Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio - página 158

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Mischek:
Aprovado - aceite como correcto ?

Sim.

Não é realmente difícil. Acertou da primeira vez :)

Não necessariamente. É novinho em folha, apareceu a 6 de Dezembro de 2012. Não há muitas estatísticas sobre o assunto, por isso a pontuação é baixa.

Mas em termos de dificuldade, ainda não parece claramente uma super-simples (embora eu tenha acertado na primeira tentativa).

 
Sei que o peso é sempre 1 no início, mas depois é recalculado após um mês em qualquer tarefa.
 

Em geral, decidi desta forma que, resumidamente, os que têm ponto branco não podem ser menos, porque por muitos polígonos com apenas pontos negros que existam, podemos arbitrariamente tirar-lhes qualquer n-gon e correspondente n+1-gon (o mesmo, mas com ponto branco). Mas podemos tomar qualquer triângulo com ponto branco e ao removê-lo não obteremos qualquer 2-gon, de acordo :) porque tal figura não existe, será apenas um segmento (de facto será um 2-gon, mas não será considerado um polígono, porque é apenas um segmento). Assim, a conclusão é que não importa como se gira, ainda haverá mais deles com um ponto branco.

Certo?

 
Road_king:

Em geral, decidi desta forma que, resumidamente, os que têm ponto branco não podem ser menos, porque por muitos polígonos com apenas pontos negros que existam, podemos arbitrariamente tirar-lhes qualquer n-gon e correspondente n+1-gon (o mesmo, mas com ponto branco). Mas podemos tomar qualquer triângulo com ponto branco e ao removê-lo não obteremos nenhum 2-gon, não concorda :) porque tal figura não existe, será apenas um segmento (de facto será um 2-gon, mas não será considerado um polígono, porque é apenas um segmento). Assim, a conclusão é que, independentemente da forma como se rodar, ainda haverá mais com um ponto branco.

Certo?

Bem, se eu fosse um moderador do brainghams.ru, não tomaria essa decisão. Não é rigoroso.

Pense bem. Afixarei a minha decisão um pouco mais tarde.

 
Mathemat:

Bem, se eu fosse um moderador do brainghams.rue, não tomaria essa decisão. É laxista.

Pense de novo. Afixarei a minha solução um pouco mais tarde.

Pfft. Do que está a falar? É a decisão mais rigorosa que já tomei. Que mais poderia ser? A minha primeira decisão não foi rigorosa, fiz mesmo asneira, e claro que não recebi crédito por não ser rigorosa. Mas depois escrevi-o, e agora ficou tudo claro, pontuei imediatamente (e pontuei o mesmo moderador, que se ofereceu este problema no site, para que a correcção da solução fosse ainda mais razão para não duvidar). No entanto, talvez me tenha compreendido mal. Descrevi-o de uma forma ligeiramente diferente. É aqui que dei uma breve resposta, embora o significado pareça ser o mesmo. E a decisão, pela qual me foi imediatamente dado crédito e considerada bastante clara, leia-a você mesmo, aqui está (na verdade é a mesma decisão):

"Bem, olha para isto. Penso que é rigoroso. Pegue em todo o conjunto de todos os polígonos que podem ser desenhados sem um ponto branco. Tomemos absolutamente qualquer polígono deste tipo (claro, cada um deles deve ter pelo menos 3 pontos), escolhido de uma forma completamente arbitrária. Digamos que será um n-gon. Nesse caso, podemos sempre desenhar um chamado n+1-gon com ponto branco (vamos assumir que corresponde ao nosso n-gon). Assim, podemos concluir que há pelo menos tantos com ponto branco, e não menos. Mas com o ponto branco pode haver polígonos que não correspondem a nenhum polígono sem ele. Este é o caso se tomarmos um triângulo com dois pontos negros. Neste caso não obteremos uma figura sem o ponto branco, obteremos uma linha, um segmento. Assim, do conjunto de todos os polígonos possíveis, os que têm o ponto branco são ainda mais.
P.S.
Felizmente, todos os pontos estão em círculo, pelo que não há 3 pontos na mesma linha e, portanto, quaisquer 3 ou mais pontos aleatórios podem fazer um polígono".

 
Há mais opções com o ponto branco, já que há mais vértices para construir polígonos.
 
Mathemat:

Pense um pouco mais sobre isso. Afixarei a minha solução um pouco mais tarde.

Muito provavelmente as suas palavras significam que tem uma completamente diferente. mas ninguém disse que tinham de ser as mesmas. muitas vezes podem ser completamente diferentes, mas tomadas da mesma maneira. E se a sua solução é fundamentalmente diferente, não significa que a minha não seja. muito provavelmente, simplesmente não compreendeu o objectivo da minha decisão. bem, graças a Deus que eu compreendi :)
 
Heroix:
Com o ponto branco há mais opções, porque há mais vértices para construir polígonos.
A minha primeira resposta foi quase a mesma no sentido :) Apenas mais tempo e, claro, não foi aceite, porque não é muito rigoroso.
 
Mathemat:

Certo.


Então temos os pontos de 2013 no círculo, certo?

Suponha que 2013 é branco, e entre o conjunto de todos os polígonos com vértices nesses pontos há mais com um ponto branco numerado 2013, certo?

 
Road_king:

"Bem, olha aqui. Penso que é rigoroso. Pegue no conjunto completo de todos os polígonos que conseguir desenhar sem um ponto branco. Tomemos absolutamente qualquer polígono deste tipo (claro, cada um deles deve ter pelo menos 3 pontos), escolhido de uma forma completamente arbitrária. Digamos que será um n-gon. Nesse caso, podemos sempre desenhar um chamado n+1-gon com ponto branco (vamos assumir que corresponde ao nosso n-gon). Assim, podemos concluir que existem pelo menos tantos com ponto branco, e não menos. Mas com o ponto branco pode haver polígonos que não correspondem a nenhum polígono sem ele. Este é o caso se tomarmos um triângulo com dois pontos negros. Neste caso, não vamos obter uma figura sem o ponto branco, mas vamos obter uma linha, um segmento. Assim, do conjunto de todos os polígonos possíveis, os que têm o ponto branco são ainda mais.
P.S.
Felizmente, todos os pontos estão em círculo, pelo que não há 3 pontos na mesma linha e, portanto, quaisquer 3 ou mais pontos aleatórios podem fazer um polígono".

Bem, agora é claramente melhor e mais rigoroso. O que me escreveu desde o início não é rigoroso. É diferente:

RESPOSTA: Há mais com o ponto branco.

RATIONALE:

Que o número de polígonos aleatórios com N vértices seja igual a p(N).

O número de todos os polígonos sem ponto branco é obviamente p(2012). Que o conjunto de todos os polígonos sem ponto branco seja {Não branco}.

Para calcular p(2013), temos de incluir neste número pelo menos todos os polígonos diferentes de {Nenhum branco}, acrescentando-lhes dois lados com um ponto branco cada um (ligando o ponto branco com o vértice inicial e final do polígono original incluído em {Nenhum branco}). Podemos não receber todos os polígonos em {2013}, mas isso não importa.

Por outro lado, a adição de ligações de ponto branco a um polígono de {Nenhum branco} é possível em pelo menos 3 formas - se o original tiver três vértices (e não há menos de 3 vértices em {Nenhum branco}). Mais precisamente, se o polígono inicial tiver vértices N, então ao remover sequencialmente um dos seus lados, podemos obter da mesma inicial pelo menos N diferentes (N+1)-ângulos (porque os conjuntos de dois lados com um vértice branco comum serão únicos).

Assim, p(2013) > 3*p(2012), e portanto há mais polígonos de ponto branco.
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