[Matematica pura, fisica, chimica, ecc.: problemi di allenamento del cervello non legati in alcun modo al commercio - pagina 289
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Richie, sembra che tu abbia un tuo programma su Vasik per i calcoli con una precisione pazzesca, te ne sei vantato una volta. Prova a calcolare un numero il cui quadrato è quello che il problema richiede.
Mi sono divertito molto al quarto anno di università. Avevamo un buon insegnante di informatica, laureato all'Università Statale di Mosca, che poneva problemi così interessanti. Poi tutti questi moduli non mi sono stati utili, e sono stati eliminati per mancanza d'uso, così come numerosi quaderni. Ora la precisione di più di 5 caratteri non viene utilizzata.
In generale, i vostri compiti sono interessanti. Non so nemmeno come affrontarlo :)
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Quando avrò molto tempo libero cercherò di ripristinare quello che facevo una volta. Ricordo che all'epoca ho lottato con quegli zeri.
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Beh, il numero: 3,16...................e+99
È ovvio. Quanti segni ci sono nell'ellissi, chi lo sa? Certo, non è una prova.
OK, ascoltiamo quelli che cercano di risolverlo...
Consideriamo la differenza tra due quadrati adiacenti, n^2 e (n+1)^2. È 2*n+1.
Ora guardate il nostro numero di 199 cifre. Se deve essere il quadrato di qualche numero k, allora k < 3,2*10^99. Di conseguenza, la differenza tra i quadrati adiacenti di numeri interi intorno a k non può mai essere più di 2*3.2*10^99 + 1 < 6.4*10^99 + 1 < 10^100 -1.
D'altra parte, 100 cifre assegnate ai 99 originali sono in ogni caso un numero non più piccolo di 0, ma non più grande di 10^100-1. Vale a dire che ci sarà sicuramente un qualche tipo di quadrato collocato in quell'intervallo. Questo è tutto.
ОК, вот решение задачки про 99 девяток.
Рассмотрим разность между двумя соседними квадратами, n^2 и (n+1)^2. Она равна 2*n+1.
Теперь - про наше 199-разрядное число. Если оно и должно быть квадратом некоторого числа k, то k < 3.2*10^99. Следовательно, разница между соседними квадратами целых в районе k никак не может быть больше 2*3.2*10^99 + 1 < 6.4*10^99.
С другой стороны, 100 цифр, приписанных к исходным 99, в любом случае составляют число не меньше 0, но не больше 10^100-1. Т.е. в этом диапазоне обязательно разместится некий квадрат. Всё.
Super. Bravo!
Ho visto un ragionamento così bello da qualche parte, ma mi è tornato utile adesso (ricordo solo l'inizio, legato alla costruzione del numero alfa). Credo che sia venuto fuori nella teoria dei numeri trascendentali.
Prova.
Sia alfa = (sqrt(2))^sqrt(2). Allora, ovviamente, alfa^sqrt(2) = 2. Non sappiamo quale sia lo strambo numero alfa, quindi ragioniamo.
Supponiamo che alfa sia irrazionale. Allora l'ultima uguaglianza risolve il problema.
Ora supponiamo che alfa sia razionale. Ovviamente, non è uguale a 1. Allora esiste un n naturale tale che alfa^(1/n) è irrazionale. Quindi, (alfa^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alfa^sqrt(2) = 2. Abbiamo di nuovo trovato una coppia di irrazionali che soddisfano il problema: alfa^(1/n) e n*sqrt(2). Dimostrato.
P.S. La prova è "non proprio costruttiva". Chi vuole costruire un esempio esplicito, lo provi da solo. A proposito, un numero più semplice, alfa = 2^sqrt(2), si adatta anche alla prova.
1) Numero massimo di dadi lanciati = 25 (numero di numeri primi nella gamma da 1 a 89 + 1).
// numero minimo di dadi per ottenere il numero massimo = 15
2) Media delle somme finali = 7,449704470311508;
Come ho risolto il secondo punto. Molto semplice - ho fatto uno script in mql5. :) :)
Ho trovato un algoritmo molto brillante, perché è semplice. La semplicità è che non è necessario costruire un albero decisionale, tutto si risolve in una sola volta.
Lo script e un file di testo con i risultati nel trailer. Se avete domande sull'algoritmo, chiedete pure, vi risponderò.
Доказать, что существуют иррациональные a, b такие, что a^b рационально. 20_
Где-то такое чудесное рассуждение видел, но вот сейчас пригодилось (помню только начало, связанное с конструированием числа alpha). Кажись, встретилось мне в теории трансцендентных чисел.
Доказательство.
Пусть alpha = (sqrt(2))^sqrt(2). Тогда, очевидно, alpha^sqrt(2) = 2. Мы не знаем, что это за уродец такой, число alpha, поэтому давайте рассуждать.
Допустим, что alpha иррационально. Тогда последнее равенство решает задачу.
Теперь допустим, что alpha рационально. Очевидно, оно не равно 1. Тогда существует такое натуральное n, что alpha^(1/n) - иррационально. Следовательно, (alpha^(1/n))^(n*sqrt(2)) = alpha^sqrt(2) = 2. Мы снова нашли пару иррациональных, удовлетворяющих задаче: alpha^(1/n) и n*sqrt(2). Доказано.
P.S. Доказательство "не совсем конструктивно". Желающие построить явный пример - попробуйте сами. Кстати, число попроще, alpha = 2^sqrt(2), тоже подходит для доказательства.
Ben fatto. Leggendo da vicino, ne ho trovato uno più semplice. Riproduco il tutto (copio l'inizio dalla scheda, aggiungo il mio in verde):
Prova.
Sia alfa = (sqrt(2))^sqrt(2). Allora, ovviamente, alfa^sqrt(2) = 2. Non sappiamo quale sia lo strambo numero alfa, quindi ragioniamo.
Supponiamo che alfa sia irrazionale. Allora l'ultima uguaglianza risolve il problema.
Ora supponiamo che alfa sia razionale. Allora la soluzione è alfa = (sqrt(2))^sqrt(2);
Questo è tutto. :))
Теперь допустим, что alpha рационально. Тогда решением является alpha = (sqrt(2))^sqrt(2);
Oh, giusto, sì :) Accidenti, a volte non vedo l'ovvio.
E c'è qualcosa di sospetto nel tuo script. Vediamo.