Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio - página 58
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Daí: Todas as escadas têm um fundo e um topo claramente definidos.
80 megabrígãos num rectângulo de 10×8. Em cada fila longitudinal encontraram o mais alto, o mais baixo dos quais era o megamogon com um cão. Depois encontraram o mais baixo em cada fila transversal, e o mais alto entre eles era um megamorg com um chapéu. A questão é, quem é mais alto: o megamoggle com o cão ou o que tem o chapéu?
Havia um semelhante no 4.
X >= Y >= Z --> X >= Z
(5)
Megamogg quer subir para o telhado da sua casa com uma escada. Há muitas escadas no armazém, mas infelizmente, a maioria delas não tem degraus. As escadas que faltam dois degraus em fila não podem ser escaladas por Megamogg. Todas as suas escadas tinham originalmente N degraus. Todas as escadas têm fundo e topo claramente definidos. Quantas variações de escadas poderia Megamogg escalar?
Tex, é mais simples do que isso. A sequência do coelho Fibonacci é desenhada.
F(1) = 2
F(2) = 3
F(N) = F(N-1)+F(N-2)
// Não sei se existe uma fórmula de não-recorrência, ainda não a elaborei.
Tem a certeza?
F(1) = 1
F(2) = 2
F(3) = 4
F(4) = 7
F(5) = 12
F(6) = 19
F(7) = 33 (???)
Claro.
Com um passo, duas opções (ter/não ter passo)
Com duas = três opções (ambas não têm, nenhuma primeira, nenhuma segunda)
etc.
A minha fórmula está correcta.
Ъ
A minha fórmula está correcta.
Fórmula de recorrência e, mas não tão simples como eu. Mas a consequência e a solução em si é de facto os números Fibonacci F(N+2). Resta apenas dar uma prova correcta. MD, onde é que desenterrou a sua fórmula? Só por contar variações para números pequenos?
Tenho a derivação completa da fórmula. Vou esperar por agora.
No 4k, parecia ser semelhante.
X >= Y >= Z --> X >= Z
Fórmula de recorrência e, mas não tão simples como eu. Mas a consequência e a solução em si é de facto os números Fibonacci F(N+2). Resta apenas dar uma prova correcta. MD, onde é que desenterrou a sua fórmula? Só por contar variações para números pequenos?
Tenho a derivação completa da fórmula. Vou esperar por agora.
Que c(n) seja o número de escadas com n degraus que a MM não consegue subir. Considerar as seguintes opções:
1 0
1 0 0
Aqui estão os degraus inferiores de três séries de escadas, 1 - há um degrau, 0 - não há degrau. Obviamente, se n >= 2
c(n) = c(n-1) + c(n-2) + 2^(n-2), é claro que c(0) = 0, c(1) = 0 (1)
O número total de escadas que podem ser escaladas é expresso pela fórmula: 2^n - c(n) =? F(n+2)
Vamos prová-lo. Vamos definir uma função
f(n+2) = 2^n - c(n); calculamos f(2) = 1, f(3) = 2 corresponde aos números Fibonacci correspondentes. (2)
Para n > 1, substituímos c(n) de (2) para (1), e obtemos
2^n - f(n+2) = 2^(n-1) - f(n+1) + 2^(n-2) - f(n) + 2^(n-2), os graus de dois são reduzidos, obtemos:
f(n+2) = f(n+1) + f(n), Dados os valores calculados de f(2) = F(2) = 1, f(3) = F(3) = 2, é óbvio que f(n+2) = F(n+2)
Eu, a propósito, tenho uma solução diferente (sem graus de dois):
Uma escada é chamada correcta se a MM conseguir subi-la. O número de potenciais degraus da escada chama-se a sua ordem.
Para simplificar, vamos introduzir tais notações: o número de escadas de ordem correctas n e com um degrau em falta denota-se q(n; falso), e com um degrau presente denota-se q(n; verdadeiro). Denota-se o número de todas as escadas regulares de ordem n como q(n).
Há dois casos:
1. A escada superior tem um degrau inferior. Então o número total de escadas "compostas" de ordem N é q(N-1; verdadeiro) * 2, porque o número de escadas regulares de ordem 1 é 2.
Por outro lado, obviamente q(N-1; verdadeiro) = q(N-2). Portanto, o número total de escolhas correctas para este caso será de 2*q(N-2).
2. A escada superior não tem degrau inferior. O número total de escadas compostas de ordem N é q(N-1; falso) * 1, porque a escada inferior de ordem 1 deve ter um degrau para que a escada composta seja correcta.
Por outro lado, q(N-1; falso) = q(N-2; verdadeiro) = q(N-3). Assim, o número total de escolhas correctas é q(N-3).
Por conseguinte, temos a relação de recorrência:
q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
É linear, e a equação para ela é a seguinte:
z^3 - 2*z - 1 = 0.
É óbvio que se decompõe em multiplicadores:
(z + 1) * (z^2 - z - 1) = 0.
Assim, as raízes são z_1 = ( 1 + sqrt(5) ) / 2 = fi, z_2 = 1 - fi, z_3 = -1.
Uma solução geral da equação é uma combinação linear de
q(n) = C_1*z_1^n + C_2*z_2^n + C_3*z_3^n (***).
A contagem manual para as primeiras escolhas produz os seguintes números de escolhas - números Fibonacci(F_0 = 0, F_1 = 1):
q(1) = 2 = F_3,
q(2) = 3 = F_4,
q(3) = 5 = F_5,
q(4) = 8 = F_6,
q(5) = 13 = F_7, etc.
A regularidade é óbvia. Substituir em (***):
F_3 = C_1*z_1 + C_2*z_2 - C_3 (***).
F_4 = C_1*z_1^2 + C_2*z_2^2 + C_3 (***).
F_5 = C_1*z_1^3 + C_2*z_2^3 - C_3 (***).
Em primeiro lugar, note-se que a partir destas três equações C_i é exclusivamente determinado (o principal determinante do sistema é quase o determinante Vandermonde, que não é igual a zero). Por outro lado, os números Fibonacci são literalmente obtidos se C_1 = 1/sqrt(5) = -C_2 e C_3 = 0.
Daí a resposta: o número de escadas normais de ordem N é F_{N+2}.
Eu, a propósito, tenho uma solução diferente (sem graus de dois):
A mesma relação de recorrência é válida para Fibonacci: q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3).
Portanto, bastou provar a coincidência de três valores consecutivos da série para que a série coincidisse