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http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000653/index.shtml
VARIACIÓN DE UN FUNCIONAL
La VARIACIÓN FUNCIONAL, la primera variación, es una generalización de la noción de diferencial de una función de una variable, la parte lineal principal del incremento de la funcional a lo largo de una determinada dirección; se utiliza en la teoría de los problemas extremos para obtener condiciones necesarias y suficientes de un extremo. Este es el significado del término "V. f.", a partir de la obra de J. Lagrange [1] (1760). J. Lagrange consideró predominantemente funcionales del cálculo clásico de la forma:
(1)
Si sustituimos la función dada x0(t) por x0(t) + αh(t) y la sustituimos en la expresión de J(x), entonces, suponiendo la diferenciabilidad continua del integrando L, se cumple la siguiente ecuación
J(x0 + αh) = J(x0) + αJ1(x0)(h) + r(α), (2)
donde |r(α)| → 0 cuando α → 0. La función h(t) suele denominarse variación de la función x0(t) y a veces se denota como δx(t). La expresión J1(x0) (h), que es un funcional con respecto a las variaciones de h, se llama la primera variación del funcional J(x) y se denota por δJ(x0, h). Aplicado al funcional (1), la expresión de la primera variación es
(3)
donde
La igualdad a cero de la primera variación para todo h es una condición necesaria del extremo del funcional J(x). Para la funcional (1) la ecuación de Euler se desprende de esta condición necesaria y del lema principal del cálculo de variaciones (véase el lema de Dubois-Reymond):
De forma análoga a (2), también se determinan las variaciones de orden superior (véase, por ejemplo, en el artículo Segunda variación de un funcional).
La definición general de la primera variación en el análisis dimensional infinito fue dada por B. Gateaux en 1913 (véase la variación de Gato). En esencia, la definición de Gateaux es idéntica a la de Lagrange. La primera variación de un funcional es un funcional homogéneo, pero no necesariamente lineal, V. f. bajo el supuesto adicional de linealidad y continuidad (sobre h) de la expresión δJ(x0, h) suele llamarse derivada de Gato. Los términos "variación de Gato", "derivada de Gato", "diferencial de Gato" son más utilizados que V. f.; el término "V. f." se conserva sólo para las funcionales del cálculo de variaciones clásico (véase [3]).
Véase [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indefinies, Turín, 1762; [2] Gateaux R., 'Bull. Soc. Matemáticas. Francia", 1919, vol. 47, pp. 70-96; [3] Lavrent'ev M.A., Lusternik L.A., A course in calculus of variations, 2ª edición, M.-L., 1950.
В. M. M. Tikhomirov.
Fuentes:
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000879/index.shtml
SEGUNDA VARIACIÓN
La SEGUNDA VARIACIÓN es un caso especial de la n-ésima variación de un funcional (véase también variación de Gato), que generaliza la noción de segunda derivada de una función de varias variables; se utiliza en el cálculo de variaciones. Según la definición general de v. en el punto x0 de la función f(x) definida en el espacio normalizado X, existe
Si la primera variación es cero, la no negatividad de V. v. es necesaria, y la positividad estricta
δ2 f(x0, h) ≥ α ||h||2, α > 0
bajo algunos supuestos, es una condición suficiente para el mínimo local de f(x) en x0.
En el problema (vectorial) más sencillo del cálculo variacional clásico el V. v. del funcional
(considerada sobre funciones vectoriales de clase C1 con valores fijos de frontera x(t0) = x0, x(t1) = x1) tiene la forma
(*)
donde 〈⋅, ⋅〉' denota el producto escalar estándar en ℝn, y A(t), B(t), C(t) son matrices con coeficientes respectivamente (las derivadas se calculan en los puntos de la curva x0(t)). Es conveniente considerar el funcional de h definido por la fórmula (*) no sólo en el espacio C1, sino también en el espacio más amplio W12 de funciones vectoriales absolutamente continuas con cuadrado integrable del módulo de la derivada. En este caso la no negatividad y la positividad estricta de V. v. se formulan en términos de no negatividad y positividad estricta de la matriz A(t) (condición de Lejandre) y ausencia de puntos conjugados (condición de Jacobi), lo que da condiciones de mínimo débil en el cálculo de variaciones.
Para el cálculo de variaciones en general, se ha estudiado la V. v. para extremos que no necesariamente entregan un mínimo (aún, sin embargo, -cuando se satisface la condición de Lejandre, ver [1]). El resultado más importante es la coincidencia de Morse del índice V. v. y el número de puntos conjugados a t0 en el intervalo (t0, t1) (véase [2]).
Véase [1] Morse M., The calculus of variations in tne large, N. Y., 1934; [2] Milnor J., Morse theory, traducido del inglés, M., 1965.
В. M. Tikhomirov.
Fuentes:
Hoy ha comenzado un concurso en el que también he decidido participar.
inicio 01.11.2018.
Finaliza el 30.11.2018.
Me puse una meta:
Para aumentar el depósito inicial en 100 veces.
Y preferiblemente sin perder operaciones ;)Hoy ha comenzado un concurso en el que también he decidido participar.
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Y preferiblemente sin perder operaciones ;)o puede apostar :-)
¿hay algún seguimiento? por lo menos un concurso impersonal de los 10 mejores... estaré alentando...
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Sí. Vale. Gracias.
Tendré que preguntar a los moderadores sobre las apuestas.
Sí. De acuerdo. Gracias.
Tendrás que preguntar a los moderadores sobre lo que está en juego.
sí, por supuesto, eres bienvenido...
sólo pregunta - no seas como los demás - si las cosas no funcionan (y puede que no funcionen la mayoría de las veces), afronta honestamente los errores aquí mismo en público
ps/ o tal vez funcione
sí, por supuesto, eres bienvenido...
Pero, por favor, no seas como los demás: si las cosas no funcionan (y puede que no funcionen la mayoría de las veces), aborda honestamente los errores aquí mismo, en público
ps/ o tal vez funcione
es un trato.
Daré informes de progreso diarios.
¿Funcionará?