[Matematica pura, fisica, chimica, ecc.: problemi di allenamento del cervello non legati in alcun modo al commercio - pagina 305
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Не факт.
Тут надо за что-то зацепиться. Одна зацепка есть, но что с ней делать, не знаю пока.
Il piombo:
S=S1+S2;S=S3+S4;
S=S5+S6;
S=T1+T2+T3+T4+K1+K2+K3;
S1=K1+K3+T1+T4;
S2=K2+T2+T3;
S3=K1+K2+T2+T4;
S4=K3+T1+T3;
S5=K2+K3+T3+T4;
S6=K1+T1+T2; dove
S - area totale
S1-S6 - aree formate dalla sezione S in due parti
T1-T4 - aree di triangoli
K1-K3 - aree di quadrangoli,
mancano equazioni geometriche.
2 Richie:
Se proviamo che il punto V è il punto medio di CC', allora proviamo tutto: il triangolo AC'C sarà allora diviso dal segmento AV in parti uguali. Poiché i triangoli ombreggiati all'interno di AC'C sono uguali, allora entrambi i quadrilateri sono uguali. Gli altri triangoli parziali ABA' e BCB' possono essere considerati allo stesso modo.
Ci sono degli indizi. Per esempio, che AUVB' è un trapezio. Il parallelismo dei suoi lati AU e VB' è facilmente dimostrato dall'omotetia dei triangoli corrispondenti - AUW e B'WV. Ma non vedo dove applicare questo fatto.
E l'omotetia di AUW e B'WV segue dall'assialità dei triangoli ombreggiati e dall'applicazione della formula per l'area del triangolo attraverso i lati e il seno dell'angolo tra essi.
P.S. La soluzione colpisce per la sua brevità (probabilmente, quasi ogni bambino di terza media può risolvere il problema nella sua mente):
Ma c'è qualche accenno al rapporto aureo. Sospettavo...
AUW e B'WV. Ma dove applicare questo fatto - non vedo dove.
Ho provato ad applicarlo per calcolare le lunghezze di VB e UA, dato che conosciamo le aree dei triangoli - 1 cmq. Il WV laterale è facile da trovare. Se il triangolo UWV è equilatero, cioè i suoi angoli sono 60g, conosciamo tutti gli angoli ed è facile calcolare il trapezio. Se conosciamo VB e UA, che rompono 4 angoli in triangoli, allora otteniamo l'area del triangolo maggiore ABC e usiamo quest'area per calcolare le aree dei 4 angoli.
Sì, la risposta è bella :))
Perché un equilatero?
>> Perché è equilatero?
Sì, non è un fatto. È semplicemente più facile così. Questo è quello che ho scritto sopra: se ABC e UWV sono equilateri e i triangoli laterali sono uguali (la condizione del problema), allora questi triangoli laterali saranno simili, anche se potrei sbagliarmi.
In generale, trovo molto più facile risolvere questo problema sul computer facendo un sistema :))
Da dove viene (Root(5)+1)?
1. Basta, per esempio, dimostrare che i triangoli AC'C e B'BC sono uguali. Bene e fare per quelli simili.
2. Come fare? Le loro altezze sono correlate come AC'/AB e le loro basi come AC/B'C. In altre parole, entrambe le relazioni mostrano come i punti C' e B' dividono i lati del triangolo originale. Se dimostriamo che queste relazioni sono inverse l'una all'altra, allora ne seguirà la prima.
P.S. Ho trovato una soluzione online, ma non l'ho guardata. Basta assicurarsi che nessuna proprietà del triangolo originale venga utilizzata. Non è equilatero, non è isoscele ecc. Ma il problema è risolto abbastanza correttamente. Mettiamolo da parte per ora.
Il prossimo:
Trova quattro triangoli rettangoli equilateri i cui lati sono numeri naturali.
Spero che tutti ricordino le formule per le triple pitagoriche intere (2pq, pp-qq, pp+qq)?
Еще одна зацепочка:
1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.
Sono stato seduto per due ore, ho trovato tutti i rapporti di aspetto, ho espresso l'area del quadrilatero richiesto attraverso i lati di piccoli triangoli (è uguale a 1 cmq*2*WB'/UB'), ma non ho ancora ottenuto una soluzione finale. Dai, metti la soluzione, o il mio cervello si romperà:(
Trova quattro triangoli rettangoli equilateri i cui lati sono numeri naturali.
Spero che tutti ricordino le formule per le triple pitagoriche intere (2pq, pp-qq, pp+qq)?
cioè il problema si riduce a trovare quattro coppie di numeri p,q per cui pppq-pqqq è invariante.
Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(
Wow, non ho capito un cazzo, a parte i commenti che ho postato qui. Ci può essere una meravigliosa proprietà trapezoidale. Ecco il link: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
Sembra che ci sia un problema con i link. Ok, ci siamo: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137
cioè il problema si riduce a trovare quattro coppie di numeri p,q per le quali pppq-pqqq è invariante.
Beh, sembra di sì. pq(p-q)(p+q) = inv.
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
C'è un po' di confusione con gli indici nella soluzione.
Avrei dovuto sedermi per un'altra ora, ero vicino:) Ma la difficoltà del problema è chiaramente per i ragazzi di terza media, ma non sotto il livello delle Olimpiadi regionali.