量化交易 (Quantitative trading) - 页 10

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在实时金融市场交易中使用 R

在实时金融市场交易中使用 R

在这个内容丰富的视频中，演示者深入探讨了在实时金融市场交易中使用编程语言 R 的实际应用，特别是外币交易。他们首先讨论了交易货币的吸引力，强调了它们的可管理性和全球货币交易中几个关键货币对的主导地位。需要强调的是，外汇交易是在场外交易市场进行的，而不是在受监管的交易所进行。主持人承认由于市场的流动性和随机性而识别货币变动异常的挑战。

解释了场外交易的概念，并指出它与其他类型的交易不同，因为它优先考虑交易对手和报价等因素，而不是执行和延迟。然后，该视频涵盖了标准的金融市场术语，包括使用蜡烛来可视化数据以及多头交易（低买高卖）和空头交易（以较高价格出售借来的股票并以较低价格回购以获利）之间的区别).

为了演示使用 R 进行金融市场交易的实时分析，演示者通过两个示例进行了介绍。第一个示例侧重于根据连续的看涨或看跌蜡烛测试下一根蜡烛的方向概率。使用蜡烛形态及其对市场趋势的潜在影响的知识来检验该假设。

该视频进一步探讨了使用 R 在实时金融市场交易中测试假设的方法。展示了一个示例，其中对数据进行了预处理，并创建了一个连续蜡烛表以评估蜡烛方向变化的可能性。交易成本最初设置为零，并在模型日期建立和测试利润平衡。然而，强调了在交易环境中严格测试进入和退出的重要性，因为将交易成本设置为两点会导致亏损并实现市场中立。

讨论了滑点和交易成本等考虑因素，演讲者强调需要考虑这些因素并建议纳入误差范围。介绍了一个更复杂的例子，涉及欧洲美元的周期性，重点是根据转折点和价格变动来衡量周期性。演讲者强调了在金融市场分析中保持统一的 x 轴以避免周末市场波动扭曲的重要性。

该视频深入探讨了均值回归交易策略，其中涉及识别市场经历快速上升趋势并预测短期趋势逆转的实例。分析价格和蜡烛走势的分布以确定实施该策略的合适参数。测试最初以零交易成本进行，随后以 2 个酒吧的小交易成本进行。结果谨慎乐观，但发言人承认存在潜在的统计问题，需要进一步调查和实际市场测试。

引入回归分析作为平滑数据点的方法，但注意到当回归线随附加数据变化时预测未来趋势的挑战。讨论了使用 R 进行的基本回溯测试和正向测试，强调了仅使用一种仪器进行测试的局限性以及对更全面方法的需求。

然后，演示者分享了将 R 代码整合到实时交易环境中的见解。他们强调经常重新计算回归值以适应市场变化的重要性，而不是依赖过度拟合模型获得长期成功。该代码包括基于蜡烛差异和价格变化的买入或卖出决策参数，以及基于达到特定利润阈值的退出策略。演示者演示了回测过程，并表达了对获得积极结果的信心。

强调了使用按市值计算的权益曲线而不是贸易权益曲线来评估交易系统的重要性。讨论了交易活跃时交易权益曲线在反映系统现金状况方面的局限性。演示者展示了两个图表，比较了两种类型的曲线，揭示了系统故障和显着缩减的时期。强调了减少损失的止损策略的必要性，并共享了实施此类策略所需的代码。主持人承认退出策略的缺陷导致持仓时间过长，造成重大损失。

然后，该视频深入探讨了将 R 代码集成到执行算法中以及在建模方面使用 Windows 程序包。主持人解释说，他们的真实货币交易发生在 Linux 服务器上，这些服务器通过共享内存空间无缝连接到 CIRA 平台。此设置支持在其系统和平台之间交换数据，包括 FIX、交易和蜡烛图。演讲者透露，他们通过同时在四到八种不同工具之间进行交易来管理风险。然而，他们告诫不要仅仅依赖现实世界交易中的概率，因为这可能会导致交易者全天错失宝贵的机会。

总之，该视频为实时金融市场交易中 R 的实际实施提供了宝贵的见解，特别是外币交易。演讲者涵盖了各个方面，包括场外交易、标准金融市场术语、检验假设、均值回归交易策略、滑点和交易成本等考虑因素，以及将 R 代码集成到执行算法中。在强调算法交易的潜在好处的同时，该视频还承认需要进行严格的测试、仔细考虑统计问题以及风险管理策略在现实交易场景中的重要性。

• 00:00:00 Ellen 讨论她如何使用 R 进行外汇交易。她解释了为什么她选择交易货币，并指出它们是易于管理的分析工具，大约七八对执行世界货币交易的 97-98%。艾伦还指出，由于外币是场外交易工具，因此无法在交易所进行交易。她承认，由于市场的流动性和随机性，发现货币变动的异常情况可能非常困难。
  
  
• 00:05:00 演讲者解释了场外交易的概念，强调这是一种不受监管的交易所，与其他类型的交易不同。演讲者解释说，这种类型的交易较少强调执行和延迟，而更多地强调其他因素，例如交易对手和报价。然后，演讲者继续解释金融市场中使用的一些标准术语，例如蜡烛和多头交易与空头交易。蜡烛图被用作可视化一系列数据的便捷工具，而多头交易是低买高卖，而空头交易是以更高的价格卖出借来的股票，然后在价格下跌时买回以获利。
  
  
• 00:10:00 演讲者讨论了外汇市场中向上或向下交易的概念，交易者总是交易一种工具以获得一些 xq。他还提到，他不会向观众展示如何预测市场或提供秘方，而是会向他们展示他和他的团队所分析的两个例子。第一个示例是一个简单的问题，即当有 X 个连续的看涨或看跌蜡烛时，下一根蜡烛向上或向下的概率是多少。演讲者利用上涨蜡烛和下跌蜡烛的知识来检验他的假设，并评估市场中是否有任何动态来预测市场趋势。
  
  
• 00:15:00 演讲者解释了他们使用 R 测试实时金融市场交易假设的方法。他们演示了预处理数据和创建连续蜡烛表的示例，该表格显示了蜡烛方向变化的概率.然后演讲者将他们的交易成本设置为零并创建一个利润余额，他们在模型日期对其进行测试。然而，他们指出，将交易成本设置为两点会导致亏损并保持市场中立，因此在交易环境中严格测试进入和退出非常重要。
  
  
• 00:20:00 演讲者讨论了在交易时考虑市场滑点的重要性，并建立了误差幅度来解释它。他们还提到了取决于经纪商和交易量的交易成本差异。然后，演讲者转向一个更复杂的例子来测试欧洲美元的周期性，并解释了他们如何根据转折点和价格变动之间的时间来衡量周期性。他们强调在金融市场分析中使用统一的 x 轴以避免周末市场波动扭曲的重要性。演讲者提议与观众共享此示例的代码和数据。
  
  
• 00:25:00 演讲者解释了他如何通过添加行号作为 x 轴而不是使用日期和时间来规范化金融市场数据系列。然后，他执行内核回归以平滑曲线并使用一些代码找到峰值和下降。他测试了峰值的周期性并将它们聚集在下象限以表明欧洲美元的重要转折点发生在 30 小时内。演讲者讨论了不同的交易方式，包括预测下一个转折点并使其成为更具挑战性的问题。
  
  
• 00:30:00 演讲者解释均值回归交易策略，该策略涉及寻找市场上涨过快过快导致短期趋势逆转的机会。演讲者分析价格分布和蜡烛图走势以确定该策略的界限，然后通过设置零成本交易以及随后的 2 酒吧的小交易成本来测试它。结果谨慎乐观，发言人建议在实际市场条件下进一步测试。但是，发言人指出，此策略可能存在需要进一步调查的统计问题。
  
  
• 00:35:00 演讲者讨论了使用回归来平滑数据点，但警告说随着更多数据点被添加到系列中，回归线会向后变化，这使得预测未来趋势变得困难。他还解释说，使用 R 进行的基本回溯测试和前向测试一次仅限于一种工具，对于多种工具或特定于市场的财务参数来说并不理想。为了解决这个问题，他使用了一个交易平台，允许他将 R 代码直接复制并粘贴到平台中，避免冗长的编码和调试过程。
  
  
• 00:40:00 演讲者讨论了用于将 R 整合到实时交易环境中的基本代码。他们提到代码主要是他们在 R 工作室中的代码的复制和粘贴，重点是经常重新计算回归值以适应变化，而不是过度拟合模型并期望它长期工作。该代码包括根据某些参数（例如蜡烛差异和价格变化）决定买入或卖出，以及当利润达到一定数额时退出头寸的策略。然后演讲者展示了他们如何使用代码进行回溯测试并期望得到好的结果。
  
  
• 00:45:00 演示者讨论了在评估交易系统时使用按市值计算的权益曲线相对于贸易权益曲线的重要性。他解释说，贸易权益曲线不会在交易运行时揭示系统的现金头寸，因此很难在 R 中对其进行建模。他展示了两张图，一张是贸易权益曲线，另一张是马克-市值曲线，反映了系统在某些时期如何动摇，导致大幅回撤。他得出结论，应用止损策略将有助于及时退出损失，并展示了可以让人们做出这种改变的代码。由于退出策略不完善导致持有时间过长，模型最终测试失败，损失惨重。
  
  
• 00:50:00 演讲者谈到了他们如何将代码嵌入到执行算法中并在建模方面使用 Windows 包。他们的真金白银在 Linux 服务器上运行，并包装在这个包中。他们使用系统和 CIRA 平台之间的共享内存空间来交换数据。他们可以采用 FIX、交易和蜡烛，并将它们传递到他们的系统进行分析，将结果拆分回 CIRA，并做出交易决策。他们可以使用该系统通过同时在四到八种不同工具之间进行交易来管理风险。他们警告说，虽然概率很重要，但依赖它进行现实世界的交易可能会导致交易者全天错失机会。

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量化交易简介 - 第 1/8 讲

量化交易简介 - 第 1/8 讲

这门综合课程深入介绍了量化交易的迷人世界，让学生掌握在这个充满活力的领域中脱颖而出所必需的知识和技能。量化交易围绕着利用数学模型和计算机程序将交易理念转化为有利可图的投资策略。这一切都始于投资组合经理或交易员，他们从最初的直觉或模糊的交易概念开始。通过应用数学技术，这些直觉被转化为精确而稳健的数学交易模型。

量化交易的过程涉及对这些模型进行严格的分析、回溯测试和改进。采用统计测试和模拟来评估其性能并确保其可靠性。这个细致的测试阶段对于在模型投入使用之前识别和解决模型中的任何缺陷或弱点至关重要。

一旦量化投资模型证明了其潜在的盈利能力，它就会在计算机系统上实施，从而实现交易的自动执行。将数学模型集成到计算机程序中是量化交易的核心，将数学的力量与计算机科学的效率相结合。在整个课程中，学生探索从流行学术文献中汲取的各种投资策略，深入了解其潜在的数学原理，并学习如何将它们转化为可操作的交易模型。

本课程的课程涵盖广泛的主题，使学生具备在量化交易领域取得成功所必需的量化、计算和编程技能。学生深入研究数学建模、统计分析和算法交易的复杂性。他们还精通量化金融中常用的编程语言，例如 Python 和 R，使他们能够有效地实施和测试他们的交易模型。

通过完成本课程，学生不仅可以全面了解量化交易领域，还可以培养自信驾驭它的必要技能。他们善于将交易理念转化为数学模型，对这些模型进行严格的测试和完善，并最终在现实世界的交易场景中实施。凭借在定量和计算技术方面的坚实基础，学生已做好充分准备，从事定量交易、算法交易或其他数学与技术融合推动成功的相关领域的职业。

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量化交易简介 - 第 2/8 讲

量化交易简介 - 第 2/8 讲

在本次讲座中，演讲者强调了技术和编程在量化交易中的重要性。他们讨论了技术和编程技能对于选择量化交易策略和进行回溯测试的重要性。演讲者强调了数学和计算机编程在这一领域的重要性。他们介绍了基本的Java编程和使用Java的数学编程，并强调了由于回测的需要，量化交易对编程技能的需求。

演讲者讨论了模拟和分析战略未来表现所涉及的挑战。他们提到历史损益 (PNL) 不是训练或决定是否改变策略的可靠指标。相反，他们建议使用需要大量编程的模拟和参数校准来找到最佳参数并测试策略对它们的敏感性。他们还强调了使用相同软件进行研究和实时交易以避免翻译错误的重要性。

演讲者讨论了量化交易员的责任，并强调了对交易想法进行有效原型设计的必要性。他们建议将大部分时间花在集思广益和想出点子上，同时尽量减少花在测试和编程上的时间。他们提到了拥有构建块工具箱以快速构建新策略原型的重要性。

演讲者解决了在量化交易中使用 Excel、MATLAB 和 R 等流行工具的挑战，并指出它们不是为复杂的数学策略而构建的。他们建议使用其他编程语言，如 Java、C-sharp 和 C++，这些语言具有用于构建和实施交易策略的库。

演讲者专门讨论了使用 R 进行量化交易的局限性。他们提到 R 很慢，内存有限，并行化的可能性也有限。他们还强调缺乏用于不同程序之间通信的调试工具和标准接口。

演讲者强调了技术和使用适当工具在量化交易中的重要性。他们提到 R 和 MATLAB 等工具可以显着改进数学编程并提供对库的访问以加快计算速度。他们强调需要一个好的交易研究工具箱，允许轻松组合模块、并行编程以及自动数据清理和参数校准。

演讲者讨论了使用 Java 和 C# 等新技术进行量化交易的优势。他们提到这些语言消除了调试内存泄漏和分段错误等问题的需要，从而提高了生产率。他们演示 Java 编程并为参与者提供实践实验室课程。

演讲者解释了如何通过更正导入来修复 Java 程序的输入，并演示了使用 algo quant 库进行数学编程。他们指导参与者将代码从网站复制并粘贴到他们的计算机上运行。

演讲者解决了听众提出的有关下载和运行讲座中使用的代码的技术问题。他们使用网络研讨会功能演示了隐马尔可夫链的经典版本。

演讲者解释了马尔可夫链的概念，并演示了一个简单的具有转移概率的二态模型。他们解释了马尔可夫链如何用作随机数生成器来模拟观察和估计模型参数。他们鼓励观众尝试创建自己的马尔可夫链模型。

演讲者讨论了量化交易中沟通与协作的重要性，并鼓励团队成员互相检查并提供最新进展。他们提到使用高阶马尔可夫模型的可能性，并在现场讨论中邀请提问和屏幕共享。

讲师讨论了在有限观察的情况下估计量化交易模型中参数的挑战。他们解释说，准确估计需要更多数据，并建议使用更大的状态模型或增加观察次数。他们讨论了用于训练隐马尔可夫模型的 Baum-Welch 算法，并介绍了回测的概念。

演讲者在 AlgoQuant 中演示了一个简单的移动平均线交叉策略，并解释了创建策略、模拟器和运行模拟的过程。他们强调了使用损益、信息比率、最大回撤等指标进行测试和性能分析的重要性。

演讲者解释探索不同的交易策略并通过模拟测试其性能。演讲者解释说，模拟允许交易者在将策略部署到实时交易之前评估与策略相关的潜在盈利能力和风险。通过模拟不同的市场条件和情景，交易者可以深入了解策略的表现并做出明智的决定。

演讲者还强调了交易成本在交易策略中的重要性。经纪费用和滑点等交易成本会对策略的整体盈利能力产生重大影响。因此，在模拟和回测期间将交易成本考虑在内以获得对策略绩效的现实评估至关重要。

此外，讲师介绍了量化交易中风险管理的概念。他们解释说，风险管理涉及实施战略来控制和减轻潜在损失。风险管理技术可能包括设置止损单、头寸规模和多元化。将风险管理原则纳入交易策略以防止重大财务损失至关重要。

演讲者最后重申了持续学习和改进量化交易的重要性。他们鼓励参与者探索不同的策略，分析他们的表现，并根据结果进行迭代。通过利用技术、编程技能和系统的策略开发方法，交易者可以提高他们在金融市场上的盈利能力和成功率。

总体而言，本次讲座着重阐述了量化交易中技术、编程、模拟和风险管理的意义。它强调了实验、持续学习和使用专门工具来开发和完善交易策略的必要性。

第1部分

• 00:00:00 演讲者首先解决上一课的潜在问题以及在哪里可以找到课程材料。本次讲座的重点是技术和编程在量化交易中的重要性，因为它对于选择量化交易策略和进行回测至关重要。演讲者强调了数学和计算机编程的重要性，并介绍了一些基本的 Java 编程和使用 Java 进行数学编程。动手环节包括回测的增选策略，讲者问大家电脑上是否安装了bin和algo quant，是否通过了Maven测试。传统上，对于其他类型的交易，例如价值投资或根据直觉进行的交易，您不需要太多编程，但由于需要进行回测，因此在量化交易中必不可少。
  
  
• 00:05:00 演讲者讨论了计算机编程在量化交易中的重要性，尤其是在模拟和分析策略的未来表现方面。他们提到历史 PNL 不是训练或决定是否改变策略的可靠指标。相反，他们建议使用需要大量编程的模拟和参数校准来找到最佳参数并测试策略对它们的敏感性。他们还强调了使用相同软件进行研究和实时交易以避免可能的翻译错误的重要性。最后，演讲者强调计算机编程技能在金融交易行业中至关重要，可以极大地影响利润。
  
  
• 00:10:00 讲师讨论量化交易员的理想职责，包括提出交易想法并快速制作原型，同时将测试计算、PNL 属性和参数校准等机械任务留给计算机系统.理想情况下，交易者只需花费大约 10% 的时间来编写策略代码，并依靠构建块或模板来快速有效地制作策略原型，而不必从头开始编写所有代码。讲师强调了将大部分时间花在头脑风暴和想出交易想法上，同时尽量减少测试和编程时间的重要性。
  
  
• 00:15:00 演讲者强调了拥有一个构建块工具箱的重要性，研究人员可以使用它来快速构建新策略的原型。他提到 Algocron 提供不同的构建块，例如基于条件概率的熊市指标和控制篮子的协整。他强调制定策略应该像玩乐高积木一样，研究人员可以将积木拼在一起构建新策略。演讲者解释说，尽管交易者大部分时间都花在想出点子上，但他们必须进行回溯测试和数据清理，这可能具有挑战性。他们需要处理来自不同来源的大量数据，需要提取有用信息，例如市盈率，同时处理缺失或不良数据。这个过程需要大量的编程，如果策略是事件驱动的，研究人员可能需要有一个新闻和公告时间表数据库。
  
  
• 00:20:00 演讲者讨论了使用订单簿模拟交易策略所涉及的复杂性。一个问题是滑点，这意味着仅仅因为有人想以特定价格购买某物并不意味着他们实际上可以由于市场变动而以该价格购买。另一个问题是订单簿建模中的执行假设。仿真过程繁琐且耗时，尤其是使用 MATLAB 或 R 等脚本语言时。参数校准和仿真可能需要长达数百小时，软件代码中的错误可能会进一步延长该过程。代码调试的过程漫长而令人沮丧，可能会导致放弃交易，这不是因为代码不正确，而是因为时间用完或受挫。
  
  
• 00:25:00 演讲者讨论了量化交易的现实和交易者使用的工具。他们解释说，很多硬币交易员都是量化分析师，他们几乎 90% 的时间都花在编程和调试上，这不是这份工作的本意。这是因为交易者使用的研究工具比较原始，流行的有Excel、MATLAB、R和商业软件。然而，演讲者认为这些工具不是为量化交易而构建的，它们对构建复杂的数学策略没有用。他们建议其他编程语言，如 Java、C-sharp 和 C++ 有库可以放在一起并构建交易者可以使用的变更策略。
  
  
• 00:30:00 演讲者讨论了使用 R 进行量化交易的缺点。其中一个主要问题是 R 非常慢，因为它是一种解释型语言，这意味着解释器逐行执行。此外，可用内存量有限，无法将大量数据加载到内存中进行分析。而且，并行化的可能性非常有限，很难在数千个 CPU 上运行模拟。演讲者提到使用 R 进行并行计算很困难，而且它的 IDE 不如其他语言如 Java 和 C-sharp 先进。也没有可用的调试工具，很难发现问题，不同程序之间也没有标准的通信接口。
  
  
• 00:35:00 演讲者讨论了使用 R 作为量化交易策略工具的优缺点。他强调 R 对面向对象的编程支持有限，并且大多数代码是使用过程语言编写的，但它与通用语言相比具有显着优势。 R 最大的挑战是无法确保源代码没有错误，这在调试代码时可能会令人沮丧。演讲者强调了技术的重要性，并解释说依靠武器装备（工具和研究）在贸易战中至关重要。没有技术的聪明人不能指望与使用并行计算和机器学习等技术的人竞争，以寻找有利可图的交易策略。
  
  
• 00:40:00 演讲者讨论技术在量化交易中的重要性。使用 R 和 MATLAB 等工具可以显着改进数学编程，并提供对范围广泛的库的访问，从而加快数学计算速度。拥有一个好的交易研究工具箱对于快速构建和回测策略以捕捉市场机会至关重要。理想的工具箱应该允许交易者轻松组合模块、执行并行编程并生成性能统计数据，而无需花费大量时间编程。数据清洗也应该是自动化的，参数校准应该是自动完成的。重点应该放在编写策略上，而不是花时间在机械编程任务上。
  
  
• 00:45:00 讨论了使用好的编程工具的重要性。演讲者提到使用 Java 和 C# 等更新的技术消除了调试内存泄漏和分段错误等问题的需要，从而显着提高了生产率。此外，该课程还开始了动手实验室课程，他们在其中探索马尔可夫模型实验，演讲者指导参与者完成将代码从网站复制和粘贴到膝上垃圾箱以供运行的过程。该课程包括具有编程经验的参与者，因此他们跳过了 Java 编程的基础知识。
  
  
• 00:50:00 演讲者解释了如何通过使用 ctrl shift i 命令更正导入来修复 Java 程序的输入。然后，他继续演示如何使用 algo quant 库在 Java 中完成数学编程，并展示了一个可以在新包和类中运行的简单马尔可夫链模型。演讲者鼓励与会者提问，并确保每个人都能跟上演示的步伐。
  
  
• 00:55:00 演讲者解决了听众提出的一些技术问题，这些问题涉及如何下载和运行讲座中使用的代码。他继续使用网络研讨会函数演示经典版本的隐马尔可夫链，为此他只保留了 pi a1 和 b1，并删除了其他代码。

第2部分

• 01:00:00 演讲者解释了具有转移概率的二态模型，这是马尔可夫链的一个简单示例。他在可视化图表中说明了转换概率，并解释了在每个状态下观察到某些值的概率。然后，演讲者继续解释马尔可夫链本质上是一个随机数生成器，并演示了如何模拟这个特定的马尔可夫链以生成观察结果。
  
  
• 01:05:00 演讲者解释了马尔可夫链的概念，以及如何将其用作随机数生成器来生成股票价格观察值。以二态马尔可夫链的初始状态概率和转移概率为例，但在现实生活中，这些参数需要根据观察来估计。演讲者演示了如何使用用于参数估计的网络研讨会模型隐马尔可夫链算法来估计这些参数。然后可以将估计的模型与实际模型的准确性进行比较。
  
  
• 01:10:00 演讲者讨论了估计参数在量化交易中的重要性。他指出，在现实中，只能观察到价格或回报，而真实的模型是未知的，因此最好的选择是估计模型的参数。他提到了一种用于估计参数的好算法，网络研讨会算法，它与真实模型非常匹配，并且对交易很有用。演讲者鼓励听众通过更改参数、生成不同的观察结果和执行各种估计来尝试创建自己的马尔可夫链模型，以了解它们如何在不同条件下匹配真实值。
  
  
• 01:15:00 演讲者讨论了即将进行的关于马尔可夫建模和编程的现场讨论，在讨论过程中邀请提问和屏幕共享。手头的任务是使用个人马尔可夫模型生成不同的观察结果并估计不同的参数以检查估计的模型是否与真实模型匹配。目标是确定市场模型有多好，因为最终交易者依赖它。演讲者鼓励添加极值和压力场景以查看马尔可夫链的行为方式。
  
  
• 01:35:00 课程中的讲师和学生讨论与许可和实验相关的技术细节。讲师建议一名学生用新下载的许可证替换他们的长期许可证，并建议尝试使用不同的参数来确定估计模型对量化交易培训目的有用的点。其他学生报告了实验和许可方面的问题，这些问题得到了详细说明。
  
  
• 01:40:00 演讲者鼓励听众创建自己的马尔可夫链并试验转移概率。他们建议对三态模型使用二态模型，并利用创造力和想象力创造不寻常的转换概率，例如零或“同步状态”，一旦进入就无法转换。演讲者强调了创造力和想象力在量化交易中的重要性，并建议使用它们来了解估计过程如何与独特的相变马尔可夫链一起运行。
  
  
• 01:45:00 演讲者讨论了沟通和协作在量化交易中的重要性，特别是在进行实验和分析数据时。他们强调团队成员需要不断相互检查并提供最新进展，并指出每个人对同一问题可能有不同的方法或想法。演讲者还提到了在他们的实验中使用高阶马尔可夫模型的可能性，并询问是否有人探索过这个选项。
  
  
• 01:50:00 讲师讨论生成测试用例以检查估计模型是否与真实模型匹配的重要性。真实模型是用于生成观察结果的模型，而估计模型是使用观察结果创建的。该实验旨在确定估计模型是否足够接近真实模型。讲师建议生成不同的测试用例以查看估计的执行情况，并强调使用较少数量的观察进行测试的重要性。
  
  
• 01:55:00 演讲者讨论了在有限观察下准确估计量化交易模型的挑战。值得注意的是，在统计学中，算法以收敛为中心，这意味着随着观察次数的增加，估计会变得更加准确。但是，演讲者强调，很难确定模型与现实的接近程度，因为您只有估计模型，而没有真实值。此外，引入了计算给定模型生成观察值的概率的概念，这是最大似然估计的一个重要方面。

第 3 部分

• 02:00:00 讲师讨论了在有限数据的两态模型中估计概率的挑战。当只有 100 个观测值时，转移概率的估计是不准确的。然而，有了 10,000 次观察，准确性会提高，但问题仍然存在，因为大多数资产不会持续 40 年，而这是那么多观察所需的数据量。二态模型有12个参数，随着参数数量的增加，需要更多的数据来进行准确的估计。因此，必须有大量数据才能准确估计概率，这在交易中不切实际，尤其是在构建复杂模型时。讲师建议构建 3 或 4 个状态模型或增加观察的数量来克服这一挑战。
  
  
• 02:05:00 演讲者讨论了量化交易中马尔可夫链模型的估计难度。增加变量的数量会使估计过程更加困难，使用参数分布族而不是像这样指定操作可以显着减少参数的数量。然而，用于训练连续隐马尔可夫模型 (HMM) 的 Baum-Welch 算法可能具有挑战性。然后演讲者继续讨论下一个实验：回测。
  
  
• 02:10:00 展示的演示模拟了股票 XOM 上的简单移动平均线交叉，程序设置为从雅虎下载股票数据并模拟 1990 年至 2012 年的交易。如何设置的结构解释了数据源，对于那些无法访问专业数据源的人来说，Yahoo 数据源插件是最简单易用的。该演示提供了一个有用的示例，说明如何编程和测试交易策略。
  
  
• 02:15:00 演讲者解释了创建策略、模拟器以及运行模拟所需的所有书籍的过程。给出的示例是移动平均线交叉策略，它涉及使用最近 20 天的数据计算较快的移动平均线和使用最近 250 天的数据计算较慢的移动平均线。演讲者指出，可以在开源软件 AlgoQuant 中检查策略、模拟器和交易绘图仪的实施源代码。此外，演讲者解释说，该软件的开放可访问性允许用户独立验证其代码并进行修改以进行定制。最后，演讲者解释了可用于绩效分析的各种指标，包括损益、信息比率、夏普比率、最大回撤、大众风险敞口和欧米茄。
  
  
• 02:20:00 演讲者演示了如何在 Lwan 中使用不同的性能分析器来计算不同的指标，例如回撤，并生成有关策略性能的报告。该代码侦听它关心的事件，例如价格更新，并根据最新信息生成新订单。演讲者建议使用调试器更好地理解代码的行为并查看它如何响应价格更新和生成订单。
  
  
• 02:25:00 演讲者演示了如何使用调试器监控交易策略并观察交叉信号。他解释了如何设置断点并在出现真正的交叉信号时停止，并展示了一个示例，其中较快的移动平均线穿过较慢的移动平均线。然后该策略进入多头头寸，以市场价格购买一个单位的 XOM 产品。随后，当较快的移动平均线下穿较慢的移动平均线时，该策略进入空头头寸，以市场价格卖出两个单位的 XOM。演讲者展示了一张买单图表，并解释了按市价单购买与下达由所需价格触发的限价单之间的区别。
  
  
• 02:30:00 演讲者在 AlgoQuant 中复习了一个简单的移动平均线交叉策略的模拟。他们演示了如何使用历史数据生成买入和卖出信号并计算订单以维持所需头寸。该策略监听开发更新信号并订阅此任务的订单簿信号。演讲者指出，虽然历史测试还不够充分，但它是一个很好的起点，简单的移动平均线交叉可以推广到其他场景。他们还提到策略只是一个函数，并展示了计算顺序的数学方法。
  
  
• 02:35:00 演讲者讨论了在尝试使用数学分析创建交易策略时模拟和实验的重要性。他演示了 GMA21 策略的使用，该策略之前已在数学上得到证明，但由于交易成本，在通过模拟测试时会产生不利的结果。演讲者强调了软件和编程在试验和微调交易策略方面的重要性，以避免在现实世界的交易场景中遭受损失，并强调可以针对不同的股票测试不同的参数以找到最有效的策略。
  
  
• 02:40:00 讲师讨论了实验在量化交易中证实理论预测的重要性。鼓励学生使用提供的软件来试验不同的数字并创建自己的交易策略。讲师向学生介绍了 gma21 策略的实施，该策略在当前价格高于最后价格时买入，在当前价格低于最后价格时卖出，说明如何计算订单并将其发送给经纪人执行。然后，学生的任务是制定自己的策略并根据历史数据进行试验。
  
  
• 02:45:00 演讲者展示了可以轻松实施的最简单的交易策略，使其成为即插即用的解决方案。演讲者邀请听众提问，并鼓励他们在需要进一步说明时伸出援手。
  
  
• 02:55:00 演讲者讨论了几何移动平均线的一个特例，即 M 等于 1 时。这个案例将策略简化为只将当前回报与零进行比较，虽然这个策略不一定能赚钱，但它可以作为教育目的的一个很好的例子。演讲者鼓励听众离线完成此策略的练习，以便他们可以轻松地使用 algocoin 系统进行编码和测试，以进行即将到来的数学和编程练习。

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金融工程 Playground：信号处理、稳健估计、卡尔曼、优化

金融工程 Playground：信号处理、稳健估计、卡尔曼、优化

在这段引人入胜的视频中，香港科技大学电机、电子及计算机工程系教授 Daniel Palomar 阐述了信号处理在金融工程领域的广泛应用。 Palomar 消除了围绕金融工程的误解，并强调了信号处理技术在该领域的普遍性。他强调了随机矩阵理论、粒子滤波器、卡尔曼滤波器、优化算法、机器学习、深度学习、随机优化和机会约束等各种主题的相关性。

Palomar 深入研究了金融数据的独特属性，即程式化事实，这些属性在不同市场保持一致。他解释了金融工程师如何使用回报而不是价格来模拟股票市场。线性和对数回报尽管差异很小，但由于回报幅度较小而被广泛使用。分析这些回报以确定它们的平稳性，非平稳性是金融数据的一个显着特征。演讲者还谈到了其他典型的事实，例如重尾分布、低频回报的偏度以及波动率聚集现象。

强调了在金融中模拟股票收益的重要性，特别关注波动性。 Palomar 将返回信号与语音信号相提并论，探索金融建模与语音信号处理之间的潜在合作。讨论了建模中的不同频率机制，包括高频建模，强调了对实时数据和强大计算资源的需求所带来的挑战。

还检查了仅关注建模回报而不考虑回报的协方差或方差的模型的局限性。演讲者强调了捕获协方差和方差模型提供的信息和结构的重要性，这可以实现更有利可图的决策。 Palomar 引入了使用由归一化随机项和捕获残差协方差的包络项组成的残差对回报的方差和协方差进行建模的概念。然而，对具有大系数矩阵的多元残差建模需要更复杂的模型。

该视频探讨了在有限数据和大量参数的情况下估计参数的挑战，这些挑战可能导致过度拟合。为了解决这个问题，引入了低秩稀疏性作为分析 Vega 模型和制定约束的手段。 Palomar 讨论了稳健性的概念以及由于重尾和小样本制度而假设金融工程的高斯分布的不足之处。他解释说，基于高斯分布的传统样本估计会产生不佳的结果，因此需要在没有此类假设的情况下重新制定。收缩和正则化等技术被视为解决重尾问题的有效手段，并在金融和通信领域得到成功实施。

稳健估计是一种在金融中用于提高准确度的工具，尽管存在异常值，我们对其进行了探索。演讲者介绍了用于对重尾分布建模的椭圆分布，并解释了如何使用迭代方法计算每个样本的权重。 Tyler 估计器对样本进行归一化并估计归一化样本的概率密度函数 (PDF)，作为去除尾部形状的一种方法进行了讨论。 Tyler 估计器与稳健估计器相结合，提高了协方差矩阵估计的准确性。正则化项的包含和算法的开发进一步有助于改进协方差矩阵的观察和估计。

Palomar 深入研究了 Wolfe 估计、Tyler 估计和协整等金融概念。虽然 Wolfe 估计代表了显着的改进，但它仍然依赖于高斯分布的假设。泰勒估计是一种有吸引力的替代方法，它需要足够数量的多维模型样本。协整是金融中的一个重要概念，它表明预测两只股票的相对定价可能比预测单个股票的价格更容易，从而为配对交易提供了机会。探讨了相关性和协整之间的区别，相关性侧重于短期变化，而协整与长期行为有关。

该视频揭示了共同趋势的概念及其与价差交易的关系。共同趋势被描述为由具有共同成分的两只股票共享的随机游走。通过从股票价格之间的价差中减去共同趋势，交易者得到一个均值为零的残差，作为均值回归的可靠指标。此属性在价差交易策略中发挥重要作用。演讲者解释说，通过设置点差阈值，交易者可以识别被低估的情况并利用价格回升，从而从价差中获利。估计 gamma 参数和识别协整种群是此过程中的基本步骤，可以使用最小二乘等技术来完成。

演讲者深入探讨了卡尔曼滤波器在制度变化导致伽玛变化导致协整损失的情况下的作用。通过与最小二乘法和滚动最小二乘法的比较，突出了卡尔曼滤波器对这些变化的适应性。事实证明，卡尔曼滤波器优于其他技术，因为它在零附近保持稳定跟踪，而最小二乘法表现出波动，导致一段时间内出现损失。因此，演讲者建议在金融工程中使用卡尔曼滤波器进行稳健估计。

比较了最小二乘法和卡尔曼滤波器模型的性能，证实了卡尔曼方法在金融工程中的有效性。然后，演讲者深入探讨了隐马尔可夫模型在检测市场机制方面的应用，使交易者能够根据当前的市场状况调整他们的投资策略。投资组合优化作为一个基本概念引入，涉及平衡预期收益和投资组合收益方差的投资组合设计。演讲者将投资组合优化与波束成形和线性滤波模型相提并论，因为它们共享相似的信号模型。

该视频讨论了如何将通信和信号处理技术应用于金融。通信中信噪比的概念类似于金融中的夏普比率，它衡量投资组合回报率与波动率的比率。演讲者介绍了 Markowitz 投资组合，该投资组合寻求最大化预期回报同时最小化方差。然而，由于其对估计误差的敏感性以及对方差作为风险度量的依赖，马科维茨投资组合在实践中并未得到广泛使用。为了解决这个问题，可以采用信号处理的稀疏技术，特别是在指数跟踪中，其中仅使用一部分股票来跟踪指数，而不是投资于所有成分股。演讲者建议改进稀疏性技术以减少跟踪错误。

该视频深入探讨了“钱包交易”的概念，并强调了投资组合在交易中的作用。使用风险价值 (VaR) 模型，演讲者解释了如何通过构建具有特定权重的两只股票的投资组合来实现投资组合交易。引入 PI 矩阵和 beta 矩阵作为提供均值回归价差子空间的工具，从而实现统计套利。在优化中加入 beta 矩阵有助于识别子空间内的最佳方向，与单独使用 beta 相比可获得更好的结果。演讲者还提到了他的书《金融工程的信号处理视角》，这是对金融领域感兴趣的信号处理专业人士的切入点。

在视频的最后，探讨了金融工程交易的不同方法。演讲者区分了利用微小变化和趋势的策略和专注于利用噪音的策略。这两类投资策略提供了截然不同的获利途径。演讲者还谈到了在金融领域应用深度学习技术时缺乏数据所带来的挑战，因为深度学习通常需要大量数据，而这在金融环境中可能是有限的。此外，还讨论了估计两个以上股票的矢量维度的概念，演讲者提供了对各种方法的见解。

在最后一部分，演讲者谈到了大公司的市场支配地位问题及其对金融市场的影响。演讲者强调了拥有大量财务资源的大公司在进行大量投资时可能产生的潜在影响。这种权力集中引发了对市场动态和其他市场参与者行为的重要考虑。

该视频简要介绍了金融中订单执行的主题。它解释说，在处理大订单时，通常的做法是将它们分成更小的部分并逐步执行，以避免扰乱市场。金融的这一方面涉及复杂的优化技术，并且经常借鉴控制理论的原则。演讲者强调了订单执行的数学性质，并提到了关于该主题的大量学术论文。

当视频接近尾声时，演讲者邀请观众在茶歇期间提出任何进一步的问题，承认他们的存在和参与。该视频是一种宝贵的资源，提供了对信号处理在金融工程中应用的见解。它从信号处理技术的角度提供了改进估计、优化投资组合和检测市场机制的观点。

总的来说，该视频全面概述了信号处理在金融工程中的各种应用。它强调了在金融中对股票收益、方差和协方差进行建模的重要性，同时解决了参数估计、过度拟合和传统金融模型的局限性等挑战。详细讨论了稳健估计、协整、投资组合优化和稀疏技术的概念。通过强调金融中通信和信号处理之间的相似之处，演讲者强调了这两个领域之间合作的相关性和潜力。该视频最后阐明了交易策略、金融机器学习以及受大公司影响的市场动态的重要性。

• 00:00:00 香港科技大学电气、电子及计算机工程系教授 Daniel Palomar 讨论了金融工程这一主题，以及人们对金融工程的误解。 Palomar 解释说，信号处理在金融工程中无处不在，随机矩阵理论、粒子滤波器、卡尔曼滤波器、优化算法、机器学习、深度学习、随机优化和机会约束等各种主题都是相关的。他还谈到了有关金融数据的程式化事实，并解释说金融数据具有在不同市场中一致的特殊属性。
  
  
• 00:05:00 该视频解释了金融工程师如何使用收益而不是价格对股票市场进行建模。有两种类型的回报：线性回报和对数回报，但它们几乎相同，因为回报通常很小。可以绘制回报以查看它们是否平稳，金融的程式化事实是它的非平稳性。其他程式化的事实包括重尾，这意味着历史收益直方图的尾部很重，而不是像高斯分布那样细。金融工程师还需要对偏度进行建模，尤其是在低回报率的情况下。最后，该视频解释了波动率聚类的概念及其在金融建模中的重要性。
  
  
• 00:10:00 演讲者讨论了在金融中对股票收益建模的重要性。他们解释说，波动率在建模中起着至关重要的作用，尤其是在对回报信号的标准差或包络进行建模时。演讲者注意到返回信号看起来类似于语音信号，并思考金融建模和语音信号处理之间是否存在足够的重叠以激发协作。建模和高频建模中存在不同的频率机制，特别是由于大量的时间关键数据，需要昂贵的订阅和强大的计算机。本节最后提到了不同的金融建模模型，例如 IID 模型和因子模型，并谈到了在建模中及时理解相关性的重要性。
  
  
• 00:15:00 演讲者讨论了仅关注回报建模而不关注回报协方差或方差的金融模型的局限性。他们解释说，如果只看回报，您可能会丢失其他人可以用来赚钱的信息和结构。然后，演讲者介绍了使用由两个因素组成的残差对回报的方差和协方差进行建模的想法：具有单位方差的归一化随机项和捕获残差协方差的包络项。他们指出，标量残差模型已经很成熟，但对具有 500 x 500 矩阵系数的多元残差建模需要复杂得多的模型。
  
  
• 00:20:00 演讲者解释了在数据不足和参数过多导致过拟合的情况下估计参数的挑战。为了解决这个问题，有必要施加低秩稀疏性来分析 Vega 模型并制定一些约束条件。演讲者介绍了稳健性的概念，我们认为由于重尾和小样本制度，高斯分布不适用于金融工程。基于高斯分布的传统样本估计器会导致估计器性能不佳。为了解决这个问题，我们需要在不假设高斯分布的情况下重新表述一切，重尾可以通过收缩或正则化方法来解决，这些方法已被用于包括金融和通信在内的各个行业。
  
  
• 00:25:00 演讲者讨论稳健估计，这是一种金融工具，可以在数据存在各种异常值的情况下做出更准确的估计。演讲者解释说，椭圆分布可以用来模拟重尾分布，每个样本的权重可以通过迭代的方法计算出来。此外，演讲者还解释了 Tyler 估计器，它对样本进行归一化并估计归一化样本的 PDF，从而去除尾部的形状。该估计器可以与稳健估计器一起使用，以提供更准确的协方差矩阵估计。然后，演讲者解释了如何包括正则化项，以及如何开发算法以更好地理解观察结果，并用图表显示协方差矩阵估计相对于样本数量的误差。
  
  
• 00:30:00 演讲者讨论了 Wolfe 估计、Tyler 估计和协整等金融概念。 Wolfe 估计是一个很大的改进，但仍然做出了高斯分布的假设。泰勒估计是一个不错的选择，但 14 维模型至少需要 40 个样本。协整是金融中的一个特定概念，指的是两只股票的相对定价可能比个别价格更容易预测，允许交易者通过配对交易赚钱。相关性和协整之间的区别在于，相关是关于短期变化的，而协整更多是关于长期行为的。演讲者用各种图表说明了这些概念。
  
  
• 00:35:00 演讲者解释了共同趋势的概念及其与价差交易的关系。共同趋势是两只具有共同成分的股票的随机游走。通过从股票价格之间的价差中减去共同趋势，交易者得到一个零均值的残差，使其成为均值回归的良好指标，该属性可用于价差交易。交易者在价差上设置两个阈值，当它被低估时买入，当它恢复时卖出，从差价中获利。最小二乘法可以用来估计伽玛，但它需要找到协整的两只股票和伽玛的值。演讲者展示了一个真实的点差交易场景的例子。
  
  
• 00:40:00 演讲者解释了当状态发生变化并且协整因伽玛变化而丢失时卡尔曼如何出现，以及它如何适应这些变化。演讲者以两只股票为例，比较了使用最小二乘法、卡尔曼法和滚动最小二乘法对MU和gamma的跟踪，得出卡尔曼法效果最好的结论。卡尔曼跟踪的绿线保持在零附近，而最小二乘法的黑线上下波动，导致资金损失两年。因此，演讲者建议在金融工程中使用卡尔曼进行稳健估计。
  
  
• 00:45:00 演讲者比较了最小二乘和卡尔曼训练模型的性能，并得出结论，卡尔曼方法在金融工程中效果很好，而最小二乘模型在某个点后逐渐变细。他讨论了隐马尔可夫模型在检测市场机制中的使用，这有助于根据市场处于好还是坏状态来改变投资策略。此外，他探讨了投资组合优化的概念，并解释说，投资组合是具有权重的向量，可以告诉投资者在股票上投资多少钱。投资组合收益的预期收益和方差也是用于设计投资组合的关键因素。演讲者比较了波束成形和线性滤波模型，它们使用类似的信号模型来优化投资组合。
  
  
• 00:50:00 演讲者讨论了如何将通信和信号处理技术应用于金融。通信中信噪比的概念类似于金融中的夏普比率，它是投资组合回报率与波动率的比率。投资组合优化，特别是 Markowitz 投资组合，涉及最大化预期收益和最小化方差，作为一个简单的凸问题引入。演讲者还指出，马科维茨投资组合在实践中并不经常使用，因为它对估计误差敏感并且依赖方差作为风险度量。然而，信号处理的稀疏性技术可以应用于指数跟踪，而不是购买数百只股票来跟踪指数，只使用一部分股票。最后，演讲者提出了一种改进跟踪误差的稀疏性技术。
  
  
• 00:55:00 演讲者讨论“钱包交易”和投资组合在交易中的使用。使用 VaR（风险价值）模型，演讲者解释了如何用两只股票和两个成分的投资组合进行投资组合交易，权重为 1 并减去伽玛。演讲者随后介绍了 PI 矩阵和 beta 矩阵，它们给出了可用于统计套利的均值回归价差的子空间。在优化中使用 beta 矩阵有助于在子空间内找到最佳方向，并产生比仅使用神奇 beta 更好的结果。演讲者还推介了他的书《A Signal Processing Perspective on Financial Engineering》，这是对金融领域感兴趣的信号处理人士的切入点。
  
  
• 01:00:00 演讲者讨论了金融工程交易的不同方法，包括使用价格趋势结束和小幅变化进行价差交易。他解释说，有两种投资策略：一种是根据趋势和微小变化赚钱，另一种是在形成价差时忽略趋势，通过噪音赚钱。演讲者还讨论了金融领域的机器学习，并解释说缺乏数据给在金融领域使用深度学习带来了问题，因为深度学习需要大量数据，而这在金融领域往往是有限的。最后，他讨论了协整的概念并解释了估计两个以上股票的矢量维度的不同方法。
  
  
• 01:05:00 讲者讨论了大公司资金多的问题，投资的时候可以带动市场。他们还提到了金融中订单执行的话题，大订单被切成小块并缓慢发送，以避免扰乱市场。金融的这个分支涉及很多优化，并且可以变得非常数学化，有很多关于控制理论主题的论文。演讲者建议在茶歇时间进一步提问，并感谢听众的出席。

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“卡尔曼滤波在金融中的应用”，修胜杰，课程教程 2021

“卡尔曼滤波在金融中的应用”，修胜杰，课程教程 2021

在题为“卡尔曼滤波在金融中的应用”的视频中，探讨了基于状态的模型的概念及其在金融中的应用。演讲者介绍了卡尔曼滤波器作为一种通用技术，用于根据先前观察预测系统状态并使用当前观察校正预测。该视频还介绍了 Common Smoother 和 EM 算法，它们用于分析历史数据和学习基于状态的金融模型的参数。

该视频首先使用汽车沿具有隐藏位置的轴行驶的示例说明基于状态的模型的概念。演示者解释了基于状态的模型如何由将状态映射到观察空间的转换和观察矩阵组成。这些模型可以同时处理多个状态或传感器记录位置。隐藏状态遵循马尔可夫属性，导致一种优雅的概率形式。

演讲者随后深入探讨了卡尔曼滤波算法及其在金融领域的应用。该算法涉及预测和校正步骤，其中不确定性由高斯函数的方差表示。决定预测和观察之间权重的共同增益被强调为一个关键因素。强调了卡尔曼滤波器的简单性和计算效率。

讨论了比较 GPS 和里程表数据在预测汽车位置方面的可靠性的实验，证明了即使在某些数据源不可靠时卡尔曼滤波器的有效性。但是，需要注意的是，卡尔曼滤波器是为线性高斯稳定模型设计的，这限制了它的适用性。

视频还介绍了 Common Smoother，它提供了比 Common Filter 更平滑的性能，并解决了过滤器的下降趋势问题。讨论了金融中训练参数的必要性和时变参数的概念。期望最大化 (EM) 算法是作为一种在隐藏状态未知时学习参数的方法提出的。

演讲者解释了由 E-step 和 M-step 组成的 EM 算法，用于计算潜在状态的后验分布并优化参数估计的目标函数。重点介绍了基于状态的模型在金融中的应用，特别是日内交易量分解。

卡尔曼滤波器的各种变体，例如扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器，被提及作为处理非线性功能和噪声的解决方案。引入粒子滤波器作为无法解析求解的复杂模型的计算方法。

该视频最后讨论了分析解决方案的局限性以及对蒙特卡罗方法等计算方法的需求。演讲者承认这些过程的要求很高，但强调了卡尔曼滤波的迷人之处。

总体而言，该视频深入探讨了基于状态的模型、卡尔曼滤波器及其在金融领域的应用。它涵盖了基本概念、算法步骤和实际考虑因素，同时还提到了高级变体和计算方法。演讲者强调了基于状态的模型在揭示隐藏信息方面的相关性和力量，并强调了该领域的不断进步。

• 00:00:00 视频演示者使用汽车沿轴行驶的简单示例介绍了基于状态的模型的概念，隐藏位置表示为“z 轴”。在时间 t 中表示为“jt”的隐藏状态对观察者来说是未知的，就像在股票市场中市场状态是隐藏的一样。演示者描述了与基于状态的模型相关的两个模型，common filter 和 common smoother，以及如何自动学习基于状态的模型中的参数。最后，视频讨论了基于状态的模型在金融中的应用。引入了状态方程和观测方程，其中状态只依赖于前一个节点，每个观测依赖于相关的隐藏状态。
  
  
• 00:05:00 演讲者解释了基于状态的模型，以及它们如何由将状态映射到观察空间的转换和观察矩阵组成，观察空间可能不同。状态和观察可以是具有多个状态的向量或同时记录位置的传感器，这允许更通用的形式。隐藏状态遵循马尔可夫属性，这导致概率的优雅形式。演讲者阐明了预测、滤波和平滑的概念，以及它们如何组合以在卡尔曼滤波器中创建前向算法。卡尔曼滤波器由预测和修正两部分组成，最早由卡尔曼设计，用于阿波罗计划中跟踪航天器。它现在广泛应用于许多领域，包括金融中的时间序列预测。
  
  
• 00:10:00 介绍卡尔曼滤波算法并讨论其在金融中的应用。该算法涉及基于先前观察预测系统状态，然后使用当前观察校正预测。预测中的不确定性由高斯函数的方差表示，校正是通过将预测和观测高斯分布相乘来完成的。强调了共同增益的重要性，它决定了预测和观察之间的权重。该算法被证明非常简单，仅涉及几行代码。
  
  
• 00:15:00 讲师讨论了一个实验，其中在状态方程中比较了 GPS 和里程表的可靠性。结果表明，卡尔曼滤波器方法成功地预测了汽车的位置，即使 GPS 在旅程的特定部分不可靠也是如此。讲师还讨论了卡尔曼滤波器的优缺点，并指出了它的计算效率以及它在实时应用中广泛使用的事实。然而，它的局限性之一是它是为线性高斯稳定模型设计的。讲师还简要讨论了 Common Smoother 及其在分析历史数据中的用途。
  
  
• 00:20:00 以汽车驶过隧道为例，介绍了金融中常见平滑器的性能。普通平滑器提供了比普通滤波器更平滑的性能，并解决了滤波器的下降趋势问题，提供了更好的近似。在运行公共平滑器之前，必须实现前向公共过滤器功能。本节还介绍了金融参数的概念、训练它们的必要性以及它们如何随时间变化。介绍了学习理论，包括最大似然估计和隐藏状态未知时寻找参数的期望最大化算法。 EM算法包括两个步骤，期望步骤和最大化步骤，计算潜在状态的后验分布和猜测的期望值。
  
  
• 00:25:00 演讲者讨论了 EM 算法以及如何使用它来学习基于状态的金融模型的参数。该算法由两个步骤组成：E 步，其中使用公共滤波器和平滑器计算后验概率，以及 M 步，其中最大化目标函数以找到新的估计参数。参数不断循环和优化，直到它们收敛。演讲者还解释了如何将该模型应用于金融，特别是关于日内交易量分解，其中使用该模型将每日和周期性成分分开。演讲者指出，使用现有包（例如 R 中的标记）实施该模型非常简单。
  
  
• 00:30:00 演讲者讨论了金融中使用的状态模型，它由一个包含每日和周期成分的隐藏状态，以及一个结合每日和周期项以形成交易量的观察模型组成。使用卡尔曼滤波器和平滑器对模型进行分析，并使用 EM 算法有效地学习参数。该模型还可以通过预测未来的日项并保持季节项不变来用于时间序列预测。基于状态的模型对于查找隐藏信息很有用，也可以应用于其他金融应用程序。
  
  
• 00:35:00 演讲者讨论了基于状态的模型的力量以及它们如何揭示观察中隐藏的信息。卡尔曼滤波器是一种多功能且有用的技术，几乎可以应用于任何领域，包括金融。虽然卡尔曼滤波器专为更简单的情况而设计，但其他变体可用于更复杂的模型。扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器是可以处理非线性功能和噪声的变体的两个示例。此外，当模型对于分析解决方案来说过于复杂时，会使用粒子过滤器。虽然卡尔曼滤波器是在 1960 年代开发的，但在非常特殊的情况下，它仍然是基于状态的模型的最佳解决方案，具有线性转换函数和高斯噪声。
  
  
• 00:40:00 演讲者讨论了解析求解积分的局限性，以及对某些任务（如粒子过滤）使用蒙特卡罗方法等繁重计算方法的必要性。他指出，这在过去是不可能的，但现在多亏了当前的技术状况。演讲者还提到，虽然这是一个要求很高的过程，但它是一个引人入胜的话题，指的是卡尔曼滤波。

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Max Margenot 的“Thrifting Alpha：使用集成学习来振兴疲倦的 Alpha 因素”

Max Margenot 的“Thrifting Alpha：使用集成学习来振兴疲倦的 Alpha 因素”

在名为“Thrifting Alpha：使用集成学习来增强 Alpha 因子”的视频中，Quantopian 的数据科学家 Max Margenot 分享了他对利用集成学习来增强 alpha 因子性能的见解。 Margenot 强调了通过组合独立信号构建投资组合的重要性，从而产生改进的和新颖的结果。他介绍了因子建模的概念，解决了评估模型性能的复杂性，并探索了集成学习在有效资产配置方面的创造性利用。

Margenot 首先介绍了“thrifting alpha”的概念，该概念旨在使用集成学习重振疲惫的 alpha 因子。 Alpha 因子代表了独特而有趣的金融回报，将它们与市场回报等风险因素区分开来。目标是通过组合独立信号来创建一个投资组合，以产生新的和改进的结果。他还简要概述了资本资产定价模型，并解释了 Quantopian 如何作为一个免费的定量研究平台。

因子建模是 Margenot 演讲的重点。他强调了投资组合的回报如何由市场回报和其他无法解释的因素组成。通过结合诸如小-大（小市值与大市值公司）和账面价格比的高减低等经典因素，该模型可以评估市场风险并将其分析扩展到其他回报流。因子建模的目标包括使不相关的信号多样化、降低整体投资组合的波动性和增加回报。

演讲者讨论了因子建模在投资组合构建过程中日益流行的问题，并引用了贝莱德的一项调查，该调查表明 87% 的机构投资者将因子纳入了他们的投资策略。 Margenot 概述了投资组合围绕的五种主要因素类型：价值、动量、质量、波动性和增长。他还解释了多头/空头权益的概念，即根据因子值同时持有多头和空头头寸。目标是利用这些风险来创建均衡的投资组合。

Margenot 深入研究了应用该算法的领域，强调了使统计模型与交易执行保持一致的重要性。如果由于做空限制等限制而无法执行交易，则违反了策略的授权。 Margenot 赞成最终以市场中性告终的美元中性策略。他构建了只有最高值和最低值才重要的投资组合，旨在获得最高的预期回报。组合多个因素涉及组合排名的组成，从而在投资组合中提供灵活性。

正如 Margenot 解释的那样，评估模型性能和处理无法解释的回报会带来挑战。他讨论了具有充足流动性的可靠宇宙的重要性，并介绍了 Q 1500 宇宙，旨在过滤掉不需要的元素。 Margenot 没有预测价格，而是强调了解哪些股票优于其他股票并获取相对价值的重要性。他演示了在其框架内使用管道 API 来计算动量，并提供了矢量计算示例。

演讲者着重于创建一个同时考虑长期和短期趋势的动量因子。 Margenot 标准化收益并对长期方面进行惩罚，以解决短期逆转的风险。他利用名为 Alpha Ones 的软件包来评估不同时间尺度的信号，并使用动量因子构建投资组合。 Margenot 强调了确定合理时间尺度的重要性，并讨论了他所使用的因素。他强调了定义宇宙、alpha 因子以及组合 alpha 以构建多头/空头股票投资组合的工作流程。

Margenot 讨论了不同 alpha 因子的组合及其投资组合构建，强调独立信号的组合应该理想地产生更强的整体信号。他提出了用于组合因素和构建投资组合的动态和静态聚合方法。静态聚合涉及不同因子的等权重组合，而动态聚合根据其表现调整因子的权重。标准化因素对于确保每个单独因素的可比性至关重要。

集成学习是 Margenot 讨论的一个关键话题。他解释说，找到一个持续上升趋势的训练算法可能具有挑战性，因为它应该超越简单的 beta。为了克服这个限制，他采用集成学习来聚合多个单独的信号。 Margenot 特别利用 AdaBoost（集成学习中的一种著名技术）来训练基于六个特征的决策树。这些决策树预测资产会上涨还是下跌，最终的预测是由一千棵决策树的多数输出决定的。这种方法允许更准确和可靠的预测。

Margenot 进一步阐述了通过集成学习激活疲劳的 alpha 因子来评估信号 alpha。他对决策树进行了一个多月的训练，并试图预测回报或市场未来会上涨还是下跌。通过聚合分类器的性能，他从决策树的加权和中提取特征重要性，并评估信号 alpha 透镜。然而，Margenot 承认有必要将佣金和滑点纳入评估过程，因为它们会对最终结果产生重大影响。

将佣金和滑点考虑因素纳入算法是 Margenot 强调的一个重要方面。他强调，应考虑现实世界的交易成本，以确保信号的可行性。由于机器学习分类器的训练窗口有限和高周转率，他在回溯测试中展示了潜在的负回报和亏损。 Margenot 建议探索替代的集成学习方法或平台实现，以潜在地提高未来的性能。他还提到了他用于 alpha 因子分析和投资组合分析的工具。

在整个视频中，Margenot 介绍了有助于实施集成学习技术的各种工具和资源。他建议检查 zipline 回测引擎并利用提供访问权限的 Quantiopian 平台。 Margenot 建议使用 Scikit-learn 和 Ensembles 包，它们对机器学习、统计和分类器很有价值。他还提到他在他的 GitHub 上分享讲座、算法和模板解决方案，让数据科学家和交易员可以免费访问他的专业知识。

在演示文稿的最后，Margenot 讨论了使用集成学习改进现有 alpha 因子的过程。他强调，即使 alpha 因素最初没有产生积极的结果，也可以对其进行改进。他强调了管道在定义计算方面的重要性，并解释了基于历史数据的培训组件如何能够提前 20 天预测市场走势。虽然对历史数据进行交叉验证可能具有挑战性，但 Margenot 建议将前向训练和预测下一个数据集作为解决方法。

Margenot 最后讨论了实施集成学习以改进 alpha 因子的实际方面。他建议在更长的时间内训练集成分类器，并在更长的时间内进行预测。他建议采用因子加权方案和其他约束条件在不同策略之间分配资源。 Margenot 提倡在管道中的所有解释器上训练单一模型，将每个因素视为统一模型的一部分。他还通过添加一个负号幽默地提到了一些因素可能会与它们的预期目的相反，并强调这种情况很少发生。

总之，Max Margenot 的视频提供了关于集成学习领域及其在增强 alpha 因子方面的应用的宝贵见解。通过结合独立信号并利用集成学习技术，数据科学家和交易员可以通过先进的机器学习方法优化他们的投资策略。 Margenot 的实用建议、演示和推荐工具为那些寻求利用集成学习在交易策略中做出更准确和有利可图的决策的人提供了指导。

• 00:00:00 在本节中，Quantopian 的数据科学家 Max Margenot 介绍了“漂移 alpha”的概念，旨在使用集成学习重振疲倦的 alpha 因子。他解释说，阿尔法因子指的是金融领域新颖有趣的回报，而风险因子则是大家熟悉的常见回报，比如市场。目标是通过组合独立信号来创建投资组合，以获得新的更好的结果。他还简要介绍了资本资产定价模型以及 Quantopian 如何作为一个免费的定量研究平台运作。
  
  
• 00:05:00 在本节中，演讲者介绍了因子模型的概念，该模型试图了解投资组合的风险。演讲者解释说，投资组合的回报由市场回报和其他新的、无法解释的因素组成。添加到因子模型的经典因子包括小 - 大，它指的是小市值公司与大市值公司，以及高减低账面价格比。通过评估市场风险并添加更多因素，可以扩展模型并查看与其他回报流的风险敞口。最终，使不相关的信号多样化、降低整体投资组合的波动性以及增加回报是因子建模的目标。
  
  
• 00:10:00 在本节中，演讲者讨论了因子建模如何在投资组合构建过程中变得越来越普遍。根据贝莱德的一项调查，87% 的机构投资者正在将因素纳入其投资过程。投资组合围绕的五种主要因素类型是价值、动量、质量、波动性和增长。演讲者还谈到了多头/空头股票，这涉及在某些股票上做多，在其他股票上做空，使用因子值来确定他们在何处做多或做空。最终，目标是利用这些风险来创建投资组合。
  
  
• 00:15:00 在本节中，Max Margenot 讨论了应用该算法的宇宙。该算法应用统计模型并根据模型执行交易。如果交易由于限制而无法进行，例如无法做空，则违反了策略的要求。 Margenot 更喜欢美元中性策略，这种策略通常以市场中性结束，并构建只有最高和最低价值才重要的投资组合，以获得最高的预期回报。组合多个因素涉及组合排名的构成，这涉及很大的回旋余地，这就是为什么他以这种方式专门定义它的原因。
  
  
• 00:20:00 在本节中，演讲者讨论了评估模型性能的挑战，以及无法解释的回报如何比解释的损失或回撤更令人生畏。他谈到了拥有一个具有足够流动性的可靠宇宙的重要性，以及他们如何创建 Q 1500 宇宙来过滤掉不需要的元素。演讲者还解释了计算价格的挑战性，而不是预测价格，他专注于了解哪些股票比其他股票更好。然后，他解释了相对价值的概念，以及获取相对价值比处于上涨或下跌市场更为重要。最后，他定义了一个矢量示例，以及他如何在其框架内使用管道 API 来计算动量。
  
  
• 00:25:00 在视频的这一部分，Max Margenot 讨论了他创建动量因子的方法，该因子同时考虑了长期和短期趋势。他将回报标准化并惩罚长期方面，以解决短期逆转的风险。他使用一个名为 Alpha Ones 的软件包来评估不同时间尺度上的信号，并最终使用动量因子构建一个投资组合。 Margenot 解释了在合理的时间尺度上做出决定的重要性，并讨论了他正在处理的因素。他还强调了定义宇宙、alpha 因子以及组合 alpha 以构建多头/空头股票投资组合的工作流程。
  
  
• 00:30:00 在本节中，Max Margenot 讨论了不同 alpha 因子的组合及其投资组合构建，并指出独立信号的组合理想情况下会导致更强的整体信号。他提出了组合因子和构建投资组合的动态和静态聚合方法，静态聚合是不同因子的等权重组合，而动态聚合涉及根据因子的表现改变因子的权重。此外，他还强调了对因素进行标准化以确保它们在每个单独因素中具有可比性的重要性。
  
  
• 00:35:00 在视频的这一部分中，Max Margenot 谈到了集成学习以及如何使用它以创造性的方式在构建的资产之间进行分配。他解释说，很难想出一种良好的训练算法，这种算法能够以一种不仅仅是 beta 的新颖方式持续上升。为了克服这个限制，他使用集成学习来聚合许多不同的个体信号。他使用集成学习中的老宠儿 AdaBoost，根据他的六个特征来训练决策树，预测事情是会上升还是下降。然后，他从一千个不同的决策树中选出获胜者组合，并取该结果的正弦值，根据多数输出结果投票赞成或反对。
  
  
• 00:40:00 在本节中，Max Margenot 讨论了如何通过使用集成学习来恢复疲劳的 alpha 因子来评估信号 alpha。他训练了一个月的决策树，并试图根据分类器的总体表现来预测回报，或者他在未来一个月内会上涨还是下跌。然后，他从决策树的加权和中提取特征重要性，并评估信号 alpha 透镜。虽然 adaboost 值很可能带来高回报，但他承认有必要将其带入像 des Baux alpha lens 这样的东西，其中包含佣金和滑点。
  
  
• 00:45:00 在视频的这一部分，演示者讨论了将佣金和滑点纳入算法以确保事后信号仍然良好的重要性。然后，由于机器学习分类器的训练窗口有限和高周转率，他在回测器中展示了负回报和亏损。演示者建议使用不同的集成学习方法或平台实现可能会在未来获得更好的性能。最后，他列出了他用于 alpha 因子分析和投资组合分析的工具。
  
  
• 00:50:00 在本节中，Max Margenot 谈到使用 Pi-elle 和 Cool 来计算算法交易背后的意图，以及它如何在平仓时帮助实现该意图。他建议检查 zipline 回测引擎并使用 Quantiopian 平台访问它。他还建议使用 Scikit-learn 和 Ensembles 包，这对机器学习、统计和分类器非常有用。 Max Margenot 是 Quantopian 的讲师，可以在他的 GitHub 上免费访问他的讲座、算法和模板解决方案。
  
  
• 00:55:00 在本节中，量化研究员 Max Margenot 讨论了他使用集成学习改进现有 alpha 因子的过程。他解释说，即使 alpha 因素最初不起作用，仍然可以在此基础上进行构建和改进。他还谈到了管道在定义计算过程中的重要性，以及如何通过根据历史数据训练所需的组件，可以提前 20 天预测涨跌。然而，Margenot 指出，在处理历史数据时交叉验证实施起来具有挑战性，但他的技术是前向训练并预测下一个数据集。
  
  
• 01:00:00 在本节中，Max Margenot 谈到了使用集成学习来改进 alpha 因子。他解释说，每次他训练集成分类器时，分配给每个因素的权重都会根据过去一个月的表现而有所不同。他建议进行更长时间的训练和更长时间的预测。他还建议使用因子加权方案和其他约束条件在不同策略之间进行分配。 Margenot 还谈到针对所有因素在管道中的所有解释器上训练单一模型，而不是将每个因素视为一个单独的模型。他开玩笑说当添加负号时，因素可能会做与它们应该做的相反的事情，并解释说它永远不会发生。
  
  
• 01:05:00 在本节中，演讲者讨论了他们每月进行一次的再平衡过程，因为他们认为这更符合他们的研究过程。他们还承认，嘈杂的数据可能会影响他们的预测，因为他们在给定的训练集上仅获得 1% 的优势。演讲者还考虑了在他们的模型中添加向上或向下特征的想法，但觉得这比付出更多的努力。他们简要讨论了神经网络的使用，承认了它们的强大功能，但也表示他们更喜欢目前使用的更具可解释性的方法。最后，演讲者最后讨论了使用机器学习作为分类或回归工具而不是发现工具的重要性。
  
  
• 01:10:00 在视频的这一部分，演讲者讨论了在处理大量不同事物时使用 adaboost 处理异常值的有用性。演讲者还提到使用集成学习来预测高回报和低回报的事物，而无需将它们分成任何种类的篮子，直到做出预测。他们提到了使用第三种东西进行预测的选择。然而，他们建议从两件事开始，以避免处理太多其他事情。

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麻省理工学院 18.S096 数学主题与金融应用 - 1. 简介、金融术语和概念

1. 简介、财务术语和概念

在这段内容丰富的视频中，观众将通过各种金融术语和概念踏上旅程，为金融领域打下坚实的基础。该课程适合有兴趣在该领域从事职业的本科生和研究生。它旨在介绍现代金融，并为学生提供必要的知识。

讲师首先深入研究金融术语和概念的历史，阐明 Vega、Kappa 和波动率等重要术语。 Vega 被解释为衡量对波动性的敏感性，而 Kappa 衡量价格随时间变化的波动性。讲师强调，在量化方法整合的推动下，金融领域在过去三十年经历了显着的变革。

该视频还探讨了交易行业的演变及其在过去 30 年中经历的变化。它涉及市场上可用的各种交易产品及其交易方式。讲师随后深入探讨了 2008 年金融危机的起因，将其归因于银行业放松管制，这使得投资银行能够向投资者提供复杂的产品。

强调了金融市场的重要性，因为它们在连接贷方和借款人方面发挥着至关重要的作用，同时也为投资者提供了获得更高投资回报的机会。该视频重点介绍了金融市场中的不同参与者，包括银行、交易商、共同基金、保险公司、养老基金和对冲基金。

在整个视频中，详细讨论了各种财务术语和概念。解释了套期保值、做市和自营交易，并介绍了贝塔和阿尔法等术语。 Beta 被描述为两种资产之间的回报差异，而 alpha 代表股票与标准普尔 500 指数之间的回报差异。讲师还谈到了与 alpha 和 beta 相关的投资组合管理。

该视频提供了对不同类型交易及其执行方式的见解。它解释了对冲和做市在保护投资者方面的作用。此外，该视频还介绍了怀特先生，他详细阐述了市场中使用的金融术语和概念。 Delta、gamma 和 theta 在股票交易的背景下进行了讨论，并强调了了解波动风险、资本要求和资产负债表风险的重要性。怀特先生还探讨了用于分析股票的各种方法，包括基本面分析和套利。

视频提到美联储改变政策以减少量化宽松，这引起了投资者的谨慎情绪并导致股市抛售。它强调了使用数学模型为金融工具定价和管理风险的挑战性。讲师强调，由于市场的动态性，需要不断更新交易策略。

对风险和回报的概念进行了彻底检查，视频展示了人类行为有时如何导致财务决策中出现意想不到的结果。举了一个例子，向观众提供了两种不同概率和潜在收益或损失的选项，突出了个人可能具有的不同偏好。

在视频结束时，鼓励观众报名参加未来的课程，并建议与编制财务概念列表相关的可选家庭作业。这部综合视频是金融术语和概念的优秀介绍指南，为那些对金融领域感兴趣的人提供了坚实的起点。

• 00:00:00 本视频介绍了金融概念、术语和公式，并介绍了现代金融。该课程对本科生开放，也欢迎研究生。目标是为想要从事金融职业的学生打下基础。
  
  
• 00:05:00 本讲座讨论金融术语和概念的历史，包括 Vega、Kappa 和波动率。 Vega 衡量账簿或投资组合对波动的敏感度，Kappa 衡量价格随时间变化的波动程度。讲座还指出，金融并不总是一个量化的职业，过去 30 年由于量化方法的引入，该领域发生了变革。
  
  
• 00:10:00 该视频介绍了金融业的背景，包括贸易行业在过去 30 年中发生的变化。它还涵盖了不同形式的交易产品及其交易方式。
  
  
• 00:15:00 2008年的金融危机很大程度上是由于银行业放松管制造成的，这使得投资银行更容易向投资者提供复杂的产品。
  
  
• 00:20:00 金融市场对于弥合贷方和借款人之间的差距以及帮助投资者获得更高的投资回报或收益至关重要。市场上有不同类型的参与者，包括银行、交易商、共同基金、保险公司、养老基金和对冲基金。
  
  
• 00:25:00 本视频讨论了金融术语和概念，包括对冲、做市和自营交易。 Beta 被解释为两种资产之间的回报差异，alpha 是股票与标准普尔 500 指数之间的回报差异，并且投资组合管理是根据 alpha 和 beta 进行讨论的。
  
  
• 00:30:00 该视频解释了不同类型的交易是如何执行的，以及对冲和做市如何帮助保护投资者。
  
  
• 00:35:00 在此视频中，怀特先生解释了市场中使用的不同金融术语和概念。 Delta、gamma 和 theta 都是交易股票时需要了解的重要概念。还讨论了波动风险、资本要求和资产负债表风险。最后，怀特先生解释了用于分析股票的不同方法，包括基本面分析和套利。
  
  
• 00:40:00 美联储的政策变化是指减少他们正在执行的量化宽松政策的计划。随着投资者对未来变得更加谨慎，这导致股市抛售。数学模型用于为金融工具定价和风险管理，这两者都是具有挑战性的任务。此外，由于市场的快速发展，交易策略必须不断更新。
  
  
• 00:45:00 主持人讨论了风险和回报的概念，并展示了人类行为如何导致财务决策出现意想不到的结果。然后，他提出了两种选择——一种赔钱的可能性为 80%，另一种获胜的可能性为 100%——并询问观众他们会选择哪一种。大多数听众选择了期望值较高的选项，但也有少数人选择了选项 b，其获胜机会较低但有可能损失更多钱。
  
  
• 00:50:00 该视频讨论了财务术语和概念，并提供了人们如何从他们的经验中学习的示例。该视频还建议编写财务概念列表的可选作业。
  
  
• 00:55:00 本视频介绍了金融术语和概念，包括衍生品、蒙特卡罗方法和电子交易的概念。 Jake 提供了他从事的两个项目示例，一个涉及估计函数的噪声导数，另一个涉及更好地预测货币价格。
  
  
• 01:00:00 该视频介绍了金融术语和概念，并要求观众报名参加未来的课程。

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2. 线性代数

2. 线性代数

该视频广泛涵盖了线性代数，侧重于矩阵、特征值和特征向量。它解释了特征值和特征向量是在应用线性变换时进行缩放的特殊向量。每个 n × n 矩阵都有至少一个特征向量，使用正交矩阵，可以将矩阵分解为多个方向，从而简化对线性变换的理解。该视频还介绍了奇异值分解 (SVD) 作为理解矩阵的另一种工具，特别是对于更一般的矩阵类。 SVD 允许将矩阵表示为正交矩阵和对角矩阵的乘积，这为低阶矩阵节省了空间。此外，该视频强调了特征向量在测量数据相关性和定义新的正交坐标系而不改变数据本身方面的重要性。

除了上述概念外，该视频还深入探讨了线性代数中的两个重要定理。第一个是 Perron-Frobenius 定理，该定理指出非对称矩阵具有绝对值最大的唯一特征值，以及具有正项的对应特征向量。该定理在各个领域都有实际应用。讨论的第二个定理是奇异值分解 (SVD)，它可以将数据旋转到由正交基表示的新方向。 SVD 适用于范围更广的矩阵，并允许通过消除不必要的列和行来进行简化，特别是在与列数和行数相比秩显着较低的矩阵中。

该视频提供了这些概念的详细解释、示例和证明，强调了它们在不同工程和科学领域的相关性。它鼓励观众了解基本原则并参与其中。

• 00:00:00 在本节中，教授首先复习线性代数，假设观众之前已经学习过这方面的课程。他将讲义剪裁成复习那些参加过最基本的线性代数课程的人。本讲座主要关注矩阵及其意义。教授解释说矩阵是数字的集合，可以用来排列股票价格等数据。矩阵也是一种运算符，它定义了从 n 维向量空间到 m 维向量空间的线性变换。教授还介绍了特征值和特征向量的概念，并讨论了如何将它们应用于数据集以产生重要的属性和数量。
  
  
• 00:05:00 在本节中，YouTube 视频解释了特征值和特征向量的概念及其对线性代数的重要性。它被定义为满足A乘以v等于lambda乘以V的条件的实数和向量，并且v是对应于lambda的特征向量。如果A-lambda I 没有满秩，则(A-lambda I) 的行列式等于0，并且det(A-lambda I) 是方阵的n 次多项式。视频还强调了总是存在至少一个特征值和特征向量，并且从线性变换的角度解释了这个概念的几何意义，其中A将R^3中的向量转换为R^3中的另一个向量3.
  
  
• 00:10:00 在视频的这一部分中，特征值和特征向量的概念作为特殊向量被引入，当应用线性变换时，它们只是按一定量缩放，这称为 lambda。确定每个 n×n 矩阵至少有一个特征向量，并且可以使用标准正交矩阵将矩阵分解为方向，使线性变换易于理解。最后解释一下，可以分解成这些方向的矩阵在线性代数中是最重要的，这些方向由矩阵 U 定义，而 D 定义它将缩放多少。
  
  
• 00:15:00 本节介绍可对角化矩阵的概念。虽然不是所有的矩阵都是可对角化的，但有一类特殊的矩阵总是可对角化的，而且本课程中将要学习的大多数矩阵都属于这一类。如果一个矩阵分解为 n 个方向，则该矩阵被认为是可对角化的，对于具有实特征值且始终可对角化的对称矩阵尤其如此。讨论了定理 2，它为对称矩阵的可对角化性提供了证明。
  
  
• 00:20:00 在本节中，演讲者解释了如何对角化对称矩阵，其中涉及特征值和特征向量。演讲者然后强调了记住定理 1 和 2 对于实对称矩阵的重要性。虽然对称矩阵可以进行对角化，但一般矩阵并不总是可行。因此，演讲者介绍了一种可用于所有矩阵的替代工具，通过缩放等简单操作来提取重要信息。
  
  
• 00:25:00 在本节中，演讲者介绍奇异值分解作为理解矩阵的第二个工具，它类似于对角化，但形式略有不同。该定理指出，对于任何 m×n 矩阵，总是存在两个正交矩阵 U 和 V，以及一个对角矩阵 sigma，这样矩阵可以分解为 U 乘以 sigma 乘以 V 的转置。演讲者解释说，这适用于所有一般的 m 乘 n 矩阵，而特征值分解仅适用于可对角化的 n 乘 n 矩阵。此外，演讲者提到 SVD 给出了一个矢量框架，其中 A 作为缩放算子，并且矢量的空间彼此不同。
  
  
• 00:30:00 在本节中，演讲者讨论了对角化和特征值分解，以及它们在各自框架内的工作方式。他们将其与奇异值分解进行比较，奇异值分解适用于更一般的矩阵类。他们还涉及到依赖于特征值分解的奇异值分解的证明。演讲者强调了这两种分解形式在许多工程和科学领域的重要性和普遍性，并鼓励观众尝试想象和理解理论背后的概念。
  
  
• 00:35:00 在视频的这一部分中，解释了特征值和特征向量的概念。通过假设除前 r 个特征值外的所有特征值均为零，特征值被重写为 sigma_1^2、sigma_2^2、sigma_r^2 和 0。特征向量然后定义为 u_1、u_2 到 u_r，其中 u_i 的计算公式为将 A 乘以 v_i 除以其相应的特征值 sigma_i。这样，矩阵 U 被定义为由 u_1 到 u_n 组成，矩阵 V 被定义为 v_1 到 v_r 和 v_r+1 到 v_n。将这些矩阵相乘得到一个对角矩阵，其中前 r 个对角线元素是 sigma_1 到 sigma_r，其余元素为零。
  
  
• 00:40:00 在本节中，演讲者提供了线性代数教程，并解释了如何通过应用 A 乘以 V/sigma（其中 A 是 A 转置乘以 A）来定义矩阵 U 和 V。然后用 sigma 值填充矩阵的对角线，列由 U 转置与 lambda 值和 V 的点积定义。演讲者还解决了计算中的一个错误，纠正了它并揭示了过程的简单性。
  
  
• 00:45:00 在这一节中，教授教授如何找到矩阵的奇异值分解，这是一个强大的工具。要得到奇异值分解，需要找到矩阵的特征值和特征向量，并合理排列。虽然手工操作可能有点麻烦，但它是一项有用的练习。如果需要，还有更有效的方法可以在计算机上进行计算。教授提供了一个寻找 2x3 矩阵奇异值分解的例子，并展示了获得它的步骤。
  
  
• 00:50:00 在本节中，教授解释了寻找矩阵奇异值分解的过程。他演示了如何找到矩阵的特征向量，并继续展示如何将矩阵分解为 U、sigma 和 V 转置形式。他强调，对应于零特征值的特征向量并不重要，可以删除以节省计算量。教授通过陈述一种不同形式的奇异值分解来结束本节。
  
  
• 00:55:00 本节介绍SVD的简化形式。 A 等于 U 乘以 sigma 乘以 V 转置，其中 U 仍然是 m x m 矩阵，sigma 也是 m x m，V 是 m x n 矩阵。这仅在 m 小于或等于 n 时有效。证明是一样的，最后一步就是去掉不相关的信息。这种形式通过删除不必要的列和行来简化矩阵，使其对于秩比列数和行数低得多的矩阵非常强大。这方面的一个例子是五家公司和一年 365 天的股票价格。简化形式节省了大量空间，并且将是大多数时候看到的形式。特征向量有助于衡量数据的相关性，并在不更改数据本身的情况下定义新的正交坐标系。
  
  
• 01:00:00 在本节中，教授解释了奇异值分解 (SVD) 如何将数据旋转到由您要转换到的正交基代表的不同方向。不同股票之间的相关性由这些点在转换空间中的定向方式表示。此外，教授提到了 Perron-Frobenius 定理，它看起来很理论，但 Steve Ross 发现了一个利用该定理的结果，称为 Steve Ross 恢复定理。该定理指出，对于一个 n x n 对称矩阵，其元素均为正，存在最大特征值 lambda_0。
  
  
• 01:05:00 在本节中，演讲者介绍了一个著名的线性代数定理，该定理具有许多理论应用，包括概率论和组合学。该定理指出，对于非对称矩阵，存在唯一的绝对值最大的特征值，该特征值是实数。此外，还有一个特征向量，其正条目对应于该特征值。该定理已在许多情况下使用，演讲者简要描述了它在矩阵对称时的工作原理。证明涉及多个观察结果，包括如果所有特征值都有正项，则最大的正特征值支配最小的负特征值。
  
  
• 01:10:00 在本节中，演讲者解释了矩阵的正项如何影响矩阵的特征向量。如果向量具有非正项或负项，则翻转项的符号并获得新向量将增加量值，这在具有正项的矩阵中不会发生。具有正项的矩阵的特征向量也应具有正项，即使在更一般的设置中，该定理也成立。演讲者稍后会回顾这个概念，但它会在稍后发挥作用。

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3.概率论

3.概率论

这个关于概率论的综合视频系列涵盖了广泛的主题，提供了对基本概念及其实际应用的深刻理解。教授首先刷新了我们对概率分布和矩生成函数的认识。他区分了离散随机变量和连续随机变量，并定义了概率质量函数和概率分布函数等重要术语。教授还举例说明了这些概念，包括均匀分布。

接下来，教授深入研究了随机变量的概率和期望的概念。他解释了如何计算事件的概率并定义了随机变量的期望（均值）。教授还讨论了随机变量的独立性概念，并介绍了正态分布作为连续随机变量的普遍分布。

在探索股票价格和金融产品的建模时，教授指出，仅使用正态分布可能无法准确捕捉价格变化的幅度。相反，他建议将百分比变化建模为正态分布变量。此外，教授讨论了对数正态分布及其概率密度函数，强调其参数 mu 和 sigma 源自正态分布。

该视频系列继续介绍指数族中的其他分布，例如泊松分布和指数分布。这些分布具有使它们在实际应用中有用的统计特性。教授解释了如何对这些分布进行参数化，并强调了对数正态分布与指数族之间的关系。

接下来，教授探讨了随机变量的统计方面和长期行为。他解释了由随机变量的第 k 个矩表示的矩的概念，并强调使用矩生成函数作为研究所有矩的统一工具。此外，教授通过观察具有相同分布的多个独立随机变量来讨论随机变量的长期行为，从而得出非常类似于曲线的图形。

然后，视频系列重点介绍了两个重要的定理：大数定律和中心极限定理。大数定律指出，随着试验次数的增加，独立同分布的随机变量的平均值在弱意义上收敛于均值。偏离均值的概率随着试验次数的增加而降低。中心极限定理表明独立随机变量的平均值分布接近正态分布，而与初始分布无关。矩生成函数在展示随机变量分布的收敛性方面起着关键作用。

进一步讨论了随机变量的收敛性，强调了矩生成函数如何控制分布。教授介绍了赌场佣金作为产生利润的手段的概念，并讨论了方差对个人能力信念的影响。解释了大数定律的证明，强调了对大量项进行平均如何减少方差。

在赌场的背景下，演讲者解释了如何应用大数法则。值得注意的是，赌徒在个别游戏中可能略有劣势，但在样本量大的情况下，大数定律确保平均结果趋向于预期值。探讨了赌场收取佣金的想法，强调了玩家的优势和对数学原理的信念如何影响结果。

最后，视频系列深入研究了大数的弱法则和强法则，并讨论了中心极限定理。弱定律指出，随着试验次数趋近于无穷大，独立同分布随机变量的平均值收敛于均值。强大数定律提供了更强的收敛形式。中心极限定理解释了平均分布向正态分布收敛，即使初始分布不同。

总的来说，这个视频系列提供了对概率论概念的广泛探索，包括概率分布、矩生成函数、大数定律、中心极限定理及其实际意义。

• 00:00:00 在本节中，教授介绍了概率论主题，概述了概率分布并重点介绍了矩生成函数。他区分了离散随机变量和连续随机变量，并定义了概率质量函数和概率分布函数。教授阐明了样本空间通常被认为是连续随机变量的实数，并提供了概率质量函数和概率分布函数的例子，包括均匀分布。总的来说，本节为那些熟悉概率论基础知识的人提供了复习。
  
  
• 00:05:00 在本节中，教授讨论了随机变量的概率和期望的概念。他解释说，一个事件的概率可以计算为事件中所有点的总和或集合的积分。他还将随机变量的期望或均值定义为随机变量所有可能值乘以该值的总和或积分。然后教授继续解释随机变量的独立性概念，区分相互独立的事件和成对独立的事件。最后，他介绍了正态分布作为连续随机变量的普遍分布。
  
  
• 00:10:00 在概率论视频的这一部分，演讲者讨论了使用正态分布作为股票价格或金融产品建模的一种手段，以及由于没有考虑到价格本身的数量级。相反，演讲者深入探讨了正态分布应该是更好地模拟股票价格的百分比变化的想法。演讲者提到正态分布的价格增量将产生正态分布的价格而不是有任何趋势。
  
  
• 00:15:00 在本节中，教授解释了当价格变化呈对数正态分布时，如何找到 Pn 的概率分布。他将对数正态分布 Y 定义为随机变量，使得 log Y 服从正态分布。使用变量公式的变化，他展示了如何使用正态分布的概率来找到对数正态分布的概率分布函数。教授还解释了为什么以百分比变化作为价格变化的模型从长远来看并不是一个好的选择，因为它可能取负值并最终使价格上升或下降到无穷大。
  
  
• 00:20:00 在本节中，教授讨论了对数正态分布及其定义。 X 的概率密度函数等于 Y 在 log X 处的概率密度函数乘以 log X 的微分，即 1 在 X 上的微分。分布指的是参数 mu 和 sigma，它们来自正态分布.但是倾斜的时候就不再以mu为中心了，取平均值也得不到均值，对sigma来说就不是e了。
  
  
• 00:25:00 在这一节中，教授介绍了除正态分布和对数正态分布之外的其他分布，例如泊松分布和指数分布，它们属于称为指数族的分布族。该系列具有一些良好的统计特性，使它们在实际应用中非常有用。教授解释说，这个族中的所有分布都可以用一个称为“theta”的向量进行参数化，概率密度函数可以写成三个函数的乘积：h(x)、t_i(x) 和 c(theta ).然后教授通过使用公式 1 over x sigma square root 2 pi, e 减去 log x [听不清] 平方来研究对数正态分布如何落入指数族。
  
  
• 00:30:00 在本节中，演讲者讨论了研究随机变量时感兴趣的两个主要方面：统计和长期/大规模行为。统计量由随机变量的第 k 个矩表示，其中第 k 个矩定义为 X 对 k 的期望。演讲者解释说，将所有矩一起研究的统一方法是通过矩生成函数，它包含随机变量的所有统计信息。第二个主题是随机变量的长期或大规模行为，可以通过几个具有完全相同分布的独立随机变量来观察。当数字非常大时，可以绘制一个图表来显示有多少随机变量落在每个点上，这看起来非常接近曲线。
  
  
• 00:35:00 在本节中，演讲者讨论了概率论和随机变量的长期行为或大规模行为。讨论的两个定理是大数定律和中心极限定理。还引入了力矩生成函数，定义为 e 对 t 次 x 的期望，其中 t 是某个参数。该函数给出随机变量的第 k 个矩，适用于所有整数。演讲者指出，矩生成函数的存在很重要，因为它对随机变量进行了分类。
  
  
• 00:40:00 本节讨论如果两个随机变量具有相同的矩生成函数，则它们具有相同分布的定理。然而，需要注意的是，这并不意味着对于所有 k 具有相同 k 阶矩的所有随机变量都具有相同的分布，因为需要存在矩生成函数。提到另一个陈述，它说如果一个随机变量序列存在矩生成函数并且它收敛到另一个随机变量 X 的矩生成函数，那么这个序列的分布越来越接近分布X的。
  
  
• 00:45:00 在本节中，教授讨论了随机变量收敛的概念，并解释了随机变量的分布收敛于一个随机变量的分布。如给定定理所示，矩生成函数是控制分布的强大工具。教授接着介绍大数定律，其中X被定义为n个随机变量的平均值，并解释如果这些变量是独立的，以均值mu和方差sigma平方同分布，那么X小于或等于某个值趋向于该值的概率。
  
  
• 00:50:00 在本节中，演讲者讨论大数定律及其在赌场中的应用。当对大量相同的独立分布进行平均时，它们的值会非常接近均值。在赌场玩二十一点时，赌徒有一个小劣势，获胜的概率为 48%。从赌徒的角度来看，只采用了小样本量，使得方差在短时间内接管。但是，从赌场的角度来看，他们的样本量非常大，只要有对他们有利的优势，他们就会继续赢钱。扑克与赌场游戏不同，因为它是与其他玩家而不是赌场玩的。
  
  
• 00:55:00 本节讨论赌场以抽成作为赚钱手段的想法，玩家支付的费用累积起来为赌场创造利润。假定如果玩家比他们的对手更好，并且这个优势大于赌场收取的费用，则玩家可以利用大数定律获胜。尽管如此，当方差很大时，对一个人能力的信心会降低；然而，对数学有信心可能是坚持到底所需要的一切。然后解释大数定律的证明，并举例说明对大量项进行平均如何减少方差。
  
  
• 01:00:00 在本节中，讨论了大数的弱定律，该定律指出，如果您具有独立同分布 (IID) 随机变量，则随着试验次数的增加，平均值会在弱意义上收敛到均值到无穷远。偏离均值的概率随着试验次数的增加而降低。还简要介绍了强大数法则，它比弱法则具有更强的收敛性。中心极限定理是下一个主题，它探讨了将试验次数替换为随机变量中试验次数的平方根时会发生什么。
  
  
• 01:05:00 在本节中，教授解释了中心极限定理如何回答有关均值为 0 且方差为 sigma 平方的 Yn 分布的问题。他表示，当采取许多独立事件并找到它们的平均值时，从这个意义上说，它们的分布收敛于正态分布。他进一步阐述了关于 Yn 的分布收敛于均值为 0、方差为 sigma 的正态分布的定理。无论初始分布如何，都会收敛到正态分布。
  
  
• 01:10:00 本节目标是证明Y_n的矩生成函数收敛于所有t的法线的矩生成函数，逐点收敛。 normal的矩生成函数是e到t平方sigma square over 2。Y_n的矩生成函数等于e到t Y_n的期望。 e 与 t 的乘积，1 乘以平方根 n，X_i 减去 mu 成为 1 至 n 的乘积，期望 e 与 t 乘以平方根 n。它的 n 次方等于 e 对 t 对平方根 n 的期望，X_i 减去 mu 的 n 次方。使用泰勒展开式，随着 n 趋于无穷大，所有这些项都将比 n 小一个数量级，即 1 over n。
  
  
• 01:15:00 在本节中，演讲者讨论了大数定律和中心极限定理作为估计随机变量均值的方法。通过对随机变量进行多次独立试验并使用它们来估计均值，大数定律指出，如果试验次数足够多，估计值将非常接近实际均值。然后中心极限定理解释了这个估计值的分布是如何围绕均值分布的，正态分布具有非常小的尾部分布。但是，演讲者指出，对于某些分布，最好采用与最大似然估计不同的估计。

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5. 随机过程 I

5. 随机过程 I

在这段关于随机过程的视频中，教授对离散时间和连续时间随机过程进行了全面的介绍和概述。这些概率模型用于分析随时间发生的随机事件。该视频展示了简单随机游走和马尔可夫链过程的示例，以说明它们如何解决与依赖性、长期行为和边界事件相关的问题。此外，还讨论了 Perron-Frobenius 定理，强调了特征向量和特征值在确定系统长期行为中的重要性。该视频最后介绍了作为公平游戏模型的鞅过程的概念。

视频首先介绍了随机过程中的鞅的概念，旨在保持预期值不变。鞅的一个例子是随机游走，它表现出波动，同时始终保持期望值 1。该视频还解释了停止时间，这是预先确定的策略，仅取决于特定点的随机过程值。可选停止定理指出，如果存在鞅和停止时间 tau，则停止时间的期望值将等于鞅的初始值。该定理强调了鞅过程的公平性和均衡性。

在整个视频中，详细介绍了各种主题。介绍了离散时间和连续时间随机过程，通过不同路径上的概率分布来说明它们的表示。简单的随机游走和掷硬币游戏等示例有助于阐明这些过程的属性和行为。讨论了马尔可夫链的重要性，强调了未来状态如何完全取决于当前状态，从而简化了随机过程的分析。探索了平稳分布的概念，展示了 Perron-Frobenius 定理，该定理建立了对应于最大特征值的唯一特征向量的存在，代表系统的长期行为。

该视频最后强调了鞅与公平游戏之间的联系。值得注意的是，一个鞅过程确保期望值保持不变，表示一个平衡的博弈。相反，赌场中的轮盘赌等游戏不是鞅，因为预期值小于 0，导致玩家预期损失。最后，提到一个定理，表明如果赌徒使用鞅建模，无论采用何种策略，余额将始终等于初始余额。此外，X_tau 的期望值（停止时的值）始终为 0，这表明，当用鞅建模时，玩家预计不会获胜。

总的来说，该视频全面概述了随机过程、它们的属性以及它们在随机事件建模和分析中的应用。

• 00:00:00 在本节中，教授介绍了随机过程，这是一组按时间索引的随机变量。她区分了离散时间和连续时间随机过程，并解释说它们可以用不同路径上的一组概率来表示。她给出了三个随机过程的例子，其中一个过程中 f(t) 等于 t 的概率为 1，另一个过程中 f(t) 等于 t 的概率为 1/2，或者 f(t) 等于-t 表示所有 t 的概率为 1/2，其中对于每个 t，f(t) 等于 t 或 -t 的概率为 1/2。
  
  
• 00:05:00 在本节中，演讲者讨论了随机过程的概念以及与之相关的不同类型的研究问题。随机过程用于模拟现实生活中的情况，例如股票价格，并涉及相互依赖的随机变量。研究的三种主要问题类型包括值序列中的依赖性、长期行为和边界事件。演讲者解释了每种类型的问题如何与随机过程及其概率分布相关。
  
  
• 00:10:00 本节介绍随机过程的话题，指的是对随时间发生的随机事件的分析。具体来说，重点是离散时间随机过程，其中最重要的过程之一是简单随机游走。这被定义为随机变量序列 X sub t，它是独立同分布 (IID) 变量 Y_i 的总和，其取值 1 或 -1 的概率为 1/2。随机游走的轨迹可以可视化为一系列运动，向上或向下取决于 Y_i 的值。该模型将为理解课程后面的连续时间随机过程奠定基础。
  
  
• 00:15:00 在本节中，教授讨论了长时间内简单随机游动的行为。根据中心极限定理，X_t 值越接近 0，方差就越小，它应该在 1 左右超过 t，标准差在 1 左右超过 t 的平方根。当在 t 的平方根上观察 X_t 时，值将服从正态分布，均值为 0，方差为 t 的平方根。因此，在非常大的范围内，简单的随机游走不会偏离 t 的平方根和 t 的负平方根曲线太远。即使步行的理论极值是 t 减去 t，您也会接近曲线，主要在该区域内玩耍。教授提到有一个定理说你会无限频繁地击中两条线。
  
  
• 00:20:00 在本节中，将讨论随机游走的属性。第一个性质是X sub k 的期望为0，第二个性质称为独立增量。这意味着如果您查看从时间 1 到 10 发生的事情，它与从 20 到 30 发生的事情无关。第三个属性称为平稳性。它指出 X sub t+h 减去 X sub t 的分布与 X sub h 的分布相同。掷硬币游戏的示例用于说明如果您从 0.00 美元的余额开始使用一枚公平的硬币，假设有 50-50 的机会，您的余额将完全遵循简单的随机游走。
  
  
• 00:25:00 在本节中，教授讨论了随机游走场景中的概率，在该场景中，他掷硬币并在赢了 100 美元或输了 50 美元后停下来。通过在两个停止点画一条线，他解释说先击中上线的概率是 A 加 A 加 B，先击中下线的概率是 B 加 A 加 B。使用这个公式，他计算赢 100 美元的概率是 2/3，输 50 美元的概率是 1/3。然后，教授概述了如何通过将 f of k 定义为在随机游走中从位置 k 开始时首先击中任一条线的概率来证明该公式。
  
  
• 00:30:00 在本节中，演讲者讨论了两个重要的随机过程：简单随机游走和马尔可夫链。简单随机游走是一个过程，其中在每个步骤中，一个人向上或向下的概率为 1/2。该过程的平稳特性允许轻松计算概率。另一方面，马尔可夫链是随机过程的集合，其中过去对未来的影响由当前状态总结。马尔可夫链的重要性在于未来只取决于现在，这使得它成为一个更易于分析的随机过程。
  
  
• 00:35:00 在本节中，演讲者将离散时间随机过程的概念解释为马尔可夫链。简单随机游走的例子用来说明这个过程是一个马尔可夫链，因为它到达下一步的概率只取决于当前值而不是它的先验值。过程的概率可以用数学方式定义，它从 i 到 j 的过渡概率是从 i 到集合中所有其他点的所有概率的总和。对于有限集 S，马尔可夫链很容易通过计算其转移概率来描述。
  
  
• 00:40:00 在本节中，演讲者解释说转移概率矩阵是理解马尔可夫链的重要工具。该矩阵由从一种状态转换到另一种状态的概率组成，拥有预测马尔可夫链中未来转换所需的所有信息。使用此矩阵，可以确定在任意数量的步骤中从一种状态转换到另一种状态的概率。然而，重要的是要注意状态空间必须是有限的才能存在转移概率矩阵。
  
  
• 00:45:00 在本节中，给出了一个系统的马尔可夫链示例，该系统可以建模为状态集，状态为工作或中断。该示例显示了一个矩阵，其中状态之间的转换概率表示为它被修复的概率和它保持损坏的概率。提出的问题是，系统在很长一段时间（比如 10 年）之后的概率分布是什么，并且假设第 3,650 天和第 3,651 天的概率分布应该大致相同。在这种假设下，长时间后观察到的概率分布将是矩阵的特征向量，其特征值为1，其特征向量为[p,q]。
  
  
• 00:50:00 在本节中，演讲者讨论了 Perron-Frobenius 定理，该定理指出对于马尔可夫链中具有正项的转移矩阵，存在满足 Av = v 的向量。该向量称为平稳分布，并且表示系统的长期行为。矩阵的最大特征值保证为1，对应的特征向量将是代表平稳分布的特征向量。该定理是通用的，不仅适用于示例中使用的矩阵，还适用于具有正项的马尔可夫链中的任何转移矩阵。
  
  
• 00:55:00 在本节中，教授讨论了平稳分布及其与特征向量和特征值相关的唯一性。 Perron-Frebenius 定理说只有一个特征向量对应于最大的特征值，结果为 1。矩阵中的其他特征值都小于 1，这意味着它们消散了，但对应于平稳分布的行为仍然存在.在最后一个主题中，教授解释了鞅，这是另一种随机过程的集合，用于模拟公平游戏。如果随机过程是公平游戏，则它被认为是鞅。
  
  
• 01:00:00 在本节中，讲师解释了随机过程如何成为鞅，这是一种公平的游戏。在鞅中，如果您查看时间 t+1 可能发生的情况，期望值必须正好等于时间 t 的值，因此过程以该点为中心。如果这就像您在游戏中的余额，那么您根本不会赢到任何钱。讲师提供了随机游走的例子，这是一个鞅。然而，赌场中的轮盘赌游戏不是鞅，因为预期值小于 0，这意味着玩家注定要输钱。最后，讲师展示了一个有趣的例子来说明随机过程可以通过多种方式成为鞅，通过根据概率分布构成 X_k 等于 2 或 -1 的例子。
  
  
• 01:05:00 在本节中，介绍了鞅的概念，这是设计为使期望值始终等于 1 的随机过程。鞅的一个例子是波动很大的随机游走，但在预期中，始终保持 1 的期望值。还讨论了可选的停止定理，该定理指出，无论您使用何种策略，玩鞅游戏都可以确保您既不会赢也不会输。还解释了停止时间的定义，它是一个非负整数值的随机变量，它只依赖于随机过程直到某个时间。
  
  
• 01:10:00 在本节中，教授解释了停止时间的概念，这是一组预定义的策略，仅依赖于随机过程的值达到某个点，使其成为停止时间。他举了一个抛硬币游戏的例子，并展示了余额变为 100 美元或负 50 美元的时间如何成为停止时间，而第一个峰值的时间不是，因为它取决于未来的价值。可选停止定理指出，如果存在一个鞅和一个始终小于或等于常数 T 的停止时间 tau，则停止时间处的值将具有等于鞅初始值的期望值。
  
  
• 01:15:00 在本节中，视频讨论了一个定理，该定理表明，如果赌徒使用鞅建模，则无论使用哪种策略，赌徒都不会赢，因为开始时的余额始终等于最后时的余额赌徒停止。虽然讲师没有证明这个定理，但他们提供了一个有趣的推论，表明 X_tau 的期望等于 0。这意味着无论使用哪种情况，无论是停止在 $100、-50 还是无界，结果将始终返回 0。讲师强调该定理的内容很有趣，因为它暗示如果可以使用 mar 建模，玩家就不会获胜。