Maths pures, physique, logique (braingames.ru) : jeux cérébraux non liés au commerce - page 74

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Il y aura un secteur de cercle. Je ne sais pas comment le prouver, mais une partie d'un cercle a définitivement une longueur plus courte qu'un segment.
 
Mathemat:

(4) Soit un cercle, coloré en 2 couleurs - rouge et bleu. Prouvez que, quelle que soit la couleur exacte, il est toujours possible d'y inscrire un triangle isocèle de telle sorte que ses sommets soient de la même couleur.

Supposons que ce ne soit pas le cas. Trouvez sur le cercle les points 1 et 2 de la même couleur, que ce soit le rouge. Traçons une ligne perpendiculaire à la corde 1-2 en passant par son milieu. Elle passe par le centre du cercle et l'intersecte aux points 3 et 4. Puisque les triangles 1-2-3 et 1-2-4 sont isocèles, les points 3 et 4 sont bleus. Dessinez le diamètre 5-6 qui est perpendiculaire au diamètre 3-4. Les triangles 3-4-5 et 3-4-6 sont isocèles, donc les points 5 et 6 sont rouges. On trace des cordes parallèles à 3-4 passant par les points 1 et 2, et on obtient les points 7 et 8 à l'intersection avec le cercle. Les triangles 1-5-8 et 2-6-7 sont isocèles, donc les points 7 et 8 sont bleus. Cependant, dans le triangle isocèle 4-7-8, tous les sommets sont bleus, ce qui est impossible. Si l'on arrive à la contradiction, le problème est résolu.


 
ilunga:
IMHO, ça ne va pas être simple =) et ça peut être prouvé sans être du tout fastidieux.
Je vais essayer de faire une preuve... Juste au cas où, je préparerai une assiette de cendres))))
 
alsu:
Je vais essayer d'argumenter en sa faveur... Je vais préparer une assiette de cendres, juste au cas où)))
Comparez immédiatement avec l'arc. J'ai résolu ce problème une fois.
 
TheXpert:
Comparez immédiatement avec l'arc. J'ai résolu ce problème une fois.
Je l'ai comparé, l'arc est plus long)))) pouvez-vous faire un dessin, car je ne comprends pas le processus de pensée.
 
alsu:
Supposons que ce ne soit pas le cas. Trouvez les points 1 et 2 de la même couleur sur le cercle, bien que rouge. Traçons une ligne perpendiculaire à la corde 1-2 en passant par son centre. Elle passe par le centre du cercle et l'intersecte aux points 3 et 4. Puisque les triangles 1-2-3 et 1-2-4 sont isocèles, les points 3 et 4 sont bleus. Dessinez le diamètre 5-6 qui est perpendiculaire au diamètre 3-4. Les triangles 3-4-5 et 3-4-6 sont isocèles, donc les points 5 et 6 sont rouges. On trace des cordes parallèles à 3-4 passant par les points 1 et 2, et on obtient les points 7 et 8 à l'intersection avec le cercle. Les triangles 1-5-8 et 2-6-7 sont isocèles, donc les points 7 et 8 sont bleus. Cependant, dans le triangle isocèle 4-7-8, tous les sommets sont bleus, ce qui est impossible. On arrive à une contradiction, le problème est résolu.

C'est beau. Mais c'est compliqué. C'est plus drôle sur le menu. Décorez tout arc unicolore avec trois points, deux sur les bords et un troisième au milieu. Reliez-les par des lignes droites. On obtient un triangle isocèle).

// Ne me dites pas que tous les arcs sont infinitésimaux, je les diviserai tous en deux de toute façon. ;-)

 
alsu:
Je l'ai comparé, l'arc est plus long)))) pouvez-vous faire un dessin schématique, car je ne suis pas le processus de pensée.
ah, pas besoin, je l'ai imaginé)))) peut-être que oui, peut-être que oui
 
MetaDriver:

C'est beau. Mais c'est compliqué. Le menu est plus amusant. Décorons un arc unicolore avec trois points, deux sur les bords et un troisième au milieu. Reliez-les par des lignes droites. On obtient un triangle isocèle).

// Ne me dites pas que tous les arcs sont infinitésimaux, je les diviserai tous en deux de toute façon. ;-)

Je vais le colorier de cette façon : je vais marquer le point de départ et aller dans le sens des aiguilles d'une montre avec des arcs de 1 radian, en marquant rouge-bleu-rouge-bleu-.... En raison de l'irrationalité de pi, il y aura un nombre irrationnel de segments dans un cercle, donc le cercle entier sera peint en un temps infini, et pour deux points d'une couleur, il y aura un point d'une autre couleur entre eux. En d'autres termes, cette méthode de coloration ne permet pas "tout arc à une couleur", car il n'y en a pas. (D'une certaine manière, cette construction est similaire à "cantor dust", imho)
 
alsu:
Je vais peindre de cette façon : Marquez le point de départ et allez dans le sens des aiguilles d'une montre avec des arcs de 1 radian, en marquant rouge-bleu-rouge-bleu-... En raison de l'irrationalité de pi, il y aura un nombre irrationnel de segments dans un cercle, donc le cercle entier sera peint en un temps infini, et pour deux points d'une couleur, il y aura un point d'une autre couleur entre eux. En d'autres termes, cette méthode de coloration ne permet pas "tout arc à une couleur", car il n'y en a pas. (D'une certaine manière, cette construction est similaire à "cantor dust", imho)
Votre coloration sera trouée (vous pouvez le prouver) - elle aura des points non peints, ce qui contredit les conditions du problème.
 
alsu:
Je vais peindre de cette façon : je vais marquer le point de départ et aller dans le sens des aiguilles d'une montre par des arcs de 1 radian, en marquant tour à tour rouge-bleu-rouge-bleu-... En raison de l'irrationalité de pi, il y aura un nombre irrationnel de segments dans le cercle, donc le cercle entier sera coloré en un temps infini, et pour deux points d'une couleur, il y aura un point d'une autre couleur entre eux. En d'autres termes, cette méthode de coloration ne permet pas "tout arc à une couleur", car il n'y en a pas. (D'une certaine manière, cette construction est similaire à "cantor dust", imho)

Réfutation :

Traçons deux arcs de longueur Pi/3 de radian à partir de n'importe quel point du cercle "coloré" par cette "méthode" et construisons en même temps un triangle isocèle sur ces points (les longueurs de ses deux côtés seront égales à R). :)

Il est évident qu'un seul de ses coins se trouve dans le point ombré (l'inverse contredisait l'affirmation sur l'irrationalité de Pi). Il s'avère donc qu'il y a au moins deux fois plus de trous sur ce cercle que de points ombrés. :)))

// Ce qui est entre guillemets est lu avec un ton narquois.

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