[Архив!] Чистая математика, физика, химия и т.п.: задачки для тренировки мозгов, никак не связанные с торговлей - страница 81
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
А если зайти с другой стороны
Выбираем в квадрате точку
рисуем две прямые пересекающиеся в этой точке соблюдая правило 2/3
Вопрос - можно ли провести третью прямую через эту точку соблюдая 2/3
навскидку - нет
Гы
можно и бесконечно много
Ну да девятая всегда будет в этой точке
Как красиво доказать хз
Проведи две средние линии в квадрате (линии, соединяющие середины противоположных сторон квадрата). Вспомни, как вычисляется площадь трапеции через длину средней линии.
Проведи две средние линии в квадрате (линии, соединяющие середины противоположных сторон квадрата). Вспомни, как вычисляется площадь трапеции через длину средней линии.
Да я понял что через площадь, просто леньКстати, ограничение на деление именно на две трапеции не обязательно. Оно просто немного усложняет рассуждения, но ответ остается прежним. Но пока решаем задачу именно для трапеций.
P.S. Площадь трапеции S = 1/2 * h * m, где h высота, m - длина средней линии. Для треугольника она такая же, т.к. треугольник - частный случай трапеции.
Есть квадрат. Мы пересекаем его 9 прямыми, каждая из которых делит его по площади в соотношении 3:2. Доказать, что хотя бы три из них пересекаются в одной точке.
Такое впечатление, что проще опровергнуть. Определим алгоритм построения так: проведём вертикальную прямую, делящую площадь в соотношении 3:2, пусть её "нижняя" и "верхняя" координаты будут х0 = 0.4*а, здесь а - сторона квадрата. Теперь через точку х0-dx на основании проведём ещё одну "разрешённую" прямую, легко понять что вверху она попадёт в точку х0+dx и пересечётся с первой ровно на полувысоте. Очевидно что таких прямых может быть бесконечное количество и все они будут пересекаться в одной точке, конкретно (0.4*а, 0.5*а). Но поскольку мы занимаемся опровержением, мы можем взять из этого множества только две прямых. Симметричным образом мы можем получить ещё три таких множества, то есть ещё 6 прямых и ещё 3 точки пересечения: (0.6*а, 0.5*а), (0.6*а, 0.5*а), (0.5*а, 0.4*а), (0.5*а, 0.6*а).
И вот мы подошли к кульминации, у нас есть 8 прямых попарно пересекающихся в четырёх точках. И нам нужно провести хотя бы ещё одну одну "разрешённую", но ни в одну из этих точек не попадающую. Для этого мы вспомним, что вариант разбиения "трапеция-трапеция" не единственный, есть ещё 4 варианта "треугольник-пятиугольник". Поступим так: проведём диагональ квадрата и начнём параллельно от неё отъезжать, пока отношение площадей не станет равно искомому. Площадь меньшего треугольника (равнобедренного и прямоугольного) будет (к*а)*(к*а)/2 = 0.4*а*а . Находим к и откровенно потирая руки видим, что он равен корню квадратному из 0.8. Причина нашей радости понятна, уравнение прямой, проходящей через точки (к*а, 0) и (0, к*а) выглядит как y = sqrt(0.8)*а - x и благодаря этому замечательному корню эта девятая прямая никак не может пройти через ранее найденные 4 особых точки
P.S. Ээ, так нечестно, что значит только для трапеций :). Во всяком случае теперь видно, что это ограничение обязательно. А для двух трапеций - да, есть только четыре множества, для каждого из них любая прямая проходит через его "центральную" точку и, следовательно, любая девятая прямая попадёт в пересечение как минимум двух проведенных ранее.
Что-то ты напутал, k = 2/sqrt(5) - и вообще меньше 1, кстати :)
А случай треугольника с пятиугольником ну никак не отличается от двух трапеций.
Задачу ты решил, просто напортачил немного с рихметикой.
P.S. Я тоже ошибся: случай с треугольником и пятиугольником другой. Там, похоже, тоже 4 точки получаются, только другие. Типа (1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1 - 1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)), (1- 1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)). Или нет?
P.P.S. Да, с этим случаем пролет получился. Ну и ладно.
Что-то ты напутал, k = 2/sqrt(5) - и вообще меньше 1, кстати :)
А случай треугольника с пятиугольником ну никак не отличается от двух трапеций.
Задачу ты решил, просто напортачил немного с рихметикой.
блин, не из восьми, а из 0.8. Не с арифметикой, а с грамматикой :)
P.S. А как у тебя твоё безобразие вышло? k = 2/sqrt(5) :)
P.P.S Таки поправлю решение, чтобы народу нервы не трепать понапрасну, его же раньше читать будут
Так же, как у тебя корень из 0.8. Это ж то же самое.
Так же, как у тебя корень из 0.8. Это ж то же самое.
:)
P.S. Так, надо из этой темы сваливать пока не поздно.
P.S. Я тоже ошибся: случай с треугольником и пятиугольником другой. Там, похоже, тоже 4 точки получаются, только другие. Или нет?
Нет, там этот фокус вроде не проходит, несимметричные треугольники получатся для приращений