Quantitativer Handel - Seite 17
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Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 14.11., Teil 1/2, (Marktmodelle und Konvexitätsanpassungen)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 14.11., Teil 1/2, (Marktmodelle und Konvexitätsanpassungen)
In dieser Vorlesung liegt der Fokus vor allem auf dem Bibliotheksmarktmodell und seinen Erweiterungen, insbesondere der stochastischen Volatilität. Das Bibliotheksmarktmodell zielt darauf ab, einzelne Maße der Libor-Sätze zu einem einheitlichen und konsistenten Maß zur Bewertung von Derivatepreisen zu konsolidieren. Nachdem er einen Überblick über die Geschichte und die Spezifikationen des Modells gegeben hat, befasst sich der Redner mit der Ableitung des Modells und untersucht beliebte Optionen wie logarithmische Normalität und stochastische Volatilität.
Das zweite behandelte Thema ist die Konvexitätskorrektur, bei der es um die Definition und Modellierung dieser Anpassungen geht. In der Vorlesung geht es darum, wann Konvexitätskorrekturen auftreten, wie man sie identifiziert und welche Relevanz sie für die Bewertung von Derivaten haben, die Konvexitätsanpassungen beinhalten.
Der Dozent betont die Bedeutung von Marktmodellen und Konvexitätsanpassungen im Bereich Financial Engineering. Marktmodelle bieten leistungsstarke Lösungen für verschiedene komplexe Probleme, insbesondere bei der Preisgestaltung exotischer Derivate mit komplizierten Auszahlungsstrukturen. Allerdings können diese Modelle umständlich und teuer sein. Dennoch wurden das Libor-Marktmodell oder Marktmodelle im Allgemeinen für die Bewältigung solcher Komplikationen entwickelt, insbesondere bei der Preisgestaltung exotischer Derivate, die von mehreren Libor-Sätzen abhängig sind.
Darüber hinaus untersucht die Vorlesung die Entwicklung einer einheitlichen Messgröße zur Einbeziehung mehrerer Libor-Sätze, einer entscheidenden Voraussetzung für eine genaue Preisgestaltung. Die eingesetzte Maschinerie beruht auf Techniken der großen Veränderung und der mit Nullkuponanleihen verbundenen Vorwärtsmaßnahme. Obwohl in einigen Fällen geschlossene Lösungen möglich sind, ist die Maschinerie selbst komplex und mehrdimensional.
Der Redner erörtert den Rahmen für die Definition von Zinsmodellen und betont die Bedeutung der Festlegung von Drift- und Volatilitätsbedingungen, um sicherzustellen, dass das Modell klar definiert und frei von Arbitragemöglichkeiten ist. Die Bewertung komplexer festverzinslicher Produkte, einschließlich exotischer Derivate, erfordert aufgrund ihrer Abhängigkeit von mehreren Bibliotheken fortgeschrittene Modelle, die es unmöglich machen, sie in unabhängige Zahlungen zu zerlegen. Um dieses Problem anzugehen, wird das Libor-Marktmodell eingeführt, das mit einem praktischen Ansatz entwickelt wurde, um die Konsistenz mit Marktpraktiken und bestehenden Preismethoden für Swaptions oder Optionen auf Bibliotheken aufrechtzuerhalten. Dieses Modell ermöglicht eine erweiterte Bewertung und ist Arbitrage-frei, was es für die Preisgestaltung komplexer festverzinslicher Produkte unverzichtbar macht.
Der Vortrag betont die Bedeutung des BGM-Modells (Brace Gatarek Musiela), das die Preisgestaltung exotischer Derivate revolutioniert hat. Aufbauend auf bestehenden Marktgrundlagen führte das BGM-Modell zusätzliche Elemente ein, die es ihm ermöglichten, weithin als Marktpraxis für die Preisgestaltung von Derivaten akzeptiert zu werden, die an mehrere Bibliotheken und komplexe Volatilitätsstrukturen gebunden sind. Monte-Carlo-Simulationen werden häufig verwendet, um die am BGM-Modell beteiligten Prozesse zu trennen, da der Umgang mit mehreren Libor-Sätzen unter verschiedenen Maßstäben Herausforderungen mit sich bringt. Das Modell zielt darauf ab, eine Arbitrage-freie Dynamik für die Libor-Sätze bereitzustellen und die Preisgestaltung für Caplets und Florets auf ähnliche Weise wie die durch die Black-Scholes-Formel festgelegte Marktkonvention zu ermöglichen. Während das BGM-Modell diesen grundlegenden Block vereinfacht, bietet es zusätzliche Funktionen, um die Preisgestaltung exotischer Derivate zu erleichtern.
Der Redner erläutert anschließend den Prozess zur Erlangung von Bibliothekszinsen, indem er einen Forward Zero Bond als Refinanzierungsstrategie zwischen dem Zeitpunkt t1 und dem Zeitpunkt d2 definiert. Verschiedene Überlegungen wie Rücksetztermine, Rücksetzverzögerung und Zahlungsverzögerung müssen berücksichtigt werden, da Unstimmigkeiten zwischen Produktzahlung und Rabattierung Konvexitätsanpassungen erfordern. Im weiteren Verlauf befasst sich die Vorlesung mit der Spezifikation eines mehrdimensionalen Libor-Marktmodells, beginnend mit der Bestimmung der erforderlichen Anzahl von Libor-Sätzen.
Die Vorlesung untersucht die Struktur stochastischer Differentialgleichungen für ein System von Libor-Sätzen über die Zeit. Mit fortschreitender Zeit nimmt die Dimensionalität des Systems ab, da bestimmte Libor-Sätze an bestimmten Punkten festgelegt werden. Der Referent betont die Bedeutung der Korrelationsstruktur zwischen den Libor-Sätzen und ihrer Parametrisierung, um eine positiv-definite Korrelationsmatrix sicherzustellen. In der Vorlesung wird auch die Rolle des Forward Measures und von Nullkuponanleihen bei der Definition von Martingalen erwähnt.
Als Martingale werden handelbare Vermögenswerte und Nullkuponanleihen eingeführt. Der Libor-Satz, L(T) und TI-1 gelten unter bestimmten Bedingungen als Martingale. Als Treiber der Brownschen Bewegung werden die Funktionen σ(i) und σ(j) eingeführt, die unter einem konsistenten Maß definiert werden müssen. Die Vorlesung unterstreicht die Notwendigkeit der Konsistenz zwischen dem Erwartungsmaß und dem Brownschen Bewegungsmaß, das zur Bewertung von Ausdrücken verwendet wird. Das Libor-Marktmodell, auch BGM-Modell genannt, kombiniert einzelne Sätze gemäß Marktpraktiken, die aus Black-Scholes-Modellen abgeleitet sind, und dient als zentraler Punkt im Rahmen des Modells.
Die Vorlesung befasst sich mit dem Konzept des Libor-Marktmodells, das mehrere stochastische Differentialgleichungen verwendet, um verschiedene Prozesse unter einem konsistenten Vorwärtsmaß zu vereinen. Jeder Libor-Satz fungiert für sich genommen als Martingal. Wenn jedoch die Maße für jeden Libor-Satz geändert werden, wirkt sich dies auf die Dynamik und den Drift-Term aus. Das entscheidende Element des Libor-Marktmodells liegt in der Bestimmung des Übergangs der Drift und ihres Verhaltens, wenn sich die Maße für jeden Libor-Satz ändern. Dieser Driftbegriff kann komplex sein, und in der Vorlesung werden zwei gängige Möglichkeiten zur Auswahl des Endmaßes oder des Spotmaßes für die Preisgestaltung von Derivaten erörtert. Darüber hinaus untersucht die Vorlesung die Beziehung zwischen dem Libor-Marktmodell und anderen Modellen wie AJM (Andersen-Jessup-Merton), Brace Gatarek Musiela Model und HJM (Heath-Jarrow-Morton) und bietet Einblicke in deren Zusammenhänge. Auch die Nutzung der Full-Wide-Volatilität für den momentanen Terminzinssatz im Libor-Marktmodell wird untersucht.
Der Vortrag befasst sich mit der Beziehung zwischen dem momentanen Terminkurs und dem Libor-Satz und betont deren starke Korrelation, insbesondere wenn sich die beiden Zeitpunkte einander annähern und ein laufender Index vorliegt. Der Prozess der Änderung des Maßes von i zu j und das Finden des Driftterms durch Maßtransformationen wird ausführlich erklärt. Die Vorlesung unterstreicht, wie wichtig es ist, die in den vorherigen Vorlesungen behandelten Konzepte zu verstehen, um die Vielfalt der in den letzten beiden Vorlesungen erforderlichen Werkzeuge und Simulationen zu verstehen.
Der Dozent befasst sich mit Maßtransformationen und der Dynamik des Libor-Zinssatzes unter verschiedenen Maßstäben. Durch die Anwendung des Girsanov-Theorems und entsprechende Substitutionen wird eine Gleichung abgeleitet, die die Maßtransformation von i-1 nach i oder umgekehrt darstellt. Diese Gleichung dient als Grundlage für die Darstellung des LIBOR-Zinssatzes unter verschiedenen Maßstäben. Der Vortrag unterstreicht die Bedeutung der Auswahl des geeigneten Spot- oder Terminalmaßes für eine genaue Derivatepreisgestaltung.
In der Vorlesung wird außerdem der Prozess der Anpassung der Drift für unterschiedliche Libor-Sätze innerhalb des Marktmodells erläutert, um die Konsistenz mit der Endmessgröße sicherzustellen. Bei der Anpassung werden alle notwendigen Anpassungen der Libor-Sätze zwischen dem ersten und dem letzten Zinssatz bis zum Erreichen des Endmaßes akkumuliert. Der Übergang von einer Messgröße zur anderen kann iterativ abgeleitet werden, und der Prozess der Anpassung der Drift ist für das Libor-Marktmodell von zentraler Bedeutung. Eine Herausforderung ergibt sich jedoch bei der Endmessung, bei der der kürzeste Zeitraum, der der Gegenwart am nächsten liegt, stochastischer wird, da er alle nachfolgenden Prozesse umfasst, was möglicherweise nicht intuitiv erscheint. Nichtsdestotrotz funktioniert das Libor-Marktmodell in erster Linie unter der Spot-Maßnahme als Konsensstandard, es sei denn, eine bestimmte Auszahlung ist für die Terminal-Maßnahme vorgesehen.
Der Redner geht auf bestimmte Probleme des Bibliotheksmarktmodells ein, insbesondere auf die mangelnde Kontinuität in Bezug auf die Zeiten zwischen dem festgelegten Tenorraster. Um dieses Problem anzugehen, stellt der Redner die Strategie vor, ein diskretes dreidiskretes neu ausgeglichenes Geldsparkonto zu verwenden, um das Spotmaß für das Bibliotheksmarktmodell zu definieren. Bei dieser Strategie wird beobachtet, wie sich eine heute investierte Währungseinheit angesichts der bestehenden Tenderstruktur von Nullkuponanleihen ansammeln kann. Die Strategie wird nicht zum Zeitpunkt t0, sondern zum Zeitpunkt t1 definiert und beinhaltet den Kauf einer Anleihe zum Zeitpunkt t1, den Erhalt des aufgelaufenen Betrags bei Fälligkeit und die Reinvestition in die zweite Anleihe zum Zeitpunkt t2.
In der Vorlesung wird das Konzept der Aufzinsung innerhalb einer diskreten Intervallstruktur erläutert, die eine Investition in Nullkuponanleihen bei gleichzeitiger Reinvestition der erhaltenen Beträge in neue Anleihen ermöglicht. Das Produkt aller Komponenten der Nullkuponanleihe definiert den Betrag, den der Anleger zu einem bestimmten Zeitpunkt erhalten würde. Der kumulierte Betrag kann kontinuierlich durch Abzinsung vom letzten Punkt im Raster bis zum aktuellen Punkt definiert werden. Die Vorlesung stellt das Konzept des Spot-Libor-Maßes vor, das es dem laufenden Zähler ermöglicht, von einem ti-Maß auf ein tm-Maß umzuschalten. Darüber hinaus wird das Konzept von mt als Minimum i eingeführt, sodass ti größer als t ist, wodurch eine Verbindung zwischen t und der nächsten Bindung hergestellt wird.
Im weiteren Verlauf erklärt der Redner den Prozess der Definition der Maßtransformation vom M_t-Maß zum M_t+1-Maß. Dies wird durch den Einsatz des Radon-Nikodym-Derivats erreicht. Die Vorlesung befasst sich mit der Dynamik für Lambda und Psi, die die Maßtransformation und den Zusammenhang zwischen Brownschen Bewegungen unter t und n bestimmt. Abschließend stellt der Referent die endgültige Darstellung des Bibliotheksmarktmodells vor, die den zuvor diskutierten Maßtransformationen in Modellen wie dem Marktmodus sehr ähnelt.
Als nächstes konzentriert sich die Vorlesung auf die Dynamik des Libor-Marktmodells, insbesondere auf seine Anwendung bei der Preisgestaltung fortgeschrittener und komplexer exotischer Produkte im Zinsbereich. Das Modell stellt ein hochdimensionales Problem mit einer komplexen Drift dar, die mehrere Libor-Sätze umfasst, was seine Umsetzung zu einer Herausforderung macht. Das Modell dient jedoch als wertvolles Werkzeug zur Problemlösung. In der Vorlesung werden Erweiterungen des Modells zur Einbeziehung von Volatilitätslächeln untersucht und die Auswahl des stochastischen Volatilitätsprozesses unter Beibehaltung der Dynamik des Modells so vereinfacht wie möglich erörtert. Es wird darauf hingewiesen, dass die logarithmische Normalität des Modells nur unter dem Randmaß existiert und eine Summierung verschiedener unabhängiger Prozesse beinhaltet, was darauf hindeutet, dass es im allgemeinen Fall nicht logarithmisch normal ist.
Die Vortragsreihe zum Libor-Marktmodell und seinen Erweiterungen, insbesondere zur stochastischen Volatilität, befasst sich mit verschiedenen Aspekten des Modellrahmens. Es umfasst die Vereinheitlichung einzelner Libor-Sätze zu einem konsistenten Maß, die Ableitung des Modells unter Verwendung gängiger Optionen wie logarithmischer Normalität und stochastischer Volatilität sowie das Konzept der Konvexitätskorrekturen für die Preisgestaltung von Derivaten. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, Maßtransformationen und Dynamiken unter verschiedenen Maßen zu verstehen und geeignete Punkt- oder Endmaße auszuwählen. Die Fähigkeit des Modells, mit komplexen festverzinslichen Produkten umzugehen, seine Beziehung zu anderen Marktmodellen sowie seine Dynamik und Herausforderungen werden eingehend untersucht. Durch das Verständnis dieser Konzepte und Instrumente können Finanzingenieure exotische Derivate effektiv bewerten und sich in den Feinheiten der Zinswelt zurechtfinden.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 14.11., Teil 2/2, (Marktmodelle und Konvexitätsanpassungen)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 14.11., Teil 2/2, (Marktmodelle und Konvexitätsanpassungen)
Die Vortragsreihe zum Libor-Marktmodell und seinen Erweiterungen mit stochastischer Volatilität vermittelt ein umfassendes Verständnis des Rahmenwerks des Modells und seiner Anwendungen im Financial Engineering. Der Redner betont, wie wichtig es ist, Maßtransformationen und Dynamiken unter verschiedenen Maßen zu berücksichtigen und geeignete Spot- oder Endmaße auszuwählen. Die logarithmische Normalannahme im Modell wird zusammen mit ihren Einschränkungen und den Herausforderungen beim Umgang mit stochastischer Volatilität diskutiert.
Eines der behandelten Schlüsselthemen ist das Konzept der Konvexitätsanpassungen, die notwendig sind, um Zahlungsverzögerungen oder Inkongruenzen bei Finanzinstrumenten zu berücksichtigen. Der Dozent erläutert die Herausforderungen, die sich bei der Einbeziehung der Libor-Dynamik in die Varianzdynamik ergeben, und diskutiert mögliche Lösungsansätze, wie beispielsweise die Festlegung von Korrelationen zwischen Libor und Volatilität. Der Dozent warnt jedoch davor, dass diese Lösungen möglicherweise nicht realistisch oder nicht gut auf die impliziten Volatilitätsdaten des Marktes abgestimmt sind.
Um diese Herausforderungen anzugehen, stellt der Dozent das Konzept des Displaced Diffusion Stochastic Volatility Model vor, das einen besseren Ansatz für die Modellierung der stochastischen Volatilität im Libor-Marktmodell bietet. Durch die Verwendung eines stochastischen Volatilitätsprozesses und einer Verschiebungsmethode kann das Modell die Verteilung von Prozesswerten ändern und gleichzeitig die Smile- und Skew-Eigenschaften beibehalten. Der Dozent erklärt, wie der durch die Betafunktion gesteuerte Verschiebungsfaktor die Interpolation zwischen Anfangs- und Prozesswert bestimmt. Die Unabhängigkeit des Varianzprozesses wird durch die Annahme einer Nullkorrelation zwischen der Varianz und der Libor-Dynamik erreicht.
Die Vorlesung befasst sich außerdem mit der Implementierung und Kalibrierung des stochastischen Volatilitätsmodells mit verlagerter Diffusion. Der Dozent zeigt, wie man die Dynamik des Modells mit der Darstellung des Mastermodells, einem Sonderfall des Hassle-Modells, verknüpft. Die Vorteile der Verwendung dieses Modells zur Kalibrierung werden diskutiert, wobei die einfache Kalibrierung jedes Libors unter seinem eigenen Maß ohne zusätzliche Driftkorrekturen hervorgehoben wird. Der Dozent beleuchtet außerdem den Einfluss von Beta und Sigma auf die implizite Volatilitätsform und erklärt, wie das Modell zur Preisgestaltung an das Hassle-Modell übergeben werden kann.
Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Frage der Konvexitätsanpassungen im Libor-Marktmodell. Der Dozent erklärt, wie man den Anfangswert und die Volatilität eines stochastischen Volatilitätsprozesses mit verschobener Diffusion anpasst, um der Marktkonvexität Rechnung zu tragen. Eine neue Variable wird eingeführt und es werden ständige Korrekturen und Anpassungen an den Verschiebungs- und Libor-Termen vorgenommen. Der resultierende Prozess ist ein stochastischer Volatilitätsprozess mit verschobener Diffusion, der die Marktkonvexität berücksichtigt.
Die Vorlesungsreihe geht auch auf die Freezing-Technik ein, die zur Fixierung der Stochastik von Variablen und zur Vereinfachung von Modellen eingesetzt wird. Der Dozent warnt jedoch vor den möglichen Fallstricken bei der Verwendung dieser Technik und betont, wie wichtig es ist, das Modell genau auf Marktdaten abzustimmen.
Um die besprochenen Konzepte zu vertiefen, wird die Vorlesungsreihe mit mehreren Hausaufgaben abgeschlossen. Diese Aufgaben umfassen Übungen zur Berechnung von Konvexitätsanpassungen, zur Bestimmung von Korrelationsmatrizen und zur Untersuchung verschiedener Modellspezifikationen.
Die Vortragsreihe bietet eine gründliche Untersuchung des Libor-Marktmodells, seiner Erweiterungen mit stochastischer Volatilität sowie der Herausforderungen und Techniken, die mit der Implementierung und Kalibrierung des Modells für die Preisgestaltung und das Risikomanagement im Zinsbereich verbunden sind.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 1/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 1/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
In der Vorlesung wird das Konzept des xVA als Bewertungsanpassung vorgestellt, die für Banken insbesondere im Zusammenhang mit der Preisgestaltung exotischer Derivate von erheblicher Bedeutung ist. Der Dozent befasst sich mit den Feinheiten der Expositionsberechnungen und der potenziellen zukünftigen Exposition und betont deren entscheidende Rolle für ein effektives Risikomanagement. Darüber hinaus untersucht die Vorlesung die erwartete Exposition, die als Verbindung zwischen den zur Expositionsberechnung verwendeten Maßen und vereinfachten Fällen zur Berechnung von xVA dient. Es werden praktische Beispiele zu Zinsswaps, FX-Produkten und Aktien bereitgestellt, und es wird eine Python-Implementierung zum Generieren mehrerer Realisierungsbeispiele aus stochastischen Differentialgleichungen angeboten.
Das Video befasst sich mit dem Bereich des Kontrahenten-Kreditrisikos und seiner Beziehung zu xVA. Es wird erläutert, wie sich die Einbeziehung der Ausfallwahrscheinlichkeit der Gegenpartei auf die Preisgestaltung und Bewertung von Derivaten auswirkt. Während das Konzept der risikoneutralen Messung bereits in früheren Vorträgen diskutiert wurde, wird der Anwendungsbereich nun erweitert und umfasst einen breiteren Rahmen, der Risiken wie die Kreditwürdigkeit der Gegenpartei einbezieht. Um das Konzept des Kontrahenten-Kreditrisikos und seinen Einfluss auf die Preisgestaltung zu veranschaulichen, wird ein einfaches Beispiel eines Zinsswaps vorgestellt.
Im Video wird ein Szenario mit einer Swap-Transaktion besprochen, bei dem es auf dem Markt zu einer Verschiebung kam, die aufgrund eines Anstiegs der Float-Zinssätze zu einem positiven Wert für den Kontrakt führte. Allerdings ist auch die Ausfallwahrscheinlichkeit des Kontrahenten gestiegen, was zu einem „Wrong-Way“-Risiko führt, da sich sowohl das Risiko als auch die Ausfallwahrscheinlichkeit erhöht haben. Das Video betont die Notwendigkeit, dieses zusätzliche Risiko in Bewertungsanpassungen einzubeziehen, worauf in den folgenden Abschnitten näher eingegangen wird.
Der Dozent erläutert die mit Ausfallsituationen verbundenen Risiken und zeigt auf, welche regulatorischen Anforderungen Finanzinstitute berücksichtigen müssen. Das Kontrahentenkreditrisiko (CCR) entsteht, wenn ein Kontrahent seinen Verpflichtungen nicht nachkommt und steht in direktem Zusammenhang mit dem Ausfallrisiko. Wenn die Gegenpartei vor Vertragsablauf ausfällt und die erforderlichen Zahlungen nicht leistet, spricht man vom Issuer Risk (ISR). Solche Zahlungsausfälle können zum Verlust potenzieller künftiger Gewinne führen, wodurch das Finanzinstitut gezwungen wird, erneut in den Swap einzusteigen und sich dadurch weiteren Risiken aussetzt. Insgesamt müssen Finanzinstitute diese Risiken berücksichtigen, da sie die Bewertung von Derivaten erheblich beeinflussen.
Das Video befasst sich mit den Auswirkungen von Ausfallwahrscheinlichkeiten auf die Bewertung von Derivatkontrakten. Der Referent erklärt, dass ein Derivatkontrakt mit einer ausfallgefährdeten Gegenpartei aufgrund des zusätzlichen Risikos, das im Derivatpreis berücksichtigt werden muss, im Vergleich zu einem Vertrag mit einer risikofreien Gegenpartei einen geringeren Wert hat. Die Finanzkrise von 2007 wird als Katalysator für Veränderungen in der Risikowahrnehmung angeführt, darunter auch Veränderungen bei den Ausfallwahrscheinlichkeiten und dem Kreditrisiko der Gegenpartei. Der Zusammenbruch großer Finanzinstitute löste eine weitreichende Ausbreitung des Ausfallrisikos aus, was zu systemischen Risiken im Finanzsektor führte. Als Reaktion darauf intervenierten die Aufsichtsbehörden, um neue Methoden und Vorschriften einzuführen, die darauf abzielten, das Risiko zu minimieren und die Transparenz bei Derivatepositionen sicherzustellen.
Der Professor diskutiert die Auswirkungen von Regulierungen auf exotische Derivate und erläutert, wie diese Derivate aufgrund erhöhter Kapitalanforderungen und Wartungskosten teurer geworden sind. Der Professor erklärt, dass der Verkauf exotischer Derivate auf dem Markt nicht so einfach sei und die Suche nach interessierten Gegenparteien für solche Geschäfte erfordere. Darüber hinaus hat das anhaltende Niedrigzinsumfeld die Attraktivität exotischer Derivate verringert. Allerdings können durch höhere Zinsen die mit der Aufrechterhaltung exotischer Modelle verbundenen Kosten ausgeglichen werden. Der Professor betont, wie wichtig es ist, die Ausfallwahrscheinlichkeit der Gegenpartei in die Preisgestaltung von Finanzderivaten einzubeziehen, was dazu geführt hat, dass einfache Produkte zu exotischen Derivaten geworden sind. Dies erfordert den Einsatz hybrider Modelle zur Preisgestaltung exotischer Produkte und die Ausweitung der Risikomessungen über exotische Derivate hinaus.
Das Video diskutiert die Einbeziehung des Ausfallwahrscheinlichkeitsrisikos in die Preisgestaltung von Finanzderivaten. Um das Risiko zu berücksichtigen, muss die Wahrscheinlichkeit von Ausfällen bei exotischen Derivaten berücksichtigt werden, und den Gegenparteien wird eine zusätzliche Prämie berechnet, die in die risikoneutrale Preisgestaltung integriert ist. Zur Kompensation des Kontrahentenrisikos werden Ausfallwahrscheinlichkeiten in den fairen Preis von Derivaten einbezogen. Aufgrund des mangelnden Vertrauens in das Finanzsystem kam es zu einer Verringerung der Komplexität, was zu einer stärkeren Fokussierung auf die Schätzung und Wartung einfacher Finanzprodukte führte. Das Video befasst sich auch mit verschiedenen Arten von Bewertungsanpassungen, einschließlich der Anpassung der Gegenparteibewertung (CVA), der Anpassung der Finanzierungsbewertung (FVA) und der Anpassung der Kapitalbewertung (KVA), die alle darauf abzielen, das ultimative Ziel einer genauen Preisgestaltung für Finanzderivate zu erreichen.
Anschließend erklärt der Professor, wie Finanzinstitute eine Technik namens Mapping einsetzen, um die Ausfallwahrscheinlichkeiten eines Unternehmens abzuschätzen, selbst wenn keine spezifischen Verträge wie Credit Default Swaps (CDS) als Referenz vorhanden sind. In diesem Abschnitt wird auch das Konzept der Exposures behandelt, wobei die Bedeutung positiver und negativer Exposures im Zusammenhang mit xVA hervorgehoben wird. Der Professor stellt klar, dass der Wert eines Derivats zu einem bestimmten Zeitpunkt, bezeichnet als vt, durch die Expositionen zu einem späteren Zeitpunkt, bezeichnet als g, definiert wird, was das Maximum von vt und Null darstellt. Der Wert von vt unterliegt stochastischen Änderungen basierend auf der Filterung für den Folgetag, und das Risiko stellt den maximalen Geldbetrag dar, der bei einem Ausfall der Gegenpartei verloren gehen kann.
Der Dozent verlagert den Fokus auf Bewertungsanpassungen oder xVAs. Der erste untersuchte Aspekt ist das Risiko, das die Diskrepanz zwischen dem Betrag, den eine Partei schuldet, und dem, was die Gegenpartei bei einer Transaktion schuldet, bezeichnet. Dieses Risiko kann entweder zu Verlusten oder Gewinnen führen, wobei ein maximaler positiver Betrag festgelegt ist. Der Dozent erklärt, dass im Falle eines Ausfalls der Gegenpartei die Verpflichtung zur Zahlung des vollen Betrags bestehen bleibt und die Rückforderung der Mittel von der Qualität der zugrunde liegenden Vermögenswerte abhängt. Darüber hinaus wird das potenzielle zukünftige Risiko als Maß für den maximalen potenziellen Verlust eingeführt, das auf der Grundlage des Worst-Case-Szenarios und unter Berücksichtigung der Verteilung potenzieller Ergebnisse berechnet wird.
Anschließend wird das Konzept der potenziellen zukünftigen Engagements (PFE) als Mittel zur Abschätzung des Extremrisikos eines Portfolios diskutiert. PFE stellt ein Quantil von Engagements dar, das auf der Bewertung eines Portfolios in zukünftigen Realisierungen basiert. Die Vorlesung behandelt auch die Aggregation von Geschäften innerhalb eines Portfolios, entweder auf Vertragsebene oder auf Kontrahentenebene, und hebt die Vorteile des Nettings zum Ausgleich von Risiken hervor. Beim Netting handelt es sich, ähnlich wie bei der Absicherung, um den Erwerb von Gegenverträgen zur Reduzierung von Risiken oder Cashflows.
Anschließend erläutert der Dozent die Vorteile und Grenzen des Nettings und geht dabei ausführlich auf Credit Valuation Adjustments (CVA) ein. Es wird klargestellt, dass nur homogene Geschäfte, die gemäß ISDA-Rahmenverträgen rechtmäßig saldiert werden können, für das Netting genutzt werden können und nicht jedes Geschäft berechtigt ist. Die Rückgewinnungsrate wird zu Beginn des Gerichtsverfahrens festgelegt und hängt vom Wert der Vermögenswerte des insolventen Unternehmens ab. Um die Vorteile des Nettings zu veranschaulichen, wird ein einfaches Beispiel eines Ausfallszenarios vorgestellt, bei dem die durch einen ausfallenden Kontrahenten entstehenden Kosten erheblich reduziert werden können, was dem beteiligten Kontrahenten zugute kommt.
Der Professor geht weiter auf die Auswirkungen des Nettings auf Portfolios und seine rechtlichen Begründungen ein. Nach der Berechnung der Engagements können potenzielle zukünftige Engagements basierend auf der Verteilung oder Realisierung des Portfolios berechnet werden. Der Professor betont, dass die Belichtung die wichtigste Komponente ist, wenn es um xVA und andere Anpassungen geht. Darüber hinaus wird ein interessanter Ansatz zur Berechnung potenzieller zukünftiger Risiken vorgestellt, der die Nutzung des erwarteten Verlusts als Interpretation des erwarteten Risikos beinhaltet.
Der Dozent befasst sich noch einmal mit potenziellen zukünftigen Risiken (Potential Future Exposures, PFE) und betont deren Rolle als Maß für das Extremrisiko. PFE gibt den Punkt an, an dem die Wahrscheinlichkeit von Verlusten das potenzielle zukünftige Risiko übersteigt, wobei der Schwerpunkt ausschließlich auf dem verbleibenden Segment des Extremrisikos liegt. Es wird eine Debatte über die Berechnung des PFE erwähnt, bei der die Frage gestellt wird, ob diese auf dem q-Maß basieren oder anhand historischer Daten im Rahmen des p-Maßes kalibriert werden sollte. Risikomanager ziehen es möglicherweise vor, neben den Markterwartungen für die Zukunft auch in der Vergangenheit eingetretene Szenarien einzubeziehen, um das Extremrisiko effektiv zu berücksichtigen.
Der Referent schließt den Vortrag mit der Diskussion verschiedener Ansätze zur Bewertung und Steuerung von Risiken im Financial Engineering ab. Je nach Ermessen der Risikomanager kommen unterschiedliche Methoden zum Einsatz, etwa die Anpassung von Exposures auf Basis von Marktdaten oder die manuelle Festlegung von Extremszenarien. Die Wahl des Risikomanagementansatzes ist entscheidend, da die eingesetzten Maßnahmen eine wesentliche Rolle bei der Risikobewältigung spielen. Diese Maßnahmen helfen dabei, die Beschränkungen für Händler sowie die Art und Höhe der zulässigen Risiken beim Handel mit Derivaten festzulegen.
Die Vorlesung bietet einen umfassenden Überblick über xVA und seine Bedeutung im Bankensektor, insbesondere bei der Preisgestaltung exotischer Derivate. Es behandelt Risikoberechnungen, potenzielle zukünftige Risiken und erwartete Risiken und hebt deren Bedeutung für das Risikomanagement hervor. Aufgrund ihrer Auswirkungen auf die Derivatebewertung wird die Einbeziehung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und Kontrahentenkreditrisiken hervorgehoben. Die Vorlesung befasst sich außerdem mit der Regulierungslandschaft, den steigenden Kosten im Zusammenhang mit exotischen Derivaten und der Verwendung hybrider Modelle zur Preisgestaltung. Als Mittel zur Risikominderung werden Netting und verschiedene Bewertungsanpassungen wie CVA diskutiert. Die Rolle potenzieller zukünftiger Risiken (Potential Future Exposures, PFE) bei der Schätzung des Extremrisikos und die Debatte um die Berechnungsmethodik werden ebenfalls angesprochen. Letztendlich betont die Vorlesung die Bedeutung eines effektiven Risikomanagements im Financial Engineering und die Rolle von Bewertungsanpassungen bei der Preisgestaltung von Finanzderivaten.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 2/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 2/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
Der Dozent vertieft sich weiterhin in das Thema Bewertungsanpassungen (xVA) im Financial Engineering und liefert zusätzliche Beispiele und Erkenntnisse. Sie diskutieren Fälle, in denen erwartete Engagements analytisch berechnet werden können, beispielsweise für Portfolios, die aus einer einzigen Aktie bestehen, und heben die erhöhte Komplexität und optionähnlichen Merkmale hervor, die bei der Berechnung des erwarteten Engagements auftreten. Die Bedeutung von Martingalen, Maßnahmen und Filterungen im Financial Engineering wird ebenfalls hervorgehoben.
In einem Beispiel erklärt der Dozent, wie Filterungen und bedingte Erwartungen verwendet werden, um einen vereinfachten Ausdruck für die erwartete Exposition abzuleiten, der dann diskontiert wird. In einem anderen Beispiel wenden sie Prinzipien aus früheren Vorlesungen an, um den abgezinsten Wert eines Swaps zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, wobei sie die verfügbaren Cashflows berücksichtigen und die ersteren ausschließen. Diese Beispiele unterstreichen die Bedeutung des Verständnisses und der korrekten Anwendung von Konzepten im Financial Engineering.
Der Dozent greift bisherige Themen noch einmal auf und zeigt deren Zusammenhang mit Wertberichtigungen auf. Am Beispiel eines Devisenswap veranschaulichen sie den Prozess der Maßänderung zum T-Forward-Maß, der zur Abschaffung des inländischen Geldsparkontos führt und nur noch die Nullkuponanleihe der Fremdwährung multipliziert mit dem Nominalwert übrig bleibt. Durch die Nutzung des Devisenterminkurses kann die Erwartung auf eine Termintransaktion vereinfacht werden.
Die Berechnung des erwarteten Risikos in der Landeswährung für einen Swap wird ebenfalls besprochen. Die stochastische Natur der Nullkuponanleihe stellt eine Herausforderung dar, der durch die Verwendung ihrer Definition als Verhältnis des Geldsparkontos begegnet wird. Anschließend wird die Messung vom inländischen neutralen Maß auf das inländische T-Forward-Maß umgestellt, wodurch die Preisgestaltung einer Option anhand des europäischen Optionspreises ermöglicht wird. Durch die Verwendung einer stochastischen Differentialgleichung kann das erwartete Risiko im Rahmen der inländischen Maßnahme durch die Preisgestaltung der Option bestimmt werden. Dieser Prozess umfasst Konzepte wie Zinskapitalisierung und Devisen, die in früheren Vorlesungen besprochen wurden. Der Abschnitt endet mit einem numerischen Experiment in einem eindimensionalen Fall.
Der Redner geht weiter auf die Bewertung von Zinsswaps anhand des Hull-White-Modells ein und drückt die Swap-Bewertung anhand von Nullkuponanleihen aus. Sie betonen, wie wichtig es ist, zukünftige Cashflows für die xVA-Bewertung zu überwachen, da sie dem Ausfallrisiko der Gegenpartei ausgesetzt sind. Der Redner betont den ausgleichenden Effekt der zunehmenden Unsicherheit und der Verringerung des Risikos, das mit zukünftigen Cashflows bei Swaps verbunden ist. Darüber hinaus wird die Bedeutung der Wurzel im Hull-White-Modell für die Integration mehrfarbiger Pfade zur Bewertung von Nullkuponanleihen diskutiert.
Die rechnerischen Herausforderungen bei der Bestimmung des Preises von Nullkuponanleihen werden angesprochen. Die Integration von Pfaden kann rechenintensiv sein, aber die zeitabhängige Funktionsdarstellung des Hull-White-Modells bietet Effizienz durch die Auswertung von Funktionen anstelle der Integration von Pfaden. Dies macht es effizienter für xVA-Simulationen von Belichtungen und VAR-Berechnungen. Es werden numerische Ergebnisse für einen Zinsswap bereitgestellt, die das zunehmende Risikoprofil aufgrund der Volatilität und die eventuelle Verringerung des Risikos durch die Rückzahlung von Cashflows zeigen. Der Wert von Swaps im Zeitverlauf wird auch für einen Ex-Swap mit einer Laufzeit von 20 Jahren dargestellt.
Das Konzept der erwarteten und potenziellen zukünftigen Risiken im Financial Engineering wird diskutiert. Negative erwartete Exposures werden als Volumina definiert und werden signifikant, wenn das Exposure gegen Null geht. Der Referent präsentiert ein Diagramm der positiven und negativen Expositionen und gibt Konfidenzintervalle an. Unter Berücksichtigung der Anzahl der Pfade, Schritte und Parameter für das Hull-White-Modell wird eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt. Die Berechnung des Swap-Werts und des Geldsparkontowerts wird erläutert. Der Abschnitt schließt mit der Betonung der Bedeutung des Konfidenzniveaus für potenzielle zukünftige Risiken.
Die Berechnung des erwarteten Exposures und des diskontierten erwarteten Exposures für einzelne Swaps und Portfolios mit Netting wird erläutert. Der Wert des Swaps wird bereits zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgedrückt, sodass keine Abzinsung auf die Gegenwart erforderlich ist. Numerische Ergebnisse aus Monte-Carlo-Simulationen veranschaulichen den potenziellen Wert von Swaps unter verschiedenen Marktszenarien und unterstreichen die Bedeutung der Absicherung zur Risikoreduzierung. Positive Exposures und diskontierte erwartete Exposures aus dem Swap werden mit unterschiedlichem Ausmaß potenzieller zukünftiger Exposures dargestellt. Der Schwerpunkt liegt auf dem Verständnis der Methodik im Hinblick auf die Filterung, da sie einen kohärenten Rahmen zur Simulation von xVA von Expositionen ermöglicht.
Der Redner erörtert außerdem die Auswirkungen von Netting auf die Reduzierung potenzieller zukünftiger Risiken. Das Hinzufügen von Swaps zu einem Portfolio kann bei der Minimierung von Risiken und potenziellen zukünftigen Risiken hilfreich sein. Sie betonen die Notwendigkeit, Hybridmodelle zu verwenden und mehrdimensionale Systeme stochastischer Differentialgleichungen zu konstruieren, wenn Mehrwährungsswaps in verschiedenen Volkswirtschaften simuliert werden. Sie weisen jedoch darauf hin, dass die Bewertung von Portfolios über mehrere Szenarien hinweg zwar aus rechnerischer Sicht günstiger ist, in der Praxis jedoch dennoch zeitaufwändig sein kann.
Die Vorlesung befasst sich mit den Herausforderungen, die mit der Bewertung des xVA einhergehen, insbesondere mit dem Rechenaufwand, der mit der Berechnung der Empfindlichkeit von Engagements gegenüber bestimmten Risikofaktoren oder Marktveränderungen verbunden ist. Sie beleuchten jedoch Techniken, um die Anzahl der Bewertungen zu reduzieren, die zur Annäherung an das gewünschte Profil erforderlich sind. Der Vortrag betont die Bedeutung der Modellauswahl und mehrfacher Bewertungen, insbesondere beim Umgang mit mehreren Währungen und der Bewertung des Risikos zwischen Beginn und Fälligkeit des Handels. Abschließend stellt die Vorlesung die Credit Value Adjustment (CVA)-Reihe als Mittel zur Berücksichtigung der Möglichkeit eines Kontrahentenausfalls bei der risikofreien Preisgestaltung vor.
Die Vorlesung befasst sich weiter mit dem Konzept der Kreditwertanpassung (CVA) bei der Derivatpreisgestaltung unter Berücksichtigung des Ausfallrisikos. Es beginnt mit einem einfachen Szenario, in dem der Ausfall nach der letzten Zahlung des Vertrags eintritt, und liefert eine Formel für die Bewertung des Derivats. Anschließend werden in der Vorlesung komplexere Fälle untersucht, in denen sich die Möglichkeit eines Ausfalls auf die Derivatebewertung auswirkt. Die Notation für Discounted Payoff und das Ziel, die Preise von Derivaten mit und ohne Ausfallrisiko zu verknüpfen, werden eingeführt. Verschiedene Ausfallszenarien und die entsprechenden Beträge, die in jedem Szenario erhalten werden können, werden untersucht, um die notwendige Anpassung der Risikobewertung für den Vertrag zu ermitteln.
Es werden verschiedene Szenarien hinsichtlich des Zeitpunkts von Ausfall- und Wiederherstellungsraten im Umgang mit einer Gegenpartei besprochen. Tritt der Zahlungsverzug vor einem bestimmten Zeitpunkt ein, sind alle Zahlungen bis zu diesem Zeitpunkt eingegangen. Geschieht dies nach Vertragsende, kann der ausstehende Restbetrag eingezogen werden. Tritt jedoch zwischen diesen beiden Zeitpunkten ein Ausfall ein, müssen möglicherweise künftige Verpflichtungen und eine Rückzahlungsquote berücksichtigt werden. Der Referent zeigt, wie man die Erwartung diskontierter zukünftiger Cashflows für vier verschiedene Fälle berechnet und diese mithilfe einer Gleichung verbindet.
Die Vorlesung geht nach der Berechnung der erwarteten Exposition zum nächsten Schritt über, bei dem die Linearität der Erwartung ausgenutzt und in zwei Komponenten aufgeteilt wird. Die erste Komponente umfasst laufzeitabhängige Indikatorfunktionen, die den Kontraktwert vom Zeitpunkt tau bis zum Fälligkeitszeitpunkt t darstellen. Die zweite Komponente berücksichtigt Fälle, in denen Tau größer als die Zeit t oder kleiner als t ist. Da der Vertragswert im Hinblick auf die Filterung messbar ist, stellen die ersten drei Bedingungen unter der Erwartungsfrist den risikofreien Wert des Derivats dar. Der zweite Teil führt eine Anpassung ein, um den konvexen Teil mit einem Maximum und einer Wiederherstellungsrate einzubeziehen, was zur Kreditwertanpassung (CVA) führt. Zusammenfassend kann ein riskantes Derivat als risikofreies Derivat abzüglich der CVA-Anpassung ausgedrückt werden, die der Ausfallwahrscheinlichkeit der Gegenpartei entspricht – ein wesentliches Element in der Beziehung.
Abschließend erläutert der Referent das Konzept der Berechnung des Risikos für jeden Zeitraum bis zur Vertragslaufzeit, der Anpassung an den Ausfall und der entsprechenden Diskontierung aller Cashflows. Die Recovery Rate ist als Verlustquote bei Ausfall definiert und fließt in die Kreditwertanpassungsformel ein.
Die Vorlesung bietet eine umfassende Auseinandersetzung mit Bewertungsanpassungen (xVA) im Financial Engineering. Es behandelt verschiedene Beispiele, rechnerische Herausforderungen und Methoden zur Berechnung von Risiken, erwarteten Risiken und Kreditwertanpassungen. Das Verständnis dieser Konzepte und ihre korrekte Anwendung ist für eine genaue Risikobewertung und Preisgestaltung auf den Finanzmärkten von entscheidender Bedeutung.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 3/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 12/14, Teil 3/3, (Bewertungsanpassungen – xVA)
Während des Vortrags geht der Referent auf die marktüblichen Approximationen ein, die zur Schätzung des Credit Value Adjustment (CVA) verwendet werden, und geht auf die Frage der Symmetrie im Hinblick auf Pseudo-CVA (PCVA) und Volumen-CVA (VCVA) ein. Sie erklären, dass Kundengebühren, die auf Ausfallwahrscheinlichkeiten basieren, unterschiedlich sein können, was eine Hürde für Transaktionen ohne Anpassungen darstellt. Um dieses Problem anzugehen, wird das Konzept der Tiefenwertanpassung (DVA) eingeführt und die Anwendung schwerer Strahlen zur Berechnung der erwarteten Belichtungen erläutert.
Handelsattribute für CVA werden ebenfalls diskutiert, zusammen mit der Bedeutung der Gewichtung von CVA in einem Portfolio, um Additivitätsprobleme zu vermeiden. Abschließend fasst der Referent die Vorlesung zusammen und stellt den Studierenden zwei Übungsaufgaben vor.
Anschließend betont der Redner die Einbeziehung des Risikos in die Preisgestaltung und betrachtet die Recovery Rate bzw. den Verlust bei Ausfall als Konstante. Sie erklären, dass zum Erhalten einer Näherung für die CVA-Korrektur eine gemeinsame Verteilung erforderlich ist, bei der es sich um eine stochastische Größe handelt, die mit dem Zeitpunkt des Ausfalls korreliert. Darüber hinaus werden die Begriffe „Wrong Way Risk“ und „Right Way Risk“ untersucht und ihr Zusammenhang mit der Korrelation zwischen Exposures und Ausfallwahrscheinlichkeiten von Kontrahenten hervorgehoben. Der Redner erwähnt auch die Verfügbarkeit klassischer Online-Artikel, die eine Einführung in Techniken bieten, die zum Erzwingen von Korrelationen bei der Annahme der Unabhängigkeit zwischen zwei Variablen verwendet werden.
Der Professor verlagert seinen Fokus und erörtert den Marktansatz zur Annäherung an bedingte Erwartungen durch erwartete Exposition und betont deren Bedeutung im Kurs. Sie unterteilen die drei Hauptelemente des CVA und betonen, dass der erwartete Risikoanteil der kostspieligste ist. Der Vortrag beleuchtet das Symmetrieproblem im Zusammenhang mit CVA, bei dem die Preise der Gegenparteien aufgrund widersprüchlicher Ansichten über Ausfallwahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind und eine Einigung erschwert wird. Um dieses Problem anzugehen, kommt der Dozent zu dem Schluss, dass die bilaterale Kreditwertanpassung (bCVA) untersucht werden muss.
Die bilaterale CVA berücksichtigt das mit dem Ausfall beider Parteien verbundene Risiko und sorgt so für eine symmetrische Preisgestaltung bei Derivaten. Dies bedeutet, dass eine Partei möglicherweise nicht mit dem von der anderen Partei berechneten angepassten Preis einverstanden ist. Beim bilateralen CVA wird die Bonität beider Parteien berücksichtigt und letztlich der faire Preis eines Derivats unter Einbeziehung der jeweiligen Ausfallwahrscheinlichkeiten ermittelt.
Die Diskussion geht dann zu den Bewertungsanpassungen über, die zusammen als xVA bezeichnet werden, und betont die Bedeutung der Einbeziehung von Anpassungen in die Preisgestaltung risikofreier oder ausfallfreier Derivate. Der Dozent erklärt, dass das Bilateral Credit Value Adjustment (BCVA) der Unterschied zwischen CVA und Debit Value Adjustment (DVA) ist. Sie gehen darauf ein, wie der Volumen-CVA (VCVA) steigen kann, was aufgrund des erhöhten Ausfallrisikos eines Unternehmens und der mit steigenden Bewertungen verbundenen Herausforderungen zu einem geringeren CVA-Anteil führt. Es wird die Berechnungsformel für die Anpassung des Finanzierungswerts (FVA) untersucht, die aus der Anpassung der Finanzierungskosten (FCA) und der Anpassung des Finanzierungsvorteils (FBA) besteht. Der Funding Spread (SBE) stellt die Finanzierungskosten für Derivate dar, die typischerweise an die Marktfinanzierungskosten gebunden sind. Die Formel geht davon aus, dass der Risikowert des Portfolios, die Ausfallwahrscheinlichkeiten und der Finanzierungsanteil unabhängig sind. FVA umfasst zwei Arten der Finanzierung: aus dem Unternehmen generierte Mittel und zur Unterstützung bestehender Positionen erforderliche Mittel, die beide in der Liquiditätswertanpassung (LVA) enthalten sind.
Der Redner legt besonderen Wert auf das Verständnis der Risikoprofile von Geschäften innerhalb eines Portfolios oder Nettosatzes. Die Kenntnis der einzelnen Credit Default Adjustments (CDAs) pro Trade erleichtert die Beurteilung der Beiträge von Trades zu Risikoprofilen und ermöglicht eine Risikominderung durch Positionsverkäufe oder die damit verbundene Risikoermittlung. Das Ziel besteht darin, die CVA in einzelne CVAs zu zerlegen, um sie als Summierung der einzelnen CVAs auszudrücken und Einblicke in ihre Rolle bei der CVA-Bewertung zu geben. Obwohl eine inkrementelle CVA durchgeführt werden kann, ist sie rechenintensiv. Ziel ist es daher, eine Zerlegungsmethode zu finden, die eine Übereinstimmung zwischen dem CVA auf Portfolioebene und der Summe der einzelnen CV VAs gewährleistet.
Um die gewünschte Zerlegung von xVA oder erwarteten Engagements in einzelne Beitragszahler zu erreichen und gleichzeitig die Gesamtsumme gleich dem Portfolio-Exposure beizubehalten, führt der Dozent den Euler-Zuteilungsprozess und eine Homogenitätsfunktion ein. Die Funktion f gilt als homogen vom Grad k, wenn k mal f von x gleich der Summe aller Elemente der Ableitung dieser Funktion in Bezug auf jedes einzelne Element des Vektors mal x i ist. Dies ermöglicht die Zerlegung des CVA oder der erwarteten Engagements in die Summe der einzelnen Beiträge, ausgedrückt als Abzinsungsteil und eine glatte Alpha-Komponente. Durch die Verwendung dieses Ansatzes können die erwarteten Belastungen zu jedem einzelnen Zeitpunkt bewertet und berechnet und mit Alpha-Koeffizienten gewichtet werden, um ein glattes Produkt zu erzielen.
Der Dozent hebt die Vorteile der Berechnung der Sensitivität in Bezug auf Alpha i hervor, da sie bei der Bewertung erwarteter Risiken für ein Portfolio weniger Berechnungen ermöglicht. Durch die Neuformulierung der CVAs können die einzelnen CVAs für jeden Handel als Verhältnis ausgedrückt werden und das Derivat kann aus dem erwarteten Risiko berechnet werden, ohne dass die Monte-Carlo-Simulation wiederholt werden muss. Dieser Ansatz ist aus numerischer Sicht vorteilhaft, basiert jedoch auf der Homogenitätsannahme und die Portfoliokombination muss die Bedingung erfüllen.
In der Vorlesung wird außerdem die Erweiterung des Codes für mehrere Dimensionen und Swaps sowie die Berechnung der erwarteten Risiken für mehrere Risikofaktoren wie Inflation und Aktien erörtert. Die Berechnung des CVA umfasst die Berücksichtigung sowohl der Ausfallwahrscheinlichkeit des Kontrahenten als auch unserer eigenen, während das Konzept der Funding Value Adjustments (FVA) eingeführt wird. Der Abschnitt endet mit einer Diskussion über die Zerlegung von XVA in einzelne Risikofaktoren und -zuordnungen.
Für die Hausaufgabe sollen die Studierenden ein Portfolio simulieren, das aus 10 Aktien, 10 Zinsswaps und 5 Call-Optionen besteht. Sie müssen erwartete und potenzielle zukünftige Risiken berechnen und eine CVA-Bewertung durchführen. Darüber hinaus werden die Studierenden gebeten, den Strickeffekt zu diskutieren und Derivate vorzuschlagen, die die erwarteten Risiken reduzieren könnten.
Abschließend stellt der Referent Übungen vor, die darauf abzielen, die Risikoprofile eines Portfolios zu bewerten und Methoden zu deren Reduzierung zu untersuchen. Die erste Übung besteht darin, die erwarteten Risiken eines Swaps zu simulieren und die Swaption-Preisgestaltung mithilfe eines Full-White-Modells zu implementieren, um deren Gleichwertigkeit mit der Swaption-Preisgestaltung zu validieren. Die zweite Übung dient als Plausibilitätsprüfung, um die Korrektheit der Umsetzung sicherzustellen. Die kommende Vorlesung wird sich auf Value at Risk konzentrieren und das in dieser Vorlesung erworbene Wissen nutzen.
Insgesamt behandelte die Vorlesung die Grundlagen der Kreditwertanpassungen, die Simulation erwarteter Exposures, potenzieller zukünftiger Exposures und den Einsatz von Monte-Carlo-Simulationen und Python-Codierung im Prozess.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 13/14, Teil 1/2, (Value-at-Risk und Expected Shortfall)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 13/14, Teil 1/2, (Value-at-Risk und Expected Shortfall)
Der Dozent erläutert zunächst die Beweggründe für Value-at-Risk-Berechnungen (VaR) und deren Relevanz für das Risikomanagement im Gewinn und Verlust (P&L) eines Portfolios. Der VaR wird als Maß für potenzielle Verluste im Zusammenhang mit Marktschwankungen eingeführt und zielt darauf ab, eine einzige Zahl für das Worst-Case-Szenario über einen bestimmten Zeitraum bereitzustellen. Es wird jedoch betont, dass VaR nicht die einzige Antwort ist und dass Finanzinstitute über ausreichend Kapital verfügen müssen, um geschätzte Verluste aufgrund verschiedener Umweltfaktoren zu decken.
Die Vorlesung behandelt die Berechnung und Interpretation des VaR, einschließlich Stressed VaR und Expected Shortfall. Stressed VaR beinhaltet die Berücksichtigung historischer Daten und Worst-Case-Ereignisse, um Institute auf extreme Marktbewegungen vorzubereiten. Der erwartete Fehlbetrag hingegen berechnet den durchschnittlichen Verlust über dem VaR-Niveau und bietet so einen konservativeren Ansatz für das Risikomanagement. Es wird hervorgehoben, wie wichtig es ist, bei Anlageentscheidungen mehrere VaR-Berechnungen und Diversifikationseffekte einzubeziehen.
Im nächsten Abschnitt lernen die Studierenden die Programmierung einer VaR-Portfoliosimulation mit Python. Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Simulation eines Portfolios mit mehreren Zinsprodukten, dem Herunterladen von Marktdaten für Zinskurven und der Berechnung von Schocks. Die Bedeutung der Diversifizierung und der Berücksichtigung unterschiedlicher VaR-Berechnungen wird erneut betont. Das Segment endet mit einer Zusammenfassung und einer Aufgabe, in der die Schüler den Python-Code erweitern müssen, um den VaR für ein bestimmtes Portfolio bestehend aus Aktien und Zinssätzen zu berechnen.
Die Vorlesung geht auch auf die Akzeptanz und Nutzung des VaR durch Finanzinstitute zur Risikoüberwachung und Kapitaladäquanz ein. Der regulatorische Aspekt wird betont, wobei VaR eingeführt wird, um sicherzustellen, dass Institute Rezessionen oder Marktverkäufen standhalten können. Es wird ein Beispiel für den VaR eines Portfolios bereitgestellt, das auf ein Konfidenzniveau von 95 % hinweist, dass das Portfolio innerhalb eines einzigen Tages nicht mehr als eine Million Dollar verlieren wird.
Darüber hinaus erläutert die Vorlesung die Berechnung des VaR anhand der Verteilung der Portfoliowerte und möglicher Marktszenarien und zieht Parallelen zu früheren Berechnungen von Exposures und potenziellen zukünftigen Exposures. Der Dozent betont die Einfachheit des VaR im Vergleich zu erwarteten Exposures, die nur den absoluten Wert des Risikofaktors berücksichtigen. Es werden verschiedene Ansätze zur VaR-Berechnung erwähnt, wie etwa parametrischer VaR, historischer VaR, Monte-Carlo-Simulation und Extremwerttheorie, wobei der Schwerpunkt auf dem Verständnis ihrer Eigenschaften und Grenzen liegt.
Das Konzept kohärenter Risikomaße wird vorgestellt und die wissenschaftlichen Anforderungen dargelegt, damit ein Risikomaß als gut gilt. Der Vortrag würdigt die Kritik an diesen Anforderungen und beleuchtet die Sicht der Praktiker auf Praktikabilität und Backtesting. Die Anforderung der Subadditivität wird erläutert, wobei betont wird, dass das Risikomaß eines diversifizierten Portfolios kleiner oder gleich der Summe der einzelnen Risikomaße seiner Vermögenswerte sein sollte. Obwohl der VaR kein kohärentes Maß ist, wird er häufig für Risikomanagementzwecke verwendet. Dennoch werden Risikomanager aufgefordert, mehrere Risikomaßnahmen in Betracht zu ziehen, um ein umfassendes Verständnis des Risikoprofils und der Risikobereitschaft ihres Portfolios zu erlangen.
Die Grenzen des VaR als Risikomanagementinstrument werden diskutiert, was zur Einführung des erwarteten Fehlbetrags als konservativere Alternative führt. Der erwartete Fehlbetrag wird als kohärentes Risikomaß dargestellt, das den durchschnittlichen Verlust berücksichtigt, der über dem VaR-Niveau liegt. Indem sie sich auf mehrere Messgrößen wie VaR und erwarteten Fehlbetrag verlassen, können Finanzinstitute ihre Risikominderungsstrategien verbessern und ihre Portfolios effektiv schützen.
Abschließend geht die Vorlesung auf die Einschränkungen von VaR-Berechnungen ein, beispielsweise auf deren Abhängigkeit von Datenqualität und -quantität. Es betont die Bedeutung eines pragmatischen Risikomanagements, bei dem übermäßiger Konservatismus vermieden und gleichzeitig realistische und zuverlässige Maßnahmen gewählt werden.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 13/14, Teil 2/2, (Value-at-Risk und Expected Shortfall)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 13/14, Teil 2/2, (Value-at-Risk und Expected Shortfall)
Der Dozent hält einen umfassenden Vortrag über die Durchführung einer Python-Simulation und die Bewertung des historischen Value-at-Risk (VaR) anhand realer Marktdaten für ein Portfolio von Zinsswaps. Die Vorlesung behandelt verschiedene wichtige Themen, darunter den Umgang mit fehlenden Daten, Arbitrage und das Konzept des erneuten Lesens von Zinskurven, um Marktdatenänderungen zur Erstellung von VaR-Szenarien zu berücksichtigen. Außerdem wird die Monte-Carlo-Methode zur VaR-Berechnung sowie der Einsatz von Backtesting zur Beurteilung der Leistung des VaR-Modells erläutert. Zum Abschluss der Vorlesung wird den Studierenden eine Aufgabe gestellt, in der sie aufgefordert werden, die historische VaR-Implementierung durch die Einführung eines zusätzlichen Risikofaktors zu implementieren oder zu verbessern und über eine Risikodiversifizierung in ihrem Portfolio nachzudenken.
Das Konzept des Value-at-Risk (VaR) wird vom Dozenten ausführlich erläutert. VaR wird verwendet, um eine Verteilung potenzieller Gewinne und Verluste (P&L) in einem Portfolio auf der Grundlage historischer Bewegungen von Risikofaktoren vorherzusagen oder abzuleiten. Um stabile Ergebnisse zu gewährleisten, bleibt das Portfolio konstant und historische Bewertungen von Risikofaktoren dienen als Input für VaR-Berechnungen. Der Dozent betont die Bedeutung der Einbeziehung aller relevanten Risikofaktoren in die Berechnungen und erwähnt, dass die Länge des Zeitfensters und das Konfidenzniveau angegeben werden können. Darüber hinaus beabsichtigt der Dozent, den Einfluss unterschiedlicher Zeitfensterlängen auf die Verteilung des GuV-Profils in einem Python-Experiment zu analysieren.
Im anschließenden Abschnitt befasst sich der Dozent mit der Abschätzung potenzieller Verluste, die ein Portfolio innerhalb eines Tages erleiden kann. Der Dozent betont die Bedeutung realistischer Risikofaktoren und nutzt historische Daten und beschreibt, wie tägliche Veränderungen der Risikofaktoren auf das heutige Niveau angewendet werden können, um die Bandbreite möglicher Ergebnisse und die Verteilung wahrscheinlicher Verluste über einen Zeitraum zu bestimmen. Es wird betont, dass eine wirksame Risikokontrolle und -steuerung über die bloße Einhaltung regulatorischer Auflagen hinaus für die Absicherung des Instituts unerlässlich ist. Darüber hinaus erklärt der Dozent, dass die Berechnung des VaR und die Verwaltung eines Portfolios aus einfachen Derivaten vergleichsweise einfacher sind als der Umgang mit Zinsprodukten, die die Konstruktion von Zinskurven für jedes Szenario erfordern.
Anschließend erläutert der Dozent die Schritte zur Preisgestaltung eines Zinsportfolios und zur Berechnung des Value-at-Risk (VaR) und des erwarteten Fehlbetrags. Die Erstellung einer Zinsstrukturkurve für jedes Szenario ist dabei eine wesentliche Rechenaufgabe. Es wird ein Experiment beschrieben, bei dem ein Swap-Portfolio über einen Zeitraum von 160 Tagen anhand historischer Daten zu täglichen Renditekurven von Staatsanleihen bewertet wird. Durch die Berechnung täglicher Schocks und die anschließende Rekonstruktion der Zinskurven können der Wert, der VaR und der erwartete Fehlbetrag des Portfolios ermittelt werden. Der Dozent erwähnt, dass dieses Vorgehen auf der vorherigen Behandlung der Zinskurvenkonstruktion in einer früheren Vorlesung beruht. Ziel des Experiments ist es, die Verteilung potenzieller Profilverluste mit 95 %-Konfidenzintervallen zu beobachten.
Die Vorlesung behandelt die Berechnung des Quantils für den VaR und den Erwartungswert der linken Seite dieses Quantils, der dem erwarteten Fehlbetrag entspricht. Außerdem wird der Aufbau eines Portfolios unter Verwendung von Nullkuponanleihen und die Bewertung von Swaps mit unterschiedlichen Konfigurationen, Zinssätzen, Nominalwerten und Einstellungen besprochen. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Berechnung der Zinsstrukturkurve auf Basis historischer Daten und dem iterativen Prozess zur Gewinnung der für Zinskurvenanpassungen in allen Szenarien erforderlichen Schocks.
Anschließend erläutert der Redner die Nutzung historischer Daten zur Abschätzung potenzieller Zinskurvenbewegungen. Diese Einschätzung möglicher Szenarien ist für das Risikomanagement wertvoll, wenn andere Informationen nicht verfügbar sind. Szenarien können auch manuell vorgegeben werden, beispielsweise durch eine Regulierungsbehörde. Der Referent geht außerdem auf die Untersuchung von Risikoprofilen auf Basis historischer Daten und den Umgang mit Sonderfällen im Umgang mit sich ändernden Instrumenten ein. Der Prozess der schockierenden Marktwerte und der Rekonstruktion der Renditekurven für jedes Szenario wird erläutert, gefolgt von der Bewertung des Portfolios für jede erstellte Kurve. Abschließend erläutert der Redner die Methodik zur Schätzung des erwarteten Defizits auf der Grundlage von Beobachtungen am Ende der Verteilung.
Der Referent gibt Einblicke in die Ergebnisse, die durch die Ausführung von Code zur Berechnung der Gewinn- und Verlustverteilung (P&Ls) sowie des Value-at-Risk (VaR) und des erwarteten Fehlbetrags erzielt werden. Die Gewinn- und Verlustverteilung weist eine vertraute Form mit Ausläufern an beiden Enden auf und die Mehrheit der Werte liegt bei etwa zehntausend. Der VaR wird mit minus siebentausend berechnet, was eine Wahrscheinlichkeit von fünf Prozent angibt, dass die morgigen Verluste diesen Betrag übersteigen werden. Andererseits wird der erwartete Fehlbetrag auf minus 16.000 geschätzt, was fast dem Doppelten der Auswirkung der VaR-Berechnung entspricht. Der Redner betont die Bedeutung konsistenter und qualitativ hochwertiger Marktdaten für die Durchführung genauer historischer VaR-Berechnungen. Die Hausaufgabe besteht darin, die Funktion um zusätzliche Risikofaktoren wie Aktien zu erweitern und das gleiche Experiment zu wiederholen.
Außerdem erklärt der Dozent, wie man mit fehlenden Marktdaten in Finanzberechnungen umgeht, insbesondere wenn es um Instrumente geht, denen aktive Handels- oder marktimplizierte Werte fehlen. Der Prozess umfasst die Erstellung einer Kurve zur Interpolation fehlender Daten auf der Grundlage verfügbarer Instrumente, wobei auch Delta-Einschränkungen und Volatilitäten berücksichtigt werden. Der Dozent unterstreicht die Bedeutung der Nutzung marktverfügbarer Instrumente im Risikomanagement und der Etablierung von Datenqualitätsstandards für VaR- und Expected-Shortfall-Berechnungen. Darüber hinaus wird das Problem negativer Volatilitäten angesprochen und Einblicke in Methoden zur Bewältigung solcher Ereignisse gegeben.
Der Referent bespricht zwei Arten von Arbitrage, nämlich Kalenderarbitrage und Schmetterlingsarbitrage. Kalenderarbitrage findet in der Zeitdimension statt, während Schmetterlingsarbitrage sich mit Streiks befasst. Der Referent erklärt, wie die Butterfly-Strategie die Ableitung zweiter Ordnung einer Call-Option in Bezug auf den Strike annähert, was der Dichte einer Aktie entspricht. Die Anwendung inkonsistenter Schocks auf die heutige Volatilitätsoberfläche kann jedoch Arbitragemöglichkeiten und negative Volatilität mit sich bringen, was Risiken birgt. Auch die Interpolation von Volatilitäten stellt Herausforderungen dar, insbesondere im Zusammenhang mit VaR-Berechnungen. Der Referent stellt VaR-Berechnungen vor, die auf der Monte-Carlo-Simulation basieren und auf historische Daten oder Marktinstrumente kalibriert werden können. Die Simulation wird mithilfe von Monte Carlo durchgeführt und das Modell wird entweder mit dem P- oder dem Q-Maß verknüpft, je nachdem, ob es auf historische Daten oder Marktinstrumente kalibriert wird.
Der Referent erläutert weiter, wie die Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung eines Portfolios eingesetzt werden kann. Durch die Simulation von Szenarien für ein kurzfristiges Zinsmodell und die Anwendung von Schocks oder Differenzen auf Tages- oder 10-Tages-Basis kann das Portfolio über verschiedene Szenarien hinweg bewertet werden. Die Monte-Carlo-Simulation bietet mehr Freiheitsgrade und ein breiteres Spektrum an Szenarien, als wenn man sich ausschließlich auf historische Daten verlässt. Für die Verbesserung des Risikomanagements ist die Generierung einer großen Anzahl möglicher Szenarien von entscheidender Bedeutung. Der Redner räumt ein, dass bestimmte Auswahlmöglichkeiten innerhalb der Methodik noch einer weiteren Untersuchung bedürfen, aber insgesamt dient der Ansatz als unkompliziertes Mittel zur Veranschaulichung der Monte-Carlo-Simulation.
Der Redner betont, dass die Neubewertung eines Portfolios in jedem Szenario rechenintensiv sein kann, insbesondere bei großen Portfolios, die aus komplexen derivativen Wertpapieren bestehen. Dieser Prozess wird zum bestimmenden Faktor für die Anzahl der Szenarien, die generiert werden können, was bei größeren Portfolios zu weniger Szenarien führt. Um die Bewertung des täglichen Value-at-Risk (VaR) zu veranschaulichen, zeigt der Referent, wie er eine 10-Tage-Differenz zwischen den Zinssätzen nimmt, das Portfolio berechnet, die Ergebnisse in einer Matrix speichert und das Quantil und den erwarteten Fehlbetrag für ein gegebenes Alpha schätzt von 0,05. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass der erwartete Fehlbetrag doppelt so groß ist wie der VaR, was die Bedeutung eines effektiven Risikomanagements für die Minderung erheblicher Verluste unterstreicht.
Die Vorlesung befasst sich mit dem Thema Backtesting für Value-at-Risk (VaR). Beim Backtesting werden die prognostizierten Verluste aus dem VaR mit den realisierten Gewinnen und Verlusten (P&L) verglichen, die aus realen Marktdaten abgeleitet werden. Durch die tägliche Durchführung dieser Analyse über einen bestimmten Zeitraum, typischerweise ein Jahr oder 250 Geschäftstage, kann die Qualität des VaR-Modells beurteilt und potenzielle Probleme wie fehlende Risikofaktoren oder schlecht kalibrierte Modelle identifiziert werden. Es ist jedoch zu beachten, dass Backtesting eine rückwärtsgerichtete Maßnahme ist und volatile Ereignisse in zukunftsgerichteten Situationen möglicherweise nicht genau vorhersagen kann. Um die Qualität des Backtestings zu verbessern, kann der Einsatz von Monte-Carlo-Simulationen und die Kalibrierung mit Marktdaten in Betracht gezogen werden.
Das Video betont die Bedeutung des Ausgleichs mehrerer Modelle bei der Schätzung des Value at Risk (VaR) und erörtert die Wahl zwischen der Verwendung historischer Daten und stochastischen Prozessen. Die Kalibrierung des Modells auf den Markt kann zusätzliche Informationen liefern, die über das hinausgehen, was ausschließlich aus historischen Daten abgeleitet wird. Der Referent erklärt außerdem, dass Backtesting-Ergebnisse eine entscheidende Rolle bei der Beurteilung der Leistung eines Modells spielen. Indem man die Vorhersagen des Modells mit einem bestimmten Signifikanzniveau vergleicht, kann man feststellen, ob das Modell gut oder schlecht abschneidet. Der Vortrag schließt mit einer Zusammenfassung der Hauptpunkte der VaR-Diskussion und der Betonung der Bedeutung der Berücksichtigung des erwarteten Fehlbetrags in Bezug auf den VaR.
Darüber hinaus gibt der Redner eine Zusammenfassung des zweiten Teils der Vorlesung, der sich auf praktische Themen wie den Umgang mit fehlenden Daten, Arbitrage und die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur VaR-Berechnung konzentrierte. Der Redner betont, wie wichtig es ist, ein umfassendes Verständnis der verschiedenen VaR-Maßnahmen zu erlangen, um die Gesundheit und den Status eines Portfolios effektiv zu überwachen. Die gegebene Hausaufgabe verlangt von den Schülern, ein Portfolio mithilfe historischer Wertzinsberechnungen zu erweitern, einen zusätzlichen Risikofaktor wie eine Aktie oder eine Devisen einzubeziehen und über eine Diversifizierung von Derivaten nachzudenken, um die Varianz zu verringern. Der Redner schließt den Vortrag mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Erkenntnisse ab, einschließlich der Berechnung des VaR und der verschiedenen VaR-Messwerte, die zur Abschätzung der mit potenziellen Marktbewegungen verbundenen Risiken verwendet werden.
Die Vorlesung bietet wertvolle Einblicke in die Durchführung von Python-Simulationen und die Bewertung des historischen Value-at-Risk (VaR) auf Basis realer Marktdaten für ein Portfolio. Es behandelt wichtige Themen wie den Umgang mit fehlenden Daten, Arbitrage, das erneute Lesen von Zinskurven und die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation für VaR-Berechnungen. Der Vortrag betont auch die Bedeutung des Backtestings zur Validierung von VaR-Modellen und die Bedeutung der Berücksichtigung des erwarteten Defizits zusätzlich zum VaR. Durch die Erforschung dieser Konzepte und die Bearbeitung der zugewiesenen Aufgaben können Studierende ein umfassendes Verständnis des Risikomanagements und der Portfoliobewertung im Finanzkontext entwickeln.
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung des Kurses)
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung des Kurses)
Der Referent schließt den Kurs „Financial Engineering“ mit einer Zusammenfassung der 14 Vorträge ab, die ein breites Themenspektrum abdeckten. Zu diesen Themen gehörten Filterungen und Maßänderungen, Zinsmodelle, Zinskurvendynamik, Preisgestaltung von Swaptions, Hypotheken und Vorauszahlungen, stochastische Differentialgleichungen, Marktmodelle sowie Bewertung und historische VAR-Anpassungen. Ziel des Kurses war es, den Lernenden ein umfassendes Verständnis des Financial Engineering zu vermitteln und sie mit den Fähigkeiten auszustatten, ihre eigenen Derivatportfolios umzusetzen.
Während des Vortrags betont der Referent die Bedeutung des Verständnisses von Filterungen und Maßnahmen sowie der Durchführung von Simulationen zur Portfoliobewertung und zum Risikomanagement. Die Vorteile bedingter Erwartungen bei der Preisgestaltung von Optionen und der Reduzierung der Modellkomplexität werden zusammen mit dem Konzept der Änderung von Maßen und Techniken zur Dimensionsreduzierung diskutiert. Die Vorlesung behandelt auch das AJM-Framework von Arbitrage-freien Kurzzinsmodellen und zwei abgeleitete Modelle, HJM und Hull-White, mit Simulationen zum Vergleich von Zinskurven, die als Eingabe und Ausgabe des Modells verwendet werden. Darüber hinaus werden die Dynamik der Zinskurve bei kurzfristigen Zinssätzen und die Beobachtung des Fed-Fund-Zinssatzes in Experimenten untersucht.
In einem anderen Abschnitt konzentriert sich der Redner auf die Beziehung zwischen der Dynamik der Zinskurve und Short-Rate-Modellen in Python-Simulationen. Er befasst sich mit der Motivation hinter der Entwicklung eines Zwei-Faktor-Vollmodells als Erweiterung des Ein-Faktor-Modells zur Erfassung der Renditekurvendynamik. Zinsprodukte wie Swaps, Forward Trade Agreements und Volatilitätsprodukte werden diskutiert und ihre Bedeutung für die Kalibrierung an Marktdaten hervorgehoben. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Konstruktion von Zinskurven, einschließlich Interpolationsroutinen und Mehrfachkurven, und wie sich diese Faktoren auf die Absicherung und das Portfoliorisiko auswirken. Auch die Preisgestaltung von Swaptions und die Herausforderungen durch Negativzinsen werden thematisiert.
Die letzten Vorlesungen des Kurses werden zusammengefasst und behandeln Themen wie die Preisgestaltung von Optionen mithilfe des Jamshidian-Tricks, negative Zinssätze und die verschiebungsartige, normal verschobene implizite Volatilität. Diskussionen zu Hypotheken, Hybridmodellen, Vorauszahlungsrisiken, großen Zeitschrittsimulationen, Wechselkursen und Inflation sind ebenfalls enthalten. Es wird hervorgehoben, wie wichtig es ist, risikoneutrale und reale Messungen, beobachtete Marktmengen und die Kalibrierung von Modellparametern zu verknüpfen.
Darüber hinaus wird die Anwendung von Financial Engineering auf mehrere Anlageklassen untersucht, darunter Zinssätze, Aktien, Devisen und Inflation. Die Herausforderungen, die mit Modellen wie dem Heston-Modell, Konvexitätskorrekturen und dem Arbeitsmarktmodell für die Preisgestaltung exotischer Derivate verbunden sind, werden diskutiert. Der Kurs konzentriert sich auch auf Veränderungsmaße und erweitert das Standardmodell des normalen Verleumdungsmarktes um die Einbeziehung der stochastischen Volatilität. Das Hauptziel ist die Berechnung von xVA und Value at Risk unter Berücksichtigung der Exposure-Berechnung, der Portfoliokonstruktion und der Python-Codierung zur Bewertung des Exposure-Gewinns in einem Swap-Portfolio. Der Redner erwähnt auch die Bedeutung der Anpassung der Kreditbewertung (CVA) basierend auf der Ausfallwahrscheinlichkeit der Gegenpartei und die praktischen Anwendungen von xVA.
In der abschließenden Zusammenfassung gibt der Dozent einen Rückblick auf die Vorlesung zum Thema Value at Risk. Historischer Value-at-Risk, Stress-Value-at-Risk, Monte-Carlo-basierter Value-at-Risk und erwartete Fehlbeträge wurden sowohl aus theoretischer Sicht als auch anhand praktischer Experimente unter Einbeziehung von Marktdaten und Monte-Carlo-Berechnungen diskutiert. Der Vortrag ging auch auf das Konzept des Backtestings zur Beurteilung der Qualität von Value-at-Risk-Berechnungen ein. Der Dozent bringt seine Zufriedenheit mit dem Kurs zum Ausdruck und gratuliert den Zuschauern zum Abschluss, wobei er den praktischen und lohnenden Charakter des behandelten Materials anerkennt.
Fragen und Antworten zu Computational Finance, Band 1, Einführung
Fragen und Antworten zu Computational Finance, Band 1, Einführung
Willkommen auf diesem Kanal! In dieser Videoreihe biete ich eine Reihe von 30 Fragen und Antworten basierend auf dem Kurs Computational Finance an. Die Fragen in diesem Kurs sind nicht nur als Prüfungsfragen nützlich, sondern auch als potenzielle Interviewfragen für Quant-Jobs. Die Folien und Vorlesungsmaterialien für diesen Kurs finden Sie über die Links in der Beschreibung dieser Videos. Der Kurs besteht aus 14 Vorlesungen und behandelt Themen wie Aktien, Stochastik, Preisgestaltung von Optionen, implizite Volatilitäten, Sprünge, Feindiffusionsmodelle, stochastische Volatilität und Preisgestaltung exotischer Derivate.
Für jede Vorlesung habe ich zwei bis vier Fragen vorbereitet und auf jede Frage gebe ich Ihnen eine ausführliche Antwort. Diese Antworten können je nach Komplexität der Frage zwischen zwei und 15 Minuten dauern. Die von mir vorbereiteten Fragen decken eine Vielzahl von Themen ab, von globalen Fragen zu verschiedenen Anlageklassen bis hin zu spezifischeren Fragen zum Heston-Modell und zeitabhängigen Parametern.
In Vorlesung 1 beginnen wir mit einfachen Fragen zu Preismodellen für verschiedene Anlageklassen und dem Zusammenhang zwischen Geldsparkonten und Nullkuponanleihen. Vorlesung 2 behandelt die implizite Volatilität, die Preisgestaltung von Optionen mithilfe der arithmetischen Brownschen Bewegung und den Unterschied zwischen stochastischen Prozessen und Zufallsvariablen. Vorlesung 3 konzentriert sich auf die Feynman-Kac-Formel, eine berühmte Formel in der Computerfinanzierung, und darauf, wie man Plausibilitätsprüfungen für simulierte Aktien durchführt. Vorlesung 4 befasst sich mit impliziten Volatilitätstermstrukturen, den Mängeln des Black-Scholes-Modells und möglichen Lösungen für diese Mängel.
Vorlesung 5 behandelt Sprungprozesse, einschließlich der Eto-Tabelle und ihrer Beziehung zu Poisson-Prozessen, implizite Volatilität und Sprünge sowie charakteristische Funktionen für Modelle mit Sprüngen. Schließlich behandelt Vorlesung 6 stochastische Volatilitätsmodelle, einschließlich des Heston-Modells und zeitabhängiger Parameter.
Wenn Sie mehr über diese Themen erfahren möchten, schauen Sie sich die Playlist mit Vorträgen auf diesem Kanal an.
Können wir dieselben Preismodelle für verschiedene Anlageklassen verwenden?
Können wir dieselben Preismodelle für verschiedene Anlageklassen verwenden?
Im heutigen Computational-Finance-Kurs ging es um die Frage, ob die gleichen Preismodelle für verschiedene Anlageklassen verwendet werden können. Bei der Frage geht es im Wesentlichen darum, ob eine stochastische Differentialgleichung, die erfolgreich auf eine Anlageklasse, beispielsweise Aktien, angewendet wurde, auch für die Modellierung anderer Anlageklassen verwendet werden kann. Im Kurs haben wir verschiedene Anlageklassen untersucht, darunter Aktien, Optionen, Zinssätze, börsengehandelte Rohstoffe, außerbörsliche Strommärkte und mehr. Ziel war es herauszufinden, ob Modelle, die für eine Anlageklasse entwickelt wurden, effektiv auf andere angewendet werden können.
Die kurze Antwort auf diese Frage lautet: Grundsätzlich ist es möglich, dasselbe Preismodell für verschiedene Anlageklassen zu verwenden, dies ist jedoch nicht immer der Fall. Bei der Entscheidung, ob ein Modell auf eine andere Anlageklasse angewendet werden kann, sind mehrere Kriterien zu berücksichtigen. Das erste und wichtigste Kriterium ist, ob die Dynamik des Modells mit den physikalischen Eigenschaften des interessierenden Vermögenswerts übereinstimmt. Wenn ein Modell beispielsweise positive Werte annimmt, ist es möglicherweise nicht für Vermögenswerte wie Zinssätze geeignet, die negativ sein können.
Ein weiteres Kriterium ist, wie die Modellparameter geschätzt werden können. Stehen Optionsmärkte oder historische Daten zur Kalibrierung zur Verfügung? Es ist wichtig zu beachten, dass ein Modell, selbst wenn es einen Optionsmarkt gibt, wie das Black-Scholes-Modell, möglicherweise nicht immer gut mit dem impliziten Volatilitätslächeln oder -versatz des Marktes übereinstimmt. Daher ist es wichtig zu beurteilen, ob das Modell mit der Anlageklasse und den spezifischen Preisanforderungen übereinstimmt. Wenn beispielsweise eine europäische Option mit einem einzigen Basispreis und einer Laufzeit bewertet wird, kann ein einfacheres Modell wie Black-Scholes ausreichen, während für andere Szenarien komplexere Modelle mit stochastischer Volatilität erforderlich sein können.
Die Existenz eines Optionsmarktes, insbesondere das Vorhandensein impliziter Volatilitätslächeln oder -oberflächen, ist ein weiterer zu berücksichtigender Faktor. Wenn im Markt implizite Volatilitätsmuster beobachtet werden, könnten Modelle mit stochastischer Volatilität besser geeignet sein. Fehlen solche Muster jedoch, sind möglicherweise einfachere Modelle mit weniger komplexer Dynamik vorzuziehen.
Darüber hinaus ist es wichtig, die Marktpraxis für die Modellierung zu verstehen. Gibt es einen etablierten Konsens auf dem Markt? Gibt es Dokumentationen und Richtlinien von Börsen oder anderen Quellen? Es ist wichtig, die vorhandene Literatur zu prüfen und ein umfassendes Verständnis der Anlageklasse zu erlangen, bevor man sich für einen stochastischen Prozess entscheidet. Der Versuch, eine stochastische Differentialgleichung an eine Anlageklasse anzupassen, ohne deren Eigenschaften genau zu kennen, führt oft zu suboptimalen Ergebnissen.
Im Kurs haben wir verschiedene Modelle behandelt, darunter auch solche mit Sprüngen und mehreren Differentialgleichungen. Zwei konkrete Beispiele wurden diskutiert, um den Unterschied in der Dynamik zu veranschaulichen: geometrische Brownsche Bewegung und mittelwertumkehrende Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse. Die Wege und Umsetzungen dieser Prozesse unterscheiden sich erheblich, und es ist wichtig, ein Modell zu wählen, das auf die spezifischen Merkmale der Anlageklasse abgestimmt ist. Die geometrische Brownsche Bewegung ist immer positiv und eignet sich daher nicht für die Modellierung von Zinssätzen, die negativ sein können. Ebenso ist ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess möglicherweise nicht für die Modellierung von Beständen geeignet, die ebenfalls ein negatives Verhalten aufweisen können.
Obwohl zahlreiche Modelle verfügbar sind, wie etwa das Heston-Modell, lokale Volatilitätsmodelle oder Hybridmodelle, ist es von entscheidender Bedeutung, mit einem guten Verständnis der Anlageklasse und ihrer Ziele zu beginnen. Verschiedene Modelle haben unterschiedliche Stärken und Schwächen und ihre Anwendbarkeit hängt von den spezifischen Anforderungen und Einschränkungen des Marktes ab.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es grundsätzlich möglich ist, dieselben Preismodelle über verschiedene Anlageklassen hinweg zu verwenden, der Erfolg jedoch nicht in allen Fällen garantiert ist. Die Entscheidung, ein bestimmtes Modell anzuwenden, sollte auf einem gründlichen Verständnis der Anlageklasse, ihrer Dynamik und der spezifischen Preisanforderungen basieren. Durch die Berücksichtigung der zuvor genannten Kriterien und die Durchführung einer Literaturstudie können fundierte Entscheidungen hinsichtlich der Modellauswahl und -anwendung getroffen werden.