Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio - página 205
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Muito bem, apanharam-me, aqui está um pouco mais difícil:
Provar que a relação AB / CB = 5
Por outras palavras, esse ponto C corta do segmento AB exactamente um quinto.
// Se for realmente inteligente, elabore um algoritmo para dividir a base de um trapézio num número arbitrário de partes iguais, usando uma "régua sem divisões".
--
Aqueles que desejarem podem juntar-se ao clube dos espertos. ;)
Divisão consecutiva de um segmento. O princípio de construção é o mesmo que no caso anterior.
Isto é claro para mim e compreensível, mas não há nenhum desejo de se preocupar com a prova. Embora a prova não esteja, mais uma vez, para além da geometria escolar.
Divisão sequencial de um segmento. O princípio de construção é o mesmo que no caso anterior.
Isto é claro para mim e compreensível, mas não há nenhum desejo de se preocupar com a prova. Embora a prova não esteja, mais uma vez, para além dos limites da geometria escolar.
Sim, é bonito. Mas ainda não compreendo porque é que é um algoritmo exacto.
Pensando sobre a prova.
Acho que já o provei para a divisão por três. Cuidado com as mãos:
Vamos traçar uma linha através dos pontos K e L. Por agora, assumamos que é paralela às bases (provarei isso mais tarde).
Agora compare triângulos AFH e HFB. As suas bases são iguais e encontram-se na mesma linha, daí que a linha paralela às bases que as intersecta (neste caso IL) será dividida em segmentos iguais.
Isto é, [se a linha IL for paralela à base do trapézio] provámos que IK = KL
Do mesmo modo, considerando os triângulos AGH e HGB , provamos que o segmento KL = LJ
Mas depois temos a igualdade de dois segmentos para o terceiro, ou seja, IK = KL = LJ, o que prova que a linha IKLJ está dividida em três partes iguais pelos pontos mencionados.
Se agora provarmos que é paralelo às bases do trapézio, então também provamos que todas as linhas paralelas a ele (em particular às bases do nosso trapézio) são também divididas por triplos por raios que emanam do ponto de intersecção das extensões laterais do trapézio N.
Resta provar que a linha IJ é paralela à AB (e, claro, à FG). Vou agora prosseguir com isto.
Assim, obtemos pares de triângulos AKH-FKG e HLB-FLG. São semelhantes aos pares, e os seus coeficientes de semelhança coincidem por construção (posso descrevê-los mas é demasiado complicado para si), pelo que se segue que as áreas S(AKH) = S(HLB) e, correspondentemente, S(FKG ) = S(FLG) são iguais.Basta considerar um par, por exemplo AKH-HLB. Têm bases e áreas iguais, logo, alturas iguais, que é exactamente o que é necessário para provar o paralelismo da linha IJ com as bases de um trapézio.
Ъ.
// Torto, verboso, mas tudo parece estar correcto. Verificar.
Resta provar que a linha IJ é paralela à AB (e, claro, à FG). Vou fazer isso agora.
Se considerarmos o quadrilátero FGLK, o ponto de intersecção das suas diagonais, o ponto médio da base FG e o ponto H encontram-se sobre uma linha. Uma vez queo ponto de intersecção das diagonais do trapézio, o ponto de intersecção das extensões dos seus lados e o ponto médio da sua base se encontram numa linha, significa que o FGLK é um trapézio... QTD :)
Se considerarmos o quadrilátero FGLK - o ponto de intersecção das suas diagonais, o ponto médio da base FG e o ponto H encontram-se na mesma linha. Uma vez queo ponto de intersecção das diagonais do trapézio, o ponto de intersecção das extensões dos seus lados e o ponto médio da sua base se encontram numa linha, significa que o FGLK é um trapézio... WTD :)
Sim, é bonito e parece estar correcto também. // Desde que as condições necessárias com um número suficiente de condições não estejam a descoberto.
PS. Fiz mais algumas reparações, tudo parece estar claro.
@Mathemat : Mas! embora esta prova seja adequada para enviar aos seus moderadores, certamente não avança particularmente na prova da correcção de todo o gerador.
Seria bom, de alguma forma, anexar indução mate a este caso. Penso // Provavelmente a álgebra linear terá de ser desembrulhada afinal de contas. Embora fosse melhor, claro, passar sem... :)
Uma vez que se trata de "matemática pura, física, lógica e jogos cerebrais em geral" ;) proponho um problema digno de atenção:
Toda a gente conhece as leis de Newton. Suponha que o gráfico de movimento de algum (qualquer) instrumento financeiro (o preço) é uma trajectória de um corpo de massa m=1.
Determinar a força que actua sobre este corpo.
Uma vez que se trata de "matemática pura, física, lógica e jogos cerebrais em geral" ;) proponho um problema digno de atenção:
Toda a gente conhece as leis de Newton. Suponha-se que o gráfico de movimento de algum (qualquer) instrumento financeiro (o preço) é uma trajectória de um corpo de massa m=1.
Determinar a força que actua sobre este corpo.
É de humor.
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