Quantitativer Handel - Seite 12

 

16. Portfoliomanagement



16. Portfoliomanagement

Das Video „Portfoliomanagement“ befasst sich mit einem breiten Spektrum an Themen rund um das Portfoliomanagement und vermittelt ein umfassendes Verständnis der Thematik. Der Dozent verfolgt einen praktischen Ansatz und verbindet Theorie mit realen Anwendungen und persönlichen Erfahrungen in der Buy-Side-Branche. Lassen Sie uns in die verschiedenen Abschnitte eintauchen, die im Video behandelt werden:

  • Intuitive Erstellung von Portfolios: Der Kursleiter leitet den Unterricht ein, indem er die Schüler dazu ermutigt, intuitiv Portfolios auf einer leeren Seite zu erstellen. Indem sie Investitionen in Prozentsätze aufschlüsseln, zeigen sie, dass die Vermögensallokation eine entscheidende Rolle im Portfoliomanagement spielt. Die Studierenden werden vom ersten Tag an dazu angeregt, über die Verteilung ihrer Investitionen und die Verwendung ihrer Mittel nachzudenken. Diese Übung hilft den Studierenden, die Grundlagen der Portfoliokonstruktion zu verstehen und bietet Einblicke in Entscheidungsprozesse.

  • Theorie mit Praxis verbinden: In diesem Abschnitt wird die Bedeutung der Beobachtung als erster Schritt zum Lernen von etwas Nützlichem hervorgehoben. Der Dozent erklärt, dass Theorien und Modelle auf der Grundlage von Datenerfassung und Mustererkennung erstellt werden. Allerdings sind im Bereich der Wirtschaftswissenschaften nicht immer wiederholbare Muster erkennbar. Um Theorien zu validieren, müssen Beobachtungen in verschiedenen Szenarien bestätigt oder getestet werden. Die Studierenden werden ermutigt, ihre Portfoliokonstruktionen mit anderen zu teilen, was die aktive Teilnahme und das Engagement fördert.

  • Ziele des Portfoliomanagements verstehen: Der Dozent betont, wie wichtig es ist, die Ziele des Portfoliomanagements zu verstehen, bevor er sich mit der Gruppierung verschiedener Vermögenswerte oder Engagements befasst. Sie präsentieren ein Diagramm, das die Ausgaben als Funktion des Alters veranschaulicht und betont, dass das Ausgabeverhalten jedes Einzelnen einzigartig ist. Das Erkennen der eigenen Situation ist entscheidend für die effektive Festlegung von Portfoliomanagementzielen.

  • Ausgaben und Einnahmen in Einklang bringen: Der Redner stellt das Konzept der Ausgaben- und Einnahmenkurve vor und hebt das Missverhältnis zwischen beiden hervor. Um diese Lücke zu schließen, sind Investitionen erforderlich, die Cashflows generieren, um Einnahmen und Ausgaben auszugleichen. Der Abschnitt behandelt auch verschiedene Finanzplanungsszenarien, wie z. B. Ruhestandsplanung, Rückzahlung von Studiendarlehen, Verwaltung von Pensionsfonds und Verwaltung von Universitätsstiftungen. Die Herausforderungen bei der Kapitalzuteilung an Händler mit unterschiedlichen Strategien und Parametern werden diskutiert, wobei das Risiko üblicherweise anhand der Varianz oder Standardabweichung gemessen wird.

  • Rendite und Standardabweichung: Dieser Abschnitt befasst sich mit der Beziehung zwischen Rendite und Standardabweichung. Der Referent untersucht die Prinzipien der modernen Portfoliotheorie und veranschaulicht sie anhand spezieller Fälle. Investitionen wie Bargeld, Lotterie, Münzwurf, Staatsanleihen, Risikokapitalfinanzierung und Aktien werden in einem Diagramm „Rendite vs. Standardabweichung“ positioniert, um ein klareres Verständnis der Konzepte zu ermöglichen.

  • Investitionsentscheidungen und Effizienzgrenze: Der Redner befasst sich mit verschiedenen Investitionsentscheidungen und deren Platzierung auf einer Karte, die Renditen und Volatilität veranschaulicht. Sie führen das Konzept der Effizienzgrenze ein, das die Rendite maximiert und gleichzeitig die Standardabweichung minimiert. Der Abschnitt konzentriert sich auf einen Sonderfall eines Portfolios mit zwei Vermögenswerten und erläutert, wie Standardabweichung und Varianz berechnet werden. Dieser Überblick ermöglicht es den Zuschauern zu verstehen, wie die Portfoliotheorie Anlageentscheidungen beeinflussen kann.

  • Diversifikationsvorteile und Risikoparität: Der Referent untersucht Szenarien im Portfoliomanagement und hebt die Vorteile der Diversifikation hervor. Sie diskutieren drei Fälle: Nullvolatilität und keine Korrelation, ungleiche Volatilitäten und Nullkorrelation sowie perfekte positive oder negative Korrelation. Diversifikation wird als Strategie zur effektiven Reduzierung der Standardabweichung in einem Portfolio hervorgehoben.

  • Leverage-Portfolioallokation: In diesem Abschnitt wird das Konzept der Leverage als Mittel zur Steigerung der erwarteten Renditen über die gleichgewichtige Allokation hinaus vorgestellt. Durch die Nutzung der Anleihen-zu-Aktien-Allokation können Anleger möglicherweise höhere erwartete Renditen erzielen. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die Hebelwirkung auszubalancieren, um Risiko und Rendite zu optimieren.

  • Sharpe Ratio und Kellys Formel: Das Video befasst sich mit der Sharpe Ratio, auch bekannt als risikogewichtete oder risikoadjustierte Rendite, und Kellys Formel. Während die Vermögensallokation eine entscheidende Rolle im Portfoliomanagement spielt, betont das Video, dass es nicht ausreicht, sich ausschließlich auf die Effizienzgrenze zu verlassen. Der Abschnitt enthält ein Beispiel eines 60-40-Portfolios, um die Wirksamkeit der Vermögensallokation, aber auch ihre potenzielle Volatilität zu demonstrieren.

  • Risikoparität und Portfoliooptimierung: Das Konzept der Risikoparität wird als Alternative zur traditionellen 60-40-Vermögensallokation basierend auf dem Marktwert eingeführt. Ziel der Risikoparität ist es, eine gleiche Gewichtung des Risikos zwischen zwei Vermögenswerten und nicht des Marktrisikos zu erreichen, was zu einer geringeren Standardabweichung und einem geringeren Risiko führt. Das Video betont die Idee der Diversifizierung als Quelle eines „kostenlosen Mittagessens“ und es wird ein einfaches Beispiel vorgestellt, um zu veranschaulichen, wie die gleiche Gewichtung zweier Vermögenswerte zu einem besseren Ergebnis führen kann. Die Neugewichtung wird auch als Methode zur Aufrechterhaltung der gewünschten Vermögensgewichtung von 50:50 im Rahmen eines Risikoparitätsansatzes diskutiert.

  • Diversifikationsvorteile und Vermögenskombinationen: Der Dozent erläutert das Konzept der Diversifikationsvorteile und wie die Kombination von Vermögenswerten in einem Portfolio die Volatilität verringern kann. Sie erwähnen insbesondere den 60/40-Anleihenmarkt und die Risikoparität als Strategien, die darauf abzielen, eine gleiche Risikogewichtung in einem Portfolio zu erreichen. Durch die Diversifizierung über verschiedene Anlageklassen hinweg können Anleger potenziell das Risiko mindern und die Portfolio-Performance verbessern.

  • Die Rolle von Leverage und Portfolioeffizienz: Der Redner betont die Bedeutung von Leverage bei der Portfolioallokation. Sie erklären, dass das Hinzufügen von Leverage zu einem Portfolio die Effizienzgrenze verbessern und höhere Renditen ermöglichen kann. Es ist jedoch von entscheidender Bedeutung, die Hebelwirkung sorgfältig zu steuern, um übermäßige Risiken und potenzielle Verluste zu vermeiden. Der Abschnitt betont den Kompromiss zwischen Risiko und Rendite beim Einsatz von Leverage im Portfoliomanagement.

  • Optimierung risikobereinigter Renditen: Das Konzept der Sharpe Ratio, ein Maß für die risikobereinigte Rendite, wird im Zusammenhang mit dem Portfoliomanagement diskutiert. Das Video erklärt, wie die Maximierung der Sharpe-Ratio zu einem Portfolio mit Risikoparität führen kann, und betont, dass eine Änderung des Hebels keinen Einfluss auf die Steigung der Linie auf der Kurve hat. Der Redner geht auch auf die Beziehung zwischen Beta und der Standardabweichung des Portfolios ein, wobei das Beta je nach Marktvolatilität schwankt.

  • Menschliches vs. Roboter-Portfoliomanagement: Der Redner wirft die Frage auf, ob angesichts der Fortschritte in Technologie und Algorithmen in der heutigen Zeit ein menschlicher Hedgefonds-Manager notwendig ist. Sie erwähnen die Möglichkeit, einen Roboter so zu programmieren, dass er ein Portfolio effektiv verwaltet. Die Antwort auf diese Frage muss jedoch weiter untersucht und diskutiert werden.

  • Unbeabsichtigte Folgen und systemische Risiken: Das Video zeigt, wie die Synchronisierung von Ereignissen zu unbeabsichtigten Folgen führen kann. Anhand von Beispielen wie Soldaten, die über eine Brücke marschieren, oder Metronomen, die sich ohne Gehirn synchronisieren, hebt der Redner die Risiken hervor, die entstehen, wenn alle die gleiche optimale Strategie anwenden, was möglicherweise zu einem systemweiten Zusammenbruch führt. Der Abschnitt betont die Notwendigkeit einer kontinuierlichen Beobachtung, Datenerfassung, Modellbildung und Verifizierung, um komplexe Probleme im Portfoliomanagement anzugehen.

  • Einschränkungen und Unsicherheiten im Portfoliomanagement: Das Video würdigt die Herausforderungen bei der Prognose von Renditen, Volatilität und Korrelation im Portfoliomanagement. Für Vorhersagen werden häufig historische Daten herangezogen, die Zukunft bleibt jedoch ungewiss. Der Redner erörtert die Grenzen der Schätzung von Renditen und Volatilitäten und weist auf die laufende Debatte in diesem Bereich hin. Sie schlagen vor, das Buch „Fortune's Formula“ zu lesen, um Einblicke in die Geschichte und die laufenden Diskussionen rund um die Portfoliooptimierung zu gewinnen.

Im gesamten Video betont der Dozent die Vernetzung der einzelnen Marktteilnehmer und wie wichtig es ist, diesen Aspekt bei der Portfoliooptimierung zu berücksichtigen. Der Redner unterstreicht auch die Rolle der Spieltheorie und die Komplexität des Finanzwesens im Vergleich zu klar definierten Problemen in der Physik. Sie unterstreichen die Bedeutung aktiver Beobachtung, datengesteuerter Modelle und Anpassung, um Herausforderungen im Portfoliomanagement effektiv zu begegnen. Abschließend erkennt der Redner die entscheidende Rolle des Managements über Investitionsentscheidungen hinaus an, insbesondere in Bereichen wie HR und Talentmanagement.

  • Die Bedeutung des Risikomanagements : Das Risikomanagement ist ein entscheidender Aspekt des Portfoliomanagements, der nicht übersehen werden darf. Das Video betont die Notwendigkeit einer umfassenden Risikomanagementstrategie, um Investitionen zu schützen und potenzielle Verluste zu mindern. Der Redner erörtert die verschiedenen Ansätze des Risikomanagements, einschließlich Diversifizierung, Absicherung und die Einbeziehung von Risikomanagementinstrumenten wie Stop-Loss-Orders und Trailing Stops. Sie betonen, wie wichtig es ist, die Risikoexposition kontinuierlich zu überwachen und neu zu bewerten, um sicherzustellen, dass das Portfolio weiterhin mit den Zielen und der Risikotoleranz des Anlegers übereinstimmt.

  • Verhaltensfaktoren im Portfoliomanagement : Das Video befasst sich mit der Rolle von Verhaltensfaktoren im Portfoliomanagement. Der Redner betont den Einfluss von Anlegeremotionen, Vorurteilen und Herdenmentalität auf Anlageentscheidungen. Sie diskutieren, wie diese Faktoren zu irrationalem Verhalten, Marktineffizienzen und der Bildung von Blasen führen können. Das Verstehen und Bewältigen dieser Verhaltensverzerrungen ist für ein erfolgreiches Portfoliomanagement von entscheidender Bedeutung. Der Redner schlägt vor, Strategien wie disziplinierte Anlageprozesse, langfristiges Denken und die Aufrechterhaltung eines diversifizierten Portfolios einzusetzen, um Verhaltensverzerrungen entgegenzuwirken.

  • Dynamische Vermögensallokation : Das Konzept der dynamischen Vermögensallokation wird als Strategie eingeführt, die die Portfolioallokation an veränderte Marktbedingungen und Wirtschaftsaussichten anpasst. Ziel der dynamischen Vermögensallokation sei es, Marktchancen zu nutzen und gleichzeitig Risiken zu mindern, erläutert der Referent. Sie erörtern die Bedeutung der Überwachung von Marktindikatoren, Wirtschaftsdaten und geopolitischen Faktoren, um fundierte Entscheidungen hinsichtlich der Vermögensallokation zu treffen. Das Video unterstreicht die Notwendigkeit eines flexiblen Ansatzes für das Portfoliomanagement, der sich an die sich entwickelnde Marktdynamik anpasst.

  • Langfristiges Investieren und Geduld : Das Video betont die Vorteile langfristigen Investierens und die Bedeutung von Geduld beim Erreichen der Anlageziele. Der Redner erörtert die Macht der Renditesteigerung im Laufe der Zeit und die Vorteile, trotz Marktschwankungen investiert zu bleiben. Sie betonen die potenziellen Fallstricke von kurzfristigem Denken und reaktiver Entscheidungsfindung. Das Video ermutigt Anleger, eine langfristige Perspektive einzunehmen, ein gut diversifiziertes Portfolio zu pflegen und dem Drang zu widerstehen, impulsive Anlageentscheidungen auf der Grundlage kurzfristiger Marktvolatilität zu treffen.

  • Kontinuierliches Lernen und Anpassung : Der Bereich des Portfoliomanagements entwickelt sich ständig weiter und das Video unterstreicht die Bedeutung kontinuierlichen Lernens und Anpassung. Der Redner ermutigt die Zuschauer, über die neuesten Forschungsergebnisse, Markttrends und technologischen Fortschritte in der Investmentbranche auf dem Laufenden zu bleiben. Sie unterstreichen den Wert der beruflichen Weiterentwicklung, der Teilnahme an Seminaren und der Vernetzung mit Kollegen, um Wissen und Fähigkeiten im Portfoliomanagement zu verbessern. Das Video schließt mit der Betonung, dass erfolgreiches Portfoliomanagement ein Engagement für kontinuierliche Weiterbildung und Anpassung an sich ändernde Marktdynamiken erfordert.

Zusammenfassend bietet das Video einen umfassenden Einblick in verschiedene Aspekte des Portfoliomanagements. Es behandelt die intuitive Portfoliokonstruktion, die Beziehung zwischen Risiko und Rendite, das Konzept der Risikoparität, die Effizienzgrenze, die Rolle der Hebelwirkung und die Bedeutung des Risikomanagements. Es befasst sich auch mit Verhaltensfaktoren, dynamischer Vermögensallokation, langfristigen Investitionen und der Notwendigkeit kontinuierlichen Lernens und Anpassungen. Durch das Verständnis dieser Prinzipien und die Umsetzung solider Portfoliomanagementstrategien können Anleger danach streben, ihre finanziellen Ziele zu erreichen und gleichzeitig das Risiko effektiv zu managen.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Anwendung der modernen Portfoliotheorie und teilt persönliche Erfahrungen mit deren Einsatz in verschiedenen Bereichen, wobei der Schwerpunkt auf der Käuferperspektive liegt. Der Dozent beginnt den Unterricht damit, dass er die Schüler intuitiv ein Portfolio anhand einer leeren Seite erstellen lässt, die Bedeutung eines Portfolios erklärt und Beispiele für die Herangehensweise gibt. Das Ziel der Übung besteht darin, den Schülern zu zeigen, wie sie den Prozentsatz ihrer Investitionen aufschlüsseln können, unabhängig davon, ob es sich um einen kleinen Betrag oder ein großes Portfolio handelt, und am ersten Tag darüber nachzudenken, wie sie das Geld verwenden können. Anschließend sammelt der Dozent die Ideen, bringt sie an die Tafel und stellt den Schülern möglicherweise Fragen zu ihren Entscheidungen.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt spricht der Dozent darüber, wie Theorie mit der Praxis zusammenhängt, und erklärt, dass Beobachtung der erste Schritt ist, um etwas Nützliches zu lernen. Sobald die Datenerfassung und Mustererkennung abgeschlossen sind, können Theorien und Modelle zur Erklärung des Phänomens erstellt werden. Anders als in der Physik sind wiederholbare Muster in der Wirtschaftswissenschaft nicht immer offensichtlich. Nach der Entwicklung einer Theorie müssen Beobachtungen bestätigt oder auf Sonderfälle überprüft werden, um zu verstehen, ob das Modell funktioniert oder nicht. Anschließend bittet der Dozent die Klasse, ihre Portfoliokonstruktionen zurückzugeben, und sagt, dass es keine Folien mehr geben wird, um sicherzustellen, dass die Klasse mit ihm Schritt hält.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos stellt der Redner eine Liste verschiedener Vermögenswerte vor, von denen die Menschen stark überzeugt sind, darunter Small-Cap-Aktien, Anleihen, Immobilien, Rohstoffe, quantitative Strategien, Auswahlstrategien, Deep-Value-Modelle usw mehr. Anschließend stellen sie die Frage, wie diese Vermögenswerte oder Engagements gruppiert werden sollen, und erklären, dass es vor der Beantwortung dieser Frage wichtig ist, die Ziele des Portfoliomanagements zu verstehen. Sie präsentieren ein Diagramm, das die Ausgaben als Funktion des Alters darstellt und die Tatsache verdeutlicht, dass das Ausgabeverhalten jedes Einzelnen unterschiedlich ist und dass es für das Verständnis der Portfoliomanagementziele von entscheidender Bedeutung ist, die eigene Situation zu kennen.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner die Ausgaben- und Ertragskurve und warum sie nicht immer übereinstimmen. Um die Differenz auszugleichen, muss man über eine Investition verfügen, die Cashflows generiert, um Einnahmen und Ausgaben auszugleichen. Unterschiedliche Situationen erfordern unterschiedliche Finanzplanungen, wie z. B. der Ruhestand ab einem bestimmten Alter, die Rückzahlung von Studiendarlehen in einem Jahr oder die Verwaltung einer Pensionskasse oder einer Universitätsstiftung. Der Redner erörtert auch die Herausforderungen bei der Kapitalzuteilung an Händler mit unterschiedlichen Strategien und Parametern und erläutert, dass das Risiko nicht genau definiert ist, sondern typischerweise anhand der Varianz oder Standardabweichung gemessen wird.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Beziehung zwischen Rendite und Standardabweichung, wobei er versteht, dass die Standardabweichung nicht negativ werden kann, während die Rendite unter Null fallen kann. Sie gehen auf die moderne Portfolio-Theorie von Harry Markowitz ein und liefern Sonderfälle als Beispiele, um das Verständnis der Konzepte zu erleichtern. Der Redner liefert auch Beispiele dafür, wo bestimmte Investitionen, wie Bargeld, Lotterie, Münzwurf, Staatsanleihen, Risikokapitalfinanzierung und der Kauf von Aktien, im Diagramm „Rendite vs. Standardabweichung“ fallen würden.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner verschiedene Anlagemöglichkeiten und ihren entsprechenden Platz auf einer Karte, die höhere und niedrigere Volatilität und Renditen zeigt. Der Referent erklärt, wie man Investitionen auf der Grundlage der Effizienzgrenze auswählt. Hierbei handelt es sich um eine mögliche Kombination von Investitionen, die die Rendite maximiert und die Standardabweichung minimiert. Der Referent reduziert dies auf einen Sonderfall von zwei Vermögenswerten und erklärt, wie man die Standardabweichung und Varianz dieses Portfolios berechnet. Insgesamt bietet dieser Abschnitt einen Überblick darüber, wie die Portfoliotheorie zur Auswahl von Investitionen genutzt werden kann.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf verschiedene Szenarien im Portfoliomanagement ein. Erstens, wenn Sigma 1 gleich 0 und Sigma 2 ungleich 0 ist und es keine Volatilität im Portfolio gibt, besteht daher keine Korrelation. Zweitens, wenn Sigma 1 nicht gleich 0 ist, Sigma y jedoch gleich Sigma 2 ist und sie nicht korreliert sind. In diesem Fall kann Diversifikation dazu beitragen, die Standardabweichung des Portfolios zu senken. Wenn Vermögenswerte schließlich perfekt korreliert sind, landen sie an einem Punkt, und wenn sie negativ korreliert sind, befindet sich das Portfolio am Tiefpunkt. Der Redner betont die Bedeutung der Diversifikation zur Reduzierung der Standardabweichung in einem Portfolio.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt des Videos spricht der Referent über verschiedene Fälle im Portfoliomanagement. Er erklärt, dass, wenn Bargeld zum Portfolio hinzugefügt wird, es zu einem risikolosen Vermögenswert wird und mit unbaren Vermögenswerten kombiniert werden kann, um eine höhere Effizienzgrenze und höhere Renditen zu schaffen. Er stellt außerdem fest, dass die Renditen gleich sind, wenn die Gewichtungen der Vermögenswerte an beiden Extremen liegen, bei ausgeglichenen Gewichten die Varianz jedoch auf Null reduziert werden kann. Abschließend erörtert der Redner die Steigung der Linie und ihre Beziehung zur Kapitalmarktlinie und zur Effizienzgrenze.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Konzept der Effizienzgrenze für das Portfoliomanagement und konzentriert sich dabei auf Beispiele von zwei und drei Vermögenswerten. Er erklärt, dass für zwei Vermögenswerte mit einer negativen Korrelation von eins die Varianz mit einer quadratischen Funktion auf Null minimiert werden kann. Für drei Vermögenswerte mit gleichen Volatilitäten und einer Korrelation von Null kann die Varianz der effizienten Grenze über der Quadratwurzel von dreimal Sigma 1 auf 1 minimiert werden. Der Redner betont, dass das Beispiel mit zwei Vermögenswerten in der Praxis für den Vergleich von Kombinationen von Bedeutung ist, z die beliebte 60-40-Benchmark für Aktien und Anleihen und führt zur Diskussion von Beta und Sharpe Ratio.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt werden das Konzept der Sharpe Ratio, auch bekannt als risikogewichtete oder risikoadjustierte Rendite, und Kellys Formel besprochen. Es wird erläutert, dass die Asset-Allokation zwar für das Portfoliomanagement von entscheidender Bedeutung ist, die bloße Verwendung der Effizienzgrenze zur Bestimmung der Asset-Gewichte und der zu wählenden Strategien jedoch nicht ausreicht. Das Beispiel eines 60-40-Portfolios soll zeigen, wie die Vermögensallokation effektiv, aber auch volatil sein kann, wie die Technologieblase im Jahr 2000 und die Finanzkrise im Jahr 2008 gezeigt haben.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Risikoparität als Alternative zur traditionellen 60:40-Allokation von Vermögenswerten basierend auf dem Marktwert vorgestellt. Bei der Risikoparität wird das Risiko zwischen zwei Vermögenswerten im Gegensatz zum Marktrisiko gleich gewichtet, um eine geringere Standardabweichung und ein geringeres Risiko zu erreichen. Die Idee der Diversifizierung als Quelle eines „kostenlosen Mittagessens“ wird ebenfalls diskutiert, wobei ein einfaches Beispiel gegeben wird, um zu zeigen, wie eine gleiche Gewichtung zweier Vermögenswerte zu einem besseren Ergebnis führen kann. Das Konzept der Neugewichtung wird eingeführt, um die 50:50-Gewichtung der Vermögenswerte im Risikoparitätsansatz beizubehalten.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent das Konzept der Diversifikationsvorteile und wie diese durch die Kombination von Vermögenswerten in einem Portfolio erreicht werden können, um die Volatilität zu reduzieren. Er spricht über den 60/40-Anleihenmarkt und die Risikoparität, die darauf abzielt, eine gleiche Risikogewichtung in einem Portfolio zu erreichen. Das Konzept der Hebelwirkung wird eingeführt, wenn es um die Frage geht, wie man über die Gleichgewichtsallokation hinausgehen und mehr Risiko schaffen kann. Der Dozent schlägt vor, die 25/75-Anleihen-zu-Aktien-Allokation zu nutzen, um höhere erwartete Renditen zu erzielen.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Beziehung zwischen Leverage, Standardabweichung und der Sharpe Ratio in einem Risikoparitätsportfolio. Sie erklären, dass man durch die Maximierung der Sharpe-Ratio ein Risikoparitätsportfolio erreichen kann und dass eine Änderung des Hebels keinen Einfluss auf die Steigung der Linie auf der Kurve hat. Sie gehen auch auf die Beziehung zwischen Beta und der Standardabweichung des Portfolios ein, wobei das Beta je nach Marktvolatilität zunimmt oder abnimmt. Abschließend stellt der Redner die Frage, warum jemand einen Hedgefonds-Manager braucht, wenn man einen Roboter für die Verwaltung eines Portfolios programmieren kann, verschiebt die Antwort auf diese Frage jedoch für später.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt zeigt das Video, wie die Synchronisierung von Ereignissen unbeabsichtigte Folgen haben kann. Das Beispiel von Soldaten, die über eine Brücke marschieren, zeigt, wie die Kraft synchroner Bewegungen von Menschen ein Ungleichgewicht erzeugen kann, das zum Einsturz von Dingen führt. Das gleiche Phänomen gilt für Portfolios, wenn alle die gleiche optimale Strategie umsetzen und so ein System entsteht, das vom Zusammenbruch bedroht ist. Das Video zeigt ein weiteres Beispiel mit Metronomen, die sich synchronisieren, ohne über ein Gehirn zu verfügen. Dieses Phänomen wird in einem Buch erklärt und die Demonstration erzeugt eine erhebliche Wirkung.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Konzept der Ergebnismaximierung unter Berücksichtigung der Tatsache, dass alle Personen auf dem Markt miteinander verbunden sind. Sie betonen, dass die Suche nach einer stationären, besten Möglichkeit zur Optimierung Ihres Portfolios dazu führen kann, dass alle das Gleiche herausfinden und letztendlich zu Verlusten führen. Der Redner erwähnt auch, dass der Bereich Finanzen, insbesondere die quantitative Finanzierung, nicht vorhersehbar und kein mechanischer Prozess wie die Lösung physikalischer Probleme sei. Die Idee, zu beobachten, Daten zu sammeln, Modelle zu erstellen, zu überprüfen und erneut zu beobachten, ist für die Lösung von Problemen von entscheidender Bedeutung. Der Referent erklärt, dass die Spieltheorie eine wesentliche Rolle in der Marktsituation spielt, jedoch komplexer ist als ein klar definiertes Regelwerk. Abschließend wird das Konzept von Risikoparitätsportfolios erörtert und darauf hingewiesen, dass der Erfolg des Portfolios davon abhängen kann, wie gut Sie genau bestimmen können, welcher Vermögenswert eine geringe Volatilität aufweist.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner einen Risikoparitätsansatz für das Portfoliomanagement, bei dem Anleihen aufgrund ihrer geringeren Volatilität übergewichtet werden. Allerdings kann sich das Portfolio immer noch schlecht entwickeln, wenn es bei Anleihen zu einem Ausverkauf kommt, wie es nach der Ankündigung von Bernanke zur Reduzierung der quantitativen Lockerung der Fall war. Dies wirft die Frage auf, ob der Risikoparitätsansatz wirksam ist oder nicht. Der Redner weist darauf hin, dass historische Daten zur Vorhersage von Volatilität, Rendite und Korrelation verwendet werden, die Zukunft jedoch immer ungewiss ist. Darüber hinaus neigen Karriereinvestoren dazu, Benchmarks zu erstellen und der Masse zu folgen, was die Entdeckung neuer Anlageklassen oder die Entwicklung neuer Strategien erschwert. Obwohl Computer den Menschen in vielerlei Hinsicht überlegen sind, ist unklar, ob sie menschliche Investmentmanager jemals vollständig ersetzen können. Der Redner weist außerdem darauf hin, dass dem Management eine Schlüsselrolle im Personal- und Talentmanagement zukommt und sich nicht nur auf Investitionen konzentriert.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt spricht der Redner über das Risiko und darüber, dass es nicht am besten nur anhand der Volatilität oder Standardabweichung gemessen werden kann. Er erklärt, dass Risiken zwar aus vielen Blickwinkeln betrachtet werden können, die einzige Antwort auf die Portfoliomanagement-Theorie jedoch darin besteht, sich nur auf die erwartete Rendite zu konzentrieren. Der Redner ist jedoch anderer Meinung und erklärt, dass es wichtig sei, zwischen zwei Managern mit der gleichen erwarteten Rendite zu unterscheiden, und dass dies der Kern der Debatte sei. Der Abschnitt endet mit einer Diskussion über die Grenzen der Schätzung von Renditen und Volatilitäten.

  • 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutieren die Referenten die Schwierigkeit, Renditen, Volatilität und Korrelation im Portfoliomanagement vorherzusagen. Sie weisen darauf hin, dass das Risikoparitätsportfolio eher auf den Risikoausgleich als auf die Rendite ausgerichtet ist und möglicherweise eine bessere Strategie darstellt. Darüber hinaus erwähnen sie das Kelly-Kriterium, das sich mit den Themen mehrperiodiger Investitionen und optimalem Wetten mit der eigenen Bankroll befasst. Sie empfehlen einen Blick in das Buch „Fortune's Formula“, um mehr über die Geschichte und Debatte rund um die Portfoliooptimierung zu erfahren.
16. Portfolio Management
16. Portfolio Management
  • 2015.01.06
  • www.youtube.com
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Jake XiaThis lect...
 

17. Stochastische Prozesse II



17. Stochastische Prozesse II

In diesem Abschnitt der Videoserie wird das Konzept der Brownschen Bewegung als Lösung für die Schwierigkeit vorgestellt, die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Pfades in einem stochastischen Prozess zu handhaben, insbesondere im Fall einer kontinuierlichen Variablen. Die Brownsche Bewegung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge stetiger Funktionen von positiven reellen Zahlen zu den reellen Zahlen. Es verfügt über Eigenschaften, die es zu einem sinnvollen Modell für verschiedene Phänomene machen, beispielsweise für die Beobachtung der Pollenbewegung im Wasser oder die Vorhersage des Verhaltens von Aktienkursen.

Darüber hinaus stellt das Video das Konzept des Ito-Kalküls vor, das eine Erweiterung der klassischen Analysis auf die Einstellung stochastischer Prozesse darstellt. Die traditionelle Analysis funktioniert nicht mit der Brownschen Bewegung, und die Ito-Kalküle bietet eine Lösung für die Modellierung der prozentualen Differenz der Aktienkurse. Das aus der Taylor-Entwicklung abgeleitete Lemma von Ito ist ein grundlegendes Werkzeug in der stochastischen Analysis, das die Berechnung der Differenz einer Funktion über einen kleinen Zeitanstieg mithilfe der Brownschen Bewegung ermöglicht. Es bereichert die Theorie der Infinitesimalrechnung und ermöglicht die Analyse von Prozessen mit Brownscher Bewegung.

Das Video diskutiert auch die Eigenschaften der Brownschen Bewegung, wie zum Beispiel die Tatsache, dass sie nirgends differenzierbar ist und die t-Achse unendlich oft kreuzt. Trotz dieser Eigenschaften hat die Brownsche Bewegung Auswirkungen auf das wirkliche Leben und kann als physikalisches Modell für Größen wie Aktienkurse verwendet werden. Der Grenzwert einer einfachen Irrfahrt ist eine Brownsche Bewegung, und diese Beobachtung hilft beim Verständnis ihres Verhaltens.

Darüber hinaus untersucht das Video die Verteilung einer Summe von Zufallsvariablen und deren Erwartung im Kontext der Brownschen Bewegung. Es diskutiert die Konvergenz der Summe normaler Variablen und wendet sie auf Brownsche Bewegungen an.

Zusammenfassend stellt dieser Abschnitt der Videoserie die Brownsche Bewegung als Lösung für den Umgang mit der Wahrscheinlichkeitsdichte eines Pfades in einem stochastischen Prozess vor. Es erklärt die Eigenschaften der Brownschen Bewegung, ihre Anwendung bei der Modellierung von Aktienkursen und Finanzderivaten und die Notwendigkeit, dass Itos Kalkül damit funktioniert. Das Verständnis dieser Konzepte ist für die Analyse zeitkontinuierlicher stochastischer Prozesse und ihrer Anwendungen in verschiedenen Bereichen von entscheidender Bedeutung.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt führt der Professor in das Thema kontinuierlicher stochastischer Prozesse ein und erinnert die Studierenden daran, Konzepte wie Martingale und Markov-Ketten zu wiederholen, die in kommenden Vorlesungen verwendet werden. Er erklärt auch, dass im Gegensatz zu diskreten Zeitprozessen die zugrunde liegende Zeitvariable in kontinuierlichen Zeitprozessen kontinuierlich ist. Dies führt zu der Schwierigkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Verwendung indirekter Methoden zu beschreiben, da zur Beschreibung des kontinuierlichen Zeitprozesses unendlich viele Intervalle erforderlich wären.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Sprecher die Schwierigkeit, die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Pfades in einem stochastischen Prozess zu handhaben, insbesondere im Fall einer kontinuierlichen Variablen. Als Lösung für dieses Problem führen sie das Konzept der Brownschen Bewegung ein, bei der es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge stetiger Funktionen von positiven reellen bis zu reellen Zahlen handelt. Diese Verteilung stellt sicher, dass der Prozess immer bei 0 beginnt, stationäre Inkremente mit einer Normalverteilung und unabhängige Inkremente zwischen sich nicht überlappenden Intervallen aufweist. Obwohl diese Verteilung sehr kompliziert ist, ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Pfades zu beschreiben, wenn es um eine kontinuierliche Zeitvariable geht.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Brownschen Bewegung und wie sie bestimmte Bedingungen erfüllt, die ihren Beweis sehr schwierig machen. Der Raum aller möglichen Pfade macht ihn zu einem komplizierten Wahrscheinlichkeitsraum. Anschließend erklärt der Professor, dass die Brownsche Bewegung den Grenzwert einfacher Irrfahrten darstellt, und erörtert ihre anderen Namen, beispielsweise den Wiener-Prozess. Abschließend stellt er fest, dass die nächsten Vorlesungen zeigen werden, wie wichtig es ist, zeitkontinuierliche stochastische Prozesse zu untersuchen.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Limitierung in Bezug auf die Brownsche Bewegung und wie sie zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden kann, diskutiert. Durch eine einfache Zufallswanderung, deren Skalierung vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt 1 und die lineare Erweiterung der Zwischenwerte erfolgt, ist die resultierende Verteilung eine Brownsche Bewegung. Dieser Prozess ist nicht neu; Es ist die Grenze dieser Objekte, die wir bereits kennen. Diese Beobachtung hat Auswirkungen auf die Verwendung der Brownschen Bewegung als physikalisches Modell für bestimmte Größen, beispielsweise Aktienkurse. Die Brownsche Bewegung wurde im 19. Jahrhundert vom Botaniker Brown entdeckt, als er ein Pollenpartikel im Wasser beobachtete, was zu der Erkenntnis führte, dass es sich um eine kontinuierliche Zitterbewegung handelt, die heute als Brownsche Bewegung bekannt ist.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Konzept der Brownschen Bewegung und warum es ein sinnvolles Modell für bestimmte Phänomene ist, wie zum Beispiel die Beobachtung der Pollenbewegung im Wasser oder die Vorhersage des Verhaltens von Aktienkursen. Brown entdeckte, dass die Bewegung von Pollen im Wasser eine Brownsche Bewegung nach links und rechts ist, aber Einstein war der erste, der dies ausführlich erklärte und Erkenntnisse lieferte. Der Sprecher erklärt, dass sich winzige Wassermoleküle unendlich klein verhalten und sich im Wasser verrückt bewegen. Wenn diese mit dem Pollen kollidieren, ändern sie dessen Richtung ein wenig. Wenn Sie den Preis einer Aktie in kleinen Maßstäben betrachten, werden Sie ebenfalls feststellen, dass der Preis ständig schwankt und ihn nach oben oder unten treibt. In beiden Fällen ist der Grenzwert einer einfachen Irrfahrt eine Brownsche Bewegung und daher ein sinnvolles Modell.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher einige Eigenschaften der Kurve, die von der Brownschen Bewegung abweicht, einschließlich der Tatsache, dass sie die t-Achse unendlich oft kreuzt und nicht zu stark von der Kurve y=sqrt(t) abweicht. und ist nirgends differenzierbar. Obwohl dies überraschend und sogar problematisch erscheinen mag, hat es Auswirkungen auf das wirkliche Leben und eine modifizierte Version der Infinitesimalrechnung, die so genannte Ito-Infinitesimalrechnung, kann zur Analyse verwendet werden.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Ito-Kalküls als Erweiterung der klassischen Analysis auf die Einstellung stochastischer Prozesse vorgestellt. Aus Zeitgründen werden jedoch nur grundlegende Eigenschaften und Berechnungen behandelt. Bevor wir uns mit Itos Kalkül befassen, werden die Eigenschaften der Brownschen Bewegung insbesondere als Modell für Aktienkurse diskutiert. Die Verteilung des Mindest- und Höchstwerts für Aktienkurse unter Verwendung der Brownschen Bewegung als Modell wird berechnet und es wird gezeigt, dass für alle t die Wahrscheinlichkeit, dass M(t) größer als a und positiv a ist, gleich dem Zweifachen der Wahrscheinlichkeit ist dass die Brownsche Bewegung größer als a ist. Der Beweis beinhaltet die Verwendung der Stoppzeit, um den ersten Zeitpunkt aufzuzeichnen, an dem die Brownsche Bewegung die Gerade a trifft.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Wahrscheinlichkeit, dass eine Brownsche Bewegung vor dem Zeitpunkt t eine bestimmte Linie (a) trifft, und was danach passiert. Trifft die Bewegung vor dem Zeitpunkt t auf die Linie, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie oberhalb oder unterhalb von a endet, gleich, da der Weg gespiegelt werden kann. Anschließend erklärt der Sprecher, wie diese Wahrscheinlichkeit damit zusammenhängt, dass das Maximum zum Zeitpunkt t größer als a ist. Durch Umordnen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten zeigt der Sprecher, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Maximum zum Zeitpunkt t größer als a ist, gleich dem Doppelten der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Brownsche Bewegung größer als a ist.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum eines stochastischen Prozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt größer als ein gegebener Wert ist. Nach tau_a gibt es nur zwei Möglichkeiten: Es nimmt entweder zu oder ab, und beide Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Der Sprecher beweist außerdem, dass die Brownsche Bewegung zu keinem gegebenen Zeitpunkt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 differenzierbar ist, und erklärt anhand des Mittelwertsatzes, dass der maximale Gewinn im Zeitintervall von t bis t plus Epsilon mal Epsilon beträgt.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner Eigenschaften der Brownschen Bewegung und der quadratischen Variation, die für Itos Kalkül wichtig sein werden. Der Sprecher erklärt, dass eine Brownsche Bewegung, wenn sie differenzierbar ist, bis zu einem bestimmten Punkt immer innerhalb eines Kegels hätte liegen müssen, was aber nicht passieren kann, da der Maximalwert über ein bestimmtes Zeitintervall immer größer als ein bestimmter Wert ist. Anschließend stellt der Redner das Konzept der quadratischen Variation vor und erläutert seine Bedeutung in der Analysis, bei der eine Funktion innerhalb des Zeitintervalls in n Teile zerlegt wird.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die quadratische Variation und ihre Auswirkungen auf die Brownsche Bewegung. Bei der quadratischen Variation wird die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Punkten in einer Funktion gebildet, quadriert und anschließend summiert, wenn n gegen Unendlich geht. Für die Brownsche Bewegung liegt der Grenzwert dieser Summe bei T, für stetig differenzierbare Funktionen beträgt die quadratische Variation jedoch 0. Die Nichtdifferenzierbarkeit der Brownschen Bewegung hat wichtige Auswirkungen, beispielsweise die Möglichkeit, Aktienkurse und Diffusionsprozesse zu modellieren.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor die Verteilung einer Summe von Zufallsvariablen und ihren Erwartungswert bei der Untersuchung der Brownschen Bewegung. Er erklärt, dass die Summe normaler Variablen mit einem Mittelwert von T über n unter Verwendung des starken Gesetzes der großen Zahlen gegen T über n konvergiert. Anschließend erwähnt er, dass dies für alle Brownschen Bewegungen mit der Wahrscheinlichkeit eins gilt.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt spricht der Redner über Itos Kalkül und seine Motivation. Er erläutert, dass die Brownsche Bewegung kein schlechtes Modell für Aktienkurse ist, aber nicht ideal, da anstelle der Differenzen die Perzentildifferenz normalverteilt sein muss. Das bedeutet, dass die Differentialgleichung zur Modellierung der prozentualen Differenz der Aktienkurse der Brownschen Bewegung folgt. Allerdings funktioniert die klassische Analysis in diesem Fall nicht, da die Brownsche Bewegung nicht differenzierbar ist. Dafür ist etwas anderes erforderlich, und hier kommt der Ito-Kalkül ins Spiel. Der Redner erklärt auch, wie der Ito-Kalkül bei der Schätzung von Infinitesimaldifferenzen und bei der Preisgestaltung von Optionen hilfreich sein kann.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner das Konzept von Finanzderivaten, bei dem es sich um eine Funktion handelt, die auf einen zugrunde liegenden finanziellen Vermögenswert angewendet wird. Er erklärt, dass es von entscheidender Bedeutung ist, den Wertunterschied im Vergleich zum Unterschied im zugrunde liegenden Vermögenswert zu verstehen. Der Sprecher räumt jedoch ein, dass es schwierig ist, die Brownsche Bewegung zu differenzieren, und konzentriert sich stattdessen auf die Berechnung der winzigen Differenz von dBt und verwendet sie, um die Änderung der Funktion anhand der Differenzierung von f zu beschreiben. Der Sprecher erklärt dann, dass die Differenzierung nicht gültig sei, da der Faktor dB im Quadrat gleich dt sei, was er weiter erläutert.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Ito-Lemmas als grundlegendes Werkzeug in der stochastischen Analysis vorgestellt. Das Lemma von Ito ist aus der Taylor-Entwicklung abgeleitet und ermöglicht die Berechnung der Differenz einer Funktion über einen kleinen Zeitanstieg unter Verwendung der Brownschen Bewegung. Das Lemma gilt als nicht trivial und wird in Forschungsarbeiten häufig zitiert, da es die Analysis mit Brownscher Bewegung ermöglicht und die Theorie der Analysis erheblich bereichert. In diesem Abschnitt wird die Bedeutung des Ito-Lemmas in der stochastischen Analysis hervorgehoben.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher, dass dB_t im Quadrat gleich dt ist, was darauf zurückzuführen ist, dass B_t wie eine normale Zufallsvariable mit einem Mittelwert von 0 und einer Varianz von t ist. Durch diese Berechnung wird die Berechnung mit der Brownschen Bewegung komplexer. Der Redner ermutigt die Zuschauer, über das Konzept nachzudenken und erwähnt, dass er es noch einmal überprüfen wird.
17. Stochastic Processes II
17. Stochastic Processes II
  • 2015.01.06
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18. Itō-Kalkül



18. Itō-Kalkül

In diesem umfassenden Video zur Ito-Infinitesimalrechnung wird ein breites Themenspektrum im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen und Infinitesimalrechnung behandelt. Der Professor befasst sich mit den Feinheiten des Ito-Lemmas, einer ausgefeilteren Version des Originals, und liefert eine detaillierte Erklärung der quadratischen Variation der Brownschen Bewegung. Das Konzept der Drift in einem stochastischen Prozess wird untersucht und praktische Demonstrationen durchgeführt, wie das Lemma von Ito zur Bewertung solcher Prozesse angewendet werden kann. Das Video geht auch auf Integration und die Riemannsche Summenbeschreibung der Integration, angepasste Prozesse und Martingale ein. Es wird betont, wie wichtig es ist, grundlegende Rechenübungen durchzuführen, um sich mit dem Thema vertraut zu machen. Darüber hinaus gibt das Video abschließend einen Ausblick auf das kommende Thema, das Girsanov-Theorem.

Im darauffolgenden Abschnitt des Videos setzt der Professor die Diskussion über die Ito-Kalküle fort, indem er das Lemma von Ito überprüft und in einer etwas allgemeineren Form präsentiert. Mithilfe der Taylor-Entwicklung analysiert der Professor die Änderungen einer Funktion f, wenn ihre erste und zweite Variable variieren. Der Professor nutzt die Brownsche Bewegung, um f(t, B_t) zu bewerten. Durch die Einbeziehung der quadratischen Variation der Brownschen Bewegung und der beiden Variablen t und x liefert das Video eine Erklärung dafür, warum sich die Ito-Kalküle von der klassischen Analysis durch die Einbeziehung eines zusätzlichen Termes unterscheidet. Im weiteren Verlauf konzentriert sich das Video auf den Term zweiter Ordnung der Taylor-Entwicklung, ausgedrückt durch partielle Ableitungen. Die entscheidenden Terme, nämlich del f über del t dt, del f über del x dx und die Terme zweiter Ordnung, werden untersucht. Durch die Neuanordnung dieser Begriffe wird eine ausgefeiltere Form des Ito-Lemmas abgeleitet, die einen zusätzlichen Begriff enthält. Das Video zeigt, dass die Terme, die dB_t-Quadrat und dt mal dB_t betreffen, im Vergleich zu dem Term, der die zweite Ableitung von f nach x betrifft, unbedeutend sind, da dieser aufgrund seiner Äquivalenz zu dt erhalten bleibt. Dies führt zu einem verfeinerten Verständnis der Ito-Kalküle.

Das Video stellt dann das Konzept eines stochastischen Prozesses mit einem Driftterm vor, der sich aus der Hinzufügung eines Termes zu einer Brownschen Bewegung ergibt. Diese Art von Prozess wird zum Hauptgegenstand der Untersuchung, wobei der Unterschied in Form eines Driftterms und eines Brownschen Bewegungsterms ausgedrückt werden kann. Die allgemeine Form des Ito-Lemmas wird erläutert, die aufgrund der quadratischen Variation von der ursprünglichen Form abweicht. Darüber hinaus nutzt das Video das Ito-Lemma zur Bewertung stochastischer Prozesse. Die quadratische Variation ermöglicht die Trennung des zweiten Ableitungsterms und ermöglicht so die Ableitung komplexer Terme. Es wird ein Beispiel mit der Funktion f(x) = x^2 vorgestellt, das zeigt, wie d von f bei B_t berechnet wird. Die erste partielle Ableitung von f nach t wird als 0 bestimmt, während die partielle Ableitung nach x 2x ist und die zweite Ableitung bei t, x, 2 ist.

Das Video erklärt dann die Berechnung von d von f bei t Komma B von t. Die Formel enthält Begriffe wie Teil-f über Teil-t dt, Teil-f über Teil-x dB_t und 1/2 Teilquadrat f über Teil-x-Quadrat von dB_t-Quadrat, das gleich dt ist. Es werden Beispiele bereitgestellt, um zu verstehen, wie diese Formeln verwendet werden und wie die Variablen ersetzt werden. Der Unterschied zwischen Sigma und einer variablen Sigma-Primzahl in der Formel und der Zeitpunkt ihrer Anwendung wird ebenfalls erläutert. Als Grundlage für diese Formel wird die Brownsche Bewegung verwendet, da sie die einfachste Form darstellt.

Im folgenden Abschnitt geht der Professor auf das vorgeschlagene Modell für den Aktienkurs unter Verwendung der Brownschen Bewegung ein und stellt fest, dass S_t nicht gleich e zum Sigma mal B von t ist. Obwohl dieser Ausdruck einen erwarteten Wert von 0 ergibt, führt er zu einer Drift. Um dieses Problem zu lösen, wird der Term 1/2 von Sigma-Quadrat mal dt vom Ausdruck subtrahiert, was zu dem neuen Modell S von t führt, das gleich e minus 1 über 2 Sigma-Quadrat t plus Sigma mal B_t ist. Dies stellt eine geometrische Brownsche Bewegung ohne Drift dar. Der Professor erklärt weiter, dass wir, wenn wir einen Beispielpfad B_t haben, einen entsprechenden Beispielpfad für S von t erhalten können, indem wir zu jedem Zeitpunkt den Exponentialwert von B_t nehmen.

Als nächstes verlagert das Video seinen Fokus auf die Definition von Integration. Integration wird als Umkehrung der Differenzierung beschrieben, mit einer etwas „dummen“ Definition. Es stellt sich die Frage, ob bei f und g immer Integration existiert. Das Video untersucht dann die Beschreibung der Integration vom Riemannschen Summentyp, bei der das Intervall in sehr feine Stücke unterteilt und die Flächen der entsprechenden Kästchen summiert werden. Der Grenzwert der Riemannschen Summen wird erklärt, wenn sich die Funktion der Unendlichkeit nähert, während n gegen Unendlich geht, was eine detailliertere Erklärung liefert.

Es wird eine interessante Frage bezüglich der Beziehung zwischen dem Ito-Integral und der Beschreibung des Riemannschen Summentyps behandelt. Das Video erklärt, dass dem Ito-Integral die Eigenschaft der Riemannschen Summe fehlt, bei der die Wahl des Punktes innerhalb des Intervalls keine Rolle spielt. Darüber hinaus erwähnt das Video eine alternative Version der Ito-Kalküle, die den Punkt ganz rechts in jedem Intervall anstelle des Punktes ganz links berücksichtigt. Diese alternative Version entspricht zwar dem Ito-Kalkül, enthält jedoch Minuszeichen anstelle von Pluszeichen im Term zweiter Ordnung. Letztendlich betont das Video, dass in der realen Welt Entscheidungen über Zeitintervalle auf der Grundlage des am weitesten links stehenden Punktes getroffen werden müssen, da die Zukunft nicht vorhergesagt werden kann.

Der Referent bietet eine intuitive Erklärung und Definition angepasster Prozesse in der Ito-Kalküle. Angepasste Prozesse zeichnen sich dadurch aus, dass Entscheidungen ausschließlich auf der Grundlage vergangener Informationen bis zum aktuellen Zeitpunkt getroffen werden, eine Tatsache, die in der Theorie selbst verankert ist. Das Video veranschaulicht dieses Konzept anhand von Beispielen wie einer Aktienstrategie, die ausschließlich auf vergangenen Aktienkursen basiert. Die Relevanz angepasster Prozesse im Rahmen der Ito-Kalküle wird hervorgehoben, insbesondere in Situationen, in denen Entscheidungen nur zum Zeitpunkt ganz links getroffen werden können und zukünftige Ereignisse unbekannt bleiben. Der Referent betont die Bedeutung des Verständnisses angepasster Prozesse und liefert mehrere anschauliche Beispiele, darunter die Minimum-Delta-T-Strategie.

Die Eigenschaften des Ito-Integrals in der Ito-Kalküle werden im folgenden Abschnitt besprochen. Zunächst wird hervorgehoben, dass das Ito-Integral eines angepassten Prozesses jederzeit einer Normalverteilung folgt. Zweitens wird das Konzept der Ito-Isometrie eingeführt, das die Berechnung der Varianz ermöglicht. Die Ito-Isometrie besagt, dass der erwartete Wert des Quadrats des Ito-Integrals eines Prozesses gleich dem Integral des Quadrats des Prozesses über die Zeit ist. Um das Verständnis zu erleichtern, wird eine visuelle Hilfe eingesetzt, um den Begriff der Ito-Isometrie zu verdeutlichen.

Als Fortsetzung der Diskussion befasst sich das Video mit den Eigenschaften von Ito-Integralen. Es ist erwiesen, dass die Varianz des Ito-Integrals eines angepassten Prozesses der quadratischen Variation der Brownschen Bewegung entspricht, und dies kann auf einfache Weise berechnet werden. Das Konzept der Martingale in stochastischen Prozessen wird eingeführt und erläutert, wie das Vorhandensein oder Fehlen eines Driftterms in einer stochastischen Differentialgleichung bestimmt, ob der Prozess ein Martingal ist. Der Redner geht auch auf die Anwendungen von Martingalen in der Preistheorie ein und unterstreicht die Bedeutung des Verständnisses dieser Konzepte im Rahmen der Ito-Kalküle. Die Zuschauer werden ermutigt, sich an grundlegenden Rechenübungen zu beteiligen, um ihre Vertrautheit mit dem Thema zu verbessern. Abschließend erwähnt der Redner, dass das nächste Thema, das behandelt werden soll, der Satz von Girsanov ist.

Im darauffolgenden Abschnitt befasst sich das Video mit dem Girsanov-Theorem, bei dem es darum geht, einen stochastischen Prozess mit Drift in einen Prozess ohne Drift umzuwandeln und ihn so in ein Martingal umzuwandeln. Das Girsanov-Theorem ist von großer Bedeutung in der Preistheorie und findet Anwendung bei verschiedenen Glücksspielproblemen innerhalb diskreter stochastischer Prozesse. Der Gastredner stellt das Konzept der Wahrscheinlichkeitsverteilung über Pfade und Gaußsche Prozesse vor und bereitet so den Grundstein für das Verständnis des Theorems. Schließlich wird eine einfache Formel zur Darstellung der Radon-Nikodym-Ableitung bereitgestellt, die eine entscheidende Rolle im Girsanov-Theorem spielt.

Abschließend beleuchtet das Video die umfassenderen Implikationen der Itō-Kalküle für stochastische Prozesse. Es wird betont, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Werts eines Portfolios im Zeitverlauf anhand einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gemessen werden kann, die von einem Aktienkurs abhängt, der mithilfe der Brownschen Bewegung mit Drift modelliert wird. Durch die Werkzeuge und Konzepte der Itō-Kalküle kann dieses Problem in ein Problem mit Brownscher Bewegung ohne Drift umgewandelt werden, indem der Erwartungswert in einem anderen Wahrscheinlichkeitsraum berechnet wird. Diese Transformation ermöglicht die Umwandlung eines Nicht-Martingal-Prozesses in einen Martingal-Prozess, der in realen Szenarien sinnvolle Interpretationen bietet.

Um die Feinheiten der Itō-Rechnung vollständig zu verstehen, ermutigt das Video die Zuschauer, grundlegende Rechenübungen zu üben und sich mit den zugrunde liegenden Konzepten vertraut zu machen. Auf diese Weise können Einzelpersonen ein tieferes Verständnis für stochastische Prozesse, stochastische Integration und die Anwendungen der Itō-Kalküle in verschiedenen Bereichen entwickeln.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dieses umfassende Video zur Itō-Kalküle ein breites Themenspektrum abdeckt. Es beginnt mit einer Untersuchung des Ito-Lemmas, der quadratischen Variation der Brownschen Bewegung und des Konzepts der Drift in stochastischen Prozessen. Anschließend befasst es sich mit der Bewertung stochastischer Prozesse mithilfe des Ito-Lemmas und erörtert die Integration und die Riemannsche Summentypbeschreibung der Integration. Das Video stellt außerdem angepasste Prozesse, Martingale und die Eigenschaften von Ito-Integralen vor. Schließlich wird das Girsanov-Theorem hervorgehoben und die umfassenderen Implikationen des Itō-Kalküls für das Verständnis und die Modellierung stochastischer Prozesse hervorgehoben.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt setzt der Professor die Diskussion über die Ito-Kalküle fort, indem er das Lemma von Ito überprüft und es in einer etwas allgemeineren Form darlegt. Der Professor verwendet die Taylor-Erweiterung, um zu analysieren, wie sich die Funktion f ändert, wenn sich die erste und zweite Variable ändern, und verwendet die Brownsche Bewegung, um die Informationen über die Funktion f(t, B_t) auszuwerten. Die quadratische Variation der Brownschen Bewegung und die beiden Variablen t und x werden verwendet, um zu erklären, warum die Ito-Kalküle im Vergleich zur klassischen Analysis einen zusätzlichen Term hat.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt lernen wir den Term zweiter Ordnung in der Taylor-Entwicklung kennen, indem wir ihn als partielle Ableitungen aufschreiben. Wir konzentrieren uns dann auf die wichtigen Terme, nämlich del f über del t dt plus del f über del x dx plus die Terme zweiter Ordnung. Durch die Neuanordnung der Begriffe erhalten wir eine ausgefeiltere Form des Ito-Lemmas, die einen zusätzlichen Begriff enthält. Wir sehen dann, dass die Terme, die dB_t im Quadrat und dt mal dB_t beinhalten, im Vergleich zu dem Term, der partielles f über partielle x zweite Ableitung beinhaltet, unbedeutend sind, der erhalten bleibt, weil er gleich dt ist. Letztendlich führt dies zu einem verfeinerten Verständnis der Ito-Kalküle.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt stellt der Professor das Konzept eines stochastischen Prozesses mit einem Driftterm vor, der durch das Hinzufügen eines Termes zu einer Brownschen Bewegung entsteht. Diese Art von Prozess wird das Hauptobjekt der Untersuchung sein, wobei der Unterschied in Form eines Driftterms und eines Brownschen Bewegungsterms beschrieben werden kann. Anschließend wird im Abschnitt die allgemeine Form des Ito-Lemmas erläutert, bei der es sich um eine kompliziertere Version der ursprünglichen Form handelt, die aufgrund der quadratischen Variation davon abweicht.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt wird das Ito-Lemma zur Bewertung stochastischer Prozesse verwendet. Die quadratische Variation trennt den zweiten Ableitungsterm und ermöglicht so die Ableitung komplizierter Terme. Es wird ein Beispiel mit der Funktion f(x) = x^2 gegeben und ausgearbeitet, das zeigt, wie d von f bei B_t berechnet wird. Die erste partielle Ableitung von f nach t ist gleich 0 und die partielle Ableitung nach x ist gleich 2x, wobei die zweite Ableitung bei t, x gleich 2 ist.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher, wie man d von f bei t Komma B von t berechnet. Die Formel ist Teil-f über Teil-t dt plus Teil-f über Teil-x dB_t plus 1/2 Teilquadrat f über Teil-x-Quadrat von dB_t-Quadrat, was gleich dt ist. Der Referent zeigt Beispiele, um zu verstehen, wie diese Formeln verwendet werden und wie die Variablen eingesetzt werden. Sie erklären auch den Unterschied zwischen dem Sigma und einer variablen Sigma-Primzahl in der Formel und wann man sie verwendet. Die Formel wird für die Brownsche Bewegung verwendet, da sie die einfachste Form ist.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Professor, warum S_t nicht gleich e zum Sigma mal B von t ist, was das vorgeschlagene Modell für den Aktienkurs unter Verwendung der Brownschen Bewegung war. Dieser Ausdruck würde uns zwar den erwarteten Wert 0 liefern, aber auch zu einer Drift führen. Die Lösung besteht darin, den Term 1/2 des Sigma-Quadrats mal dt vom Ausdruck zu subtrahieren, sodass das neue Modell S von t gleich e minus 1 über 2 Sigma-Quadrat t plus Sigma von B_t ist, einer geometrischen Brownschen Bewegung ohne Drift. Der Professor erklärt dann weiter, dass wir, wenn wir einen Beispielpfad B_t haben, einen entsprechenden Beispielpfad für S von t erhalten können, indem wir zu jedem Zeitpunkt den Exponentialwert von B_t nehmen.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt wird im Video die Definition von Integration erläutert. Die Definition wird als Umkehrung der Differenzierung angegeben und als „dumme“ Definition beschrieben. Es stellt sich die Frage, ob bei gegebenen f und g immer Integration existiert oder nicht. Anschließend wird im Video die Beschreibung der Integration vom Riemannschen Summentyp besprochen und der Prozess der Zerlegung des Intervalls in sehr feine Stücke und der Summierung der Flächen der Boxen beschrieben. Der Grenzwert der Riemannschen Summen ist der Grenzwert, wenn n ins Unendliche der Funktion geht, was dann detaillierter erklärt wird.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor eine interessante Frage zum Ito-Integral und seiner Beziehung zur Beschreibung des Riemannschen Summentyps. Er erklärt, dass das Ito-Integral nicht die gleiche Eigenschaft hat wie die Riemannsche Summe, bei der es keine Rolle spielt, welcher Punkt im Intervall genommen wird. Darüber hinaus erwähnt er, dass es eine äquivalente Version des Ito-Kalküls gibt, aber statt den Punkt ganz links in jedem Intervall zu nehmen, nimmt es den Punkt ganz rechts, was sich als äquivalent zum Ito-Kalkül herausstellt, aber mit Minuspunkten statt Pluspunkten im zweiten. Bestellfrist. Letztendlich erklärt er, dass in der realen Welt Entscheidungen für Zeitintervalle auf der Grundlage des am weitesten links stehenden Punktes getroffen werden müssen, da die Zukunft nicht vorhergesagt werden kann.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent die Intuition und Definition hinter angepassten Prozessen in der Itō-Kalküle. Ein angepasster Prozess ist ein Prozess, der Entscheidungen nur auf der Grundlage vergangener Informationen bis zum aktuellen Zeitpunkt treffen kann, und diese Tatsache ist in der Theorie selbst verborgen. Beispielsweise ist eine Aktienstrategie, die Entscheidungen nur auf der Grundlage vergangener Aktienkurse trifft, ein angepasster Prozess. Dies ist wichtig, da die Itō-Kalküle in diesem Umfeld gut funktioniert, in dem Entscheidungen nur zum Zeitpunkt ganz links getroffen werden können und kein Blick in die Zukunft möglich ist. Der Referent liefert mehrere Beispiele zur Veranschaulichung angepasster Prozesse, darunter eine Minimum-Delta-T-Strategie, und erläutert deren Relevanz für die Itō-Kalküle.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften des Ito-Integrals in der Ito-Kalküle besprochen. Die erste Eigenschaft besteht darin, dass das Ito-Integral eines angepassten Prozesses jederzeit eine Normalverteilung aufweist. Die zweite Eigenschaft ist als Ito-Isometrie bekannt und kann zur Berechnung der Varianz verwendet werden. Die Ito-Isometrie besagt, dass der Erwartungswert des Quadrats des Ito-Integrals eines Prozesses gleich dem Integral des Quadrats des Prozesses über die Zeit ist. Eine visuelle Hilfe wird verwendet, um das Konzept der Ito-Isometrie zu erklären.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Eigenschaften von Ito-Integralen. Die Varianz des Ito-Integrals eines angepassten Prozesses ist gleich der quadratischen Variation der Brownschen Bewegung, die auf einfache Weise berechnet werden kann. Der Referent erklärt außerdem das Konzept von Martingalen für stochastische Prozesse und diskutiert, wann ein Ito-Integral ein Martingal sein kann. Das Integral ist ein Martingal, wenn die Funktion an die Brownsche Bewegung angepasst ist und eine sinnvolle Funktion ist.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Redner das Konzept der Martingale in der Itō-Kalküle, bei denen es sich um stochastische Prozesse handelt, die im Laufe der Zeit keinen Wert hinzufügen oder subtrahieren, sondern vielmehr Variationen hinzufügen. Sie erklären, wie das Vorhandensein oder Fehlen eines Driftterms in einer stochastischen Differentialgleichung bestimmt, ob der Prozess ein Martingal ist. Der Redner geht auch auf Anwendungen von Martingalen in der Preistheorie ein und erörtert die Bedeutung des Verständnisses dieser Konzepte in der Itō-Kalküle. Sie ermutigen die Zuschauer, mit grundlegenden Rechenübungen zu üben, um sich mit dem Thema vertraut zu machen. Schließlich erwähnen sie das Girsanov-Theorem als nächstes Thema, das sie behandeln werden.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt wird das Thema der Änderung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch eine Maßänderung am Beispiel der Brownschen Bewegung diskutiert. Die Frage ist, ob es möglich ist, durch eine Änderung des Maßes zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Pfade der Brownschen Bewegung, eine ohne Drift und die andere mit Drift, zu wechseln. Dies entspricht der Suche nach einer Radon-Nikodym-Ableitung, die die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen äquivalent macht. Das Konzept der Änderung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch eine Maßänderung ist in der Analyse und Wahrscheinlichkeit wichtig und wird bei der Ermittlung der Radon-Nikodym-Ableitung verwendet.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt erfahren wir etwas über Wahrscheinlichkeitsverteilungen und wie sie die Wahrscheinlichkeit von Teilmengen innerhalb einer Menge beschreiben und wie unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen basierend auf ihrer Wahrscheinlichkeit gleichwertig oder nicht gleichwertig sein können. Wir lernen auch die Radon-Nikodym-Ableitung kennen, ein Theorem, das für alle Wahrscheinlichkeitsräume gilt und beschreibt, wie ein Wahrscheinlichkeitsmaß allein durch Multiplikation in ein anderes Maß geändert werden kann, wenn es äquivalent ist. Darüber hinaus untersucht der Abschnitt den Satz von Girsanov, der besagt, dass zwei Brownsche Bewegungen mit und ohne Drift gleichwertig sind, auch wenn sie auf den ersten Blick unterschiedlich erscheinen.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Girsanov-Theorems diskutiert, das die Umwandlung eines stochastischen Prozesses in einen stochastischen Prozess ohne Drift und damit die Umwandlung in ein Martingal beinhaltet. Dieser Satz ist in der Preistheorie von großer Bedeutung und gilt für eine Reihe von Glücksspielproblemen in diskreten stochastischen Prozessen. Der Gastredner stellt das Konzept der Wahrscheinlichkeitsverteilung über Pfade und Gaußsche Prozesse vor. Schließlich liefern sie eine einfache Formel zur Darstellung der Radon-Nikodym-Ableitung.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Itō-Kalkül und seine Auswirkungen auf stochastische Prozesse. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Werts eines Portfolios im Zeitverlauf kann anhand einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gemessen werden, die von einem Aktienkurs abhängt, der mithilfe der Brownschen Bewegung mit Drift modelliert wird. Dies kann in ein Problem der Brownschen Bewegung ohne Drift umgewandelt werden, indem der Erwartungswert in einem anderen Wahrscheinlichkeitsraum berechnet wird. Dies ermöglicht die Umwandlung eines Nicht-Martingal-Prozesses in einen Martingal-Prozess, der gute physikalische Bedeutungen hat.
18. Itō Calculus
18. Itō Calculus
  • 2015.01.06
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19. Black-Scholes-Formel, risikoneutrale Bewertung



19. Black-Scholes-Formel, risikoneutrale Bewertung

In diesem informativen Video werden die Black-Scholes-Formel und die risikoneutrale Bewertung ausführlich besprochen und bieten wertvolle Einblicke in ihre praktischen Anwendungen im Finanzbereich. Das Video veranschaulicht zunächst das Konzept der risikoneutralen Preisgestaltung anhand eines nachvollziehbaren Beispiels eines Buchmachers, der Wetten auf Pferderennen annimmt. Durch die Festlegung der Quoten basierend auf der Gesamtzahl der bereits platzierten Wetten kann der Buchmacher unabhängig vom Ausgang des Rennens einen risikolosen Gewinn sicherstellen. Dieses Beispiel dient als Grundlage für das Verständnis von Derivatkontrakten, bei denen es sich um formelle Auszahlungen handelt, die mit einem zugrunde liegenden liquiden Instrument verbunden sind.

Das Video stellt dann verschiedene Arten von Verträgen im Finanzwesen vor, darunter Terminkontrakte, Call-Optionen und Put-Optionen. Unter einem Terminkontrakt versteht man eine Vereinbarung zwischen zwei Parteien, in der Zukunft einen Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen. Call-Optionen dienen als Versicherung gegen den Wertverlust des Vermögenswerts und geben dem Optionsinhaber das Recht, den Vermögenswert zu einem vereinbarten Preis zu kaufen. Umgekehrt ermöglichen Put-Optionen Anlegern, auf den Wertverlust des Vermögenswerts zu wetten, und erhalten so die Option, den Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis zu verkaufen. Die Berechnungen für die Auszahlungen dieser Verträge basieren auf spezifischen Annahmen wie dem aktuellen Preis des Basiswerts und seiner Volatilität.

Anschließend wird das Konzept der Risikoneutralität eingeführt, wobei betont wird, dass der Preis einer Option bei festgelegter Auszahlung ausschließlich von der Dynamik und Volatilität der Aktie abhängt. Die Risikopräferenzen der Marktteilnehmer haben keinen Einfluss auf den Optionspreis, was die Bedeutung einer risikoneutralen Preisgestaltung unterstreicht. Um dies zu veranschaulichen, wird ein Markt mit zwei Perioden ohne Unsicherheit dargestellt und die Optionspreise werden mithilfe der risikoneutralen Bewertungsmethode berechnet, die auf dem Fehlen realer Wahrscheinlichkeiten beruht. In dem Beispiel geht es darum, Bargeld zu leihen, um Aktien zu kaufen, und den Terminpreis so festzulegen, dass ein Optionspreis von Null erreicht wird.

Das Video befasst sich mit dem Konzept der Replikation von Portfolios, insbesondere im Kontext von Terminkontrakten. Durch das Eingehen einer Short-Position in einem Terminkontrakt und die Kombination von Aktien und Barmitteln wird ein replizierendes Portfolio zusammengestellt, das eine exakte Nachbildung der endgültigen Auszahlung gewährleistet. Das Ziel der risikoneutralen Preisgestaltung besteht darin, replizierende Portfolios für ein bestimmtes Derivat zu identifizieren, da der aktuelle Preis des Derivats mit dem Preis des replizierenden Portfolios übereinstimmen sollte.

Weitere Untersuchungen widmen sich der Preisgestaltung einer allgemeinen Auszahlung mithilfe der Black-Scholes-Formel und einer risikoneutralen Bewertung. Ein replizierendes Portfolio, bestehend aus einer Anleihe und einer bestimmten Menge an Aktien, wird eingeführt, um die Wertentwicklung des Derivats bei Fälligkeit unabhängig von realen Wahrscheinlichkeiten nachzubilden. Das Video stellt das Konzept des risikoneutralen Maßes oder Martingalmaßes vor, das unabhängig von der realen Welt existiert und eine grundlegende Rolle bei der Preisgestaltung von Derivaten spielt. Die Dynamik des zugrunde liegenden Bestands und die Bedeutung der Standardabweichung der Brownschen Bewegung werden ebenfalls diskutiert, wobei die Black-Scholes-Formel als Erweiterung der Taylor-Regel vorgestellt wird.

Das Video befasst sich dann mit der Lösung der partiellen Differentialgleichung für das Black-Scholes-Modell, das den aktuellen Derivatpreis mit seiner Absicherungsstrategie in Beziehung setzt und auf alle handelbaren Derivate basierend auf der Aktienvolatilität anwendbar ist. Es werden jederzeit reproduzierende Portfoliokoeffizienten ermittelt, die eine perfekte Nachbildung der Wertentwicklung eines Derivats durch den Kauf von Aktien und Bargeld ermöglichen. Diese Absicherung birgt kein Risiko, sodass Händler eine Gebühr für die Transaktion erheben können.

Darüber hinaus erklärt der Referent, wie die Black-Scholes-Gleichung in eine Wärmegleichung umgewandelt werden kann, was den Einsatz numerischer Methoden zur Preisgestaltung von Derivaten mit komplexen Auszahlungen oder Dynamiken erleichtert. Das Video verdeutlicht, wie wichtig es ist, das Problem aus einer risikoneutralen Perspektive anzugehen, um den Preis des Derivats als erwarteten Wert der Auszahlung diskontiert mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit bei Fälligkeit zu bestimmen. Die Bedeutung des risikoneutralen Maßes, bei dem die Drift der Aktie dem Zinssatz entspricht, wird anhand eines binären Beispiels hervorgehoben.

Für kompliziertere abgeleitete Auszahlungen, beispielsweise amerikanische Auszahlungen, müssen Monte-Carlo-Simulationen oder Finite-Differenzen-Methoden eingesetzt werden. Das Video unterstreicht die Notwendigkeit dieser Ansätze, wenn die Annahme einer konstanten Volatilität, wie sie in der Black-Scholes-Formel angenommen wird, in realen Szenarien nicht zutrifft.

Das Video stellt das Konzept der Co-Put-Parität vor, das eine Beziehung zwischen dem Preis eines Calls und dem Preis eines Puts mit demselben Ausübungspreis herstellt. Durch den Aufbau eines replizierenden Portfolios bestehend aus Call, Put und Aktie können Anleger am Ende eine bestimmte Auszahlung garantieren. Der Redner demonstriert außerdem, wie Co-Put-Parität zur Preisgestaltung digitaler Verträge genutzt werden kann, bei denen binäre Auszahlungen darauf basieren, ob die Aktie über oder unter dem Ausübungspreis endet. Dies kann durch die Nutzung der Idee eines replizierenden Portfolios und der Anrufpreise erreicht werden.

Im darauffolgenden Abschnitt geht der Referent auf die Replikation von Portfolios als Mittel zur Absicherung komplizierter Derivate ein. Anhand eines Beispiels, bei dem der Kauf eines Calls mit dem Ausübungspreis K minus 1/2 und der Verkauf eines Calls mit dem Ausübungspreis K plus 1/2 kombiniert werden, um eine Auszahlung zu erzielen, zeigt der Referent, wie diese Auszahlung durch den Verkauf zu erhöht werden kann K minus 1/4 und K plus 1/4, was zu einer Auszahlung mit halber Steigung führt. Das Video beleuchtet die Nutzung kleiner Epsilons, den Kauf und Verkauf mehrerer Verträge und die Neuskalierung auf ein Verhältnis von 2:1, um sich dem digitalen Preis anzunähern. Der Redner erklärt, wie der Einsatz von Derivaten des Co-Preises nach Strike zu einem Anstieg führt und gibt Einblicke in reale Praktiken, die zur Risikominimierung eingesetzt werden.

Insgesamt bietet dieses Video eine umfassende Berichterstattung über risikoneutrale Preisgestaltung, einschließlich der Black-Scholes-Formel, Co-Put-Parität und replizierender Portfolios. Es bietet wertvolle Einblicke in die Preisgestaltung und Absicherung komplizierter Derivate und erkennt gleichzeitig die Notwendigkeit fortschrittlicherer Techniken in bestimmten Szenarien an. Durch das Verständnis dieser Konzepte können Einzelpersonen ein tieferes Verständnis des Risikomanagements und seiner Anwendungen im Finanzbereich erlangen.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der risikoneutralen Preisgestaltung anhand eines einfachen Beispiels eines Buchmachers erläutert, der Wetten auf Pferderennen annimmt. Der Buchmacher mit guten Kenntnissen über die Pferde legt die Quoten anhand realer Wahrscheinlichkeiten fest. Wenn er die Quoten jedoch auf der Grundlage der bereits platzierten Gesamtwetten festlegt, kann er unabhängig davon, welches Pferd gewinnt, einen risikolosen Gewinn erzielen. Das Beispiel führt zu einer Diskussion über Derivatkontrakte, bei denen es sich um formelle Auszahlungen handelt, die mit einem zugrunde liegenden liquiden Instrument verbunden sind und normalerweise an Börsen oder außerbörslich gehandelt werden. Das einfachere Derivat, ein Terminkontrakt, wird als Vereinbarung einer Partei eingeführt, einen Vermögenswert von einer anderen Partei zu einem vorher festgelegten Preis zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft zu kaufen.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt werden im Video verschiedene Arten von Verträgen im Finanzbereich besprochen, darunter ein Terminkontrakt, eine Call-Option und eine Put-Option. Ein Terminkontrakt ist eine Verpflichtung, einen Vermögenswert zu einem vereinbarten Preis in der Zukunft zu kaufen. Eine Call-Option, die einer Versicherung gegen den Wertverlust des Vermögenswerts gleicht, ist eine Option zum Kauf eines Vermögenswerts zu einem vereinbarten Preis heute. Die Auszahlung für eine Call-Option ist immer positiv – maximal s minus K und null. Andererseits ist eine Put-Option eine Wette darauf, dass der Vermögenswert sinkt, sodass die Auszahlung maximal K minus s und null beträgt. Das Video erklärt auch, wie der aktuelle Preis dieser Verträge auf der Grundlage bestimmter Annahmen ermittelt werden kann, beispielsweise dem aktuellen Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts und der Volatilität.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos wird erklärt, dass bei fester Auszahlung keine Unsicherheit über den Preis einer Option besteht und der Optionspreis nur von der Dynamik und Volatilität der Aktie abhängt. Das Konzept der Risikoneutralität wird eingeführt, was bedeutet, dass der Optionspreis nichts mit den Risikopräferenzen von Marktteilnehmern oder Gegenparteien zu tun hat. Das Video zeigt dann ein einfaches Beispiel eines Zwei-Perioden-Marktes ohne Unsicherheit, bei dem die Optionspreise anhand der risikoneutralen Bewertungsmethode und nicht anhand der schwankenden realen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. In dem Beispiel wird Bargeld von der Bank geliehen, um die Aktie zu kaufen, und der Terminpreis so festgelegt, dass der Optionspreis Null beträgt.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept eines Terminkontrakts anhand eines replizierenden Portfolios erläutert. Der Redner erläutert, wie durch das Eingehen einer Short-Position in einem Terminkontrakt und die Verwendung einer Kombination aus Aktien und Bargeld ein replizierendes Portfolio erstellt werden kann, das die endgültige Auszahlung garantiert. Das Ziel der risikoneutralen Preisgestaltung besteht darin, für jedes Derivat ein solches replizierendes Portfolio zu finden. Wenn ein Replikationsportfolio erstellt wird, sollte der aktuelle Preis des Derivats mit dem Preis des Replikationsportfolios übereinstimmen.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Prozess der Preisgestaltung einer allgemeinen Auszahlung F mithilfe der Black-Scholes-Formel und der risikoneutralen Bewertung. Dazu stellt der Redner das Konzept eines replizierenden Portfolios vor, das aus einer Anleihe und einer gewissen Menge Aktien besteht. Sie erklären, dass das replizierende Portfolio sicherstellen soll, dass die Auszahlung unabhängig von der realen Wahrscheinlichkeit bei Fälligkeit exakt repliziert werden kann. Anschließend beschreibt der Referent das risikoneutrale Maß oder Martingalmaß, das unabhängig von der realen Welt existiert. Der Wert aller Derivate ist lediglich der erwartete Wert der Anziehungskraft bei solchen Maßnahmen. Darüber hinaus spricht der Redner über die Dynamik der Aktienunterstreichung und die Bedeutung, dass die Standardabweichung der gehenden Brownschen Bewegung auf der Skala der Quadratwurzel von T liegt. Sie erwähnen, dass die Black-Scholes-Formel nichts anderes als die Taylor-Regel mit einer weiteren ist Begriff aufgrund der Standardabweichung der Brownschen Bewegung.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt das Video den Prozess der Lösung der partiellen Differentialgleichung für das Black-Scholes-Modell. Die Gleichung verbindet den aktuellen Preis eines Derivats mit seiner Absicherungsstrategie und ist auf alle handelbaren Derivate anwendbar, da sie nur von der Volatilität der Aktie abhängt. Das Video beschreibt außerdem die Ermittlung replizierender Portfoliokoeffizienten (a und b) für jeden Zeitpunkt, die eine perfekte Nachbildung der Wertentwicklung eines Derivats durch den Kauf von Aktien und Bargeld ermöglichen. Diese Absicherung birgt kein Risiko und Händler können für diese Transaktion eine Gebühr erheben.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher, dass die Black-Scholes-Gleichung in eine bekannte und verstandene Wärmegleichung umgewandelt werden kann, die durch numerische Methoden für komplexere Auszahlungen oder Dynamiken gelöst werden kann. Die endgültigen Auszahlungsbedingungen und Randbedingungen für Calls und Puts werden ebenfalls besprochen, und der Redner stellt fest, dass die Gleichungen für einfache Dynamik und Black-Scholes-dynamische Log-Normal-Dynamik exakt gelöst werden können. Der Redner betont auch, wie wichtig es ist, das Problem aus einer risikoneutralen Position heraus anzugehen, um den Preis des Derivats als erwarteten Wert der Auszahlung diskontiert mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit aus der Fälligkeit zu ermitteln. Das risikoneutrale Maß ist so, dass die Drift der Aktie dem Zinssatz entspricht, wie im binären Beispiel zu sehen ist.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Berechnung der Black-Scholes-Formel, indem der erwartete Wert der Colin-Put-Auszahlung mit der logarithmischen Normalverteilungs-Terminalverteilung verwendet wird. Für kompliziertere Auszahlungen, beispielsweise amerikanische Auszahlungen, müssen Monte-Carlo-Simulationen oder endliche Differenzen implementiert werden. Der Redner gibt auch ein Beispiel für das replizierende Portfolio in Aktion unter Verwendung von IBM-Aktienoptionen und erklärt, wie die Put-Call-Parität zur Preisgestaltung von Puts verwendet werden kann, wenn die Volatilität nicht konstant ist. In der Diskussion wird anerkannt, dass die Annahme der Black-Scholes-Formel einer konstanten Volatilität in der realen Welt nicht immer zutrifft und kompliziertere Methoden verwendet werden müssen, um bestimmte Optionen zu bewerten.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner das Konzept der Co-Put-Parität, das ein Verhältnis zwischen dem Preis eines Calls und dem Preis eines Puts für denselben Basispreis darstellt. Durch die Erstellung eines replizierenden Portfolios mit Call, Put und Aktie kann ein Anleger am Ende eine Auszahlung garantieren. Der Redner verwendet auch das Co-Put-Paritätskonzept zur Preisgestaltung eines digitalen Kontrakts, der eine binäre Auszahlung basierend darauf hat, ob die Aktie über oder unter dem Ausübungspreis endet. Dies kann durch die Nutzung der Idee eines replizierenden Portfolios und der Call-Preise erreicht werden.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das Konzept der Replikation von Portfolios, die eine Möglichkeit zur Absicherung komplizierter Derivate darstellen. Sie demonstrieren dies am Beispiel des Kaufs eines Calls mit Strike K minus 1/2 und des Verkaufs eines Calls mit Strike K plus 1/2 und der anschließenden Kombination, um eine Auszahlung zu erzielen. Sie zeigen, wie man diese Auszahlung verbessern kann, indem man zu K minus 1/4 und K plus 1/4 verkauft und diese kombiniert, was zu einer Auszahlung mit halb so großer Steigung führt. Sie erklären, wie man den digitalen Preis annähern kann, indem man ein kleines Epsilon verwendet, mehrere Verträge kauft und verkauft und gleichzeitig auf 2:1 skaliert. Sie zeigen, wie der Einsatz von Derivaten des Co-Preises nach Strike zu einem Anstieg führt und erklären, wie all dies im wirklichen Leben geschieht, um das Risiko zu reduzieren.
19. Black-Scholes Formula, Risk-neutral Valuation
19. Black-Scholes Formula, Risk-neutral Valuation
  • 2015.01.06
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20. Dualität von Optionspreis und Wahrscheinlichkeit



20. Dualität von Optionspreis und Wahrscheinlichkeit

In diesem Abschnitt befasst sich Dr. Stephen Blythe mit der Beziehung zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen und beleuchtet die Formel zur Replikation jedes Derivatprodukts mit einer bestimmten Auszahlungsfunktion. Er betont, dass Call-Optionen von grundlegender Bedeutung sind und zur Nachbildung jeder kontinuierlichen Funktion verwendet werden können, was sie im Finanzbereich unverzichtbar macht. Blythe untersucht auch die Grenzen der alleinigen Verwendung von Call-Optionen zur Bestimmung des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses für einen Aktienkurs und schlägt vor, dass auch alternative Funktionsgrundlagen verwendet werden können, die kontinuierliche Funktionen umfassen können.

Das Video macht eine kurze Pause, in der Dr. Blythe eine faszinierende historische Anekdote im Zusammenhang mit den Cambridge Mathematics Tripos erzählt. Diese Prüfung, bei der die mathematischen Kenntnisse namhafter Persönlichkeiten wie Lord Kelvin, John Maynard Keynes und Karl Pearson getestet wurden, spielte eine wichtige Rolle bei der Gestaltung des Bereichs der angewandten Mathematik.

Zurück zum Hauptthema stellt Dr. Blythe das Konzept des Optionspreis- und Wahrscheinlichkeitsdualität vor und hebt die natürliche Dualität zwischen diesen beiden Aspekten hervor. Er erklärt, dass komplizierte Derivateprodukte als Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstanden werden können und durch das Hin- und Herwechseln zwischen Optionspreisen, Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen leichter zugänglich diskutiert werden können.

Im Video geht es weiter mit der Einführung in die Notation von Optionspreisen und der Erläuterung der Auszahlungsfunktion einer Call-Option. Dr. Blythe erstellt ein Portfolio bestehend aus zwei Calls und verwendet Limits, um die partielle Ableitung des Call-Preises in Bezug auf den Ausübungspreis zu ermitteln. Er stellt außerdem das Konzept eines Call Spreads vor, der den Spread zwischen zwei Calls mit einer bestimmten Auszahlungsfunktion darstellt.

Anschließend befasst sich Dr. Blythe mit der Dualität zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeiten und konzentriert sich dabei auf das Fundamental Theorem of Asset Pricing (FTAP). Er erklärt, dass Optionspreise erwartete Werte zukünftiger Auszahlungen sind, die auf die Gegenwart abgezinst werden, und dass die Auszahlung einer digitalen Option mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt, dass der Aktienpreis bei Fälligkeit über einem bestimmten Niveau liegt. Mittels Kalkül zeigt er, dass die Grenze des Call-Spreads tendenziell zur digitalen Option tendiert und der Preis der digitalen Option gleich der partiellen Ableitung des Call-Preises in Bezug auf den Ausübungspreis ist. Der Redner betont die theoretische Unterscheidung, ob der Ausübungspreis größer als oder größer als oder gleich ist, weist jedoch darauf hin, dass diese Unterscheidung keine praktische Bedeutung hat.

Anschließend geht der Redner auf den Zusammenhang zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeit ein, indem er den Fundamentalsatz der Vermögenspreisgestaltung vorstellt. Dieses Theorem legt fest, dass das Preisverhältnis eines Derivats zu einer Nullkuponanleihe ein Martingal in Bezug auf den Aktienkurs unter der risikoneutralen Verteilung ist. Dr. Blythe erklärt, wie dieses Theorem es ermöglicht, von der Wahrscheinlichkeitsdichte zum Preis eines beliebigen Derivats zu gelangen, was eine tiefere Analyse der Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Optionspreisen ermöglicht.

Im Video wird dann eine Methode für den Zugriff auf die Dichtefunktion über ein Portfolio von Optionen erörtert, insbesondere unter Verwendung der Call-Butterfly-Strategie. Dr. Blythe erklärt, dass eine Call-Butterfly-Spread, die durch entsprechende Skalierung der Differenz zwischen zwei Call-Spreads erstellt wird, die zweite Ableitung annähern kann, die zum Erhalten der Dichtefunktion erforderlich ist. Während es in der realen Welt möglicherweise nicht möglich ist, unendlich klein zu werden, bietet der Handel mit Call-Butterflys mit spezifischen Ausübungspreisen eine vernünftige Annäherung an die Wahrscheinlichkeit, dass der zugrunde liegende Vermögenswert innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt.

Aufbauend auf dieser Idee erklärt Dr. Blythe, wie das Butterfly-Spread-Portfolio verwendet werden kann, um auf die zweite Ableitung zuzugreifen und die Dichtefunktion zu erhalten. Durch die Annahme geeigneter Grenzen der Schmetterlingsausbreitung gelangt er zur Dichtefunktion f(x), die als modellunabhängiges Wahrscheinlichkeitsmaß für die zugrunde liegende Zufallsvariable zum Zeitpunkt der Fälligkeit dient. Mit diesem Wahrscheinlichkeitsmaß können Einzelpersonen beurteilen, ob sie mit der durch den Preis des Schmetterlings implizierten Wahrscheinlichkeit einverstanden sind, und fundierte Investitionsentscheidungen treffen. Dr. Blythe betont, dass diese Beziehungen modellunabhängig sind und unabhängig von dem spezifischen Modell gelten, das für die Optionspreisgestaltung verwendet wird.

Im folgenden Abschnitt geht Dr. Stephen Blythe, Dozent für quantitative Finanzen, auf die Beziehung zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein. Er erklärt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Wertpapiers zu einem bestimmten Zeitpunkt von seinem aktuellen Preis abhängt und dass sich die Martingalbedingung auf denselben Preis bezieht. Anschließend nimmt sich Dr. Blythe einen Moment Zeit, um einen interessanten historischen Einblick in den Cambridge Mathematics-Abschluss zu geben, der eine entscheidende Rolle bei der Gestaltung des Lehrplans für Studierende der angewandten Mathematik spielte.

Im weiteren Verlauf befasst sich der Redner mit dem Fundamental Theorem of Asset Prices (FTAP). Dieses Theorem besagt, dass das Preis-zu-Nullkupon-Anleihe-Verhältnis ein Martingal in Bezug auf den Aktienkurs unter der risikoneutralen Verteilung ist. Es bietet einen Rahmen, um von der Wahrscheinlichkeitsdichte zum Preis eines Derivats zu gelangen. Dr. Blythe betont, dass die Dichte auch aus Call-Preisen abgeleitet werden kann und dass diese beiden Wege durch den Fundamentalsatz miteinander verbunden sind, was eine tiefergehende Analyse der Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Optionspreisen ermöglicht.

Im folgenden Abschnitt erklärt Dr. Blythe, dass die Preise aller Call-Optionen für verschiedene Ausübungspreise eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Auszahlung für eine bestimmte Derivatfunktion spielen. Call-Optionen umfassen alle Derivatpreise und gelten als europäische Derivatpreise. Der Redner betont, dass eine Derivatfunktion durch den Aufbau eines Call-Portfolios nachgebildet werden kann und dass, wenn die Auszahlung des Derivats bei Fälligkeit einer linearen Kombination von Call-Optionen entspricht, diese heute denselben Wert haben. Diesem Konzept liegt die Grundannahme des Finanzwesens zugrunde, die sogenannte „Keine Arbitrage“, die besagt, dass zwei Dinge, die in Zukunft den gleichen Wert haben, auch heute den gleichen Wert haben sollten. Allerdings räumt Dr. Blythe ein, dass diese Annahme im Finanzwesen seit der Finanzkrise von 2008 in Frage gestellt wird.

Als Fortsetzung der Diskussion stellt das Video eine zum Nachdenken anregende wirtschaftliche Frage zu Finanzmärkten und Arbitrage vor. Wenn die Laufzeit (Kapital T) weit in den langfristigen Bereich gelegt wird, besteht die Möglichkeit, dass die Preise der Option und des Replikationsportfolios auseinanderlaufen, wenn die Arbitrage scheitert. Dies kann zu einem erheblichen Unterschied zwischen den beiden Optionen führen. Empirische Belege haben gezeigt, dass die Preise tatsächlich voneinander abgewichen sind. Dr. Blythe erwähnt, dass sich langfristige Anleger wie die Harvard-Stiftung auf ihre jährlichen und fünfjährigen Renditen konzentrieren, anstatt die Preisunterschiede über einen Zeitraum von zehn Jahren auszunutzen. Anschließend stellt er eine mathematische Theorie vor, die besagt, dass jede kontinuierliche Funktion im Grenzwert ausnahmslos durch Aufrufe repliziert werden kann.

Anschließend erörtert der Redner die Formel zur Replikation eines beliebigen Derivatprodukts mit einer gegebenen Auszahlungsfunktion, die bei Fälligkeit als g(x) oder g(S) bezeichnet wird. Die Formel enthält explizite Anweisungen zur Replikation des Derivats unter Verwendung von g(0)-Nullkuponanleihen, g Primzahlnull der Aktie und einer linearen Kombination von Call-Optionen. Dr. Blythe unterstützt diese Formel durch die Verwendung erwarteter Werte und betont die Dualität zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeiten, wobei er die Bedeutung von Call-Optionen als grundlegende Informationen hervorhebt, die das gesamte Spektrum abdecken. Die Formel wirft auch interessante Fragen auf, die eine weitere Untersuchung erfordern.

Um einen wichtigen Aspekt anzugehen, untersucht Dr. Blythe, ob es möglich ist, den stochastischen Prozess für einen Aktienkurs über einen bestimmten Zeitraum zu bestimmen, indem man alle Call-Optionspreise für verschiedene Laufzeiten und Preise kennt. Er argumentiert, dass die Antwort „Nein“ lautet, da der Aktienkurs über einen kurzen Zeitraum hinweg augenblicklich schwanken kann, ohne dass die Kontinuität des Prozesses oder mathematische Einschränkungen eingeschränkt werden. Wenn der Stoff jedoch einem Diffusionsprozess folgt, ist es möglich, den Prozess zu bestimmen, was zu einer eleganten und praktischen Lösung führt. In Wirklichkeit kann man nur eine endliche Teilmenge von Call-Optionen kennen, was die Grenzen einer vollständigen Bestimmung des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses allein auf der Grundlage der Call-Optionspreise noch deutlicher macht.

Dr. Blythe erklärt weiter, dass es trotz des Zugriffs auf eine große Anzahl europäischer Call-Optionspreise immer noch komplexe oder nicht standardisierte Derivateprodukte geben kann, deren Preise nicht eindeutig bestimmt werden können, wenn man nur diese Optionen kennt. Er betont, dass die Menge der Call-Optionen allein keine vollständige Information über den zugrunde liegenden stochastischen Prozess liefert, selbst wenn alle Call-Optionen bekannt sind. Um diese Einschränkung zu überwinden, schlägt Dr. Blythe vor, alternative Grundlagen für die Spanne aller möglichen Auszahlungen in Betracht zu ziehen. Er weist darauf hin, dass jeder beliebige Satz von Funktionen verwendet werden kann, der eine kontinuierliche Funktion umfassen kann, obwohl die Verwendung von Aufrufoptionen häufig den elegantesten Ansatz bietet.

Im weiteren Verlauf der Diskussion erläutert Dr. Blythe den Zusammenhang zwischen Call-Optionspreisen und Endausschüttungen. Er behauptet, dass die Endverteilung eindeutig durch die Preise von Call-Optionen bestimmt werden kann. Durch die Berücksichtigung des Verhältnisses von Z zu Theta kann eine bestimmte risikoneutrale Dichte für jede Aktie ermittelt werden. Dies verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Call-Optionspreisen und der Dichte des zugrunde liegenden Aktienpreises bei Fälligkeit und liefert wertvolle Einblicke in modellunabhängige Wahrscheinlichkeitsmaße.

Gegen Ende des Abschnitts betont Dr. Blythe erneut, wie wichtig es ist, die Zusammenhänge zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Finanzwesen zu verstehen. Diese Erkenntnisse ermöglichen es Analysten und Händlern, fundierte Urteile über die impliziten Wahrscheinlichkeiten zu fällen, die sich in Optionspreisen widerspiegeln, und ihre Anlageentscheidungen entsprechend anzupassen. Dr. Blythe betont, dass diese Beziehungen unabhängig von dem spezifischen Modell gelten, das für die Optionspreisgestaltung verwendet wird, was ihre Bedeutung für die quantitative Finanzierung weiter unterstreicht.

Zusammenfassend untersucht Dr. Stephen Blythes Präsentation die komplexe Beziehung zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Er erörtert den Aufstieg des Financial Engineering und den Karriereweg eines quantitativen Analysten, der durch die Einstellung des Superconducting Super Collider beeinflusst wurde. Dr. Blythe stellt das Konzept der Optionspreis- und Wahrscheinlichkeitsdualität vor und betont dabei die natürliche Dualität zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Er untersucht den Fundamentalsatz der Vermögenspreisgestaltung und seine Auswirkungen auf das Verständnis von Optionspreisen und probabilistischen Ansätzen im Finanzwesen. Dr. Blythe liefert Beispiele für die Verwendung von Butterfly-Spreads und anderen Handelsobjekten, um auf Dichtefunktionen zuzugreifen und Urteile über implizite Wahrscheinlichkeiten zu fällen. Die Präsentation enthält auch historische Anekdoten über die Cambridge Mathematics Tripos, die das Engagement namhafter Mathematiker im Finanzbereich hervorheben. Durch diese Diskussionen beleuchtet Dr. Blythe die tiefen Zusammenhänge zwischen Optionspreisen, Wahrscheinlichkeiten und den Grundprinzipien der Vermögenspreisgestaltung.

  • 00:00:00 Dieser Abschnitt enthält die Einführung eines neuen Redners, Dr. Stephen Blythe, der über Finanzen und quantitative Finanzen spricht. Bevor er seinen Vortrag beginnt, stellt er dem Publikum eine Frage zu einem wichtigen Finanzereignis, über das der Kongress vor 20 Jahren abgestimmt hatte. Der Kongress stimmte dafür, die Finanzierung des Superconducting Super Collider unterhalb von Texas südlich von Dallas zu kürzen.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner die Auswirkungen der Annullierung des Superconducting Super Collider durch den Kongress in den 1990er Jahren. Infolge dieser Entscheidung brach der Markt für akademische Physiker fast über Nacht zusammen, was dazu führte, dass viele eine Anstellung im Finanzwesen suchten. Dieses Ereignis führte in Verbindung mit dem Wachstum des Derivatemarkts und der Notwendigkeit, neue theoretische Rahmenbedingungen zur Lösung der Marktprobleme zu schaffen, zum Aufstieg des Bereichs Financial Engineering und zur Schaffung des Karrierewegs für quantitative Analysten. Der Redner selbst begann seine Karriere in der Wissenschaft und wechselte später in die Finanzbranche, bevor er wieder in die Wissenschaft zurückkehrte und derzeit an der Harvard University einen Kurs über angewandte quantitative Finanzwirtschaft unterrichtet. Sein Kurs befasst sich mit dem Aufbau theoretischer Rahmenbedingungen und deren Nutzung zur Lösung realer Probleme auf dem Finanzmarkt.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos stellt der Professor das Konzept des Optionspreises und der Wahrscheinlichkeitsdualität vor. Er erklärt, dass alle derivativen Produkte im Hinblick auf eine Auszahlungsfunktion definiert werden können, und er definiert drei Vermögenswerte: Call-Option, Nullkupon-Anleihe und digitale Option. Er weist darauf hin, dass die zugrunde liegende Finanztheorie auf Beispielen aus der Praxis basiert und der probabilistische Ansatz zum Verständnis der Finanzen besonders elegant ist. Der Professor betont die natürliche Dualität zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen und stellt fest, dass diese komplizierten Ableitungen tatsächlich nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind und auf leicht verständliche Weise diskutiert werden können, indem man zwischen Optionspreisen, Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen hin und her geht.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt führt der Referent in die Notation für Optionspreise ein und erläutert die Auszahlungsfunktion eines Calls. Sie konstruieren ein Portfolio bestehend aus zwei Calls und verwenden Limits, um die partielle Ableitung des Call-Preises nach K zu ermitteln. Der Sprecher erwähnt auch, dass der Call-Spread der Spread zwischen zwei Calls mit einer bestimmten Auszahlungsfunktion ist.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent die Dualität zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeiten, basierend auf dem Fundamental Theorem of Asset Pricing (FTAP). Konkret geht der Referent davon aus, dass es sich bei den heutigen Preisen um erwartete Werte zukünftiger Auszahlungen diskontiert auf die Gegenwart handelt und dass die Auszahlung einer digitalen Option mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt, dass eine Aktie bei Fälligkeit über einem bestimmten Preis liegt. Der Redner zeigt mithilfe von Kalkül, dass die Grenze des Call-Spreads zum Digitalen tendiert und dass der Preis des Digitalen der partiellen Ableitung in Bezug auf den Ausübungspreis des Call-Preises entspricht. Der Redner erörtert auch die Bedeutung der Definition, ob der Ausübungspreis größer oder größer oder gleich ist, und weist darauf hin, dass diese theoretische Unterscheidung in der Praxis keine Rolle spielt.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Zusammenhang zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeit, indem er den Fundamentalsatz „Asset Pricing“ einführt. Um diese Preisformel zu erstellen, die strikt zutrifft, wird der Erwartungswert unter der risikoneutralen Verteilung herausgezogen. Martingale spielen bei dieser Formalisierung der Vermögenspreisgestaltung eine entscheidende Rolle, und es dauerte eine Weile, bis der Ansatz auf dem Handelsplatz angenommen wurde, obwohl die zugrunde liegende Theorie immer präsent war. Durch die Gleichsetzung zweier Preise für die digitale Option stellt der Referent einen Zusammenhang zwischen Call-Preisen und der Dichte des zugrunde liegenden Aktienkurses zum Kapital T her.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent eine Möglichkeit, über ein Portfolio von Optionen auf die Dichtefunktion zuzugreifen, indem er die Differenz zwischen zwei entsprechend skalierten Call-Spreads berücksichtigt, die als Call-Butterfly bezeichnet wird. Dieses gehandelte Objekt kann dabei helfen, die zweite Ableitung zu approximieren, die zur Dichtefunktion führt. Obwohl es in der realen Welt nicht möglich ist, unendlich klein zu werden, können wir einen Schmetterling mit 150, 160 oder 170 Anrufen handeln, was eine vernünftige Annäherung an die Wahrscheinlichkeit darstellt, in diesem Intervall zu sein.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt erklärt Blythe, wie das Butterfly-Spread-Portfolio genutzt werden kann, um über den Preis des Butterfly auf das zweite Derivat zuzugreifen. Indem Blythe die Grenzen der Schmetterlingsausbreitung in geeigneten Maßstäben ermittelt, erhält er eine Dichtefunktion f(x), die als modellunabhängiges Wahrscheinlichkeitsmaß dafür verwendet werden kann, dass die zugrunde liegende Zufallsvariable zum Zeitpunkt der Reife bei K liegt. Anhand dieses Wahrscheinlichkeitsmaßes können Menschen beurteilen, ob sie mit der durch den Preis des Schmetterlings implizierten Wahrscheinlichkeit einverstanden sind, und ihn entsprechend kaufen. Blythe weist darauf hin, dass diese Beziehungen modellunabhängig sind und unabhängig vom Modell für die Optionspreise gelten.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert Stephen Blythe, Dozent für quantitative Finanzen, die Beziehung zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Er erklärt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Wertpapiers zu einem bestimmten Zeitpunkt vom aktuellen Preis dieses Wertpapiers abhängt und dass die Martingalbedingung auch für denselben Preis gilt. Blythe macht auch eine kurze Pause von der Diskussion und erzählt eine historische Anekdote über den Cambridge Mathematics-Abschluss und wie er den gesamten Lehrplan für Studierende der angewandten Mathematik hervorgebracht hat.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt teilt der Redner einige interessante historische Fakten über die Cambridge Mathematics Tripos, eine Prüfung, die in Cambridge abgehalten wurde, um mathematische Kenntnisse zu testen. Er spricht über die Leistungen namhafter Personen, die die Prüfung abgelegt haben, darunter Lord Kelvin, John Maynard Keynes und Karl Pearson. Der Redner geht dann zur Diskussion des Zusammenhangs zwischen Optionspreisen und Wahrscheinlichkeiten über. Er erklärt, dass der Fundamentalsatz der Vermögenspreisgestaltung besagt, dass Optionspreise die abgezinste erwartete Auszahlung bei Fälligkeit sind, und wenn dieser Satz zutrifft, ist es möglich, von der Wahrscheinlichkeit zum Optionspreis zu gelangen.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Fundamentalsatz der Vermögenspreise (FTAP), der besagt, dass das Verhältnis des Preises zur Nullkuponanleihe ein Martingal in Bezug auf den Aktienkurs unter der risikoneutralen Verteilung ist . Dieser Satz ermöglicht einen Weg von der Wahrscheinlichkeitsdichte zum Preis eines beliebigen Derivats. Der Referent weist darauf hin, dass die Dichte auch aus den Call-Preisen abgeleitet werden kann und diese beiden Routen durch den Fundamentalsatz miteinander verbunden sind. Dies ermöglicht eine Analyse und ein Verständnis der Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Optionspreisen.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, dass die Kenntnis der Preise aller Call-Optionen für alle Ausübungspreise die Derivatauszahlung für eine bestimmte Funktion bestimmt. Call-Optionen umfassen alle Derivatpreise und sind europäische Derivatpreise. Eine Funktion bestimmt das Derivat, das durch ein Call-Portfolio nachgebildet werden kann. Wenn die Auszahlung des Derivats bei Fälligkeit mit einer linearen Kombination von Call-Optionen übereinstimmt, sind beide heute gleich wert. Die Grundannahme des Finanzwesens, keine Arbitrage, unterstreicht dieses Konzept und schreibt vor, dass zwei Dinge, die in einem Jahr einen Dollar wert sind, auch heute noch denselben Wert haben werden. Seit 2008 wird diese Annahme jedoch im Finanzwesen in Frage gestellt.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt stellt das Video eine tiefgreifende wirtschaftliche Frage zu Finanzmärkten und Arbitrage dar. Wenn das Kapital T langfristig weit entfernt ist, hindert nichts die Preise der Option und des replizierenden Portfolios daran, sich voneinander zu entfernen, wenn die Arbitrage zusammenbricht, was zu einem sehr großen Unterschied zwischen den beiden Optionen führen kann. Empirisch hat sich gezeigt, dass sich die Preise voneinander entfernen. Der Redner erwähnt, dass die Harvard-Stiftung ein langfristiger Investor ist und erklärt, warum sie nicht die billigere Option kauft, indem sie sie zehn Jahre lang hält, um Geld zu verdienen, sondern erklärt, dass das daran liegt, dass ihnen ihre jährlichen und fünfjährigen Renditen am Herzen liegen. Darüber hinaus stellt der Referent eine mathematische Theorie vor, die besagt, dass jede stetige Funktion ausnahmslos durch Aufrufe im Grenzwert reproduziert werden kann.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Formel zur Replikation eines beliebigen Derivatprodukts mit der Auszahlung g von x oder g von S bei Fälligkeit. Die Formel erklärt explizit, wie eine Replikation durch g(0) Nullkuponanleihen, g Primzahlnull der Aktie und eine lineare Kombination von Calls erfolgt. Der Redner beweist diese Formel, indem er erwartete Werte heranzieht und die Dualität von Optionspreisen und -wahrscheinlichkeiten auf unterschiedliche Weise erörtert, wobei er die Bedeutung von Call-Optionen als Grundinformation hervorhebt und wie sie alles umfassen. Die Formel wirft auch interessante Fragen zur weiteren Diskussion auf.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent, ob man den stochastischen Prozess für einen Aktienkurs über einen Zeitraum bestimmen kann, indem man alle Call-Optionspreise für alle Laufzeiten und alle Preise kennt. Der Redner argumentiert, dass die Antwort „Nein“ lautet, da es möglich ist, dass die Aktie innerhalb eines kurzen Zeitintervalls augenblicklich umkippt, ohne dass die Kontinuität des Prozesses oder mathematische Einschränkungen eingeschränkt werden. Der Prozess kann jedoch bestimmt werden, wenn der Bestand einen Diffusionsprozess aufweist, und das Ergebnis ist elegant und praktisch. Die praktische Implikation ist, dass man in Wirklichkeit nur eine endliche Teilmenge der Call-Optionen kennt.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt erklärt Stephen Blythe, dass selbst wenn ein Händler Zugriff auf eine große Anzahl europäischer Call-Optionspreise hat, es einige komplexe oder nicht standardmäßige Derivatprodukte geben kann, deren Preis nicht eindeutig durch die bloße Kenntnis dieser Optionen bestimmt wird. Dies liegt daran, dass die Menge der Call-Optionen nicht den zugrunde liegenden stochastischen Prozess bestimmt, selbst wenn man sie alle kennt. Blythe diskutiert auch den Vorschlag, anstelle von Call-Optionen eine andere Basis für die Spanne aller möglichen Auszahlungen zu wählen, und erklärt, dass jede beliebige Basis von Funktionen, die eine kontinuierliche Funktion umfassen können, funktionieren kann, aber die Verwendung von Call-Optionen hierfür oft die eleganteste Methode ist Zweck.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt erläutert Stephen Blythe den Zusammenhang zwischen Call-Optionspreisen und der Terminalverteilung, wobei letztere eindeutig durch erstere bestimmt wird. Er weist außerdem darauf hin, dass die Annahme von Z anstelle von Theta zu einer bestimmten risikoneutralen Dichte für jede Aktie führt.
20. Option Price and Probability Duality
20. Option Price and Probability Duality
  • 2015.01.06
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21. Stochastische Differentialgleichungen



21. Stochastische Differentialgleichungen

Dieses Video bietet eine detaillierte Untersuchung verschiedener Methoden zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SDEs). Der Professor betont zunächst die Herausforderung, einen stochastischen Prozess zu finden, der eine gegebene Gleichung erfüllt. Sie versichern dem Publikum jedoch, dass es unter bestimmten technischen Voraussetzungen eine einzigartige Lösung mit festgelegten Ausgangsbedingungen gibt. Der Dozent stellt die Finite-Differenzen-Methode, die Monte-Carlo-Simulation und die Baummethode als effektive Ansätze zur Lösung von SDEs vor.

Der Professor geht auf die technischen Voraussetzungen ein, die für die Lösung von SDEs notwendig sind, und betont, dass diese Bedingungen typischerweise gegeben sind und es einfacher machen, Lösungen zu finden. Sie demonstrieren ein praktisches Beispiel für die Lösung einer einfachen SDE unter Verwendung einer Exponentialform und der Anwendung eines Schätzansatzes zusammen mit relevanten Formeln. Darüber hinaus veranschaulicht der Referent, wie man die Komponenten einer SDE analysiert, um zurückzugehen und die entsprechende Funktion zu finden. Sie stellen den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess als Beispiel für einen stochastischen Prozess mit Mean-Reverting vor und beleuchten seine Drift- und Rauschterme.

Im Anschluss an spezifische Lösungsmethoden erklärt der Professor, wie die Finite-Differenzen-Methode, die üblicherweise für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen verwendet wird, zur Bewältigung von SDEs angepasst werden kann. Sie beschreiben den Prozess der Zerlegung der SDE in kleine Intervalle und der Annäherung an die Lösung mithilfe der Taylor-Formel. Der Dozent erörtert auch die Herausforderungen, die sich aus der inhärenten Unsicherheit der Brownschen Bewegung bei der Finite-Differenzen-Methode ergeben, und stellt eine Lösung vor, die einen Brownschen Bewegungspfad mit fester Stichprobe beinhaltet.

Als nächstes untersucht der Dozent die Monte-Carlo-Simulationsmethode zur Lösung von SDEs. Sie betonen die Notwendigkeit, zahlreiche Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ziehen, um die Berechnung von X(0) für jede Stichprobe zu ermöglichen und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für X(1) zu erhalten. Der Referent weist darauf hin, dass im Gegensatz zur Finite-Differenzen-Methode die Monte-Carlo-Simulation angewendet werden kann, sobald die Brownsche Bewegung festgelegt wurde.

Als weiterer numerischer Lösungsansatz für SDEs wird die Baummethode vorgestellt, die die Verwendung einfacher Zufallswanderungen als Näherungen zum Ziehen von Stichproben aus Brownschen Bewegungen beinhaltet. Durch die Berechnung von Funktionswerten auf einer Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine Näherungsverteilung der Brownschen Bewegung realisiert werden. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, eine geeignete Schrittgröße (h) zu wählen, um Genauigkeit und Rechenzeit in Einklang zu bringen, da sich die Näherungsqualität mit kleineren Schrittgrößen verschlechtert.

Während der Vorlesung diskutieren der Professor und die Studierenden über numerische Methoden zur Lösung von SDEs, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf Baummethoden für pfadabhängige Ableitungen liegt. Erwähnt wird auch die Wärmegleichung, die die Wärmeverteilung über die Zeit in einem isolierten, unendlichen Stab modelliert. Die Wärmegleichung hat eine geschlossene Lösung und ist gut verstanden, was wertvolle Einblicke in die Lösung von SDEs liefert. Es wird seine Beziehung zur Normalverteilung untersucht und hervorgehoben, wie die Wärmeverteilung einer Vielzahl gleichzeitiger Brownscher Bewegungen entspricht.

Das Video endet damit, dass der Professor die behandelten Themen zusammenfasst und erwähnt, dass das Abschlussprojekt die Umsetzung der Details zur Lösung von SDEs umfasst. Der Redner weist außerdem darauf hin, dass sich die kommenden Vorlesungen auf praktische Anwendungen des bisher präsentierten Materials konzentrieren werden, um das Verständnis von SDEs in realen Szenarien weiter zu bereichern.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor das Konzept, einen stochastischen Prozess zu finden, der eine gegebene Gleichung erfüllt, und stellt fest, dass die Lösung dieser Art von Gleichungen schwierig sein kann. Solange jedoch die beteiligten Funktionen sinnvoll sind, gibt es eine eindeutige Lösung mit gegebenen Anfangsbedingungen. Der Professor nennt auch technische Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen, damit die Funktionen als sinnvoll gelten.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt werden die technischen Bedingungen für stochastische Differentialgleichungen erläutert. Obwohl die Bedingungen entmutigend erscheinen mögen, werden sie in der Regel zutreffen, was es einfacher macht, eine Lösung für die Differentialgleichung zu finden. Professor Li liefert außerdem ein Beispiel dafür, wie eine einfache stochastische Differentialgleichung in Exponentialform mithilfe eines Schätzansatzes und verschiedener Formeln gelöst werden kann. Der letzte Schritt bei der Lösung stochastischer Differentialgleichungen besteht darin, zu überprüfen, ob alle Variablen übereinstimmen, wie in dem vom Publikum angegebenen Ausdruck gezeigt.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt zeigt der Sprecher ein Beispiel für die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, indem er ihre Komponenten analysiert und sie verwendet, um zur Funktion zurückzukehren. Er weist darauf hin, dass dieser Ansatz möglicherweise nicht besser ist als das Erraten der Antwort, er kann jedoch nützlich sein, wenn eine explizite Lösung nicht bekannt ist oder keine vernünftige Vermutung vorliegt. Anschließend stellt er den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess vor, der zur Modellierung von Mean-Reverting-stochastischen Prozessen wie dem Verhalten von Gasen verwendet wird. Der Prozess hat einen Drift-Term, der proportional zum aktuellen Wert ist, und einen Rausch-Term, der vom Wert unabhängig ist.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent, wie man eine stochastische Differentialgleichung löst, indem man eine Schätzung für eine Testfunktion erstellt und eine ähnliche Analyse wie bei gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen durchführt. Der Sprecher teilt mit, dass für diesen Prozess die anfängliche Schätzung a(0) gleich 1 sein wird, obwohl er zugibt, dass es keine wirkliche Intuition oder Richtlinie gibt, um zu dieser Schätzung zu gelangen. Mithilfe der Kettenregel zum Differenzieren leiten sie eine Primzahl der t-Gleichung ab und schreiben sie um als X(t) dividiert durch a(t) plus a(t) mal dem Differential einer anderen Gleichung. Die beiden Terme heben sich auf und sie kommen zu dem Schluss, dass a(t) gleich e zum minus Alpha t sein muss. Setzt man dies in die Gleichung ein, erhält man b(t), und so ist X von t gleich e zum minus Alpha*t von x von 0 plus 0 bis t Sigma e zum Alpha*s.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf den Methoden zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen. Der Sprecher weist darauf hin, dass beim Versuch, diese Gleichungen zu lösen, typischerweise die Finite-Differenzen-Methode, die Monte-Carlo-Simulation oder die Baummethode verwendet werden. Obwohl Finite-Differenzen-Methoden normalerweise zur Lösung von ODE und PDE verwendet werden, können sie für die Arbeit mit stochastischen Differentialgleichungen angepasst werden. Die Methode wird anhand eines Beispiels veranschaulicht, bei dem eine gegebene stochastische Differentialgleichung in winzige Stücke zerstückelt und die Lösung mithilfe der Taylor-Formel angenähert wird.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Finite-Differenzen-Methode für Differentialgleichungen. Sie erklären, dass die Methode darin besteht, einen kleinen Wert h zu nehmen und die Gleichung 1 über 100 Mal zu wiederholen, bis der Endwert erreicht ist. Die gleiche Methode kann auf Funktionen mit zwei Variablen angewendet werden, indem eine Taylor-Entwicklung verwendet wird, um das Gitter Schicht für Schicht auszufüllen. Bei stochastischen Differentialgleichungen wird die Finite-Differenzen-Methode jedoch komplizierter, da jeder Wert aus mehreren Möglichkeiten stammen könnte. Dies lässt sich lösen, indem man einen beispielhaften Brownschen Bewegungspfad nimmt und die Finite-Differenzen-Methode mit diesem festen Pfad anwendet.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man eine stochastische Differentialgleichung mithilfe der Monte-Carlo-Simulation numerisch löst. Dazu ist es notwendig, viele Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ziehen. Indem man dies tut und den Wert von X(0) für jede Stichprobe berechnet, ist es möglich, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Brownsche Bewegung, aber diese Methode kann verwendet werden, sobald die Brownsche Bewegung festgelegt wurde.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Professor die Baummethode zum Zeichnen einer Stichprobe aus Brownschen Bewegungen unter Verwendung einer einfachen Zufallswanderung als Näherungen. Durch die Berechnung der Werte einer Funktion auf einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ermöglicht die Baummethode die Realisierung einer Näherungsverteilung der Brownschen Bewegung. Es ist wichtig zu beachten, dass die Näherung für Zwischenwerte immer schlechter wird, wenn h kleiner wird, sodass das richtige h erforderlich ist, um Genauigkeit und Rechenzeit in Einklang zu bringen.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutieren der Professor und die Studierenden verschiedene Methoden zur numerischen Lösung stochastischer Differentialgleichungen, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf Baummethoden für pfadabhängige Ableitungen liegt. Sie gehen auch auf die Wärmegleichung ein, eine partielle Differentialgleichung, die die Wärmeverteilung über die Zeit in einem perfekt isolierten, unendlichen Stab modelliert. Die Gleichung hat eine geschlossene Lösung und ist gut verstanden.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Linearität eingeführt, das besagt, dass, wenn eine Familie von Funktionen alle eine bestimmte Gleichung erfüllt, die Integration dieser Lösungen auch dieselbe Gleichung erfüllt, solange vernünftige Funktionen verwendet werden. Dies ist nützlich, da es die Lösung von Anfangsbedingungen ermöglicht, beispielsweise einer Dirac-Delta-Funktion. Durch die Verwendung dieses Prinzips und die Überlagerung vieler Lösungen für eine Dirac-Delta-Anfangsbedingung kann eine Lösung für beliebige Anfangsbedingungen erhalten werden.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt bespricht das Video die Wärmegleichung und ihre Beziehung zur Normalverteilung. Die Wärmegleichung modelliert ein perfekt isoliertes System, in dem die Wärme zunächst an einem Punkt konzentriert ist und sich dann über die Zeit entsprechend der Normalverteilung verteilt. Dies kann man sich als eine Reihe gleichzeitig ablaufender Brownscher Bewegungen vorstellen. Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung wird durch Integration gegeben, was eine explizite Lösung zum Zeitpunkt t für alle x ermöglicht. Diese geschlossene Lösung kann dann zur Lösung der Black-Scholes-Gleichung verwendet werden.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt schließt der Referent die Vorlesung über stochastische Differentialgleichungen mit der Aussage ab, dass das Abschlussprojekt darin besteht, alle Details auszuführen und zu erklären, wie sich die Black-Scholes-Gleichung in eine Wärmeleitungsgleichung ändern wird. Der Referent erwähnt auch, dass sich die kommenden Vorlesungen auf die Anwendung des bisher behandelten Materials konzentrieren werden.
21. Stochastic Differential Equations
21. Stochastic Differential Equations
  • 2015.01.06
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23. Quanto-Kreditabsicherung



23. Quanto-Kreditabsicherung

In diesem umfassenden Vortrag taucht Professor Stefan Andreev, ein renommierter Experte von Morgan Stanley, in die faszinierende Welt der Preisgestaltung und Absicherung komplexer Finanzinstrumente in den Bereichen Devisen, Zinssätze und Kredite ein. Der Schwerpunkt der Diskussion liegt auf dem Konzept der Kreditabsicherung, bei dem es um die Minderung der mit dem Kreditengagement verbundenen Risiken geht.

Professor Andreev erläutert zunächst den Prozess der Replikation der Auszahlung eines komplexen Finanzprodukts unter Verwendung der bekannten Preise anderer Instrumente und der Anwendung ausgefeilter mathematischer Techniken zur Ableitung des Preises des komplexen Produkts. Er betont die Bedeutung der Einbeziehung von Sprungprozessen, bei denen es sich um stochastische Phänomene handelt, die plötzliche und erhebliche Preisbewegungen erfassen, um das Verhalten von Preisen im Zusammenhang mit Staatsausfällen in Schwellenländern effektiv zu beschreiben. Ein bemerkenswertes Beispiel, das untersucht wurde, ist die Auswirkung der griechischen Zahlungsunfähigkeitssituation auf die Euro-Währung.

Die Vorlesung befasst sich mit verschiedenen Aspekten der theoretischen Preisgestaltung von Anleihen und berücksichtigt dabei mathematische Modelle, die die Absicherung gegen Zahlungsausfälle und Devisentermingeschäfte (FX) erleichtern. Das eingeführte grundlegende Kreditmodell beinhaltet die Verwendung von Poisson-Prozessen, die durch eine Intensitätsrate, bezeichnet als „h“, und einen Kompensatorterm gekennzeichnet sind, um eine konstante No-Arbitrage-Bedingung zu erreichen. Dieses Modell bietet einen Rahmen für die Analyse und Preisgestaltung von Anleihen unter Berücksichtigung von Kreditrisiken.

Das Video befasst sich auch mit der Quanto Credit Hedging-Strategie, bei der zur Absicherung des Kreditrisikos ein Portfolio aus Dollar- und Euro-Anleihen eingesetzt wird. Die Bewertung dieser Anleihen hängt von Faktoren wie dem Wechselkurs und der erwarteten Auszahlung ab. Die Strategie erfordert im Laufe der Zeit eine dynamische Neuausrichtung aufgrund von Änderungen der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Sprunggrößen. Darüber hinaus wird in der Vorlesung die Erweiterung des Modells um die Einbeziehung von Rückflüssen ungleich Null untersucht, wodurch die Preis- und Absicherungsmöglichkeiten für Kreditkontingentverträge und Credit Default Swaps, die auf Fremdwährungen lauten, verbessert werden.

Der Redner erkennt die Komplexität an, die bei der Verwendung des Ito-Lemmas entsteht, einem mathematischen Werkzeug zur Handhabung stochastischer Differentialgleichungen, insbesondere in Szenarien, die sowohl Diffusions- als auch Sprungprozesse beinhalten. Als Mittel zur Überprüfung der Genauigkeit der abgeleiteten Ergebnisse werden Monte-Carlo-Simulationen vorgeschlagen. Es wird festgestellt, dass reale Modelle komplexer sind und häufig stochastische Zinssätze und Risikoraten berücksichtigen, die mit anderen Faktoren wie Wechselkursen korreliert werden können. Der Vortrag verdeutlicht die Existenz einer breiten Palette von Modellen für verschiedene Märkte, deren Eignung von der Komplexität und der erforderlichen Geschwindigkeit abhängt.

Die Schätzung der Hazard-Raten (h) und der Sprunggrößen (J) wird besprochen, wobei der Redner erklärt, wie Anleihepreise zur Schätzung dieser Parameter verwendet werden können. Schätzungen zur Erholung nach einem Zahlungsausfall werden untersucht, wobei Konventionen in der Regel feste Zinssätze von 25 % für Staatsanleihen und 40 % für Unternehmen festlegen. Allerdings können die Wiederherstellungsraten je nach den spezifischen Umständen erheblich variieren. Anleger treffen in der Regel Annahmen über die Wiederherstellungsraten, und die Schätzung kann durch makroökonomische Faktoren beeinflusst werden. Abschließend befasst sich die Vorlesung mit der Schätzung von Gefahrenkurven unter Verwendung von Benchmark-Anleihepreisen und der Replikation von Prozessen zur Preisschätzung in Szenarien mit mehreren Währungen.

Während der Vorlesung liefert Professor Andreev zahlreiche Beispiele, Gleichungen und Einblicke, um das Verständnis des Publikums für die Preisgestaltung und Absicherung komplexer Finanzprodukte zu vertiefen. Die behandelten Themen reichen von statistischen Analysen und Vorhersagen bis hin zu den Feinheiten verschiedener mathematischer Modelle und liefern letztendlich wertvolles Wissen für Personen, die sich für diesen Bereich interessieren.

Professor Stefan Andreev stellt das Konzept der Bewertung von Anleihen mithilfe mathematischer Modelle und die Bedeutung der Absicherung gegen Ausfälle und Wechselkursschwankungen vor. Er demonstriert den Prozess anhand von Beispielen und betont die Notwendigkeit einer genauen Schätzung der Gefahrenraten und Wiederherstellungsraten.

Der Vortrag befasst sich mit der Quanto Credit Hedging-Strategie, bei der ein Portfolio aus Dollar- und Euro-Anleihen zur Absicherung gegen Kreditrisiken zusammengestellt wird. Der Wert der Anleihen wird unter Berücksichtigung des Wechselkurses und der erwarteten Auszahlung bestimmt. Das Modell berücksichtigt die Ausfallwahrscheinlichkeit und die Sprunggröße und erfordert im Laufe der Zeit eine dynamische Neuausrichtung des Portfolios.

Das Video befasst sich mit der Ableitung der Preise von Dollar- und Euro-Anleihen für die Quanto Credit Hedging-Strategie. Der Sprecher erläutert die Berechnungen zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass Tau größer als T oder kleiner als T ist, und des erwarteten Werts von S_T. Durch die Analyse der Verhältnisse der Nominalwerte der beiden Anleihen wird eine abgesicherte Portfoliostrategie vorgeschlagen.

Der Redner erweitert das Quanto-Kreditabsicherungsmodell weiter, um Rückflüsse ungleich Null einzubeziehen. Diese Erweiterung ermöglicht es Händlern, auf Fremdwährungen lautende Kreditkontrakte und Credit Default Swaps zu bewerten und so genauere Absicherungsquoten bereitzustellen. Obwohl die Kalibrierung mit dem erweiterten Modell schwieriger wird, betont Professor Andreev deren Bedeutung für das Verständnis komplexer mathematischer Modelle.

Das Video erörtert auch die Komplikationen, die auftreten, wenn das Lemma von Ito zur Berücksichtigung von Diffusions- und Sprungprozessen verwendet wird. Der Referent schlägt vor, Monte-Carlo-Simulationen einzusetzen, um die Genauigkeit der aus den Berechnungen resultierenden Ergebnisse zu überprüfen. Reale Modelle gelten als komplexer und beziehen häufig stochastische Zinssätze und Risikoraten ein, die mit anderen Faktoren wie Wechselkursen korrelieren.

Darüber hinaus wird in der Vorlesung betont, dass die Schätzungen zur Wiederherstellung nach einem Zahlungsausfall variieren und in der Regel auf Konventionen wie 25 % für souveräne Staaten und 40 % für Unternehmen festgelegt werden. Diese Werte sind jedoch nicht festgelegt und können je nach Unternehmen unterschiedlich sein. Bei der Schätzung der Erholungsraten müssen makroökonomische Faktoren berücksichtigt werden, obwohl es sich dabei immer noch um ein subjektives Konzept handelt, bei dem sich Anleger normalerweise auf Annahmen verlassen.

Zur Schätzung der Hazard-Raten (h) und J erklärt Professor Andreev die Verwendung von Anleihepreisen. Durch die Verwendung von Benchmark-Anleihen mit bekannten Preisen können Gefahrenkurven erstellt werden. Die Nachbildung dieser Benchmark-Anleihen hilft bei der Schätzung des h-Werts für jeden Anleihepreis. Wenn mehrere Währungen beteiligt sind, wird der Prozess komplexer und erfordert die Replikation mehrerer Prozesse zur Preisschätzung. Bei Anleihen mit Kuponzahlungen müssen alle Kuponzahlungen berücksichtigt und deren Erwartung berechnet werden.

Insgesamt liefert der Vortrag von Professor Stefan Andreev wertvolle Einblicke in die Preisgestaltung und Absicherung komplexer Produkte in den Bereichen Devisen, Zinssätze und Kredite. Durch detaillierte Erklärungen, Beispiele und mathematische Modelle beleuchtet er die Feinheiten der Kreditabsicherung, der Anleihepreisgestaltung und der Schätzung von Risikoquoten und Rückflüssen.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt Professor Stefan Andreev von Morgan Stanley, dass es im Finanzwesen zwei Schlüsselbereiche für quantitative Fähigkeiten gibt: Statistiken und Vorhersagen sowie Preisgestaltung und Absicherung komplexer Instrumente. Professor Andreev konzentriert sich auf die Preisgestaltung und Absicherung komplexer Produkte in den Bereichen Devisen, Zinssätze und Kredite. Er beschreibt den Prozess der Replikation der Auszahlung eines komplexen Produkts unter Verwendung anderer Produkte, deren Preise bekannt sind, und der Verwendung mathematischer Techniken zur Ableitung des Preises des komplexen Produkts. Er betont auch die Bedeutung der Verwendung von Sprungprozessen zur Beschreibung bestimmter Preisverhalten im Zusammenhang mit Staatsausfällen in Schwellenländern, einschließlich der Euro-Währung während der griechischen Zahlungsunfähigkeitssituation.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt erfahren wir etwas über Devisen und wie sie mathematisch als Preis einer Fremdwährungseinheit in Dollar beschrieben werden. Der Kassakurs wird mit S bezeichnet und ist ein aktueller Wechselkurs. Devisentermingeschäfte sind Kontrakte, die die Festlegung eines effektiven Dollarzinssatzes ermöglichen. Devisentermingeschäfte sind mit ausländischen Zinssätzen verbunden, die aus der Kenntnis der Devisentermingeschäfte abgeleitet werden können. Darüber hinaus wird das Konzept der Arbitrage diskutiert und erläutert, wie damit Gewinne erzielt werden können, wenn die Zinssätze in einer Währung von denen in einer anderen Währung abweichen. Darüber hinaus wird die Definition risikofreier Zinssätze und deren Verwendung im FX-Prozess vorgestellt.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner den Prozess für die Devisenwährung und die Einschränkungen für ihre stochastische Differentialgleichung, um eine No-Arbitrage-Bedingung zu haben, was im Wesentlichen darin besteht, dass die Drifts des Prozesses die Zinsdifferenz sein müssen Tarife. Es gelten die Arbitragebedingungen von zuvor, was bedeutet, dass der Terminkurs dem Kassakurs multipliziert mit der Zinsdifferenz entsprechen muss. Der Redner stellt außerdem das FX-Modell von Black-Scholes vor, das standardmäßige dynamische FX-Grundmodell, das in der Industrie verwendet wird, und erörtert die interessanten Eigenschaften von FX und die Tatsache, dass sein Wechselkurs nicht negativ sein kann. Allerdings kann es sehr groß werden und es gibt keine Obergrenze, wodurch die Verteilung verzerrt wird.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt stellt der Sprecher ein Spiel vor, bei dem Annahmen zur Vereinfachung des Systems getroffen werden und die Teilnehmer gebeten werden, zwischen zwei Auszahlungen, A und B, zu wählen. Beide Auszahlungen sind in Bezug auf die Einsatzbeträge symmetrisch und die Teilnehmer gewinnen entweder oder verlieren zwar die gleiche Menge, aber das eine wird dem anderen vorgezogen. Der Sprecher findet heraus, dass niemand das Spiel spielen möchte, aber anhand von Szenarios, in denen die Wechselkurse entweder 1,25 oder 0,75 betragen, veranschaulicht er, dass Wette A 25 $ besser ist als Wette B. Der Sprecher kommt zu dem Schluss, dass Wette A aufgrund des Wertes das bessere Geschäft ist Die Höhe der Wetteinheiten hängt davon ab, ob Sie gewinnen oder verlieren.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Moderator das Konzept von Credit FX Quanto-Modellen am Beispiel der in Dollar und Euro ausgegebenen italienischen Anleihen. Italien gibt sowohl Euro- als auch Dollar-Anleihen aus, weil es möglichst viele Anleger erreichen muss. Allerdings kommt es bei beiden Arten von Anleihen zu gegenseitigen Zahlungsausfällen; Das heißt, wenn Italien bei einer Anleihe ausfällt, fallen alle seine Anleihen zusammen aus, einschließlich der Euro- und Dollar-Anleihen. Der Credit Spread, der ein Maß dafür ist, wie risikoreich Italien ist, ist in beiden Währungen nicht gleich und bestimmt, in welcher Währung Italien am liebsten Anleihen ausgibt und in welcher Währung Anleger am liebsten Anleihen kaufen. Der Moderator fragt das Publikum, in welcher Währung Ihrer Meinung nach ist die Kreditspanne höher und sie erklären, dass sie eine Strategie entwickeln müssen, um eine Anleihe mit der anderen zu reproduzieren, um die beiden vergleichen zu können.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erläutert der Redner, wie man die Auszahlungen von Instrumenten analysiert und ein Modell für Devisen und Kredite schreibt, um Anleihen zu bewerten. Das angeführte Beispiel sind zwei Nullkuponanleihen, eine in Dollar und eine in Euro, mit derselben Laufzeit, die bei Fälligkeit 100 auszahlen. Sie verwenden eine Arbitrage-Strategie, um 100-fache Ft-Dollar-Anleihen zu verkaufen und 100-Euro-Anleihen zu kaufen, und schließen einen FX-Terminkontrakt über 100.000 Euro mit Laufzeit T zum Nulltarif ab. Der Devisentermingeschäft sichert die Erlöse ab und sie können die Erlöse aus den Anleihen gegen Euro-Anleihen eintauschen. Durch die Berechnung eines Modells, das den Unterschied erklärt, stellen sie fest, dass die Spreads von USD-Anleihen auf dem Markt tatsächlich niedriger sind und die Anleihen entweder performant oder notleidend sind und sich in Zahlungsverzug befinden.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Absicherung mithilfe von FX-Forwards und Anleihen untersucht. Es wird das Szenario zweier Anleihen diskutiert, von denen eine in Dollar und eine in Euro mit demselben Nennwert ausgegeben wird. Wenn der Wechselkurs richtig festgelegt ist, sollten die beiden Anleihen theoretisch bei Fälligkeit den gleichen Wert haben, und der Anleger kann keinen Gewinn oder Verlust erzielen. Wenn es jedoch zu einem Ausfall kommt, ändert sich die Situation, und die Anleihen haben möglicherweise nicht den gleichen Wert, und es ist schwierig, sich nur mit Devisentermingeschäften und Anleihen abzusichern. Der Fall des argentinischen Zahlungsausfalls im Jahr 2001 wird dargestellt, um zu zeigen, wie es aussieht, wenn der FX-Forward unbedeckt bleibt. Mathematische Modelle werden als Lösung zur Unterstützung der Absicherung mithilfe der Replikationsstrategie vorgestellt und weitere Erläuterungen zur Preisgestaltung ohne Absicherung und umgekehrt gegeben.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das grundlegende Kreditmodell zur Modellierung von Zahlungsausfällen, bei dem Ausfallereignisse als Poisson-Prozess mit einer Intensitätsrate h definiert werden. Unter der Annahme einer konstanten Risikorate und einer Nullzinsumgebung erklärt der Sprecher die FX-Dynamik im Modell, das einen Sprungprozess mit der Bezeichnung J*dN umfasst, wobei J die prozentuale Abwertung der FX und dN der Poisson-Prozess ist. Das Ziel besteht darin, eine konstante No-Arbitrage-Bedingung zu erreichen, bei der der erwartete Wert des Wechselkurses dem Anfangswert entspricht. Dies wird erreicht, indem die Drift mu gleich h mal e hoch J (dem Kompensatorterm) gesetzt wird.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man die Form des Kompensatorterms des Poisson-Prozesses ableitet und wie man prüft, ob diese Form die Bedingung für den Erwartungswert erfüllt. Die Formel für d von log S_t wird mit Hilfe einer Indikatorfunktion und J dN_t angegeben und integriert. Der Sprecher teilt dann die Möglichkeiten für Tau größer oder kleiner als T auf und zeigt, dass J eine Konstante ist und das Integral daher J mal N von t ist. Der Redner erwähnt, dass alle Ableitungen zu Referenzzwecken in den Notizen veröffentlicht sind.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher, wie man den Erwartungswert von S_T berechnet und über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Tau integriert. Er beginnt damit, die oberste Zeile der vorherigen Gleichung zu löschen und zeigt, dass der Logarithmus von S_T über S_0 gleich h mal Tau mal 1 minus e zum J ist, wenn Tau kleiner als T und h mal das große T mal 1 minus e zum J mal Indikator ist Funktion von Tau größer oder gleich T, wenn Tau größer als T ist. Anschließend potenziert er beide Seiten und schreibt das Integral von 0 bis unendlich von S von Tau mal phi(0, Tau) d Tau, um den Erwartungswert von S_T zu berechnen. Er teilt das Integral in zwei Teile und erklärt den ersten Term von 0 bis zum großen T und den zweiten Term vom großen T bis zur Unendlichkeit für Tau.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent den Prozess der Arbeit mit Sprungprozessen und der Annahme von Erwartungen. Er demonstriert, wie seine Driftschätzung zunächst die Erwartung auf Null setzt. Die Dynamik für den Logarithmus von S mit Sprung bei Ausfall wird definiert und die Wahrscheinlichkeitsdichte berechnet. Der Sprecher verwendet das Lemma von Ito, um die Dynamik von S abzuleiten, und erklärt, wie der Prozess für S aus dem Prozess für den Logarithmus von S ermittelt werden kann. Das Endergebnis für S ist h mal 1 minus e zum J, Tau ist kleiner als T, dT, plus e zu J minus 1, J minus 1, dN, dN_t.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Preisgestaltung für zwei Nullkuponanleihen mit unterschiedlichen Währungen unter Verwendung des Wechselkursmodells und des Kreditmodells. Die Preisgestaltung wird durch die Standardpreistheorie erreicht, wobei der Preis zum Zeitpunkt T gleich der Erwartung eines Preises zum Zeitpunkt t ist. Der Sprecher berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass Tau größer als T ist, und verwendet die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion, um den Anleihepreis in Dollar zu bestimmen. Durch den Vergleich der Verhältnisse der Nominalwerte zweier Anleihen schlägt der Redner ein Absicherungsportfolio für die beiden Anleihen vor.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man ein Kreditrisiko absichert, indem man ein Portfolio aufbaut, das aus einer Dollar-Anleihe und einer Euro-Anleihe mit der gleichen Auszahlung besteht, wobei die Auszahlung der Euro-Anleihe jedoch in Euro statt in Dollar erfolgt . Der Referent zeigt, wie man mithilfe der Indikatorfunktion die erwartete Auszahlung der Euro-Anleihe in Dollar berechnet und dann zum Zeitpunkt t=0 ein Portfolio aufbaut, das Null kostet, indem man eine Dollar-Anleihe verkauft und eine bestimmte Menge Euro-Anleihen kauft. Anschließend erklärt der Referent, wie man prüft, ob das Portfolio sowohl im Falle eines Ausfalls als auch im Falle eines Nicht-Ausfalls den gleichen Preis bietet, was auf ein abgesichertes Portfolio hinweisen würde.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf die Absicherungsstrategie für Kreditrisiken am Beispiel von Dollar- und Euro-Anleihen ein. Der Wert der Dollar-Anleihe wird mithilfe einer Formel berechnet, die den Wechselkurs berücksichtigt, während der Wert der Euro-Anleihe anhand der Anzahl der Anleihen und des Wechselkurses berechnet wird. Die Absicherungsstrategie ist dynamisch und hängt von der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Sprunggröße ab. Eine Neuausrichtung des Portfolios ist kontinuierlich erforderlich, insbesondere wenn die Zeit voranschreitet und sich die Ausfallwahrscheinlichkeit ändert. Der Redner befasst sich auch mit der Komplexität der Anleihepreisgestaltung, wenn die Erholung größer als Null ist.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man den Dollar-Anleihepreis und den Euro-Anleihepreis ableitet, unter Berücksichtigung des Wechselkurses, der bei Zahlungsausfall sprunghaft ansteigt. Der Dollar-Anleihepreis wird durch Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Tau größer als T oder kleiner als T ist, abgeleitet, während der Euro-Anleihepreis durch Division des Preises zum Zeitpunkt 0 der Euro-Anleihe durch S_0 und Berechnung des erwarteten Werts von S von T ermittelt wird durch T. Die Bestimmung von S von T, dem Preis der Nullkuponanleihe, gliedert sich in mehrere Teile, die vom Referenten sorgfältig erläutert werden.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt wird im Video erläutert, wie eine Erwartung für das Quanto Credit Hedging erstellt wird. Um diese Erwartung zu erfüllen, erklärt der Sprecher, dass man ein Integral über das Intervall von 0 bis unendlich der Wahrscheinlichkeitsdichte erstellen muss. Es sieht ähnlich aus wie die vorherige Berechnung, und dieses Mal gibt es zwei Terme, da Tau kleiner als T ist. Der erste Term ist e zum hT und der zweite Term ist R mal der Erwartungswert von Tau, worauf der Sprecher im Detail eingeht um diesen Term zu berechnen.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie das Quanto-Kreditabsicherungsmodell um Rückflüsse ungleich Null erweitert werden kann. Er schlägt vor, dass man das Modell noch weiter ausbauen könnte, indem man einen weiteren Begriff hinzufügt, und erklärt, dass sein Team bei Morgan Stanley bereits an einem solchen Modell arbeitet. Das erweiterte Modell wird es Händlern ermöglichen, auf Fremdwährung lautende Kreditkontrakte und Credit Default Swaps zu bewerten, und bietet bessere Absicherungsquoten. Er weist darauf hin, dass das erweiterte Modell die Kalibrierung erschwert, findet das Projekt jedoch eine lohnende Übung für Studierende, die komplexe mathematische Modelle verstehen möchten.

  • 01:25:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent die Komplikationen, die auftreten, wenn das Lemma von Ito zur Berücksichtigung von Diffusions- und Sprungprozessen verwendet wird. Sie schlagen vor, eine Monte-Carlo-Simulation zu verwenden, um die Genauigkeit der aus den Berechnungen erzielten Ergebnisse zu überprüfen. Der Referent erklärt auch, dass reale Modelle komplexer sind und oft stochastische Zinssätze und Hazard Rates einbeziehen, die mit anderen Faktoren wie FX korreliert werden können. Sie weisen darauf hin, dass es eine Reihe von Modellen gibt, die je nach Komplexität und erforderlicher Geschwindigkeit für verschiedene Märkte umgesetzt werden. Abschließend beantwortet der Referent die Frage, welche der ursprünglichen italienischen Wetten besser war, und erklärt, dass sie die Frage nur innerhalb ihres Modells beantworten können, indem sie Faktoren wie Angebot und Nachfrage sowie Liquidität in Euro und Dollar berücksichtigen.

  • 01:30:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf die Kreditabsicherung bei Investitionen in Euro gegenüber Dollar und die Auswirkungen eines Zahlungsausfalls auf den Währungswert ein. Der erwartete Wert einer Währung wird durch Zinsunterschiede bestimmt, und Anleger würden es vorziehen, Anleihen in der Währung zu kaufen, die an Wert gewinnen würde, wenn es nicht zu einem Zahlungsausfall kommt, da sie nur dann ausgezahlt werden, wenn es nicht zu einem Zahlungsausfall kommt. Schätzungen zur Wiederherstellung nach einem Ausfall variieren und liegen üblicherweise bei 25 % für Staaten und 40 % für Unternehmen. Bei diesen Zahlen handelt es sich jedoch lediglich um Konventionen, und die Wiederherstellung variiert je nach Unternehmen. Die Erholung kann anhand makroökonomischer Faktoren geschätzt werden, es handelt sich jedoch um ein unscharfes Konzept, und Anleger treffen in der Regel Annahmen darüber.

  • 01:35:00 In diesem Abschnitt erklärt Stefan Andreev, wie man die Hazard Rate (h) und J anhand der Anleihepreise schätzt. Wenn die Wiederherstellungsrate festgelegt ist, kann der Anleihepreis in die Gefährdungsraten umgerechnet werden. Stefan schlägt vor, dass durch die Verwendung einiger Benchmark-Anleihen mit bekannten Preisen die Gefahrenkurven erstellt werden können. Um Derivate zu bewerten, können diese Benchmark-Anleihen verwendet werden, indem man sie nachbildet und den h-Wert für jeden Anleihepreis schätzt. Wenn mehrere Währungen beteiligt sind, wird es schwierig, wenn wir mehrere Prozesse replizieren müssen, um die Preise zu schätzen. Um Anleihen einzubeziehen, die Kupons zahlen, müssen wir alle Kuponzahlungen abschreiben und dann deren Erwartung berücksichtigen.
23. Quanto Credit Hedging
23. Quanto Credit Hedging
  • 2015.01.06
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24. HJM-Modell für Zinssätze und Kredite



24. HJM-Modell für Zinssätze und Kredite

In diesem Abschnitt erörtert Denis Gorokhov, Finanzexperte bei Morgan Stanley, das HJM-Modell (Heath-Jarrow-Morton) und seine Anwendung bei der Preisgestaltung und Absicherung exotischer Finanzprodukte, einschließlich Kreditderivaten und Double-Range-Abgrenzungen. Das HJM-Modell ist ein leistungsstarkes Framework, das von Großbanken wie Morgan Stanley und Goldman Sachs verwendet wird, um verschiedene Arten exotischer Derivate effizient zu handeln und den Kundenanforderungen gerecht zu werden.

Gorokhov vergleicht das HJM-Modell mit der theoretischen Physik und betont, dass es sowohl lösbare Modelle als auch komplexe Probleme bietet. Es ermöglicht Banken, eine breite Palette exotischer Derivate numerisch genau zu bewerten. Er betont die Volatilität und Zufälligkeit der Märkte und wie sie sich auf Derivatehändler auswirken können, die effektive Absicherungsstrategien benötigen.

Die Vorlesung führt in das Konzept ein, ein derivatives Preismodell ausgehend von einem stochastischen Prozess zu starten, und nutzt die logarithmische Normaldynamik als grundlegendes Modell für Aktienkursbewegungen. Das Modell umfasst eine deterministische Komponente namens Drift und eine Zufallskomponente namens Diffusion, die den Einfluss des Zufalls auf die Aktienkurse erfasst. Mithilfe dieses Modells kann die Black-Scholes-Formel abgeleitet werden, die die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Aktie zu einem bestimmten Zeitpunkt und die Preisgestaltung von Derivaten mit einer vom Aktienkurs abhängigen Auszahlung ermöglicht.

Anschließend wird das HJM-Modell speziell im Zusammenhang mit Zinssätzen und Krediten diskutiert. Der Dozent erklärt die Dynamik der Zinssätze als einen logarithmischen Normalprozess, der sicherstellt, dass die Aktienkurse nicht negativ sein können. Das Ito-Lemma, ein Eckpfeiler der Derivatpreistheorie im HJM-Modell, wird vorgestellt und seine Ableitung erklärt. Das Lemma von Ito hilft dabei, die Funktion einer stochastischen Variablen zu differenzieren und erleichtert so die Modellierung und Preisgestaltung von Derivaten.

Es wird hervorgehoben, dass die Green-Funktion der im HJM-Modell verwendeten Gleichung der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für Aktienkurse ähnelt. Im risikoneutralen Bereich, in dem die Drift aller Vermögenswerte der Zinssatz ist, wird die dynamische Absicherung von entscheidender Bedeutung, wobei nur der Volatilitätsparameter die Optionspreisgestaltung beeinflusst. Monte-Carlo-Simulationen werden zur Simulation von Aktienkursen und anderen Finanzvariablen eingesetzt und ermöglichen die Berechnung von Derivatpreisen. Diese Simulationsmethode ist ein leistungsstarkes Werkzeug, das auf verschiedene Bereiche des Finanzwesens anwendbar ist.

Die Vorlesung befasst sich auch mit dem Konzept der Diskontfaktoren und ihrer Bedeutung im Finanzwesen. Es werden Terminkurse erläutert, die als praktische Parametrisierung für nicht steigende Abzinsungsfaktoren dienen. Besprochen wird die Zinsstrukturkurve, die den Zusammenhang zwischen verschiedenen Laufzeiten und den damit verbundenen Zinssätzen darstellt. Typischerweise ist die Zinsstrukturkurve nach oben geneigt, was auf höhere Zinssätze für längerfristige Kredite hinweist.

Der Swap-Markt wird als Anbieter fester Zahlungswerte für unterschiedliche Laufzeiten eingeführt. Durch Summierung dieser Zahlungen kann der Swap-Satz ermittelt werden. Dieser Zinssatz hilft dabei, den Barwert zukünftiger Zahlungen oder den Wert einer heutigen Investition zur Deckung zukünftiger Festzinszahlungen zu verstehen.

Abschließend betont der Vortrag die Bedeutung einer risikoneutralen Preisgestaltung bei der Bewertung des Wertes exotischer Derivate und Wertpapiere großer Banken. Es beleuchtet die Rolle des HJM-Modells, Monte-Carlo-Simulationen und das Verständnis von Zinssätzen, Kredit- und Abzinsungsfaktoren bei der Preisgestaltung und Absicherung dieser komplexen Finanzinstrumente.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert Denis Gorokhov, der bei Morgan Stanley arbeitet, das HJM-Modell, das Anfang der 1990er Jahre von drei Personen entdeckt wurde. Das HJM-Modell ist ein allgemeiner Rahmen für die Preisgestaltung von Derivaten, die für Zinssätze und Kredite verwendet werden können. Dieses Modell ermöglicht es großen Banken wie Morgan Stanley und Goldman, schnell Tausende verschiedener Arten exotischer Derivate zu handeln und auf die Nachfrage der Kunden zu reagieren. Gorokhov vergleicht das HJM-Modell mit der theoretischen Physik, wo es schöne Modelle gibt, etwa ein lösbares Modell, aber auch komplexe Probleme. Es handelt sich um einen ähnlichen Rahmen, der es Banken ermöglicht, alle Arten exotischer Derivate numerisch genau zu bewerten.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutieren der Professor und Denis Gorokhov die Volatilität und Zufälligkeit der Märkte und wie sie sich auf Derivatehändler auswirken können, die abgesichert werden müssen. Sie stellen das Konzept vor, ein derivatives Preismodell ausgehend von einem stochastischen Prozess zu starten und nutzen die logarithmische Normaldynamik als Grundmodell für Aktienkursbewegungen. Das Modell umfasst eine Drift, die ein deterministischer Teil der Aktienkursdynamik ist, und eine Diffusion, die den Einfluss von Zufälligkeiten auf den Aktienkurs darstellt. Mit diesem Modell lässt sich die Black-Scholes-Formel ableiten, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Aktie zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnet und die Preisgestaltung von Derivaten mit einer vom Aktienkurs abhängigen Auszahlung ermöglicht.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos bespricht der Dozent das HJM-Modell für Zinssätze und Kredite. Sie stellen das Konzept eines stochastischen Prozesses vor und wie dieser einem Drift- und Volatilitätsterm folgt. Sie zeigen die Lösung der Gleichung und wie sie durch Integration einfach ist. Der Dozent erklärt, wie die Dynamik als logarithmisch normal angenommen wird, um negative Preise für die Aktie zu vermeiden, und wie dies dazu beiträgt, die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Standardvariable anzunähern. Sie stellen das Lemma von Ito vor und erklären, wie es erhalten wurde, was dabei hilft, die Funktion einer stochastischen Variablen zu differenzieren. Schließlich zeigen sie die Formel für das Modell und wie sehr sie der Formel für die vorherige Gleichung ähnelt, wobei der einzige Unterschied im Wert von Alpha besteht.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner die Bedeutung des HJM-Modells für das Verständnis der Aktiendynamik und des Black-Scholes-Formalismus. Er betont die grundlegende finanzielle Beschränkung, dass Aktien keine Belastung darstellen und nicht negativ werden dürfen. Mithilfe des Black-Scholes-Formalismus und der Monte-Carlo-Methode erklärt der Referent, wie man die Veränderung des Portfolios berechnet und die risikofreie Rendite erhält, was zur Black-Scholes-Differentialgleichung für die Aktie führt. Die Gleichung ist grundlegend und elegant, sie lässt die Drift mu außer Acht und hängt vom Zinssatz ab. Der Redner führt diese entscheidende Tatsache auf die Absicherung zurück, bei der man eine Position in einer Option und eine Gegenposition in den zugrunde liegenden Aktien hat.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Ito-Lemma, ein Konzept aus der stochastischen Analysis, das eine entscheidende Rolle im HJM-Modell für Zinssätze und Kredite spielt. Der Redner stellt zunächst fest, dass das HJM-Modell Abweichungen und Risiken aus der Gleichung eliminiert und eine einfache Preisgestaltung für Optionen ermöglicht. Allerdings ist es wichtig, die Ableitung des Ito-Lemmas zu verstehen, um die zugrunde liegenden Annahmen des Modells zu verstehen. Anschließend bietet der Referent eine einfache Ableitung des Ito-Lemmas an, bei der Zeitintervalle in kleine Intervalle unterteilt und die logarithmische Normaldynamik und Zufälligkeit bei Aktienkursschwankungen untersucht werden. Der Eckpfeiler des Ito-Lemmas liegt im zweiten Ableitungsterm der Optionspreisgleichung.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent das HJM-Modell für Zinssätze und Kredite und erklärt, wie man die beteiligten Gleichungen vereinfacht. Indem der Sprecher zufällige Terme vernachlässigt, die viel kleiner als lineare sind, und alle Gleichungen aufsummiert, gelangt er zu einem Term, der stochastisch erscheint, im großen N-Grenzwert jedoch deterministisch wird. Dies wird gezeigt, indem gezeigt wird, wie eine Summe von Zufallsvariablen enger wird und sich deterministisch verhält, wenn N gegen Unendlich tendiert. Der Referent empfiehlt diese Übung, um das Konzept besser zu verstehen.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das HJM-Modell für Zinssätze und Kredite und wie es von der Standardnormalverteilung abhängt. Durch die Berechnung des vierten Moments einer Normalvariablen kann festgestellt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion im großen N-Grenzwert deterministisch wird, was bedeutet, dass die Optionspreisgestaltung möglich ist. Dies ist auf das Lemma von Ito zurückzuführen, das in vielen Derivatebüchern ohne Beweis angegeben wird, aber einen Eckpfeiler der Derivatpreistheorie darstellt. Die durch das Lemma von Ito erhaltene Gleichung ähnelt der Wärmeleitungsgleichung und kann mit Standardmethoden gelöst werden.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor das HJM-Modell für Zinssätze und Kredite und wie es in Monte-Carlo-Simulationen zur Preisgestaltung von Derivaten verwendet wird. Die Green-Funktion der in diesem Modell verwendeten Gleichung ist der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für den Aktienkurs sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass die Drift der Aktie in der realen Welt vollständig verschwindet und der Zinssatz übrig bleibt. Im risikoneutralen Bereich, in dem die Drift aller Vermögenswerte der Zinssatz und nicht die tatsächliche Drift ist, spielt die dynamische Absicherung eine entscheidende Rolle, und nur der Volatilitätsparameter ist für die Optionspreisgestaltung von Bedeutung. Daher werden Monte-Carlo-Simulationen verwendet, um Aktien- und andere Finanzvariablen zu simulieren und den Preis des Derivats zu berechnen, was es zu einem leistungsstarken Rahmenwerk macht, das auf mehrere Bereiche anwendbar ist.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Monte-Carlo-Simulation als grundlegende Methode zur Bewertung von Derivaten erläutert und wie es zur Bewertung exotischer Derivate verwendet werden kann, die mit analytischen Methoden nicht leicht erhältlich sind. Anschließend erläutert das Video die Grundlagen von Zinsderivaten und wie sie es Privatpersonen und Finanzinstituten ermöglichen, ihr Zinsrisiko besser zu steuern. Der Barwert des Geldes und der Abzinsungsfaktor sind wichtige Konzepte im Finanzwesen, und Terminkurse werden als praktische Parametrisierung für die nicht steigende Funktion von Abzinsungsfaktoren verwendet.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Modellierung von Terminzinsen für Zinsderivate erörtert und erläutert, wie sich die Dynamik der Zinsstrukturkurve von der des Aktienmarktes unterscheidet. Die Zinsstrukturkurve ist ein eindimensionales Objekt, das zeigt, wie stark sich die Laufzeiten unterscheiden. Eine typische Kurve ist nach oben geneigt, was bedeutet, dass für längerfristige Kredite höhere Zinssätze zu zahlen sind. Ein Beispiel für die Renditekurve wird anhand der Rendite einer 10-jährigen US-Staatsanleihe gerechtfertigt, bei der sich die US-Regierung zur Finanzierung ihrer Aktivitäten Geld leiht und mir über einen bestimmten Zeitraum hinweg einen Kupon auszahlt und am Ende den Kapitalbetrag zurückzahlt die Periode. Die in den letzten Jahren allmählich sinkenden Zinssätze führten zu einer geringen Nachfrage nach Krediten.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf den Versuch der Regierung ein, die Zinsen so niedrig wie möglich zu halten, um Unternehmen und Privatpersonen während einer Rezession zu entlasten. Investitionen in nichtproduktive Vermögenswerte wie Immobilien sind jedoch nicht unbedingt eine garantierte Lösung. Darüber hinaus erläutert der Redner die Rolle des LIBOR, eines kurzfristigen Zinssatzes, zu dem sich Finanzinstitute in London auf unbesicherter Basis gegenseitig Geld leihen, bei der Preisgestaltung von Derivaten. Verschiedene Derivate wie Swaptions und kündbare Swaps hängen von den Abzinsungsfaktoren ab, die durch Terminkurse bestimmt werden; Diese dienen als Schlüsselparameter in Monte-Carlo-Simulationen zur Modellierung von Zinsderivaten.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das Konzept des Swap-Marktes und wie man damit den Diskontfaktor ermitteln kann, der uns sagt, wie viel ein Dollar in der Zukunft heute wert ist. Der Swap-Markt bietet feste Zahlungswerte für unterschiedliche Laufzeiten, die zusammen den Swap-Satz ergeben. Anhand dieses Zinssatzes lässt sich ermitteln, wie viel es sich heute lohnt, zur Deckung künftiger Zahlungen zu investieren, oder wie hoch der Barwert der Festzinszahlung ist. Es wird erläutert, dass eine variabel verzinsliche Sicherheit es ermöglicht, dass der Barwert der Zahlung dem Nominalwert entspricht.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das Konzept der OIS-Diskontierung und die Funktion des Diskontsatzes, der zur Preisgestaltung aller Arten von Swaps verwendet wird. Zinsderivate basieren auf der Dynamik der Zinsstrukturkurve und der Entwicklung der Diskontfunktion. Der Redner erörtert außerdem das HJM-Framework für die Modellierung und Preisgestaltung von Derivaten sowie andere Modelle wie die Modelle Ho-Lee, Hull-White und CIR. Der Referent demonstriert die Implementierung von Itos Lemma zur Ableitung der Gleichung für Drift und Volatilität von Terminkursen in der Monte-Carlo-Simulation.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt wird das HJM-Modell für Zinssätze und Kredite besprochen. Die risikoneutrale Welt bringt einige Komplikationen für den Zinssatz mit sich, die durch eine von Sigma abhängige Gleichung realisiert werden können. Sobald dieses Modell vorliegt, ist das Modell für Zinsderivate unkompliziert, ähnlich der Aktienwelt. Als Beispiel für dieses HJM-Modell werden die Kreditderivate diskutiert, bei denen bei Unternehmensanleihen die Wahrscheinlichkeit besteht, dass man das Geld möglicherweise nicht zurückerhält. Dieses Risiko, das sich in den von ihnen gezahlten Kupons widerspiegelt, gleicht den möglichen Ausfall aus, und der Credit Default Swap ist das grundlegende Instrument bei Kreditderivaten.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent das Konzept von Credit Default Swaps, die zur Absicherung gegen Zahlungsausfälle eingesetzt werden. Er erklärt, dass der Verkäufer der Absicherung ihn für den Verlust entschädigt, wenn ein Anleihegläubiger in Zahlungsverzug gerät. Der Redner erörtert auch, dass die vom Markt implizierte Überlebenswahrscheinlichkeit ein grundlegendes Konzept in der Welt der Kreditderivate ist. Darüber hinaus erklärt er, dass das HJM-Modell für Kreditderivate die Dynamik von Hazard Rates beschreibt, die Überlebenswahrscheinlichkeiten parametrisieren. Abschließend erläutert der Redner eine sehr wichtige Art von Derivat, sogenannte kündbare Unternehmensanleihen, die es Unternehmen ermöglichen, sich 100 US-Dollar von jemandem zu leihen und ihm jedes Jahr 5 % zu zahlen, aber auch die Option haben, die 100 US-Dollar zurückzugeben und den Deal abzuschließen.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Konzept der kündbaren Schulden und seine Vorteile für Unternehmen bei der Verwaltung ihrer Schulden. Er erklärt, dass kündbare Schulden es dem Emittenten ermöglichen, eine Option zur Refinanzierung zu einem niedrigeren Zinssatz auszuüben, falls die Zinssätze im Laufe der Zeit sinken. Dies bietet dem Emittenten erhebliche Kosteneinsparungen und ähnelt dem jüngsten Trend zur Refinanzierung von Hypotheken für Privatpersonen. Der Redner erklärt außerdem, dass die Preisgestaltung kündbarer Schulden die Berücksichtigung des Zinsrisikos und der Qualität des Emittenten sowie ein Verständnis der Hazard Rates erfordert, die auf die riskante Natur des Emittenten hinweisen. Insgesamt unterstreicht der Redner den Nutzen einer risikoneutralen Preisgestaltung bei der Bewertung des Wertes exotischer Derivate und Wertpapiere großer Banken.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent die Verwendung des HJM-Modells und der Monte-Carlo-Simulation für komplizierte Auszahlungen wie strukturierte Schuldverschreibungen. Unternehmen müssen Geld beschaffen und Zinsen zahlen, und Anleger suchen nach Renditen, die höher sind als diejenigen, die eine risikolose Option wie US-Staatsanleihen bietet. Unternehmensanleihen bieten höhere Kupons, weisen aber immer noch niedrige Renditen nach Steuern und Inflation auf. In diesem Zusammenhang emittieren Banken strukturierte Schuldverschreibungen, die bei Erfüllung bestimmter Marktbedingungen höhere Kupons zahlen. Anleger, die an ihre Markteinschätzung glauben, fühlen sich von dieser Art von Risiko angezogen, bei dem sie eine hohe Rendite auf ihre Investition erzielen, aber alles verlieren können, wenn sie ein sehr hohes Kreditrisiko tragen.

  • 01:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das Konzept strukturierter Schuldverschreibungen, bei denen statt eines einfachen Kupons ein Derivat verkauft wird, um den Kupon zu erhöhen, was zu einer hohen Rendite führt. Anleger streben nach einer Renditesteigerung und sind bereit, wohlüberlegte Risiken einzugehen, wenn sie die wirtschaftliche Bedeutung der einzelnen Bedingungen verstehen. Der Redner erwähnt, dass zur Modellierung solch einzigartiger Finanzinstrumente die Simulation eines Börsenkurses erforderlich ist, beispielsweise die Simulation der 30-Jahres-Rendite und der 10-Jahres-Rendite. Er erwähnt auch, dass es sich bei diesen Produkten nicht um Standardprodukte handelt, Banken aber zusätzliches Geld verdienen und gleichzeitig Geld sparen können, da ihre Emission günstiger ist als bei einfachen Anleihen.

  • 01:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert Denis Gorokhov den Einsatz von Monte-Carlo-Simulationen bei der Preisgestaltung und Absicherung exotischer Finanzprodukte wie Kreditderivate. Er erklärt, dass zur Simulation von Zinssätzen häufig das Heath-Jarrow-Morton-Modell (HJM) verwendet wird. Gorokhov erörtert auch den Prozess der Berücksichtigung der Volatilität aus dem Markt oder historischen Schätzungen, um den Preis für diese komplexen Produkte festzulegen, wobei liquide Derivate verwendet werden, um Sigma zu implizieren und die Preisgestaltung für nicht lebenswichtige exotische Derivate zu ermöglichen. Er geht auch auf die Verwendung historischer Präzedenzfälle ein, um implizite Häufigkeiten bestimmter Marktergebnisse abzuleiten, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass der S&P 500 unter ein bestimmtes Niveau fällt.

  • 01:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert Denis Gorokhov die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung exotischer Derivate, wie z. B. Double-Range-Abgrenzungen. Er erklärt, dass die Preise für einige Derivate zwar mithilfe analytischer Näherungen ermittelt werden können, Händler jedoch häufig immer noch die Monte-Carlo-Simulation verwenden, um das Risiko genau zu bewerten und komplexe Produkte zu bewerten. Gorokhov gibt ein Beispiel dafür, wie man mit MATLAB ein einfaches Programm zur Verifizierung der Black-Scholes-Formel schreibt, weist jedoch darauf hin, dass für kompliziertere Modelle wie HJM für die Termstruktur eine Kalibrierung erforderlich ist und aus impliziten Volatilitäten liquider Optionen abgeleitet wird.

  • 01:40:00 In diesem Abschnitt erklärt Denis Gorokhov, dass die Monte-Carlo-Analyse für komplizierte Modelle schwierig sein kann, für exotischere Derivate, die eine risikoneutrale Preisgestaltung erfordern, jedoch notwendig ist. Während die historische Analyse verwendet werden kann, um zu testen, wie sich die Griechen eines Modells oder die Sensitivität in Bezug auf die zugrunde liegende Aktie in der Vergangenheit entwickelt haben, hat sie nichts mit Vorhersagen zu tun, da eine risikoneutrale Preisgestaltung keine Vorhersagen erfordert. Die Idee der dynamischen Absicherung besteht darin, große Portfolios von Derivaten zu verwalten, ohne Risiken einzugehen und einen kleinen Aufpreis zu verlangen, um den Lebensunterhalt zu verdienen. Banken tragen möglicherweise aufgrund der Komplexität von Derivaten ein gewisses Restrisiko, es können jedoch Annahmen getroffen werden, um die Positionen dynamisch neu auszugleichen und ohne Verluste voranzukommen. Monte Carlo kann mithilfe impliziter Parameter aus aktuellen Preisen verschiedener Derivate auf dem Markt erstellt werden, was einen guten Basispreis ergibt. Andere Monte-Carlo-Analysen können durchgeführt werden, um eine solide Schätzung der Preis- und Absicherungskosten, einschließlich Stressszenarien, zu liefern.

  • 01:45:00 In diesem Abschnitt erklärt Denis Gorokhov die Bedeutung von Stresstests für Banken. Er betont, dass es bei dynamischen Absicherungen und Derivaten nicht nur darum geht, den aktuellen Preis zu kennen, sondern auch darum, das Marktverhalten in verschiedenen Szenarien wie Zinsänderungen oder Volatilitätsspitzen vorhersagen zu können. Stresstests werden von großen Abteilungen in Banken durchgeführt, um alle Arten von Risiken und Cashflows für die gesamte Bank und nicht nur für eine bestimmte Abteilung zu untersuchen. Diese Tests wurden von der Regierung stark reguliert, was die Bewältigung dieser Tests für große Banken zu einem nicht trivialen Problem macht.
24. HJM Model for Interest Rates and Credit
24. HJM Model for Interest Rates and Credit
  • 2015.01.06
  • www.youtube.com
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Denis GorokhovTh...
 

25. Ross-Recovery-Theorem



25. Ross-Recovery-Theorem

In diesem Video befasst sich Peter Carr mit dem Ross-Recovery-Theorem und seiner Anwendung bei der Extraktion von Marktüberzeugungen aus Marktpreisen. Der Satz führt drei Wahrscheinlichkeitsmaße ein: physikalische, risikoneutrale und das neu eingeführte wiederhergestellte Wahrscheinlichkeitsmaß. Diese Maßnahmen ermöglichen die Identifizierung natürlicher Wahrscheinlichkeiten, die mit zukünftigen Ereignissen verbunden sind, basierend auf den Marktpreisen von Derivaten.

Carr erklärt zunächst das Konzept der Arrow-Debreu-Wertpapiere, bei denen es sich um digitale Optionen handelt, deren Auszahlung auf einem vorher festgelegten Preisniveau eines zugrunde liegenden Vermögenswerts basiert. Er befasst sich mit der Schätzung der Preise für diese Wertpapiere und binären Optionen. Der Schwerpunkt verlagert sich dann auf die Änderung der Numeraire-Technik in einer univariaten Diffusionsumgebung, die zur Ableitung von Ergebnissen auf der Grundlage des Ross-Recovery-Theorems verwendet wird.

Der Redner betont die Annahmen, die die Extraktion von Marktüberzeugungen aus Marktpreisen erleichtern. Er hebt Ross‘ Leistung hervor, diese Überzeugungen zu identifizieren, ohne sich auf zusätzliche Annahmen zu verlassen, und demonstriert damit die Leistungsfähigkeit des Wiederherstellungstheorems. Indem er das Konzept der Numeraire-Portfolios untersucht, erklärt Carr die Beziehung zwischen dem wachstumsoptimalen Portfolio und der realen Wachstumsrate.

Das Video erörtert außerdem das Kelly-Kriterium, exotische und Vanilla-Optionen sowie den Zusammenhang zwischen digitalen Optionen und Marktüberzeugungen. Es geht auf die Herausforderungen ein, die sich bei der Ausweitung der Theorie auf unbegrenzte Zustandsräume ergeben, und auf die verschiedenen Annahmen, die im Laufe der Diskussion getroffen wurden.

Carr schließt mit einer detaillierten Untersuchung des Wiederherstellungstheorems von Ross und betont dessen nichtparametrischen Ansatz zur Bestimmung der Marktüberzeugungen, ohne dass spezifische Parameter für die Marktrisikoaversion erforderlich sind. Er betont Ross‘ Fähigkeit, Marktüberzeugungen aus Marktpreisen zu extrahieren, ohne Annahmen über repräsentative Investoren oder deren Nutzenfunktionen heranzuziehen.

Insgesamt bietet dieses Video eine umfassende Untersuchung des Ross-Recovery-Theorems, seiner Anwendungen und der seiner Methodik zugrunde liegenden Annahmen. Carrs Erklärungen bieten wertvolle Einblicke in die Theorie und ihre praktischen Auswirkungen bei der Extraktion von Marktüberzeugungen aus Marktpreisen.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert Peter Carr, Leiter Global Market Modeling bei Morgan Stanley, einen Artikel von Professor Stephen Ross von der Sloan School mit dem Titel The Recovery Theorem. Das Theorem liefert einen ausreichenden Satz von Bedingungen, die das bestimmen, was Ross natürliche Wahrscheinlichkeiten nennt. Dabei handelt es sich um die Wahrscheinlichkeiten zukünftiger Ereignisse, die aus den Marktpreisen von Derivaten bestimmt werden können, bei denen es sich um Optionen handelt, die auf zugrunde liegende Wertpapiere wie Aktien, Indizes und Währungen gehandelt werden. Bloomberg veröffentlicht diese Informationen, die mit einigen Annahmen verwendet werden können, um die impliziten Marktwahrscheinlichkeiten zu extrahieren und eine Wahrscheinlichkeitsübergangsmatrix oder Dichtefunktion auszugeben.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt werden die drei in Derivaten verwendeten Wahrscheinlichkeitsmaße vorgestellt, einschließlich P, das für physisch steht und die tatsächliche Wahrscheinlichkeit zukünftiger Zustände beispielsweise für den S&P 500 darstellt. Oftmals das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß dargestellt durch Q, bezieht sich auf ein fiktives Gerät, das damit vereinbar ist, dass Anleger risikoneutral sind, was bedeutet, dass sie keine Prämie für die Risikotragung verlangen. Schließlich gibt es noch ein drittes Wahrscheinlichkeitsmaß, das in keiner der zu diskutierenden Literatur zu finden ist.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt stellt der Redner das Konzept des wiederhergestellten Wahrscheinlichkeitsmaßes vor, das als R bezeichnet wird. Dieses Maß wird aus Marktpreisen abgeleitet und erfasst die Überzeugungen des Marktes hinsichtlich zukünftiger Ereignisse. Der Sprecher unterscheidet R von der physikalischen Realität, die durch das Wahrscheinlichkeitsmaß P erfasst wird, und berücksichtigt dabei die Möglichkeit, dass der Markt falsch liegen könnte. Allerdings setzen einige Finanzexperten, die an Markteffizienz glauben, R jedes Mal gleich P. Der Sprecher weist darauf hin, dass R nach Ross benannt ist, der das wiederhergestellte Wahrscheinlichkeitsmaß als natürliches Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet, während er das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß als unnatürlich beschreibt. Die letztgenannten Maßnahmen bieten Preise für Arrow-Debreu-Wertpapiere, die sich je nach Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse auszahlen würden. Der Redner kommt zu dem Schluss, dass es zwei Wertpapiere gibt, eines für den Fall, dass der S&P 500 steigt, und eines für den Fall, dass er fällt, und nur in einer Welt ohne Arbitrage werden die Preise dieser Wertpapiere den Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ereignisse entsprechen.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt Peter Carr, was Ökonomen als Arrow-Debreu-Wertpapiere bezeichnen, bei denen es sich eigentlich um digitale Optionen handelt. Bei digitalen Optionen handelt es sich um Wertpapiere, deren Auszahlung davon abhängt, ob ein Basiswert ein vorher festgelegtes Preisniveau überschritten hat. Die Diskussion der Arrow-Debreu-Wertpapiere führt zum Konzept eines repräsentativen Agenten, bei dem es sich um einen Anleger handelt, der über alle mathematischen Eigenschaften eines Anlegers verfügt, wie z. B. eine Nutzenfunktion und ein Stiftungsvermögen, und der genau den richtigen Betrag eines Portfolios hält, um ihn zu bilden optimal für ihn/sie. Anstatt dieses Konzept zu verwenden, spricht Peter lieber von einem sogenannten Numeraire, der sich auf den Wert eines Portfolios bezieht, das über schöne Eigenschaften verfügt, beispielsweise ein wachstumsoptimales Portfolio mit einer zufälligen Wachstumsrate auf lange Sicht.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert Peter Carr das Kelly-Kriterium, ein Portfolio mit der größten durchschnittlichen Wachstumsrate, das unter Finanzökonomen weit verbreitet ist. Allerdings gab es Widerstand von einigen Finanzökonomen, wie Paul Samuelson, der sich für die Ablehnung des Kelly-Kriteriums einsetzte. Samuelson ging sogar so weit, einen Artikel zu veröffentlichen, in dem jedes Wort eine Silbe hatte, mit Ausnahme des letzten Wortes „Silbe“ selbst. Später stellt Peter Carr kurz die Wertpapierpreise von Arrow-Debreu vor, bei denen es sich um Preise für digitale Optionen handelt, und ihren Zusammenhang mit den Marktüberzeugungen, gefolgt von einer Diskussion über das Ross-Recovery-Theorem.

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt Peter Carr, wie man die Change-of-Numeraire-Technik auf eine univariate Diffusionseinstellung anwendet, um Ergebnisse basierend auf dem Ross-Recovery-Theorem zu erhalten. Er definiert den Numeraire und stellt klar, dass der Wert des Wertpapiers immer positiv sein muss, und erklärt, wie man den Numeraire ändert, um einen Vermögenswert zu verwenden, dessen Wert immer positiv ist. Er erörtert auch die Herausforderungen, die sich bei der Ausweitung der Arbeit auf einen unbegrenzten Zustandsraum ergeben, und wie in verschiedenen Teilen des Vortrags unterschiedliche Annahmen getroffen werden. Abschließend äußert ein Zuhörer seine Anmerkungen zum Thema Numeraire, was zu einer weiteren Diskussion führt.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt Peter Carr das Konzept eines Numeraire-Portfolios und wie es beim Investieren funktioniert. Er verwendet das Beispiel eines Portfolios mit zwei Wertpapieren, einem riskanten und einem risikolosen, wobei der Anleger einen konstanten Bruchteil seines Vermögens in jedes Wertpapier investiert. Jedes Mal, wenn sich der Preis ändert, muss der Anleger handeln, um einen konstanten Teil seines Vermögens in den riskanten Vermögenswert zu investieren. Carr führt auch die Idee digitaler Optionen oder binärer Optionen ein, die eine Währungseinheit auszahlen, wenn ein Ereignis eintritt. Er erklärt, wie diese Optionen bewertet werden und wie sie in einer endlichen Umgebung mit verschiedenen diskreten Ebenen funktionieren.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner den Unterschied zwischen exotischen und Vanille-Optionen und stellt das Konzept einer Butterfly-Spread-Auszahlung vor. Er erklärt auch, wie Optionen kombiniert werden können, um ein Portfolio zu bilden, das die Auszahlung eines Arrow-Debreu-Wertpapiers perfekt nachbildet. Der Redner weist darauf hin, dass selbst wenn der Devisenmarkt keine direkten Preise für digitale Optionen vorgibt, der implizite Preis einer digitalen Option aus Vanilla-Optionen abgeleitet werden kann. Darüber hinaus erklärt er, wie Annahmen getroffen werden können, um die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem Wechselkurs zu einem anderen abzuschätzen.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt spricht der Redner davon, eine Annahme zu treffen, bei der man Informationen nur auf dem heutigen Niveau aufnehmen kann, davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen prozentualen Änderung gegenüber dem Ausgangsniveau unveränderlich ist, und ein Vektorbit an Informationen umzuwandeln, das durch gegeben ist den Markt in eine Matrix, die Übergangsmatrix genannt wird. Anschließend erörtert der Redner die Häufigkeit von Übergängen von einem Punkt zum anderen und die Gründe, warum die Preise der Arrow-Debreu-Wertpapiere von der realen Wahrscheinlichkeit solcher Übergänge abweichen, wobei er den Zeitwert des Geldes und die Risikoaversion als Gründe anführt.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner das Erholungstheorem von Ross, bei dem es darum geht, Marktüberzeugungen über zukünftige Ereignisse aus Marktpreisen zu extrahieren. Der Redner nennt ein Beispiel von Arrow-Debreu-Wertpapieren, bei denen die Wahrscheinlichkeit eines Anstiegs oder Rückgangs gleich hoch ist und bei denen davon ausgegangen wird, dass der Kauf eines Wertpapiers mit Versicherungswert mehr kostet. Der Redner erklärt, dass Ross‘ Aufsatz milde und einfache Annahmen aufstellt, die die Macht von Annahmen zeigen, und dass Ross‘ Recovery-Theorem es ermöglicht, Marktüberzeugungen zu extrahieren. Abschließend erörtert der Redner die von Ross verwendete Terminologie, wie z. B. Preismatrix, natürliche Wahrscheinlichkeitsübergangsmatrix und Preiskernel, der zur Normalisierung von Preisen verwendet wird, die vom Zeitwert des Geldes und der Risikoaversion beeinflusst werden.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt erläutert das Video die Annahmen des von Ross vorgeschlagenen Wiederherstellungstheorems. Die erste Annahme besteht darin, dass die Funktion Phi zweier Variablen x und y eine bestimmte Form hat, was dazu beiträgt, die Dimensionalität der Suche auf eine Funktion einer Variablen und eines skalaren Deltas zu reduzieren. Die wirtschaftliche Bedeutung der Funktion einer Variablen ist der Grenznutzen, der angibt, wie viel Glück man durch jede zusätzliche Konsumeinheit erhält. Es wird angenommen, dass die abnehmende Funktion für jede Konsumeinheit positiv ist, aber je mehr Einheiten konsumiert werden, desto weniger Glück bringt sie. Delta hingegen ist ein positiver Skalar, der den Zeitwert des Geldes erfasst und mit dem Zähler verknüpft ist. Das Video fügt hinzu, dass die Ergebnisse darauf abzielen, die Zusammensetzung von U prim mit einer Funktion c von y zu bestimmen, anstatt U prim als Funktion von c zu finden.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert Peter Carr das Ross-Recovery-Theorem, das einen nichtparametrischen Ansatz zur Identifizierung von Marktüberzeugungen aus Marktpreisen bietet, ohne dass Parameter erforderlich sind, die die Marktrisikoaversion erfassen. Die Annahmen von Ross ermöglichen die Bestimmung von Marktüberzeugungen, indem P ermittelt wird, das die Marktüberzeugungen darstellt. Durch die Verwendung von Arrow-Debreu-Wertpapierpreisen liegt eine positive Lösung vor, und die Verwendung des Preiskernels Phi, dem Verhältnis von A zu P, ermöglicht die nichtparametrische Identifizierung. Vor der Arbeit von Ross gingen die Forscher von einem repräsentativen Investor mit einer bestimmten Nutzenfunktion aus, aber Ross schafft es, die Überzeugungen des Marktes zu identifizieren, ohne sich auf solche Annahmen zu berufen, was es einfacher macht, aus den Marktpreisen auf die Überzeugungen des Marktes zu schließen.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt erklärt Peter Carr das Konzept der Numeraire-Änderung, um zu verstehen, was Ross mit seinem Wiederherstellungstheorem gemacht hat. Ein Numeraire ist ein Portfolio, dessen Wert immer positiv ist, und es gibt eine gut entwickelte Theorie zur Preisgestaltung von Derivaten darüber, wie der Numeraire geändert werden kann. Carr beginnt mit einer Volkswirtschaft mit einem sogenannten Geldmarktkonto und erklärt, wie der Saldo auf diesem Konto steigen kann und zufällig ist. Er erörtert auch, wie eine Bank einen Negativzins berechnen könnte, der sich auf den Kontostand auswirken könnte. Carr bezieht sich in seiner Diskussion auf das Perron-Frobenius-Theorem und erwähnt, dass man in einer kontinuierlichen Umgebung nach einer Funktion und einem Skalar statt nach einem Vektor und einem Skalar suchen könnte.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt wird eine Theorie namens Ross Recovery Theorem besprochen, bei der ein Geldmarktkonto und eine Reihe riskanter Vermögenswerte betrachtet und davon ausgegangen wird, dass zwischen ihnen keine Arbitrage besteht. Die Unsicherheit, die alles antreibt, wird X genannt und es wird angenommen, dass es sich um eine Diffusion handelt, was bedeutet, dass sie kontinuierliche, aber nicht differenzierbare Abtastpfade aufweist. X kann alles sein, beispielsweise der Stand des S&P 500 oder ein Zinssatz. Wenn es keine Arbitrage gibt, gibt es ein sogenanntes risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, das mit Q bezeichnet wird und mit den Arrow-Debreu-Wertpapierpreisen zusammenhängt, aber nicht mit ihnen übereinstimmt. Unter diesem Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist die erwartete Rendite aller Vermögenswerte der risikofreie Zinssatz.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt erfahren wir mehr über die erwartete Preisänderung, also den risikofreien Zinssatz multipliziert mit dem Preis, und wie diese zur erwarteten Rendite führt. In dem Video wird erläutert, wie man Numeraires ändert und Vermögenswerte in verschiedenen Numeraires misst. Weiter wird erklärt, dass die Kovarianz zwischen dem Dollar/Pfund-Wechselkurs und IBM die Wachstumsrate der Bankguthaben beeinflusst und der entscheidende Punkt ist, wenn man in IBM investiert und Gewinne entweder bei einer amerikanischen oder einer britischen Bank erzielt.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner den Prozess der Suche nach einem Numerär, der mit den Aktien korreliert, die bei einer realen Drift von 9 % wachsen sollen, im Gegensatz zu den 1 %, die ursprünglich im Risiko festgelegt wurden. neutrales Maß F. Sie erwähnen, dass das Numeraire-Portfolio von John Long, auch bekannt als das wachstumsoptimale Portfolio, der Numeraire ist, der die risikofreie Wachstumsrate in die reale Wachstumsrate umwandeln würde. In diesem Abschnitt werden weitere Annahmen wie Zeithomogenität und begrenzte Intervalle von Stichprobenpfaden vorgestellt, um John Longs Numeraire-Portfolio zu identifizieren.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie die Notation für die Standard-Brownsche Bewegung „W“ mit der Notation für Reichtum, ebenfalls „W“, in Konflikt stand, was zur Wahl des Buchstabens „Z“ für den Wiener-Prozess führte. Darüber hinaus stellt er „Longs Numeraire-Portfolio“ vor, das nach seinem Erfinder John Long benannt ist, obwohl seine Positionen nicht alle positiv sind. Während wir die risikoneutrale Drift von X kennen, das ist b^Q(X), und der Diffusionskoeffizient A von Drift in der realen Welt. Dieses sigma_L ist auch die Kovarianz zwischen Longs Numeraire-Portfolio und IBM und der Schlüssel zur Kenntnis der Kovarianz, die relevant ist.

  • 01:25:00 In diesem Abschnitt erklärt Peter Carr, wie man die Volatilitätsfunktion sigma_L findet und wie man davon ausgeht, dass der Wert von John Longs Portfolio eine Funktion von X und D ist. Dies führt dazu, dass sich eine unbekannte positive Funktion in eine unbekannte Funktion von aufspaltet X und eine Exponentialfunktion der Zeit. Die unbekannte Funktion von Carr spricht dann über die Bemühungen, diese Theorie auf unbegrenzte Intervalle auszudehnen, und kommt zu dem Schluss, dass diese Theorie für Doktoranden offen ist, an denen sie arbeiten und sie lösen können.
25. Ross Recovery Theorem
25. Ross Recovery Theorem
  • 2015.01.06
  • www.youtube.com
MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013View the complete course: http://ocw.mit.edu/18-S096F13Instructor: Peter CarrThis gu...
 

26. Einführung in das Kontrahenten-Kreditrisiko



26. Einführung in das Kontrahenten-Kreditrisiko

Dieses umfassende Video bietet eine detaillierte Untersuchung des Kontrahentenkreditrisikos (CCR) und der Kreditwertanpassung (CVA) sowie deren Bedeutung bei der Preisgestaltung von Derivaten. Der Redner betont die Einbeziehung von CVA in die Preisgestaltung von Derivaten, da diese nicht nur die Mark-to-Market-Werte beeinflusst, sondern auch einen Portfolioeffekt mit sich bringt, der je nach Ausfallrisiko variiert. Die genaue Preisgestaltung von CVA wird betont, wobei der Schwerpunkt auf nichtlinearen Portfolioeffekten und der Komplexität liegt, die sich aus Asymmetrien bei Forderungen und Verbindlichkeiten ergibt. Als Mittel zur Bewältigung zusätzlicher Risiken, die von Modellen auf Handelsebene nicht erfasst werden, werden Strategien zur Verwaltung von CCR, wie Besicherung und Derivatemodellierung auf Unternehmensebene, diskutiert. Das Video geht auch auf Herausforderungen bei der Modellierung von Portfolios aufgrund unterschiedlicher methodischer Anforderungen und die Auswirkungen von CCR auf den Kassamarkt ein.

Um tiefer in den Inhalt einzutauchen, stellt das Video eine Reihe von Themen im Zusammenhang mit der Modellierung des Kontrahenten-Kreditrisikos vor. Dazu gehören das Schönbucher-Modell, Martingaltests, Resampling und Interpolation, was die Notwendigkeit von Modellen auf Unternehmensebene hervorhebt, um nichtlineare Portfolioeffekte zu bewältigen und Modelle auf Handelsebene zu ergänzen. Der Redner erläutert die Ermittlung des Martingal-Maßes eines CDS-Par-Coupons oder eines Forward-CDS-Par-Rates sowie die Bedeutung von Martingal-Tests, Resampling und Interpolation, um sicherzustellen, dass die Martingal-Bedingungen erfüllt sind. Das Konzept der Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes oder Numeraires zur konsistenten Modellierung der gesamten Zinsstrukturkurve wird untersucht, begleitet von praktischen Formeln und deren Umsetzung. Das Video schließt mit der Anerkennung der Komplexität der Modellierung eines Portfolios von Handelsgeschäften und schlägt potenzielle Forschungsthemen für weitere Untersuchungen vor.

Darüber hinaus geht das Video auf die Bedeutung von CCR im außerbörslichen Derivatehandel ein und betont, dass Ausfallereignisse zum Verlust erwarteter Forderungen führen können. CVA wird eingeführt, um den Mark-to-Market-Preis unter Berücksichtigung des Kontrahenten-Kreditrisikos anzupassen, ähnlich dem Risiko einer Unternehmensanleihe. Die Auswirkungen von CCR auf Kapitalanforderungen, Bewertung und Eigenkapitalrendite werden diskutiert, zusammen mit einem Beispiel, das zeigt, wie sich die Bewertung eines Handels von scheinbaren Gewinnen in Verluste verwandeln kann, wenn die Gegenpartei ausfällt. Es werden verschiedene Risikokategorien wie Zinsrisiko und Liquiditätsfinanzierungsrisiko untersucht und Strategien zur Steuerung des CCR wie CVA und CV Trading beleuchtet.

Darüber hinaus stellt das Video das Konzept des Liability-CVA vor, bei dem die Verbindlichkeitenseite und die Ausfallwahrscheinlichkeit der Bank bzw. des Sachverständigen im Mittelpunkt stehen. Es betont die Bedeutung einer genauen CVA-Bepreisung durch das Verständnis aller beteiligten Geschäfte, einschließlich ihrer nichtlinearen optionähnlichen Auszahlungen. Die Herausforderungen, die das Kontrahenten-Kreditrisiko und das Liquiditätsfinanzierungsrisiko mit sich bringen, werden am Beispiel des Put-Verkaufsszenarios veranschaulicht, wobei der Trade von Warren Buffett als Fallstudie dient. Das Video befasst sich auch mit der Verwaltung von CCR, untersucht die Verwendung von Credit-Linked Notes und die Auswirkungen auf Kredit-Spreads und Anleiheemissionen. Darüber hinaus geht es auf die Schwierigkeiten bei der Modellierung des Kontrahenten-Kreditrisikos und die Auswirkungen auf den Kassamarkt ein, hebt die Besicherung als Alternative hervor und schlägt den Kauf einer besicherten Kreditabsicherung von Händlern als mögliche Strategie vor. Die Modellierung von Derivaten auf Unternehmensebene wird als entscheidender Aspekt für das Verständnis des Kontrahenten-Kreditrisikos hervorgehoben.

Darüber hinaus werden die Grenzen von Derivatmodellen auf Handelsebene erörtert, wobei die Notwendigkeit von Modellen auf Unternehmensebene hervorgehoben wird, um zusätzliche Risiken, wie beispielsweise nichtlineare Portfoliorisiken, zu erfassen. Die mit der Modellierung von Portfolios verbundenen Komplexitäten werden erläutert, einschließlich der unterschiedlichen methodischen Anforderungen für jeden Handel. Simulation, Martingal-Tests und Resampling werden als Techniken eingeführt, um numerische Ungenauigkeiten zu beheben und sicherzustellen, dass Martingal-Bedingungen erfüllt sind. Der Redner untersucht außerdem Forward-Swap-Sätze, Forward-Devisenkurse und deren Beziehung zu Martingalen unter bestimmten Maßstäben und Numeraire-Assets. Das Modell von Schönbucher wird vorgestellt und konzentriert sich auf Überlebensmaße, Martingalmaße und die Feinheiten der Ermittlung des Martingalmaßes für einen CDS-Par-Coupon oder einen Forward-CDS-Par-Rate. Das Video erklärt, wie das Überlebenswahrscheinlichkeitsmaß mithilfe der Radon-Nikodym-Ableitung definiert wird, und unterstreicht die Notwendigkeit, die Auswirkungen eines Ausfalls im Modell separat zu berücksichtigen.

Darüber hinaus befasst sich der Referent mit Martingal-Tests, Resampling und Interpolation für die Modellierung des Kontrahenten-Kreditrisikos. Bei Martingale-Tests wird sichergestellt, dass die numerischen Näherungen die Bedingungen der Modellformel erfüllen. Treten Unstimmigkeiten auf, wird Martingal-Resampling eingesetzt, um diese Fehler zu korrigieren. Die Martingal-Interpolation hingegen wird verwendet, wenn das Modell eine Termstruktur erfordert, die nicht explizit verfügbar ist, und ermöglicht so eine Interpolation unter Beibehaltung der Martingal-Beziehungen. Der Referent gibt Einblicke in den Prozess der Interpolation und Neuabtastung, um die Martingalbedingungen für jeden Termstrukturpunkt zu erfüllen.

Das Video betont die Bedeutung geeigneter unabhängiger Variablen für die Interpolation, da sie garantiert, dass die interpolierte Größe automatisch alle Bedingungen des Martingal-Ziels erfüllt. Die Identifizierung des Martingalmaßes wird erläutert, wobei der Forward-LIBOR als Martingal in seinem Vorwärtsmaß dient. Der Redner weist darauf hin, wie wichtig es ist, das Wahrscheinlichkeitsmaß oder den Numeraire zu ändern, um die gesamte Zinsstrukturkurve konsistent zu modellieren, was durch eine einfache Änderung des Numeraire erreicht wird.

Darüber hinaus wird die Bedeutung von Modellen auf Unternehmensebene für die Verwaltung nichtlinearer Portfolioeffekte und die Nutzung von Modellen auf Handelsebene für Martingaltests, Resampling und Interpolation hervorgehoben. Diese Modelle sind von entscheidender Bedeutung für den effektiven Umgang mit dem Kreditrisiko der Gegenpartei sowie mit Risiken im Zusammenhang mit der Finanzierungsliquidität und dem Kapital. Der Redner erkennt die Zeitbeschränkungen an, verweist interessierte Zuschauer jedoch auf Seite 22 der Folien für ein zusätzliches Beispiel. Die Professoren schließen die Vorlesung ab, indem sie ihre Wertschätzung für das Engagement und die harte Arbeit der Studenten während des gesamten Kurses zum Ausdruck bringen und sich gleichzeitig als Ressource für zukünftige Anfragen anbieten. Sie kündigen außerdem an, dass der Kurs im kommenden Herbst mit möglichen Änderungen und Verbesserungen wiederholt wird, und ermutigen die Studenten, die Website des Kurses für weitere Informationen zu besuchen.

Insgesamt bietet dieses umfassende Video eine detaillierte Untersuchung des Kontrahenten-Kreditrisikos und seiner Auswirkungen auf die Preisgestaltung von Derivaten. Es behandelt Schlüsselkonzepte wie CCR, CVA, Modelle auf Unternehmensebene, Martingaltests, Resampling und Interpolation. Das Video bietet praktische Beispiele und Einblicke in das Management des Kontrahenten-Kreditrisikos und betont die Bedeutung einer genauen Preisgestaltung und der Berücksichtigung zusätzlicher Risiken, die über Modelle auf Handelsebene hinausgehen.

  • 00:00:00 In diesem Abschnitt lernen wir das Kontrahenten-Kreditrisiko kennen, das hauptsächlich beim außerbörslichen Derivatehandel besteht, bei dem ein Kontrahent dem anderen Geld schulden kann. Ein Ausfallereignis, einschließlich Insolvenz, bedeutet den Verlust eines Teils der erwarteten Forderung. CVA, Credit Valuation Adjustment, ist der Preis eines Kontrahenten-Kreditrisikos, der den Mark-to-Market-Preis anhand eines kontrahentenausfallfreien Modells anpasst. Es wird manchmal mit dem Risiko einer Unternehmensanleihe verglichen, dem sogenannten Emissionsrisiko.

  • 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner die Bedeutung des Kontrahentenkreditrisikos (CCR) und der Kreditwertanpassung (CVA) im Hinblick auf die Preisgestaltung von Derivaten und deren Auswirkungen auf Kapitalanforderungen, Bewertung und Eigenkapitalrendite. Er erklärt, wie ein CVA in die Preisgestaltung von Derivaten einbezogen werden sollte, da er nicht nur die Mark-to-Market beeinflusst, sondern auch einen Portfolioeffekt hinzufügt, der je nach Ausfallrisiko des Portfolios variieren kann. Der Redner liefert auch ein Beispiel dafür, wie die Bewertung eines Handels scheinbar Gewinne bringt, sich jedoch als Verlust erweisen kann, wenn die Gegenpartei ausfällt.

  • 00:10:00 In diesem Abschnitt bittet Yi Tang die Klasse anzugeben, ob sie ihrer Meinung nach 50 Millionen Dollar verloren oder gewonnen hat – wobei es nicht viele Menschen gibt, die ihre Hände heben, um anzuzeigen, dass sie gewonnen haben. Vor diesem Hintergrund fragt Tang, warum Menschen möglicherweise 50 Millionen US-Dollar verloren haben, und weist darauf hin, dass die Kunden in dem gegebenen Beispielszenario bei 0 US-Dollar begonnen hätten und sich somit auf einer Nettoposition von +50 Millionen befänden, viele dies jedoch als Verlust empfanden. Tang identifiziert Zwischenverluste als Ursache, wobei Händler standardmäßig zur Absicherung verpflichtet seien. CVA und CV Trading werden hier als Minderungsstrategien hervorgehoben, wobei CVA als Preis eines Kontrahenten-Kreditrisikos definiert ist.

  • 00:15:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Credit Value Adjustment (CVA) erläutert, inklusive Formeln und deren praktische Umsetzung. Das Video betont, wie wichtig es ist, die Darstellungen und Zeichen in der Formel zu verstehen, da das Fehlen dieser Zeichen zu Verwirrung führen könnte. Darüber hinaus werden auch die nichtlinearen Portfolioeffekte, wie zum Beispiel gegenläufige Geschäfte, und die Asymmetrie im Umgang mit Forderungen und Verbindlichkeiten, wie etwa eine optionähnliche Auszahlung, diskutiert, um die Komplexität der CVA-Bepreisung zu veranschaulichen. Es unterstreicht die Notwendigkeit, alle Trades zu kennen, um den CVA genau bewerten zu können.

  • 00:20:00 In diesem Abschnitt erklärt ein Risikoexperte, wie die Modellierung von Cross-Asset-Derivatgeschäften im Hinblick auf das Kontrahenten-Kreditrisiko aufgrund nichtlinearer, optionähnlicher Auszahlungen schwierig sein kann. Der Experte stellt das Konzept des Liability-CVA vor, das dem Asset-CVA ähnelt, jedoch auf der Verbindlichkeitsseite, wenn die Bank oder der Experte mit der Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls konfrontiert ist. Sie halten es auch für unnötig, bei der CVA-Bepreisung zu berücksichtigen, welche Partei als erste in Verzug gerät, und präsentieren ein Beispiel, bei dem der Handels-PV am ersten Tag Null betrug und später 100 Millionen US-Dollar betrug, bei ordnungsgemäß abgesichertem Kontrahentenrisiko und ob weitere Risiken bestehen .

  • 00:25:00 In diesem Abschnitt erörtert Yi Tang die verschiedenen Risikokategorien, einschließlich Zinsrisiko und Key-Man-Risiko, und beleuchtet, wie Marktrisiken abgesichert werden, um das Zinsrisiko des Handels zu bewältigen. Yi stellt auch das Risiko der Cashflow-Liquiditätsfinanzierung vor und erklärt, dass der Handel eine Finanzierung für unbesicherte Derivateforderungen benötigt, obwohl er derzeit nicht über das Geld verfügt. Er erklärt weiter, dass die Nutzung unbesicherter zahlbarer Finanzierungsvorteile zur teilweisen Absicherung des Finanzierungsrisikos bei unbesicherten Derivateforderungen bei der Steuerung dieses Liquiditätsrisikos hilfreich sein kann. Das Beispiel der Untersuchung von Put-Optionen oder Put-Spreads wird ebenfalls hervorgehoben, um die Anwendung von CVA zu veranschaulichen.

  • 00:30:00 In diesem Abschnitt wird im Video die Strategie des Put-Verkaufs besprochen, die den Händlern Einnahmen verschafft und es ihnen ermöglicht, möglicherweise von Aktienkurssteigerungen zu profitieren. Warren Buffett machte bekanntermaßen einen Handel mit langfristigen Puts auf vier führende Aktienindizes und kassierte dabei rund vier Milliarden Prämien, ohne Sicherheiten zu hinterlegen. Der Handel brachte Herausforderungen mit sich, darunter das Kreditrisiko der Gegenpartei oder die Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls von Warren Buffett. Es bestand auch ein Liquiditätsfinanzierungsrisiko, da Buffett bei einem Marktausverkauf möglicherweise mehr Geld schulden könnte. Händler stellten Buffett die Kosten für diese Risiken und Finanzierungskosten in Rechnung, aber einige Händler verfügten möglicherweise nicht über einen geeigneten CV-Handelsschalter für das Risikomanagement.

  • 00:35:00 In diesem Abschnitt befasst sich der Redner intensiv mit dem Kontrahentenkreditrisiko (CCR) und wie man damit umgeht. Er erklärt, wie Kontrahentenrisiken abgesichert werden und wie sich das CCR-Engagement im Gegensatz zu einer Anleihe im Laufe der Zeit ändern kann. Er liefert ein detailliertes Beispiel dafür, wie ein Handel vom Typ „Credit-Linked Note“ zur Verwaltung der CCR strukturiert wurde, warnt jedoch davor, dass die Verwaltung der CCR die Kreditspannen noch weiter ausweiten und möglicherweise die Anleiheemission beeinträchtigen könnte. Der Abschnitt endet mit einer Diskussion darüber, wie Berkshire Hathaway seine CCR während der Finanzkrise 2008 bewältigte, indem es trotz nicht realisierter Mark-to-Market-Verluste einen Cashflow-Abfluss vermied.

  • 00:40:00 In diesem Abschnitt befasst sich der Redner mit dem Konzept des Kontrahenten-Kreditrisikos und seinen Auswirkungen auf den Kassamarkt. Wenn der CDS-Markt einen hohen Credit Spread aufweist, könnte dies zu einer höheren Nachfrage nach Anleihen führen und die Finanzierungskosten in die Höhe treiben. Als Alternative wird die Besicherung untersucht und gleichzeitig das Problem angegangen, wer Geld verliert. Anschließend erörtert der Redner Möglichkeiten zur Beendigung der durch das Kreditrisiko verursachten unendlichen Reihe und schlägt vor, dass die einfache Strategie darin bestünde, eine besicherte Kreditabsicherung von einem Händler zu kaufen. Abschließend hebt er die Derivatmodellierung auf Unternehmensebene als ein wichtiges Konzept hervor, das es zu verstehen gilt.

  • 00:45:00 In diesem Abschnitt erläutert der Redner die Einschränkungen von Derivatmodellen auf Handelsebene, bei denen jeder Handel unabhängig modelliert und sein PV und seine Griechen über lineare Aggregation aggregiert werden, um den PV des Portfolios zu erhalten. Allerdings berücksichtigt dieser Ansatz keine zusätzlichen Risiken, wie etwa nichtlineare Portfoliorisiken, die einer weiteren Modellierung bedürfen. Der Redner erörtert ein solches Risiko, das Kontrahentenrisiko, und wie Modelle auf Unternehmensebene dazu beitragen können, diese Risiken effizienter zu bewältigen, indem sie das Kontrahentenrisiko in Geschäften modellieren. Der Referent erklärt die Komplexität der Entwicklung und Implementierung solcher Modelle, einschließlich eines erheblichen Umfangs an Martingal-Tests und Interpolation.

  • 00:50:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent die Schwierigkeiten bei der Modellierung eines Portfolios von Trades aufgrund unterschiedlicher methodischer Anforderungen für jeden Trade. Simulation wird im Allgemeinen verwendet und kann zu numerischen Ungenauigkeiten führen, die durch Martingal-Tests und Resampling korrigiert werden können, wodurch Martingal-Bedingungen im numerischen Verfahren erzwungen werden. In diesem Abschnitt werden auch Beispiele für Martingalmaße für den Terminpreis, den Termin-LIBOR, den Termin-Wechselkurs, den Termin-CDS-Par-Coupon und den Termin-Swap-Satz besprochen. Jede dieser Kennzahlen hängt vom Verhältnis der gehandelten Vermögenswerte ohne Zwischen-Cashflow oder Nullkuponanleihen ab.

  • 00:55:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner Termin-Swap-Sätze und Termin-Devisenkurse und deren Zusammenhang mit Martingalen unter bestimmten Maßstäben und bestimmten Numeraire-Assets. Sie erklären die Technik zur Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes und wie die Preisgestaltung eines gehandelten Wertpapiers maßunabhängig ist. Kreditderivate bringen jedoch ein Problem mit sich, da das Risikorentenmaß in bestimmten Fällen Null sein könnte, wenn das Referenzkreditinstitut bei einem Ausfall keine Rückgewinnung hat, und es werden mögliche Lösungen für dieses mathematische Problem diskutiert.

  • 01:00:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent Schönbuchers Modell im Kreditrisiko, das sich auf Überlebensmaße konzentriert. Das Modell befasst sich mit der Schwierigkeit, eine 0 in der Numeraire, der riskanten Annuität, zu haben, wenn die Erholung 0 ist. Der Referent erörtert, wie man das Martingalmaß eines CDS-Par-Coupons oder eines Forward-CDS-Par-Rates ermittelt, das den Ausgangspunkt des Kurses darstellt Martingal-Modell. Das Überlebenswahrscheinlichkeitsmaß wird mithilfe der Radon-Nikodym-Ableitung definiert und eine Martingalbedingung erstellt. Auch wenn die Wahrscheinlichkeitsmaße nicht gleichwertig sind, ist es dennoch möglich, das Wahrscheinlichkeitsmaß zu ändern, aber das Modell muss separat berücksichtigen, was passiert, wenn ein Ausfall eintritt.

  • 01:05:00 In diesem Abschnitt stellt der Redner Martingaltests, Resampling und Interpolation für die Modellierung des Kontrahenten-Kreditrisikos vor. Beim Martingale-Test wird getestet, ob die Bedingungen der Modellformel numerisch erfüllt sind. Wenn nicht, wird Martingal-Resampling verwendet, um diesen Fehler aufgrund numerischer Näherungen zu korrigieren. Die Martingal-Interpolation wird verwendet, wenn ein Modell eine Termstruktur erfordert, die nicht im Modell enthalten ist, und interpoliert unter Gewährleistung von Martingal-Beziehungen. Der Sprecher erklärt, wie sie interpolieren und neu abtasten, indem sie die Martingalbedingungen für jeden Termstrukturpunkt erfüllen.

  • 01:10:00 In diesem Abschnitt des Videos erörtert der Redner die Martingal-Modellierung und hebt die Notwendigkeit der richtigen unabhängigen Variablen für die Interpolation hervor und wie diese Technik garantiert, dass die interpolierte Größe automatisch alle Bedingungen des Martingal-Ziels erfüllt. Das Martingal-Maß kann identifiziert werden, indem der Forward-LIBOR als Martingal in seinem Forward-Maß verwendet wird und unter bestimmten technischen Bedingungen eine Martingal-Darstellung durchgeführt wird. Der Referent weist darauf hin, dass eine Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes oder des Numeraires notwendig ist, um die gesamte Zinsstrukturkurve konsistent zu modellieren, und dass dies durch eine einfache Änderung des Numeraires erreicht wird.

  • 01:15:00 In diesem Abschnitt erläutert Yi Tang die Notwendigkeit von Modellen auf Unternehmensebene, um nichtlineare Portfolioeffekte zu bewältigen und Modelle auf Handelsebene für Martingaltests, Martingal-Resampling und Interpolation zu nutzen. Er betont, dass diese Modelle für den Umgang mit dem Kreditrisiko der Gegenpartei sowie für die Finanzierung von Liquiditätskapitalrisiken von entscheidender Bedeutung sind. Yi Tang erwähnt auch, dass er aus Zeitgründen kein weiteres Beispiel durchgehen kann, interessierte Zuschauer können sich aber Seite 22 der Folien ansehen. Die Professoren schließen die Vorlesung ab, indem sie abschließende Kommentare hinzufügen und Forschungsthemen für die Abschlussarbeit vorschlagen. Sie erkennen den anspruchsvollen Charakter des Kurses an und schätzen die harte Arbeit und den Einsatz der Studierenden in der Klasse.

  • 01:20:00 In diesem Abschnitt schließen die Professoren den Kurs ab, indem sie ihre Hoffnung zum Ausdruck bringen, dass die Studenten ihn wertvoll fanden und dass er ihnen in Zukunft eine gute Ressource sein wird. Sie ermutigen die Schüler, sich bei Fragen oder Themenvorschlägen für zukünftige Kurse an sie zu wenden. Sie kündigten außerdem an, dass im nächsten Herbst eine Wiederholung des Kurses mit möglichen Änderungen und Verbesserungen stattfinden wird. Schließlich empfehlen sie den Studierenden, die Website für weitere Informationen zu besuchen.
26. Introduction to Counterparty Credit Risk
26. Introduction to Counterparty Credit Risk
  • 2015.01.06
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