[Archiv!] Reine Mathematik, Physik, Chemie usw.: Gehirntrainingsprobleme, die in keiner Weise mit dem Handel zusammenhängen - Seite 230
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А никто их и не обманывает. Здесь люди с мозгами, сами думать умеют.
Entschuldigung, manche Leute benutzen nur ihren Rücken.
Звиняй, некоторые только спинным пользуются.
Ich meine, man muss hart arbeiten und schließlich ein Ergebnis erzielen.
und ein Ergebnis ist ein Ergebnis
Логично мыслишь, но в рихметике подкачал. Там все проще получается.
С функцией я что-то не понял. y = 0? Но это частный случай нечетной функции, я уже о нем написал.
Eben, 1980 ist nicht das Quadrat des Ganzen.
3/1 + 5/2 +...87/43 + 44/44
86+1/1+1/2+...1/43 + 1
87+(1/1+1/2+...1/43)
Wie man die Summe von Brüchen berechnet, weiß ich nicht mehr %(
Mit der Funktion ist es nur ein Scherz, aber man kann sie in jeden beliebigen Winkel drehen.
Überprüfen Sie noch einmal die Rhythmik. Die richtige Antwort ist 88 gerade. Und natürlich das Muster beweisen :)
Еще раз - проверь рихметику. Правильный ответ - 88 ровно.
Das war's, ich gebe auf.
Wie berechnet man die nächsten ganzen Zahlen? Wenn nicht durch Auf- oder Abrunden, sondern durch Abschneiden der Nachkommastellen, dann
von a^2 bis (a+1)^2 gibt es 2a+1 Zahlen, d. h. für die natürliche Anzahl der Quadrate 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.... erhalten wir eine natürliche Reihe von "nächsten ganzen" Wurzeln, die ihr entsprechen
1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3...
Das nächstgelegene Quadrat zu 1980 ist 44^2 = 1936, also ist die Quadratwurzel bis einschließlich 1935 höchstens 43. Und dann noch 44 mal 44.
Ich habe also Folgendes: 3/1 + 5/2 +...87/43 + 44/44 == 86+1/1+1/2 +...1/43 + 1
Ich schaffe auf keinen Fall 88.
Und wenn Sie aufrunden, d. h. >1,5=2, erhalten Sie ein Problem, das sich nicht in normaler Sprache erklären lässt. Und schon gar nicht in der Sprache eines Achtklässlers.
Äh, nein, das ist nicht gut für die Olympiade. Für eine solche "Lösung" würden Sie 1, maximal 1,5 von fünf Punkten erhalten. Das heißt, grob gesagt, irgendwo hat man das Muster irgendwie gesehen, aber nicht so deutlich, dass man eine genaue, aber unbegründete Antwort geben kann. Hätte ich eine genaue Antwort (88) gegeben, ohne dies zu begründen, hätte ich höchstens 3 erhalten. Das ist nicht schlecht.
Streng genommen liegen zwischen den benachbarten Quadraten a^2 und(a+1)^2 genau 2*a Zahlen (von a^2+1 bis a^2+2*a). Man erkennt das Muster: Irgendwo in der Mitte, auf halbem Weg zum nächsten Quadrat, wird der ganzzahlige Anteil größer als 0,5, und die nächstliegende ganze Zahl geht von a auf a+1.
Eine direkte Überprüfung an kleinen Zahlen bestätigt dies und erlaubt sogar, Hypothesen aufzustellen:
1. die dem sqrt(a^2+a) am nächsten liegende ganze Zahl ist a,
Die dem sqrt(a^2+a+1) am nächsten liegende ganze Zahl ist gleich a+1.
Wir versuchen zu beweisen: sqrt(a^2+a) = sqrt((a^2+a+ 1/4) - 1/4 ) = sqrt((a+1/2)^2 - 1/4 ) < a+1/2, d.h. die nächstliegende ganze Zahl ist a.
Außerdem ist sqrt(a^2+a+1) = sqrt((a^2+a+1/4) + 3/4 ) = sqrt((a+1/2)^2 + 3/4 ) > a+1/2, d. h. die nächstliegende ganze Zahl ist a+1.
Toll, jetzt zähle, wie viele ganze Zahlen für die Wurzel genau gleich a sind. Dies ist eine Zahl, die größer als a^2 ist, das Quadrat von a selbst und eine weitere Zahl , die kleiner als a^2 ist (sie bleibt vom vorherigen Quadrat von a-1 übrig). Die Summe ist genau 2*a Zahlen.
Das heißt, derselbe Bruch 1/a kommt im Idealfall genau 2*a mal vor und liefert einen Beitrag zur Summe von 2.
Nun betrachten wir das Jahr 1980. Der Taschenrechner sagt, dass die Wurzel 44,497 ist, d.h. es ist wahrscheinlich die letzte Zahl vor der Erhöhung der nächsten ganzen Zahl von 44 auf 45. Aber 1978 wurden bei den Olympiaden kaum Taschenrechner ausgegeben, man musste alles von Hand machen. Tatsächlich ist 1980 = 44^2 + 44, d.h. die Zahl 1980 schließt genau die Gruppe der 88 Zahlen ab, deren nächstgelegene Wurzel gleich 44 ist.
Und dann ist alles klar.
Äh, nein, das ist nicht gut für die Olympiade. Für eine solche "Lösung" würden Sie 1, maximal 1,5 von fünf Punkten erhalten. Das heißt, grob gesagt, dass irgendwo ein Muster zu erkennen war, aber nicht deutlich genug, um zumindest eine genaue, aber unbegründete Antwort zu geben. Hätte ich eine genaue Antwort (88) ohne Begründung gegeben, hätte ich höchstens 3 erhalten. Schon nicht schlecht.
Streng genommen liegen zwischen benachbarten Quadraten von a^2 und(a+1)^2 genau 2*a Zahlen (von a^2+1 bis a^2+2*a). Man erkennt das Muster: Irgendwo in der Mitte, auf halbem Weg zum nächsten Quadrat, wird der ganzzahlige Anteil größer als 0,5 und geht von a auf a+1.
Eine direkte Überprüfung kleiner Zahlen bestätigt dies und ermöglicht es sogar, Hypothesen aufzustellen:
1. die dem sqrt(a^2+a) am nächsten liegende ganze Zahl ist a,
Die nächstgelegene ganze Zahl zu sqrt(a^2+a+1) ist gleich a+1.
Wir versuchen zu beweisen: sqrt(a^2+a) = sqrt((a^2+a+ 1/4) - 1/4 ) = sqrt((a+1/2)^2 - 1/4 ) < a+1/2, d.h. die nächstliegende ganze Zahl ist a.
Dann ist sqrt(a^2+a+1) = sqrt((a^2+a+1/4) + 3/4 ) = sqrt((a+1/2)^2 + 3/4 ) > a+1/2, d. h. die nächste ganze Zahl ist a+1.
Toll, jetzt zähle, wie viele der nächstgelegenen ganzen Zahlen für die Wurzel genau a sind. Dies sind a Zahlen, die größer als a^2 sind, das Quadrat von a selbst und a-1 weitere Zahlen, die kleiner als a^2 sind (sie sind vom vorherigen Quadrat von a-1 übrig geblieben). Die Summe ist genau 2*a Zahlen.
Das heißt, derselbe Bruch 1/a kommt im Idealfall genau 2*a mal vor und liefert einen Beitrag zur Summe von 2.
Jetzt betrachten wir das Jahr 1980. Der Taschenrechner sagt, dass die Wurzel 44,497 ist, d.h. es ist wahrscheinlich die letzte Zahl vor der Erhöhung der nächsten ganzen Zahl von 44 auf 45. Aber 1978 wurden bei den Olympiaden kaum Taschenrechner ausgegeben, man musste alles von Hand machen. Tatsächlich ist 1980 = 44^2 + 44, d.h. die Zahl 1980 schließt genau die Gruppe der 88 Zahlen ab, die der Wurzel aus 44 am nächsten kommt.
Der Rest ist klar.
Ich hätte ein Problem finden und es veröffentlichen sollen, bevor ich bereue, dass ich es nicht getan habe.
Die Aufgaben sind tatsächlich ernst. Diese Aufgabe ist eine der einfachsten für Achtklässler. Die wirklich schweren Fälle stelle ich hier nicht ein.
Warum postest du nicht etwas mit deinen Lieblings-Fibonacci-Zahlen? Ich meine, sie haben eine Menge unerwarteter Eigenschaften. Leute, postet es, wenn ihr es finden könnt. Auch wenn Sie die Lösung nicht kennen.
Aber sagen Sie bitte nichts über den Handel, okay?
Ээ нет, так не пойдет на олимпиаде. За такое "решение" ты получил бы 1, максимум 1.5 балла из пяти. Т.е., грубо говоря, где-то как-то увидел закономерность, но не настолько четко, чтобы хотя бы выдать точный, но необоснованный ответ. Если бы дал точный ответ (88) без обоснования, получил бы от силы 3. Уже неплохо.
Строго между соседними квадратами a^2 и (a+1)^2 ровно 2*а чисел (от a^2+1 до a^2+2*а). Закономерность ты уловил: где-то в серединке на полпути к следующему квадрату целая часть становится больше 0.5, а ближайшее целое переходит от а к а+1.
Wie wäre es, etwas mit Ihren Lieblings-Fibonacci-Zahlen zu posten?
>> Das ist ein toller Vorschlag!