女士们，先生们，我向你们所有人致以热烈的问候。今天，我们将深入探讨一个重要话题，即投资组合绩效的各种衡量标准。具体来说，我们将探讨夏普比率、特雷诺比率和詹森阿尔法。虽然还有其他一些投资组合绩效指标，但这三个指标被广泛认为是关键的。了解这些措施之间的相互关系及其实际意义是至关重要的，不仅对于您即将到来的 CFA 或 FRM 考试，而且对于它们在现实生活中的应用也是如此。这些概念渗透到 CFA 课程的所有三个级别，强调它们在整个考试过程中的重要性。
AnalystPrep's Concept Capsules for CFA® and FRM® ExamsThis series of video lessons is intended to review the main calculations required in your CFA and FRM e...
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Hello everyone, let's begin by discussing the concept of covariance and correlation. Today's topic can be confusing for many people because correlation is a term that is commonly heard, while covariance is often unfamiliar when it comes to calculations. Additionally, both covariance and correlation are intended to measure the same thing, which can be confusing. We will explore why we have two different measures for the same purpose and determine when to use covariance and when to use correlation. Furthermore, we will examine how to calculate both covariance and correlation.
Before diving into covariance, let's quickly review how to calculate variance because it forms the basis of our discussion. Once we understand how to calculate variance, we can proceed to covariance and explore the relationship between the two measures. This will help us gain insight into the origin of these measures and their relationship with correlation.
Now, let's consider an example to understand the calculation of variance. We have a data series representing portfolio returns for five years. The returns are given as percentages for each year. To calculate the variance, we first need to determine the mean or average of the data series. We sum up all the returns and divide the sum by the number of observations, which in this case is five years. This provides us with the mean of the data series.
Next, we calculate the deviation from the mean for each observation. We subtract the mean from each return value. This gives us the deviation from the mean for each observation. The squared deviations are then calculated by squaring each deviation. We sum up all the squared deviations and divide the result by the number of observations to obtain the variance. Finally, we take the square root of the variance to find the standard deviation, which is a related measure.
It's important to note that while we are calculating variance manually here, in real-world scenarios or exams like CFA or FRM, these calculations are typically done using built-in functions in calculators like the BA2 Plus or BA2 Plus Professional.
Moving on to covariance, it is a measure of the co-movement or relationship between two different data series. Unlike variance, which deals with a single data series, covariance allows us to examine how two data series move together. For example, we can use covariance to analyze the co-movement between an ETF and a benchmark index. Positive covariance indicates that the two variables move in the same direction, while negative covariance suggests opposite movements. A covariance of zero indicates no relationship between the variables.
To calculate covariance, we subtract the mean of the first data series from each observation of that series and multiply it by the deviation from the mean of the second data series. We repeat this process for all observations, multiply the deviations, sum up the results, and divide by the number of observations to obtain the covariance.
It's worth noting that covariance shares similarities with variance, but it involves two different data series instead of just one. In fact, variance can be considered a special case of covariance where the two variables are identical.
However, there is a limitation to using covariance alone. While covariance provides insight into the relationship between two variables, it does not provide a sense of the magnitude of the relationship. This poses a challenge when comparing relationships between different data series. This is where correlation comes into play.
Correlation is a standardized version of covariance. It is calculated by dividing the covariance by the product of the standard deviations of the two data series. This normalization process enables us to compare relationships on a standardized scale, ranging from -1 to +1. A correlation of +1 indicates a perfect positive relationship, -1 represents a perfect negative relationship, and 0 denotes no relationship.
Covariance and correlation are measures that help us understand the relationship between different data series. Covariance provides an indication of co-movement between variables, while correlation standardizes this measure and allows for easy.
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大家好，今天我们将深入探讨远期利率协议的概念，也称为 FRA 或青蛙合约。这些协议是传统远期合约的变体。虽然人们通常熟悉涉及商品、股票或债券等实物或金融资产的传统远期合约，但 FRA 引入了一个独特的元素：标的资产是利率。然而，由于 FRA 与传统远期合约中使用的不同的符号和公式不同，理解 FRA 可能会有些混乱。
为了简化 FRA 的理解和记忆，我们将关注时间轴，而不是仅仅依赖公式。通过掌握时间轴概念，你可以解决与 FRA 相关的问题，而无需记住复杂的公式。那么，让我们探讨一下这种方法。
FRA 的主要目的是锁定交易的未来价值。与涉及实物或金融资产的传统远期合约不同，FRA 涉及为未来执行的贷款设定固定利率。借款人和贷款人签订协议，预先确定贷款利率。借款人预计未来的借款需求并希望获得有利的利率，担心利率可能会上涨。相反，贷方希望在未来借钱并担心潜在的利率下降。
在 FRA 中，固定利率转换为浮动利率。借款人或做多的一方支付固定利率并收取浮动利率。相反，贷方或做空方支付浮动利率并获得固定利率。重要的是要注意，重点主要放在固定利率上，而浮动利率用于计算头寸的收益或损益。
在 FRA 的术语中，它与常规远期合约有所区别。在传统的远期合约中，根据所买卖的标的资产，我们有一个多头方（买方）和一个空头方（卖方）。然而，在 FRA 中，没有实物资产或金融资产被买入或卖出，这使得多头和空头的解释变得混乱。为了克服这种困惑，我们需要将多头与买入资金联系起来，将空头与卖出资金联系起来。
现在，让我们讨论 FRA 的命名约定，这是该衍生产品所特有的。 FRA 表示为“X 乘以 Y”，其中 X 和 Y 是月份。例如，“1 x 4”FRA 表示从今天开始到四个月后结束的一个月贷款协议。但是，有必要将这些月份转换为天数进行计算。为此，请并排写下 X 和 Y，在前面添加一个 0，并将它们包含在时间轴中。此时间线直观地表示 FRA 的持续时间。
例如，对于“1 x 4”FRA，时间线将显示为“0-1-4”。在此表示中，0 表示 FRA 启动日期，1 表示 FRA 终止日期，4 表示理论贷款期限。但是，需要注意的是贷款
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接下来，我们介绍资本配置线（CAL），它结合了无风险资产和风险资产。无风险资产提供无任何风险的保证回报，由其在 y 轴上的位置表示。 CAL 表示由无风险资产和风险资产组成的投资组合的预期收益和标准差。为了确定 CAL 上的最优投资组合，我们使用无差异曲线。这些曲线反映了投资者在风险和回报方面的偏好。最优投资组合位于无差异曲线与 CAL 相切的点。
更进一步，我们假设所有投资者都具有相同的偏好，将 CAL 转换为资本市场线 (CML)。 CML 是一条将无风险回报率与市场组合联系起来的线。然而，要找到市场投资组合的真正代表是具有挑战性的，因为投资者持有的投资不仅仅是股票或债券。因此，像标准普尔 500 指数这样的流行股票指数经常被用作代理，尽管它不是一个完美的代表。
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Sharpe Ratio、Treynor Ratio 和 Jensen's Alpha（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
Sharpe Ratio、Treynor Ratio 和 Jensen's Alpha（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
女士们，先生们，我向你们所有人致以热烈的问候。今天，我们将深入探讨一个重要话题，即投资组合绩效的各种衡量标准。具体来说，我们将探讨夏普比率、特雷诺比率和詹森阿尔法。虽然还有其他一些投资组合绩效指标，但这三个指标被广泛认为是关键的。了解这些措施之间的相互关系及其实际意义是至关重要的，不仅对于您即将到来的 CFA 或 FRM 考试，而且对于它们在现实生活中的应用也是如此。这些概念渗透到 CFA 课程的所有三个级别，强调它们在整个考试过程中的重要性。
让我们从夏普比率开始，直到今天，它仍然是该领域最受尊敬的比率。它的吸引力在于它的简单性，尽管存在一些固有的局限性。尽管如此，它仍然是比较基金时的首选比率，因为它通常被对冲基金和共同基金报告。同样，Treynor 比率和 Jensen 的 alpha 都在行业中广泛使用。因此，掌握这些概念非常重要，这不仅是为了您的考试，也是为了它们的实际相关性。
夏普比率的公式如下，值得我们注意：
夏普比率 =（投资组合回报 - 无风险利率）/投资组合的标准差
在分子中，“投资组合回报率 (rp)”表示超过无风险利率 (rf) 的超额回报率。投资组合时，人们期望回报高于无风险利率，因为承担风险意味着寻求更大的回报。因此，我们关注超额收益，超额收益是指获得超过无风险利率的收益。在分母中，我们有标准偏差，它用作风险度量。在这里，必须注意标准偏差同时考虑了可分散和不可分散的风险。可分散的风险可以通过分散化消除，而不可分散的风险会持续存在。因此，夏普比率评估每单位总风险的超额回报，结合系统性和非系统性风险。
必须强调的是，与其他投资组合的夏普比率相比，夏普比率的价值最为相关。它在评估相对于彼此的投资组合时具有重要意义。事实上，行业专业人士经常将夏普比率称为“夏普”。例如，投资组合经理可能会说，“我要返还两个锐器”或“三个锐器”，表明他们各自的夏普比率。
较高的夏普比率被认为是有利的。较高的比率表明投资组合有能力在相同风险水平下产生更多回报，使其成为更可取的选择。因此，在根据夏普比率选择投资组合时，选择比率最高的那个。
现在，让我们将注意力转向特雷诺比率，它在分子上与夏普比率惊人地相似，但在分母上却有所不同。特雷诺比率衡量每单位系统风险的超额回报，用贝塔表示。 Beta 代表投资中固有的不可分散的系统性风险。与范围更广的夏普比率不同，这种范围更窄的指标仅关注系统性风险。同样，与其他可比基金的比率相比，Treynor 比率更有价值。选择基于特雷诺比率的投资组合需要选择比率最高的那个，因为较高的值表示每单位系统风险的超额回报较高。
在探索 Jensen 的 alpha 之前，让我们回顾一下资本资产定价模型 (CAPM)。 CAPM 帮助我们理解 Jensen 的 alpha，因为它有助于确定投资组合的预期回报或要求回报。 CAPM 通过从无风险利率开始并加上 beta 乘以市场风险溢价（市场回报与风险之间的差值）来计算预期回报。
Jensen 的 alpha，也称为 Jensen 绩效指数或简称为 alpha，是衡量投资组合的超额回报与其基于资本资产定价模型 (CAPM) 的预期回报的比较。 CAPM 将资产或投资组合的预期回报与其贝塔联系起来，贝塔代表系统风险或对市场变动的敏感性。
Jensen 的 alpha 计算如下：
Jensen 的 alpha = 投资组合回报 - [无风险利率 + Beta ×（市场回报 - 无风险利率）]
在这个公式中，投资组合回报代表投资组合实际赚取的回报，无风险利率是无风险投资如政府债券的回报，beta衡量投资组合对市场变动的敏感度，市场回报为整个市场的平均回报率。
Jensen 的 alpha 表明投资组合的表现是优于还是低于其基于 CAPM 的预期回报。正的 alpha 表明投资组合产生的超额回报超出了考虑到其系统性风险的预期，而负的 alpha 表明表现不佳。因此，投资者和投资组合经理在评估投资业绩时通常会寻求正阿尔法。
值得注意的是，Jensen 的 alpha 仅考虑系统风险，并未考虑总风险或与投资组合相关的特定风险。因此，建议将 Jensen 的 alpha 与其他绩效指标（例如夏普比率和特雷诺比率）结合使用，以更全面地了解投资组合的绩效。
总之，夏普比率、特雷诺比率和詹森阿尔法都是评估投资组合绩效的重要指标。夏普比率评估每单位总风险的超额回报，而特雷诺比率则侧重于每单位系统风险的超额回报。 Jensen 的 alpha 将投资组合的实际回报与其基于 CAPM 的预期回报进行比较，仅考虑系统风险。这些措施提供了有关投资组合绩效的不同观点，并且可以一起使用以做出明智的投资决策。
即期汇率与远期汇率（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
即期汇率与远期汇率（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
今天是个好日子！我想介绍一下今天的概念，供我们讨论。我们将探索从即期汇率计算远期汇率，但我们不使用公式，而是采用时间线方法。这种方法将消除记忆复杂公式的需要，并使过程更加直观。
在我们深入研究细节之前，让我们简要回顾一下远期和即期汇率的定义。即期利率是指目前市场上可用的任何利率。它表示一个人可以在特定时期内进行投资的比率，例如从今天开始的两年、三年、四年或五年。即期汇率是一种可投资汇率，允许个人通过在市场上投资来赚取回报。
另一方面，远期利率是一种理论利率，通常被称为隐含远期利率。它代表两个未来时间段之间的预计利率。例如，如果我们当前处于时间段零，我们可能想要确定第三年和第四年之间的利率。远期利率是根据当前即期利率计算得出的，可作为对未来某个时间点利率的预测。
重要的是要注意远期利率不是可投资利率，除非使用远期合约或期货合约等衍生工具锁定它。在那之前，它仍然是一个隐含汇率，这意味着当未来指定的时间段到来时，它可能存在也可能不存在。
为了使隐含的远期利率可投资，必须签订远期合约。这确保了利率是固定的，并且可以在指定的未来时间用于金融交易。
现在，让我们探讨计算远期利率的时间线方法。我们将首先检查公式，但请记住，我们的目标是摆脱对公式的依赖并采用时间线方法。通过比较这两种方法，您会发现时间轴方法产生相同的结果而无需记忆公式。
远期利率的计算公式如下：
(1 + za)^a * (1 + ifr) = (1 + zb)^b
在这个公式中，“a”代表较短期限，“b”表示较长期限，“za”和“zb”分别指较短期限和较长期限的即期利率，“ifr”表示两者之间的隐含远期利率时间段“a”和“b”。
现在，让我们举例说明以巩固我们的理解。我们得到以下即期利率：一年期即期利率为 5%，两年期即期利率为 6%。我们的目标是确定从今天起一年后的一年期远期利率。
使用该公式，我们可以将给定的即期汇率代入等式：
(1 + 0.05)^1 * (1 + ifr) = (1 + 0.06)^2
进一步化简，我们得到：
1.05 * (1 + ifr) = 1.1236
现在，让我们探索相同计算的时间轴方法。绘制时间线，时间段为零、一和二。相应地绘制即期汇率。对于两年期即期利率，从零到二标记 6%。对于一年期即期利率，从零到一标记为 5%。我们的目标是计算从今天起一年后的一年期远期利率，表示为“f”。
为了使用时间线方法确定隐含远期利率，我们利用了无套利原则。该原则断言，无论时间线上选择的路线如何，我们都应该以相同的未来价值结束。在这种情况下，我们可以以 6% 的利率投资 1 美元两年，或者以 5% 的利率投资 1 美元一年，然后再以远期利率“f”再投资一年。
为了计算一年期远期利率，我们首先以 5% 的一年期即期利率投资 1 美元一年。一年后，这项投资增长到 1.05 美元。
现在，我们将 1.05 美元以远期利率“f”再投资一年。该投资的未来价值应与以 6% 的两年即期利率计算的两年投资 1 美元相同。
让我们假设远期利率“f”是 x%。我们可以建立方程如下：
(1 + 0.05) * (1 + x%) = (1 + 0.06)^2
进一步简化，我们有：
1.05 * (1 + x%) = 1.1236
两边除以 1.05：
1 + x% = 1.1236 / 1.05
1 + x% = 1.07
x% = 1.07 - 1
x% = 0.07
因此，从今天起一年的远期利率（表示为“f”）为 7%。
通过使用时间线方法，我们能够在不依赖公式的情况下计算远期利率。这种方法提供了时间线的可视化表示，并允许更直观地理解隐含的远期利率。
Covariance and Correlation (Calculations for CFA® and FRM® Exams)
Covariance and Correlation (Calculations for CFA® and FRM® Exams)
Hello everyone, let's begin by discussing the concept of covariance and correlation. Today's topic can be confusing for many people because correlation is a term that is commonly heard, while covariance is often unfamiliar when it comes to calculations. Additionally, both covariance and correlation are intended to measure the same thing, which can be confusing. We will explore why we have two different measures for the same purpose and determine when to use covariance and when to use correlation. Furthermore, we will examine how to calculate both covariance and correlation.
Before diving into covariance, let's quickly review how to calculate variance because it forms the basis of our discussion. Once we understand how to calculate variance, we can proceed to covariance and explore the relationship between the two measures. This will help us gain insight into the origin of these measures and their relationship with correlation.
Now, let's consider an example to understand the calculation of variance. We have a data series representing portfolio returns for five years. The returns are given as percentages for each year. To calculate the variance, we first need to determine the mean or average of the data series. We sum up all the returns and divide the sum by the number of observations, which in this case is five years. This provides us with the mean of the data series.
Next, we calculate the deviation from the mean for each observation. We subtract the mean from each return value. This gives us the deviation from the mean for each observation. The squared deviations are then calculated by squaring each deviation. We sum up all the squared deviations and divide the result by the number of observations to obtain the variance. Finally, we take the square root of the variance to find the standard deviation, which is a related measure.
It's important to note that while we are calculating variance manually here, in real-world scenarios or exams like CFA or FRM, these calculations are typically done using built-in functions in calculators like the BA2 Plus or BA2 Plus Professional.
Moving on to covariance, it is a measure of the co-movement or relationship between two different data series. Unlike variance, which deals with a single data series, covariance allows us to examine how two data series move together. For example, we can use covariance to analyze the co-movement between an ETF and a benchmark index. Positive covariance indicates that the two variables move in the same direction, while negative covariance suggests opposite movements. A covariance of zero indicates no relationship between the variables.
To calculate covariance, we subtract the mean of the first data series from each observation of that series and multiply it by the deviation from the mean of the second data series. We repeat this process for all observations, multiply the deviations, sum up the results, and divide by the number of observations to obtain the covariance.
It's worth noting that covariance shares similarities with variance, but it involves two different data series instead of just one. In fact, variance can be considered a special case of covariance where the two variables are identical.
However, there is a limitation to using covariance alone. While covariance provides insight into the relationship between two variables, it does not provide a sense of the magnitude of the relationship. This poses a challenge when comparing relationships between different data series. This is where correlation comes into play.
Correlation is a standardized version of covariance. It is calculated by dividing the covariance by the product of the standard deviations of the two data series. This normalization process enables us to compare relationships on a standardized scale, ranging from -1 to +1. A correlation of +1 indicates a perfect positive relationship, -1 represents a perfect negative relationship, and 0 denotes no relationship.
Covariance and correlation are measures that help us understand the relationship between different data series. Covariance provides an indication of co-movement between variables, while correlation standardizes this measure and allows for easy.
期权收益和损益（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
期权收益和损益（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
大家好，今天，我们将深入探讨期权胶囊的概念，探讨期权收益与期权损益之间的区别。我们将检查期权收益的不同特征并理解与之相关的公式。
让我们从四种基本的期权收益概况开始。我们有两种类型的期权：看涨期权和看跌期权。在看涨期权中，我们可以持有多头头寸或空头头寸。同样，在看跌期权中，我们可以做多或做空。
要理解做多或做空意味着什么，让我们首先澄清看涨期权和看跌期权的概念。在这种情况下，我们应该始终从多头的角度来处理期权，并简单地将空头头寸的公式乘以 -1。该约定很有用，因为期权是一方享有权利而另一方承担义务的衍生品。与双方都有义务的期货或远期合约不同，期权的真正优势在于持有权利的一方，即多头方。
对于头寸或义务相关的公式，我们也考虑多头的角度，采取相反的做法。通过这样做，我们可以避免混淆并确保对主题有清晰的理解。
现在，让我们探讨四种基本的期权策略。当我们拥有多头看涨头寸时，这意味着我们已经购买了购买标的资产的权利。同样，多头头寸表示购买了出售标的资产的权利。另一方面，看涨期权空头头寸意味着我们已将权利出售给其他人，从而产生出售标的资产的义务。同样，空头头寸表示有义务购买标的资产。
永远记得站在多头的角度思考问题。多头头寸持有权利，而空头头寸承担义务。这种方法有助于我们理解四种基本的期权敞口。
继续，让我们讨论期权费。期权费，也称为期权价格，是指购买或出售标的资产的权利所需的前期金额。
现在，让我们区分一下期权支付和期权损益，因为人们经常混淆这两个术语，因为它们在期货和远期合约中的用法相似。收益是指期权的收入或流入，不考虑相关成本。相比之下，损益表同时考虑收入和成本，因为它通过从收入中减去成本来计算损益。
现在，让我们关注期权收益和与之相关的各种公式。首先，让我们检查长期看涨期权的收益。在视觉上，您可以通过观察大部分位于 x 轴上的收益图来识别收益图，表明多头头寸没有损失。但由于支付了期权费，期初存在轻微亏损。多头看涨收益的计算公式为max(ST - X, 0)，其中ST代表资产到期价格，X为行权价格。
对于看涨期权的收益，我们可以应用一个简单的规则：一方的利润就是另一方的损失。因此，要计算空头看涨期权收益，请将多头看涨期权收益公式乘以 -1。
继续看多头收益，公式变为 max(X - ST, 0)。当标的资产价格下跌时，看跌期权变得有价值。同样，对于空头看跌期权收益，将多头看跌期权收益公式乘以 -1。
请记住，我们在上述计算中只关注收入方面，而忽略了相关成本。为了计算成本，我们扩展了计算期权损益的公式。期权损益的公式包括对期权费的调整。
对于多头看涨期权和空头看涨期权损益，从各自的支付公式中减去看涨期权溢价 (CT)。
相反，对于多头看跌期权和空头看跌期权损益，将看跌期权溢价 (PT) 添加到各自的收益公式中。期权盈亏计算公式如下：
多头看涨期权损益：max(ST - X, 0) - CT 空头看涨期权损益：-max(ST - X, 0) + CT
多头看跌期权损益：max(X - ST, 0) - PT 空头看跌期权损益：-max(X - ST, 0) + PT
通过纳入期权费，我们可以在考虑收入和相关成本的情况下确定期权头寸的损益。
重要的是要注意，期权支付和损益计算假设期权合约到期。到期时，收益和损益根据标的资产的最终价格实现。
此外，所提供的公式假定欧式期权，其中行权只能在到期时发生。对于允许提前行权的美式期权，计算可能更为复杂，并涉及其他因素，例如期权的时间价值和潜在的提前行权机会。
了解期权收益和损益对于评估与不同期权策略相关的潜在结果和风险至关重要。这些计算有助于交易者和投资者评估其期权头寸的盈利能力和有效性。
债券估值（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
债券估值（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
大家好！让我们从深入研究债券估值的概念开始我们的讨论。今天，我们将重点关注区分优惠券和收益率的重要性，以及它们如何相互关联，最终影响定价动态。
首先，了解价值和价格之间的区别至关重要。我们经常会遇到提到需要为债券定价的文本。然而，实际上，我们正在做的是对债券进行估值。从技术上讲，价格是指市场价格，取决于市场参与者的共识。它受供需因素的影响，并且在特定时间点对所有个人保持不变。例如，股票价格可以在股票市场上观察到，而债券价格可以在债券交易所获得。因此，当我们进行估值时，将其称为估值过程而不是定价更为合适。
不仅对债券而且对任何资产，估值都是一个有点主观的过程，因为它需要做出各种假设。这些假设可能因人而异，从而导致不同的估值。例如，一位分析师可能认为股票或债券被高估，而另一位分析师可能认为同一债券被低估。必须认识到，这些差异的产生是由于在分析中使用了不同的假设。事实上，不同意见和观点的存在促进了市场的运作。
因此，价值是指特定资产的感知价值，它可能因人而异，基于他们的个人假设。因此，当我们计算某物的价值时，我们就是在进行估价的过程。重要的是要记住，这个过程涉及应用主观假设而不是确定市场价格。
现在，让我们深入研究对包括债券在内的金融资产进行估值的常用方法：贴现现金流 (DCF) 方法，它包含了货币时间价值的概念。为了刷新我们的记忆，让我们考虑一个从零到无限的时间线。 FV1、FV2、FV3等不同时间点的终值（FV）需要折现到零时间段，计算现值（PV）。通过总结这些现值，我们可以确定资产的当前价值。这一原则也适用于债券估值。
在债券估值中，我们对未来现金流进行贴现，其中包括定期支付的息票（三年期债券的 C1、C2 和 C3）和最终支付，即票面价值。所有息票支付都使用收益率 (Y) 贴现到零时间段，收益率 (Y) 可以是到期收益率或任何其他收益率度量。最后，票面价值被添加到这些现值的总和以确定债券的当前价值。
债券分析中的一个常见错误是息票 (C) 和收益率 (Y) 之间的混淆。为了直观地理解差异，让我们考虑一个示例，其中优惠券为 12%，收益率为 8%。在这种情况下，发行人提供的回报率 (12%) 高于投资者对所涉及风险水平的要求 (8%)。结果，债券将以溢价交易，这意味着其价格将超过票面价值。相反，如果票息低于收益率，例如我们示例中的 6%，则发行人没有提供足够的风险补偿，投资者将要求债券价格折扣。因此，债券将以折扣价交易。当息票等于收益率时，债券将按面值交易，因为发行人的回报率与投资者要求的回报率相匹配。
票面利率是债券发行人同意按债券面值或面值定期（通常为每年或每半年）支付给债券持有人的固定利率。该票面利率在发行时预先确定，并在债券的整个生命周期内保持不变。另一方面，收益率代表投资者持有债券至到期将获得的有效回报率。收益率考虑了债券的当前市场价格、收到的息票支付以及到期前的剩余时间。它反映了市场对各种变量的预期和因素，包括现行利率、信用风险和其他市场条件。
票面利率和收益率之间的关系是反比的。当债券的票面利率高于现行收益率时，债券的票面利率高于收益率。在这种情况下，债券被认为对投资者更具吸引力，因为相对于债券的市场价格，他们获得了更高的利息支付。因此，债券的价格往往以溢价交易，这意味着它的定价高于面值。
相反，当债券的票面利率低于现行收益率时，债券的票面利率低于收益率。在这种情况下，相对于债券的市场价格，投资者没有获得那么多的利息，从而降低了债券的吸引力。因此，债券的价格往往以折扣价交易，这意味着它的定价低于其票面价值。
当债券的票面利率等于现行收益率时，债券被称为按面值交易。这意味着债券的价格等于其票面价值。在这种情况下，票面利率与市场要求的回报率一致，债券被认为定价合理。
值得注意的是，息票与收益率之间的关系是决定二级市场债券价格的关键因素。当市场利率发生变化时，它会影响现行收益率，进而影响债券价格。如果现行收益率高于债券票面利率，则债券价格将下跌，反之亦然。
票面利率代表债券的固定利息支付，而收益率代表投资者将获得的有效回报率。票面利率和收益率之间的关系影响债券的定价动态，票面利率相对于收益率较高导致溢价，票面利率相对于收益率较低导致折价。
揭秘远期利率协议（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
揭秘远期利率协议（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
大家好，今天我们将深入探讨远期利率协议的概念，也称为 FRA 或青蛙合约。这些协议是传统远期合约的变体。虽然人们通常熟悉涉及商品、股票或债券等实物或金融资产的传统远期合约，但 FRA 引入了一个独特的元素：标的资产是利率。然而，由于 FRA 与传统远期合约中使用的不同的符号和公式不同，理解 FRA 可能会有些混乱。
为了简化 FRA 的理解和记忆，我们将关注时间轴，而不是仅仅依赖公式。通过掌握时间轴概念，你可以解决与 FRA 相关的问题，而无需记住复杂的公式。那么，让我们探讨一下这种方法。
在我们继续之前，让我们快速回顾一下什么是远期利率协议。与传统的远期合约类似，FRA 是场外交易 (OTC) 衍生品，这意味着它们是私下协商的合约，而不是交易所交易工具。因此，FRA 会带来信用风险。
FRA 的主要目的是锁定交易的未来价值。与涉及实物或金融资产的传统远期合约不同，FRA 涉及为未来执行的贷款设定固定利率。借款人和贷款人签订协议，预先确定贷款利率。借款人预计未来的借款需求并希望获得有利的利率，担心利率可能会上涨。相反，贷方希望在未来借钱并担心潜在的利率下降。
在 FRA 中，固定利率转换为浮动利率。借款人或做多的一方支付固定利率并收取浮动利率。相反，贷方或做空方支付浮动利率并获得固定利率。重要的是要注意，重点主要放在固定利率上，而浮动利率用于计算头寸的收益或损益。
在 FRA 的术语中，它与常规远期合约有所区别。在传统的远期合约中，根据所买卖的标的资产，我们有一个多头方（买方）和一个空头方（卖方）。然而，在 FRA 中，没有实物资产或金融资产被买入或卖出，这使得多头和空头的解释变得混乱。为了克服这种困惑，我们需要将多头与买入资金联系起来，将空头与卖出资金联系起来。
考虑到这种关联，借款人获得代表多头头寸的贷款，并在收到浮动利率的同时支付固定利率。相反，贷款人提供贷款，代表空头头寸，并在支付浮动利率的同时获得固定利率。理解立场总是相反的这一点至关重要——当一方支付固定金额时，另一方收到固定金额，反之亦然。
现在，让我们讨论 FRA 的命名约定，这是该衍生产品所特有的。 FRA 表示为“X 乘以 Y”，其中 X 和 Y 是月份。例如，“1 x 4”FRA 表示从今天开始到四个月后结束的一个月贷款协议。但是，有必要将这些月份转换为天数进行计算。为此，请并排写下 X 和 Y，在前面添加一个 0，并将它们包含在时间轴中。此时间线直观地表示 FRA 的持续时间。
例如，对于“1 x 4”FRA，时间线将显示为“0-1-4”。在此表示中，0 表示 FRA 启动日期，1 表示 FRA 终止日期，4 表示理论贷款期限。但是，需要注意的是贷款
现在，在远期利率协议 (FRA) 中，我们需要考虑两个关键日期：结算日和到期日。结算日为FRA启动之日，到期日为理论贷款开始之日。
在 2 x 3 FRA 的示例中，结算日期在时间段 0，这意味着它立即启动。到期日在时间段 2，表明理论贷款将从现在开始两个月。
现在，让我们关注 FRA 上下文中的术语“多头”和“空头”。在传统的远期合约中，多头头寸代表标的资产的买方或持有人，而空头头寸代表卖方。然而，就 FRA 而言，由于没有实物或金融资产被买卖，因此解释略有不同。
在FRA中，多头头寸是指想借钱的一方，空头头寸是指想借钱的一方。多头头寸是借款人，而空头头寸是贷方。为了确定谁支付和接收固定利率和浮动利率，理解这种区别很重要。
在 2 x 3 FRA 的示例中，借款人是多头头寸，贷方是空头头寸。借款人同意支付固定利率，而贷方同意收取固定利率。另一方面，借款人将收到浮动利率，而贷款人将支付浮动利率。
固定利率是在 FRA 启动时预先确定并商定的，而浮动利率是基于参考利率，如 LIBOR，将在 FRA 到期时确定。
总而言之，在 2 x 3 FRA 中，结算日在时间段 0，到期日在时间段 2，借款人（多头）支付固定利率并收取浮动利率，而贷方（空头）收取固定利率并支付浮动利率。
了解时间表以及多头和空头头寸的作用将帮助您驾驭 FRA 的复杂性，而无需仅仅依靠记忆公式。通过可视化时间线和正确解释命名约定，您可以掌握远期利率协议的关键方面和概念。
Beta 和 CAPM（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
Beta 和 CAPM（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
大家好，今天我们要讨论贝塔的概念和资本资产定价模型（CAPM）。 Beta，也称为贝塔系数或贝塔系数，是衡量系统性风险的指标。系统性风险是总风险中无法通过分散化消除的部分。换句话说，它是整个市场固有的风险，无法通过向投资组合中添加更多证券来避免。
重要的是要注意 beta 与相关性不同，尽管它确实取决于相关性。 Beta表示资产收益与整体市场收益之间的关系。现在让我们仔细看看 beta 是如何计算的。
Beta 的公式如下：Beta = Covariance(asset, market) / Variance(market)。在这个公式中，“资产”指的是我们正在计算贝塔值的股票或资产，“市场”代表一个流行的市场指数，例如标准普尔 500 指数，通常被用作市场的代理。
为了简化公式，我们可以用相关性代替协方差项。协方差等于相关性乘以资产和市场的标准差。通过用相关性代替协方差，beta 的公式变为：Beta = Correlation(asset, market) * (Standard Deviation(asset) / Standard Deviation(market))。
现在让我们讨论如何解释贝塔。 Beta 应该被理解为乘数而不是相关性。如果资产的 beta 为 2，则意味着如果标的股指上涨 10%，资产的价值将增加两倍，即 20%。同样，如果 beta 为 1.5，则资产价值将比基础指数增加 50%。负贝塔值，例如 -2，表示资产价值将向与市场相反的方向移动，但幅度是市场的两倍。
Beta 为零意味着资产与市场之间没有关系。资产的价值不会受到市场变化的影响。 Beta 为 1 表明资产与市场同步变动。在跟踪标准普尔 500 等特定市场指数的 ETF 中经常会出现这种情况。
现在让我们考虑一下资本资产定价模型 (CAPM)，它提供了资产预期回报与其贝塔值之间的简单关系。然而，CAPM 基于某些在现实中可能不成立的假设。这些假设包括没有交易成本和税收、可无限分割的资产、无限制的卖空、有价资产以及投资者是价格接受者。
此外，CAPM 假设投资者的效用函数仅基于预期收益和风险，并考虑单一时期来分析收益和风险。尽管这些假设不切实际，但 CAPM 可作为构建在其基础上的更高级多因素模型的起点。
CAPM 公式是金融考试的重要组成部分，由于其重要性，它通常被称为“凌晨 4 点公式”之一。使用 CAPM 计算预期回报的公式为：预期回报 = 无风险利率 + Beta *（市场回报 - 无风险利率）。该公式通过将无风险利率与 beta 和市场风险溢价（市场回报率与无风险利率之间的差值）的乘积相加来计算资产的预期回报率。
总之，beta 衡量系统性风险，而 CAPM 提供了一个框架，用于根据其 beta 确定资产的预期回报。虽然 CAPM 依赖于某些假设，但它可以作为更复杂模型的基础。了解 beta 和 CAPM 对于分析金融领域资产的风险和收益特征至关重要。
投资组合回报率和方差（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
投资组合回报率和方差（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
让我们深入探讨投资组合收益和方差的主题，特别关注投资组合胶囊的概念。了解投资组合回报相对简单，而投资组合方差因其复杂的公式而更具挑战性。为了简化计算和帮助记忆，我们将探索一个有用的技巧。通过理解投资组合回报和方差的运作，我们可以更容易地掌握公式。
首先，让我们从投资组合预期收益的概念开始，它本质上是一个加权平均数。这意味着当我们将多个资产或股票组合在一个投资组合中时，我们通过将每只股票的权重乘以其各自的回报来计算预期回报。股票的权重代表该股票的价值在整个投资组合中的比例。例如，如果您的投资组合价值 100,000 美元，而您持有价值 40,000 美元的股票 A，则股票 A 的权重将为 40%。投资组合预期收益的公式为：
投资组合的预期回报 (ERp) = Σ (wi * ri)
这里，wi代表每只股票的权重，ri代表每只股票的收益。通过对每只股票的权重和回报的乘积求和，我们得到了投资组合的预期回报。
现在，让我们继续讨论投资组合方差和标准差的更复杂方面。投资组合标准差不能简单地通过将标的证券的单个标准差相加或对其标准差进行加权平均来计算。计算涉及考虑资产之间的相关性，这增加了公式的复杂性。投资组合中的资产越多，成对相关性就越强，从而使公式变得越来越复杂。然而，在像 CFO 或 FRM 这样的考试中，问题通常集中在两个或三个资产案例上，因为超出这个范围会变得过于复杂。
投资组合标准差由两个关键部分组成：标的资产的方差和每对标的资产的协方差。如果我们考虑包含两种资产（资产 A 和资产 B）的投资组合，我们需要计算这些资产之间的成对协方差或相关性。对于三种资产，我们需要所有三种资产的成对协方差或相关性。投资组合方差的公式如下：
投资组合方差 = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * σx * wy * σy * ρxy)
wx 和 wy 分别代表资产 A 和资产 B 的权重。 σx 和 σy 分别代表资产 A 和资产 B 的标准差。最后，ρxy 表示资产 A 和资产 B 之间的相关性。投资组合标准差是通过对投资组合方差求平方根获得的。
为了帮助记住这个公式，我们可以画一个平行于一个熟悉的代数公式：(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab。如果我们将这个代数公式中的项等同于投资组合方差公式中的项，我们可以看到一些相似之处。例如，wx和σx可以等同于a，wy和σy可以等同于b。相关项 ρxy 是一个不容忽视的附加项，因为它对于确定投资组合的多元化程度至关重要。
重要的是要注意相关性范围从 -1 到 +1。较高的正相关性意味着较大的投资组合方差，如公式中的正项所示。另一方面，更多的负相关性意味着多元化收益增加，因为它降低了投资组合方差。此外，涉及成对协方差 (σxy) 的项结合了公式的最后三项。如果直接给你协方差而不是这三个。
如果直接给出协方差而不是相关性，则可以在公式中使用协方差。该公式将如下所示：
投资组合方差 = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * wy * σxy)
这里，σxy 表示资产 A 和资产 B 之间的协方差。
为了进一步简化计算，您可以创建一个“投资组合胶囊”，其中包含计算投资组合方差的所有必要信息。该胶囊包括投资组合中资产的权重、标准差和相关性（或协方差）。通过以结构化方式组织此信息，您可以轻松地将值代入公式并计算投资组合方差。
以下是如何为双资产投资组合创建投资组合胶囊的示例：
资产A：
资产 B：
使用此胶囊，您可以将这些值代入投资组合方差公式并计算结果。请记住取投资组合方差的平方根以获得投资组合标准差。
通过使用这种方法，您可以简化计算过程并有效地组织必要的信息。重要的是要注意，这种简化的方法适用于具有两个或三个资产的投资组合。对于资产数量较多的投资组合，公式会变得更加复杂，可能需要使用矩阵代数或专门的软件进行计算。
时间表——你最好的朋友（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
时间表——你最好的朋友（CFA® 和 FRM® 考试的计算）
你好！让我们深入研究时间轴的概念及其在金融各个领域的应用。时间轴是一个基本概念，存在于金融学的许多学科中，包括 CFA 和 FRM 课程。这是必不可少的，因为大多数金融估值都依赖于时间线和贴现现金流的概念。正确理解时间表可以让您将其应用于不同的主题和财务计算。
使用时间线的一个好处是，尽管术语可能因学科而异，但基本的数学概念保持不变。无论您是处理货币时间价值中的现值和未来价值，还是处理衍生品中的远期价格和现货价格，复利和贴现的概念都是一致的。这种数学概念的一致性使您能够普遍应用时间线。
由于其多功能性和广泛使用，时间线通常被称为金融界最好的朋友。它可以说明任何投资项目中现金流量的数量和时间。在构建时间线时，以等距方式划分时间间隔至关重要。例如，如果您使用年，则间隔应为一年、两年、三年等。如果您使用半年期，则间隔应为六个月、十二个月、十八个月等。等距时间段允许进行一致的计算和分析。
时间轴在金融领域有很多应用，其中一些关键应用包括定量方法、资本预算、股权估值、固定收益估值以及衍生品定价和估值。这些应用程序包含一系列财务概念和计算，而时间线在每个应用程序中都起着至关重要的作用。
在定量方法中，时间线用于计算货币的时间价值。这涉及确定未来价值、现值、年金、永续年金，以及解决与退休计划或抵押贷款支付相关的问题。时间轴可以让你准确地计算和贴现现金流量，解决各种财务问题。
在资本预算中，时间线用于使用净现值 (NPV) 和内部收益率 (IRR) 等概念评估投资项目。 NPV 通过比较现金流入的现值与初始现金流出来帮助确定项目的价值。如果 NPV 为正，则该项目被认为是可行的。 IRR 是使 NPV 为零并有助于项目选择和排序的贴现率。
股票估值涉及使用时间线来贴现预期现金流，例如股息，使用不同的模型，如股息贴现模型、自由现金流模型（FCFE 或 FCFF）或剩余收入模型。通过将这些现金流量放在时间轴上并将它们贴现回现在，可以估算出股票的基本价值或内在价值。这种估值方法有助于确定一只股票在市场上是被高估了还是被低估了。
适用于各类债券的债券估值也依赖于时间线。无论具体的债券类型如何，估值过程都涉及使用适当的贴现率将债券的未来现金流（通常以息票和本金支付的形式）贴现回现在。该时间表有助于确定债券的公允价值并评估其在市场上的吸引力。
这些只是时间轴在金融领域应用的几个例子。值得注意的是，时间表在不同金融领域的估值相关任务中普遍存在。通过了解并有效利用时间表，金融专业人士可以做出明智的决策并进行准确的计算。
投资组合理论的演变——从有效边界到 CAL 再到 SML（适用于 CFA® 和 FRM® 考试）
投资组合理论的演变——从有效边界到 CAL 再到 SML（适用于 CFA® 和 FRM® 考试）
今天，我们将探讨胶囊的概念并深入研究投资组合理论的演变。我们的重点将放在理解不同阶段，例如最小方差边界、有效边界、资本配置线、资本市场线和证券市场线。我们将强调这些阶段之间的区别及其进展方式，而不是仅仅关注公式，最终导致资本资产定价模型 (CAPM) 和证券市场线的形成。
让我们从最小方差边界开始。假设您有 20 种不同资产的信息，包括它们的风险和回报概况。您可以使用此数据手动或在 Excel 工作表上创建各种投资组合。通过组合这些投资组合，您可以形成最小方差边界。该边界代表具有最小方差的投资组合的范围，表示风险最小的点。这一点被称为全局最小方差投资组合。
转到有效边界，我们将所有投资组合绘制在图表上，y 轴为投资组合的预期回报，x 轴为风险（通过投资组合标准差衡量）。有效边界由在给定风险水平下提供最大回报或在给定回报水平下风险最小化的投资组合组成。任何低于有效边界的投资组合都被认为是低效的，因为您始终可以选择边界以上的投资组合，在相同风险水平下回报率更高。有效边界是最小方差边界的上部。
接下来，我们介绍资本配置线（CAL），它结合了无风险资产和风险资产。无风险资产提供无任何风险的保证回报，由其在 y 轴上的位置表示。 CAL 表示由无风险资产和风险资产组成的投资组合的预期收益和标准差。为了确定 CAL 上的最优投资组合，我们使用无差异曲线。这些曲线反映了投资者在风险和回报方面的偏好。最优投资组合位于无差异曲线与 CAL 相切的点。
更进一步，我们假设所有投资者都具有相同的偏好，将 CAL 转换为资本市场线 (CML)。 CML 是一条将无风险回报率与市场组合联系起来的线。然而，要找到市场投资组合的真正代表是具有挑战性的，因为投资者持有的投资不仅仅是股票或债券。因此，像标准普尔 500 指数这样的流行股票指数经常被用作代理，尽管它不是一个完美的代表。
在风险的背景下，我们区分系统性风险和非系统性风险。系统性风险是总风险中无法消除的部分，例如通货膨胀、利率和汇率等宏观经济因素。非系统性风险是个别公司特有的，可以通过分散化来减轻。该理论表明，投资者应该只因承担系统性风险而获得补偿，因为非系统性风险可以通过分散投资来避免。
为了说明这一点，随着投资组合中证券数量的增加，系统性风险保持不变，而非系统性风险因多元化收益而减少。市场应该只奖励承担系统性风险的投资者。
总之，理解投资组合理论的演化涉及理解各个阶段，包括最小方差边界、有效边界、资本配置线、资本市场线和证券市场线。这些概念帮助投资者根据风险和回报偏好确定最佳投资组合，同时考虑系统性和非系统性风险。