüentemente chamada de variação da função x0(t) e é às vezes denotada por δx(t). A expressão J1(x0) (h), que é uma função com respeito às variações de h, é chamada de primeira variação da função J(x) e é denotada por δJ(x0, h). Aplicada ao funcional (1), a expressão para a primeira variação é
(3)
onde
A igualdade a zero da primeira variação para todos os h é uma condição necessária do extremo do J(x) funcional. Para o funcional (1) a equação de Euler decorre desta condição necessária e do principal lema de cálculo de variações (ver lema de Dubois-Reymond):
De forma análoga a (2), também são determinadas variações de ordens superiores (ver, por exemplo, no artigo Segunda Variação de uma Funcionalidade).
A definição geral da primeira variação na análise dimensional infinita foi dada por B. Gateaux em 1913 (ver variação Gato). Em essência, a definição de Gateaux é idêntica à definição de Lagrange. A primeira variação de uma função é uma função homogênea, mas não necessariamente linear, V. f. sob a hipótese adicional de linearidade e continuidade (em h) da expressão δJ(x0, h) é normalmente chamada de derivativa Gato. Os termos "variação Gato", "derivado Gato", "diferencial Gato" são mais amplamente utilizados do que V. f.; o termo "V. f." é preservado apenas para as funções do cálculo clássico de variações (ver [3]).
Ver [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indefinies, Turim, 1762; [2] Gateaux R., 'Bull. Soc. Matemática. France", 1919, vol. 47, pp. 70-96; [3] Lavrent'ev M.A., Lusternik L.A., A course in calculus of variations, 2ª edição, M.-L., 1950.
В. M. M. Tikhomirov.
Fontes:
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000879/index.shtml
SEGUNDA VARIAÇÃO
SEGUNDA VARIAÇÃO é um caso especial da n-ésima variação de uma função (ver também variação Gato), generalizando a noção da segunda derivada de uma função de várias variáveis; ela é usada no cálculo de variações. De acordo com a definição geral de v. no ponto x0 da função f(x) definida no espaço normalizado X, há
Se a primeira variação for zero, a não-negatividade de V. v. é necessária, e a estrita positividade
δ2 f(x0, h) ≥ α |||h|||2, α > 0
sob algumas suposições, é condição suficiente para um mínimo local de f(x) em x0.
No problema mais simples (vetorial) do cálculo variacional clássico, a V. v. do cálculo funcional
(considerado nas funções vetoriais da classe C1 com valores-limite fixos x(t0) = x0, x(t1) = x1) tem a forma:
(*)
onde 〈⋅, ⋅〉' denota o produto escalar padrão em ℝn, e A(t), B(t), C(t) são matrizes com coeficientes respectivamente (os derivados são calculados em pontos de curva x0(t)). É conveniente considerar o funcional de h definido pela fórmula (*) não apenas no espaço C1, mas também no espaço mais amplo W12 de funções vetoriais absolutamente contínuas com quadrado integrável do módulo derivado. Neste caso, a não-negatividade e a estrita positividade de V. v. são formuladas em termos de não-negatividade e estrita positividade da matriz A(t) (condição de Lejandre) e ausência de pontos conjugados (condição de Jacobi), o que dá condições de mínimo fraco em cálculo de variações.
Para o cálculo das variações em geral, V. v. foi estudada para extremos que não necessariamente fornecem um mínimo (ainda, no entanto, - quando a condição Lejandre é satisfeita, ver [1]). O resultado mais importante é a coincidência Morse do índice V. v. e o número de pontos conjugados a t0 no intervalo (t0, t1) (ver [2]).
Lita: [1] Morse M., The calculus of variations in tne large, N. Y., 1934; [2] Milnor J., Morse theory, traduzido do inglês, M., 1965.
В. M. Tikhomirov.
Fontes:
Uma competição começou hoje, na qual também decidi participar.
início em 01.11.2018.
Terminar em 30.11.2018.
Eu estabeleço um objetivo:
Para aumentar o depósito inicial em 100 vezes.
E de preferência sem perder negócios ;)Uma competição começou hoje, na qual também decidi participar.
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E de preferência sem perder negócios ;)ou você pode apostar :-)
há algum monitoramento? pelo menos um concurso impessoal dos 10 melhores - eu estarei torcendo por você...
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Sim, está bem. Obrigado.
Terei que perguntar aos moderadores sobre o que está em jogo.
Sim, está bem. Obrigado.
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sim, é claro que você é bem-vindo...
apenas pergunte - não seja como os outros - se as coisas não funcionarem (e podem não funcionar em quase tudo), resolva honestamente os erros aqui mesmo em público
ps/ ou talvez funcione
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Mas, por favor, não seja como os outros - se as coisas não funcionarem (e podem não funcionar na maioria das vezes), enfrente honestamente os erros aqui mesmo em público
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é um acordo.
Darei relatórios diários de progresso.
Será que vai funcionar?