Reine Mathematik, Physik, Logik (braingames.ru): nicht handelsbezogene Denkspiele - Seite 156
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Und übrigens, sollten Sie die Entfernung vor oder nach der Zeitumstellung angeben? Es ist etwas schwierig, die Entfernung zu messen, wenn man die Frage stellt, wann sich diese Entfernung am schnellsten ändert.
Gehen Sie davon aus, dass sich die Hände kontinuierlich und ohne Ruckeln bewegen. Dies ist die logischste Annahme.
Irgendwie schaffe ich es nicht ohne Derivate.
Das scheint wirklich schwierig zu sein. Intuitiv scheint es der Punkt zu sein, an dem sie sich überschneiden. (Eine andere Möglichkeit ist, dass sie in entgegengesetzte Richtungen schauen.) Aber es ist überhaupt nicht offensichtlich.
Nehmen wir an, die Pfeile bewegen sich von einem Nullpunkt aus, an dem sie ursprünglich übereinstimmten, gegen den Uhrzeigersinn.
Stündlich: z1 = 36*exp(i*t) = 36*cos(t) + i*36*sin(t)
Minute: z2 = 45*exp(i*12*t) = 45*cos(12*t) + i*45*sin(12*t)
Der Abstand zwischen den Enden (oder besser gesagt, sein Quadrat): L^2 = (36*cos(t) - 45*cos(12*t))^2 + (36*sin(t) - 45*sin(12*t))^2 =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*(cos(t)*cos(12*t) + sin(t)*sin(12*t)) =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Also L = (3321 - 3240*cos(11*t))^0,5. (***)
L' = 0,5*(3321 - 3240*cos(11*t))^(-0,5) * 11*3240*sin(11*t) -> max modulo.
Das war's. Ich verzichte darauf, auch Wolfram findet keine ehrlichen Extrema, es ist eine Annäherung.
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Pfft. Ich war gerade dabei, dieselbe Aufgabe zu lösen, und es hat auch so funktioniert. Ich habe mir das Forum angesehen und bin auf die gleiche Idee gekommen :).
Ja, ich weiß auch nicht, woher das kommt. Ich weiß nicht mehr, wie sie berechnet werden. Es ist wirklich nicht realistisch, die Ableitung aus diesem Ausdruck zu berechnen. Aber warum? Es muss natürlich eine Lösung geben.
Das Problem scheint gelöst zu sein.
Daraus ergibt sich folgende Abhängigkeitsfunktion
y = (3321-3240*cos(x))^(1/2), wobei
y ist der Abstand zwischen den Enden zu einem beliebigen Zeitpunkt
x ist der Ablenkungswinkel zwischen den Pfeilen [0 ; 2*Pi]
Von hier aus ermitteln wir die Ableitung und suchen nach einem Extremum
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
sin x = 0
x1 = 0
x2 = pi
Bei 0 ist die Geschwindigkeit maximal, bei pi ist sie minimal.
Die Höchstgeschwindigkeit liegt also bei 0 g, was bedeutet, dass sie an dem Punkt liegt, an dem die Pfeile zusammenfallen, wie ursprünglich angenommen.
Damit scheint das Problem gelöst zu sein, aber ich werde Ihnen Bescheid sagen, wenn noch etwas nicht stimmt.
Die Höchstgeschwindigkeit liegt also bei 0 g, was bedeutet, dass sie an dem Punkt liegt, an dem die Pfeile zusammenfallen, wie ursprünglich vorgesehen.
Damit scheint das Problem gelöst zu sein, aber wenn etwas nicht stimmt, werde ich es Sie wissen lassen.
Von hier aus ist die Ableitung zu finden und bis zum Extremum zu untersuchen
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
Nein, ist es nicht. Ich kann das Derivat selbst finden.
Hier müssen wir das Extremum finden, nicht die Null. Sie ist der Nullpunkt der zweiten Ableitung.
wenn sich dieser Abstand am schnellsten ändert.
Das heißt, wenn die Geschwindigkeit am höchsten ist.
Die Höchstgeschwindigkeit liegt also bei 0g, was bedeutet, dass sie in dem Moment erreicht wird, in dem die Pfeile zusammenfallen, wie ursprünglich angenommen.
Damit scheint das Problem gelöst zu sein, aber wenn etwas nicht stimmt, werde ich es Sie wissen lassen.
Die numerische Methode ergibt völlig andere Werte).
Beim Start um 12.00 Uhr liegt die Höchstgeschwindigkeit zwischen den Pfeilen bei 403 Sekunden und wiederholt sich nach 3927 Sekunden (die Berechnung ist auf die Sekunde genau). Abstand 27 mm
Die numerische Methode ergibt völlig andere Werte).
Beim Start um 12 Uhr liegt die Höchstgeschwindigkeit zwischen den Pfeilen bei 403 Sekunden und wiederholt sich nach 3927 Sekunden (die Berechnung ist auf die Sekunde genau). Abstand 27 mm
Ein weiteres Mal. Wir entfernen den Multiplikator 81 bei den Zahlen, was nichts bringt, und den Frequenzmultiplikator. Wir erhalten die Funktion
L(t) = (41-40*cos(t))^0,5
Die Funktion ist periodisch. Grafik:
Wir müssen die Punkte finden, an denen L' in modulo maximal ist (auf dem Graphen sehen wir, dass diese Punkte in der Nähe der Minima der Funktion L liegen, aber sie sind definitiv nicht ihre Minima; in Wirklichkeit sind sie Wendepunkte des Graphen).
Mit anderen Worten: Wir müssen aus den Nullstellen der zweiten Ableitung L(t) wählen. Wenn man zweimal sorgfältig differenziert, erhält man, dass die Nullstellen der zweiten Ableitung die Punkte sind, an denen cos(t) = 4/5 ist. (Bei Bedarf können Sie die Funktion L(t) zweimal selbst differenzieren).
Der Abstand (unter Berücksichtigung des verlorenen Multiplikators sqrt(81)) beträgt
L(t) = 9*(41-40*4/5))^0,5 = 27 mm.
Vielleicht habe ich mich irgendwo vertan oder etwas nicht bedacht. Das Ergebnis ist jedoch erstaunlich "rational", was darauf hindeutet, dass die Lösung wahrscheinlich richtig ist.
P.S. Die erste Zeit von Null an (obwohl es nicht notwendig ist, danach zu suchen) ist etwa Pi/5, d.h. etwa 6 Minuten nach Beginn der Bewegung.
Die Antwort fiel keineswegs so aus, wie sie angeblich "intuitiv offensichtlich" war.
Dabei ist das Problem eigentlich ganz einfach, aber man muss vorsichtig sein.
Ich wünschte, ich könnte eine Lösung finden, die ohne die obere Mathematik auskommt...