00:25:00 在本节中，讲师讨论了金融中遇到的随机积分的不同示例。第一个示例涉及布朗运动随时间步长的求和，而第二个示例涉及布朗运动随增量的求和。在第三个例子中，布朗运动乘以增量。然后，讲师转向一个更具体的案例，其中函数 g(t) 从 0 到 T 与函数 g(s)dW(s) 积分。该方法涉及将积分范围划分为更小的子区间，并使用蒙特卡洛模拟来近似积分值。该讲座强调了样本大小和取值范围对于准确结果的重要性。
00:30:00 在本节中，演讲者讨论了如何通过分区和逼近过程对确定性积分进行数值求解。他们介绍了 Ito 积分并解释了函数 GT 在区间的开始计算，积分总是选择在左边界。演讲者使用了一个 GT 函数为 T 平方的例子，并演示了如何通过 Ito isometry 属性获得期望和方差。他们提供 Python 代码来模拟计算并解释所涉及的步骤。
00:35:00 在讲座的这一部分中，演讲者讨论了如何生成布朗运动并使用它来构建过程和定义积分。他们生成一个分布并用它来构建过程，然后显示去除缩放条件对分布和方差的影响。演讲者还解释了解决涉及布朗运动的积分的技巧：应用伊藤引理。最后，他们展示了如何考虑函数 x 的平方来计算积分。
00:40:00 在本节中，演讲者讨论了 Ethos Lemma 的应用，以获得等于 tw 平方 t 的函数的动态。通过将 Ito 引理应用于 x 平方，说话者获得通过积分计算的项，从而产生 pi 平方分布而不是正态分布。演讲者强调需要经验来猜测要应用哪种类型的函数以获得所需的结果。修改代码以在积分之间切换，并建议增加样本数量以改善结果。
00:45:00 在本节中，演讲者讨论了蒙特卡洛模拟、数值例程以及优质随机数生成器的重要性。他们继续解释 Ito 的引理并深入研究启发式方法来理解为什么 dwt dwt 等于零。通过减小网格大小，方差收敛的速度比期望快得多，这可以在实验中观察到，其中期望变零的速度要慢得多，而方差几乎为零。演讲者提供了为什么 dwt dwt 等于零的直觉，并总结说这方面的理论证明相当复杂。
00:50:00 在本节中，演讲者讨论了两个相似函数 g1 和 g2 的收敛，并研究了它们从布朗运动中采样时的期望。这些函数对 x 趋于负无穷大的限制为 0，对 x 趋于正无穷大的限制为 1。演讲者计算了随着模拟样本数量的增加而产生的误差，并显示了一个误差与样本数量的比较图。第一个函数曲线不平滑，震荡幅度大，而第二个函数曲线平滑，收敛较快。
Computational Finance Lecture 9- Monte Carlo Simulation▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
00:55:00 在讲座的这一部分，演讲者解释了在模拟多维问题时对过程进行排序的重要性，并演示了如何为 X 值和方差值集成 Heston 模型过程。 X 和方差之间的相关性相同，允许将方差过程的表达式代入 X 的过程。这种代入简化了方程式并允许模拟整个过程。演讲者建议使用较大的时间步长以便更轻松地集成过程。
01:00:00 在本节中，重点是执行大时间步模拟，这对于特定日期的定价选项至关重要。我们希望通过减少观察点之间模拟的路径数量来最大程度地减少模拟所需的时间，同时仍保持质量。建议使用贷款中心高方方法的样本进行精确模拟，而无需额外的近似值。 Heston 模型的模拟基于时间 t 的样本值，近似于该间隔开始时的值。近似值引入了一个新项 delta t，必须对其进行研究以确定对模拟精度的可接受影响水平。
01:15:00 在本节中，讲师讨论了使用 Monte Carlo 模拟为奇异衍生品定价以及将模型校准为最具流动性的工具的重要性，因为该模型不太可能被校准为不具有流动性的奇异工具大量交易。模型校准得到的参数可用于模拟蒙特卡洛路径并对奇异衍生品进行定价，以确保定价准确，并在校准时考虑到用于衍生品的对冲工具。讲师还解释了几乎精确的模拟如何优于 Euler 离散化，即使时间步数更少，Euler 误差主要是由极端参数的方差过程的离散化问题或不满足 Feller 条件引起的。
01:25:00 在本节中，讲师讨论了模拟的设置和配置，以使用欧拉和几乎精确的模拟为欧式期权定价。模拟涉及 CIR 过程的精确模拟，其中布朗运动的相关性随后是指数变换。然后，讲师使用通用函数演示期权定价，为离散化时间步长指定增量 t 向量，并执行 COS 方法的精确模拟。分析表明，与欧拉方案相比，几乎精确的模拟具有很高的准确性，并且需要的时间步数更少。此外，改变变量（例如执行价格和时间步长）会显着影响模拟的准确性。
Computational Finance Lecture 10- Monte Carlo Simulation of the Heston Model▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemat...
Computational Finance Lecture 11- Hedging and Monte Carlo Greeks▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
01:20:00 在视频的这一部分，演讲者讨论了 Bates 模型的时间相关框架，以及它如何将时间相关波动率的积分与时间导数的性能联系起来。收益被定义为性能平方的对数，相当于波动率的积分。演讲者还解释了如何使用 sigma v 平方的期望值和随机微分方程找到合约的第三个值。此外，引入了 252 个工作日的比例系数作为财务的一个重要因素。
01:25:00 在本节中，演讲者讨论了方差掉期的公允价值，这是一种允许投资者押注资产未来波动性的衍生合约。互换的公允价值可以表示为一个对应于从零到合约到期的期间的比例系数，加上一个对应于利率的元素，减去 q log st 除以 st0 的预期值。为了评估这种预期，可以使用蒙特卡洛模拟或股票的分析分布，有趣的是，即使我们将所有小区间的表现进行复合，它也等于 a 值的比率或对数股票到底除以初始值。
Computational Finance Lecture 12- Forward Start Options and Model of Bates▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
00:40:00 在本节中，演讲者讨论障碍期权及其对交易对手客户的吸引力。这些合约可能很有吸引力，但它们必须依赖流动性标的资产来避免买卖价差。障碍期权通常用于交叉货币市场，可以考虑进行投机。演讲者解释了障碍选项的各种配置和收益，包括输出、输入、向下和向上选项。他们提到障碍可能是时间相关的，以增加合同的复杂性。 Monte Carlo 的计算相对简单，而 PDE 需要调整边界条件。
01:15:00 在这节课中，重点是亚洲期权的定价，它从一维定价问题转移到更高维的问题，因为它涉及两个自变量：股票价格和股票的积分。期权的收益取决于从零到 T 观察到的积分或路径，其中支付是在到期时进行的。奇异衍生品合约中的最终部分依赖量可以写成形式，但不幸的是，方程组并不精细，这意味着需要更先进的技术来对期权进行定价和评估。然而，尽管存在不确定性，delta 对冲仍足以获得适当的对冲系数。
Computational Finance Lecture 13- Exotic Derivatives▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Comput...
Computational Finance Lecture 14- Summary of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Com...
演讲者强调了计算金融课程的实用性。虽然涵盖了理论知识，但非常强调实施效率并为每节课提供 Python 代码示例。课程材料是独立的，尽管它们是基于“A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance”一书。讲座还提供了课程路线图的概述，让学生清楚地了解 14 个讲座中每个讲座将涵盖的主题。
第一讲的重点是提供整个课程的概述，并强调所涵盖的概念在实现执行 xva 和 var 计算的最终目标方面的重要性。
讲师重温了金融工程课程中涵盖的主题，包括衍生品定价、价格发现的重要性、交易归因的实际方面以及风险管理措施（如风险价值和预期短缺）。重点仍然放在实际应用上，例如建立利率互换投资组合和利用收益率曲线构建知识通过模拟结果估计 VAR 和预期缺口。本讲座还解决了使用蒙特卡洛模拟在 VAR 计算中与缺失数据、套利和重新分级相关的挑战。
在最后一讲中，讲师讨论了回测和测试 VAR 引擎。虽然承认课程将超过最初的 14 周，但讲师表示对全面而愉快的学习之旅充满信心。录制的讲座将引导学生走向了解估值调整 (XVA) 和风险价值计算的顶峰。
01:00:00 在本节中，讲师概述了本金融工程课程将涵盖的主题，包括衍生品定价和价格发现的重要性、交易归因的实际方面以及风险管理措施，例如风险价值和预期的不足。重点放在实际应用上，包括建立利率互换投资组合，以及使用有关建立收益率曲线的知识通过模拟结果来估计 var 和预期短缺。讲师还讨论了与使用 Monte Carlo 模拟的 var 计算相关的缺失数据、套利和重新分级等问题。
01:05:00 在本节中，讲师讨论了课程的最后一讲，即回测和测试 VAR 引擎。他还提到该课程将需要超过 14 周的时间才能完成，但会以出色的方式完成，将每个讲座都融入额外的知识以支持最终目标，即估值调整 XVA 和风险价值的计算。课程已经录制完毕，讲师表示有信心一路愉快地到达山顶。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 1- part 1/1, Introduction and Overview of the Course▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course i...
展望未来，将彻底检查过滤和措施的概念。过滤可以与现在有关，也可以延伸到未来，因此在处理随机过程时需要明确区分。过去代表股票历史的单一轨迹，而未来的随机性可以通过随机微分方程和模拟来建模。尽管本课程主要关注目前 (t0) 之前的过滤，但随后会深入探讨如何利用未来的过滤来提高计算效率。模拟未来场景并开发不同的结果成为可能。然而，鉴于固有的不确定性，确定最现实的情景仍然具有挑战性。估计结果的分布涉及利用与测量 p 相关的历史数据和校准技术。
然后，讲座深入探讨了度量和过滤，强调了度量 Q 在定价和风险管理中的不同作用，以及度量 P 主要在风险管理中的作用。当采用这两种措施时，由于任一指标的适用性都不是唯一的，因此为风险概况生成未来情景变得势在必行。此外，随着时间的推移，历史知识的积累导致更广泛的过滤。然而，保持对可测量性的理解并承认未来特定时间随机量的不确定性也很重要。
接下来，讲师深入研究了对未来某个时间点的期望，强调了与期望为零的情况相比，它的复杂性。他们解释说，这种情况需要多条路径和每条路径的嵌套蒙特卡罗模拟，包括条件期望的子模拟。这种复杂性是由于独立增量的特性而产生的，其中布朗运动总是可以表示为它在两个不同时间 t 和 s 的值之间的差异。
将焦点转移到蒙特卡洛模拟上，演讲者讨论了用于模拟股票期权价值的布朗运动的构造。他们探索了两种类型的鞅，并引入了嵌套蒙特卡罗方法来计算股票期权的条件期望。模拟涉及生成一条路径直到时间 s 并为每条路径进行子模拟以评估当时的期望。这个过程需要计算每条路径在时间 s 的特定实现的条件期望。然后将误差测量为条件期望与时间 s 的路径值之间的差异。布朗运动的标准化确保它是使用独立增量构建的，有助于在蒙特卡罗模拟中执行所需的属性。
00:40:00 在本节中，讲师讨论了对未来时间点的期望，这比期望为零的情况要复杂得多。讲师解释说，这需要多条路径和每条路径的嵌套蒙特卡洛模拟，这涉及对每条路径执行子模拟并采取条件期望。讲师还解释说，这与布朗运动总是可以写成时间 t 的布朗运动减去时间 s 的布朗运动这一事实有关，利用独立增量的性质。
00:45:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了蒙特卡罗模拟和布朗运动的构造，以模拟股票的期权价值。探索了两种类型的鞅，包括用于计算股票期权的条件期望的嵌套蒙特卡罗方法。演讲者说明了一条路径的模拟，直到时间 s 和每条路径的子模拟，以在该时间取期望值。期望是在时间 s 的特定实现的条件期望，它对每条路径重复。误差被计算为条件期望与时间 s 的路径之间的差异。布朗运动的标准化确保它是由独立的增量构成的，从而更容易在蒙特卡罗模拟中强制执行属性。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 1/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
过去，资产通常以黄金或其他计价单位表示。选择合适的计量单位可以显着简化和改善金融工程问题的复杂性。使用 mar 是没有漂移的过程，在金融领域特别受欢迎，因为它们比有漂移的过程更容易处理。
不同的措施与流程和可交易资产的特定动态相关联。常见情况包括与货币储蓄账户相关的风险中性指标、与零息债券相关的 T 远期指标以及与作为计价股票的股票相关的指标。度量更改提供了一种在度量之间切换并从不同过程的属性中获益的方法。 Girsanov 定理是测度变换的重要工具，它允许我们在特定条件下从一种测度切换到另一种测度。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 2/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
展望未来，演讲者探讨了收益的简化，并深入研究了新措施下股票的动态。 t0 的值作为在最大 st 减去 k 0 的测量下的期望值提供，引入了一种新的鞅方法。阐明了鞅方法的概念，强调了将所有内容除以库存过程以满足鞅条件的重要性。强调贴现过程，强调其在新措施下简化动态的好处。动态可以从 mtst 作为 mar 的比率得出。此外，发言者强调需要确定新度量下的方差和测量变换，以有效利用鞅方法的优势。
此外，讲师还探讨了在考虑零息债券时将衡量指标更改为远期衡量指标的重要性。通过使用基本定价定理和通用定价方程，可以推导出零息债券的当前价值。定价方程涉及贴现收益的预期，零息债券等于 1。讲师强调利率是随机的，并讨论了如何通过将度量更改为 T 远期度量来从等式中消除随机贴现。本节最后解释了如何为卢布代码衍生品建模，以及定价方程如何从风险中性度量转变为 T 远期度量。
此外，教授还强调了改变金融定价模型的措施和减少维度的重要性。通过在 T 远期度量下过渡到价格并消除贴现因子的特殊性，从业者可以将度量变更技术用作日常操作中的强大工具。该讲座总结了过滤的概念及其与条件期望的关系，强调了这些工具如何简化金融中的复杂问题。
00:05:00 在本节中，讲座的重点是将措施从风险中性转变为由股票资产驱动的货币储蓄账户措施。为实现这一点，使用了两种措施的比率，并用简单的术语解释了所涉及的过程。该讲座强调了选择一种资产以与投资组合中所有其他资产相同的单位来表示的重要性，以及如何通过度量的转换来实现这一点。还讨论了支付函数，关联度量下的期望被写为对 m 的一积分，结果提供了查找查询的方法。讲座最后展示了用于获得最终项的替换。
00:10:00 在本节中，演讲者讨论了收益的简化以及新措施下股票的动态问题。 t0 的值作为在最大 st 减去 k 0 的测量下的期望给出，并引入了一种新的鞅方法。鞅方法解释说，一切都应该按存货流程进行划分，以符合鞅的条件。演讲者还强调了贴现过程，并提到只有在新措施下导致简化动态时它才有用。动态可以从 mtst 作为 mar 的比率中找到。最后，演讲者强调需要找到新度量下的方差和度量变换，以便从鞅方法中受益。
00:40:00 在本节中，讲师讨论了零息债券以及将衡量指标更改为远期衡量指标的重要性。通过使用基本定价定理和通用定价方程，可以推导出零息债券的当前价值。定价方程包括对贴现回报的期望，对于零息债券，贴现回报等于 1。讲师强调利率是随机的，并讨论了如何通过将度量更改为 T 远期度量来从等式中去除随机贴现。本节最后，讲师解释了如何为卢布代码衍生品建模，以及定价方程如何从风险中性度量变为 T 远期度量。
00:45:00 在讲座的这一部分，教授讨论了改变措施和减少维度的想法，以及如何将其应用于金融定价模型。通过改变措施，从业者可以在 t 远期措施下处理价格，并消除贴现因素的特殊性。这使他们能够在日常操作中使用经过测量的危险技术作为强大的工具。本讲座还总结了过滤的概念及其与条件期望的关系，以及如何使用这些工具来简化金融中的复杂问题。
Financial Engineering: Interest Rates and xVALecture 2- part 3/3 Understanding of Filtrations and Measures▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course ...
计算金融：第 9/14 讲（蒙特卡洛模拟）
计算金融：第 9/14 讲（蒙特卡洛模拟）
该讲座涵盖了与计算金融中的蒙特卡洛模拟和集成相关的几个主题，提供了对不同方法和技术的见解。
讲师首先介绍积分问题并演示如何使用蒙特卡洛采样计算积分。他们解释了两种方法：经典的整合方法和基于期望值的整合。通过 Python 编程演示，讲师展示了如何分析并使模拟更高效。他们讨论了平滑度对收敛和不同类型收敛的影响。
此外，讲座涵盖了两个重要的离散化技术，即欧拉和米尔斯坦，并解释了如何根据模拟中的时间步长来控制误差。讲师强调蒙特卡洛模拟的原理和历史，该模拟已在各个领域应用了近 90 年。它在 1930 年代受到物理学家的欢迎，尤其是在曼哈顿计划期间。
讨论了在计算金融中计算未来收益预期值的重要性。这涉及使用股票密度在实轴上积分，同时考虑到恒定或随时间变化的利率。与抽样和概率论相关的蒙特卡洛积分作为一种技术被引入，该技术为每次模拟提供不同的输出。该讲座强调了它在高维度问题中的应用，以及通过调整模拟中的设置来控制误差分布方差的能力。讲师还讨论了使用蒙特卡洛改进采样和模拟的方法。
解释了使用蒙特卡洛模拟估计积分的具体方法。该方法是在一个矩形区域内均匀采样点，统计曲线下样本的比例来估计积分。尽管在金融领域不常用，但这种方法对于高维问题可能很有价值。讲师强调了理解被集成的功能以有效捕获感兴趣区域的重要性。
讲座还深入探讨了蒙特卡洛模拟在金融领域的局限性和挑战。虽然它提供了粗略的估计，但结果可能非常不准确，特别是对于复杂的模拟。讲师解释说，蒙特卡洛模拟中的预期误差按模拟次数的平方根减少，从而导致计算强度增加。本讲座进一步探讨了积分法和期望法之间的关系，并举例说明了它们之间的联系。在金融领域，预期方法通常被认为比传统的蒙特卡罗模拟更有效和准确。
本讲座涵盖大数定律及其与独立随机变量的关系。讨论了用于确定均值的方差估计和期望计算。对“朴素方法”和期望方法进行了比较，事实证明后者即使在样本较少的情况下也更加准确。讲师演示了执行此模拟的代码，强调需要为集成功能的方法指定两点。
讨论了金融中遇到的随机积分的不同示例，重点介绍了布朗运动随时间步长的求和、布朗运动对增量的求和以及布朗运动与增量的乘积。给出了一个更具体的例子，其中函数 g(t) 从 0 到 T 与函数 g(s)dW(s) 集成。讲座解释了如何将积分范围划分为更小的子区间，并使用蒙特卡洛模拟来近似积分。为了获得准确的结果，强调了样本大小和值范围的重要性。
演讲者解释了如何通过划分和近似过程对确定性积分进行数值求解。他们介绍了 Ito 积分并解释了函数 GT 在区间开始时的计算，积分选择在左边界。以 T 平方的 GT 函数为例，讲师演示了如何使用 Ito 等距性质获得期望和方差。提供了Python代码来模拟计算，并解释了所涉及的步骤。
讨论了布朗运动的产生及其在构建过程和定义积分中的应用。本讲座介绍了生成分布并使用它构建布朗运动过程的过程。证明了去除缩放条件对分布和方差的影响。讲师还解释了通过应用伊藤引理来解决涉及布朗运动的积分的技巧。最后，讲座展示了如何考虑函数 x 的平方来计算积分。
讨论了应用 Ito 引理来获得等于 tw 平方 t 的函数的动力学。通过将 Ito 的引理应用于 x 平方，讲座揭示了通过积分计算的项，导致 pi 平方分布而不是正态分布。演讲者强调了经验在猜测要应用哪种类型的函数以达到预期结果方面的重要性。修改代码以在积分之间切换，并建议增加样本数量以改善结果。
讨论了蒙特卡罗模拟、数值例程和高质量随机数发生器的重要性。该讲座解释了 Ito 的引理，并提供了一种启发式方法来理解为什么 dwt dwt 等于零。据观察，与预期相比，减小网格大小会导致更快地收敛方差。进行了一项实验，以证明期望以较慢的速度变为零，而方差接近于零。演讲者提供了为什么 dwt dwt 等于零的直觉，同时承认这种关系的理论证明相当复杂。
本讲座深入研究了两个相似函数 g1 和 g2 的收敛，并研究了它们从布朗运动中采样时的期望。这些函数在 x 接近负无穷大时限制为 0，在 x 接近正无穷大时限制为 1。讲师计算增加模拟样本数量的误差，并展示误差与样本数量的比较图。第一个函数具有不平滑的曲线和较宽的振荡范围，与第二个函数形成对比，第二个函数具有平滑的曲线并且收敛更快。
在金融中使用蒙特卡洛模拟时，收敛被强调为一个重要的考虑因素。该讲座解释了弱收敛和强收敛之间的区别，强收敛比弱收敛更强大。在处理非平滑函数和数字类型的收益时，收敛可能会出现错误，从而导致评估结果大不相同。了解两种融合的差异和影响对于确保准确的财务模拟和评估至关重要。
本讲座讨论了蒙特卡罗模拟和定价算法背景下的弱收敛和强收敛。虽然弱收敛匹配预期水平的时刻，但强收敛对于准确的路径相关收益是必要的。完整的蒙特卡洛定价算法涉及定义从当前时间到合同付款日期的网格、定价方程和资产的随机驱动因素。当由于库存过程的复杂性而无法进行封闭式评估时，蒙特卡罗模拟是必要的。网格通常是等间距的，但在某些情况下，可以采用替代策略。
教授强调了蒙特卡洛模拟的准确性和时间限制。值得注意的是，虽然增加时间步数可以提高准确性，但也会增加仿真时间。允许更大的蒙特卡洛步骤的先进技术或封闭形式的解决方案可能有利于实现准确性和速度。然后讲座继续定义欧式期权的网格、资产和收益。选项的最终状态取决于观察的时间。本讲座解释了如何通过在队列度量下取期望并对其进行贴现来计算期权价格，同时还计算标准误差以衡量所获得结果的可变性。
标准误差的概念在蒙特卡洛模拟的背景下进行了讨论。讲座解释了可以使用强大数定律计算期望，并且可以通过假设样本是独立抽取来计算均值的方差。标准误差衡量给定一定数量路径的期望的可变性，可以通过将方差除以路径数量的平方根来确定。随着样本数量的增加，误差会减小。通常，将样本数量增加四倍会使误差减少两倍。模拟随机微分方程的经典方法是通过欧拉离散化，该方法简单明了但有其局限性。
讲师讨论了在蒙特卡罗模拟中使用随机微分方程和欧拉离散化。该过程涉及定义网格、执行模拟以及通过绝对误差测量精确解与模拟之间的差异。必须确保精确版本和离散版本中变量的随机性相同，以确保可比性。该讲座还强调了矢量化在蒙特卡洛模拟中的重要性，因为它比对每个时间步长和路径使用双循环更有效。然而，需要注意的是，虽然这种方法简化了过程，但它在准确性和速度方面存在局限性。
使用精确表示中生成的布朗运动和近似中使用的相同运动，检查具有漂移项和波动率项（r 和 sigma）的布朗运动的精确解。该讲座比较了弱收敛中的绝对误差和平均误差，强调弱收敛足以为欧式收益定价，但可能不足以为路径依赖收益定价。显示的图表说明了与精确解相比，欧拉离散化生成的路径，其中可以观察到某些路径的两者之间的差异。讲座最后比较了强错误和弱错误。
演讲者讨论了使用代码实施蒙特卡洛模拟。他们解释说，要量化误差，需要使用误差的度量，正如讲座前面所讨论的那样。该代码生成路径并使用多色模拟将精确值与近似值进行比较。输出是股票的时间路径和精确值。演讲者强调了为近似解和精确解生成相同的布朗运动以在误差级别比较它们的重要性。为了测量弱收敛误差和强收敛误差，他们定义了步数范围，并对每一步进行蒙特卡罗模拟。该代码会产生两种类型的错误：弱错误和强错误。
讲师讨论了蒙特卡洛方法所涉及的模拟过程，以及由于模拟需要重复多次而耗时的原因。结果通过弱和强收敛图显示，其中弱收敛误差由缓慢增长的蓝线表示，而强收敛误差遵循 delta T 形状的平方根，证实了分析。讲师解释说，可以通过 Milstein 的离散化技术显着减少误差，该技术通过应用泰勒展开导出附加项。虽然需要更多工作才能得出最终公式，但 Milstein 的方案需要波动率项的导数，这在分析上并不总是可用。
演讲者解释了蒙特卡洛模拟在计算金融中的应用，特别是在几何布朗运动中。他们演示了如何计算分布意义上的波动率项并将其与欧拉方案进行比较。尽管蒙特卡洛模拟比欧拉法具有更快的收敛速度，但在涉及多维的模型中推导导数可能具有挑战性，因为它需要额外的计算量。此外，演讲者比较了两种方案在弱义和强义上的绝对误差，强调了蒙特卡洛的强误差在delta t上是线性的，而欧拉的弱误差是同阶的。最后，他们提供了蒙特卡罗模拟的代码实现，用于生成几何布朗运动的路径并分析其强收敛性。
演讲者使用 Black-Scholes 或几何布朗运动的例子讨论了不同离散化技术对收敛的影响。对欧拉和米尔斯坦方案的分析可以说明不同离散化技术的影响。演讲者比较了 Milstein 和 Euler 方案之间的误差，表明 Milstein 方案的误差远低于 Euler，尽管它可能并不总是适用。在查看最终结果时，不同方案的优势可能并不明显，但考虑到模拟的计算费用，时间就变得至关重要。因此，如果我们想要执行蒙特卡罗的快速模拟，使用大的时间步长是必不可少的。
然后，讲师继续讨论随机数生成器 (RNG) 在蒙特卡罗模拟中的作用。他们强调使用优质 RNG 以确保结果准确可靠的重要性。讲师提到伪随机数生成器 (PRNG) 通常用于模拟，并解释了它们如何生成近似随机性的数字序列。他们还通过为 RNG 使用固定的种子值来强调模拟中再现性的必要性。接下来，讲师讨论了对立变量的概念，这是蒙特卡罗模拟中使用的一种方差减少技术。对立变量背后的想法是生成对感兴趣的数量具有相反影响的随机变量对。通过取从原始变量及其对立变量获得的结果的平均值，可以减少估计的方差。这种技术在处理对称分布时特别有用。
然后，本讲座介绍了控制变量的概念，作为另一种减少方差的技术。控制变量涉及将已知函数引入与感兴趣的数量相关的模拟过程。通过从目标函数获得的估计值中减去已知函数获得的估计值，可以减小估计值的方差。讲师提供了示例来说明如何在实践中应用控制变量。除了减少方差技术外，讲师还讨论了分层抽样的概念。分层抽样涉及将样本空间划分为层，并分别从每个层中抽样。这种方法确保每个层都在样本中得到代表，从而导致更准确的估计。本讲座解释了实施分层抽样的过程，并强调了其相对于简单随机抽样的优势。
最后，讲师探讨了重要性抽样的概念。重要性抽样是一种用于通过将较高概率分配给更有可能产生所需事件的样本来估计罕见事件概率的技术。该讲座解释了重要性抽样如何提高稀有事件估计的蒙特卡罗模拟效率。讲师提供了示例并讨论了选择合适的抽样分布以获得准确结果的重要性。
讲座涵盖与蒙特卡罗模拟相关的一系列主题，包括积分问题、使用蒙特卡罗抽样计算积分、编程演示、收敛性分析、离散化技术、蒙特卡罗模拟的原理和历史、在计算金融中的应用、方差减少技术和重要性抽样。讲师提供了对蒙特卡罗模拟的理论和实际实施的见解，并强调了它们在各个领域的相关性。
计算金融：第 10/14 讲（赫斯顿模型的蒙特卡罗模拟）
计算金融：第 10/14 讲（赫斯顿模型的蒙特卡罗模拟）
本讲座的重点是使用具有挑战性的 Heston 模型，利用 Monte Carlo 模拟对衍生品进行定价，特别是欧式期权。它从热身练习开始，其中欧式和数字期权使用蒙特卡洛和简单的 Black-Scholes 模型定价。讨论了模拟 Heston 模型中的方差的 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程的模拟，强调了从该分布中进行准确采样的必要性。讲师演示了 CIR 模型的精确模拟，强调了其在生成准确样本方面的优势。
接下来，讲师介绍了几乎精确模拟的概念，与欧拉离散化相比，它允许更大的时间步长和更高的精度。使用Euler和Milstein两种方案对Heston模型进行了模拟，并对结果进行了比较。值得注意的是，弱收敛对于欧式收益很重要，而强收敛对于路径依赖收益很重要。考虑到实际应用中的计算时间限制，根据收益类型和所需结果质量调整步骤或路径的数量是必要的。
讨论了评估所需的计算时间，并提供了 Euler 和 Milstein 离散化方案之间的代码比较。讲师就生产环境的代码优化提出了建议，强调对于只需要最终库存值的收益评估来说，可能不需要存储整个路径。本讲座还提供了作为 Black-Scholes 模型简化实现的精确解。
解释了使用蒙特卡洛模拟的数字或现金或无现金期权的定价，强调了与欧式期权相比收益计算的差异。提供诊断和输出以比较两种类型选项的方法。本讲座承认蒙特卡洛模拟对于具有终端相关收益的选项的局限性，其中不存在强收敛。代码的通用性得到强调，使其适用于其他模型，例如 Heston 模型。
本讲座深入探讨了 Heston 模型表现良好所需的条件，并讨论了离散化技术如何影响这些条件。波动率参数变化对模型行为的影响通过图表展示，强调过程不应变为负值。还强调了欧拉离散化在维持这些条件方面的局限性。讨论了在具有蒙特卡罗模拟的 Heston 模型的下一次迭代中出现负实现的概率。负面实现的可能性是根据某些参数之间的关系计算的，并强调了将蒙特卡罗路径与模型对齐以避免显着定价差异的重要性。讨论了在 Heston 模型模拟中处理负值的两种方法：截断和反射欧拉方案。比较了每种方法的优缺点，并提到了较小时间步长对减少偏差的影响，尽管计算成本较高。
本讲座探讨了在 Heston 模型中对 CIR 过程的精确模拟的使用，从而能够直接从非中心卡方分布中进行采样。这种方法避免了对小时间步长的需要，并允许在感兴趣的特定时间进行采样。描述了模拟的计算代码，强调了其生成样本的简单性和最优性。本讲座深入探讨了 X 值和方差值的 Heston 模型过程的集成，强调了通过替代实现的简化。强调了在多维模拟中正确排序过程的重要性，以及使用大时间步长以便于集成的建议。本讲座阐述了大时间步长模拟对特定日期期权定价的重要性，旨在减少计算时间，同时保持质量。建议使用来自非中心卡方分布的样本进行精确模拟，而不引入额外的近似值。本讲座还讨论了 delta t 对仿真精度的影响，并建议研究其对结果的影响。
讨论了计算金融中误差的概念，并介绍了一个数值实验，该实验分析了几乎精确模拟赫斯顿模型的性能。讲座解释说，通过简化积分并使用几乎精确的 CIR 过程模拟，模拟变得确定性而非随机性。讲师进行了一个数值实验来评估这个简化方案在模拟赫斯顿模型中的性能。
本讲座进一步探讨了计算工作量与计算金融框架中引入的小错误之间的权衡。讲师强调需要根据市场数据校准模型，因为波动过程的 Feller 条件在实践中通常不满足。讲座指出，Heston 模型的相关系数通常为负，这可能是由于数值方案的考虑。
讲师讨论了使用蒙特卡洛模拟为奇异衍生品定价，并强调了将模型校准为流动性工具的重要性。通过模型校准获得的参数模拟蒙特卡洛路径，并考虑与衍生品相关的对冲工具，确保定价的准确性。讲师强调了几乎精确的模拟优于欧拉离散化，即使时间步数更少，并解释说欧拉误差的主要来源在于极端参数或违反 Feller 条件的方差过程的离散化问题。
欧拉离散化在 Heston 模型中的准确性是通过不同选项的实验来探索的，包括深度价内、价外和平值选项。本讲座介绍了实验中使用的代码，重点介绍了欧拉离散化和几乎精确的模拟，其中涉及使用非中心参数对原木过程进行 CIR 采样和模拟。
讲师讨论了模拟的设置和配置，以使用欧拉离散化和几乎精确的模拟为欧式期权定价。 CIR 过程的精确模拟、布朗运动的相关性和指数变换是模拟的组成部分。演示了使用通用函数的期权定价，展示了执行价格和时间步长等变量对模拟准确性的影响。讲座最后强调，与欧拉方案相比，几乎精确的模拟以更少的时间步长实现了高精度。
该讲座广泛涵盖了在 Heston 模型中使用蒙特卡洛模拟对衍生品进行定价。它探讨了 CIR 过程的模拟，讨论了挑战和陷阱，并比较了不同的离散化方案。该讲座强调了几乎精确模拟的好处，强调了校准和模型准确性的重要性，并提供了在计算金融中实施蒙特卡罗模拟的实用见解和代码示例。
计算金融：第 11/14 讲（套期保值和蒙特卡洛希腊人）
计算金融：第 11/14 讲（套期保值和蒙特卡洛希腊人）
在讲座中，对冲的概念被强调为与金融衍生品定价同等重要。讲师深入研究了各种敏感性计算，以确定衍生品价格对特定参数的影响以及如何进行对冲实验。涵盖了几个关键主题，包括 Black-Scholes 模型中的套期保值原则、损益模拟、动态套期保值以及跳跃的影响。讲师强调，套期保值的概念决定了衍生品的价值，而套期保值的价格决定了它的整体价值。
为了提供全面的理解，讲师首先解释了金融行业对冲的概念。金融机构通过在奇异衍生品的价值之上应用额外利差来产生收入。为了降低风险，构建了一个复制衍生品的投资组合。该投资组合由带有正号和负 delta 的衍生品价值组成，对应于投资组合对股票的敏感度。选择合适的 delta 至关重要，因为它决定了需要买入或卖出的股票数量，以与所使用的模型保持一致。讲师演示了一个实验，其中 delta 在整个合约生命周期中不断调整，导致平均利润损失为零。
该讲座涵盖了 delta 对冲的概念，并区分了动态对冲和静态对冲。 Delta 对冲用于对冲投资组合中的风险因素，复制投资组合的价值决定了对冲的 delta。动态对冲涉及对 delta 的频繁调整，而静态对冲则需要仅在衍生品合约开始时或在特定时间间隔内买卖衍生品。该视频还讨论了对冲对定价模型中随机微分方程数量的敏感性，以及对冲频率如何影响潜在利润和损失。
讲座介绍了损益 (P&L) 账户的概念，解释了其在销售衍生品和对冲时跟踪收益或损失的作用。 P&L 账户受出售期权获得的初始收益和 delta h 值的影响，它根据储蓄或借款的利率随着时间的推移而增长。目标是实现一个在衍生品到期时平衡的损益账户，表明根据 Black-Scholes 模型收取的公允价值。但是，如果模型选择不当，增加到公允价值的额外利差可能无法覆盖所有的对冲成本，从而导致损失。因此，必须采用现实且稳健的模型来为替代衍生品定价。
本讲座深入探讨了套期保值的迭代过程以及到期日末损益 (P&L) 的计算。此过程涉及计算期权在时间 t0 和时间 t1 的 delta，然后确定它们之间的差异以确定要买入或卖出的股票数量。讲师强调了解出售和收取的内容的重要性，因为出售期权本质上涉及出售波动率和收取权利金。在该过程结束时，根据到期时的股票价值确定出售的期权的价值，并使用初始溢价、到期时的价值以及整个迭代过程中买入或卖出的股票数量来评估 P&L .
讲师将重点转移到计算金融中的套期保值，以此作为减少股票价值的可变性和敏感性的一种手段。该讲座阐明了对冲如何帮助最大限度地减少损失，并介绍了蒙特卡洛路径模拟中钢琴分布的概念，强调损益的预期应平均为零。由于预期损益为零，因此出售奇异衍生品并对其进行对冲所产生的利润来自向客户收取的额外差价。
为了克服傅立叶变换模型等高级模型中未知密度带来的挑战，采用了替代方法来计算灵敏度。一种这样的方法是 Malliavin 微积分，它提供了一个数学框架，用于计算随机过程中关于参数的随机变量的导数。
Malliavin 微积分引入了 Malliavin 导数的概念，它将经典导数的概念扩展到由随机过程驱动的随机变量。该导数可以计算传统方法可能不适用的复杂模型的敏感性。通过利用 Malliavin 导数，从业者可以获得关于傅里叶变换模型中各种参数的敏感性。这种方法允许更准确的定价和风险管理，因为它捕获了模型中存在的复杂依赖性和动态。然而，重要的是要注意，利用 Malliavin 微积分需要高级数学技术和对随机分析的深刻理解。这是一个专门领域，通常由量化金融和数学金融专家探索。
总之，在处理涉及未知密度的模型时，例如傅立叶变换模型，Malliavin 微积分提供了计算灵敏度的强大工具。这种方法可以在复杂的金融场景中进行风险评估和衍生品的准确估值。
计算金融：第 12/14 讲（正向启动选项和贝茨模型）
计算金融：第 12/14 讲（正向启动选项和贝茨模型）
本讲座深入探讨了远期开始期权的复杂性，这是一种具有延迟开始日期的欧式期权，通常称为绩效期权。这些期权比标准欧式期权更复杂，讲座概述了它们的收益定义和与欧式期权相比的优势。
远期期权的定价技巧涉及较多，讲座重点介绍特征函数的使用。它探讨了两种类型的远期启动选项：一种使用 Black-Scholes 模型，另一种使用 Heston 模型下更具挑战性的定价。还涵盖了 Python 中的实现以及依赖于波动率的产品定价。该讲座强调了欧式期权作为基石的重要性及其校准和与奇异期权的关系。它涉及 Bates 模型，该模型通过合并 Merton 跳跃扩展了 Heston 模型，并强调了对冲参数的使用以确保良好校准的模型。该视频解释了如何在未来时间 (t1) 确定远期启动期权中未知的初始股票价值，并介绍了与这些期权相关的过滤概念。该讲座还探讨了远期启动期权如何作为其他衍生品的构建块，提出了降低衍生品成本的策略。此外，教授还介绍了点击期权的构造、所需的衍生结构及其与欧洲看涨期权和远期启动期权的关系。该讲座强调了在计算定价折扣因子时确定付款日期的重要性。它还展示了如何将两只股票的比率重新表述为该比率的对数的指数。
讨论了远期启动期权的各种定价方法，包括蒙特卡罗模拟和分析解决方案，如 Black-Scholes 模型。解释了寻找前向特征函数的必要性，该函数允许为特定过程类别中的任何模型定价前向启动选项。本讲座演示了使用特征函数和两只股票的 IU 对数期望的远期启动期权定价。探讨了在确定特征函数时对更大西格玛场的调节，使具有负对数的指数能够超出预期。还利用了从 T2 到 T1 的折扣特征函数。
本讲座深入探讨了远期货币函数，它代表未来预期，并表示为对风险中性指标的预期。它解释了确定性利率导致贴现和非贴现货币函数之间没有差异。然而，随机利率引入了复杂性。概述了推导前向启动特征函数的过程，包括额外的期望值，以及允许对实际使用的外部期望进行分析解决方案的重要性。然后将正向启动特征函数应用于 Black-Scholes 和 Heston 模型。
此外，讲座的重点是 Black-Scholes 模型的远期起始货币函数。它指出，定价应仅取决于随时间推移的表现，而不是初始股票价值，与贴现货币函数相比，简化了解决方案。多维方差部分的存在需要解决一个内在的期望。显示了 Black-Scholes 模型的精确表示，证实了两只股票的比率分布与初始股票价值无关。该分布被简化为几何布朗运动，包括从 p1 到 t2 的增量。
解释了 Black-Scholes 模型下远期启动期权的定价，强调了几何布朗运动对不同时间两只股票比率的使用。远期开始期权的看涨期权和看跌期权的定价方案与欧式看涨期权和看跌期权的定价方案非常相似，只是行使价调整和贴现时间略有不同。该讲座强调了在计算价格时使用 Black-Scholes 隐含波动率的重要性，即使在使用其他模型时也是如此，因为它符合市场标准。它还强调了讲师的建议，即考虑远期启动选项的两个参数，并提醒观众，在该模型下，Black-Scholes 价格是分析已知的。
接下来，演讲者深入研究了 Hassle 模型，该模型通过引入表示方差的第二个随机过程来增加正向启动选项的特征函数的复杂性。然而，演讲者解释说，第二个维度对于期权定价来说不是必需的，因为重点仅在于库存过程的边际分布。对特征函数进行简化代入后，得到远期货币函数的表达式。演讲者建议重新访问 Hassle 模型的幻灯片，以了解有关表达式中所涉及功能的更多详细信息。
本讲座继续讨论 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程的矩生成函数，并给出 Heston 模型中正向特征函数的封闭形式表达式。讲师指出，具有封闭形式的力矩生成函数可以加快计算速度。将矩母函数代入远期货币函数，推导出远期特征函数的封闭式。最后，演讲者介绍了使用 Heston 模型和派生表达式对远期启动期权定价的数值实验。
接下来，演讲者将焦点转移到前向启动选项和贝茨模型上。他们解释了方差过程如何用 dvt 表示，并讨论了波动率和方差的参数。演讲者进行了两个实验来观察隐含波动率对参数的影响以及远期期权中时间距离的影响。实验表明，尽管隐含波动率形状保持不变，但水平不同。随着时间距离的增加，波动率收敛于长期方差的平方根。演讲者解释了在 t1 和 t2 附近具有更集中密度的较短期限期权背后的逻辑。执行使用代码的附加实验以比较隐含波动率。
接着，讲师介绍了远期启动期权定价的远期特征函数和成本方法的实施。正向特征函数使用 lambda 表达式和各种参数定义，包括 Heston 模型和 CIR 过程的力矩生成函数。为远期开始期权定价的成本方法类似于为欧洲期权定价的方法，但包括处理两个不同时间的调整。讲师分享了一个技巧，可以在计算远期隐含波动率时为 Newton-Raphson 算法获得良好的初始猜测，这涉及定义波动率网格和对市场价格进行插值。
讲座接着解释了使用 Newton-Raphson 方法计算远期隐含波动率的过程。讨论了模型的期权价格与市场价格之间的差异，讲师演示了如何应用 SciPy 优化函数计算 Newton-Raphson 方法并获得最优波动率，也称为隐含波动率。该部分确认长期均值和初始方差相同，隐含波动率水平与远期输入波动率一致。还介绍了 Bates 模型，它是 Heston 模型的扩展，它包含由服从泊松分布的独立随机变量 j 驱动的额外跳跃。
讲座强调了赫斯顿模型和贝茨模型之间的区别。虽然 Heston 模型适用于校准期限较长的股票期权的微笑和偏斜，但它很难处理期限较短的期权，例如那些在一两周内到期的期权。贝茨模型通过引入独立跳跃来解决这个问题，从而更好地校准短期期权。尽管 Bates 模型涉及的参数很多，但从 Heston 模型扩展出来并不具有挑战性。对数变换对于推导 Bates 模型的特征函数是必要的，并且注意到即使添加跳跃，模型仍然可以很好地校准。
演讲者随后讨论了 Bates 模型的修改，特别关注随机强度。演讲者表达了他们的观点，即使强度随机化是不必要的，因为它会在不探索当前参数的情况下引入不必要的复杂性。相反，模型中的强度在状态变量中保持线性，并定义为恒定漂移。演讲者分析了仿射跳跃扩散框架，并在书中包含了推导的详细信息。 Heston 和 Bates 模型的特征函数之间的唯一区别在于 Bates 模型的“a”项。此外，两个校正项包含有关跳跃的所有信息。给出了数值结果，分析了强度、跳跃的波动性和代表 j 分布的 mu j 的影响。
讨论了 Heston 模型向 Bates 模型的扩展。 Bates 模型用于根据所有市场信息校准模型，与其他模型相比具有优势。该模型的代码很简单，并提供了额外的灵活性，特别是对于短期期权，其中对所有市场信息的校准至关重要。本讲座还涵盖了更有趣的衍生品的定价，例如方差互换，使用从远期开始期权或绩效期权定价中获得的知识。
演讲者介绍了一种称为方差掉期的衍生品，它允许投资者押注资产的未来波动性。方差互换的回报定义为给定日期网格内股票表现的平方对数除以之前股票表现的总和。讲师指出，当与随机微分方程相关联时，这种收益的不寻常公式变得更加清晰。在为该衍生品定价时，如果行使价等于恒定预期，则掉期开始时的价值将为零。此外，演讲者解释说，大多数掉期交易都是按面值交易的，这意味着当两个交易对手同意买卖时，合约的价值为零。
然后，讲座讨论了贝茨模型的时间相关框架，以及它如何将随时间变化的积分与随时间变化的衍生品的表现联系起来。收益被定义为平方对数性能，相当于波动率的积分。演讲者解释了如何使用 sigma v 平方的期望值和随机微分方程找到合约的第三个值。此外，引入了 252 个工作日的比例系数作为财务的一个重要因素。
最后，演讲者介绍了方差掉期的公允价值，这是一种衍生合约，允许投资者押注资产的未来波动性。互换的公允价值可以表示为一个对应于从零到合约到期的期间的比例系数，加上一个对应于利率的元素，减去 q log st 除以 st0 的预期值。可以通过蒙特卡罗模拟或库存分析分布来评估这种预期。有趣的是，尽管所有小区间的表现都是复合的，但它相当于一只股票最终价值除以初始价值的比率或对数。
该讲座涵盖了与前向启动选项、性能选项、Heston 模型、Bates 模型和方差互换相关的广泛主题。它提供了对定价技术、Python 实现以及这些概念在金融衍生品中的重要性的见解。
计算金融：第 13/14 讲（奇异衍生品）
计算金融：第 13/14 讲（奇异衍生品）
该讲座的重点是对奇异衍生品进行定价，并将定价模型扩展到路径相关的案例。扩展支付结构的主要动机是为客户提供更便宜的价格，同时仍然提供股票市场波动的风险。探索使用数字特征和障碍作为降低衍生成本同时保持所需风险的手段。本讲座深入探讨了各种类型的收益，包括二元期权和数字期权、障碍期权和亚式期权，并研究了它们对衍生品价格的影响。此外，讲座还讨论了多资产期权的定价和潜在的模型扩展以处理数百只股票的篮子。
讨论了金融产品的定价程序，从产品规格和使用随机微分方程（例如布莱克-舒尔斯模型、跳跃和随机波动率模型）建模和定价所需的风险因素开始。根据产品的复杂性，一维或二维方程组可能足以准确定价。该过程还涉及校准和对冲，其中选择一组最佳参数来为产品定价并最大限度地降低对冲成本，确保无套利环境。
定义了不同类型的期权，重点是欧式期权、美式期权和百慕大期权。欧式期权被认为是奇异衍生品的基本组成部分，但它们可能难以把握时机并承担重大风险。美式期权提供更大的灵活性，允许随时行权，而百慕大期权只允许在指定日期行权。
引入奇异衍生品和路径依赖期权，它们取决于股票的整个历史，而不仅仅是特定时间的边际分布。使用二进制和数字调整支付函数显示可显着降低衍生值。讲座涵盖各种类型的奇异衍生品，包括资产或无、现金或无、股票或无、复合期权和选择器期权。这些选项涉及以某种方式限制合同，例如最大、最小或其他限制，以控制成本。还讨论了过去奇异衍生品的流行，特别是在高利率时期。
解释了通过奇异衍生品产生高利润的策略。该策略涉及将大部分投资分配到具有保证回报的安全账户，并为潜在的期权支付定价。虽然这种策略目前并不流行，但在过去却很有效。该讲座还包括通过设置潜在股票增长上限来评估合同和降低其价值的代码示例。该讲座重点介绍了收益结构的微小调整如何显着降低估值，从而使衍生品对客户更具吸引力。通过引入障碍和路径依赖，可以降低成本。讨论了各种障碍期权，例如 up-and-out、down-and-out、up-and-in、down-and-in 期权，以及它们对基于股票历史行为的衍生品定价的影响。
探讨了回溯期权的概念，其中股票在其生命周期内的最大或最小值决定了到期时的收益。回顾期权包含路径依赖性，即使股票的到期时间低于行使价，也可以提供正支付。本讲座解释了使用蒙特卡洛模拟和偏微分方程 (PDE) 实施回溯期权，强调了障碍期权的特殊边界条件及其对其他奇异衍生品的扩展。
详细讨论了障碍期权，强调了它们对交易对手客户的吸引力以及它们在交叉货币市场中的用途。本讲座解释了障碍选项的配置和收益，包括出、入、下和上选项。讲师强调障碍期权可能是时间相关的，增加了合同的复杂性。蒙特卡洛模拟和偏微分方程作为定价障碍期权的计算方法。
该讲座将 up-and-out 期权与标准欧式期权进行了比较，指出 up-and-out 期权的价值由于障碍触发收益而显着降低。引入了 up-and-out barrier options 的概念，只有当股票在其生命周期内不超过一定水平时才会产生回报。本讲座通过编程练习演示了障碍对衍生品价格的影响，表明向上和向下障碍期权的价格等同于具有类似收益结构的数字期权的价格。
然后，讲师继续使用蒙特卡罗模拟解释 up-and-out 障碍的实现。数字期权的收益仅取决于到期时的股票价值，与此相反，up-and-out 障碍还考虑了股票在整个衍生品生命周期内的行为历史。定义了一个函数来确定是否已达到障碍，使用布尔矩阵和逻辑条件。生成的“命中向量”是一个二进制向量，指示是否已为每条路径命中障碍。讲师演示了改变障碍值如何影响命中向量，强调如果障碍被击中，收益为零，如果没有被命中，收益为 1。
在衍生品合约中引入障碍的概念被解释为降低其价值的一种方式，为寻求接触特定资产的客户提供更实惠的选择。障碍的存在对衍生品的价值有重大影响，如果存量不超过指定水平，则可能导致损失。然而，通过纳入壁垒，衍生品价格可以降低约 30%，从而使它们对投资者更具吸引力。尽管如此，具有障碍的不连续衍生品可能会在对冲成本方面带来挑战，这可能会上升到无穷大。为了缓解这个问题，讲师建议使用替代方法来复制收益以降低成本。
该视频介绍了通过策略性地买卖具有不同行使价的看涨期权来复制期权的数字特征的概念。随着执行价格相互接近，由此产生的收益变得更类似于数字期权。然而，讲师承认，由于 delta 和 gamma 敏感性的变化，很难精确复制选项的不连续性。虽然近似值可用于对冲，但收取权利金以补偿由期权的数字性质造成的潜在对冲损失至关重要。该视频强调了通过引入数字限制或改变收益结构来降低衍生成本的概念。
然后讲座继续讨论亚式期权作为降低与标的资产相关的波动性和不确定性的一种手段，从而降低衍生品的价格。亚式期权基于波动股票的平均行为，它往往比股票本身更平稳，从而减少了相关的不确定性。讲师探讨了市场上可用的亚洲期权的不同变体，包括固定和浮动行使价看涨期权和看跌期权。浮动行使价期权在商品交易中尤其受欢迎，因为它们能够降低不确定性和减轻与特定标的资产水平相关的风险。
演讲者进一步解释了计算股票平均值的各种方法，强调了其在交易中的重要性。介绍了两种类型的平均数，算术平均数和几何平均数，由于其解析表达式，几何平均数首选用于数学分析。在实践中，经常使用求和，需要近似技术，如蒙特卡罗模拟或偏微分方程。本讲座还深入探讨了连续平均数的概念，由于其整数表示，连续平均数不同于算术平均数，为定价问题增加了一个维度并使其更难解决。
然后重点转移到亚洲期权的定价，这需要从一维问题转移到更高维的考虑。亚式期权引入了两个自变量：股票价格和股票的积分。期权的收益取决于观察到的积分或从零到到期的路径，并在到期时支付。该讲座承认，为具有最终部分依赖数量的奇异衍生品合约定价可能具有挑战性，需要更先进的技术。然而，尽管亚式期权带来了复杂性，但 Delta 对冲在实现适当的对冲系数方面仍然有效。讲师讨论了使用蒙特卡洛模拟为亚洲期权定价，强调了它在处理高维问题上的灵活性。通过模拟股票价格的多条路径并计算平均收益，蒙特卡罗模拟可以提供对期权价格的估计。讲座还提到了蒙特卡洛模拟的潜在挑战，例如收敛问题以及需要足够数量的路径才能获得准确的结果。
然后讲师继续讨论另一种奇异期权，称为带回扣的障碍期权。此选项与前面讨论的障碍选项具有相似的结构，但如果遇到障碍，则需要支付额外的回扣。如果障碍被突破，回扣的存在会补偿期权持有人，从而减轻潜在的损失。讲座解释说，回扣付款降低了期权的成本，使其对投资者更具吸引力。
为了给带有回扣的壁垒期权定价，讲师介绍了反向淘汰期权的概念，它是淘汰期权的倒数。如果障碍未被击中，则反向敲除选项支付回扣。通过对反向敲除期权定价并减去回扣付款，可以确定带有回扣的壁垒期权的价格。该视频提供了使用蒙特卡罗模拟实施此定价方法的示例。
在整个讲座中，都强调了理解奇异衍生品合约并有效定价的重要性。奇异期权为投资者提供了灵活性和定制的解决方案，但它们的定价和风险管理需要复杂的模型和技术。讲座最后强调了该领域进一步研究和开发的必要性，以及学术界和工业界之间合作以加强衍生品定价方法和满足市场参与者不断变化的需求的重要性。
计算金融学：第 14/14 讲（课程摘要）
计算金融学：第 14/14 讲（课程摘要）
计算金融学系列以对每节课所涵盖的重要主题的全面总结作为结尾。该课程涉及广泛的主题，包括随机微分方程、隐含波动率、跳跃扩散、扩散过程的仿射类、随机波动率模型和期权定价的傅立叶变换。它还深入研究了蒙特卡罗模拟和各种对冲策略等数值技术。
在后面的课程中，重点转移到远期启动期权和奇异的衍生品上，在这些课程中应用了在整个课程中获得的知识来构建这些复杂的金融产品。最初的讲座介绍了课程并讨论了金融工程、不同市场和资产类别的基本原理。第二讲专门介绍了各种类型的期权和对冲策略，重点是商品、货币和加密货币。
看涨期权和看跌期权的定价及其与对冲的关系是整个课程的中心主题。讲师强调，对冲策略的价格应始终等同于衍生品的价格，以避免套利机会。讨论了对不同资产类别建模的数学方面，包括资产价格和随机性测量。随机过程、随机微分方程和 Itô 引理被强调为金融工具定价的重要工具。还演示了 Python 模拟，展示了随机微分方程如何模拟股票变动的真实行为以用于定价目的。讨论了 Black-Scholes 模型的优点和缺点，强调需要整体视角来确保投资组合管理和对冲策略的一致性。
马丁格尔斯被反复强调为期权定价中的一个关键概念，课程中涵盖的其他重要主题包括布莱克-舒尔斯模型、隐含波动率、牛顿-拉夫森算法收敛以及时间相关波动率的局限性。探讨了Python编码验证模拟过程是否为鞅的实际应用，以及措施对漂移的影响。该课程深入洞察了简单欧式期权的定价，展示了如何使用不同的模型和措施来计算其价格。
讨论了 Black-Scholes 模型的局限性，特别是在将跳跃纳入模型方面。虽然跳跃可以改善隐含波动率表面的校准并产生偏差，但它们也会引入复杂性并降低对冲效率。引入随机波动率模型，例如 Heston 模型，以增强模型在奇异期权校准和定价方面的灵活性。此外，还提出了一种快速定价技术作为解决方案。该讲座还概述了模型或随机微分方程必须满足的条件，才能在傅立叶变换的仿射模型中使用。
讨论了股票和股票定价的两个重要模型：扩散过程的仿射类和随机波动率模型，特别是赫斯顿模型。仿射类扩散过程允许快速校准欧式期权，而 Heston 模型可以灵活地校准欧式期权隐含波动率的整个表面。该讲座涵盖了模型中相关性的影响和优势、定价 PDE，以及当模型属于仿射类过程时使用傅立叶变换进行定价。理解和利用这些模型被强调为计算金融中的宝贵技能。
欧式期权的定价，重点是看涨期权和看跌期权，是另一场讲座的中心焦点。强调了特征函数的使用和求解复值 ODE 系统的能力，以及数值技术对于获得解的重要性。为了实际应用和行业认可，强调了在良好模型与有效校准和评估之间取得平衡。讨论了傅里叶变换的 cos 方法定价的优点，以及它在 Vital 中的实施。还建议进行有效校准和使用蒙特卡洛模拟进行定价。
另一堂课广泛探讨了为奇异衍生品定价的蒙特卡洛抽样。解决了准确定价中多维度、模型复杂性和计算成本带来的挑战。蒙特卡罗模拟作为一种替代定价方法提出，重点是减少错误和提高准确性。讲座涵盖了蒙特卡洛采样的各个方面，包括积分、随机积分以及欧拉和米尔斯坦方案等校准方法。支付函数的平滑度评估和理解弱转换器和强转换器被强调为确保准确定价的关键。
专门针对 Heston 模型的讲座讨论了其在校准、隐含波动率曲面建模和高效蒙特卡罗模拟方面的灵活性。讲座还谈到了Heston模型的几乎精确模拟，这与方差过程的Cox Ingersoll Ross（CIR）过程的精确模拟有关。虽然 Euler 和 Milstein 离散化方法可能会遇到 CIR 过程的问题，但有一些有效的方法可以执行模拟。该讲座强调了考虑模拟现实模型的重要性，特别是在处理 delta 对冲和计算市场跳跃时。
在单独的视频中对金融对冲的概念进行了彻底探讨。套期保值涉及通过管理投资组合并在交易后积极维护合约来减少风险和潜在损失。该视频强调了套期保值的重要性，套期保值不仅限于定价，还包括持续的风险管理，直至合同到期。讨论了 Delta 对冲和市场跳跃的影响，强调了采用真实模型进行准确模拟的重要性。
Delta 对冲的局限性在另一讲中得到了解决，强调需要考虑其他类型的对冲，例如对更复杂的衍生品进行 Gamma 和 Vega 对冲。涵盖了灵敏度的计算和提高效率的方法，包括有限差分、路径灵敏度和似然商。该讲座还深入探讨了远期启动期权的定价以及与初始库存不确定的期权定价相关的挑战。期权价值是使用特征函数得出的，讲座最后讨论了隐含波动率及其在 Python 中的实现。
关于金融模型（尤其是赫斯顿模型）的额外跳跃的讲座探讨了它们对参数校准和对冲策略的影响。还讨论了方差互换和波动率的乘积，重点关注奇怪表示、方差互换合约和使用 Black-Scholes 动力学的条件期望之间的关系。此外，讲座还深入探讨了使用各种技术构建产品的结构，例如二元和数字期权、路径相关期权、障碍期权和亚式期权。它还涉及涉及多种资产的合同的定价。本次讲座是对整个课程所学知识的总结，为以后处理更高级的衍生品打下基础。
最后，演讲者祝贺听众顺利完成全部14节课，获得了计算金融、金融工程、衍生品定价等方面的知识。鼓励观众在实际环境中应用他们新发现的专业知识或考虑进一步的课程来扩展他们的知识。演讲者祝愿他们在金融事业上取得成功，并相信他们已为未来的努力做好充分准备。
金融工程课程：第1/14讲，（课程简介和概述）
金融工程课程：第1/14讲，（课程简介和概述）
讲师首先介绍金融工程课程，强调其目标和重点关注领域。该课程旨在深入研究利率和多种资产类别，例如外汇和通货膨胀。最终目标是让学生建立一个由线性产品组成的多资产投资组合，并熟练执行 xva 和风险价值计算。随机微分方程、数值模拟和数值方法的先验知识对于充分参与课程材料是必要的。
概述了课程结构，包括 14 节课以及每节课结束时的家庭作业。整个课程使用的编程语言是 Python，可以实际实施和应用所讨论的概念。
演讲者强调了计算金融课程的实用性。虽然涵盖了理论知识，但非常强调实施效率并为每节课提供 Python 代码示例。课程材料是独立的，尽管它们是基于“A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance”一书。讲座还提供了课程路线图的概述，让学生清楚地了解 14 个讲座中每个讲座将涵盖的主题。
第一讲的重点是提供整个课程的概述，并强调所涵盖的概念在实现执行 xva 和 var 计算的最终目标方面的重要性。
讲师继续对将在整个金融工程课程中涵盖的主题进行广泛的概述。其中包括各种模型，例如全白和全白双因子模型、度量、过滤和随机模型。定价利率产品，包括掉期期权等线性和非线性产品，是一个重点。讲座内容包括收益率曲线构建、多曲线构建、脊柱点以及使用 Python 代码选择插值方法。涵盖的其他主题包括负利率、期权、抵押贷款和预付款、外汇、通货膨胀、多资产的蒙特卡罗模拟、市场模型、凸度调整、敞口计算和价值调整措施，如 cva、bcva 和 fva。
随着课程的进行，风险管理成为焦点，第 13 讲致力于使用编码和历史数据分析进行风险测量。第 14 讲是对整个课程所学内容的总结。
第二讲侧重于过滤和度量变化，包括 Python 中的条件期望和模拟。学生将参与实践练习以模拟条件期望并探索使用度量变化的定价问题的好处和简化。
在随后的讲座中，讲师概述了劫持模型框架、均衡与期限结构模型以及收益率曲线动态。讲座涵盖短期利率和通过 Python 中的蒙特卡罗模拟对模型进行模拟。讨论了单因素模型和双因素模型之间的比较，并探索了多因素扩展。进行视频实验以分析标准普尔指数、美联储隐含的短期利率和收益率曲线动态。
探索收益率曲线的模拟，以观察利率随时间的演变，并将其与随机模型进行比较。涵盖的主题包括富布赖特模型的亲和力、精确模拟、利率产品的构建和定价，以及互换示例中不确定现金流量的计算。
关于建立收益率曲线的讲座涵盖了收益率曲线与利率互换、远期利率协议和衍生品定价之间的关系。解释了不同的收益率曲线形状及其与市场情况的相关性。讨论了隐含波动率和脊柱点计算，以及插值例程和将单一收益率曲线扩展到多曲线方法。强调了使用 Python 实验构建收益率曲线并将其与市场工具联系起来的实际方面。
讲师探讨了与金融工程相关的主题，包括 Black-Scholes 模型下的掉期期权定价以及使用全白或任何短期利率模型的期权。解释了 Jamshidian 的技巧和 Python 实验。讲座还涵盖负利率、偏移对数正态偏移隐含波动率以及偏移参数对隐含波动率形状的影响等概念。此外，讲座还从银行的角度深入探讨了抵押贷款的提前还款及其对头寸和对冲的影响。
介绍了子弹抵押贷款，并解释了相关的现金流量和提前还款的决定因素。该讲座强调了提前还款对抵押贷款组合的影响，并将再融资激励与市场可观察指标联系起来。此外，还讨论了管道风险及其金融机构的管理。
该课程继续同时对多个资产类别进行建模，从而可以模拟可能影响投资组合的潜在未来风险。研究了不同资产类别之间的相关性，并强调了混合模型对于风险管理目的的重要性，即使人们对奇异衍生品的兴趣可能正在下降。
探索了定价估值调整 (XVA) 和风险价值的混合模型，以及涉及随机波动的扩展。该讲座涵盖适用于 XVA 环境的混合模型，包括股票动态和随机利率。第二部分讨论了随机波动率模型，例如 Heston 模型，解决了如何纳入与股票过程相关的随机利率的问题。讲座还深入探讨了外汇和通货膨胀，讨论了浮动货币、远期外汇合约、交叉货币掉期和外汇期权的历史和发展。还检查了度量变化对过程动态的影响，最终目的是为各种资产类别中不同资产下定义的合同定价，并计算风险敞口和风险度量。
讲师涵盖了与金融工程相关的其他主题，包括随机波动率中存在的量子校正元素以及具有随机利率的外汇期权定价。探讨了通货膨胀的概念，追溯其从基于货币的定义到基于商品的定义的演变。讨论了 LIBOR 市场模型和凸度调整等市场模型，提供了利率发展的历史视角以及 HJM 框架内 LIBOR 市场模型等市场模型背后的动机。本讲座还深入探讨了对数正态 LIBOR 市场模型、随机波动率以及 LIBOR 市场模型中的微笑和偏斜动态。
讨论了用于金融产品定价的各种技术，重点是风险中性定价和 Black-Scholes 模型。讲师警告不要滥用冻结技术等风险技术，并强调定价框架中凸性校正的重要性。学生将学习如何识别凸性校正的必要性，以及如何将利率变动或市场微笑和偏斜纳入定价问题。本节最后介绍了 XVA 模拟，包括 CVA、BCVA、VA 和 FVA，以及使用 Python 模拟计算预期风险、未来潜在风险和健全性检查。
讲师重温了金融工程课程中涵盖的主题，包括衍生品定价、价格发现的重要性、交易归因的实际方面以及风险管理措施（如风险价值和预期短缺）。重点仍然放在实际应用上，例如建立利率互换投资组合和利用收益率曲线构建知识通过模拟结果估计 VAR 和预期缺口。本讲座还解决了使用蒙特卡洛模拟在 VAR 计算中与缺失数据、套利和重新分级相关的挑战。
在最后一讲中，讲师讨论了回测和测试 VAR 引擎。虽然承认课程将超过最初的 14 周，但讲师表示对全面而愉快的学习之旅充满信心。录制的讲座将引导学生走向了解估值调整 (XVA) 和风险价值计算的顶峰。
金融工程课程：第 2/14 讲，第 1/3 部分，（了解过滤和措施）
金融工程课程：第 2/14 讲，第 1/3 部分，（了解过滤和措施）
在讲座中，讲师深入研究了带有随机跳跃的 Black-Scholes 模型，展示了它在衍生品定价中的应用。条件期望的结合被强调为提高模型准确性的一种手段。此外，还探讨了计量单位和衡量标准变化的概念，展示了不同计量单位之间的转换如何改善定价结果。本节强调过滤、预期和衡量变化的重要性，尤其是在利率领域。
教授扩展了这个话题，强调了衡量、过滤和预期在定价中的关键作用。它们说明了如何在定价过程中有效地采用股票等措施，而措施的变化有助于降低定价问题的复杂性。本讲座进一步研究了通常与随机贴现相关的远期指标的概念。过滤被阐明为理解时间、暴露概况和风险概况的基本原则。此外，还介绍了随机过程的定义以及过滤在解释市场数据和预测未来实现中的重要性。
展望未来，将彻底检查过滤和措施的概念。过滤可以与现在有关，也可以延伸到未来，因此在处理随机过程时需要明确区分。过去代表股票历史的单一轨迹，而未来的随机性可以通过随机微分方程和模拟来建模。尽管本课程主要关注目前 (t0) 之前的过滤，但随后会深入探讨如何利用未来的过滤来提高计算效率。模拟未来场景并开发不同的结果成为可能。然而，鉴于固有的不确定性，确定最现实的情景仍然具有挑战性。估计结果的分布涉及利用与测量 p 相关的历史数据和校准技术。
然后，讲座深入探讨了度量和过滤，强调了度量 Q 在定价和风险管理中的不同作用，以及度量 P 主要在风险管理中的作用。当采用这两种措施时，由于任一指标的适用性都不是唯一的，因此为风险概况生成未来情景变得势在必行。此外，随着时间的推移，历史知识的积累导致更广泛的过滤。然而，保持对可测量性的理解并承认未来特定时间随机量的不确定性也很重要。
讲师继续讨论金融工程背景下的过滤和措施。值得注意的是，他们强调可衡量性并不意味着恒定；相反，它表示一个随机量。过滤阐明了每个给定时间可用的知识范围，随着知识的积累而随着时间的推移而扩展。虽然过滤和度量更改可以成为财务建模中的强大工具，但它们的不当使用会产生重大问题。因此，掌握如何有效地使用这些工具并通过时间导航以避免建模错误至关重要。本节最后概述了金融建模中的校准过程，这可以从历史数据或市场工具中推断出来。
引入了适应过程的概念，指的是在给定时刻之前仅依赖可用信息而不考虑未来实现的过程。适应过程的示例包括布朗运动和确定特定时间段内过程的最大值。相反，未适应的过程依赖于未来的实现。讲座还介绍了塔属性，这是一种强大的定价工具，它在 sigma 字段、过滤和期望之间建立了关系。
条件期望被讨论为金融工程中的有力工具，特别是在处理涉及两个变量的函数时。期望的塔属性用于调节期望并计算外部和嵌套的内部期望。此属性在模拟中得到应用，能够对可应用于区块链期权定价模型的某些问题组件进行分析计算，特别是采用随机微分方程和特定过滤。探讨了条件期望的定义，结合了一个积分方程。
讲师强调了条件期望和过滤在金融工程中的重要性。他们强调，如果可以对随机变量进行条件化并且其答案在分析上是已知的，则可以通过对内部期望进行采样来计算外部期望。然而，在金融领域，拥有条件密度或二维密度的分析知识并不常见。讲师强调了在编码中正确使用条件期望的重要性，因为从现在的角度来看它们仍然是随机量。此外，他们还讨论了在仿真环境中为模型的一部分合并分析解决方案的好处，因为它可以提高收敛性。为了说明这些概念，讲师提供了计算布朗运动的外部期望的示例。
接下来，讲师深入研究了对未来某个时间点的期望，强调了与期望为零的情况相比，它的复杂性。他们解释说，这种情况需要多条路径和每条路径的嵌套蒙特卡罗模拟，包括条件期望的子模拟。这种复杂性是由于独立增量的特性而产生的，其中布朗运动总是可以表示为它在两个不同时间 t 和 s 的值之间的差异。
将焦点转移到蒙特卡洛模拟上，演讲者讨论了用于模拟股票期权价值的布朗运动的构造。他们探索了两种类型的鞅，并引入了嵌套蒙特卡罗方法来计算股票期权的条件期望。模拟涉及生成一条路径直到时间 s 并为每条路径进行子模拟以评估当时的期望。这个过程需要计算每条路径在时间 s 的特定实现的条件期望。然后将误差测量为条件期望与时间 s 的路径值之间的差异。布朗运动的标准化确保它是使用独立增量构建的，有助于在蒙特卡罗模拟中执行所需的属性。
最后，演讲者强调，虽然模拟布朗运动可能看起来简单且具有成本效益，但结合条件期望需要嵌套蒙特卡罗方法，这涉及对每条路径执行布朗运动的多次模拟。因此，此过程可能很耗时。
总之，讲座广泛涵盖了与金融工程中的度量、过滤、条件期望和蒙特卡罗模拟相关的主题。这些概念在衍生品定价、风险管理和模型校准中的重要性贯穿始终。通过了解这些工具和技术背后的原理，金融专业人士可以提高建模准确性并有效应对复杂的定价问题。
金融工程课程：第 2/14 讲，第 2/3 部分，（了解过滤和措施）
金融工程课程：第 2/14 讲，第 2/3 部分，（了解过滤和措施）
欢迎大家参加休息后的会议。今天，我们将继续金融工程课程第二讲的第二部分。在这个区块中，我们将深入研究 XVA 的定价和利率，重点是先进的概念。
之前，我们讨论了过滤和条件期望的概念，以及 Python 中的练习和模拟。现在，我们将探索比我们之前进行的实验更先进的额外期望。具体来说，我们将专注于期权定价并利用条件期望中的工具来改善蒙特卡洛模拟中的收敛性。此外，我将向您介绍计量单位的概念及其在衍生品定价中的用途。
在这个模块中，我们不仅会使用计量单位的概念，还会使用 Girsanov 定理将 Black-Scholes 模型的动态从风险中性度量（度量 P）转换为度量 Q。这种转换涉及改变基础过程到几何布朗运动。重要的是要注意，度量 P 与历史观察相关联，而度量 Q 通常与衍生品定价相关联。
转到第三块，我们将重点关注详细的度量更改。我将展示使用度量更改来减少维度并获得显着收益的多种优势和技巧。但是，现在，让我们专注于今天讲座的以下四个要素并享受这次会议。
首先，我们将利用我们的条件期望和过滤知识来解决实物期权定价问题。具体来说，我们将考虑欧式期权并探索条件预期如何帮助确定其价格。我们将使用更复杂的随机微分方程，类似于 Black-Scholes 模型，但具有随机波动率。虽然 Black-Scholes 假设波动率 (sigma) 不变，但我们将概括模型以包括时间相关和随机波动率。
通过利用期望的塔属性，我们可以解决这个问题并改进我们的蒙特卡罗模拟。我们可以通过利用条件期望来实现更好的收敛，而不是直接模拟路径并对随机波动率 (j) 进行随机采样。通过以 j 的实现为条件，我们可以对每个 j 应用 Black-Scholes 定价公式。这种方法显着减少了蒙特卡罗模拟中的不确定性和相关性相关问题。
在下一节中，我将介绍基于条件期望和 Black-Scholes 公式的欧式期权定价的精确表示。这将涉及内部和外部期望，其中内部期望以 j 的特定实现为条件并应用 Black-Scholes 公式。外部期望需要从 j 中采样并对每个样本使用 Black-Scholes 公式。
为了量化在蒙特卡罗模拟中应用塔属性对预期的影响，我们将比较两种方法。第一种方法是蛮力蒙特卡罗模拟，我们直接对期望进行采样，而不使用 Black-Scholes 模型的信息。第二种方法结合了条件期望和 Black-Scholes 公式。通过比较收敛性和稳定性，我们可以观察到通过条件期望方法获得的显着收益。
我希望你觉得这些信息有用。如果您有兴趣进一步探索条件期望的实际方面，我建议您参考本书的第 3 章（随机波动率）和第 12 章（平板电脑的定价）。现在，让我们使用 Python 代码来实际演示这种方法。
在为股票和波动率生成蒙特卡罗样本后，我们继续代码的下一部分，其中涉及计算每个样本的期权收益。在这种情况下，我们考虑执行价格为 18 的欧式看涨期权。我们可以使用以下等式计算期权收益：
收益 = np.maximum(stock_samples[-1] - strike, 0)
接下来，我们使用 Black-Scholes 公式计算条件期望。对于每个波动率样本，我们使用具有相应波动率值的 Black-Scholes 模型计算期权价格：
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0.5 * (volatility_samples ** 2)) * maturity) / (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * maturity) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))
最后，我们通过对所有波动率样本的条件期望取平均值来计算总体期权价格：
option_price = np.mean(conditional_expectation)
通过使用条件期望方法，我们利用来自 Black-Scholes 模型的信息来改进 Monte Carlo 模拟的收敛性。这导致更准确的期权价格，并减少了令人满意的收敛所需的蒙特卡罗路径的数量。
请务必注意，此处提供的代码是用于说明概念的简化示例。在实践中，可能会有额外的考虑和改进来考虑随机波动率、时间步长和其他模型假设等因素。
总的来说，在期权定价中应用条件期望可以提高蒙特卡洛模拟的效率和准确性，特别是在处理偏离 Black-Scholes 框架假设的复杂模型时。
现在，让我们将注意力转移到金融工程中的度量变化主题上。在处理系统动力学时，有时可以通过适当的度量转换来简化定价问题的复杂性。这在利率领域尤其重要，那里有多种不同频率的底层证券。为了建立一致的框架，我们依赖于将来自不同度量的随机过程带入一个基础度量的度量转换。
在数理金融领域，计量单位作为可交易实体发挥着重要作用，用于表示所有可交易资产的价格。 Numeraire 是表示资产价值的单位，例如苹果、债券、股票或储蓄账户。通过用计价表来表达价格，我们建立了一个在不同交易对手之间转移商品和服务的一致框架。
过去，资产通常以黄金或其他计价单位表示。选择合适的计量单位可以显着简化和改善金融工程问题的复杂性。使用 mar 是没有漂移的过程，在金融领域特别受欢迎，因为它们比有漂移的过程更容易处理。
不同的措施与流程和可交易资产的特定动态相关联。常见情况包括与货币储蓄账户相关的风险中性指标、与零息债券相关的 T 远期指标以及与作为计价股票的股票相关的指标。度量更改提供了一种在度量之间切换并从不同过程的属性中获益的方法。 Girsanov 定理是测度变换的重要工具，它允许我们在特定条件下从一种测度切换到另一种测度。
虽然度量变化的理论方面可能很复杂，但本课程侧重于实际应用以及如何将理论应用于实际问题。主要内容是了解如何将测度变化和鞅用作有效简化和解决金融工程问题的工具。
重要的是要注意度量变化是强大的工具，可以帮助我们处理没有漂移的过程，称为 mar。通过适当地改变度量，我们可以消除流程中的漂移并简化手头的问题。这在处理随机利率和股票动态时特别有用。
但是，值得一提的是，度量更改可能并不总是可行或导致更简单的问题。有时，即使去除了漂移，某些变量（例如方差）的动态变化仍然很复杂。尽管如此，
一般来说，通过测量变化消除漂移可以简化问题。
使用 mar 是有利的，因为无漂移的随机微分方程比有漂移的随机微分方程更容易处理。通过确定适当的计价单位并执行度量变更，我们可以有效地降低复杂性并改进我们的模拟技术。
度量更改允许我们在度量之间切换并从 mar 的属性中受益。理解和应用度量变化是一项宝贵的技能，可以大大简化金融工具的定价和分析。
现在，让我们更深入地研究度量变化的概念及其在数学金融中的实际应用。我们前面讨论的测度变换公式可以写成如下形式：
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
该公式使我们能够从一个度量 Qa 切换到另一个度量 Qb。它涉及使用称为“计量过程”的特定过程，用 yₛ 和维纳过程 Wₛ 表示。
Girsanov 定理指出，在某些条件下，例如指数项的可积条件，此测度变换是有效的。通过应用此转换，我们可以将度量从 Qa 更改为 Qb，反之亦然。
在实际应用中，测度变化被用来简化和解决数学金融中的现实问题。它们使我们能够改变随机过程的动态并利用鞅的特性。
通过适当地选择计价表并执行度量更改，我们可以消除流程中的漂移并简化手头的问题。在处理涉及随机利率和股票动态的复杂模型时，这种简化特别有用。
重要的是要注意度量更改可能并不总是导致更简单的问题。有时，即使去除漂移后，某些变量（如方差）仍可能表现出复杂的动态。然而，一般来说，测度变化为简化和解决金融工程问题提供了强大的工具。
在本课程中，我们的重点将放在真实场景中度量变化的实际应用上。我们将探索如何提取度量变化和鞅的好处，以简化数学金融中的复杂问题。
总而言之，度量变化在数学金融中起着至关重要的作用，它允许我们在度量之间切换并利用鞅的属性。通过理解和应用度量变化，我们可以简化金融工具的定价和分析，增强我们的模拟技术，并更有效地处理复杂模型。
金融工程课程：第 2/14 讲，第 3/3 部分，（了解过滤和措施）
金融工程课程：第 2/14 讲，第 3/3 部分，（了解过滤和措施）
继续讲座，讲师进一步深入探讨了衡量标准的变化及其在金融中的实际应用。他们首先回顾了 Girizanov 定理和股票测度的概念。通过建立基础，讲师为探索度量变化如何有效降低财务模型的维度奠定了基础。
本讲座的重点是从风险中性措施到由股票资产驱动的货币储蓄账户措施的转变。这种转变是通过利用两种措施的比率来实现的，这个过程用简单的术语来解释。强调将所选资产与投资组合中的其他资产以相同单位表示的重要性，这可以通过衡量指标的变化来实现。此外，讲座深入讨论了收益函数，其中相关度量下的期望表示为除以度量的积分。此结果提供了一种查找所需查询的方法。讲座最后展示了用于获得最终项的替代方法，进一步说明了度量变化的实用性。
展望未来，演讲者探讨了收益的简化，并深入研究了新措施下股票的动态。 t0 的值作为在最大 st 减去 k 0 的测量下的期望值提供，引入了一种新的鞅方法。阐明了鞅方法的概念，强调了将所有内容除以库存过程以满足鞅条件的重要性。强调贴现过程，强调其在新措施下简化动态的好处。动态可以从 mtst 作为 mar 的比率得出。此外，发言者强调需要确定新度量下的方差和测量变换，以有效利用鞅方法的优势。
在讲座的基础上，讲师解释了如何将用于 Black-Scholes 案例的相同程序应用于非鞅过程。通过遵循一组必要条件，可以利用度量转换来推导新过程的动态并确定新度量下的期望。在根据原始措施和新措施实施这两个过程时，强调了考虑这种转变导致的漂移和波动修正的重要性。最终，计算简化为一个优雅的表达式，涉及新度量下的单个对数正态过程。
此外，讲师还介绍了一个二维随机微分方程系统 S1 和 S2，以及与只有当 S2 达到特定水平时才支付的储蓄账户相关的收益值。为了计算这个复杂的期望，两只股票之间的联合分布变得必要。采用度量转换，利用 Girsanov 定理以优雅的形式找到期望。讲师解释了该过程，选择 S1 作为分子并确定了随机计价导数。该讲座还强调了推导所有必要措施变化的重要性，并探讨了不同措施对布朗运动之间关系的潜在影响。讲师强调了度量转换在优雅而强大地为复杂金融工具定价中的重要性。
继续讲座，演讲者阐明了随机尼古丁衍生物的测量转换，并强调了简化收益的重要性。解释了方程的公式，以及必须找到的相应度量来抵消项。在应用 ethos 引理后讨论了货币储蓄债券的动态及其漂移和波动系数。在此转换中，发现相关元素可以忽略不计。演讲者还强调了 S2 和 S1 之间关系在 ethos 表中的重要性。
转移焦点，演讲者讨论了 S1 度量转换下两个库存过程的动态，其中涉及新度量的替代。
在 S1 测度变换下，演讲者解释说，第一个库存过程仍然遵循对数正态分布，但漂移中有一个附加项。类似地，由于两个过程之间的相关性，第二个库存过程显示了一个附加项。演讲者强调了将变量从最简单到最高级排序的重要性，并建议使用 Cholesky 分解作为一种简化随机微分方程的技术。通过利用对数正态特性，可以有效地解决评估的概率问题。
扩大讲座的范围，讲师继续讨论零息债券，这是利率领域的基本衍生品。零息债券有一个简单的回报——在到期时收到的单一价值——使它们易于理解和使用。此外，它们还是为更复杂的衍生品定价的重要组成部分。值得注意的是，在某些情况下，债券的初始价值可能大于一，表明利率为负。央行旨在增加流动性的干预措施可能会导致负利率，尽管它们在刺激支出方面的有效性仍存在争议。讲师强调零息债券在利率世界的衡量变化过程中起着至关重要的作用。
此外，讲师还探讨了在考虑零息债券时将衡量指标更改为远期衡量指标的重要性。通过使用基本定价定理和通用定价方程，可以推导出零息债券的当前价值。定价方程涉及贴现收益的预期，零息债券等于 1。讲师强调利率是随机的，并讨论了如何通过将度量更改为 T 远期度量来从等式中消除随机贴现。本节最后解释了如何为卢布代码衍生品建模，以及定价方程如何从风险中性度量转变为 T 远期度量。
此外，教授还强调了改变金融定价模型的措施和减少维度的重要性。通过在 T 远期度量下过渡到价格并消除贴现因子的特殊性，从业者可以将度量变更技术用作日常操作中的强大工具。该讲座总结了过滤的概念及其与条件期望的关系，强调了这些工具如何简化金融中的复杂问题。
为了吸引学生并加深他们的理解，教师提供了三个练习。第一个练习需要实施一个为看跌期权定价的分析解决方案，确保代码在 Python 中包含利率。第二个练习将定价扩展到看跌期权，提供了评估其有效性的机会。最后，学生的任务是将幻灯片 24 上股票平方表达式的解析表达式与蒙特卡洛模拟结果进行比较。该练习强调了应用度量转换的好处和实质性差异。
该讲座全面探讨了衡量标准的变化及其在金融中的应用。它涵盖的主题包括措施的转换、收益的简化、新措施下的动态、流程的转变以及零息债券和利率的重要性。通过利用度量转换，从业者可以增强他们的定价模型、简化计算并获得对复杂金融工具的宝贵见解。