[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 476
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Pour ceux qui aiment résoudre des problèmes :
Un agent de la circulation qui collecte les contraventions pour excès de vitesse gagne 11 kg par an..,
et un agent de la circulation qui collecte les amendes pour avoir tourné au mauvais endroit - seulement 6,5 kg.
1. Calculez le poids total annuel des agents de la circulation d'une brigade de 15 personnes,
Si 7 d'entre eux sont accusés d'excès de vitesse...
et 8 pour avoir fait demi-tour à un mauvais endroit.
Tracez la courbe de prise de poids sous forme de graphique. )))
2. Combien de temps faudra-t-il pour que les agents de la circulation 1 et 2 meurent de faim si les automobilistes cessent d'enfreindre les règles ?
Осталось доказать, что расстановка символов в закольцованной ленте 00111 - единственная. Ну например, ни при каких сдвигах и ни при каких поворотах нам не встречается последовательность - 01011
Il n'y a que trois combinaisons possibles d'une bande en boucle : 1) 00111, 2) 01011 et 3) 11010. Le troisième et le deuxième sont en miroir, on peut donc les combiner en un seul en formulant la règle suivante : dans une vraie bande bouclée, deux zéros doivent se trouver dans des positions adjacentes. Les trois autres sont occupées par trois unités subordonnées.
Supposons que dans une bande bouclée, il est acceptable d'avoir un seul zéro entre la paire 11 et 1. Par exemple, il s'agit de la combinaison 01011.
Il est clair que pour construire une matrice correcte, la ligne supérieure initiale doit être déplacée séquentiellement, position par position, de manière cyclique. Il n'est pas difficile d'en arriver là. S'il n'y a pas un tel changement cyclique de position, nous obtiendrons un chaos désordonné (lire : incontrôlable). Construisons exactement la même matrice avec un décalage que nous obtenons de la ligne 01011. Si cela nous conduit à une contradiction dans la condition du problème, alors notre règle "Dans un vrai ruban bouclé, deux zéros doivent se trouver sur des positions adjacentes. Les trois autres sont occupés par trois subordonnés" sera le seul correct. Construisons une matrice
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
La matrice ne contredit pas la condition du problème. Cela signifie que nous avons encore 100 combinaisons pour construire la carte de Karno et que notre règle n'est pas vraie. Le total est de 200 voies.
Un problème amusant sur la disposition des unités dans une matrice. Eh bien, il faut bien commencer quelque part. Essayer de faire correspondre au moins une telle matrice conduit à ce résultat :
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
La comparaison de la première ligne horizontale supérieure avec la seconde nous amène à la conclusion que la seconde ligne n'est rien d'autre que la première décalée d'une position vers la droite. Le caractère le plus à droite (le dernier de la rangée) sort de la matrice et nous le plaçons simplement en première position, dans l'espace vacant du premier caractère. La comparaison de toutes les lignes suivantes avec les précédentes conduit à la même conclusion : chaque ligne suivante est la précédente décalée d'une position vers la droite. Il en va de même pour les colonnes, mais elles sont décalées verticalement. Ainsi, chaque ligne est un ruban bouclé et chaque colonne est un ruban bouclé. Il s'avère que ce n'est pas seulement une matrice - c'est une carte de Karno. Le problème n'est donc pas de savoir combien de façons on peut construire une telle matrice, mais combien de façons on peut construire de telles cartes de Karno.
Franchement, il me semble que le ruban comporte une seule séquence de symboles, à savoir 00111, où le premier zéro et le dernier un sont deux symboles adjacents du ruban bouclé. Si cette hypothèse est correcte (concernant l'unicité de la séquence), le nombre de combinaisons n'est pas difficile à calculer.
Il est clair que si le ruban supérieur est décalé horizontalement, alors tous les autres rubans horizontaux doivent être décalés dans la même direction et du même nombre de positions. Nous avons donc 5 déplacements verticaux et 5 déplacements horizontaux de l'ensemble du champ de la carte. Pour chaque déplacement vertical, il y a 5 déplacements horizontaux. Le total est de 5*5. Mais on peut faire tourner la boîte. Peignons la ligne supérieure en bleu. Combien de positions la place aura-t-elle ? Bleu en haut, bleu à droite, bleu en bas, bleu à gauche. Au total, il y a 4 postes. Nous avons donc 5*5*4 = 100 façons de construire la carte Karno donnée.
Il reste à prouver que la disposition des symboles dans la bande bouclée 00111 est la seule. Par exemple, à aucun décalage et à aucun tour, nous rencontrons la séquence - 01011
Vous avez obtenu l'une des variantes de remplissage de la matrice. Vous pouvez maintenant intervertir n'importe quelle colonne et le résultat répondra également aux conditions du problème. Vous pouvez également échanger n'importe quelle rangée. Donc, nous avons ici :
<nombre de permutations de colonnes> * <nombre de permutations de lignes>.
Vous avez obtenu l'une des options pour remplir la matrice. Maintenant, vous pouvez échanger n'importe quelle colonne et le résultat satisfera également les conditions du problème. Vous pouvez également échanger n'importe quelle rangée. Ainsi, nous avons :
<nombre de permutations de colonnes> * <nombre de permutations de lignes>.
Non - regardez de plus près - j'ai couaal 4 positions supplémentaires de rotation du carré de la matrice. Total <nombre de permutations de colonnes> * <nombre de permutations de lignes> * <nombre de rotations carrées de la matrice>.
De plus, j'ai trouvé la deuxième disposition possible des symboles dans la bande en boucle. Donc, le nombre total de combinaisons = <Nombre de permutations de colonnes> * <nombre de permutations de lignes> * <nombre de rotations de carrés de la matrice> * <2> = 200
drknn:
Il reste à prouver que la disposition des caractères dans le ruban bouclé 00111 est la seule. Par exemple, nous ne rencontrons la séquence - 01011 - à aucun décalage et à aucun tour.
Vous ne pouvez pas le prouver. Il existe de nombreuses autres permutations. Par exemple, la permutation de colonnes ou de rangées arbitraires d'une matrice "propre" crée une matrice propre.
Un exemple qui me vient à l'esprit :
zy : ))
PapaYozh est en avance sur la courbe.
Vous ne pouvez pas le prouver. Il existe de nombreuses autres permutations. Par exemple, le réarrangement de colonnes ou de lignes arbitraires d'une matrice "propre" crée une matrice propre.
Un exemple qui me vient à l'esprit :
zy : ))
PapaYozh est en avance sur la courbe.
Vous avez réfuté la thèse "Vous ne pouvez pas le prouver" avec votre propre exemple. Regardez votre matrice - bouclez-la horizontalement - vous aurez toujours 111 et 00 dans une rangée. C'est la même chose si vous la bouclez verticalement. Cela vous laisse la seule option pour construire un ruban - mettre un zéro entre 11 et 1.