[Архив!] Чистая математика, физика, химия и т.п.: задачки для тренировки мозгов, никак не связанные с торговлей - страница 100

 

Пусть народ отвлечется и решит новую. В принципе ее мог бы решить шестиклассник старой школы. А старую дорешаем в общем виде потом.

 

ИМХО, это и вправду попроще.

b/c - это тангенс угла, который просто построить: по оси Ох откладываем с, потом по перпендикуляру b.

Теперь от той же точки (от вершины угла) по оси Ох откладываем а. Восстановленный перпендикуляр внутри построенного угла как раз и даст отрезок a*tg(альфа)=ab/c

 

Ну да, можно и без тангенса, простыми пропорциями.

Следующая (для тех, кто не очень любит геометрию, но снова для 9-го класса): Докажите, что существуют 2000 различных натуральных чисел n_1, n_2, ..., n_2000 таких, что 1/n_1 +1/n_2 +...+1/n_2000 =1.

Я и сам пока не знаю решения. Затравка: для трех чисел - это 2, 3, 6. Для четырех - эээ... 2, 4, 6, 12. Дальше лень.

 

Ага. ab/c = x; Перенесём b вправо.

a/c = x/b

 
MetaDriver >>:

Ага. ab/c = x; Перенесём b вправо.

a/c = x/b

Гхм. Невнимателен, однако. На картинке b и x переставлены местами. Перерисовывать влом. Прошу зачесть. ;)

 

Принцип ясен, зачод.

 

Mathemat писал(а) >>

Следующая (для тех, кто не очень любит геометрию, но снова для 9-го класса): Докажите, что существуют 2000 различных натуральных чисел n_1, n_2, ..., n_2000 таких, что 1/n_1 +1/n_2 +...+1/n_2000 =1.

Я и сам пока не знаю решения. Затравка: для трех чисел - это 2, 3, 6. Для четырех - эээ... 2, 4, 6, 12. Дальше лень.

Прямой пример существования:

1 = summ(2^n, (где n = 1 .. 1998)) + 3*2^1998 + 3*2^1999

Доказано.


PS. Похоже геометрию я люблю больше - прямо голову теряю иногда. :-)

 
Mathemat писал(а) >>

Следующая (для тех, кто не очень любит геометрию, но снова для 9-го класса): Докажите, что существуют 2000 различных натуральных чисел n_1, n_2, ..., n_2000 таких, что 1/n_1 +1/n_2 +...+1/n_2000 =1.

По-моему ты нам зубы заговариваешь простыми задачками, чтобы, когда расслабимся, как дать ... :-)

Любой ряд степеней двойки { 2, 4, 8, ..., 2^(N-1), 2^N } при суммировании обратных значений дает число отличное от 1 на 1/2^N . Остается это число разбить на два так, чтобы в знаменателе были разные числа. Разбить можно как угодно, например в соотношении 2:1.

 

Yurixx писал(а) >>

Разбить можно как угодно, например в соотношении 2:1.

Не уверен что по другому возможно. Тогда только рациональные-нецелые вроде получаются

 

Зачод обоим, ОК. Решение неединственно, по-видимому.

Следующая - игровая (шуточная, но я просто потрясен до глубины души):

Остап Бендер провел сеанс одновременной игры в шахматы с гроссмейстерами Гарри Каспаровым и Анатолием Карповым. С одним из соперников он играл белыми фигурами, а с другим - чёрными. Несмотря на то, что Бендер играл в шахматы всего третий раз в жизни, и предыдущий его опыт в Васюках был весьма плачевным, ему удалось взять в этом сеансе одно очко. (За победу в шахматной партии даётся 1 очко, за ничью пол-очка, за поражение - 0 очков.) Как он смог этого добиться?