量化交易 (Quantitative trading) - 页 15

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金融工程课程：第 3/14 讲，第 1/2 部分，（HJM 框架）

金融工程课程：第 3/14 讲，第 1/2 部分，（HJM 框架）

演讲者深入探讨了利率模型中无套利条件的主题，特别关注 Heat、Jarrow 和 Morton (HJM) 框架。他们为讲座设定了议程，并阐明了均衡模型和期限结构模型之间的区别。在强调无需校准即可生成收益率曲线的期限结构模型的力量和重要性的同时，演讲者解释了 HJM 框架内无套利条件的推导。即将到来的模块将涉及两个模型 Julie 和 Hull-White 的蒙特卡罗模拟，以及提供的家庭作业。值得注意的是，HJM 框架作为所有利率模型的通用且无套利的框架。

展望未来，引入了短期利率和利率的概念，强调短期利率与无穷小的时间段相关联。第一个短期利率模型，Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程，作为一个内生模型的例子进行讨论，该模型需要对收益率曲线进行校准，可能导致自由度有限和校准不佳。另一方面，外生模型将收益率曲线作为输入，避免了校准问题。该讲座还提供了有关开发利率建模的建模技能和编程能力的见解。

探索了 HJM 框架，重点是将内生模型转换为外生模型。这种转换确保无论选择何种模型参数，收益率曲线都保持不变。讲师强调了 AJM 框架的非凡力量，它提供了从均衡模型到期限结构模型的清晰路径。讲座提到文献中存在许多模型，其中讨论了两个流行的模型。其中一个模型是 Vasicek 短期利率模型，该模型因其在适应负利率方面的局限性而受到批评。

讨论了负利率问题，演讲者解释了金融工程师如何通过采用 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程来解决这个问题，该过程不允许负利率但允许利率达到零。为了改变这个过程，引入了一个参数，允许分布从零移动到负值，通常在百分之二或百分之三左右。还讨论了拟合收益率曲线的重要性和校准的挑战。讲师强调，如果无法拟合收益率曲线，则尝试拟合模型的其他方面是没有意义的。提供了模拟示例来说明不同参数的影响，例如均值回归速度和波动系数。

讨论了波动系数对不同模型路径的影响，包括 HJM 和 CIR 模型。较大的波动系数会导致路径中出现更大的尖峰并增加不确定性，而较小的系数会导致分布较窄。讲师还解释了均值回归和利率如何影响这些模型的行为。 Python 代码用于使用欧拉离散化和标准化来模拟路径，同时施加条件以防止路径变为负值。

演示者对 HJM (Heath-Jarrow-Morton) 框架进行了深入讨论，该框架作为包含所有利率模型的全球框架。瞬时远期利率的动态，代表从今天的角度来看未来时期的利率，在 HJM 框架内建模。由于 AJM 框架在瞬时远期利率波动与无套利漂移之间存在明确关系，因此被视为利率模型的基础，确保模型始终无套利。该框架是在短期利率和 LIBOR 市场模型的背景下进行探索的，它们是 AJM 框架的特例。

讨论了无套利性和漂移之间的关系，特别是与瞬时远期利率的波动性有关的关系。调整波动率允许在不同模型之间切换。虽然 HJM 框架适应不同的波动率结构，但获得短期利率或 LIBOR 市场模型的分析表达式具有挑战性。然而，对于某些情况，HJM 框架确实提供了基于指定波动率的零息债券的解析表达式。该框架在从均衡模型到期限结构模型的过渡中起着至关重要的作用，因为它允许使用可观察到的收益率作为模型的输入。与其他模型进行了比较，例如HJM框架下的短期利率模型，在快速校准方面类似于法拉利，但缺乏针对多种市场工具的校准和实施灵活性。利率短期利率模型的主要目标是确保收益率曲线和零息债券的准确性。

讲师讨论了金融工程中采用的各种期限结构模型的局限性。虽然 HJM 框架在校准收益率曲线方面提供了更大的灵活性，但其只有两个参数的简单性使得校准长期评估的复杂奇异期权具有挑战性。具有随机波动率的市场模型，尽管其维护成本高且校准困难，但被认为是为奇异和波动性定价的理想选择。讲师继续使用零息债券定义瞬时远期利率，并说明如何使用再融资策略构建特定时期的远期利率，从而提取有效利率。

演讲者深入探讨了无套利再融资策略的概念，并解释了如何从零组件中暗示利率。他们为远期利率引入了一种函数形式，并强加了一种结构，以确保它采用具有应计倍率的指数形式。通过取表达式的对数并将其乘以负号，他们确定了同时满足短期利率和远期利率方程的利率。瞬时远期利率定义为 f dt，演讲者强调它始终与成熟度相关。

接下来，讲座介绍了瞬时远期利率的概念，即零息债券对到期日的对数的导数。这是 HJM 框架内的基本组成部分，因为所有数量均以瞬时远期利率表示。强调了区分零息债券和货币储蓄账户的重要性，前者是确定性价值，后者是随机数量。瞬时远期利率的动态是 HJM 框架内的一个焦点，旨在理解和模拟利率的动态。

教授接着描述了 p 度量下的瞬时远期利率动态，以及将度量从 p 切换到 q 时确定动态的目标。 HJM 框架包含瞬时远期利率的动态、货币储蓄账户（短期利率的积分）和零息债券的关系。要定义 q 度量下的瞬时远期利率的动态，特定数量必须充当鞅。解释了短期利率与瞬时远期利率之间的关系，强调了不同瞬时利率之间的相互依赖性和各种参数之间的联系。

继续演讲，演讲者强调了理解无套利与利率模型漂移之间关系的重要性，特别是在瞬时远期利率的波动性方面。通过调整波动率，可以在 HJM 框架内的不同模型之间切换。该框架允许各种波动率结构，尽管获得短期利率或 LIBOR 市场模型的分析表达式可能具有挑战性。然而，在某些情况下，HJM 框架确实提供了基于指定波动率的零息债券的解析表达式。

讲师强调 HJM 框架是适用于所有利率模型的通用且无套利的框架。它提供了从均衡模型到期限结构模型的清晰路径，使其成为该领域的强大工具。文献中有许多可用的模型，但详细讨论了两个流行的模型。

首先，检验 Vasicek 的短期利率模型。讲师承认，这种模式因不允许负利率而受到批评。为了解决这个问题，一些金融工程师采用了 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 流程，该流程不允许负利率，但允许利率达到零水平。但是，讲师提到可以在 CIR 过程中引入一个偏移参数，有效地将分布从零偏移到负值，例如负百分之二或百分之三。将模型拟合到收益率曲线被强调为一个关键方面，并讨论了校准问题。讲师表示，如果收益率曲线不能准确拟合，那么拟合任何其他参数也没有意义。

接下来，演讲者介绍了两个模型的蒙特卡罗模拟：Julie 和 Hull-White。模拟旨在提供实际示例并说明不同参数（例如均值回归速度和波动系数）对模型路径的影响。利用欧拉离散化和标准化的 Python 代码用于模拟这些路径。施加条件以限制路径变为负面。

讲座继续讨论波动系数对各种模型路径的影响，包括 HJM 和 CIR 模型。较大的波动系数会导致路径中出现更显着的尖峰并增加不确定性，而较小的系数会导致分布更窄。还解释了均值回归和利率对这些模型行为的影响。

讲师总结了所涵盖的要点，重申了期限结构模型在 HJM 框架内的力量和重要性。强调了无需校准收益率曲线即可自行生成收益率曲线的能力。最后，提供家庭作业，鼓励学生进一步探索和应用讲座中讨论的概念和技术。

该讲座深入探讨了利率模型中的无套利条件，特别是在 HJM 框架内。它涵盖了均衡模型和期限结构模型之间的差异、无套利条件的推导以及通过蒙特卡罗模拟的实例。深入讨论了拟合收益率曲线的重要性、校准挑战以及不同参数的影响，为学生提供了对利率建模和编程技能的宝贵见解。

• 00:00:00 在本节中，演讲者讨论了利率模型中的无套利条件，特别是在 Heat、Jarrow 和 Morton (HJM) 框架的背景下。他概述了讲座的议程，并解释了均衡模型和期限结构模型之间的区别。演讲者强调了期限结构模型的力量和重要性，它可以自行生成收益率曲线，不需要对收益率曲线进行校准。他还解释了如何推导出 HJM 框架下的无套利条件。在下一个模块中，演讲者将对两个模型 Julie 和 Hull-White 进行蒙特卡罗模拟，并提供家庭作业。 HJM 框架是适用于所有利率模型的通用、无套利框架。
  
  
• 00:05:00 在讲座的这一部分中，介绍了短期利率和利率的概念，重点是短期利率与无限小的时间段相关联。短期利率是随机量，第一个短期利率模型 OU 处理器于 1977 年开发。然而，诸如此类的内生模型需要对收益率曲线进行校准，这可能导致自由度损失和校准不佳，而外生模型将收益率曲线作为输入，避免了校准问题。该讲座还提供了有关如何开发建模技能和利率建模编程的见解。
  
  
• 00:10:00 在本节中，讨论了 HJM 框架，其中将内生模型转换为外生模型。这意味着无论为模型选择什么参数，收益率曲线将始终返回而没有任何差异。还提到 AJM 框架非常强大，提供了从均衡到期限结构模型的清晰路径。文献中有许多不同的模型，本文讨论了两种流行的模型，包括 Vasicek 的短期利率模型，该模型因不允许负利率而受到批评。
  
  
• 00:15:00 在本节中，讲师讨论了负利率问题以及一些金融工程师如何通过采取 CIR 流程来解决这个问题，该流程不允许负利率，但允许利率处于水平零。他解释说，可以通过移动它来修复这个过程，这个移动参数可以将分布从零移动到负百分之二或百分之三。讲师还讨论了拟合收益率曲线的重要性和校准问题，指出如果我们不能拟合收益率曲线，那么拟合其他任何东西都没有意义。最后，他提供了各种参数影响的模拟示例，例如均值回归速度和波动系数。
  
  
• 00:20:00 在本节中，讲师讨论了波动系数对各种模型路径的影响，例如 HJM 和 CIR 模型。他展示了较大的波动系数如何导致路径中出现较大的尖峰和更多的不确定性，而较小的系数会导致较窄的分布。讲师还解释了均值回归和利率如何影响这些模型的行为。在python代码中，他使用欧拉离散化和标准化来模拟路径，并施加条件来限制路径变为负数。
  
  
• 00:25:00 在 YouTube 金融工程讲座的这一部分，主持人讨论了 HJM (Heath-Jarrow-Morton) 框架，该框架为所有利率模型提供了一个全球框架。主持人解释说，该框架模拟了瞬时远期利率的动态，即从今天的角度来看未来一段时间内的利率。 AJM 框架构成了利率模型的基础，因为它提供了瞬时远期利率波动与无套利漂移之间的明确关系，确保模型始终无套利。该框架是在短期利率和 LIBOR 市场模型的背景下讨论的，它们是 AJM 框架的特例。
  
  
• 00:30:00 本节讨论套利自由度与漂移的关系与瞬时远期汇率的波动有关，可以改变以在不同模型之间切换。 HJM 框架允许不同的波动率结构，但很难获得短期利率或 LIBOR 市场模型的解析表达式。然而，对于某些情况，该模型确实提供了基于 HJM 框架指定的波动率的零息债券的解析表达式。该框架对于从均衡模型转向期限结构模型至关重要，并允许将可观察到的收益率用作模型的输入。这与不同的模型相比，例如 HJM 框架下的短期利率模型，在快速校准方面可以被认为类似于法拉利，但缺乏针对多种市场工具的校准和实施的灵活性。短期利率模型的基本目标是保证收益率曲线和零息债券。
  
  
• 00:35:00 在本节中，讲师讨论了金融工程中使用的不同期限结构模型的局限性。虽然 HJM 框架在校准收益率曲线方面提供了更大的灵活性，但其两个参数的简单性使得难以校准经过数年评估的多口径异国情调。他解释说，具有随机波动率的市场模型具有高维护成本和校准挑战，但它是为奇异事件和波动率定价的理想选择。然后，讲师使用零息债券定义瞬时远期利率，并演示如何通过再融资策略构建一段时间内的远期利率，从而提取有效利率。
  
  
• 00:40:00 在本节中，演讲者讨论了无套利再融资策略以及如何从零组件中隐含利率。他们为远期利率定义了一个函数形式，并强加了一个结构，使其呈指数形式，并且有一些应计倍率。通过取表达式的对数并将其乘以负数，他们找到了满足短期利率和远期利率等式的利率。瞬时远期利率定义为 fdt，他们根据成熟度对其进行区分。演讲者强调了牢记这始终与成熟有关的重要性。
  
  
• 00:45:00 这节课介绍了瞬时远期利率的概念，定义为零息债券对到期日的对数的导数。这是 HJM 框架的基本构建块，因为一切都以瞬时远期利率表示。该讲座强调了区分零息债券和货币储蓄账户的重要性，因为后者是随机数量，而前者是确定性值。瞬时远期利率的动态集中在 HJM 框架中，其目标是理解和建模利率的动态。
  
  
• 00:50:00 在讲座的这一部分，教授描述了 p 度量下的瞬时远期利率的动力学，以及当我们将度量从 p 更改为 q 时找到该过程的动力学的目的。 HJM 框架由瞬时远期利率动态、作为短期利率积分的货币储蓄账户和零息债券关系组成。要定义测量 q 下的瞬时远期利率的动态，某些数量需要是鞅。教授还解释了短期利率与瞬时远期利率之间的关系，并强调了不同瞬时利率之间的依赖关系以及不同参数之间的关系。

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金融工程课程：第 3/14 讲，第 2/2 部分，（HJM 框架）

金融工程课程：第 3/14 讲，第 2/2 部分，（HJM 框架）

在讲座中，重点是 HJM 框架及其对利率建模的假设。讲师首先讨论 HJM 框架中的无套利条件，这对于该框架内的任何利率模型都是至关重要的。这些条件确保每项用储蓄账户贴现的资产都像一个鞅。通过将 Itō 的公式应用于零息债券和货币储蓄账户，获得资产除以货币储蓄账户的动态，从而得出关于瞬时远期利率无套利条件的著名 HJM 引理。

接下来，讲师探讨了如何在 HJM 框架内确定瞬时远期利率的漂移。如果一个人想处于风险中性和无套利的世界，则瞬时远期利率的波动性在定义漂移方面起着关键作用。讲师解释说，要为短期利率或瞬时远期利率建模，必须指定瞬时远期利率的波动性。一旦定义好了，瞬时远期利率的动态就已知了，从而确保了无套利的环境。本讲座还涵盖了短期利率动态的计算，其中涉及期限曲线、常数确定性函数以及关于波动率偏导数的积分。

本讲座进一步深入探讨了 HJM 框架的实际方面。讲师讨论了如何通过指定框架内的波动率来生成不同的短期利率模型。常数波动率作为最简单的形式呈现，允许在 HJM 条件下计算 alpha 函数。然后可以通过将指定的 sigma 和 alpha 代入框架，使用零息债券曲线作为输入来推导出短期利率的动态。从市场工具中估计的收益率曲线的重要性被强调为利率衍生品定价的关键组成部分。

特别注意 Uli 模型，它属于仿射过程类并提供时间相关的漂移和 sigma 参数。讲师解释了该模型如何在不需要嵌套蒙特卡罗模拟的情况下以指数形式计算零息债券，从而节省计算能力。明确表达了短期利率与 b 中已知确定性函数之间的关系，并提到了 Longstaff Schwarz 算法用于估计预期的潜在用途。

该讲座还强调了以零复合和优雅的方式表示模型的重要性。 HJM 框架被认为是实现这一目标的强大工具。进行了 Python 实验以演示如何使用模拟路径来计算零息债券，并将它们与输入收益率进行比较。需要强调的是，HJM 框架确保模拟路径始终产生与收益输入中包含的零息债券相同的零息债券。

HJM 框架内的蒙特卡罗模拟方法作为生成收益率曲线的一种方法进行了讨论。讲师介绍了一种方法，包括指定收益率曲线、估计零成分曲线以及计算 theta 和 sigma 参数。然后执行蒙特卡罗模拟，并使用由此产生的贴现因子绘制模型和市场的零息债券曲线。讲师展示了该方法在处理参数值变化方面的灵活性，并强调了输入和输出收益率之间的完美匹配。

还讨论了 HJM 框架内模型的校准，重点是校准相关产品的优势，而无需单独校准收益率曲线。讨论了收益率曲线校准中经常遇到的困难，突出了 HJM 框架在这方面的优势。解释了使用 HJM 假设的短期利率模型中恒定波动率模型的推导，展示了有助于模型评估的短期利率动态的简化形式。

讲座最后总结了所涵盖的要点，并为学生提供了三个练习来应用所学的概念和计算。练习涉及伊藤的动力学计算，

• 00:00:00 在讲座的这一部分，重点是 HJM 框架及其利率建模假设。讨论了 HJM 模型下的任意自由条件，它定义了属于 HJM 框架的任何利率模型的主要驱动因素。此外，还引入了 Pulley 和 Full-Wyte 模型作为 HJM 框架的特例，并使用蒙特卡罗模拟来说明期限结构模型如何恢复收益率曲线。讲座最后总结了要点，并提供了三个有见地且有用的练习供学生完成。
  
  
• 00:05:00 在本节中，讲师讨论了 HJM 框架中瞬时远期利率的无套利条件。任意自由条件表明，经济中用货币储蓄账户贴现的每项资产都必须是鞅。然后，讲师将 Itō 的公式应用于零息债券和货币储蓄账户，以获得资产除以货币储蓄账户的动态，它表示为瞬时远期利率的指数和函数。由此产生的导数相当复杂，涉及积分和两个参数，但它最终导致了著名的 HJM 引理，即瞬时远期利率的无套利条件。
  
  
• 00:10:00 在这节课中，HJM 框架用于确定瞬时远期利率的漂移，如果要在风险中性的任意自由世界下，它完全由波动率决定。这意味着如果有人想对短期利率或瞬时远期利率建模，他们必须定义瞬时远期利率的波动率。一旦定义了这一点，瞬时远期利率的动态就已知了，套利就没有了。省略了证明和推导，但使用瞬时远期利率和随机微分方程的定义计算了短期利率的动态。短期利率的动态包括成熟度曲线、常数确定性函数以及波动率相对于布朗运动的偏导数从 0 到 t 的积分。
  
  
• 00:15:00 在本节中，教授讨论了 HJM 框架以及如何通过指定框架内的波动率来生成不同的短期利率模型。最简单的可能波动率是一个常数，通过指定它，我们可以计算出 HJM 条件下 alpha 的函数。可以通过将 sigma 和 alpha 代入框架并使用零息债券曲线作为输入来推导出短期利率的动态。教授解释说，与零息债券曲线相关的收益率曲线是利率衍生品金融中最重要的组成部分之一，它是根据市场工具估算的。一旦我们有了一些掉期、其他利率衍生品和市场工具，我们就可以通过在点之间进行插值来构建零息债券曲线。
  
  
• 00:20:00 在这节课中，讨论了 uli 模型，它属于过程的仿射类，具有随时间变化的漂移和 sigma 参数。该模型允许以指数形式找到动态选项和零息债券函数，从而可以轻松计算时间t1至时间t2的零息债券，而无需嵌套蒙特卡洛模拟，从而节省了计算量。相反，短期利率和 b 中的确定性函数之间的关系，以紧密形式已知，被明确表达。 Longstaff Schwarz 算法也可用于估计期望，这将在后续课程中讨论。
  
  
• 00:25:00 在本节中，讨论了能够以零复合优雅方式表示模型的重要性。 HJM 框架为此目的提供了一个强大的工具，正如在 Python 实验中所见，其中指定了零息债券曲线，并采用了带有一些 sigma 参数的 Hul Lee 模型。模拟路径用于计算零息债券，并将 E 对负积分的期望与输入进行比较。 AJM 框架要求无论为 sigma 选择什么参数，来自模拟路径的零息债券将始终与已纳入收益率输入的那些相同。
  
  
• 00:30:00 在本节中，讲师讨论了 HJM 框架中用于创建收益率曲线的蒙特卡罗模拟方法。他使用的方法包括指定收益率曲线、估计零成分曲线以及计算 theta 和 sigma 参数。然后，他执行蒙特卡罗模拟并存储贴现因子，利用蒙特卡罗模拟的输出绘制模型和市场的零息债券。讲师演示了该方法如何处理参数值的变化，并且作为输入和输出的收益率始终完美匹配。
  
  
• 00:35:00 在讲座的这一部分，讲师讨论了 HJM 框架如何允许将模型校准到相关产品，而无需单独校准到收益率曲线。演讲者指出，根据收益率曲线进行校准通常会遇到困难，而该框架并非如此。此外，演讲者解释了如何使用 HJM 假设下的波动率规范推导出短期利率模型中的恒定波动率模型。替代用于获得短期利率动态的简化形式，从而可以评估模型的公式。
  
  
• 00:40:00 在本节中，讲师讨论了 HJM 框架和短期利率的动态。 lambda 参数是一个随时间变化的函数，根据市场工具给出，瞬时远期汇率是 HJM 框架的关键要素。 theta 函数保证通过整合捷径、取指数并取其期望获得的零息债券与输入相匹配。对于 HJM 框架，讲师提到我们有两个参数，lambda 和 sigma，可用于校准。 lambda 参数将每周或每月固定和重新校准。西格玛参数将经常使用交换选项进行校准。讲师强调了将模型校准到将用于对冲的工具的重要性，校准工具应仅限于用于定价和对冲的工具。
  
  
• 00:45:00 在本节中，重点是模拟 theta t 函数，这在 HJM 框架中至关重要。对theta t函数进行微分，有办法优化实现，提高效率。提供的代码用于教育目的，图表说明了不同反演参数和波动率对路径的影响。本节继续定义市场零息债券并为它们模拟蒙特卡罗路径。收益率曲线与从 Hull-White 模型获得的曲线进行比较，HJM 框架中有两个参数，这为奇异衍生品的校准提供了更大的灵活性。生成一个 Python 代码来计算一个超过 MT 的期望值，并与收益率曲线进行比较。可以更改参数，并观察它们对收益率曲线的影响。
  
  
• 00:50:00 在本节中，讲师讨论了 HJM 框架及其在利率建模中的应用。收益率曲线是这些模型的重要输入，模型的构建确保收益率曲线始终完美校准以适应市场。使用具有额外自由度的插值和校准对于为衍生品定价至关重要。讲座还涵盖了利率世界中无套利条件的规范，并讨论了各种模型之间的差异，包括 Hull-White 和 Full-White 模型。最后，讲师为学生提供了三个练习，以将这些概念和计算应用于指数 Vasicek 模型。
  
  
• 00:55:00 在本节中，我们将学习如何对冲债券并找到平衡对冲工具之间不确定性的权重，所有这些都是使用具有恒定参数的血管模型完成的。该过程是随机的而不是确定性的，但是选择权重以使它们彼此相等有助于在不同债券之间重新分配资金并确保您拥有良好的投资组合。然后，我们研究负利率问题以及如何通过使用称为转移的市场实践来解决它，该实践引入了一个正参数来将 R 的所有路径移动一定量。这些练习有助于计算给定方程组的 Ito 动力学、计算预期并解决负利率问题。

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金融工程课程：第 4/14 讲，第 1/2 部分，（短期利率下的收益率曲线动态）

金融工程课程：第 4/14 讲，第 1/2 部分，（短期利率下的收益率曲线动态）

演讲者就短期利率模型及其与收益率曲线动态的联系发表了内容丰富的讲座。他们首先介绍了短期利率模型的概念并讨论了它们的相关性。为了加强理解，他们将讨论从单因素冷白模型扩展到更全面的多因素模型，并在此过程中进行了多次模拟。

随后全面介绍收益率曲线，探索不同的收益率曲线形状及其与短期利率动态的关系。演示者在这些概念和实际市场实验之间建立了联系，阐明了它们的实际应用。在探索单因素模型的局限性的同时，演示者还提出了潜在的解决方案，包括双因素模型的构建和模拟。

在随后的部分中，讲师重点介绍均值回归过程并演示如何为这些过程生成路径。他们展示了一个 3D 图，展示了利率随时间的分布。介绍一个称为“yt”的转换，讲师解释了这个过程如何从整个白色模型中提取均值回复部分。通过将 Ito 引理应用于 yt 并代入整个白色模型的动力学，他们推导出了白色模型分布的解。

yt 的动力学成为讲师强调其随机成分独立性的中心舞台，有效地消除了对 rt 和 yt 的依赖。他们继续通过集成找到过程 rt 的解决方案。整个速率模型的解包含一个比例常数、一个随时间变化的漂移函数、一个带有指数的波动分量和一个衰减系数。表达式的确定性使得对瞬态函数的积分变得容易，并且所得积分呈正态分布。因此，rt 服从具有期望和方差的正态分布，其中长期期望收敛于 theta t 函数。还简要讨论了仿射扩散过程的类别。

继续跳跃扩散过程，讲师深入研究了 Hull-White 模型和利率模型的特定特征。他们强调，Hull-White 模型属于仿射跳跃扩散过程类，能够推导该过程的特征函数和零息债券的解析表达式。详细解释了特征函数的推导和Hull-White模型分解的应用。时间相关参数被确定为影响模型功能的重要因素，有可能将它们超出预期。

教授继续讨论模型的解决方案，并强调了 Dupey-Duffy-Singleton 定理的重要性。他们解释说，解的形式是 Riccati 型方程，该定理有助于推导函数 A 和 B。该定理的意义在于仅根据 Rt 路径特定点的依赖性来表达条件期望，因此改进模拟。事实证明，此功能对于需要多个嵌套蒙特卡罗模拟的投资组合评估特别有价值。此外，函数 A 和 B 的封闭形式和易于实现的特性使它们成为行业中高度采用的模型，避免了昂贵的重新校准的需要，同时有效地校准了收益率曲线动态。

讲师强调了一个强大的表达式，它允许在不求助于嵌套蒙特卡罗模拟的情况下评估零息债券。该表达式消除了额外模拟的需要，显着提高了长期期限互换定价的效率。依赖于成熟度的功能A和B在这个过程中起着举足轻重的作用，可以直接进行评估。讲师提供零息债券与函数 A 和 B 之间的封闭形式关系，涉及 theta 函数、波动率和最小速度计版本。此外，他们展示了两种从模型中评估零息债券的方法：使用解析表达式或避免积分。

继续讲座，讲师解释了如何在全白模型中计算零息债券，采用比嵌套蒙特卡罗模拟更快、更有效的方法。他们将零息债券的表达式表示为变量 a 和 b 以及最短瞬时远期利率 r0 的函数。与之前的嵌套蒙特卡洛模拟方法相比，该方法在速度和效率方面具有优势。还强调了收益率曲线在确定未来现金流量现值方面的重要性。收益率曲线是将流动性工具的报价映射到统一曲线的重要工具，不同期限的零息债券被用来构建远期利率。收益率曲线的主要目标是在各种情况下提供对未来利率的预期。

本讲座进一步探讨了在构建收益率曲线时选择最具流动性的工具的重要性。选择这些工具是因为它们经常用于对冲和定价奇异衍生品。讨论了收益率曲线上的点插值，因为它会对计算中使用的整体贴现曲线产生重大影响。此外，收益率曲线被视为一个国家经济方向的领先指标，并可能受到中央银行货币政策的影响。解释了零息债券与收益率的映射，收益率通常表示为以年为单位的有效利率。值得注意的是，收益率曲线不仅反映了利率预期，还反映了投资者的风险态度和对不同期限债券的偏好。

继续讲座，讲师解释了收益率曲线的机制及其对短期债券需求的依赖性。收益率曲线由一组节点表示，每个节点都与相应的一对相关联。这些对用于定义曲线上的脊柱点，曲线本身是将一组零利率映射到实数的函数。脊柱点的确定涉及校准仪器，这些点之间的插值方法可以根据市场惯例或个人交易者偏好而变化。这种插值对于获得脊柱点之间的键值是必要的。还详细讨论了零息债券到收益率曲线的映射和收益率曲线的构建。

演讲者强调了插值在计算债券价值中的关键作用，并强调了它对对冲绩效的影响。插值方法的选择会显着影响与收益率曲线相关的敏感性和风险。此外，收益率曲线的构建对对冲策略有着深远的影响。讲座深入探讨了有关收益率曲线和收益率命名的惯例，并提供了具体的例子，例如五年5%的收益率与零息债券和收益率曲线上的脊柱点有关。会议结束时预示了下一部分，该部分将更深入地探讨收益率曲线的构建，解决工具的敏感性、不同插值技术的影响以及插值对对冲绩效的影响。

在讲座的后续部分，演讲者强调了准确计算收益率的重要性，并强调需要使用完整的表达式，而不是仅仅依赖于单个术语的期望。这是因为积分函数和指数函数不具有相同的期望值。介绍了收益率曲线动力学，探索了各种形状的收益率曲线，包括表明经济健康的正常收益率曲线。演讲者进一步解释了中央银行如何利用量化宽松政策将短期利率推低，从而影响收益率曲线的形状。

讲师讨论不同形状的收益率曲线，包括平坦曲线和反向收益率曲线。后者通常与市场危机或即将发生的危机有关。它代表着从正常曲线向倒曲线的转变，可能导致银行对发放更多贷款犹豫不决，从而导致对整体经济的刺激有限。该讲座展示了美国财政部的一张图表，显示了收益率曲线随时间的动态变化，提供了对未来经济趋势的见解。还涵盖了收益率曲线的平行移动及其对利率领域头寸的影响。

讲师将焦点转移到短期利率下的收益率曲线动态上，展示了一个展示收益率曲线动态的视频演示。在视频中，蓝线代表有效联邦基金利率，可以被视为短期利率，因为它反映了隔夜利率。绿线对应市场隐含的收益率，代表市场预期。该视频展示了各种危机，例如 2008 年金融危机，收益率曲线扁平化和倒挂，导致投资者从股市转向国债。

讲师提供了视频链接，鼓励观众自己探索收益率曲线的动态。了解短期利率和收益率曲线变动之间的关系对于有效的风险管理至关重要。通过使用包含零息债券的公式模拟短期利率并为每条路径构建收益率曲线，可以深入了解收益率曲线的动态和行为。

基于这种理解，讲座的后续部分将深入研究从短期利率得出的更现实的收益率曲线动态。这种探索旨在全面了解短期利率和收益率曲线之间的相互作用，从而更好地评估和管理金融市场的风险。

• 00:00:00 在金融工程课程的这一部分，讲者讨论了短期利率模型的概念及其与收益率曲线动态的关系。它们涵盖了将单因素冷白模型扩展到多因素模型并进行了多次模拟。此外，他们还介绍了收益率曲线并讨论了不同形状的收益率曲线和短期利率动态，将这些概念与实际市场实验联系起来。讨论包括单因素模型的局限性及其解决方案，包括双因素模型的构建和模拟。演讲者以总结和两个家庭作业练习结束了讲座。
  
  
• 00:05:00 在讲座的这一部分，讲师解释了如何为均值回归过程生成路径，并展示了这些路径的 3D 图，显示了利率随时间的分布。然后，教师介绍整个白色模型的转换，从而可以推导出白色模型分布的解决方案。这种转换被定义为一个称为 yt 的过程，它从整个白色模型中提取均值回复部分。通过将 Ito 引理应用于 yt 并将动力学替换为整个白色模型，讲师展示了如何推导白色模型分布的解决方案。
  
  
• 00:10:00 这节课的重点是yt的动态，它不依赖于一个随机成分，去掉了对rt和yt的依赖。过程 rt 的解决方案是通过积分找到的。整个速率模型的解由一个比例常数、一个随时间变化的函数漂移、一个带有指数的波动分量和一个衰减系数组成。该表达式是确定性的，这意味着积分随时间变化的函数很容易，并且积分服从正态分布，因此 rt 服从具有期望和方差的正态分布，其中长期期望收敛于 theta t 函数。还简要讨论了仿射扩散过程的类别。
  
  
• 00:15:00 在本节中，讲师讨论跳跃扩散过程的特征，特别是 Hull-White 模型和利率模型。他指出，该模型属于仿射跳跃扩散过程类，可以找到该过程的特征函数和零息债券的解析表达式。他进一步解释了特征函数的推导和Hull-White模型分解的应用。最后，他强调随时间变化的参数会影响模型的功能，它们可以超出预期。
  
  
• 00:20:00 在讲座的这一部分中，教授讨论了模型的解决方案以及 Dupey-Duffy-Singleton 定理的重要性。解的形式是 Riccati 类型的方程，函数 A 和 B 可以使用 Dupey-Duffy-Singleton 定理导出。这个定理很重要，因为它允许仅在 Rt 路径的特定点根据依赖性条件表达期望条件，这改进了模拟。这对于需要对嵌套蒙特卡罗模拟进行多次评估的投资组合评估特别有用。此外，函数 A 和 B 是封闭形式且易于实现，使其成为业内广泛采用的模型，可以有效地校准收益率曲线并且不需要昂贵的重新校准。
  
  
• 00:25:00 在金融工程课程的这一部分中，讲师讨论了可以评估零息债券的强大表达式，它消除了嵌套蒙特卡罗模拟的需要，使长期期限的定价互换更加有效.该表达式取决于由成熟度确定的函数 A 和 B，无需额外模拟即可直接求值。讲师还提供了零息债券与函数 A 和 B 之间的封闭形式关系，其中涉及 theta 函数、波动率和最小速度计版本。此外，讲师还展示了如何使用分析表达式或通过避免积分来评估模型中的零息债券。
  
  
• 00:30:00 本节，讲师讲解如何在不使用蒙特卡洛模拟的情况下计算全白模型下的零息债券。零息债券的表达式由函数 a 和 b 以及 r0 给出，r0 是最短的瞬时远期利率。这种方法比以前的嵌套蒙特卡洛模拟更快、更有效。还讨论了对确定未来现金流量的现值很重要的收益率曲线，以及它们在不同资产类别中的用法。一维白模型在风险管理中的局限性也被提及。
  
  
• 00:35:00 在讲座的这一部分中，讨论了收益率曲线作为贴现未来现金流量的一种方式的重要性。收益率曲线代表市场对未来利率的预期，用于将流动性工具的报价映射到统一的曲线上。零组件的不同期限用于构建远期利率，收益率曲线的主要概念是提供不同情景下对未来利率的预期。本讲座还涵盖了如何模拟收益率曲线以及如何将模型从单因素扩展到双因素。利率产品是对未来价值的预期，股票价值是未来现金流量的贴现。
  
  
• 00:40:00 在本节中，讨论了在构建收益率曲线时选择最具流动性的工具的重要性。选择这些流动性工具是因为它们最常用于对冲，并用于奇异衍生品的定价。还讨论了收益率曲线上点的插值，因为它会对计算中使用的整体贴现曲线产生重大影响。收益率曲线被视为国家经济方向的领先指标，并可能受到中央银行货币政策的影响。最后，解释了零息债券与收益率的映射，收益率通常表示为以年为单位的有效利率。收益率曲线不仅反映了利率预期，还反映了投资者对风险的态度以及对不同期限债券的需求。
  
  
• 00:45:00 这部分，讲师解释了收益率曲线的工作原理以及它们如何根据短期债券的需求而变化。收益率曲线可以用一组节点表示，其中每个节点都有与之关联的对应对。这些对用于定义曲线上的脊柱点，曲线本身是将一组零利率映射到实数的函数。脊柱点是通过校准仪器确定的，它们之间使用的插值可以根据市场惯例或交易者的选择而改变。这种插值对于在脊椎点之间获得键是必要的。讲师还讨论了如何将零息债券映射到收益率曲线以及如何构建收益率曲线。
  
  
• 00:50:00 在讲座的这一部分，演讲者强调了插值在计算债券价值中的重要性，并讨论了其对冲性能。插值的选择在确定与曲线相关的敏感性和风险方面起着重要作用。演讲者还谈到了收益率曲线的构建如何影响对冲，并讨论了有关收益率曲线和收益率命名的惯例。例如，五年内 5% 的收益率与零息债券和收益率曲线上的脊柱点有关。讲座最后指出，下一节将更详细地探讨收益率曲线构建，届时与会者将了解曲线构建如何影响工具的灵敏度、不同插值程序的影响以及插值如何影响对冲性能。
  
  
• 00:55:00 在本节中，演讲者讨论了正确计算收益率的重要性，并强调需要使用完整的表达式，而不是仅仅采用单个术语的期望值。他们解释说这是因为积分函数和指数函数没有相同的期望值。演讲者还介绍了收益率曲线动力学的概念，并探讨了收益率曲线的不同可能形状，包括表明经济健康的正常收益率曲线。讨论最后解释了中央银行如何使用量化宽松政策将短期利率推低以及这如何影响收益率曲线。
  
  
• 01:00:00 在本节中，讲师讨论了收益率曲线的不同形状，包括平坦曲线和反转收益率曲线，这通常与市场危机或即将到来的危机有关。这是正常曲线和倒曲线之间的过渡，银行可能不会发放更多贷款，这可能不会刺激整个经济。讲师还展示了一张来自美国财政部的图表，该图表及时显示了收益率曲线动态，表明经济将发生什么。此外，讨论还涵盖了收益率曲线的平行移动以及对某人在利率领域的头寸的影响。
  
  
• 01:05:00 在本节中，讲师讨论了短期利率下的收益率曲线动态。重点是演示收益率曲线动态的视频，其中蓝线代表有效联邦基金利率，由于它是隔夜利率，因此可以将其视为短期利率。绿线对应的是市场隐含的收益率，是市场预期。该视频展示了各种危机，例如 2008 年的金融危机，曲线变平和倒挂，导致投资者离开股市转向国库。讲师提供视频链接，让观众了解收益率曲线的动态。
  
  
• 01:10:00 在本节中，视频解释了如何使用考虑零债券的公式模拟短期利率并为每条路径构建收益率曲线。通过观察每条路径中收益率曲线的不同动态，可以了解短期利率和收益率曲线之间的关系，这对于风险管理目的是有用的。在下一个模块中，讲座将重点关注短期利率所暗示的更现实的收益率曲线动态。

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金融工程课程：第 4/14 讲，第 2/2 部分，（短期利率下的收益率曲线动态）

金融工程课程：第 4/14 讲，第 2/2 部分，（短期利率下的收益率曲线动态）

讲师深入探讨了模拟短期利率模型及其在测量收益率曲线动态方面的应用。收益率曲线代表市场对未来收益率的预期，并受到市场认知和预期的影响。为了分析这些动态，讲师提出了一个实验，该实验涉及观察每次实现短期利率的连续复合利率，并为每种情况生成收益率曲线。该模拟有助于评估短期利率模型和驱动函数 theta t 的真实性。本实验利用真实市场数据来提高准确性。

讲师强调了短期利率模拟在风险分析中的实用性。通过生成不同情景的收益率曲线，可以评估包含利率产品的投资组合的现值。为了证明这一点，讲师模拟了短期利率的多条路径，并计算了每条路径的零息债券。有趣的是，讲座指出，使用全白模型生成的收益率曲线呈现平行移动，这在实践中是不现实的。本讲座最后展示了用于生成收益率曲线的 Python 代码。

继续讨论，强调零息债券的连续统一体对于计算函数 theta 的重要性。该讲座强调了插值的重要性，特别是对速率本身而不是指数进行插值，以确保数值稳定性。探讨了插值的各种选择和债券计算的点数。此外，讲座还深入探讨了零息债券和收益率的模拟和生成，强调了持续稳健地实施这些流程的重要性。最后，讲座展示了根据市场数据生成的收益率曲线和全球模型的模拟蒙特卡罗路径，揭示了一个健康但非常低的利率。

讲座继续解决全白模型的局限性。虽然该模型允许校准整个收益率曲线，但它无法校准整个远期曲线，这是大多数短期利率模型的常见限制。为了克服这一限制，讲师介绍了劳动力市场模型，该模型非常适合解决远期曲线和收益率曲线校准问题。此外，全白模型会遇到零分量完全相关的问题，进一步降低其有效性。

继续讨论单因素 Hull-White 模型的局限性。这些限制包括到期日较近的债券之间的相关性较高，而到期日较远的债券之间的相关性较低，因此无法将模型校准到不同利率的整个期限结构。该模型也被认为不适合风险管理目的，因为它假设零息债券和短期利率动态之间存在相关性。为了解决这些问题，引入了双因素 Hull-White 模型的扩展。但是，此扩展主要用于风险管理和场景分析，而不是定价。解释了双因素模型的动态，第一个因素代表收益率曲线的水平，第二个因素代表收益率曲线的偏度。

讲师继续讨论高斯双因子 Hull-White 模型，它是单因子模型的变体。给出了两个模型之间的比较，强调在它们之间切换时参数的含义可能不同。讲座着重介绍了高斯双因子 Hull-White 模型在模拟过程及其在蒙特卡洛模拟中的高效实施方面的优势。本讲座探讨了模型的积分函数及其在零息债券定价中的应用。

然后解释了使用全白双因素模型模拟给定实现的收益率曲线。该模型的零息债券具有封闭解析形式，涉及高斯过程系统。模拟高斯双因子模型需要模拟两个对应于期限结构的均值回归过程，使用波动率和相关系数的表达式。本讲座区分了过程 X 和 Y，其中 X 代表收益率曲线的水平，Y 代表曲线的陡度或偏斜度。与这些过程相关的两个布朗运动之间的相关性是负的，表明对曲线有硬化作用。

当将相同的技术应用于双因素模型时，讲座还深入研究了债券之间的相关性。与单因素模型不同，双因素模型中相应收益率之间的相关性不等于1。这一发现证实，在模型中添加一个额外的因素会导致更现实的隐含波动率形状，尤其是在定价上限时。但是，请务必注意，增加模型中的因素数量会增加复杂性和校准难度。尽管如此，双因素模型始终生成相同的收益率曲线，使其成为 AJM（无套利联合模型）框架。

本讲座进一步讨论了将更多因素纳入高斯模型的局限性。据解释，即使有大量参数，由于缺乏随机波动率，隐含波动率的灵活性仍然有限。然后讲座继续模拟双因素模型的路径，检查整个白色双因素模型隐含的收益率曲线和附加相关系数。由此产生的收益率不仅表现出平行变化，而且还反映了相关性和动态的影响。事实证明，此功能对于风险管理目的很有价值。讲师通过分享用于模拟的 Python 代码来结束本节。

讲师强调了在对收益率曲线建模时选择合适的插值技术的重要性，强调插值方法的选择会对结果产生重大影响。接下来的讲座将涵盖良率重建、不同插值的影响、要避免的常见陷阱以及确保插值真实性的方法等主题。此外，讲座还介绍了零息债券网格的概念。对市场产生的零息债券与使用赫尔-怀特模型计算的零息债券进行了比较。执行蒙特卡罗模拟，生成十年期间单因素和双因素模型的收益率曲线。本讲座最后比较了从这两个模型获得的产量计算。

接下来，讲座重点介绍了收益率曲线动力学双因素模型的模拟结果。这些结果与单因素模型的结果以及来自市场的分析结果进行了比较。很明显，双因素模型提供了更真实和全面的收益率曲线动态表示。虽然由于额外的波动率因素，双因素模型的整体波动率更高，但它并没有显着改变整体情况。关键要点是，在高斯双因子模型中加入一个额外因子可以在蒙特卡罗模拟中更真实地描述收益率动态。最后，讲师总结了讲座的主要学习内容，包括求解赫尔-怀特模型和将零息债券与特征函数联系起来，并简要介绍了收益率曲线的构建及其局限性。

在讲座的最后，讨论了冷白模型的局限性。这些限制主要围绕不同期限的债券之间的相关性，以及模型由于其有限的参数集而无法针对市场上广泛的工具进行校准。为了解决这些问题，讲座建议将模型扩展到双因素框架，允许放宽零息债券之间的完美相关假设。讲座最后布置了两个作业练习：一个涉及 t 正向测量下的期望，另一个使用拉普拉斯变换来证明某些期望。

在整个讲座中，理解和选择合适的风险分析和收益率曲线动态模型的重要性变得显而易见。虽然 Hull-White 模型及其变体提供了宝贵的见解和工具，但必须承认它们的局限性并探索替代模型以应对特定挑战。

讲座中介绍的一种替代模型是劳动力市场模型，它解决了 Hull-White 模型在校准整个远期曲线方面的局限性。劳动力市场模型允许对远期曲线和收益率曲线进行更全面的校准，使其成为某些风险管理应用的合适选择。

此外，讲座强调了插值技术在收益率曲线建模中的重要性。选择正确的插值方法对于准确捕捉收益率曲线的行为和形状至关重要。讲师强调插值不仅仅是一个技术细节，而是一门艺术，需要仔细考虑和理解潜在的动态。为了说明插值的影响，讲座比较了市场数据生成的收益率曲线和使用 Hull-White 模型计算的收益率曲线。讲师演示了不同的插值选择如何导致不同的收益率曲线形状和值。该分析强调了选择符合收益率曲线所需特征和现实性的插值方法的重要性。

随着讲座的进行，出现了针对不同情景模拟收益率曲线的主题。蒙特卡洛模拟被证明是生成收益率曲线和评估与利率产品相关的潜在风险的宝贵工具。通过模拟短期利率的多条路径并计算每条路径的零息债券，分析师可以评估利率产品组合在不同市场情景下的现值。

本讲座最后演示了用于生成收益率曲线的 Python 代码。该代码展示了整个讲座中讨论的概念的实际实施，为学习者提供了实践经验并加强了他们对主题的理解。

总之，本讲座深入探讨了短期利率模型、收益率曲线动态及其对风险分析的影响。它讨论了 Hull-White 模型的局限性，并介绍了替代模型，例如劳动力市场模型和高斯双因素 Hull-White 模型。强调了选择适当的插值技术和进行蒙特卡罗模拟的重要性。通过示例和实际演示，该讲座为学习者提供了在各种金融环境中有效建模和分析收益率曲线所需的知识和工具。

• 00:00:00 在讲座的这一部分，讲师讨论了模拟短期利率模型并使用它们来衡量从模型中获得的收益率曲线的动态。收益率曲线本质上是对未来可能收益率的预期，它会根据市场预期和看法动态移动。该实验涉及观察每次实现短期利率的连续复合利率的动态，并为每种情况生成收益率曲线。这种模拟可以帮助确定短期利率模型是否现实，收益率曲线是由函数 theta t 驱动的。该实验使用真实市场数据以提高准确性。
  
  
• 00:05:00 在讲座的这一部分，演讲者解释了如何将短期利率模拟用于风险分析。通过生成不同情景的收益率曲线，可以评估利率产品组合的现值。演讲者通过实验证明了这一点，他们模拟了短期利率的多条路径并计算了每条路径的零息债券。他们还展示了使用全白模型生成的收益率曲线实际上只是相互平行移动，这在实践中被认为是不现实的。本讲座最后演示了用于生成收益率曲线的 Python 代码。
  
  
• 00:10:00 在本节中，讲师讨论了零息债券的连续性对于计算函数 theta 的重要性。插值也很重要，讲师更喜欢对速率本身而不是指数进行插值，以确保数值稳定性。然后，讲座深入探讨了插值的不同选择和要计算的债券点数。此外，他还谈到了模拟和生成零息债券和收益率，强调了确保实施一致且无懈可击的重要性。最后，他展示了根据市场数据生成的收益率曲线和全球模型的模拟蒙特卡洛路径，展示了一个健康但极低的利率。
  
  
• 00:15:00 在金融工程讲座的这一部分，讨论了全白模型的局限性。虽然该模型很优雅并且可以校准整个收益率曲线，但它无法校准整个远期曲线，这是大多数短期利率模型的局限性。为了解决这个问题，讲座介绍了劳动力市场模型，该模型非常适合帮助解决远期曲线和收益率曲线。此外，整个白色模型存在完全相关的零分量的问题，这进一步限制了它的有效性。
  
  
• 00:20:00 这节课讨论了单因子Hull-White模型的局限性，比如到期日相近的债券之间相关性高，而到期日相距较远的债券相关性较低，使得不可能校准到不同利率的整个期限结构。该模型对于风险管理目的也是不利的，因为它假设零息债券和短期利率动态之间存在相关性。为了解决这些问题，提出了对双因素 Hull-White 模型的扩展。但是，此扩展不会用于定价，而是用于风险管理和场景。描述了双因素模型的动态，其中第一个因素代表收益率曲线的水平，第二个因素代表收益率的偏度。
  
  
• 00:25:00 在本节中，讲师解释了一个双因子模型，称为高斯双因子 Hull-White 模型，它是单因子 Hull-White 模型的变体。讲师比较了两种模型，并强调了在两种模型之间切换时牢记参数含义可能不同的重要性。讲座还讨论了高斯双因子 Hull-White 模型在模拟过程方面的优势及其在蒙特卡罗模拟中的有效实施。讲师随后探讨了模型的积分功能以及如何进行零息债券定价。
  
  
• 00:30:00 在本节中，演讲者解释了如何使用全白双因素模型模拟给定实现的收益率曲线。双因素全白模型的零息债券具有封闭的解析形式，涉及高斯过程系统。模拟高斯双因子模型涉及模拟两个对应于期限结构的均值回归过程，使用一些波动率和相关系数的表达式。过程 X 与收益率曲线的水平相关联，而过程 Y 对应于曲线偏度的陡峭程度。两个布朗运动之间的相关性为负，表明曲线变硬。
  
  
• 00:35:00 在本节中，演讲者讨论了将上一节中使用的相同技术应用于整个白色双因子模型时债券之间的相关性。相应收益率之间的相关性不再等于 1，因为我们正在处理不同的函数，确认通过向模型添加一个额外的因素，我们得到了一个更现实的隐含波动率形状，尤其是在定价上限时。此外，通过向模型中添加更多因素，我们增加了其复杂性和校准难度。但是，该模型始终生成相同的收益率曲线，使其成为 AJM 框架。
  
  
• 00:40:00 在本节中，讲师讨论了在高斯模型中添加更多因素的局限性，指出即使有数百个参数，由于缺乏随机波动率，隐含波动率的灵活性也受到限制。然后讲师继续模拟双因素模型的路径，他们在其中查看从具有附加相关系数的整个白色双因素模型隐含的收益率曲线收益率。收益率不仅是平行移动，还显示了相关性和动态的影响，这对于风险管理目的很有用。然后，讲师讨论了用于此模拟的 Python 代码。
  
  
• 00:45:00 在本节中，强调了在对收益率曲线建模时选择适当插值的重要性。讲师告诉学习者，选择合适的插值技术是一门艺术，可以显着影响结果。在接下来的两节课中，将讨论良率重构、不同插值的影响、要避免的陷阱，以及如何确保插值在某种意义上接近/真实。然后讲座继续定义零息债券的网格。讲师展示了市场产生的零息债券与赫尔-怀特模型计算的零息债券之间的比较。对路径进行蒙特卡罗模拟直到十年，并在双因素模型中生成另外四十年的收益率曲线。在收益率计算方面对单因素模型和双因素模型进行了比较。
  
  
• 00:50:00 在本节中，讲师讨论了收益率曲线动力学双因素模型的模拟结果，并将其与单因素模型和市场分析结果进行了比较。结果表明，双因素模型可以更真实、更丰富地表示收益率曲线动态。讲师还指出，由于额外的波动率因素，双因素模型的整体波动率更大，但这并没有改变整体情况。最重要的一点是，在高斯双因子模型中添加一个额外的因子可以使蒙特卡罗模拟产生的收益率动态更加真实。最后，讲师总结了讲座的主要学习内容，包括寻找 Hull-White 模型的解决方案以及将零息债券与特征函数相关联，并简要介绍了收益率曲线的构建及其局限性。
  
  
• 00:55:00 在这节课中，讨论了 Cool White 模型的局限性，特别是不同期限债券之间的相关性，以及该模型的参数很少，只允许对市场上的少数工具进行校准.所讨论的解决方案是对双因素模型的扩展，它允许释放零息债券之间完全相关的假设。为家庭作业提供了两个练习，一个涉及在 t 正向度量下找到期望，另一个涉及使用拉普拉斯变换来显示某些期望。

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金融工程课程：第 5/14 讲，第 1/2 部分，（利率产品）

金融工程课程：第 5/14 讲，第 1/2 部分，（利率产品）

讲座首先介绍各种利率产品，例如利率互换、远期利率协议和浮动利率票据。这些产品依靠地板和对联等波动性来定价。讲师强调 LIBOR 远期利率是所有利率合约的基本组成部分。

讨论了线性和非线性产品，讲座深入探讨了简单复合远期 LIBOR 利率的概念，该利率广泛用于不同的利率产品，包括掉期和衍生品。该远期利率有助于建立有关利率期的预期。重要的是要注意，在重置日期之前，利率仍然是随机变量，但在重置日期之后，它会变得固定，没有任何不确定性。

讲师探讨了两个交易对手之间的远期利率交换，从而达成远期利率协议。这些协议中的现金流量除以一加 tau 乘以 LIBOR 利率以进行贴现。远期 LIBOR 利率是在特定时期内定义的，其定义可能与零息债券有关。为协议定价涉及使用风险中性措施和贴现，其中固定利率和应计期起着关键作用。

解释了风险中性措施下的可交易资产的概念，包括货币储蓄账户，即鞅。讲师证明远期的价值可以表示为两种债券之间的差额，并强调远期交易的价值为零，这意味着固定利率应等于该金额。讲座还包括浮动利率票据，这是交易频繁的利率产品。最初，此类合同的付款设置为零，随后进行调整以方便在合同开始时无需支付任何费用。

本讲座的重点是浮动利率票据 (FRN)，它是根据伦敦银行同业拆借利率定义的，并且涉及作为名义乘以应计期的分数的息票。由于 LIBOR 利率是随机的，因此 FRN 接收浮动利率。合同的价值是通过将所有付款相加来确定的，这些付款使用风险中性度量中的预期单独贴现为现值。 FRN 的衡量标准变为 TK 远期衡量标准，确定预期需要找到空利率和 LIBOR 利率之间的联合分布，这对于支付计算至关重要。

讲座首先介绍各种利率产品，例如利率互换、远期利率协议和浮动利率票据。这些产品依靠地板和对联等波动性来定价。讲师强调 LIBOR 远期利率是所有利率合约的基本组成部分。

讨论了线性和非线性产品，讲座深入探讨了简单复合远期 LIBOR 利率的概念，该利率广泛用于不同的利率产品，包括掉期和衍生品。该远期利率有助于建立有关利率期的预期。重要的是要注意，在重置日期之前，利率仍然是随机变量，但在重置日期之后，它会变得固定，没有任何不确定性。

讲师探讨了两个交易对手之间的远期利率交换，从而达成远期利率协议。这些协议中的现金流量除以一加 tau 乘以 LIBOR 利率以进行贴现。远期 LIBOR 利率是在特定时期内定义的，其定义可能与零息债券有关。为协议定价涉及使用风险中性措施和贴现，其中固定利率和应计期起着关键作用。

解释了风险中性措施下的可交易资产的概念，包括货币储蓄账户，即鞅。讲师证明远期的价值可以表示为两种债券之间的差额，并强调远期交易的价值为零，这意味着固定利率应等于该金额。讲座还包括浮动利率票据，这是交易频繁的利率产品。最初，此类合同的付款设置为零，随后进行调整以方便在合同开始时无需支付任何费用。

本讲座的重点是浮动利率票据 (FRN)，它是根据伦敦银行同业拆借利率定义的，并且涉及作为名义乘以应计期的分数的息票。由于 LIBOR 利率是随机的，因此 FRN 接收浮动利率。合同的价值是通过将所有付款相加来确定的，这些付款使用风险中性度量中的预期单独贴现为现值。 FRN 的衡量标准变为 TK 远期衡量标准，确定预期需要找到空利率和 LIBOR 利率之间的联合分布，这对于支付计算至关重要。

该讲座解决了付款日期和衡量日期之间的不一致问题，并强调了正确评估的必要性。该措施对应于付款计划中的分子，如果未正确对齐，则需要进行任何更正或调整。根据 tk 远期衡量标准，在时间 tk 支付的 Libor 是一种鞅，可以对浮动利率票据进行定价。定价方程涉及对给定期间内 Libor 利率的预期，合同被称为互换，其中一方收到付款，而另一方根据固定利率支付。

详细讨论了掉期合同，涉及特定时期内现金流量的交换。掉期通常用于对冲抵押贷款市场的风险。有两种选择：互换付款人，个人支付固定利率并收到浮动利率，以及互换接收人，个人收到固定利率并支付浮动利率。名义金额可以是确定性的、随机的或时间衰减的，并且支付频率可以变化。固定部分保持不变，而浮动部分带有与 LIBOR 利率动态相关的不确定性。

该讲座强调了对冲在金融工程中的重要性，尤其是在具有随机支付的合同中。当金融机构有义务接收固定或浮动利率付款时，对冲对于抵消因标的资产波动而导致的潜在损失至关重要。

讲师继续解释如何利用零息债券的累计期总和并在伦敦银行同业拆借利率和行使价之间建立线性关系来计算掉期合约的价值。这种计算提供了对互换价值的洞察，并突出了零息债券在对冲中的作用。

讲座进一步强调，互换的价值取决于债券的第一笔和最后一笔付款，并且可以用第一笔和最后一笔零息债券进行有效对冲。年金因子是处理掉期交易的重要组成部分，因为它充当可交易资产。利率互换被认为是允许双方对冲其特定风险敞口的完美工具，银行可以利用它们对冲个人贷款，从而产生非常大的价值概念。

本讲座将重点特别转移到利率互换上，指出它们通常在投资组合层面进行考虑，并且初始值通常设置为零，从而实现自由交易。掉期利率是使掉期价值等于零的行使价，可以表示为 Libor 利率的加权和。通过利用市场上可用的利率工具并将其映射到收益率曲线，可以在不做出基础模型假设的情况下对基本利率互换进行定价。基于市场工具构建收益率曲线将在接下来的讲座中进一步讨论。

讲师深入研究了掉期中不同类型的概念，这些概念可以是时间相关的，由市场工具决定的，或者是随机的。此外，解释了鞅的必要条件，包括使用交易资产或它们的线性组合。需要强调的是，如果使用非线性公式，例如资产的平方，则不能将度量与资产之间的关系视为鞅。将 Ito 引理应用于平方 Libor 表明，由于漂移效应的存在，L 平方不是 D 正向度量下的鞅。

讲座继续解释如何使用收益率曲线和 Hulument 模型评估互换。提供了收益率曲线规范，并使用该模型生成了不同行权价的掉期。掉期的价值随罢工线性变化，掉期利率使用牛顿-拉夫森算法确定。讲座最后指出，如果平价掉期等于 0.03808，则掉期价值接近于零，表明已找到掉期价值为零的行使价。

讲座的这一部分全面概述了利率产品，重点是利率掉期。它涵盖了各种主题，包括掉期定价、对冲策略、零息债券的作用以及使用收益率曲线评估掉期。通过理解这些概念，学生可以深入了解金融工程和掉期合约价值的计算。

• 00:00:00 本节金融工程课程，讲师介绍利率互换、远期利率协议、浮动利率节点等利率产品。讲座还讨论了这些产品的定价，这些产品依赖于地板和对联等波动性。讲座从 LIBOR 远期利率的定义开始，该利率将在利率世界的所有合约中使用。讲座还讨论了线性和非线性产品。进一步讨论简单复合远期利率，以及它如何为远期比率协议的定价提供动力。讲师在本节的最后介绍了练习，这些练习将使您更深入地了解讲座中涵盖的材料。
  
  
• 00:05:00 在本节中，演讲者讨论了如何计算现金流量交易的现值，并解释了该值是通过将所有现金流量贴现到今天来获得的。有交易日的同业拆借的公平执行利率或公平利率被定义为远期利率，它是在一定时期内与特定现金流相关的利率。演讲者强调了理解这种结构的重要性，因为它是金融工程的基础。演讲者解释说，选择公平履约利率或公平利率 k 使得今天的合同价值等于零。
  
  
• 00:10:00 在本节中，我们了解基本工具，即简单复合远期 LIBOR 利率。一旦我们谈论掉期和利率衍生品，它就被广泛用于各种不同的利率产品中。该远期利率有助于定义利率期内的预期。需要注意的是，在重置之前（还款日），利率仍然是一个随机随机变量，但在重置日之后，它就固定了，没有不确定性了。
  
  
• 00:15:00 在本节中，讲师讨论了两个交易对手之间交换远期汇率的概念。他们可以同意在未来将浮动利率与固定执行利率进行交换，从而达成远期利率协议。合同指定现金流量除以 1 加 tau k libor tk 减 1 tk 减 1 dk，这代表现金流量的贴现。远期 libor 利率定义为 tk 减一到 tk，这个定义可能与零息债券有关。为了给协议定价，他们使用风险中性措施和贴现，得出一减零息债券 tk 减一 tk 除以储蓄账户 dk 减一，以及固定利率 k 和应计期。
  
  
• 00:20:00 在本节中，演讲者解释了风险中性措施下的可交易资产（包括货币储蓄账户）如何是鞅。他们表明，远期的价值相当于两份债券之间的差额，以及欺诈交易如何以零价值进行交易，这意味着固定利率应等于该金额。他们还讨论了浮动利率票据的概念，这是另一种交易频繁的利率产品。最后，演讲者谈到了最初如何将此类合同的付款设置为零，但随后会进行调整以补偿在合同开始时无需支付任何费用的便利。
  
  
• 00:25:00 在本节中，我们将了解 FRN（浮动利率票据），它是根据伦敦银行同业拆借利率定义的，并且是一种工具，其中每张息票被定义为名义乘以应计期间的一小部分。 FRN 收到浮动利率，因为 LIBOR 利率是随机的而不是固定的。合同的价值被定义为每个日期所有这些付款的总和，每笔单独的付款都贴现到现值，并由对风险中性措施的预期确定。 FRN 的衡量指标变为 TK 远期衡量指标，我们需要找到空利率和 LIBOR 利率之间的联合分布来确定预期，但它对应于图书馆的支付，这是至关重要的。
  
  
• 00:30:00 在讲座的这一部分中，讨论了付款日期和计量日期之间的偏差这一主题，以及在正确评估时需要考虑的影响。该措施对应于付款计划中的分子，如果不对应，则可能需要进行更正和调整。在 tk 远期度量下在时间 tk 支付的 Libor 是一个鞅，这意味着它可以应用于定价浮动利率票据。定价方程可以表示为一段时间内 Libor 利率的预期，合同被称为掉期交易，其中一方收到付款，另一方根据固定利率支付。
  
  
• 00:35:00 在本节中，我们了解掉期合约，它涉及交换一段时间内的现金流量，通常用于抵押贷款市场的对冲风险。掉期合约有两种选择：掉期付款人，个人支付固定利率并收到浮动利率，以及掉期接收人，个人收到固定利率并支付浮动利率。名义金额可以是确定性的、随机的或随时间衰减的，支付频率也可以变化。固定部分始终相同，浮动部分涉及与库速率动态相关的一些不确定性。
  
  
• 00:40:00 在本节中，讲师讨论了对冲在金融工程中的重要性，尤其是在具有随机支付的合同中。他解释说，如果一家金融机构有义务接收固定或浮动利率的付款，那么将付款的另一方与市场上的对冲相匹配以补偿因标的资产波动而造成的任何潜在损失是至关重要的。此外，讲师指出，银行可以通过对掉期合约的公允价值收取额外费用来获利，这可以补偿与终止抵押和风险对冲相关的成本。讲师还解释了如何使用零息债券的累计期总和以及伦敦银行同业拆借利率与行使价之间的线性关系来计算掉期合约的价值。总的来说，本节强调了对冲在金融工程中的重要性，并提供了对掉期合约价值计算的见解。
  
  
• 00:45:00 在本节中，讲座解释了掉期的价值以及如何通过零息债券的价值获得掉期。互换的价值取决于债券的第一笔和最后一笔付款，并且可以用第一笔和最后一笔零息债券进行显着对冲。年金因子是处理掉期交易时要记住的基本单位，因为它是一种可交易资产。此外，利率互换被认为是可以帮助双方对冲其特定风险的完美工具，银行可以使用它们来对冲个人贷款，这些贷款在收取时会创造非常大的价值概念。
  
  
• 00:50:00 在本节中，讲座的重点是利率产品，特别是掉期。它解释了互换通常在更大的投资组合层面进行考虑，并且初始值通常选择为零，允许自由交易。掉期利率被定义为使掉期价值等于零的行使价，这可以表示为 Libor 利率的加权和。基本利率掉期的定价可以在没有基础模型假设的情况下完成，使用市场上可用的利率工具并将它们映射到收益率曲线。讲座最后指出，给定市场工具的收益率曲线的构建将在后续讲座中进一步讨论。
  
  
• 00:55:00 在本节中，讲师讨论了掉期中不同类型的名义，可以是时间相关的、由市场工具确定的，也可以是随机的。他还谈到了鞅的必要条件，其中包括使用交易资产或它们的线性组合。如果使用资产的平方或其他非线性公式，则度量与资产之间的关系不能被视为鞅。此外，将 Ito 引理应用于平方 Libor 表明，由于漂移效应的存在，L 平方不是 D 正向度量下的鞅。
  
  
• 01:00:00 在本节中，我们将讨论如何使用收益率曲线和 Hulument 模型评估互换。该代码包括收益率曲线的规范，并为不同的行使价生成掉期。隔夜利息的价值随行使价呈线性变化，隔夜利息是使用 Newton-Raphson 算法得出的。结果显示，如果 par swap 等于 0.038 08，则 swap 的值接近于零，这意味着我们找到了 swap 值为零的行使价。

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金融工程课程：第 5/14 讲，第 2/2 部分，（利率产品）

金融工程课程：第 5/14 讲，第 2/2 部分，（利率产品）

在本讲座中，重点是涉及波动性的衍生品定价。演讲者首先介绍了利率衡量变化的概念，特别是在 Hull-White 模型的背景下。他们推导出 Rhodom/Nichodemus 导数并应用 Girsanov 定理来计算测度变化。这种对衡量指标变化的理解对于利率产品的期权定价至关重要。

接下来，讲座使用 AJM 框架探讨了不同措施下零息债券的动态。演讲者讨论了这些动态如何与这些债券的期权定价相关。他们强调用瞬时远期利率代替零息债券动态表达式中的积分和 dz，从而提供导出的最终表达式。本讲座还深入探讨了 Hull-White 模型和 T-forward 措施下零息债券的动态。强调改变衡量标准的重要性，特别是在随机贴现中，以避免复杂的计算。

演讲者介绍了 Kirizanov、Loefler 和 Radon-Nikodym 衍生物作为在不同措施之间切换的工具。他们解释了如何通过将 Ito 引理应用于 Radon-Nikodym 导数来找到债券和货币储蓄账户的动态。这导致了 Girsanov 定理，它建立了 T 前向度量和风险中性度量之间的关系，并强调了在度量之间切换时的额外漂移。通过用 T 前向度量代替风险中性度量下的布朗运动，推导出 Hull-White 模型的动力学。

讲座随后介绍了以 lambda 和依赖于期限的 theta 函数为代表的衡量短期利率模型。他们用两个参数定义 mu theta，小 t 和资本 mt，并应用 Girsanov 定理将度量从风险中性度量更改为 T-forward 度量。重点转移到零息债券的定价期权上，需要将风险中性措施转变为零远期措施。演讲者讨论了零息债券的动态及其在 T 远期度量下的分布，为债券提供了一个表达式，并将罢工调整为恒定的时间相关函数。他们还讨论了此度量下过程 r 的分布。

接下来，讲座解释了如何使用调整参数的 Black-Scholes 模型求解 T 前向度量下 r 的分布。更改度量允许使用正态累积分布函数和封闭形式的解决方案对零息债券进行分析定价。演讲者进行了一项零息债券定价实验，并将解析表达式与使用标准欧拉离散化的蒙特卡洛模拟进行了比较。提供了模拟代码，并讨论了不同行使价的期权价格的计算。

该讲座强调了零息债券欧式期权的定价，强调了它们的重要性，因为它们与远期 LIBOR 利率的期权定价密切相关。解释了为这些期权定价的两种方法：一种基于全光模型，另一种通过直接对 LIBOR 利率施加分布或随机过程。提供了欧式看涨期权或对联的定价公式，并解释了将风险中性度量更改为 T 远期度量的方法。重点仍然是看涨期权，并提到看跌期权或底价将作为家庭作业给出。

此外，还讨论了 LIBOR 利率的动态和定价。讲座承认 LIBOR 利率是给定措施下的鞅，允许无漂移动力学假设。然而，使用对数正态分布来表示 LIBOR 利率会带来挑战，例如负利率的可能性，特别是在为奇异衍生品定价时。市场数据的校准，特别是使用上限和下限利率，被认为是必要的，利率上限被描述为为浮动利率贷款的持有人提供保险的一种手段。

讲座首先讨论了 caplets 的定价，可以将其分解为称为 couplets 的基本合同。演讲者指出，由于负利率的可能性，使用对数正态分布的小片定价会带来问题。为了解决这个问题，引入了一个偏移参数来对分布施加影响。然后解释了使用基础模型的 caplet 定价，这与零息债券期权的定价密切相关。通过用零成分代替 LIBOR 利率的定义，简化了定价方程，导致零息债券看涨期权的定价略有不同。讲座最后简要介绍了定价代码，其中涉及简化的收益率曲线。

此外，演讲者还深入研究了零息债券看跌期权（也称为“对联”）的定价，并强调了在定价时不仅要调整行使价还要调整名义价值的重要性。他们承认蒙特卡洛模拟与零息债券和收益率曲线期权的理论定价之间的密切匹配。然而，他们强调了均值回归和波动率等市场模型参数在塑造隐含波动率表面方面的重要性。他们指出，虽然这些参数对 Hull-White 模型的影响可能有限，但它不能产生隐含波动率微笑，只能产生偏差。最后，演讲者总结了讲座中涵盖的两个主要模块，包括简单利率产品和 Hull-White 模型背景下简单期权的定价。

在讲座快结束时，讲师告知学生本课程将只关注欧式收益，而更多奇异的衍生品将在后续课程中介绍。布置了家庭作业，包括为底线期权定价和推导 Black 的公式以得到偏移对数正态分布的新变体。指导学生将从布莱克公式获得的结果与他们的数值结果进行比较，并引入对数正态随机微分方程的偏移以反映必要的调整。

本讲座深入探讨了涉及波动性的衍生品定价，特别关注零息债券、这些债券的期权和 LIBOR 利率的动态和定价。涵盖了测量变化的概念、Radon-Nikodym 导数的使用以及 Girsanov 定理的应用，以促进这些定价计算。该讲座强调了调整措施、执行价格和名义价值的重要性，同时强调了市场模型参数对隐含波动率表面的影响。

• 00:00:00 在金融工程课程的这一部分，重点是涉及波动性的衍生品定价。本讲座涵盖了利率测度变化的概念，特别是 Hull-White 模型，其中导出了 Rhodom/Nichodemus 导数，并应用 Girsanov 定理来计算测度变化。然后讲座继续讨论零息债券及其在不同措施下的动态，使用 AJM 框架，以及这与这些债券的期权定价有何关系。本讲座最后讨论了线性和非线性乘积及其可观测值。
  
  
• 00:05:00 在本节中，讨论了零息债券的动态，它表示为 rd。用瞬时正向速率代替积分和dz，推导出最终表达式。然后计算 Hull-White 模型下零息债券的动态。还讨论了 T-forward 措施下零息债券的动态，重点强调了改变措施的重要性，尤其是在随机贴现方面。通过改变测度，在寻找期望表达式时可以避免对积分和st的联合密度的二重积分。
  
  
• 00:10:00 在本节中，演讲者讨论了使用 Kirizanov、Loefler 和 Radon-Nikodym 导数在不同措施之间切换。随机 Nikodym 导数用于查找债券和货币储蓄账户的动态。通过应用 Ito 引理，找到了随机 Nikodym 导数的动力学，引出了 Girsanov 定理，它告诉我们 T 远期测度与风险中性测度之间的关系，以及如果我们在这些测度之间切换时的额外漂移.最后，演讲者将风险中性测度下的布朗运动替换为 T 正向测度，从而得到 Hull-White 模型的动力学。
  
  
• 00:15:00 在金融工程课程的利率产品讲座中，演讲者介绍了 lambda 给出的衡量短期利率模型和依赖于期限的 theta 函数。他们用两个参数定义 mu theta，小 t 和资本 mt，并应用 Girizan 定理将度量从风险中性更改为 t 远期度量。然后重点转向零息债券期权定价，这涉及将衡量标准从风险中性改为零远期衡量。演讲者讨论了零息债券的动态及其在 t 远期测度下的分布，给出了零息债券的表达式并将 k 调整为常数时间相关函数。还讨论了此度量下过程 r 的分布。
  
  
• 00:20:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了“r”在 t 正向测量下的分布，以及如何使用调整参数的 Black-Scholes 模型求解。他们解释说，通过改变衡量标准，零息债券的定价可以使用具有封闭形式解的正态累积分布函数进行分析。演讲者还进行了一项零息债券定价实验，并使用标准欧拉离散化根据蒙特卡洛模拟检查了他们的分析表达式。他们提供了模拟代码并讨论了不同行使价的期权价格的计算。
  
  
• 00:25:00 在本节中，演讲者讨论了零息债券欧式期权的定价以及理解其定价的重要性，因为它们与远期 Libor 利率的期权定价密切相关。演讲者解释了为这些期权定价的两种方法，一种基于全光模型，另一种通过直接对责任率施加分布或随机过程。提供了欧式看涨期权或对联定价公式，并解释了将风险中性度量更改为 t 远期度量的方法。演讲者侧重于看涨期权，并提到看跌期权或底价将作为家庭作业给出。
  
  
• 00:30:00 在讲座的这一部分，重点是 LIBOR 利率的动态和定价。由于 LIBOR 利率是给定措施下的鞅，因此可以假设该过程的无漂移动态。对数正态分布用于表示 LIBOR 利率，这会带来一些问题，例如负利率的可能性，特别是在为依赖于 LIBOR 利率的奇异衍生品定价时。市场数据的校准也是必要的，这可以通过使用上限和下限利率作为单个对联的线性组合来完成。利率上限旨在为浮动利率贷款的持有人提供保险。
  
  
• 00:35:00 在本节中，演讲者讨论了 caplets 的定价，可以将其分解为称为 couplets 的基本合同。演讲者解释说，与其使用对数正态分布来为 caplets 定价，这对负利率来说是有问题的，不如对分布施加一个偏移参数。然后，演讲者继续讨论如何使用基础模型为 caplet 定价，这与零息债券期权的定价有关。通过用零分量代替 libor 利率的定义来简化定价方程，从而导致零息债券看涨期权的定价略有不同。演讲者最后简要介绍了定价代码，其中涉及简化的收益率曲线。
  
  
• 00:40:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了零息债券看跌期权（也称为“对联”）的定价，并强调了调整行使价和名义价格的重要性价钱。演讲者指出，虽然蒙特卡罗模拟与零息债券和收益率曲线期权的理论定价之间存在完美匹配，但重要的是要牢记均值回归和隐含形式的波动率等市场模型参数的影响波动率表面。然而，演讲者指出，当涉及到整个白色模型时，这些参数的影响可能是有限的，它不能产生隐含波动率微笑，只能产生偏差。最后，演讲者总结了讲座中涵盖的两个模块，包括简单利率产品和整个白色模型背景下的简单期权定价。
  
  
• 00:45:00 在本节中，讲师解释说该课程将仅涵盖欧式收益，而更多奇特的衍生品将在后续课程中进行讨论。布置了家庭作业，其中包括为底线期权定价和推导 Black 的公式以用于移位对数正态分布的新变体。学生须将布莱克公式所得结果与自己的数值结果进行比较，并引入对数正态随机微分方程的平移。

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金融工程课程：Lecture 6/14, part 1/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

金融工程课程：Lecture 6/14, part 1/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

继续收益率曲线的主题，讲座强调了构建准确的收益率曲线的重要性，它是利率衍生品估值和财务分析的重要组成部分。讲师解释说，收益率曲线对于贴现未来现金流量、确定支付现值和估值公司等应用至关重要。收益率曲线的构建通常依赖于流动性工具，这会给估值过程带来较少的不确定性。从数学的角度来看，收益率曲线反映了这些流动性工具的市场报价。

接下来，讲师提供了对收益率曲线性质的进一步见解。他们解释说，收益率曲线连接利率世界中的各种市场工具，代表对未来利率的预期。虽然在日常观察中收益率曲线可能看起来是随机的，但从今天的角度来看，它的价格是基于预期的确定性的。收益率曲线的构建涉及选择一组离散的液体工具并进行插值以连接脊柱点。讲师强调了选择质量相似的仪器的重要性，并指出仪器的数量可能会随着时间的推移而变化。他们强调，收益率曲线不仅是一种数学工具，而且还提供了宝贵的经济见解，是当前市场状况的晴雨表。

本讲座深入探讨了收益率曲线的构建和解释。讲师讨论收益率曲线如何反映市场上的资金分配，是投资于股票还是债券，如果首选债券，是长期的还是短期的。收益率曲线提供了投资者对未来利率的预期及其对风险的态度的见解。不过，导师提醒，由于央行干预和外部投资等因素，收益率曲线在准确预测未来方面存在局限性。因此，精心构建收益率曲线并考虑多年来发生的变化对于确保其准确性至关重要。

利率的期限结构也与收益率曲线有关。讲师强调，收益率曲线代表不同期限收益率之间的时间关系，并且取决于当地经济。他们提到，由于美国作为最大经济体之一的地位以及使用美元作为储备货币，美国国债曲线作为全球经济指标具有重要意义。以本币发行的政府债券，如美国国债，通常被认为是无违约的，而以外币发行的债券则具有更高的违约风险。风险溢价的概念也作为影响收益率或利率的因素进行了讨论。

本讲座探讨了收益率曲线的各种形状及其对经济的影响。标准正常形状表明长期收益率明显高于短期收益率，反映了正常的经济形势。相比之下，反向收益率曲线（长期收益率下降而短期收益率保持稳定）可能意味着不健康的情况，可能会给银行和养老金带来挑战。讲师提供了不同收益率曲线形状的示例，并解释了它们如何影响市场。

讨论了通货膨胀对收益率的影响，强调通货膨胀预期的增加会导致更高的收益率，因为投资者需要对其投资的负实际回报进行补偿。该讲座还涵盖了由于经济变化而导致收益率曲线变陡和变平的概念。 10 年期固定期限互换和 2 年期互换之间的利差可以指示曲线趋陡的方向，而收益率曲线的反转则表示曲线趋平。图形示例用于演示这些不同的曲线和利差在过去如何影响经济。

本讲座介绍了收益率控制的概念及其对利率的影响。收益率控制是指央行通过调整利率来影响收益率曲线以实现与通胀和就业相关的目标的能力。中央银行可以买卖债券以影响需求和刺激经济。然而，这些行动也存在风险和局限性，尤其是在通胀压力增加的情况下。讲师解释说，收益率曲线是由样条点和相应的贴现因子在数学上定义的，它们代表了对短期利率的预期。

接下来，讲师深入研究了金融工程中收益率曲线和多曲线的构建。他们解释说，该曲线是通过将从市场获得的脊柱点与插值程序相结合而构建的。构建良好的收益率曲线必须满足几个要求，包括使用选定的工具对曲线进行定价，确保连续的远期利率，以及采用局部插值方法进行准确的对冲。构建曲线还涉及定义一个优化问题，并将零息债券的向量确定为不同期限的脊柱点。

教授一步一步地解释了如何构建收益率曲线和多曲线。该过程涉及找到依赖于曲线所有脊柱点的合同现值 (PVI) 向量。目标是确保市场报价与构建曲线时使用的所有工具的曲线价格相匹配。为了解决这个问题，采用了使用 L 范数的优化技术。教授举例说明了如何使用 Newton-Raphson 算法解决一维情况下的问题，该算法使绝对差最小化以得出最优解。接下来，演讲者讨论了用于寻找 Black-Scholes 模型的最佳 sigma 的迭代过程。他解释了模型的停止标准和实现收敛的要求。演讲者强调了曲线上脊柱点的相互依赖性，并强调需要迭代多次罢工以建立隐含波动率微笑或倾斜。还解释了此过程所需的插值构造和优化技术，包括雅可比行列式的构造。

演讲者强调了插值在构建各种曲线（尤其是收益率曲线和隐含波动率微笑）中的重要性。他们指出，虽然由于连续性和可微性条件，收益率曲线的插值相对简单，但选择合适的插值方法对于隐含波动率微笑更为关键，因为不正确的选择会引入显着的定价套利。演讲者强调插值在所有情况下都起着至关重要的作用，在选择合适的插值例程时必须仔细注意细节。

该讲座全面介绍了收益率曲线的构建和解释。它强调了它们在评估利率衍生品和了解市场动态方面的重要性。讲座还探讨了数学公式、不同曲线形状对经济的影响以及收益率控制的作用。此外，它还深入研究了收益率曲线和多曲线的构造，讨论了优化技术、插值选择及其在金融工程中的意义。

• 00:00:00 在金融工程课程的这一部分，重点是建立收益率曲线，这是利率衍生品和一般金融估值中最重要的要素之一，用于贴现、定价和评估未来现金流量。本节涵盖收益率曲线的经济解释、如何解释它们的形状，以及它们与不同经济状况的关系。然后，课程转向数学公式，这对于基于掉期市场报价构建和校准曲线至关重要。优化例程基于Newton Raphson定义，并在Python中实现。本节还涵盖了不同插值对对冲策略的影响，以及构建多条曲线的扩展，其中可能包括有关交易对手违约和不履行义务的可能性的信息。
  
  
• 00:05:00 在本节中，讨论了收益率曲线的重要性和构造。收益率曲线用于贴现未来现金流，使用曲线计算的贴现因子用于确定未来付款的现值、公司估值等。收益率曲线的构建通常基于流动性工具，这引入了较少的不确定性。最后，从数学的角度来看，收益率曲线映射了流动性工具的市场报价。
  
  
• 00:10:00 在本节中，讲师解释收益率曲线连接利率世界中的不同市场工具，解决方案代表对未来利率的预期。收益率曲线并不低，它看起来是随机的，因为它是每天观察到的，但从今天的角度来看，价格是基于预期的确定性的。收益率曲线由一组离散的液体工具构建，并通过插值连接脊柱点。讲师强调了根据相似质量选择正确仪器的重要性，并指出仪器的数量会随着时间而变化。收益率曲线不仅是一种数学工具，而且具有重要的经济洞察力，被认为是当前市场的晴雨表。
  
  
• 00:15:00 这节课讲师讨论了收益率曲线的构建及其在反映市场资金去向的重要性，是投资股票还是债券，如果是债券，是否做多- 短期或短期。收益率曲线反映了投资者对未来利率的预期，曲线的形状反映了投资者对风险的态度。然而，收益率曲线在预测未来方面并不完全可靠，因为存在各种限制，包括中央银行的干预和外部投资。因此，它的准确性取决于良好的构建和评估多年来发生的变化。
  
  
• 00:20:00 在讲座的这一部分，教授解释了利率的期限结构以及它与收益率曲线的关系。收益率曲线是不同期限收益率之间的时间关系，取决于当地经济。由于美国作为最大经济体之一的地位以及使用美元作为储备货币，美国国债曲线被认为是全球经济最重要的指标。美国国债等政府债券被认为是无违约的，因为政府不会违约，但这仅适用于以当地货币发行的债券。以外币发行的债券具有较高的违约风险。风险溢价也被作为影响收益率或利率的一个因素进行讨论。
  
  
• 00:25:00 在本节中，讲师解释了债券保险和风险溢价，它们是政府债券和公司债券之间的收益率差异，用于说明违约的可能性。他还讨论了收益率曲线的形状及其对经济的影响。收益率曲线的标准正常形状是较长期限的收益率明显高于较短期期限的收益率，反映了经济的正常情况。长期收益率下降而短期收益率保持不变的反向收益率曲线可能表明情况不佳，并会给银行和养老金带来问题。讲师提供了不同收益率曲线形状的示例及其对市场的潜在影响。
  
  
• 00:30:00 在本节中，视频讨论了通货膨胀对收益率的影响以及它如何导致收益率向相反方向移动。如果通货膨胀预期上升，收益率将上升，因为投资者需要为其投资的负实际回报进行补偿。该视频还解释了收益率曲线如何因经济变化而变陡和变平。 10 年期固定期限互换和 2 年期互换之间的利差可以指示曲线变陡的方向，而收益率曲线的反转则表示曲线趋平。该视频使用图表来展示过去不同的曲线和利差如何影响经济的例子。
  
  
• 00:35:00 在这节课中，教授讨论了收益率曲线和收益率控制，这些都是影响利率的重要因素。收益率曲线表明市场状况，并可能受到中央银行的影响，中央银行控制利率以满足通胀和就业目标。收益率控制允许中央银行买卖债券以影响需求和刺激经济，但如果通胀压力增加，这也可能导致风险和限制。收益率曲线在数学上由样条点和相应的贴现因子定义，这些贴现因子是对短期利率的预期。
  
  
• 00:40:00 这节课讲师讨论了金融工程中收益率曲线和多曲线的构建。该曲线是使用来自市场的脊柱点和插值例程的组合构建的。收益率曲线应满足一定的要求，例如由工具定价，具有连续的远期利率，并尽可能局部插值，以确保良好的对冲。曲线的构建还需要定义一个优化问题，并将零息债券的向量确定为不同期限的脊柱点。
  
  
• 00:45:00 在金融工程课程的这一部分，教授解释了如何构建收益率曲线和多曲线。它涉及找到可能依赖于所有曲线脊柱点的 PVI（合约的现值）向量。要满足的条件是市场报价和曲线价格应等于所有用于构建曲线的工具。问题的最终解决方案需要使用 L 范数来优化差异。然后，教授说明了如何使用牛顿-拉弗森算法解决单维情况下的问题，以得出最小化绝对差的解决方案。
  
  
• 00:50:00 在本节中，演讲者解释了用于寻找 Black-Scholes 模型的最佳 sigma 的迭代过程，包括模型的停止标准和收敛要求。他们注意到牢记每个脊柱点如何影响曲线上的其他工具的重要性，以及迭代多次罢工以建立隐含波动率微笑或倾斜的必要性。他们还讨论了如何构建此过程所需的插值和优化，包括雅可比行列式的构建。
  
  
• 00:55:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了插值在构建不同曲线中的重要性，特别是收益率曲线和隐含波动率微笑。演讲者指出，虽然由于连续性和可微性条件，收益率曲线的插值很容易处理，但在隐含波动率微笑的情况下，选择正确的插值程序更为重要，因为不正确或不适当的插值选择会产生很多定价套利。演讲者建议插值在所有情况下都很重要，选择合适的插值例程应该非常注意细节。

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金融工程课程：Lecture 6/14, part 2/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

金融工程课程：Lecture 6/14, part 2/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

在讲座中，演讲者深入探讨了构建收益率曲线构建算法的实际方面。他们强调曲线校准的重要性，并分析用于使用掉期等市场工具构建收益率曲线的 Python 代码。还探讨了不同插值方法对套期保值的影响。讲师解释了构建收益率曲线的迭代程序，其中涉及向量和矩阵的代数计算。他们演示了如何通过将下一次迭代设置为零来优化曲线。

接下来，讲师解释了寻找最佳脊柱点以构建矩阵的过程。此过程需要迭代调整向量折扣因子 (dfs)，直到实现收敛。调整基于雅可比矩阵，雅可比矩阵的倒数决定了 dfs 增量的调整。该讲座强调了在找到最佳零债券之前指定网格（成对的 ti 和贴现因子）以构建曲线的重要性。提供了构建两年期和五年期利率互换收益率曲线的实际示例，突出了解决未知数多于方程式的系统的挑战。

由于系统未定，讨论了使用脊柱点掉期支付构建收益率曲线的挑战。解决方案是只考虑最终付款作为脊柱点并在其间插入点。强调仪器的数量应等于脊柱点数，以免混淆。解释了使用远期利率协议和互换构建收益率曲线的过程，重点是数值实现。

该讲座强调了建立收益率曲线的重要性以及通常为零的市场报价的影响。讨论了 LIDOR 利率的定义，以及用 LIDOR 利率表示合同的现值 (PV1)。 PV1 仅取决于折扣因子 (df1)，可以使用第一组方程计算。第二组等式涉及具有两个支付日期的掉期。该讲座解释了在仅使用交换时使用下三角矩阵和高效求逆来构建曲线。

探讨了使用美国财政部的市场数据构建收益率曲线的过程。不同期限的 LIBOR 利率和掉期的报价用于构建收益率曲线。讲座介绍了用于标定曲线的多维Newton-Raphson函数，并强调了选择正确插值方法的重要性。还介绍了在脊柱点向量上评估交换工具的功能。

讲座重点介绍收益率曲线和多曲线的构建。该过程从定义互换开始，然后继续使用一系列工具和期限构建收益率曲线。在施工过程中采用多元牛顿法优化收益率曲线。强调了选择公差值的重要性，并强调了以 10 的 10 次方为公差进行优化的挑战。讲座最后强调了使用这种优化方法实现的快速收敛。

解释了使用脊柱点和插值方法的仪器评估。收益率曲线是使用脊柱点和插值方法构建的，然后根据当前脊柱点状态评估每个互换作为零息债券的函数。雅可比行列式表示每个单独的现值 (PV) 对所有脊柱点的敏感性，通过对每个单独的脊柱点执行冲击并评估所有交换以数字方式计算。讲座重点介绍了用于计算雅可比行列式的紧凑而高效的函数。

本讲座讨论了使用 Newton-Raphson 迭代法、雅可比矩阵和 numpy 线性代数工具集构建收益率曲线和多曲线的过程。建立收益率曲线后，在建立曲线之前评估互换。该讲座强调需要对计算次数设置限制以避免 Python 代码不堪重负，并建议采用保护措施来防止出现此问题。此外，讲座还演示了如何使用初始收益率曲线和从涉及脊柱点的迭代过程中获得的校准收益率曲线来计算互换的现值 (PV)。

教授进一步探索了利率互换的优化路线和收益率曲线校准。值得注意的是，即使遇到低于零的值，使用掉期的收益率曲线校准也会产生高度准确的结果。讲座还强调了需要改进的地方，例如采用导数灵敏度的分析计算来提高计算效率和准确性。

“套期保值”的概念作为后续部分的重点介绍。讨论了不同插值程序对套期保值结果的影响，并探索了各种插值方法。教授建议查阅现有文献以探索其他插值选项。讲座最后强调了在小条件下进行测试的重要性，并考虑了插值程序对收益率曲线的影响。

在讲座中，演讲者检查了收益率曲线构建中采用的不同插值程序及其对结果的影响。简单线性插值等直接插值的缺点很突出，特别是在使用基于模型的收益率曲线时。据解释，如果在插值中忽略小细节，短期利率期限结构的行为可能会变得不稳定，因为瞬时远期利率取决于零息债券的对数。为了克服这些限制，建议的一种方法是区分对数折扣因子。

该讲座还探讨了局部和全局插值，强调了将冲击或变化的影响定位到脊柱点以避免影响曲线上的大量点的重要性。此外，讲师强调了选择考虑曲线上仪器特性及其对其性能影响的插值方法的重要性。

从金融工程的角度讨论了收益率曲线和多曲线的构建。介绍了一个 Python 实验，演示了开发用于通过小调整校准收益率曲线的函数。实验包括构建作为函数的仪器集以及二次和三次插值的结合。此外，通过对投资组合集中每个受冲击工具的差异化和曲线重新校准，证明了场外掉期的定价和掉期对构建曲线时使用的所有市场工具的敏感性分析。

演讲者解释了如何使用冲击和 Delta 构建收益率曲线和多曲线。该过程涉及对每个工具重复整个过程，并重新定义 delta，delta 表示掉期相对于每个市场工具的衍生工具。 Delta 值是通过除以冲击大小、重建曲线并评估产生的影响来近似计算的。有了这些 delta 值，就可以确定每个市场工具在曲线构建中的所需用途，从而实现有效的期货对冲。采用线性插值来说明使用三年期和五年期工具进行的四年期掉期对冲，与预期结果一致。最后，线性插值和三次插值之间的比较表明，三次插值的计算成本更高，但会导致结果存在很大差异。

演讲者讨论了金融工程背景下收益率曲线和多曲线的构建。对三次插值和线性插值进行了比较，强调三次插值更先进但也更慢。解决了插值对套期保值的影响，并指出虽然三次插值可能导致更平滑的曲线，但由于对期限远远超过掉期的产品的敏感性，它可能导致更大的套期保值费用。发言者建议探索二次插值作为替代方案，并强调不应忽视插值对对冲的影响。

继续讲座，演讲者详细阐述了使用冲击和三角洲构建收益率曲线和多曲线。该方法涉及以震惊的固定速率为每个仪器重新校准整个过程。 delta 代表互换相对于每个市场工具的衍生品，通过除以冲击的大小并近似对曲线产生的影响来重新定义。通过分析 delta 值，可以为曲线构建确定每个市场工具的适当分配，从而实现有效的期货对冲。演讲者演示了使用线性插值来说明使用三年期和五年期工具对冲四年期掉期，与预期结果一致。

该讲座强调了选择正确的插值方法的重要性，因为它会显着影响收益率曲线的形状和行为。虽然三次插值可能会提供更平滑的曲线，但由于其对到期期限远远超过掉期的产品的敏感性，它通常会产生更大的对冲费用。因此，演讲者建议探索二次插值作为在准确性和计算效率之间取得平衡的替代方案。

此外，讲座强调需要考虑用于构建曲线的工具的特性及其对其性能的影响。不同的工具可能需要不同的插值方法或调整，以确保准确的定价和风险管理。在收益率曲线构建过程的背景下仔细分析和理解工具的行为至关重要。

讲座最后鼓励对插值选项进行进一步研究和探索。虽然三次插值更先进并提供更平滑的曲线，但它可能并不总是最佳选择。鼓励金融专业人士和研究人员深入研究现有文献并研究各种插值例程，以确定最适合他们特定需求的方法。

收益率曲线和多曲线的构建涉及数学技术、校准方法和插值程序的组合。这是一个复杂的过程，需要仔细考虑各种因素，例如工具特征、计算效率和对冲影响。通过采用正确的方法并理解基本原则，金融从业者可以构建稳健的收益率曲线，准确反映市场状况并支持有效的风险管理策略。

• 00:00:00 在本节中，讲师讨论了构建收益率曲线构建算法的实际方面，包括曲线校准和 Python 代码分析，以使用掉期等市场工具构建收益率曲线。该讲座还涵盖了不同插值对对冲的影响，并定义了构建收益率曲线的迭代程序，其中涉及使用向量和矩阵执行代数计算。最后，讲师演示了如何在优化曲线的同时将下一次迭代设置为零。
  
  
• 00:05:00 在讲座的这一部分中，讲师解释了寻找最佳脊柱点以构建矩阵的过程。该过程涉及迭代调整向量折扣因子 (dfs)，直到实现收敛。调整基于雅可比矩阵，雅可比矩阵的倒数决定了 dfs 增量的调整。讲师还讨论了在找到最佳零债券之前指定网格（即成对的 ti 和贴现因子）以构建曲线的重要性，并引用了构建两年期和五年期利率掉期收益率曲线的示例。当未知数多于方程式时就会出现问题，需要有问题的解决方案。
  
  
• 00:10:00 在本节中，演讲者讨论了由于系统未定而使用脊柱点掉期支付构建收益率曲线的挑战。解决方案是只将最终付款视为脊柱点并在其间插入点。演讲者强调仪器的数量应等于脊柱点数，仪器过多会造成混乱。解释了使用远期利率协议和掉期来构建收益率曲线的过程，并且可以用数字来实现。
  
  
• 00:15:00 在本节中，讨论了建立收益率曲线的重要性和市场报价的影响，以及市场报价通常为零的事实。然后讲座继续讨论 LIDOR 率的定义，以及如何用 LIDOR 率表示 PV1。 PV1 的表达式仅取决于 df1，可以使用第一组方程计算。第二组等式涉及互换，它有两个支付日期。最后，该讲座解释了下三角矩阵以及如何在仅使用交换时有效地进行反演以构建曲线。
  
  
• 00:20:00 在本节中，讲师讨论了构建收益率曲线的重要性以及如何使用美国财政部的市场数据构建收益率曲线。数据包括 LIBOR 利率的报价和不同期限的掉期。目的是使用报价来构建收益率曲线，然后检查曲线是否将所有工具的价格都拉回到面值。讲师解释了用于实现此目的的多维 Newton-Raphson 函数，并强调了选择正确插值方法的重要性。最后，介绍了在脊柱点向量上评估交换工具的功能。
  
  
• 00:25:00 在视频讲座的这一部分中，讲师解释了收益率曲线和多曲线的构建。他从定义掉期开始，然后继续构建包含一系列工具和期限的收益率曲线。他定义了一个多元牛顿法来优化施工过程中的收益率曲线。讲师强调了选择容差值的重要性，并强调了使用 10 的 10 次方容差进行优化的挑战。他得出结论，使用这种优化方法，收敛速度会非常快。
  
  
• 00:30:00 在讲座的这一部分，演讲者解释了如何使用脊柱点和插值方法评估仪器。首先，使用脊柱点和插值方法构建收益率曲线。然后，根据当前脊柱点状态，将每个互换评估为零息债券的函数。计算雅可比行列式，这是每个单独的 PV 对所有脊柱点的敏感度。这是通过对每个单独的脊柱点执行冲击并评估所有交换来以数字方式完成的。然后将雅可比矩阵存储在矩阵中。用于计算 Jacobian 的函数紧凑且高效。
  
  
• 00:35:00 在金融工程课程的这一部分，讲师讨论了使用牛顿-拉夫森迭代法、雅可比矩阵和numpy线性代数工具集构建收益率曲线和多曲线的过程。一旦建立了收益率曲线，下一步就是在建立曲线之前评估互换。讲师建议需要对评估次数设置限制以避免破坏 Python，并建议在代码中引入保护措施以防止这种情况发生。最后，讲师演示了如何使用初始收益率曲线和校准收益率曲线来计算互换的当前 pv，校准收益率曲线是从迭代过程中生成的 ri spine 点获得的。
  
  
• 00:40:00 在金融工程课程讲座的这一部分，教授讨论了利率互换的优化程序和收益率曲线校准。收益率曲线使用掉期进行校准，并且非常准确，设置显示甚至低于零值。教授还强调了改进的领域，例如导数灵敏度的分析计算，以加快计算时间并提高准确性。本讲座介绍了“套期保值”的概念，下一节将进一步探讨该概念，以及不同插值程序对套期保值结果的影响。讨论了各种插值例程，教授建议探索有关插值选项的文献以获取更多详细信息。本讲座最后重点介绍了小型测试条件和插值例程的影响。
  
  
• 00:45:00 在本节中，讲师讨论了用于创建收益率曲线的不同插值程序及其对结果的影响。直接插值涉及简单的线性插值，这在使用基于模型的收益率曲线时可能会出现问题。这是因为瞬时远期利率取决于零息债券的对数，并且在插值中没有小的东西，短期利率期限结构的行为可能很奇怪。改善这些插值的局限性的一种方法是区分对数贴现因子。讲师还探讨了局部和全局插值，强调脊柱点的变化或冲击应尽可能局部化，以避免影响曲线上的太多点。此外，他指出选择考虑曲线上工具特性及其对曲线性能影响的插值的重要性。
  
  
• 00:50:00 金融工程课程本节讨论收益率曲线和多曲线的构建。本讲座介绍了一个 Python 实验，其中开发了一个函数来通过小的调整来校准收益率曲线，包括将工具集构建为函数以及添加二次和三次插值。该实验还证明了场外掉期的定价以及掉期对通过对投资组合集中受到冲击的每种工具的曲线进行微分和重新校准来构建曲线的所有市场工具的敏感性。
  
  
• 00:55:00 在讲座的这一部分中，演讲者解释了如何使用冲击和 delta 构建收益率曲线和多曲线。为了构建曲线，他们以令人震惊的固定利率为每种工具重做整个过程。然后，他们通过划分冲击大小、重建曲线和近似 delta 值，重新定义 delta，它是互换相对于每个市场工具的衍生工具。通过这些 delta 值，他们可以看到他们需要使用多少每种市场工具来构建曲线，从而使他们能够对冲他们的期货。演讲者使用线性插值来展示他们如何使用三年和五年到期的工具对冲四年掉期，这符合他们的预期。最后，他们比较了使用线性插值与三次插值的结果，发现三次插值的计算成本更高，但导致结果差异很大。
  
  
• 01:00:00 在本节中，演讲者讨论了金融工程背景下收益率曲线和多曲线的构建。他们将三次插值与线性插值进行了比较，注意到三次插值要慢得多但更先进。他们还讨论了插值对对冲的影响，指出虽然三次插值曲线可能更平滑，但由于对产品的敏感性远晚于掉期到期，对冲费用可能会更大。演讲者建议尝试二次插值，并强调插值对套期保值的影响不容忽视。

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金融工程课程：Lecture 6/14, part 3/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

金融工程课程：Lecture 6/14, part 3/3, (收益率曲线和多曲线的构建)

讲座中引入了多曲线的概念，在构建收益率曲线时将交易对手的违约概率纳入其中。此附加信息说明了付款频率和相关的违约风险。演讲者强调，与短期贷款相比，长期向交易对手借钱会增加风险。多曲线作为 2008-2009 年金融危机后金融数学的发展而出现，并在当今市场中仍然普遍存在。

该讲座包括多曲线的 Python 实现，并为学生分配了一项家庭作业任务，挑战他们通过结合用于曲线校准和对冲方面的额外工具来增强现有代码。

讨论了金融工程中收益率曲线和多曲线的构建，强调支付频率对曲线类型和风险管理的影响。更高的支付频率减少了交易对手违约时的潜在损失，使其成为更安全的选择。多曲线背后的动机源于 2007-2009 年的危机，当时不同期限之间的基差变得显着，导致不同频率曲线之间存在多个基点差异。

演讲者解释说，不同的工具表现出不同的流动性和信用风险溢价，影响它们的收益率曲线。在金融危机之前，定价是基于单一曲线。然而，在危机后，需要为不同的期限结构考虑额外的风险溢价。演讲者使用瞬时远期利率的例子来说明不同期限之间的风险溢价差。市场共识是根据频率最高的期限对未来现金流量进行贴现，贴现的最佳选择是信用风险最小的曲线，通常与一天的 10 相关联。

本讲座深入探讨了将违约概率纳入定价以及在多曲线背景下开发衍生品定价框架。讨论了欧元隔夜平均指数和美联储隔夜利率等曲线。从业者首先观察市场，然后发展理论，需要将违约概率纳入多曲线框架。需要修改库定义以包含无风险曲线和交易对手的违约概率。发言人强调需要扩展版本的 LIBOR 利率并衡量变化以适应这种修改。通过在执行交易之前结合违约概率并验证交易对手的存在，从业者可以更好地理解多曲线框架内的衍生品定价。

违约概率的概念是在对具有信用风险的衍生品进行定价的背景下解释的。违约概率表示特定时期内发生违约的风险，通常来自信用违约掉期等市场工具。当市场工具不可用时，银行和金融机构根据行业风险关联分配违约概率。为具有信用风险的衍生品定价涉及对所有未来现金流量进行贴现，并假设利率与违约概率之间是独立的。然后使用违约概率的指示函数计算预期收益。

本讲座讨论违约概率和增强率如何与生存概率和风险率相关。引入信用违约掉期 (CDX) 作为交易衍生品，用于估计违约概率。通过检查 CDX 的市场报价，可以计算风险溢价，从而深入了解违约的可能性。风险收益率曲线包含违约概率，并使用风险调整来调整零息债券。在实践中，D(t0, ti) 通常被解释为贴现因子，从而能够将收益率曲线构建为零息债券贴现因子的集合。

该视频解释了确定无担保负债公平价格的过程，该过程通过在贴现曲线之上构建与特定条款相对应的曲线来考虑违约概率。它演示了计算无风险零息债券和具有额外风险溢价的零息债券，代表曲线的调整因子。该视频还介绍了如何在多曲线设置中计算利率掉期的定价。它结合了风险负债和隔夜指数掉期利率的概念，通过在相应的鞅测度下计算远期 LIBOR 的预期来近似定价。

讲师强调了不同曲线之间的循环依赖以及收益率曲线在实践中的构建。通常首先构建贴现曲线，然后根据贴现曲线和附加市场报价构建三个月和六个月曲线。然而，当涉及价差时会出现复杂情况，需要同时而不是单独校准所有曲线。虽然它可能更复杂，但保持对冲其他风险的一致性允许在 Black-Scholes 模型中使用错误的利率来匹配市场报价。

该视频提供了有关在 Python 中实现多曲线定价和构建多条收益率曲线的指导。它建立在以前为单一收益率曲线开发的代码之上，并将它们扩展到处理多曲线。引入掉期定义的扩展以促进多曲线环境中的定价。该视频还强调了进行健全性检查的重要性，以确保新利率掉期与单一曲线设置之间的一致性。这是通过使用同一曲线的两个实例来验证它们产生相同的值来实现的。

演讲者讨论了收益率曲线的校准，并介绍了与新曲线相对应的四种互换，初始猜测与之前的情况不同。目标仍然是使市场价格与模型价格相匹配。贴现曲线基于引导曲线，掉期被定义为远期曲线的 lambda 表达式。演讲者解释了为掉期寻找零息债券或收益率曲线，以及为特定收益率目标使掉期为零的价值优化。对曲线的校准进行了双重检查，并绘制了交换值。健全性检查确认新交换实施的一致性，最后，引导新曲线。

演讲者讨论了校准和引导过程的结果，并指出定价恢复到标准水平。绘制了贴现曲线和预测曲线，说明了它们之间的价差曲线。发言人强调，由于工具数量有限，远期曲线较低，导致不同期限之间缺乏平滑过渡。校准过程比较快，相对于折扣曲线的服务器需要优化迭代。最后，演讲者总结了讲座中涵盖的关键概念，包括收益率曲线的动态特性、数学公式、问题公式、主干点、优化例程和分析示例。

最后，演讲者讨论了曲线起点的现有代码的扩展以及附加工具的包含。强调了开发对冲框架以了解不同解释的影响的实际重要性。该视频解释了多曲线的重要性及其与违约概率和预测的关系。最后通过演示 Python 代码来实现和扩展现有框架以处理多曲线。作为一项家庭作业，观众的任务是扩展现有代码以获得新曲线，并根据六个月、三个月和可用的市场工具合并一个额外的远期曲线层。

该视频解释了如何在考虑违约概率的情况下计算无担保负债的公允价格。这涉及在折扣曲线之上构建与特定期限相对应的曲线。该视频演示了无风险零息债券和额外的基于风险溢价的零息债券的计算，代表曲线的调整因子。此外，结合风险负债和隔夜指数掉期利率的概念，讨论了利率掉期的定价。定价近似涉及在相应的鞅测度下计算远期 LIBOR 的预期。

最后，讲师重申了收益率曲线构建、多曲线的重要性及其在金融工程中的实际意义。讲座内容涵盖曲线校准、对冲、违约概率、信用风险衍生品定价、多曲线Python实现等各个方面。通过扩展现有代码并合并其他工具，学生将面临加深对多曲线的理解并在多曲线框架内获得曲线校准和定价方面的实践经验的挑战。

• 00:00:00 在讲座的这一部分，引入了多曲线的概念，它通过包括有关支付频率和相关违约风险的额外信息，在构建收益率曲线时考虑到交易对手的潜在违约概率.给出的例子是，向交易对手借钱三个月比只借钱一个月风险更大。多曲线是 2008-2009 年金融危机后创建的金融数学的较新发展，目前已出现在市场上。该讲座包括多曲线的 Python 实现和要求学生使用附加工具扩展现有代码以进行曲线校准和对冲方面的家庭作业。
  
  
• 00:05:00 在金融工程课程的这一部分，讲师讨论了收益率曲线和多曲线的构建。他解释说，支付频率决定了基差互换的数量和曲线的类型。从风险管理的角度来看，频繁接收付款更安全，因为在交易对手违约的情况下损失的资金更少。多曲线的动机主要是由于 2007-2009 年的危机，当时不同期限之间的基差不再可以忽略不计，并且不同频率的曲线之间存在多个基点差异。
  
  
• 00:10:00 这节课讲者讨论了金融工程中收益率曲线和多曲线的构建。不同工具的特点是影响其收益率曲线的流动性和信用风险溢价。在金融危机之前，定价是基于单一曲线，但现在需要考虑不同期限结构的额外风险溢价。演讲者绘制了一个瞬时远期利率图，以显示不同期限之间的风险溢价差。市场共识是根据频率最高的期限对未来现金流量进行贴现，贴现的最佳选择是信用风险最小的曲线。贴现曲线通常与一天的 10 相关联，并且具有尽可能小的信用风险。
  
  
• 00:15:00 在讲座的这一部分中，讨论了将违约概率纳入定价和开发这些衍生品定价框架的概念。解释了多曲线框架，并讨论了欧元隔夜平均指数和美联储隔夜利率等曲线。从业者先观察市场，后发展理论，将违约概率纳入多曲线框架是必要的。必须更改库定义以包括无风险曲线和交易对手的违约概率，并且需要扩展版本的 LIBOR 利率和度量更改才能实现此更改。通过纳入违约概率的概念并确保交易对手在促进交易之前仍然存在，从业者可以更好地理解多曲线框架内的衍生品定价。
  
  
• 00:20:00 在讲座的这一部分，违约概率的概念是在对具有信用风险的衍生品进行定价的背景下讨论的。违约概率是一个随机变量，表示一段时间内违约的风险。违约概率的分布通常是从信用违约掉期等市场工具中提取的。如果市场工具不可用，银行和金融机构会将公司与行业风险联系起来，以分配违约概率。具有信用风险的衍生品的定价涉及对所有未来现金流量进行贴现，并假设利率和违约概率之间是独立的。然后，使用违约概率的指示函数计算预期收益。
  
  
• 00:25:00 在讲座的这一部分，讲师讨论违约概率和增强率如何与生存概率和风险率相关联。违约概率可以使用信用违约掉期 (CDX) 进行估算，信用违约掉期是交易的衍生品。通过查看 CDX 的市场报价，我们可以计算风险溢价并确定违约的可能性。构建的风险收益率曲线包括违约概率，它使用风险调整来调整零息债券。在实践中，从业者通常将 D(t0, ti) 解释为贴现因子，从而可以将收益率曲线构建为零息债券贴现因子的集合。
  
  
• 00:30:00 在本节中，视频解释了如何通过在贴现曲线之上构建与特定条款相对应的曲线来确定无担保负债的公平价格，该价格考虑了违约概率。该视频展示了如何计算无风险零息债券和零息债券以获得代表曲线调整因子的额外风险溢价。然后，视频讨论了如何结合风险负债和隔夜指数掉期利率的概念来计算利率互换的定价，其中可以通过计算远期 libor 在相应的鞅测度下的预期来近似定价.
  
  
• 00:35:00 在本节中，讲师讨论了实践中收益率曲线的构建以及不同曲线之间的循环依赖。首先建立贴现曲线，然后根据贴现曲线和市场的附加报价建立三个月和六个月的曲线。然而，当涉及点差时，问题就出现了，需要立即校准而不是逐条曲线。虽然涉及较多，但只要在对冲其他风险时保持一致性，在 Black-Scholes 模型中使用错误的利率仍然可以匹配市场报价。
  
  
• 00:40:00 在本节中，视频讨论了如何在 Python 中实现多曲线定价或依赖以前为单一收益率曲线开发的代码构建多条收益率曲线。掉期定义的扩展用于处理多曲线设置中的掉期定价。该视频还解释了如何执行健全性检查以验证新利率互换与单一曲线设置的一致性，方法是使用两次相同的曲线以确保它们给出完全相同的值。
  
  
• 00:45:00 在本节中，演讲者讨论了收益率曲线的校准。他们定义了四个与新曲线对应的交换，并有初始猜测，这与之前的情况不同。目标仍然是使市场价格与模型价格相匹配。贴现曲线基于引导曲线，他们将掉期定义为远期曲线的 lambda 表达式。他们将为互换寻找零息债券或收益率曲线，并针对特定收益率目标优化互换为零的值。他们仔细检查曲线的校准并绘制掉期值。健全性检查表明新交换的实施是一致的，他们最终引导新曲线。
  
  
• 00:50:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了收益率曲线的校准和自举结果，这导致定价回到标准水平。他们还绘制了贴现曲线和预测曲线，给出了它们之间的差异并说明了价差曲线。发言人指出，远期曲线较低，这是因为只有四种工具，导致不同期限之间无法平滑过渡。校准进行得比较快，相对于折扣曲线的服务器只需要迭代优化。最后，演讲者总结了讲座中涵盖的关键概念，重点是收益率曲线及其动态、数学公式、问题公式、脊柱点、优化例程和分析示例。
  
  
• 00:55:00 在视频的这一部分，演讲者讨论了曲线起点的现有代码的扩展以及附加工具的引入。演讲者强调了开发对冲框架以了解不同解释的影响的实际重要性。该视频进一步解释了多曲线的重要性以及它们与违约概率和预测的关系，随后演示了 python 代码，介绍如何实现这一点并扩展现有框架来处理多曲线。该视频最后概述了两个编码任务作为观众的家庭作业，为新曲线扩展现有代码，并包括基于六个月、三个月和可用市场工具的远期曲线的附加层。

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金融工程课程：第 7/14 讲，第 1/2 部分，（互换和负利率）

金融工程课程：第 7/14 讲，第 1/2 部分，（互换和负利率）

讲座首先回顾之前的主题，包括掉期、利率、收益率曲线构建和基本产品定价。然后进入更高级的主题：掉期期权定价和负利率下的定价。探讨了取决于波动率的掉期，以及利率选项，例如联票和流量。

囊片的概念作为欧洲选项引入，在校准 Hull-White 模型中发挥作用。 Caplets 用于路径相关模型，需要针对市场仪器进行校准。讲师讨论了 Black-76 定价 caplets 模型，并区分了 Black-Scholes 方程和 Black 方程的远期利率。利率和奇异衍生品定价的隐含波动率表面作为未来课程的主题被简要提及。

本讲座使用耦合器的市场价格深入研究了全白模型的参数校准。在校准过程中引入并使用了使用布莱克模型的隐含波动率。强调了布莱克隐含波动率和模型隐含波动率之间的区别。该讲座涵盖了依赖于两个零债券的图书馆的公式及其在定价中的替代。定义新罢工以去除预期之外的常数或时间相关成分，从而能够探索 TK 测量下的动态或分布。

掉期期权的定价与零息票模型中的零息票债券定价有关。不同之处在于支付的时间，零息债券在开始支付，掉期期权在最后支付。本讲座介绍了对信号场进行调节的概念，并使用货币服务账户的定义来解决这个问题。它导致掉期期权价格的表达式为远期衡量下两个货币服务账户比率的预期。

本讲座进一步探讨了 caplets、债券和零息债券期权之间的关系。 Black-Scholes 模型用于计算隐含波动率，并定期校准模型参数。讲座强调了正确选择模拟日期以及匹配措施和期权定价期望的重要性。

讨论了使用零息债券的利率产品和定价选项产生隐含波动率微笑。检查代码以确保准确评估，并对市场和模型衍生的收益率曲线零息债券进行比较。涵盖了零息债券期权（包括看跌期权）的定价，并进行了实验以分析波动率和模型版本对定价的影响。

本讲座介绍了一个迭代过程来寻找隐含波动率，该波动率满足期权的同等市场价值和 Black '76 价格的约束。不同波动率水平的网格被定义并作为 Newton-Raphson 的起点进行插值。讨论了均值回归参数对隐含波动率的影响，并建议在校准波动率参数时修复它。出于 XVA 考虑，强调了时间相关参数。

解决了在衍生品定价中向 HJM 模型添加随机波动率的局限性，包括对隐含波动率偏斜的影响和校准挑战。该讲座强调了掉期中年金部分的重要性以及在改变衡量标准时需要考虑到这一点。了解利率互换和改进模型，同时保持计算效率至关重要，因为它们在金融机构中很普遍。

掉期定价的重点是，假设一条曲线。互换的价值取决于初始和最终的两次支付，并且可以表示为两个零分量与行使价乘以年金的差值。解释了平价定价，其中选择行使价以使价值为零，从而导致没有现金支付。波动性对于奇异衍生品的定价是必要的，需要对市场工具进行校准。

讨论了在金融工程中使用掉期期权来衡量市场波动性。掉期是欧洲衍生品，它为持有者提供在预定的未来日期进行掉期的权利，但没有义务。掉期期权的行使价决定了持有人是掉期的付款人还是接收人。通过代入掉期的定义，推导出掉期期权的估值方程，并将方程的分子确定为衡量指标变化的合适候选者。这允许取消年金部分并简化方程式。

演讲者解释了使用年金度量和几何布朗运动来计算掉期期权价格，假设掉期利率不能为负。年金度量被认为是一个合适的度量选择，在这种度量下，互换必须是一个鞅。引入 Black-Scholes 方程作为掉期期权的定价模型。然而，演讲者承认，在实践中，掉期可能具有负值，这可能对定价方程式构成挑战。他们提到这个问题的解决方案将在讲座的后面介绍。最终目的是确定BlueWise模型下的价格，在以后的讲座中用于模拟。

讲师讨论了根据零息债券制定的互换，以及如何将其重新定义为具有不同权重的零息债券的单一总和。在寻求全白动态下定价选项的解决方案时，该公式证明很方便。该讲座涵盖了将度量从风险中性度量更改为与零息债券相关的度量的过程，这有助于解决掉期定价的挑战。 Jambchidian Flick 被引入作为一种技术来交换最大总和的期望与期望总和，这是找到定价互换期权的封闭形式解决方案的关键步骤。这种方法有助于简化定价过程并获得准确的结果。

讲师的讨论强调了理解和有效定价掉期期权的重要性，因为它们提供了有关市场波动的宝贵信息。准确评估和定价这些衍生品的能力有助于金融市场的知情决策和风险管理。

该讲座涵盖了与掉期期权和负利率背景下的定价相关的各种高级主题。它探讨了校准模型的复杂性、确定隐含波动率以及了解不同定价方法的细微差别。讲师强调了仔细选择参数、匹配措施和期望的重要性，并考虑了复杂金融环境中与衍生品定价相关的局限性和挑战。

• 00:00:00 在金融工程讲座的这一部分中，讲师讨论了两个重要主题：掉期期权的定价和负利率下的定价。本讲座首先对之前的讲座进行了简要回顾，其中涵盖了基本的金融工具，如掉期和利率、收益率曲线构建以及基本产品的定价。然后讲座转向更高级的主题，例如取决于波动率的掉期期权定价，以及在定价背景下不能忽视的负利率定价。讲座还涵盖了利率期权的定价，例如对联和流动利率。讲座的第二部分着重于全白模型下的定价以及如何谈论转移和制度下的隐含波动率。
  
  
• 00:05:00 在本节中，讲师解释了 caplet 的概念，一种在未来日期支付的欧式期权，以及它如何用作 Hull-White 模型校准的构建块。 Caplet 通常用于模拟路径相关模型，例如 Hull-White 模型，其中的参数需要根据市场仪器进行校准。讲师还讨论了为 caplets 定价的 Black-76 模型，并提到了 Black-Scholes 方程和 Black 方程对远期利率的区别。最后，讲座涉及利率和奇异衍生品定价的隐含波动率表面的概念，这将是后续课程的一部分。
  
  
• 00:10:00 在本节中，演讲者讨论了如何使用对联的市场价格来校准全白模型的参数以生成路径。引入了使用布莱克模型的隐含波动率的概念，也可用于校准过程。需要强调的是，在谈论隐含波动率时，它始终是布莱克的隐含波动率，而不是所用模型的隐含波动率。演讲者接着解释了依赖于两个零债券的图书馆的公式，以及如何在定价中替代它。定义新的罢工以去除预期之外的常数或时间相关部分，允许说话者在 $TK$ 度量下找到 $RTK-1$ 的动态或分布。
  
  
• 00:15:00 在本节中，讲师讨论了零息模型中与零息债券定价相关的掉期期权定价。两者之间的一个区别是零息债券的支付发生在开始时，而互换期权发生在最后，这使得前者的直接应用变得困难。然而，通过使用货币服务账户的定义，信号场的条件可以解决这个问题，允许将货币服务账户的积分分解为两个积分。这导致将掉期期权的价格表达为远期衡量下两个货币服务账户比率的预期。
  
  
• 00:20:00 在本节中，讲师讨论了 caplets 和债券与零息债券期权之间的联系，以及使用定价来使用 Black-Scholes 模型计算隐含波动率。该模型很少进行校准，每隔几个月一次，并且波动系数每天甚至红外线进行重新校准。该讲座强调了在模拟时仔细选择正确日期的重要性，以及在处理期权价格时匹配措施和预期的重要性。
  
  
• 00:25:00 在讲座的这一部分，重点是使用耦合器等利率产品和零息债券定价期权机制来产生隐含波动率微笑。对代码进行检查，确保评估无误，并将从市场上获得的零息债券收益率曲线与模型进行比对，确保现阶段无误。本节还介绍了零息债券期权价格的计算、零息债券看跌期权的验证或定价，以及进行实验以检查波动率和矿物版本对定价的影响。
  
  
• 00:30:00 在讲座的这一部分，讲师讨论了使用迭代过程来查找满足期权市场价值等于 Black '76 价格的约束的期权的隐含波动率选项。该过程涉及定义不同波动率水平的网格，并将它们作为牛顿-拉夫森的良好猜测进行插值。此外，讲师指出，与波动率参数相比，均值回归参数对隐含波动率的影响更小，并且在实践中通常是固定的，而 eta 经常被校准并被认为是时间相关的，以允许将波动率期限结构包含在该模型。在 XVA 的上下文中，时间相关参数的使用是必不可少的，这将在本课程的后面讨论。
  
  
• 00:35:00 在本节中，演讲者讨论了在衍生品定价中向 HJM 模型添加随机波动率的局限性。虽然它会影响隐含波动率的微笑或偏斜，但增加随机波动率会使校准变得更加困难。此外，发言者强调了掉期中年金部分的重要性以及在改变措施时需要考虑它。演讲者指出，银行和金融机构的大部分工具交易账簿都属于利率掉期，因此了解这些产品以及在保持计算效率的同时改进模型的可能性非常重要。
  
  
• 00:40:00 在这节课中，重点是掉期的定价，并简化为只有一条曲线。掉期的价值取决于两次支付，最初是掉期的价值，最后是，表示为两个零分量与行使价乘以年金的差值。掉期总是按票面价格定价，我们选择的行使价使价值等于零，这意味着不需要现金支付。掉期价值可以表示为年金乘以掉期利率减去行使价，这是掉期估值中使用的一个重要公式。波动率的增加对于奇异衍生品的定价是必要的，并且需要对市场工具进行校准以确定模型参数。
  
  
• 00:45:00 在讲座的这一部分，讲师讨论了在金融工程中使用掉期期权作为获取市场波动信息的一种方式。掉期是欧洲类型的衍生品，为持有者提供在预定的未来日期进行掉期的权利，但不是义务。掉期期权的行使价决定了持有人是掉期的付款人还是接收人。通过代入掉期的定义，获得了掉期期权的估值方程，并且发现分子是测度变化的一个很好的候选者。这允许取消年金部分并简化方程式。
  
  
• 00:50:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了在掉期利率不能为负的假设下，使用年金度量和几何布朗运动来推导掉期期权的定价。他们解释说年金度量是一个很好的度量候选者，并且年金度量下的互换必须是一个鞅。演讲者随后介绍了用于定价掉期期权的 Black-Scholes 方程，并指出掉期在实践中可能为负，这可能会导致定价方程出现问题。他们提出了一个将在讲座后面介绍的修复方法，并强调了他们的最终目标是找到 BlueWise 模型下的价格，这将在以后的讲座中用于模拟。
  
  
• 00:55:00 在本节中，讲师讨论了根据零息债券制定的互换，以及如何将其重新制定为具有不同权重的零息债券的单一总和。在寻找全白动态下定价选项的解决方案时，此公式很方便。该讲座还解释了将衡量标准从风险中性衡量标准更改为与零息债券相关的衡量标准的过程，以及这如何有助于解决掉期定价问题。讲师介绍了 Jambchidian Flick，它允许将总和的最大值的期望与期望总和进行交换，这是找到定价互换期权的封闭形式解决方案的关键步骤。