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影响期权价值的另一个重要因素是标的资产 (S) 的价格。对于看涨期权，随着标的资产价格上涨，期权变得更有价值，因为期权持有人有权以较低的行使价购买资产，然后以较高的市场价格出售。这种获利潜力导致更高的看涨期权价值。另一方面，对于看跌期权，随着标的资产价格上涨，期权的价值会降低，因为期权持有人有权在市场价格较高时以较低的行使价出售资产。这种潜在的损失导致看跌期权价值降低。
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对于连续的随机变量，例如跑马拉松的时间，我们使用 PDF。 PDF 描述了随机变量落在特定区间内的概率。以马拉松跑时间为例，PDF 将提供在给定时间范围内完成马拉松的概率。为了形象化这一点，我们可以想象一个图表，其中横轴代表运行时间，纵轴代表概率密度。特定区间内曲线下的面积表示随机变量落入该范围内的概率。
PMF 和 PDF 是理解随机变量分布的重要工具。它们使我们能够将概率分配给特定的值或区间，并提供对不同结果的可能性的见解。这些概念是风险管理和金融研究的基础，因为它们帮助我们分析和量化各种金融变量的不确定性，例如股票回报、债券回报和投资组合价值。
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假设检验（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
假设检验（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
今天，我们将深入探讨假设检验的话题，特别关注概念胶囊的概念。假设检验是 CFA Level 1 Quants 课程、CFA Level 2 Quants 课程和 FRM 课程的基本组成部分。许多学生发现假设检验具有挑战性，尤其是在 CFA 1 级，因此我们将探索使其更易于管理的方法。
首先，让我们了解一下假设检验的本质。假设本质上是一种尚未得到证实的观点或主张。这是一个需要测试以确定其有效性的声明。例如，考虑一下男性的平均寿命比女性短的说法。这是一种缺乏证据，需要证明的说法。假设检验开始发挥作用以调查和评估此类主张。
假设是关于人口的问题、想法或特征的假设陈述。为了检验假设，需要收集和检查数据。由于研究整个群体通常是不切实际、耗时且成本高昂的，因此通常会抽取具有代表性的样本进行检查。根据样本的调查结果，可以得出关于整个人口的结论。这是假设检验的关键。
现在，让我们探讨假设检验中涉及的关键步骤。尽管有些学生可能会因为公式众多以及原假设和备择假设的复杂性而对假设检验望而生畏，但必须按顺序执行这六个步骤。无论测试的特定假设或使用的分布如何，这些步骤都保持一致。因此，无论测试或问题如何，只需按照相同的顺序执行这些步骤即可得出结论。
但是，需要注意的是，仅仅记住公式是不够的。虽然有必要记住适用于每个测试的公式和分布，但理解和实施这些步骤对于得出有意义的结论至关重要。许多学生只专注于记忆，忘记了遵循这六个步骤的重要性，这往往阻碍了他们得出结论性结果的能力。因此，彻底理解该过程并按照规定的顺序练习解决假设检验问题至关重要。
现在，让我们详细研究每个步骤。第一步涉及陈述原假设和备择假设。这一步很关键，因为假设的不正确表述会导致错误的结论。虽然我们不会在这里广泛介绍这一步，但重要的是要记住原假设通常包含一个等号（例如，等于、大于或等于或小于或等于），而备择假设则侧重于分布的补充部分。如有疑问，请参阅其他资源或观看有关原假设和备择假设的单独视频。
第二步需要确定适当的检验统计量及其概率分布。此步骤因进行的具体测试而异。例如，如果测试均值，则使用 t 分布或 z 分布。如果检验方差，则采用卡方分布。每个测试都需要一个特定的测试统计数据和分布，因此了解要应用哪些公式至关重要。
接下来，指定重要性级别，这通常在问题本身中提供。最常见的显着性水平是 5%，但也可以是 1% 或 10%，具体取决于上下文。显着性水平决定了在后续步骤中用于决策规则的临界值。
第四步涉及陈述决策规则，指导是否拒绝或不能拒绝原假设。在这一步中，明确定义了拒绝原假设或未能拒绝原假设的条件。决策规则应与备择假设和正在进行的检验保持一致。
现在我们进入最后一步，根据样本结果做出决定。在此步骤中，我们将检验统计量 (7.96) 与临界值 1.83 进行比较。
由于我们的检验统计量 (7.96) 大于临界值 (1.83)，我们拒绝原假设。这意味着我们有足够的证据得出结论，平均降雨量比之前的 23 厘米有所增加。
请务必注意，我们的决定是基于所选的特定显着性水平 (5%)。如果显着性水平不同，临界值也会改变，我们的决定可能会不同。
总而言之，我们按照假设检验的六个步骤来评估平均降雨量是否从 23 厘米开始增加。我们制定了零假设和备择假设，确定了适当的检验统计量（t检验），指定了显着性水平（5%），陈述了决策规则，计算了检验统计量（7.96），并根据样本结果做出了决定, 拒绝原假设。
请记住，这只是假设检验的一个示例，专门用于检验单个均值。这些步骤可能因被检验假设的类型而异（例如，检验方差、比例等），但一般过程保持不变。
通过理解和实践这些步骤，您可以自信地处理任何假设检验问题，并根据手头的数据得出有意义的结论。
原假设和备择假设（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
原假设和备择假设（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
今天，我们将讨论概念胶囊的概念，特别关注原假设和备择假设的主题。这是假设检验的一个重要方面，您将在 CFA 1 级和 2 级以及 FRM 课程中遇到。制定原假设和备择假设是假设检验过程的第一步，正确完成这一步骤至关重要，因为它为整个检验奠定了基础。
让我们深入了解您在此初始步骤中需要做什么。首先要考虑的是假设的类别。我们有两种类型的假设要处理：原假设 (H0) 和备择假设 (Ha)。原假设表示基于当前对总体参数的了解而检验的假设。另一方面，替代假设提出了关于总体参数的替代观点或信念。在某些文本中，备择假设可能表示为 H1b，但通常表示为 Ha 或简称为 H1。
要制定这些假设，必须遵循三个基本原则。这些原则适用于您进行的任何假设检验，无论是 t 检验、z 检验，还是二级课程中的 Durbin-Watson 检验。通过理解和应用这些原则，您可以准确一致地创建原假设和备择假设。
第一个原则是原假设和备择假设必须互斥。这意味着这两个假设之间不应该有重叠或共同的结果。如果一个结果出现在零假设中，它就不可能出现在备择假设中，反之亦然。
第二个原则是假设必须是集体详尽无遗的。这意味着除了原假设和备择假设中表示的结果之外，没有其他可能的结果。例如，如果您要检验均值是否等于 5，则备择假设会声明均值不等于 5。在这种情况下，均值只能等于 5 或不等于 5，不留其他可能性。
第三个也是至关重要的原则是原假设必须包含等号。这条规则在假设检验中至关重要，因为它有助于避免在创建原假设和备择假设时出现错误。等号不仅可以包含严格相等，还可以包含不等式，例如大于或等于和小于或等于。
现在，让我们探讨一下您可能会遇到的两种测试类型：双尾测试和单尾测试。在双尾测试中，分布的两边都被考虑在内。例如，如果您要检验均值是否等于 10 或不等于 10，则您要检验均值大于 10 和小于 10 的两种可能性。在这种情况下，检验称为二元检验- 尾部测试。
在双尾检验中，显着性水平（通常设置为 5%）在分布的两侧平分。这意味着每一侧都获得 2.5% 的显着性水平，中间留下 95%，因为曲线下的总面积必须总和为 100%。
另一方面，单尾测试侧重于分布的特定一侧，即左侧或右侧。当您想要测试仅在一个方向上发生变化而忽略另一个方向的可能性时，可以使用此测试。例如，如果您要检验均值是否小于 10，则您对分布的左侧感兴趣。相反，如果您要检验均值是否大于 10，则您关注的是分布的右侧。
一旦制定了原假设和备择假设，就可以继续进行假设检验的后续步骤。这些步骤通常包括收集数据、执行统计分析以及根据结果得出结论。
总而言之，以下是到目前为止讨论的要点：
假设检验是统计分析的重要组成部分，用于根据样本数据对总体参数进行推断。
假设检验中涉及的两种假设是原假设 (H0) 和备择假设 (Ha 或 H1)。
零假设代表当前关于被检验的总体参数的知识或假设，而备择假设代表不同或相反的信念。
制定假设的三个基本原则是：
A。互斥：原假设和备择假设必须分开，并且不能有任何共同的结果。它们代表了不同的可能性。
b.集体详尽无遗：原假设和备择假设必须涵盖所有可能的结果。除了假设中陈述的选项外，应该没有其他选项。
C。零假设中的等号：零假设应始终包含一个等号（例如，等于、小于或等于或大于或等于）。这确保原假设代表特定值或条件。
假设检验可分为双尾检验或单尾检验：
A。双尾测试考虑分布的两侧并测试参数是否不等于特定值。
b.单尾测试侧重于分布的特定一侧，测试参数是大于还是小于特定值。
根据研究问题和所研究效果的方向性选择合适的测试类型至关重要。
一旦制定了假设，接下来的步骤包括数据收集、统计分析（例如，计算检验统计量和 p 值）以及解释结果以接受或拒绝原假设。
请记住，假设检验是一个结构化过程，可帮助您根据证据得出有意义的结论。通过遵循所讨论的原则和指南，您可以确保假设检验程序的有效性和准确性。
NPV 与 IRR（CFA® 考试的计算）
NPV 与 IRR（CFA® 考试的计算）
您好，欢迎来到概念胶囊！今天，我们将探讨净现值 (NPV) 和内部收益率 (IRR) 的主题。这些技术在资本预算中至关重要，并且在 CFA 和 FRM 课程中广泛涵盖。
NPV 和 IRR 用于比较在不同时间点发生的现金流量，并帮助确定要进行的最佳项目。他们还协助根据可用资金对项目进行排序。 NPV 通过考虑税后现金流来评估项目的盈利能力。它涉及将现金流量贴现到一个共同的时间段，通常是零时间段，在此期间做出执行项目的决定。
为了计算 NPV，我们从现金流入的现值中减去初始现金流出（投资）。现金流入和流出被带到零时间段进行比较。如果产生的 NPV 为正，则该项目被认为是有利可图的，应该被接受。如果是负数，则该项目破坏了价值，应该被拒绝。 NPV 为零意味着该项目既不增加也不破坏公司价值，使其无关紧要。然而，在实践中，通常不会追求 NPV 为零的项目。
另一方面，IRR 消除了对预先确定的贴现率的需要。使 NPV 等于零的是贴现率。换句话说，内部收益率等于现金流入的现值与现金流出的现值。 IRR 的决策规则基于要求的回报率或最低回报率。如果 IRR 超过最低要求，则该项目被接受；否则，它被拒绝。
让我们通过一个示例来了解如何使用 BA2 Plus 计算器计算 NPV 和 IRR。以公司 A 为例，该公司计划投资 1 亿美元用于资本扩张项目。该项目预计前三年每年产生 2000 万美元的税后现金流，最后一年产生 3300 万美元的税后现金流。要求的回报率为8%。我们需要计算 NPV 和 IRR，并决定是否应该进行该项目。
首先，我们创建一个时间线，在零时间段现金流出 1 亿美元，前三年每年现金流入 2000 万美元，第四年现金流入 3300 万美元。然后，我们使用 8% 的贴现率将每笔现金流入贴现到零时间段。将现金流入的现值相加并减去初始现金流出得出净现值。在这种情况下，NPV 计算为 - 2420 万美元。
为了计算 IRR，我们使用未知贴现率 (IRR) 建立了使 NPV 等于零的方程式。但是，手动求解此方程式可能非常耗时。幸运的是，我们可以使用 BA2 Plus 计算器，通过输入现金流量并找到 IRR 函数来直接计算 IRR。
总之，应使用 BA2 Plus 计算器确定 -2420 万美元的 NPV 和 IRR。将 IRR 与所需回报率进行比较将指导进行项目的决策。
影响期权价值的因素（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
影响期权价值的因素（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
让我们深入探讨概念胶囊的主题，探讨影响期权价值的因素。该主题与 CFA 课程的所有三个级别以及 FRM 课程相关。在深入研究这些因素之前，让我们回顾一下期权符号和基本的期权收益概况。
有六个因素会影响期权的价值，这与期权理论中涵盖的概念一致。让我们回顾一下符号。当前股票价格表示为“S”。行使价或行使价用“X”或“K”表示。可以使用任何一种表示法。期权到期前的时间用“T”表示，表示距离期权到期还有多长时间。 “R”代表估值期间的短期无风险利率。最后，“D”代表股息的现值或与标的股票或资产相关的任何其他收益。
现在，让我们简要回顾一下期权的定义及其各种收益概况。期权不同于远期或期货，因为它们为购买者提供了权利而不是义务。期权的购买者可以选择是否行使他们的权利，这取决于什么对他们来说最有利可图。有两种类型的期权：看涨期权和看跌期权。看涨期权授予购买标的资产的权利，而看跌期权授予出售标的资产的权利。重要的是要注意，这些观点来自多头头寸，而空头头寸则相反。例如，看涨期权代表卖出标的资产的义务。
四种期权收益头寸是多头看涨期权、空头看涨期权、多头看跌期权和空头看跌期权。多头看涨期权代表购买标的资产的权利，通常在预期资产价格上涨时使用。相反，看涨期权代表卖出标的资产的义务。对于多头看跌期权，持有人有权出售标的资产，通常在预期资产价格下跌时使用。空头看跌期权代表购买标的资产的义务。
要计算这些选项的价值，我们可以使用公式。看涨期权的公式是股票价格（ST）与行权价（K）之差的最大值0。对于空头看涨，公式是多头看涨的负值。多头看跌期权的公式是 0 中的最大值和行使价 (K) 与股票价格 (ST) 之间的差值。最后，空头看跌期权是多头看跌期权的负值。
区分美式期权和欧式期权很重要。美式期权提供了更大的灵活性，允许持有人在到期前随时行使期权。另一方面，欧式期权更为严格，只能在到期时行权。然而，欧式期权仍可在到期前交易，只能在最后一天行权。在我们的分析中，我们主要考虑对欧式期权的影响，因为美式期权因其提供的额外灵活性而往往更加昂贵。
继续讨论影响期权价值的因素这个主题，让我们检查一下提供的表格。该表显示了变量及其对看涨期权和看跌期权价值的影响。我们将重点分析这些因素增加的影响。
首先，让我们考虑股票价格 (S)。如果股价上涨，看涨期权价值也会增加。这是因为股票价格与行使价之间的差异扩大，导致看涨期权价值更高。相反，股价上涨会降低看跌期权价值，因为在看跌期权公式中与股价相关的负号会缩小行权价和股价之间的价差。
接下来，让我们探讨执行价格 (K) 上涨的影响。行使价 (K) 的增加与看涨期权价值呈反比关系。当行使价上涨时，股票价格与行使价之间的差异缩小，导致看涨期权价值降低。另一方面，行使价的增加导致看跌期权价值的增加。随着行使价上涨，行使价与股票价格之间的价差扩大，导致看跌期权价值更高。
转到到期时间 (T)，该因素的增加对看涨期权和看跌期权价值都有积极影响。距离到期时间越长，标的股票价格越有可能向有利于期权持有人的方向移动。价格变动的这种增加的潜力导致更高的期权价值。
无风险利率 (R) 对期权价值的影响有些直观。无风险利率的增加将增加与期权相关的未来现金流量的现值。这导致更高的看涨期权价值和更低的看跌期权价值。
股息 (D) 也对期权价值有影响。对于看涨期权，股息的增加会降低与股票相关的未来现金流量的现值，从而导致看涨期权价值降低。相反，对于看跌期权，股息的增加会增加与股票相关的未来现金流量的现值，从而导致更高的看跌期权价值。
最后，标的股票的波动率 (σ) 对看涨期权和看跌期权的价值都有积极影响。更高的波动性增加了更大价格变动的可能性，增加了期权在价内完成的可能性。因此，看涨期权和看跌期权的价值随着股票波动性的增加而上升。
请务必注意，这些因素对期权价值的影响可能因其他因素和市场条件而异。期权定价模型，例如 Black-Scholes 模型，考虑了这些因素并提供了一个更全面的期权定价框架。
了解影响期权价值的因素对于期权定价、风险管理和制定涉及期权的投资策略至关重要。
影响期权价值的另一个重要因素是标的资产 (S) 的价格。对于看涨期权，随着标的资产价格上涨，期权变得更有价值，因为期权持有人有权以较低的行使价购买资产，然后以较高的市场价格出售。这种获利潜力导致更高的看涨期权价值。另一方面，对于看跌期权，随着标的资产价格上涨，期权的价值会降低，因为期权持有人有权在市场价格较高时以较低的行使价出售资产。这种潜在的损失导致看跌期权价值降低。
隐含波动率 (IV) 是影响期权价值的另一个关键因素。隐含波动率是市场对未来波动率的预期，来源于期权的当前价格。随着隐含波动率的增加，期权价值往往会上升，因为标的资产价格波动较大的可能性更高。波动性增加增加了期权在价内完成的可能性，从而导致更高的期权价值。相反，当隐含波动率下降时，期权价值往往会下降。
市场供需动态也会影响期权价值。如果对期权的需求很高，它们的价格可能会因购买压力增加而上涨。相反，如果对期权的需求低，它们的价格可能会下降。市场状况、投资者情绪和整体市场趋势会影响供需动态，从而影响期权价值。
值得注意的是，这里讨论的因素通常用于期权定价模型，例如 Black-Scholes 模型，它为期权定价提供了一个理论框架。然而，由于市场效率低下、交易成本、流动性和其他因素，实际期权价格可能会偏离模型的预测。
了解影响期权价值的因素对期权交易者和投资者来说至关重要。通过考虑这些因素并分析市场状况，个人可以就期权交易策略、风险管理和投资组合构建做出更明智的决策。
证券市场指数（CFA® 考试的计算）
证券市场指数（CFA® 考试的计算）
你好，欢迎光临！今天，我们将深入研究股票指数的概念，并探讨衡量它们的不同方法，尤其是股票指数。股票指数得到广泛认可并经常出现在新闻中，但重要的是要注意指数并非股票市场独有。有适用于固定收益、对冲基金、货币和许多其他市场的指数。
指数本质上是特定市场的代表。它作为投资者跟踪市场表现和风险的工具。此外，交易所交易基金 (ETF) 经常使用这些指数作为基准。指数有两个主要版本：价格回报指数和总回报指数。
价格回报指数仅跟踪成分证券的价格。它计算指数的期末值和期初值之间的差值，除以指数的原始价格水平。本质上，价格回报指数类似于持有期回报的概念。
另一方面，总回报指数不仅跟踪价格变化，还考虑与成分证券相关的任何收入或分配。这包括股息或利息再投资。为了计算总回报指数，价格差异与收入回报相结合。可以使用前面提到的公式或利用 BA II Plus 或 HP 12C 等计算器上提供的百分比变化功能。
继续讨论各种类型的股票指数，让我们从最简单的一种开始：价格加权指数。在这种方法中，每个成分证券的价格被相加，并计算平均值。假设购买了每种证券的一个单位。这种指数类型通常用于道琼斯工业平均指数和日经指数等示例中。虽然计算起来很简单，但也有缺点。每当出现股票拆分或合并时，指数水平都需要调整以确保它不受价格变化的影响。
另一种是等权指数，又称未加权指数。在这种方法中，等量的资金投资于每只证券，而不管单位数量。在许多情况下，这会导致部分股份。等权重指数采用指数股票的算术平均收益计算。等权重指数的例子包括 Value Line Composite Average 和金融时报普通股指数。
我们要讨论的第三种是市值加权指数，也称为价值加权法。每只成份证券的权重由其市值决定。市值的计算方法是将股价乘以已发行股票的总数。分配给每只证券的权重是通过将其市值除以所有证券的总市值来计算的。这种方法反映了指数的整体价值。市值加权指数的一个例子是标准普尔 500 指数。
为了说明这些概念，让我们考虑每种索引类型的数值示例。我们将根据给定的价格、股票数量和市值计算指数水平和回报。
总而言之，股指是投资者追踪各个市场表现和风险的重要工具。了解不同的权重方法，例如价格加权、等权重和市值加权指数，可以让投资者根据他们的投资偏好和目标做出明智的决定。
股息贴现模型（CFA® 考试计算）
股息贴现模型（CFA® 考试计算）
您好，欢迎来到概念胶囊！今天讨论的话题是股息贴现模型（DDM）。本次讨论将从 CFA Level 1 的角度主要关注 DDM 的基础知识，但它也可以作为 CFA Level 2 DDM 章节的入门。
股息贴现模型是一种用于评估股票价值的估值方法。在这种方法中，我们预测未来的股息和退出价值，然后我们将这些现金流贴现到当前时间，即时间段零。 DDM 可用于对优先股和普通股进行估值，普通股是风险较高的版本。
在使用 DDM 对优先股进行估值时，我们将其视为永续年金。优先股无限期支付固定股息，类似于永续年金。优先股估值公式源自永续年金公式，其中股息（现金流量）除以优先股成本（贴现率）。请务必注意，优先股的贴现率应低于普通股的贴现率。如果有特殊类别的优先股，如参与优先股或可转换优先股，则股息和折现率需要相应调整。
让我们考虑一个简单的例子来计算优先股的价值。假设贴现率 (k) 为 10%，股息 (c) 为 5。应用永续年金公式，我们得到优先股的价值为 50。
继续评估普通股，它变得更具挑战性，因为未来现金流量的规模和时间是不确定的。此外，我们需要估计所需的回报率，通常使用资本资产定价模型 (CAPM) 等模型。我们将从一年的持有期模型开始，然后将其扩展到多年。
在一年持有期模型中，我们假设投资者将在第一年末卖出股票。我们需要知道当年收到的股息并估计年终退出价值。使用 CAPM 公式，我们计算所需的回报率。现金流量贴现回零时间段以确定股票的价值。
通过合并每年各自的股息和退出价值，可以轻松地将此模型扩展到多年。我们不需要记住新的公式；我们只需调整时间段。例如，两年的持有期将涉及对两年的现金流进行贴现。
让我们将这个概念应用到一个持有期为三年的问题。未来三年的年度股息预计为1欧元、1.5欧元和2欧元。三年末的股价估计为 20 欧元。对于 10% 的必要回报率，我们可以通过将现金流贴现到零时间段来计算股票的价值。结果值为 18.67 欧元。
最后，我们考虑无限持有期的情况，假设股息永远以“g”的速度持续增长。在这种情况下，公式简化为 D0 * (1 + g) / (ke - g)，其中 D0 是零时间段的股息，ke 是股权成本，g 是恒定增长率。关注下标，正确匹配分红估算和估值的时间段至关重要。
如果增长率在一定年数后变得恒定，我们可以从那时起使用戈登增长模型 (GGM)。但是，重要的是要记住，股票的价值是在分子中计算股息的那一年之前的某个时间确定的。这意味着我们应该使用。
为了说明戈登增长模型 (GGM) 的应用，让我们考虑一个例子。假设一家公司预计明年将支付每股 2 美元的股息。预计股息将无限期地以每年 5% 的恒定速度增长。所需回报率 (ke) 为 10%。
使用 GGM 公式，我们可以计算股票的价值：
值 = D1 / (ke - g)
其中 D1 是时间段 1 的预期股息，ke 是要求的回报率，g 是恒定增长率。
将值代入公式，我们有：
价值 = 2 美元 / (0.10 - 0.05) = 40 美元
因此，根据 GGM，该股票的价值为 40 美元。
重要的是要注意戈登增长模型假设增长率恒定，这可能并非在所有情况下都适用。它最适合股息增长率稳定且可预测的成熟公司。
股息贴现模型 (DDM) 是一种有用的股票估值工具，但它也有其局限性。它依赖于几个假设，例如恒定的股息增长率和未来现金流量估计的准确性。市场状况和其他因素也会影响股票价格，因此很难准确预测未来的股息和退出价值。
此外，DDM 主要适用于支付股息的公司。对于不支付股息或股息模式不一致的公司，贴现现金流 (DCF) 分析等替代估值方法可能更合适。
总体而言，股息贴现模型提供了一个基于预期股息和未来现金流量估算股票价值的框架。对于寻求确定公司股票内在价值的金融分析师和投资者来说，这是一个基本概念。
二项式期权定价模型（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
二项式期权定价模型（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
让我们深入探讨二项式期权定价方法的概念。今天，我们将探讨这个在 CFA 和金融课程中都有涉及的话题。它是用于计算期权价值的两种方法之一，另一种是 Black-Scholes 模型。
二项式方法假设期权的标的价格在给定的时间间隔内只能处于两种状态。这就是它被称为二项式的原因，因为它只考虑任何节点的两种可能状态。我们从当前股票价格开始，表示为 S0。从那里，我们考虑两种不同的自然状态：上州 (S_u) 和下州 (S_d)。北部的股票价格是通过将当前股票价格 (S0) 乘以一个表示为“u”的因子和概率“p”来确定的。相反，处于低迷状态的股票价格由当前股票价格 (S0) 乘以一个表示为“d”的因子确定，概率为 (1-p)。
当我们到达 upstate 节点时，我们可以向上或向下。使用相同的 p 和 (1-p) 值，概率在整个树中保持不变。例如，如果向上移动的概率为 60%，向下移动的概率为 40%，则这些概率将在整个树中保持不变。从每个节点，我们可以计算出下一状态的股票价格，如 u 和 d 的不同组合所示。
在本次讨论中，我们将重点关注单期法，这意味着我们只考虑提前一个期。我们将把自己限制在二叉树的这一部分。为了实施二项式方法，我们首先确定两种可能的不同股票价格。之后，我们计算期权在两个节点的收益，从而使我们能够获得该时间段的预期值。一旦我们有了该时间段的预期值，我们就会应用贴现现金流量 (DCF) 公式将其贴现回零时间段。重要的是要注意，在这种情况下，我们使用 DCF 公式中的概率，这与不涉及概率的传统 DCF 计算不同。
现在，让我们继续看涨期权二叉树。确定股价因素后，我们计算上涨和下跌的幅度和概率。这些将分别表示为“u”和“d”。接下来，我们绘制二叉树并计算所有节点的期权收益。这涉及确定零的最大值或股票价格 (st) 和执行价格 (k) 之间的差值。然后，我们将收益乘以它们各自的概率，并计算整个期间期权的预期价值。最后，我们将这个期望值贴现到零时间段以确定期权的当前值。
为了便于计算，我们使用了各种符号和公式。向上移动的风险中性概率表示为“pi_u”，而向下移动的风险中性概率表示为“pi_d”。这些概率是互补的，这意味着它们相加为 100%。无风险利率用“rf”表示，“u”和“d”分别是上行和下行的大小。此外，“d”等于 1 除以“u”。为了计算上涨和下跌的概率，我们使用涉及无风险利率“u”和“d”的公式。
让我们将这些概念应用到一个具体的例子中。假设一只股票的当前价格为 80 美元，上涨幅度为 1.4，无风险利率为
一旦我们有了预期收益，我们需要将其贴现回时间段 0 以获得期权的当前价值。为此，我们使用 6% 的无风险利率。
对预期收益进行贴现的公式为：
当前期权价值 = 预期收益 / (1 + 无风险利率)
代入这些值，我们有：
当前期权价值 = (32 * 0.504 + 0 * 0.496) / (1 + 0.06)
简化等式，我们得到：
当前期权价值 = (16.128 + 0) / 1.06
当前期权价值 ≈ 15.23
因此，看涨期权的当前价值约为 15.23 美元。
请务必注意，此示例演示了使用二项式期权定价方法对一年到期的看涨期权进行估值。过程包括确定涨跌因子、计算概率、构建二叉树、评估每个节点的期权收益、计算预期收益，最后将其贴现回现值。
请记住，二项式期权定价方法假设标的资产价格变动采用简化的双态模型，可能无法捕捉所有现实世界的动态。此外，这种方法通常用于只能在到期时行权的欧式期权。对于美式期权，需要额外考虑以确定最佳行权策略。
我希望这个解释能帮助您理解二项式期权定价方法中涉及的步骤以及如何使用这种方法对看涨期权进行估值。如果您还有其他问题，请告诉我！
概率基础（FRM 第 1 部分 2023 – 第 2 册 – 第 1 章）
在这个视频系列中，James Forjan 教授全面介绍了 FRM 第 2 部分 - 第 2 册 - 定量分析中的章节。该系列深入探讨了各种主题，包括概率、假设检验、回归和联结函数。 Forjan 教授详细探讨了每个概念，提供了相关的问题示例，旨在增强考生对这些主题的理解和掌握。通过参与该视频系列，考生可以加强对定量分析的理解，并有效地为 FRM Part 2 考试做准备。
概率基础（FRM 第 1 部分 2023 – 第 2 册 – 第 1 章）
定量分析系列第 2 册的第 1 章重点介绍了概率的基础知识及其在金融风险管理中的应用。本章旨在帮助金融风险管理者有效地识别、量化和管理风险。它强调了在这些任务中考虑概率的重要性。
本章首先将风险定义为结果的不确定性和可变性，可以用概率来衡量。与前一本书相比，它强调了第 2 册的定量性质，并在整章中提到了金融计算器和常规计算器的使用。
本章的学习目标涉及描述、区分、定义和计算与概率相关的各种概念。一个这样的概念是相互排斥的事件，通过在高尔夫球场洒水系统的两个管道工之间进行选择的示例来说明。互斥事件的概念是选择一个事件排除另一个事件的发生。
本章还讨论了独立事件，这些事件根据各自的优点进行评估，不会影响对其他结果的接受或拒绝。举了一个涉及天气和股票市场回报的例子来证明独立事件及其潜在关系。
条件概率是作为依赖于其他事件发生的概率引入的。类比个人经验，比如生双胞胎的概率取决于工作、收入水平、婚姻等各种因素。在经济背景下，GDP 与利率之间的关系被用作条件概率的示例。
本章解释了如何使用以英国统计学家 Thomas Bayes 命名的贝叶斯定理来计算条件概率。贝叶斯定理允许预测导致已知结果的一系列事件。它引入了后验概率的概念，后验概率是基于新信息修正的概率。
文本提供了使用贝叶斯定理根据最近颁布的减税政策确定现任总统所属政党的概率或根据超额回报的产生确定经理认证的概率的示例。
本章以所讨论公式的汇总表作为结尾，鼓励读者通过示例工作并记住概念。它强调获取更多信息以提高预测和决策准确性的重要性。
本章介绍定量分析中的概率基础知识，为金融风险管理者提供理解和管理风险的基本工具。它将数学原理与前一本书中讨论的风险管理原理相结合，为有效的风险管理提供了一个全面的框架。
随机变量（FRM Part 1 2023 – Book 2 – Chapter 2）
随机变量（FRM Part 1 2023 – Book 2 – Chapter 2）
在定量分析的第 1 部分第 2 册中，有一章是关于随机变量的。作者回忆了他们在 1980 年代后期学习 Lotus 1-2-3（最终成为 Excel）的经历。他们回忆起函数向导中的随机数生成器，以及生成随机数是多么令人着迷。虽然这些值是随机生成的，但通过研究风险管理和金融研究中的随机变量，可以更深入地了解股票收益、债券收益、衍生证券收益、投资组合价值、风险价值和预期短缺。
学习本章的目的是为随机变量打下坚实的基础，然后将其应用于风险管理。学习目标涉及描述、解释和表征各种概念，例如概率质量函数 (PMF)、累积分布函数 (CDF)、期望、分布矩以及离散和连续随机变量之间的区别。此外，本章还介绍了分位数，它涉及将分布分成相等的部分，并简要介绍了线性变换。
随机变量定义为具有不确定预期未来值的任何量。它也可以描述为一个变量，其可能值是随机现象的结果。例如，预测股票价格或信用违约互换的价值涉及处理随机变量。这些结果被分配概率，这取决于具体情况。例如，股价上涨或下跌 1 美元的概率明显高于上涨至 999 等更高值或下跌至零的概率。
为了有效地分析随机变量，将概率分配给潜在结果并将事件定义为特定结果或结果集至关重要。随机变量可以分为离散变量或连续变量。离散随机变量有一组可数的可能值，例如掷骰子，结果为 1 到 6。另一方面，连续随机变量可以取给定区间内的任何值，并且通常由平滑曲线表示，例如跑马拉松所需的时间。
概率函数提供有关总机会如何分布在随机变量的可能值之间的信息。概率函数有两种类型：离散随机变量的概率质量函数 (PMF) 和连续随机变量的概率密度函数 (PDF)。 PMF 给出随机变量取特定值的概率，而 PDF 描述随机变量落在给定区间内的概率。两种类型的函数都具有确保概率介于 0 和 1 之间的属性，并且所有概率的总和等于 1。
累积分布函数 (CDF) 提供随机变量小于或等于特定值的概率。对于离散随机变量，CDF 可以可视化为阶梯状图，而对于连续随机变量，它表现为平滑曲线。通过对从负无穷大到特定值的 PDF 进行积分，可以计算出 CDF。
了解随机变量及其相关函数对于风险管理和财务分析至关重要。这些概念为评估不同结果的可能性和做出明智的决定提供了一个框架。
概率质量函数 (PMF) 和概率密度函数 (PDF) 为我们提供了有关随机变量分布的重要信息。 PMF 用于离散随机变量，其中函数给出随机变量取特定值的概率。另一方面，PDF 用于连续随机变量并给出随机变量落在特定区间内的概率。
让我们考虑一个伯努利随机变量的例子，它是一个简单的离散随机变量，只能取两个值，0 或 1。假设我们有一个伯努利随机变量代表篮球中罚球的结果。该变量的 PMF 将显示命中或未命中的概率。如果投篮的概率为 0.7，则 PMF 会将 0.7 的概率分配给值 1（投篮），将 0.3 的概率分配给值 0（投篮不中）。这些概率的总和必须始终等于 1。
对于连续的随机变量，例如跑马拉松的时间，我们使用 PDF。 PDF 描述了随机变量落在特定区间内的概率。以马拉松跑时间为例，PDF 将提供在给定时间范围内完成马拉松的概率。为了形象化这一点，我们可以想象一个图表，其中横轴代表运行时间，纵轴代表概率密度。特定区间内曲线下的面积表示随机变量落入该范围内的概率。
PMF 和 PDF 是理解随机变量分布的重要工具。它们使我们能够将概率分配给特定的值或区间，并提供对不同结果的可能性的见解。这些概念是风险管理和金融研究的基础，因为它们帮助我们分析和量化各种金融变量的不确定性，例如股票回报、债券回报和投资组合价值。
常见的单变量随机变量（FRM 第 1 部分 2023 – 第 2 册 – 第 3 章）
常见的单变量随机变量（FRM 第 1 部分 2023 – 第 2 册 – 第 3 章）
正文来自定量分析的第 1 部分，第 2 册，重点介绍常见的单变量随机变量章节。就我个人而言，我发现这一章让我想起了我在博士课程期间在数理经济学和计量经济学课程中学到的知识。让我们探索学习目标，看看它们如何适用于我们。
第一个学习目标尤为重要。它要求我们区分不同分布之间的关键属性。我们将分析各种分布并确定它们的异同。最后，我们还将深入研究混合分布的概念。
让我们从均匀分布开始。在此分布中，所有可能的结果在给定范围内具有相同的可能性。均匀分布图从左侧的 0 开始，一直延伸到右侧的 X。表示为 X 的随机变量可以取该范围内的任意值。值得注意的是，最小值称为 alpha，最大值称为 beta。请务必注意，0 和 alpha 之间，或 beta 和范围上限之间没有任何值。均匀分布的一个典型例子是掷出一个公平的六面骰子。每个结果，从 1 到 6，都有 1/6 的等概率。因此，从 alpha 到 beta 的值是同样可能的。文本还提供了均匀分布的概率密度函数、均值和方差公式。
另一个讨论的例子是客户等待见投资组合经理的时间，它可以均匀分布在 0 到 15 分钟之间。
继续前进，我们遇到了更有趣的伯努利分布。它涉及为两种可能性赋值，通常代表成功 (1) 和失败 (0)。虽然给出的例子涉及银行的成功或失败，但这些价值观可以有更广泛的解释。伯努利分布的图形范围从 0 到 1，因为某事发生的概率必须为 100%。在给定示例中，成功概率（表示为 P）为 0.7，这意味着十分之七的银行成功，十分之三的银行失败。文本介绍了伯努利分布的均值和标准差的公式。
各种例子说明了伯努利分布的应用，例如人寿保险的成功或失败或公司支付股息或完全不支付股息的可能性相同。
接下来，我们遇到二项式分布，它在固定收益分析和期权估值中发挥了作用。它涉及一系列 n 个独立且相同的伯努利试验，每个试验具有相同的成功概率，表示为 P。使用阶乘符号解释了这些试验中成功次数的公式。还提供了二项式分布的均值和标准差。该文本提供了一个示例，该示例计算了在生存概率为 70% 的情况下，十分之九的银行在现金紧缩中幸存下来的概率。
然后引入泊松分布。它模拟在特定时间间隔内发生的事件数量，假设事件的时间是随机且独立的。事件之间的平均时间已知，分布由参数 lambda (λ) 表征。文中提供了概率密度函数，并提到泊松分布的均值和方差都等于λ。泊松分布的示例包括到达银行的客户数量、足球队的进球数以及保险公司每周或每月收到的索赔数量。给出了一个示例问题，计算一家财富管理公司在一年内恰好接待 30 位客户的概率，给定平均每月 2 位客户。
文本重新审视正态分布，也称为高斯分布。由于其许多理想的特性，该分布广泛用于统计分析和建模。正态分布的图形是对称的钟形的，在平均值处有一个峰值。表示为 μ 的均值表示分布的中心，而表示为 σ 的标准差控制数据的散布或分散。文中提供了正态分布的概率密度函数和累积分布函数。
正态分布通常应用于金融和经济学，以模拟股票收益、利率和其他经济变量。它还用于假设检验和置信区间估计。给出了一个示例问题，计算股票收益超过某个阈值的概率。
接下来，本文介绍了指数分布，它对泊松过程中事件之间的时间进行建模。它的特征是参数λ，表示事件发生的速率。指数分布广泛用于可靠性分析和排队论。文中给出了指数分布的概率密度函数和累积分布函数。
给出了一个示例问题，在给定平均等待时间的情况下，计算客户在银行队列中等待少于特定时间的概率。
最后，正文介绍了对数正态分布，它是通过取正态分布的随机变量的指数从正态分布推导出来的。对数正态分布通常用于对股票价格、资产回报和其他表现出正偏度和异方差的变量建模。文中提供了对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数。
给出了一个示例问题，在给定当前价格和波动率的情况下，计算股票价格在未来某个时间超过某个值的概率。
本章介绍常见的单变量随机变量，涵盖定量分析中使用的各种重要分布。了解这些分布及其属性对于金融、经济和其他领域的数据分析和建模至关重要。通过掌握这些概念，我们可以做出明智的决策并从数据中得出有意义的见解。