Trading Quantitatif - page 36
Vous manquez des opportunités de trading :
- Applications de trading gratuites
- Plus de 8 000 signaux à copier
- Actualités économiques pour explorer les marchés financiers
Inscription
Se connecter
Vous acceptez la politique du site Web et les conditions d'utilisation
Si vous n'avez pas de compte, veuillez vous inscrire
Facteurs affectant les valeurs des options (calculs pour les examens CFA® et FRM®)
Facteurs affectant les valeurs des options (calculs pour les examens CFA® et FRM®)
Plongeons-nous dans le sujet des capsules conceptuelles et explorons les facteurs qui influencent les valeurs des options. Ce sujet est pertinent dans les trois niveaux du programme CFA, ainsi que dans le programme FRM. Avant d'approfondir les facteurs, récapitulons les notations des options et les profils de base des gains des options.
Six facteurs influent sur la valeur d'une option, qui correspondent aux concepts couverts par la théorie des options. Reprenons les notations. Le cours actuel de l'action est noté "S". Le prix d'exercice ou prix d'exercice est représenté par « X » ou « K ». L'une ou l'autre des notations peut être utilisée. Le délai d'expiration de l'option est noté « T », ce qui indique combien de temps il reste jusqu'à ce que l'option atteigne l'échéance. "R" représente le taux sans risque à court terme pendant la période d'évaluation. Enfin, "D" représente la valeur actuelle des dividendes ou de tout autre avantage associé à l'action ou à l'actif sous-jacent.
Maintenant, récapitulons brièvement la définition des options et leurs différents profils de gains. Les options diffèrent des contrats à terme ou des contrats à terme car elles confèrent à l'acheteur un droit plutôt qu'une obligation. Les acheteurs d'options peuvent choisir d'exercer ou non leurs droits, en fonction de ce qui leur est le plus profitable. Il existe deux types d'options : les options d'achat et les options de vente. Les options d'achat confèrent le droit d'acheter l'actif sous-jacent, tandis que les options de vente confèrent le droit de vendre l'actif sous-jacent. Il est important de noter que ces perspectives proviennent de la position longue, tandis que la position courte inverse ces actions. Par exemple, un short call représente l'obligation de vendre l'actif sous-jacent.
Les quatre positions de paiement d'options sont l'achat long, l'achat court, l'achat long et l'achat court. Un call long représente le droit d'acheter l'actif sous-jacent, généralement utilisé lorsque l'on s'attend à ce que le prix de l'actif augmente. A l'inverse, un short call représente l'obligation de vendre l'actif sous-jacent. Pour un put long, le détenteur a le droit de vendre l'actif sous-jacent, généralement utilisé lorsque l'on s'attend à ce que le prix de l'actif diminue. Une vente courte représente l'obligation d'acheter l'actif sous-jacent.
Pour calculer la valeur de ces options, nous pouvons utiliser des formules. La formule pour un long call est le maximum de 0 et la différence entre le cours de l'action (ST) et le prix d'exercice (K). Pour un appel court, la formule est la valeur négative d'un appel long. La formule pour un put long est le maximum de 0 et la différence entre le prix d'exercice (K) et le cours de l'action (ST). Enfin, un put court est la valeur négative d'un put long.
Il est important de faire la distinction entre les options américaines et les options européennes. Les options américaines offrent plus de flexibilité, permettant au détenteur d'exercer l'option à tout moment jusqu'à l'échéance. En revanche, les options européennes sont plus rigides et ne peuvent être exercées qu'à maturité. Cependant, les options européennes peuvent toujours être négociées avant l'échéance, l'exercice n'étant possible que le dernier jour. Dans notre analyse, nous considérons principalement l'impact sur les options européennes, car les options américaines ont tendance à être plus chères en raison de la flexibilité supplémentaire qu'elles offrent.
Passant au sujet principal des facteurs affectant les valeurs des options, examinons le tableau fourni. Le tableau affiche les variables et leur impact sur les valeurs d'appel et de vente. Nous nous concentrerons sur l'analyse de l'impact d'une augmentation de ces facteurs.
Considérons d'abord le cours de l'action (S). Si le prix de l'action augmente, les valeurs d'achat augmenteront également. En effet, la différence entre le cours de l'action et le prix d'exercice s'élargit, ce qui entraîne des valeurs d'options d'achat plus élevées. À l'inverse, une augmentation du cours de l'action diminuera les valeurs de vente, car le signe négatif associé au cours de l'action dans la formule de l'option de vente réduit l'écart entre le prix d'exercice et le cours de l'action.
Ensuite, explorons l'impact d'une augmentation du prix d'exercice (K). Une augmentation du prix d'exercice (K) a une relation inverse avec les valeurs d'appel. Lorsque le prix d'exercice augmente, la différence entre le cours de l'action et le prix d'exercice se réduit, ce qui entraîne une baisse des valeurs des options d'achat. D'autre part, une augmentation du prix d'exercice entraîne une augmentation des valeurs de vente. À mesure que le prix d'exercice augmente, l'écart entre le prix d'exercice et le cours de l'action s'élargit, ce qui entraîne une hausse des valeurs des options de vente.
Passant au délai d'expiration (T), une augmentation de ce facteur a un impact positif sur les valeurs d'achat et de vente. Avec plus de temps jusqu'à l'expiration, il y a une probabilité plus élevée que le cours de l'action sous-jacente évolue en faveur du détenteur de l'option. Ce potentiel accru de mouvement des prix conduit à des valeurs d'options plus élevées.
L'impact du taux sans risque (R) sur les valeurs des options est quelque peu intuitif. Une augmentation du taux sans risque augmentera la valeur actualisée des flux de trésorerie futurs associés à l'option. Cela conduit à des valeurs d'appel plus élevées et à des valeurs de vente plus faibles.
Les dividendes (D) ont également un impact sur la valeur des options. Pour les options d'achat, une augmentation des dividendes réduit la valeur actualisée des flux de trésorerie futurs associés à l'action, ce qui entraîne une baisse de la valeur des options d'achat. À l'inverse, pour les options de vente, une augmentation des dividendes augmente la valeur actualisée des flux de trésorerie futurs associés à l'action, ce qui entraîne une hausse des valeurs des options de vente.
Enfin, la volatilité de l'action sous-jacente (σ) a un impact positif sur les valeurs d'achat et de vente. Une volatilité plus élevée augmente le potentiel de mouvements de prix plus importants, augmentant la probabilité que l'option se termine dans la monnaie. En conséquence, les valeurs des options d'achat et de vente augmentent avec la volatilité accrue des actions.
Il est important de noter que l'impact de ces facteurs sur la valeur des options peut varier en fonction d'autres facteurs et des conditions du marché. Les modèles d'évaluation des options, tels que le modèle Black-Scholes, tiennent compte de ces facteurs et fournissent un cadre plus complet pour l'évaluation des options.
Comprendre les facteurs qui influencent les valeurs des options est crucial pour la tarification des options, la gestion des risques et le développement de stratégies d'investissement impliquant des options.
Un autre facteur important qui affecte les valeurs des options est le prix de l'actif sous-jacent (S). Pour les options d'achat, à mesure que le prix de l'actif sous-jacent augmente, l'option devient plus précieuse car le titulaire de l'option a le droit d'acheter l'actif à un prix d'exercice inférieur, puis de le vendre au prix du marché plus élevé. Ce potentiel de profit conduit à des valeurs d'options d'achat plus élevées. D'autre part, pour les options de vente, à mesure que le prix de l'actif sous-jacent augmente, l'option perd de sa valeur car le détenteur de l'option a le droit de vendre l'actif à un prix d'exercice inférieur alors que le prix du marché est plus élevé. Ce potentiel de perte entraîne une baisse des valeurs des options de vente.
La volatilité implicite (IV) est un autre facteur critique influençant les valeurs des options. La volatilité implicite est l'attente du marché quant à la volatilité future et est dérivée des prix actuels des options. À mesure que la volatilité implicite augmente, les valeurs des options ont tendance à augmenter car il existe une probabilité plus élevée de fluctuations de prix plus importantes de l'actif sous-jacent. Une volatilité accrue augmente la probabilité que l'option se termine dans la monnaie, ce qui entraîne des valeurs d'option plus élevées. À l'inverse, lorsque la volatilité implicite diminue, les valeurs des options ont tendance à baisser.
La dynamique de l'offre et de la demande du marché peut également avoir un impact sur les valeurs des options. S'il y a une forte demande d'options, leurs prix peuvent augmenter en raison de la pression d'achat accrue. À l'inverse, si la demande d'options est faible, leurs prix peuvent baisser. Les conditions du marché, le sentiment des investisseurs et les tendances générales du marché peuvent influencer la dynamique de l'offre et de la demande, affectant la valeur des options.
Il convient de noter que les facteurs discutés ici sont couramment utilisés dans les modèles d'évaluation des options, tels que le modèle Black-Scholes, qui fournit un cadre théorique pour l'évaluation des options. Cependant, les prix réels des options peuvent s'écarter des prévisions du modèle en raison des inefficacités du marché, des coûts de transaction, de la liquidité et d'autres facteurs.
Comprendre les facteurs qui influencent les valeurs des options est crucial pour les traders et les investisseurs en options. En tenant compte de ces facteurs et en analysant les conditions du marché, les individus peuvent prendre des décisions plus éclairées concernant les stratégies de négociation d'options, la gestion des risques et la construction de portefeuille.
Indices du marché de la sécurité (calculs pour les examens CFA®)
Indices du marché de la sécurité (calculs pour les examens CFA®)
Bonjour et bienvenue! Aujourd'hui, nous allons approfondir le concept d'indices d'actions et explorer les différentes méthodes de pondération, en nous concentrant spécifiquement sur les indices d'actions. Les indices boursiers sont largement reconnus et souvent vus dans les nouvelles, mais il est important de noter que les indices ne sont pas exclusifs aux marchés boursiers. Il existe des indices disponibles pour les titres à revenu fixe, les fonds spéculatifs, les devises et de nombreux autres marchés.
Un indice est essentiellement une représentation d'un marché particulier. Il sert d'outil aux investisseurs pour suivre la performance et le risque du marché. De plus, les fonds négociés en bourse (ETF) utilisent souvent ces indices comme références. Il existe deux versions principales d'un indice : l'indice de rendement des prix et l'indice de rendement total.
L'indice de rendement des prix ne suit que les prix des titres qui le composent. Il calcule la différence entre la valeur finale et la valeur initiale de l'indice, divisée par le niveau de prix d'origine de l'indice. Essentiellement, l'indice de rendement des prix est similaire au concept de rendement de la période de détention.
D'autre part, l'indice de rendement total suit non seulement les variations de prix, mais tient également compte de tout revenu ou distribution associé aux titres qui le composent. Cela comprend les dividendes ou le réinvestissement des intérêts. Pour calculer l'indice de rendement total, la différence de prix est combinée avec le rendement du revenu. On peut utiliser la formule mentionnée précédemment ou utiliser la fonction de changement de pourcentage disponible sur des calculatrices telles que la BA II Plus ou la HP 12C.
Passant aux différents types d'indices boursiers, commençons par le plus simple : l'indice pondéré en fonction des prix. Dans cette méthode, le prix de chaque titre constitutif est additionné et la moyenne est calculée. L'hypothèse est qu'une unité de chaque titre est achetée. Ce type d'indice est couramment utilisé dans des exemples tels que le Dow Jones Industrial Average et le Nikkei. Bien qu'il soit simple à calculer, il y a des inconvénients. Chaque fois qu'il y a fractionnement ou consolidation d'actions, le niveau de l'indice doit être ajusté pour s'assurer qu'il ne soit pas affecté par les variations de prix.
Un autre type est l'indice équipondéré, également connu sous le nom d'indice non pondéré. Dans cette méthode, des sommes d'argent égales sont investies dans chaque titre, quel que soit le nombre d'unités. Cela conduit à des fractions d'actions dans de nombreux cas. L'indice équipondéré est calculé en prenant le rendement moyen arithmétique des actions de l'indice. Des exemples d'indices équipondérés comprennent le Value Line Composite Average et le Financial Times Ordinary Shares Index.
Le troisième type dont nous discuterons est l'indice pondéré en fonction de la capitalisation boursière, également connu sous le nom de méthode pondérée en fonction de la valeur. Le poids de chaque titre constitutif est déterminé par sa capitalisation boursière. La capitalisation boursière est calculée en multipliant le prix de l'action par le nombre total d'actions en circulation. La pondération attribuée à chaque titre est calculée en divisant sa capitalisation boursière par la capitalisation boursière totale de tous les titres. Cette méthode reflète la valeur globale de l'indice. Un exemple d'indice pondéré par la capitalisation boursière est le S&P 500.
Pour illustrer ces concepts, considérons des exemples numériques pour chaque type d'index. Nous calculerons les niveaux et les rendements de l'indice en fonction des prix, du nombre d'actions et des capitalisations boursières donnés.
En conclusion, les indices boursiers sont des outils essentiels pour les investisseurs pour suivre la performance et le risque de divers marchés. Comprendre les différentes méthodes de pondération, telles que les indices pondérés par les prix, équipondérés et pondérés par la capitalisation boursière, permet aux investisseurs de prendre des décisions éclairées en fonction de leurs préférences et objectifs d'investissement.
Modèle d'actualisation des dividendes (calculs pour les examens CFA®)
Modèle d'actualisation des dividendes (calculs pour les examens CFA®)
Bonjour et bienvenue chez Concept Capsules ! Le sujet de discussion d'aujourd'hui est le modèle d'actualisation des dividendes (DDM). Cette discussion se concentrera principalement sur les bases du DDM du point de vue du niveau 1 du CFA, mais elle peut également servir d'introduction au chapitre DDM du niveau 2 du CFA.
Le modèle d'actualisation des dividendes est une méthode d'évaluation utilisée pour évaluer la valeur d'une action. Dans cette méthode, nous prévoyons les dividendes futurs et la valeur de sortie, puis nous actualisons ces flux de trésorerie au moment présent, qui correspond à la période zéro. Le DDM peut être utilisé pour évaluer à la fois les actions privilégiées et les actions ordinaires, les actions ordinaires étant la version la plus risquée.
Lors de l'évaluation des actions privilégiées à l'aide de DDM, nous les traitons comme une perpétuité. Les actions privilégiées versent un montant de dividende fixe indéfiniment, semblable à une perpétuité. La formule d'évaluation des actions privilégiées est dérivée de la formule de perpétuité, où le dividende (flux de trésorerie) est divisé par le coût des actions privilégiées (taux d'actualisation). Il est important de noter que le taux d'actualisation des actions privilégiées doit être inférieur à celui utilisé pour les actions ordinaires. S'il existe des catégories spéciales d'actions privilégiées, telles que les actions privilégiées avec participation ou les actions privilégiées convertibles, les taux de dividende et d'actualisation doivent être ajustés en conséquence.
Prenons un exemple simple pour calculer la valeur d'une action privilégiée. Supposons que le taux d'actualisation (k) soit de 10 % et que le dividende (c) soit de 5. En appliquant la formule de perpétuité, nous obtenons la valeur de l'action privilégiée à 50.
Passant à l'évaluation des actions ordinaires, cela devient plus difficile parce que la taille et le calendrier des flux de trésorerie futurs sont incertains. De plus, nous devons estimer le taux de rendement requis, pour lequel des modèles tels que le modèle d'évaluation des actifs financiers (CAPM) sont couramment utilisés. Nous allons commencer avec un modèle de période de détention d'un an, puis l'étendre à plusieurs années.
Dans le modèle de période de détention d'un an, nous supposons que l'investisseur vendra l'action à la fin de la première année. Nous devons connaître le dividende reçu au cours de cette année et estimer la valeur de sortie en fin d'année. À l'aide de la formule CAPM, nous calculons le taux de rendement requis. Les flux de trésorerie sont actualisés à la période zéro pour déterminer la valeur du stock.
Ce modèle peut être facilement étendu à plusieurs années en incorporant les dividendes respectifs et les valeurs de sortie pour chaque année. Nous n'avons pas besoin de mémoriser de nouvelles formules ; nous ajustons simplement la période de temps. Par exemple, une période de détention de deux ans impliquerait l'actualisation des flux de trésorerie pendant deux ans.
Appliquons ce concept à une question avec une période de détention de trois ans. Les dividendes annuels pour les trois prochaines années devraient être de 1 euro, 1,5 euro et 2 euros. Le cours de l'action au bout de trois ans est estimé à 20 euros. Avec un taux de rendement requis de 10 %, nous pouvons calculer la valeur de l'action en actualisant les flux de trésorerie à la période zéro. La valeur résultante est de 18,67 euros.
Enfin, nous considérons le scénario de périodes de détention infinies, en supposant une croissance constante des dividendes à un taux de "g" pour toujours. Dans ce cas, la formule se simplifie en D0 * (1 + g) / (ke - g), où D0 est le dividende à la période zéro, ke est le coût des capitaux propres et g est le taux de croissance constant. Il est crucial de prêter attention aux indices et de faire correspondre correctement les périodes de temps pour l'estimation et la valorisation des dividendes.
Si le taux de croissance devient constant après un certain nombre d'années, nous pouvons utiliser le modèle de croissance de Gordon (GGM) à partir de ce moment. Cependant, il est important de se rappeler que la valeur de l'action est déterminée à un moment précédant l'année pour laquelle le dividende est pris au numérateur. Cela signifie que nous devrions utiliser le.
Pour illustrer l'application du modèle de croissance de Gordon (GGM), prenons un exemple. Supposons qu'une entreprise s'attend à verser un dividende de 2 $ par action l'année prochaine. Le dividende devrait croître à un taux constant de 5 % par an indéfiniment. Le taux de rendement requis (ke) est de 10 %.
En utilisant la formule GGM, nous pouvons calculer la valeur du stock :
Valeur = D1 / (ke - g)
où D1 est le dividende attendu à la période 1, ke est le taux de rendement requis et g est le taux de croissance constant.
En substituant les valeurs dans la formule, nous avons :
Valeur = 2 $ / (0,10 - 0,05) = 40 $
Ainsi, selon le GGM, la valeur du stock est de 40 $.
Il est important de noter que le modèle de croissance de Gordon suppose un taux de croissance constant, ce qui peut ne pas être vrai dans tous les cas. Il convient particulièrement aux sociétés matures dont les taux de croissance des dividendes sont stables et prévisibles.
Le modèle d'actualisation des dividendes (DDM) est un outil utile pour évaluer les actions, mais il a ses limites. Il repose sur plusieurs hypothèses, telles que des taux de croissance constants des dividendes et l'exactitude des estimations des flux de trésorerie futurs. Les conditions du marché et d'autres facteurs peuvent également influer sur les cours des actions, ce qui rend difficile la prévision précise des dividendes futurs et des valeurs de sortie.
De plus, le DDM s'applique principalement aux sociétés qui versent des dividendes. Pour les entreprises qui ne versent pas de dividendes ou qui ont des modèles de dividendes incohérents, des méthodes d'évaluation alternatives telles que l'analyse des flux de trésorerie actualisés (DCF) peuvent être plus appropriées.
Dans l'ensemble, le modèle d'actualisation des dividendes fournit un cadre pour estimer la valeur des actions en fonction des dividendes attendus et des flux de trésorerie futurs. C'est un concept essentiel pour les analystes financiers et les investisseurs qui cherchent à déterminer la valeur intrinsèque des actions d'une entreprise.
Modèle de tarification de l'option binomiale (calculs pour les examens CFA® et FRM®)
Modèle de tarification de l'option binomiale (calculs pour les examens CFA® et FRM®)
Plongeons-nous dans le concept de la méthode de tarification des options binomiales. Aujourd'hui, nous allons explorer ce sujet, qui est couvert à la fois dans les programmes du CFA et de la finance. C'est l'une des deux méthodes utilisées pour calculer la valeur d'une option, l'autre étant le modèle Black-Scholes.
La méthode binomiale suppose que le prix sous-jacent de l'option ne peut être que dans deux états dans un intervalle de temps donné. C'est pourquoi il est appelé binomial, car il ne considère que deux états possibles à n'importe quel nœud. Nous commençons avec le cours actuel de l'action, noté S0. A partir de là, nous considérons deux états différents de la nature : l'état supérieur (S_u) et l'état inférieur (S_d). Le cours de l'action dans le nord de l'État est déterminé en multipliant le cours actuel de l'action (S0) par un facteur noté « u », avec une probabilité « p ». Inversement, le cours de l'action dans l'état baissier est déterminé en multipliant le cours actuel de l'action (S0) par un facteur noté "d", avec une probabilité de (1-p).
Lorsque nous atteignons le nœud nord de l'État, nous pouvons soit monter, soit descendre. Les probabilités restent les mêmes dans tout l'arbre, en utilisant les mêmes valeurs p et (1-p). Par exemple, si la probabilité d'un mouvement vers le haut est de 60 % et d'un mouvement vers le bas est de 40 %, ces probabilités resteront constantes tout au long de l'arbre. À partir de chaque nœud, nous pouvons calculer les prix des actions dans l'état suivant, comme le montrent les différentes combinaisons de u et de d.
Dans cette discussion, nous nous concentrerons sur la méthode à une période, ce qui signifie que nous ne considérons qu'une période à venir. Nous nous limiterons à cette partie de l'arbre binomial. Pour mettre en œuvre la méthode binomiale, nous déterminons d'abord les deux cours boursiers différents qui sont possibles. Ensuite, nous calculons le gain de l'option aux deux nœuds, ce qui nous permet d'obtenir une valeur attendue pour cette période. Une fois que nous avons la valeur attendue pour cette période, nous appliquons la formule du flux de trésorerie actualisé (DCF) pour l'actualiser à la période zéro. Il est important de noter que dans ce cas, nous utilisons les probabilités dans la formule DCF, contrairement aux calculs DCF traditionnels où les probabilités ne sont pas impliquées.
Passons maintenant à l'arbre binomial des options d'achat. Après avoir déterminé les facteurs du cours des actions, nous calculons la taille et les probabilités du mouvement à la hausse et du mouvement à la baisse. Ceux-ci seront notés respectivement "u" et "d". Ensuite, nous dessinons l'arbre binomial et calculons le gain de l'option à tous les nœuds. Cela implique de déterminer le maximum de zéro ou la différence entre le prix de l'action (st) et le prix d'exercice (k). Nous multiplions ensuite les gains par leurs probabilités respectives et calculons la valeur attendue de l'option pour toute la période. Enfin, nous actualisons cette valeur attendue jusqu'à la période zéro pour déterminer la valeur actuelle de l'option.
Pour faciliter les calculs, nous utilisons diverses notations et formules. La probabilité sans risque d'un mouvement vers le haut est notée "pi_u", tandis que la probabilité sans risque d'un mouvement vers le bas est notée "pi_d". Ces probabilités sont complémentaires, c'est-à-dire qu'elles totalisent 100 %. Le taux sans risque est représenté par « rf », et « u » et « d » sont respectivement les tailles du mouvement à la hausse et du mouvement à la baisse. De plus, "d" est égal à 1 divisé par "u". Pour calculer les probabilités d'un mouvement à la hausse et d'un mouvement à la baisse, nous utilisons des formules qui impliquent le taux sans risque, « u » et « d ».
Appliquons ces concepts à un exemple précis. Supposons que le prix actuel d'une action soit de 80 $, que la taille du mouvement haussier soit de 1,4, que le taux sans risque soit
Une fois que nous avons le gain attendu, nous devons l'actualiser à la période 0 pour obtenir la valeur actuelle de l'option. Pour ce faire, nous utilisons le taux sans risque qui est donné à 6 %.
La formule d'actualisation du gain attendu est la suivante :
Valeur actuelle de l'option = Gain attendu / (1 + Taux sans risque)
En substituant les valeurs, nous avons :
Valeur d'option actuelle = (32 * 0,504 + 0 * 0,496) / (1 + 0,06)
En simplifiant l'équation, on obtient :
Valeur d'option actuelle = (16,128 + 0) / 1,06
Valeur d'option actuelle ≈ 15,23
Par conséquent, la valeur actuelle de l'option d'achat est d'environ 15,23 $.
Il est important de noter que cet exemple illustre l'évaluation d'une option d'achat à l'aide de la méthode d'évaluation des options binomiales pour une expiration d'un an. Le processus implique de déterminer les facteurs de hausse et de baisse, de calculer les probabilités, de construire l'arbre binomial, d'évaluer les gains d'option à chaque nœud, de calculer le gain attendu et enfin de le ramener à la valeur actuelle.
Gardez à l'esprit que la méthode d'évaluation des options binomiales suppose un modèle simplifié à deux états pour les mouvements de prix de l'actif sous-jacent et peut ne pas capturer toutes les dynamiques du monde réel. De plus, cette méthode est couramment utilisée pour les options de style européen, qui ne peuvent être exercées qu'à l'expiration. Pour les options de style américain, des considérations supplémentaires sont nécessaires pour déterminer la stratégie d'exercice optimale.
J'espère que cette explication vous aidera à comprendre les étapes impliquées dans la méthode d'évaluation des options binomiales et comment évaluer une option d'achat en utilisant cette approche. Dis moi si tu as d'autres questions!
Fondamentaux des probabilités (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 1)
Dans cette série de vidéos, le professeur James Forjan fournit une couverture complète des chapitres inclus dans FRM Part 2 - Book 2 - Quantitative Analysis. La série approfondit divers sujets, notamment les probabilités, les tests d'hypothèses, les régressions et les copules. Le professeur Forjan explore chaque concept en détail, offrant des exemples de questions pertinentes qui visent à améliorer la compréhension et la maîtrise du candidat sur ces sujets. En participant à cette série de vidéos, les candidats peuvent renforcer leur compréhension de l'analyse quantitative et se préparer efficacement à l'examen FRM Part 2.
Fondamentaux des probabilités (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 1)
Le chapitre 1 du livre 2 de la série d'analyses quantitatives se concentre sur les principes fondamentaux de la probabilité et son application dans la gestion des risques financiers. Ce chapitre vise à aider les gestionnaires des risques financiers à identifier, quantifier et gérer efficacement les risques. Il souligne l'importance de considérer les probabilités dans ces tâches.
Le chapitre commence par définir le risque comme l'incertitude et la variabilité des résultats, qui peuvent être mesurées en termes de probabilités. Il met en évidence la nature quantitative du livre 2 par rapport au livre précédent et mentionne l'utilisation de calculatrices financières et régulières tout au long du chapitre.
Les objectifs d'apprentissage de ce chapitre consistent à décrire, distinguer, définir et calculer divers concepts liés à la probabilité. Un de ces concepts est celui des événements mutuellement exclusifs, illustrés par un exemple de choix entre deux plombiers pour un système de gicleurs de terrain de golf. La notion d'événements mutuellement exclusifs est que la sélection d'un événement exclut l'occurrence de l'autre.
Le chapitre traite également des événements indépendants, qui sont évalués en fonction de leurs mérites individuels et n'influencent pas l'acceptation ou le rejet d'autres résultats. Un exemple impliquant la météo et les rendements boursiers est présenté pour démontrer des événements indépendants et leur relation potentielle.
Les probabilités conditionnelles sont introduites comme des probabilités qui dépendent de l'occurrence d'autres événements. Une analogie est faite avec des expériences personnelles, telles que la probabilité d'avoir des jumeaux en fonction de divers facteurs tels que l'emploi, les niveaux de revenu et le mariage. Dans un contexte économique, la relation entre le PIB et les taux d'intérêt est utilisée comme exemple de probabilités conditionnelles.
Le chapitre explique comment les probabilités conditionnelles peuvent être calculées à l'aide du théorème de Bayes, du nom du statisticien anglais Thomas Bayes. Le théorème de Bayes permet de prédire une séquence d'événements conduisant à un résultat connu. Il introduit le concept de probabilités postérieures, qui sont des probabilités révisées basées sur de nouvelles informations.
Le texte fournit des exemples d'utilisation du théorème de Bayes pour déterminer la probabilité d'affiliation à un parti d'un président en fonction sur la base d'une réduction d'impôt récemment promulguée ou la probabilité de certification d'un gestionnaire sur la base de la génération de rendements excédentaires.
Le chapitre se termine par un tableau récapitulatif des formules abordées, incitant les lecteurs à travailler sur des exemples et à mémoriser les concepts. Il souligne l'importance d'obtenir plus d'informations pour améliorer la précision des prévisions et la prise de décision.
Ce chapitre sur les principes fondamentaux de la probabilité dans l'analyse quantitative fournit aux gestionnaires de risques financiers des outils essentiels pour comprendre et gérer les risques. Il combine des principes mathématiques avec des principes de gestion des risques discutés dans le livre précédent, fournissant un cadre complet pour une gestion efficace des risques.
Variables aléatoires (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 2)
Variables aléatoires (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 2)
Dans la partie 1, livre 2 de l'analyse quantitative, il y a un chapitre sur les variables aléatoires. L'auteur se souvient de leur expérience à la fin des années 1980 lorsqu'ils apprenaient Lotus 1-2-3, qui est finalement devenu Excel. Ils rappellent le générateur de nombres aléatoires à l'intérieur de l'assistant de fonction et à quel point il était fascinant de générer des nombres aléatoires. Bien que ces valeurs aient été générées de manière aléatoire, l'étude des variables aléatoires dans la gestion des risques et la recherche financière permet de mieux comprendre les rendements des actions, les rendements des obligations, les rendements des titres dérivés, les valeurs du portefeuille, la valeur à risque et le manque à gagner attendu.
Le but de l'étude de ce chapitre est d'établir une base solide en variables aléatoires, qui pourra ensuite être appliquée à la gestion des risques. Les objectifs d'apprentissage consistent à décrire, expliquer et caractériser divers concepts, tels que les fonctions de masse de probabilité (PMF), les fonctions de distribution cumulative (CDF), les attentes, les moments d'une distribution et la distinction entre les variables aléatoires discrètes et continues. De plus, le chapitre couvre les quantiles, qui impliquent de diviser une distribution en parties égales, et aborde brièvement les transformations linéaires.
Une variable aléatoire est définie comme toute quantité avec des valeurs futures attendues incertaines. Il peut également être décrit comme une variable dont les valeurs possibles sont les résultats d'un phénomène aléatoire. Par exemple, prédire les prix des actions ou la valeur d'un swap sur défaillance de crédit implique de traiter avec des variables aléatoires. Ces résultats se voient attribuer des probabilités, qui dépendent du scénario spécifique. Par exemple, la probabilité d'une hausse ou d'une baisse du cours d'une action d'un dollar est nettement supérieure à celle d'une valeur beaucoup plus élevée comme 999 ou d'une chute à zéro.
Pour analyser efficacement les variables aléatoires, il est crucial d'attribuer des probabilités aux résultats potentiels et de définir les événements comme des résultats spécifiques ou des ensembles de résultats. Les variables aléatoires peuvent être classées comme discrètes ou continues. Les variables aléatoires discrètes ont un ensemble dénombrable de valeurs possibles, comme lancer un dé avec des résultats de 1 à 6. Les variables aléatoires continues, d'autre part, peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné et sont souvent représentées par des courbes lisses, comme le le temps qu'il faut pour courir un marathon.
Les fonctions de probabilité fournissent des informations sur la façon dont la chance totale est répartie entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire. Il existe deux types de fonctions de probabilité : les fonctions de masse de probabilité (PMF) pour les variables aléatoires discrètes et les fonctions de densité de probabilité (PDF) pour les variables aléatoires continues. Les PMF donnent la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur spécifique, tandis que les PDF décrivent la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné. Les deux types de fonctions ont des propriétés qui garantissent que les probabilités sont comprises entre 0 et 1, et que la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
Les fonctions de distribution cumulatives (CDF) fournissent la probabilité qu'une variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur particulière. Pour les variables aléatoires discrètes, le CDF peut être visualisé comme un graphique en escalier, tandis que pour les variables aléatoires continues, il apparaît comme une courbe lisse. En intégrant le PDF de l'infini négatif à une valeur spécifique, le CDF peut être calculé.
Comprendre les variables aléatoires et leurs fonctions associées est essentiel pour la gestion des risques et l'analyse financière. Ces concepts fournissent un cadre pour évaluer la probabilité de différents résultats et prendre des décisions éclairées.
La fonction de masse de probabilité (PMF) et la fonction de densité de probabilité (PDF) nous fournissent des informations importantes sur la distribution des variables aléatoires. Le PMF est utilisé pour les variables aléatoires discrètes, où la fonction donne la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur spécifique. D'autre part, le PDF est utilisé pour les variables aléatoires continues et donne la probabilité que la variable aléatoire tombe dans un certain intervalle.
Prenons l'exemple d'une variable aléatoire de Bernoulli, qui est une simple variable aléatoire discrète qui ne peut prendre que deux valeurs, 0 ou 1. Imaginons que nous ayons une variable aléatoire de Bernoulli représentant le résultat d'un lancer franc au basket. Le PMF pour cette variable montrerait la probabilité de réussir ou de rater le coup. Si la probabilité de réussir le tir est de 0,7, alors le PMF attribuerait une probabilité de 0,7 à la valeur 1 (réussir le tir) et une probabilité de 0,3 à la valeur 0 (rater le tir). La somme de ces probabilités doit toujours être égale à 1.
Pour les variables aléatoires continues, telles que le temps nécessaire pour courir un marathon, nous utilisons le PDF. Le PDF décrit la probabilité que la variable aléatoire tombe dans un intervalle spécifique. Prenant l'exemple du temps de course d'un marathon, le PDF fournirait la probabilité de terminer le marathon dans une plage de temps donnée. Pour visualiser cela, nous pouvons imaginer un graphique où l'axe horizontal représente le temps d'exécution, et l'axe vertical représente la densité de probabilité. L'aire sous la courbe dans un intervalle spécifique représente la probabilité que la variable aléatoire tombe dans cet intervalle.
Le PMF et le PDF sont des outils importants pour comprendre la distribution des variables aléatoires. Ils nous permettent d'attribuer des probabilités à des valeurs ou à des intervalles spécifiques et de fournir des informations sur la probabilité de différents résultats. Ces concepts sont fondamentaux pour la gestion des risques et la recherche financière, car ils nous aident à analyser et à quantifier les incertitudes dans diverses variables financières telles que les rendements boursiers, les rendements obligataires et les valeurs de portefeuille.
Variables aléatoires univariées communes (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 3)
Variables aléatoires univariées communes (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 3)
Le texte provient de la partie 1, livre 2 de l'analyse quantitative et se concentre sur le chapitre sur les variables aléatoires univariées communes. Personnellement, je trouve que ce chapitre rappelle ce que j'ai appris dans mes cours d'économie mathématique et d'économétrie pendant mon programme de doctorat. Explorons les objectifs d'apprentissage et voyons comment ils s'appliquent à nous.
Le premier objectif d'apprentissage est particulièrement important. Cela nous oblige à distinguer les propriétés clés parmi les différentes distributions. Nous analyserons diverses distributions et identifierons leurs similitudes et leurs différences. Vers la fin, nous approfondirons également le concept des distributions de mélange.
Commençons par la distribution uniforme. Dans cette distribution, tous les résultats possibles ont une probabilité égale sur une plage donnée. Le graphique d'une distribution uniforme commence à partir de 0 sur le côté gauche et s'étend jusqu'à X sur le côté droit. La variable aléatoire, notée X, peut prendre n'importe quelle valeur dans cette plage. Notamment, la valeur minimale est appelée alpha et la valeur maximale est appelée bêta. Il est important de noter qu'il n'y a pas de valeurs entre 0 et alpha, ou entre bêta et la limite supérieure de la plage. Un exemple classique de distribution uniforme consiste à lancer un dé équitable à six faces. Chaque résultat, de 1 à 6, a une probabilité égale de 1/6. Ainsi, les valeurs d'alpha à bêta sont également probables. Le texte fournit également la fonction de densité de probabilité, la moyenne et les formules de variance pour la distribution uniforme.
Un autre exemple discuté est le temps qu'un client passe à attendre pour voir un gestionnaire de portefeuille, qui pourrait être uniformément réparti entre 0 et 15 minutes.
En continuant, nous rencontrons la distribution de Bernoulli, qui est plus intrigante. Il s'agit d'attribuer des valeurs à deux possibilités, représentant souvent le succès (1) et l'échec (0). Bien que les exemples donnés se réfèrent au succès ou à l'échec des banques, ces valeurs peuvent avoir des interprétations plus larges. Le graphique de la distribution de Bernoulli varie de 0 à 1, car la probabilité que quelque chose se produise doit être de 100 %. La probabilité de succès, notée P, est de 0,7 dans l'exemple donné, ce qui signifie que sept banques sur dix réussissent et trois sur dix échouent. Le texte présente des formules pour la moyenne et l'écart type de la distribution de Bernoulli.
Divers exemples illustrent l'application de la distribution de Bernoulli, comme le succès ou l'échec en assurance-vie ou une entreprise versant des dividendes ou rien du tout avec une probabilité égale.
Ensuite, nous rencontrons la distribution binomiale, qui trouve son utilité dans l'analyse des titres à revenu fixe et l'évaluation des options. Il implique une séquence de n essais de Bernoulli indépendants et identiques, chacun avec la même probabilité de succès notée P. La formule du nombre de succès dans ces essais est expliquée, en utilisant la notation factorielle. La moyenne et l'écart type de la distribution binomiale sont également fournis. Le texte présente un exemple qui calcule la probabilité qu'au moins neuf banques sur dix survivent à une pénurie de liquidités si la probabilité de survie est de 70 %.
La distribution de Poisson est alors introduite. Il modélise le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps spécifique, en supposant que la synchronisation des événements est aléatoire et indépendante. Le temps moyen entre les événements est connu et la distribution est caractérisée par le paramètre lambda (λ). Le texte fournit la fonction de densité de probabilité et mentionne que la moyenne et la variance de la distribution de Poisson sont égales à λ. Des exemples de distribution de Poisson incluent le nombre de clients arrivant dans une banque, les buts marqués par une équipe de football et le nombre de réclamations reçues par une compagnie d'assurance par semaine ou par mois. Un exemple de problème est présenté, calculant la probabilité qu'une société de gestion de patrimoine reçoive exactement 30 clients par an, étant donné une moyenne de 2 clients par mois.
Le texte revisite la distribution normale, également connue sous le nom de distribution gaussienne. Cette distribution est largement utilisée dans l'analyse statistique et la modélisation en raison de ses nombreuses propriétés souhaitables. Le graphique de la distribution normale est symétrique et en forme de cloche, avec un pic à la valeur moyenne. La moyenne, notée μ, représente le centre de la distribution, tandis que l'écart type, noté σ, contrôle la propagation ou la dispersion des données. Le texte fournit la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative pour la distribution normale.
La distribution normale est souvent appliquée en finance et en économie pour modéliser les rendements boursiers, les taux d'intérêt et d'autres variables économiques. Il est également utilisé dans les tests d'hypothèses et l'estimation des intervalles de confiance. Un exemple de problème est donné, calculant la probabilité d'un rendement boursier dépassant une certaine valeur seuil.
Ensuite, le texte présente la distribution exponentielle, qui modélise le temps entre les événements dans un processus de Poisson. Il est caractérisé par le paramètre λ, qui représente le taux d'occurrence des événements. La distribution exponentielle est largement utilisée dans l'analyse de fiabilité et la théorie des files d'attente. Le texte fournit la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative pour la distribution exponentielle.
Un exemple de problème est présenté, calculant la probabilité qu'un client attende moins d'un certain temps dans une file d'attente bancaire, compte tenu du temps d'attente moyen.
Enfin, le texte introduit la distribution log-normale, qui est dérivée de la distribution normale en prenant l'exponentielle d'une variable aléatoire normalement distribuée. La distribution log-normale est couramment utilisée pour modéliser les cours des actions, les rendements des actifs et d'autres variables qui présentent une asymétrie et une hétéroscédasticité positives. Le texte fournit la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative pour la distribution log-normale.
Un exemple de problème est donné, calculant la probabilité que le prix d'une action dépasse une certaine valeur à un moment futur, compte tenu du prix et de la volatilité actuels.
Ce chapitre sur les variables aléatoires univariées communes couvre diverses distributions importantes utilisées dans l'analyse quantitative. Comprendre ces distributions et leurs propriétés est essentiel pour analyser et modéliser des données en finance, en économie et dans d'autres domaines. En maîtrisant ces concepts, nous pouvons prendre des décisions éclairées et tirer des enseignements significatifs des données.
Variables aléatoires multivariées (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 4)
Variables aléatoires multivariées (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 4)
Dans ce chapitre sur les variables aléatoires multivariées, nous explorons le concept de dépendance entre plusieurs variables aléatoires. En nous appuyant sur le chapitre précédent sur les variables aléatoires, nous nous penchons sur la relation entre les prix des obligations et le rendement à l'échéance, en soulignant l'impact potentiel de facteurs supplémentaires sur les prix des obligations. Nous introduisons la notion de variables aléatoires multivariées, élargissant notre compréhension des fonctions de masse de probabilité et des fonctions de densité de probabilité pour analyser à la fois les variables aléatoires discrètes et continues. Ce chapitre vise à élargir nos connaissances en incorporant des dimensions supplémentaires dans notre analyse, améliorant ainsi notre compréhension de l'analyse de portefeuille. Les principaux sujets abordés dans ce chapitre comprennent les matrices de probabilité, les attentes des fonctions, la covariance, la corrélation, les transformations, l'analyse de portefeuille, la variance, les attentes conditionnelles et les variables aléatoires distribuées de manière identique et indépendante.
Introduction : Le chapitre commence par souligner le concept de variables aléatoires multivariées, qui rendent compte de la dépendance entre deux ou plusieurs variables aléatoires. En nous appuyant sur l'exemple des prix des obligations et du rendement à l'échéance, nous reconnaissons les limites de se fier uniquement à une seule variable pour saisir les complexités de divers risques. Nous reconnaissons la nécessité de prendre en compte des facteurs supplémentaires tels que le commerce, les tarifs, les taxes, les réglementations gouvernementales et les goûts des consommateurs pour acquérir une compréhension plus complète des prix des obligations. En élargissant notre analyse à des variables aléatoires multivariées, nous cherchons à rendre compte de l'interaction entre divers facteurs et de leur impact sur les variables que nous étudions.
Objectifs d'apprentissage : ce chapitre décrit les objectifs d'apprentissage qui correspondent à ceux du chapitre précédent. Ces objectifs comprennent la compréhension des matrices de probabilité, l'exploration des attentes des fonctions, l'examen des relations entre les variables aléatoires, l'étude de la covariance et de la corrélation, l'analyse des transformations, l'intégration de l'analyse de portefeuille, l'exploration de la variance, l'étude des attentes conditionnelles et la conclusion par une discussion sur les variables aléatoires distribuées de manière identique et indépendante. . Ces objectifs s'appuient sur nos connaissances existantes et les étendent au domaine de l'analyse multivariée.
Variables aléatoires multivariées : les variables aléatoires multivariées sont introduites en tant que variables qui capturent la dépendance entre plusieurs variables aléatoires. Contrairement à l'analyse à variable unique, l'analyse multivariée nous permet d'étudier comment ces variables impactent conjointement la variable d'intérêt. Nous considérons des scénarios où plusieurs variables aléatoires influencent simultanément la variable que nous visons à étudier. Le chapitre fournit des exemples illustrant comment l'analyse multivariée améliore notre compréhension des relations complexes.
Distributions de probabilité : ce chapitre revient sur les fonctions de masse de probabilité (PMF) et les fonctions de densité de probabilité (PDF) présentées dans le chapitre précédent. Alors que les variables aléatoires discrètes sont associées aux PMF, les variables aléatoires continues nécessitent des PDF pour représenter avec précision leurs distributions de probabilité. Le concept de probabilité cumulée est également abordé, permettant de déterminer la probabilité qu'une composante soit inférieure ou égale à une valeur donnée. En utilisant ces outils, nous pouvons évaluer la probabilité de divers résultats en fonction de différentes distributions telles que normale, exponentielle et uniforme.
Distribution de variables aléatoires discrètes bivariées : nous explorons les distributions de variables aléatoires discrètes bivariées, représentant les probabilités conjointes entre deux variables aléatoires. La visualisation de cette distribution sous forme de tableau permet de mieux comprendre la relation entre les variables. En analysant les distributions conditionnelles et marginales, nous obtenons un aperçu des probabilités associées à des résultats spécifiques. Cette analyse nous aide à déterminer la dépendance entre les variables et à évaluer leurs impacts individuels et combinés.
Distributions conditionnelles et attentes : les distributions conditionnelles sont introduites comme un moyen d'examiner la relation entre des variables aléatoires lorsque la valeur d'une variable est connue. En conditionnant notre analyse sur une valeur de variable spécifique, nous pouvons évaluer les attentes conditionnelles de l'autre variable. Cette approche nous permet d'estimer le résultat attendu dans des conditions spécifiques, mettant en lumière l'impact de différents facteurs sur la variable d'intérêt. Les attentes conditionnelles peuvent être calculées à l'aide des probabilités marginales et des distributions de probabilité conditionnelle associées.
Mesurer la relation entre les variables aléatoires : Le chapitre conclut en soulignant l'importance de mesurer la relation entre les variables aléatoires. Nous explorons diverses mesures statistiques telles que la covariance et la corrélation, qui nous permettent de quantifier le degré de dépendance entre les variables aléatoires.
La covariance est introduite comme une mesure qui évalue comment les changements d'une variable correspondent aux changements d'une autre variable. Il capture la direction de la relation (positive ou négative) et la mesure dans laquelle les variables évoluent ensemble. Le chapitre fournit des formules pour calculer la covariance pour les variables aléatoires discrètes et continues.
La corrélation, quant à elle, normalise la covariance en la divisant par le produit des écarts-types des variables. Cette normalisation permet de comparer la force de la relation entre les variables sur une échelle de -1 à 1. Une corrélation positive indique une relation directe, une corrélation négative indique une relation inverse et une corrélation proche de zéro suggère une relation faible ou non linéaire.
Transformations de variables aléatoires : ce chapitre explore le concept de transformation de variables aléatoires pour mieux analyser leurs relations et leurs distributions. Les transformations peuvent impliquer des opérations mathématiques simples telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, ou des fonctions plus complexes. En appliquant les transformations appropriées, nous pouvons souvent simplifier l'analyse et mieux comprendre les comportements des variables.
Analyse de portefeuille : ce chapitre présente l'analyse de portefeuille en tant qu'application de l'analyse multivariée en finance. Nous explorons comment la relation entre différentes classes d'actifs, représentées par leurs rendements, peut être analysée à l'aide de techniques multivariées. Le concept de diversification est mis en évidence, soulignant comment la combinaison d'actifs avec des corrélations faibles ou négatives peut réduire le risque du portefeuille. Diverses mesures, telles que la variance et la covariance du portefeuille, sont discutées pour évaluer la performance du portefeuille et optimiser l'allocation d'actifs.
Matrice de variance et de covariance : ce chapitre approfondit le concept de variance et l'étend au cadre multivarié. La matrice de variance-covariance, également connue sous le nom de matrice de covariance, fournit une représentation complète des variances et des covariances entre plusieurs variables aléatoires. Il sert d'outil clé dans l'analyse de portefeuille et la gestion des risques, permettant le calcul du risque du portefeuille et l'identification de l'allocation d'actifs optimale.
Espérance conditionnelle : l'espérance conditionnelle est explorée comme un moyen d'estimer la valeur attendue d'une variable aléatoire dans des conditions spécifiques. Ce concept nous permet d'intégrer des informations ou des contraintes supplémentaires dans notre analyse et d'affiner nos prédictions. Le chapitre traite des attentes conditionnelles pour les variables aléatoires discrètes et continues, en insistant sur leur utilité dans les problèmes de prise de décision et de prédiction.
Variables aléatoires distribuées de manière identique et indépendante : Le chapitre se termine par une discussion sur les variables aléatoires distribuées de manière identique et indépendante (iid). Lorsqu'un ensemble de variables aléatoires suit la même distribution et sont mutuellement indépendantes, elles sont dites iid. Ce concept est important dans diverses analyses et modèles statistiques. Le chapitre explore les propriétés et les implications des variables aléatoires iid, en soulignant leur pertinence dans la théorie des probabilités et l'inférence statistique.
Résumé : Le chapitre sur l'analyse multivariée et la dépendance des variables aléatoires élargit notre compréhension de la probabilité et des statistiques en considérant le comportement conjoint de plusieurs variables. En incorporant des dimensions supplémentaires dans notre analyse, nous pouvons mieux saisir les relations complexes et les dépendances entre les variables. Le chapitre couvre divers sujets, notamment les matrices de probabilité, les attentes des fonctions, la covariance, la corrélation, les transformations, l'analyse de portefeuille, la matrice de variance-covariance, les attentes conditionnelles et les variables aléatoires iid. Ces concepts nous donnent les outils nécessaires pour analyser des données multivariées, prendre des décisions éclairées et mieux comprendre la dynamique sous-jacente des variables aléatoires.
Exemples de moments (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 5)
Exemples de moments (FRM Partie 1 2023 – Livre 2 – Chapitre 5)
Le chapitre intitulé "Sample Moments" dans la partie 1, livre 2 de l'analyse quantitative se penche sur le concept d'échantillons et de leurs moments. Comme les spectateurs réguliers de mes vidéos le savent, je préfère présenter des exemples intrigants qui sont non seulement pertinents mais servent également notre objectif. Certains pourraient les juger idiots, mais ils ont une signification dans le contexte de notre discussion. Pour commencer ce chapitre, je vais partager un exemple introductif qui tourne autour du pamplemousse, qui se trouve être un de mes préférés.
Explorer les pépins de pamplemousse : Non seulement j'aime consommer du pamplemousse, mais j'éprouve aussi du plaisir à le couper pour mes enfants. Ils apprécient son goût, et c'est indéniablement bénéfique pour leur santé. Cependant, la situation difficile survient lorsque nous coupons un pamplemousse et y découvrons de nombreuses graines. Supposons que nous soyons des chercheurs intéressés à comprendre le nombre de pépins dans un pamplemousse. Pour enquêter sur cela, nous nous embarquons dans un voyage pour nous procurer des milliers de pamplemousses dans un magasin d'alimentation. Une fois de retour à la maison, nous coupons méticuleusement chaque pamplemousse, pour trouver des quantités variables de pépins. Certains pamplemousses ont 3 ou 4 graines, tandis que d'autres en possèdent 6 ou 7, et quelques-uns contiennent même 10 ou 12 graines.
Enregistrement des données d'échantillon : avec un millier de pamplemousses en notre possession, nous enregistrons avec diligence le nombre de graines dans chaque fruit. Cependant, cet échantillon entier pourrait ne pas nous fournir des informations détaillées. Il offre une gamme approximative et une idée générale de ce qu'il faut anticiper lors de la coupe ouverte d'un pamplemousse. Pour approfondir, nous devons nous concentrer sur la deuxième partie du titre du chapitre : les moments. Nous visons à explorer les moments de cet échantillon qui peuvent nous éclairer sur la consommation future de pamplemousse et le nombre de pépins attendu. Le premier moment que nous rencontrons est la moyenne ou moyenne. En divisant par mille la somme des graines de nos mille pamplemousses, nous pouvons arriver à une moyenne de, disons, cinq graines.
Considérer plusieurs moments : Cependant, nous devons reconnaître que chaque fois que nous ouvrons un nouveau pamplemousse, nous ne pouvons pas obtenir exactement cinq graines. Nous pourrions récupérer trois graines ou sept graines, ou toute autre quantité. Par conséquent, nous devons également considérer les autres moments. Pour résumer, l'essentiel à retenir de cet exemple initial et apparemment trivial est que les moments (dont quatre seront discutés dans ce chapitre) donnent un aperçu de la distribution de l'échantillon. Forts de ces connaissances, nous pouvons prendre des décisions éclairées concernant la consommation future de pamplemousse et le nombre de pépins attendu.
Objectifs d'apprentissage : Portons maintenant notre attention sur les objectifs d'apprentissage décrits dans ce chapitre. Fait intéressant, ces objectifs ne mentionnent pas explicitement le pamplemousse, et je pense que nous pouvons tous en être reconnaissants. Alors, qu'est-ce qui nous attend? Nous nous engagerons dans une pléthore d'estimations impliquant la moyenne, les moments de population, les moments d'échantillonnage, les estimateurs et les estimations. Nous évaluerons si ces moments présentent un biais ou non. Par exemple, si nous rencontrons un moment dans notre échantillon de pamplemousse qui suggère qu'un pamplemousse sur trois contiendra 50 graines, cela semblerait hautement improbable et loin de nos attentes raisonnables concernant les graines de pamplemousse. Par conséquent, nous devons nous méfier des moments biaisés. De plus, nous explorerons le théorème central limite et procéderons à l'examen des troisième et quatrième moments de la distribution, à savoir l'asymétrie et l'aplatissement. Enfin, nous nous plongerons dans les covariants, la corrélation, la co-asymétrie et la co-aplatissement, qui promettent de faire de ce diaporama une expérience délicieuse et perspicace.
Conclusion : L'étude des variables aléatoires va au-delà de l'analyse des variables individuelles. Cela implique d'examiner les relations, les dépendances et les distributions de plusieurs variables.
En comprenant ces concepts, les chercheurs et les analystes peuvent obtenir des informations précieuses sur le comportement et les interactions de systèmes complexes. Dans les prochaines sections de ce chapitre, nous explorerons plus avant la signification des différents moments et leurs applications dans l'analyse statistique.
Intervalle médian et interquartile : Le sujet à l'étude est la médiane et sa signification, en particulier dans la recherche. Les chercheurs, y compris ceux en finance, sont intéressés par l'examen de l'intervalle interquartile, qui consiste à diviser les données en quatre parties et à se concentrer sur la section médiane. Cependant, en tant que gestionnaires de risques financiers, il est crucial pour nous de considérer également la queue gauche de la distribution. C'est là qu'intervient le concept de Value at Risk (VaR), mais nous y reviendrons plus tard. Pour l'instant, passons un peu de temps à discuter de la médiane.
Calcul de la médiane : Le calcul de la médiane est intrigant car il diffère en fonction du nombre d'observations. Par exemple, si nous avons trois pamplemousses avec un nombre de graines variable (3, 5 et 7), la médiane serait la valeur médiane, qui est de 5. Dans les échantillons de taille impaire, la médiane est simplement l'observation médiane. Cependant, avec un nombre pair d'observations, on prend la moyenne des deux valeurs médianes. Dans notre exemple de deux pamplemousses avec un nombre de graines de 5 et 7, la médiane serait (5 + 7) / 2 = 6.
Robustesse de la médiane : il est important de noter que la médiane peut ne pas correspondre à une observation réelle dans l'ensemble de données, en particulier lorsqu'il s'agit d'échantillons de taille égale. De plus, la médiane n'est pas affectée par les valeurs extrêmes, ce qui en fait une mesure robuste. De plus, il sert de point médian, en particulier pour les grands nombres.
Aller au-delà des variables individuelles : jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés sur les moments de la distribution. Cependant, nous devons également comprendre les côtés gauche et droit de la moyenne. Cela nous amène au théorème central limite, qui donne un aperçu du comportement des échantillons aléatoires. Lorsque nous tirons un grand échantillon d'une population, comme 1 000 observations, la distribution de la moyenne de l'échantillon se rapproche d'une distribution normale. Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente, la distribution de la moyenne de l'échantillon devient encore plus proche d'une distribution normale. Dans notre cas, nous pouvons prendre un millier d'observations de différents magasins, ce qui nous permet de calculer les moyennes d'échantillonnage et d'approximer la distribution d'échantillonnage.
Distribution d'échantillonnage et approximation : Pour résumer, si l'échantillon est distribué normalement, la distribution d'échantillonnage des moyennes de l'échantillon sera également normale. Cependant, lorsque la population de l'échantillon est approximativement symétrique, la distribution d'échantillonnage devient approximativement normale, en particulier pour les échantillons de petite taille. Cependant, lors de l'introduction d'asymétrie dans les données, une taille d'échantillon de 30 ou plus est généralement requise pour que la distribution d'échantillonnage devienne approximativement normale.
Application pratique : Estimation de probabilité : Pour illustrer ce concept, prenons un exemple. Supposons que nous ayons une certaine marque de pneus avec une durée de vie moyenne de 30 000 kilomètres et un écart type de 3 600 kilomètres. Nous voulons déterminer la probabilité que la durée de vie moyenne de 81 pneus soit inférieure à 29 200 kilomètres. En calculant le score z à l'aide des informations fournies et d'un tableau z, nous trouvons une probabilité d'environ 0,02275, soit 2,275 %. Cela indique que la probabilité de vivre une vie moyenne inférieure à 29 200 kilomètres est relativement faible.
Dépendance et relation entre les variables : jusqu'à présent, nous avons examiné des variables aléatoires uniques. Cependant, nous sommes souvent intéressés par l'étude de la relation entre deux variables, telles que les taux d'intérêt et l'inflation. Ces deux variables sont aléatoires et présentent probablement un degré élevé de corrélation. Pour évaluer cette relation, nous utilisons la covariance, qui mesure la variabilité conjointe de deux variables aléatoires dans le temps. En multipliant la différence entre chaque observation et sa moyenne correspondante pour les deux variables, nous pouvons calculer la covariance.
Covariance : la covariance entre deux variables, X et Y, peut être calculée à l'aide de la formule suivante :
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
où X et Y sont les variables, μX et μY sont leurs moyennes respectives, et n est le nombre d'observations.
Le signe de la covariance indique le sens de la relation entre les variables. Si la covariance est positive, cela suggère une relation positive, ce qui signifie qu'à mesure qu'une variable augmente, l'autre a tendance à augmenter également. Inversement, une covariance négative indique une relation négative, où lorsqu'une variable augmente, l'autre tend à diminuer.
Cependant, l'ampleur de la covariance seule ne fournit pas une mesure claire de la force de la relation entre les variables, car elle est influencée par les échelles des variables. Pour surmonter cette limitation et mieux comprendre la force de la relation, nous pouvons utiliser le coefficient de corrélation.
Coefficient de corrélation : Le coefficient de corrélation, noté r, mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Il s'agit d'une mesure standardisée comprise entre -1 et 1.
La formule de calcul du coefficient de corrélation est :
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
où cov(X, Y) est la covariance entre X et Y, et σX et σY sont les écarts types de X et Y, respectivement.
Le coefficient de corrélation fournit des informations précieuses sur la relation entre les variables. Si le coefficient de corrélation est proche de 1 ou -1, cela indique une forte relation linéaire. Un coefficient de corrélation de 1 indique une relation linéaire positive parfaite, tandis que -1 indique une relation linéaire négative parfaite. Un coefficient de corrélation proche de 0 suggère une relation faible ou non linéaire entre les variables.
Il est important de noter que la corrélation n'implique pas la causalité. Même si deux variables sont fortement corrélées, cela ne signifie pas nécessairement qu'une variable fait changer l'autre. La corrélation quantifie simplement le degré auquel deux variables évoluent ensemble.
Comprendre la relation entre les variables grâce à l'analyse de covariance et de corrélation permet aux chercheurs et aux analystes de mieux comprendre les modèles, les dépendances et le pouvoir prédictif potentiel entre différents facteurs. Ces mesures sont largement utilisées dans divers domaines, notamment la finance, l'économie, les sciences sociales et bien d'autres, pour étudier les relations entre les variables et prendre des décisions éclairées.
Test d'hypothèse (FRM Partie 1 2023 - Livre 2 - Chapitre 6)
Test d'hypothèse (FRM Partie 1 2023 - Livre 2 - Chapitre 6)
Dans la partie 1, livre 2 du cours d'analyse quantitative, il y a un chapitre sur les tests d'hypothèses. L'auteur mentionne que ce chapitre est susceptible de contenir des informations dont les étudiants peuvent se souvenir de leur cours de statistique de premier cycle. Le chapitre couvre divers objectifs d'apprentissage, notamment la compréhension de la moyenne et de la variance de l'échantillon, la construction et l'interprétation des intervalles de confiance, le travail avec des hypothèses nulles et alternatives, la réalisation de tests un ou bilatéraux et l'interprétation des résultats.
Le chapitre commence par une discussion sur la moyenne de l'échantillon, qui est définie comme la somme de toutes les valeurs d'un échantillon divisée par le nombre d'observations. Bien que le calcul de la moyenne de l'échantillon ne soit pas l'objectif principal, il est essentiel de comprendre son utilisation pour faire des inférences sur les moyennes de la population. L'auteur souligne que, comme la collecte de données auprès d'une population entière est souvent impossible, des échantillons sont sélectionnés et des tests sont effectués sur la base du théorème central limite, qui fournit une distribution d'échantillonnage approximative pour la moyenne.
Ensuite, l'auteur souligne l'importance d'estimer l'écart-type de l'échantillon puisque l'écart-type de la population est généralement inconnu. Ils fournissent une formule pour calculer l'erreur type de la moyenne de l'échantillon. Un exemple est donné pour illustrer le calcul, où la moyenne est de 15,50 $, l'écart type est de 3,3 et la taille de l'échantillon est de 30.
Le chapitre traite ensuite de la variance de l'échantillon, qui mesure la dispersion des observations par rapport à la moyenne. L'auteur explique qu'une variance plus élevée indique plus de risque ou de variabilité dans les données. Ils fournissent une formule pour calculer la variance de l'échantillon, impliquant les différences entre les observations individuelles et la moyenne de l'échantillon, et en divisant par les degrés de liberté.
Passant aux intervalles de confiance, l'auteur présente le concept de niveaux de confiance et explique comment ils fournissent une fourchette dans laquelle un certain pourcentage de résultats devrait se situer. Un niveau de confiance de 95 % est couramment utilisé, ce qui signifie que 95 % des réalisations de tels intervalles contiendront la valeur du paramètre. L'auteur présente une formule générale pour construire des intervalles de confiance, qui implique l'estimation ponctuelle (par exemple, la moyenne de l'échantillon) plus ou moins l'erreur type multipliée par le facteur de fiabilité. Le facteur de fiabilité dépend du niveau de confiance souhaité et du fait que la variance de la population est connue ou inconnue.
L'auteur fournit un tableau pour sélectionner le facteur de fiabilité approprié en fonction du niveau de confiance souhaité et de la taille de l'échantillon. Ils discutent également de l'utilisation des scores z et des scores t, selon que la variance de la population est connue ou inconnue. Un exemple est donné pour démontrer le calcul d'un intervalle de confiance à 95 % pour le temps moyen passé à étudier pour un examen, en utilisant une moyenne d'échantillon et un écart type.
Enfin, le chapitre mentionne brièvement les tests d'hypothèses, qui consistent à formuler des hypothèses ou des affirmations sur une caractéristique de la population et à effectuer des tests pour évaluer leur validité. L'auteur présente les étapes du test d'hypothèse, y compris l'énoncé de l'hypothèse, la sélection de la statistique de test, la spécification du niveau de signification, la définition de la règle de décision, le calcul de la statistique d'échantillon et la prise de décision.
Dans l'ensemble, ce chapitre fournit un aperçu complet des concepts importants de l'analyse quantitative, en se concentrant spécifiquement sur la moyenne de l'échantillon, la variance de l'échantillon, les intervalles de confiance et les tests d'hypothèses. Ces sujets sont fondamentaux dans l'analyse statistique et fournissent une base pour faire des inférences et tirer des conclusions à partir des données.