Matemáticas puras, física, lógica (braingames.ru): juegos cerebrales no relacionados con el comercio - página 156
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Y por cierto, ¿hay que especificar la distancia antes del cambio de hora o después? Es un poco difícil medir la distancia cuando se pregunta el proceso "cuando esta distancia cambia más rápido".
Supongamos que las manos se mueven de forma continua, sin sacudidas. Esta es la suposición más lógica.
De alguna manera no puedo hacerlo sin derivados.
Parece muy complicado. Intuitivamente parece ser el punto en el que se superponen. (Otra opción es cuando miran en direcciones opuestas).
Considera que las flechas se mueven en sentido contrario a las agujas del reloj desde algún punto cero en el que inicialmente coincidían en dirección.
Por hora: z1 = 36*exp(i*t) = 36*cos(t) + i*36*sin(t)
Minuto: z2 = 45*exp(i*12*t) = 45*cos(12*t) + i*45*sin(12*t)
La distancia entre los extremos (o mejor dicho, su cuadrado): L^2 = (36*cos(t) - 45*cos(12*t))^2 + (36*sin(t) - 45*sin(12*t))^2 =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*(cos(t)*cos(12*t) + sin(t)*sin(12*t)) =
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Por tanto, L = (3321 - 3240*cos(11*t))^0,5. (***)
L' = 0,5*(3321 - 3240*cos(11*t))^(-0,5) * 11*3240*sin(11*t) -> max modulo.
Eso es todo. Voy a pasar, incluso Wolfram no encuentra extremos honestos, es una aproximación allí.
= 36^2 + 45^2 - 2*36*45*cos(11*t) = 3321 - 3240*cos(11*t)
Pfft. Yo mismo estaba resolviendo lo mismo y todo funcionó de la misma manera. He mirado en el foro y he tenido la misma idea :).
Sí, yo tampoco conozco la derivación. No recuerdo cómo se calculan. Realmente no es realista calcular la derivada a partir de esta expresión. ¿Pero por qué? Debe haber una solución, obviamente.
Parece que está resuelto.
Así obtenemos esta función de dependencia
y = (3321-3240*cos(x))^(1/2), donde
y es la distancia entre los extremos en cualquier momento
x es el ángulo de desviación entre las flechas [0 ; 2*Pi]
A partir de aquí encontramos la derivada e investigamos para un extremo
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
sin x = 0
x1 = 0
x2 = pi
En 0 la velocidad es máxima, en pi es mínima.
Así que la velocidad máxima está en 0gr, lo que significa que estará en el punto en el que coinciden las flechas, como se suponía en un principio.
Esto parece solucionar el problema, aunque si hay algo que no funciona, os lo haré saber.
Por lo tanto, la velocidad máxima en 0g, lo que significa que será en el punto donde las flechas coinciden, como se pretende originalmente.
Esto parece solucionar el problema, aunque si hay algo que no funciona, os lo haré saber.
A partir de aquí, encontrar la derivada e investigar hasta el extremo
y ' = 1/2*(3321-3240*cos(x))^(-1/2)*3240sin x = 0
No, no lo es. Puedo encontrar el derivado yo mismo.
Aquí tenemos que encontrar su extremo, no el cero. Es el cero de la segunda derivada.
cuando esta distancia cambia más rápidamente.
Es decir, cuando la velocidad es máxima.
Por lo tanto, la velocidad máxima en 0g, lo que significa que será en el momento en que las flechas coinciden, como se supone originalmente.
Esto parece solucionar el problema, aunque si hay algo que no funciona, os lo haré saber.
El método numérico da valores completamente diferentes ).
Al comenzar a mediodía, la velocidad máxima entre las flechas es de 403 segundos y se repite después de 3927 segundos (el cálculo es preciso a un segundo). Distancia 27 mm
El método numérico da valores completamente diferentes ).
Al comenzar a mediodía, la velocidad máxima entre las flechas es de 403 segundos y se repite después de 3927 segundos (el cálculo es preciso a un segundo). Distancia 27 mm
Una vez más. Quitamos el multiplicador 81 en los números, que no resuelve nada, y el multiplicador de frecuencia. Obtenemos la función
L(t) = (41-40*cos(t))^0,5
La función es periódica. Gráfico:
Tenemos que encontrar los puntos en los que L' es máxima en módulo (en la gráfica vemos que estos puntos están cerca de los mínimos de la función L, pero definitivamente no son sus mínimos; de hecho son puntos de inflexión de la gráfica).
En otras palabras, tenemos que elegir entre los ceros de la segunda derivada L(t). Diferenciando cuidadosamente dos veces, obtenemos que los ceros de la segunda derivada son los puntos donde cos(t) = 4/5. (Si lo necesitas, puedes diferenciar la función L(t) dos veces por ti mismo).
La distancia (teniendo en cuenta el multiplicador perdido sqrt(81)) es
L(t) = 9*(41-40*4/5))^0,5 = 27 mm.
Puede que haya metido la pata en algún sitio, o que no haya tenido en cuenta algo. Pero el resultado es sorprendentemente "racional", lo que indica que la solución es probablemente correcta.
P.D. El primer tiempo desde cero (aunque no es necesario buscarlo) es algo parecido a pi/5, es decir, unos 6 minutos después del inicio del movimiento.
La respuesta resultó no ser en absoluto como se supone "intuitivamente obvia".
Pero el problema es realmente sencillo, pero hay que tener cuidado.
Me gustaría poder encontrar una solución sin las matemáticas superiores...