Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio - página 74

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Haverá um sector de um círculo. Como prová-lo não sei, mas parte de um círculo tem definitivamente um comprimento mais curto do que um segmento.
 
Mathemat:

(4) Dado um círculo, colorido em 2 cores - vermelho e azul. Provar que não importa a cor exacta, é sempre possível inscrever nele um triângulo isósceles de tal forma que os seus vértices sejam da mesma cor.

Suponhamos que não é este o caso. Encontrar no círculo os pontos 1 e 2 da mesma cor, deixá-lo ser vermelho. Tracemos uma linha perpendicular ao acorde 1-2 através do seu ponto médio. Passa pelo centro do círculo e intercepta-o nos pontos 3 e 4. Como os triângulos 1-2-3 e 1-2-4 são isósceles, os pontos 3 e 4 são azuis. Desenhar o diâmetro 5-6 que é perpendicular ao diâmetro 3-4. Os triângulos 3-4-5 e 3-4-6 são isósceles, daí que os pontos 5 e 6 sejam vermelhos. Traçamos cordas paralelas a 3-4 através dos pontos 1 e 2, e obtemos os pontos 7 e 8 na intersecção com o círculo. Os triângulos 1-5-8 e 2-6-7 são isósceles, daí que os pontos 7 e 8 sejam azuis. No entanto, agora no triângulo isósceles 4-7-8 todos os vértices são azuis, o que não pode ser. Chegados à contradição, o problema está resolvido.


 
ilunga:
IMHO não vai ser heterossexual =) e pode ser provado sem ser enfadonho de todo
vou tentar fazer uma prova... Por via das dúvidas, vou preparar um prato de cinzas))))
 
alsu:
Vou tentar defender-me... Prepararei um prato de cinzas só para o caso de))))
Comparar imediatamente com o arco. Resolvi este problema uma vez.
 
TheXpert:
Comparar imediatamente com o arco. Resolvi este problema uma vez.
Eu comparei-o, o arco é mais longo)))) pode fazer um desenho, porque eu não entendo o processo de pensamento
 
alsu:
Suponhamos que não é esse o caso. Encontrar os pontos 1 e 2 da mesma cor no círculo, embora vermelho. Tracemos uma linha perpendicular à corda 1-2 através do seu centro. Passa pelo centro do círculo e intercepta-o nos pontos 3 e 4. Como os triângulos 1-2-3 e 1-2-4 são isósceles, os pontos 3 e 4 são azuis. Desenhar o diâmetro 5-6 que é perpendicular ao diâmetro 3-4. Os triângulos 3-4-5 e 3-4-6 são isósceles, daí que os pontos 5 e 6 sejam vermelhos. Traçamos cordas paralelas a 3-4 através dos pontos 1 e 2, e obtemos os pontos 7 e 8 na intersecção com o círculo. Os triângulos 1-5-8 e 2-6-7 são isósceles, daí que os pontos 7 e 8 sejam azuis. No entanto, agora no triângulo isósceles 4-7-8 todos os vértices são azuis, o que não pode ser. Chegamos a uma contradição, o problema é resolvido.

É bonito, mas é complicado. É mais divertido no menu. Decorar qualquer arco de uma cor com três pontos, dois nas extremidades e um terceiro no meio. Ligá-los com linhas rectas. Recebemos um triângulo isósceles).

// Não me diga que todos os arcos são infinitesimais, vou dividi-los todos ao meio de qualquer maneira. ;-)

 
alsu:
Eu comparei-o, o arco é mais longo)))) pode fazer um desenho esquemático, porque eu não sigo o processo de pensamento
ah, não é preciso, imaginei-o)))) talvez sim, talvez sim
 
MetaDriver:

É bonito, mas é complicado. O menu é mais divertido. Vamos decorar qualquer arco de uma cor com três pontos, dois nas extremidades e um terceiro no meio. Ligá-los com linhas rectas. Recebemos um triângulo isósceles).

// Não me diga que todos os arcos são infinitesimais, vou dividi-los todos ao meio de qualquer maneira. ;-)

Vou colorir desta forma: vou marcar o ponto de partida e vou no sentido horário com arcos de 1 radiano, marcando vermelho-azul-azul-azul... Devido à irracionalidade do pi, haverá um número irracional de segmentos num círculo, daí que todo o círculo será pintado em tempo infinito, e para quaisquer dois pontos de uma cor haverá um ponto de outra que se encontra entre eles. Por outras palavras, este método de coloração não permite "qualquer arco unicolor" porque não há nenhum. (De alguma forma esta construção é semelhante ao "pó de cantor", imho)
 
alsu:
Vou pintar assim: marcarei o ponto de partida e vou no sentido dos ponteiros do relógio com arcos de 1 radiano, marcando vermelho-azul-azul-azul... Devido à irracionalidade do pi, haverá um número irracional de segmentos no círculo, daí que todo o círculo será colorido em tempo infinito, e para quaisquer dois pontos de uma cor haverá um ponto de outra que se encontra entre eles. Por outras palavras, este método de coloração não permite "qualquer arco unicolor" porque não há nenhum. (De alguma forma esta construção é semelhante ao "pó de cantor", imho)
A sua coloração será tipo buraco (pode prová-lo) - terá pontos não pintados, o que contradiz as condições do problema.
 
alsu:
Vou pintar desta forma: marcarei o ponto de partida e vou no sentido horário por arcos de 1 radiano, marcando por sua vez vermelho-azul-azul-... Devido à irracionalidade do pi, haverá um número irracional de segmentos no círculo, daí que todo o círculo será pintado em tempo infinito, e para quaisquer dois pontos de uma cor haverá um ponto de outra que se encontra entre eles. Por outras palavras, este método de coloração não permite "qualquer arco unicolor" porque não há nenhum. (De alguma forma esta construção é semelhante ao "pó de cantor", imho)

Refutação:

Vamos desenhar dois arcos de comprimento Pi/3 de radianos a partir de qualquer ponto do círculo "colorido" por este "método" e, ao mesmo tempo, vamos construir um triângulo isósceles nestes pontos (os seus dois comprimentos laterais serão iguais a R). :)

Obviamente, apenas um dos seus cantos está no ponto sombreado (o inverso contradizia a afirmação sobre a irracionalidade de Pi). Assim, ao que parece, há pelo menos o dobro de buracos neste círculo do que há pontos sombreados :))

// O que está entre aspas lido com um tom de ressentimento.

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