[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 613
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Aidez-moi à résoudre un problème :
Il y a 10 000 balles dans une boîte. 50% d'entre eux sont noirs et 50% sont blancs.
On prend 120 boules au hasard dans la boîte.
Quelle est la probabilité qu'au moins 30% des boules sorties soient blanches ?
Cette tâche concerne le commerce ! En général... on pourrait penser.
Les boules retournent-elles dans la boîte ou non ?
Oui, je ne sais pas de quoi je parle. Depuis quand les transactions peuvent-elles être retournées au courtier...
P.S. A vue de nez, c'est à peu près ça. Les boules retirées n'affectent presque pas le rapport des probabilités de 50 à 50 (elles sont peu nombreuses, et elles sont retirées à peu près dans le même rapport). Nous obtenons un schéma de Bernoulli classique de 120 essais symétriques avec p=1-p = 1/2, qui doivent avoir au moins 30 succès. Il y a une somme binomiale partielle :(, je ne sais pas comment la calculer rapidement. Ce n'est qu'une estimation.
Mais la probabilité est certainement très proche de 1, puisque la probabilité qu'il y ait moins de 30 succès sur 120 à p=1/2 est presque infiniment petite. Le S.Q.O. est sqrt(npq) = sqrt(120*1/2*1/2) ~ 5,5, donc une déviation de 5,5 sigma est une chose extrêmement rare.
Pas de commerce. Pure théorisation :)
Pas de balles dans la boîte.
Oui, partons du principe que le rapport est toujours de 50/50, c'est probablement plus facile comme ça. Ou bien 100 000 balles dans la boîte, peu importe.
J'ai déjà répondu à cette question. Pratiquement un - avec une variation ne dépassant pas un millième de pour cent.
Par exemple, si j'ai besoin non pas de 120, mais d'un nombre plus petit, non pas de 30 %, mais d'un nombre plus grand.
Par exemple, une fonction de ce type :
Probabilité = Fonction (Combien de boules ont été retirées, Fraction minimale de boules) ;
Si la formule exacte est
p=Sum( C(120, k) * p^k * (1-p)^(120-k) ; k = 30..120 )
En cas d'approximation, il existe un théorème limite : avec un grand nombre d'essais n (ici 120, déjà assez grand ; le critère pour un "grand" n est np(1-p) > 5) la distribution binomiale tend vers la gaussienne N(np, npq). Il reste donc à calculer dans n'importe quel progiciel statistique (ou même dans Excel) l'intégrale de Gauss. Les limites d'intégration sont en gros de (120*p-30)/sigma à + l'infini (ici).
Sigma = sqrt(npq).
p=Sum( C(120, k) * p^k * (1-p)^(120-k) ; k = 30..120 )
Somme - somme, C - combinaison
Le p à gauche du signe égal est différent, bien sûr. Eh bien, laissez P.
C(n,k) est le nombre de combinaisons de n sur k, c'est-à-dire, en langage courant, le coefficient binomial.
Sum est simplement la somme, dans ce cas par k.
En bref, c'est une longue explication, si vous ne le savez pas. Il s'agit d'un terver, et en aucun cas de ses sections les plus complexes.
Dima, pourquoi veux-tu connaître la probabilité qui diffère de un en millièmes de pour cent ? Si vous voulez des garanties, il n'y en a pas. Des lauréats du prix Nobel (LTCM) et Niederhoffer lui-même se sont couverts de probabilités à un degré moins un centième - et ont quand même "frappé".