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Computational Finance: Vorlesung 9/14 (Monte-Carlo-Simulation)
Computational Finance: Vorlesung 9/14 (Monte-Carlo-Simulation)
Die Vorlesung behandelt verschiedene Themen im Zusammenhang mit Monte-Carlo-Simulation und Integration in Computational Finance und bietet Einblicke in verschiedene Ansätze und Techniken.
Der Dozent führt zunächst Integrationsprobleme ein und zeigt, wie Integrale mithilfe der Monte-Carlo-Stichprobe berechnet werden. Sie erläutern zwei Ansätze: den klassischen Ansatz zur Integration und die Integration auf Basis des Erwartungswerts. Durch Programmierdemonstrationen in Python zeigt der Dozent, wie man Simulationen analysiert und effizienter gestaltet. Sie diskutieren den Einfluss der Glätte auf die Konvergenz und verschiedene Arten der Konvergenz.
Darüber hinaus behandelt die Vorlesung zwei wichtige Diskretisierungstechniken, nämlich Euler und Milstein, und erklärt, wie Fehler basierend auf dem Zeitschritt in der Simulation kontrolliert werden können. Der Dozent betont die Prinzipien und die Geschichte der Monte-Carlo-Simulation, die seit fast 90 Jahren in verschiedenen Bereichen eingesetzt wird. In den 1930er Jahren gewann es unter Physikern an Popularität, insbesondere während des Manhattan-Projekts.
Die Bedeutung der Berechnung des erwarteten Werts einer zukünftigen Auszahlung in der Computerfinanzierung wird diskutiert. Dabei wird über die reale Achse anhand der Bestandsdichte unter Berücksichtigung konstanter oder zeitabhängiger Zinssätze integriert. Die mit der Stichproben- und Wahrscheinlichkeitstheorie verbundene Monte-Carlo-Integration wird als Technik eingeführt, die bei jeder Simulation unterschiedliche Ergebnisse liefert. Die Vorlesung betont die Anwendung auf hochdimensionale Probleme und die Fähigkeit, die Varianz der Fehlerverteilung durch Anpassung der Einstellungen in der Simulation zu kontrollieren. Der Dozent diskutiert außerdem Methoden zur Verbesserung der Probenahme und Simulation mit Monte Carlo.
Es wird eine spezielle Methode zur Schätzung von Integralen mithilfe der Monte-Carlo-Simulation erläutert. Bei dieser Methode werden Punkte gleichmäßig in einem rechteckigen Bereich abgetastet und der Anteil der Abtastwerte unter der Kurve gezählt, um das Integral zu schätzen. Obwohl dieser Ansatz im Finanzwesen nicht häufig verwendet wird, kann er für hochdimensionale Probleme nützlich sein. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, die integrierte Funktion zu verstehen, um den Interessenbereich effizient zu erfassen.
Die Vorlesung befasst sich auch mit den Einschränkungen und Herausforderungen der Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen. Obwohl es grobe Schätzungen liefert, können die Ergebnisse insbesondere bei komplexen Simulationen sehr ungenau sein. Der Dozent erklärt, dass der erwartete Fehler bei Monte-Carlo-Simulationen um die Quadratwurzel der Anzahl der Simulationen abnimmt, was zu einer Rechenintensität führt. Die Vorlesung untersucht weiter die Beziehung zwischen dem Integral- und dem Erwartungsansatz und zeigt anhand eines Beispiels, wie sie miteinander verknüpft sind. Im Finanzwesen gilt der Erwartungsansatz im Allgemeinen als effizienter und genauer als die herkömmliche Monte-Carlo-Simulation.
Die Vorlesung behandelt das Gesetz der großen Zahlen und seine Beziehung zu unabhängigen Zufallsvariablen. Die Schätzung der Varianz und die Berechnung des Erwartungswerts zur Bestimmung des Mittelwerts werden besprochen. Es wird ein Vergleich zwischen dem „naiven Ansatz“ und dem Erwartungsansatz vorgestellt, wobei sich letzterer auch bei weniger Stichproben als deutlich genauer erweist. Der Dozent demonstriert den Code zur Durchführung dieser Simulation und betont die Notwendigkeit, zwei Punkte für den Ansatz zur Integration der Funktion anzugeben.
Es werden verschiedene Beispiele für stochastische Integrale im Finanzwesen diskutiert, wobei die Summierung der Brownschen Bewegung über Zeitschritte, die Summierung der Brownschen Bewegung über Inkremente und die Multiplikation der Brownschen Bewegung mit Inkrementen hervorgehoben werden. Es wird ein konkreterer Fall vorgestellt, bei dem eine Funktion g(t) von 0 bis T mit einer Funktion g(s)dW(s) integriert wird. In der Vorlesung wird erklärt, wie man den Integrationsbereich in kleinere Teilintervalle aufteilt und mithilfe der Monte-Carlo-Simulation das Integral approximiert. Für genaue Ergebnisse wird die Bedeutung der Stichprobengröße und des Wertebereichs hervorgehoben.
Der Referent erklärt, wie man ein deterministisches Integral durch einen Partitions- und Approximationsprozess numerisch löst. Sie führen das Ito-Integral ein und erläutern die Auswertung der Funktion GT am Anfang des Intervalls, wobei das Integral am linken Rand gewählt wird. Anhand eines Beispiels mit einer GT-Funktion von T zum Quadrat demonstriert der Dozent, wie man den Erwartungswert und die Varianz mit der Ito-Isometrieeigenschaft erhält. Zur Simulation der Berechnung wird Python-Code bereitgestellt und die erforderlichen Schritte werden erläutert.
Die Erzeugung der Brownschen Bewegung und ihre Verwendung bei der Konstruktion eines Prozesses und der Definition eines Integrals werden diskutiert. Die Vorlesung führt durch den Prozess der Generierung einer Verteilung und deren Verwendung zur Konstruktion des Brownschen Bewegungsprozesses. Die Auswirkung der Entfernung der Skalierungsbedingung auf die Verteilung und Varianz wird demonstriert. Der Dozent erklärt auch einen Trick zur Lösung von Integralen mit Brownscher Bewegung durch Anwendung des Ito-Lemmas. Abschließend zeigt die Vorlesung, wie man die Funktion x quadriert, um das Integral zu berechnen.
Die Anwendung des Ito-Lemmas zur Ermittlung der Dynamik einer Funktion gleich tw zum Quadrat t wird diskutiert. Durch die Anwendung von Itos Lemma auf x im Quadrat offenbart die Vorlesung einen Term, der durch Integration berechnet wird, was zu einer Pi-Quadrat-Verteilung anstelle einer Normalverteilung führt. Der Redner betont die Bedeutung der Erfahrung beim Erraten, welche Art von Funktion anzuwenden ist, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Der Code wurde geändert, um zwischen Integralen zu wechseln, und es wird vorgeschlagen, die Anzahl der Stichproben zu erhöhen, um das Ergebnis zu verbessern.
Es werden Monte-Carlo-Simulationen, numerische Routinen und die Bedeutung hochwertiger Zufallszahlengeneratoren diskutiert. Die Vorlesung erklärt das Lemma von Ito und bietet einen heuristischen Ansatz zum Verständnis, warum dwt dwt gleich Null ist. Es wird beobachtet, dass eine Verringerung der Gittergröße zu einer schnelleren Konvergenz der Varianz im Vergleich zur Erwartung führt. Es wird ein Experiment durchgeführt, um zu zeigen, dass die Erwartung langsamer gegen Null geht, während sich die Varianz nahezu Null nähert. Der Redner gibt eine Vorstellung davon, warum dwt dwt gleich Null ist, räumt jedoch ein, dass der theoretische Beweis dieser Beziehung recht aufwändig ist.
Die Vorlesung befasst sich mit der Konvergenz zweier ähnlicher Funktionen, g1 und g2, und untersucht ihre Erwartungen, wenn sie aus einer Brownschen Bewegung abgetastet werden. Diese Funktionen haben Grenzwerte von 0, wenn x sich minus Unendlich nähert, und 1, wenn x sich plus Unendlich nähert. Der Dozent berechnet den Fehler für eine zunehmende Anzahl simulierter Proben und präsentiert eine Grafik, in der er den Fehler mit der Anzahl der Proben vergleicht. Die erste Funktion mit einer nicht glatten Kurve und einem großen Oszillationsbereich steht im Gegensatz zur zweiten Funktion, die eine glatte Kurve aufweist und schneller konvergiert.
Konvergenz wird als entscheidender Gesichtspunkt bei der Verwendung der Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen hervorgehoben. Der Vortrag erklärt den Unterschied zwischen schwacher und starker Konvergenz, wobei starke Konvergenz stärker ist als schwache. Beim Umgang mit nicht glatten Funktionen und digitalen Auszahlungen können Konvergenzfehler auftreten, die zu wesentlich unterschiedlichen Auswertungsergebnissen führen. Das Verständnis der Unterschiede und Auswirkungen beider Arten der Konvergenz ist entscheidend, um genaue Finanzsimulationen und -bewertungen sicherzustellen.
Die Vorlesung diskutiert schwache und starke Konvergenz im Kontext von Monte-Carlo-Simulationen und Preisalgorithmen. Während eine schwache Konvergenz Momente auf dem Erwartungsniveau abgleicht, ist eine starke Konvergenz für genaue pfadabhängige Auszahlungen erforderlich. Ein vollständiger Monte-Carlo-Preisalgorithmus umfasst die Definition eines Rasters vom gegenwärtigen Zeitpunkt bis zum Zahlungsdatum des Vertrags, einer Preisgleichung und einem stochastischen Treiber für den Vermögenswert. Monte-Carlo-Simulationen sind erforderlich, wenn geschlossene Auswertungen aufgrund der Komplexität des Lagerprozesses nicht möglich sind. Das Gitter hat normalerweise den gleichen Abstand, in manchen Fällen können jedoch auch alternative Strategien eingesetzt werden.
Der Professor betont die Genauigkeit und die zeitlichen Einschränkungen der Monte-Carlo-Simulation. Es ist zu beachten, dass eine Erhöhung der Anzahl der Zeitschritte zwar die Genauigkeit verbessert, aber auch die Simulationszeit erhöht. Fortgeschrittene Techniken oder geschlossene Lösungen, die größere Monte-Carlo-Schritte ermöglichen, können für das Erreichen von Genauigkeit und Geschwindigkeit von Vorteil sein. Anschließend werden in der Vorlesung die Netze, der Vermögenswert und die Auszahlung für eine europäische Option definiert. Der Endzustand der Option hängt vom Zeitpunkt der Beobachtungen ab. In der Vorlesung wird erläutert, wie der Optionspreis berechnet wird, indem der Erwartungswert unter dem Warteschlangenmaß genommen und diskontiert wird. Außerdem wird der Standardfehler berechnet, um die Variabilität der erhaltenen Ergebnisse zu messen.
Das Konzept des Standardfehlers wird im Kontext der Monte-Carlo-Simulation diskutiert. In der Vorlesung wird erklärt, dass der Erwartungswert mithilfe des starken Gesetzes der großen Zahlen berechnet werden kann und dass die Varianz des Mittelwerts unter der Annahme berechnet werden kann, dass die Stichproben unabhängig voneinander gezogen werden. Der Standardfehler, der die Variabilität der Erwartung bei einer bestimmten Anzahl von Pfaden misst, kann ermittelt werden, indem die Varianz durch die Quadratwurzel der Anzahl von Pfaden dividiert wird. Mit zunehmender Probenzahl nimmt der Fehler ab. Normalerweise verringert sich der Fehler um den Faktor zwei, wenn man die Anzahl der Stichproben um den Faktor vier erhöht. Eine klassische Methode zur Simulation stochastischer Differentialgleichungen ist die Euler-Diskretisierung, die unkompliziert ist, aber ihre Grenzen hat.
Der Dozent diskutiert die Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und Euler-Diskretisierung in Monte-Carlo-Simulationen. Der Prozess umfasst die Definition eines Gitters, die Durchführung einer Simulation und die Messung des Unterschieds zwischen der exakten Lösung und der Simulation anhand des absoluten Fehlers. Um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten, muss unbedingt sichergestellt werden, dass die Zufälligkeit der Variablen sowohl in der exakten als auch in der diskretisierten Version gleich ist. Der Vortrag betont auch die Bedeutung der Vektorisierung in Monte-Carlo-Simulationen, da sie effizienter ist als die Verwendung von Doppelschleifen für jeden Zeitschritt und Pfad. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass dieser Ansatz zwar den Prozess vereinfacht, jedoch mit Einschränkungen hinsichtlich Genauigkeit und Geschwindigkeit verbunden ist.
Die genaue Lösung für die Brownsche Bewegung mit einem Driftterm und einem Volatilitätsterm (r und Sigma) wird untersucht, wobei die in der exakten Darstellung erzeugte Brownsche Bewegung und dieselbe Bewegung, die in der Näherung verwendet wird, verwendet werden. Die Vorlesung vergleicht den absoluten Fehler und den durchschnittlichen Fehler bei schwacher Konvergenz und betont, dass schwache Konvergenz für die Preisgestaltung einer europäischen Auszahlungsart ausreicht, für pfadabhängige Auszahlungen jedoch möglicherweise nicht ausreicht. Es werden Diagramme gezeigt, um die generierten Pfade für die Euler-Diskretisierung im Vergleich zur exakten Lösung zu veranschaulichen, wobei bei einigen Pfaden Unterschiede zwischen den beiden beobachtet werden können. Die Vorlesung endet mit einem Vergleich starker und schwacher Fehler.
Der Referent diskutiert die Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen mittels Code. Sie erklären, dass zur Quantifizierung von Fehlern ein Fehlermaß verwendet werden muss, wie bereits zuvor in der Vorlesung besprochen. Der Code generiert Pfade und vergleicht die genauen Werte mit der Näherung mittels Mehrfarbensimulation. Die Ausgaben sind Zeitpfade für den Bestand und die genauen Werte. Der Redner betont, wie wichtig es ist, sowohl für die Näherung als auch für die exakte Lösung die gleichen Brownschen Bewegungen zu erzeugen, um sie auf der Fehlerebene vergleichen zu können. Um schwache und starke Konvergenzfehler zu messen, definieren sie einen Bereich der Anzahl von Schritten und führen für jeden Schritt Monte-Carlo-Simulationen durch. Der Code generiert zwei Arten von Fehlern: schwache Fehler und starke Fehler.
Der Dozent erörtert den Simulationsprozess der Monte-Carlo-Methode und wie dieser zeitaufwändig sein kann, da die Simulation viele Male wiederholt werden muss. Die Ergebnisse werden durch schwache und starke Konvergenzdiagramme dargestellt, wobei der schwache Konvergenzfehler durch die langsam wachsende blaue Linie dargestellt wird, während der starke Konvergenzfehler einer Quadratwurzel der Delta-T-Form folgt, was die Analyse bestätigt. Der Dozent erklärt, dass der Fehler durch die Diskretisierungstechnik von Milstein, die durch Anwendung der Taylor-Entwicklung zusätzliche Terme ableitet, deutlich reduziert werden kann. Während es mehr Arbeit erfordert, zur endgültigen Formel zu gelangen, erfordert Milsteins Schema die Ableitung des Volatilitätsterms, die analytisch nicht immer verfügbar ist.
Der Referent erklärt den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation in der Computerfinanzierung, insbesondere in der geometrischen Brownschen Bewegung. Sie zeigen, wie der Volatilitätsterm im Verteilungssinn berechnet und mit dem Euler-Schema verglichen wird. Obwohl die Monte-Carlo-Simulation eine schnellere Konvergenzrate aufweist als die Euler-Methode, kann es schwierig sein, die Ableitung in Modellen mit mehreren Dimensionen abzuleiten, da hierfür zusätzliche rechnerische Berechnungen erforderlich sind. Darüber hinaus vergleicht der Sprecher den absoluten Fehler im schwachen und starken Sinne zwischen den beiden Schemata und betont, dass der starke Fehler von Monte Carlo in Delta t linear ist, während der schwache Fehler von Euler in derselben Größenordnung liegt. Schließlich stellen sie eine Code-Implementierung der Monte-Carlo-Simulation zur Erzeugung von Pfaden in der geometrischen Brownschen Bewegung und zur Analyse ihrer starken Konvergenz bereit.
Der Referent diskutiert den Einfluss verschiedener Diskretisierungstechniken auf die Konvergenz am Beispiel der Black-Scholes- oder geometrischen Brownschen Bewegung. Die Analyse der Euler- und Milstein-Schemata dient zur Veranschaulichung der Auswirkungen verschiedener Diskretisierungstechniken. Der Redner vergleicht die Fehler zwischen dem Milstein- und dem Euler-Schema und zeigt, dass der Fehler des Milstein-Schemas viel geringer ist als der von Euler, obwohl er möglicherweise nicht immer anwendbar ist. Der Nutzen verschiedener Schemata ist bei Betrachtung der Endergebnisse möglicherweise nicht offensichtlich, aber angesichts des Rechenaufwands der Simulation wird die Zeit entscheidend. Daher wäre die Verwendung großer Zeitschritte unerlässlich, wenn wir schnelle Simulationen von Monte Carlo durchführen wollen.
Anschließend diskutiert der Dozent die Rolle von Zufallszahlengeneratoren (RNGs) in Monte-Carlo-Simulationen. Sie betonen, wie wichtig es ist, qualitativ hochwertige RNGs zu verwenden, um genaue und zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Der Dozent erwähnt, dass in Simulationen häufig Pseudozufallszahlengeneratoren (PRNGs) verwendet werden, und erklärt, wie sie Zahlenfolgen erzeugen, die der Zufälligkeit nahe kommen. Sie unterstreichen auch die Notwendigkeit der Reproduzierbarkeit in Simulationen durch die Verwendung eines festen Startwerts für den RNG. Als nächstes diskutiert der Dozent das Konzept der antithetischen Variablen, einer Varianzreduktionstechnik, die in Monte-Carlo-Simulationen verwendet wird. Die Idee hinter antithetischen Variablen besteht darin, Paare zufälliger Variablen zu generieren, die entgegengesetzte Auswirkungen auf die interessierende Menge haben. Indem der Durchschnitt der Ergebnisse der ursprünglichen Variablen und ihrer antithetischen Gegenstücke gebildet wird, kann die Varianz der Schätzung verringert werden. Diese Technik ist besonders nützlich, wenn es um symmetrische Verteilungen geht.
Anschließend stellt die Vorlesung das Konzept der Kontrollvariablen als weitere Technik zur Varianzreduktion vor. Bei Kontrollvariablen wird eine bekannte Funktion in den Simulationsprozess eingeführt, die mit der interessierenden Größe korreliert. Durch Subtrahieren der aus der bekannten Funktion erhaltenen Schätzung von der aus der Zielfunktion erhaltenen Schätzung kann die Varianz der Schätzung verringert werden. Der Dozent veranschaulicht anhand von Beispielen, wie Kontrollgrößen in der Praxis angewendet werden können. Zusätzlich zu Varianzreduktionstechniken diskutiert der Dozent das Konzept der geschichteten Stichprobe. Bei der geschichteten Probenahme wird der Probenraum in Schichten unterteilt und aus jeder Schicht eine separate Probe entnommen. Dieser Ansatz stellt sicher, dass jede Schicht in der Stichprobe vertreten ist, was zu genaueren Schätzungen führt. Die Vorlesung erläutert das Vorgehen zur Umsetzung einer geschichteten Stichprobe und zeigt deren Vorteile gegenüber der einfachen Zufallsstichprobe auf.
Abschließend untersucht der Dozent das Konzept des Wichtigkeitsstichprobenverfahrens. Bei der Wichtigkeitsstichprobe handelt es sich um eine Technik zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse, indem Stichproben, die mit größerer Wahrscheinlichkeit das gewünschte Ereignis hervorrufen, höhere Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden. In der Vorlesung wird erläutert, wie wichtige Stichproben die Effizienz von Monte-Carlo-Simulationen zur Schätzung seltener Ereignisse verbessern können. Der Dozent liefert Beispiele und erörtert die Bedeutung der Wahl einer geeigneten Stichprobenverteilung für genaue Ergebnisse.
Die Vorlesung behandelt eine Reihe von Themen im Zusammenhang mit Monte-Carlo-Simulationen, darunter Integrationsprobleme, Berechnung von Integralen mithilfe von Monte-Carlo-Stichproben, Programmierdemonstrationen, Konvergenzanalyse, Diskretisierungstechniken, Prinzipien und Geschichte der Monte-Carlo-Simulation, Anwendung in der Computerfinanzierung und Varianzreduktion Techniken und Wichtigkeitsstichproben. Der Dozent gibt Einblicke in die Theorie und praktische Umsetzung von Monte-Carlo-Simulationen und beleuchtet deren Relevanz in verschiedenen Bereichen.
Computational Finance: Vorlesung 10/14 (Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells)
Computational Finance: Vorlesung 10/14 (Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells)
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Nutzung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung von Derivaten, insbesondere europäischen Optionen, unter Verwendung des anspruchsvollen Heston-Modells. Es beginnt mit einer Aufwärmübung, bei der europäische und digitale Optionen mithilfe von Monte Carlo und dem einfachen Black-Scholes-Modell bewertet werden. Die Simulation des Cox-Ingersoll-Ross (CIR)-Prozesses, der die Varianz im Heston-Modell modelliert, wird diskutiert und betont die Notwendigkeit einer genauen Stichprobe aus dieser Verteilung. Der Dozent demonstriert die exakte Simulation des CIR-Modells und hebt dessen Vorteile bei der Generierung genauer Proben hervor.
Als nächstes stellt der Dozent das Konzept der nahezu exakten Simulation vor, das im Vergleich zur Euler-Diskretisierung größere Zeitschritte und eine höhere Genauigkeit ermöglicht. Das Heston-Modell wird mit den Schemata Euler und Milstein simuliert und die Ergebnisse verglichen. Es wird darauf hingewiesen, dass eine schwache Konvergenz für Auszahlungen europäischen Typs wichtig ist, während eine starke Konvergenz für pfadabhängige Auszahlungen wichtig ist. Abhängig von der Art der Auszahlung und der gewünschten Qualität der Ergebnisse ist eine Anpassung der Anzahl der Schritte oder Pfade unter Berücksichtigung der Rechenzeitbeschränkungen in realen Anwendungen erforderlich.
Die für Auswertungen erforderliche Rechenzeit wird diskutiert und ein Codevergleich zwischen Euler- und Milstein-Diskretisierungsschemata vorgestellt. Der Dozent gibt Ratschläge zur Codeoptimierung für Produktionsumgebungen und betont, dass die Speicherung ganzer Pfade für eine Auszahlungsbewertung, die nur den endgültigen Bestandswert erfordert, möglicherweise nicht notwendig ist. Die Vorlesung liefert auch die genaue Lösung als vereinfachte Implementierung des Black-Scholes-Modells.
Die Preisgestaltung von digitalen Optionen oder Cash-or-Nothing-Optionen mithilfe der Monte-Carlo-Simulation wird erläutert und die Unterschiede in der Auszahlungsberechnung im Vergleich zu europäischen Optionen hervorgehoben. Es werden Diagnosen und Ergebnisse vorgestellt, um die Ansätze für beide Optionstypen zu vergleichen. Die Vorlesung erkennt die Grenzen von Monte-Carlo-Simulationen für Optionen mit terminalabhängigen Auszahlungen an, bei denen keine starke Konvergenz vorliegt. Der generische Charakter des Codes wird betont, sodass er auf andere Modelle wie das Heston-Modell anwendbar ist.
Die Vorlesung befasst sich mit den Bedingungen, die für ein gutes Verhalten des Heston-Modells erforderlich sind, und erörtert, wie sich Diskretisierungstechniken auf diese Bedingungen auswirken können. Die Auswirkungen von Änderungen des Volatilitätsparameters auf das Verhalten des Modells werden anhand von Diagrammen veranschaulicht, wobei betont wird, dass der Prozess nicht negativ werden sollte. Die Einschränkungen der Euler-Diskretisierung bei der Aufrechterhaltung dieser Bedingungen werden ebenfalls hervorgehoben. Die Wahrscheinlichkeit negativer Realisierungen in der nächsten Iteration des Heston-Modells mit Monte-Carlo-Simulation wird diskutiert. Die Wahrscheinlichkeit negativer Realisierungen wird auf der Grundlage der Beziehung zwischen bestimmten Parametern berechnet, und es wird betont, wie wichtig es ist, Monte-Carlo-Pfade an das Modell anzupassen, um erhebliche Preisunterschiede zu vermeiden. Zwei Ansätze zum Umgang mit negativen Werten in der Heston-Modellsimulation werden diskutiert: Trunkierung und das reflektierende Euler-Schema. Die Vor- und Nachteile jedes Ansatzes werden verglichen und die Auswirkung kleinerer Zeitschritte auf die Reduzierung von Verzerrungen wird erwähnt, wenn auch mit einem höheren Rechenaufwand.
In der Vorlesung wird die Verwendung einer exakten Simulation für den CIR-Prozess im Heston-Modell untersucht, die eine direkte Stichprobenentnahme aus der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht. Dieser Ansatz vermeidet die Notwendigkeit kleiner Zeitschritte und ermöglicht die Probenahme zu bestimmten interessierenden Zeiten. Der Rechencode für die Simulation wird beschrieben, wobei seine Einfachheit und Optimalität für die Generierung von Proben hervorgehoben wird. Die Vorlesung befasst sich mit der Integration des Heston-Modellprozesses sowohl für die X- als auch für die Varianzwerte und hebt die durch Substitution erzielte Vereinfachung hervor. Die Bedeutung der richtigen Reihenfolge der Prozesse in mehrdimensionalen Simulationen wird hervorgehoben, zusammen mit der Empfehlung, große Zeitschritte für eine einfachere Integration zu verwenden. Die Vorlesung befasst sich mit der Bedeutung großer Zeitschrittsimulationen für Preisoptionen zu bestimmten Terminen mit dem Ziel, die Rechenzeit zu reduzieren und gleichzeitig die Qualität aufrechtzuerhalten. Exakte Simulationen mit Stichproben aus der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung werden empfohlen, ohne zusätzliche Näherungen einzuführen. Die Vorlesung diskutiert auch den Einfluss von Delta t auf die Simulationsgenauigkeit und schlägt vor, seinen Einfluss auf die Ergebnisse zu untersuchen.
Das Konzept des Fehlers im Computational Finance wird diskutiert, wobei in der Vorlesung ein numerisches Experiment vorgestellt wird, das die Leistung der nahezu exakten Simulation des Heston-Modells analysiert. In der Vorlesung wird erklärt, dass durch die Vereinfachung der Integrale und die Verwendung der nahezu exakten Simulation des CIR-Prozesses die Simulation deterministisch und nicht stochastisch wird. Der Dozent führt ein numerisches Experiment durch, um die Leistung dieses vereinfachten Schemas bei der Simulation des Heston-Modells zu bewerten.
Die Vorlesung untersucht außerdem den Kompromiss zwischen Rechenaufwand und dem kleinen Fehler, der im Rahmen der Computational Finance entsteht. Der Dozent betont die Notwendigkeit, das Modell auf Marktdaten zu kalibrieren, da die Feller-Bedingung für Volatilitätsprozesse in der Praxis häufig nicht erfüllt ist. In der Vorlesung wird darauf hingewiesen, dass Korrelationskoeffizienten für das Heston-Modell typischerweise stark negativ sind, möglicherweise aufgrund von Überlegungen zum numerischen Schema.
Der Dozent erörtert den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung exotischer Derivate und betont die Bedeutung der Kalibrierung des Modells auf liquide Instrumente. Die Preisgenauigkeit wird durch die Simulation von Monte-Carlo-Pfaden unter Verwendung von Parametern aus der Modellkalibrierung und unter Berücksichtigung der mit dem Derivat verbundenen Sicherungsinstrumente gewährleistet. Der Dozent hebt die Überlegenheit einer nahezu exakten Simulation gegenüber der Euler-Diskretisierung auch bei weniger Zeitschritten hervor und erklärt, dass die Hauptquelle des Euler-Fehlers in der problematischen Diskretisierung des Varianzprozesses unter extremen Parametern oder Verletzungen der Feller-Bedingung liegt.
Die Genauigkeit der Euler-Diskretisierung im Heston-Modell wird durch Experimente mit verschiedenen Optionen untersucht, darunter Optionen, die tief im Geld, aus dem Geld und am Geld liegen. Die Vorlesung stellt den im Experiment verwendeten Code vor und konzentriert sich dabei auf die Euler-Diskretisierung und die nahezu exakte Simulation, die die CIR-Abtastung und Simulation des Stammlagerprozesses unter Verwendung des Nichtzentralitätsparameters beinhaltet.
Der Dozent bespricht die Einstellungen und Konfigurationen für Simulationen zur Preisgestaltung europäischer Optionen unter Verwendung sowohl der Euler-Diskretisierung als auch der nahezu exakten Simulation. Die exakte Simulation des CIR-Prozesses, die Korrelation der Brownschen Bewegungen und die exponentielle Transformation sind integrale Bestandteile der Simulation. Es wird die Optionspreisgestaltung unter Verwendung einer generischen Funktion demonstriert und die Auswirkungen von Variablen wie Ausübungspreis und Zeitschritt auf die Genauigkeit der Simulationen aufgezeigt. Der Vortrag schließt mit der Hervorhebung, dass die nahezu exakte Simulation im Vergleich zum Euler-Schema eine hohe Genauigkeit mit weniger Zeitschritten erreicht.
Die Vorlesung behandelt ausführlich die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung von Derivaten im Heston-Modell. Es untersucht die Simulation des CIR-Prozesses, diskutiert die Herausforderungen und Fallstricke und vergleicht verschiedene Diskretisierungsschemata. Die Vorlesung betont die Vorteile einer nahezu exakten Simulation, unterstreicht die Bedeutung der Kalibrierung und Modellgenauigkeit und bietet praktische Einblicke und Codebeispiele für die Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen in der Computational Finance.
Computational Finance: Vorlesung 11/14 (Hedging und Monte-Carlo-Griechen)
Computational Finance: Vorlesung 11/14 (Hedging und Monte-Carlo-Griechen)
In der Vorlesung wird hervorgehoben, dass das Konzept der Absicherung ebenso wichtig ist wie die Preisgestaltung von Derivaten im Finanzwesen. Der Dozent befasst sich mit verschiedenen Berechnungen von Sensitivitäten, um die Auswirkungen des Preises eines Derivats auf bestimmte Parameter zu bestimmen und wie man ein Absicherungsexperiment durchführt. Es werden mehrere Schlüsselthemen behandelt, darunter die Prinzipien der Absicherung im Black-Scholes-Modell, die Simulation von Gewinn und Verlust, dynamische Absicherung und der Einfluss von Sprüngen. Der Dozent betont, dass das Konzept der Absicherung den Wert eines Derivats bestimmt und der Preis der Absicherung seinen Gesamtwert bestimmt.
Um ein umfassendes Verständnis zu vermitteln, erläutert der Dozent zunächst das Konzept der Absicherung in der Finanzbranche. Finanzinstitute erzielen Erträge, indem sie einen zusätzlichen Spread auf den Wert eines exotischen Derivats anwenden. Um das Risiko zu mindern, wird ein Portfolio zusammengestellt, das das Derivat nachbildet. Dieses Portfolio besteht aus dem Wert des Derivats mit einem Pluszeichen und einem Minus-Delta, was der Sensitivität des Portfolios gegenüber der Aktie entspricht. Die Auswahl eines geeigneten Deltas ist von entscheidender Bedeutung, da es die Anzahl der Aktien bestimmt, die gekauft oder verkauft werden müssen, um mit dem verwendeten Modell übereinzustimmen. Der Dozent demonstriert ein Experiment, bei dem das Delta während der Vertragslaufzeit kontinuierlich angepasst wird, was zu einem durchschnittlichen Gewinnverlust von Null führt.
Die Vorlesung behandelt das Konzept des Delta-Hedgings und unterscheidet zwischen dynamischem und statischem Hedging. Delta-Hedging wird zur Absicherung von Risikofaktoren in einem Portfolio eingesetzt, wobei der Wert des replizierenden Portfolios das Delta der Absicherung bestimmt. Bei der dynamischen Absicherung werden häufige Anpassungen des Deltas vorgenommen, während bei der statischen Absicherung der Kauf oder Verkauf von Derivaten nur zu Beginn oder in bestimmten Zeitabständen während des Derivatevertrags erfolgt. Das Video diskutiert auch die Sensitivität von Absicherungen gegenüber der Anzahl stochastischer Differentialgleichungen im Preismodell und wie sich die Häufigkeit der Absicherung auf potenzielle Gewinne und Verluste auswirkt.
Die Vorlesung stellt das Konzept einer Gewinn- und Verlustrechnung (GuV) vor und erläutert deren Rolle bei der Verfolgung der Gewinne oder Verluste beim Verkauf von Derivaten und deren Absicherung. Die Gewinn- und Verlustrechnung wird durch den anfänglichen Erlös aus dem Verkauf einer Option und den Delta-H-Wert beeinflusst, der im Laufe der Zeit auf der Grundlage der Zinssätze aus Ersparnissen oder Krediten wächst. Das Ziel besteht darin, eine Gewinn- und Verlustrechnung zu erreichen, die bei Fälligkeit des Derivats ausgeglichen ist und einen fairen Wert anzeigt, der gemäß dem Black-Scholes-Modell berechnet wird. Wenn das Modell jedoch nicht angemessen gewählt wird, kann es sein, dass der zum beizulegenden Zeitwert hinzugefügte zusätzliche Spread nicht alle Absicherungskosten abdeckt, was zu einem Verlust führt. Daher ist es wichtig, ein realistisches und robustes Modell für die Preisgestaltung alternativer Derivate zu verwenden.
Die Vorlesung befasst sich mit dem iterativen Prozess der Absicherung und der Berechnung von Gewinn und Verlust (P&L) am Ende der Laufzeit. Dieser Prozess umfasst die Berechnung des Deltas einer Option zum Zeitpunkt t0 und zum Zeitpunkt t1 und die anschließende Bestimmung der Differenz zwischen ihnen, um die Anzahl der zu kaufenden oder zu verkaufenden Aktien zu ermitteln. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, zu verstehen, was verkauft und eingezogen wird, da der Verkauf einer Option im Wesentlichen den Verkauf von Volatilität und das Einsammeln von Prämien beinhaltet. Am Ende des Prozesses wird der Wert der verkauften Option auf der Grundlage des Aktienwerts bei Fälligkeit bestimmt, und die Gewinn- und Verlustrechnung wird anhand der anfänglichen Prämie, des Werts bei Fälligkeit und der Menge der im Laufe des iterativen Prozesses gekauften oder verkauften Aktien bewertet .
Der Dozent verlagert den Schwerpunkt auf die Absicherung im Bereich Computational Finance als Mittel zur Reduzierung der Variabilität und Sensibilität hinsichtlich des Aktienwerts. In der Vorlesung wird erläutert, wie Absicherung zur Minimierung von Verlusten beiträgt, und das Konzept der Piano-Verteilung in Monte-Carlo-Pfadsimulationen vorgestellt. Dabei wird hervorgehoben, dass die Erwartung einer Gewinn- und Verlustrechnung im Durchschnitt Null betragen sollte. Der Gewinn aus dem Verkauf und der Absicherung eines exotischen Derivats ergibt sich aus dem zusätzlichen Spread, der dem Kunden in Rechnung gestellt wird, da der erwartete Gewinn und Verlust bei Null liegt.
Um die Herausforderungen zu bewältigen, die die unbekannte Dichte in fortgeschrittenen Modellen wie dem Fourier-Transformationsmodell mit sich bringt, werden alternative Methoden zur Berechnung von Sensitivitäten eingesetzt. Ein solcher Ansatz ist der Malliavin-Kalkül, der einen mathematischen Rahmen für die Berechnung von Ableitungen von Zufallsvariablen in Bezug auf Parameter in stochastischen Prozessen bietet.
Der Malliavin-Kalkül führt das Konzept der Malliavin-Ableitung ein, das den Begriff der klassischen Ableitungen auf Zufallsvariablen erweitert, die durch stochastische Prozesse gesteuert werden. Diese Ableitung ermöglicht die Berechnung von Sensitivitäten für komplexe Modelle, bei denen herkömmliche Methoden möglicherweise nicht anwendbar sind. Durch die Nutzung des Malliavin-Derivats können Praktiker Sensitivitäten in Bezug auf verschiedene Parameter im Fourier-Transformationsmodell erhalten. Dieser Ansatz ermöglicht eine genauere Preisgestaltung und ein genaueres Risikomanagement, da er die komplexen Abhängigkeiten und Dynamiken im Modell erfasst. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Verwendung des Malliavin-Kalküls fortgeschrittene mathematische Techniken und ein tiefes Verständnis der stochastischen Analyse erfordert. Es handelt sich um ein Spezialgebiet, das typischerweise von Experten für quantitative Finanzen und mathematische Finanzen erforscht wird.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Malliavin-Kalkül beim Umgang mit Modellen mit unbekannten Dichten, wie etwa dem Fourier-Transformationsmodell, ein leistungsstarkes Werkzeug zur Berechnung von Sensitivitäten darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die Bewertung von Risiken und die genaue Bewertung von Derivaten in komplexen Finanzszenarien.
Computational Finance: Vorlesung 12/14 (Forward Start Options and Model of Bates)
Computational Finance: Vorlesung 12/14 (Forward Start Options and Model of Bates)
Die Vorlesung befasst sich mit den Feinheiten von Forward-Start-Optionen, bei denen es sich um eine Art europäische Option mit verzögertem Startdatum handelt, die oft als Performance-Optionen bezeichnet wird. Diese Optionen sind komplexer als standardmäßige europäische Optionen und die Vorlesung bietet einen Überblick über ihre Auszahlungsdefinition und Vorteile im Vergleich zu europäischen Optionen.
Die Preisgestaltungstechniken für Forward-Start-Optionen sind komplexer und die Vorlesung konzentriert sich auf die Verwendung charakteristischer Funktionen. Es werden zwei Arten von Forward-Start-Optionen untersucht: eine mit dem Black-Scholes-Modell und die anspruchsvollere Preisgestaltung mit dem Heston-Modell. Auch die Implementierung in Python und die von Volatilitäten abhängige Preisgestaltung eines Produkts werden behandelt. Der Vortrag betont die Bedeutung europäischer Optionen als Bausteine sowie deren Kalibrierung und Beziehung zu exotischen Optionen. Es geht auf das Bates-Modell ein, das das Heston-Modell um die Einbeziehung von Merton-Sprüngen erweitert, und hebt die Verwendung von Absicherungsparametern hervor, um gut kalibrierte Modelle sicherzustellen. Das Video erklärt, wie der unbekannte Anfangsbestandswert in Forward-Start-Optionen zu einem zukünftigen Zeitpunkt (t1) bestimmt wird, und stellt das Konzept der Filterung in Bezug auf diese Optionen vor. In der Vorlesung wird auch untersucht, wie Forward-Start-Optionen als Bausteine für andere Derivate dienen können, und es wird eine Strategie zur Reduzierung der Derivatekosten vorgestellt. Darüber hinaus befasst sich der Professor mit der Konstruktion einer Click-Option, einer gewünschten abgeleiteten Struktur und deren Beziehung zu europäischen Calls und Forward-Start-Optionen. Die Vorlesung betont die Bedeutung der Identifizierung von Zahlungsterminen bei der Berechnung von Abzinsungsfaktoren für die Preisgestaltung. Es zeigt auch, wie das Verhältnis zweier Aktien als Exponent eines Logarithmus des Verhältnisses umformuliert werden kann.
Es werden verschiedene Preismethoden für Forward-Start-Optionen diskutiert, darunter Monte-Carlo-Simulation und analytische Lösungen wie das Black-Scholes-Modell. Die Notwendigkeit, die Vorwärtscharakteristikfunktion zu finden, die die Preisgestaltung von Vorwärtsstartoptionen für jedes Modell in einer bestimmten Prozessklasse ermöglicht, wird erläutert. Die Vorlesung demonstriert die Preisgestaltung einer Forward-Start-Option anhand der charakteristischen Funktion und des Erwartungswerts eines IU-Logarithmus zweier Aktien. Die Konditionierung auf ein größeres Sigma-Feld bei der Bestimmung der charakteristischen Funktion wird untersucht, wodurch der Exponent mit dem Minus-Logarithmus außerhalb der Erwartungen angenommen werden kann. Es werden auch abgezinste charakteristische Funktionen von T2 bis T1 verwendet.
Die Vorlesung befasst sich mit der Terminwährungsfunktion, die zukünftige Erwartungen darstellt und als Erwartung an das risikoneutrale Maß ausgedrückt wird. Es erklärt, dass deterministische Zinssätze zu keinem Unterschied zwischen den diskontierten und nicht diskontierten Währungsfunktionen führen. Allerdings führen stochastische Zinssätze zu Komplexität. Der Prozess der Ableitung der Vorwärts-Startcharakteristikfunktion unter Einbeziehung eines zusätzlichen Erwartungswerts wird erläutert, zusammen mit der Bedeutung, analytische Lösungen für den äußeren Erwartungswert für die praktische Verwendung zu ermöglichen. Die Vorwärtsstartcharakteristikfunktion wird dann auf die Modelle Black-Scholes und Heston angewendet.
Darüber hinaus konzentriert sich die Vorlesung auf die Forward-Start-Währungsfunktion für das Black-Scholes-Modell. Es wird darauf hingewiesen, dass die Preisgestaltung nur von der Performance im Laufe der Zeit und nicht vom anfänglichen Aktienwert abhängen sollte, was die Lösung im Vergleich zur Discounted-Währungsfunktion vereinfacht. Das Vorhandensein des Varianzanteils in mehreren Dimensionen erfordert die Lösung einer inneren Erwartung. Es wird eine exakte Darstellung des Black-Scholes-Modells gezeigt, die bestätigt, dass die Verteilung des Verhältnisses zweier Aktien unabhängig vom anfänglichen Aktienwert ist. Die Verteilung wird zu einer geometrischen Brownschen Bewegung vereinfacht, die ein Inkrement von p1 bis t2 umfasst.
Die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen im Rahmen des Black-Scholes-Modells wird erläutert, wobei die Verwendung der geometrischen Brownschen Bewegung für das Verhältnis zweier Aktien zu unterschiedlichen Zeitpunkten hervorgehoben wird. Die Preislösung für Call- und Put-Optionen für Forward-Start-Optionen ähnelt stark der für europäische Calls und Puts, mit geringfügigen Unterschieden bei der Anpassung des Ausübungspreises und den Abzinsungszeiten. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, bei der Preisberechnung implizite Black-Scholes-Volatilitäten zu verwenden, auch wenn andere Modelle zum Einsatz kommen, da sie den Marktstandards entsprechen. Es unterstreicht auch die Empfehlung des Dozenten, die beiden Parameter für Forward-Start-Optionen zu berücksichtigen, und erinnert den Betrachter daran, dass Black-Scholes-Preise unter diesem Modell analytisch bekannt sind.
Anschließend befasst sich der Referent mit dem Hassle-Modell, das die Komplexität der charakteristischen Funktion für Vorwärtsstartoptionen erhöht, indem es einen zweiten stochastischen Prozess einführt, der die Varianz darstellt. Der Referent erklärt jedoch, dass diese zweite Dimension für Preisoptionen nicht notwendig sei, da der Fokus allein auf der Randverteilung für den Lagerprozess liege. Nach Vereinfachung und Ersetzung der charakteristischen Funktion erhält man den Ausdruck für die Terminwährungsfunktion. Der Redner schlägt vor, sich die Folien zum Hassle-Modell noch einmal anzusehen, um weitere Einzelheiten zu den Funktionen des Ausdrucks zu erfahren.
Die Vorlesung fährt mit der Diskussion der momenterzeugenden Funktion für einen Cox-Ingersoll-Ross-Prozess (CIR) fort und stellt den geschlossenen Ausdruck für die Vorwärtscharakteristikfunktion im Heston-Modell vor. Der Dozent weist darauf hin, dass die Momentenerzeugungsfunktion in geschlossener Form eine schnellere Berechnung ermöglicht. Durch Einsetzen der momenterzeugenden Funktion in die Terminwährungsfunktion wird ein geschlossener Ausdruck für die charakteristische Terminfunktion abgeleitet. Abschließend stellt der Redner ein numerisches Experiment zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen unter Verwendung des Heston-Modells und der abgeleiteten Ausdrücke vor.
Als nächstes verlagert der Redner den Fokus auf Vorwärtsstartoptionen und das Bates-Modell. Sie erklären, wie der Varianzprozess durch dvt dargestellt wird und diskutieren die Parameter für Volatilität und Varianz. Der Referent führt zwei Experimente durch, um den Einfluss impliziter Volatilitäten auf die Parameter und den Effekt des Zeitabstands bei Forward-Start-Optionen zu beobachten. Die Experimente zeigen, dass die implizite Volatilitätsform zwar gleich bleibt, die Niveaus jedoch unterschiedlich sind. Mit zunehmendem Zeitabstand konvergiert die Volatilität zur Quadratwurzel der Langzeitvarianz. Der Redner erläutert die Logik hinter Optionen mit kürzerer Laufzeit und einer konzentrierteren Dichte um t1 und t2. Zusätzliche Experimente mit einem Code werden durchgeführt, um implizite Volatilitäten zu vergleichen.
Anschließend befasst sich der Dozent mit der Implementierung der Forward-Characteristic-Funktion und der Kostenmethoden zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen. Die Vorwärtscharakteristikfunktion wird mithilfe von Lambda-Ausdrücken und verschiedenen Parametern definiert, einschließlich des Heston-Modells und der momenterzeugenden Funktion für den CIR-Prozess. Die Kostenmethode für die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen ähnelt der für die Preisgestaltung europäischer Optionen, beinhaltet jedoch Anpassungen für die Handhabung zweier unterschiedlicher Zeitpunkte. Der Dozent verrät einen Trick, um eine gute erste Schätzung für den Newton-Raphson-Algorithmus bei der Berechnung der vorwärts impliziten Volatilitäten zu erhalten. Dazu gehört die Definition eines Volatilitätsrasters und die Interpolation auf dem Marktpreis.
Im Anschluss an die Vorlesung wird der Prozess zur Berechnung der impliziten Forward-Volatilität mithilfe der Newton-Raphson-Methode erläutert. Der Unterschied zwischen dem Optionspreis aus dem Modell und dem Marktpreis wird diskutiert, und der Dozent zeigt, wie man die Optimierungsfunktion von SciPy anwendet, um die Newton-Raphson-Methode zu berechnen und die optimale Volatilität, auch implizite Volatilität genannt, zu erhalten. Der Abschnitt bestätigt, dass der langfristige Mittelwert und die anfängliche Varianz gleich sind und das Niveau der impliziten Volatilitäten und der Forward-Input-Volatilität übereinstimmt. Außerdem wird das Bates-Modell vorgestellt, eine Erweiterung des Heston-Modells, das zusätzliche Sprünge enthält, die von einer unabhängigen Zufallsvariablen j gesteuert werden, die einer Poisson-Verteilung folgt.
Der Vortrag beleuchtet den Unterschied zwischen dem Heston-Modell und dem Bates-Modell. Während sich das Heston-Modell für die Kalibrierung auf „Smile and Skew“ für Aktienoptionen mit längeren Laufzeiten eignet, ist es bei Optionen mit kürzeren Laufzeiten, die beispielsweise innerhalb von ein oder zwei Wochen ablaufen, problematisch. Das Bates-Modell geht dieses Problem an, indem es unabhängige Sprünge einführt und so eine bessere Kalibrierung kurzfristiger Optionen ermöglicht. Obwohl das Bates-Modell viele Parameter umfasst, ist es keine Herausforderung, es vom Heston-Modell zu erweitern. Die Log-Transformation ist erforderlich, um die charakteristische Funktion für das Bates-Modell abzuleiten, und es wird darauf hingewiesen, dass das Modell auch mit dem Hinzufügen von Sprüngen immer noch gut kalibriert werden kann.
Anschließend erörtert der Referent die Modifikation des Bates-Modells, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der stochastischen Intensität liegt. Der Redner bringt seine Meinung zum Ausdruck, dass es unnötig ist, die Intensität stochastisch zu machen, da dies zu unnötiger Komplexität führen würde, ohne die aktuellen Parameter zu untersuchen. Stattdessen wird die Intensität im Modell in den Zustandsvariablen linear gehalten und als konstante Drift definiert. Der Referent analysiert das affine Sprungdiffusionsgerüst und fügt Einzelheiten zu den Ableitungen in das Buch ein. Der einzige Unterschied zwischen der charakteristischen Funktion für das Heston- und das Bates-Modell liegt im „a“-Term des Bates-Modells. Zusätzlich enthalten zwei Korrekturterme alle Informationen zu Sprüngen. Es werden numerische Ergebnisse präsentiert, die eine Analyse der Auswirkungen von Intensität, Volatilität von Sprüngen und mu j, das die Verteilung von j darstellt, ermöglichen.
Die Erweiterung des Heston-Modells auf das Bates-Modell wird diskutiert. Das Bates-Modell wird verwendet, um das Modell auf alle Marktinformationen zu kalibrieren, was einen Vorteil gegenüber anderen Modellen bietet. Der Code für dieses Modell ist einfach und bietet zusätzliche Flexibilität, insbesondere für Optionen mit kurzer Laufzeit, bei denen die Kalibrierung auf alle Marktinformationen von entscheidender Bedeutung ist. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Bepreisung interessanterer Derivate, wie z. B. des Varianzswap, unter Nutzung der Erkenntnisse aus der Bepreisung von Forward-Start-Optionen oder Performance-Optionen.
Der Redner stellt eine Art Derivat namens Varianzswap vor, das es Anlegern ermöglicht, auf die zukünftige Volatilität eines Vermögenswerts zu wetten. Die Auszahlung eines Varianz-Swaps ist definiert als die Summe der quadrierten logarithmischen Aktienperformances über ein bestimmtes Datumsraster, dividiert durch die vorherige Aktienperformance. Der Dozent stellt fest, dass die ungewöhnliche Formulierung dieser Auszahlung deutlicher wird, wenn sie mit einer stochastischen Differentialgleichung verknüpft wird. Bei der Preisgestaltung dieses Derivats beträgt der Wert des Swaps zu Beginn Null, wenn der Basispreis der konstanten Erwartung entspricht. Darüber hinaus erklärt der Referent, dass die meisten Swaps zum Nennwert gehandelt werden, was bedeutet, dass der Wert des Kontrakts Null ist, wenn zwei Kontrahenten einen Kauf oder Verkauf vereinbaren.
In der Vorlesung wird dann der zeitabhängige Rahmen für das Bates-Modell erörtert und wie es das Integral über die zeitabhängige Volatilität mit der Leistung eines Derivats über die Zeit verbindet. Die Auszahlung ist als quadrierte logarithmische Performance definiert, die dem Integral der Volatilität entspricht. Der Referent erklärt, wie man den dritten Wert eines Vertrags mithilfe des Erwartungswerts von Sigma v zum Quadrat und der stochastischen Differentialgleichungen ermittelt. Darüber hinaus wird der Skalierungskoeffizient von 252 Arbeitstagen als wesentlicher Faktor im Finanzwesen eingeführt.
Abschließend geht der Redner auf den beizulegenden Zeitwert eines Varianz-Swaps ein, bei dem es sich um einen Derivatkontrakt handelt, der es Anlegern ermöglicht, auf die zukünftige Volatilität eines Vermögenswerts zu wetten. Der beizulegende Zeitwert des Swaps kann als Skalierungskoeffizient ausgedrückt werden, der den Zeiträumen von Null bis zur Fälligkeit des Kontrakts entspricht, zuzüglich eines Elements, das den Zinssätzen entspricht, abzüglich des erwarteten Werts von q log st dividiert durch st0. Die Bewertung dieser Erwartung kann durch Monte-Carlo-Simulation oder eine analytische Verteilung der Bestände erfolgen. Es ist interessant festzustellen, dass die Wertentwicklung aller kleinen Intervalle zwar zusammengesetzt ist, sie jedoch dem Verhältnis oder Logarithmus des Werts einer Aktie am Ende dividiert durch den Anfangswert entspricht.
Die Vorlesung deckt ein breites Themenspektrum rund um Forward-Start-Optionen, Performance-Optionen, das Heston-Modell, das Bates-Modell und Varianz-Swaps ab. Es bietet Einblicke in Preisgestaltungstechniken, die Implementierung in Python und die Bedeutung dieser Konzepte bei Finanzderivaten.
Computational Finance: Vorlesung 13/14 (Exotische Derivate)
Computational Finance: Vorlesung 13/14 (Exotische Derivate)
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Preisgestaltung exotischer Derivate und der Erweiterung von Preismodellen auf pfadabhängige Fälle. Der Hauptgrund für die Ausweitung der Auszahlungsstruktur besteht darin, den Kunden günstigere Preise anzubieten und gleichzeitig den Schwankungen des Aktienmarkts ausgesetzt zu sein. Der Einsatz digitaler Funktionen und Barrieren wird als Mittel zur Reduzierung der Derivatekosten bei gleichzeitiger Aufrechterhaltung des gewünschten Engagements untersucht. Die Vorlesung befasst sich mit verschiedenen Arten von Auszahlungen, darunter binäre und digitale Optionen, Barriereoptionen und asiatische Optionen, und untersucht deren Auswirkungen auf die Derivatepreise. Darüber hinaus diskutiert der Vortrag die Preisgestaltung von Multi-Asset-Optionen und mögliche Modellerweiterungen zur Handhabung von Körben mit Hunderten von Aktien.
Das Preisverfahren für Finanzprodukte wird besprochen, beginnend mit der Produktspezifikation und den Risikofaktoren, die für die Modellierung und Preisgestaltung mithilfe stochastischer Differentialgleichungen wie dem Black-Scholes-Modell, Sprüngen und stochastischen Volatilitätsmodellen erforderlich sind. Abhängig von der Komplexität des Produkts kann für eine genaue Preisfindung ein ein- oder zweidimensionales Gleichungssystem ausreichend sein. Der Prozess umfasst auch Kalibrierung und Absicherung, wobei ein optimaler Satz von Parametern ausgewählt wird, um den Preis des Produkts festzulegen und die Absicherungskosten zu minimieren, wodurch ein Umfeld ohne Arbitrage gewährleistet wird.
Es werden verschiedene Arten von Optionen definiert, wobei der Schwerpunkt auf europäischen Optionen, amerikanischen Optionen und Bermuda-Optionen liegt. Europäische Optionen gelten als grundlegende Bausteine für exotische Derivate, können jedoch schwierig zu timen sein und ein erhebliches Risiko bergen. Amerikanische Optionen bieten mehr Flexibilität und ermöglichen die Ausübung jederzeit, während Bermuda-Optionen die Ausübung nur zu bestimmten Terminen ermöglichen.
Es werden exotische Derivate und pfadabhängige Optionen eingeführt, die von der gesamten Historie einer Aktie abhängen und nicht nur von der Randverteilung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Es hat sich gezeigt, dass die Anpassung der Auszahlungsfunktion mithilfe von Binär- und Digitalwerten die Ableitungswerte deutlich reduziert. Die Vorlesung behandelt verschiedene Arten exotischer Derivate, darunter Vermögenswerte oder nichts, Bargeld oder nichts, Aktien oder nichts, zusammengesetzte Optionen und Auswahloptionen. Bei diesen Optionen wird der Vertrag in irgendeiner Weise eingeschränkt, beispielsweise durch Höchst- oder Mindestbeträge oder andere Einschränkungen, um die Kosten zu kontrollieren. Auch die Beliebtheit exotischer Derivate in der Vergangenheit, insbesondere in Zeiten hoher Zinsen, wird thematisiert.
Es wird eine Strategie zur Erzielung hoher Gewinne durch ein exotisches Derivat erläutert. Die Strategie besteht darin, den Großteil der Anlage auf ein sicheres Konto mit garantierter Rendite zu legen und eine mögliche Optionsauszahlung einzukalkulieren. Obwohl diese Strategie derzeit nicht beliebt ist, hat sie sich in der Vergangenheit als effektiv erwiesen. Die Vorlesung beinhaltet auch Codebeispiele zur Bewertung von Verträgen und zur Reduzierung ihres Wertes durch die Festlegung von Obergrenzen für das potenzielle Aktienwachstum. Der Vortrag zeigt, wie eine kleine Anpassung der Auszahlungsstruktur die Bewertungen erheblich senken und Derivate für Kunden attraktiver machen kann. Durch die Einführung von Barrieren und Pfadabhängigkeiten können Kosten gesenkt werden. Es werden verschiedene Barriereoptionen erörtert, wie z. B. Up-and-Out-, Down-and-Out-, Up-and-In-, Down-and-In-Optionen und ihre Auswirkungen auf die Derivatpreisgestaltung basierend auf dem historischen Verhalten der Aktie.
Es wird das Konzept der Lookback-Optionen untersucht, bei denen der maximale oder minimale Wert einer Aktie über ihre Laufzeit die Auszahlung bei Fälligkeit bestimmt. Lookback-Optionen beinhalten eine Pfadabhängigkeit und können positive Auszahlungen bieten, selbst wenn die Aktie bei Fälligkeit niedriger ist als der Basispreis. In der Vorlesung wird die Implementierung von Lookback-Optionen mithilfe von Monte-Carlo-Simulation und partiellen Differentialgleichungen (PDEs) erläutert, wobei der Schwerpunkt auf speziellen Randbedingungen für Barrier-Optionen und deren Erweiterung auf andere exotische Derivate liegt.
Barriere-Optionen werden ausführlich besprochen und ihre Attraktivität für Kontrahentenkunden sowie ihre Verwendung im Cross-Currency-Markt hervorgehoben. Die Vorlesung erläutert die Konfigurationen und Vorteile von Barriereoptionen, einschließlich Out-, In-, Down- und Up-Optionen. Der Dozent betont, dass Barriereoptionen zeitabhängig sein können, was den Vertrag komplexer macht. Monte-Carlo-Simulation und PDEs werden als Berechnungsmethoden für die Preisgestaltung von Barriereoptionen vorgestellt.
Der Vortrag vergleicht Up-and-Out-Optionen mit europäischen Standardoptionen und weist auf den erheblichen Wertverlust von Up-and-Out-Optionen aufgrund ihrer Barriere-ausgelösten Auszahlung hin. Das Konzept der Up-and-Out-Barriereoptionen wird eingeführt, bei dem die Auszahlung nur erfolgt, wenn die Aktie während ihrer Laufzeit ein bestimmtes Niveau nicht überschreitet. Die Vorlesung demonstriert die Auswirkung einer Barriere auf den Preis eines Derivats anhand einer Programmierübung und zeigt, dass der Preis einer Option mit steigender Barriere dem Preis einer digitalen Option mit einer ähnlichen Auszahlungsstruktur entspricht.
Anschließend erklärt der Dozent die Implementierung einer Up-and-Out-Barriere mittels Monte-Carlo-Simulation. Im Gegensatz zur Auszahlung einer digitalen Option, die nur vom Aktienwert bei Fälligkeit abhängt, berücksichtigt eine Up-and-Out-Barriere auch die Geschichte des Aktienverhaltens während der gesamten Laufzeit des Derivats. Es wird eine Funktion definiert, um mithilfe einer booleschen Matrix und einer logischen Bedingung zu bestimmen, ob die Barriere erreicht wurde. Der resultierende „Treffervektor“ ist ein binärer Vektor, der für jeden Pfad angibt, ob die Barriere getroffen wurde. Der Dozent demonstriert, wie sich eine Änderung des Barrierenwerts auf den Treffervektor auswirkt, und betont, dass die Auszahlung null beträgt, wenn die Barriere erreicht wird, und eins, wenn sie nicht erreicht wird.
Das Konzept der Einführung einer Barriere in Derivatekontrakte wird als eine Möglichkeit erklärt, deren Wert zu verringern und Kunden, die ein Engagement in einem bestimmten Vermögenswert anstreben, eine günstigere Option zu bieten. Das Vorhandensein einer Barriere hat erhebliche Auswirkungen auf den Wert des Derivats und kann möglicherweise zu Verlusten führen, wenn die Aktie das festgelegte Niveau nicht überschreitet. Allerdings können durch den Einbau von Barrieren die Preise für Derivate um ca. 30 % gesenkt werden, was sie für Anleger attraktiver macht. Dennoch können diskontinuierliche Derivate mit Barrieren Herausforderungen hinsichtlich der Absicherungskosten mit sich bringen, die ins Unendliche steigen können. Um dieses Problem zu entschärfen, schlägt der Dozent vor, die Auszahlung mithilfe alternativer Methoden zu reproduzieren, um die Kosten zu senken.
Das Video stellt das Konzept der Nachbildung der digitalen Funktion einer Option durch den strategischen Kauf und Verkauf von Call-Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen vor. Wenn sich die Ausübungspreise einander annähern, ähnelt die resultierende Auszahlung eher einer digitalen Option. Der Dozent erkennt jedoch die Schwierigkeiten an, die Diskontinuität von Optionen aufgrund von Änderungen der Delta- und Gamma-Empfindlichkeiten genau nachzubilden. Während zur Absicherung Näherungswerte verwendet werden können, ist es wichtig, Prämien zu erheben, um potenzielle Absicherungsverluste auszugleichen, die durch die digitale Natur der Option verursacht werden. Das Video betont das Konzept der Reduzierung der Derivatkosten durch die Einführung digitaler Beschränkungen oder eine Änderung der Auszahlungsstruktur.
Anschließend wird in der Vorlesung auf asiatische Optionen als Mittel zur Reduzierung der mit einem Basiswert verbundenen Volatilität und Unsicherheit eingegangen, wodurch der Preis von Derivaten gesenkt werden kann. Asiatische Optionen basieren auf dem durchschnittlichen Verhalten einer schwankenden Aktie, die tendenziell gleichmäßiger ist als die Aktie selbst, wodurch die damit verbundene Unsicherheit verringert wird. Der Dozent untersucht verschiedene Varianten der auf dem Markt verfügbaren asiatischen Optionen, einschließlich Calls und Puts mit festem und variablem Ausübungspreis. Insbesondere variable Ausübungsoptionen erfreuen sich im Rohstoffhandel großer Beliebtheit, da sie die Unsicherheit verringern und die mit einem bestimmten zugrunde liegenden Vermögenswert verbundenen Risiken mindern können.
Der Referent erläutert außerdem die verschiedenen Methoden zur Berechnung des Durchschnitts einer Aktie und hebt deren Bedeutung für den Handel hervor. Es werden zwei Arten von Durchschnittswerten eingeführt, arithmetische und geometrische, wobei der geometrische Durchschnitt aufgrund seines analytischen Ausdrucks für die mathematische Analyse bevorzugt wird. In der Praxis werden häufig Summationen verwendet, was Näherungstechniken wie Monte-Carlo-Simulation oder PDEs erfordert. Die Vorlesung befasst sich auch mit dem Konzept des kontinuierlichen Durchschnitts, der sich vom arithmetischen Durchschnitt durch seine integrale Darstellung unterscheidet, wodurch das Preisproblem um eine zusätzliche Dimension erweitert und seine Lösung komplexer wird.
Der Fokus verlagert sich dann auf die Preisgestaltung asiatischer Optionen, was bedeutet, von einem eindimensionalen Problem wegzukommen und höherdimensionale Überlegungen einzubeziehen. Asiatische Optionen führen zwei unabhängige Variablen ein: den Aktienkurs und das Integral der Aktie. Die Auszahlung der Option hängt vom beobachteten Integral oder Pfad von Null bis zur Fälligkeit ab, wobei die Zahlung bei Fälligkeit erfolgt. In der Vorlesung wird anerkannt, dass die Preisgestaltung exotischer Derivatkontrakte mit vom Endteil abhängigen Mengen eine Herausforderung darstellen kann und fortgeschrittenere Techniken erfordert. Allerdings ist die Delta-Absicherung trotz der Komplexität, die asiatische Optionen mit sich bringen, immer noch wirksam, um angemessene Absicherungskoeffizienten zu erreichen. Der Dozent erörtert den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung asiatischer Optionen und hebt deren Flexibilität bei der Behandlung hochdimensionaler Probleme hervor. Durch die Simulation mehrerer Aktienkurspfade und die Berechnung der durchschnittlichen Auszahlung kann die Monte-Carlo-Simulation eine Schätzung des Optionspreises liefern. Der Vortrag erwähnt auch die potenziellen Herausforderungen der Monte-Carlo-Simulation, wie etwa Konvergenzprobleme und die Notwendigkeit einer ausreichenden Anzahl von Pfaden, um genaue Ergebnisse zu erhalten.
Anschließend geht der Dozent auf eine andere Art exotischer Optionen ein, die sogenannte Barrier-Option mit Rabatt. Diese Option hat eine ähnliche Struktur wie die zuvor besprochene Barriere-Option, jedoch mit einer zusätzlichen Rückerstattungszahlung, wenn die Barriere erreicht wird. Das Vorhandensein des Rabatts entschädigt den Optionsinhaber, wenn die Barriere durchbrochen wird, und mindert mögliche Verluste. Der Vortrag erläutert, dass die Rückzahlung die Kosten der Option senkt und sie für Anleger attraktiver macht.
Um Barrier-Optionen mit Rabatten zu bewerten, führt der Dozent das Konzept einer Reverse-Knock-out-Option ein, die die Umkehrung einer Knock-out-Option darstellt. Die Reverse-Knock-out-Option zahlt einen Rabatt, wenn die Barriere nicht erreicht wird. Durch Bepreisung der Reverse-Knock-out-Option und Abzug der Rabattzahlung kann der Preis der Barrier-Option mit Rabatt ermittelt werden. Das Video zeigt ein Beispiel für die Implementierung dieser Preismethode mithilfe der Monte-Carlo-Simulation.
In der gesamten Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, exotische Derivatkontrakte zu verstehen und effektiv zu bewerten. Exotische Optionen bieten Anlegern Flexibilität und maßgeschneiderte Lösungen, ihre Preisgestaltung und ihr Risikomanagement erfordern jedoch ausgefeilte Modelle und Techniken. Der Vortrag schließt mit der Hervorhebung des Bedarfs an weiterer Forschung und Entwicklung in diesem Bereich sowie der Bedeutung der Zusammenarbeit zwischen Wissenschaft und Industrie, um die Methoden zur Preisgestaltung von Derivaten zu verbessern und den sich verändernden Bedürfnissen der Marktteilnehmer gerecht zu werden.
Computational Finance: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung der Vorlesung)
Computational Finance: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung der Vorlesung)
Die Reihe zum Thema Computational Finance endete mit einer umfassenden Zusammenfassung der wichtigen Themen, die in jeder Vorlesung behandelt wurden. Der Kurs umfasste ein breites Themenspektrum, darunter stochastische Differentialgleichungen, implizite Volatilitäten, Sprungdiffusionen, affine Klassen von Diffusionsprozessen, stochastische Volatilitätsmodelle und Fourier-Transformationen für Optionspreise. Es befasste sich auch mit numerischen Techniken wie Monte-Carlo-Simulationen und verschiedenen Absicherungsstrategien.
In den späteren Vorlesungen verlagerte sich der Schwerpunkt auf Forward-Start-Optionen und exotische Derivate, wobei die im Laufe des Kurses erworbenen Kenntnisse auf die Strukturierung dieser komplexen Finanzprodukte angewendet wurden. Die ersten Vorlesungen boten eine Einführung in den Kurs und diskutierten grundlegende Prinzipien des Financial Engineering, verschiedene Märkte und Anlageklassen. In der zweiten Vorlesung ging es speziell um verschiedene Arten von Optionen und Absicherungsstrategien, wobei der Schwerpunkt auf Rohstoffen, Währungen und Kryptowährungen lag.
Die Preisgestaltung von Call- und Put-Optionen und ihr Zusammenhang mit der Absicherung waren während des gesamten Kurses ein zentrales Thema. Der Dozent betonte, dass der Preis einer Absicherungsstrategie immer dem Preis eines Derivats entsprechen sollte, um Arbitragemöglichkeiten zu vermeiden. Die mathematischen Aspekte der Modellierung verschiedener Anlageklassen, einschließlich Vermögenspreisen und Zufallsmessung, wurden diskutiert. Stochastische Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und das Itô-Lemma wurden als wichtige Werkzeuge für die Preisgestaltung von Finanzinstrumenten hervorgehoben. Außerdem wurden Python-Simulationen demonstriert, die zeigen, wie stochastische Differentialgleichungen das reale Verhalten von Aktienbewegungen für Preiszwecke simulieren können. Es wurden die Vor- und Nachteile des Black-Scholes-Modells angesprochen, wobei die Notwendigkeit einer ganzheitlichen Perspektive betont wurde, um Konsistenz im Portfoliomanagement und in den Absicherungsstrategien sicherzustellen.
Martingales wurden wiederholt als entscheidendes Konzept bei der Optionspreisgestaltung hervorgehoben, und weitere wichtige Themen, die im Kurs behandelt wurden, waren das Black-Scholes-Modell, die implizite Volatilität, die Konvergenz des Newton-Raphson-Algorithmus und die Grenzen der zeitabhängigen Volatilität. Die praktische Anwendung der Python-Codierung zur Überprüfung, ob ein simulierter Prozess ein Martingal ist, und die Auswirkungen von Maßnahmen auf die Drift wurden untersucht. Der Kurs bot einen tiefen Einblick in die Preisgestaltung einfacher europäischer Optionen und zeigte, wie verschiedene Modelle und Maßnahmen zur Berechnung ihrer Preise eingesetzt werden können.
Die Einschränkungen des Black-Scholes-Modells wurden diskutiert, insbesondere im Zusammenhang mit der Einbeziehung von Sprüngen in das Modell. Sprünge können zwar die Kalibrierung der impliziten Volatilitätsflächen verbessern und einen Versatz erzeugen, sie führen jedoch auch zu Komplexität und verringern die Absicherungseffizienz. Stochastische Volatilitätsmodelle wie das Heston-Modell wurden eingeführt, um die Flexibilität des Modells bei der Kalibrierung und Preisgestaltung exotischer Optionen zu erhöhen. Darüber hinaus wurde eine schnelle Preisfindungstechnik als Lösung vorgestellt. In der Vorlesung wurden auch die Bedingungen dargelegt, die Modelle bzw. stochastische Differentialgleichungen erfüllen müssen, um innerhalb der affinen Modelle in Fourier-Transformationen verwendet zu werden.
Zwei wichtige Modelle zur Bewertung von Aktien und Aktien wurden diskutiert: die affine Klasse von Diffusionsprozessen und das stochastische Volatilitätsmodell, konkret das Heston-Modell. Die affine Klasse von Diffusionsprozessen ermöglicht eine schnelle Kalibrierung europäischer Optionen, während das Heston-Modell Flexibilität bei der Kalibrierung der gesamten Oberfläche impliziter Volatilitäten europäischer Optionen bietet. Der Vortrag behandelte die Auswirkungen und Vorteile der Korrelation in den Modellen, die Preisgestaltung der PDE und die Verwendung von Fourier-Transformationen für die Preisgestaltung, wenn ein Modell zur affinen Klasse von Prozessen gehört. Das Verstehen und Nutzen dieser Modelle wurde als wertvolle Fähigkeiten im Bereich Computational Finance hervorgehoben.
Die Preisgestaltung europäischer Optionen mit Schwerpunkt auf Call- und Put-Optionen stand im Mittelpunkt eines weiteren Vortrags. Die Verwendung einer charakteristischen Funktion und die Fähigkeit, Systeme komplexwertiger ODEs zu lösen, wurden ebenso hervorgehoben wie die Bedeutung numerischer Techniken zum Erhalten von Lösungen. Im Hinblick auf praktische Anwendungen und die Akzeptanz in der Industrie wurde Wert darauf gelegt, ein gutes Modell mit effizienter Kalibrierung und Bewertung in Einklang zu bringen. Die Vorteile der Cos-Methode der Fourier-Transformation für die Preisgestaltung wurden zusammen mit ihrer Implementierung in Vital diskutiert. Auch eine effiziente Kalibrierung und die Nutzung von Monte-Carlo-Simulationen für die Preisgestaltung wurden empfohlen.
Monte-Carlo-Sampling bei der Preisgestaltung exotischer Derivate wurde in einer anderen Vorlesung ausführlich untersucht. Die Herausforderungen, die sich aus mehreren Dimensionen, Modellkomplexität und Rechenkosten für eine genaue Preisgestaltung ergeben, wurden angegangen. Die Monte-Carlo-Simulation wurde als alternativer Preisansatz vorgestellt, wobei der Schwerpunkt auf der Reduzierung von Fehlern und der Verbesserung der Genauigkeit liegt. Die Vorlesung behandelte verschiedene Aspekte der Monte-Carlo-Probenahme, darunter Integration, stochastische Integration und Kalibrierungsmethoden wie Euler- und Milstein-Verfahren. Die Bewertung der Glätte der Auszahlungsfunktionen und das Verständnis schwacher und starker Konverter wurden als entscheidend für die Gewährleistung einer genauen Preisgestaltung hervorgehoben.
Der dem Heston-Modell gewidmete Vortrag erörterte seine Flexibilität bei der Kalibrierung, die Modellierung der impliziten Volatilitätsoberfläche und die effiziente Monte-Carlo-Simulation. Der Vortrag ging auch auf die nahezu exakte Simulation des Heston-Modells ein, das mit der exakten Simulation des Cox Ingersoll Ross (CIR)-Prozesses für den Varianzprozess zusammenhängt. Während die Diskretisierungsmethoden von Euler und Milstein möglicherweise Probleme mit dem CIR-Prozess haben, gibt es effiziente Möglichkeiten, die Simulation durchzuführen. Der Vortrag betonte die Bedeutung der Berücksichtigung eines realistischen Simulationsmodells, insbesondere bei der Delta-Absicherung und der Berücksichtigung von Marktsprüngen.
Das Konzept der Absicherung im Finanzbereich wurde in einem separaten Video ausführlich untersucht. Bei der Absicherung geht es darum, Risiken und potenzielle Verluste durch die Verwaltung eines Portfolios und die aktive Pflege des Kontrakts nach dem Handel zu reduzieren. Das Video unterstrich die Bedeutung der Absicherung, die über die Preisgestaltung hinausgeht und ein kontinuierliches Risikomanagement bis zur Vertragslaufzeit umfasst. Es wurden die Delta-Absicherung und die Auswirkungen von Marktsprüngen erörtert, wobei die Bedeutung der Verwendung eines realistischen Modells für eine genaue Simulation betont wurde.
Die Grenzen des Delta-Hedgings wurden in einem anderen Vortrag angesprochen und die Notwendigkeit hervorgehoben, für komplexere Derivate auch andere Arten des Hedgings, wie etwa Gamma- und Vega-Hedging, in Betracht zu ziehen. Die Berechnung von Sensitivitäten und Methoden zur Verbesserung ihrer Effizienz, einschließlich endlicher Differenzen, Pfadsensitivitäten und Wahrscheinlichkeitsquotienten, wurden behandelt. Der Vortrag befasste sich auch mit der Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen und den Herausforderungen, die mit der Preisgestaltung von Optionen bei unsicheren Anfangsbeständen verbunden sind. Der Optionswert wurde mithilfe charakteristischer Funktionen abgeleitet und die Vorlesung endete mit einer Diskussion über implizite Volatilitäten und deren Implementierung in Python.
Der Vortrag über zusätzliche Sprünge in Finanzmodellen, insbesondere das Heston-Modell, untersuchte deren Auswirkungen auf Parameterkalibrierung und Absicherungsstrategien. Varianz-Swaps und Produkte von Volatilitäten wurden ebenfalls diskutiert, wobei der Schwerpunkt auf der Beziehung zwischen der seltsamen Darstellung, Varianz-Swap-Verträgen und bedingten Erwartungen unter Verwendung der Black-Scholes-Dynamik lag. Darüber hinaus befasste sich die Vorlesung mit der Strukturierung von Produkten mithilfe verschiedener Techniken wie binären und digitalen Optionen, pfadabhängigen Optionen, Barriereoptionen und asiatischen Optionen. Es ging auch um die Preisgestaltung von Verträgen mit mehreren Vermögenswerten. Diese Vorlesung diente als Zusammenfassung des im Laufe des Kurses erworbenen Wissens und bildete eine Grundlage für die zukünftige Bewältigung komplexerer Derivate.
Im letzten Teil gratulierte der Redner den Zuschauern zum erfolgreichen Abschluss aller 14 Vorträge und zum Erwerb von Kenntnissen in Computational Finance, Financial Engineering und Derivate-Preisgestaltung. Die Zuschauer wurden ermutigt, ihr neu gewonnenes Fachwissen in der Praxis anzuwenden oder über weitere Kurse nachzudenken, um ihr Wissen zu erweitern. Der Redner wünschte ihnen eine erfolgreiche Karriere im Finanzwesen und war überzeugt, dass sie für ihre zukünftigen Aufgaben gut vorbereitet seien.
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 1/14, (Einführung und Überblick über den Kurs)
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 1/14, (Einführung und Überblick über den Kurs)
Der Dozent beginnt mit einer Einführung in den Kurs zum Thema Financial Engineering und hebt dessen Ziele und Schwerpunkte hervor. Der Kurs zielt darauf ab, sich mit Zinssätzen und mehreren Anlageklassen wie Devisen und Inflation zu befassen. Das ultimative Ziel besteht darin, dass die Studierenden ein Multi-Asset-Portfolio bestehend aus linearen Produkten aufbauen und Kenntnisse in der Durchführung von XVA- und Value-at-Risk-Berechnungen erwerben. Um sich vollständig mit dem Kursinhalt befassen zu können, sind Vorkenntnisse in stochastischen Differentialgleichungen, numerischer Simulation und numerischen Methoden erforderlich.
Die Kursstruktur ist umrissen und umfasst 14 Vorlesungen, begleitet von Hausaufgaben am Ende jeder Sitzung. Die im gesamten Kurs verwendete Programmiersprache ist Python und ermöglicht die praktische Umsetzung und Anwendung der besprochenen Konzepte.
Der Referent betont den praktischen Charakter des Kurses zum Thema Computational Finance. Während theoretisches Wissen vermittelt wird, liegt der Schwerpunkt auf der Effizienz der Implementierung und der Bereitstellung von Python-Codebeispielen für jede Vorlesung. Die Kursmaterialien sind in sich abgeschlossen, basieren jedoch auf dem Buch „A Book of Mathematical Modelling and Computation in Finance“. Die Vorlesung bietet auch einen Überblick über den Kursplan und vermittelt den Studierenden ein klares Verständnis der Themen, die in jeder der 14 Vorlesungen behandelt werden.
Der Schwerpunkt der ersten Vorlesung liegt darauf, einen Überblick über den gesamten Kurs zu geben und die Bedeutung der behandelten Konzepte für das Erreichen des Endziels der Durchführung von xva- und var-Berechnungen hervorzuheben.
Anschließend gibt der Dozent einen ausführlichen Überblick über die Themen, die im gesamten Financial Engineering-Kurs behandelt werden. Dazu gehören verschiedene Modelle wie Vollweiß- und Vollweiß-Zwei-Faktor-Modelle, Messungen, Filterungen und stochastische Modelle. Ein Schwerpunkt liegt auf der Preisgestaltung von Zinsprodukten, einschließlich linearer und nichtlinearer Produkte wie Swaptions. Die Vorlesung behandelt die Erstellung von Zinskurven, die Erstellung mehrerer Kurven, Spine-Points und die Auswahl von Interpolationsmethoden mithilfe von Python-Codes. Weitere behandelte Themen sind Negativzinsen, Optionen, Hypotheken und vorzeitige Rückzahlungen, Devisen, Inflation, Monte-Carlo-Simulation für Multi-Assets, Marktmodelle, Konvexitätsanpassungen, Risikoberechnungen und Wertanpassungsmaße wie CVA, BCVA und FVA.
Im Verlauf des Kurses wird das Risikomanagement zu einem Schwerpunkt, und Vorlesung 13 ist der Risikomessung mithilfe von Kodierung und Analyse historischer Daten gewidmet. Vorlesung 14 dient als Zusammenfassung aller im Kurs gelernten Inhalte.
Die zweite Vorlesung konzentriert sich auf Filterungen und Maßänderungen, einschließlich bedingter Erwartungen und Simulation in Python. Die Studierenden nehmen an praktischen Übungen teil, um bedingte Erwartungen zu simulieren und die Vorteile und Vereinfachung von Preisproblemen durch Maßänderungen zu erkunden.
In den darauffolgenden Vorlesungen gibt der Dozent einen Überblick über das Hijack-Modell-Framework, Gleichgewichts- und Laufzeitstrukturmodelle und die Dynamik der Zinskurve. Die Vorlesungen behandeln Kurzkurse und die Simulation von Modellen durch Monte-Carlo-Simulationen in Python. Der Vergleich zwischen Ein-Faktor- und Zwei-Faktor-Modellen wird diskutiert, mit einer Untersuchung von Multi-Faktor-Erweiterungen. Es wird ein Videoexperiment durchgeführt, um den S&P-Index, den von der Fed implizierten kurzfristigen Zinssatz und die Dynamik der Renditekurve zu analysieren.
Die Simulation von Zinskurven wird untersucht, um die Entwicklung der Zinssätze im Zeitverlauf zu beobachten und sie mit stochastischen Modellen zu vergleichen. Zu den behandelten Themen gehören die Affinität eines Fulbright-Modells, die exakte Simulation, die Konstruktion und Preisgestaltung von Zinsprodukten sowie die Berechnung unsicherer Cashflows in Swap-Beispielen.
Die Vorlesung zum Aufbau einer Zinskurve behandelt die Beziehung zwischen Zinskurven und Zinsswaps, Forward Rate Agreements und der Preisgestaltung von Derivaten. Es werden unterschiedliche Zinskurvenformen und deren Relevanz für Marktsituationen erläutert. Implizite Volatilitäten und Spine-Point-Berechnungen werden ebenso besprochen wie Interpolationsroutinen und die Erweiterung einzelner Zinskurven auf Multikurven-Ansätze. Der Schwerpunkt liegt auf praktischen Aspekten der Erstellung von Zinskurven mithilfe von Python-Experimenten und deren Verknüpfung mit Marktinstrumenten.
Der Dozent befasst sich mit Themen im Zusammenhang mit Financial Engineering, einschließlich der Preisgestaltung von Swaptions nach dem Black-Scholes-Modell und Optionen unter Verwendung von Full-White- oder Short-Rate-Modellen. Der Jamshidian-Trick und Python-Experimente werden erklärt. Die Vorlesung behandelt auch Konzepte wie negative Zinssätze, verschobene logarithmisch normalverschobene implizite Volatilitäten und den Einfluss von Verschiebungsparametern auf implizite Volatilitätsformen. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der vorzeitigen Rückzahlung von Hypotheken und ihren Auswirkungen auf Position und Absicherung aus Sicht einer Bank.
Es werden endfällige Hypotheken vorgestellt und die damit verbundenen Cashflows und Determinanten der vorzeitigen Rückzahlung erläutert. Der Vortrag beleuchtet die Auswirkungen von vorzeitigen Rückzahlungen auf Hypothekenportfolios und verknüpft den Refinanzierungsanreiz mit Marktobservablen. Darüber hinaus werden Pipeline-Risiken und deren Management durch Finanzinstitute diskutiert.
Der Kurs geht weiter mit der gleichzeitigen Modellierung mehrerer Anlageklassen, was die Simulation potenzieller zukünftiger Risiken ermöglicht, die sich auf das Portfolio auswirken können. Korrelationen zwischen verschiedenen Anlageklassen werden untersucht und die Bedeutung hybrider Modelle für Risikomanagementzwecke hervorgehoben, auch wenn das Interesse an exotischen Derivaten möglicherweise zurückgeht.
Es werden hybride Modelle für Pricing-Value-Adjustments (XVA) und Value-at-Risk sowie Erweiterungen mit stochastischer Volatilität untersucht. Die Vorlesung behandelt Hybridmodelle, die für eine XVA-Umgebung geeignet sind, einschließlich Aktiendynamik und stochastischer Zinssätze. Im zweiten Block werden stochastische Volatilitätsmodelle wie das Heston-Modell erörtert, in denen es um die Einbeziehung stochastischer Zinssätze geht, die mit dem Aktienprozess korrelieren. Die Vorlesung befasst sich auch mit Devisen und Inflation und erörtert die Geschichte und Entwicklung variabler Währungen, Devisenterminkontrakte, Cross-Currency-Swaps und FX-Optionen. Die Auswirkungen von Maßänderungen auf die Prozessdynamik werden ebenfalls untersucht, um letztendlich Verträge zu bewerten, die für verschiedene Vermögenswerte in verschiedenen Anlageklassen definiert sind, und Risiken und Risikomaße zu berechnen.
Der Dozent behandelt zusätzliche Themen im Zusammenhang mit Financial Engineering, einschließlich des Quantenkorrekturelements in der stochastischen Volatilität und der Preisgestaltung von FX-Optionen mit stochastischen Zinssätzen. Das Konzept der Inflation wird untersucht und seine Entwicklung von monetären zu güterbasierten Definitionen verfolgt. Es werden Marktmodelle wie das LIBOR-Marktmodell und Konvexitätsanpassungen besprochen und bieten eine historische Perspektive auf die Zinsentwicklung und die Motivation hinter Marktmodellen wie dem LIBOR-Marktmodell im HJM-Rahmen. Die Vorlesung befasst sich auch mit logarithmisch normalen LIBOR-Marktmodellen, stochastischer Volatilität und der Smile- und Skew-Dynamik im LIBOR-Marktmodell.
Es werden verschiedene Techniken zur Preisgestaltung von Finanzprodukten behandelt, wobei der Schwerpunkt auf der risikoneutralen Preisgestaltung und dem Black-Scholes-Modell liegt. Der Dozent warnt vor dem Missbrauch riskanter Techniken wie der Freezing-Technik und betont die Bedeutung der Konvexitätskorrektur in Preisrahmen. Die Studierenden lernen, die Notwendigkeit einer Konvexitätskorrektur zu erkennen und Zinsbewegungen oder Markt-Smile und -Skew in Preisprobleme einzubeziehen. Der Abschnitt schließt mit der Behandlung von XVA-Simulationen, einschließlich CVA, BCVA, VA und FVA, sowie der Berechnung erwarteter Expositionen, potenzieller zukünftiger Expositionen und Plausibilitätsprüfungen mithilfe von Python-Simulationen.
Der Dozent geht erneut auf die im Kurs „Financial Engineering“ behandelten Themen ein, darunter die Preisgestaltung von Derivaten, die Bedeutung der Preisfindung, praktische Aspekte von Handelszuordnungen und Risikomanagementmaßnahmen wie Value at Risk und Expected Shortfall. Der Schwerpunkt liegt weiterhin auf praktischen Anwendungen, wie dem Aufbau eines Zinsswap-Portfolios und der Nutzung von Kenntnissen über die Konstruktion von Zinskurven, um den VAR und den erwarteten Fehlbetrag anhand von Simulationsergebnissen abzuschätzen. Die Vorlesung befasst sich auch mit Herausforderungen im Zusammenhang mit fehlenden Daten, Arbitrage und Neubewertung bei der VAR-Berechnung mithilfe der Monte-Carlo-Simulation.
In der Abschlussvorlesung geht der Dozent auf das Backtesting und das Testen der VAR-Engine ein. Der Dozent räumt zwar ein, dass der Kurs über die ersten 14 Wochen hinausgehen wird, zeigt sich aber zuversichtlich, dass der Kurs umfassend und unterhaltsam sein wird. Die aufgezeichneten Vorlesungen führen die Studierenden zum Gipfel des Verständnisses von Bewertungsanpassungen (XVA) und der Berechnung des Value at Risk.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 1/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 1/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
In der Vorlesung vertieft sich der Dozent in das Black-Scholes-Modell mit stochastischen Sprüngen und demonstriert dessen Anwendung bei der Derivatepreisgestaltung. Die Einbeziehung bedingter Erwartungen wird als Mittel zur Verbesserung der Modellgenauigkeit hervorgehoben. Darüber hinaus wird das Konzept von Numerären und Maßänderungen untersucht und gezeigt, wie der Wechsel zwischen verschiedenen Numerären die Preisergebnisse verbessern kann. Dieser Abschnitt unterstreicht die Bedeutung von Filterung, Erwartungen und Maßänderungen, insbesondere im Bereich der Zinssätze.
Der Professor geht weiter auf das Thema ein und betont die zentrale Rolle von Maßnahmen, Filterungen und Erwartungen bei der Preisgestaltung. Sie veranschaulichen, wie Kennzahlen wie Bestände effektiv in Preisprozessen eingesetzt werden können, während Kennzahlenänderungen dazu beitragen, die Komplexität von Preisproblemen zu reduzieren. Die Vorlesung untersucht weiter den Begriff eines Vorwärtsmaßes, das üblicherweise mit stochastischer Diskontierung verbunden ist. Filtrationen werden als grundlegende Prinzipien zum Verständnis von Zeit-, Expositions- und Risikoprofilen erläutert. Darüber hinaus werden die Definition eines stochastischen Prozesses und die Bedeutung der Filterung bei der Interpretation von Marktdaten und der Antizipation zukünftiger Erkenntnisse vorgestellt.
Im weiteren Verlauf wird das Konzept der Filterung und Maßnahmen eingehend untersucht. Filtrationen können die Gegenwart betreffen oder sich in die Zukunft erstrecken, was eine klare Unterscheidung im Umgang mit stochastischen Prozessen erfordert. Die Vergangenheit stellt einen singulären Verlauf der Aktiengeschichte dar, während die Stochastik der Zukunft durch stochastische Differentialgleichungen und Simulationen modelliert werden kann. Obwohl sich der Kurs hauptsächlich auf Filterungen bis zur Gegenwart (t0) konzentriert, befasst er sich später mit der Nutzung zukünftiger Filterungen für eine verbesserte Recheneffizienz. Es wird möglich, Zukunftsszenarien zu simulieren und vielfältige Ergebnisse zu entwickeln. Angesichts der inhärenten Unsicherheit bleibt es jedoch weiterhin schwierig, das realistischste Szenario zu bestimmen. Die Schätzung der Ergebnisverteilung erfordert die Verwendung historischer Daten und Kalibrierungstechniken im Zusammenhang mit Maß p.
Anschließend befasst sich die Vorlesung mit Maßnahmen und Filterungen und hebt die unterschiedlichen Rollen der Maßnahme Q bei der Preisgestaltung und des Risikomanagements sowie der Maßnahme P vor allem im Risikomanagement hervor. Wenn beide Messgrößen eingesetzt werden, ist die Erstellung von Zukunftsszenarien für Risikoprofile unerlässlich, da die Eignung beider Messgrößen nicht eindeutig ist. Darüber hinaus führt die Anhäufung von historischem Wissen im Laufe der Zeit zu umfassenderen Filterungen. Es ist jedoch auch wichtig, ein Verständnis für die Messbarkeit aufrechtzuerhalten und die Unsicherheit für stochastische Größen zu bestimmten zukünftigen Zeitpunkten anzuerkennen.
Anschließend diskutiert der Dozent Filterungen und Maßnahmen im Kontext des Financial Engineering. Sie betonen insbesondere, dass Messbarkeit nicht Konstanz bedeutet; Vielmehr bezeichnet es eine stochastische Größe. Filterungen verdeutlichen den Umfang des zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügbaren Wissens und erweitern sich aufgrund des angesammelten Wissens, wenn man sich in der Zeit weiter bewegt. Während Filterungen und Maßänderungen leistungsstarke Werkzeuge bei der Finanzmodellierung sein können, kann ihre unsachgemäße Verwendung zu erheblichen Problemen führen. Daher ist es von entscheidender Bedeutung zu verstehen, wie man diese Werkzeuge effektiv einsetzt und durch die Zeit navigiert, um Modellierungsfehler zu vermeiden. Der Abschnitt schließt mit einem Überblick über den Kalibrierungsprozess in der Finanzmodellierung, der aus historischen Daten oder Marktinstrumenten abgeleitet werden kann.
Das Konzept der angepassten Prozesse wird eingeführt und bezieht sich auf Prozesse, die ausschließlich auf bis zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügbaren Informationen basieren, ohne zukünftige Erkenntnisse zu berücksichtigen. Beispiele für angepasste Prozesse umfassen die Brownsche Bewegung und die Bestimmung des Maximalwerts eines Prozesses innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Umgekehrt sind nicht angepasste Prozesse auf zukünftige Erkenntnisse angewiesen. In der Vorlesung wird auch die Turmeigenschaft vorgestellt, ein leistungsstarkes Instrument zur Preisgestaltung, das eine Beziehung zwischen Sigmafeldern, Filterungen und Erwartungen herstellt.
Bedingte Erwartungen werden als wirksames Instrument im Financial Engineering diskutiert, insbesondere wenn es um Funktionen mit zwei Variablen geht. Die Turmeigenschaft der Erwartung wird genutzt, um Erwartungen zu konditionieren und äußere und verschachtelte innere Erwartungen zu berechnen. Diese Eigenschaft findet Anwendung in Simulationen und ermöglicht die analytische Berechnung bestimmter Problemkomponenten, die auf Blockchain-Optionspreismodelle angewendet werden können, insbesondere unter Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und spezifischer Filterungen. Die Definition der bedingten Erwartung wird unter Einbeziehung einer Integralgleichung untersucht.
Der Dozent betont die Bedeutung bedingter Erwartungen und Filterungen im Financial Engineering. Sie betonen, dass, wenn eine Zufallsvariable konditioniert werden kann und ihre Antwort analytisch bekannt ist, die äußere Erwartung durch Stichprobenziehung der inneren Erwartung berechnet werden kann. Im Finanzwesen ist es jedoch ungewöhnlich, über analytische Kenntnisse über bedingte Dichten oder zweidimensionale Dichten zu verfügen. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, bedingte Erwartungen beim Codieren richtig einzusetzen, da sie aus der Perspektive der Gegenwart stochastische Größen bleiben. Darüber hinaus diskutieren sie die Vorteile der Einbeziehung einer analytischen Lösung für einen Teil des Modells in einen Simulationskontext, da dies zu einer verbesserten Konvergenz führen kann. Zur Veranschaulichung dieser Konzepte liefert der Dozent ein Beispiel für die Berechnung des äußeren Erwartungswerts einer Brownschen Bewegung.
Im weiteren Verlauf befasst sich der Dozent mit der Erwartung eines zukünftigen Zeitpunkts und hebt deren Komplexität im Vergleich zu Fällen hervor, in denen die Erwartung zum Zeitpunkt Null liegt. Sie erklären, dass dieses Szenario mehrere Pfade und verschachtelte Monte-Carlo-Simulationen für jeden Pfad erfordert, einschließlich Untersimulationen für bedingte Erwartungen. Diese Komplexität entsteht durch die Eigenschaft unabhängiger Inkremente, wobei die Brownsche Bewegung immer als Differenz zwischen ihren Werten zu zwei verschiedenen Zeitpunkten, t und s, ausgedrückt werden kann.
Der Redner konzentriert sich auf Monte-Carlo-Simulationen und erörtert die Konstruktion der Brownschen Bewegung zur Simulation des Optionswerts einer Aktie. Sie untersuchen zwei Arten von Martingalen und führen die verschachtelte Monte-Carlo-Methode zur Berechnung der bedingten Erwartung einer Aktienoption ein. Die Simulation umfasst die Generierung eines Pfads bis zum Zeitpunkt s und die Durchführung von Untersimulationen für jeden Pfad, um die Erwartung zu diesem Zeitpunkt zu bewerten. Dieser Prozess beinhaltet die Berechnung der bedingten Erwartung einer bestimmten Realisierung zum Zeitpunkt s für jeden Pfad. Der Fehler wird dann als Differenz zwischen der bedingten Erwartung und dem Pfadwert zum Zeitpunkt s gemessen. Die Standardisierung der Brownschen Bewegung stellt sicher, dass sie mit unabhängigen Inkrementen konstruiert wird, was die Durchsetzung gewünschter Eigenschaften innerhalb einer Monte-Carlo-Simulation erleichtert.
Abschließend betont der Redner, dass die Simulation der Brownschen Bewegung zwar unkompliziert und kosteneffektiv erscheinen mag, die Einbeziehung einer bedingten Erwartung jedoch einen verschachtelten Monte-Carlo-Ansatz erfordert, der die Durchführung mehrerer Simulationen der Brownschen Bewegung für jeden Pfad beinhaltet. Folglich kann dieser Vorgang zeitaufwändig sein.
Abschließend behandelt die Vorlesung ausführlich Themen im Zusammenhang mit Maßnahmen, Filterungen, bedingten Erwartungen und Monte-Carlo-Simulationen im Financial Engineering. Die Bedeutung dieser Konzepte für die Preisgestaltung von Derivaten, das Risikomanagement und die Modellkalibrierung wird durchgehend betont. Durch das Verständnis der diesen Tools und Techniken zugrunde liegenden Prinzipien können Finanzexperten ihre Modellierungsgenauigkeit verbessern und komplexe Preisprobleme effektiv lösen.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 2/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 2/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
Willkommen alle zur Nachpausensitzung. Heute geht es weiter mit dem zweiten Block der Vorlesung 2 im Studiengang Financial Engineering. In diesem Block befassen wir uns mit der Preisgestaltung und den Zinssätzen von XVA und konzentrieren uns dabei auf fortgeschrittene Konzepte.
Zuvor haben wir das Konzept der Filterung und bedingter Erwartungen sowie eine Übung und Simulation in Python besprochen. Jetzt werden wir zusätzliche Erwartungen untersuchen, die weiter fortgeschritten sind als die Experimente, die wir zuvor durchgeführt haben. Insbesondere werden wir uns auf die Optionspreisgestaltung und die Nutzung von Tools aus bedingten Erwartungen konzentrieren, um die Konvergenz in Monte-Carlo-Simulationen zu verbessern. Darüber hinaus werde ich Ihnen das Konzept eines Numeraires und seine Nützlichkeit bei der Preisgestaltung von Derivaten vorstellen.
In diesem Block verwenden wir nicht nur das Konzept eines Numeraires, sondern auch das Girsanov-Theorem, um die Dynamik des Black-Scholes-Modells vom risikoneutralen Maß (Maß P) in das Maß Q umzuwandeln. Diese Transformation beinhaltet eine Änderung des zugrunde liegenden Prozesses zur geometrischen Brownschen Bewegung. Es ist wichtig zu beachten, dass Maß P mit historischen Beobachtungen verbunden ist, während Maß Q typischerweise mit der Preisgestaltung von Derivaten verknüpft ist.
Im dritten Block konzentrieren wir uns auf detaillierte Maßnahmenänderungen. Ich werde mehrere Vorteile und Tricks demonstrieren, die sich aus der Verwendung von Maßänderungen ergeben, um Abmessungen zu reduzieren und erhebliche Vorteile zu erzielen. Konzentrieren wir uns jedoch zunächst auf die folgenden vier Elemente des heutigen Vortrags und genießen Sie die Sitzung.
Zunächst werden wir unser Wissen über bedingte Erwartungen und Filterung nutzen, um die Preisgestaltung realer Optionen zu untersuchen. Konkret werden wir eine europäische Option in Betracht ziehen und untersuchen, wie bedingte Erwartungen dabei helfen können, ihren Preis zu bestimmen. Wir werden mit einer komplexeren stochastischen Differentialgleichung arbeiten, die dem Black-Scholes-Modell ähnelt, jedoch eine stochastische Volatilität aufweist. Während Black-Scholes von einer konstanten Volatilität (Sigma) ausgeht, werden wir das Modell verallgemeinern, um zeitabhängige und stochastische Volatilität einzubeziehen.
Indem wir die Turmeigenschaft der Erwartungen nutzen, können wir dieses Problem lösen und unsere Monte-Carlo-Simulationen verbessern. Anstatt Pfade direkt zu simulieren und die stochastische Volatilität (j) zufällig abzutasten, können wir eine bessere Konvergenz erreichen, indem wir bedingte Erwartungen verwenden. Durch die Konditionierung auf die Realisierung von j können wir die Black-Scholes-Preisformel für jedes j anwenden. Dieser Ansatz reduziert die Unsicherheit und korrelationsbedingte Probleme in Monte-Carlo-Simulationen erheblich.
Im nächsten Abschnitt werde ich eine genaue Darstellung der Preisgestaltung europäischer Optionen basierend auf bedingten Erwartungen und der Black-Scholes-Formel vorstellen. Dabei geht es um innere und äußere Erwartungen, wobei die innere Erwartung von einer spezifischen Realisierung von j abhängt und die Black-Scholes-Formel anwendet. Die äußere Erwartung erfordert eine Stichprobenentnahme aus j und die Verwendung der Black-Scholes-Formel für jede Stichprobe.
Um die Auswirkungen der Anwendung der Turmeigenschaft auf Erwartungen in Monte-Carlo-Simulationen zu quantifizieren, werden wir zwei Ansätze vergleichen. Der erste Ansatz ist eine Brute-Force-Monte-Carlo-Simulation, bei der wir die Erwartung direkt abtasten, ohne Informationen aus dem Black-Scholes-Modell zu nutzen. Der zweite Ansatz beinhaltet bedingte Erwartungen und die Black-Scholes-Formel. Durch den Vergleich von Konvergenz und Stabilität können wir den erheblichen Gewinn beobachten, der durch den bedingten Erwartungsansatz erzielt wird.
Ich hoffe, dass Sie diese Informationen hilfreich finden. Wenn Sie daran interessiert sind, die praktischen Aspekte bedingter Erwartungen weiter zu untersuchen, empfehle ich Ihnen, die Kapitel 3 (Stochastische Volatilität) und Kapitel 12 (Preisgestaltung für Tablets) im Buch zu lesen. Fahren wir nun mit der praktischen Demonstration dieses Ansatzes mithilfe von Python-Code fort.
Nachdem wir die Monte-Carlo-Stichproben für die Aktie und die Volatilität generiert haben, fahren wir mit dem nächsten Teil des Codes fort, in dem die Optionsauszahlungen für jede Stichprobe berechnet werden. In diesem Fall betrachten wir eine europäische Call-Option mit einem Ausübungspreis von 18. Wir können die Optionsauszahlung anhand der folgenden Gleichung berechnen:
payoff = np.maximum(stock_samples[-1] – Strike, 0)
Als nächstes berechnen wir den bedingten Erwartungswert mithilfe der Black-Scholes-Formel. Für jede Stichprobe der Volatilität berechnen wir den Optionspreis mithilfe des Black-Scholes-Modells mit dem entsprechenden Volatilitätswert:
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / Strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * Fälligkeit) / (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturity))
bedingte_Erwartung = np.mean(np.exp(-r * Reife) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - Strike * norm.cdf(d2)))
Schließlich berechnen wir den Gesamtoptionspreis, indem wir den Durchschnitt der bedingten Erwartungen über alle Volatilitätsstichproben bilden:
option_price = np.mean(conditional_expectation)
Durch die Verwendung des bedingten Erwartungsansatzes nutzen wir die Informationen aus dem Black-Scholes-Modell, um die Konvergenz der Monte-Carlo-Simulation zu verbessern. Dies führt zu genaueren Optionspreisen und verringert die Anzahl der Monte-Carlo-Pfade, die für eine zufriedenstellende Konvergenz erforderlich sind.
Es ist wichtig zu beachten, dass der hier bereitgestellte Code ein vereinfachtes Beispiel zur Veranschaulichung des Konzepts ist. In der Praxis kann es zusätzliche Überlegungen und Verfeinerungen geben, um Faktoren wie stochastische Volatilität, Zeitschritte und andere Modellannahmen zu berücksichtigen.
Insgesamt kann die Anwendung bedingter Erwartungen bei der Optionspreisgestaltung die Effizienz und Genauigkeit von Monte-Carlo-Simulationen verbessern, insbesondere wenn es um komplexe Modelle geht, die von den Annahmen des Black-Scholes-Modells abweichen.
Lassen Sie uns nun unseren Fokus auf das Thema Maßnahmenänderungen im Financial Engineering verlagern. Bei der Auseinandersetzung mit der Systemdynamik ist es manchmal möglich, die Komplexität des Preisproblems durch entsprechende Maßtransformationen zu vereinfachen. Dies ist insbesondere in der Welt der Zinssätze relevant, wo es mehrere Basiswerte mit unterschiedlichen Häufigkeiten gibt. Um einen konsistenten Rahmen zu schaffen, stützen wir uns auf Maßtransformationen, die stochastische Prozesse aus verschiedenen Maßen in ein zugrunde liegendes Maß zusammenführen.
Im Bereich der Finanzmathematik spielen Numeräre eine wichtige Rolle als handelbare Einheiten, mit denen die Preise aller handelbaren Vermögenswerte ausgedrückt werden. Ein Numeraire ist die Einheit, in der der Wert von Vermögenswerten ausgedrückt wird, beispielsweise von Äpfeln, Anleihen, Aktien oder Geldsparkonten. Indem wir Preise als Numeraire ausdrücken, schaffen wir einen einheitlichen Rahmen für die Übertragung von Waren und Dienstleistungen zwischen verschiedenen Gegenparteien.
In der Vergangenheit wurden Vermögenswerte häufig in Gold oder anderen Zahlen ausgedrückt. Die Wahl eines geeigneten Numerärs kann die Komplexität finanztechnischer Probleme erheblich vereinfachen und verbessern. Die Arbeit mit Martingalen, das sind Prozesse ohne Drift, ist im Finanzwesen besonders günstig, da sie einfacher zu handhaben sind als Prozesse mit Drift.
Verschiedene Maßnahmen sind mit spezifischen Dynamiken von Prozessen und handelbaren Vermögenswerten verbunden. Häufige Fälle sind die risikoneutrale Kennzahl im Zusammenhang mit Geldsparkonten, die T-Forward-Kennzahl im Zusammenhang mit Nullkuponanleihen und die Kennzahl im Zusammenhang mit Aktien als Numeraires. Maßänderungen bieten eine Möglichkeit, zwischen Maßen zu wechseln und von den Eigenschaften verschiedener Prozesse zu profitieren. Der Satz von Girsanov ist ein entscheidendes Werkzeug für Maßtransformationen, das es uns ermöglicht, unter bestimmten Bedingungen von einem Maß zum anderen zu wechseln.
Während die theoretischen Aspekte von Maßänderungen komplex sein können, konzentriert sich dieser Kurs auf praktische Anwendungen und die Anwendung der Theorie auf reale Probleme. Die wichtigste Erkenntnis besteht darin, zu verstehen, wie Maßänderungen und Martingale als Werkzeuge zur Vereinfachung und effektiven Lösung finanztechnischer Probleme eingesetzt werden können.
Es ist wichtig zu beachten, dass Maßänderungen leistungsstarke Werkzeuge sind, die uns helfen können, Prozesse ohne Drift zu bewältigen, sogenannte Martingale. Indem wir das Maß entsprechend ändern, können wir die Drift aus einem Prozess beseitigen und das vorliegende Problem vereinfachen. Dies ist besonders nützlich, wenn es um stochastische Zinssätze und Aktiendynamiken geht.
Es ist jedoch erwähnenswert, dass Maßänderungen möglicherweise nicht immer machbar sind oder zu einfacheren Problemen führen. Manchmal kann die Dynamik bestimmter Variablen, beispielsweise der Varianz, auch nach Beseitigung der Drift komplex bleiben. Dennoch,
Im Allgemeinen vereinfacht das Entfernen der Drift durch Maßänderungen das Problem.
Die Arbeit mit Martingalen ist günstig, da driftfreie stochastische Differentialgleichungen einfacher zu handhaben sind als solche mit Drift. Durch die Identifizierung geeigneter Numeräre und die Durchführung von Maßänderungen können wir die Komplexität effektiv reduzieren und unsere Simulationstechniken verbessern.
Maßänderungen ermöglichen es uns, zwischen Maßen zu wechseln und von den Eigenschaften von Martingalen zu profitieren. Das Verstehen und Anwenden von Kennzahlenänderungen ist eine wertvolle Fähigkeit, die die Preisgestaltung und Analyse von Finanzinstrumenten erheblich vereinfachen kann.
Lassen Sie uns nun tiefer in das Konzept der Maßänderungen und ihre praktische Anwendung in der Finanzmathematik eintauchen. Die Formel zur Maßtransformation, die wir zuvor besprochen haben, kann wie folgt geschrieben werden:
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
Diese Formel ermöglicht es uns, von einem Maß, Qa, zu einem anderen Maß, Qb, zu wechseln. Dabei kommt ein spezifischer Prozess zum Einsatz, der als „Numeraire-Prozess“ bezeichnet wird und mit yₛ und dem Wiener-Prozess Wₛ bezeichnet wird.
Der Satz von Girsanov besagt, dass diese Maßtransformation unter bestimmten Bedingungen, beispielsweise der Integrierbarkeitsbedingung des Exponentialterms, gültig ist. Durch Anwenden dieser Transformation können wir das Maß von Qa in Qb und umgekehrt ändern.
In praktischen Anwendungen werden Maßänderungen verwendet, um reale Probleme in der Finanzmathematik zu vereinfachen und zu lösen. Sie ermöglichen es uns, die Dynamik stochastischer Prozesse zu transformieren und die Eigenschaften von Martingalen zu nutzen.
Durch die richtige Auswahl von Numerären und die Durchführung von Maßänderungen können wir die Drift aus einem Prozess beseitigen und das vorliegende Problem vereinfachen. Diese Vereinfachung ist besonders vorteilhaft, wenn es um komplexe Modelle mit stochastischen Zinssätzen und Aktiendynamiken geht.
Es ist wichtig zu beachten, dass Maßänderungen nicht immer zu einfacheren Problemen führen müssen. Manchmal können bestimmte Variablen, wie z. B. die Varianz, auch nach Beseitigung der Drift immer noch eine komplexe Dynamik aufweisen. Im Allgemeinen stellen Kennzahlenänderungen jedoch ein leistungsstarkes Werkzeug zur Vereinfachung und Lösung finanztechnischer Probleme dar.
In diesem Kurs liegt unser Fokus auf der praktischen Anwendung von Maßänderungen in realen Szenarien. Wir werden untersuchen, wie wir die Vorteile von Maßänderungen und Martingalen nutzen können, um komplexe Probleme in der Finanzmathematik zu vereinfachen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Maßänderungen eine entscheidende Rolle in der Finanzmathematik spielen, da sie es uns ermöglichen, zwischen Maßen zu wechseln und die Eigenschaften von Martingalen zu nutzen. Durch das Verständnis und die Anwendung von Maßänderungen können wir die Preisgestaltung und Analyse von Finanzinstrumenten vereinfachen, unsere Simulationstechniken verbessern und komplexe Modelle effektiver angehen.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 3/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 3/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)
Im Anschluss an die Vorlesung vertieft sich der Dozent weiter in das Thema Maßnahmenänderungen und deren praktische Anwendung im Finanzwesen. Sie beginnen mit einer Auffrischung des Girizanov-Theorems und des Konzepts eines Bestandsmaßes. Durch die Schaffung einer Grundlage schafft der Dozent die Voraussetzungen für die Untersuchung, wie Maßänderungen die Dimensionalität in Finanzmodellen wirksam reduzieren können.
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf dem Übergang von einer risikoneutralen Maßnahme zu einer durch den Aktienwert getriebenen Geldsparkontomaßnahme. Dieser Übergang wird durch die Nutzung des Verhältnisses der beiden Maße erreicht und der Vorgang wird in einfachen Worten erklärt. Der Schwerpunkt liegt auf der Wichtigkeit, den ausgewählten Vermögenswert in derselben Einheit wie andere Vermögenswerte im eigenen Portfolio auszudrücken, was durch Maßänderungen erreicht werden kann. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Diskussion der Auszahlungsfunktion, bei der der Erwartungswert unter dem zugehörigen Maß als Integral über eins dividiert durch das Maß ausgedrückt wird. Dieses Ergebnis bietet eine Möglichkeit, die gewünschte Abfrage zu finden. Die Vorlesung schließt mit der Vorstellung der Substitutionsmethode, die zum Erhalten des endgültigen Termes verwendet wird, und veranschaulicht so die Praktikabilität von Maßänderungen.
Im weiteren Verlauf untersucht der Redner die Vereinfachung der Auszahlung und geht auf die Dynamik der Aktie unter der neuen Kennzahl ein. Der Wert von t0 wird als Erwartungswert bei Messungen des maximalen st minus k 0 angegeben, wodurch eine neue Martingalmethode eingeführt wird. Das Konzept des Martingal-Ansatzes wird erläutert, wobei betont wird, wie wichtig es ist, alles durch den Aktienprozess zu dividieren, um die Bedingungen für ein Martingal zu erfüllen. Der Diskontierungsprozess wird hervorgehoben, wobei der Schwerpunkt auf seinen Vorteilen bei der Vereinfachung der Dynamik im Rahmen der neuen Maßnahme liegt. Die Dynamik lässt sich aus dem Verhältnis von mtst als Martingal ableiten. Darüber hinaus unterstreicht der Redner die Notwendigkeit, die Varianz und die gemessene Transformation unter dem neuen Maß zu bestimmen, um die Vorteile des Martingal-Ansatzes effektiv nutzen zu können.
Ergänzend zur Vorlesung erklärt der Dozent, wie das gleiche Vorgehen wie im Black-Scholes-Fall auf Nicht-Martingal-Prozesse angewendet werden kann. Indem man eine Reihe notwendiger Bedingungen befolgt, kann man Kennzahltransformationen nutzen, um die Dynamik eines neuen Prozesses abzuleiten und die Erwartungen an eine neue Kennzahl zu bestimmen. Die Bedeutung der Berücksichtigung von Drift- und Volatilitätskorrekturen, die sich aus dieser Transformation ergeben, wird bei der Umsetzung beider Prozesse im Rahmen der ursprünglichen und der neuen Maßnahme betont. Letztendlich vereinfacht sich die Berechnung zu einem eleganten Ausdruck, der einen einzelnen logarithmischen Normalprozess unter dem neuen Maß umfasst.
Darüber hinaus stellt der Dozent ein zweidimensionales System stochastischer Differentialgleichungen S1 und S2 sowie einen mit einem Geldsparkonto verbundenen Auszahlungswert vor, der nur auszahlt, wenn S2 ein bestimmtes Niveau erreicht. Um diese komplexe Erwartung zu berechnen, ist die gemeinsame Verteilung zwischen den beiden Beständen erforderlich. Es kommt eine Maßtransformation zum Einsatz, die das Girsanov-Theorem nutzt, um den Erwartungswert in einer eleganten Form zu finden. Der Dozent erklärt den Prozess, wobei S1 als Zähler gewählt und die zufällige Numeraire-Ableitung identifiziert wird. Die Vorlesung unterstreicht auch die Bedeutung der Ableitung aller notwendigen Maßänderungen und untersucht die möglichen Auswirkungen auf die Beziehungen zwischen Brownschen Bewegungen in verschiedenen Maßen. Der Dozent betont die Bedeutung der Kennzahlentransformation für die elegante und wirkungsvolle Preisgestaltung komplexer Finanzinstrumente.
Im Anschluss an den Vortrag erläutert der Redner die gemessene Transformation für das zufällige Nikotinderivat und betont die Bedeutung einer Vereinfachung der Auszahlung. Die Formel für die Gleichung wird erklärt, zusammen mit dem entsprechenden Maß, das gefunden werden muss, um Terme aufzuheben. Die Dynamik der Geldsparanleihe und ihre Drift- und Volatilitätskoeffizienten werden nach Anwendung des Ethos-Lemmas diskutiert. Bei dieser Transformation erweist sich das Korrelationselement als vernachlässigbar. Der Redner betont auch die Bedeutung der Beziehung zwischen S2 und S1 in Bezug auf die Ethostabelle.
Der Redner verlagert seinen Fokus und erörtert die Dynamik zweier Bestandsprozesse im Rahmen der S1-Maßtransformation, bei der es um die Ersetzung einer neuen Kennzahl geht.
Unter der S1-Maßtransformation erklärt der Sprecher, dass der erste Bestandsprozess immer noch einer logarithmischen Normalverteilung folgt, jedoch mit einem zusätzlichen Term in der Drift. Ebenso weist der zweite Bestandsprozess aufgrund der Korrelation zwischen den beiden Prozessen einen zusätzlichen Term auf. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die Variablen vom einfachsten zum fortgeschrittensten zu ordnen und empfiehlt die Verwendung der Cholesky-Zerlegung als Technik zur Vereinfachung stochastischer Differentialgleichungen. Durch die Nutzung der logarithmischen Normaleigenschaften kann die Wahrscheinlichkeitsauswertung effektiv gelöst werden.
Der Dozent erweitert den Umfang der Vorlesung und geht auf Nullkuponanleihen ein, bei denen es sich um grundlegende Derivate im Zinsbereich handelt. Nullkuponanleihen haben eine einfache Auszahlung – einen einzelnen Wert, der bei Fälligkeit erhalten wird – und sind daher leicht zu verstehen und zu verwenden. Darüber hinaus dienen sie als entscheidende Bausteine für die Preisgestaltung komplexerer Derivate. Es wird darauf hingewiesen, dass in bestimmten Fällen der Wert einer Anleihe zu Beginn größer als eins sein kann, was auf negative Zinssätze hindeutet. Negative Zinssätze können aus Zentralbankinterventionen zur Erhöhung der Liquidität resultieren, ihre Wirksamkeit bei der Stimulierung der Ausgaben bleibt jedoch umstritten. Der Dozent betont, dass Nullkuponanleihen eine entscheidende Rolle bei der Veränderung der Zinssätze in der Zinswelt spielen.
Darüber hinaus geht der Dozent auf die Bedeutung der Umstellung des Maßes auf das Forward-Maß bei der Betrachtung von Nullkuponanleihen ein. Durch die Anwendung des fundamentalen Preissatzes und der generischen Preisgleichung kann der aktuelle Wert einer Nullkuponanleihe abgeleitet werden. Die Preisgleichung beinhaltet die Erwartung einer abgezinsten Auszahlung, die bei einer Nullkuponanleihe gleich eins ist. Der Dozent betont, dass Zinssätze stochastisch sind und erörtert, wie der stochastische Abschlag aus der Gleichung eliminiert werden kann, indem das Maß auf das T-Forward-Maß umgestellt wird. Der Abschnitt endet mit einer Erläuterung, wie ein Rubel-Code-Derivat modelliert werden kann und wie sich die Preisgleichung vom risikoneutralen Maß zum T-Forward-Maß verschiebt.
Darüber hinaus betont der Professor die Bedeutung der Änderung von Maßnahmen und der Reduzierung der Dimensionalität in Preismodellen im Finanzwesen. Durch die Umstellung auf Preise nach dem T-Forward-Maß und die Eliminierung der Spezifität aus dem Abzinsungsfaktor können Praktiker Maßnahmen zur Maßänderung als leistungsstarke Werkzeuge in ihrem täglichen Betrieb nutzen. Die Vorlesung fasst das Konzept der Filterung und ihre Beziehung zu bedingten Erwartungen zusammen und betont, wie diese Werkzeuge komplexe Probleme im Finanzwesen vereinfachen können.
Um die Schüler einzubeziehen und ihr Verständnis zu festigen, stellt der Dozent drei Übungen vor. Die erste Übung umfasst die Implementierung einer analytischen Lösung zur Preisgestaltung von Put-Optionen und stellt sicher, dass der Code Zinssätze in Python berücksichtigt. Die zweite Übung weitet die Preisgestaltung auf Put-Optionen aus und bietet die Möglichkeit, deren Wirksamkeit zu beurteilen. Abschließend müssen die Schüler den analytischen Ausdruck mit dem Monte-Carlo-Simulationsergebnis für den quadratischen Bestandsausdruck auf Folie 24 vergleichen. Diese Übung verdeutlicht die Vorteile und wesentlichen Unterschiede bei der Anwendung von Maßtransformationen.
Die Vorlesung bietet eine umfassende Untersuchung von Maßnahmenänderungen und ihren Anwendungen im Finanzwesen. Es behandelt Themen wie den Wechsel von Maßnahmen, die Vereinfachung von Auszahlungen, die Dynamik unter neuen Maßnahmen, die Transformation von Prozessen sowie die Bedeutung von Nullkuponanleihen und Zinssätzen. Durch die Nutzung von Maßtransformationen können Praktiker ihre Preismodelle verbessern, Berechnungen vereinfachen und wertvolle Einblicke in komplexe Finanzinstrumente gewinnen.