[Archiv!] Reine Mathematik, Physik, Chemie usw.: Gehirntrainingsprobleme, die in keiner Weise mit dem Handel zusammenhängen - Seite 281
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Mathemat писал(а) >>
Nächste:...........
Bis jetzt bin ich verwirrt.
Überlegungen zu dem Problem mit 5^1000:
Wenn man beweisen kann, dass keine Fünferpotenzen zwei Nullen in einer Reihe haben können, dann lautet die Antwort z. B. (5^1000)*11
MetaDriver писал(а) >>
Wenn wir beweisen können, dass keine Fünferpotenzen zwei Nullen in einer Reihe haben können, dann lautet die Antwort zum Beispiel (5^1000)*11
Nein, das funktioniert nicht mit 11. Einige Nullen werden verschwinden, andere werden erscheinen. Aber es ist etwas dran.
Ja, das 5^1000-Problem ist zunächst verwirrend. Aber dann fängt man an zu denken. Versuchen Sie, Zahlen, die durch einen zunehmenden Fünfergrad geteilt werden, konsequent zu konstruieren. Ich habe fast gelernt, wie es geht, habe es nur noch nicht ausprobiert.
Nun, ich gehe ins Bett, Wolodja. Gleichzeitig werde ich über das letzte Problem nachdenken.
Ладно, я ушел спать, Володя. Заодно о последней задачке подумаю.
Okay, gute Nacht. Ich werde auch abstürzen.
Ужыс. Я пока запутался.
Соображение нащёт задачи с 5^1000:
Если удастся доказать что ни в каких степенях пятёрки не может стоять два нуля подряд, тогда ответом будет например (5^1000)*11
die Sache ist die, dass der Eintrag 5^1000 genau diese zwei Nullen in einer Reihe hat - mit einem Taschenrechner überprüft, also ist es eine Sackgasse:)
Oh, was für einen gruseligen Taschenrechner du hast, alsu. Möchten Sie sich mitteilen?
Oh ja, wenn die ersten 30 signifikanten Stellen richtig gezählt werden, dann gibt es zwei Nullen hintereinander.
Ой какой у тебя жуткий калькулятор, alsu. Не поделишься?
А, ну да. Если считать, что первые 30 значащих цифр он считает верно, то да, есть два нуля подряд.
Ganz genau. Wenn Sie das bedenken.
Baba Yaga ist dagegen! Sobald er anfängt aufzurunden, kumuliert er einen solchen Fehler, dass man nur noch die ersten drei oder vier Ziffern auf der linken Seite glauben kann. :)
OK, lassen Sie uns eine Zahl konstruieren, da reine Existenzbeweismethoden nicht direkt funktionieren.
Wenn wir eine einstellige Zahl haben, die durch 5 teilbar ist (das ist 5), dann können wir auf der linken Seite eine Ziffer hinzufügen, so dass sie durch 5^2 teilbar wird. Diese Ziffer ist entweder 2 oder 7 (dies ist die Basis der Induktion).
Behauptung der Induktion:
Angenommen, wir haben bereits eine Zahl mit n Ziffern, die durch 5^n teilbar ist. Dann können wir eine Nicht-Null-Ziffer auf der linken Seite hinzufügen, so dass die resultierende (n+1)-Ziffer durch 5^(n+1) teilbar ist.
Der Beweis:
Die ursprüngliche Zahl ist A*5^n. Nach Hinzufügen der Ziffer b auf der linken Seite erhalten wir die Zahl
b*10^n + A*5^n = (2^n*b + A) * 5^n
Wir müssen also eine solche Ziffer b finden, dass die Klammer durch 5 teilbar ist. Dann wird die Induktionsaussage bewiesen.
Wir müssen den Vergleich lösen:
2^n*b = -A (mod 5)
Hier ist b die Ziffernfolge von 1 bis 9 (Null ist nicht erlaubt, sie ist verboten), die das gesamte System der Ableitungen modulo 5 umfasst. Da 2^n nicht durch 5 teilbar ist, gilt der Ausdruck auf der linken Seite auch für diese Zahl. Daher gibt es immer mindestens eine Ziffer b, die genau gleich -A (mod 5) ist.
Das war's.
ОК, конструируем число, раз уж методы доказательства чистого существования напрямую не работают.
.....................
.............
Всё.
Klingt ungefähr richtig.
Übrigens, hier ist die Lösung des Problems mit 5 Zahlen (und nicht nur 5) aus dem Aufgabenbuch: