Maths pures, physique, logique (braingames.ru) : jeux cérébraux non liés au commerce - page 58
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D'où : Toutes les échelles ont un bas et un haut clairement définis.
80 méga-cerveaux debout dans un rectangle de 10×8. Dans chaque rangée longitudinale, ils ont trouvé le plus grand, dont le plus bas était le mégamogon avec un chien. Puis ils ont trouvé le plus bas de chaque rangée transversale, et le plus grand d'entre eux était un mégamorphe portant un chapeau. La question est de savoir qui est le plus grand : celui avec le chien ou celui avec le chapeau ?
Il y en avait un similaire sur le 4.
X >= Y >= Z --> X >= Z
(5)
Megamogg veut monter sur le toit de sa maison avec une échelle. Il y a de nombreuses échelles dans la réserve, mais malheureusement, il manque des marches à la plupart d'entre elles. Les échelles auxquelles il manque deux échelons d'affilée ne peuvent pas être escaladées par Megamogg. Toutes ses échelles avaient à l'origine N marches. Toutes les échelles ont un bas et un haut clairement définis. Combien de variantes d'escaliers Megamogg peut-il monter ?
Tex, c'est plus simple que ça. On dessine la séquence de lapins de Fibonacci.
F(1) = 2
F(2) = 3
F(N) = F(N-1)+F(N-2)
// Je ne sais pas s'il existe une formule de non-récurrence, je ne l'ai pas encore trouvée.
Vous êtes sûr ?
F(1) = 1
F(2) = 2
F(3) = 4
F(4) = 7
F(5) = 12
F(6) = 19
F(7) = 33 ( ???)
Bien sûr.
Avec une étape, deux options (avec/sans étape)
Avec deux = trois options (les deux ont, pas de premier, pas de second)
etc.
Ma formule est correcte.
Ъ
Ma formule est correcte.
Formule de récurrence e, mais pas aussi simple que celle que j'ai. Mais la conséquence et la solution elle-même sont bien les nombres de Fibonacci F(N+2). Il ne reste plus qu'à donner une preuve correcte. MD, où avez-vous trouvé votre formule ? Juste en comptant les variations pour les petits nombres ?
J'ai la dérivation complète de la formule. Je vais attendre pour le moment.
Sur le 4k, ça semble être similaire.
X >= Y >= Z --> X >= Z
Formule de récurrence e, mais pas aussi simple que celle que j'ai. Mais la conséquence et la solution elle-même sont bien les nombres de Fibonacci F(N+2). Il ne reste plus qu'à donner une preuve correcte. MD, où avez-vous trouvé votre formule ? Juste en comptant les variations pour les petits nombres ?
J'ai la dérivation complète de la formule. Je vais attendre pour le moment.
Soit c(n) le nombre d'escaliers de n marches que MM ne peut pas monter. Considérez les options suivantes :
1 0
1 0 0
Voici les marches inférieures de trois séries d'escaliers, 1 - il y a une marche, 0 - il n'y a pas de marche. Évidemment, si n >= 2
c(n) = c(n-1) + c(n-2) + 2^(n-2), il est clair que c(0) = 0, c(1) = 0 (1)
Le nombre total d'échelles que l'on peut gravir est exprimé par la formule : 2^n - c(n) = ? F(n+2)
Laissez-nous le prouver. Définissons une fonction
f(n+2) = 2^n - c(n) ; on calcule que f(2) = 1, f(3) = 2 correspond aux nombres de Fibonacci correspondants. (2)
Pour n > 1, nous substituons c(n) de (2) dans (1), et obtenons
2^n - f(n+2) = 2^(n-1) - f(n+1) + 2^(n-2) - f(n) + 2^(n-2), les degrés de deux sont réduits, on obtient :
f(n+2) = f(n+1) + f(n), Etant donné les valeurs calculées de f(2) = F(2) = 1, f(3) = F(3) = 2, il est évident que f(n+2) = F(n+2)
J'ai d'ailleurs une solution différente (pas de degré deux) :
Un escalier est dit correct si MM peut le monter. Le nombre de marches potentielles de l'échelle est appelé son ordre.
Pour simplifier, nous introduirons de telles notations : le nombre d'escaliers corrects d'ordre n et avec une étape manquante sera désigné par q(n ; faux), et avec une étape présente sera désigné par q(n ; vrai). Nous désignons le nombre de toutes les échelles régulières d'ordre n par q(n).
Il y a deux cas :
1. L'échelle supérieure a une marche inférieure. Alors le nombre total d'escaliers "composés" d'ordre N est q(N-1 ; vrai) * 2, car le nombre d'escaliers réguliers d'ordre 1 est 2.
D'autre part, il est évident que q(N-1 ; vrai) = q(N-2). Par conséquent, le nombre total de choix corrects pour ce cas sera de 2*q(N-2).
2. L'échelle supérieure n'a pas d'échelon inférieur. Le nombre total d'échelles composées d'ordre N est q(N-1 ; faux) * 1, car l'échelle inférieure d'ordre 1 doit avoir un échelon pour que l'échelle composée soit correcte.
D'autre part, q(N-1 ; faux) = q(N-2 ; vrai) = q(N-3). Le nombre total de choix corrects est donc q(N-3).
Par conséquent, nous avons la relation de récurrence :
q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
Elle est linéaire, et son équation est la suivante :
z^3 - 2*z - 1 = 0.
Elle se décompose évidemment en multiplicateurs :
(z + 1) * (z^2 - z - 1) = 0.
Les racines sont donc z_1 = ( 1 + sqrt(5) ) / 2 = fi, z_2 = 1 - fi, z_3 = -1.
Une solution générale de l'équation est une combinaison linéaire de
q(n) = C_1*z_1^n + C_2*z_2^n + C_3*z_3^n (***).
Le comptage manuel des premiers choix donne les nombres de choix suivants - nombres de Fibonacci (F_0 = 0, F_1 = 1) :
q(1) = 2 = F_3,
q(2) = 3 = F_4,
q(3) = 5 = F_5,
q(4) = 8 = F_6,
q(5) = 13 = F_7, etc.
La régularité est évidente. Remplacer par (***) :
F_3 = C_1*z_1 + C_2*z_2 - C_3 (***).
F_4 = C_1*z_1^2 + C_2*z_2^2 + C_3 (***).
F_5 = C_1*z_1^3 + C_2*z_2^3 - C_3 (***).
Notons tout d'abord qu'à partir de ces trois équations, C_i est déterminé de manière unique (le déterminant principal du système est presque le déterminant de Vandermonde, qui n'est pas égal à zéro). D'autre part, les nombres de Fibonacci sont littéralement obtenus si C_1 = 1/sqrt(5) = -C_2 et C_3 = 0.
D'où la réponse : le nombre d'échelles régulières d'ordre N est F_{N+2}.
J'ai d'ailleurs une solution différente (pas de degrés deux) :
La même relation de récurrence est vraie pour Fibonacci : q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
Il suffisait donc de prouver la coïncidence de trois valeurs consécutives de la série pour que celle-ci coïncide